Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Dělitelnost přirozených čísel

Největší společný dělitel

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Úvodní opakování

Dělitelem daného čísla označujeme takové číslo, které dělí dané číslo beze zbytku, tzn. číslo, jímž je dané číslo dělitelné.

Dělitel:

120 : 5 = 20 0

2

Číslo 120 je dělitelné číslem 5.Číslo 5 je dělitelem čísla 120.

4

120 = 24 . 5

násobek čísel 5 a

24

dělitel čísla 120

dělitel čísla 120

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Společný dělitel

Číslo 3 je dělitelem čísla 24 a současně je dělitelem čísla 36. Můžeme proto říci, že číslo 3 je společným dělitelem čísel 24 a 36.

Mějme čísla 24 a 36.24 : 3 = 0

8 36 : 3 = 06 0

12

Obdobně to platí pro jakýkoliv počet přirozených čísel. Mějme čísla 24, 36 a 60.

Číslo 3 je dělitelem čísel 24 i 36 a současně je i dělitelem čísla 60. Můžeme proto říci, že číslo 3 je společným dělitelem čísel 24, 36 a 60.

24 : 3 = 0

8 36 : 3 = 06 0

12 60 : 3 = 00 0

20

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Společný dělitelPřirozené číslo se nazývá společný dělitel daných přirozených čísel, právě když dělí všechna daná čísla beze zbytku.

Jinými slovy: Společný dělitel dvou (nebo více) přirozených čísel je každé číslo, jímž jsou všechna daná čísla dělitelná.

Existuje společný dělitel dvou a více čísel vždy?Při odpovědi nám pomůže odpověď na jinou otázku: Existuje číslo, které je dělitelem všech čísel? Každé číslo je dělitelné číslem 1 a samo sebou.

Daná přirozená čísla mají tedy vždy alespoň jednoho společného dělitele. Je jím číslo 1.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Společný dělitelPříklad č. 1: Najděte všechny společné dělitele čísel 18 a 30.

1818

1

Rozložíme čísla na všechny možné kombinace součinu dvou čísel.

9 2

6 3

3030

115

210

3

6 5Čísla 18 a 30 mají 4 společné dělitele: 1, 2, 3 a 6.Největší společný dělitel je číslo 6.

Číslo 6 je dělitelné všemi ostatními společnými děliteli.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Společný dělitelPříklad č. 2: Najděte všechny společné dělitele čísel 24, 36 a 60.

2424

1

Opět rozložíme čísla na všechny možné kombinace součinu dvou čísel.

12

2

8 3

3636

118

212

3

9 4

Čísla 24, 36 a 60 mají 6 společných dělitelů: 1, 2, 3, 4, 6 a 12.Největší společný dělitel je číslo 12.Číslo 12 je dělitelné všemi ostatními společnými děliteli.

6060

130

220

315

46 4

6 6 12

510

6

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Největší společný dělitelJak jsme viděli v příkladech na předcházejících snímcích, společných dělitelů mohou mít daná čísla i několik.Největšímu ze všech společných dělitelů několika čísel říkáme největší společný dělitel těchto čísel.Každý jiný společný dělitel je jeho dělitelem.

1818 1

9 2

6 3

3030 1

15 2

10 3

6 5

2424

112

2

8 3

3636

118

212

3

9 4

6060

130

220

315

46 4

6 6 12

510

6Zapisujeme: D(18, 30) = 6Čteme: Největší společný dělitel čísel 18 a 30 je číslo 6.

Zapisujeme: D(24, 36, 60) = 12Čteme: Největší společný dělitel čísel 18, 36 a 60 je číslo 12.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Postup hledání největšího společného děliteleNedávno jsme se učili rozklad čísla na součin prvočísel. Nyní si ukážeme, jak pro nás může být užitečný například při hledání největšího společného dělitele.

Jak za chvíli uvidíme na příkladu, tak největší společný dělitel je takové číslo, jehož rozklad obsahuje právě ta prvočísla, která jsou v rozkladech všech daných čísel.Příklad č. 1: Najděte největšího společného dělitele čísel 18 a 30.

D(18, 30) = 6 … Největší společný dělitel čísel 18 a 30 je číslo 6.

18

29 33 31

30 215

35 51

Nyní zapíšeme rozklady čísel vedle sebe tak, abychom stejné číslice psali pod sebe!

18 = 2 . 3 . 330 = 2 . 3 . 5

Tím jsou myšlena ta čísla, která tvoří zcela

zaplněné sloupečky.

D =

2 . 3 = 6

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Postup hledání největšího společného dělitelePříklad č. 2: Najděte největšího společného dělitele čísel 24, 36 a 60.

D(24, 36, 60) = 12Největší společný dělitel čísel 24, 36 a 60 je číslo 12.

24 = 2 . 2 . 2 . 336 = 2 . 2 . 3 . 3

D =

2 . 2 . 3

24

212

26 23 31

36

218

29 33 31

60 230

215

35 51

60 = 2 . 2 . 3 . 5

= 12

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Postup hledání největšího společného dělitelePříklad č. 3: Najděte všechny dělitele čísel 18, 70 a 75.

D(18, 70, 75) = 1Největší společný dělitel čísel 18, 70 a 75 je číslo 1.

18 = 2 . 3 . 370 = 2 . 5 . 7

D = 1

18

29 33 31

70

235

57 71

75 325

55 51

75 = 3 . 5 . 5

Nastala nová situace. Žádný sloupeček není plně obsazen ve všech řádcích. Co to znamená?

Jediným společným dělitelem všech čísel je

v takovém případě číslo 1.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Čísla soudělná a nesoudělná.

Číslům, která nemají žádného společného dělitele kromě čísla 1, říkáme čísla nesoudělná.

D(18, 70, 75) = 1Největší společný dělitel čísel 18, 70 a 75 je číslo 1.

Číslům, která mají i většího společného dělitele, než číslo 1, říkáme čísla soudělná.

D(24, 36, 60) = 12Největší společný dělitel čísel 24, 36 a 60 je číslo 12.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

A nyní něco na procvičení - poprvé.

Rozhodněte, zda se jedná o čísla soudělná či nesoudělná: 165,

198

Ano

(Až budeš hotov, klikni, zkontrolujeme výsledek!)

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

A nyní něco na procvičení - podruhé.

Rozhodněte, zda se jedná o čísla soudělná či nesoudělná: 169,

144

Ne

(Až budeš hotov, klikni, zkontrolujeme výsledek!)

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

A nyní něco na procvičení - potřetí.

Nalezněte největšího společného dělitele čísel:135, 525

D(135, 525) = 15

(Až budeš hotov, klikni, zkontrolujeme výsledek!)

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

A nyní něco na procvičení - počtvrté.

Nalezněte největšího společného dělitele čísel:175, 450,

225

D(175, 450, 225) = 25

(Až budeš hotov, klikni, zkontrolujeme výsledek!)