+ All Categories
Home > Documents > Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % '...

Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % '...

Date post: 08-Oct-2020
Category:
Upload: others
View: 0 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
22
Transcript
Page 1: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

������� �

��������

Page 2: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ����� �� � � � ��

� ���� � �� �� � ���� � �� � � � ��� � � � �� �� �� ����� �� ���

�� �� ������ � � � � �� �������� ��� ��� � � � �� �� �� �� � ��

��� � � �� � � �� �� �� � � � �� �� � �� ��������� ���� �� ���

����� ����� � � ������� ��� ��� ��� � ������� � � � � � �� � �!��� ����

�� ����������� � � �� � � �� � � � � � � ���� ����� � ���!��� � � � ���

��� ����� ��� �����

� � � ����� ��� �� � ��� �� ����� � ������!� "��� � �����!�# ��� ����

���!�� ������� � �� ��� � ��� � � � �� ���� �� $����� �� � !�� �

��!��� !�� �� �� � ��� �� � ������� ���� ���� ��� ���� � ������ %������� ��

� ���� � ��� ������� � � ������� �� � ���� ������ � � � � ��

�� !�� ������ ����� ��� ����� ��� ���� ������ ��� !� ! �� ������ � ���

%�� ���� &� � � � �� �� �� �� �� � � �� � ���!� � �� �� �� �� � ����

� ���� �� ���� �� � �� �� ���� �� ���� ��$� � � ' ���� (����� �����

� ��� ����!� ������������ �� ��� � ���� � ��� ���� ��) � ������%

��* � �� ��� ���� '�� ���

+� � ! � ���� ��� �� � � ! � �������� ���������

� ���� ����� � �� �� �(�� � ! � ��� � � ��� �� � � ����

���� � ���� � ��� � ���� ���� ����� ����� ��� �� �(��

� �� �� � � � � �� ������ � � �� �� ��� ��� ��� �� � ��

� ��� � � �������� �� �� �� � � � � �� � � �� �� ���

�� � ��� �� � �� �� ���� �� � � � �� � �� , � ���� ��

!��� ��� �� '�� (%� �� ��� �� �� � � � ��� ��� �� �� ����

���� ����� � � �� ���� � ���� !� � �������� � � � �� ��

� �� ��)

��� � ��� ��� � � � ��

{���� � � � � � �

��� � �� � �

�� � � �

&� �� � ! ���'� ���� ���� %���� � � �����(�� ��� ������ ���� � � � � � ��

������ � � ��) ������� �� ������ � ������ ���� �� �� � ������ ��� � ��� �� �

����� � � � �� ���������� �� �� �� � � � ��� � �� ������ � �� � ���� �

� � � � �� ������ �� ��� � �� ��� � ���� � �� ���� � � � � �� ������)

�������� � �� � ���������

� !��� ��� �� ����� ������� �� ���� � � � ������ ����� ����� ������

��� �� !��� ��� � � �� � �� !� ���� � � ���� � � ��� �� � � ���� � �� �� �

Page 3: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

���� ����� ��� ����� ���

������ ����� ��� �� ����� ��� ��� ��� �� ���������� ��� ������ ����� �� �� ����

�������� �� ���� ��� � �� �������������

����� �� �� ����� ���� � ��������������� ���

��������� �� ������ ��� ��� ��� ��������� ������� � �

����� � ������ �� �� ��� ������� ���� �� � ����

������ �� ������� ���� �������� � ���� �������� ��� ���� �� �������� �� �� ������ !����

������� � ���� ��� "#����� ��������$ ����� �� �����

�� �� � � ����� % ��� ���� �� ��� ������ �� #���

&��� ������ ���� �� ���'�� �� �� ���� � ���� (�

������� )���� ��� ���� ���� �� ������� � ����

�� ������������ �� ������� ��� ���� ����� ��� �� ��

������ ����� �� �������� ��� ������� ������ � ���� #����� �������� ������� *�

�� ��������� �� ����� +������� ��� �� �� ���� �� ������ �� � �������� ���

����� ������ ���� ���� �� �,� ��� ������ ������������ ��� �� ���� �� �� ��-�

������ . ��� ����� ���� �� �� ��� �� ���,�� ���� �� ����� ������� /� ����

��� ������� �� ��� ���, � ������ ��� �� ������� �� ����� �� 0���� �������������� ��

� �� ����� ��������

����� ���� ��������� � ��� �� �� � ������� ���� ���� �� ������

��� 1�� � � � � �� � ��� ����� �� � � ����� ���������

��� � � ����� ���� ���� � ������

���� ���� ��� �� ����� ����� � � ���� � � ��� ��� � �� ��� �� ����� ����� � ���

���� � Æ � � � .� �������� ���� ��� ������ �� � ������ ��� �� � ��� ���� �

��2�� ������ �� ������ ��������� ��������� �� �� �������� !�� �� � � � �

�� ����� � ���� ��� ����� �� � ��� ��� �� ������� ����� � �� �������+��������

������ � ��� ������ � ��� �

������� ��� ��������� � ��� �

/����� �� ��� ������ ���� ������ �� �� �'� ���� ������ �� �� ���� �� ���� �

�� �� ��� � �������#�� ������ ���� #'�� ��� �� ����� �� �� ����� ����� "��� ���

3�� ������ � 4(��&$� ��� ����� �� 56���� ����� ��� �� ������ �� � ������

�� ���� ���� ��� �� � ��� ��� &������� �� ��� ������ �� �� ���� �� ���� �� ��

�� ������ �� �� ����� �� �� ��� �� �� ���� ������ ������� � �������� ������

���� ����� �� ������������ 7 ��,� ��� �� �� ���� ���� ������� �� �� � � � ��� ���

������ � ������ ���� ���� ���� ��� ������� �� ���� �� �� �� .� ��������

� ������ ������ �� �� �� ��� ����� ��� ������ �� �

�� �� ��� ���� ���8������

���� ��� ������ �� ��� 3������� ������� ��� ���� ������ ������ ��� ����

�� ���� ����� �� ���� ��� �� � ��� ����� � ���������� !������ ���� �����

�� ���� ������ ������ � ���� � � � ��� � ������� ��� ���� ������ �����

������ ���� ��� ��������� ��� �������������� �� ���'� !�� �'� ���� � �� ����

Page 4: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ����� �� �������

����� ���� � ����� �� ��� ���������� ���� ����� ���

������ �� ���� ��� ��� ��� � � � � ��� �� � �������

�����

�������

�����

� � � �������

� ���� � �� �

����� ���� ��� � ��� ����� ���� ��� � ��� ��

�� ���� � � �� ������ ��� �� � ������� ����� �� ������

�� ���� � � �� ����� � ��� �� � �� ����� �� ������

��� ���� ������� ���� �� ��������� ��� ����������

��� � �������� �� ��∨�

��� � !�� �� ����� !���� ���

�� �� �� � ������ �� ������ �� ���� �� ��� !��� ��

������� ��� ��� ��"�� !��� �� �������� #���� ��!

���� ��$� ��� �� !���� �� �� �������%����� �� �� ����

����� �� �� �� !���� �� ��"�� ������ &� ������� ��

'���� �� ��� ����� (���) �� "� �� �� �� �����

��� ��� ������ �� ��� *��� �������� �� ������ �����������

����� ��� ���+ �� ����

��������� �� �� ���� �� (���) �� ���� �� �� �� ������'��������� ���'

�� �� ��������� �� ��� ���� ���� ��, �� -��'.����� �/��� ��� ��

��������� &����� �� ����� 0��� �/���� � �� 0������ ������� ����� ���'

������� �� ������

����� ��� ��� ������ ������� � ���� � �

��� � � ��� ���

���� ��� � ��� ����������� ��������� �������

����� �� ��� � �� � ��� ��

���� � �� ��� � �� � �����

���� � � �� �� � � � ���

��� � ����� � � � ��� ��������� ����� ��� ���������

���� � � � �� ��� � �� � �� � �� �� � �� �������� � ���� ������ ������� � �����

&� ��� !��� �� ��,� �� ����� �� �� ������ ��� ������� �� � ��� �

��� ����� �! ������� ���������� ������ ����� � �� ����� "�� �� � �� �

� !��� ���� ����� "�� �� � � � � � � 1� �� �� � ��� � ��� ��� � ��0�

�� ��� ��� � ��������0� �� � ��� ������� 1� ����������� ����� ���������

��� ����� "����� ��� � ����� 233�4� 1� ��5������ �� �������� ����������

������ ��� � ����������� ���� ���� ������ ���������" �� ��� � �������

��� ������ � ����

*��������� ����� ��� ������ ������������ ������� ��� ��! �� �������������

����� �� ��� 0���� �� !���� �� �� ��"��� ������ *� �� ����� ��

Page 5: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

���� ������ � ���� ���

��� ������ ��� � ���� ��� �� ������� ������������ � ����� �� � � ��� � � �

�������� � ��� �� �� � �� � � �� � � ���� � � ����� ���������� ��

���� ���� �� ���� � � �� ����� � � ����� ���������� � � � �� � ��� ��� �� ���!

���� ������ � � ��"�� �� �� �������� �� �� �� �� �� ��"����� �! �� ��

���� ������ ��� ��� ������� �� ���� ��� ���� �������!� ������ �� � ���� ���

���� ����� �� ����! ��� ������ �#���� ������ �� ����!�

����� ��� ��������� �

�� ������ �$�� �� �� � ������ � ��� �� �� �� ��� �! � �� ����� � �� � ��

%������� ����� ��� ����� ������ �� �� & ��� �� � ����� �� ������ ��� �! � �� � � �

��� � �������� ������ ��� ��� �

�� ������ �� � ��� � � �� �� � ��� � � ��� ��� �� ��

��������� � ����� � � �������� ��� � � ��� � ��� ���� ����

�� � �� Æ � � '�� �$�� ��� ����� �� ������� ��� �(������ ������

���� �� �� �� �� ��� �� ���� �� � � ��������� ����� � � �����

� � �� � � ��� �� �� �! �������� '�� ��� ��������� ����

����� �� ����������! �� �! �������� � ���� �� � �������

����� �$��� �� � �(�� � �� �(�������� %���� � � � �� �!

�������� � � �� �� ������� ������ �� � ��� � ���� �� ���

� � & � ��� � ������ ������� ) ��� ����� ���� �� ���

� � � ��� ������� ����� �� ���� �� ������� (����� � �����

���� �� *�������� ���� ����� ��� +�� �� '�� �$�� ���

�� � �� � � ������ ����� ���� +��� ��� �������! ���

�� ������ �� �������� ������ � � ��� �� � �����

� ����� ����� ������ �� �� �� ������ � ����� ���� ����� ����� �

�,�� ������� �� �� ��� ����� ���-���� �� ���� �������� �$ �����

����� ����������� �� � ����� �� �� ��� ������� ����� � ������ �� ���

�������� �$ ������� .��� ����� ����� � ������� ������ ��������� � ����

��������� ��� ��� ���� ��� ����� & ����� �� ���� ���� ���������� /� � � �����

��� ������ �� ������� ������� �� �� ��� ����� ��� ���������! �� �� ��� ����

�� �� �� �� ������ � �����

�� ������! �������� ��� (����� ��

������!� �� �������� �#���� ������

�� � +$�� � ��� �0 ��� � � ���������!

�����! ���� ������ ��� ��������� ����

�������!� �� ������ � ��������� �� ��!

�� ������! ��� ��� �#���� ������ �� �� ����

�� � �� � ���! �$������ ����� ��� ����

�� �� +�� �� +�� ������� %������� ���

������ �����! � ��������! ��� ��������!

�� � ������ ��� ��� ���� �� ������ !

�����!�� �� �� ��� �������! � � ���� ���� �0 � ���� � ���� �� � �� � � � � �

�� � ����� � � �� � � � � �� �� � � � �� ���� ���� � � � Æ �� � �� ������ ������

������ ��� ��+�� ��� ���� �$�� ��� ���� ��� �� ���� �! �� �� ������0 ������

�� ��� ��� �� �� ����

Page 6: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ����� �� �������

�� ��������� ���������� �� ���� ����� �� ������ ���� ����� ���� ��

������� �� ������

������� �� ����� �� ����� �������� ��� � ��� � �� ������������ �������

������������ ��� ������� ������ ��������� ������� ��� ��� � � � ��� ���� � ��� ���

�� � ������

�� �� �� �� �� ��� ���� � ��� � � ��� ���� ��� ��� ����� �� ��� ���� �� ��� � ������

��� �� ���������� ����� �� �� ����� �� � ��� ���� ���������� �� �� ����� �� ��

�� ��������� � �� ���� ��� ������� �� � ��� ��� � ��� ��� ��� �� ������� ������� � ��� ���� � ��� ���� ����� �������� �� � ������� ��� � ��� ���� � ��� �����

�� ������ ���� ���� ����� �� ��� ��� �� �� �������� ����� ����������� ��� �� ��

!������ �������������� ��� ��������� �� ����� ����

��� ����� � ���� ��� ������� �������� ������ ��� ����� � ������

����������� �� ������ ����� ������������ � !���" �� ��� �� �� ����� �� ��

���� ��� � !���"� #� ����� �� ��������� �� ����������� ��� �� ���� ��

��� � �������� ��������� �������� ���� �� ����� �� �� ���� ���� ��

�� ���� �� � � ���� �� � �� � ����� ����������� �� ������ ���� ����

$�%�� ���&�

� ����� ��! �"��� ������� �

������ ��� �� ����� ��� ��� ������

Page 7: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

���� ���� ���� � �

�� � ������ �� ��������� �� �� ����� ������ �� ������ � � �������� �� �� ��

�� �� ���� �� SO� ��� ��� � ����� �� �� ���� ���� ����! ���� ��������

�� � �� � ����� �� ��� "� �� �� ������ �� ������������� ���#� �� $� �� �� ��

����� �� �����%� ��������� & �� �#������� ����� �� $�� �� ���� � ��� ����

'�� �� �� & �� ��� ����� � ��� ���

����� �� �� ������ #������ & ���������� �(

)� � ��� ��� �

�� *��� �� ��#� �� �� �

������)� �� �$� �$�� �� ������ �� ��� ��

�� ���� �� ��#��� ���� ��� $��#��� ���� ��#�

�� �� ������ � � ��#� �� �� �� ��� ���(

����� ����� ���� �� #��� � ����� ���(

�������� �� ��+ �� ��������� ������ ��# �$�� ��, �� ��� ��� ������� -�

�� ���� ���� �� � ���� �� ������)������ ��� ����$������ .��� ���#� ���� �� ��

� ������ ��� ��#� ����� ���� �� ��� ������$��� $� ��������� ��� �$�

��$��$ �� ��� �����$� !������ �� ��� � ������ �

��� ���� ����

'� �$�������� �$� �� ���(�$��� �� �� ���� �� ,���� ��� ���,�� � ��$���$� �$�(

��� �� #��$�� ������ � /0 12� 3���� ��� 4!���� ��0� ���� � ��� �� �� ������

�� �� ���� ��� '�� ,���� � ���� �� � 5$�#���� �� �� �� ��� ���� ����� �� ��

�� �� �� ���� ���� & � �������� �� ������������ & �� �� ����� �� ,���

�� �� ���� '��� )�� ���� �� ���$����� �� ������ �� ������ �����$� �$���� �

�$���� � ,��� �� �� �� �� �� ��$� �� �� #������ '� ����� �� � ,��� 5$�#���� �� �

������� �� � ��� �

��

'� ������ ���� ��� �� �� �������� ���� ��

� ,��� ��� ������ �� ��#������ ���� �� ������ �������

�� � �� �������� �� �� �������������� �� ����

�� �� ���� '�$�� ��� �� ����(������ ���� ��#�����

��#��� � �������� ���� �� ������������ ,��� �����

6� �� �� )�� ����� �� $� ������ �7 ���#� ����

�� ���$8���� �� �� ���,� 4#� ,��� �������� �� ��

��� �� ������ � ��� �� �� ����� ����� �� ��!��(

� �$������ ��������� �� ���������� '� �$��������

�$� �� � �$�� ���� � ���$ � ��� � ������� ��#������

������� ��� ������ �

'� 5$����� �� ,��� 5$�#���� ��� �� �� � ��99��� ��� �� ��#������� ����

�� ����� �� �� ��� ������������ ���,�� ��#�� ������ 4$� ������������

����� :�� ����� ;�� ����� ��� ��� ���� �� ������� �� ��#������ ��

�� ���� �� � ,���� � ������� ������ �� � ,��� � � �� �� � �$���$� �������

�$��� � � ���� ����� �� �� �������� ���� ����� �� ,��� �� � ���� *$��

�� � �� ���������� �� � �$���$� ������� �$��� �� �$� �� '� ������ �$��

� �� �)�� �� � �� �$� �� �� ,���� '��� �� �� �)������ �� ��#������ ���� ��

Page 8: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ����� �� �������

������ ������� �� �� ����� � �������� ����� ����� ���� �� ����� ���� ��

�� �� ���� � ������ ��������� ���� ���� �������� ���� ���� ��� ��� �����

���� ���� �� ������ ������� �� �� ��� �� ���� �� � �� !� �� ��� ���� ��

� �� �� ������� �

������� � �� ����� �

"���� ��� #$���� ��� ���� �� ��� ����� ������ ������� �� ����� %�����

� �������& ����� ����� �� � ���'������� ���� %C����� � UC����� ��������&�

(� ��������� ���� �� ����� � ��� �������� �� ���� ) ��� ������� �� ���

��������� (� � ��� � ��� �� � ������ �� �'�� �� � �� � ���UC������* �� �� �

� ��� � ��� �� � ������ �� �� � ���C������� (�� � ����� ��������� ������ (�

������� ���� �� �� �������� ����* ���� ��� �� ��� ������ ����������� �� �� ����

���� �� ������������ �� �����+ ���� ���� ���� ����� (� ���� �� � ���� ���

������� (� ���� ���� �� ��� � ���� ��������� ���� ������ �� ������� ��

������� �� � �� ����� �� �� �� � ����+

����

⟨��� � ���� �

���� � ���� � �� � � � �

�������� � ����������

,���� ����� ��� ���� �� -���� ������� �� ����� ����

������� ��� ���� ������� ���������� �� ����� ��� ������ )

������ ��� ��� �� �� ���� ������� ��� � ���� �� �� �� ���.

������ �� ������ �� �� ����� �� �� ���� �� ���� �� ��

��� ��� � ������ �� �� ������� ������� ����� # �������

����� ��� �� �� �������� ������� ) ���� �� )�$��� /01

���'�� �� ��������� ���� �� ���� ��� � ����� �� ��

����� �� ��� ����� (� ������� � �� ����� � ���� �� �� ���

� ����� �� ��� � ���� ���� �� � ����������� �������� �����

�� � ��� ����� �� �� �����

(� ��.���� �'������ �� ���� ����� $���� �� ����� �� ��� ������� 2�

��� ������� ���� ����� �� ������ ��� ���� ��� ) ��� ��� �� ��������

������ �� �� � ����� �� ���� ����� �� ����� /���� ��31� �

������� ��� ���� ��� ������ �� ����� �

Page 9: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

���� ���� ���� � �

����� ������� ��� ����� ��� ��� ������ ��� ���� ���� ������������ �� ��

����� �� ���� �������� ����� � ������� � �� ����� �� ��� � ����� ��� �� � ������

! "������ #��� ��� ��� ����� "��� ������� ��� ������$����$ "������$ ���

���"��$ ������� �� ���� ����� ����� ���� �� ��� �� � !���� ���� ��

% ������ &��� � ���!������� �� ����� ����$���� ��� $� ����������� �� ��

�����!� �� ��� � � ���������� �� ������ ��� ������ !� "��� ���� #��� ��"�

�� �����!� �� � "����� ��� �� � ��� !� �� �������$ �� ������ �� �����

�'��� ���� ��� �� ���!�������� (��� "������$� ���"��$� ��� ������$ �� �� �����

����� � ����� ���� ��������� ��� �������$ ��� �� ���� ������ ��

� �� ! ��� �$��� ���� ��� �� �������!�� ��� ����!�� �� �� ������ #�� �

�'��� )��������� ����������� ���* ���� ������� � ������'�� ������ ���

��$�� ������ +� �������$ ������ �'��� ��� �����'��$ ����$� �� $��!�� "���

���� �� � ����������� �� ��� �'��� ��� ! ����� , ����-�� ��� �������'�

�$�� ��� ./��0� �

������� � ��� ������� �

#�1���������� 2��� 3��!�� ��� "���� �� "������$�

(�� �� ��� 2��� � ��������4 ���"1��$� ���

��� ���� �� ������ )�� ��� ���� � ����� ����$

2 ���* ����� !� ��� � ������� 3����� �� �!�1

�� ����� �� 2 ���� ��� �� ����� � "�����5���"��

� �� � � ���� .�6� � � ���� /�/0 ��� �����! ��

�� ���������$ ��� !� ��� �� �� �$� �� � �1

��� 2 �� 2�� !� ���� �� "������$ ��� ���"��$ �� ��

2������ )��� ������� �� 73���� �/�*� ���� ������

������$������ �� ��$���������������4 �� �3� .� 0 �� � $��� �� � �� ����

!��� �� �����

8� $���� ��� ���� -�� �� �� �

����� ��� ������ �!���� ��� �� �����

�� )!� ��, ��� �� ��� ����� �� 9�7�* ��

�!��� ���� % � "���� #�$��� ���

��� � ���" �� ������ �!���� ����� ��� �

��� ��� ! � -��� ���"� #� !���� , �1

���� ������ ��� ���� �� ������ ��� ��

�� �� ����3� �� � � :������ ������ �

��� ������$ �� ���� -��� �� �������

#� ���� ���" �� �����!�� ����"� �� �� ��� ���� �� �� ������� � �������� ./;/0�

��� -��� ���" �� �����!� )� ����� 3���*� <� 2��� 3��!����$ ������� �����1

��� )��� �� � ��-����� ���� ������ �!���*� +���� ��� &������� .�=� 6;0 �����

��� �� ������� � :������ ���!���� �������� ��� ���� � �������� % �� �!���

!����� � ��� T � �� ���� � ���2��� % �� � ���� ���� ���� ��� "��� ���

���" ���� �� ������ �!���� #�� ������ ��" �� �� $����� � ���� ������� �

�� ������� �� ���� � �� ����� � �� �� � ��� ����� � ���� �������� ��� ��

�������

Page 10: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ������ � � � � ��

�� ��� ���� ���� ��� ��������� ���� �� �� ����� ����� �� ��� ��� ���� �� ���� � ��

��� ������ ����� � �� �� ��� ����� ��� ���� !"#� $� � ������ ���� ����� ��������

������ ����� � ����� ��� �� �� ��� %�����& ����� �� ��� ��� ���� � ��� ����� �

�'!#� (���� ��� ���� �� � ����� � ���������� �������� �������� ) �������� *+,� �

�� � �������� ��� �� �� ��� ����� �� � ���� �� �'-#�

��� ����� ��� � �� �

(�� � ���� � ����� � ����������� � �� � ����� �� ��� ����� � � � �� � ����

(�� � ���� � � �� � � ������ ��� �������� ��������

.�� � ����� � ��� � ����� ��� �� � �� (�� ��

����� ����� �� � � �� �� ������� ��� �����

� ���� � ��� � ����� �� ���� � ���� ����� ���

�� ��� � �� � %����� ���/����0���& � � � ���

(��� ��� �� � ������ � � � � �� ������� � ����

� � ���� ��� � ��� ���� 1 �� ���� ���� ������ �

��� � �/����� ������� � �� ��� ���� � � �� .

� � �� ����� ��� �� � ��� �� �� ���������� ���/

���� ��� ����� � ����/� ������� � �� �����

� �� . ��� ��� � � �� ����� ��� ��� ��� ������� � � � �� ���� ��� � �/

� ���� ������������ � ����� �� 2�0�� � � � ���� ��� � ��� ���� ����� ��� � ����

� � � ���� ��� � ��� ��� �� ������� �� �3��� � �� %� �������� ��& � ��� ��� ���/

���� 0�� � � ��� ����� ���������� � � � ��� ����� �� �� ����� ���� ��� ������

������ �� ��������� �� ��� ��� �� �� �� �� �� � ���� �������� �� ���� �����

��� ������ ������ �� ��� �������� ������ ��� ���������� ��� ������ ������� ��

�������� ��� �� � ��� ���� �� ��� ��������� ��� ���� ��������� ����� ����������

���

��� ������ �� �������� ������ �� ���� ��������� ��� ���� �� �����������

���� �� ��� ��������� �������� ������� ���� ���� �������� ������ � ��� �����

��� �� ������������ ��� ��������� ����� ��� �� ��������� �� ���� �����������

�������� �� �� �������� � ������� ����� �� ��� ����� �� ������ ��������

������ �� � �������� �� ��� ���� � ��� ������� ��� ������� �� � ��������

����� ���������� �� ���� �� � ������ !� ����� ������ ������ ������ �� ������� ���

� � � � �� � ������ �� � ���� �������� ��������� ���� ��� �������� �� ��������

������ �� �������� ��� ��� � � � � � "��� ������� # $% �� ����& '�� ���� �� ���

������ �������� ������( ����� ���� ��� ������� ��� ��� ��������� �����������

�� � ���������� ��� ��)� ����� ��� �������� ���� � �������� ��)��

����������� �� ��� � � �� � ����� �

��� ���������� �� ������ �� ��� ���� ��� �� ��� ���������� ����� �� ������

�������� ������ *���������� ���+� ��������� ����� ��� �� ���������� ����� ���

� dim � !� �� ����� �� ��� ���� �� ��� ����� �������� ����� �� �����������

Page 11: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

���� ����� ��� � �� � ���

�� ������ �� ���� �� ���� ���� ������ �� �� ����� ��� � �� � � �� ��

���� �� ��� ��� ������ ������ �� �������� � ���! ��� � ��� ������

����"�� ���� �� �������� � ��� �� ��� �� ������ ������ ���� "�����

� � �� # �$�� ��� ������ �� � ������ � � � ��!

� � ������ � �� � ��� � �� � �� � �� � ��� � �� � ��

�� ������ � �����

�� �

�� � � �

%��� �� �� ���� � �����"� ���� ���� ���� �� �� ������ ��"��� �� �������

� ���& ����� �� �$������ ���� � ������� ���� �� ���� ���� '�����������

������� � ���� ��������� ������

(�� �� ������� ��� ������� )�&� ��� ����� ��� � �� � �� �������!

� �� � � � � ������� ��� ����� � �� ��� � � �� ��� ��� ��

�� � ����� ��� ���� ��� ���� *���� ���� ��� �����������+� (�� �� �

���"� *�����+ ��� � �� � ������ ���������� ����� � ��� � �,��"������

� ����� %�� ������ �� � ����� ����,����� ��� �� ���� ������ %����

���!

��������� ��� ������ ���� ��� ������ � � �� ��� ��� � � ��

%��� ����� � ��� ���������� �� ��������

�� -�� �� �� ��"� ���� � � � ��

.� -�� �� ���� �$�� � �� ��� �� ��"� ���� � � � ��

/� �� ��� �� ��"� ��� �� ��� ��� �$�� � � � ��

�� ������ �

�� �� ��� ����� ��� ���"���� �"� ��� �� ��0���� ����� ���1

�� �� � ��� ���

Page 12: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ����� �� � � � ��

��� ������� ���� ������ �������

����� � � ������ ����� ������ ������ ������� �� �� ��� �� � � �� �� �

� ����� � � �����!� � � �� ���� � �� ���������� �� "� � �� ����#

���#������� �� �� ������� � � ������ ����$� $� �# �� � ����# � � � #�

%�� �� &����� � �� �'� ��� ��� �� � ('�)�

*� �� �� � � ���� �� ���� � �� �#

�� � ����� � � �� ���� +�� � $� ���� � �

� �� ��� �� � � � #���� �# � � � �� � ��

� � ��� �� ������+� �� ���#������ ���, � ������# �

�� ���������� # �� �� ���� � � ��� ���� ��

� -� �� �� ��� � � � ���'���� �� ��� �� �'

-��� ��� � � �� �����# ��� #�-� � � ��� ���

.� � � � #�� ���� �# �� ��'-����� $�� �� � � '

� ��� � ��� ���� � ������� ����

�� ����� $��# � ��� � ��� �� -��� � +�

��-������

"� ��-����#� � � � � �� # ��� $� � � � � ���� �� � #���

������ ������ �������� /� ��� ���� %�� �#� ��� � ����� ��-���#���) �����

� ������ ������� � �� ('� ������� ������� � � � ����� � � � �����������

$�� ��� ��- �� � � � � ����#��� ���� 0�1� ����� ���� � �� ����������

%������) ��� �� ��� �� ���� +�� ��2� -���� �� �� �� ���� � �� ���� �

# �� SO� $� �� # �� � ������� � �� ���������� �, ��� "��� �� ����

�� ����� ��� � -� �� �� $������ �����#� �� ���� +�� ��2� -���� �� ��

�� ���� � SO� $� D�� �� ������ # �� � � ����#� �� �� �����

3��� � $�� � 2� ���� ���� ��� $ �� �

� $ � � � ���� � �� �� ���� � �� $� Q��

�� ��� ���������� "��� �� �� %�����) � �'

�$���� # ��Q� � ������ ������� � � �#���

"��� # ��� ������� � � ������� ��� ('� -��

��������� ����� � �� �������-��� �� �� ��'

�� �� � � � � � �� � %��� ������� �� �� �)�

4���� �� ���� � � Q� � �� �� #���� ��

�� ���� ���Q� �� � � -5 ���� �� �� ������ � �'

����� �� �� ���� ��� ���������� # �� ����

Q�� .� �� ����#���# ���� ���� ���� +�� ���

� �� �������- ���������� # ��, �� � -���

� ���� ��� ����� ��� � ��-� � ���� ���'

#������� ���� � � � #� ��� 0�1� 6 � ��� ����

$���� ������Q�� �� ����

�� � �� �� � � � ���'��2 ���#������� �� � � � � ���

"� � ���� �� �������# ������� � � ������ ������ -��� �

���� +�� �����$� �� � �� ���� � �� # �� SO� SO� $� � � ��$# ���

"�� ������ � � ��� -�� �� ���� � ������ �������� $�� ��� ������� #������ � '

��#���� ��� ���7��� ����� 0�81� ��� � ���� ��� ���$�� ���������� �� ��� �����

� -�� �� ����� "� $�� �� � ���# �! ��� �� -�� ������ ���� � � � � ��

# ����

Page 13: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

���� ������� �� ������ ���

��� ������� �� ������

� � �������� ��� ������� ��� �

�� �� ��� �� ��� �� �� ��� ���� �� ����������

��� ������ ��� � � �������� ���������� � �� � ��� ����� � ��� �� ���� �����

���� ����� � ��� �� � � ���������� ����� ���� � � ��������� �� ��� �� � � ���

������ ������� � � ����� ������ �� ������ ������ ����� ��� � �� � � �����

�!������� �� � � ������ ���� ��� �� �����

������� �� �� ������ ����

������ ����� ��� ��������

����

Hur� � ������ ��������

�� �� ��� � � �� � ���������

���� �� � � � ��� ����� � ����

�� ��� � � � � ���� ���� Hur�� �� �������� ��� Hur��� �

����� ����

" �� ������ ������� ����� �� ��������� � � �������# � ����� ���� ����

��� � �!������ �������� ������ ��� ������� ������ �$�������� �� ������

������� ��� ���������� ��������� �� � � � � � � �� �� ��� ������� ���

��� � � ������ ��� � �� �������� ��� ��� �� ���� � � � ������� �������� ��

%���� ������ �$��������� �� ��&���� �� ��������� � ��� �� �� ������ ��

�� �������� ������ ��� ���� �� ������ ��� �� ������ � � ������ � ���� � �

����� ��� ������� �� ������ ������ �� ��������' �� �� � � ������ �� � �

������� ������� ���� � � ��� � � � ������

������� ��� ��������� �!��"��� #����#� �

� ������ � ���� � ��� �� �������� ����� �� ��� ����������� ������ ���

��� �� �������� ����( �� � �������� �!��"��� #����� )������� ��� ��� � �� ��

*���������+ ����� ���$�� �� �� ������ ���� � ��� ������ ������ �� �������

��� � � ���� �!������� � � ������ ��� �� �� ,�� �!����� �� �� ��� �� �����

� � ������ � ����������� �������� ����� �� �� �� �� ������ ������ ���� � � ��

��� �� �� �� -�� .���������/�0�� ����� ��� �� � � ���� �� -���� ���� ������!��'

�!������� �������� � ��� ������������� ���� ��-��������������� ����� � �!������

� � ����������-�� -��������������� .���������/�0�� ����� �� �� ��� ��� ���

� ��� �������'

�� 1�� (��� ����������� �� ��2

3� 4��-������� ����� C����� �� ������ �� � � ����2

5� 1�� ���� ������!�� *63���+2 ����� ���-������� ����� �� ��� ��

� ��� ����� ����� � � � ������ �� ���������� �������� �� ������� �� ������ ��

������� � �� � ����� � � � � �� ������ �� ������� ���� � �� �!���������

Page 14: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ����� �� �������

�� ��� �� �������� ������ �� ���� �� � ���� ������������� ������ ������

������ ������� �� ������� ���� � ��� � � !���� � ��"� �� �����������#���

�������� ������ �� ���� � � � $ � �� ��"� ��"��" �� ��� ����� ���

#��"�% � &��'� ()�*+,� -��� �� �� ��� ���� �� �� !��� �� �� ���������� ��

� � ��.�������� ��"�� ��! �������� ��"��� /� ����� 0���� �� ���� �� ����

����� �� ���� �� ��� ��������� ������� ��"� #����� � ��� �� !"����� ���1��� ����! ��� ��� ('��*� �

��� ��������� ���� ��

2�� �� �� ������������ �� ��������� �� ���� �0� ��# ��"� �� ��! "��� �����������

������ ������� ���� ��� �������� �� ������"�� ���������� ��# ���� �����!�

! �� ������ ��������! ��� ������ ����� ��! ������ -� ����� ��� �� �

����������� #���� �� � ��������� ������ ����� ������ �����! � �� �� �����

���� �� ��������3! �� � ����� �� 0����� ����"! ��! ����� �"!�� ����������

������ � ����# ��1���� �� ������������ 4�#� � ���"������ �� � ������ ��� ���

� �0! ����� �� ���� �� ���� ���"������5� ����� �� �� ���"�� �� ������

� � ��� -� ���#���� �� ��!�#�!"�� $�����, ����� ���� � ����� $������, �����

�� #�� � ������ ������ ��� �� ��� �� -� 6�� ������� ���!������� �"�� � ���

�� 7"�! �� ������� �� ����� ��� ������%

�� ������ � � �� ������"�"�� �� ���� ����� ������ �� ����� ����� ��# �����

������ �� �� ������ �����

8� ������ � � �� �� �!����� �� �� ���! !������� �� ��� �� ���� � "������"�

#�� �� �����!� ��!

*� �� ��� � � �� ��#����� "�! �� ������ �� � ��"������ �� �� ������ ��

���

-� 7"����� �� 0����� �� � ����� ��� ��"�!�

�"������"��� ��1 ���� �� 0����� �� �� 7"�����"� �� ����

� ��������� � �����! �� "��#��� 0������ ��

�� � ���"��#��� ����0������ -� ����� ��� ����

��#�!� �� ����� �� � ���0����� �"���

������� ���� �������� �� � ���� � ����� � ���� ���

��� ��� � � �� ��� ��� � ����� � ������� ���

�������� �������� �� ��

������� ����� �� � � ������� � � ���� ������� ��

��������������� ������� ��� � � ����� � ���� ��� ��� ��� � � �� � ��

�� �����������

������ ������� � ����� �� !" 2� �� �� ������� �� ��

��������� �� �� #�� �� " ��3 ����� 9������� ��! !�#��������� ����� ����

� 3�� :� " ��3 ������ �� � �� � � ;�!"�� �� ��� ���� �� � �� ���

Page 15: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

���� ������ �

� ���� �� � ��� � �������� � ��� � ���� ������� ��� ��� �� � �� ��� � � �

����� ������ � �� �������� ������ ��� �� ������ ������� ��� � ���� �

�������� ���� �

��� ������ �� � �� ! �� "���!# $��� � � �� ������� �� ��� �� ! �� ���� ���

� ��� � �% ��� "���! ������� � ��� ��� !���� � � &� �� �� � ���' �� ��� ���

������ �� ��� �� ����� �����! �� �� � ������ �� �������� ())*� $� ������ �� ��

���� ���� ����� ��� ���+�������� ��� ���� !� �� �� ��� � �� �� ��� �� ���� ����

��� ������ �� �&� ��+� ��� ���� ��� ������� ����� �����% �� ������� (,-* ��!

���� ��� �&� ��+� ��� ���� ���� ���.��� �� ���� � � �� ��� � � �� �� ��� �� ���

�� ��� � ���� ��� ����� �� � � � ����� $� !���� ��� �� ������ �� �� �������

�� !��' ! �� ����� � � /���� � ��� ���� ! �� ����� �� !��� � ��� �� �����

�� ������� �� � ��������� � ������ � ��� �� � ���� ����� ���&����� �� ����

������ ���� �� �� ���� ()��*�

��� ������

$� � ���� �������� � ��.��� �� � ���� ���� ����� �� � ������ ���� ��������� 0�� ��

��� '����� ��� ��� ����� ���.��� �� ��� � � � � � ���!��� ���� ��� ������ ����

! ����� ��� � ��� ���� � ���� ���� ��.��� �� �� � �������� �� ��� ��� '� ��� � ����

���% ��� &��� ('�����* ��� ��� ��� ( ����* ���� ���� ��������

" ���� ��� � � ���� � �������� ! �� � ���.��+

� �� ��� � � � �� � ��� ����� ��� �� ��� �����

��� ���������� � �� ��� &��� � � � ����� �� �/� �����

���� ���� �� � � ��� � �� � � � 1�� �� �' �

��� ���� ����� � � ��� &��� ������ � � �� �� � � ��+

������� 0�� �� � $� ��� ��� !���� � � � � � ��� ��

��� ������ ����� � �� � �� ������ ��� ��� �� '�% ����� ���+

�� � �� ������ ����� � �� � � �!� !��� ����� �� � ���

�������� � ��� ��� ��� &���� � ���� ������� ������%

� 2���� �� ���� � �� � � ��� &��� ������ � !� �� � � �� ��� ������

� � ��� ���� ��� ��� &��� � � ������

)� " 3�� � ������ � ����� � �� ������ ������ ! �� &������ ��� � 4������ ���!���

�� ��� ��� �� � �� ������ �� � � � � 5 � � ��� &����

,� ��� ���&����� �� ���� C���� � � �� �� �� � ��������� ��� ��� � � &���

������ ���� ��� � ! �� &��� C�������� �� � � �� ���

6� ��� ,+����� �� � ����� � �� ������ ���� �� ! �� &��� ��� �� �������

�������� ������ ��� ���� ������ ��� �������� � ��������� 7�� ���� ��

����� � (68* ��� ����� 9��� �� � � &��� � �� �� � �' �� ������ ��

8� ��� ���� ������� ��� �� ���� � � ��� ��� � ��� ������� �� � �� �

������� ����� � ���� ������� � � ������ ���� � ! �� &��� � �� �dim ����

�� ������ � ��� ��� 7�� &���� �� �� � � ���

" ����� ��� � � ������ � � � !��� &��� � � ������ ���� ��� ����

��� � �� ��� ����� ���� �� ��� �� �� ��� &��� ������ �� ���� ���� ��� �� ��� �

Page 16: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ����� �� �������

�� ������� �� ���� ������ ������ ������ ��� �������� ������ �� � ���������

��� ���� ���� �����

�� ������ �� �� �� �� � ������ ��������

������ �!� ���� ������ ����!��� �"���������� #��$

�� %�� ������ �"�����& �� ������� �� ���� �� �����'

�� ��� %���"������& �� �� �� ������� ���� !��� �

���������� �� � ()���� ���� !������ �������� *��

���� ���� ��� ������ � ��������� �� �� ��� ���

(��� �� �� ��������� �� ���� ��� ��+ �� ��� ���"

���� �� �� ������ �� �� ���������� �� ���� ������

,��-.� �� ������ �� ��� ����������� �� � �����

������� ������� �"�������� � ����� �� �� ���� ��� /

� �������� ���������� ����� � � ������� �� �� 0��� ��

� �����1����� �� ��� ����������� �� ���� �� ������ �� � !��� �� ����������

������ �� ����� �� ��� � �������� ����� ������ � �����

������ ���� �������� ���� �� ������ ����� �

2 +��� � � �� �� ���� �� � ������ �� �� �������� �� � ����� �� �� !��� #��

�� � ���� � �� �� ����"#��"��+ 3��� ������ �� ������ ���� 0� ��+���

�� #�� %!��� #�� ���������� �� � ����&� 0���� +����� �� !�� �� �� �������

#��"� +���� � ���� #��� ������ �� ���� #�� +���� � ��� �������

���� +���� ��� � ���� �� ������������� 2

!� ��� ���� � +��� � �� �� ����� ���� ������� � ����

������ ��� �� ������ ������� #�� �� �� ���������

0� ������� ���� #�� ����� ����� �� !�� �� � #��

+��� �� �� ������� #�� �� ������ �� �� #� ���"

�� �� � / �� ������� 4�!���� ���� �� #��� 5�

����� ,67. ���� �� ������� #�� �� ��!� ����"

�� �� �� #��' ���� ��� � ������� ���8��� ��

����� �������� �� �� �� ���� �� ��� ��� ��� %#�"

������& ������� #�� ������ �� � ���� ������ �

#��"� +��� ,�69. %��� ���� ��� #�� +���� ,�6�.&

������� ����� #�� ���� �������� ��� ������� +��� ��� ���+ ����� �

*�������� ������ � �������� ��$ �� �#�������

�� ����� �� ������� ������� :��� �� �� ����

�� ������������ �� � �����; ��� ����������� ��

��� � ���� �������� �� �� ����� ������� ����

���� � ������ � �� ��� ������ � �� !��� #�

� � !��� ������ � ���� ������� ��� �������"

��� �� � ��� ������� ����������� ��!� ������

%�� �� ��� ��&� ��� ��� ��!���' � � � � ���� �����

�� ��������� �� ��� ���� 0� ������ �� ��������� ��

���� �� ���� �� �� ������ �� �������� <����

��� =��6 ���� � ���� #�� �� � �������� �� � ������ �� �� ������ ������ �� �

���� ����� � � � � � �� ��� �� � ��� � � � � ���������� Æ � � Id�� *��

Page 17: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

���� ��������� ���� ��� �� ���� ������� ���

��� ����� � ��� � ����� ��� ����� � �� ��� � �� � ����������� � ��� ��

�� � ������� � � !���� �� �� �� ��� � �� � � ��� �� �� ��� ���� �� �����

����� ��� ��� �� � ��� ��� � ���� �� �� ����� ����� � ��"��� ��� � �����

�� � �� �� "�� � ���� ��� �� ��� ����� � � � ���� �� ���� ��� � � ����

�� ����������

��� ��������� ���� ��� �� ���� �������

# ��� ���� $��% �� ������� �� �� ������� ��� � � ������������� ����� ��

��� ������� � �� ������� ��� ��� ��� �� ����� � �� ������ ����� ������� ��

��������� ���� �������� �� ����� �� &��� � '��() � �� ���� � ����� �������

�� � ����� � ����� � �* � �� �� ����� ��� �� �� ��������� ��� �� ������*

��� ����� ��*���� � � ��� �� � � ����� � ��� �������� �� � ��� +� � � �����

��� � � �� ������� ��� �� ���� � �� ���� ����� P���� �� ��� �� ���

���� � � ��� �� � � "�� �� ����� ,�������� �- ��������� �� � � � ���. ���

������ � � P��� � �� ��/�� � ���� � �� �� ��� � � ������� ������ ������ 0��

� �� � �� ��� ���. ���� �� ���� ��� P��� � � � � ����� ,������� � � ������

����� � ���� �� � �� �� �� � ������� 1 �� � � � ��������� � $���2-� 3 ����

���� � � � ��� �� �� ���� ����� � � �������� ��� � �� � P��� ��������

� Æ � Id� �� �����"�� � ���� �� � �� ��������� �� �� �� �� /� ��� ���

� $4����

����� ��� ����� ������� � ��� �� � � P���� ��

��������� � ������� �� �� ���� �� � �� �������������

����� 5� � �� � P��� � � � ���� �� � �� �� ���

��� �� � �� � ������ � � ���� ��� �� � ��� �� � �

��� ��� � �� �� �������� � �� � ����� � ��� &�

� � � � ��� ����� ��� ���� � ��� �� � � � ��� �� � ��

"�� � � �������� ���� Id � � � � �� �� ������� ���

� � ���� �� ����� �� � � � ���� � � � �������� ��

� � � ��� ���� �� � ��"���� �� � �� � ���� ����� �

,"�� ��� ����� ������ ������� �� ��� ����-� �

��� ������ ��������� � ���� ���� ���� �� � �� � � � � ���� �� ����� ������

������� ���������6 ��� � ���������� ��� ������ �� ������� �� � �� �� �

���������� ���� � �� ����� ��� � �� ��� "�� ���� � ������� +78 ���

����� � ����� ������� � "�� � �� � �� ����� ���� � � ������������� 9�" � ��

����� � ���� � ����� ��� �� /� ���� �� � ����� ��� ,$��%- ��� ��� �� � �� � ��

��!����� �� �� ���� � ������� .����� ��/ �� � �������� � ��� ����� � ���

���� �� ����� � � ��� ������ � ��� ��� ���� ������� �� �� "��� � �� :

;���� � ������ � ����� �� � ���� �� �� <8 �� ���� �� $���� � ���� �

����� �� ���� ��� � � ���� �� �� ������������ ����� �� �� �������� ��������

secat� �� � � � ����� � �� ����� ���� � �� �� � � �� �� �� ��� � ��� ����

������� � �� � � � ��� � ���� �� ����� ���� � �� ����� ����� � � � � ��

Page 18: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ����� �� �������

��� �� �� ���� LScat� secat �� ������� �� ������� ��� ��� � ����� �� ��������

����������� ��������� �� �� ���� � !��� ��"�� #� �� ����$� � ��������������

�������� ������ �� �� �� � ����������� � �� ������ � � �� ������� %������

� ���������� & ��� � ������ �� & �� ����� �� ���� � �����$���� # ��

� �� ���� �� ����� ������������� ����� �������� ��� ���� ���� ����� �

%���' (�� �)�� �� *����+ ����������� �������� � �� ������ ��������

����� �� � ��,

TC��� �� secat �� � P���� � ���� �� *��"+

���� ���� ������������ ��������� �

!� �������� $����� � TC ������������ � ����� �� -��./,

�� ������ TC���� %���� � � � ���0 � � � ���

"� �������� (� � ����� ������� �� �� �� � ���� �� TC���� � � � � � �0

TC���� � � � � � ��

.� ���������� TC�SO�� � ��

�� ������� (� � � ����� TC��� %���� *� � �� � �+� � *� � � ��+� � �

*��+�

1� ��� ���! ����� TC���� �� 2���� ���� � � ��� #� ����� �� �� �� ���

�� ������ -��3/� �

!��� ��"� ��� � ��� �� ��� ������ �� TC, ��� ������ � ������ ��

��������� ��� ��� ������ � ������ �� ����������, � � � �������� ���

����� �� ����������� �����$��� �����)� cup�� ���� � � TC��� � �dim ��

���� ���� �"��#�������� ������ �

!��� $����� � TC ���� ��� ������ �� ���� ����� �� ������� � � ����

)������� ����� � ������ C�� � � UC�� �� #� ��������� � � )$� ���� ��

����������� � ����� TC�C�� �� ���� � ���� � ���������� �������� � ���������

��������� !��� �� �� ���� ������� �� ������� �� ��� � ����� �� ������

$������ #� ��� �� ����� -��1/ ���� � ����� ���)������� ������

TC�C�� �� �

⎧⎨⎩

�� � � � � �����

�� � � � � ���

� � ���� � � � � �

� *��.+

� �� �� ��� � � �� � ��� ������ � �� ���� � ������� ����� &

����� � �� ������� ��� ���� ���� !�� ����� � ������, *�+ �� ���2 �

������ �� � � TC�C������ ���� ���� �� ������ ���� �� ����� ������

�� ������������������ �����$���0 *"+ �� ���2 � ������ �� � � TC�C�� �� �

� � ���� ���� �� ������� ���2 � ��� �� � � �������� �� �����$��� �

��������� �������� �� ���� ������ �� �� ������� ������ �

Page 19: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

����� ������� ���

���� �������

����� � ���������� ����������� �� ���� ������ ������ ������� ������ ��

���� ������ � ��!���"� �� � � � � � #�� �� ������� � $��� � ���

��������% �� ���� ������ �� ������� �&��"��� ���� �� � �������������

��� ������ �������� ��� �� ��������� �� ���� �� �� � ������� �� ���"��� ��

�������� �� ����� �� ����'� ��"����� ��� �

( )*���#���+ �������� � � ��� �� � � � � � #��

Id��

��

����� �

��

� � ��� ���

��

��

��

��

�� �����#��� ������ ������ ��������, ��� �� �������

�� �� ��� � �� � �� ��� ��� � � � � �� �� � � ���� �

����� ������� ��� � � � �� �� ���� #��� �� �� ��������

������"� ����� �� ���� ��� �-� � ( �� �����

�� �������� ��� ��� �, #���� � �� ���� � �� #��

��� � �"� #���������� ������� ���.

��� ����� ������ �� ������ � �� ������������� ��� � � ������� �����

���� �����

������ /��' � ����� �� � � �� �� � �������� 0� � ��� �� � � �� �� ��

� ���� �� � ��� 1���� � � � � ��� �� � � "� �� ��� �� �� "� ����� ���������

�� � � ��� � ��� ��� Id � � � ��� � �������� ��� �� ������� ������ ��� ������� � ������� ���� � ��� �������� 2�"�� � �� �� �� ���� �

��# ������� �&��"����� ��#��� ���� � �

��� ��� �� ������� ������ �� �� ��� �� �-����� ��������� ����� �� �

�� ���� �� ��� �� ������� �� ��� � �� � � �������������� � ���� �� ��� ��

�� � � �� ������� � ��� ��� � ����� �� �-��� ���� ����� � ������

�� � �� ���� ��� ������� ����������� 3 ��� ����� � ��������� ��

� � � � � �� ��� �� �� � ��� �� ������ ��������� �������� 3 �� )��4+

��� ���� � ��� � ��������� 3 ������ ����������� ���!����� �� ��������

����������� ����� ��� 3 ���� �� � � ��� �� � ����� �� ������� ����� �

��� ���������� )564 ���+� 7��� �� � �� ����� ����� ��� ������ �

��� ����������� �-� �� 8�# ���� �� � � �� ������"� ����� �

9�� ����� �-���� �:�� � ����� �� �� ��#�� �� �� ������� ���

����� �� #����� #�� �-� �&����� �"� �� ��� � ������� �� �� ����-

�� ������� ����� , ��� �� "��� ������ �� ���� #�� �������� �����

$��� �� ��;������ ��#��� �� <����=����� �� =� >���� ������ %� ���

�������� �� ������ ���# ��� ��������� �� ���� ���"��� "� �� ���� �-� �&�����

����� � ������� ?�"�� � � � � � #�� ���� ������� ��� �� � �� �����#���

�&����� � �-�,

� � � �� ���� �����

�� ���������

�� �����Æ

�� ������ �����

�� � � � $��6%

��� �� �� ��� ����� �����# � 0� �� � � �� � ����� #�� � ��������

��� ����� ��� � � � � � ��� � ����� �� � � � �� � �� ��� �� ���� �� ����

�� ����, � � �� ��������� ���������� � Æ � � ����� @�� ���� �� �����

Page 20: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ����� �� �������

���� ��� �� �� ��������� �� �� ������� ������������ ���� � ����� � �����

��� �������� ������� ���� ���������� � ���� ��� � ������ ������������ ��� ���

����� ������ ������� ��� ���� � �������� ��� ����� ������� ����� ��� � ���

���� ��� ������� ���� ����� � ������ � �� ����������

�� � ����� ������� ���� �������� ����� � ������

���� � ��

��

�� ��

��

��

��

��

�� ��

�� ��

��� ���� ����� ������ ���������� � �� �� � � �

����� ��� � �� �� ��������� ����� ����� ���� � ��� ���

������ ��������� ������� ���������� � ��� ���������

������ !�� �� �� �� ��� ������ � ��� "�� � �����

� �� � �� ���� � �� � � �

�# ���� ������� ��� ��

����� ��������

� � � �� ������ �� ����

�� �� ������ �� ������

�� �� � � �

������ ����� ������ � � �� � � � �� ������ ���� ����

�� �� ������ �� � � � �

���� ������ �� ����

�� �� ��

���� ������� �� ����

���� ���� ��� ����� ������ ��� $���� ��� �������� ���������� � ���� �� ���

����� � ��� ��� ������� �������� �� ���� ������ � ��� ���������� ������� �

��������� ��� ���� ���������� �������� �� � ����� ��������� %�� � ��� ���

������ �������� �� ����� ������ ��� ������� � ������� �� � ���� &�� ���

������ ����� ���� ���� ��� �� � ������ �������� � � ����� ��������� ��� ������

��������� �������� �������

������� ���������� ��� ����� � ����������� ��'����� ������ � ���� ���

������ ��� ���� ���� ��������� � ���� ������� ���� ��� ���� ��� ������� �

����� �������� ��� ��� � ������� ������ (� ���� �� �� �������� ��� ������ ���

���� ��� ��)������ �������� ��� �������� ���� � �� ��� ������ ��� ��� �������

������ �������������� ��'����� ����� � *���� $����� ������� ���������� ������

(� $���������� ���� ������ ����� ��� ������� � ������ � ����� ��� �

��������� � ��� ������ � �������� � �����# ����� ��� ����� ��� ����� �� � ����

������� � �������� ����� ��� ���� ����� �� � �� ������������ ������

������������� ���������� ���� ���������� ��� ������������ �������������� �������

��� ��� ���������� �� ��� ������������������ � � � � ��� ��� �� �� �� ��*�����

� �������������� ������������� +�������� ���� ��� �������� ���� � ���� ��

� ������� ���� � ������ �� ����� � � ���� ��� � ���� � � ������� ���� �� � �������

���� � ���� �� ���� ������ � �������������� ����� ���� ��� ����� ��� ������ ����

������ ,��� ��� ��*������ � �� -�� ���� . ��� �������� ���� � /����-� .

�� ��� �������� � ��������� ������������ � ��� ������� �������������� � ���

�������������� ��������� ������ ��� �� ���� �������� (� �� ���� ����������

��� �� � � ������������� ��� 01234� ����� ������ �� � � ����� �� �� �� ���

����� ��� �� ���� ��� �� ��� ����� ������������� ������ �� �� ����� �� � ��������� ��������� ���� �� ����� � ����� �� U �� ������ �� ������ ���� ����� ����� � � �� ��

��������� �� U � � ���������

Page 21: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

����� ������� �� ���� �

����������� �������� ����������� ��� ��������������� �����

����� !"#$ ���� �!%!�!��

� ����������� �� ����

� � � ����& ���� �����

���� ������� &���� �& ��� '(������

���� � ���� ����������� ����& &���� �& ����� ������

�� � ��� �� ��� �� �

�� � � � � ���)���� *���� ������*�� �& �����

�� � � � � �� �& ����� ����*�� �& �����

�� � � � �� �& &*������� &*������ ����∑�� ��� ���� � ������ ���)���� �*� ����� ����∏�� ��� ���� �� ������ ����*�� ���� �& �������

Id� +*���� � ���� �� � � � �� ���� ���� P���

���� ��(� �� ���� �� ������ ����� ���� �� �'�� ����� �'������� �� ���

������� ��� �+*�� �� ���������� ����*�� �& $����� �, ���� �� �� &��*� �& ��

������� �& ���� �-��

�����

�� ���� ���� ��� � �� � ���� ���� ��� ��� �� ������ �� � �� � ������ �� ����

�� ����� �� � � ���������� �� � ���� ��� ������� ����� ����� �� ��� ����

�� �� � �� ���!� ���� �� ���� ���� ����� ������� �� �!�� ��� ������� � ����

"���� #$� ����� � ��� �� ���� �� ������� � � �������� ����� ��� � ��� ����� ��

������ �� ��� �� ���� �� ������ �� �� �� � ��� ��� ���� ��� !��� �� �������

���� �� ���� �� ����� %��� ���� ��� � �� �� ������� �� ����� �� �� �����&

'� ��� (������ � ������ � � ������ ���� ��)������ ����� * � � �������

������������ +( ��������� �� � ������� ����������� �� �� ����� ����� ��

������� �,��� ������ -����)����������� �� ��� �� �� ���� ������

.� /������ �� ������� � ���� ���� �� �������� �� ���!�� ���� �� ���� 0�

��������� +( ������� � ������� ��� ��� ����� ������ ���!�� ���� �� �� �����

�� � ��� ����� ���)������ ��)�������� ������ �� �� ��� ��������� ���� �� ���

�� � �� ��� ����� � � � � ��� �������� ���!�� ���� �� �� � � �� ��������� ��

�������� ���� �� �� ���� �� ����� �� ��� �� ��������� � ������ �� �� ������ �

�������

1� +���� 2��2 �� ��������� � ���� � ������ � � ��������� � (������� 3.4�5 ��� ���

+���������� �� �� 3665 �� 7 ������� 3''58 ������ �� ��� ������ �� ������ ����

�� � � � ��9�� �� � ��� ����� �� �������� �� ��� �:;1 � �� �� <��� �� ��� � � ���

����� ��� � ���� � ������ � �� ��� ��� � ������� �� ���� ��9�� �� �� ��

������� �����

;� -������ 2�2 ����� � ��� ���� �� �� � ������ �� ���� =���� ����� ������

� � � � � �� �������� �� �� �� � ������� �� ����� � ��� � � ���� ���

������� >���� ��� ��� ���������� �� �������� �� ���� ������� ��� <��� �� �� �

��� ���������� ���� ����� ��� �� ���� �� ���� 3''65� ��� ����� ���� ��

������� ����� �� �� ������� ������� �� ��,��� ��� �� �� ?2�; �� ���� ��� ���������

�� ����� �� �������� ���� ���� �� ���� �� ������� �� ��������� � ��� ������

����� �� ����� �� ����� ��� �� �������� �� ���� �� ���� �� ��������� �� �������

Page 22: Department of Mathematics | Penn Mathghrist/EAT/EATchapter8.pdf · LScat secat ! " # $ % & $ # % ' ( ) * + , TC. Id # ,

��� ������ � �� �����

���������� �� �� � ��� ������ ���� �� ��� ���������� �� �������� �� ������ ���

������ ��� ������� �� ���� �� �������� ��� ������� �� ��� ������� ������ ������� ���

������������ ������� ��� ��� ������� ���� ��� ������ ���������� �� ������� ����

�������

�� �� � ���� �� ��������� ��� ��������� �� �������� ��� ���������� ���� ��������

������� �� � ������ ���������� ���� ����� ��� � ������� �� � �� !�� "##$%�

&� �� ���������� �� ��� ���� �������� � '(�) � ��� �������� ���� �� *���� +����

��� +���� �� ���������� ������ �� �� ����������� ",#� #&(%� �� ���� ������

� ���������� ������ �� ��� �������� ����� �� � ������ ��������� �� ������ � �

����� �� ��� ������ �������� �� ��� ������ C���� � UC����� ��� ����� "$&� (-� #)-%�

(� �� ���������� ����������� ����� �� � '(�) �� ���� ������ ���� � ������ �

��� �� �� +��� ����� "$$#� $$.� $$,% ��� �������� �� ���������� ���������� +�������

�������� ��� ��� ���� �� ���������� ������ �� �� ��� ���� ���/����� ������ �� �

����� �� �� �������� ������ � ���� ��� � � �� �� � "$$�% 0 ��� � � ����������

������ ��� �1���� �� ������� ��������

)� �� ������ ���� TC ���� ������ �� ���� ��� ������� �����2������� �������� �

��������� ���� ��� ��������� ������� �� ��� ��������� �� ���������� ������ ������

$3� �� ����� � '(�$$ � ���������� ���� "#)$% ��� ���� ����� ��������� ������� 4��������

����� ���� ���� ��� ������ ������5� �� ������ � ���������� �� ��� ��� ������

��� ���� ��� ������ � ����������


Recommended