Analytické řešení bezmomentové střednice přesypaného mostu

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Fakulta stavební

Katedra betonových a zděných konstrukcí

Bakalářská práce

ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ BEZMOMENTOVÉ STŘEDNICE

PŘESYPANÉHO MOSTU

Centre-line optimization of buried arch bridges

Patricie Chrásková

Praha 2012

Vedoucí práce : Ing. Marek Foglar, Ph.D.

Studijní program : Stavební inženýrství

Studijní obor : Konstrukce a dopravní stavby

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem předloženou práci vypracovala samostatně a že jsem uvedla veškeré

použité informační zdroje v souladu s Metodickým pokynem o etické přípravě

vysokoškolských závěrečných prací.

Praha 11. května 2012

Patricie Chrásková

Poděkování

Děkuji vedoucímu této bakalářské práce Ing. Marku Foglarovi, Ph.D., za cenné rady,

ochotně věnovaný čas a podporu. Poděkování dále patří doc. Dr. Ing. Janu Pruškovi za pomoc

v oblasti geotechniky a Ing. Janu Sýkorovi, Ph.D., za rady při tvorbě grafického rozhraní

optimalizačního programu.

Abstrakt

Tato bakalářská práce se zabývá problematikou optimalizace střednice přesypaných

mostů. V první části je zpracováno teoretické pojednání o využití přesypaných mostů

v ekologickém stavitelství. Další kapitoly se věnují statickému působení těchto objektů a

možnostem materiálového řešení jejich nosné konstrukce.

Druhá část práce se zaměřuje na optimalizaci střednice přesypaných mostních

konstrukcí. Je zde odvozeno analytické řešení bezmomentové střednice, které je následně

algoritmizováno. V rámci práce byl ve výpočetním prostředí MATLAB vytvořen

optimalizační program. Na závěr je optimalizace aplikována na reálný objekt a je posouzena

z hlediska eliminace ohybových momentů působících na konstrukci.

Klíčová slova

Ekodukt

Přesypaný most

Zemní tlak

Bezmomentová střednice

Abstract

This bachelor’s thesis covers the topic of buried arch bridges. In the first part,

a theoretical overview of their application in ecological engineering is given, along with

chapters focused on the soil-structure interaction and the use of different building materials in

the field of buried bridges.

The objective of the second part of this work is to present methods of centre-line

optimization of buried arch bridges. Firstly, an analytical solution is derived, followed by

a numerical approach. A MATLAB program is created to solve the presented problem. In the

final part, the optimization is applied on a real structure and its effect is evaluated.

Keywords

Ecoduct

Buried arch bridge

Earth pressure

Optimized centre-line

Analytické řešení bezmomentové střednice přesypaného mostu

Obsah

7

Obsah

1. Úvod .................................................................................................................................... 9

2. Přesypané mosty v ekologickém stavitelství ..................................................................... 10

2.1 Ekologický dopad liniových staveb ....................................................................... 10

2.2 Migrační objekty ................................................................................................... 11

2.2.1 Podchody ................................................................................................... 12

2.2.2 Nadchody ................................................................................................... 13

2.3 Požadavky na ekodukty ......................................................................................... 14

2.4 Historie výstavby ekoduktů ................................................................................... 15

3. Statické působení přesypaných mostů ............................................................................... 16

3.1 Interakce se zeminou a zemní tlaky ....................................................................... 16

3.2 Vliv technologie provádění ................................................................................... 19

4. Materiálové řešení nosné konstrukce přesypaných mostů ................................................ 21

4.1 Betonové konstrukce ............................................................................................. 21

4.1.1 Prefabrikované konstrukce zmonolitňované na skruži .............................. 21

4.1.2 Prefabrikované konstrukce stavěné bez skruže ......................................... 23

4.1.3 Monolitické konstrukce ............................................................................. 28

4.2 Ocelové konstrukce ............................................................................................... 28

4.3 Dřevěné konstrukce ............................................................................................... 30

5. Odvození analytického řešení bezmomentové střednice přesypaného mostu ................... 31

5.1 Bez vlivu tření ....................................................................................................... 31

5.2 Vliv tření ................................................................................................................ 36

5.3 Řešení soustavy diferenciálních rovnic ................................................................. 37

6. Numerická optimalizace střednice přesypaného mostu .................................................... 38

6.1 Diskretizace geometrie .......................................................................................... 38

6.2 Zatížení .................................................................................................................. 40

6.2.1 Vlastní tíha ................................................................................................. 40

6.2.2 Ostatní zatížení .......................................................................................... 41

6.2.3 Svislý zemní tlak ........................................................................................ 41

6.2.4 Boční zemní tlak ........................................................................................ 43

6.3 Tření ...................................................................................................................... 44

6.4 Bezmomentová střednice ....................................................................................... 45

6.5 Optimalizační program .......................................................................................... 47


Obsah

8

7. Aplikace a posouzení optimalizace střednice přesypaného mostu .................................... 50

8. Závěr .................................................................................................................................. 54

9. Použitá literatura ................................................................................................................ 56

10. Seznam příloh .................................................................................................................... 59

A Výpis zdrojového kódu optimalizačního algoritmu .............................................. 60

B CD-ROM: Zdrojový kód optimalizačního programu

Elektronická verze práce


Úvod

9

1. Úvod

Výstavba klenbových mostů má velmi dlouhou historii, jedná se o jeden z nejstarších a

dlouhou dobu nejvyužívanějších typů mostních konstrukcí vůbec [1]. V dnešní době se

s přesypanými obloukovými mosty lze často setkat v ekologickém stavitelství v podobě

tzv. ekoduktů, které umožňují migraci zvěře i přes jinak nepřekonatelné liniové bariéry

(např. dálnice). Této problematice je věnována první teoretická část práce, kde je zdůrazněn

vliv dopravní infrastruktury na životní prostředí. Rovněž jsou zde nastíněny možnosti snížení

tohoto negativního dopadu, čemuž se v současnosti v rámci snahy o trvale udržitelný rozvoj

přikládá velký význam.

V dalších kapitolách jsou shrnuty teoretické poznatky o chování a navrhování

přesypaných objektů. Je zde pojednáno o jejich statickém působení a interakci se zeminou, dále

jsou představeny možnosti řešení těchto mostů z hlediska materiálu nosné konstrukce.

Hojné využití přesypaných mostů vede ke snaze zefektivnit jejich návrh po stránce

statické, což má ve výsledku dopad na celkovou ekonomickou výhodnost a trvanlivost objektu.

Cílem této práce je tedy řešení optimální, tzv. bezmomentové střednice přesypaného

obloukového mostu, jejíž tvar odpovídá výslednici definovaného zatížení. Veškeré účinky

zatížení se pak přenesou pouze tlakovou normálovou silou a na konstrukci nevznikají ohybové

momenty. Takový stav je pro betonové oblouky ideální. Eliminace nepříznivého namáhání

umožňuje návrh subtilnějších a méně vyztužených průřezů.

K řešení bezmomentové střednice přesypaného mostu je nejprve zvolen analytický

přístup. Je zde odvozena soustava diferenciálních rovnic popisující ideální tvar střednice

řešeného objektu. Následně je úloha převedena na numerický problém a hledání ideálního

tvaru střednice se algoritmizuje. V rámci této práce byl v programu MATLAB sepsán

optimalizační skript umožňující nalezení bezmomentového tvaru střednice přesypaného mostu.

Optimalizace je v závěrečné fázi aplikována na reálný objekt, který je následně posouzen

v programu GEO5. Tento geotechnický software umožňuje zohlednit interakci mezi konstrukcí

a okolním zeminovým prostředím.


Přesypané mosty v ekologickém stavitelství

10

2. Přesypané mosty v ekologickém stavitelství

Přesypané mosty mají široké uplatnění v ekologickém stavitelství v podobě

tzv. ekoduktů. Slovo ekodukt vzniklo spojením řeckého oikos (dům, v širším slova smyslu i

prostředí) a latinského duco (vést). Jedná se tedy o objekty, jejichž účelem je umožnit migraci

živočichů, a tím zachovat spojitost životního prostředí. Tato kapitola pojednává o základních

aspektech využití přesypaných mostů v ekologickém stavitelství.

2.1 Ekologický dopad liniových staveb

Mezi závažné dopady dopravy na životní prostředí patří bariérový efekt silnic a dálnic.

Liniový charakter dopravní infrastruktury představuje primární důvod fragmentace krajiny,

která je chápána jako rozpad původně spojitého prostředí na menší izolované celky. Tyto

segmenty ztrácejí vlastnosti původní lokality a mohou být pro přežívání živočišných populací

nedostatečné. Dotýká se to zejména druhů, které při malém počtu jedinců obývají rozsáhlá

území. Zneprůchodnění prostředí dopravní sítí přináší v globálním měřítku pokles biodiverzity

[2]. Míra fragmentace krajiny v Evropě (určená metodou „efektivní velikosti ok sítě“, hustší síť

představuje výraznější fragmentaci) je znázorněna na srovnávací mapě na Obr. 2.1.

Obr. 2.1 – Míra fragmentace krajiny v Evropě, [3]



11

Mezi primární ekologické dopady dopravních liniových staveb se vedle zmíněného

bariérového efektu řadí dle [2] i střety živočichů s vozidly, což má za následek nejen jejich

vysokou úmrtnost, ale i snížení bezpečnosti silničního provozu. Z tohoto hlediska lze i

technická opatření na komunikacích členit do dvou skupin (podle [4]) – opatření umožňující

migraci (migrační objekty) a opatření redukující mortalitu (oplocení a jiná řešení zabraňující či

ztěžující vstup na komunikaci).

První problém, tedy tvorba neprůchodné bariéry, se týká především komunikací

s vysokou intenzitou dopravy (více než 10 000 vozidel za den), protože takto silný provoz zvěř

od přebíhání odrazuje. Z toho důvodu je zde druhý zmíněný problém, tedy usmrcování zvěře,

jen nepatrný. Ten na významu naopak nabývá v případě komunikací s nízkou intenzitou

dopravy (méně než 1000 vozidel za den). Zvěř zde není dostatečně varována před přebíháním a

ke kolizi s vozidly dochází relativně velmi často. Tato kategorizace dopravní sítě je uvedena ve

studii [5].

Kromě celkové denní intenzity je ale dle [4] rozhodující i její rozložení v průběhu

24 hodin. Zvířata většinou migrují v noci, což poukazuje na velký bariérový efekt dálnic, které

jsou vytížené i v nočních hodinách. Málo využívané komunikace, kde je noční provoz

minimální, tedy takovou překážku netvoří.

Dle definice uvedené v zákonu o životním prostředí [6] je cílem trvale udržitelného

rozvoje zachovat rozmanitost přírody a přirozené funkce ekosystémů. V jeho kontextu je tedy

nutné respektovat potřebu zvěře migrovat a zachovat spojitost životního prostředí. Migrací se

zde dle [7] v širším smyslu rozumí nejen dálkové přesuny mimo původní území, ale i sezónní a

denní pohyby zvěře žijící v blízkém okolí komunikace, např. za potravou a úkrytem.

2.2 Migrační objekty

Migrační objekty jsou v [4] definovány jako objekty, které se buď primárně navrhují za

účelem migrace zvěře, nebo ji umožňují jako vedlejší efekt. Jejich cílem je tedy snížení

dělícího účinku komunikace. Vhodné řešení by mělo vzejít ze spolupráce ekologa a

projektanta, aby se správně zohlednila biotická i technická stránka návrhu.

Možností, jak bezpečně převést živočichy přes komunikaci, je několik. Podle

charakteru křížení migrační cesty a komunikace můžeme tyto objekty rozdělit na podchody a

nadchody.



12

2.2.1 Podchody

Jako podchody slouží veškeré objekty, které umožňují průchod živočichů pod úrovní

dopravy. Základní rozdělení a charakteristika podchodů je dle [4] následující:

propustek trubní,

propustek rámový,

most víceúčelový (kombinované využití),

most speciální (pro migraci),

most velký, délky nad 100 m.

Propustky, ať už trubní nebo rámové, jsou buď primárně navrhovány pro převedení

vody (a průchod živočichů je tedy jen vedlejší funkce), nebo pro migraci. Podle druhu zvěře

migrující daným profilem je nutné volit vhodné rozměry a úpravy propustků (např. vhodný

pokryv dna).

Víceúčelové mosty přemosťují buď vodní tok, nebo komunikaci. První případ je

příznivý z hlediska přírodního charakteru přemosťované překážky, což samo o sobě napomáhá

migraci. V případě přemostění komunikace může mít doprava rušivý efekt, pro migraci širšího

spektra živočišných druhů se tedy hodí pouze přemostění lesních a polních cest.

Speciální mosty jsou stavěny výhradně za účelem migrace živočichů a jinou funkci

neplní. Hodí se zejména v kopcovité krajině a u komunikací vedených v dlouhém náspu, viz

Obr. 2.2.

V obou předchozích případech, tedy pro mosty speciální i víceúčelové, je vhodné volit

z konstrukčního hlediska most přesypaný. Takový objekt redukuje oproti přímo pojížděné

konstrukci hlučnost. Dále je požadováno, aby alespoň část plochy pod mostem byla

nezpevněná. Příznivě působí i umístění protihlukových stěn na pozemní komunikaci, které

snižují vliv dopravy nejen z hlediska hluku, ale i osvětlení.

Velké mosty přemosťující údolí jsou vhodné migrační podchody, protože samotným

údolím zpravidla vede původní migrační trasa. Je žádoucí pod takovým mostem zachovat

přirozený ráz krajiny. Tyto objekty využívá větší množství druhů zvěře a jsou vhodným

propojením biotopů.

U všech podchodů určených pro migraci je vhodné provést v jejich okolí vegetační

úpravy tak, aby se docílilo přírodního vzhledu a zvěř nebyla odrazována vlivem dopravy.



13

Obr. 2.2 – Přesypaný migrační podchod u obce Krásný Les, dálnice D8, [8]

2.2.2 Nadchody

Nadchody umožňují přechod živočichů nad úrovní dopravy, [4] je rozděluje a

charakterizuje takto:

most víceúčelový (kombinované využití),

most speciální (pro migraci),

tunel.

Víceúčelové mosty jsou navrhovány pro převedení např. polní nebo lesní cesty. Při

vhodné úpravě mohou být takové objekty využívány zvěří k migraci, což je ekonomicky

výhodné řešení. Je ovšem nutné dodržet alespoň základní požadavky pro přechod živočichů,

jako je potřebná šířka, nezpevněný přirozený povrch a osázení vegetací.

Obr. 2.3 – Ekodukt přes dálnici D11, úsek Chýšť – Osičky, [8]



14

Speciální mosty (Obr. 2.3) se navrhují pouze za účelem zprůchodnění liniové bariéry.

Umožňují migraci i těm nejnáročnějším druhům velkých savců. Budují se převážně přes

víceproudé, intenzivně zatížené komunikace, tedy dálnice a rychlostní silnice.

Vede-li trasa komunikace tunelem, ať už raženým nebo hloubeným, lze ho považovat

za migrační nadchod.

2.3 Požadavky na ekodukty

Jak již bylo řečeno, při návrhu ekoduktu je třeba spolupracovat s ekologem, aby bylo

dosaženo jeho maximálního využití. Zásadní problém je efektivní umístění objektu, a to i

s ohledem na územní plán lokality. Měl by být situován na přirozené migrační stezce nebo

v její blízkosti; z hlediska budoucích plánů využití území je důležité, aby okolí ekoduktu

zůstalo nezastavěné, čímž si zachová svůj migrační potenciál. Pro správnou funkci migračního

objektu je klíčové i rozměrové uspořádání, které úzce souvisí s druhem zvěře migrujícím

navrhovaným profilem. Při poddimenzování šířky mostu hrozí, že nebude zvěří využíván.

Samozřejmostí migračních nadchodů je obnovená vegetace na povrchu, z čehož ve

výsledku vyplývá i jejich esteticky vhodné začlenění do krajiny. Vegetační porost je pro zvěř

zásadní, neboť vytváří přirozenou cestu. Správně navržený ekodukt je pak hojně využíván, jak

dokazují mnohé provedené studie (výsledky jsou uvedeny např. v [9]).

Nutné terénní a vegetační úpravy povrchu a okolí mostního objektu ukazují, proč jsou

nejvýhodnějším konstrukčním řešením mosty přesypané. I přesto přináší vegetační vrstva

několik problémů, které je třeba na úrovni návrhu řešit. Složení zásypu mostu musí vytvořit

vhodné půdní poměry umožňující vegetaci přežít ze srážkové vody, neboť zde není propojení

s vodou podzemní. Dále je třeba zamezit narušování konstrukce prorůstáním kořenů. Nosnou

konstrukci je pochopitelně potřeba chránit i před účinky vody prosakující zeminou z povrchu

pomocí hydroizolace (podle typu konstrukce se používá buď celoplošná, nebo pouze izolace

spár).

Důležitým vybavením mostu je oplocení, které je možné skombinovat s ochranou proti

hluku a osvětlení, například použitím vysokých dřevěných stěn, viz Obr. 2.4 A. Tyto bariéry je

vhodné navázat na oplocení pokračující podél komunikace. Ochrana proti světlu a optickému

kontaktu se dá rovněž realizovat pomocí dostatečné vegetace, zvláště u širších objektů (Obr.

2.4 B). Minimalizace těchto rušivých vlivů příznivě ovlivňuje využívání ekoduktu. Nezbytné je



15

rovněž správné navedení zvěře na most, například pomocí zmíněného oplocení, ideálně však

opět pomocí keřů a jiné vegetace.

Obr. 2.4 – Dřevěné stěny a vegetace: ekodukt Voleč, dálnice D11 (A, [10]); vizualizace mostu ve Slivenci (B, [8])

2.4 Historie výstavby ekoduktů

Vývoj projektování ekologických mostů je popsán v [11]. První ekodukty vznikaly

zejména ve Francii, Rakousku a Německu již na přelomu šedesátých a sedmdesátých let

(tzv. první generace migračních přechodů byla budována v letech 1965 až 1975). Nevhodné

umisťování a dispoziční řešení mnohdy vedly k jejich malému využívání. Postupem času se ale

nasbíral dostatek zkušeností pro efektivnější realizaci, co se týče lokalizace i prostorových

parametrů, a zároveň se zvýšila znalost chování zvěře. Již druhá generace realizovaná mezi lety

1975 a 1995 přinesla jistý pokrok, stále ovšem nedosahovala odpovídající účinnosti.

Od poloviny devadesátých let se již dá hovořit o vhodně navrhovaných, prostorově

dostatečných konstrukcích, splňujících technické i estetické požadavky, které spadají do

tzv. třetí generace.


Statické působení přesypaných mostů

16

3. Statické působení přesypaných mostů

Chování přesypaných mostů závisí na tvaru konstrukce a míře spolupůsobení se

zeminou násypu. Z hlediska tvaru lze klasifikovat konstrukce rámové a obloukové; rámy i

oblouky mohou být otevřené či uzavřené. Na základě interakce se zeminou se rozlišují

konstrukce působící samostatně, kde násyp působí pouze jako zatížení, a konstrukce se

zeminou spolupůsobící [12]. V druhém případě dochází vlivem interakce objektu s násypem

k příznivé redistribuci sil vedoucí ke snížení účinků na konstrukci. Únosnost těchto objektů je

bez správně provedeného zásypu omezená.

Masivní klenbové konstrukce s násypem působícím pouze jako zatížení byly

v minulosti hojně využívány, patří k nejstarším typům mostních konstrukcí vůbec.

V současnosti se často navrhují moderní tenkostěnné konstrukce spolupůsobící s násypem.

Charakter interakce se zeminou a vliv technologie provádění přesypaných objektů jsou

probrány v této kapitole.

3.1 Interakce se zeminou a zemní tlaky

Dle ČSN 73 0037 [13] lze stanovit velikost a rozdělení zemního tlaku na konstrukci

početně, graficky, numerickým modelováním nebo experimentálně. Při výpočtu zatížení

zemním tlakem je určující stlačitelnost násypu a podloží, tuhost konstrukce a poměr výšky

násypu nad vrcholem klenby k šířce konstrukce. Je-li nadloží objektu větší než jeho šířka,

svislé zatížení se uvažuje jeho plnou tíhou. V opačném případě lze zatížení redukovat díky

vzniku klenbového efektu v zemině.

Při návrhu přesypané tenkostěnné klenby je třeba brát v úvahu fázi výstavby, kdy je

konstrukce postupně po vrstvách zasypávána. V každém stavebním stádiu se mění zatížení,

vnitřní síly a deformace konstrukce, což ovlivňuje i napětí v zemině.

Zemní tlak i průběh vnitřních sil v konstrukci se mění v závislosti na výšce zásypu. Při

zasypávání po úroveň vrcholu klenby se střednice deformuje směrem dovnitř, čímž dochází

k expanzi zeminy. Obecně se podle [14] v této fázi uvažuje působení zvýšeného aktivního

tlaku, nepředpokládá se tedy, že by byly deformace dostatečné pro vznik smykové plochy.

Přibližně se pro boční tlak udává hodnota

, (3.1)



17

kde Ka, resp. K0 jsou koeficienty aktivního bočního tlaku, resp. bočního tlaku v klidu. Svislé

geostatické napětí se určí v závislosti na objemové tíze zeminy zásypu γ a jeho výšce h,

. (3.2)

Hodnotu zvýšeného aktivního bočního tlaku lze iteračně zpřesňovat s ohledem na vypočtené

deformace konstrukce. Mezi koeficientem bočního tlaku a přetvořením konstrukce platí

závislost patrná z grafu na Obr. 3.1.

Obr. 3.1 – Koeficient bočního tlaku a jeho závislost na deformaci, [15]

V druhé fázi, kdy se provádí násyp nad vrcholem klenby, mění deformace svůj

charakter. Boční část konstrukce je vlivem přitížení vrcholu zatlačována zpět do zeminy,

ve které tím pádem dochází ke kompresi. Stlačení zeminy vyvolá snížený pasivní tlak, mezního

pasivního tlaku opět dle [14] dosaženo není.

Po dokončení výstavby se postupně dospěje k rovnovážnému stavu mezi konstrukcí a

násypem; poté se již dá hovořit o působení zemního bočního tlaku v klidu.

Série následujících obrázků ukazuje proměnnost deformací konstrukce a ohybových

momentů v průběhu provádění zásypu. V první části Obr. 3.2 jsou znázorněny čtyři vybrané

fáze, pro které budou dále vykresleny průběhy deformací a ohybových momentů. Přesypávka

v jednotlivých fázích odpovídá následujícím úrovním:

I. – boční zásyp do výšky jedné třetiny vzepětí oblouku,

II. – boční zásyp do výšky dvou třetin vzepětí oblouku,

III. – boční zásyp po vrchol klenby,

IV. – násyp nad vrcholem klenby (definitivní stav).

V druhé části Obr. 3.2 jsou naznačeny zemní tlaky působící na konstrukci v jednotlivých

stádiích.



18

Deformace jsou vyneseny na Obr. 3.3, průběh ohybových momentů na Obr. 3.4.

V obou případech je v části A příslušného obrázku vykreslen pouze vliv zatížení zeminou,

v části B je pak uvažována i vlastní tíha konstrukce.

Obr. 3.2 – Fáze zásypu (A) a působící zemní tlaky (B)

Obr. 3.3 – Průběh deformací – pouze od zatížení zeminou (A), včetně vlastní tíhy (B)



19

Obr. 3.4 – Průběh ohybových momentů – pouze od zatížení zeminou (A), včetně vlastní tíhy (B)

Je patrné, že ve stavebních stádiích jsou tažena opačná vlákna než ve stádiu

definitivním. Výztuž oblouku je tedy potřeba navrhnout u obou povrchů tak, aby přenesla

tahová napětí ve všech fázích provádění a životnosti konstrukce.

3.2 Vliv technologie provádění

Velikost zemních tlaků v průběhu výstavby je výrazně ovlivněna hutněním, které

jednotlivé vrstvy zeminy přitěžuje. Při výpočtu zemních tlaků je tedy třeba zohlednit jeho

intenzitu. Svislý tlak a rozměry hutnícího stroje určují, do jaké hloubky se bude vliv hutnění

projevovat [16].

Řádné zhutnění je u tenkostěnných konstrukcí nezbytné, neboť zajišťuje dosažení

požadované interakce zeminy a konstrukce, což má vliv na výslednou únosnost mostu. Při

hutnění dochází vlivem přibližování a vzájemného zakliňování částic zeminy ke zlepšení jejích

charakteristických vlastností, jako je smyková pevnost a únosnost. Navíc dochází ke snížení

stlačitelnosti a propustnosti.

Hutnění se provádí po vrstvách, symetricky z obou stran oblouku. Na nesymetrický

průběh zásypu jsou citlivé zejména velmi flexibilní ocelové konstrukce, výraznější odchylky

by ale vedly k problémům i u konstrukcí betonových. Při stavbě prefabrikované konstrukce je

třeba řídit se pokyny výrobce, který specifikuje maximální možné tloušťky vrstev a vhodné

hutnící mechanizmy. Dodržení technologických postupů zvláště v této kritické fázi je nezbytné

pro správnou funkci objektu.



20

Kvůli složitému působení zemních tlaků a vlivu hutnění se jedná o analyticky obtížnou

úlohu, při řešení přesypaných klenbových konstrukcí se tedy často využívá numerického

modelování metodou konečných prvků (případně jinou numerickou metodou). Pro popsání

mechanického chování zeminy se používají různé materiálové modely, např. elastoplastický

model Drucker-Prager nebo model Hardening Soil. Studie ukazují (viz [15]), že tyto postupy

dobře simulují skutečné chování konstrukcí.

Ve snaze snížit namáhání konstrukce v průběhu výstavby lze provádět zásyp a hutnění

za stálého podskružení, což je ale ve většině případů nereálné. Další možností je podle [17]

např. změna průběhu zásypu, kdy se v předem určené fázi přitíží vrchol klenby tak, aby došlo

k redukci ohybových momentů od bočního tlaku.


Materiálové řešení nosné konstrukce přesypaných mostů

21

4. Materiálové řešení nosné konstrukce přesypaných

mostů

V této kapitole jsou krátce představeny možnosti využití jednotlivých materiálů pro

stavbu přesypaných mostních konstrukcí. Tyto objekty se dají realizovat ze všech běžných

stavebních materiálů, tedy z betonu a oceli (případně z jiných kovů, například z hliníku),

výjimečně i ze dřeva.

4.1 Betonové konstrukce

Betonové přesypané mosty se zřizují jak monolitické, tak prefabrikované. V dnešní

době se používají prefabrikáty stavěné bez skruže, na rozdíl od původních konstrukcí

zmonolitňovaných na skruži.

4.1.1 Prefabrikované konstrukce zmonolitňované na skruži

Nejstarším typem betonové tenkostěnné přesypané konstrukce je most sestavený

z rovinných prefabrikátů, které se na skruži zmonolitňovaly ve styčných přímkách. Příčný řez

tedy tvořila lomená čára, kvůli níž byla konstrukce někdy označována jako polygonový most.

Na začátku šedesátých let navrhl takovou tenkostěnnou konstrukci švýcarský inženýr

Dr. Werner Heierli; z německého označení Beton-Bogen (tedy betonový oblouk) se pro jeho

systém ujal název BEBO. Vzhledem k tomu, že řada těchto objektů měla být vystavěna na

švýcarské dálnici, vyžádala si vláda pro ověření funkčnosti zatěžovací zkoušky na konstrukci

reálných rozměrů (Obr. 4.1). Po úspěšném odzkoušení v letech 1965/66 byly ve Švýcarsku

postaveny první konstrukce BEBO. Další testování dále probíhalo v Německu a v Americe. Na

Obr. 4.2 je zdokumentován jeden z prvních komerčně užívaných mostů po jeho instalaci

v letech 1966/67 a dnes. Konstrukce je dle výrobce [18] stále funkční a v dobrém stavu.

Obr. 4.1 – Zatěžovací zkoušky: ve Švýcarsku (Zürich), 1965/66 (A); v Německu (Recklinghausen), 1973 (B), [18]



22

Obr. 4.2 – První komerčně postavený most BEBO, Zürich, po dokončení v roce 1967 (A) a nyní (B), [18]

U nás se technologie betonových tenkostěnných kleneb začala rozvíjet

koncem sedmdesátých let minulého století. V době, kdy zde vlivem modernizace silniční sítě

rostla poptávka po přesypaných mostech, nabídla někdejší společnost Stavby silnic a železnic

(dnešní Eurovia) konstrukci typu BEBO pod označením TOM 1 (TOM = tenkostěnný

obloukový most) viz Obr. 4.3.

Obr. 4.3 – TOM 1: pohled na vnitřek klenby, u Jirkova (A, [12]); příčný řez konstrukcí na přeložce trati Chodov –

Sokolov (B, [1])

Po realizaci několika objektů tohoto typu byly rozvoj i užívání této technologie u nás

pozastaveny. Paradoxně byl dle [19] na vině subtilní charakter konstrukce a z něj plynoucí

ekonomická výhodnost návrhu, neboť úspěšnost stavebních podniků tehdejší systém

socialistického ekonomického plánování posuzoval podle množství vyrobeného betonu a

prostavěného finančního objemu.



23

4.1.2 Prefabrikované konstrukce stavěné bez skruže

Řada evropských i světových firem nabízí prefabrikáty určené k montování bez

podskružení. I česká společnost Stavby silnic a železnic uvedla v roce 1996 na trh systém

TOM 2, navazující na předchozí koncept TOM 1; v nabídce jej má i dnešní Eurovia.

Systém klenbové konstrukce TOM 2 [20] nabízí širokou řadu různých profilů (Obr.

4.6), uplatnění tedy najde u úzkých podchodů (typy S0, S1), pro převedení menších vodotečí

(typy S1, S2), jako inundační mosty (typy S2, S3, Sd ve variantě vícenásobných tubusů

s použitím středních stojek), širší profily lze uplatnit pro přemostění silnic (typ S3 pro kategorii

S 9,5, typ Sd lze použít pro silnice až do kategorie S 11,5) i dálnic (sdružený tubus typu Sd

přemostí dálnici D 26,5). Klenbové a opěrové dílce konstrukcí typu S2, S3 a Sd lze navíc

navzájem kombinovat, čímž se dále rozšiřuje škála standardně nabízených profilů. Šířkové a

výškové parametry jednotlivých profilů jsou uspořádány v tabulce na Obr. 4.5.

Z nákresů na Obr. 4.6 je patrné, že libovolně dlouhý tubus sestává ze segmentů

skladebné délky 2,2 m (1,5 m pro typ S0), které tvoří několik betonových dílců. Tyto dílce jsou

samonosné a skládají se nasucho, což zaručuje velkou rychlost výstavby, Obr. 4.4.

Podobný systém pod označením SKA-POK nabízí rovněž společnost Skanska.

Obr. 4.4 – TOM 2 Sd v průběhu výstavby, [20]

Obr. 4.5 – Rozměry základních typů konstrukcí TOM 2, [20]



24

Obr. 4.6 – Kompletní nabídku profilů TOM 2, [20]



25

Švýcarská společnost BEBO Arch International rovněž pokračuje s vývojem

tenkostěnných betonových kleneb a v současnosti nabízí širokou škálu prefabrikovaných

výrobků s rozpětím překračujícím 31 m. Podle tvaru střednice řadí oblouky do sérií

označovaných jako E (eliptická střednice), C (kružnicová střednice) a T (plochý oblouk,

nejnovější typ konstrukce), Obr. 4.9. Oblouková část segmentu řady E a T může být

v závislosti na rozpětí tvořena buď jedním samotným dílcem, nebo dvojicí prvků, které jsou

v koruně spojeny patentovaným monolitickým spojem (Obr. 4.7), který nevyžaduje bednění

[18]. Výstavba je opět rychlá a jednoduchá, tak jako u ostatních prefabrikovaných systémů.

Obr. 4.7 – Monolitický spoj v koruně: konstrukce mostu Brookside v Utahu (A, [22]); celkový letecký pohled na

průběh výstavby konstrukce BEBO (B, [18])

Na trhu je samozřejmě mnoho dalších systémů, jako například Matière, Obr. 4.8 (firma

založená roku 1932, systém přesypaných obloukových mostů má v nabídce od roku 1983)

nebo Con-Span.

Obr. 4.8 – Výstavba třech mostů na pražském okruhu za použití systému Matière, [21]



26

Obr. 4.9 – Kompletní nabídka profilů BEBO, [18]



27

Každý systém nabízí kromě základních segmentů tubusu i prvky ukončovací (různě

tvarovaná křídla, která lze libovolně kombinovat, případně i prefabrikovaná čela). Na Obr. 4.10

jsou vidět některá možná ukončení tubusu mostu TOM 2, na Obr. 4.11 A jsou znázorněny

prvky systému ConSpan. Zakončení ale lze řešit i nesystémově, například pomocí vyztužené

zeminy, jak je vidět na Obr. 4.11 B.

Obr. 4.10 – TOM 2, ukončení tubusu, [20]

Obr. 4.11 – Con-Span: prefabrikované dílce (A); použití vyztužené zeminy (B), [23]

Profil systému Con-Span je se svými přímými stojkami a vrchním klenbovým dílcem

jakýmsi přechodem mezi obloukem a rámem. Čistě rámové prefabrikáty najdeme například

v nabídce společnosti Matière pod označením Opticadre (Obr. 4.12).

Alternativou k výrobkům primárně určeným pro stavbu přesypaných konstrukcí mohou

být i klasické mostní nosníky (například předpjaté nosníky T93 nebo Petra z nabídky

společnosti Eurovia). V takovém případě je nutné vhodně vyřešit detail uložení nosníku (lze

navrhnout ozub nebo řádně odizolovat ložisko). Předchozí klenbové prefabrikáty se obejdou



28

bez ložiska, což výrazně snižuje náklady na jejich údržbu. Dále je potřeba zvážit ostatní

nevýhody plynoucí z charakteru rámového profilu. Uplatnění může taková konstrukce nalézt

v případě nutnosti velmi rychlé výstavby za minimálního omezení provozu na stávající

přemosťované komunikaci.

Obr. 4.12 – Systém Matière Opticadre, [24]

4.1.3 Monolitické konstrukce

Tenkostěnnou konstrukci přesypaného mostu lze rovněž realizovat jako monolitickou

(Obr. 4.13). Přínos takového řešení spočívá především v možnosti optimalizace konstrukce pro

dané podmínky a návrhu libovolného rozpětí i vzepětí. Naproti tomu zde chybí klasické

výhody prefabrikace, jako je rychlost výstavby, nižší pracnost a vysoká kvalita výroby.

Obr. 4.13 – Příklad monolitické konstrukce ekoduktu na dálnici D47, [25]

4.2 Ocelové konstrukce

Nejstarší tenkostěnné ocelové konstrukce byly vyráběny z kovových spirálových trub

(tento systém byl patentován již v roce 1886 Jamesem H. Watsonem [26]). Ty se i nadále

používají pro menší objekty (propustky) a figurují v nabídce mnohých výrobců

(např. Tubosider, ViaCon).

Mosty větších rozpětí se vyrábí z dílců vlnitého plechu, které se na staveništi smontují

do finálního příčného řezu (Obr. 4.15 A). Pro výstavbu ekoduktů se tyto flexibilní ocelové

konstrukce používají od konce osmdesátých let minulého století. Obě již zmíněné společnosti,



29

mimo jiné, taková řešení nabízí. Uplatnění těchto konstrukcí je opět široké, dodávaná rozpětí

jsou například u systému SuperCor dostatečná i pro dálniční nadchody, jak je vidět na Obr.

4.14.

Obr. 4.14 – Ekodukt na polské dálnici A2 s ocelovou konstrukcí SuperCor, [27]

U ocelových přesypaných konstrukcí je nutné ztužení tubusu v oblasti čela (Obr.

4.15 B), a to buď monolitickým železobetonovým límcem, nebo pomocí systémového

betonového prefabrikátu.

Obr. 4.15 – Montáž ocelového tubusu SuperCor (A, [28]), ztužení konce tubusu, polská dálnice A2 (B, [27])

Mezi specifika ocelových konstrukcí patří nepochybně protikorozní opatření. Typicky

jsou výrobky dodávány s ochrannou vrstvou galvanického pozinku. Další možností je

epoxidový nátěr, případně se dají obě řešení kombinovat. Výrobci konstrukcí z vlnitého plechu

zaručují dostatečně vysokou životnost (minimálně 100 let), [28].



30

4.3 Dřevěné konstrukce

Novým řešením je výstavba přesypané konstrukce ze dřeva. V roce 2008 realizovala

firma SMP CZ takový most z obloukových lepených lamelových nosníků (Obr. 4.16) na

slovenské dálnici D1. Návrh získal cenu ČKAIT 2010.

Zásadním problémem provedení přesypané konstrukce ze dřeva je dostatečná izolace.

V případě zmíněného slovenského ekoduktu byly použity dva nezávislé izolační systémy,

z asfaltových pásů a měkčeného PVC, viz Obr. 4.17.

Obr. 4.16 – Dřevěný ekodukt na slovenské dálnici D1, [29]

Obr. 4.17 – Dvouvrstvá hydroizolace: asfaltové pásy (A) a měkčené PVC (B), [29]


Odvození analytického řešení bezmomentové střednice přesypaného mostu

31

5. Odvození analytického řešení bezmomentové střednice

přesypaného mostu

V následující kapitole je odvozeno analytické řešení bezmomentové střednice

přesypaného mostu. Při hledání optimálního tvaru oblouku se vychází ze skutečnosti, že na

konstrukci nepůsobí žádné ohybové momenty, pakliže je normálová síla v každém bodě

v rovnováze s působícím zatížením. V takovém případě se tedy veškeré účinky zatížení

přenesou pouze osovou tlakovou silou. Tento způsob namáhání je pro betonové konstrukce

ideální; eliminace ohybových momentů umožňuje návrh subtilnějších, méně vyztužených

průřezů.

Bezmomentový tvar konstrukce odpovídá finálnímu stádiu po jejím dokončení, kdy je

již realizován celý nadnásyp. Jednotlivé fáze výstavby, tak jak byly popsány ve třetí kapitole,

zde nejsou zohledněny, tuto problematiku je nutno řešit samostatně. Při návrhu by např. bylo

možné uvažovat postupy snižující namáhání nedokončeného objektu (tyto metody byly rovněž

zmíněny ve třetí kapitole) nebo konstrukci nadimenzovat i na dočasný způsob zatěžování.

5.1 Bez vlivu tření

V první části je odvozeno analytické řešení bezmomentové střednice pro případ, kdy je

zanedbán vliv tření zeminy o konstrukci.

Objekt je charakterizován svým rozpětím L a vzepětím z0. Pro zjednodušení se zde

uvažuje vodorovný povrch násypu s mocností h0 nad vrcholem klenby. Globální rovinný

souřadný systém je umístěn do vrcholu, svislá osa je orientována dolů, jak je patrné z Obr. 5.1.

Libovolný bod konstrukce je popsán dvojicí souřadnic (x, z). Problém je tedy řešen jako

rovinná úloha, kde se veškeré zatížení a vnitřní síly uvažují na běžný metr šířky objektu.

Působící zatížení lze rozdělit na svislé a vodorovné, Obr. 5.1. Hlavní složkou zatížení

svislého je zemní tlak p(x) vyvolaný zeminou násypu s objemovou hmotností γ. Tento tlak má

dvě části, první odpovídá nadnásypu nad vrcholem oblouku s konstantní mocností h0, druhá je

v každém bodě dána výškou zásypu z po úroveň vrcholu,

. (5.1)

Vlastní tíhu konstrukce a případné přitížení povrchu (např. vozovkovým souvrstvím)

lze zohlednit navýšením hodnoty h0 na obecnou hodnotu h tak, aby bylo dosaženo



32

odpovídajících účinků zatížení. Touto úpravou se zároveň zachová jednoduchost výsledných

rovnic analytického řešení, nevystupuje zde samostatný člen pro každý typ zatížení. Rovnici

(5.1) tedy potom lze zapsat ve tvaru

. (5.2)

Přenásobením svislého zatížení koeficientem bočního tlaku K se získá vodorovné

zatížení konstrukce. Jeho hodnota by měla být odvozena pouze ze svislého tlaku od samotné

zeminy a přitížení povrchu, bez vlivu vlastní tíhy konstrukce, která zemní boční tlak nemění.

Pro zpřehlednění zápisu v tomto modelovém odvození ale bude zachována jednotná symbolika,

jak je patrné z Obr. 5.1. Při přesném výpočtu by bylo potřeba důsledně zohlednit všechny

vlivy.

Obr. 5.1 – Geometrie a zatížení konstrukce

Z Obr. 5.2, kde je naznačené rozdělení konstrukce na konečný počet dílků délky Δx, je

patrný vztah

. (5.3)

Pro dostatečně malé Δx platí

, (5.4)



33

kde je diferenciál funkce,

. (5.5)

Na Obr. 5.2 je dále vidět, že na každém dílku dochází ke změně svislého tlaku o

hodnotu Δp, boční tlak se mění o Δs. Nahrazením spojitého zatížení odpovídajícím břemenem

lze vliv změny Δp, resp. Δs na výslednou sílu vyjádřit takto:

, (5.6)

. (5.7)

Obr. 5.2 – Konečně rozměrný dílek konstrukce a působící zatížení

Po převedení předchozích úvah na případ nekonečně malých dílků přejde konečná

hodnota Δx na infinitezimální úsek dx a platí tato tvrzení:

, (5.8)

, (5.9)

. (5.10)

Tímto limitním přechodem se ze sečného úhlu α (Obr. 5.2) dostane úhel tečný (Obr. 5.3).



34

Změna svislého, resp. vodorovného bočního tlaku o hodnotu dp, resp. ds vyvolá dle

vztahů (5.6), resp. (5.7) rozdíl ve výsledné síle o hodnotě

, (5.11)

. (5.12)

Je zřejmé, že násobek dvou nekonečně malých hodnot , resp. lze zanedbat, proto

zatížení na infinitezimálním dílku bude dále uvažováno pouze konstantní hodnotou, tak jak je

uvedeno na Obr. 5.3.

Obr. 5.3 – Nekonečně rozměrný dílek konstrukce, působící zatížení a vnitřní síly

Jak bylo řečeno v úvodu kapitoly, hledá se takový tvar střednice, pro který je působící

zatížení (na Obr. 5.3 reprezentováno silami P a S) v rovnováze s osovou vnitřní silou (N). Tuto

normálovou sílu lze rozložit do horizontálního a vertikálního směru na síly H a V, pro které

platí

, (5.13)

, (5.14)

. (5.15)

V rovnici (5.13) je přírůstek funkce H(x) vyjádřen jejím diferenciálem.



35

V tuto chvíli již lze vyjádřit podmínky rovnováhy na elementárním dílku konstrukce.

Ve směru osy x musí platit:

, (5.16)

po dosazení vztahu (5.13) a hodnoty S dle Obr. 5.3:

, (5.17)

, (5.18)

. (5.19)

Dále musí ve směru osy z platit vztah

. (5.20)

Jednotlivé členy lze s použitím výrazů (5.8), (5.9) a (5.13) až (5.15) rozepsat:

, (5.21)

, (5.22)

kde poslední výraz lze vzhledem k ostatním zanedbat. Dosazením zpět do rovnice (5.20) se

tedy dospěje k následujícímu výrazu

, (5.23)

, (5.24)

. (5.25)

Vztahy (5.19) a (5.25) tvoří hledanou soustavu rovnic. Lze v nich ještě vyjádřit zatížení p a

s tak, jak bylo definováno v závislosti na z (Obr. 5.1),

, (5.26)

. (5.27)

Řešením této soustavy je bezmomentový tvar střednice popsaný funkcí z(x) a průběh

vodorovné složky normálové síly H(x) v případě zanedbaného vlivu tření.



36

5.2 Vliv tření

V tomto odstavci se odvozené rovnice doplní o vliv tření zeminy o konstrukci. Třecí

síla je pro nekonečně malý dílek (Obr. 5.4) definována rovností

, (5.28)

kde f je součinitel tření. Nt je síla působící kolmo na střednici konstrukce, její hodnota se získá

vektorovým součtem sil P a S,

. (5.29)

Obr. 5.4 – Tření na infinitezimálním dílku

Třecí sílu T lze opět rozložit na složky působící ve směru souřadných os, síly P a S se

rozepíší dle jejich definice (Obr. 5.4),

, (5.30)

, (5.31)

kde je potřeba vhodným způsobem vyjádřit goniometrické funkce úhlu α. Za předpokladu

malých úhlů by bylo možné uvažovat

a , což by vedlo ke

zjednodušenému zápisu předchozích rovnic,



37

, (5.32)

. (5.33)

Takto vyjádřené složky třecí síly se doplní do podmínek rovnováhy (5.16) a (5.20) a

obdobnými úpravami jako v předchozím případě bez vlivu tření se dospěje k soustavě

diferenciálních rovnic

, (5.34)

. (5.35)

Je potřeba zvážit přesnost rovnic (5.34) a (5.35). V oblasti vrcholu klenby se jednotlivé

úhly α dají uvažovat jako malé a předchozí předpoklad je splněn. V blízkosti vetknutí ale úhly

nabývají výrazně větších hodnot (úhlové změny mezi jednotlivými infinitezimálními dílky jsou

stále malé, ale celkový sklon dílku α, se kterým se zde počítá, již nemá zanedbatelnou

velikost). Zde by tedy bylo vhodnější vyjádřit goniometrické funkce z poměrů v pravoúhlém

trojúhelníku.

5.3 Řešení soustavy diferenciálních rovnic

Analytické vyjádření bezmomentové střednice se získá vyřešením soustavy

diferenciálních rovnic (5.26) a (5.27) pro případ se zanedbaným třením, resp. soustavy rovnic

(5.34) a (5.35), pakliže je tření uvažováno. Obě uvedené soustavy jsou ovšem v uzavřeném

tvaru řešitelné jen pro velmi vhodně zvolené okrajové podmínky se zavedením některých

zjednodušujících předpokladů (např. nulové vodorovné zatížení, dle [17]). K řešení

bezmomentové střednice je tedy nutné zvolit numerický postup.


Numerická optimalizace střednice přesypaného mostu

38

6. Numerická optimalizace střednice přesypaného mostu

Komplexní problém optimalizace střednice přesypaného mostu se v předchozí kapitole

ukázal jako prakticky neřešitelný analytickým přístupem. Tato část práce se věnuje jeho

algoritmizaci, která převádí úlohu na numerický problém.

Součástí kapitoly je rovněž popis optimalizačního skriptu sepsaného v programu

MATLAB (výpis zdrojového kódu tvoří Přílohu A, m-soubory funkcí i skriptu jsou na CD

označeném jako Příloha B).

Úloha je opět řešená jako rovinný problém, veškeré zatížení i vypočtené síly se uvažují

na běžný metr šířky konstrukce.

6.1 Diskretizace geometrie

Při numerickém hledání ideálního tvaru střednice přesypaného mostu se vychází ze

zvolené počáteční geometrie. Je účelné vybrat výchozí tvar popsaný jednoduchou funkcí, jako

je například parabola druhého stupně s funkčním předpisem

. (6.1)

Označí-li se vzepětí paraboly z0 a rozpětí L, tak jako na Obr. 6.1, pak je střednice objektu

definována vztahem

. (6.2)

Obr. 6.1 – Parabola druhého stupně



39

Spojitou výchozí funkci (6.2) je nyní potřeba pro účely numerické optimalizace

diskretizovat. Střednice se rozdělí na úseky s konstantním průmětem do osy x, délka kroku je

označena jako Δx. Diskrétní body konstrukce jsou číslovány od nuly ve vrcholu po n ve

vetknutí, Obr. 6.2. Jednotlivé body jsou popsány souřadnicí xi a funkční pořadnicí ri, pro které

platí

, (6.3)

. (6.4)

Na obrázku je rovněž znázorněno číslování dílků – i-tý dílek je vymezen body i-1 a i. Každý

dílek má výšku zi, která se určí ze vztahu

. (6.5)

Obr. 6.2 – Diskretizace výchozí geometrie

Přechod z výchozí geometrie na její nespojitý popis zajistí v optimalizačním programu

funkce geometrie. Potřebné vstupy jsou vzepětí a rozpětí konstrukce, dále hodnota zmax.

Tato charakteristika říká, jaká má být výška posledního dílku zn. Podle zadané hodnoty zmax

funkce vypočítá délku kroku Δx, z toho dále určí počet kroků n. Specifikace maximální výšky

dílku zajistí, že i v oblasti vetknutí, kde je sklon střednice výraznější než ve vrcholu, budou

dílky relativně malé. Tím se zaručí dostatečná přesnost diskretizace.

Definovanou výchozí geometrii algoritmus iteračně upravuje tak, že mění jednotlivé

výšky dílků zi. Délka kroku Δx a základní předepsané geometrické parametry (vzepětí z0 a

rozpětí L) zůstávají zachovány.



40

U startovací paraboly i v každém dalším iteračním kroku je dále třeba pro účel výpočtu

zatížení a tření na dílku určit jeho délku, dli, která se dle Obr. 6.2 odvodí pomocí Pythagorovy

věty, tedy

. (6.6)

Tuto operaci provádí funkce delkadilku.

6.2 Zatížení

Konstrukce je zatížena ve svislém směru vlastní tíhou, zeminou násypu a ostatním

stálým zatížením (to může tvořit např. vozovka, je-li na mostě umožněn provoz). Ve

vodorovném směru na objekt působí boční zemní tlak.

6.2.1 Vlastní tíha

Pro výpočet vlastní tíhy v každém iteračním kroku je potřeba nejprve určit výšku

průřezu na daném dílku. V programu je uvažována konstrukce s lineárně proměnným

průběhem výšky průřezu b po délce střednice od hodnoty b0 ve vrcholu klenby po bmax v jejím

vetknutí. Funkce prurez určí střední hodnotu výšky b na jednotlivých dílcích. Zavádí se zde

nová souřadnici ξ, která určuje polohu na konstrukci měřenou po střednici, ne v průmětu do

osy (Obr. 6.3). Pro i-tý dílek platí

, (6.7)

. (6.8)

Zatížení vlastní tíhou pak z průměrné hodnoty bi vypočítá funkce vlastnitiha.

Výstupem je síla G0,i, která se získá jako náhradní břemeno za spojité zatížení působící na

délku dílku, viz Obr. 6.3.

, (6.9)

. (6.10)

Plošná tíha materiálu konstrukce γm se získá přenásobením objemové tíhy uvažovanou šířkou

1 m (řeší se rovinný problém na metr šířky konstrukce).



41

Obr. 6.3 – Vlastní tíha a ostatní zatížení

6.2.2 Ostatní zatížení

Mezi ostatní zatížení se řadí veškeré stálé rovnoměrné přitížení povrchu násypu

konstrukce. Jak již bylo uvedeno, může to být např. tíha vozovky. Funkce

ostatnizatizeni vypočítá svislou sílu Gost,i ze zadané hodnoty rovnoměrného liniového

zatížení gost (to se opět určí jako násobek plošného zatížení a šířky 1 m). Ostatní zatížení

působí na rozdíl od vlastní tíhy na průmět dílku (viz Obr. 6.3), náhradní břemeno se tedy

vypočítá jako

. (6.11)

6.2.3 Svislý zemní tlak

Svislý zemní tlak působící na konstrukci má dvě složky. Za prvé je to zatížení zeminou

zásypu po vrchol klenby, druhou složku tvoří zatížení zeminou nad úrovní vrcholu. První část

je proměnná v každém iteračním kroku podle příslušné geometrie klenby, tlak vyvolaný

nadnásypem je ovšem neměnný (poloha vrcholu je konstantní).

Nejprve se tedy pomocí funkce nasyp určí pro každý dílek střední hodnota výšky

terénu nad úrovní vrcholu označená hi. Na Obr. 6.4 je znázorněna situace, kde se předpokládá

průběh v daném střechovitém sklonu hs (zadaném v procentech) od definované výšky násypu

nad vrcholem klenby h0. Střední výška na dílku se tedy spočte ze vztahu

. (6.12)



42

Obr. 6.4 – Výpočet výšky násypu

Celkový svislý zemní tlak je v každém kroku iterace optimalizačního algoritmu určen

pomocí funkce zemina. Tato funkce nejdříve vypočítá celkovou výšku sloupce zeminy nad

dílkem, yi, jako součet výšky nadnásypu hi a výšky zásypu po vrchol podle Obr. 6.4, tedy

. (6.13)

Výstupem této funkce je svislý zemní tlak gn,i a odpovídající osamělá síla Gn,i,

, (6.14)

, (6.15)

kde γz je plošná tíha zeminy.

Je vhodné doplnit, že výška nadnásypu není orientována vůči hlavnímu souřadnému

systému, namísto souřadnice terénu se uvažuje reálná hodnota výšky. Pakliže je tedy násyp nad

úrovní vrcholu, hodnota výšky je kladná (ačkoliv orientovaná souřadnice povrchu by byla

v zavedeném globálním souřadném systému záporná).



43

6.2.4 Boční zemní tlak

Výpočet bočního zemního tlaku (a vyvozené vodorovné síly na dílek) provede funkce

bocnitlak. Tento tlak je v průběhu výstavby proměnný od zvýšeného aktivního po snížený

pasivní. Zde se ovšem uvažuje působení bočního tlaku v klidu, protože se střednice

optimalizuje pro situaci po dosažení rovnovážného stavu. Střední hodnota bočního tlaku na

dílku se určí na základě celkového svislého tlaku pi, což je součet střední hodnoty svislého

zemního tlaku gn,i a ostatního zatížení gost, které působí jako přitížení povrchu. Pro boční tlak

pak tedy platí

, (6.16)

kde K0 je koeficient bočního tlaku v klidu určený dle Terzaghiho,

, (6.17)

kde ν je Poissonovo číslo zeminy násypu.

Odpovídající vodorovná síla, kterou boční tlak zeminy na dílek vyvozuje, se vypočte

podle Obr. 6.5 jako náhradní břemeno spojitého zatížení působícího na výšku dílku,

. (6.18)

Obr. 6.5 – Boční zemní tlak



44

6.3 Tření

Třecí síla na dílku se pomocí funkce treni určí ze základního vztahu

, (6.19)

kde f je součinitel tření a Nt je síla působící ve směru normály oblouku v daném bodě, tedy

kolmo na uvažovaný elementární dílek. Její hodnota se určí jako součet příslušných složek sil

od svislého a bočního tlaku,

. (6.20)

Vektorový rozklad sil je patrný z Obr. 6.6, na kterém je znázorněn i složkový obrazec třecí síly.

Vertikální (Vt,i) a horizontální (Ht,i) složku tření lze tedy rozepsat jako

, (6.21)

(6.22)

Goniometrické funkce úhlu αi vycházejí z geometrických vztahů definovaných na Obr. 6.2,

, (6.23)

. (6.24)

Obr. 6.6 – Tření a rozklad sil



45

6.4 Bezmomentová střednice

Cílem optimalizačního algoritmu je nalézt takový tvar střednice, na kterém od

definovaného zatížení nevznikají ohybové momenty. Veškeré účinky zatížení se tedy přenesou

pouze tlakovou normálovou silou. Takový bezmomentový stav nastává, pakliže je dosaženo

rovnováhy mezi normálovou silou a působícím zatížením.

Obr. 6.7 rekapituluje všechny působící síly a zavádí vnitřní normálovou sílu N, kterou

lze rozložit na složky ve směru souřadných os.

Obr. 6.7 – Silová rovnováha

Z podmínky rovnováhy musí tedy ve svislém směru platit

, (6.25)

. (6.26)

Obdobně musí být splněna i rovnováha ve vodorovném směru,

, (6.27)

. (6.28)

V optimalizačním skriptu provede součet všech sil působících na dílek funkce sily.



46

V bezmomentovém stavu splňují síly definované rovnicemi (6.26) a (6.28) vztah

. (6.29)

V takovém případě totiž vzniká pouze normálová síla Ni.

Z geometrie na Obr. 6.7 lze tangentu úhlu αi definovat jako

. (6.30)

Dosazením tohoto vztahu do rovnice (6.29) se získá základní vztah optimalizace tvaru

střednice,

. (6.31)

Pro hodnoty vnitřních sil Vi a Hi vypočtené na základě zatížení odvozeného z výchozí

geometrie se tedy pomocí tohoto vztahu určí odpovídající výška dílku. Změna zi ovšem vyvolá

změnu zatížení, a tedy změnu vnitřních sil, pro které se opět hledá oprava výšky. Iteračně je

tato oprava prováděna až po dosažení shodné výšky každého i-tého dílku (se zvolenou

přesností) ve dvou po sobě jdoucích krocích iterace.

Jak je patrné z rovnic (6.26) a (6.28), vnitřní síly v daném bodě i se vždy určí na

základě sil v předchozím bodě i-1. Pro i = 1 je tedy potřeba znát hodnoty těchto sil v bodě 0.

Ve vrcholu je normálová síla rovnoběžná s osou x, působí zde tedy pouze vodorovná složka

H0; V0 je nulová. Vzhledem k předpokladu bezmomentového stavu zde jiná než tato osová

vnitřní síla nepůsobí. Síla H0 se v algoritmu určuje iteračně. Správné hodnoty je dosaženo ve

chvíli, kdy jsou splněny předepsané geometrické parametry, tedy rozpětí (které se ovšem

vzhledem k pevnému kroku Δx nemění) a vzepětí, dané součtem opravených výšek

jednotlivých dílků zi.

Výpočet opravené výšky dílku zi, včetně správného určení vrcholové síly H0, provádí

funkce oprava.



47

6.5 Optimalizační program

V předcházejícím textu byly popsány jednotlivé části algoritmu a odpovídající funkce,

zde je uveden celkový postup optimalizace.

Výchozím tvarem pro hledání bezmomentové střednice byla zvolena parabola druhého

stupně splňující uživatelem předepsané požadavky na rozpětí a vzepětí mostu. Program

umožňuje výpočet konstrukce s výškou průřezu proměnnou po délce střednice. Niveleta terénu

nad mostem se uvažuje ve střechovitém sklonu, jehož hodnotu je spolu s mocností násypu nad

vrcholem klenby možné zvolit. Předkládaná verze programu dovoluje výpočet pouze

konstrukce symetricky zatížené.

Pro výpočet ideálního tvaru střednice je nejprve nutné zadat všechny potřebné vstupy:

Geometrie:

z0 vzepětí [m]

L rozpětí [m]

zmax maximální možná výška dílku [m]

hs sklon povrchu násypu [%], může být nulový (vodorovný povrch)

h0 výška násypu nad vrcholem [m]

b0 výška průřezu ve vrcholu [m]

bmax výška průřezu ve vetknutí [m]

Materiálové charakteristiky:

γm plošná tíha materiálu konstrukce [kN/m2]

γz plošná tíha zeminy [kN/m2]

ν Poissonovo číslo zeminy [-]

f součinitel tření [-], může být nulový (zanedbává se vliv tření)

Ostatní:

gost ostatní rovnoměrné zatížení [kN/m], může být nulové (povrch bez

přitížení)

lim limitní hodnota pro ukončení iterace [m]

Vstupy lze v prostředí MATLAB zadat buď přímo do m-souboru skript, nebo přes

vytvořené grafické rozhraní (definované v souboru optimalizace), viz Obr. 7.1.



48

Optimalizační algoritmus pracuje ve třech fázích. Ze zadaných parametrů nejprve

vytvoří popis výchozí geometrie a určí střední výšku nadnásypu nad jednotlivými dílky. Pro

každý dílek rovněž spočítá působící sílu od ostatního zatížení.

Druhá fáze je samotný optimalizační cyklus. V každém kroku program určí délky

jednotlivých dílků, z toho vypočítá střední výšky průřezu a síly od zatížení vlastní tíhou. Dále

vyhodnotí pro příslušnou geometrii síly vyvolané zemním tlakem ve svislém i vodorovném

směru a určí složky třecí síly. Na základě zjištěných sil najde příslušnou opravu výšky dílku

podle rovnice (6.31), tato opravená hodnota je ve skriptu značená jako zopr. Celý cyklus se

opakuje, dokud rozdíl mezi každou i-tou opravenou hodnotou zopr a předchozí hodnotou z na

témže dílku i není menší než zadaná mezní hodnota lim (což je dostatečně malé číslo určující

přesnost řešení). Druhou omezující podmínkou cyklu je maximální počet opakování, aby

v případě chybného zadání, které nevede k vyřešení, nevznikl nekonečný cyklus.

Třetí fáze programu zpracuje výstupy – vykreslí do jednoho grafu původní geometrii

(parabolu druhého stupně, černě čerchovaně) a optimalizovanou křivku (červeně plnou čarou),

do souboru vypíše souřadnice jednotlivých bodů (v milimetrech a v souřadnicovém formátu

vhodném pro export např. do programu AutoCAD).

Výše popsaná posloupnost jednotlivých funkcí algoritmu je znázorněna vývojovým

diagramem na Obr. 6.8.



49

Obr. 6.8 – Vývojový diagram optimalizačního programu


Aplikace a posouzení optimalizace střednice přesypaného mostu

50

7. Aplikace a posouzení optimalizace střednice

přesypaného mostu

Optimalizace střednice přesypaného mostu je v této kapitole aplikována na reálný

objekt. Úloha je charakterizována těmito parametry (na Obr. 7.1 jsou vstupy zadány do

grafického rozhraní programu):

Geometrie:

z0 = 8,7 m

L = 42 m

zmax = 0,05 m

hs = 0 %

h0 = 2 m

b0 = 0,45 m

bmax = 2 m

Materiálové charakteristiky:

γm = 25 kN/m2

γz = 18 kN/m2

ν = 0,35

f = 0,3

Ostatní:

gost = 0

lim = 0,000 001 m

Obr. 7.1 – Grafické rozhraní programu s vyplněnými vstupními údaji

Pro tyto vstupy je optimalizačním programem určena ideální střednice, jejíž tvar je

vykreslen spolu s původní střednicí na Obr. 7.2.



51

Obr. 7.2 – Grafický výstup optimalizačního programu

K posouzení konstrukce je použit geotechnický software GEO5 v13, modul MKP

(Výpočty pomocí metody konečných prvků). K popisu zeminy a interakce mezi zeminou a

konstrukcí je vybrán Mohr-Coulombův model. Samotná konstrukce je vytvořena

jednodimenzionálními nosníkovými prvky. Výstupy výpočtů metodou konečných prvků jsou

zobrazeny na následujících obrázcích (Obr. 7.3 až Obr. 7.7).

Obr. 7.3 – Síť konečných prvků a napětí v zemině v okolí konstrukce

Obr. 7.4 – Průběh ohybových momentů na konstrukci s optimalizovanou střednicí



52

Obr. 7.5 – Průběh ohybových momentů na konstrukci s původní střednicí

Obr. 7.6 – Průběh normálových sil na konstrukci s optimalizovanou střednicí

Obr. 7.7 – Průběh normálových sil na konstrukci s původní střednicí

Pro lepší srovnání výsledků je na Obr. 7.8 v jednom grafu znázorněn průběh ohybových

momentů na konstrukci s původní geometrií (parabola druhého stupně, modře) a na téže

konstrukci po provedení optimalizace střednice pomocí vytvořeného programu (červeně).

Totéž je na Obr. 7.9 provedeno pro normálové síly.

Z Obr. 7.4 je patrné, že i přes použití teoreticky ideálního tvaru střednice nedochází

k úplné eliminaci ohybových momentů. To je zřejmě způsobeno rozdílností geotechnických

modelů uvažovaných při tvorbě algoritmu a při posouzení v programu GEO5. Důsledný popis

skutečného chování zeminového prostředí byl při tvorbě programu zjednodušen použitím



53

Rankinovy teorie. Program GEO5 lépe simuluje namáhání zemními tlaky a interakci zeminy

s konstrukcí, výpočet metodou konečných prvků potom vede k přesnějším výsledkům.

Redukce ohybových momentů je ale po optimalizaci oproti původní střednici výrazná,

jak ukazuje Obr. 7.8. Na Obr. 7.6 je vidět, že na konstrukci vznikají velké tlakové normálové

síly (dle Obr. 7.9 větší než na konstrukci s původní střednicí). Ty v konstrukci vytvoří

dostatečnou tlakovou rezervu, která vyrovná tahové účinky ohybových momentů.

Obr. 7.8 – Porovnání ohybových momentů

Obr. 7.9 – Porovnání normálových sil


Závěr

54

8. Závěr

Tato práce se zabývala problematikou přesypaných mostů. První část je souhrnem

teoretických poznatků, druhá část se věnuje řešení staticky optimálního návrhu těchto

konstrukcí.

V první části byly nejprve představeny možnosti využití přesypaných mostních objektů

v ekologickém stavitelství. Byla zde nastíněna problematika tzv. ekologických mostů, tedy

migračních objektů umožňujících zvěři překonat liniové bariéry vzniklé lidskou činností

(dopravní infrastruktura), které svým charakterem způsobují fragmentaci krajiny. V rámci

trvale udržitelného rozvoje je třeba tento negativní dopad redukovat, čemuž napomáhají

zmíněné ekodukty, někdy nazývané „zelené mosty“.

Dále bylo stručně přiblíženo statické působení přesypaných konstrukcí s ohledem na

interakci objektu s násypem. Tato část se zabývala teorií zemních tlaků působících na

konstrukci v různých fázích výstavby a životnosti. Byl zde zmíněn i vliv hutnění a technologie

provádění.

Poslední teoretická kapitola nastínila možnosti materiálového řešení přesypaných

mostů. Byly zde prezentovány příklady realizovaných konstrukcí z obou nejběžnějších

materiálů (beton a ocel), stručně byla představena i nová varianta přesypaného mostu ze dřeva.

U betonových konstrukcí byly přiblíženy možnosti prefabrikace i výstavby monolitických

objektů.

Druhá část práce se zabývala hledáním ideální bezmomentové střednice přesypaného

mostu s vlivem tření zeminy o konstrukci. Čistě analytický přístup se ukázal pro praktické

využití nevhodný, protože odvozená soustava diferenciálních rovnic popisující hledaný tvar

střednice není pro reálné podmínky řešitelná. Problém se tedy převedl na numerickou úlohu.

Algoritmizace hledání bezmomentového tvaru umožňuje řešení libovolné přesypané

konstrukce. Pro tento účel byl vytvořen optimalizační program v prostředí MATLAB.

Numerická optimalizace byla následně aplikována na reálný objekt a v programu GEO

bylo provedeno posouzení vnitřních sil vznikajících na konstrukci. Ukázalo se, že ani tato

teoreticky ideální střednice nevykazuje úplnou eliminaci ohybových momentů, ale jen jejich

výraznou redukci. Tento rozdíl oproti očekávané bezmomentové střednici lze přisoudit

složitému charakteru geotechnických vlivů. Posouzení účinnosti optimalizace je tedy vhodné

provést komparativně vůči výsledkům na konstrukci s původní geometrií (parabola druhého


Závěr

55

stupně). Porovnání ukazuje, že po optimalizaci dochází k výraznému omezení ohybových

momentů a větší část účinků zatížení je přenesena tlakovou normálovou silou, což v konstrukci

vytvoří dostatečnou tlakovou rezervu umožňující vyrovnání tahových napětí od ohybových

momentů.

Návrh přesypaného mostu s optimální střednicí tedy zajistí příznivou redukci

ohybových momentů na konstrukci. Účinky zatížení jsou přeneseny tlakem, což je pro

betonové oblouky ideální režim namáhání umožňující omezit tahovou výztuž v konstrukci.

Tato úspora má ekonomický přínos a rovněž zrychluje proces výstavby. Tlakové namáhání

objektu navíc nezpůsobuje rozvoj trhlin a případné trhliny vzniklé v průběhu výstavby ve

fázích postupného zasypávání se naopak uzavřou, což příznivě ovlivňuje trvanlivost

konstrukce.


Použitá literatura

56

9. Použitá literatura

[1] JANDA, Lubor, KLEISNER, Zdeněk a ZVARA, Jozef. Betonové mosty. Praha:

SNTL, 1988.

[2] DUFEK, Jiří, JEDLIČKA, Jiří a ADAMEC, Vladimír. Fragmentace lokalit dopravní

infrasturkturou: ekologické efekty a možná řešení v projektu COST 341. In: Vítejte na

Zemi [online]. Cenia, 2008 [cit. 2012-02-24]. Dostupné z:

http://vitejtenazemi.cenia.cz/archiv/krajina_cs/frag_doprava.pdf

[3]

European Environment Agency [online]. [cit. 2012-02-24]. Dostupné z:

http://www.eea.europa.eu/

[4] TP 180. Migrační objekty pro zajištění průchodnosti dálnic a silnic pro volně žijící

živočichy. Ministerstvo dopravy, 2006.

[5] DUMONT, A.-G., BERTHOUD, G., TRIPET, M., SCHNEIDER, S. a

DÄNDLIKER, G. Interactions entre les réseaux de la faune et des voies de

circulation. Zurich, 2000.

[6] Zákon č. 17/1992 Sb. o životním prostředí. In: Sbírka zákonů České republiky.

[7] ANDĚL, Petr, MINÁRIKOVÁ, Tereza a ANDREAS, Michal. Ochrana průchodnosti

krajiny pro velké savce. Liberec: Evernia, 2010. ISBN 978-80-903454-5-9.

[8] Valbek [online]. [cit. 2012-02-24]. Dostupné z: www.valbek.cz

[9] KUTAL, Miroslav. Poznatky o využívání zelených mostů velkými savci v Evropě. In:

Šelmy.cz [online]. Olomouc: Hnutí DUHA, 2009 [cit. 2012-02-24]. Dostupné z:

http://www.selmy.cz/clanky/poznatky-o-vyuzivani-zelenych-mostu-velkymi-savci-v-

evrope/

[10] LIBOSVÁR, Tomáš. Ekodukty. In: České dálnice [online]. [cit. 2012-02-24].

Dostupné z: http://www.ceskedalnice.cz/dalnicni-sit/ekodukty

[11] ANDĚL, Petr, LENNER, Roman, BREJCHA, Vladimír a KŘÍSTEK, Vladimír.

Projektování ekologických mostů. Silniční obzor: Měsíčník pro otázky výstavby a

údržby silnic, dálnic, místních komunikací, letišť, mostů, tunelů a silničního a

městského dopravního inženýrství. Praha: Česká silniční společnost, 2001, roč. 62.,

č. 1, s. 10-15. ISSN 0322-7155.

[12] HRDOUŠEK, Vladislav, KUKAŇ, Vlastimil a ŠAFÁŘ, Roman. Významné mostní

konstrukce - II. Stavební listy. 2003, roč. 9., č. 11, s. 17-19. ISSN 1211-4790.

[13] ČSN 73 0037. Zemní tlak na stavební konstrukce. Praha: Český normalizační institut,

1990.



57

[14] TP 144. Doporučení pro navrhování, posuzování a sledování betonových mostů PK. 2.

revidované a doplněné vydání. Ministerstvo dopravy, 2010.

[15] HOUŠŤ, Vladimír a STRÁSKÝ, Jiří. Analýza přesypaných tenkostěnných kleneb.

Beton: Technologie, konstrukce, sanace. 2009, roč. 9., č. 5, s. 60-65. ISSN 1213-3116.

[16] KOSÍK, Lubomír. Analýza zemních tlaků působích na zasypávané konstrukce. In:

FAST VUT [online]. 2003 [cit. 2012-02-24]. Dostupné z:

http://www.fce.vutbr.cz/veda/dk2003texty/pdf/2-6/rp/kosik.pdf

[17] FOGLAR, Marek a KŘÍSTEK, Vladimír. Centre-line optimization of buried arch

bridges. Proceedings of the ICE - Bridge Engineering, 2012 [v tisku].

ISSN: 1478-4637.

[18] BEBO Arch International [online]. [cit. 2012-02-24]. Dostupné z:

http://www.beboarch.com/

[19] Tenkostěnné obloukové mosty sklízejí úspěch už 30 let. In: eStav.cz [online]. 2008

[cit. 2012-04-15]. Dostupné z: http://www.estav.cz/zpravy/nove/tenkostenne-

obloukove-mosty-ssz-tom-2.html

[20] Eurovia, CS [online]. [cit. 2012-02-24]. Dostupné z: http://www.eurovia-z9.cz/

[21] BULEJKO, Pavel a SCHREIBER, Rastislav. Přesypané betonové dvouklenbové

mosty na silničním okruhu kolem Prahy. In: Silnice Železnice [online]. 2010 [cit.

2012-02-24]. Dostupné z: http://www.silnice-zeleznice.cz/clanek/presypane-betonove-

dvouklenbove-mosty-na-silnicnim-okruhu-kolem-prahy/

[22] Brookside Bridge and recycled content. In: Kennecott Utah Copper [online]. [cit.

2012-02-24]. Dostupné z: http://www.kennecott.com/2010sdreport/daybreak/

environmental-stewardship/brookside-bridge-and-recycled-content/

[23] CON/SPAN [online]. [cit. 2012-02-24]. Dostupné z: www.con-span.com

[24] Matière [online]. [cit. 2012-02-24]. Dostupné z: http://www.matiere.fr/

[25] BÖGL a KRÝSL [online]. [cit. 2012-02-24]. Dostupné z: http://www.boegl-krysl.cz/

[26] ABDEL-SAYED, George, BAKHT, Baidar a JAEGER, Leslie G. Soil-Steel Bridges:

design and construction. New York: McGraw-Hill, 1994. ISBN 00-700-3021-9.

[27] ŠANA, Marek. Použití ocelové flexibilní konstrukce velkého rozpětí. In: Silnice

Železnice [online]. 2007 [cit. 2012-02-24]. Dostupné z: http://www.silnice-

zeleznice.cz/clanek/pouziti-ocelove-flexibilni-konstrukce-velkeho-rozpeti/



58

[28] ViaCon [online]. [cit. 2012-02-24]. Dostupné z: http://www.viacon.cz/

[29] BREJCHA, Vladimír. Ekodukt z obloukových dřevěných nosníků. Časopis

stavebnictví: časopis stavebních inženýrů, techniků a podnikatelů. 2011, roč. 5., č. 5,

s. 71-72. ISSN 1802-2030.


Seznam příloh

59

10. Seznam příloh

A Výpis zdrojového kódu optimalizačního algoritmu

B CD-ROM: Zdrojový kód optimalizačního programu

Elektronická verze práce


Příloha A

60

A Výpis zdrojového kódu optimalizačního algoritmu

Přílohu tvoří zdrojový kód optimalizačního algoritmu bezmomentové střednice

přesypaného mostu, který byl sepsán v programu MATLAB R2011a.

A.1 Skript

% **************************************** % BEZMOMENTOVÁ STŘEDNICE PŘESYPANÉHO MOSTU % ****************************************

% VSTUPY % Lze zadat přímo do tohoto souboru nebo načíst z grafického rozhraní:

% Geometrie: z0 = str2double(get(handles.z0,'String')); L = str2double(get(handles.L,'String')); zmax = str2double(get(handles.zmax,'String')); hs = str2double(get(handles.hs,'String')); h0 = str2double(get(handles.h0,'String')); b0 = str2double(get(handles.b0,'String')); bmax = str2double(get(handles.bmax,'String'));

% Materiálové charakteristiky: gammaM = str2double(get(handles.gammaM,'String')); gammaZ = str2double(get(handles.gammaZ,'String')); nu = str2double(get(handles.nu,'String')); f = str2double(get(handles.f,'String'));

% Ostatní: gost = str2double(get(handles.gost,'String')); lim = str2double(get(handles.lim,'String'));

% VÝPOČET [deltax, n, r, z] = geometrie(z0, L, zmax); i = 1:n; x(i) = deltax*i; plot(x,r,'k-.'); hold on;

[h] = nasyp(hs, h0, deltax, n); [Gost] = ostatnizatizeni(gost, deltax, n);

m = 0; chyba(i)=0; while sum(chyba) < n & m < 10000 m = m+1; [dl] = delkadilku(z, deltax, n); [b] = prurez(b0, bmax, dl, n); [G0] = vlastnitiha(b, dl, gammaM, n); [gn, Gn] = zemina(h, z, r, gammaZ, deltax, n); [p, S] = bocnitlak(gn, gost, nu, z, n); [Ht, Vt] = treni(p, S, f, dl, z, deltax, n); [Fx, Fz] = sily(G0, Gost, Gn, Vt, S, Ht, n); [zopr, H0] = oprava(Fx, Fz, z0, deltax, n);


Příloha A

61

for i = 1:n if abs(zopr(i)-z(i)) <= lim chyba(i) = 1; else chyba(i) = 0; end end z = zopr; r(1) = z(1); for i = 2:n r(i) = r(i-1)+z(i); end end

i = 1:n; souradnice(i,2) = 0; souradnice(i,1) = 1000*x(i); souradnice(i,2) = -1000*r(i); dlmwrite('Souřadnice optimalizované střednice', souradnice);

plot(x,r,'r'); legend('výchozí střednice', 'optimalizovaná střednice'); xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); axis equal tight; set(gca, 'YDir', 'reverse'); title('Optimalizace střednice přesypaného mostu');

A.2 Použité funkce

% *************************************************** % DISKRETIZACE VÝCHOZÍ GEOMETRIE - parabola 2. stupně % ***************************************************

% Pro zvolenou maximální možnou výšku dílku v patě konstrukce určí % potřebnou (konstantní) délku kroku a počet kroků. Délku kroku opraví tak, % aby odpovídala celočíselnému počtu kroků. Z těchto údajů následně určí % výšky jednotlivých dílků.

% VSTUPY % z0 vzepětí [m] % L rozpětí [m] % zmax maximální možná výška dílku [m]

% VÝSTUPY % deltax krok [m] % n počet kroků [-] % r výšková pořadnice bodu [m] % z výška dílku [m]

function [deltax, n, r, z] = geometrie(z0, L, zmax) a = sqrt((L.^2*(z0-zmax))/(4*z0)); b = L/2 - a; n = round((L/2)/b); deltax = (L/2)/n; i = 1:n; x(i) = deltax*i; r(i) = (4*z0/L.^2)*x(i).^2; z(1) = r(1); i = 2:n;


Příloha A

62

z(i) = r(i)-r(i-1); end % ********************** % DISKRETIZACE NADNÁSYPU % **********************

% Určí střední výšku nadnásypu nad jednotlivými dílky konstrukce.

% VSTUPY % hs sklon povrchu násypu [%] % h0 výška nadnásypu nad vrcholem klenby [m] % deltax krok [m] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY % h průměrná výška nadnásypu nad dílkem [m]

function [h] = nasyp(hs, h0, deltax, n) i = 1:n; c(i) = deltax*(hs/100)*(2*i-1)/2; h(i) = h0-c; end

% *************************** % OSTATNÍ ROVNOMĚRNÉ ZATÍŽENÍ % ***************************

% Vypočítá svislou sílu působící na i-tém dílku od ostatního rovnoměrného % zatížení působícího na konstrukci (mostní vybavení, případně vozovka...). % Zatížení působí na průmět dílku.

% VSTUPY % gost ostatní rovnoměrné zatížení [kN/m] % deltax krok [m] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY % Gost síla od ostatního zatížení [kN]

function [Gost] = ostatnizatizeni(gost, deltax, n) i = 1:n; Gost(i) = gost*deltax; end

% *********** % DÉLKA DÍLKU % ***********

% Vypočítá délky jednotlivých dílků.

% VSTUPY % z výška dílku [m] % deltax krok [m] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY % dl délka dílku [m]


Příloha A

63

function [dl] = delkadilku(z, deltax, n) for i = 1:n a = deltax; b = z(i); dl(i) = sqrt(a*a+b*b); end end

% *************************** % VÝŠKA PRŮŘEZU

% ***************************

% Určí průměrnou výšku průřezu na dílku konstrukce.

% VSTUPY % b0 výška průřezu ve vrcholu [m] % bmax výška průřezu ve vetknutí [m] % deltax krok [m] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY % b průměrná výška průřezu na dílku [m]

function [b] = prurez(b0, bmax, dl, n) k = (bmax - b0)/sum(dl); i = 1:n; ksi(i) = 0; ksi(1) = dl(1)/2; i = 2:n; ksi(i) = ksi(i-1) + (dl(i-1)/2) + (dl(i)/2); b(i) = b0+k*ksi(i); end

% ************ % VLASTNÍ TÍHA % ************

% Vypočítá svislou sílu působící na i-tém dílku od vlastní tíhy konstrukce. % Zatížení vlastní tíhou působí na délku dílku (ne na průmět).

% VSTUPY % b průměrná výška průřezu na dílku [m] % dl délka dílku [m] % gammam plošná tíha materiálu konstrukce [kN/m2] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY % G0 síla od vlastní tíhy [kN]

function [G0] = vlastnitiha(b, dl, gammaM, n) for i = 1:n G0(i) = b(i)*gammaM*dl(i); end

end


Příloha A

64

% **************** % ZATÍŽENÍ ZEMINOU % ****************

% Vypočítá svislou sílu působící na i-tém dílku od zatížení zeminou.

% VSTUPY % h výška nadnásypu nad dílkem [m] % z výška dílku [m] % r výšková pořadnice bodu [m] % gammaz plošná tíha zeminy [kN/m2] % deltax krok [m] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY % gn svislý zemní tlak [kN/m] % Gn svislá síla od zatížení zeminou [kN]

function [gn, Gn] = zemina(h, z, r, gammaZ, deltax, n) for i = 1:n y(i) = h(i)+r(i)-(z(i)/2); gn(i) = gammaZ*y(i); Gn(i) = gn(i)*deltax; end end

% ********** % BOČNÍ TLAK % **********

% Vypočítá vodorovnou sílu působící na i-tém dílku od zatížení bočním % tlakem. Boční tkak se určí s celkového svislého tlaku, který se skládá ze % svislého zemního tlaku a přitížení povrchu ostatním rovnoměrným % zatížením.

% VSTUPY % gn svislý zemní tlak [kN/m] % gost ostatní rovnoměrné zatížení [kN/m] % nu Poissonovo číslo [-] % z výška dílku [m] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY % p celkový svislý tlak [kN/m] % S boční síla působící na dílek [kN]

function [p, S] = bocnitlak(gn, gost, nu, z, n)

K = nu/(1-nu); i = 1:n; p(i) = gn(i)+gost; s(i) = K*p(i); for i = 1:n S(i) = s(i)*z(i); end end


Příloha A

65

% ***** % TŘENÍ % *****

% Vypočítá svislou a vodorovnou sílu působící na i-tém dílku vlivem tření % zeminy o konstrukci.

% VSTUPY % p celkový svislý tlak [kN/m] % S boční síla působící na dílek [kN] % f koeficient tření [-] % dl délka dílku [-] % z výška dílku [m] % deltax krok [m] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY

% Ht horizontální síla od tření [kN] % Vt vertikální síla od tření [kN]

function [Ht, Vt] = treni(p, S, f, dl, z, deltax, n) i = 1:n; P(i) = p(i)*deltax; for i = 1:n sin = z(i)/dl(i); cos = deltax/dl(i); Vt(i) = f*(S(i)*sin*sin+P(i)*sin*cos); Ht(i) = f*(S(i)*sin*cos+P(i)*cos*cos); end end

% ********************** % SÍLY PŮSOBÍCÍ NA DÍLEK % **********************

% Funkce určí součet působícího zatížení v obou směrech.

% VSTUPY % G0 síla od vlastní tíhy [kN] % Gost síla od ostatního zatížení [kN] % Gn svislá síla od zatížení zeminou [kN] % Vt vertikální síla od tření [kN] % S boční síla působící na dílek [kN] % Ht horizontální síla od tření [kN] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY % Fx součet působících sil ve vodorovném směru [kN] % Fz součet působících sil ve svislém směru [kN]

function [Fx, Fz] = sily(G0, Gost, Gn, Vt, S, Ht, n) i = 1:n; Fx(i) = S(i)+Ht(i); Fz(i) = G0(i)+Gost(i)+Gn(i)-Vt(i); end


Příloha A

66

% ****** % OPRAVA % ******

% Vypočítá opravenou hodnotu výšky dílku z. Hodnotu vodorovné síly ve % vrcholu H0 hledá iteračně tak, aby zůstala zachována geometrie % (vzepětí z0).

% VSTUPY % Fx součet působících sil ve vodorovném směru [kN] % Fz součet působících sil ve svislém směru [kN] % z0 vzepětí [m] % deltax krok [m] % n počet kroků [-]

% VÝSTUPY % zopr opravená výška dílku [m] % H0 vodorovná síla ve vrcholu [kN]

function [zopr, H0] = oprava(Fx, Fz, z0, deltax, n) i = 1:n; sumaFx(1) = Fx(1); V(1) = Fz(1); for i = 2:n sumaFx(i) = sumaFx(i-1)+Fx(i); V(i) = V(i-1)+Fz(i); end

rozdil = 100; lim1 = 10; m1 = 0; H0 = 10000; while rozdil > lim1 & m1 < 1000000 m1 = m1+1; H0 = H0-1; for i = 1:n zopr(i) = deltax*V(i)/(H0-sumaFx(i)); end z0opr = sum(zopr); rozdil = abs(z0-z0opr); end

rozdil = 10; lim1 = 1; m1 = 0; H0 = H0+1; while rozdil > lim1 & m1 < 1000000 m1 = m1+1; H0 = H0-0.1; for i = 1:n zopr(i) = deltax*V(i)/(H0-sumaFx(i)); end z0opr = sum(zopr); rozdil = abs(z0-z0opr); end

rozdil = 1; lim1 = 0.1; m1 = 0; H0 = H0+0.1; while rozdil > lim1 & m1 < 1000000 m1 = m1+1;


Příloha A

67

H0 = H0-0.01; for i = 1:n zopr(i) = deltax*V(i)/(H0-sumaFx(i)); end z0opr = sum(zopr); rozdil = abs(z0-z0opr); end

rozdil = 1; lim1 = 0.01; m1 = 0; H0 = H0+0.01; while rozdil > lim1 & m1 < 1000000 m1 = m1+1; H0 = H0-0.001; for i = 1:n zopr(i) = deltax*V(i)/(H0-sumaFx(i)); end z0opr = sum(zopr); rozdil = abs(z0-z0opr); end



rozdil = 1; lim1 = 0.00001; m1 = 0; H0 = H0+0.00001; while rozdil > lim1 & m1 < 1000000 m1 = m1+1; H0 = H0-0.000001; for i = 1:n zopr(i) = deltax*V(i)/(H0-sumaFx(i)); end z0opr = sum(zopr); rozdil = abs(z0-z0opr); end end

Date post:	24-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	patricie-chraskova
View:	117 times
Download:	0 times

Analytické řešení bezmomentové střednice přesypaného mostu

Documents