Algebra 3D vektorů nesnadně snadno - vsb.cz · 2017. 4. 18. · Algebra 3D vektorů nesnadně...

Algebra 3D vektorů nesnadně snadno

René Kalus

MODAM 2017, VŠB-TUO 7. dubna 2017

Motivace a obsah

Cesta k efektivnímu počítání s (nejen) 3D vektory (a vektorovými poli).


Motivace a obsah



Motivace a obsah


1. Teorie• vektory v 3D (souřadnice)• operace (zejména skalární a vektorový součin)• Kroneckerovo delta, Levi-Civitův symbol

2. Příklady I• vektorový součin – velikost a směr

3. Příklady II (domácí úkol)• další vektorové identity

4. Doplňky (příště?)• Je vektorový součin vektor?


Motivace a obsah

Hodí se to vůbec na střední školu?

• „běžná“ výuka – asi NE.


Motivace a obsah


• „běžná“ výuka – asi NE.• práce s „talenty“ – určitě ANO …


Motivace a obsah


• „běžná“ výuka – asi NE.• práce s „talenty“ – určitě ANO …

• … i když asi ne úplně vše


Teorie


Vektory ve 3D

orientované úsečky se šipkou

1 1 2 2 3 3 1 2 3, ,a a e a e a e a a a


Vektory (ve 3D)

vektorový prostor (vektory) báze dimenze prostory konečné dimenze souřadnice

skalární součin, orthonormální báze

11

,...,n

i i ni

a a e a a


Vektory (ve 3D)

vektorový prostor (vektory) báze dimenze prostory konečné dimenze souřadnice

skalární součin, ortonormální báze

11

,...,n

i i ni

a a e a a


Intermezzo 1

Einsteinova sumační konvence

1

n

i i i ii

a e a e

(právě) dvakrát opakující se index je sčítací


Vektory ve 3D

souřadnicová reprezentace (fyzika)

3

1 2 31

, ,i i ii

iia a e a e a a aa


Vektory ve 3D

souřadnicová reprezentace (fyzika)

3

1 2 31

, ,i i ii

iia a e a e a a aa

transformační vlastnostio ortonormální báze

' 'i j ji i j ji ie e Q a Q ae ji ki ij ik jkQ Q Q Q


Intermezzo 2

Kroneckerovo delta

1 pro

0 pro ij

i j

i j


Intermezzo 2

Kroneckerovo delta

1 pro

0 pro ij

i j

i j


např. 11 = 1, 12 = 0, …

Intermezzo 2

Kroneckerovo delta

1 pro

0 pro ij

i j

i j


např. 11 = 1, 12 = 0, …

ii = ?

Intermezzo 2

Kroneckerovo delta

1 pro

0 pro ij

i j

i j


např. 11 = 1, 12 = 0, …

ii = 3

Intermezzo 2

Kroneckerovo delta

1 pro

0 pro ij

i j

i j


např. 11 = 1, 12 = 0, …

ii = 3ii = 11 + 22 + 33 =1 + 1 + 1 = 3

Intermezzo 2

Kroneckerovo delta

1 pro

0 pro ij

i j

i j


např. 11 = 1, 12 = 0, …

ii = 3ii = 11 + 22 + 33 =1 + 1 + 1 = 3

ijaj = ai

Intermezzo 2

Kroneckerovo delta

1 pro

0 pro ij

i j

i j


např. 11 = 1, 12 = 0, …

ii = 3ii = 11 + 22 + 33 =1 + 1 + 1 = 3

ijaj = ai

ijaj = i1a1+ i2a2+ i3a3 = … = ai

Operace s vektory (ve 3D)

„běžné“

i ia b a b

ica ca



skalární součin

. i i ij i ja b a b a b



skalární součin


výsledkem skalárního násobení je skalár

' 'i i ip p iq q pq p q p p i ia b Q a Q b a b a b a b



skalární součin



' ' ip p iq q pqi i i ip q p pQ a Q b a b aa a bbb


skalární součin



' 'i i ip p iq q pq p q p p i ia b Q a Q b a b a b a b

velikost (Eukleidova norma) vektoru

2| | . i ia a a a a

Operace s vektory ve 3D

vektorový součin

i ijk j kca a bc b


Intermezzo 3

Levi-Civitův symbol


sign{ , , } pro ,

0 jinak

ijk i j k i j k

Intermezzo 3



sign{ , , } pro ,

0 jinak

ijk i j k i j k

sign[( - )( - )( - )]ijk j i k i k j

Intermezzo 3



např. 123 = 1, 321 = -1, 113 = 0321 = sign[(2-3)(1-3)(1-2)] = sign[(-1)(-2)(-1)] = -1

sign{ , , } pro ,

0 jinak

ijk i j k i j k

sign[( - )( - )( - )]ijk j i k i k j

Intermezzo 3

Vlastnosti L-C symbolu

P( )P( )P( ) sign(P)i j k ijk

úplná antisymetrie

Intermezzo 3




(velmi) mocná identita

ijk ipq jp kq jq kp


Intermezzo 3





jpi kq jqjk ip pq k


Intermezzo 3





pijk ipq q kqj pk j

Intermezzo 3





ijk ipq jp kq jq kp



vektorový součin

i ijk j kca a bc b



vektorový součin

i ijk j kca a bc b


Výsledkem vektorového násobení je vektor (?)

Viz doplňky ….

Příklady I


Příklad 1 Velikost (eukleidovská norma) vektorového součinu je rovna součinu

norem obou činitelů a sinu úhlu, který svírají.

2 2 2( ).( ) | || | sina b a b a b




2 2 2( ).( ) | || | sina b a b a b

obecněji

( ).( ) ?a b c d




2 2 2( ).( ) | || | sina b a b a b

obecněji

( ).( ) ?a b c d

( ).( )

( )

(

(

. )( . ) ( . )( .

) ( )

)

i i ijk j k ipq p q ijk ipq j k p

jp kq jq kp j k p q jp kq j k p q jq kp j k p q

j j k k j j k

q

k

a b

a b c d a b c d a b c d a b c

c d a b c d a b c d

a c b d a d b c a c b d a d b c

d




2 2 2( ).( ) | || | sina b a b a b

obecněji

( ).( ) ?a b c d

( . )( . ) ( . )

( ).( ) ( ) ( )

( )

( )

.

i i ijk j k ipq p q ijk ipq j k p q

jp kq jq kp j k p q jp kq j k p q jq kp j k

j j k k

p q

j j k k

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d a b c d a b c


d




2 2 2( ).( ) | || | sina b a b a b

obecněji

( ).( ) ?a b c d

( ).( ) ( ) ( )

( )

( . )( . ) ( . )( . )



j j k k j j k k


a b c d a b c d a b c d





2 2 2( ).( ) | || | sina b a b a b

obecněji

( ).( ) ?a b c d

( ) ( )( ).( )

( . )( . ) ( . )( . )

( )



j j k k j j k k


a b c d a b c d a

a b c d

a c b d a

b c d

a c b d a d b bc d c




2 2 2( ).( ) | || | sina b a b a b

obecněji

( ).( ) ?a b c d

( ) ( )( ).( )

( . )( . ) ( . )( . )

( )



j j k k j j k k


a b c d a b c d a

a b c d

a c b d a

b c d

a c b d a d b bc d c

speciálně

2 2 2 2 2 2 2( ).( ) ( . )( . ) ( . ) | || | (1 cos ) | || | sina b a b a a b b a b a b a b




2 2 2( ).( ) | || | sina b a b a b

obecněji

( ).( ) ?a b c d

( ).( ) ( ) ( )

( )

( . )( . ) ( . )( . )



j j k k j j k k




speciálně

2 2 2 22 2 2( . )( . ) ( . ) | || | (1 co( ).( ) | || | ss ) ina a b b a b a ba b a b a b


Příklad 2 Vektorový součin dvou vektorů (je vektor, který) je k těmto vektorům

kolmý .

( ). ( ). 0a b a a b b



kolmý .

( ). ( ). 0a b a a b b

neboť např.

( ).

0

(

( ).

)

jik j i k ijk i j k

ijk i j

i i ij

k

k j k i ijk i j k

a a b a a

a b a a b a a b a a a

a

b

b

a a b b a



kolmý .

( ). ( ). 0a b a a b b

neboť např.

0

( ). (

( .

)

)

ji j ijk i j

i i ijk j k i ijk i j k

k k

ijk i j k

i k

a b a a b a a

a a b

a a b a b

b a a a b

a a b

a



kolmý .

( ). ( ). 0a b a a b b

neboť např.

0

( ). (

( .

)

)

ji j i ij i j


k

ijk i j k

k k k

a b a a b a a b a a a b

a a b a

a a

a

b

b

a b a



kolmý .

( ). ( ). 0a b a a b b

neboť např.

0

). (

( )

( )

.

i i ijk j k i

jik j

ijk i j k

ijk i

ijk i

i k

j

j

k

k

a b a a b a a b a

a

a a b

a

a a b a b

a ba b

a



kolmý .

( ). ( ). 0a b a a b b

neboť např.

( ). ( )

0 ( ).

i i ijk j k i

jik j

ijk i j k

ijk ii k

ijk i k

j

j

k

a b a a b a a b a

a

a a b

aa b

a a b a b

a b

a



kolmý .

( ). ( ). 0a b a a b b

neboť např.

( ). ( )

0 ( ).


jik j i k ijk i j k

ijk i j k

a b a a b a a b a a a b

a a b a a b

a a b a b a


Příklady II


Domácí úkol Dokažte platnost dalších vektorových identit.

.( ) ( ).

( ) ( . ) ( . )

( ) ( ) [ .( )] [ .( )]

...

a b b a

a b c a b c

a b c a c b a b c

a b c d a c d b b c d a


“Zostřená“ verze


Vektorová analýza

vektorové operátory

(grad ) ( ) , div . , (rot )i k

i i i ijk

i i j

A Aff f A A A A

x x x


Vektorová analýza


operátorové identity

(grad ) ( ) , div . , (rot )i k

i i i ijk

i i j

A Aff f A A A A

x x x


2

div rot 0

rot grad 0

rot rot grad div ( . div grad )i ix x

Vektorová analýza


operátorové identity

Vzpomínáte si na (nejen studenty) obávané Maxwellovy rovnice?

(grad ) ( ) , div . , (rot )i k

i i i ijk

i i j

A Aff f A A A A

x x x


2

div rot 0

rot grad 0

rot rot grad div ( . div grad )i ix x

Koneca díky za pozornost!


DoplňkyJe vektorový součin vektor?


Doplněk 1

Vektorový součin není vektor výsledkem vektorového násobení je vektor (?)

' ' ' 'i ijk j k p pqr q r p pi ic a b c a b c Q c


výsledkem vektorového násobení je vektor (?)


1

' ' det( ) ' ' det( ) '

' det

' '

( )

' '

ri i ijk ri

i ijk j k ijk p

pj qk p q rp

j p qk q ijk pj qk p q

q p q r

r ri i

c a b Q a Q b Q Q a b

Q c Q Q Q a b Q a b Q c

c Q Q c


Doplněk 1

Vektorový součin není vektor



1

' ' ' '

' ' det( ) ' ' det

' t

'

e )

)

d (

(

i ijk j k ijk pj p qk q ijk pj qk p q

ri i ijk ri

r r

pj qk p q rpq p q r

i i


Q

c

c Q Q Q a b Q a b Q

Q Q c

c


Doplněk 1




1

' '

det( )

'

'

'

' '

' de

det( ) ' '

t( )


ijk riri i r

r ri

pj qk p q rpq p q

i


Q Q Q a b Q a bQ c Q c

c Q Q c


Doplněk 1




1

' ' ' '

' ' det( ) ' ' det( ) '

' det( )


ri i ijk ri pj qk p q rpq p q r

r ri i



c Q Q c

' vlastní rotace

' nevlastní rotace

r ri i

r ri i

c Q c

c Q c


Doplněk 1




1

' ' ' '

' ' det( ) ' ' det( ) '

' det( )


ri i ijk ri pj qk p q rpq p q r

r ri i



c Q Q c

' vlastní rotace

' nevlastní rotace

r ri i

r ri i

c Q c

c Q c

pravé (poloha, rychlost, zrychlení, elektrická intenzita) vs. nepravé(axiální) vektory (úhlová rychlost, momenty, magnetická indukce)


Doplněk 1


Co tedy vektorový součin je?


Doplněk 1


Doplněk 2

Tenzory tenzor

multilineární forma na lineárním vektorovém prostoru (konečné dimenze)


tenzormultilineární forma na lineárním vektorovém prostoru (konečné dimenze)

...( , ,..., ) ( , ,..., ,) ( , ,..., ,) ... ...i i j j k k i j k i j k ij k i j kx y z x e x e x e e e e x x x T x x x T T T


Doplněk 2

Tenzory



tenzor v souřadnicové reprezentaci (ve fyzice): Tij…k


Doplněk 2

Tenzory



tenzor v souřadnicové reprezentaci (ve fyzice): Tij…k

o transformační vlastnosti

... ......ij k ip jq kr pq rT Q Q Q T


Doplněk 2

Tenzory

antisymetrický tenzor (2. řádu)

ij jiT T


Doplněk 2

Tenzory

Doplněk 3

Co je vektorový součin? pozorování

Antisymetrický tenzor 2. řádu má (pouze!) ve 3D stejný počet nezávislých nenulových složek jako vektor.


Doplněk 3



k kpq p ij ijkq kc a b C c


Doplněk 3




3 2

3 1

2 1

0

0

0

c c

C c c

c c


Doplněk 3




3 2

3 1

2 1

0

0

0

c c

C c c

c c

( )ij ijk k ijk kpq p q kij kpq p q ip jq iq jp p q

ip jq p q iq jp p q i j j i

C c a b a b a b

a b a b a b a b


Doplněk 3




3 2

3 1

2 1

0

0

0

c c

C c c

c c

( )ijk k ijk kpq p q kij kpq p q ip jq iq jp p q

ip jq p q iq jp p

ij

i iq j j

c a b a b a b

a b a b

C

a b a b


Doplněk 3



k kpq p q ij ijk kc a b C c

3 2

3 1

2 1

0

0

0

c c

C c c

c c

( )ij ijk k ijk kpq p q kij kpq p q ip jq iq jp p q

ip jq p q iq jp p q i j j i

C c a b a b a b

a b a b a b a b


Doplněk 3

Co je vektorový součin? transformační vlastnosti C

( )

ip jq pij i j j i ip jq p q jp iq q jq ip q pp q

ip jq p q q p ip jq pq

Q Q a bC a b a b Q Q a b Q Q a b

Q Q a b a b Q

a b

Q

Q Q

C


Doplněk 3


( )

ij i j j i ip jq p q ip jjp iq p q jq


ip q pq p qQ Q a b Q Q aC a b a b Q Q a b Q

Q Q a b a b Q Q C

a b bQ


Doplněk 3


( )

ij i j j i ip jq p q jp iq p q ip jq p q jq ip q p


C a b a b Q Q a b Q Q a b Q Q a b Q Q a b

Q Q a b a b Q Q C


Doplněk 3


( )

i j j i ip jq p q jp iq p q ip jq p q jq ip qi p

ip jq

j

p q ip jqq pqp

a b a b Q Q a b Q Q a b Q Q a b Q Q a b

Q Q a b a b

C

Q Q C


Doplněk 3


( )




Q Q a b a b Q Q C

inverze definice C

???ij ijk k kC c c


Doplněk 3


( )




Q Q a b a b Q Q C

inverze definice C

???ij ijk k kC c c

(3 ) 2 2( )ijp ij ijp ijk k jj pk pk pk k pk k pjk pj k cC c cc c


Doplněk 3


( )




Q Q a b a b Q Q C

inverze definice C

???ij ijk k kC c c

( ) 23 2( )ijp ij ijp ijk k pk jk pj k pk p k pk kj p kj c cC c c c


Doplněk 3


( )




Q Q a b a b Q Q C

inverze definice C

???ij ijk k kC c c

( ) (3 ) 2 2ijp ij ijp ijk k jj pk jk pj k pk pk k pk k pC c c c c c


Doplněk 3


( )




Q Q a b a b Q Q C

inverze definice C

???ij ijk k kC c c

( ) 2 2(3 )ijp ijk k jj pk jijp ij pk pj k pk pk k pk kc c c ccC

12k kij ijc C


Konec (definitivní).


Date post:	08-Nov-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	13 times
Download:	0 times

Algebra 3D vektorů nesnadně snadno - vsb.cz · 2017. 4. 18. · Algebra 3D vektorů nesnadně...

Documents