Ch3-110

§3.4 二维 r.v.函数的分布

已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数,

转化为( X ,Y )的事件

问题

方法

求 Z = g( X ,Y )的概率分布

Ch3-111

当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散),(

kk jikyxgzZ ==

∑=

====kkjki

kkzyxg

jik yYxXPzZP),(

),()( ,2,1=k

当( X ,Y )为连续r.v.时，)()( zZPzFZ ≤= )),(( zYXgP ≤=

∫∫=zD

dxdyyxf ),(

}),(|),{(: zyxgyxDz

≤其中

Ch3-112

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

1

0

0.25

0.5

0.75

1

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

1

}),(|),{(: zyxgyxDz

≤ 的几何意义：

Dz

Ch3-113

例1设二维r.v.( X,Y )的概率分布为

X Y

pij -1 1 2

-1

0

41 61

41 81 121

81

求 XYXYYXYX ,,, −+ 的概率分布

离散型二维 r.v.的函数

Ch3-114

解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：

P 41 41 61 8181 121

X +Y X -Y X Y Y / X

( X,Y ) (-1,-1) (-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0

1 0 -1 0 -1/2 0

Ch3-115

故得

PX+Y -2 -1 0 1 2

41 41 4161 121

PX - Y -1 0 1 2 3

41 41 4181 81

Ch3-116

PX Y -2 -1 0 1

61 4181 2411

PY /X -1 -1/2 0 1

4181 241161

Ch3-117

设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立，

具有可加性的两个离散分布

设 X ~ P (λ1), Y ~ P (λ2), 且独立，

则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)

则 X + Y ~ P(λ1+ λ2)

Ch3-118

X ~ P(λ1), Y ~ P(λ2), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, …,

,),()(0∑=

−====k

iikYiXPkZP

∑=

−−−

−⋅=

k

i

iki

ike

ie

0

21

)!(!

21 λλ λλ

∑=

−−−

−=

k

i

iki

ikik

ke

021)!(!

!!

21

λλλλ

!)( 2121

kek λλλλ −−+= ,2,1,0=k

Poisson分布可加性的证明

Ch3-119

问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数，g(x,y)为已知的二元函数，

求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.方法

从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ),求其边缘分布得Z 的d.f.

二维连续r.v.函数的分布

Ch3-120

(1) 和的分布：Z = X + Y设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则

• z

•z

x +y= z

)()( zZPzFZ ≤=)( zYXP ≤+=

∫∫≤+

=zyx

dxdyyxf ),(

∫ ∫∞+

∞−

−

∞−=

xzdyyxfdx ),(

或

∫ ∫∞+

∞−

−

∞−=

yzdxyxfdy ),( +∞

Ch3-121

特别地，若X ,Y 相互独立，则

∫∞+

∞−−= dxxzxfzfZ ),()(

)3(+∞

Ch3-122

例2已知( X ,Y ) 的联合d.f.为

⎩⎨⎧

Ch3-123

∫∞+

∞−−= dxxzfxfzf YXZ )()()(

∫ −=1

0)( dxxzfY

⎩⎨⎧

Ch3-124

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Ch3-125

当0 ≤ z < 1 时，

∫∫−

=xzz

Z dydxzF 00 1)(

∫ −=z

dxxz0

)(

2/2z=

zzfZ =)(

y

x1

1x+y = z

•z•z

Ch3-126

x+y = z

当1≤ z < 2 时，

∫∫−

−+

xz

zdydx

0

1

11

∫ − −+−=1

1)(1

zdxxzz

12/2 2 −−= zz

zzfZ −= 2)(

z-1

1

y

x1•z

•z)1()( −= zzFZ

Ch3-127

1

y

x

1x+y = z

2

2当2 ≤ z 时，

1)( =zFZ0)( =zfZ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Ch3-128

例3已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为

⎩⎨⎧

Ch3-129

z

x

z = x

z = 2

x

x = 1

1

2当 z < 0 或 z > 2 ,

z

z

z

z

当 0 ≤ z < 1, 2

2/ 893)( zxdxzf

z

zZ== ∫

当 1 ≤ z < 2,

)4

1(233)(

21

2/

zxdxzfzZ

−== ∫

f Z (z) = 0

⎩⎨⎧

Ch3-130

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Ch3-131解法二 （不等式组定限法）

∫∞+

∞−−= dxxzxfzfZ ),()(

考虑被积函数取非零值的区域

⎩⎨⎧

Ch3-132

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

Ch3-133

正态随机变量的结论

若X ,Y 相互独立, ),(~),,(~ 222211 σμσμ NYNX

则 ),(~ 222121 σσμμ +++ NYX

若(X ,Y ) );,;,(~ 222211 ρσμσμN则 )2,(~ 2221

2121 σσρσσμμ ++++ NYX

niNX iii ,,2,1),,(~2 =σμ

若 nXXX ,,, 21 相互独立

则 ),(~1

2

11∑∑∑===

n

ii

n

ii

n

ii NX σμ

推广

Ch3-134

已知 ( X ,Y )的联合d.f. f (x,y)求 Z = aX +bY + c 的 d.f.,其中 a,b,c为常数，a , b ≠ 0

.).(,||

1)( eazdxb

caxzxfb

zfZ ∞

Ch3-135

另一种计算 f Z (z) 的方法

构造一个新的二维 r.v. (Z ,V ),

求( Z , V ) 的联合 d.f. f ( z, v )

求边缘密度 f Z (z)

⎩⎨⎧

==

),(),(

YXrVYXgZ

其中

随机变量代换法

Ch3-136

设⎩⎨⎧

==

),(),(

yxrvyxgz

存在唯一的反函数：

h , s 有连续的偏导数, vs

zs

vh

zh

J

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎩⎨⎧

==

),(),(

vzsyvzhx

则

已知 ( X ,Y )的联合 d.f. f XY ( x , y )求 (Z, V ) 的 p.d.f. f ZV(z, v) 的公式

记

||)],(),,([),( Jvzsvzhfvzf XYZV =

Ch3-137

证 ),(),( vVzZPvzFZV ≤≤=)),(,),(( vYXrzYXgP ≤≤=

dxdyyxf

vyxrzyxgXY∫∫

≤≤

=

),(),(

),(

∫ ∫∞− ∞−=z v

XY dvdzJvzsvzhf ||)],(),,([

||)],(),,([),( Jvzsvzhfvzf XYZV =

Ch3-138

例如 已知(X ,Y )的联合d.f. f (x,y)，Z = X / Y , 求 f Z (z)令

⎩⎨⎧

==

YVYXZ /

⎩⎨⎧

==

VYZVX

|||10

||| vzv

J ==

( ) ||,),( vvzvfvzfZV =∫

∞+

∞−= dvvzfzf ZVZ ),()( ∫

∞+

∞−= dvvvzuf ||),(

(2) 商的分布： Z = X / Y

Ch3-139

例4已知( X, Y ) 的联合分布函数为

⎩⎨⎧ >>+−−

=+−−−

其他,00,0,1

),()( yxeee

yxFyxyx

求Z = X / Y 的 p.d.f.

解

⎩⎨⎧ >>

=+−

其他,00,0,

),()( yxe

yxfyx

∫∞+

∞−= dvvvzvfzfZ ||),()(

⎩⎨⎧ >>

=+−

他其,00,0,

),()( vze

vzvfvzv

Ch3-140

(3) 平方和的分布: Z = X 2+Y 2

设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y)，则)()( 22 zYXPzFZ ≤+=

⎩⎨⎧

≥<

=∫∫ ≤+ ,0),(

,0,0

22 zdxdyyxfz

zyx

⎩⎨⎧

≥<

=∫∫ ,0,)sin,cos(

,0,0

0

2

0zrdrrrfdz

zθθθ

π

Ch3-141

例如，X ~ N(0,1), Y ~ N(0,1), X ,Y 相互独立， Z = X 2+Y 2 , 则

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥⋅

<=

∫−−

,0,21

21

21

,0,0)( 2

02

sin2

cos 22

zdee

zzf zzZ π θθ θ

ππ

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<= −

,0,21

,0,0)( 2 ze

zzf zZ

自由度为2的χ 2分布称为

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<=

∫ ,0,)sin,cos(21

,0,0)( 2

0zdzzf

zzfZ π θθθ

Ch3-142

(4) 极值分布：即极大(小)值的分布

离散随机变量的极值分布可直接计算

仅就独立情形讨论极值分布

Ch3-143

max{X ,Y }

P1 0

0.75 0.25

例5 X, Y 相互独立, 都服从参数为 0.5 的0-1分布. 求 M = max{X ,Y }的概率分布

解 YXpij 1 0

10

0.25 0.250.25 0.25

Ch3-144

设连续随机变量X ,Y 相互独立, X ~ FX (x), Y ~ FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y },求 M ,N 的分布函数.

)},(max{)( uYXPuFM ≤=),( uYuXP ≤≤=

)()( uYPuXP ≤≤=)()( uFuF YX=

Ch3-145

)},(min{)( vYXPvFN ≤=)},(min{1 vYXP >−=

),(1 vYvXP >>−=)()(1 vYPvXP >>−=

.)](1)][(1[1 vFvF YX −−−=

Ch3-146

推广

nXXX ,,, 21 相互独立，且

nixFX iii ,,2,1),(~ =

设

},,,min{},,,max{

21

21

n

n

XXXNXXXM

==

则

∏

∏

=

=

−−=

=

n

iiN

n

iiM

vFvF

uFuF

1

1

))(1(1)(

)()(

Ch3-147

例6 系统 L 由相互独立的 n 个元件组

(4) L 为 n 个取 k 个的表决系统 ( 即 n个元件中有 k 个或 k 个以上的元件正常工作时，系统 L 才正常工作).

(3) 冷贮备 ( 起初由一个元件工作, 其它n – 1 个元件做冷贮备, 当工作元件失效时, 贮备的元件逐个地自动替换)；

成, 其连接方式为 (1)串联; (2)并联；

Ch3-148

若 n 个元件寿命分别为 nXXX ,,, 21niEXi ,,2,1),(~ =λ

且

求在以上 4 种组成方式下, 系统 L 的寿命 X 的 d.f.解

⎩⎨⎧ >

=−

其它,00,

)( ix

iXxe

xfi

i

λλ

⎩⎨⎧ >−

=−

其它,00,1

)( ix

iXxe

xFi

i

λ

Ch3-149

(1) },,,min{ 21 nXXXX =

∏=

−−=n

iXX xFxF i

1))(1(1)(

⎩⎨⎧

≤>

=−

0,00,

)(xxen

xfxn

X

λλ

⎩⎨⎧

≤>

=−−

0,1,0,

)(1xxe

xFx

Xi

λ

Ch3-150

(2) },,,max{ 21 nXXXX =

∏=

=n

iXX xFxF i

1)()(

⎩⎨⎧

≤>−

=−−−

0,00,)1(

)(1

xxeen

xfnxx

X

λλλ⎩⎨⎧

≤>−

=−

0,0,0,)1(

xxe nxλ

Ch3-151

(3) nXXXX +++= 21

∫∞+

∞−+−= dttxftfxf XXXX )()()( 2121

n = 2 时，

⎩⎨⎧

≤

>= ∫−−−

0,00,

0

)(

xxdtee

x txt λλ

⎩⎨⎧

≤>

=−

0,00,

xxxe xλ

t

x

x = t

Ch3-152

∫∞+

∞− +++−= dttxftfxf XXXXXX )()()( 321321

⎩⎨⎧

≤

>= ∫−−−

0,00,

0

)(

xxdtete

x txt λλ

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

>=−

0,0

0,!2

2

x

xex xλ

可证, X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立, 故

Ch3-153

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

>−=

−−

0,0

0,)!1()(

1

x

xenx

xfx

n

X

λ

归纳地可以证明，

Ch3-154

(4) )()( xXPxFX ≤=

⎩⎨⎧

<≥>−

=0,0,0),(1

xxxXP

( )xkXXPxXP n 个大于中至少有,,)( 1=>[ ] [ ]∑

=

−≤>=n

kj

jnjjn xXPxXPC )()( 11

[ ] [ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥−−= ∑=

−−−

0,0

0,11)(x

xeeCxFn

kj

jnxjxjn

X

λλ

Ch3-155

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−−∑

=

−−−n

kj

jnxjxjn eeCdx

d λλ 1)

( )

( )∑

∑−

=

−−−+−

−−

=

−−−

−−−

+−=

1 1)1(

1

1)(

1

n

kj

jnxxjjn

xnn

kj

jnxjxjn

eejnC

enejeC

λλ

λλλ

λ

λλ

( )

( )∑

∑−

=

−−−+−+

=

−−−

−+−

−=

1 1)1(1 1)1(

1

n

kj

jnxxjjn

n

kj

jnxjxjn

eejC

ejeC

λλ

λλ

λ

λ

Ch3-156

( )

( )∑

∑

+=

−−−

=

−−−

−−

−=

n

kj

jnxjxjn

n

kj

jnxjxjn

eejC

ejeC

11

1

λλ

λλ

λ

λ

knxxkkn eekC

−−− −= )1( λλλ

⎩⎨⎧

<≥−

=−−−

0,00,)1(

)(xxeekC

xfknxxkk

nX

λλλ

Ch3-157

作业 P.134习题三

20 22 23 26 29 30

Ch3-158

第9周 问 题

设随机变量 X 与 Y 相互独立，且

.)(~,)6.0,1(~ yfYBX

求随机变量 YXZ −= 3 的概率密度.)( zg函数

Ch3-159

问 题第10周

某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位: 箱) 取[1 , 5]上的每个整数值是等可能的. 生产每箱产品的成本是300元,出厂价每箱900元.若售不出, 则每箱以100元的保管费借冷库保存. 问该企业每周生产多少产品能使获利的期望值最大？

Ch3-160

设 X 与Y 相互独立, 且X ~ B (n, p)，Y ~ B (m, p),

则

二项分布可加性的证明附录

X + Y ~ B ( n + m , p)

证 Z = X + Y 的可能取值为0,1,2, …, n + m

kmn

k

i

ikm

in CCC +

=

− =∑0

（证明中用到 ）

Ch3-161

,),()(0∑=

−====k

iikYiXPkZP

,)()(0∑=

−===k

iikYPiXP

∑=

+−−−− −−=k

i

ikmikikm

iniin ppCppC

0)1()1(

kmnkkmn ppC

−++ −= )1(

k = 0,1,2, …, n + m

所以 X +Y~ B ( n+m , p )

Ch3-162

,),()(0∑=

−====k

iikYiXPkZP

(1) 设 n ≤ m , 当 k ≤ n 时，

,)()(0∑=

−===k

iikYPiXP

∑=

+−−−− −−=k

i

ikmikikm

iniin ppCppC

0)1()1(

kmnkkmn ppC

−++ −= )1(

kmn

k

i

ikm

in CCC +

=

− =∑0

其中

证二

Ch3-163

(2) 当 n < k ≤ m 时

∑=

−====n

iikYiXPkZP

0),()(

∑=

+−−−− −−=n

i

ikmikikm

iniin ppCppC

0)1()1(

kmnkkmn ppC

−++ −= )1(

Ch3-164

(3) 当 m < k ≤ n + m 时

∑−=

−====n

mkiikYiXPkZP ),()(

∑−=

+−−−− −−=n

mki

ikmikikm

iniin ppCppC )1()1(

kmnkkmn ppC

−++ −= )1(

故 X + Y ~ B ( n + m , p)

由二项分布背景,不难理解X+Y 表示做了n + m 次试验,事件 发生的次数.A

Ch3-165

前例3已知 ( X ,Y )的联合密度函数为

⎩⎨⎧

Ch3-166

1),(),( ⋅−= uuzfuzfZU

⎩⎨⎧ −

Ch3-167

∫∞+

∞−= duuzfzf ZUZ ),()(

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Ch3-168

附例已知 ( X ,Y )的联合密度函数为

⎩⎨⎧

Ch3-169

31),2(

31),( ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += uuzfuzfZU

⎪⎩

⎪⎨⎧ +

Ch3-170

∫∞+

∞−= duuzfzf ZUZ ),()(

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Ch3-171

附例 已知 ( X ,Y ) 的联合密度 f (x , y)求 Z = aX +bY + c 的密度函数 ,

其中 a,b,c为常数，a , b ≠ 0令

⎩⎨⎧

=++=YUcbYXaZ

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−−=

UYa

cbUZX

||1|

10

1|||

aab

aJ =−

=

Ch3-172

||1,),(a

ua

cbuzfuzfZU ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

∫∞+

∞− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= du

au

acbuzfzfZ ||

1,)(

由此得