Analýza kvantitativních dat II.
Míry variability: variační koeficient
a další indexy
Jiří Šafr jiri.safr(zavináč)seznam.cz
Tato prezentace je zatím ve stadiu vývoje. poslední aktualizace 27. 10. 2014. (6.4. 2014)
UK FHSHistorická sociologie
(LS 2013)
1. Kardinální – číselné proměnné
3
Variační Rozpětí (Range)
• Základní míra: rozdíl mezi nejvyšší a nejnižší hodnotou znaku v datech.
• Nevypovídá o celkové variabilitě v datech, je citlivá na extrémní hodnoty (a ty mohou být náhodné).
• Proto je lepší používat charakteristiky popisující kolísání hodnot znaku kolem průměru nebo další míry polohy.
4
Variační koeficient• CV (coefficient of variation) je mírou relativního
rozptýlení dat. = podíl směrodatné odchylky k průměru. (nebo jiné střední hodnotě – mediánu)
• Relative standard deviation (RSD) dtto v
procentech.
• Ukazuje podíl variability ve vztahu k průměru v %.• Výhodou je, že můžeme porovnávat znaky s
odlišným průměrem i různými metrikami (rozsahy škál). → např. při mezinárodní komparaci
• Pouze pro poměrové proměnné (ratio scales) a pozitivní hodnoty.
5
Data – dvě situace (např. v SPSS) pro výpočet míry variability
1. CV across a set of variables for
each case – mezi (podobnými) proměnnými vždy pro jeden případ (např. respondent) = mezi sloupci
2. CV for one variable across cases –
v rámci jedné proměnné mezi případy = řádky
Zde je situace v SPSS složitější (pro uložení do proměnné nutno agregovat), pokud chceme jen zobrazit výsledek, pak lze použít příkazy REPORT nebo RANK (viz příklady 1 a 2).
COMPUTE CV_Spok = CFVAR (spokojenost1, spokojenost2, spokojenost3).
Lze provést porovnání CV např. pro podskupiny dle pohlaví.
CV = 0,41
6
Příklad 1. CV v rámci jedné proměnné mezi případy
spokojenost1 spokojenost2 spokojenost3____________ ____________ ____________Grand TotalPrůměr 3 2 4StdDev 1 1 0Variační koeficient ,41 ,41 ,00
REPORT /FORMAT= CHWRAP(ON) PREVIEW(OFF) CHALIGN(BOTTOM) UNDERSCORE(ON)ONEBREAKCOLUMN(OFF) CHDSPACE(1) SUMSPACE(0) AUTOMATIC NOLISTBRKSPACE(0) PAGE(1) MISSING'.' LENGTH(1, 59) ALIGN(LEFT) TSPACE(1) FTSPACE(1)/TITLE= RIGHT 'Page )PAGE‚ /VARIABLESspokojenost1 (VALUES) (RIGHT) (OFFSET(0)) (12)spokojenost2 (VALUES) (RIGHT) (OFFSET(0)) (12)spokojenost3 (VALUES) (RIGHT) (OFFSET(0)) (12)/BREAK (TOTAL) 'Grand Total' (SKIP(1))/SUMMARY MEAN(spokojenost1) SKIP(1) MEAN( spokojenost2 ) MEAN( spokojenost3 ) 'Průměr'/SUMMARY STDDEV( spokojenost1) STDDEV( spokojenost2 ) STDDEV( spokojenost3 ) 'StdDev‚ /SUMMARY = DIVIDE ( STDDEV( spokojenost1) MEAN( spokojenost1) ) (spokojenost1 (2) ) SKIP(1) DIVIDE ( STDDEV( spokojenost2) MEAN( spokojenost2) ) (spokojenost2 (2) ) SKIP(1) DIVIDE ( STDDEV( spokojenost3) MEAN( spokojenost3) ) (spokojenost3 (2) ) SKIP(1) 'Variační koeficient' .
Nelze v menu, musíme v syntaxu, využijeme příkaz REPORT Summaries in Rows, kde doplníme do Summary příkaz DIVIDE (se zadáním podílu směr.odch. / průměr)
Příklad 2. CV v rámci jedné proměnné mezi případy:
agregovaná data + v oddělených blocích na základě časových období
Spotřeba potravin podle sociálních tříd v letech 1960-1980
(hypotetická data)
8
Příklad 2. Spotřeba potravin podle sociálních tříd v letech 1960-1980
Jde o již dříve publikované údaje. (získali jsme je např. z tabulek v publikaci ČSÚ)
Uspořádána jsou jako agregované „události-roky“, tj. vždy pro daný rok „případy“ – soc. třídy a jejich spotřeba potravin v kg.
Chceme zjistit variabilitu – rozptýlenost hodnot ve spotřebě potravin) mezi třídami v daném roce.
Měříme vlastně nerovnost ve spotřebě komodit mezi třídami v časovém srovnání.
9
Příklad 2. CV pomocí RATIO v SPSS
• Zkoumáme jak se v čase proměnila variance ve spotřebě komodit mezi třídami.
• V SPSS příkaz RATIO, který slouží k porovnání poměru dvou (kardinálních) proměnných.
• Pokud chceme CV pouze pro jednu proměnnou použijeme jednoduchý trik: vytvoříme proměnnou s konstantní hodnotou 1 a k ní budeme danou komoditu vztahovat .
• Protože zde porovnáváme spotřebu v čase, provedeme navíc oddělení výsledků pro jednotlivé roky pomocí SPLIT.
10
Příprava a zadání výpočtu v syntaxu
*Vytvoření konstanty 1.COMPUTE konst1 =1.SORT CASES BY rok. SPLIT FILE LAYERED BY rok.
RATIO STATISTICS citrony WITH konst1 BY trida (ASCENDING)
/MISSING=EXCLUDE /PRINT=MEAN MNCOV RANGE STDDEV.Zadání samotného CV, zde ve vztahu k průměru (lze i
k mediánu) je MNCOV, navíc máme zadáno Rozpětí a Směrodatnou odchylku.
11
Výsledek: Variační koeficient v % (RSD)
CV (RSD) mezi lety 1960 až 1980 klesá, z 75,5 % na 0 %.
V daném období tedy rozdíly ve spotřebě citrónů mezi sociálními třídami poklesly na minimum (žádný rozdíl v roce 1980).
12
Další míry variability
• Koeficient rozptýlení dat - coefficient of dispersion / variance-to-mean ratio (VMR)
→ podíl mocniny směrodatné odch.k průměru RATIO STATISTICS lastval WITH saleval BY town (ASCENDING) /PRINT = BCOC(0.8,1.2) COD MEDIAN WCOC( 20 ) .
Zdroj: [SPSS 17 Tutorial]
2. Kategoriální (nominální/ordinální)
znaky
Míry variability pro nominální proměnné
14
Variabilita hodnot u nominálního znakuNa rozdíl od kardinálních-numerických znaků tvar rozložení nedává smysl (v histogramu), protože kategorie nemají žádný číselný - hierarchický význam. (u ordinálních znaků tvar rozložení ovšem určitou informaci podává).
Variabilita znaku je dána rozptýleností / koncentrací podílů (%) v jednotlivých kategoriích (nulová je tehdy jsou-li kategorie % stejně zastoupené).
15
Míry variability pro kategoriální proměnnéponěkud složitější situace (než u kardinálních znaků)
Nominální proměnné:• Variační poměr – v• Nominální rozptyl – D (nomvar) (Giniho koeficient)
→ relativní počet všech dvojic, které nejsou ve stejné kategorii
• Normalizovaný nominální rozptyl (norm. nomvar nebo IQV)
• Entropie – H• normalizovaná entropie – H*
Ordinální proměnné:• Ordinální rozptyl - dorvar Viz http://iastat.vse.cz/Nominalni.html
16
Vlastnosti měr variability kategoriálních znaků
• Čím vyšší hodnota tím vyšší heterogenita souboru
• Jsou rovny nule, když je celý soubor soustředěn do jedné kategorie (nulové rozptýlení) → úplná homogenita
• Maximální hodnota = rovnoměrné rozložení dat (kategorií) → úplná heterogenita
• Ukazují do jaké míry, jsou data koncentrována kolem své charakteristické hodnoty (→ modální kategorie), tj. jak moc je tato hodnota typická pro celý soubor.
Zdroj: [Řehák, Řeháková 1986: 66-69]
17
Variační poměr – v
• Nejjednodušší míra variability.
• Pokud je více modálních kategorií uvažujeme nejvyšší četnost pouze jednou.
• Výhodou v je jednoduchost výpočtu.
• Nevýhodou v je, že je založeno pouze na modální četnosti (nomvar – D je pracnější,ale odráží celou strukturu tabulky).
Zdroj: [Řehák, Řeháková 1986: 66]
18
Příklad: Variační poměr – v (DATA)
[Řehák, Řeháková 1986: 68-70; Agresti, Agresti 1978]
19
Příklad: Variační poměr – vZpůsob získávání denního tisku u pravidelných
čtenářů, pro Periodikum J (N = 1289)
Předplácí Kupuje K disp. v práci Půjčuje si Získává jinak Celkem N % z celku
48,3% 24,1% 6,9% 16,4% 43,0% 100 116 8,9
modus 0,483 (= Předplácí) absolutní četnost 56,028v 0,517 = 116 * 0,483
v = 1 – (56,028 / 116) = 0,517
Zdroj: [Řehák, Řeháková 1986: 68-69]
lze spočítat v Excelu:
V může sloužit k porovnání variability rozložení několika znaků (např. zde různých periodik) nebo podskupin v třídění 2.stupně (podobně jako Směrod.odchylka u kardinálních znaků).
Zde způsoby získávání u různých periodik: např. periodikum J (v=0,517) má dvojnásobný variační poměr než periodikum H (v=0,224), tj. způsoby jeho získávání jsou mnohem variabilnější (všimněte si, že u tiskoviny H představuje modus „Kupuje“ celých 77,6 %).
20
Nominální variance (nomvar)Index diversity (D)
• nomvar nebo D
• Kde: p – podíl pozorování v dané i-té kategorii
→ podíl všech dvojic jednotek, které nemají stejnou hodnotu znaku nebo také
→ pravděpodobnost, že dva náhodně vybraní jedinci z populace budou patřit do rozdílných kategorií.
Index je tím vyšší, čím více je kategorií a čím více jsou pozorování rozptýlena rovnoměrně v těchto kategoriích.
[Řehák, Řeháková 1986: 68-70; Agresti, Agresti 1978]
21
Normalizovaná nominální varianceIndex of Qualitative Variation (IQV)
norm.normvar = IQV = = D/(1–1/K)
kde K = počet kategorií a D = Index diversity (nom.var)• IQV = pozorované rozdíly /maximum možných rozdílů • Standardizovaná pravděpodobnost, že náhodný pár
ve výběru nebude patřit do stejné kategorie.• Rozpětí 0 až 1: Když všechny hodnoty patří do jedné
kategorie IQV = 0 (úplná homogenita). Když jsou všechny rovnoměrně zastoupeny pak IQV = 1 (maximum heterogenity)
• Jako max. počet kategorií (K) použijeme teoretickou hodnotu – všech možných kategorií, i kdyby v dané subpopulaci nebyly všechny zastoupeny.
• Více viz http://sociology.about.com/od/Statistics/a/Index-Of-Qualitative-Variation-Iqv.htm
22
Postup výpočtu IQV
1. Vypočítejte podíl kategorií → tabulka třídění 1. stupně (nebo 2. stupně – pro podskupiny)
2. Podíl v každé kategorie umocněte
3. Sečtěte umocněné podíly
4. Pro D: odečtěte od 1
5. Pro IQV: D vydělte (1-1/K) (k je max. počet kategorií)
23
Příklad: D a IQV [Agresti, Agresti 1978] Occupational Status by Race and Year in W'alton County, Florida
Index diverzity D (nomvar) pro bělochy (white population) v roce 1870:
D = 1 - 0.347 = 0.653
V populaci bělochů v roce 1870 je pravděpodobnost, že dva náhodně vybraní jedinci budou z odlišné profesně-třídní skupiny 0,653.
24
Standardizace D na IQV
• IQV = ((k- 1)*D)/k nebo D/(1–1/K)• 1–1/K = 1 – 1/6 = 0,833
→ Jde o maximální možnou hodnotu D zde 6 profesně třídních kategorií)
• IQV = 0,653 / 0,833 = 0,784
25
• Spočítejte D a IQV pro další kategorie:
• Běloši 1870
• Běloši 1885
• Černoši 1870
• Černoši 1885
Pokračování příklad D a IQV [Agresti, Agresti 1978]
26
• V každém roce je černošská populace v porovnání s bělošskou méně profesně-třídně heterogenní.
• V černošské populaci došlo za 15 let k poklesu diverzity profesně-třídních kategorií, zatímco u bělochů variance zůstala přibližně stejná.
Pokračování příklad D a IQV [Agresti, Agresti 1978]
Běloši Černoši
1870 1885 1870 1885
0,784 0,811 0,442 0,230
27
Míry variability nominální/ordinální proměnné v SPSS
• SPSS neobsahuje, ale existuje skript, který lze aplikovat na tabulku třídění 1.stupně (FREQUENCIES) Míry variability pro kategorizované proměnné
• http://acrea.cz/cz/skripty/mira-variability• K dispozici jsou tyto míry: variační poměr,
nominální variance, normovaná nominální variance, ordinální variance a normovaná ordinální variance.
• Definice těchto měr lze najít v knize Řehák J., Řeháková B. 1986.
Analýza kategorizovaných dat v sociologii. Praha: Academia.
28
Míry variability pro kategorizované znaky v SPSS - skript
Vstupní tabulka
výsledek
29
Pro porovnání podskupin → SPLIT FILEMuži
Ženy
Ženy mají heterogennější zastoupení vystudovaných oborů než muži(nomvar ženy=0,8 vs. muži=0,6).
30
V SPSS: Syntax + Skript
SORT CASES BY pohlavi.
SPLIT FILE SEPARATE BY pohlavi.
FREQ vzd_obor7.
• A pak aplikovat skript mira-variability → výsledek se spočte pro muže a ženy zvlášť
31
A nebo spočítat ručně (v Excelu)
kategorie (obor vzd.) podíly kategorií kvadrát1 0,08 0,0062 0,195 0,0383 0,362 0,1314 0,06 0,0045 0,046 0,0026 0,043 0,0027 0,214 0,046
suma 1suma 0,229
D (nomvar) 1-suma 0,771
IQV (norm.nomvar) D/(1–1/K) 0,925=R[-2]C/((1-(1/6)))
Porovnání IQV v podskupinách/ populacích
(bude doplněno)
33
Reference• Agresti, Alan; Barbara F. Agresti. 1978.
“Statistical Analysis of Qualitative Variation.” Sociological Methodology 9: 204-237.
• Řehák, J., B. Řeháková. 1986. Analýza kategorizovaných dat v sociologii. Praha: Academia.
