Curs 11 1. Primitive - Department of Mathematics and...

Curs 11

1. Primitive

11.1 Definitie. Proprietati

Definitia 11.1.1 Fie f : J → R, unde J ⊂ R este un interval. Functia F : J → R senumeste primitiva a functiei f pe intervalul J , daca

1. F este derivabila pe J ;2. F ′(x) = f(x), ∀ x ∈ J .

Propozitia 11.1.2 Fie J ⊂ R un interval si f : J → R. Daca F1, F2 : J → R sunt douaprimitive ale functiei f atunci exista c ∈ R astfel ıncat

F1(x) = F2(x) + c, ∀ x ∈ J.

Demonstratie. Functiile F1 si F2 fiind primitive pentru f , sunt functii derivabile pe J si F ′1(x) =

F ′2(x) = f(x), ∀ x ∈ J. Deci (F1−F2)′(x) = 0 pentru orice x ∈ J , iar o functie cu derivata nula pe

un interval este constanta pe acel interval. Prin urmare exista c ∈ R astfel ıncat F1(x) − F2(x) =

c, ∀ x ∈ J. �

Observatia 11.1.3 Fiind data F0 o primitiva a unei functii f pe un interval J , orice altaprimitiva a lui f este de forma

F = F0 + c, c ∈ R.Daca f este definita pe reuniuni de intervale, Definitia 11.1.1 se poate extinde, dar

observatia precedenta nu este valabila. De exemplu, functia f : R \ {0} → R, f(x) =x, ∀ x ∈ R \ {0} admite ca primitive ambele functii F1, F2 : R \ {0} → R,

F1(x) =x

2, ∀ x 6= 0, F2(x) =

x

2, x < 0

x

2+ 1, x > 0

dar diferenta F2 − F1 nu este o constanta pentru toti x 6= 0.

F1(x)− F2(x) =

{0, x < 01, x > 0.

Definitia 11.1.4 Fie J ⊂ R un interval si f : J → R o functie care admite primitive peJ . Multimea tuturor primitivelor lui f se numeste integrala nedefinita a functiei f si senoteaza prin simbolul ∫

f(x) dx.

Operatia de calculare a primitivelor unei functii se numeste integrare.

1

2 CURS 11. 1. PRIMITIVE

Observatia 11.1.5 Daca notam C = {f : J → R | f constanta} si observam ca

λ C = C, ∀ λ ∈ R∗; C + C = C

atunci pentru o functie f : J → R care are primitiva F vom scrie∫f(x) dx = F + C (11.1)

si ∫F ′(x) dx = F + C. (11.2)

Observatia 11.1.6 O functie f care admite primitive pe un interval J are proprietatea luiDarboux pe acel interval. Aceasta deoarece derivata oricarei functii derivabile are proprietatealui Darboux. Mai reamintim ca imaginea unui interval printr-o functie care are proprietatealui Darboux este un interval. Prin urmare, o functie care nu are aceasta proprietate pe uninterval nu admite primitive pe acel interval.

De exemplu functia f : R→ R

f(x) =

{0, x < 01, x ≥ 0

nu admite primitive pe R deoarece f nu are proprietatea lui Darboux, f(R) = {0, 1}.

Teorema 11.1.7 Orice functie continua f : [a, b]→ R admite primitive.

Teorema 11.1.8 Fie f, g : J → R functii care admit primitive si fie λ ∈ R, λ 6= 0. Atuncifunctiile f + g si λf admit de asemenea primitive pe J si au loc relatiile:∫

(f(x) + g(x)) dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx, (11.3)∫

λf(x) dx = λ

∫f(x) dx. (11.4)

Demonstratie. Daca F este o primitiva a lui f iar G o primitiva a lui g atunci F si G suntderivabile si F ′ = f , G′ = g. De aici deducem ca F +G si λF sunt derivabile pe J si

(F +G)′ = F ′ +G′ = f + g, (λF )′ = λF ′ = λf,

adica F + G este o primitiva a lui f + g si λF este o primitiva a lui λf. Relatiile (11.3) si (11.4)

rezulta din Observatia 11.1.5. �

Observatia 11.1.9 Ipoteza λ 6= 0 este esentiala ın demonstrarea egalitatii (11.4). Intr-adevar, daca λ = 0 atunci λf = 0 deci orice functie constanta este primitiva a lui λf .Asadar ∫

λf(x) dx = 0 + C = C.

Pe de alta parte, daca λ = 0, atunci

λ

∫f(x) dx = {0}.

Deci, ın general are loc incluziunea

λ

∫f(x) dx ⊂

∫λf(x) dx,

incluziunea fiind stricta cand λ = 0.

11.1. DEFINITIE. PROPRIETATI 3

Tabelul primitivelor

1.

∫xn dx =

xn+1

n+ 1+ C, J ⊂ R

2.

∫xa dx =

xa+1

a+ 1+ C, J ⊂ (0,+∞), a ∈ R \ {−1}

3.

∫ax dx =

ax

ln a+ C, J ⊂ R, a ∈ R+ \ {0, 1}

4.

∫1

xdx = ln |x|+ C, J ⊂ (−∞, 0) sau J ⊂ (0,+∞)

5.

∫1

x2 − a2dx =

1

2aln

∣∣∣∣x− ax+ a

∣∣∣∣+ C, J ⊂ R \ {−a, a}, a 6= 0

6.

∫1

x2 + a2dx =

1

aarctg

x

a+ C J ⊂ R, a 6= 0

7.

∫sinx dx = − cosx+ C, J ⊂ R

8.

∫cosx dx = sinx+ C, J ⊂ R

9.

∫1

cos2 xdx = tg x+ C, J ⊂ R \ {(2k + 1)π

2}, k ∈ Z

10.

∫1

sin2 xdx = −ctgx+ C, J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z

11.

∫tgx dx = − ln | cosx|+ C, J ⊂ R \ {(2k + 1)π

2}, k ∈ Z

12.

∫ctgx dx = ln | sinx|+ C, J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z

13.

∫1√

x2 + a2dx = ln(x+

√x2 + a2) + C, J ⊂ R, a 6= 0

14.

∫1√

x2 − a2dx = ln |x+

√x2 − a2|+C, J ⊂ (−∞,−a) sau J ⊂ (a,∞), a > 0

15.

∫1√

a2 − x2dx = arcsin

x

a+ C, J ⊂ (−a, a), a > 0.

Teorema 11.1.10 (Formula de integrare prin parti) Daca f, g : J → R sunt functiide clasa C1 pe J (functii derivabile cu derivate continue) atunci functiile fg, f ′g, fg′ admitprimitive multimile lor de primitive satisfac:∫

f(x)g′(x) dx = fg −∫f ′(x)g(x) dx. (11.5)

Demonstratie. Functiile fg, f ′g, fg′ sunt continue deci admit primitive. Avem

(fg)′ = f ′g + fg′

si aplicand Teorema 11.1.8 egalitatii de mai sus obtinem∫(fg)′(x) dx =

∫f ′(x)g(x) dx+

∫f(x)g′(x) dx.


Din Observatia 11.1.5 avem ∫(fg)′(x) dx = fg + C,

de unde rezulta (11.5). �

Exemplul 11.1.11 Sa calculam

∫x cosx dx. Daca alegem f(x) = x, g′(x) = cosx atunci

avem f ′(x) = 1, g(x) = sin x. Din (11.5) gasim∫x cosx dx = x sinx−

∫sinx dx = x sinx+ cosx+ C.

Teorema 11.1.12 (Formula de schimbare de variabila) Fie I, J intervale din R si fieϕ : I → J, f : J → R functii cu urmatoarele proprietati:1◦ ϕ derivabila pe I.2◦ f are primitive si fie F o primitiva a sa.Atunci functia (f ◦ ϕ) · ϕ ′ admite primitive si are loc∫

f(ϕ(t)) · ϕ ′(t) dt = F ◦ ϕ+ C. (11.6)

Demonstratie. Functiile F (ca primitiva pentru f) si ϕ sunt derivabile. Folosind teorema dederivare a functiilor compuse rezulta ca F ◦ ϕ este derivabila pe I si

(F ◦ ϕ)′(t) = F ′(ϕ(t)) · ϕ ′(t) = f(ϕ(t)) · ϕ ′(t), ∀t ∈ I.

Deci F ◦ ϕ este o primitiva a functiei (f ◦ ϕ) · ϕ′. �

11.2 Metode de calcul

Vom prezenta acum cateva clase de integrale nedefinite. Incepem cu clasa functiilor rationale.Se numesc fractii simple functiile rationale de forma

A

(x− a)n, x 6= a

si(Ax+B)

(ax2 + bx+ c)n, cu b2 − 4ac < 0,

ın ambele cazuri n fiind un numar natural.Reamintim integralele fractiilor simple de mai sus. Calculul se face pe intervale pe care

functiile sunt definite.

I1 =∫ 1

x− adx = ln |x− a|+ C, x ∈ I, I interval inclus ın (a,∞) sau (−∞, a) .

I2 =∫ 1

(x− a)ndx =

∫(x− a)−n dx =

1

−n+ 1

1

(x− a)n−1 + C, x > a.

I3 =∫ Ax+B

(x− α)2 + β2dx =

A

2

∫ 2 (x− α)

(x− α)2 + β2dx+ (Aα +B)

∫ 1

(x− α)2 + β2dx, de unde

I3 =A

2ln[(x− α)2 + β2

]+Aα +B

βarctg

x− αβ

+ C.

11.2. METODE DE CALCUL 5

Jn =∫ Ax+B[

(x− α)2 + β2]ndx, n ∈ N, n ≥ 2, x ∈ R. Vom stabili o formula de recurenta

pentru calculul integralelor nedefinite Jn. Scriem Jn sub forma

Jn =A

2

∫ [(x− α)2 + β2

]′[(x− α)2 + β2

]ndx+ (Aα +B) In, (4)

unde In =∫ 1

(u2 + β2)ndu, u = x−α. Pentru a obtine o formula de recurenta pentru calculul

lui In, observam ca

In =1

β2

∫1

(u2 + β2)n−1du−1

2β2

∫2u2

(u2 + β2)ndu

sau

In =1

β2In−1 −

1

2β2

∫u

[1

−n+ 1

(u2 + β2

)−n+1]′du.

Integrand prin parti, se gaseste

In =1

β2In−1 −

1

2β2

[1

−n+ 1

u

(u2 + β2)n−1 −1

−n+ 1

∫1

(u2 + β2)n−1du

].

Am ajuns astfel din nou la In−1. Asadar,

In =1

β2

2n− 3

2n− 2In−1 +

1

β2

1

2n− 2

u

(u2 + β2)n−1 . (5)

Din aceasta formula de recurenta se poate deduce orice In si, prin intermediul formulei (4) ,orice Jn.

Exercitiul 11.1 Sa se calculeze integrala nedefinita

I =

∫2x+ 1

(x+ 1)2 (x− 2) (x2 + 1)dx

pe un interval ce nu contine punctele −1 si 2.

Rezolvare. Facem descompunerea ın fractii simple

f (x) =A

(x+ 1)2 +B

x+ 1+

C

x− 2+Dx+ E

x2 + 1.

Dupa un calcul simplu se obtin valorile constantelor: A = 1/6, B = −1/9, C = 1/9, D = 0,E = −1/2. Integrand fiecare fractie ın parte, se obtine

I =−1

6 (x+ 1)− 1

9ln |x+ 1|+ 1

9ln |x− 2| − 1

2arctg x+ C, x ∈ J,

unde J este intervalul de definitie al functiei f.

Analizam acum cateva clase de integrale reductibile la integrale din functii rationale.

a) Integrale din functii rationale dependente de functii trigonometrice:

I =

∫R (sinx, cosx) dx, x ∈ I,


unde R este o functie rationala de doua variabile u = sinx, v = cosx, definite pe un intervaldeschis I.

Prin intermediul schimbarii de variabila tg(x/2) = t, x ∈ J (J fiind un interval pe carecos(x/2) 6= 0, I ∩ J= interval cu interior nevid) si tinand cont de formulele trigonometrice

sinx =2 tg x

2

1 + tg2 x2

, cosx =1− tg2 x

2

1 + tg2 x2

,

integrala I se transforma ıntr-una dintr-o functie rationala. In adevar, x (t) = 2 arctg t,x′ (t) = 2/ (1 + t2) si deci I se reduce la calculul integralei

2

∫R

(2t

1 + t2,1− t2

1 + t2

)1

1 + t2dt,

care este o integrala dintr-o functie rationala.Daca R (− sinx,− cosx) = R (sinx, cosx) , x ∈ I, atunci calculul integralei se poate

simplifica facand schimbarea de variabila tgx = t, cu x ∈ J, unde J este un interval pecare cosx 6= 0 si astfel ca I ∩ J sa fie un interval cu interior nevid. Atunci x (t) = arctg t,x′ (t) = 1/ (1 + t2) . Cum 1/ cos2 x = tg2 x+ 1 = t2 + 1, rezulta ca I devine∫

R

(t√

1 + t2,

1√1 + t2

)1

1 + t2dt.

Daca R (− sinx, cosx) = −R (sinx, cosx) , x ∈ I (functie impara ın variabila sin), atuncipoate fi mai convenabila schimbarea de variabila t = cosx.

Daca R (sinx,− cosx) = −R (sinx, cosx) , x ∈ I (functie impara ın variabila cos), atuncise poate utiliza schimbarea de variabila t = sinx.

Exercitiul 11.2 Sa se calculeze integrala I =∫ 1

5 + 4 sinxdx, x ∈ R.

Rezolvare. Observam ca 5 + 4 sinx 6= 0, (∀)x ∈ R. Facem schimbarea de varaibilat = tg (x/2), pentru x 6= kπ + π/2 (k ∈ Z) si, conform celor prezentate mai sus ın cazulgeneral, I devine

I = 2

∫1

5t2 + 8t+ 5dt =

2

5

∫1(

t+ 45

)2+ 9

25

dt.

Utilizand primitivele functiilor elementare si revenind la variabila x, ajungem la

I =2

3arctg

5 tg (x/2) + 4

3+ C.

Exercitiul 11.3 Calculati I =∫ sin2 x

1 + sin2 xdx, x ∈ R.

Rezolvare. Deoarece R (− sinx,− cosx) = R (sinx, cosx) , facem schimbarea de varia-bila tgx = t. Impartind si numaratorul si numitorul la cos2 x, scriem integrala I sub forma

I =

∫tg2x

1

cos2 x+ tg2x

dx,

sau, folosind formula cos2 x = 1/ (t2 + 1) , ajungem la integrala dintr-o functie rationala

I =∫ t2

(2t2 + 1) (t2 + 1)dt. Descompunem ın fractii simple si integram:


I =

∫1

t2 + 1dt−

∫1

2t2 + 1dt = arctg t−

√2

2arctg

(√2t)

+ C.

Revenind la variabila x, se ajunge la

I =x−√

2

2arctg

(√2tg x

)+ C.

Exercitiul 11.4 Sa se determine primitivele functiei

f (x) = 1/ sin3 x cos2 x, x ∈ (0, π/2) .

Rezolvare. Observam ca R (− sinx, cosx) = −R (sinx, cosx) , deci putem face schimba-

rea de variabila cosx = t. Functia f devine f (t) = 1/t2 (1− t2)3/2, iar x′ (t) = −1/

√1− t2.

Integrala devine

I = −∫

1

t2 (1− t2)2dt.

Am ajuns astfel la o integrala dintr-o functie rationala. Descompunem functia de sub inte-grala ın fractii simple:

1

t2 (1− t2)2 =A

t+B

t2+

C

t+ 1+

D

(t+ 1)2 +E

t− 1+

F

(t− 1)2 .

Se determina coeficientii A,...,F si se integreaza fiecare fractie.

b) Integrale de tip Euler:

I =

∫R(x,√ax2 + bx+ c

)dx, x ∈ I, a 6= 0,

unde R este o functie rationala de doua variabile u = x, v =√ax2 + bx+ c, definite pe un

interval deschis I pe care ax2 + bx+ c > 0. Vom indica metode de calcul pentru integrala Iın urmatoarele trei cazuri particulare.

a) Daca a > 0, se face una dintre schimbarile de variabila√ax2 + bx+ c =

√ax+ t sau

√ax2 + bx+ c =

√ax− t sau√

ax2 + bx+ c = −√ax+ t sau

√ax2 + bx+ c = −

√ax− t.

b) Daca trinomul ax2 + bx+ c are radacini reale x1, x2, atunci putem scrie ax2 + bx+ c =a (x− x1) (x− x2) . Vom face schimbarea de variabila

√a (x− x1) (x− x2) = t (x− x1) ,

x ∈ I sau√a (x− x1) (x− x2) = t (x− x2) , x ∈ I, unde I este un interval ce nu contine pe

x1 (ın primul caz), respesctiv x2 (ın al doilea caz).c) Daca c > 0, se face una dintre schimbarile de variabila√ax2 + bx+ c = tx±

√c sau

√ax2 + bx+ c = ±tx+

√c.

Exercitiul 11.5 Calculati I =∫ 1

(1 + x)√x2 + x+ 1

dx, cu x ∈ I, I fiind un interval ce nu

contine pe −1.

Rezolvare. Suntem deopotriva ın cazurile a) si c). Vom lucra de exemplu cu schimbareade variabila

√x2 + x+ 1 = x + t corespunzatoare cazului a). Ridicand la patrat, avem

x2 +x+1 = x2 +2tx+ t2, de unde x (t) =t2 − 1

1− 2t. Deci x′ (t) = −2

t2 − t+ 1

(2t− 1)2 , 1+x =t2 − 2t

1− 2t,

iar√x2 + x+ 1 = x+t =

−t2 + t− 1

1− 2t. Folosind schimbarea de variabila ın integrala, obtinem


I = 2∫ 1

t2 − 2tdt. Descompunand ın fractii simple

1

t2 − 2t=

1

2

(−1

t+

1

t− 2

), integrand si

apoi revenind la variabila x, rezulta ca

I = ln

∣∣∣∣∣√x2 + x+ 1− x− 2√x2 + x+ 1− x

∣∣∣∣∣+ C.

Exercitiul 11.6 Sa se determine valoarea integralei

I =

∫1

(2x− 3)√

4x− x2dx, x ∈ I,

unde I este un interval inclus ın (0, 4) care nu contine pe 3/2.

Rezolvare. Suntem ın cazul b) cu x1 = 0, x2 = 4. Vom face de exemplu schimbarea

de variabila√

4x− x2 = tx. De aici deducem pe rand x (t) =4

t2 + 1, x′ (t) =

−8t

(t2 + 1)2 ,

2x− 3 =5− 3t2

t2 + 1,√

4x− x2 =4t

t2 + 1. Atunci integrala devine I = 2

∫ 1

3t2 − 5dt. Un calcul

simplu ne conduce la

I =

√5

3ln

∣∣∣∣∣√

3(4− x)−√

5x√3(4− x) +

√5x

∣∣∣∣∣+ C.

Exercitiul 11.7 Sa se calculeze primitivele functiei

f (x) =1

1 +√

1− 2x− x2, x ∈ D,

D fiind intervalul pe care functia este definita.

Rezolvare. Suntem ın cazul c) de la integrale de tip Euler. Vom face de exemplusubstitutia

√1− 2x− x2 = tx− 1. Un simplu calcul ne conduce la

x (t) =2 (t− 1)

t2 + 1, x′ (t) = 2

−t2 + 2t+ 1

(t2 + 1)2 , 1 +√

1− 2x− x2 =2t2 − 2t

t2 + 1.

Atunci

I =

∫−t2 + 2t+ 1

t (t− 1) (t2 + 1)dt =

∫ (−1

t+

1

t− 1+

2

t2 + 1

)dt.

Integrand si revenind apoi la substitutia facuta, se ajunge la

I = ln

∣∣∣∣1− x

1 +√

1− 2x− x2

∣∣∣∣+ 2 arctg1 +√

1− 2x− x2

x+ C.

Integrala Riemann (integrala definita)

11.3 Definitia integralei definite (Riemann)

Fie [a, b] un interval ınchis si marginit din R. Se numeste diviziune a intervalului [a, b] unsistem de puncte

∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

Multimea diviziunilor intervalului [a, b] o vom nota D[a, b]. Norma diviziunii ∆ se noteaza‖∆‖ si este cea mai mare dintre lungimile intervalelor [xi−1, xi ], i = 1, n.

‖∆‖ = max1≤i≤n

(xi − xi−1).

Un sistem de n puncte {ξ1, ξ2, . . . , ξn}, ξi ∈ [xi−1, xi ], i = 1, n se numeste sistem depuncte intermediare asociat diviziunii ∆.

Definitia 11.3.1 Fie f : [a, b]→ R. Numarul real

σ∆(f, ξi) =n∑i=1

f(ξi) · (xi − xi−1) (11.7)

se numeste suma Riemann asociata functiei f , diviziunii ∆ si sistemului de puncte inter-mediare (ξi)

ni=1.

Definitia 11.3.2 Functia f : [a, b]→ R se numeste integrabila Riemann (integrabila)pe intervalul [a, b] daca exista un numar real If cu urmatoarea proprietate:∀ε > 0, ∃ηε > 0 astfel ca pentru orice diviziune ∆ ∈ D[a, b] cu ‖∆‖ < ηε si pentru oricealegere a punctelor intermediare (ξi)

ni=1 are loc

|σ∆(f, ξi)− If | < ε. (11.8)

Numarul If asociat functiei integrabile f : [a, b] → R este unic determinat, se numesteintegrala definita (sau integrala Riemann) a functiei f si se noteaza

If =

∫ b

a

f(x) dx.

Multimea functiilor integrabile pe [a, b] o vom nota R([a, b]).Prin definitie ∫ a

a

f(x)dx = 0,

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx.

9


Interpretarea geometrica a integralei Riemann

Daca f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] atunci suma Riemann reprezinta suma ariilor dreptunghiurilorde baza xi− xi−1 si ınaltime f(ξi), astfel ıncat σ∆(f, ξi) aproximeaza aria multimii din plan,numita subgraficul functiei f

Df = {(x, y); x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)}.

Suma Riemann cu partitie echidistanta, pentru integrala5/2∫0

12

(−x3 + 3x2 − 2x+ 2

)dx

Observatia 11.3.3 Integrala definita a unei functii este un numar real, spre deosebire deintegrala nedefinita care este o multime de functii (multimea primitivelor).

Teorema 11.3.4 Fie f, g : [a, b] → R, f ∈ R([a, b]) si g(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b] \ A,A ⊂ [a, b], multime finita. Atunci g ∈ R([a, b]) si∫ b

a

g(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx.

Aceasta teorema ne spune ca daca se modifica valorile unei functii integrabile ıntr-omultime finita de puncte atunci functia nou obtinuta este integrabila si mai mult, integralelecelor doua functii coincid.

Teorema 11.3.5 Functia f : [a, b]→ R este integrabila daca si numai daca are loc urmatoareaproprietate: exista I ∈ R astfel ıncat oricare ar fi (∆n)n un sir de diviziuni ale intervalului[a, b], ∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn}, cu lim

n→∞‖∆n‖ = 0 si pentru orice sistem de puncte intermedi-

are (ξni )kni=1, ξni ∈ [xni−1, x

ni ], sirul sumelor Riemann (σ∆n(f, ξni ))n converge la I.∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

σ∆n(f, ξni ).

11.4 Proprietati ale integralei definite

Teorema 11.4.1 Fie f, g : [a, b]→ R integrabile pe intervalul [a, b] si λ ∈ R atunci f + g siλf sunt integrabile pe [a, b] si au loc∫ b

a

(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx,

∫ b

a

λf(x) dx = λ

∫ b

a

f(x) dx.

11.4. PROPRIETATI ALE INTEGRALEI DEFINITE 11

Teorema 11.4.2 Fie f : [a, b]→ R integrabila cu f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b]. Atunci∫ b

a

f(x) dx ≥ 0.

Corolarul 11.4.3 1◦ Daca f, g : [a, b] → R sunt functii integrabile si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈[a, b] atunci are loc ∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx. (11.9)

2◦ Daca f : [a, b]→ R este o functie integrabila si m ≤ f(x) ≤M, ∀x ∈ [a, b] atunci

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤M(b− a). (11.10)

Teorema 11.4.4 (de marginire a functiilor integrabile) Daca f ∈ R [a, b] , atunci feste marginita pe [a, b] .

Observatia 11.4.5 Ca o consecinta directa a teoremei de mai sus, putem afirma ca daca ofunctie reala este nemarginita pe un interval compact, atunci ea nu este integrabila Riemannpe acel compact.

Observatia 11.4.6 Reciproca acestei teoreme nu este adevarata, adica exista functii marginitepe un interval [a, b] care nu sunt integrabile Riemann pe [a, b] . Un contraexemplu este urmatorul.

Exercitiul 11.8 Functia f : [a, b]→ R data de

f (x) =

{1, x ∈ [a, b] ∩Q0, x ∈ [a, b] \Q,

este marginita pe [a, b] de 0 si de 1, dar nu este integrabila Riemann pe [a, b] . Ea se numestefunctia lui Dirichlet. Intr-adevar, fie ∆ ∈ D [a, b] , ∆ : a = x0 < x1 < ... < xn = b. Fiecareinterval [xi−1, xi] contine atat numere rationale cat si numere irationale. Fie ξ = (ξi)i=1,n

∈ P (∆) .Daca prin reducere la absurd f ar fi integrabila pe [a, b] , atunci suma Riemann ar trebui

sa aiba aceeasi limita, indiferent cum alegem punctele intermediare ξi. Daca alegem ξi ∈[xi−1, xi] \Q, atunci f (ξi) = 0 si deci S (f,∆, ξ) = 0. Daca ξi ∈ [xi−1, xi]∩Q, atunci f (ξi) = 1si deci S (f,∆, ξ) = b − a. Am ajuns astfel la o contradictie, deci afirmatia de mai sus estejustificata.

Teorema 11.4.7 (Teorema de medie) Daca f : [a, b] → R este continua, atunci existac ∈ [a, b] astfel ıncat

1

b− a

∫ b

a

f(x) dx = f(c). (11.11)

Demonstratie. Functia f , fiind continua pe intervalul compact (marginit si ınchis) [a, b], estemarginita si ısi atinge marginile. Deci exista u, v ∈ [a, b], m,M ∈ R astfel ıncat

f(u) = m = infx∈[a,b]

f(x) si f(v) = M = supx∈[a,b]

f(x).

Deoarece m ≤ f(x) ≤M, ∀x ∈ [a, b], folosind (11.10), obtinem

f(u) = m ≤ 1

b− a

∫ b

af(x) dx ≤M = f(v).


Cum f este continua pe [a, b], f are proprietatea lui Darboux pe [a, b], deci exista c ∈ [a, b] astfelıncat

f(c) =1

b− a

∫ b

af(x) dx. �

Observatia 11.4.8 Daca f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] si scriem relatia (11.11) sub forma

f(c)(b− a) =

∫ b

a

f(x) dx

deducem ca exista c ∈ [a, b] astfel ıncat subgraficul functiei f are aceeasi arie cu dreptunghiulde baza b− a si ınaltime f(c).

Propozitia 11.4.9 1. Daca f : [a, b]→ R este continua, atunci are loc inegalitatea∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx.

2. Daca f : [a, b]→ R este continua si pozitiva, iar [ c, d ] ⊂ [a, b], atunci∫ d

c

f(x)dx ≤∫ b

a

f(x)dx.

3. Daca f : [a, b]→ R este continua, pozitiva si neidentic nula pe (a, b), a < b, atunci∫ b

a

f(x)dx > 0.

Teorema 11.4.10 (de aditivitate a integralei ın raport cu intervalul) Fie f : [a, b]→R si c ∈ (a, b) dat. Daca f ∈ R [a, c] si f ∈ R [c, b] , atunci f ∈ R [a, b] si∫ b

a

f (x) dx =

∫ c

a

f (x) dx+

∫ b

c

f (x) dx. (7)

Exercitiul 11.9 Fie

f : [1, 3]→ R, f (x) =

{ex, x ∈ [1, 2]2x+ 1, x ∈ [2, 3] .

Sa se arate ca f ∈ R [1, 3] si sa se calculeze∫ 3

1f (x) dx.

Rezolvare. Notam f1 (x) = ex, x ∈ [1, 2] si f2 (x) = 2x + 1, x ∈ [2, 3] . Deoarecef1 ∈ R [1, 2] si f2 ∈ R [2, 3] , rezulta ca f ∈ R [1, 3] si∫ 3

1

f (x) dx =

∫ 2

1

exdx+

∫ 3

2

(2x+ 1)dx = e2 − e+ 6.

Teorema 11.4.11 (inegalitatea lui Schwarz-Cauchy-Buniakowski) Daca f, g ∈ R [a, b] ,atunci (∫ b

a

f (x) g (x) dx

)2

≤(∫ b

a

f 2 (x) dx

)(∫ b

a

g2 (x) dx

).

11.5. CLASE DE FUNCTII INTEGRABILE 13

11.5 Clase de functii integrabile

Teorema 11.5.1 (Teorema de existenta a primitivelor unei functii continue) Fie f :[a, b]→ R. Daca f ∈ R [a, b] , atunci functia F : [a, b]→ R data de

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt, ∀x ∈ [a, b] (11.12)

este continua pe [a, b] . Daca f este continua pe [a, b] , atunci functia F este o primitiva afunctiei f , care se anuleaza ın punctul a.

Demonstratie. Fie x0 ∈ [a, b] arbitrar fixat. Vom demonstra ca F este derivabila ın x0 siF ′(x0) = f(x0). Avem

F (x)− F (x0) =

∫ x

af(t)dt−

∫ x0

af(t)dt =

∫ x

x0

f(t)dt.

Din teorema de medie aplicata functiei

∫ x

x0

f(t)dt rezulta ca exista ξx ın intervalul de extremitati

x0, x, astfel ca ∫ x

x0

f(t) dt = f(ξx)(x− x0).

Cum f ∈ R [a, b] , ea este marginita, deci rezulta ca limx→x0 F (x) = F (x0), adica F este

continua.

Daca f este continua pe [a, b] , deducem

limx→x0

F (x)− F (x0)

x− x0= lim

x→x0f(ξx) = f(x0).

Daca x0 = a sau x0 = b se considera limitele laterale la dreapta si respectiv, la stanga. Cum x0 afost ales arbitrar, rezulta ca F ′ = f , deci F este primitiva pentru f . Avem evident si

F (a) =

∫ a

af(t)dt = 0. �

Teorema 11.5.2 (de integrabilitate a functiilor monotone) Presupunem ca f : [a, b]→R este o functie monotona pe [a, b] . Atunci f ∈ R [a, b] .

Definitia 11.5.3 Functia f : [a, b] → R se numeste monotona pe portiuni pe [a, b] dacaintervalul [a, b] se poate scrie ca o reuniune finita de intervale [a, c1] , [c1, c2] , ...,[cp, b] astfelıncat, pe fiecare dintre ele f este monotona (nu neaparat de acelasi fel).

Teorema 11.5.4 (de integrabilitate a functiilor monotone pe portiuni) Daca functiaf : [a, b]→ R este monotona pe portiuni pe [a, b] , atunci f ∈ R [a, b] .

Observatia 11.5.5 Am vazut ca o functie continua este integrabila Riemann. Reciproca nueste adevarata. De exemplu, functia f : [−1, 1] → R data de f (x) = x pentru x ∈ [−1, 0]si f (x) = 2x+ 1 pentru x ∈ (0, 1] nu este continua, dar este integrabila Riemann pe [−1, 1]conform Teoremei 5.

Ne punem atunci ıntrebarea: cate puncte de discontinuitate poate avea o functie inte-grabila? Introducem cateva notiuni auxiliare.


Definitia 11.5.6 O multime E ⊂ R are masura Lebesgue nula daca ∀ε > 0 exista o familie

finita sau numarabila de intervale (ai, bi) , astfel ıncat E ⊂ ∪i (ai, bi) si∑i

(bi − ai) < ε.

Dam cateva exemple de multimi de masura Lebesgue nula:1) orice multime finita;2) orice multime numarabila (care se poate pune ın corespondenta bijectiva cu N);3) multimea lui Cantor (care are masura Lebesgue zero, dar este o multime nenumarabila):

Impartim intervalul [0, 1] ın trei parti egale si ınlaturam intervalul din mijloc, [1/3, 2/3] .Cele doua intervale ramase, [0, 1/3] si [2/3, 1], se ımpart fiecare ın cate trei subintervale egale,dupa care eliminam din nou intervalele din mijloc, adica [1/9, 2/9] , respectiv [7/9, 8/9] . Con-tinuam aceasta operatie, adica ınlaturam mereu intervalele din mijloc dupa ce am ımpartitfiecare interval ramas ın trei parti egale. Lungimea reuniunii intervalelor eliminate este

1

3+

2

32+

4

33+ ... = 1.

De aici rezulta ca multimea C (numita multimea lui Cantor), care ramane dupa ınlaturareatuturor acestor intervale, este de masura Lebesgue nula.

Definitia 11.5.7 Functia f : [a, b] → R se numeste functie continua aproape peste tot (siscriem ”continua a.p.t”.) daca multimea D a punctelor sale de discontinuitate are masuraLegesgue zero.

Teorema 11.5.8 (Teorema lui Lebesgue) O functie f : [a, b] → R este integrabila Rie-mann pe [a, b] daca si numai daca f este marginita si continua aproape peste tot.

Vom ilustra importanta acestei teoreme prin cateva exemple remarcabile.

Exemplul 11.5.9 (Functia lui Riemann) Functia f : [0, 1]→ R, data de

f (x) =

{1/q, daca x = p/q ∈ Q ∩ (0, 1]0, ın rest (ın 0 si ın x ∈ [0, 1] \Q)

este evident marginita. Vom demonstra ca ea este continua ın punctele irationale ale interva-lului [0, 1] . Intr-adevar, fie x0 ∈ [0, 1] \Q fixat si (xn) un sir din [0, 1] convergent la x0. Daca(xn) este sir de numere irationale, atunci f (xn) = 0 este evident convergent la f (x0) = 0.Daca (xn) este sir de numere rationale xn = pn/qn, atunci aratam ca qn →∞. Presupunemprin reducere la absurd ca sirul de numere naturale (qn) nu tinde la∞. Atunci el are un subsirmarginit (qnk

). Dar acest lucru nu este posibil decat daca (qnk) are la randul lui un subsir

constant(qnkl

). Atunci acest subsir are limita un numar natural q. Subsirul corespunzator(

pnkl

)fie tinde la +∞, fie are un subsir marginit. In primul caz xnkl

= pnkl/qnkl

→∞, ceea

ce contrazice ipoteza xn → x0. In cel de-al doilea caz, facand un rationament pentru pnkl

similar cu cel pentru qn, se ajunge la concluzia ca sirul(pnkl

)admite un subsir convergent

la un numar natural p. Atunci subsirul corespunzator al lui (xn) converge la p/q ∈ Q, acestlucru fiind din nou ın contradictie cu ipoteza xn → x0 ∈ [0, 1] \Q. Asadar am dovedit ca


sirul qn → ∞. Atunci f (xn) = 1/qn → 0. Cum f (x0) = 0, obtinem continuitatea functieif ın orice punct x0 irational din [0, 1] . Deci multimea D a punctelor de discontinuitate alelui f este inclusa ın Q, adica este cel mult numarabila. Asadar D este de masura Lebesguezero. Conform Teoremei lui Lebesgue, rezulta ca f este integrabila Riemann pe [0, 1] .

Exemplul 11.5.10 (Functia lui Cantor) Fie C multimea lui Cantor definita mai sus.Construim functia f : [0, 1] → R astfel: pe fiecare subinterval din mijloc pe care l-amınlaturat ıi dam lui f o valoare constanta. De exemplu pe intervalul [1/3, 2/3] luam f (x) =1/2; pe [1/9, 2/9] definim f (x) = 1/4 si pe [7/9, 8/9] luam f (x) = 3/4 etc. Pe fiecare astfelde subinterval f este constanta, deci continua. Doar ın punctele de schimbare a formei (adicape multimea C de masura Lebesgue zero), functia f poate fi discontinua. Fiind si marginita,f este integrabila Riemann pe [0, 1] .

11.6 Metode de calcul

Teorema 11.6.1 (Formula lui Leibniz-Newton) Fie f : [a, b]→ R o functie integrabilasi care admite primitive. Atunci pentru orice primitiva F are loc∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a). (11.13)

Demonstratie. Vom folosi notatia ∫ b

af(x)dx = F (x)| ba

si vom citi ”F (x) luat ıntre a si b”.Consideram un sir arbitrar de diviziuni ∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn} si aplicam pe intervalul [xni−1, x

ni ]

teorema lui Lagrange functiei derivabile F . Exista atunci un punct intermediar ξni ∈ (xni−1, xni ) astfel

caF (xni )− F (xni−1) = F ′(ξni )(xni − xni−1) = f(ξni )(xni − xni−1).

Atunci sirul sumelor Riemann atasat este

σ∆n(f, ξni ) =

kn∑i=1

f(ξni )(xni − xni−1) =

n∑i=1

(F (xni )− F (xni−1)

)= F (b)− F (a)

si trecand la limita obtinem afirmatia. �

Observatia 11.6.2 Exista functii integrabile care nu admit primitive. De exemplufunctia

g : [0, 1]→ R, g(x) =

1, x 6= 1

2

0, x =1

2

este integrabila pe [0, 1] (g se obtine din functia f : [0, 1] → R, f(x) = 1, prin modificarea

valorilor ıntr-un singur punct x =1

2) si

∫ 1

0

g(x) dx =

∫ 1

0

1 · dx = 1

dar g nu are primitive deoarece nu are proprietatea lui Darboux pe [0, 1].


Observatia 11.6.3 Exista functii care admit primitive pe un interval dar nusunt integrabile pe acel interval. De exemplu functia

f : [−1, 1]→ R, f(x) =

2x sin

1

x2− 2

xcos

1

x2, x 6= 0

0, x = 0

admite primitive. Se arata usor ca F : [−1, 1]→ R definita prin

F (x) =

x2 sin

1

x2, x 6= 0

0, x = 0

este derivabila si F ′ = f , deci este primitiva pentru f . Pe de alta parte functia f estenemarginita pe [−1, 1], deci nu poate fi integrabila.

Teorema 11.6.4 (Formula de integrare prin parti) Daca f, g : [a, b] → R sunt functiiderivabile cu derivate continue, atunci∫ b

a

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)| ba −∫ b

a

f ′(x)g(x) dx. (11.14)

Demonstratie. Din formula de derivare a produsului

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

deducem ca fg este o primitiva a functiei f ′g + fg′. Aplicand Formula Leibniz-Newton (11.13)obtinem

f(x)g(x)| ba = (fg)(b)− (fg)(a) =

∫ b

a(fg)′(x)dx =∫ b

a[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)]dx =

∫ b

af ′(x)g(x)dx+

∫ b

af(x)g′(x)dx

de unde deducem imediat afirmatia teoremei. �

Teorema 11.6.5 (Formula de schimbare de variabila) Fie ϕ : [a, b] → [c, d] o functiederivabila, cu derivata continua pe [a, b] si fie f : [c, d] → R o functie continua. Atunci areloc formula ∫ b

a

f(ϕ(t)) · ϕ′(t) dt =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x) dx. (11.15)

Demonstratie. Functia f fiind continua, admite primitive. Fie F o primitiva a lui f , deci

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [c, d]. (11.16)

Formula Leibniz-Newton (11.13) ne conduce la∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(x)dx = F (ϕ(b))− F (ϕ(a)). (11.17)

Folosind formula de derivare a functiilor compuse si (11.4.9) gasim

(F ◦ ϕ)′(t) = F ′(ϕ(t)) · ϕ′(t) = (f ◦ ϕ)(t) · ϕ′(t), ∀t ∈ [a, b].

Formula Leibniz-Newton (11.13) si (11.5.1) ne conduce la∫ b

a(f ◦ ϕ)(t)ϕ′(t) = (F ◦ ϕ)(b)− (F ◦ ϕ)(a) =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(x)dx. �

De aici deducem urmatoarea observatie, utila ın aplicatii.

11.7. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE 17

Observatia 11.6.6 Fie a > 0 si fie f : [−a, a]→ R o functie continua.Daca f este functie para (f(−x) = f(x), ∀ x ∈ [−a, a]) atunci∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx.

Daca f este functie impara (f(−x) = −f(x), ∀x ∈ [−a, a]) atunci∫ a

−af(x)dx = 0.

11.7 Aplicatii ale integralei definite

Teorema 11.7.1 Daca f : [a, b]→ R+ este continua atunci multimea plana

Df ={

(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)}

numita subgraficul functiei f , are arie si

aria(Df ) =

∫ b

a

f(x)dx. (11.18)

Corolarul 11.7.2 Daca f, g : [a, b] → R sunt continue si f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, b], atuncimultimea plana cuprinsa ıntre graficele functiilor f si g si dreptele x = a, x = b, adicamultimea

Df,g ={

(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b], f(x) ≤ y ≤ g(x)},

are arie si

aria(Df,g) =

∫ b

a

[g(x)− f(x)]dx. (11.19)

Teorema 11.7.3 Daca f : [a, b]→ R+ este continua atunci corpul de rotatie determinat def , adica multimea

Vf ={

(x, y, z) ∈ R3 | x ∈ [a, b],√y2 + z2 ≤ f(x)

}are volum dat de formula

vol(Vf ) = π

∫ b

a

f 2(x)dx. (11.20)

Teorema 11.7.4 Daca f : [a, b]→ R+ este o functie derivabila cu derivata continua atuncigraficul lui f are lungime finita data de

`f =

∫ b

a

√1 + (f ′)2dx. (11.21)

Date post:	24-Jan-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Curs 11 1. Primitive - Department of Mathematics and...

Documents