Cours d’algèbre Licence appliquée...IDéﬁnitionsetnotations 2...

Cours d’algèbre

Licence appliquée

ISET Jerba

http://www.isetjb.rnu.tn

Haj Dahmane [email protected]

21 mars 2014


[email protected]

Table des matières

I Généralités sur les matrices 1I Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1II Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II.1 Somme de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . 8II.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25IV Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II Matrices Carrées 31I Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I.1 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre n 6 2 . . . . . . . . . . . . 31I.2 Déterminant d’une matrice d’ordre n > 2 . . . . . . . . . . . . . . . 32I.3 Les propriétés des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

II Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45III Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49IV Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

IIISystèmes d’équations linéaires 54I Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54II Méthodes de résolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II.1 Méthode d’élimination substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.2 Méthode de Pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.3 Méthode de la matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.4 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

IVNombres complexes (rappels) 63I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II Règles de calculs dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63III Interprétation géométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . 64

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TABLE DES MATIÈRES ii

IV Nombres complexes conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64V Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65VI Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 65VII Racines nièmme d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69VIII Equations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71IX Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

V Polynômes 74I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74II Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79III PPCM, PGCD de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82IV Polynômes irréductibles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85V Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86VI Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

VI.1 Algorithme de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90VI.2 Exponentiation rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

VII Série d’éxercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

VIFractions rationnelles 94I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

I.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94I.2 Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

II Racines et pôles d’une fraction rationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96III Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

III.1 Partie entière d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 97III.2 Partie polaire d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 98III.3 Décomposition en éléments simples dans C(x) . . . . . . . . . . . . . 102III.4 Méthodes pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103III.5 Décomposition en éléments simples dans R(x) . . . . . . . . . . . . . 105

IV Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

VII− Introduction a l’algèbre linéaire 110I Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114II Espaces vectoriels de dimension fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116III Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Bibliographie 119

Index 121




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«On n’enseigne pas ce que l’on sait, on enseigne ce que l’on est»

Jean Jaurès







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Chapitre I

Généralités sur les matrices

SommaireI Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

II Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II.1 Somme de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire . . . . . . . . . . . . 8

II.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

IV Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Dans tout ce chapitre, n et p sont des entiers naturels non nuls et K désigne l’ensembleR des réels ou l’ensemble C des nombres complexes.

I Définitions et notations

Définition 1Une matrice de dimension (n, p) est un tableau rectangulaire de nombres comportant nlignes et p colonnes. Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice.Lorsque n = p, on dit que la matrice et une matrice carrée d’ordre n.

RemarqueUne matrice sera représentée par une lettre majuscule, la même lettre en miniscule

sera utilisée pour désigner les coefficients de cette matrice.

Exemple 1Si A est une matrice de n lignes et p colonnes alors pour tout 1 ≤ i, j ≤ n on désigne paraij (la même lettre en miniscule) l’élément de la iième ligne et jième colonne de A.

Notations :

1. L’ensemble des matrices de dimension (n, p) à coefficient dans K est noté M(n,p)(K).




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I Définitions et notations 2

2. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n est noté Mn(K).

Exemple 2

1. Soit M =

5√

2

−1

3π

2 113

X M est une matrice de 3 lignes et 2 colonnes à coefficients réels donc M est un

élément de M(3,2)(R)

X M est une matrice de 3 lignes et 2 colonnes alors on dit que M est une matricede dimension (3, 2).

X m12 est l’élément de la 1ère ligne et 2ième colonne de M donc m12 =√

2.

X m21 est l’élément de la 2ième ligne et 1ière colonne de M alors m21 = −1

3.

X m32 est l’élément de la 3ième ligne et 2ième colonne de M d’où m32 = 113.

X M est une matrice de 3 lignes et de 2 colonnes donc M23 n’existe pas.

2. Soient A =

(−1 + 2i 100

0 2− 6i

)et N =

1 5 0

5 2 0

−3 0 0

X A est une matrice carrée d’ordre 2 à coefficients complexes alors A ∈M2(C).

X a11 = −1 + 2i, a12 = 100, a21 = 0 et a22 = 2− 6i.

X N est une matrice carrée d’ordre 3.

3. Soit B =(

1 −2 0 5).

B est une matrice d’une seule ligne et 4 colonnes. On dit que B est une matrice ligneou "vecteur ligne".B est de dimension (1, 4) et ses coefficients sont réels donc B ∈M(1,4)(R).

4. Soit C =

(−1

2 + 5i

).

C est une matrice de 2 lignes et 1 colonne =⇒ C ∈M(2,1)(C). On dit que C est unematrice colonne ou "vecteur colonne".C est une matrice de dimension (2, 1).

Remarques• Toute matrice A de n lignes et p colonnes s’écrit

A =

a11 a12 · · · · · · · · · a1p

a21 a22 · · · · · · · · · a2p...

......

......

......

...... aij

......

......

......

......

an1 an2 · · · · · · · · · anp




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II Opérations sur les matrices 3

• Pour i, j indices "génériques", on appelle aij le terme général de A et on note

A = (aij)16i6n16j6n

• Le premier indice désigne, toujours, le numéro de la ligne et le second celui de lacolonne.

• S’il y a un risque de confondre les numéros, on les sépare par un "," et on écrit ai,jau lieu de aij. On écrit, par exemple a3,12 et non pas a312.

Définition 2Deux matrices A et B sont égales si

(i) elles ont la même dimension (n, p)

(ii) aij = bij pour tout 1 ≤ i ≤ n et pour tout 1 ≤ j ≤ p.

On note dans ce cas A = B.

Exemple 3

1. Soient A =

(1 0 24√

5 π −65

)et B =

(a b c

d e f

)

A = B ⇔

a = 1

b = 0

c = 24

d =√

5

e = π

f = −65

2. Soient M =

(1 2

0 3

)et B =

1 2

0 3

0 0

.

A et B n’ont pas la même dimension donc A 6= B.

II Opérations sur les matrices

II.1 Somme de deux matrices

Définition 3Soient A et B deux matrices de même dimension (n, p). On appelle matrice somme deA et B, et on note A+B, la matrice C de M(n,p)(K) qui vérifie

ci,j = aij + bij ; ∀1 ≤ i ≤ n et ∀1 ≤ j ≤ p.




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A = (aij)16i6n16j6p

B = (bij)16i6n16j6p

=⇒ A+B = (aij + bij)16i6n16j6p

Exemple 4

1. Soient A =

(1 3

2 −5

)et B =

(−1 7

2 1

)

A+B =

(1 + (−1) 3 + 7

2 + 2 −5 + 1

)=

(0 10

4 −4

)

2. M =

(0 4

√5 0

1 −1 15 −12

)et N =

(0 3 −1 125

1 2 −3 5

)

M +N =

(0 7

√5− 1 125

3 1 12 −7

)

3. E =

(1 3

2 −1

)et F =

(5 1 0

3 −2 0

).

E et F n’ont pas la même dimension donc E + F n’est pas définie (i.e la matricesomme E + F n’existe pas).

Attention :L’addition de deux matrices n’est possible qu’à condition que les deux matrices appar-tiennent toutes deux au même ensemble. Sinon, la somme n’existe pas !

Définition 4On appelle matrice nulle de M(n,p)(K) l’élément de M(n,p)(K) dont tous les coefficientssont nuls.

RemarqueLa matrice nulle sera représentée par 0 et on doit distinguer, à partir des expressions, entrela matrice nulle et le nombre zéro.

Exemple 5

1. La matrice nulle de M2(K) est 0 =

(0 0

0 0

).




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2. La matrice nulle de M(2,3)(K) est 0 =

(0 0 0

0 0 0

)

3. La matrice nulle de M(n,p)(K) est 0 =

p colonnes︷︸︸︷0 · · · 0...

. . ....

0 · · · 0

n lignes

Définition 5Soit A ∈M(n,p)(K). On appelle matrice opposée de A la matrice −A = (−aij)16i6n

16j6p

Exemple 6

Soit A =

(a b

c d

). −A =

(−a −b−c −d

)

PropriétésSoient A, B et C trois matrices de M(n,p)(K).

1. A+B ∈M(n,p)(K).

2. A+ (B + C) = (A+B) + C.=⇒ l’addition dans l’ensemble M(n,p)(K) est associative.

3. A+B = B +A.=⇒ l’addition dans l’ensemble M(n,p)(K) est commutative.

4. A+ (−A) = −A+A = 0. (ici 0 = matrice nulle).

5. A+ 0 = 0 +A = A.=⇒ La matrice nulle est un élément neutre de l’addition dansM(n,p)(K). On démontreque 0 est l’unique élément neutre de l’addition dans Mn(K)

PreuveA, B et C sont trois matrices de M(n,p)(K) donc elles peuvent être représenter de la façonsuivante :

A =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

, B =

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p...

.... . .

...bn1 bn2 . . . bnp

et C =

c11 c12 . . . c1p

c21 c22 . . . c2p...

.... . .

...cn1 cn2 . . . cnp

1. Par définition même.

2. Soit M = A+ (B+C) et N = (A+B) +C. D’après 1. on a M, N ∈M(n,p)(K) donc




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M et N ont la même dimension. De plus

A+ (B + C) =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

+

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p...

.... . .

...bn1 bn2 . . . bnp

+

c11 c12 . . . c1p

c21 c22 . . . c2p...

.... . .

...cn1 cn2 . . . cnp

=

a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12 . . . a1p + b1p + c1p

a21 + b21 + c21 a22 + b22 + c22 . . . a2n + b2n + c2p...

.... . .

...an1 + bn1 + cn1 an2 + bn2 + cn2 . . . anp + bnp + cnp

=

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

+

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p...

.... . .

...bn1 bn2 . . . bnp

+

c11 c12 . . . c1p

c21 c22 . . . c2p...

.... . .

...cn1 cn2 . . . cnp

= (A+B) + C

autrement on peut écrire :∀ 1 ≤ i ≤ n et ∀ 1 ≤ j ≤ p on a :

mij = aij + (bij + cij)

= (aij + bij) + cij car l’addition dans K est associative

= nij

Par conséquent, M = N.

3. Soit E = A + B et F = B + A. Il est claire que E et F ont la même dimension.∀ 1 ≤ i ≤ n et ∀ 1 ≤ j ≤ p

eij = aij + bij

= bij + aij car l’addition dans K est commutative

= fij




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d’où E = F

autrement on peut écrire :

A+B =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

+

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p...

.... . .

...bn1 bn2 . . . bnp

=

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1p + b1p

a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n...

.... . .

...an1 + bn1 an2 + bn2 . . . anp + bnp

=

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p...

.... . .

...bn1 bn2 . . . bnp

+

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

= B +A.

4. Soit P = A+ (−A). ∀ 1 ≤ i ≤ n et ∀ 1 ≤ j ≤ p on a :

pij = aij + (−aij)

= 0

donc P est la matrice nulle. De même on démontre que −A+A = 0.

autrement on peut écrire :

A+ (−A) =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

+

−a11 −a12 . . . −a1p−a21 −a22 . . . −a2p...

.... . .

...−an1 −an2 . . . −anp

=

a11 − a11 a12 − a12 . . . a1p − a1pa21 − a21 a22 − a22 . . . a2p − a2p

......

. . ....

an1 − an1 an2 − an2 . . . anp − anp

=

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

.




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5. Soit Q = A+ 0. ∀ 1 ≤ i ≤ n et ∀ 1 ≤ j ≤ p

qij = aij + 0 = aij

donc Q = A et de même on démontre que 0 +A = A.

ou autrement :

A+ 0 =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

+

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

=

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

= A

�

RemarqueOn définit la soustraction dans l’ensemble M(n,p)(K) par : A−B = A+ (−B)

II.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire

Définition 6Soient A ∈ M(n,p)(K) et λ ∈ K. On appelle matrice produit de A par λ la matrice B deM(n,p)(K) qui vérifie

bij = λaij ∀1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p

On note cette matrice par λ×A ou simplement λA

λ ∈ KA = (aij)16i6n

16j6p

=⇒ λA = (λaij)16i6n16j6p

Exemple 7




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Soit A =

1 −2

−1 4

2 3

.

−5A =

−5× 1 −5× (−2)

−5× (−1) −5× 4

−5× 2 −5× 3

=

−5 10

5 −20

−10 −15

1

3A =

1

3× 1

1

3× (−2)

1

3× (−1)

1

3× 4

1

3× 2

1

3× 3

=

1

3−2

3

−1

3

4

32

31

RemarqueLe scalaire s’écrit toujours à gauche de la matrice. Ainsi on écrit 5A mais surtout pas A5 !De même on écrit 1

3A mais jamais A3

PropriétésSoient deux matrices A et B de M(n,p)(K) et deux ombres λ et µ (réels ou complexes).

1. λ(A+B) = λA+ λB.

2. (λ+ µ)A = λA+ µA.

3. λ(µA) = (λµ)A.

4. 1.A = A.

5. 0 .A = 0↖

0 de K↖

matricenulle

Preuve

Soient

A =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

et B =

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p...

.... . .

...bn1 bn2 . . . bnp




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1.

λ(A+B) = λ

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

+

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p...

.... . .

...bn1 bn2 . . . bnp

= λ

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1p + b1p

a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n...

.... . .

...an1 + bn1 an2 + bn2 . . . anp + bnp

=

λa11 + λb11 λa12 + λb12 . . . λa1p + λb1p

λa21 + λb21 λa22 + λb22 . . . λa2n + λb2n...

.... . .

...λan1 + λbn1 λan2 + λbn2 . . . λanp + λbnp

= λA+ λB.

On peut aussi démontrer cette propriété de la façon suivante :

λ(A+B) = λ(aij + bij)

= (λaij + λbij)

= λA+ λB

2.

(λ+ µ)A = (λ+ µ)

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

=

λa11 + µa11 λa12 + µa12 . . . λa1p + µa1p

λa21 + µa21 λa22 + µa22 . . . λa2n + µa2n...

.... . .

...λan1 + µan1 λan2 + µan2 . . . λanp + µanp

= λA+ µA




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3.

λ(µA) = λ

µa11 µa12 . . . µa1p

µa21 µa22 . . . µa2p...

.... . .

...µan1 µan2 . . . µanp

=

λµa11 λa12 . . . λµa1p

λµa21 λµa22 . . . λµa2n...

.... . .

...λµan1 λµan2 . . . λµanp

= (λµ)A

4.

1.A = 1×

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

=

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

= A.

5.

0.A = 0×

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

=

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

= 0

�




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Exercice 1

Soient A =

(1 −1 0

2 3√

2

)et B =

(0 −2 1

5 3 65

).

1. Calculer 3A− 2B.

2. Trouver la matrice C tel que 2A+ C = B

Solution :

1.

3A− 2B =

(3 −3 0

6 9 3√

2

)−

(0 −4 2

10 6 130

)

=

(3 1 −2

−4 3 3√

2− 130

)

2.

2A+ C = B ⇔ C = B − 2A

=

(0 −2 1

5 3 65

)−

(2 −2 0

4 6 2√

2

)

=

(−2 0 1

1 −3 65− 2√

2

)




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II.3 Produit de deux matrices

Définition 7Soient A ∈M(n,m)(K) et B ∈M(m,p)(K). On appelle produit AB la matrice C deM(n,p)(K)

qui vérifie

cij =m∑k=1

aikbkj (1.1)

Le produit AB se note aussi A×B

Remarques

1. Dans le calcule de cij interviennent les coefficients de la ième ligne de A et les coef-ficients de la jème colonne de B ce que l’on peut visualiser de la façon suivante :

b11 · · · b1j · · · b1m...

...bk1 · · · bkj · · · bkm...

......

bm1 · · · bmj · · · bmp

↓

a11 · · · a1k · · · a1m...

...ai1 · · · aik · · · aim...

...an1 · · · ank · · · anm

→

c11 · · · · · · c1p...

...cij

......

cn1 · · · · · · cnm

cij = ai1×b1j+ai2×b2j+ai3×b3j+ · · ·+aim×bmj

2. La matrice produit AB n’est définie que si le nombre de colonnes de A soit égale aunombre de lignes de B.

Exemple 8

1. A =

(2 3

−1 4

)et B =

(5 6

−7 9

)(a) Soit C = AB. D’après l’équation (1.1) de la définition (7) on a :




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X Pour i = j = 1

c11 =

2∑k=1

a1kbk1

= a11b11 + a12b12

= 2× 5 + 3× (−7) (1.2)

= −11

On remarque, a partir de l’équation (1.2), que pour calculer c11 il suffit deconsidérer la première ligne de A (première matrice) et la première colonnede B (deuxième matrice)

2 3 et5-7

et de calculer 2× 5 + 3× (−7)

X Pour i = 1 et j = 2

c12 =2∑

k=1

a1kbk2

= a11b12 + a12b22

= 2× 6 + 3× 9 (1.3)

= 39

Donc, à partir de l’équation (1.3) on remarque que pour calculer c12 il suffitde considérer la première ligne de A (première matrice) et la deuxièmecolonne de B (deuxième matrice).

2 3 et69

et de calculer 2× 6 + 3× 9

X Pour calculer c21 on considère la deuxième linge de A et la première colonnede B.

-1 4 et5-7

c21 = −1× 5 + 4× (−7) = −33

X Pour calculer c22 on considère la deuxième linge de A et la deuxième colonne




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de B.

-1 4 et69

c22 = −1× 6 + 4× 9 = 30

Par conséquent AB =

(−11 39

−33 30

)(b) Calculons BA !

BA =

5 6

-7 9

( 2-1

34

)

=

(5× 2 + 6× (−1) 5× 3 + 6× 4

−7× 2 + 9× (−1) −7× 3 + 9× 4

)

=

(4 39

−23 15

)

Il est bien claire que dans ce cas on a AB 6= BA.

2. A =

(1 2 −3

0 3 1

)et B =

6 7

4 5

−3 0

(a) A ∈ M(2,3)(K) et B ∈ M(3,2)(K) donc la matrice produit AB existe (car le

nombre de colonne de A = nombre de ligne de B). De plus AB ∈ M(2,2)(K) =

M2(K).

AB =

1 2 -3

0 3 1

6 74 5-3 0

=

(1× 6 + 2× 4 + (−3)× (−3) 1× 7 + 2× 5 + (−3)× 0

0× 6 + 3× 4 + 1× (−3) 0× 7 + 3× 5 + 1× 0

)

=

(23 17

9 15

)

(b) B ∈ M(3,2)(K) et A ∈ M(2,3)(K) donc la matrice produit BA existe (car B estune matrice de deux colonnes et A est une matrice de deux lignes). De plusBA ∈M(3,3)(K) = M3(K).




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BA =

6 7

4 5

−3 0

(

1 2 −3

0 3 1

)

=

6 7

4 5

-3 0

(

1 2 -30 3 1

)

=

6 + 0 12 + 21 −18 + 7

4 + 0 8 + 15 −12 + 5

−3 + 0 −6 + 0 9 + 0

=

6 33 −11

4 23 −7

−3 −6 9

3. A =

(1 0 2 0

0 3 1 4

)et B =

(1 −1

−2 0

)(a) A est une matrice de quatre colonnes et B est une matrice de deux lignes donc

AB n’est pas définie.

(b) B ∈ M(2,2)(K) et A ∈ M(2,4)(K) donc la matrice produit BA existe (car B estune matrice de deux colonnes et A est une matrice de deux lignes). De plusBA ∈M(2,4)(K).

BA =

(1 −1

−2 0

)(1 0 2 0

0 3 1 4

)

=

(1 −3 1 −4

−2 0 −4 0

).

=⇒ si BA existe, AB n’existe pas forcément.

4. A =

(1 −1

−2 2

)et B =

(4 7

4 7

)

AB =

(0 0

0 0

)= 0.

Pourtant, A 6= 0 et B 6= 0 on a : AB = 0! donc si A et B sont deux matrices quivérifient AB = 0 ; (A = 0 où B = 0).




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Attention :Si A et B sont des matrices alors :

1. On ne peut calculer AB que quand le nombre de colonnes de A est égal au nombrede lignes de B.

2. Si AB est définie, BA n’est pas toujours définie.

3. Si AB et BA sont définies, elled n’ont pas en général la même dimension.

4. La matrice AB, si elle existe, possède le nombre de lignes de la première matrice(ici A) et le nombre de colonnes de la deuxième (ici B).

5. Dans Mn(K), ensemble des matrices carrées d’ordre n, on peut toujours multiplierdeux matrices A, B quelconques. AB et BA seront encore des matrices carréesd’ordre n mais en général AB 6= BA

6. AB = 0 n’implique pas A = 0 ou B = 0.

Définition 8Soit A ∈Mn(K).

1. On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si aij = 0 pour tout j > i.

2. On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si aij = 0 pour tout j < i.

3. On dit que A est une matrice diagonale si aij = 0 pour tout i 6= j.

Définition 9Pour A = (aij)16i,j6n ∈Mn(K), on appelle termes diagonaux de A les termes

a11, a22, · · · , ann

c’est à dire aii avec 1 6 i 6 n

Exemple 9

1. A =

1 0 0

−5 2 0

0 4 −11

est une matrice triangulaire inférieure.

1, 2 et −11 sont les éléments diagonaux de A.

2. B =

5 0 −1 1

0 −1 11 22

0 0 0 14

0 0 0 −7

est une matrice triangulaire supérieure.

5, −1, 0 et −7 sont les éléments de la diagonale de B.




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3. D =

(−1 0

0 5

)et C =

1 0 0

0 0 0

0 0 −4

sont deux matrices diagonales.

−1, 5 sont les éléments de la diagonale de D.Les éléments 1, 0 et −4 forment la diagonale de C.

RemarquesOn peut aussi donner les définitions suivantes :

1. On dit qu’une matrice carrée est diagonale si ses termes non diagonaux sont nuls.∗ 0 · · · 0

0. . .

......

. . . . . . 0

0 · · · 0 ∗

2. On dit qu’une matrice carrée est triangulaire supérieure si ses termes strictement

au-dessous de la diagonale principale sont nuls.∗ · · · · · · ∗

0. . .

......

. . . . . ....

0 · · · 0 ∗

3. On dit qu’une matrice carrée est triangulaire inférieure si ses termes strictement

au-dessus la diagonale principale sont nuls.∗ 0 · · · 0...

. . . . . ....

.... . . 0

∗ · · · · · · ∗

où * représente n’importe quel scalaire (évidement « * » peut être nul).

On pose, pour tous 1 6 i, j 6 n, δij =

{1 si i = j

0 si i 6= j

Définition 10La matrice In = (δij)16i6n

16j6nest appelée matrice unité ou matrice identité d’ordre n.

Exemple 10




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1. La matrice unité de d’ordre 2 est I2 =

(1 0

0 1

)

2. La matrice identité d’ordre 3 est I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3. D’une façon plus générale : La matrice unité (ou identité) d’ordre n s’écrit

In =

1 0 . . . 0

0 1. . .

......

. . . . . . 0

0 . . . 0 1

Exercice 2

Soit A =

(3 −1 4

−2 0 5

). Vérifier que A× I3 = I2 ×A = A

RemarqueS’il n’y a pas de risque de confusion, la matrice In sera notée simplement par I.

Propriétés

1. Pour toutes matrices A de M(n,m)(K), B de M(m,k)(K) et C de M(k,p)(K) on a :

A(BC) = (AB)C.

2. (a) Pour toute matrice A ∈M(n,p)(K) on a :

AIp = A.

(b) Pour toute matrice A ∈M(n,p)(K) on a :

InA = A

(c) En particulier si n = p on a : AI = IA = A.

=⇒ I est l’élément neutre de la multiplication des matrices dans Mn(K).

3. Pour toutes matrices A de M(n,m)(K), B et C de M(m,p)(K) on a :

A(B + C) = AB +AC.

4. Pour toutes matrices A de M(m,p)(K), B et C de M(n,m)(K) on a :

(B + C)A = BA+ CA.




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5. Pour toutes matrices A de M(n,m)(K) et B de M(m,p)(K) et pour tous nombres (réelsou complexes) α, β on a :

(αA)(βB) = (αβ)AB.

Preuve

1. Il est bien claire que A(BC) et (AB)C sont deux matrices de M(n,p)(K).Soient αij l’élément de la iième ligne jième colonne de A(BC) et βij l’élément de laiième ligne jième colonne de (AB)C.

αij =

m∑l=1

ail(bc)lj

où (bc)lj désigne l’élément de la lième ligne jième colonne de BC or

(bc)lj =k∑

q=1

blqcqj

donc

αij =

m∑l=1

ail

k∑q=1

blqcqj

=m∑l=1

k∑q=1

ailblqcqj

=

k∑q=1

(m∑l=1

ailblq

)cqj

=

k∑q=1

(ab)iqcqj

(ab)iq désigne l’élément de la ime ligne qime colonne de AB

= βij




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2. (a)

AIp =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

1 0 . . . 0

0 1. . .

......

. . . . . . 0

0 . . . 0 1

=

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

= A.

(b) Même démonstration que (a).

(c) Il suffit d’appliquer (a) et (b) pour n = p.

3. A(B + C) et AB + AC sont deux matrices de M(n,p)(K). Soient αij l’élément de laiième ligne jième colonne de A(B + C) et βij l’élément de la iième ligne jième colonnede AB +AC.

αij =m∑k=1

aik(bkj + ckj)

=m∑k=1

aikbkj + aikckj

=m∑k=1

aikbkj +m∑k=1

aikckj

= βij .

4. même démonstration que 3.

5. (αA)(βB) et (αβ)AB sont deux matrices de M(n,p)(K).

Soient αij l’élément de la iième ligne jième colonne de (αA)(βB) et βij l’élément dela iième ligne jième colonne de (αβ)AB

αij =m∑k=1

(αaik)(βbkj)

= αβ

m∑k=1

aikbkj

= βij .

�




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Attention :Si A, B et C sont des matrices alors :

1. AB + CA 6= A(B + C)

2. AB + CA 6= (B + C)A

En effet,A(B + C) = AB +AC, comme le produit n’est pas commutatif alors AC 6= CA.Par conséquent

AB + CA 6= A(B + C)

de même

(B + C)A = BA+ CA

6= AB + CA

car AB 6= BA

Définition 11Soit A ∈ Mn(K) et p un entier naturel strictement supérieur à 1. On appelle A puissancep (où A exposant p) la matrice

Ap = A×A× . . . A︸︷︷︸P facteurs

Convention Pour toute matrice carrée A

? A1 = A.

? Si A 6= 0, A0 = In

Exemple 11

1. Soit A =

(1 −1

2 3

)

• A0 = I2 =

(1 0

0 1

)

• A1 = A =

(1 −1

2 3

).

• A2 = A.A =

(1 −1

2 3

).

(1 −1

2 3

)=

(−1 −4

8 7

)

• A3 = A2.A = A.A2 =

(−9 −11

22 13

).




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2. Soit B =

1 0 1

−1 2 0

0 1 1

• B0 = I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

• B2 = B.B =

1 0 1

−1 2 0

0 1 1

.

1 0 1

−1 2 0

0 1 1

=

1 1 2

−3 4 −1

−1 3 1

RemarqueOn a déjà remarqué que la multiplication dans l’ensemble des matrices carrées d’ordre nn’est pas une loi commutative, cependant l’associativité du produit nous permet de conclureque :

∀A ∈Mn(K); A3 = AA2 = A2.A

En effet,A3 = A×A×A

comme le produit est aasociatif alors,

A×A×A = (A×A)×A = A× (A×A)

Il en résulte queA3 = A2 ×A = A×A2

Définition 12Soient A et B deux matrices de Mn(K).

1. On dit que les matrices A et B commutent (on dit aussi permutent) si AB = BA.

2. On dit que les matrices A et B ne commutent pas (ou ne permutent pas) si AB 6= BA.

Exercice 3

(I) Soient A =

(1 −1

0 1

)et B =

(2 1

1 −1

)1. Vérifier que les matrices A et B ne commutent pas.

2. Calculer A + B, A − B, A2, AB, B2, (A + B)2, (A − B)2, (A−B)(A+B),A2 −B2, A2 + 2AB +B2 et A2 − 2AB +B2.

3. Comparer

(a) (A+B)2 et A2 + 2AB +B2.

(b) (A−B)2 et A2 − 2AB +B2




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(c) (A−B)(A+B) et A2 −B2

(II) Soient A =

(1 −1

0 1

)et B =

(2 1

0 2

)1. Vérifier que les matrices A et B commutent.

2. Comparer

(a) (A+B)2 et A2 + 2AB +B2.

(b) (A−B)2 et A2 − 2AB +B2

(c) (A−B)(A+B) et A2 −B2

(III) Expliquer ces résultats.

Conclusion :A partir de l’exercice (3) on peut déduire que pour toutes matrices A,B ∈Mn(K) on a :

1. Si A et B ne commutent pas alors

(a) (A+B)2 6= A2 + 2AB +B2.

(b) (A−B)2 6= A2 − 2AB +B2

(c) (A−B)(A+B) 6= A2 −B2

2. Si A et B commutent alors

(a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.

(b) (A−B)2 = A2 − 2AB +B2

(c) (A−B)(A+B) = A2 −B2

Attention :On ne peut utiliser les identités remarquables que lorsque les matrices commutent.

Théorème 1 (Binôme de Newton)A, B ∈Mp(K) et n ∈ N. Si A et B commutent alors

(A+B)n =n∑

k=0

CknA

n−kBk

avec, Ckn =

n!

k!(n− k)!




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III Transposée d’une matrice 25

III Transposée d’une matrice

Définition 13Soit A ∈ M(n,p)(K) on appelle matrice transposée de A la matrice B de M(p,n)(K) quivérifie

bij = aji ∀ 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ n.

La matrice transposée de A est notée tA ou TA.

RemarquesSoit A ∈M(n,p)(K)

1. A est une matrice à n lignes et p colonnes =⇒ tA est une matrice à p lignes et ncolonnes.

2. Pour tout 1 6 i 6 n ; la i-ième ligne de A devient la i-ème colonne de tA. Demême, Pour tout 1 6 j 6 p ; la j-ième colonne de A devient la j-ème ligne de tA.

Exemple 12

1. A =

1 5 3

2 4 6

A ∈M(2,3)(R) donc tA =

1 25 43 6

∈M(3,2)(R)

2. Soit A =

2-i3

12+3i

alors tA =(

2-i 3 12+3i)

PropriétésSoient A ∈M(n,m)(K) et B ∈M(m,p)(K) et soit λ ∈ K.

1. tA ∈M(m,n)(K)

2. t(tA) = A

3. t(AB) = tBtA

4. t(A+B) = tA+ tB

5. t(λA) = λtA.

Preuve

1. Par définition on a si A ∈M(n,m)(K) alors tA ∈M(m,p)(K).




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2. Soit A =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 · · · a2m...

.... . .

...an1 an2 . . . anm

alors tA =

a11 a21 . . . an1

a12 a22 · · · an2...

.... . .

...a1m a2m . . . anm

d’où

t(tA) =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 · · · a2m...

.... . .

...an1 an2 . . . anm

= A.

3. Il est claire que AB ∈ M(n,p)(K) et que t(AB) et tBtA sont deux matrices deM(p,n)(K). On note :

(AB) = (αij)16i6n16j6p

t(AB) = (βij)16i6p16j6n

et tBtA = (γij)16i6p16j6n

(AB) = (αij)16i6n16j6p

alors

αij =

m∑k=1

aikbkj

t(AB) = (βij)16i6p16j6n

donc

βij = αji =m∑k=1

ajkbki =m∑k=1

bkiajk = γij

d’où t(AB) = tBtA

�

Définition 14Soit une matrice carrée A de Mn(K).

1. On dit que A est une matrice symétrique si tA = A.

2. dit que A est une matrice antisymétrique si tA = −A.

Exemple 13

1. Soit A =

(5 9

9 11

).

tA =

(5 9

9 11

)= A donc A est une matrice symétrique.

2. Soit B =

0 −1 2

1 0 15

−2 −15 0

.




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tB =

0 1 −2

−1 0 −15

2 15 0

= −B donc B est une matrice antisymétrique.

RemarqueSoit A ∈Mn(K). Si A est une matrice antisymétrique alors

aii = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n.

Exercice 4Soit A ∈M(n,p)(K).

1. Montrer que les produits tA×A et A× tA sont bien définis.

2. Montrer que les matrices tAA et AtA sont des matrices symétriques.




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IV Série d’exercices 28

IV Série d’exercices

Série n◦ 1

Exercice 1

Calculer, si cela est possible, 3A− 12B

1. A =

0 2

1 1

6 3

et B =

0 11 6

32

√2 5

3. A =

1 i 0

2 1 1

0 1 1

et B =

3 0 1

6 6 9

15 2 1

2. A =

1 −4

−7 2

5 15

et B =

0 −9

5i 0

8 11

4. A =

3 π 7

2 8 9

et B =

0 0 0

5 14 1

5 2 3

Exercice 2

Calculer, si cela est possible, AB et BA

1. A =

1 + i −1

2 1

et B =

1 2

5 3

i −1

1 0

2. A =

1 4 3

0 −2 −1

et B =

−1

2

4

3. A =

1 13

3 2

et B =

2 0 5

1 4 2

3 3 6

4. A =

1 0 1

0 5 1

et B =

2 0

0 4

1 0

5. A =

(1 3 4

)et B =

(1 2 5

)6. A =

2 1 4 1

5 2 1 0

et B =

0 0

5 0

1 0

0 0

7. A =

(1 2− i 3

)et B =

3 + i

2

1

8. A =

(2 1− 2i

)et B =

1 −1

2 1

Exercice 3

Calculer, si cela est possible, A2, AB, BA, tBA et tAtB




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IV Série d’exercices 29

1. A =

2 3 2

0 3 5

et B =

1 2

5 3

4. A =

1 0 3

0 0 0

1 0 4

et B =

1 4

0 −3

4 1

2. A =

1 13 4

3 2 5

et B =

2

1

−3

5. A =

1 0 1

0 5 1

et B =

2 0

0 7

1 0

3. A =

−1 1

i 0

et B =

1 2

0 3

1 0

6. A =

0 1 0

5 0 1

0 2 0

et B =

0 0 0

5 0 3

1 0 4

0 0 0

Exercice 4

Soit la matrice A =

(5 −4

4 −3

). Calculer A2013.

(On peut remarquer que A = I + 4J ou J =

(1 −1

1 −1

).)

Exercice 5

On considère la matrice et A =

(1 2

−1 −2

)existe-t-il une matrice carrée non nul B tel

que AB = 0 ?

Exercice 6Soit A ∈Mn(K). On considère les matrices S = A+ tA et R = A− tA

1. Montrer que S est une matrice symétrique.

2. Montrer que R est une matrice antisymétrique.

3. Déduire une décomposition de A en une somme d’une matrice symétrique et unematrice antisymétrique.

Exercice 7

1. Soit n ∈ N∗. On considère la matrice diagonale A =

a1 0 · · · 0

0 a2. . .

......

. . . . . . 0

0 . . . 0 an

. Montrer




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Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Jerba

que pour tout p ∈ N on a Ap =

ap1 0 · · · 0

0 ap2. . .

......

. . . . . . 0

0 . . . 0 apn

2. Peut-on trouver une matrice carrée non nulle M tel que

(a) M2 = M .

(b) M2 = 0

Un homme peut se permettre de prendre, son argent, tous ses biens... mais jamais son temps. Unétudiant n’a ni argent ni biens... il a son temps.


Index

K, 74A ∨B, 82A ∧B, 83Ap, 22A−1, 45Aij , 32In, 18M(n,p)(K), 1P (k), 78V (P ), 77z̄, 64δij , 18C, 63| A |, 31detA, 31, 34com(A), 46Im(z), 63R(z), 63arg(z), 65deg(P ), 77i, 63TA, 25tA, 25

affixe, 64Algorithme d’exponentiation, 91

Binôme de Newton, 24Bézout, 84

comatrice, 46Conjugué, 64

degré d’un polynôme, 77

dimensiond’une matrice, 1

diviseur d’un polynôme, 81Division euclidienne, 79déterminant

d’une matrice d’ordre 1, 31d’une matrice d’ordre 2, 31d’une matrice d’ordre >2, 34, 35, 37

Forme trigonométrique, 65

Gauss, 84

Horner, Algorithme, 90

inversed’une matrice, 45

liniarisation, 68, 69

Matriceadjointe, 46

matrice, 1carrée, 1opposée, 5antisymétrique, 26diagonale, 17identité, 18nulle, 4symétrique, 26transposée, 25triangulaire, 17unité, 18

Module, 65Moivre, 67




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INDEX 32

ordred’une matrice carrée, 1

PGCD, 83Plan complexe, 64polynôme dérivé, 78polynôme irréductible, 85polynôme nul, 75polynôme unitaire, 81polynômes associés, 82Polynômes premiers entre eux, 84PPCM, 82

racine nièmme, 69racine d’ordre k, 87racine d’un polynôme, 75Règle de Srrus, 44

signature, 32sous-matrice, 32

Taylor, 89transposée d’une matrice, 25

valuation d’un polynôme, 77




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INDEX 33




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