Aproximační a interpolační křivky

Interpolace

• Křivka prochází přímo zadanými body

Interpolace polynomem

• Lineární – 2 body

• Kvadratická – 3 body

• Polynom n-tého stupně – n+1 bodů

Lineární interpolace

Kvadratická interpolace

Interpolace polynomem 4 stupněInterpolované body:

(-2,4) (-1,0) (0,3) (1,1) (2,-5)

Rovnice:

16a -8b +4c -2d + e = 4

a - b + c -d +e = -3

e = 3

a + b + c + d +e = 1

16a +8b +4c +2d +e =-5

Řešení:

a=0.458 b=-0.75 c=-2.95

d=1.25 e=3

Funkce:

0.458*x^4-0.75*x^3-2.95*x^2+1.25*x+3

Spline křivka

• Křivka se skládá z úseků vyjádřených polynom nižšího stupně, než odpovídá počtu bodů. Křivky na sebe v hraničních bodech hladce navazují

Lineární „spline“

• Polynomy prvního stupně.

• V hraničních bodech na sebe navazují spojitě.

• Není zaručena spojitost ani první derivace.

• Česky se tomu říká lomená čára

Kvadratický spline

• Křivka jsou úseky parabol.• V hraničních bodech na sebe paraboly

hladce navazují – mají spojitou první derivaci.

• Další derivace nemusí být (a obvykle nejsou) spojité.

• Je nejpoužívanější, pokud se řekne jen spline, myslí se obvykle kvadratický spline (viz AutoCAD)

Kvadratický spline

Spline křivky vyšších stupňů

• Kubický – funkce po částech 3-tího stupně (kubika), zaručuje spojitost první a druhé derivace

• Obecný (n-tého stupně), zaručuje spojitost (n-1). derivace.

Aproximační křivky

• Nemusí procházet přímo zadanými body.

• Formálně lze za aproximační křivku považovat libovolnou křivku.

• Problém je nalézt takové vyjádření, které bude– Jednoduché– Bude dostatečně dobře aproximovat danou

křivku

Aproximace metodou nejmenších čtverců

• Zvolím typ funkce (obvykle polynom nižšího stupně, než by byl potřeba pro interpolaci bodů).

• Vypočítám takové parametry, aby součet čtverců odchylek v zadaných bodech byl minimální.

• ∑(yi-f(xi))2→ min

Metoda nejmenších čtverců

Bézierova aproximace (Bézierova křivka)

• Aproximace polynomem daného stupně n-tý stupeň pro n+1 bodů P0,P1,…,Pn

• Křivka prochází krajními body P0 a Pn• Tečna v počátečním bodě P0 je

rovnoběžná s vektorem P0P1.• Tečna v koncovém bodě Pn je rovnoběžná

s vektorem Pn-1 Pn• Celá křivka leží v konvexním obalu bodů

P0, … ,Pn

Pierre Ettiene Bézier (1910-1999)

Vyjádření Bézierovy křivky

Lineární Bézierova křivka

• B(t) = (1-t).P0 + t.P1• Parametrická rovnice

úsečky

Kvadratická Bézierova křivka

• B(t) = (1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2

Kubická Bézierova křivka

B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2 + t3P3

Bézierovy křivky vyšších řádů

• Příklad vzorce pro křivku 5.stupně

B-spline

• Úseky Bézierových křivek nižších stupňů (obvykle kvadratické a kubické křivky) budou v krajních bodech na sebe hladce navázány.

Příklad B spline křivky6 řídících bodů → 2 paraboly (2 Bézierovy křivky 2, stupně)