DIPLOMOVA PR ACE - cvut.cz · 2014-08-23 · ii Pod ekov an R ad bych pod ekoval n ekolika lidem,...

CESKE VYSOKE UCENI TECHNICKE V PRAZEFAKULTA ELEKTROTECHNICKA

KATEDRA ELEKTROMAGNETICKEHO POLE

DIPLOMOVA PRACE

Nastroj pro modalnı analyzu fraktalovych patch anten

Bc. Miloslav Capek

Vedoucı prace: Ing. Pavel Hazdra

Ceske Budejovice 2009

i

ZadanıVytvorte SW nastroj pro generaci (pomocı IFS) a modalnı analyzu mikropaskovychpatch anten zalozenych na fraktalnı geometrii.

1. Implementujte optimalizacnı algoritmus (napr. na bazi PSO), ktery bude ge-nerovat IFS kolaze s cılem nalezt struktury s minimalnı rezonancnı frekvencızakladnıho modu. Rezonancnı frekvence a rozlozenı proudu stanovte pomocıdutinoveho modelu (napr. s vyuzitım vypocetnıho jadra COMSOL Multi-physics). Maximalnı rozmery kolaze uvazujte konstantnı tak, aby bylo mozneporovnavat struktury vuci kanonickym tvarum (obdelnık, kruh) a navzajemvuci sobe.

2. Na zaklade rozlozenı magnetickych proudu na hrane anten implementujtevypocet vyzarovacıho diagramu pro jednotlive mody.

3. Vybranou strukturu z bodu 1) nasimulujte v nekterem ”full-wave”simulatoru(napr. CST-MWS) a porovnejte vlastnosti anteny s dutinovym modelem (re-zonancnı frekvence, proudova distribuce).

ii

PodekovanıRad bych podekoval nekolika lidem, bez kterych by tato prace stezı kdy vznikla.Predne dekuji memu skoliteli Pavlu Hazdrovi, nejen za prısun literatury a pod-kladu, tipu a rad, ale zejmena za nenapadne a presto jiste vedenı cele prace.Dale bych rad podekoval tem, kterı prispeli radou; jmenovite: Petrovi Cernemu,Stanislavu Zvanovcovi, Alesi Nemeckovi, Jaroslavu Tiserovi, Pavlu Tisnovskemu adalsım. V neposlednı rade dekuji rodine, Jane a vyrobcum japonskych zelenychcaju.

iii

ProhlasenıTımto stvrzuji, ze tato prace je me vlastnı dılo a ze vsechny pouzite zdroje jsouuvedeny v Literature (prıpadne na datovem nosici). Dale souhlasım s prıpadnymvyuzitım me prace pro nekomercnı ucely katedry elekromagnetickeho pole naFEL-CVUT.

V Ceskych Budejovicıch dne 15. 5. 2009.

iv

AbstraktDiplomova prace shrnuje zıskane poznatky v oblasti fraktalnıch anten a optimali-zace. V mnoha ohledech rozvadı zavery bakalarske prace. Text je tematicky rozdelenna nekolik castı, ktere reflektujı na sebe navazujıcı temata. Nejprve je venovanapozornost definici, generaci a zpracovanı IFS struktur. Jsou predstaveny postupyjak dynamicky vyhodnocovat obvod a obsah kolaze v prostredı Matlab, venujemese i tzv. box-counting metode.

Pro vlastnı modalnı resenı je vyuzit dutinovy model, vypocet provadı Comsol.Dalsı pasaz reflektuje vyvoj v oblasti optimalizace, je implementovan a testovanPSO algoritmus. Predstaven je nastroj na nastavenı optimalizacnıch podmınek scılem zıskat optimalizovane IFS anteny s ohledem na minimalnı rezonancnı frekvenci.Exportovana data z Comsolu vyuzijeme pro vypocet vyzarovacıho diagramu.

Na zaver vybranou strukturu simulujeme v referencnım softwaru CST MWS.Naprosta vetsina aplikacı je puvodnı, jsou vytvareny v prostredı Matlab s ohledemna modularitu a dalsı rozvoj.

Klıcova slova

IFS, dutinovy model, rezonancnı frekvence, proudove rozlozenı, mody, optimalizace,PSO, vyzarovacı diagram.

v

AbstractThis thesis summarieses all obtained knowledge about fractal patch antenna andparticle swarm optimization. All aspects of the bachelor thesis are expand in manyways, some new topic are shown too. The whole text is divided into separate chapterswhich contain particular topics. First we take care of definition, generation andmanipulation of IFS fractal structures. There are introduced new approaches tofractal’s circumference and area measure in Matlab environment. We attend to so-called box-counting method also.

Further section contains cavity model characterization. Evaluation of this modelprovides Comsol Multiphysics. The PSO algorithm is chosen for optimization ofpatch antennas. The IFSLimiter, instrument for setup the conditions of optimiza-tion, is introduced. Radiation pattern is computed from obtained data.

In the end, we choose the proper structure to simulate it in CST-MWS with aview to make a reference between Comsol and CST. Most of described applicationshave been developed in Matlab considering modularity and extensibility.

Keywords

IFS, cavity model, resonant frequency, current distribution, modes, optimization,PSO, radiation pattern.

vi

PredmluvaPrırodnı zakony: skryte, tajemne a fascinujıcı. Jsou od nepameti jednım zhlavnıch determinant lidske spolecnosti. Mozna proto, mozna pro prirozenou lid-skou zvıdavost, zcela jiste vsak s cılem ukojit vrozenou pohodlnost, je odkryvanıtechto taju hnacı silou rozvoje lidstva.

Stav poznanı se vsak od dob Aristotela, Newtona, Maxwella, Einsteina a dalsıchv mnohem zmenil. Vzpomenme na Laplaceova demona; nazor na rad a chaos sedynamicky vyvıjel a zajiste bude vyvıjet i dal.

A prave oblast na pomezı je v soucasne dobe v hledacku mnoha velikanu svetovefyziky, chemie a teorie informace. Spadajı sem dodnes nevyresene problemy jakoNavier-Stokesovy rovnice popisujıcı proudenı nebo Riemannova hypoteza spojujıcısvet prvocısel (o kterych jsme se donedavna domnıvali, ze jsou vytvorem cloveka),neusporadane chaoticke systemy, ale prekvapive zahrnujıcı i resenı planarnıch re-zonatoru.

Do stejne kategorie muzeme zaradit fraktaly a rojovou optimalizaci, ktera, acs pevne danym algoritmem, generuje z kratkodobeho pohledu nedeterministickypohyb agentu. Tak dochazıme k poznatku, ze nejefektivnejsı systemy jsou pravety na pomezı striktne predikovatelneho a ”pouze“ pravdepodobneho1. Dost moznai elementarnı principy anten a elektromagnetickeho pole (vlnenı) spadajı do tetoskupiny.

Vsechny tyto problemy zobecnujı nove nahledy na cas, prostor, determinismusi klasickou mechaniku. Pritom nase neustale zkoumanı ovlivnuje postoje umenı,filosofie, spolecenskych ved, ekonomie . . .

Venujme proto zvysenou pozornost teto komplexite a interdisciplinarite, nebot’,dost mozna, zijeme na usvitu nove revoluce ([7]). S veskerou pokorou si preji, abypredlozena prace, byt’ nepatrnym dılem, prispela do inventare te nejdobrodruznejsıvypravy – te, kterou Richard Feynman oznacil za obrovskou sachovou partii.

Autor

1Bezpecnostnı sluzba, prevazejıcı penıze z banky, jezdıcı stale po stejne trase, by byla castovystavena prepadenı; naopak pri zcela nahodne jızde by svou neefektivitou podlehla konkurenci.

Pozn.: Obrazek na nasledujıcı strane zobrazuje Juliovu mnozinu. Jedna se o fraktal, ktery zıskamevysetrenım divergence rovnice zn+1 = z2

n + c, kde z je komplexnı a c je (tez komplexnı) konstanta.

Obsah

1 Uvod 11.1 Koncepce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Konspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 IFS fraktaly 32.1 Fraktal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Generace IFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Pevny bod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Kontraktivnı zobrazenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.4 Banachova veta o pevnem bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.5 Interpretace IFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.1 Typy afinnıch transformacı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Zpusoby ulozenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Mıry a dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Topologicka dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Vnejsı mıra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3 ε-pokrytı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.4 Hausdorffova mıra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.5 Holderova funkce s parametrem α . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.6 Hausdorffova dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.7 Mrızkova dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Metoda box-counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 IFS software 193.1 Programovacı techniky v Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Switched board programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.3 Strukturalnı programovanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.4 OOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 AntTool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.1 Generace IFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

viii

OBSAH ix

3.2.2 Export kolaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.3 Pripojenı ke Comsolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.4 Nahrada IFSMakerem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 IFSMaker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Nedostatky a mozna vylepsenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Numericke metody 384.1 Mikropaskove patch anteny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Metoda momentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Dutinovy model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Metoda konecnych prvku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Teorie charakteristickych modu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 EvalInFem 535.1 Popis, syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3 Mesh, fyzika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4 Zpracovanı vysledku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5 Osetrenı chyb, stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.6 Vysledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.7 Propojenı s PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Vyzarovacı diagram 656.1 Rozlozenı zdroju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2 Odvozenı potrebnych vztahu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3 Magneticke proudy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3.1 Rekonstrukce patche, zıskanı dat pro normalu . . . . . . . . . 726.3.2 Smer normaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3.3 Vyuzitı hodnot NaN z Comsol gridu . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4 Povrchove elektricke proudy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.5 Simulace v CST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6 Realizace – EvalRadPattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.6.1 Vypocet proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.6.2 Algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6.3 GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6.4 Optimalizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.7 Rozbor vysledku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7 PSO optimalizace 827.1 PSO algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.1.1 Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.1.2 Princip PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.1.3 Omezenı agentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.2 Optimalnı parametry PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

OBSAH x

7.3 Stretched PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.4 GSO algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8 PSOptimizer 938.1 Implementace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2 PsoData format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.3 Fitness funkce, testy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.4 Zpracovanı vysledku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.5 Spojenı s EvalInFem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.6 Zrychlenı metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9 IFSLimiter 1039.1 Struktura programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.2 Testovacı uloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.3 Zadanı uloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.3.1 Uloha A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.3.2 Uloha B1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.3.3 Uloha B3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.3.4 Uloha C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.3.5 Uloha C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.4 Rozsırene moznosti IFSLimiteru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

10 Optimalizace a analyza FRC 110

11 Zaver 116

12 Prılohy 12712.1 Dodatek A: Vyber IFS fraktalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12712.2 Dodatek B: Simulace vybranych FRC . . . . . . . . . . . . . . . . . 13912.3 Dodatek C: Prehled aplikacı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14312.4 Dodatek D: Prıkazy AntTool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14412.5 Dodatek E: Srovnanı programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14412.6 Dodatek F: Obsah DVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Seznam obrazku

2.1 Sierpinskeho koberec (2D, IFSMaker) a Mengova houba (3D, [83]) . . 42.2 Vyznam Hutchinsonova operatoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Prvnı tri iterace Sierpinskeho koberce, IFSMaker . . . . . . . . . . . 82.4 Vyznam koeficientu a, b, c, d, e, f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Demonstrace ε-pokrytı, εvlevo > εvpravo . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 K definici Dh(F ): vlevo mnozina F , vpravo jejı Dh . . . . . . . . . . 142.7 Zjemnenı mrızky pokryvajıcı mnozinu F . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8 Smernice box-counting dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.9 K vypoctu mrızkove dimenze (fraktaly FRC A a FRC B) . . . . . . 172.10 Vypocet mrızkove dimenze Scierpinskeho trojuhelnıka (FRC A) . . . 182.11 Vypocet mrızkove dimenze ctverce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Struktura grafiky v Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Prıklad uzitı switched boad programmingu (AntTool1.3) . . . . . . . 223.3 Strukturalnı segment kodu (IFSLimiter) . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Uzitı objektu v IFSMakeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 AntTool, screenshot hlavnıho okna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 AntTool: Zadanı bodu a transformacı . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 AntTool: Zobrazenı bodu a transformacı . . . . . . . . . . . . . . . . 273.8 AntTool: Resic a vysledny fraktal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.9 IFSMaker: cely program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.10 IFSMaker: cast UML schematu, MS Visio . . . . . . . . . . . . . . . 313.11 IFSMaker: Selection List . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.12 IFSMaker: Ukazka modifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.13 IFSMaker: Pripojenı nodu do polygonu . . . . . . . . . . . . . . . . 333.14 IFSMaker: Ukazka lazenı transformacı . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.15 IFSMaker: Pracovnı plocha, detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.16 IFSMaker: Canvas options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.17 IFSMaker: Prace s polygony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Mikropaskova patch antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Jednorozmerne bazove funkce (a-c) a jejich uplatnenı (d) . . . . . . . 424.3 Hranicnı podmınky pro resenı patche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

xi

SEZNAM OBRAZKU xii

4.4 Prvnı 3 mody obdelnıkoveho patche (nahore: proudova hustota J,dole: elektricka intenzita Ez) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Puvodnı funkce (a) a jejı linearnı aproximace (b) . . . . . . . . . . . 474.6 Triangularnı, quadrilateralnı sıt’ a kvalita sıte (tmava je nejlepsı) . . 484.7 Typicke hodnoty charakteristickeho uhlu, zdroj: [85] . . . . . . . . . 51

5.1 EvalInFem (screenshot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Vypoctena kolaz, mesh, dominantnı mod a jeho proudove rozlozenı . 555.3 Nesmyslne resenı (vlevo) a dominantnı mod struktury (vpravo) . . . 575.4 Prıklad duplicitnıch modu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5 Nadbytecne nody, jejich vznik a neprıjemne dusledky . . . . . . . . . 585.6 Lokalizovane proudy pro FRC B, FRC J a FRC D, vyssı mody . . . 595.7 Pokles frekvence s iteracı, vybrane kolaze . . . . . . . . . . . . . . . 615.8 Dominantnı mody FRC struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.9 Proudy na strukture FRC F podle TCM . . . . . . . . . . . . . . . . 625.10 Prubeh charakteristickeho uhlu pro FRC F (TCM) . . . . . . . . . . 635.11 Proudove rozlozenı pro 1-3 mod kolaze FRC F . . . . . . . . . . . . 64

6.1 Postup vypoctu, ve shode s [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2 K odvozenı vyzarovacıho diagramu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3 Pole Ez na hranici (vlevo) a nad celym patchem (vpravo) . . . . . . 716.4 Stanovenı normaly na fraktalnı hranici . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.5 K normale v Comsolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.6 Stanovenı normaly pomocı NaN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.7 Povrchove proudy pro 3000 elementu, napravo rozlozenı Ez . . . . . 756.8 Povrchove proudy, 4.mod, vıce elementu . . . . . . . . . . . . . . . . 766.9 Zahrnutı nekonecne zemnı roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.10 Vyzarovanı dipolu, delka λ

2 , 3D diagram z CST MWS . . . . . . . . . 776.11 Vyzarovanı dipolu, delka λ

2 , rezy CST MWS . . . . . . . . . . . . . . 786.12 Vyzarovanı dipolu, delka 3

2λ, 3D diagram z CST MWS . . . . . . . . 786.13 Vyzarovanı dipolu, delka 3

2λ, rezy CST MWS . . . . . . . . . . . . . 796.14 K obdelnıkove metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.15 EvalRadPattern (screenshot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.16 Slozky Fx a Fy v kartezskych souradnicıch . . . . . . . . . . . . . . . 806.17 VD velice uzkeho patche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.18 Orientace diagramu, barvy korespondujı s obr. 6.17 . . . . . . . . . . 81

7.1 Princip PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2 Typy zdı pouzıvane v PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3 Optimalizace funkce Levy5 pro ruzna c1 a c2 (20 agentu, 150 iteracı) 877.4 Optimalizace funkce Levy5 pro ruzna c1 a c2 (20 agentu, 150 iteracı) 887.5 Pocet agentu mimo s.s. pro Levy5 a Rosenbrockovu funkci (20 agentu,

150 iteracı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.6 Rozptyl agentu, Levy5 a Rosenbrockova funkce (20 agentu, 150 iteracı) 90

SEZNAM OBRAZKU xiii

7.7 Funkce Levy5: bez transformace, s G(x) a po H(x), zdroj: [47] . . . 917.8 Princip GSO optimalizace, na zaklade [50] . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.1 GUI PSOptimizeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.2 Optimalizace kvadraticke funkce v rozsahu x ∈ 〈2, 5〉 . . . . . . . . . 978.3 Rosenbrockova funkce, s.s. ∈ 〈−10, 10〉 × 〈−10, 10〉 a cost funkce . . . 988.4 Konvergence ke skutecnemu minimu Rosenbrockovy funkce . . . . . 988.5 Funkce Levy No.5, s.s. ∈ 〈−10, 10〉 × 〈−10, 10〉 a cost funkce . . . . . 998.6 Program PSOPost, vc. prubehu funkce Levy5 a agentu . . . . . . . . 1008.7 Pozice agentu pro 5. a 150. iteraci (Levy5, s.s. ∈ 10× 10) . . . . . . 101

9.1 IFSLimiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.2 Obrazek optimalizacnıch mezı pro testovacı ulohu . . . . . . . . . . . 1059.3 Zadanı podmınky, vstup a vystup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.4 Obrazek optimalizacnıch mezı pro ulohu A1 . . . . . . . . . . . . . . 1069.5 Obrazek optimalizacnıch mezı pro ulohu B1 . . . . . . . . . . . . . . 1079.6 Uloha B3 v IFSLimiteru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.7 Obrazek optimalizacnıch mezı pro ulohu C3 . . . . . . . . . . . . . . 1089.8 Obrazek optimalizacnıch mezı pro ulohu C6 . . . . . . . . . . . . . . 1099.9 IFSLimiter: parametricky resic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

10.1 Postup optimalizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.2 Nekolik agentu optimalizace A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.3 Nekolik agentu optimalizace B1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210.4 Nekolik agentu optimalizace B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210.5 Zavislost rez. frekv. na iteraci pred PSO a po PSO . . . . . . . . . . 11310.6 Parametricke srovnanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.7 Nekolik agentu optimalizace C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11410.8 Vysledek optimalizace C6 (2. a 3. iterace) . . . . . . . . . . . . . . . 11510.9 Pohyb agentu pri uloze H2, zacatek (vlevo) a zaver (vpravo) . . . . . 115

12.1 Fraktal FRC A v prvnı, druhe a tretı iteraci . . . . . . . . . . . . . . 12712.2 Fraktal FRC A inicializacnı objekt a transformace . . . . . . . . . . 12712.3 Fraktal FRC B v prvnı, druhe a tretı iteraci . . . . . . . . . . . . . . 12812.4 Fraktal FRC B inicializacnı objekt a transformace . . . . . . . . . . 12812.5 Fraktal FRC C v prvnı, druhe a tretı iteraci . . . . . . . . . . . . . . 12912.6 Fraktal FRC C inicializacnı objekt a transformace . . . . . . . . . . 13012.7 Fraktal FRC D v prvnı, druhe a tretı iteraci . . . . . . . . . . . . . . 13112.8 Fraktal FRC D inicializacnı objekt a transformace . . . . . . . . . . 13112.9 Fraktal FRC E v prvnı, druhe a tretı iteraci . . . . . . . . . . . . . . 13212.10Fraktal FRC E inicializacnı objekt a transformace . . . . . . . . . . 13312.11Fraktal FRC F v prvnı, druhe a tretı iteraci . . . . . . . . . . . . . . 13312.12Fraktal FRC F inicializacnı objekt a transformace . . . . . . . . . . 13412.13Fraktal FRC H v prvnı, druhe a tretı iteraci . . . . . . . . . . . . . . 13512.14Fraktal FRC H inicializacnı objekt a transformace . . . . . . . . . . 135

SEZNAM OBRAZKU xiv

12.15Fraktal FRC J v prvnı, druhe a tretı iteraci . . . . . . . . . . . . . . 13612.16Fraktal FRC J inicializacnı objekt a transformace . . . . . . . . . . . 13712.17Fraktal FRC K v prvnı, druhe a tretı iteraci . . . . . . . . . . . . . . 13712.18Fraktal FRC K inicializacnı objekt a transformace . . . . . . . . . . 13812.19VD pro 1. mod kolaze FRC F (CST-MWS) . . . . . . . . . . . . . . 13912.20VD pro 2. mod kolaze FRC F (CST-MWS) . . . . . . . . . . . . . . 14012.21Mody struktury FRC C (CM, 1-8 zleva doprava) . . . . . . . . . . . 14112.22Mody struktury FRC J (CM, 1-4 zleva doprava) . . . . . . . . . . . 14112.23Proudove rozlozenı dominantnıch modu . . . . . . . . . . . . . . . . 14212.24Schema celeho projektu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14312.25CM solver z BP (vlevo) a z DP (vpravo) . . . . . . . . . . . . . . . . 14512.26IFS editor z BP (dole) a DP (nahore) . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Seznam tabulek

2.1 Hodnoty topologicke dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro nektere prırodnı utvary. . . . . . 142.3 Vypocet dimenze programem boxcount . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Struktura souboru data.3dt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Struktura souboru data.txt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1 Mozne chyby v EvalInFem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Rezonancnı frekvence vybranych kolazı (prvnıch 5 iteracı) . . . . . . 615.3 Rez. frekvence pro FRC F v simulatorech CM, CST-MWS a TCM . 63

7.1 Shrnutı parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.2 Success rate funkce Levy5 (se zmenou iterace), 20 agentu . . . . . . . 867.3 Success rate funkce Levy5 (se zmenou iterace), 45 agentu . . . . . . . 887.4 Success rate funkce Levy5 (podle poctu agentu), 150 agentu . . . . . 897.5 Success rate funkce Levy5 (podle poctu agentu), 50 iteracı . . . . . . 89

8.1 Principialnı schema PSOptimizeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.1 Vysledky vybranych optimalizacı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

12.1 Parametry kolaze FRC A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12812.2 Parametry kolaze FRC B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12912.3 Parametry kolaze FRC C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.4 Parametry kolaze FRC D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13212.5 Parametry kolaze FRC E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13212.6 Parametry kolaze FRC F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13412.7 Parametry kolaze FRC H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13612.8 Parametry kolaze FRC J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13712.9 Parametry kolaze FRC K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13712.10Prehled vsech vyvinutych nastroju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14312.11Prehled1 dostupnych prıkazu programu AntTool (Matlab) . . . . . . 14412.12Prehled2 dostupnych prıkazu programu AntTool (Comsol) . . . . . . 145

xv

Seznam symbolu

Symbol Velicinaεr relativnı permitivitaε0 permitivita vakua (= 8.854188.10−12Fm−1)µr relativnı permeabilitaµ0 permeabilita vakua (= 4π.10−7Hm−1)Dt topologicka dimenzeDh Hausdorffova dimenzeDb mrızkova dimenzeω afinnı transformace, uhlova rychlostMS ,Mx,My transformace zmeny merıtkaPx, Py posun polygonuλ vlnova delkaΓ modul cinitele odrazu RΦ faze cinitele odrazu Rtan δ ztratovy cinitel dielektrikaE vektor intenzity elektrickeho poleH vektor intenzity magnetickeho poles11 cinitel odrazuj imaginarnı jednotkaQT cinitel jakosti antenykn, λn vlastnı (n-te) cıslok vlnovy vektorEz,n, ψ vlastnı funkcec0 rychlost svetla ve vakuuPSV pomer stojatych vlnBW sırka pasma anteny (v % z pracovnı frekvence)Wt celkova energieη ucinnostM hustota magnetickeho prouduJ hustota povrchovych elektrickych prouduA magneticky vektorovy potencialφ,F skalarnı elektricky potencialZ,R,X impedance, realna a komplexnı castG Greenova funkceαn charakteristicky uhelN zarivy vektorfn, wn bazove funkce, testovacı funkceNaN Not a Number podle IEEE-745 (Matlab)F funkcionalL linearnı operator

xvi

Seznam znacekOperator Vyznam∇t Nabla operator

∆ = ∇.∇ Laplaceuv operator;(

∂2

∂2x2 + ∂2

∂2y2

)gradψ (∇ψ) gradient;

(ax

∂ψ∂x + ay

∂ψ∂y + az

∂ψ∂z

)divA (∇ •A) divergence;

(∂Ax∂x + ∂Ay

∂y + ∂Az∂z

)rotA (∇×A) rotace;

(ax(∂Az∂y −

∂Ay∂z

)+ ay

(∂Ax∂z −

∂Az∂x

)+ az

(∂Ay∂x −

∂Ax∂y

))⋃mi=1 obecne sjednocenı (general consequence op.)∑ni=0 suma od i = 0 do i = n→ blızı se−→ zobrazenıdx diferencial x〈u, v〉 skalarnı soucin∂∂ parcialnı derivace× vektorovy soucin∧ soucasne

NadpisFunkce, cizojazycny vyraz

Prıkazwww odkaz

Pohyb 7→ v menu 7→ aplikacıMatematikaTlacıtkoLiteratura

xvii

SEZNAM TABULEK xviii

Seznam zkratek

ZkratkyFPA Fractal Patch AntennaPDE Partial Differential EquationCM Cavity ModelGA Genetic AlgorithmPSO Particle Swarm OptimizationSPSO Stretched PSOs.s. solution spacec.f. cost functions.r. success ratef.f. fitness functionGSO Genetic Swarm OptimizationACO Ant Colony OptimizationIFS Iterated Function SystemTCM Theory of Characteristic ModesMoM Method of MomentsFEM Finite Element MethodGUI Graphical User InterfaceOOP Object Oriented ProgrammingPMC Perfect Magnetic ConductorPEC Perfect Electric ConductorVD Radiation Pattern (vyzarovacı diagram)TM Transversal MagneticTE Transversal ElectricHUS Harmonicky ustaleny stav

Kapitola 1

Uvod

”Nestıpejte mne do prstu – pohled’te, kam ukazuje.“

— Warren S. McCulloch

1.1 Koncepce

Patche patrı do oblasti dynamicky se rozvıjejıcıch anten. Disponujı mnohaprednostmi, majı pochopitelne i sve neresti. Mnoho z poznatku platnych propatchove anteny, jmenujme metody simulace nebo optimalizacnı postupy, lze vyuzıtv oblastech jako jsou periodicke struktury, selektivnı povrchy a dalsı. Vyuzijeme-li pro tvar zarice fraktalnı geometrie, obdrzıme dalsı vyhodne vlastnosti. Genera-ce a simulace takovych anten je vsak slozitejsı a zdaleka ne vsechny postupy jsoudostatecne prozkoumany.

Tato prace take tezı z trvajıcıho zajmu o optimalizaci cehokoliv, ktery je jenzrıdka kdy systematicky. Vetsina publikacı se zpravidla zameruje na pruzkum jedne,ci vıce struktur se stejnym charakteristickym rysem (patch se sterbinou, vybranytyp fraktalu . . . ). Tento prıstup mnohdy generuje zajımave vysledky, nicmene veliceobtızne odkryva obecnejsı vlastnosti daneho zarice, coz v prıpade fraktalnıho motivuplatı dvojnasob.

V teto praci jsme si vytkli za ukol optimalizovat prımo fraktalnı parametryIFS (body zakladnıho objektu a transformace, ktere fraktal dlazdı), tedy nikoliv geo-metrii, ale hodnoty, ktere tvar v pozadı formujı. Abychom toto mohli uskutecnit,je potreba dukladne porozumet mechanismum generace IFS i principum PSO opti-malizace, musıme take zvolit dostatecne presnou a efektivnı simulacnı metodu.

Vyuzijeme schema, ktere bylo uspesne aplikovano v bakalarske praci (BP): pronavaznost pracujeme opet v Matlabu, vyklad je zpracovan v tematicky propojenychblocıch teorie a implementace daneho problemu. Dılcı vysledky jsou konzultovanyna konci kazde kapitoly, nicmene vlastnı rozbor struktur je proveden az v samostatnekapitole. Velice dulezita je zaverecna cast – probırane tema je tak rozsahle, ze hotato prace nejen nevycerpala, ale je opravnene tvrdit ze zatım pouze letmo pro-zkoumala. Pokryva totiz prostor od fraktalnı geometrie, blızce sousedıcı s chaosem

1

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 1.2. Konspekt

a ”chaotickymi“ vedami, pres numericke metody a relativne obtıznou diferencialnı ialgebraickou matematiku spojenou s elektromagnetismem a modalnımi metodami,az po ryze prırodnı jevy rojove inteligence, jez musıme prevest do strojoveho jazykaa vhodnym zpusobem naprogramovat. Mnoho desıtek, ba stovek hodin zabrala isamotna prıprava jednotlivych aplikacı (AntTool, IFSMaker, IFSLimiter, EvalIn-Fem, PSOPtimizer a dalsı). Tyto programy lze prıpadne vyuzıt ve vyuce na katedreelektromagnetickeho pole.

Bohuzel, pro vytvorenı hlubsıch zaveru v oblasti IFS patch anten je nutne v tetooblasti systematicky zkoumat jednotlive motivy, na coz DP nedava dostatecny pros-tor. Se zaverem teto prace je tedy ponechana dostatecna paleta aplikacı potrebnychpro dalsı vyzkum, sami pak konstatujeme pouze nektere partikularnı vysledky.

V prıpade nekterych pasazı (fraktalnı dimenze, box counting, OOP v Matlabu,SPSO) vyrazne prevazuje teorie. Autor tak cinı vedomne a s ohledem na fakt, zeo techto tematech nenı v ceskem jazyce dostatek literatury. Nezucastneny ctenarmuze takovy text bez ztraty navaznosti preskocit, presto vsak doufame, ze nejedenho ocenı.

1.2 Konspekt

Nynı se kratce venujme obsahu diplomove prace (DP). Projekt jako celek navazujetam, kde byla zakoncena BP. Tomu odpovıda i teoreticky zaklad. Prvnı kapitolaje venovana fraktalum, presneji fraktalum typu IFS. Na tento vyklad navazujepredstavenı programu AntTool a IFSMaker, ktere umoznujı komplexnejsı operaces IFS fraktaly a jejich navrh na zcela jine urovni, nez tomu bylo v BP. Pozornostje venovana vyuzite technice programovanı a nestandartnımu pripojenı Comsolu kMatlabu. Dalsı cast popisuje metody modalnıho resenı patchu. Opet volıme duti-novy model, na rozdıl od BP vsak vyuzıvame jadra programu Comsol, coz vede kpresnejsım vysledkum. Vytvoreny solver popisuje kapitola 5.

Mezi fundamentalnı charakteristiky anteny patrı vyzarovacı diagram, jeho zo-brazenı a vypocet je diskutovan v 6. kapitole. Tato cast se do jiste mıry kryje sobsahem Individualnıho projektu, ktery autor zpracoval v predchozım semestru.Nasleduje teorie PSO optimalizace a predstavenı vlastnıho optimalizatoru. Kapi-tola 9 popisuje software, ktery umoznuje nastavit jednotlive podmınky. Bez tohotoprogramu je zadanı slozitejsı optimalizace takrka nemozne.

10. kapitola shrnuje vysledky simulace a optimalizace vybranych struktur. K dis-pozici je srovnanı s referencnım simulatorem CST MWS. Zaverecna kapitola jmenujenedostatky a nedodelky, vc. dalsıch moznostı rozvoje celeho projektu. Kratce takeshrnuje vysledky cele diplomove prace. Vetsina obsahlejsıch obrazku je uvedena vdodatcıch. Ty jsou uvedeny az za literaturou a rejstrıkem dulezitych termınu.

2

Kapitola 2

IFS fraktaly

”How long is the coast of Britain?“

— Benoit B. Mandelbrot

V nasledujıcı kapitole se budeme venovat fraktalnım motivum. Obecne informace ojednotlivych typech a moznostech uplatnenı byly zmıneny v bakalarske praci ([69]).Zde se podrobneji zamerıme na vlastnosti IFS systemu a praci s nimy. Iterovanesystemy mohou v principu vznikat deterministicky nebo stochasticky1. Pro exaktnıpopis IFS kolazı a jejich vlastnostı, je potreba znat mj. fraktalnı2 dimenzi. Jejımuzavedenı predchazı definice pojmu IFS v nasledujıcı casti a rozbor jednotlivychafinnıch transformacı v odstavci 2.3. Na zaver kapitoly se pokusıme tuto dimenzi spomocı Matlabu vypocıtat.

2.1 Fraktal

Pocatek IFS3 je datovan do roku 1985 [83], kdy S. Demko a M. F. Barnsley publiko-vali prace se zamerenım na tento typ fraktalu. Pro jakykoliv fraktal musı platit:

(1) Fraktal podle B. B. Mandelbrota v [5]:

”Fraktalem je kazdy objekt, jehoz topologicka dimenze se lisı od dimenzefraktalnı (Hausdorffovy).“

1Obema moznostem jsme venovali pozornost v [69]. Zopakujme tedy pouze, ze v prıpade stocha-stickeho prıstupu jsou jednotlivym transformacım prideleny pravdepodobnosti, s kterymi se danatransformace pri dlazdenı uplatnı. U deterministickeho prıstupu se kazda transformace uplatnı vkazde iteraci.

2Znama take jako Hausdorffova, prıpadne Hausdorffova-Besicovitchova dimenze. Tato dimenzebyla, jak je z nazvu patrno, objevena Felixem Hausdorffem (1868-1942) a Abramem SamoilovitchemBesicovitchem (1891-1970), a to dlouho pred definovanım pojmu fraktal. Az pozdeji BenoitB. Mandelbrot (1924*) odvodil vztah mezi fraktalnı strukturou a Hausdorffovou dimenzı.

3Z puvodnıho anglickeho Iterated Function System, tj. system iterovanych funkcı.

3

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 2.1. Fraktal

tedy:Dt 6= Dh (2.1)

(2) Matematicka definice4 v [4]:

”Fraktal je objekt, jehoz geometricka struktura se opakuje v nem samem;delı se na sobepodobne a sobeprıbuzne.“

Sobepodobne fraktaly v detailech presne kopırujı celek. Jde o umele vytvorenefraktaly a patrı sem tedy i IFS. Tyto mnoziny majı nekolik zajımavych vlastnostı:

• Sobepodobna mnozina vznika opakovanım sebe sama pri urcite transfor-maci (zmena merıtka, rotace, posunutı, zkosenı. . . ).

• Sobepodobne mnoziny jsou invariantnı vuci zmene merıtka. Pri libovolnemzvetsenı ci zmensenı vypadajı stejne (viz obrazky nıze).

• Sobepodobna mnozina vznika sama ze sebe, resp. vznika opakovanım motivu.

Podrobneji se temito mnozinami budeme zabyvat dale. Sobeprıbuznost nenı takstriktnı jako sobepodobnost, muzeme ji nalezt ve vsech prırodnıch utvarech (duny,delty rek, koreny stromu, kura a dalsı). Jejı vyjadrenı je komplikovane a v kon-textu deterministickych IFS nepodstatne, vıce [3]. Jak ukazeme pozdeji, tyto

Obrazek 2.1: Sierpinskeho koberec (2D, IFSMaker) a Mengova houba (3D, [83])

podmınky IFS kolaze splnujı. Dusledkem techto vlastnostı je tzv. Richardsonuvefekt5. Budeme-li merit obvod ne-fraktalnıho objektu, se zjemnujıcım se meridlem

4Jde o ustalenou formuli, z pohledu matematickeho formalismu o definici nejde.5Richardson meril obvod Korsiky a zjistil, ze vysledek je zavisly na delce tyce.

4

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 2.2. Generace IFS

(pasmo, metr, milimetrovy papır . . . ), blızıme se urcite limitnı hodnote. U faktalutoto neplatı, delka neustale narusta (v prıpade IFS pro nekonecne velkou iteracizpravidla nade vsechny meze).

Tak se dostavame k paradoxum, kdy napr. na obr. 2.3 narusta obvod donekonecna a obsah objektu se blızı k nule, prıpadne na obr. 2.1 vpravo roste ob-sah k nekonecnu ovsem objem jde k nule. Tyto vlastnosti se mohou v kontextuEuklidovske geometrie jevit jako zarazejıcı a znacne znepokojive. Soucasne se vsakmuzeme pokusit jich vyuzıt, tak jako v prırode – stromy, oblaka, pobrezı a reky,vse ma fraktalnı charakter a jiste ne pouze nahodnou. Sapoval naprıklad publikovalsvou domenku, ze pobrezı ma fraktalnı charakter (tedy maximalnı moznou delku)protoze pak dokaze nejlepe utlumit narazejıcı vlny. Planeta Zeme ma zase teoretickynekonecny povrch, ackoliv z vesmıru se jevı jako koule (geoid). Dalsı podrobnostilze nalezt v [3], [4], [5] a [83].

V teto praci se venujeme pouze dvourozmernym motivum s cılem generovat natomto zaklade patche. Existujı nicmene i trojrozmernne a vıcerozmerne IFS, jeden znich je na obr. 2.1 vpravo. V teto podobe IFS fraktaly v prırode nenajdeme, lze rıci,ze v kontextu fraktalnı geometrie je IFS stejne zjednodusenı, jako je Euklidovskageometrie v nasem svete. Generaci IFS se budeme podrobneji venovat v nasledujıcıcasti 2.2.

2.2 Generace IFS

Zopakujme, ze deterministicke IFS fraktaly jsou striktne sobepodobne. Co presneto znamena? Pri libovolnem priblızenı vidıme stale stejne tvary. Vychazıme tedy ztransformacı, ktere se podarilo formalizovat Hutchinsonovi.

Definujme sobepodobnou mnozinu U na prostoru Rn tak, ze existuje konecnemnoho kontraktivnıch, prıp. i afinnıch zobrazenı (transformacı):

w1, w2, . . . , wm : Rn −→ Rn (2.2)

takovych, aby platilo:

U =m⋃i=1

wi(U) , (2.3)

pritom pro libovolna i 6= j obsahuje prunik

wi(U) ∩ wj(U) (2.4)

jen konecny pocet prvku (nebo je prazdny). Na potenci Rn je zobrazenımi definovanoperator

w(X) =m⋃i=1

wi(X) , X ⊆ Rn (2.5)

ktery se nazyva Hutchinsonuv operator. Operator (2.5) objasnuje obr. 2.2.Nynı se znalostı principu dlazdenı podmnozin, si muzeme polozit otazku, jak

zajistit generaci IFS. Je potreba zavest pojmy metriky, pevneho bodu, pokrytı avyjmenovat vhodne transformace wi.

5


Obrazek 2.2: Vyznam Hutchinsonova operatoru

2.2.1 Metrika

Metriku vyzadujeme i v casti 2.4 v souvislosti s termınem diametr, uvadıme ji protobez vynechavek. Metrika d merı vzdalenost mezi dvema body, je to tedy nezapornerealne cıslo. Podmınky pro existenci metriky uved’me v prostoru R2 pro zobrazenıX:

(1) d(x, y) ≥ 0, d(x, x) = 0(2) d(x, y) = 0⇔ x = y(3) d(x, y) = d(y, x)(4) d(x, y) ≤ |x|+ |y|(5) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

∀x, y, z ∈ X. (2.6)

Podmınku (4) oznacujeme jako trojuhelnıkovou nerovnost a v podm. (5) jako met-rickou trojuhel. nerovnost. Platı-li (2.6), oznacuje (X, d) metricky prostor.

2.2.2 Pevny bod

Pevny bod je resenım rovniceS(xp) = xp, (2.7)

kde S je transformacı metrickeho prostoru S : X −→ X v Rn. Body xp vyhovujıcıresenı oznacujeme jako pevne body, casto take jako invariantnı body zobrazenı S.

Takovym bodem je napr. bod [0,0,0] pro funkce nasobenı v R3. At’ ho nasobımecımkoliv (jakekoliv zobrazenı S), vzdy je mapovan sam na sebe.

2.2.3 Kontraktivnı zobrazenı

Podstatny pozadavek pro existenci atraktoru (2.5) je konecny pocet prvku prunikuwi(U) ∩ wj(U). Tak je soubor vsech moznych transformacı omezen pouze na kon-trakce. V opacnem prıpade by velikost mnozin X pri velkych iteracıch rostla nadevsechny meze a prunik by obsahoval nekonecne mnoho bodu.

Pro X metricky prostor s metrikou d, jsou pak zobrazenı S : X −→ X kontrak-tivnı na mnozine A ⊆ X, pokud existuje δ ∈ (0, 1) takove, ze pro kazda x, y ∈ Aplatı:

d(S(x), S(y)) ≤ δd(x, y). (2.8)

6


2.2.4 Banachova veta o pevnem bodu

Platı tvrzenı, ze je-li (X, d) uplny metricky prostor a zobrazenı S : X −→ X je nacelem X kontraktivnı, potom existuje prave jeden pevny bod xp ∈ X zobrazenı S.

Toto tvrzenı se nazyva Banachova veta6, [3]. Urcenı pevneho bodu je jednoduchea vychazı z iterace predpisu:

xn+1 = S(xn), kde xn∞n=0 (2.9)

za predpokladu libovolne zvoleneho bodu x0 ∈ X. Platı take

limn→∞

xn = xp, (2.10)

popr. (kazda kontrakce je spojita)

S limn→∞

xn = Sxp. (2.11)

Pro odhad muzeme vyuzıt vztahu7:

d(xp, xn) ≤ δn

1− δd(x0, x1). (2.12)

2.2.5 Interpretace IFS

Z vyse uvedeneho vidıme, jakym zpusobem je IFS generovano (Hutchisonunoperator, rov. (2.5)) a jake podmınky musıme splnit (kontrakce, pevny bod).Zakladnı objekt (zadan body) je v kazde iteraci transformovan jednım nebo nekolikazobrazenımi a vznikajı tak nove podmnoziny. Tyto podmnoziny jsou rekurzivnevyuzity pro dlazdenı dalsı iterace. Princip zobrazuje obr. 2.3.

Prvnı iterace vznikla dıky 8 transformacım puvodnıho (ctvercoveho) objektu.Dalsı iterace vznikajı transformovanım iterace predesle. Dıky kontrakci jsou velikostitransformovanych objektu vzdy nanejvyse stejne velke jako vzor, velikost kolaze tedyneroste8.

Zakladnı objekt muze byt libovolneho tvaru a nebudeme se jım vıce zabyvat.Az v prakticke casti jsou uvedena omezenı, ktera vychazejı s pozadavku na patchanteny. Transformacı je nekolik zakladnıch typu, rovnez moznostı zapisu je vıce.Kratce se tedy o nich zminme.

6Stefan Banach (1892-1945). Dukaz se provadı zpravidla sporem – snazıme se ukazat, ze boduexistuje vıce, coz se nam muze podarit, ale pouze pro nekontraktivnı zobrazenı.

7Pouze vsak pokud je S kontraktivnı, tj. kvocient δ ∈ (0, 1). To zde mlcky predpokladame, nebot’

pouze za teto podmınky ma Banachova veta smysl. Lze ukazat, ze posloupnost je Cauchyovska,pak upravou pres trojuhelnıkovou nerovnost a souctem rady zıskame (2.12), zde bez odvozenı.

8Jak bude poukazano pozdeji, v IFSMakeru existuje vyjimka. Pro zvetsovanı kolaze stacı zadathodnoty posunu px nebo py tak velke, aby novy objekt vznikl mimo plochu predchozı iterace.

7

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 2.3. Transformace

Obrazek 2.3: Prvnı tri iterace Sierpinskeho koberce, IFSMaker

2.3 Transformace

Afinnı transformace je definovana vztahem:

x(w) = AW + B (2.13)

Tato rovnice muze byt dale rozepsana:

w :(x2

y2

)=(a11 a12

a21 a22

)(x1

y1

)+(b1b2

)(2.14)

Jednotlive koeficienty matice A se uplatnujı pri rotaci, zkosenı a zmene merıtka,koeficienty matice B pri posunutı. Souradnice xn a yn nalezı iterovanemu bodu.Vyraz (2.14) lze upravit tak, aby cela transformace byla v jedne matici a kombinacetransformacı sla zıskat jejich nasobenım. Tak dostavame matici 3×3 pro prostor R3:

w : [x2, y2, 1] = [x1, y1, 1]

a11 a12 0a21 a22 0b1 b2 1

. (2.15)

Jednotlive body jsou potom IFS algoritmem zıskavany na zaklade roznasobenı ma-tice (2.15) zdrojovym bodem:

x2 = x1a11 + y1a12 + tx, (2.16)y2 = x1a21 + y1a22 + ty, (2.17)(1 = 0x1 + 0y1 + 1). (2.18)

Poslednı rovnice (2.18) nenı pro 2D zapotrebı. Diagonalne doplnuje matici (2.15).

2.3.1 Typy afinnıch transformacı

Zakladnı operace nad mnozinou jsou (serazeny podle [72]):

8

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 2.3. Transformace

• Posun bodu o vzdalenost [px, py]

Mtrans1 =

1 0 00 1 0px py 0

(2.19)

• Zmena merıtka Ms

Mtrans2 =

Ms 0 00 Ms 00 0 1

(2.20)

• Horizontalnı zmena merıtka Mx

Mtrans3 =

Mx 0 00 1 00 0 0

(2.21)

• Vertikalnı zmena merıtka My

Mtrans4 =

1 0 00 My 00 0 0

(2.22)

• Horizontalnı zesikmenı Sx

Mtrans5 =

1 0 0Sx 1 00 0 0

(2.23)

• Vertikalnı zesikmenı Sy

Mtrans6 =

1 Sy 00 1 00 0 0

(2.24)

• Rotace kolem pocatku o uhel α

Mtrans7 =

cosα sinα 0− sinα cosα 0

0 0 1

(2.25)

9

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 2.4. Mıry a dimenze

Obrazek 2.4: Vyznam koeficientu a, b, c, d, e, f

2.3.2 Zpusoby ulozenı

K dispozici jsou dva ekvivalentnı zapisy koeficientu:

1. transformacnı (puvodnı) matice(a11 a12

a21 a22

)+(b1b2

)2. matice koeficientu

[a b c d e f

]Vzajemny vztah mezi cleny matic: a11 = a, a12 = b, a21 = c, a22 = d, b1 = ea b2 = f . Zatımco v BP byly matice zadavany pomocı prvnıho zpusobu, v DP(AntTool i IFSMaker) je vyuzita druha metoda.

Uzitı puvodnıho nezkraceneho zapisu je vyhodne pri praci se samotnymi trans-formacemi – kazda je slozena z jedne nebo vıce elementarnıch operacı, kterejsou dekomponovany v ctvercovych maticıch. Druha metoda pracuje s upravenymsoucinem vsech operacı a je vhodna pro kompaktnı zapis, tedy i do generatoru IFS.V literature je pracovano vetsinou s maticı [a, b, c, d, e, f], ucinıme taktez. Vyznamjednotlivych parametru objasnuje obr. 2.4.

2.4 Mıry a dimenze

Hlubsı studium fraktalnı geometrie je prakticky nemozne bez znalosti teorie mıry adimenze. Pomocı techto termınu je fraktal definovan, generovan i meren. Z fraktalnımıry lze odvodit fraktalnı (Hausdorffovu) dimenzi, jednu z nejdulezitejsıch dimenzıvubec. Zavedenı predchazı vyklad nezbytnych termınu.

10


2.4.1 Topologicka dimenze

Topologicka dimenze je jednım z udaju, ktery potrebujeme zıskat pro porovnanı kla-sickeho hladkeho utvaru a fraktalu. Tuto dimenzi dobre zname a intuitivne chapeme;nazyvame ji zpravidla mohutnostı prostoru, nebo take stupnem volnosti.

Topologicka dimenze nabyva hodnoty celeho nezaporneho cısla, nejcasteji0, 1, 2, 3, obecne vsak 0, 1, 2 . . .∞. Cıslo nam rıka, kolika smery je mozne pohy-bovat po objektu s bodem, resp. kolika udaji se da presne popsat pozice bodu na/vutvaru. V prıpade jednoho bodu Dt = 0, v prıpade spojite krivky Dt = 1 a tak dale.To ovsem neznamena, ze krivka s dimenzı jedna je zobrazovana v jednorozmernemprostoru. Prehledneji to ukazuje tabulka:

Hodnota Dt Prıklad uvaru Moznosti pohybu0 bod Bez mozneho pohybu1 krivka Pohyb po delce l2 plocha Pohyb po plose [x, y]3 prostor Pohyb v prostoru [x, y, z]4 . . . Pohyb napr. v hyperkomplexnı rovine

Tabulka 2.1: Hodnoty topologicke dimenze

Tato tabulka platı ovsem pouze pro hladke, euklidovske utvary. At’ merıme hlad-kou krivku v jakemkoliv merıtku, dostaneme vzdy konecne cıslo.

2.4.2 Vnejsı mıra

Mıra µ lze definovat na systemu M , ktery je σ-algebrou9 podmnozin X. Mıra µ jemnozinova funkce s nasledujıcımi vlastnostmi:

(1) µ∅ = 0(2) µ(A) ≤ µ(B)⇔ A ⊂ B(3) A1, A2 jsou pocitatelne

(2.26)

Potom platı:

µ( ∞⋃i=1

Ai

)≤∞∑i=1

µ(Ai). (2.27)

Tak jsme si zajistili moznost pocıtat velikost mnozin. Vnitrnı mıra lze definovatanalogicky. Dalsı nezbytna operace je pokrytı mnoziny.

9Pro takovy system platı:

(1) X ∈M(2) pokud A ∈M, pak A′ ∈M, kde A′ = X\A je doplnek A ∨X(3) pokud A =

⋃∞i=1Ai pro ∀Ai spocetne Ai ∈M, pak A ∈M

.

11


2.4.3 ε-pokrytı

Definujme tedy ε-pokrytı, na rozdıl od obecneho spocetneho pokrytı F ⊆⋃Ai∈AAi,

zde uvazujeme (maximalnı) velikost mnozin, jimiz pokryvame, [84]. Musı platit:

diamP ≤ ε (2.28)

pro ε-pokrytı P, kde ∀P ∈ P a ε je kladne (optimalne male) realne cıslo. Tatoformulace poskytuje zaklad pro mrızkovou dimenzi, uvedenou nıze.

Obrazek 2.5: Demonstrace ε-pokrytı, εvlevo > εvpravo

Poznamenejme, ze diam znacı diametr(A), casto znacen |A|. Diametr popisujevelikost mnoziny, muzeme na jeho zaklade rozhodnout i o jejı ohranicenosti. Diametrmnoziny P je:

diamP = supd(x, y) : x, y ∈ P

, (2.29)

kde sup (resp. inf) znacı supremum (resp. infimum), viz [21]. Napr. pro n-rozmernoukrychly o strane a je diam roven a

√n. Diametr nam rıka, jak rozmerny potrebujeme

obal, abychom zabalili celou mnozinu.

2.4.4 Hausdorffova mıra

Predpokladejme neprazdnou podmnozinu X ⊂ Rn, jejız diametr je definovam podle(2.29). Dale mejme mnozinu mnozin Ui, ktera je pocitatelna, pro ∀i platı 0 ≤diamUi ≤ ε a ktera pokryva F . Pak tvrdıme, ze Ui je ε-pokrytı mnoziny F :

Hsε(F ) = inf

∞∑i=1

diam(Ui)s. (2.30)

Budeme-li nynı ε postupne zmensovat, bude klesat i pocet mnozin, schopnych pokrytF . V limite

Hs(F ) = limε→0Hsε(F ). (2.31)

Tato limita existuje pro jakoukoliv mnozinu F ⊂ Rn a nazyvame ji s-rozmernaHausdorffova mıra10 mnoziny F . Jejı hodnota je casto rovna 0 nebo ∞. V kon-textu generace IFS ma Hausdorffova mıra jednu prıjemnou vlastnost – je-li S afinnı

10Podle [34] a [35] lze dokazat, ze pro takove Hs, kde s ∈ Dt odpovıda Hausdorffova mıraLebesqueove mıre. Pro H0 je rovna poctu bodu, pro H1 delce krivky a tak dale.

12


transformace s merıtkem δ > 0 a X ⊂ Rn, pak:

Hs(S(F )

)= δHs(F ). (2.32)

2.4.5 Holderova funkce s parametrem α

Nasledujıcı vztah (2.33) a jeho odvozeniny (2.34)-(2.35) formulujı obecny tvarfunkcı, s nimiz se ve fraktalnı geometrii setkavame.

Necht’ X ⊂ Rn a f : X −→ Y je zobrazenı. Potom, pokud pro jednu (nebonekolik) konstant c > 0 existuje α > 0 tak, ze:

|f(x)− f(y)| ≤ c|x− y|α pro (x, y ∈ X), (2.33)

muzeme (2.33) nazvat Holderovou funkcı. Je-li α = 1:

|f(x)− f(y)| ≤ c|x− y| pro (x, y ∈ X), (2.34)

nazyva se funkce Lipschitzova. Podstatna je tez funkce bi-Lipschitzova, rozsirujıcıpodmınku (2.34), tj.

c1|x− y| ≤ |f(x)− f(y)| ≤ c2|x− y| pro (x, y ∈ X) (2.35)

a kde 0 ≤ c1 ≤ c2 ≤ ∞.

2.4.6 Hausdorffova dimenze

Z predchozıho lze odvodit nasledujıcı tvrzenı. Necht’ F ⊂ Rn je borelovska mnozina11

a platı nerovnost 0 < s < t, (s, t) ∈ R. Potom platı, ze pro rostoucı s klesa Hs(F ).A dale:

(1) pokud je Hs(F ) <∞ pak Ht(F ) = 0(2) pokud je Ht(F ) > 0 pak Hs(F ) =∞ (2.36)

Prıklad tohoto jevu uvedeme dale.Najdeme-li tedy cıslo s takove, ze Ht = ∞ pro t < s a Ht = 0 pro t > s,

nazyvame s Hausdorffovou dimenzı Dh, presneji

Dh(F ) = infs ≥ 0 : Hs(F ) = 0

= sup

s ≥ 0 : Hs(F ) =∞

(2.37)

a Hs(F ) nabyva hodnot:

Hs(F ) =∞ pokud 0 ≤ s ≤ Dh(F )0 pokud s > Dh(F )

(2.38)

Tento zaver je klıcovy a vyzaduje plne pochopenı. Demonstrujme ho na prıkladuvypoctu rovinneho utvaru F (napr. ctverce) v R3. Budeme sledovat zavislost Hs(F )

11Borelovska mnozina(Borel set) v Rn disponuje nasledujıcımi vlastnostmi: (a) jakakolivuzavrena i otevrena mnozina je borelovska; (b) sjednocenı konecneho (nebo spocitatelneho) poctuborelovskych mnozin je opet borelovska mnozina, coz platı i pro konecny (nebo spocitatelny) pocetpruniku b. mnozin. Poznamenejme, ze v teto praci jsou prakticky vsechny mnoziny borelovske.

13


na s, tento prubeh nakonec vykreslıme na obr. 2.6. Ctverec dosahuje nekonecnedelky H1(F ) = ∞, nebot’ se jedna o plochy utvar. Mıra H2(F ) je rovna soucinuca2, kde a je strana ctverce a c je konstanta. Tento soucin je zjevne konecny, kladnya realny. Objem, tj. H3(F ) takoveho utvaru je nulovy. Pro hodnoty s ∈ (0, 2) jeHs(F ) = ∞, pro hodnoty s = (2,∞) je Hs(F ) = 0. Tzn. ze Dh(F ) = 2, v tomtoprıpade se navıc Dh(F ) = Dt(F ), nebot’ ctverec patrı mezi jednoduche euklidovskeobrazce.

Obrazek 2.6: K definici Dh(F ): vlevo mnozina F , vpravo jejı Dh

Tato dimenze byla zalozena na drıvejsı Caratheodoryho12 konstrukci teorie mer.Hausdorffova dimenze je matematicky transparentnı a definovatelna pro vsechnymnoziny v Rn. Jejı obecnost ma vsak i sve uskalı, a to jejı obtızny vypocet.To platı dokonce i pro odvozene numericke metody, ktera jsou navıc zpravidlaomezeny jen na urcitou skupinu mnozin. Mezi tyto metody patrı i box-counting, kterypocıta mrızkovou dimenzi. Tu definujeme na zaklade fraktalnı dimenze s uvazenımomezujıcıch podmınek v casti 2.4.7.

Nasledujıcı tabulka dava predstavu o fraktalnı dimenzi nekterych prırodnıchutvaru, viz [3], [72] a jine:

Prırodnı utvar Odhad Dh

Pobrezı ∼ 1.26Povrch mozku cloveka ∼ 2.76

Povrch neerodovanych skal ∼ 2.2 − 2.3Obvod 2D prumetu mraku ∼ 1.33

Tabulka 2.2: Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro nektere prırodnı utvary.

Vidıme, ze hodnoty nejsou celocıselne. To ukazuje na objekty ne-euklidovske,fraktalnı geometrie. Chceme-li zmerit mıru slozitosti techto utvaru, vyuzijemerozdılu ∆f = |Dh − Dt|. Tato hodnota muze limitne nabyvat hodnoty ∆f → 113 a

12Constantin Caratheodory (1873-1950)13Platı pouze pro

”krivkovy“ fraktal v plose – Sierpinskeho trojuhelnık, Mandelbrotovu mnozinu

aj. Pro fraktal v objemu by se limita mohla blızit dvema.

14


platı, ze s rostoucı hodnotou roste i uroven clenitosti objektu.

2.4.7 Mrızkova dimenze

Tato dimenze je jednou z nejvıce uzıvanych – jejı vypocet je relativne jednoduseimplementovatelny a rychly. Je zalozena na merenı s merıtkem δ, ktere se postupnezmensuje k nule. Situace je podobna, jakou sledoval Richardson s merenım obvoduKorsiky. Nepravidelnosti mensı, nez je rozmer merıtka zanedbavame. Prochazımepostupne celou mnozinu (pobrezı) a pocıtame, kolik delek δ (pasem, metru, cen-timetru) je potreba pro jejı uplne pokrytı.

Jak lze dokazat, pro velkou trıdu (kam spadajı i IFS) mnozin podava mrızkovadimenze stejne vysledky jako Hausdorffova dimenze. Je-li F neprazdna ohranicenapodmnozina Rn a Nδ(F ) je nejmensı pocet mnozin s diametrem δ, ktere pokryvajımnozinu F , potom definujeme dolnı a hornı mrızkovou dimenzi mnoziny Fnasledovne14 ([34]):

DbF = limδ→0

logNδ(F )− logδ

, (2.39)

DbF = limδ→0

logNδ(F )− logδ

. (2.40)

Pokud se DbF = DbF , mluvıme o mrızkove dimenzi (box-counting dimension):

DbF = limδ→0

logNδ(F )− logδ

. (2.41)

Kdyby byla mnozina prazdna nebo neohranicena, hrozı hodnoty log 0 prıp. log∞ve jmenovateli. Tvar mnozin N i jejich rozmer δ je volitelny, ale pro nase ucelyje nejvhodnejsı pracovat s mrızkou postupne se zjemnujıcıch ctvercu se stranou δ.Takovy system je na obrazku 2.7.

Obrazek 2.7: Zjemnenı mrızky pokryvajıcı mnozinu F

Zaroven platı nasledujıcı vztah mezi Db a Dh pro F ⊂ Rn, [34]:

Dh(F ) ≤ Db(F ) ≤ Db(F ) (2.42)

Pokusıme se ho dokazat na prıkladu v casti 2.5.Ve velke casti prıpadu se Hausdorf-fova a mrızkova dimenze prımo rovna, nicmene je i skupina objektu, kde striktneplatı uvedena nerovnost.

14lim odpovıda lim sup a lim ' lim inf .

15

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 2.5. Metoda box-counting

2.5 Metoda box-counting

Jak bylo uvedeno vyse, jedna se o rychlou a pohodlnou metodu, jak vypocıtatmrızkovou dimenzi. Zkoumany objekt pokryvame ctvercovou sıtı a pro kazdy ctvereczjist’ujeme, zda v nem lezı byt’ jakkoliv mala cast kolaze. Pokud ano, tento ctvereczapocıtame. Merıtko je vhodne v kazdem kroku zmensit na polovinu. Na obr. 2.7vidıme zleva doprava merıtka δ1 = 1

7 , δ2 = 114 a δ3 = 1

28 . Vypocteme-li pocet ob-sazenych ctvercu, dostaneme se k cıslum 16, 52 a 164 (zde je jich ve skutecnosti 174,pokud vsak vezmeme ciste jen plochu fraktalu bez tucne znacenych hran, nekolikctvercu zmizı). Mrızkovou dimenzi vypocteme ze smernice log− log grafu, jak bylouvedeno drıve, a to nasledovne:

Db(Fsierp) =log10 164− log10 16log10 28− log10 7

= 1.6788 (2.43)

Jedna se o dosti nepresny vysledek, Hausdorffova dimenze Sierpinskehotrojuhelnıka je log10 3

log10 2 ≈ 1.585. Vysoka chyba je dana zejm. dvema faktory. Tımprvnım je fakt, ze pocıtame dimenzi pro 1.iteraci fraktalu; vyhodnejsı je pocıtatpro 3. a vyssı iteraci. Druhym duvodem je nedostatecna jemnost meridla δ. Prouspokojivy vysledek by bylo vhodne alespon dvakrat krok zjemnit, bohuzel pak bybylo rucnı pocıtanı ctvercu velice obtızne. Presto nam vztah (2.43) ukazuje spolu sobr. 2.8, jakym zpusobem se chova smernice box-counting dimenze.

Obrazek 2.8: Smernice box-counting dimenze

Pro vypocty mrızkovych dimenzı v tomto projektu byl, do doby nez implemen-tujeme vlastnı algoritmus, vybran program boxcount, ktery lze stahnout na komu-nitnıch strankach [99]. Pochazı z roku 2008 a autorem je F. Moisy. Bez napovedya castı pro 1D a 3D utvary obsahuje pouhych 70 radek kodu, cehoz je dosazenoduvtipnym vyuzitım logickych funkcı v Matlabu.

S drobnymi upravami lze vyuzıvat prımo vystupu IFSMakeru (popis programuviz cast 3.3). Kroky vypoctu si ukazme opet pro prıklad Scierpinskeho trojuhelnıka:

1. Generace pozadovaneho IFS v IFSMakeru (lze i nacıst)

16


2. Zobrazit samotny fraktal jako vypln, viz obr. v dodatku 12.1

3. Sejmeme obrazovku a ulozıme samotny FRC bez GUI

4. Nacıst do Matlabu pomocı funkce imread

5. Vypln fraktalu sjednotit na cernou barvu

6. Vypocet dimenze pomocı boxcount

7. Prepocet smernice, vysledek

Bod 5 lze v prıpade exportu z IFSMakeru vynechat. Body 4-7 jsou zadavany veforme prıkazu, ty zobrazuje tabulka 2.3.

c = imread(’fractal.jpg’);c = (c<198);% imagesc( c);[n,r] = boxcount(c);df = -diff(log(n))./diff(log(r));disp([’Fractal dimension, Df = ’ num2str(mean(df(4:8))) ...’ +/- ’ num2str(std(df(4:8)))]);

Tabulka 2.3: Vypocet dimenze programem boxcount

Obrazek 2.9: K vypoctu mrızkove dimenze (fraktaly FRC A a FRC B)

Nynı muzeme srovnat vysledky rucnıho vypoctu i programu boxcount seskutecnou hodnotou dimenze. Pro fraktal 2. iterace vychazı Db = 1.6411± 0.10206a pro fraktal 3. iterace Db = 1.5964± 0.12882, vzory jsou na obr. 2.9 vlevo. Jiz pro3. iteraci se vysledek blızı skutecnosti, pricemz i vysledek 2. iterace je v toleranci.Pokud stejny mechanismus aplikujeme na FRC B 3. iterace (viz obr. 2.9 vpravo,prıp. 12.3 vpravo), dostaneme: Db = 1.7903 ± 0.0792. To odpovıda nası intuici –FRC A vyplnuje plochu mene efektivne nez FRC B.

Na obr. 2.10 je zobrazen prubeh vypoctu – vlevo trend snizovanı merıtka δ sezvysujıcım se poctem ctvercu pokrytı N , pravo potom hodnota mrızkove dimenzev kazdem kroku vypoctu. Z techto dat je vypocten logaritmicky prubeh podstatnypro vypocet smernice.

17


Obrazek 2.10: Vypocet mrızkove dimenze Scierpinskeho trojuhelnıka (FRC A)

Pro kontrolu byla vypocıtana i hodnota mrızkove dimenze ctverce (zde se Dh =Dt = 2 a melo by se i Dh = Db). Vysledek Db = 1.9481± 0.0632 vychazı v tolerancia je velice blızky hodnote Dt = 2. Na obr. 2.11 vidıme, ze dimenze je temer stalerovna dvema.

Obrazek 2.11: Vypocet mrızkove dimenze ctverce

Hodnota mrızkove, potazmo Hausdorffovy dimenze je vyznamnym ukazatelemslozitosti planarnıho utvaru. Jejım odvozenım a zavedenım metody vypoctu jsmese priblızili moznosti klasifikovat nektere parametry IFS patch anten s ohledemna hodnotu mrızkove dimenze. Muzeme si tez polozit otazku, zda mıra krivostihranice patche nema vliv na distribuci nebo velikost jednotlivych modu. V budoucnubude mozne optimalizovat IFS strukturu tak, aby jejı fraktalnı dimenze vyhovovalazadanemu cıslu.

18

Kapitola 3

IFS software

Tato kapitola ma za ukol seznamit ctenare zejmena s praktickym navrhem IFS struk-tur a predstavit programy AntTool a IFSMaker. Jeste predtım se kratce venujemevlastnostem Matlabu a moznym prıstupum k programovanı. Tak vyniknou rozdılymezi obema nastroji a pripravıme si pudu na predstavenı modalnıho resice, PSOoptimalizatoru a IFSLimiteru.

3.1 Programovacı techniky v Matlabu

3.1.1 Uvod

Prostredı Matlab (MAtrix LABoratory) vytvoril r. 1970 Cleve Moler. Roku 1984 bylMatlab prepsan z Fortranu do jazyka C a byla zalozena spolecnost The MathWorks([99]), ta pracuje na novych verzıch dodnes (nejnoveji R2009a). Matlab se od svehovzniku vyvinul v komplexnı, uzivatelsky prıjemny a po programove strance kom-fortnı balık, obsahujıcı stovky implementovanych funkcı. Jejich vyhoda je, ze vprıpade potreby muzeme takove funkce prohlızet, prıpadne kopırovat, prepisovata podobne1.

Vlastnosti

Narozdıl od Javy, prıpadne C++ nemame k dispozici vlakna, omezene jsou moznostihardwarovych naslouchacu (napr. oddelenı praveho kliku mysi od leveho) a rychlostaplikacı je zpomalena o rezii vlastnıho Matlabu. Matlab jako takovy rovnez nelzepovazovat za plnohodnotny programovacı jazyk (i kdyz syntax ma vlastnı), nebot’dokoncene programy stale potrebujı k behu Matlab. Toto do jiste mıry resı Mat-lab Compiler [20], presto vsak musıme mıt stale nainstalovany podpurny program,nemluve o uskalıch prevodu vetsıch projektu (donedavna nesmela mıt kompilovanaaplikace GUI apod.).

1Uvedene operace platı pro vsechny funkce s vyjimkou tzv. Built-in funkcı. Nahled na funkci jemozny pomocı prıkazu edit jmeno funkce. Popisem nejdulezitejsıch funkcı se zabyva [17].

19

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 3.1. Programovacı techniky v Matlabu

Mluvıme-li o negativech, nesmı chybet pozitiva. Je jich mnoho. Toolboxy, kvalitnıeditor s M-Lintem, rozsahly help s prıklady a demy, uzivatelska podpora, komunitnıweby, moznost propojenı s Excelem, Comsolem, C++, Javou, Maplem, aplikace pro-filer pro lazenı skriptu a funkcı, velice rychle jadro zalozene na praci s maticemi. Mezidalsı vyhody, ktere ocenı zkuseny uzivatel, patrı objektove programovanı, distribuo-vane vypocty, podpora handle funkcı, polı a struktur, pohodlna sprava a export dat.Muzeme integrovat funkce z jazyka C a Javy, zakladat vlastnı (com) server . . .

Grafika

Prace s grafikou je nedılnou soucastı Matlabu. K dispozici mame cele rodiny 2Da 3D grafu, obrazku, sıtı. Muzeme pracovat s animacemi, renderovat (OpenGL),stınovat, nasvecovat. Hierarchie grafickych objektu je zobrazena na obr. 3.1. Pritvorbe slozitejsı aplikace, jako je IFSMaker se bez znalosti jednotlivych zavislostıneobejdeme.

Obrazek 3.1: Struktura grafiky v Matlabu

Vsechny prvky, at’ jiz elementarnı plot, line, text, nebo nadrazene axes a figure,majı mnoho vlastnostı, ke kterym muzeme pristupovat pomocı funkce get. Menitexistujıcı parametry lze pomocı funkce set. Abychom mohli pristupovat k dane in-stanci (objektu), je potreba mıt ulozenou jejı referenci, v Matlabu je oznacovanajako handle. Pokud handle nenı prıstupny, lze ho najıt pomocı jinych vlastnostıobjektu2. Nektere graficke prvky vsak (velice zrıdka) handle vubec nemajı.

Je vhodne se zmınit i o tzv. callback funkcıch, nebot’ prave ty zprostredkovavajıodezvu vsech aktivnıch prvku. Klikneme-li na tlacıtko, jedna se o udalost, o urcitytyp callback funkce. Pokud mame tuto funkci definovanou, je provedena ihned po ak-tivaci daneho tlacıtka. Tak lze rıdit i pohyb mysi, prıpadne naslouchanı jednotlivychklaves a tlacıtek. Callback funkcı je mnoho typu a nebudeme se jim zde podrobnejivenovat. Jsou popsany v [9] na str. 8-84 az 8-94.

2Obvykle vyuzıvame vlastnostı tag, userdata a name. Toto hledanı, realizovane pomocı funkcefindobj je nepomerne pomalejsı nez prıstup pres handle.

20


Typy promennych

V Matlabu, stejne jako ve vetsine ostatnıch programovacıch jazyku, jsou definovanydatove typy. Ty slouzı k oznacenı promenne a umoznujı efektivnı alokaci pameti.Vsechny typy majı charakter objektu a jsou tedy nad nimi definovany urciteoperace (vıce v casti 3.1.4). Matlab provadı deklaraci typu sam podle dat, kteravlozil uzivatel. Jsou vsak vyjimecne prıpady, kdy se tato znalost hodı i v Matlabu3.

Zakladnı datove typy (trıdy) jsou:

• double (8B)

• char (2B)

• logical (1B)

• struct (> 100B)

• cell (> 100B)

• vlastnı trıdy (OOP)

Vıce lze nalezt v helpu a odborne literature. Bez ohledu na dany typ jsou vsechnadata uvnitr Matlabu interpretovana jako matice, nebot’ Matlab pracuje jen s nimi(maticovy zapis je vzdy nejrychlejsı).

OOP prıstup

OOP (Object-Oriented Programming) je v Matlabu relativne novou4 technikou pro-gramovanı5. Zakladnı myslenky jsou spolecne s ostatnımi vyssımi programovacımijazyky, realizace nekterych prvku je vsak v Matlabu netypicka. Naprıklad propo-jenı komplexnejsıho GUI s faktickym jadrem programu je dosti obtızne, zajımave jevyuzitı udalostı (Events) a naslouchacu (Listeners), [19]. Vıcenasobnou dedicnost(jako v C++) a absenci interfejsu6 (Java) lze hodnotit spıse pozitivne.

Skripty, funkce

Nejjednodussı vyuzitı Matlabu je z prıkazove radky (tez prompt, znacka ), tentozpusob je efektivnı pouze pro jednoduche matematicke operace, pro spoustenı

3Uved’me alokace polı, rozsahle matice, velky pocet logickych operacı a dalsı. Naprıklad promatici 10000 × 10000 znamena uzitı typu logical namısto typu double, pokud to uloha umoznuje,usporu 700MB v operacnı pameti. Proto pri pozdejsı praci s NaN poli ihned menıme matici nalogical a NaN pole mazeme.

4Az od verze R2008a (7.6.0).5Byly zde pokusy implementovat OOP do Matlabu jiz drıve. Nejlepe se tohoto ukolu zhostil

zrejme Andy H. Register v knize [18]. Jeho paradigma vsak vyzadovalo pokrocilou znalost objek-toveho programovanı napr. z C++.

6Interfejsy lze nahradit pomocı abstraktnıch trıd.

21


vlastnıch programu, nebo modulu Matlabu (editor, profiler, help, . . . ). Vıce je uve-deno v [16]. Ve vsech ostatnıch prıpadech pracujeme v editoru, kde vytvarıme skriptynebo funkce. Ten lze otevrıt prıkazem edit.

Skript obsahuje posloupnost prıkazu, ktere jsou po spustenı provedeny. Nevracızadne vysledky zpet do prostoru volajıcı funkce (caller workspace), nicmene muzevypsat / vykreslit vysledky a vsechny promenne zustanou v zakladnım pracovnımprostoru (base workspace). Skript je stale velice primitivnı formou programovanı,nebot’ pouze provadı serii prıkazu, bez dalsı navaznosti nebo promennych parametru.

Funkce musı mıt hlavicku, ktera definuje vstupnı a vystupnı parametry a jmeno.Definice parametru nenı povinna. Rovnez lze vyuzıvat promenny pocet parametrus pomocı varargin a varargout. Klıcove slovo end na konci funkce je vyzadovanopouze pri praci se zanorenymi funkcemi (nested functions), prıpadne s vıce funkcemiv jednom mfilu. Nemusıme zadavat vsechny vstupnı (pokud nejsou potreba) nebopozadovat vsechny vystupnı parametry.

Az pri praci s funkcemi lze plne docenit vsechny moznosti Matlabu oproti os-tatnım matematickym balıkum (Matematika, Maple, Derive). Pro ucely dalsıhovykladu nynı jmenujme trojici autorem nejcasteji vyuzıvanych programovacıch tech-nik.

3.1.2 Switched board programming

Nasledujıcı postup tvorby m-filu je dosti atypicky a je vhodny zejm. pro funkceobsahujıcı graficke prvky. Vyuzıva schopnosti funkce volat sebe samu s ruznympoctem parametru. Program vetvıme prıkazy switch a case nebo analogicky if aelse (elseif )7.

Obrazek 3.2: Prıklad uzitı switched boad programmingu (AntTool1.3)

Obrazek 3.2 zobrazuje hlavicku takto napsane funkce. Ihned po vstupu je funkce7Zde je volba mezi switch-case a if-else nepodstatna, ve vetsine prıpadu je vsak vhodne zvolit

spravne prıkazy, ackoliv provedou totez. Pro logicke a matematicke podmınky volıme if-else, provyber moznosti z dlouheho vyctu, pri praci s retezci string a podobne volıme switch-case formu.

22


clenena, a to but’ podle hodnoty prvnıho vstupnıho parametru, nebo, pozdeji, podlepoctu parametru. Volanı bez parametru, nebo s jednım vstupnım parametrem (inita podobne) zpravidla inicializuje funkci, tj. vykreslı GUI, definuje callback funkcea nastavı jeho prvky. Zaver takove pasaze muze obsahovat opetovne volanı stejnefunkce (ale s jinymi parametry). Casteji vsak nynı cekame na vstup od uzivatelea na aktivaci GUI, ktera skrze callback funkce provadı rekurzi, avsak nove napr. sparametry z GUIe. Detaily lze nalezt v [2].

Tato metoda je vhodna pro programatorske zacatecnıky. Nevyzaduje nutnostpropojovat a koncipovat velky pocet funkcı. Jejı uzitı je vsak omezene (zejm. bene-volencı Matlabu, kterou u jinych jazyku nenajdeme) a po blizsım seznamenı jevhodnejsı prechod k plne strukturalnımu programovanı. Pochopitelne tato technikapodava nejlepsı vysledky v kombinaci s dalsımi at’ jiz strukturalnımi, ci objektovymisegmenty kodu. Na druhou stranu, i v prıpade komplikovanych projektu zalozenychna OOP se obcas vyskytujı funkce, ktere samy sebe opakovane volajı s ruznympoctem parametru.

3.1.3 Strukturalnı programovanı

Idea je velice jednoducha. Celkovy problem delıme (tzv. atomizace) na dılcı, dalenedelitelne casti. Z techto castı programujeme funkce, ktere svym vzajemnymvolanım vytvarejı puvodnı celek. V principu je neprıpustne vyuzitı skoku (napr.goto); vyhodou je, ze tyto skoky Matlab vubec nepodporuje. Do urcite rozlohy pro-

Obrazek 3.3: Strukturalnı segment kodu (IFSLimiter)

jektu je strukturalnı programovanı nazorne a nenarocne. V Matlabu muzeme vyuzıt

23


nested funkce pro dalsı zjednodusenı. Strukturalnı prıstup vsak trpı hned nekolikaneduhy.

Nedostatkem je oddelenı dat a algoritmu. To se muze jevit jako vyhoda promale programy, v projektu o 100 funkcıch je ovsem pridanı dalsı funkce strastiplnaudalost – neobsahuje cast kompetencı nove funkce jiz jina starsı (duplicity), kdoa s jakymi daty bude smet tuto funkci volat (autorizace), nemenı mi tato funkceulozena data nezadoucım zpusobem? Problem je take absence vyssıch datovychstruktur s omezenym vstupem, ktere jsou pro vetsı aplikace nezbytnostı. Hrozı totiz,ze nepodstatna funkce nastavujıcı barvu pozadı zmenı ve stejnem poli napr. hodnotyIFS transformacı. Dohledanı podobne chyby je tez problematicke.

Vsechny jmenovane nedostatky odstranuje objektove paradigma.

3.1.4 OOP

Objektove paradigma se inspiruje svetem okolo nas. Oznacme jiste dvere za ob-jekt, jejich otevrenı je potom metodou. Drevene i laminatove dvere patrı do stejnekategorie – trıdy, totiz do trıdy dverı. Dalsı metodou muze byt treba zavrenı nebozamcenı. Zatımco otevrenı i zavrenı dverı je podobne i u trıdy oken (jedna se opolymorfismus), zamcenı je metoda prıstupna obvykle pouze dverım.

Prestoze objektove myslenı je lidem vlastnı, vylozenı a implementace objek-toveho paradigmatu je pomerne obtızne. Zavedenı jednotlivych pojmu je podrobnezpracovano v literature a platı i v Matlabu, drobne zmeny jsou dostatecne popsanyv [19].

Obrazek 3.4: Uzitı objektu v IFSMakeru

Pri studiu OOP se vzdy setkame s trojicı pojmu, ktere OO prıstup charakterizujı.Jsou to:

24

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 3.2. AntTool

• zapouzdrenı (na objekt se dıvame jako na cernou skrınku s definovanymprıstupem)

• polymorfismus (jedna metoda lze vyuzıt pro vıce ruznych trıd – otevrenı oknai dverı)

• dedicnost (trıda je potomkem, podmnozinou jine: psi < ctyrnoha zvırata <zvırata)

Temito vlastnostmi disponuje i OO programovanı v Matlabu. Dedit lze vıcenasobne,cehoz s vyhodou vyuzıvame. Lze dedit i od vnitrnıch trıd Matlabu, napr. < handle,< double atd. Pro prıstup k zapouzdrenym datum vytvarıme funkce get a set, tynavıc musı spolupracovat s callback funkcemi editace tabulek, mysi, klavesnice amenu. Tak lze omezit viditelnost citlivych dat zvencı. O zmenach dat musı bytinformovano jadro programu, ktere udrzuje vsechna (navazujıcı) data aktualnı.

Navrh objektove orientovanych programu je pro zacatecnıka ze vsech uvedenychmetod ten nejobtıznejsı a vyzaduje jisty cvik (zejm. spravnou metodiku uvazovanı)a zkusenosti.

3.2 AntTool

Zaklad programu je odvozen od predchozıho nastroje, ktery byl predlozen v BP.Snazı se odstranit nedostatky predchozıho navrhu IFS, zejm. tezkopadnost a zdlou-havou generaci. Take jiz nativne pracuje s maticı transformacı ve tvaru [a b c d e f],lze tedy vzory volne prejımat z literatury. Rozsıreny byly moznosti exportu, ukladanıa nacıtanı kolaze. Nove program obsahuje konzoly, pomocı nız lze rıdit generaciprıkazy8. Jednotlive prıkazy jsou uvedeny v Dodatku 12.4. Tak lze spustit davku,ktera je provedena automaticky. Tento postup vyzadoval navrh vlastnıho tokenizerua interpreteru, o kterych se zde (jde spıse o programovanı) vıce nezminujeme. Obefunkce byly vyuzity i pozdeji pri navrhu IFSMakeru.

Obrazek 3.5: AntTool, screenshot hlavnıho okna

8Defaultnı verze AntToolu obsahuje jeden skriptovany soubor jako vzor, nalezt lze ve slozceB program source.

25


3.2.1 Generace IFS

Zadavanı bodu

Zadanymi body je definovan vychozı objekt, odpovıdajıcı okna AntTool ukazuje obr.3.6 nahore a 3.7 vlevo. K definici plosneho utvaru jsou potreba nejmene tri body.Body lze v prıpade potreby ulozit i nacıst z pripravenych souboru. Lze vytvoriti vlastnı txt soubory, musı vsak respektovat dany format (viz vzory prilozene vprogramu).

Obrazek 3.6: AntTool: Zadanı bodu a transformacı

Zadavanı transformacı

Vkladame transformace, pro generaci IFS vsak nejmene jednu. Pro kontrolu lzevsechny transformace vykreslit (dlazden vsak nenı zadany objekt, ale obecnyctverec). Vıce na obr. 3.6 dole 3.7 vpravo.

Vypocet a zobrazenı IFS

Po zadanı bodu a transformacı muzeme otevrıt vlastnı resic, obr. 3.8 vlevo. Jepotreba nastavit pocet iteracı, pote jiz lze spustit vypocet. Generace probıha podlevztahu odvozenych v minule kapitole. Po jejım dokoncenı se muzeme na strukturupodıvat (muzeme zadat meze iteracı, ktere se majı zobrazit), prıpadne ji exportovatjako souradnici bodu (.txt), ve formatu IE3D (.3dt) nebo jako objekt fem pro dalsıanalyzu v Comsol Multiphysics (viz dalsı kapitoly). Vzorova kolaz je na obr. 3.8vpravo.

26


Obrazek 3.7: AntTool: Zobrazenı bodu a transformacı

Vlastnı vykreslenı fraktalu lze ulozit jako animaci, lze ulozit i vykreslenou kolazjako bitmapu (bmp). Aktualnı promenne z vypoctu IFS (cell), geometrie (fem)a meshe jsou ukladany do zakladnıho pracovnıho prostoru Matlabu (prıstupny zpromptu).

3.2.2 Export kolaze

Program nabızı dva mozne formaty vysledneho souboru. Prvnı ma prıponou txt(tabulka 3.1), druhy prıponou 3dt (tabulka 3.2). Oba soubory lze nalezt v adresariprogram output IFS generatoru. Za upravu ukladanych souboru je zodpovedna

funkce registry.m resp. registry3dt.m. Export lze bez problemu modifikovat dlepotreby. V tab. 3.1 oznacuje Σ pocet bodu (v polygonu), α1,2 souradnice bodu x,

POLY Σα1 α2 0β1 β2 0γ1 γ2 0

POLY Σ...

Tabulka 3.1: Struktura souboru data.3dt.

β1,2 bodu y a γ1,2 bodu z v polygonu. Format je pouzitelny napr. pro export doExcelu. V tab. 3.2 X oznacuje poradove cıslo polygonu, α1,2 souradnice bodu x,β1,2 bodu y a γ1,2 souradnice z v polygonu X . Tento soubor lze nacıst do IE3D knasledne simulaci.

27


Obrazek 3.8: AntTool: Resic a vysledny fraktal

PolyX :α1 α2 0β1 β2 0γ1 γ2 0

Poly(X + 1) :...

Tabulka 3.2: Struktura souboru data.txt.

3.2.3 Pripojenı ke Comsolu

Pokud chceme navrzeny patch analyzovat pomocı dutinoveho modelu, je nutnepropojenı s Comsolem. Toto propopojenı lze realizovat prımo spustenım pomocıComsol with Matlab, prıpadne lze vyuzıt opacneho postupu, ktery byl vyvinutprave pro AntTool. V prıpade prvnı moznosti je totiz nutno prave otevreny Matlabuzavrıt a pockat na spustenı noveho Matlabu. V nem znovu najıt cestu k programua ten spustit. Opacny prıstup, tedy pripojenı Comsolu k Matlabu nenı na jedenklik mozny, nebot’ je potreba incializovat Comsol server a pote spustit Matlab, doktereho jsou pridany cesty (addpath) ke Comsolu.

Presto lze realizovat funkci, ktera z Matlabovskeho GUIe pripojı Comsol. Jepotreba mıt spravne nastavene cesty k souborum comsol.exe a matlab.bat. Propripojenı Comsolu jsou vyuzıvany soubory matlabrc.m a startup.m. Matlabrc ob-sahuje kazda instalace Matlabu a je potreba pro lokalizaci akresare, kam se ulozıstartup (vzdy se jedna o stejny adresar). Pokud uzivatel soubor startup aktivnevyuzıva pro start sve instalace Matlabu (umoznuje to modifikovat start Mat-labu), bude tento soubor smazan. Davkovy soubor, ktery se vytvorı na disku

28

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 3.3. IFSMaker

(start fem.bat) bude po zdarnem startu Matlabu s Comsolem smazan. Stejne takstartup.m. Tento postup je funkcnı az do verze Matlabu 7.5.0 (R2007a) a Comsolu3.4. Pro vyssı verze takto spojenı navazat nelze, nebo je nestabilnı a prerusovane.

Pripojenı pracuje dıky davkovemu souboru start fem.bat (vytvarıme ho z Mat-labu automaticky AntToolem), ktery po samovolnem ukoncenı Matlabu spustı samComsolem nastaveny server, zaroven s tım byly ulozeny do souboru startup prıkazypro opetovne spustenı programu AntTool (tj. nalezenı cesty a spustenı). Dalsı castkodu v startup cistı vytvorene pomocne soubory. Cela problematika je pomernekomplikovana a vyzaduje znalost systemovych prıkazu, funkci Comsol serveru aspoustenı Matlabu. Zıskame vsak kontinuitu ve zpracovanı prıkazu i pres nutnostpripojit rucne Comsol.

3.2.4 Nahrada IFSMakerem

AntTool mel puvodne obsahovat moduly pro IFS, CM, PSO i postprocessing. Pos-tupne rozsirovanı se vsak ukazalo byt komplikovane. Pro nektere ukony je staleplatnym pomocnıkem (vzory kodu, rychla generace, schopnost pracovat automati-cky a narozdıl od IFSMakeru bez omezenı iterace), v poslednı dobe vsak prevazujıspıse nevyhody (nenı tak komplexnı, stale jsou omezene moznosti exportu a importu,nepodporuje format FRC, o nemz se dale zmınıme a ktery je nezbytny v prıpadevyuzitı rojove optimalizace). Vetsina nedostatku vychazı z jednodusı metody pro-gramovanı a spatne volby koncepce – integrace prılis mnoha modulu nenı zatım vMatlabu lehce zvladnutelna (o cemz vypovıdajı i izolovane resene toolboxy). Ant-Tool byl nahrazen novejsım IFSMakerem (IFS) a EvalInFem (CM).

3.3 IFSMaker

Z duvodu uvedenych vyse, byl po nastudovanı OOP v Matlabu vytvoren IFSMaker.Soucasny stav odpovıda cca. 70% hotove prace. Cely kod je napsan v Matlabu, jeotevreny a dale rozsiritelny.

Popis

Program umoznuje interaktivne pracovat s IFS, dale pak s polygony, ktere lzeodecıtat i sjednocovat. Zatımco IFS jsou ulozeny ve formatu FRC, polygony dopo-sud pevny format nemajı a ukladame je do promenne typu cell. Jednotlive utvarymuzeme nacıtat, prıpadne ukladat a exportovat prımo do Matlabu. IFSMaker pod-poruje typy txt, 3dt a FRC, v budoucnu pak i typy fem, geom a polygons.

Uzivatelskym komfortem jsme se snazili priblızit komercnım programum –graficke prvky lze vybırat rameckem mysi (windows), spolecne s klavesou SHIFTpridavat, s CTRL ubırat. Rozmery platna i gridu lze prednastavit do slotu. Tyvyvolame ikonou (viz video tutorial na DVD odevzdanem s touto pracı) prıp.klavesami 1-4. K dispozici je grid podobny jako v programu CorelDraw. Ten lze

29


Obrazek 3.9: IFSMaker: cely program

vyuzıt na konstrukci bodu, pomoc. car (nenı dokonceno), pro merenı vzdalenostıapod.

Priblızenı lze realizovat koleckem mysi nebo klavesami +/- (lze navıc nastavitvelikost prırustku; defaultne nastavena o jedno polıcko gridu). Posun po canvasuprovadıme sipkami (krok nastavitelny). Pozice kursoru se vypisuje v pravem hornımrohu. Pod tım se zobrazuje aktivovany snap rezim, vcetne souvisejıcıch informacı(k cemu je kursor prichycen). V pravem dolnım rohu je drobna konzole, urcena prokomunikaci smerem k uzivateli (dokoncene ukoly, chyby apod.).

Snap rezimy, zname napr. z AutoCadu, vyznamne usnadnujı praci s grafikou.Na vyber je trojice rezimu: Snap free, Snap to Grid a Snap to Points. Vzdalenostiprichycenı lze nastavit. Zobrazenı vsech techto informacı na platne je volitelna.

Pro dosazenı vysoke flexibility jsou funkce koncipovany podle obr. 3.10. Ob-jekty jsou zapouzdreny ve vlastnı trıde, prıstup je omezeny a veskere operace mimoobjekty probıhajı ve trıde superGUI.

FRC format

Pro potreby jednoznacne definice a prenositelnosti IFS kolazı naprıc vsemi ap-likacemi byl navrhnut nasledujıcı FRC format:

30


Obrazek 3.10: IFSMaker: cast UML schematu, MS Visio

FRC.base = [ ]FRC.tran = [ ]FRC.iter = [ ]FRC.type = ’pntstrns’

V promenne typu FRC jsou jednoznacne ulozeny body zakladnıho utvaruFRC.base, transformace ve tvaru [a b c d e f] a iterace v poli FRC.iter. Na urovniIFS navrhu bychom se bez takoveho formatu jeste obesli, potrebujeme ho vsak vprıpade analyzy pomocı CM a PSO optimalizace.

Konecna podoba vsech IFS fraktalu, ktere jsou v tomto projektu vyuzity jezobrazana v Dodatku 12.1, a to vc. navrhovych hodnot (FRC polı). Soucasne lzevsechny kolaze ve tvaru FRC nalezt na pruvodnım DVD nosici.

Utility

IFSMaker obsahuje celou radu utilit, ktere usnadnujı praci s fraktaly. S vybranymibody lze pracovat v Selection Listu (obr. 3.11). Body muzeme pridavat, ubırat(vyhledavanı pomocı tagu / oznacenı mysı / vyber vıce bodu podle ID), mazat,zneviditelnit a zpet zviditelnit. Tyto body slouzı jako vychozı mnozina pro upravy

31


nastavene v Modification (obr. 3.12).

Obrazek 3.11: IFSMaker: Selection List

Obrazek 3.12: IFSMaker: Ukazka modifikace

Okno modifikacı se inspiruje programem CST-MWS, navıc je prıtomna moznosthromadne menit vlastnosti bodu (grafika, tag). V prıpade uprav vyzadujıcıch zadanıstredu lze vybrat globalnı stred [0, 0], zvolit urcity bod, nebo zadat stred manualne.U vsech uprav lze nastavit pocet kroku, do kterych je vysledna modifikace rozdelena.

Pro vytvorenı zakladnıho objektu IFS, ale i pro vytvorenı polygonu musımezadat vrcholove body. Z nich vytvorıme novy polygon, do ktereho vybrane bodypridame. Tyto polygony slouzı jako zdrojove objekty IFS (vzdy jen jeden polygon),lze pomocı nich tvorit i slozitejsı utvary (obr. 3.17). V tom prıpade musıme nastavittyp polygonu ruzny od ’0’ (’+’ pro pridanı nebo ’-’ pro jeho odectenı od ostatnıch).Pro pripojenı uzlu (nodu) do oznaceneho polygonu lze vyuzıt tabulky na obr. 3.13.Jako nody lze rovnou vybrat vsechny body (Select all), muzeme menit jejich poradı

32


Obrazek 3.13: IFSMaker: Pripojenı nodu do polygonu

v polygonu (pravy sloupec), toto poradı lze cele vynulovat (Order zeroing) proprehlednejsı zadavanı9.

Obrazek 3.14: IFSMaker: Ukazka lazenı transformacı

Protoze uprava transformacı patrı mezi caste operace nad jiz hotovym IFS,zaradili jsme do IFSMakeru nastroj Tune (casto vyuzıvan napr. v MWOffice).Pozadovane transformace a lazeny koeficient lze vybrat rucne, event. s pomocızjednodusujıcı funkce dostupne z hornı listy. Krok lazenı je nastavitelny, lze dokonce

9Zpravidla vsak nody pridavame v poradı jak byly tvoreny body, v tomto poradı jsou tedy bodydefaultne oznaceny jako budoucı nody.

33


otevrıt vıce Tune oken najednou a pohybovat s vıce parametry naraz. Takova praces transformacemi je velice nazorna a setrı mnoho casu.

Vsechny tyto operace jsou demonstrovany ve videu IFSMaker tutorialAvi.avi naDVD.

Kreslıcı platno

Jako v kazdem grafickem editoru, i zde je velice dulezite chovanı a moznostikreslıcıho platna (canvas). Cele platno zobrazuje obr. 3.15. Jednotlive operacejako posun, zoom, oznacovanı apod. byly popsany vyse. Zde se zmınıme pouze ozjednodusenı z obr. 3.16.

Obrazek 3.15: IFSMaker: Pracovnı plocha, detail

Protoze casto pracujeme s fraktaly rozdılnych velikostı, je nutne efektivnemenit velikost pracovnı plochy, vcetne hustoty pomocne mrızky (gridu). Opetovnezadavanı jednotlivych udaju je zdlouhave a zoom mysı nepresny. Vytvoreno byloproto okno 3.16, obsahujıcı 3 sloty s prednastavenymi rozmery platna. Ty lze menit,mezi sebou kopırovat, ulozit a v prıpade potreby vyvolat.

Obvod, obsah, fraktalnı (mrızkova) dimenze

Spravne urcenı obvodu a obsahu je zakladnım predpokladem k hlubsımu studiufraktalnı geometrie. Vyuzıvame zde Mapping Toolbox, zejm. funkce poly2cw, poly-

34


Obrazek 3.16: IFSMaker: Canvas options

bool, poly2fv a polyarea. Pokud je funkce aktivovana, vypisuje se aktualnı obsah aobvod pri jakekoliv zmene10.

Tato problematika nenı doposud zcela zvladnuta – pri postupnem zjednocovanıclenitych kolazı obsahujıcıch vıce der (nebo dokonce mensı otvory ve vetsıch) pro-gram ztratı prehled o tom, co jsou dıry a co patch. Potom vychazı obsah zaporny. Kvyraznemu zlepsenı doslo po zarazenı bloku, ktery testuje, zda je vysledek sjednocenıdıra, a pokud ano, zaradı ho nakonec tabulky souradnic (polygony jsou oddelenyhodnotami NaN). Vse od prvnıho vyskytu NaN nıze je po uplnem sjednocenıodrıznuto. Problem vsak zustava s komplikovanejsımi (z topologickeho hlediska)utvary.

K dispozici je i moznost vykreslit vysledny tvar patche (at’ uz slozeneho z poly-gonu nebo IFS) zahrnujıcı vsechny logicke operace, tedy tak, jak bude exportovan(viz obr. 3.17 nalevo).

Podstatnou soucastı konecne podoby IFSMakeru bude vypocet fraktalnı dimenzemetodou box-counting. Pokud nerealizujeme jednu z vlastnıch metod, bude upravenskript boxcount. Jako argument nacıta jpg nebo gif soubor IFS kolaze, vypocet budezahrnovat i potrebny prevod z FRC na obrazek.

Spojenı s Comsolem

Dıky propojenı s Comsolem muzeme zjistit rezonancnı frekvenci prımo v navrhovemeditoru11. K dispozici je parametricka analyza podobne jako v IFSLimiteru (9. kapi-tola, obr. 9.9). Z nı muzeme vycıst trend rezonancnı frekvence se zmenou vybranehoparametru. V prıpade potreby lze Comsol vyuzıt k testovanı jednolitosti navrzenehopatche. Spojenı musıme navazat standartnı cestou (tj. spustit Comsol s Matlabem).Operace s Comsolem zatım nemajı v IFSMakeru graficke rozhranı a nelze je tedyvyuzıvat. Vse bude dokonceno v nejblizsı dobe.

10To pri vyssıch iteracıch nebo v prıpade slozitejsı struktury zatezuje PC, pak je vhodne dyna-micke vyhodnocenı vypnout.

11Ve skutecnosti frekvenci zjist’uje EvalInFem, ke kteremu se dostaneme v 5. kapitole.

35

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 3.4. Nedostatky a mozna vylepsenı

Prace s polygony

IFSMaker nenı omezen pouze na tvorbu IFS kolazı, lze pracovat i s polygony.Jednotlive polygony nakreslene na zaklade zadanych bodu muzeme sjednocovat iodecıtat, viz obr. 3.17. Tak lze navrhnout desky obsahujıcı sterbiny a jine slozitenefraktalnı obrazce. Vysledny obrazec lze zkontrolovat pomocı utility na vypocetobsahu a obvodu.

Obrazek 3.17: IFSMaker: Prace s polygony

V budoucnu bude mozne prımo z IFSMakeru ihned zjistit rezonancnı frekvencidominantnıho modu takove struktury, a to vc. rozlozenı elektrickeho pole a proudu.

3.4 Nedostatky a mozna vylepsenı

Prostor pro dalsı zdokonalovanı je znacny. Mnohdy programy tezko zvladajı kom-plexnı operace, prıpadne jsou tyto pomale a neefektivnı (prace s obsahem, hrani-cemi, eliminace nepotrebnych bodu, sjednocovanı). V prıpade programu AntToolbyl vyvoj zcela zastaven, nynı se soustredıme pouze na IFSMaker a jeho dalsıvylepsovanı. Jmenujme nedokoncene oblasti, v kterych je nutno zjednat napravu:

• Zrychlit s pomocı Matlab Profileru operace nad objekty pro vetsı kolaze

• Dokoncit sekci s Lines, ktera bude zajist’ovat pomocne a vodıcı cary (jako vAutoCadu)

• Test poctu objektu upravit tak, aby vzdy podavat stejny vysledek, implemen-tovat i moznost volat Comsol (uprava na geom)

• Dokoncit utility Measuring a Simplify (umoznı rozlicne merenı nakreslene geo-metrie a jejı zjednodusenı)

36

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 3.4. Nedostatky a mozna vylepsenı

• Integrovat nastroj na vypocet fraktalnı / mrızkove dimenze, lze vyuzıt modi-fikovanou funkci boxcount, prıp. vlastnı postupy

• Prace s grafikou – oddelit pravy a levy klik (jak?), sprava objektu a jejichprekreslovanı (moznost volit, co vpredu a co vzadu, vrstvy)

• V okne Modification opravit volbu Apply to copy

• Vyuzıt Parameter Sweep z IFSLimiteru a napojit optimalizator pro hledanıkolaze dle Db, obsahu a obvodu

• Upravit operace nad polygony, umoznit vypis vhodny pro resic dutinovehomodelu a rojovou optimalizaci

37

Kapitola 4

Numericke metody

”All models are wrong. Some models are useful.“

— William Edwards Deming

Simulace a vyvoj anten je v soucastnosti bez numerickych metod prakticky ne-myslitelny. S prudkym narustem vykonu pocıtacu v 80. a 90. letech se rozvıjı ijednotlive metody a hlavne software, ktery jich vyuzıva. Tak dostavame efektivnınastroje, umoznujıcı nazorne nahlednout fyzikalnı principy jednotlivych struktur.Tato kapitola odkazuje na teorii povetsinou ukrytou v jadrech simulatoru pole ajako takovou bychom ji snad mohli i vynechat. Protoze jsou ovsem nase pozadavkydosti specificke, je vhodne znat moznosti i omezenı metod, ktere se nabızejı.

Pro potreby analyzy mikropaskovych anten existuje mnoho ruznych prıstupuvyuzitelnych k simulaci elektromagnetickeho pole. Obecne platı, ze slozitejsı metodadava presnejsı vysledky, ovsem za cenu delsıho casu vypoctu a vetsıch naroku naoperacnı pamet’. Proto je treba nalezt optimalnı pomer mezi navzajem ambiva-lentnımi pozadavky presnosti a rychlosti. Metody lze v prvnım priblızenı rozdelitna tzv. analyticke a numericke. Dıky cetnym zjednodusenım jsou analyticke metodyrychle a jednoduche na implementaci. Prakticky nejsou vyuzıvany pro komercnı soft-ware. Analyticky prıstup vyuzıva dutinovy model (dale napr. model vedenı, [11]).

Oproti tomu numericke metody pracujı bez pocatecnıch zjednodusenı a castonejsou omezeny tvarem ani slozenım struktury anteny. Poskytujı presnejsı vysledky.Pro jejich efektivnı vyuzıvanı je nutny kvalitnı software i hardware. Mezi nej-znamejsı patrı metoda konecnych prvku (FEM), momentova metoda (MoM) ametoda konecnych diferencı (FDTD). Tyto metody lze dale delit podle domeny,ve ktere se hleda resenı na casove a frekvencnı. Prvne jmenovane umoznujı naleztresenı pro libovolny casovy prubeh. Druhy typ strukturu analyzuje pro soubordiskretnıch frekvencı. Nutnym prubehem je tedy harmonicky ustaleny stav. Meziobema domenami lze prechazet pomocı (diskretnı) Fourierovy transformace.

38

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 4.1. Mikropaskove patch anteny

4.1 Mikropaskove patch anteny

Tato tematika je velice siroka a skvele ji pokryva dostupna literatura, uveden budejen zkraceny extrakt. Prıpadne podrobnosti lze nalezt v [11], [27], [28], [30], [31], [32].

Obrazek 4.1: Mikropaskova patch antena

Zaric muze zastoupit v principu jakykoliv celistvy planarnı (2D) utvar. Ten jeumısten z jedne strany dielektrickeho substratu. Z druhe strany je umıstena zemnırovina a to po celem povrchu substratu, viz obr. 4.1. Poznamenejme, ze funkcisubstratu casto plnı vzduch (εr = 1.00059). Umıstıme-li vhodne napajenı, vybudı sebud’to

(a) stojata proudova vlna,

nebo

(b) postupna proudova vlna.

Zde se venujeme pouze moznosti (a), o postupne proudove vlne vıce napr. v [27].Rovnez metody napajenı odbudeme pouze vyctem, nebot’ patche resıme modalne,tedy bez pripojeneho buzenı. Znalost vsech moznostı je vsak zejm. ve spojitosti snavrhem v CST vhodna. Vyuzıvane techniky jsou:

• mikropaskove vedenı

• koaxialnı

• vazebnı sterbina

• otevreny konec vedenı

• L-probe (pouzitelne i pro vyssı substraty).

39

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 4.1. Mikropaskove patch anteny

Podrobneji o napajenı v [30]. Samotny mechanismus vyzarovanı je zpracovan voddılech 4.3 a 6.1-6.4.

Parametry IFS patchu

Nasleduje kratky prehled parametru typickych pro patchove anteny uvadene v lite-rature. Nıze uvedene hodnoty jsou sjednoceny podle [11].

Rozsah pracovnı frekvence se pohybuje od stovek MHz do stovek GHz, pricemzsırka pasma je velice uzka, typicky 2-6% v oblasti GHz. Duvodem male sırky pasmaje vysoky cinitel jakosti beznych zaricu pohybujıcı se v radu nekolika desıtek.Pouzitım vhodneho tvaru patche, tvaru a druhu substratu a napajenı je moznedosahnout az 30 i vıce procent pro stredne vysoke kmitocty (patch vyse nad zemnırovinnou, L-probe napajenı). Smerovost muzeme ocekavat v rozmezı 5 az 10 dBi,pro vyssı substraty s nizsı relativnı permitivitou i vıce. Vyssı smerovosti dosahnemei provozem anteny na modech s vysoce lokalizovanymi proudy. Vyzarovacı ucinnostanteny se pohybuje kolem 80 procent i vıce (udaj v prıpade zcela prizpusobenehonapajenı), celkova ucinnost je potom od 40-50 do maximalne 90 procent.

Pokud je relativnı permitivita substratu vetsı nez jedna (vzduchova a penovadielektrika), muze na rozhranı substrat–vzduch dochazet ke vzniku povrchovychvln. Ty zhorsujı impendancnı i vyzarovacı vlastnosti a snizujı ucinnost anteny, cozje nezadoucı. V teto praci analyzujeme pouze tvar patche, nikoliv dielektrikum, kterepredpokladame vzduchove. Problematicka je tez vykonova zatızitelnost, pohybuje sekolem max. 100W. Impendance zarice klesa od hodnot 100 - 250Ω az po teoretickouhodnotu 0Ω.

Vlastnosti patch anten

Na zaver jsou shrnuty vlastnosti ovlivnujıcı zasadnım zpusobem nasazenımikropaskovych patch anten v konkretnı aplikaci. Obsahleji se nekterym z vyhodvenuje publikace [27].

1. Vyhody

• nızky profil (zemnı rovina, substrat, motiv)

• nızka hmotnost

• jednoducha a levna vyroba (tistene obvody)

• mechanicka robustnost

• snadna integrace do antennıch rad

• rychly navrh podle pozadavku

• mohou byt vzajemne integrovany do obvodu

• moznost prizpusobit antenu samotnym napajenım

• plochou se muze prizpusobit okolı

40

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 4.2. Metoda momentu

Fraktalnı patch anteny majı navıc nasledujıcı vyhody:

• uzpusobenı pro vıcepasmovou cinnost

• nizsı rezonancnı frekvence

• moznost simulace antennı rady (lokalizace proudu)

• mırne snızenı rozmeru

2. Nevyhody

• relativne mala sırka pasma (velky cinitel jakosti Q)

• omezeny vykon

• vykonejsı antennı pole vyzadujı slozity system napajenı

• na vyssıch frekvencıch je potreba velmi kvalitnı (drahy) substrat

• nelze pouzıt unifikovane napajenı pro vsechny typy anten

3. Podle pouzitı

• vyzarovanı pouze do jedne poloroviny (prıtomnost zemnı roviny)

4.2 Metoda momentu

Jedna se o siroce rozsırenou techniku, umoznujıcı resit diferencialnı, integralnı,prıpadne integro-diferencialnı rovnice. Do teto oblasti, prirozene, spadajı i problemyspojene s elektromagnetickym polem. Zakladnı myslenka metody MoM je velicejednoducha a spocıva v linearizaci (prevodu na linearnı algebraicke rovnice) danehoproblemu.

Mejme obecne rovnici1:L(f) = g, (4.1)

kde L je libovolny linearnı operator a g je zdrojova funkce (buzenı systemu). Ukolemje nalezt funkci f splnujıcı zadane okrajove podmınky, a to inverzı operatoru L:

f = L−1g. (4.2)

Hledanou funkci nynı rozlozme do rady tzv. bazovych funkcı fn a k nim definujmevahovacı (testovacı) funkce wm:

f =∞∑n=1

αnfn, (4.3)

1Postupujeme zde podle [12], nicmene notaci volıme (s ohledem na navaznost dalsıch kapitol)vlastnı.

41


koeficienty αn nezname. Pocet clenu rady je treba omezit na konecne cıslo N , dalemuzeme pred f z (4.3) dosadit operator L jako v (4.1). Po uvazenı linearity sumyvuci operatoru L pıseme:

N∑n=1

αnL(fn) + ε = g, (4.4)

ε odpovıda chybe zpusobene konecnym poctem clenu rady. Chybu dale neuvadıme,nebot’ pocet clenu N byva zpravidla dostatecny. Nynı definujme skalarnı soucindvou funkcı na oblasti Ω (objem, plocha, krivka):

〈f, g〉 =∫

Ωf · g dΩ. (4.5)

Tento soucin je linearnı, komutativnı a definuje mıru a metriku (tyto vlastnosti jsounezbytne pro zaverecnou upravu vyrazu). Vynasobıme-li nynı obe strany rovnice(4.4) N testovacımi funkcemi wm, dostaneme:

N∑n=1

αn⟨wm, L(fn)

⟩= 〈wm, g〉, m = 1, 2, 3, . . . , N. (4.6)

Bazove funkce jsou de-facto vzory2, kterymi jsou vyplnovany nezname funkce; mıra

Obrazek 4.2: Jednorozmerne bazove funkce (a-c) a jejich uplatnenı (d)

vyplnenı odpovıda velikosti vahovacı funkce. Na problem lze nahlızet jako na analogiik Fourierovym radam, coz umocnuje i obr. 4.2. Doplnme, ze jako bazove funkce sepouzıvajı i sofistikovanejsı funkce jako jsou cebysevovske polynomy apod. Delıme jena dve skupiny:

• Definovane na subintervalech definicnıho oboru funkce f

• Definovane na cele oblasti Ω

Na zaklade vztahu (4.6) dostavame ze spojiteho integro-diferencialnıho problemusoustavu N algebraickych linearnıch rovnic pro koeficienty αn. Vyuzijme moznosti

2Splnujıcı celou radu kriteriı: jsou po castech spojite (obdelnık, sinus) / jsou vsude spojite(F. rada), jsou linearne nezavisle, navzajem ortogonalnı, normovane . . . Protoze tento text nenızameren na vyber bazovych funkcı, specifictejsı vlastnosti techto funkcı vynechame.

42


kompaktnıho maticoveho zapisu:

A︸︷︷︸[Amn]

α︸︷︷︸[αn]

= g︸︷︷︸[gm]

, (4.7)

kdeAmn = 〈wm, L(fn)〉. (4.8)

Pokud je matice regularnı3, lze α nalezt inverzı:

α = L−1g, (4.9)

tedyf = [fn][Lmn]−1[gm]. (4.10)

Resenı ulohy zavisı pouze na parametrech N , fn a wm. Zvolıme-li wm =fn, dostavame tzv. Galerkinovu metodu. Ta je v podstate analogiı resenı FEM,ktere bude predstaveno dale. Pri volbe N = ∞ nezavisı na vyberu fn a wm,viz [12]. Pro vyuzitı MoM v elektromagnetickem poli je vhodne se seznamit sGreenovymi funkcemi, tvorı totiz pomyslnou stycnou plochu mezi elektromag-netismem a metodou momentu4.

Greenovy funkce

Greenova funkce je odezvou systemu na zdroj jednotkove amplitudy. Toho muzemevyuzıt pri resenı rovnice (4.22), ktera jinak neobsahuje buzenı. Z rovnice (4.1) tedypıseme:

L(G(r, r′)

)= δ(r− r′), (4.11)

r ∼ (x, y) je mısto pozorovanı, r′ ∼ (x0, y0) je zdroj Diracova impulsu a L vyhovujerovnici (4.24). Hledana odezva systemu je potom5:

f(r) =∫

ΩG(r, r′)g(r′) dΩ. (4.12)

Pokud hledame Greenovu funkci, lze vyuzıt rozkladu v radu vlastnıch funkcı ψn:

G(r, r′) =∞∑n=1

An(r′)ψn(r), (4.13)

kde

An(r′) =ψn(r′)λn

(4.14)

3Tj. det(A) 6= 0, matice nenı singularnı.4A nejenom jı.5Platı totiz nasledujıcı:

∫LG(r, r′)g(r′) dr′ =

∫δ(r − r′)g(r′) dr′ = g(r), potom: Lf(r) =∫

LG(r, r′)g(r′) dr′ a z predpokladu linearity operatoru L a jeho nezavislosti na integracnı promenneho muzeme vytknout a zkratit.

43

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 4.3. Dutinovy model

pro vlastnı cısla λn. Pak platı:

G(r, r′) =∞∑n=1

ψn(r′)ψn(r)λn

. (4.15)

Zobecnenı tohoto problemu se nazyva Fredholmova teorie.

4.3 Dutinovy model

Dutinovy model (Cavity Model, CM) predstavuje jeden z moznych aproximativnıchprıstupu k patchovym antenam. Jedna se o modalnı metodu, ktera popisuje antenujako dutinu obklopenou na okraji dokonalou magnetickou (PMC) a ze spodu a zezhora dokonalou elektrickou (PEC) okrajovou podmınkou, viz obr. 4.3. Matematickylze tyto podmınky vyjadrit nasledovne:

E× z = 0, H.z = 0; pro z = 0, z = h (4.16)

H× n = 0, E.n = 0; na hranici anteny. (4.17)

Obrazek 4.3: Hranicnı podmınky pro resenı patche

Vztah pro dokonalou magnetickou stenu ∂Ez,n∂n = 0 je znam jako Neumannova

okrajova podmınka.Mala vyska anteny (h λ) umoznuje uvnitr dutiny zanedbat rozmer z (∂/∂z = 0),tedy:

Ex = 0, Ey = 0, Hz = 0 . (4.18)

Tak jsou eliminovany vsechny slozky krome slozek Ez, Hx a Hy. Patch jsme re-dukovali na dvourozmernou dutinu ohranicenou PMC. Dıky tomu muzeme ocekavatplosne proudove rozlozenı, cili TM mody a take vertikalnı elektricke pole6. Prozbyvajıcı slozky platı7:

jωEz =∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y, (4.19)

6Jak bude ukazano dale, prave toto pole vypocıtame pomocı FEM. Proudove rozlozenı zıskamena zaklade Maxwellovych rovnic, konkretne dalsı upravou rovnic (4.20) a (4.21).

7Uvazujeme harmonicky ustaleny stav (HUS) nahrazujıcı casove derivace.

44

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 4.3. Dutinovy model

−jωµHx =∂Ez∂y

(4.20)

ajωµHy =

∂Ez∂x

. (4.21)

Z techto trı rovnic lze odvodit Helmholtzovu vlnovou rovnici pro slozku Ez:(∇t + k2

n

)Ez,n = 0, (4.22)

kde k2n jsou vlastnı cısla jednoznacne odpovıdajıcı rezonancnım frekvencım frn, (n ∈

1, 2, 3 . . .∞) a Ez,n jsou vlastnı funkce mapujıcı rozlozenı Ez v dutine Ω. Nulana prave strane rovnice indikuje stav bez buzenı, tedy modalnı resenı. Ve shode spredchozı castı muzeme prepsat rovnici (4.22) do tvaru:

Lψn = λnψn, (4.23)

kde operator L je roven:L = ∇t + k2

n. (4.24)

Obrazek 4.4: Prvnı 3 mody obdelnıkoveho patche (nahore: proudova hustota J, dole:elektricka intenzita Ez)

Problem formulovany s pomocı rovnic (4.22)-(4.24) resıme pomocı FEM(nasledujı cast kapitoly). Vysledkem je diskretnı spektrum vlastnıch funkcı

45

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 4.4. Metoda konecnych prvku

ψn = Ez,n, popisujıcıch elektricke pole v dutine a vlastnıch cısel. Rezonancnıfrekvence lze vycıslit na zaklade obecne podmınky rezonance:

k2n = k2, (4.25)

kde k =√−jωµ(δ + jωε) a

λn = k2n. (4.26)

Uvazujeme-li bezeztratovy magneticky substrat, je k2n = ω2µ0ε. S pomocı c0 = 1√

ε0µ0

a ω = 2πfr dostavame:

frn =c0

2π

√λnεr. (4.27)

Index n odpovıda n-temu modu struktury, c0.= 3.108ms-1 je rychlost svetla ve

vakuu. Vypocet povrchovych proudu je uveden v kapitole 6, protoze az tam proudyskutecne potrebujeme. Obrazek 4.4 ukazuje mody TM10, TM01 a TM11 vzorovestruktury.

CM je zatızen relativne velkou chybou ve srovnanı s charakteristickymi mody,prıpadne resenım v CST-MWS. Chybu budeme diskutovat dale v prakticke casti.Tato metoda umoznuje velice rychle, nazorne a pro nızke motivy uspokojive presnemodalnı resenı daneho zarice. Dıky tomu muzeme vyuzıt optimalizace pro nalezenıvhodnejsıho tvaru patche (viz dalsı kapitoly venujıcı se PSO).

4.4 Metoda konecnych prvku

CM predstaveny vyse je pouze pribliznym modelem popisujıcım patchovou antenu.Popisuje okrajove podmınky a zjednodusuje resenı Helmholtzovy rovnice. Stale sevsak jedna o diferencialnı rovnici, a proto musıme pro resenı ulohy vyuzıt vhodnounumerickou metodu. MoM je presna, avsak velice robustnı a pomala, vystacıme sizde proto s metodou konecnych prvku/elementu (Finite Element Method, FEM).

Navazme na MoM a CM s ukazkou resenı. Helmholtzovu rovnici muzeme obecnenapsat jako (4.23) nebo tez obecneji:

L(ul) = g, (4.28)

kde L je diferencialnı operator, g budıcı funkce a ul je hledana velicina (funkce).Vychazıme nejcasteji v Ritzovy nebo Galerkinovy metody8. Prvnı z metod je

variacnı, hledame minimum daneho funkcionalu9; druha metoda patrı do trıdyvazenych reziduı, hledame funkci ul:

ul =∑i

Uiϕ(l)i , (4.29)

8Navazujeme zde na cast 4.1, notace je upravena ve shode s Comsol Multiphysics, [37].9Funcional lze definovat na zaklade Thomsonova principu: Veliciny pole majı takove hodnoty,

aby byla splnena podmınka minimalnıho rozdılu mezi energiı potrebnou na vytvorenı zdroju tohotopole. Je to tehdy, je-li funcional nulovy, [12].

46


ϕ(l)i jsou jiz diskutovane bazove funkce pro ul (pro MoM znaceny fn), U je hledany

vektor se stupnem volnosti Ui (v Comsolu tzv. Degree of Freedom, DOF).Pro funkci ul, ktera aproximuje presne resenı platı v kontextu (4.28) a (4.29):

ξ = L(ul)− g, (4.30)

vazene reziduum na dane oblasti Ω je tedy:

R =∫∫

ΩwξdΩ. (4.31)

Pro vetsinu uloh je nalezenı aproximacnı funkce ul definovane na cele oblasti Ω

Obrazek 4.5: Puvodnı funkce (a) a jejı linearnı aproximace (b)

obtızne, ci prımo nemozne. Na tomto mıste vstupuje do FEM diskretizace. S jejıpomocı rozdelıme resenou oblast na mnoho malych podoblastı (elements). V kazdepodoblasti potom aproximujeme resenı jednoduchou funkcı (kuprıkladu linearnı,pomocı usecek).

Naprıklad resenı funkce na obrazku 4.5 vlevo (ul = 750x − 250x2 + 15x3) bybylo na cele oblasti Ω ∈ 〈0, 10〉 obtızne, nebot’ bychom museli najıt rozvoj bazovychfunkcı ve formatu:

ul =3∑i=1

cixi = c1x+ c2x

2 + c3x3. (4.32)

V tomto prıpade je lepsı postupna linearizace (ul = a + bx) po jednotlivych ele-mentech (obr. 4.5 vpravo).

V praxi je vytvorenı meshe (diskretizacnı sıte) zpravidla rozdeleno na dve casti:

1. Inicializace sıte (funkce meshinit v Comsolu) vytvorı pocatecnı pokrytı

2. Zahustenı (funkce meshrefine) / jine upravy (lokalnı zahustenı, vymazanı castisıte apod.)

47


Obrazek 4.6: Triangularnı, quadrilateralnı sıt’ a kvalita sıte (tmava je nejlepsı)

V prvnım kroku vybırame z moznych typu elementu (viz obr. 4.6 vlevo a uprostred),v druhem hlıdame jakost a dostatecnou jemnost/kvalitu sıte (obr. 4.6 vpravo).

Hodnoty hledane funkce jsou nalezeny pouze v uzlech (nodes) diskretizovanestruktury, mezi nimy je uloha aproximovana dodatecne. Aproximujıcı funkce Φ jevolena s ohledem na pocet uzlu jednoho elementu. V prıpade trojuhelnıkoveho ele-mentu postacuje polynom 3. stupne (Φ = a1 + a2x+ a3y), v prıpade obdelnıhovehoprvku potrebujeme polynom 4. stupne (Φ = a1 +a2x+a3xy+a4y). Takto lze pocetuzlu dale zvysovat (pricemz tvar polynomu lze odvodit z Pascalova trojuhelnıka),nicmene pro 2D ulohy se zpravidla vyuzıva trojuhelnıkova sıt’. Tak dostavame sous-tavu rovnic, [95]:

Φ1 = a1 + a2x1 + a3y1

Φ2 = a1 + a2x2 + a3y2 (4.33)Φ3 = a1 + a2x3 + a3y3

Jemnost sıte je vzdy kompromisem mezi hardwarovymi naroky (obsazenı pameti,delka vypoctu) a presnostı vysledneho resenı. Elementy se nesmı vzajemneprekryvat, ani mezi nimi nesmı vznikat mezery. Logickym pozadavkem jetake podobny tvar jednotlivych elementu, co nejvıce se blızıcı rovnostrannymtrojuhelnıkum10. V mıstech prudkych zmen pole je vhodne volit mensı elementy.Kvalita sıte a zpusoby jejıho hodnocenı nas budou zajımat v nasledujıcı kapitole.

Minimalizovany funkcional ma rozmer energie, jeho hodnota na cele oblasti jetedy souctem funkcionalu jednotlivych elementu:

F(Φ) =E∑e=1

Fe(Φe), (4.34)

kde E je celkovy pocet elementu a Fe(Φe) je funkcional elementu. Vztah (4.34) jeposlednım zcela obecnym vztahem, dale se jiz problem vetvı podle typu resenı. V

10Podle [12] chyba vzrusta neprımo umerne sinu nejmensıho vnitrnıho uhlu elementu.

48

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 4.5. Teorie charakteristickych modu

nasem prıpade vyuzıvame tzv. The Eigenvalue Solver Algorithm, v Comsolu potomresic (solver) femeig. Zpusob jakym se vysledna matice vyplnuje a nasledne resı selisı podle typu softwaru, tyto techniky tedy vynechame.

Pro implementaci byl vybran Comsol Multiphysics. Umoznuje resenı uloh zoblastı akustiky, tepla, elektromagnetismu, mechaniky a dalsıch oblastı s vyuzitımpreddefinovanych modulu11. Vyuzıva Lagrangeuv variacnı princip12. Funkce jsoupsany m-jazykem jako funce Matlabu13, cehoz lze vyuzıvat pro prıpadne upravy.Navıc lze Matlab a Comsol propojit a vse rıdit z Matlabu.

4.5 Teorie charakteristickych modu

Zakladnım predpokladem teto metody je existence dokonale vodiveho motivu (PEC)ve volnem prostoru bez napajenı. Tomuto motivu potom muzeme jednoznacnepriradit mnozinu modu (z vypocteneho spektra vlastnıch cısel), ktere jsou danypouze jeho rozmery. Po pripojenı napajenı dochazı ke kolapsu vlnove funkce, protose vybudı jen urcite mody, vyhovujıcı buzenı. Konecne rozlozenı pole na struktureje potom dano superpozicı takto vybuzenych modu.

Vyjdeme z poznatku, ze pro tecne pole elektricke intenzity na dokonalem vodicimusı platit:

Etottan = Es

tan + Eitan ∧ Etot

tan = 0, (4.35)

index s znacı vyzarene pole, index i dopadajıcı pole. Protoze vyzarene pole Estan je

zavisle na proudove hustote J , zavadıme opet operator L:

L(J) = Estan, (4.36)

popisujıcı integro-diferencialnı zavislost. A tedy ([81]):[L(J)−Ei

]tan

= 0. (4.37)

Rovnice (4.37) je tzv. EFIE (Electric field integral equation), viz [29]. Strukturaoperatoru vyhovuje rovnicım

L(J) = jωA(J) + gradF(J), (4.38)

A(J) = µ©∫∫

ΩJ(r)G(r, r′) dΩ (4.39)

aF(J) = − 1

jωε©∫∫

ΩgradJ(r′)G(r, r′) dΩ (4.40)

11Podle vybraneho modelu je definovana jedna PDE: Laplaceova / Poissonova / Helmholtzova /tepelna / vlnova / Schrodingerova / difuznı rovnice.

12Postup minimalizace funkcionalu – tj. potencialnı energie, volnych naboju (vyse uvedene Thom-sonovo pravidlo je aplikacı Lagrangeova principu v oblasti elektromagnetismu) apod.

13Comsol, puvodnım nazvem Femlab byl soucastı Matlabu. Od nove verze Comsolu 3.5 je namıstoComsol Scriptu preferovan Matlab Editor.

49


Potencialy A a F fyzikalne nemajı zadny smysl a nelze je nijak intepretovat, jdepouze o identity zjednodusujıcı resenı MR. Potencialy budeme potrebovat zejm.v kapitole 6, kde jsou radne zavedeny. Tvar Greenovy funkce v rovnicıch (4.39) a(4.40) pro prıpad bezeztratoveho materialu ve volnem prostoru je14:

G(r, r′) =e−jk|r−r′|

4π|r− r′|. (4.41)

Blizsım pohledem na (4.36) lze odvodit, ze operator L ma charakter impendance.Tu lze rozlozit:

Z(J) = R(J) + jX(J). (4.42)

Variacnı resenı

Na cely problem muzeme nahlızet jako na variacnı ulohu s cılem minimalizovatvhodny funkcional. K tomu nam poslouzı upraveny vztah pro jednotlive slozkyimpedance. Funcional pak pıseme ve tvaru:

F(J) =〈J,XJ〉〈J,RJ〉

. (4.43)

Vztah vyjadruje pomer mezi nahromadenou a vyzarenou energiı. Zda budeme mini-malizovat slozku 〈J,XJ〉 nebo 〈J,RJ〉 bude jasne z pozadavku na typ rezonance.Ty delıme na:

1. Internı rezonance – rezonance uvnitr dutinoveho rezonatoru. Pozadujememaximum akumulovane energie, minimum vyzarene. Funcional: FI(J) = 1

F(J)

a tomu prıslusna Eulerova rovnice, [65]:

R(Jn) = λnX(Jn). (4.44)

2. Externı rezonance – rezonance antennıch struktur. Pozadujeme maximumvyzarene energie, tj. FE(J) = F(J) a

X(Jn) = λnR(Jn). (4.45)

Nalezene charakteristicke proudy Jn majı nasledujıcı vlastnosti:

• tvorı ortogonalnı system,

• zavisı pouze na tvaru patche,

• na dane oblasti Ω jsou realne,

• majı stejnou fazi.14Lze odvodit z vlnove rovnice ∆A + k2A = −µ0J.

50


Hodnota vlastnıho cısla udava charakter daneho modu:

λn

= 0 n-ty mod je v rezonanci< 0 n-ty mod ma kapacitnı charakter> 0 n-ty mod ma induktivnı charakter

(4.46)

Vlastnı cısla jsou casto nahrazovana tzv. charakteristickym uhlem:

αn = 180°− tan−1(λn). (4.47)

Prubeh αn hodnotou 180°(rezonancı) je strmejsı nez u λn, proto je toto zobrazenıvhodnejsı. Resenı pro charakteristicke uhly je na obr. 4.7.

Obrazek 4.7: Typicke hodnoty charakteristickeho uhlu, zdroj: [85]

Modalnı resenı

Podle [65] platı nasledujıcı ortogonality:⟨J∗m, R(Jn)

⟩= δmn (4.48)⟨

J∗m, X(Jn)⟩

= λnδmn (4.49)

δmn je Kroneckerovo delta15. Pro celou impendanci pak platı:⟨J∗m, Z(Jn)

⟩= (1 + jλn)δmn. (4.50)

Dale zaved’me algebraicky skalarnı soucin (komplexnı transpozici):⟨B,C

⟩=[B]∗[C], (4.51)

15δmn =

1 je-li m = n0 je-li m 6= n

, casty zapis pro jednotkovou matici je tez δmn = [m = n].

51


tento vztah je analogiı k (4.5) a modalnı superpozici charakteristickych proudu:

J =∑n

αnJn, (4.52)

coz odpovıda (4.3). Vztahy (4.37) a (4.52) muzeme upravit nasledovne:[∑n

αnL(Jn)−Ei]tan

= 0. (4.53)

Aplikacı (4.51) na (4.53) zıskame:∑n

αn

⟨Jm, Z(Jn)

⟩−⟨Jm,Ei

⟩= 0 (4.54)

Uzitım (4.50) na (4.54) se podle [85] problem redukuje na

αn(1 + jλn) =⟨Jn,Ei

⟩(4.55)

Produkt 〈Jn,Ei〉 se nazyva excitacnı koeficient a casto se znacı jako V ni . Platı take:

V ni =©

∫∫Ω

JnEi dΩ (4.56)

Po pripojenı napajenı se vybudı jen urcita mnozina modu, ostatnı nikoliv. Vyslednepole je superpozicı vybuzenych modu. Tak se dostavame k zaverecnemu vztahu procelkovy proud, parametr V n

i ”zapına“ jednotlive mody:

J =∑n

V ni Jn

1 + jλn. (4.57)

Dale muzeme odvodit vztahy s vlastnımi poli En a Hn, to vsak jiz prekracuje rozsahteto prace.

Uplatnenı v projektu

Na katedre elektromagnetickeho pole byl vyvinut Ing. Pavlem Hamouzem TCMsimulator, predstaveny v diplomove praci [81]. Urcenı impendancnı matice atomu predchazejıcı diskretizace (vyuzıva RWG bazove funkce16) vychazı z praceS. N. Marakova [33]. V dobe vzniku DP nebylo mozne tento software vyuzıvat.Predne cas potrebny na vypocet patche je v porovnanı s CM prılis velky, dalebychom pro ucely optimalizace museli zajistit osetrenı nekterych stavu, ktere v CMresıme s pomocı Comsolu17.

Vyuzitı tohoto nastroje je pro jeho presnost a schopnost analyzovat i komp-likovane struktury optimalnı a je s nım, po prekonanı uvedenych obtızı pocıtanonamısto CM.

16Rao-Wilton-Glisson; viz S.M.Rao, D.R.Wilton, A.W.Glisson: Electromagnetic scatteringby sufraces of arbitrary shape, IEEE Trans. AP, 30(3):pp.409-418, 1982, prıpadne prımo [51].

17Celistvost patche, poradı modu, . . .

52

Kapitola 5

EvalInFem

Implementace dutinoveho modelu je komplikovana zejm. faktem, ze vse musı bytnaprogramovano zcela obecne. Take krizove situace musı program vyresit sam, vc.navracenı adekvatnıch hodnot. Tato kapitola rozebıra strukturu funkce EvalInFem,urcene pro analyzu fraktalnıch patch anten.

5.1 Popis, syntaxe

Jednotlive ukoly podrobneji rozebereme v nasledujıcıch castech. Kazda pasaz je projednoduchost tvorena jednou nested funkcı zanorenou do EvalInFem. Jejich volanımlze jednoduse osetrit chyby a zajistit tak stabilitu programu. Tak muzeme programdale upravovat a rozsirovat bez narusenı jine sekce. V principu lze jednotlive ukolyEvalInFem rozdelit do techto separatnıch castı:

1. Inicializace GUIe

2. Uprava polygonu, velikostı

3. Sjednocenı a check poctu castı

4. Disketizace

5. Nastavenı fyziky, CM model

6. Vlastnı vypocet

7. Prepocet frekvence, uprava modu

8. Ulozenı, ukoncenı, osetrenı vyjımek a chyb

Usporadanı respektuje i graficke okno (na obr. 5.1), informujıcı uzivatele o jed-notlivych operacıch. To je vytvoreno pri kazdem volanı EvalInFem a nelze hovypnout pred ukoncenım vypoctu1. Pokud je resic soucastı optimalizace, je okno

1Thread se muze nachazet v jedne z funkcı Comsolu, v PSOptimizeru apod. Bez tohoto omezenıby se EvalInFem choval nevyzpytatelne.

53

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 5.1. Popis, syntaxe

otevreno pouze jednou a pro kazde dalsı volanı jsou pouze resetovany udaje, cozsetrı cas.

Obrazek 5.1: EvalInFem (screenshot)

Syntaxe

Pro obdrzenı vypisu rezonancnıch frekvencı jednotlivych modu, pouzijeme zapis:

results = EvalInFem(’stat’,FRC).

Parametr ’stat’ je v tomto prıpade fixnı a indikuje staticke volanı bez inicializacePSO. Vyuzıvame ho zpravidla pro zjistenı dominantnıho modu pevne dane struk-tury. Pro zıskanı fem promenne volame nasledovne:

[results fem] = EvalInFem(’stat’,FRC).

Toto volanı ma velkou vyhodu ve zpetnem vyuzitı Comsolu – fem objekt muzemeimportovat z Matlabu do Comsolu a pracovat s vysledkem rucne (grafy, rozlozenımodu, prevod do dxf pro CST apod.). Funkce EvalInFem umoznuje prıme spustenı

54

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 5.2. Geometrie

optimalizace, o ktere bude pojednano v dalsıch kapitolach, nicmene jiz zde uved’me,ze existujı dve moznosti, jak toho dosahnout. Optimalizaci lze zahajit volanım funkceEvalInFem i PSOptimizer. Elegantnejsı je:

PSOresults = PSOptimizer(PsoData,’EvalInFem’,ag,it),

nebot’ tak jsou volany i vsechny ostatnı fitness funkce (viz PSO optimalizace). Kobjektu fem nelze pri optimalizaci zıskat prımy prıstup, ag oznacuje pocet agentu vroji, it urcuje pocet iteracı. Lze vyuzıt i nasledujıcı prıkaz:

results = EvalInFem(’pso’,PsoData,ag,it).

Poznamenejme, ze vsechny prıkazy jsou vysvetleny i v napovede EvalInFem.Pri navrhu EvalInFem jsme vychazeli z instrukcı v tutorialu [63] a z napovedy

Comsolu, ktera se ovsem programovanı v Matlabu prılis nevenuje. Popisme nynıjednotlive kroky resenı. Nasledujıcı casti 5.2 a 5.3 priblizujı mechanismy EvalInFema lze je prıpadne preskocit.

5.2 Geometrie

Predpokladem spravne funkce EvalInFem je FRC nebo Poly promenna na vstupu.Pro jejı vytvorenı lze vyuzıt AntTool, IFSMaker, muzeme ji definovat i rucne.V prıpade fraktalnı struktury obsahuje pole jednotlive IFS parametry. Z nich jepotreba vygenerovat fraktal a jednotlive polygony setrıdit podle iteracı, ktere semajı do vysledne kolaze zapocıtat. Ty potom sjednotit a upravit tak, aby zapisurozumel Comsol.

Nezbytne je omezenı velikosti kolaze – mame-li hledat nejmensı strukturu, tedyde-facto nejmensı rezonancnı frekvenci, je potreba zafixovat max. velikost, aby bylyvysledky vzajemne porovnatelne. Tato velikost je na radce 341 nastavena na 10cm.EvalInFem sam zhodnotı, zda delsı hrana je ve smeru x nebo y a kolaz pomernezmensı/zvetsı na tuto velikost. O zmene velikosti jsme informovanı v sekci polygonsgrafickeho okna.

Obrazek 5.2: Vypoctena kolaz, mesh, dominantnı mod a jeho proudove rozlozenı

Soucastı prevodu je i automaticke vykreslenı analyzovane kolaze. To jeuzitecne zejm. ve spojenı s PSO, vidıme ihned jaky tvar kolaze je prave resen.

55

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 5.3. Mesh, fyzika

Uprednostnujeme-li rychlost a zajımame se az o vysledek, muzeme tento vypisdeaktivovat na radce 337 funkce2 EvalInFem. Mozna vykreslenı shrnuje obr. 5.2.

Po vypoctenı IFS a upravenı velikosti nasleduje sjednocenı do stejneho (3D)pole, coz je pouze operace s maticemi v cellu3. Dalsı cast je zajımavejsı – musımeprevest geometrii do Comsolem akceptovatelneho tvaru. Celou proceduru provadınested funkce makeGeomFcn. Postupne zvetsujeme dva string retezce, ktere jsouvyhodnoceny funkcı eval, nasledujı dalsı upravy a ulozenı geom objektu do instancefem. Jde o jednu z klıcovych funkcı EvalInFem, kterou obycejne provadıme pomocızakreslovanı v Comsolu.

Na zaver je nezbytne otestovat celistvost patche. Pocet castı, z nich je zaricslozen zjistı funkce flgeomnmr. Pokud je vysledek ruzny od jedne, koncı vypocetchybou.

5.3 Mesh, fyzika

Ve shode s vykladem o FEM je nutne povrh pokryt diskretizacnı mrızkou. Musımedodrzet vysokou kvalitu sıte, tedy jemnost a pravidelnost, na druhe strane je vhodnepracovat s nejmensım moznym poctem elementu. Pro tyto ucely slouzı v Comsoluodhad velikosti jednotlivych trojuhelnıcku a jejich kvality:

q =4√

3Sa2

1 + a22 + a2

3

, (5.1)

kde S je obsah, a1, a2 a a3 jsou hrany trojuhelnıka. Kvalita sıte nabyva hodnotqmin ∈ (0, 1), 1 znacı perfektnı sıt’, ktere vsak stezı kdy dosahneme. Podle litera-tury je dostacujıcı hodnota qmin = 0.3, je vhodne volit rezervu qmin = 0.4. Prorovnostranny trojuhelnık je q = 1; pro rovnoramenny se stranami 1,

√1.25,

√1.25

(vyska k ramenum rovna 1) uz pouze q = 0.9897. Frekvenci, do ktere povazujemeCM za spolehlivy, lze odvodit i ze vztahu:

hmax =λ

6, (5.2)

kde hmax je maximalnı delka hrany jakehokoliv trojuhelnıka. Podmınku (5.2) jsmezıskali z dokumentace simulatoru FEKO, [102].

Z predpokladane frekvence dominantnıho modu4 zpetne vypocıtamepozadovanou velikost. Tento postup vsak skyta nekolik uskalı. Zaprve je tentoodhat dosti nepresny, zadruhe musıme zjist’ovat rozmery vsech elementu a konecnezatretı nenı cely proces snadne naprogramovat. Po zdlouhavych testech byl nalazen

2Na dalsıch radcıch lze nastavit vykreslenı meshe (defaultne ne), rozlozenı elektrickeho pole naddutinou (ano) a rozlozenı proudu (ano).

3Kazde pole cellu odpovıda jedne iteraci, tak muzeme jednoduse zaradit ty polygony, ktereprıslusı do pozadovanych iteracı.

4Nejnizsı frekvenci muzeme s jistou rezervou odhadnout ze znalosti max. rozmeru pro λ2

domi-nantnı mod.

56

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 5.4. Zpracovanı vysledku

kompromis mezi jemnostı sıte a rychlostı vypoctu, totiz tvorba sıte funkcı meshinits parametrem ’Hauto’ = 3. Sıt’ sice nenı dale zjemnovana, avsak od pocatku na nımame prısne naroky. Tak setrıme cenny vypocetnı cas. Dulezite je tez nastavenıparametru ’Report’ na ’off’, v opacnem prıpade by po kazdem nameshovanı bylproces prerusen oznamenım, coz by znemoznilo plynulou optimalizaci. Ukazuje se,ze pocet elementu (narozdıl od jejich kvality) nema na presnost resenı zasadnejsıvliv.

Kvalitu zjistıme pomocı funkce meshqual, pricemz je vhodne se zajımat oprumernou i minimalnı kvalitu na cele plose kolaze. Musıme tedy znat i pocet ele-mentu, toho docılıme prıkazem length(fem.mesh.t). Celkovy pocet elementu je spolus prumernou a minimalnı kvalitou sıte vypsan v sekci mesh v GUI.

V dalsım kroku nastavujeme podmınky resenı, tj. typ resenı (InPlaneWaves),modul (RF), typ analyzy (eigen), hranicnı podmınku pro vsechny hrany (H0, navıcvsechny bnd.ind = 1), system jednotek (SI) a dalsı parametry5.

Nynı lze pristoupit k vlastnımu resenı struktury. To provadıme pomocı resicefemeig s nastavenım hledane veliciny a poctem vlastnıch cısel (=nalezenych modu),ktere majı byt nalezeny. Vlastnı cısla jsou ulozena do objektu fem.sol, odkud jejednoduse zıskame pro dalsı upravy.

5.4 Zpracovanı vysledku

Vypoctena vlastnı cısla nynı prevedeme na rezonancnı frekvence danych modu.Vyuzijeme nasledujıcıho vztahu:

fmin(i) =|fem.sol.lambda(i)|

2π(5.3)

Obrazek 5.3: Nesmyslne resenı (vlevo) a dominantnı mod struktury (vpravo)

Po prevodu na frekvenci se vsak casto setkavame s tzv. nesmyslnymi mody (obr.5.3). Tato resenı nemajı zadne fyzikalnı opodstatnenı. Navıc v prıpade optimalizace

5Podarilo se je zjistit po odsimulovanı vzoroveho prıkladu v Comsolu a jeho ulozenı jako mfile.Cast kodu musı respektovat promenlivy pocet hran.

57


hrozı, ze takovy mod bude vyhodnocen jako dominantnı. Jeho (velice mala) hodnotarezonancnı frekvence urcı nove globalnı minimum a cele hejno bude konvergovatk teto zcela nesmyslne hodnote. Vsechna takova resenı predchazejıcı skutecnemudominantnımu modu musıme efektivne odstranit.

To provadıme ve dvou krocıch. Nejprve smazeme vsechny mody s nulovoufrekvencı, potom i takove, ktere dosahujı pouze 1% rezonancnı frekvence modunasledujıcıho. Nesmyslne mody majı vetsinou nenulovou realnou cast vlastnıho cısla,zatımco vsechny ostatnı mody majı nenulovou pouze imaginarnı cast. Ta nabyvazpravidla zapornych, extremne vysokych hodnot.

Obrazek 5.4: Prıklad duplicitnıch modu

Na dalsı obtıze narazıme v souvislosti s duplicitnımi mody. Nekolik jich zobrazujeobrazek 5.4. Vsechna tri resenı jsou spravna, ukazujı 5.,6. a 7. nalezeny mod. Naprvnı pohled je vsak jasne, ze jde o stejne rozlozenı pole, pouze jinak orientovane. Jeto dano pravdepodobne malymi odchylkami v diskretizacnı mrızi, cımz se strukturastava mırne nesymetrickou. Poznavacım znamenım takovych modu jsou blızke rezo-nancnı frekvence. Na druhou stranu blızke frekvence mohou mıt i dva geometrickyvelice rozdılne mody, nemuzeme tedy toto tvrzenı vyuzıt k eliminaci duplicit.

Resenı je potreba hledat prımo v rozboru daneho rozlozenı pole. Prevedenımmodu na bitmapy, jejich pomyslnym rozdelenım na pole a hledanım shodnych hustoturcitych barev bychom mohli duplicitnı mody odhalit. Tento postup zatım nebyltestovan, v budoucnu – zejmena pri multipasmove optimalizaci – se bez nej aleneobejdeme.

Obrazek 5.5: Nadbytecne nody, jejich vznik a neprıjemne dusledky

58


Poslednım zjistenym nedostatkem je prıtomnost nadbytecnych nodu (uzlu) vevysledne kolazi. Ty vidıme na obr. 5.5 vlevo. V okolı techto bodu je sıt’ vıce zahustena(obr. 5.5 vpravo), nebot’ Comsol zde predpoklada diskontinuity. Vetsı pocet elementuse negativne promıta do casu potrebneho na vypocet, a to nejen v Comsolu, ale ipokud fraktal dale exportujeme (IE3D apod.).

Tyto nechtene nody vznikajı pri dlazdenı fraktalu, jde vlastne o vrcholy trans-formovaneho zakladnıho objektu (obr. 5.5 uprostred). Automaticke odstranovanıtakovych bodu je komplikovane6.

Obrazek 5.6: Lokalizovane proudy pro FRC B, FRC J a FRC D, vyssı mody

Pri pohledu na obr. 5.6 si muzeme vsimnout zajımaveho fenomenu, ktery jefraktalnım antenam vlastnı, totiz proudove lokalizace. K te dochazı pro nekterevyssı mody a vyznacuje se zvysenou smerovnostı zarice (klidne 13dBi i vıce). Naobrazky muzeme pohlızet jako na velice efektivnı a idealne zfazovane antennnı rady.

6Tato automaticka procedura by musela spolehlive pracovat pro vsechny IFS vsech iteracı amusela by byt velmi rychla.

59

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 5.5. Osetrenı chyb, stabilita

5.5 Osetrenı chyb, stabilita

O vysledku vsech operacı je uzivatel informovan skrze GUI. V prıpade chyby jevypsan cervene text Error, navıc je i s kodem (viz tabulka 5.1) chyba uvedena vokne Matlabu. Tak lze sledovat vsechny chyby pri dlouhe optimalizaci.

kod chyby oznacenı popis0 There’s no connection to Comsol nenı pripojen Comsol1 Bad input data (x ’psopt’ type). spatny vstup2 Convert to polygons. nevhodne polygony3 Geometry convert problem. chyba v prevodu geometrie4 Bad mesh (subdomains = 1) segmentu je vıce nez 15 Comsol physics hasn’t been set. fyzika nenı nastavena6 There’s no feasible solution. nebylo nalezeno resenı

Tabulka 5.1: Mozne chyby v EvalInFem

EvalInFem musı za vsech okolnostı vracet hodnotu rezonancnı frekvence. Vopacnem prıpade by hrozilo prerusenı optimalizace. Pokud je vypsana chyba, vracıprogram fr = ∞. To nenı z hlediska konvergence hejna optimalnı7 navratova hod-nota, lepsı resenı vsak doposud nebylo nalezeno.

Dalsı skupinu chyb lze oznacit jako chyby metody. Nektere aspekty jsou vCM aproximovany nebo zanedbany, coz zhorsuje (omezuje) vysledky. Na zkreslenıresenı se podılı jiz diskretizace, kterou jsme probrali vyse. Dale musıme mıt napameti omezenı vysky substratu, pomocı CM resıme pouze 2D planarnı rezonator.Nejvetsım problemem je zanedbanı vnitrnıch vazeb ve strukture. Z principu taknelze resit zaric slozeny z vıce castı. Omezena je mnozina pouzitelnych kolazı8. Prooverenı CM modelu byl vybrany fraktal analyzovan i v CST-MWS, vıce v nasledujıcıcasti.

5.6 Vysledky

Vsechny nesmyslne mody byly odstraneny, neuvadıme ani duplicitnı mody. Hod-noty v tabulce 5.2 jsou omezeny rozmerem delsı hrany rovnym 10cm. Prıklady silnelokalizovanych proudu byly uvedeny na obr. 5.6. Vyhledavanı takovych modu rucneje zdlouhave a nepohodlne, presto vsak s pomocı Comsolu mozne. Video na DVD sukazkou resenı se jmenuje EvalInFem staticAnalysisAvi.avi. Je zde i ukazka chybnesimulace a jejıho zakoncenı.

7Toto mısto je automaticky zavrhnuto celym rojem a prıslusnı agenti se od nej vzdalujı. Tokomplikuje nalezenı minima v sousedstvı takove singularity.

8Prıklady na obr. 5.8 jsou resitelne bez potızı, pouze kolaz FRC B prezaruje a velikost chybytak roste.

60

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 5.6. Vysledky

patch fr1 [MHz] fr2 [MHz] fr3 [MHz] fr4 [MHz] fr5 [MHz]FRC A 637.73 655.59 1375.67 1407.34 1434.46FRC B 686.09 732.07 736.23 2113.86 2300FRC C 638.39 1304.13 1652.87 1751.14 1753.58FRC D 1189.33 2192.13 2641.8 4412.57 4423.88FRC E 1367.52 1383.24 3064.77 3110.12 3977.31FRC F 657.76 721.05 2040.55 2272.51 2345.91FRC H 1352.55 1482.29 2457.62 2629.74 2865.37FRC J 849.51 871.05 1668.17 2709.62 2801.14FRC K 647.05 690.66 1681.64 2385.47 2452.99

Tabulka 5.2: Rezonancnı frekvence vybranych kolazı (prvnıch 5 iteracı)

Obrazek 5.7: Pokles frekvence s iteracı, vybrane kolaze

Je zajımave sledovat velikost rezonancnı frekvence ruznych kolazı v zavislostina stupni iterace. Lze ukazat, ze frekvence postupne klesa. Napr. pro kolaz FRC Bklesa frekvence (pro iterace 1-5) nasledovne: 1025MHz, 686MHz, 501MHz, 370MHza 271MHz. Pro kolaz FRC H 1380MHz, 1053MHz, 815MHz, 630MHz, 487MHz.

Pokles je velice rychly a to i v prıpade, ze rezonance probıha na rameni, kteresvou delku nemenı (FRC H). Prubeh zaroven naznacuje, ze hodnoty smerujı k urciteasymptote, kterou muzeme predpokladat pro nekonecnou iteraci. Pro kazdy fraktalklesa frekvence jinak rychle a z jine pocatecnı hodnoty, viz obr. 5.7. Pokles frekvenceprobıha bez necekanych vykyvu (krivky jsou hladke), tento jev lze prokazat i uvyssıch modu IFS struktur.

61


Obrazek 5.8: Dominantnı mody FRC struktur

CST a TCM simulace

Nynı srovnejme obdrzene vysledky s referencnım simulatorem. Primarne byl vybranCST-MWS, je velice presny a uzivatelsky prıjemny. Dale jsme do srovnanı zaradiliTCM analyzator z [81], ktery by mohl nahradit nas CM resic.

Obrazek 5.9: Proudy na strukture FRC F podle TCM

Jako srovnavacı objekt byl zvolen FRC F ve tretı iteraci (viz obr. 5.8, prıpadneprımo obr. 12.11 a 12.12 v dodatcıch). Tento fraktal se jevı jako vhodny kandidatpro dalsı optimalizaci. Vyska nad zemnı rovinou je 1mm (v toleranci CM) a 10mm(zde jiz CM nepodava optimalnı vysledky).

V souvislosti s nalezenım rezonancnı frekvence je vhodne sledovat, jak (zdavubec) muze na danem modu antena vyzarovat. Situaci prehledne ukazuje obr. 5.9.

62


Prvnı dva mody majı proudy orientovane shodnym smerem, ty se scıtajı a vytvorıvertikalnı, resp. horizontalnı polarizaci. Proudy tretıho modu (vpravo) tecou protisobe, antena ma v podstate charakter vedenı a nevyzaruje. Rozlozenı proudu lze sle-dovat i u CM modelu, jak ukazeme v nasledujıcı kapitole. Tyto proudy vypocıtamez elektrickeho pole, ktere jsme zıskali z dutinoveho modelu.

Obrazek 5.10: Prubeh charakteristickeho uhlu pro FRC F (TCM)

Nalezene rezonancnı frekvence z tab. 5.3 doklada i obr. 5.10, kde je vykreslenprubeh charakteristickeho uhlu na frekvenci. Pomocna cara (oranzova) prochazı180°, kde dochazı k rezonanci. Zde muzeme odecıst rezonancnı frekvenci prvnıch 3.modu.

Zobrazenı proudu v CST pro prvnı 3 mody je ukazano na obr. 5.11. Prodouverozlozenı vyslo podobne jako v TCM a CM, orientace proudu odpovıda obr. 5.9.

Pro zajımavost uvedeme s predstihem i tvar VD pro FRC F s vyskou 10mm

CM CST TCM IE3D CST TCMvyska 1mm vyska 10mm

1. mod 657.76 MHz 735 MHz 720 MHz 745 MHz 913 MHz 890 MHz2. mod 721.05 MHz 787 MHz 775 MHz 817 MHz 947 MHz 915 MHz3. mod 2040.55 MHz −(∗) 2150 MHz −(∗) 1000 MHz 985 MHz

(*) tento mod nebyl v CST/IE3D nalezen

Tabulka 5.3: Rez. frekvence pro FRC F v simulatorech CM, CST-MWS a TCM

63

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 5.7. Propojenı s PSO

Obrazek 5.11: Proudove rozlozenı pro 1-3 mod kolaze FRC F

nad zemnı (nekonecnou) rovinou. Hornı obrazky ukazujı jednotlive polarizace9, jakse promıtajı do vysledneho VD (spodnı cast obr.). Vysledky jsou pro svou velikostuvedeny v dodatku 12.2, obr. 12.19 a 12.20.

5.7 Propojenı s PSO

Napojenı na rojovy optimalizator je realizovano podle obr. 10.1, z pohledu PSO jeblıze popsano v casti 8.5. Upravou geometrie patche (zmena pozice bodu zakladnıhoobjektu nebo koeficienty transformacı) lze zıskat nizsı rezonancnı frekvenci. Vprubehu optimalizace dochazı k obcasnemu rozdelenı kolaze na vıce castı (vlivemzmeny transforamcnıch koeficientu), pak je situace osetrena v EvalInFem.

K nastavenı optimalizace je potreba stanovit jednotlive meze a zvolit objekty,ktere majı byt optimalizovany. Pro tento ucel vznikl IFSLimiter, popsany v 9. kapi-tole. Nacıta zvolenou kolaz ve formatu FRC a po nastavenı optimalizace exportujePsoData promennou do Matlabu. Ta je vstupnım parametrem PSOptimizeru, kteryrıdı celou optimalizaci a vola EvalInFem jako svou fitness funkci. Pro kazdeho agentaje stanovena velikost rezonancnı frekvence, jak bylo popsano vyse. Vse ale probıhaautomaticky.

Prave EvalInFem hraje v celem procesu zasadnı roli, nebot’ spotrebuje cca. 95%casu potrebneho na jednu optimalizaci. Celkovy cas se pohybuje v radu hodin10.

Vıcepasmova optimalizace

Lakava je tez moznost optimalizovat patch tak, aby jeho vybrane mody bylyn-nasobkem / posunuty o pevne danou frekvenci od modu predesleho. Dıky tomu,ze pracujeme s IFS parametry, zustava fraktalnı charakter zachovan i zde (se vsemivyhodami). Abychom mohli specifikovat pozadavky na jednotlive mody, musımemıt moznost je vzajemne rozeznat, vc. eliminace duplicitnıch modu. Bude potrebadefinovat i nove rozhranı, hlıdajıcı vahovanı jednotlivych prıspevku (vysledku prodany mod) a jejich ohodnocovanı pro cost funkci (viz kapitola o PSO). Tento ukolvyzaduje celou radu zasahu a uprav. Ctenar se tedy bude muset spokojit pouze stouto zmınkou.

9Zobrazenı vertikalnı a horizontalnı polarizace v CST je mozne s pomocı Ludwig3.10Predpokladame zhruba 5 sekund na jedno resenı CM, 20 clenu roje a 150 iteracı.

64

Kapitola 6

Vyzarovacı diagram

”Predstavte si lampu! At’ je jakkoliv umelecka a krasne zdobena, musıpredevsım svıtit!“

— Honore de Balzac

Obecna antena se vyznacuje tım, ze vyzaruje resp. prijıma elektromagnetickouenegii ruzne v ruznych smerech. Zobrazenı techto pomeru se nazyva vyzarovacıdiagram ([11]). Vyzarovacı diagram (VD) radıme mezi smerove vlastnosti anteny.Jsme schopni popsat na nem hlavnı lakol, vedlejsı lalok a zpetny svazek, muzemeodecıst sırku svazku na polovicnı vykon (HPBW) a dalsı parametry. Uzce souvisı sesmerovostı, ucinnostı svazku atp. Z techto duvodu je nutne pro vetsinu praktickychaplikacı VD dane anteny znat.

V prıpade patchovych anten s fraktalnım povrchem jsme nuceni nejprve stanovitrozlozenı zdroju, tj. zjistit na kterych modech antena rezonuje (=vyzaruje) a jak.Az pote vyuzijeme algoritmus EvalRadPattern, ktery byl v ramci DP rozpracovan.Pozornost bude venovana i mozne optimalizaci geometrie patche s ohledem na VD.Cela kapitola je koncipovana podle Individualnıho projektu, [70].

6.1 Rozlozenı zdroju

Vlastnı vypocet vyzarovacıho diagramu (dale jen VD1) je zalozen na resenı Max-wellovych rovnic. K zıskanı VD je potreba znat presne rozlozenı zdroju na povrchuanteny. Zdroji zde myslıme:

(a) hustotu elektrickeho proudu J,

nebo

(b) fiktivnı magnetickou proudovou hustotu M.

1Mame na mysli smerovou, prıpadne vyzarovacı charakteristiku. Principy reciprocity a dualityzajist’ujı, ze jsou shodne. Viz [11], [32].

65

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.1. Rozlozenı zdroju

Obrazek 6.1: Postup vypoctu, ve shode s [29]

Tyto moznosti zobrazuje i obr. 6.1. Proudy nejsou pro dany typ patche dopreduznamy, nebot’ jsou zavisle na tvaru anteny. Zatımco elektricke proudy jsouidealnı pro dratove anteny, pro patchove anteny (tedy plosne, dale platı i protrychtyre) je vhodnejsı vyuzıt ekvivalentnıch magnetickych proudu (ktere tecou pohranach patche). Zıskame-li totiz hodnoty techto proudu, je urcenı vyzareneho polejednodussı2. Oba postupy, jak zıskat tyto proudy, jsou uvedeny dale.

V dalsım kroku se musıme rozhodnout, zda budeme VD urcovat prımo zMaxwellovych rovnic (dale MR), nebo si odvozovanı zjednodusıme zavedenım po-tencialu (tento postup je obecne preferovan). Vektorovy potencial A, i skalarnı po-tenc. F vyuzıvajı znamych diferencialnıch identit ke zjednodusenı tvaru MR. Zdepouze nastınıme myslenku potencialu3.

Pro vektorovy potencial A vyuzijeme skutecnosti, ze:

div(rotA) = 0, (6.1)

pro libovolny vektor A. V oblasti beze zdroju (tj. v nezrıdlovem poli) potomprepisujeme z MR:

divB = 0, (6.2)

tedyBA = µHA = rotA. (6.3)

KonecneHA =

1µrotA. (6.4)

Podobne pro potencial F pokladame:

div(−rotF) = 0, (6.5)

pro nezrıdlovou oblast je Gaussuv zakon elektrostatiky divD = 0tedy (predpokladame linearitu operatoru):

DF = −rotF, (6.6)2Jak z hlediska praktickeho, tak z hlediska casove narocnosti vypoctu.3Zapis ma notaci ve shode s [29] a [32], pouze znacenı grad (∇), dif (∇•) a rot (∇×) respektuje

evropske, nikoli americke zvyklosti (tedy varianty vne zavorek).

66

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.2. Odvozenı potrebnych vztahu

EF = −1εrotF. (6.7)

Vztahy (6.4) a (6.7) jsou symetricke. Po odvozenı VD (uvedeno v dalsı casti) jepotreba dbat na spravne znacenı souradnicoveho systemu. Resenı jednotlivych slozekzpravidla zıskame v kartezskych souradnicıch, je tedy potreba tyto vysledky prevestdo souradnic sferickych (transformacnı matice), nebo s tımto prevodem pocıtat jizpri vlastnım vypoctu. Nezbytnym krokem je normovanı, casto provadene az pozlogaritmovanı vysledku (pro velkou dynamiku je zobrazenı VD v logaritmickemmerıtku mnohem nazornejsı).

Nynı pristupme k vykladu jednotlivych partikularnıch problemu.

6.2 Odvozenı potrebnych vztahu

Vychazıme ze zakladnıho tvaru Maxwellovych rovnic:

rotH = J +∂D∂t

, (6.8)

divE =1ερ. (6.9)

Uvazıme-li dualitu mezi elektrickym a magnetickym polem (E → H,H → −E,J →M, atd., vıce v [32]), muzeme psat ekvivatelne:

rotE = −M− ∂B∂t, (6.10)

divH =1µρm. (6.11)

Naboj ρm a proudova hustota M jsou pouze fiktivnı, protoze fyzikalnı representacetechto velicin nenı znama. Presto tento formalismus podava spravne vysledky.

Zname-li rozlozenı proudu – skutecnych nebo fiktivnıch, je resenı (vnejsı) ulohypodobne. Nalezenı zdroju se venujı casti 6.3 a 6.4, nynı predpokladejme, ze tytozdroje (J a M) zname. Rovnice resıme s pomocı zavedenych potencialu podle [32].Po dosazenı a uprave dostavame:

E = −gradF− ∂A∂t− 1εrotAm (6.12)

aH = −gradFm −

∂Am

∂t+

1µrotA, (6.13)

kde F a A jsou elektricke potencialy a Fm a Am jsou magneticke potencialy. SplnujıLorenzovy podmınky. Resenı pro elektricke potencialy:

F(r) =1ε

∫∫∫Vρ(r′)G(r− r′)dV ′, (6.14)

67


Obrazek 6.2: K odvozenı vyzarovacıho diagramu

A(r) = µ

∫∫∫V

J(r′)G(r− r′)dV ′ (6.15)

a magneticke potencialy:

Fm(r) =1µ

∫∫∫Vρm(r′)G(r− r′)dV ′, (6.16)

Am(r) = ε

∫∫∫V

M(r′)G(r− r′)dV ′. (6.17)

Funkci G(r1 − r2) rozepıseme:

G(r− r′) =e−jk|r−r′|

4π|r− r′|, (6.18)

vektory r a r′ ukazuje obr. 6.2. Resıme-li ulohu ve vzdalene oblasti, je r r′ a r′

proto zanedbavame. Navıc R ‖ r. Pro R tedy platı:

R =r − r′cosψ pro fazir pro amplitudu

(6.19)

Maximalnı fazova chyba teto aproximace je π8 , za predpokladu, ze pozorovacı

vzdalenost r je alespon:

r ≥ 2D2

λ(6.20)

kde D je nejvetsı rozmer anteny.

68


Dale si budeme vsımat pouze relevantnıch vztahu (6.15) a (6.17) (podle [29]).Ty lze prepsat nasledovne:

A ∼=µe−jkr

4πrN (6.21)

F ∼=εe−jkr

4πrL, (6.22)

kde (odsud dale predpokladame plochy patch v rovine x-y, slozku z vypoustıme)

N =∫∫

x,yJ(x, y)ejkr

′ cosψdxdy (6.23)

aL =

∫∫x,y

M(x, y)ejkr′ cosψdxdy. (6.24)

Ve vztazıch vyse jsou vytknute integraly, ktere jsou podstatne pro tuto praci atake upraveny pruvodic, ktery ulohu zjednodusuje. Nynı vynechame nekolik prepisu,ktere nejsou prılis dulezite (ctenar je muze nalezt na str. 287 v [29]) a uvedeme rovnouvztahy pro vyzarovanı v jednotlivych rezech:

Er ∼= 0 (6.25)

Eθ ∼= −jke−jkr

4πr

(Lφ + ηNθ

)(6.26)

Eφ ∼=jke−jkr

4πr

(Lθ − ηNφ

)(6.27)

Integraly resıme numericky, jde tedy o soucet dvou sum. Podle transformace (6.40)muzeme jednotlive slozky v integralech roznasobit:

Nθ =∫ xmax

xmin

∫ ymax

ymin

(Jx cos θ cosφ+ Jy cos θ sinφ)ejkr′ cosψdxdy (6.28)

Nφ =∫ xmax

xmin

∫ ymax

ymin

(−Jx sinφ+ Jy cosφ)ejβr′ cosψdxdy (6.29)

Analogicky:

Lθ =∫ xmax

xmin

∫ ymax

ymin

(Mx cos θ cosφ+My cos θ sinφ)ejkr′ cosψdxdy (6.30)

Lφ =∫ xmax

xmin

∫ ymax

ymin

(−Mx sinφ+My cosφ)ejβr′ cosψdxdy (6.31)

Dale potrebujeme vyjadrit pruvodic r′ cosψ pomocı velicin, ktere zname. Vyuzijemevztahu 6-127a az 6-127c v [29] , nebot’ nami definovana soustava je podobna.

r′ cosψ = r′·ar = (axx′ + ayy′)·(ax sin θ cosφ+ ay sin θ sinφ) (6.32)

69


Pro pozici pozorovatele muzeme vyjadrit:

r′ cosψ = x′ sin θ cosφ+ y′ sin θ sinφ (6.33)

Z vyse uvedeneho lze vztahy shrnout:

Eθ =jkηe−jkr

4πr

∫∫(x,y)

(Kx cosφ+Ky sinφ) cos θ ejk(x′ sin θ cosφ+y′ sin θ sinφ)dxdy

(6.34)

Eφ =jkηe−jkr

4πr

∫∫(x,y)

(−Kx sinφ+Ky cosφ)ejk(x′ sin θ cosφ+y′ sin θ sinφ)dxdy (6.35)

K zastupuje zdroje: M podle nasledujıcı casti 6.3 nebo J podle casti 6.4. Zaveremuved’me pomocne vztahy potrebne k vycıslenı integralu:

η =√µ

ε= Z0, (6.36)

β =2πλ

= k, (6.37)

λ =c0

f=⇒ (6.38)

β = ω√µε, (6.39)

transformacnı matici z kartezske do sfericke souradne soustavy: TrTθTφ

=

sin(θ)cos(φ) sin(θ)sin(φ) cos(θ)cos(θ)cos(φ) cos(θ)sin(φ) −sin(θ)−sin(φ) cos(φ) 0

· Tx

TyTz

(6.40)

a pro uplnost i opacne (matice je symetricka podel hlavnı diagonaly): TxTyTz

=

sin(θ)cos(φ) cos(θ)cos(φ) −sin(φ)sin(θ)sin(φ) cos(θ)sin(φ) cos(φ)

cos(θ) −sin(θ) 0

· Tr

TθTφ

(6.41)

70

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.3. Magneticke proudy

6.3 Magneticke proudy

Obrazek 6.3: Pole Ez na hranici (vlevo) a nad celym patchem (vpravo)

Na zaklade principu ekvivalence lze odvodit vztahy pro vyzarovanı uzke sterbiny– apertury. Jako zdroj zarenı chapeme hrany patche, resp. naboj, ktery se hromadına techto hranach dıky pritekajıcımu proudu z plochy anteny. Tyto proudy znacımeM a nazyvame je magneticke proudy4. Pole Ez vybudı (indukuje) v techto mıstechproudy se slozkami x a y:

M(x, y) = zEz × nout (6.42)

Zıskanı jednotlivych skalarnıch slozek Ez zajist’uje EvalRadPattern skrze Com-sol. Vysledek vidıme na obr. 6.3 vlevo.

Obrazek 6.4: Stanovenı normaly na fraktalnı hranici4V tomto prıpade je nazev pouze konvencı. Viz [30], [31], [32].

71


Do vetsıch potızı se dostavame, mame-li stanovit vnejsı normalu nout v jed-notlivych bodech Ez. Situaci objasnuje obr. 6.4, kde vlevo vidıme rozlozenı pole aprıslusne normaly a vpravo nekolik normal na hranach slozitejsıho fraktalu. Problemje dvojı – zaprve urcit vektor normaly z dostupnych udaju v Comsolu, zadruhe urcitsmer normaly (a to i v mıstech uprostred kolaze). Autor DP se pokousel tyto udajeimportovat z Comsolu do Matlabu, avsak neuspel. Pozadujeme totiz import dat, kekterym je prıstup mimo graficke rozhranı Comsolu obtızny, nebot’ se jedna o dataupravena naslednym postprocessingem5.

6.3.1 Rekonstrukce patche, zıskanı dat pro normalu

Na prıkladu obdelnıkoveho patche (zadan ctvericı body) ukazme vyuzitelna data:

1. Geometrie:

• geom2get(fem.geom,’p’) nebo geom2get(fem.geom,’mp’). Jde o rohovebody obdelnıku na obr. 6.5, tj. o body, ktere zadal uzivatel.

body =[−0.6 −0.6 −0.2 −0.2

0 0.2 0 0.2

](6.43)

• geom2get(fem.geom,’rb’), struktura obsahuje dve pole. Prvnı obsahujecısla krivek (subdomains, cıslice ©1 -©4 nalevo), druhe jejich smer (sipkydomains direction).

2. Mesh (import z: ptd = posteval(fem,’Ez’,’solnum’,1,’U’,fem.sol,’Edim’,1,. . . ’Re-fine’,1):

• ptd.p popisuje spojenı vsech nodu (vc. tech, co vzniknout pri diskretizacipatche – na obr. 6.5 znaceny zelenymi body). Svisle oddelovacı cary ma-tice neobsahuje, pro prehlednost je ovsem doplnujeme.

nody =[−0.6 −0.6 −0.6 | −0.6 −0.5 −0.4 . . .

0 0.1 0.2 | 0 0 0 . . .

. . . −0.4 −0.3 −0.2 | −0.6 −0.5 −0.4 . . .

. . . 0 0 0 | 0.2 0.2 0.2 . . .

. . . −0.4 −0.3 −0.2 | −0.2 −0.2 −0.2

. . . 0.2 0.2 0.2 | 0 0.1 0.2

](6.44)

• ptd.t ukazuje na smery mezi jednotlivymi nody (opet po skupinach,cervene sipky na pravem obdelnıku).

spoj =[

1 2 | 4 5 | 7 8 | . . .2 3 | 5 6 | 8 9 | . . .

5Comsol disponuje dvojicı funkcı, ktere tento neduh resı: postinterp a posteval. Prace s nimiprobıha skrze prompt Matlabu a nastavenı slozitejsıch prıkazu je zdlouhave a komplikovane. Navıczjistenı normaly touto funkcı trva velice dlouho.

72


. . . 10 11 | 13 14 | 16 17

. . . 11 12 | 14 15 | 17 18

](6.45)

• ptd.d je matice o velikosti (1, pocet nodu), obsahuje resenı pole Ez vnodech ptd.p.

res =[

1.336 1.325 1.340 1.336 0.936 −0.011 . . .

. . . −0.011 −0.936 −1.339 1.340 0.937 0 . . .

. . . 0 −0.935 −1.337 −1.339 −1.324 −1.337]

(6.46)

3. Promenna fem programu Comsol:

• fem.mesh.p representuje vsechny nody mesh sıte

sit =[−0.6 −0.4 −0.5 −0.6 −0.4 −0.2 −0.3 −0.2

0 0 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0

](6.47)

• fem.mesh.v ukazuje na ta mısta matice fem.mesh.p, na kterych figu-rujı body zadane uzivatelem. Prave pomocı teto matice lze zıskat prvnıpredstavu o tvaru fraktalu. Druha radka teto matice obsahuje zpravidlahodnoty NaN.

umist =[

1 4 6 8]

(6.48)

Obrazek 6.5: K normale v Comsolu

6.3.2 Smer normaly

Podarı-li se nam sestavit patch, coz je s ohledem na uvedena data obtızny ukol6,narazıme stale na problem s normalou. Podle vztahu (6.42) mame smer Ez vyjadren

6Vyse uvedeny prıklad zobrazuje pouze obdelnıkovy utvar se ctyrmi body, v praxi vsak zadavamefraktal pomocı mnoha polygonu s typicky 4 a vıce hranami. Po sjednocenı na jeden patch se datanikterak neradı. V Comsolu toto provadı jadro volane pomocı Javy, nelze se tedy podıvat jak jeukol resen tam.

73


jednoznacne – vzdy pouze ve smeru +z nebo -z. Normala nout je zavisla na orientacihrany (spojuje body 1 a 2 na obr. 6.6) a lze si tedy predstavit dve moznosti (cervenesipky). Stanovit spravny smer normaly pouze s ohledem na geometrii samotnehopatche se doposud nepodarilo7. Krok opacnym smerem, tedy zıskanı vıce informacıo geometrii, je take nemozny (ukazano vyse).

6.3.3 Vyuzitı hodnot NaN z Comsol gridu

Jeden z alternativnıch postupu vyuzıva matici hodnot, kterou zıskame, dotazeme-lise Comsolu na hodnoty pole nad patchem. Tento navrh je inspirovan nekterymifunkcemi Matlabu, presneji temi, ktere pracujı s NaN hodnotou.

Funkce postinterp dokaze velice rychle vratit8 velikost elektrickeho pole nadpatchem. Zobrazeno na obr. 6.3 vpravo. Vidıme, ze vracı hodnoty v gridu. V mıstech,kde nenı hodnota znama (tj. mimo plochu patche) vracı Comsol hodnoty NaN. Projednoduchy patch muzeme dostat naprıklad takovouto matici:

5 3.5 NaN NaN NaN −55 3.5 NaN NaN NaN −55 3.5 1.5 NaN NaN −55 3.5 1.5 −1.5 −3.5 −5

(6.49)

Za normalnıch podmınek NaN pouze indikuje – ve shode s definicı IEEE-745jako Not a Number – absenci resenı v teto oblasti. Z naseho pohledu jde v podstateo redundantnı data, pro ktera vsak lze nalezt uplatnenı9. Vrat’me se nynı k obr. 6.6s dvemi moznymi normalami. Jedna mırı prımo do patche a druha ven. Mırı-li ven,smeruje konec normaly k hodnote NaN, prıp. – s uvazenım pr. 6.49 a faktu, zeComsol bere grid pouze tesne kolem anteny – mimo matici gridu. Tato idea bylarozpracovana kratce pred dokoncenım diplomove prace, proto nenı testovana. Jejıimplementace by vsak nemusela byt prılis slozita a prace s maticemi NaN hodnotje v Matlabu velmi rychla. Tento postup lze vyuzıt i pro rekonstrukci tvaru patche,popisovane v casti 6.3.1.

Po zıskanı techto proudu bychom jiz pouze integrovali podel hranice patche C :

M =∫C

M(c)ejkr′cosψdc, (6.50)

vysledek prevedli do sferickych souradnic (transformacnı matice (6.40)) a normovali.Integral (6.50) uvadıme s ohledem na odvozenı v casti 6.2 (vzorec (6.24)). Otazkouvsak zustava, zda do krivky C zapocıtavame i vnitrnı hranice patche (6 der naobr. 6.7). Tyto hrany take vyzarujı, nevıme vsak, jak moc se podılı na vyslednemtvaru diagramu.

7Tato cast byla konzultovana nezavisle s nekolika vyucujıcımi na katedre matematiky – bezvysledku.

8Platı do poctu cca. 10000 elementu.9Napr. je zajımave sledovat procentuelnı obsah NaNu v IFS fraktalech. Tuto hodnotu vracı

EvalRadPattern. Zpravidla jde o 20-45%, tj. IFS fraktal zabıra obvykle 55-80% plochy. Prıklad 6.49obsahuje 33.3% NaN hodnot. Tak muzeme odhadnout i obsah patche. Zjemnovanım gridu navıczıskame rychlou a velice jednoduchou metodu odhadu mrızkove dimenze.

74

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.4. Povrchove elektricke proudy

Obrazek 6.6: Stanovenı normaly pomocı NaN

6.4 Povrchove elektricke proudy

Obrazek 6.7: Povrchove proudy pro 3000 elementu, napravo rozlozenı Ez

Druha moznost, jak nalezt zdroje, je jistym zpusobem komplementarnı kmoznosti uvedene vyse. V tomto prıpade tecou proudy pres celou plochu patche,coz znesnadnuje vypocet VD, nebot’ jsme nuceni integrovat postupne pres vsechnyzname zdroje (tedy body plochy), a to pro vsechny zvolene body10 na kouli vevzdalene oblasti. Dalsım zneprıjemnenım je prıtomnost zemnı roviny (obr. 6.9). Tapusobı jako zrcadlo, tecou po nı tedy take proudy a musıme je zahrnout do vypoctu,coz lze provest nasobenım faktorem:

GF = 2sin(khcos(θ)). (6.51)10Tyto body jsou stanoveny na zaklade kroku pro uhly θ a φ; krok zadava uzivatel, pri uvazenı

kompromisu mezi rychlostı a presnostı.

75

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.5. Simulace v CST

Obrazek 6.8: Povrchove proudy, 4.mod, vıce elementu

Faktor GF je v podstate roven tzv. array factoru AF (AF = 2cos(khcos(θ))).Zatımco GF odpovıda konfiguraci dvou protifazovych dipolu, faktor AF pocıta sesoufazove umıstenymi dipoly (zpravidla dipoly vedle sebe).

Proud se indukuje vlivem elektrickeho pole Ez, coz lze postihnout nasledovne:

H =1jωµ

Z0 × gradEz, (6.52)

J = n×H. (6.53)

Co do velikosti je proud J ≈ gradEz a s prihlednutım k vektorovym soucinumhledame proudy v Matlabu nasledovne:

J(x, y) = −gradEz (6.54)

Korelace rozlozenı elektrickeho pole a tekoucıch proudu zobrazuje obr. 6.7. Pocetslozek Ez lze v EvalRadPattern ovlivnovat, vysledne proudy vypoctene z jemnejsıhogridu jsou na obr. 6.8.

76

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.5. Simulace v CST

Obrazek 6.9: Zahrnutı nekonecne zemnı roviny

Obrazek 6.10: Vyzarovanı dipolu, delka λ2 , 3D diagram z CST MWS

6.5 Simulace v CST

Pro porovnanı s vysledky v Matlabu byla provedena simulace v programu CSTMicrowave Studio. Zatımco v Matlabu pocıtame VD obdelnıhoveho patche, v CSTbyl simulovan dratovy dipol (elektricka delka zvolena podle pozadovaneho modu λ

2 a32λ). Predpokladame ale, ze velice tenky dlouhy patch bez zemnı roviny vyzaruje vedvou rovinach podobne jako dipol. Obrazky 6.11 a 6.10 odpovıdajı napajenı jednouproudovou pulvlnou, obr. 6.12 a 6.13 pak napajenı na trojnasobne frekvenci.

Pul vlny dlouhy dipol ma HPBW 78° a smerovost 2.15dB. Zde vysly ponekudodlisne hodnoty (zejm. HPBW o nekolik stupnu), to vsak nenı podstatne, jde nampredevsım o tvar VD.

Dalsı moznostı je simulace uzkeho patche (stacı upravit preddefinovy model).Protoze vsak CST modeluje vyzarovacı diagram pouze pro θ ∈ (0, π) a φ ∈ (0, 2π),dosahneme stejnych vysledku jako v prıpade tenkeho dipolu.

77

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.6. Realizace – EvalRadPattern

Obrazek 6.11: Vyzarovanı dipolu, delka λ2 , rezy CST MWS

Obrazek 6.12: Vyzarovanı dipolu, delka 32λ, 3D diagram z CST MWS

6.6 Realizace – EvalRadPattern

6.6.1 Vypocet proudu

Nejprve je potreba stanovit mrızku, pro jejız uzly bude zjistena hodnota Ez. Jejıvelikost muze stanovit uzivatel, a to souhrne nebo zvlast’ pro smer x i y. Importrozlozenı elektrickeho pole z Comsolu zabıra v celem postupu nejvıce casu a je silnezavisly na jemnosti zadaneho gridu, srovnanı poskytujı obr. 6.7 vlevo a 6.8.

Zıskana matice Ez je radkova a proto ji pomocı funkce reshape prevedemena ctvercovou (obdelnıkovou podle typu gridu). Nynı stanovıme gradient, proudyulozıme a prıpadne vykreslıme. Cast tohoto postupu byla vyuzita i pro funkci Eval-InFem.

78

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.6. Realizace – EvalRadPattern

Obrazek 6.13: Vyzarovanı dipolu, delka 32λ, rezy CST MWS

6.6.2 Algoritmus

Vlastnı integraci realizujeme pomocı sumace pomocnych matic. K vypoctu prırustkupouzıvame jednoduchou obdelnıkovou metodu (obr. 6.14), ktera je v tomto prıpadedostacujıcı aproximacı, [24]. Postupnym zjednodusovanım algoritmu prechazıme zcyklu for na indexaci matic, cımz dramaticky zkracujeme dobu vypoctu.

Obrazek 6.14: K obdelnıkove metode

Naprogramovali jsme nekolik variant vypoctu. Postupne se podarilo zkratitvypocet na cca. 5% casu. Prevedenı odvozenych integralu (6.34) a (6.35) se ukazalojako nejvetsı problem a tato cast nenı dokoncena. Zvysene pozornosti je potrebadbat pri prevodu proudu a zpetnem prepoctu vypocteneho vyzarovacıho diagramu.K vysledkum vıce v casti 6.7.

6.6.3 GUI

Graficke rozhranı je zobrazeno na obr. 6.15. Okno postrada ovladacı prvky, pouze in-formuje o prubehu vypoctu a nastavenı. V kontextu optimalizace jsou ovladacı prvkynezadoucı. Jde o podobny solver jako EvalInFem s totoznym zpusobem pripojenı na

79

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.7. Rozbor vysledku

PSO. Pocet operacı (Ops vlevo nahore) ovlivnuje rychlost jednoho vypoctu. Iniciali-zace GUIe probıha automaticky a v prıpade PSO optimalizace je okno i automatickyuzavreno.

Obrazek 6.15: EvalRadPattern (screenshot)

6.6.4 Optimalizace

Optimalizace VD bude plne vyuzitelna az po dokoncenı funkce OptimRadPattern,ktera rıdı vsechny ukoly spojene s vypoctem VD a vahuje zıskane vysledky. Pak budemozne zvolit i vıce cılu s vahou kazdeho z nich. Budeme schopni take maximalizovatvyzarovanı v urcitem smeru, prıpadne omezit postrannı laloky. A to i pro vybranymod. Vıce k optimalizaci ve zbyvajıcıch kapitolach.

6.7 Rozbor vysledku

Obrazek 6.16: Slozky Fx a Fy v kartezskych souradnicıch

80

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 6.7. Rozbor vysledku

Podle zadanı jsme analyzovali uzky patch s rozmery x = 10cm, y = 0.5cm.Nasledujıcı obrazky (6.16 a 6.17) zobrazujı obdrzene vysledky. Pro lepsı orientaci vrezech je prilozeno schema 6.18. Pro modelovy prıklad zıskavame ocekavane tvaryVD. Adekvatnı normovanı v Matlabu je ve spojitosti s vyzarovanım ponekud de-likatnı problem, protoze jednotlive souctove slozky (vybuzene elementarnımi proud.zdroji) se svou velikosti pohybujı na hranici prıpustne presnosti (eps).

Obrazek 6.17: VD velice uzkeho patche

Pri vypoctech VD se vyskytly jiste nepresnosti (tvar nekterych fraktalnıch krivekse vubec nepromıtne do vysledneho resenı). Jejich zdroj se doposud nepodariloodhalit – muze jıt o implementaci vypoctu, prevod z kaztezskych do sferickychsouradnic (v nespravnou chvıli), prıpadne o nepresne uvazenı vychozıch vztahu.

Obrazek 6.18: Orientace diagramu, barvy korespondujı s obr. 6.17

Pres veskerou snahu se zatım nepodarilo tuto cast zcela dokoncit. Duvodemje zejmena casova narocnost (mnoho casu zabral efektivnı export zdrojovych datz Comsolu11), ale take paralelnı prace na dalsıch castech (viz dodatek 12.3). Poodstranenı techto drobnostı se vypocet VD stane uzitecnym pomocnıkem pri analyzei optimalizaci IFS patch anten.

11Puvodnı zamer byl vypocet z magnetickych proudu, avsak v ceste stojı zminovane potıze surcenım smeru normaly.

81

Kapitola 7

PSO optimalizace

”Zaprve: matematika je jazykem prırody. Zadruhe: vse kolem nas muzebyt reprezentovano a pochopeno cısly. Zatretı: pokud znazornıte cıslajakehokoliv systemu, objevıte vzory. Tudız, vzory jsou vsude v prırode.Dukaz?“

— prolog filmu Pi (Darren Aronofsky, 1998)

V mnoha vednıch oblastech je nezbytnou soucastı navrhu systemu jeho opti-malizace. Duvodem je prosty fakt, ze ne vse lze jednoduse spocıtat. Pro funkcif : S −→ Rn hledame bod xm ∈ S takovy, ze:

f(xm) ≤ f(x), ∀x ∈ S. (7.1)

Hledame-li maximum, invertujeme kriterium funkce. Predpokladame neprazdnoumnozinu S, funkci f nazyvame objektivnı funkcı (objective function), v souvislostis PSO casto tez jako fitness funkci (fitness function, dale jen f.f.).

Obecne muzeme optimalizacnı techniky rozdelit do dvou skupin: deterministickea pravdepodobnostnı. PSO (Particle Swarm Optimalization) patrı do druhe skupiny,nebot’ pozice jednotlivych clenu hejna je spoluurcena nahodne generovanymi cısly(vıce dale). Tak lze efektivne odolat konvergenci do lokalnıho minima funkce1.

7.1 PSO algoritmus

7.1.1 Historie

Optimalizace vychazı z rojove inteligence pozorovane napr. u vcelstev a napodobujejejich vzorce chovanı. V nekterych aspektech je PSO podobna ACO (Ant ColonyOptimization), v jinych muzeme nalezt paralelu s GA (Genetic Algorithm). Ve vsechprıpadech jde o samo se organizujıcı systemy vykazujıcı silne kolektivnı chovanı.

1Zatımco v prıpade deterministickych metod musıme vyuzıvat slozitych uprav trajektorie apenalizace.

82

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 7.1. PSO algoritmus

Zasadnı rozdıl vsak spocıva v prıstupu k clenu hejna (agentovi), nad kterym jsoudefinovany urcite operace a disponuje castı znalostı, ktere ma cely roj. Tento principje vysoce efektivnı a dosahuje skvelych vysledku. Jiste ne nadarmo muzeme stejnevzorce chovanı odhalit u hejna ptaku, roje vcel, ryb atp.

Vlastnı algoritmus izoloval roku 1995 Eberhart na zaklade simulacı ktere provedlJ. Kennedy, [45]. Od te doby vznikla cela rada studiı a vyzkumu, ktere PSOvyuzıvajı. Jejı vyznam doklada i fakt, ze byla zarazena jako optimalizacnı metodado nove verze CST MWS. Mezi velke vyhody patrı zejm. rychlost, jednoduchost,robustnost, odolnost vuci uvıznutı v lokalnım minimu, vyuzitelnost na velky souborproblemu a male rezijnı naroky na vypocet2. Nynı se venujme vlastnımu principuPSO.

7.1.2 Princip PSO

Idea vychazı z existence urciteho poctu agentu, kterı jsou rozmısteni nad optima-lizovanou funkcı. Plochu funkce, tedy na ktere jejı casti budeme minimum hledat,stanovı uzivatel. Tento prostor se nazyva solution space (dale jen s.s.). Situaci zobra-zuje obr. 7.1. Agenti se snazı nalezt minimum kdekoliv v s.s. (v prıpade obr. maxi-mum, totiz mısto s nejvıce kvety). V mnoho aplikacıch nema resenı mimo s.s. smysl(v nasem prıpade by mohla byt vedle definovane louky napr. reka, kde sledovathustoru kvetu nema smysl), proto se snazıme udrzet agenty v urcenem prostoru.Zpusoby jak toho dosahnout probereme pozdeji.

Obrazek 7.1: Princip PSO2U jinych metod je potreba navıc sledovat gradientnı informace vlastnı funkce. Zde si postacıme

s pozicı a rychlostı kazdeho agenta.

83

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 7.1. PSO algoritmus

Kazdy agent si pamatuje svuj dosavadnı nejlepsı objev (pbest, promenna pnidv rovnici (7.2)). Nejlepsı objev celeho hejna (gbest, pngd) je potom tım nejlepsım zevsech osobnıch objevu. Chovanı jednotlivych agentu popisujı nasledujıcı dva vztahy.Nejprve uved’me vypocet rychlosti agenta. Rychlost je stanovena v kazde iteracipro kazdeho agenta zvlast’ a ovlivnuje smer, jımz se pohybuje. Pocet slozek tohotovektoru je rovny dimenzi (index d) reseneho problemu.

υn+1id = wυnid + c1r

n1 (pnid − χnid) + c2r

n2 (pngd − χnid) (7.2)

V Matlabu je potreba vsadit tuto rovnici do for cyklu, cımz je zajisteno prochazenıceleho hejna (index i oznacuje agenty). Zabalenım do dalsıho for cyklu umoznımeiterovanı celeho problemu od n = 1 do n = N (paralela k jednotlivym generacım uGA). Dale je nutno objasnit vyznam zbylych promennych a konstant.

Koeficient w je casto nazyvan vahovacı faktor (weighted factor). Muze byt pocelou dobu optimalizace konstantnı, nebo se muze menit (potom je zadavana dvojiceparametru wmax a wmin). Klesajıcı koeficient zabranuje neprıjemnym oscilacım azaroven stimuluje hejno ke konvergenci nad nalezenym globalnım minimem. Parame-try c1 a c2 udavajı, nakolik bude vysledna rychlost odvozena od osobnıho minimadaneho agenta a nakolik od spolecneho globalnıho min. Jejich optimalnı velikostbude diskutovana v casti 7.2. Bez komentare zustaly jiz pouze hodnoty rn1 a rn2 .V obou prıpadech se jedna o nahodne generovana cısla3 s normalnım rozlozenımv rozsahu (0,1), pro tyto ucely je v Matlabu k dispozici funkce rand().

Vıme-li jiz, jakym smerem a jak rychle se pohybujı agenti, muzeme aktualizovatjejich pozici:

χn+1id = χnid + υn+1

id ∆t. (7.3)

Rovnice (7.3) odpovıda pohybove rovnicı. Nove umıstenı agenta tedy zıskavame jakosoucet koordinatu v minule iteraci pozmenene o pohyb v soucasne iteraci. Protoze ∆tmuze obecne nabyvat libovolnych hodnot, lze priradit ∆t = 1 (jednotkovy, diskretnıcas).

7.1.3 Omezenı agentu

Vztahy uvedene vyse zadnym zpusobem neomezujı pohyb agentu, mohou tedyopustit s.s. Z toho duvodu bylo navrzeno nekolik technik, ktere zajistı, aby se agentinerozbehli daleko za hranice s.s. Mezi nejcitovanejsı a nejuzıvanejsı patrı nasledujıcı,[43]:

• Omezenı maximalnı rychlosti agenta (υn+1id )

• Ohranicujıcı zdi:

1. Absorbcnı zed’ (Absorbing Wall, obr. 7.2 a)

2. Odrazna zed’ (Reflecting Wall, obr. 7.2 b)3Prave zde je ukryta sıla PSO, nebot’ do algoritmu zanası jisty stupen nejistoty.

84

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 7.2. Optimalnı parametry PSO

3. Neviditelna zed’ (Invisible Wall, obr. 7.2 c)

Prvnı uvedena moznost, tedy omezenı rychlosti agentu, byla vyuzita napr. v [48].Rychlost je omezena i uvnitr s.s., coz nenı vhodne. Lepsım resenım je pouzitı jedneze zdı. Ty popisujı zpusob, jakym je nalozeno s agentem, pokud prekrocı povolenehranice. Neovlivnujı prubeh optimalizace uvnitr s.s. a navıc, pokud jiz agent opustilprohledavany prostor, ho efektivne nasmerujı zpet.

Obrazek 7.2: Typy zdı pouzıvane v PSO

V prıpade absorbcnı zdi je s.s. lemovan pomyslnym mantinelem. Ta slozkarychlosti, ktera vede ven ze s.s. je nulovana, agent se tedy pohybuje pouzepodel ohranicenı. Odrazna zed’ uprostred obrazku 7.2 tez obsahuje stenu. Namıstovynulovanı je vsak slozce rychlosti v nezadnoucım smeru obracena orientace(znamenko) a agent se tedy od steny odrazı. Tyto dve zdi vyuzıvajı stejneho prin-cipu, a to upravy rychlosti4.

Uzitım odrazne zdi umoznıme agentum vyletet ze s.s., ovsem po jeho opustenınenı vyhodnocovana f.f. To zaprıcını pozvolny navrat5 agentu zpet do s.s. Velkouprednostı je vyrazna uspora vypocetnıho casu, ponevadz jsou vyhodnocovanapouze ta schemata, o ktera se skutecne zajımame. I z tohoto duvodu se jedna opravdepodobne nejlepsı resenı pro vetsinu inzenyrskych problemu.

Na zaver zrekapitujme dulezite parametry PSO optimalizace v tabulce 7.1.3.

7.2 Optimalnı parametry PSO

Vysledek, stejne tak jako rychlost, s jakou je resenı nalezeno, lze vyznamnymzpusobem ovlivnit vhodnou volbou parametru z tabulky 7.1. Konkretne se budemezabyvat poctem iteracı a velikostı hejna, a take koeficienty c1 a c2. Prubeh jed-notlivych optimalizacı je v podstate nahodny a jakekoliv udaje musıme zıskat jakoprumer velkeho poctu opakovanı (zpravidla 50). Cela procedura se tak stava casovenarocnejsı. Proto dale pracujeme pouze s analytickymi funkcemi.

4Korektnı je termın prırustkovy vektor, ovsem zavedenım jednotkoveho casu tento vektor splyvas aktualnı rychlostı.

5Animace zachycujıcı chovanı hejna s touto zdı je na prilozenem nosici.

85


Parametrc1 poznavacı parametr (cognitive rate)c2 socialnı parametr (social rate)wmin vahovacı koeficient (na konci optimalizace)wmax vahovacı koeficient (na zacatku optimalizace)∆t casova konstanta (nejcasteji volena jednotkova, tj. ∆t = 1)iterace pocet iteracı (vliv velikosti iteracı viz nıze)pocet agentu pocet agentu nad s.s. (viz nıze)pni (soucasne) individialnı nalezene minimum agenta (fmin(xi))png (soucasne) globalnı nalezene minimum agenta fmin(xi)

Tabulka 7.1: Shrnutı parametru

Nejprve uved’me graficke prubehy. Jejich ukolem nenı zobrazit nalezenou hod-notu, sledujeme zde prubeh funkcnıch hodnot v case. Tento typ grafu je v an-glicke literature oznacovan jako cost funkce (cost function, dale c.f.) a dava dobroupredstavu o prubehu optimalizace. Zajımave jsou zejmena ruzove a fialova krivka.Na nich vidıme, ze v prıpade zcela nevhodne nastavenych parametru nekonvergujehejno dostatecne.

Nasledujıcı tabulky demonstrujı zasadnı vliv parametru c1 a c2 na konecnyvysledek optimalizace. Uspesnost algoritmu testujeme podmınkou, zda je nalezenahodnota mensı nez −176.1375 (Levy5, hodnota blızka znamemu globalnımu mini-mu6, viz [46]).

Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spusteno, 20 agentuiterace uspesnost [%] chyb celkovy cas [s] evalFun

c1 = 2.0, c2 = 2.0, wmin = 0.4, wmax = 0.950 5% 48/50 187 1000100 78% 11/50 378 2000150 92% 4/50 571 3000300 100% 0/50 1258 6000500 100% 0/50 2308 10000

c1 = 0.5, c2 = 0.6, wmin = 0.4, wmax = 0.9100 80% 10/50 387 2000

c1 = 1.0, c2 = 1.0, wmin = 0.4, wmax = 0.9100 92% 4/50 387 2000

PC: HP Compaq nx6125 (Turion64 1.86GHz, 768MB 333MHz)

Tabulka 7.2: Success rate funkce Levy5 (se zmenou iterace), 20 agentu

6Vıce o funkci Levy5 uvedeme v kap. 8., kde bude popsan i PSOptimizer, v nemz byly obdrzenytyto vysledky.

86


Obrazek 7.3: Optimalizace funkce Levy5 pro ruzna c1 a c2 (20 agentu, 150 iteracı)

Z aplikacnıho hlediska jsou zajımave dva udaje. Prvnı je ten, kdy je uspesnostpoprve rovna 100%, tedy chvıle, kdy optimalizace vzdy najde spravny vysledek.Tento moment lze urcit pouze pro jiz zmapovane funkce. Druhy zajımavy vysledekje ten s nejvyssı ucinnostı v nejkratsım moznem case7. Vidıme tedy, ze uspesnostfunkce lze vyznamnym zpusobem zvysit upravou parametru (c1, c2, ale i dalsımi,kterymi se zde nebudeme zabyvat), coz popisujı nektere studie8. Na zaklade vysledkutestovanı pracujeme s hodnotami c1 = c2 = 2, prıp. c1 = 0.5, c2 = 2.

Bohuzel optimalizovane funkce majı ruzny charakter, a proto jsou tyto parame-7V prıme umere odpovıda prıpadu s nejmensım celkovym poctem vyhodnocenı fitness funkce (v

tabulce evalFun).8Z pocatku, v roce 1998 Kennedy doporucoval hodnoty c1 = 2 a c2 = 2, ovsem mnohdy se

lepsıch vysledku dosahovalo s c1 = 0.5. V soucasne dobe se obecne respektuje podmınka c1 + c2 ≤ 4(Carlisle a Dozier, 2001). Vıce napr. [46].

87


Obrazek 7.4: Optimalizace funkce Levy5 pro ruzna c1 a c2 (20 agentu, 150 iteracı)

Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spusteno, 45 agentuiterace uspesnost [%] chyb celkovy cas [s] evalFun

c1 = 2.0, c2 = 2.0, wmin = 0.4, wmax = 0.950 16% 42/50 370 2250100 98% 1/50 711 4500150 98% 1/50 1083 6750300 100% 0/50 2328 13500500 100% 0/50 > 4000 22500

c1 = 0.5, c2 = 0.6, wmin = 0.4, wmax = 0.950 72% 14/50 362 2250

c1 = 1.0, c2 = 1.0, wmin = 0.4, wmax = 0.950 90% 5/50 363 2250

PC: HP Compaq nx6125 (Turion64 1.86GHz, 768MB 333MHz)

Tabulka 7.3: Success rate funkce Levy5 (se zmenou iterace), 45 agentu

try voleny zpravidla na zaklade doporucenı v referencnı literature. Pro uplnostuved’me i ucinnost optimalizace pri zmene poctu agentu (tabulky 7.2, 7.3 a 7.4).

Pocet agentu je zpravidla pevne stanoven (nejcasteji 20-25 jedincu). Zvysit jejichpocet je doporuceno u problemu, ktere jsou definovany na velmi rozlehlem s.s., anebo(zejmena) pokud prohledavany prostor obsahuje mnoho lokalnıch minim. Mno-hem casteji je v prıpade problemu navysen pocet iteracı, prıpadne jsou pozmenenyparametry c1 a c2.

88


Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spusteno, 150 iteracıagentu uspesnost [%] chyb celkovy cas [s] evalFun

c1 = 2.0, c2 = 2.0, wmin = 0.4, wmax = 0.95 44% 28/50 84 75010 64% 18/50 121 150020 92% 4/50 198 300030 100% 0/50 276 450045 100% 0/50 370 6750

PC: 64bit Core2Quad 9450 (2.66GHz),12MB cache, 4GB 1333MHz

Tabulka 7.4: Success rate funkce Levy5 (podle poctu agentu), 150 agentu

Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spusteno, 50 iteracıagentu uspesnost [%] chyb celkovy cas [s] evalFun

c1 = 2.0, c2 = 2.0, wmin = 0.4, wmax = 0.95 0% 50/50 32 25010 0% 50/50 42 50020 2% 49/50 65 100030 6% 47/50 88 150045 12% 44/50 118 2250

c1 = 0.5, c2 = 0.6, wmin = 0.4, wmax = 0.945 76% 12/50 160 2250

c1 = 1.0, c2 = 1.0, wmin = 0.4, wmax = 0.945 92% 4/50 154 2250

c1 = 1.5, c2 = 1.5, wmin = 0.4, wmax = 0.945 90% 5/50 165 2250

PC: 64bit Core2Quad 9450 (2.66GHz),12MB cache, 4GB 1333MHz

Tabulka 7.5: Success rate funkce Levy5 (podle poctu agentu), 50 iteracı

V omezenem rozsahu lze pracovat i s hodnotami wmin a wmax. Pokud chcemevyuzıt maximalnıho rozletu hejna az do konce optimalizace, ponechame obe hodnotystejne vysoke. Zpravidla vsak pozadujeme, aby po hrubem nalezenı resenı roj hledalkolem tohoto mısta dukladneji. K tomuto ucelu je vhodne nastavenı hodnot wmin =0.4 (nejmene vsak 0.1) a wmax = 0.9 (nejvyse 1.2). Tak efektivne omezıme i casteoscilace agentu.

Pro hlubsı porozumnenı mechanismum PSO je vhodne zavest takove indikatory,ktere by byly meritelne u vsech optimalizovanych funkcı. Tento pozadavek splnujerozptyl, zavedeny nasledovne:

σ =

∑agi=1(‖png‖ − ‖pni ‖)

ag, (7.4)

89


Obrazek 7.5: Pocet agentu mimo s.s. pro Levy5 a Rosenbrockovu funkci (20 agentu,150 iteracı)

kde ag je celkovy pocet agentu. Tak lze pro stejne velke s.s. vzajemne porovnavat asledovat rozlet hejna nezavisle na zkoumane funkci. Zajımava hodnota v kazde ite-raci je i pocet agentu mimo s.s. Pomocı nı muzeme odhadnout jak resenı konvergujea tım i efektivitu hejna.

Obrazek 7.6: Rozptyl agentu, Levy5 a Rosenbrockova funkce (20 agentu, 150 iteracı)

Na zaver kratce okomentujme obrazky 7.5 a 7.6. Grafy jsme zıskali na zakladehodnot exportovanych z PSOPost, postprocessingoveho nastroje, ktery predstavımev nasledujıcı kapitole. Ten umoznuje vykreslit hladiny funkce s nalezenym globalnımminimem a v animaci pohyb jednotlivych agentu. Rovnez muzeme sledovat hodnotyrozptylu a pocet agentu mimo s.s. Na prvnı pohled je patrne, ze – ac pro zcelarozdılne funkce – jsou si prubehy dosti podobne a napovıdajı, jakym zpusobem sepohybuje hejno behem optimalizace. Muze byt predmetem dalsıho vyzkumu, zda lzeteto zavislosti vyuzıt k zefektivnenı PSO. Tuto domnenku jsme publikovali v [38],dosud vsak nebyl prostor jı hloubeji prozkoumat.

90

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 7.3. Stretched PSO

7.3 Stretched PSO

Klasicke pojetı PSO je dostatecne efektivnı, presto existujı funkce (Corana4D, XOR, Freudenstein-Rothova a dalsı), kde selhava. K. E. Parsopoulos aM. N. Vrahatis v [47] navrhli postup, ktery dosahuje i pro problematicke funkcestoprocentnı ucinnosti.

Nejvetsım problemem zmınenych funkcı je existence mnoha lokalnıch minim. Tystojı v ceste agentum pri hledanı globalnıho minima9. Pro dalsı ucely si muzemelokalnı minimum popsat jako nejmensı hodnotu funkce f v okolı B bodu x:

f(x) ≤ f(x), ∀x ∈ B. (7.5)

A prave vsechny body x krom globalnıho minima si prejeme eliminovat. Ukazujese, ze stretching technika je vhodnym nastrojem na potlacenı techto (vedlejsıch)minim. V podstate jde o transformaci predpisu f(x), ktera je provedena ve dvoukrocıch. Ihned po objevenı lokalnıho minima podle (7.5) prevedeme funkci podlevztahu:

G(x) = f(x) + γ1‖x− x‖(

sign(f(x)− f(x)

)+ 1)

(7.6)

a

H(x) = G(x) + γ2sign

(f(x)− f(x)

)+ 1

tanh(µ(G(x)−G(x)

)) , (7.7)

kde γ1, γ2 a µ jsou libovolne zvolene vysoke konstantnı hodnoty a sign(x) splnujepodmınku:

sign(x) =

1 pro x > 00 pro x = 0−1 pro x < 0

(7.8)

Funkci (7.8) muzeme numericky modelovat pomocı vztahu10:

Obrazek 7.7: Funkce Levy5: bez transformace, s G(x) a po H(x), zdroj: [47]9Pochopitelne lze situaci resit zvysenım poctu agentu a iteracı, ale tento postup nenı prılis

efektivnı, resp. jeho efektivita strme klesa s rostoucı slozitostı funkce.

91

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 7.4. GSO algoritmus

sign(x) ≈ log sig(x) =2

1 + exp−λx∼= tanh

(λx2

), (7.9)

prıpadne muzeme volat funkci sign v Matlabu.Testy SPSO pro funkci Levy5 dopadly podle [46] o 10-20% lepe. Jak vidıme na

obr. 7.7 uprostred (po transformaci G(x), podle (7.6)) a vpravo (po transformaciG(x) i H(x), podle (7.7)), lokalnı minima jsou roztazena a rozmazana, zatımcoglobalnı minimum zustalo nedotceno. V takto upravene ”krajine“ se mohou agentipohybovat mnohem snadneji.

Princip SPSO pouze nastinujeme pro eventuelnı budoucı vyuzitı. V soucasnepodobe PSOptimizeru nenı stretched PSO vyuzıvano – vsechny dosavadnı ukolyspojene s optimalizacı patch anten se ukazaly dostatecne resitelne i pomocı kla-sickeho PSO v kombinaci s neviditelnou zdı.

7.4 GSO algoritmus

V roce 2006 byla publikovana prace [50], zabyvajıcı se moznostı spojit GA a PSO.Tato metoda je oznacovana jako GSO (Genetical Swarm Optimization).

Obrazek 7.8: Princip GSO optimalizace, na zaklade [50]

Motivacı bylo mj. zjistenı, ze v prıpade mimoradne slozitych funkcı (10, 20 i vıcerozmeru s.s.) klesa ucinnost PSO i GA k nule. Jejich spojenı do GSO vsak poskytujepotrebnou flexibilitu a rapidne zvysuje uspesnost nalezenı globalnıho minima. Vkazde iteraci jsou agenti nove vybırani a upraveni pomocı PSO nebo GA. GSO jevhodne mıt do budoucna na pameti, nebot’ s pozadavkem na soucasnou optimalizacirezonancnı frekvence a vyzarovacıho diagramu jsme nuceni na jedne strane zvetsovatrozlohu s.s., na druhe strane se vzrustajıcım poctem podmınek i pocet rozmeru s.s.V dusledku se tak optimalizace stava o rad obtıznejsı.

Realizace GSO je nenarocne dıky tomu, ze pouze slucuje dva jiz zname postupy,viz obr. 7.8. Jako nejvetsı obtız se jevı vytvorenı vlastnıho GA optimalizatoru, kterykomunikuje s PSO a zvolenı vhodneho formatu, s kterym GA i PSO dokazı pracovat.

10Rovnice (7.9) je siroce vyuzıvana i v oblasti umelych neuronovych sıtı.

92

Kapitola 8

PSOptimizer

Princip PSO byl vysvetlen v predchazejıcı kapitole, zde se zamerıme na vyvoj op-timalizatoru. Mezi praktickymi pozadavky byla na pocatku prioritne rychlost al-goritmu, jeho univerzalnost, moznost menit jednotlive parametry (iterace, pocetagentu atd.), dale schopnost rekurzivnıho volanı1, resitelnost problemu libovolnedimenze a v neposlednı rade stabilita (zdaleka ne vsechny scenare jsou resitelne –muze jıt napr. o fyzikalnı omezenı v souvislosti s optimalizacı anteny). Vyzadujememoznost shrnout vıce prvku do jedne podmınky a tım je ”sprahnout”, aby byly op-timalizovany nejednou (napr. vsechna 4 ramena fraktalu majı mıt stejnou vysledkouhodnotu).

Toto se podarilo zavedenım PsoData struktury a specialnı upravou PSO algo-ritmu. Optimalizator tak umoznuje pracovat zcela univerzalne. Dokonceny PSOp-timizer respektuje vsechny vyse uvedene pozadavky. Nynı se venujme jeho popisu,testovanı a ukazce zadavanı jednotlivych uloh.

8.1 Implementace

Aplikace je stejneho typu jako ostatnı solvery (EvalInFem, EvalRadPattern). Ob-sahuje pouze minimum ovladacıch prvku.

Pro jednotlive casti jsme uzili lokalnıch funkcı, fitness funkce je resena separatne(definuje ji uzivatel pro konkretnı problem). V inicializacnı casti je overeno, jsou-li hodnoty spravne zadany, je stanovena pocatecnı generace agentu a vykreslenograficke rozhranı. Nenı-li zadan pocet iteracı a agentu, jsou dosazeny hodnoty 50resp 25. Cely algoritmus prehledne shrnuje tab. 8.1.

Pocet optimalizacnıch podmınek2 udava rozmer s.s., ale i dimenzi jednotlivychagentu. PsoData struktura muze obsahovat i data, ktera se neoptimalizujı (to jeprıklad i FRC kolaze), je proto nutne data preskupit. To je ukol funkce callFF vtabulce 8.1.

1Navratova hodnota funkce musı obsahovat nejen optimalizovane udaje, ale i informace o nas-tavenı PSO, jednotlivych generacıch, konvergenci ke globalnımu minimu atd.

2Sprazene podmınky se pocıtajı jako jedna, nebot’ se jejich hodnota menı spolecne.

93

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 8.2. PsoData format

Obrazek 8.1: GUI PSOptimizeru

GUI programu je navrzen tak, aby byl jednoduchy3, ale zaroven podrobne in-formoval o stavajıcım stavu optimalizace. Text v levem ramu zobrazuje nastavenevychozı parametry, v prave casti potom aktualnı prubeh. Stupnice na ose y grafuzobrazujıcıho cost funkci je v (zde nazornejsım) logaritmickem merıtku. TlacıtkoExit ukoncuje optimalizaci, nejdrıve vsak po dokoncenı dane iterace. I v tomtoprıpade se vracı vysledky, kterych bylo dosazeno4.

Zakladnı tvar volanı funkce je:

res = PSOptimizer(PsoData,’fitnessFunction’,ag,it),

kde ag je pocet agentu, it pocet iteracı a retezec fitnessFunction obsahuje jmenomfile souboru s fitness funkcı. Promenna PsoData popisuje co a jakym zpusobem sema optimalizovat.

8.2 PsoData format

Obsahuje nasledujıcı pole:

PsoData.data1 = [ ]PsoData.data2 = [ ]PsoData.data3 = [ ]PsoData.type = ’psopt’PsoData.rankPsoData.bound = [ ]PsoData.cond = [ ]

3Pokud je program volan opakovane, nezatezuje PC.4Tak nedojde ke ztrate vysledku ani po prerusenı nekolikahodinove optimalizace.

94

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 8.2. PsoData format

PSOptimizerkrok 1. kontrola vstupnıch parametrukrok 2. inicializace GUIkrok 3. tvorba hejna (nahodna pozice i rychlost vsech agentu)krok 4. vyhodnocenı 1. iteracekrok 5. for i = 1:iteraciCelkemkrok 6. uprava wactualkrok 7. update rychlosti agentukrok 8. update pozice agentukrok 9. for j = 1:agentuCelkemkrok 10. if agent(j) ∈ s.s.krok 11. callFFkrok 12. endkrok 13. endkrok 14. update pBest, gBestkrok 15. vypis informacıkrok 16. end

callFFkrok 1. upravı PsoData podle aktualnıch agentukrok 2. vola f.f. s aktualnımi daty (PsoData)krok 3. agentum je prirazen vysledek f.f.

Tabulka 8.1: Principialnı schema PSOptimizeru

Predne do funkce vstupujı 3 sloty (PsoData.data1-3), ve kterych se mohou umıstitoptimalizovana data. Velikost matic data1-3 je libovolna, vzdy vsak musı bytvsechny tri matice definovany (alespon jako prazdne). Pocet slotu volıme tak,aby byl dostatecny pro resenı IFS anten (body zakladnıho utvaru, transformacea iteracnı matice). Dalsım polem je PsoData.type, ktere je fixne zadano stringretezcem psopt. Pole je potreba pri identifikaci prıchozıch dat uvnitr funkce.PsoData.rank je nepovinny udaj, jenz koresponduje s dimenzı optimalizace. Nazaver zde figurujı pole PsoData.bound, ve kterem jsou ulozeny hranice5 definujıcıs.s. a take PsoData.cond, indexujıcı optimalizovane parametry6.

Matice PsoData.cond muze mıt libovolny pocet radek. Protoze kazda radkaoznacuje jednu optimalizovanou pozici v jedne z matic, lze takto svazat do jednedimenze (PsoData.conddim) nekolik optimalizovanych hodnot. Takove hodnotyjsou potom v ramci PSO povazovany za jeden udaj a jsou optimalizovany spolecne.

5Zpusob zapisu: ProData.bounddimenze= [minmax] pro danou dimenzi.

6Format je nasledujıcı: PsoData.conddimenze =

a1 b1 c1a2 b2 c2...

......

, kde a odpovıda cıslu da-

toveho slotu 1-3, b ukazuje na radku daneho slotu, c potom znacı pozici na radce (cıslo sloupce).

95

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 8.3. Fitness funkce, testy

Tento postup je idealnı v prıpade, ze potrebujeme mezi nekterymi hodnotami za-chovat fixnı pomer (jejich rovnost). Uvedenym postupem zajistıme, ze do funkcevstupujı vsechna uzivatelska data (fitness funkce tedy muze s temito daty kom-plexne pracovat) a navıc uceleny udaj co a v jakych mezıch se ma optimalizovat.Tento prıstup setrı cas a umoznuje optimalizovat pravidelne utvary.

8.3 Fitness funkce, testy

Strukturu PsoData musıme zohlednit pri navrhu jakekoliv fitness funkce. Nikolivpouze hlavicky, ale i pri zpracovanı dat zaslanych PSO algoritmem na ohodnocenı.Definice funkce by mela odpovıdat nasledujıcımu vzoru:

function fitnessValue = fitnessFunction(sign, tested data)

String sign ma vzdy hodnotu ’eval’, casto ho vyuzıvame pro oznacenı volanı7.Promenna fitnessValue vracı zpet hodnotu, podle ktere se cela roj pohybuje (vprıpade EvalRadPattern rezonancnı frekvenci dominantnıho modu).

Uvnitr tested data nalezneme sloty .data1-3 podobne jako v PsoData, v tomtoprıpade obsahujı aktualnı hodnoty urcene k vyhodnocenı funkce (napr. zakladnıutvar, optimalizovane transformace a iterace).

Dıky volanı externıho mfilu, muzeme vyuzıvat PSOptimizer pro libovolne ucely– postacı dodrzet predepsanou hlavicku f.f. (mfile) a data zadavat ve forme Pso-Data8. Vzhledem k neexistenci radneho PSO toolboxu v Matlabu, muze byt vyuzitıPSOptimizeru dobrou volbou.

Testovane funkce

Pred vyuzitım k navrhu patch anten je nutne overit funkcnost PSOptimizeru naanalytickych funkcıch, u kterych zname vysledek (tj. globalnı minima). Algoritmusbyl proveren nasledujıcımi funkcemi:

• Kvadraticka funkce

• Rosenbrockova funkce

• Funkce Levy No.5

Funkce jsou rozdılne clenite (krajina, kterou se pohybujı agenti) a jsou dostatecnepopsany v literature, lze tedy verifikovat zıskane hodnoty. Algoritmus byl vyuzit i prooptimalizaci jinych funkcı (Levy No.3, Rastigrinova funkce . . . ), ve vsech prıpadechPSO podalo ocekavane vysledky. Metodika vyuzita pro hodnocenı vysledku opti-malizace respektuje obvykle postupy ([46] a dalsı).

7Napr. EvalInFem nebo EvalRadPattern podle nej poznajı, ze jde o optimalizaci a nevypınajına konci graficka okna, jinak nakladajı i s chybami.

8Vyuzitı PSO v antennı technice je obrovske. Od optimalizace zaricu, pres upravy cocek, reflek-toru a ohnisek, az po komplexnı optimalizace celych systemu.

96


Funkce 1 (kvadraticka)fkv(x) = x2 − 10 (8.1)

Na teto funkci demonstrujeme vliv neviditelne zdi9. Pokud s.s. zvolıme pouze vrozsahu 〈2, 5〉, bude nalezene minimum rovno -6, a to i pres to, ze jednotlivı agentimohou kratkodobe proniknout i blıze k 0 na ose x. Situace je znazornena na obr.8.2.

Obrazek 8.2: Optimalizace kvadraticke funkce v rozsahu x ∈ 〈2, 5〉

Funkce 2 (Rosenbrockova)

f(x) =N∑i=1

(100(xi+1 − x2

i )2 + (xi − 1)2

)(8.2)

fro(x, y) = 100(y − x2)2 + (x− 1)2 (8.3)

Funkce se siroce uplatnuje ve vetsine optimalizacnı testu. Pro svou monotonii(obr. 8.3) lze vyuzıt i gradientnı metody, nebot’ nehrozı uvıznutı v lokalnım mi-nimu. Globalnı mininum muzeme nalezt na souradnicıch x = 1, y = 1 a hodnotaf(xmin, ymin) = 0. Podle rovnice (8.2) je funkce definovana v [43], vyuzijeme vsakjednodussıho tvaru (8.3).

Obr. 8.4 ukazuje, jak rychle klesa chyba, s kterou je nalezeno globalnı mini-mum. Tuto rychlost lze vyrazne ovlivnit nastavenım parametru wmin a wmax. Pokudvahovacı koeficient s iteracı klesa, klesa take prıspevek nove vypoctene rychlosti aagent je spıse udrzovan v soucasne pozici. Eliminujeme tım oscilace, pri kterychagenti kmitajı kolem nalezeneho minima.

9Neviditelna zed’ se uplatnuje neprımo tım, ze neumoznı vyhodnotit mozne nizsı minimumv rozsahu 〈−2, 2〉. Vybrana pole PsoData pro tuto optimalizaci jsou rovna: PsoData.rank = 1;PsoData.cond1 = [1 1 1]; PsoData.bound1 = [2 5].

97


Obrazek 8.3: Rosenbrockova funkce, s.s. ∈ 〈−10, 10〉 × 〈−10, 10〉 a cost funkce

Obrazek 8.4: Konvergence ke skutecnemu minimu Rosenbrockovy funkce

Funkce 3 (Levy No.5)

fl5(x, y) =5∑i=1

(i cos

((i−1)x+i

)) 5∑j=1

(j cos

((j+1)y+j

))+(x+1.42513)2+(y+0.80032)2

(8.4)

Na prostoru 〈−2, 2〉 × 〈−2, 2〉 muzeme nalezt 760 lokalnıch a jedno globalnı mini-mum (souradnice x = −1.3068, y = −1.4248). Velikost s.s. je umyslne zvetsena na〈−10, 10〉 × 〈−10, 10〉 (jako u Rosenbrockovy f.). Tato funkce dobre testuje odol-nost vuci uvıznutı agentu v lokalnıch extremech. Uspesnost optimalizace pro ruznanastavenı ukazujı tab. 7.2 az 7.5 a obr. 8.5.

Z presentovanych vysledku je videt, ze navrh PSO algoritmu byl uspesny amnohdy dosahuje vyssı ucinnosti nez srovnatelne publikovane algoritmy, viz [46]a [48]. To je dano pravdepodobne pouzitım vhodneho typu zdi a testovanım pro

98


Obrazek 8.5: Funkce Levy No.5, s.s. ∈ 〈−10, 10〉 × 〈−10, 10〉 a cost funkce

relativne (v kontextu optimalizace) jednoduche funkce.

8.4 Zpracovanı vysledku

V souvislosti s optimalizacı nas nezajıma pouze vlastnı vysledek, tedy geometriekolaze s nejnizsı rezonancnı frekvencı, pozadovanym VD atp. Chceme znat i prubehoptimalizace, chovanı jednotlivych agentu, jak vypada prohledavana funkce a mıraefektivity celeho hejna. Prirozene, abychom tyto informace zıskali, musıme zahrnoutdo PSO dalsı techniky.

Pro plne vyuzitı potencialu PSO definujeme vystup v nasledujıcım tvaru:

res.data1 = [ ]res.data2 = [ ]res.data3 = [ ]res.doneres.scoreres.type = ’optim’res.history.populPosition = [ ]res.history.iter = [ ]res.history.value = [ ]res.history.psoDta = [ ]res.options. . . .

Vystupnı pole obsahuje opet sloty 1-3, patricne hodnoty jsou ale optimalizovany.Hodnota f.f. pro tyto hodnoty je uvedena v res.score. Pole done referuje o zdarnemukoncenı PSO (res.done = 1), v opacnem prıpade je res.done = 0 (urceno jako navestıpro nadrazene programy). Res.options uvadı parametry, za kterych byla optimalizacedokoncena a konecne res.history obsahuje vetsinu vnitrnıch stavu PSOptimizeru v

99


kazde iteraci. Prave tohoto pole lze vyuzıt napr. pro vykreslenı cost funkce (obr. 8.2vpravo pro kvadratickou funkci), nebo pro vykreslenı pozice jednotlivych agentu vdane iteraci (screenshot 53. iterace je videt na obr. 8.6). Souvislosti mezi uvedenymiformaty jsou naznaceny na obr. 12.24 dodatku 12.3.

PSOPost

Pro dynamicke zobrazenı prubehu optimalizace byl vytvoren program PSOPost.Nahled ukazuje obr. 8.6. V tuto chvıli je promıtanı optimalizace omezeno nadve existujıcı podmınky (2D). Pocıtame vsak s rozsırenım do 3D, kdy jednotlivepodmınky pujdou zvolit (neomezeny pocet podmınek). Do programu byl dodatecnepripojen vypocet rozptylu agentu, pozdeji i vypocet vsech, kterı prekrocili hranices.s. Tyto hodnoty jsou i real-time vykreslovany do grafu vpravo.

Obrazek 8.6: Program PSOPost, vc. prubehu funkce Levy5 a agentu

Ovladacı rozhranı je jednoduche. Obsahuje tlacıtka na spustenı videa, jeho pauzu(opetovne spustenı restartuje video) a tlacıtka na reset canvasu a ukoncenı pro-gramu. Funkce muze byt volana s celou radou parametru a nastavenı.

100


PSOPost syntaxe

Program disponuje celou radou moznostı, jak jej volat. Zakladnı tvar

PSOPost(PsoData,res,0)

pouze zpracuje res a zobrazı pohyb roje v s.s. a patricne parametry. Prıznak’0’ (false) zajistı, ze animace je pouze pripravena a start zajistı uzivatel (Runmovie).

Dalsı prıkaz umoznuje vykreslit hladiny funkcnıch hodnot f.f. v danem s.s. Tytohodnoty musı byt zpracovany ve forme dvou sloupcovych matic [x],[y] a m×n matice[z] o rozmerech (x,y). Pak lze PSOPost volat:

PSOPost(PsoData,res,0,x,y,z).

Pokud navıc pozadujeme navrat vypoctenych hodnot, vyuzijeme:

[roz age] = PSOPost(PsoData,res,0,x,y,z).

Pri zmene prıznaku ’0’ na ’1’ (true) je po spustenı aplikace automaticky spustenaanimace:

[roz age] = PSOPost(PsoData,res,1)nebo

[roz age] = PSOPost(PsoData,res,1,x,y,z).

Vhodnym vylepsenım, umoznujıcı jeste lepsı nahled na chovanı hejna, je zavedenıvektoru, ktere by v kazde iteraci zobrazovali smer a velikost prırustkoveho vektoru(rychlosti).

Obrazek 8.7: Pozice agentu pro 5. a 150. iteraci (Levy5, s.s. ∈ 10× 10)

DVD obsahuje video s ukazkou pohybu hejna pri hledanı minima ulohy H2(oznacenı uloh viz dalsı kapitoly) a dalsı snımky PSO optimalizace.

101

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 8.5. Spojenı s EvalInFem

8.5 Spojenı s EvalInFem

Z pohledu PSOptimizeru se jedna o standardnı optimalizaci – po porovnanı dat je vefunkci calFF volana f.f. EvalInFem. Dıky parametru ’eval’ (namısto ’stat’, jak bylouvedeno v 5. kapitole) CM analyzator pozna, ze prıchozı data jsou optimalizovanaa beh programu je podrızen spustene PSO.

Cely postup je netradicnı v tom smyslu, ze zatımco v drtive vetsine prıpadu jeoptimalizovan analyticky predpis, zde je to vysledek cele sady operacı – generace aupravy IFS, analyzy CM modelu a navracenı spravne rezonancnı frekvence.

8.6 Zrychlenı metody

Vzhledem k faktu, ze drtivou vetsinu casu trva vyhodnocenı fitness funkce (dutinovymodel) a rezie PSOptimizeru je minimalnı, je vhodne, az na jeden prıpad, mluvitspıse o zvysenı efektivity nez o zrychlenı cele metody. Tou jedinou vyjımkou jemoznost vyuzitı distribuovanych vypoctu.

Matlab podporuje distribuovane vypocty ve vıce urovnıch. Motivacı je maximalnızrychlenı vypoctu. Prvnı uroven, vyuzıvajıcı vıcejadrovych procesoru, je na-tivne aktivovana a zabudovane matematicke knihovny Matlabu defaultne pracujıvıcejadrove. Stale se vsak jedna pouze o jeden proces, ktery je zpracovavan vıce pro-cesory. Druhy level paralelizace obsahuje Parallel Computing Toolbox. S tımto tool-boxem lze vytvaret a rıdit beh vıce paralelnıch procesu. A konecne poslednı urovnıje spolecne vyuzitı Parallel Computing Toolboxu a Matlab Distributed ComputingServeru. Do jednoho clusteru lze pojmout max. 256 procesoru (PC jsou propojenev sıti). Pochopitelne vyuzitı teto technologie vyzaduje patricne licence10.

Vzhledem k casove narocnosti optimalizace je distribuovany vypocet logickymkrokem k jejımu zkracenı. Napr. pri moznosti vytvorit cluster o cca. 15 PC, kdyse dostavame na velikost jedne generace clenu hejna v PSO, zrychlujeme vypocettakrka 15x a muzeme si dovolit uvahy o zamene dutinoveho modelu za nepomernepresnejsı metodu momentu, vıce [12], [33] a dalsı. Hotove rozhranı by se dalo vyuzıt ipro jine ulohy v souvislosti s Matlabem. Vzhledem k uvedenym narokum na licence,je tato cast zatım pouze v prıprave. Vıce k licencnı politice, i cenam samotnym nastrankach [98].

Ostatnı techniky (SPSO, GSO) byly zmıneny drıve.

10Krom zakladnıho Matlabu tedy jeste Parallel Computing Toolbox, Matlab Distributed Com-puting Server, prıp. Matlab Compiler.

102

Kapitola 9

IFSLimiter

Jak jsme ukazali v predchozıch kapitolach, zadavanı optimalizacnı podmınek nenıprılis prehledne. Zjevne je to dan za zobecneny prıstup, jenz uzıvame. Situaceje u IFS fraktalu o to slozitejsı, ze optimalizovany parametr ma na kolaz pouzezprostredkovany vliv (je potreba nejprve IFS vypocıtat). K prehlednemu nastavenıvsech parametru a mezı slouzı IFSLimiter.

Je vhodne poznamenat, ze tento nastroj neslouzı k tvorbe ani uprave kolaze, ktomu jsou urcene IFSMaker a AntTool.

9.1 Struktura programu

Z programatorskeho hlediska se jedna o samou mez, kdy lze vyuzıt strukturovanehoprogramovanı. IFSLimiter obsahuje pres 120 funkcı na 3500 radcıch. Aplikace sespoustı bez dalsıch argumentu.

Screenshot je zobrazen na obr. 9.1. Fraktal se po nactenı FRC (nebo PsoData)objevı uprostred, jeho velikost lze upravit zoomem. Vsimneme si, ze body i trans-formace majı pred svymi koordinaty tag (P- nebo T-), toho vyuzijeme pri zadavanıpodmınek. Postup je nasledujıcı:

1. Nactenı kolaze FRC. Je automaticky zarovnana a vykreslena.

2. Vytvorenı nove polozky s hranicemi s.s., napr. (0, 10). Tlacıtko New stock.

3. V tabulce zobrazujıcı tyto polozky vybereme prave vytvorenou atlacıtkem Add condition otevreme pruvodce pro zadavanı optimalizacnıchpodmınek.

4. V zobrazenem okne se muzeme ujistit, ze je vybrana vhodna dimenze s.s.Zvolıme, zda se optimalizace bude tykat bodu ci transformace.

5. Nasledujıcı krok zobrazı vsechny dostupne body/transformace a jejichsouradnice. Z nich zvolıme tu spravnou hodnotu. Finish ulozı podmınkudo pripraveneho slotu.

103

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 9.1. Struktura programu

Obrazek 9.1: IFSLimiter

6. Zadanou podmınku si nynı muzeme vykreslit. Stacı ji vybrat v dolnı tabulcea zvolit SHOW. Cervene hranice pak znacı minimum, ktereho kolaz muzepri optimalizaci teto podmınky nabyt, zelena hranice znacı maximum.

Jedna hranice (Stock) muze obsahovat i vıce podmınek, coz byva v souvislostis IFS velice caste. V tomto prıpade lze ovlivnit, zda se budou vykreslovat vsechnypodmınky z jedne hranice, ci pouze vybrane. Protoze pri zadavanı hranic nenı jestezrejme, cemu pripadnou (bodu, transformaci), nemuze IFSLimiter hlıdat spravnezadavanı hodnot1. To je vyzadovano od uzivatele. Defaultne lze vykreslit pouzejednu hranici, tak aby byla situace prehledna, lze jich vsak vhodnym nastavenım2

vykreslit i vıce, viz obr. 9.1.Jiz existujıcı hranice i podmınky lze libovolne editovat, mazat a znovu vytvaret.

Pri praci se slozitejsı kolazı je casto vhodne skryt body, zakladnı objekt nebo trans-formace. To umoznuje menu Show v hornı liste. Lze nastavovat i grafiku jednotlivychprvku. Podrobneji je prace s IFSLimiterem zpracovana v pdf napovede k programu.

Narozdıl od IFSMakeru zmeny v nastavenı grafiky a odezva na nektere prıkazynenı automaticka, ale je potreba kliknout na Refresh. Podobne jako predchozı

1Mame zde na mysli zejm. podmınku kontrakce pro IFS. Pokud by vyse uvedena hranice (0, 10)platila pro parametr a transformacnı matice, ktery spravne nabyva hodnot (0, 1), nebude dodrzenpozadavek afinnıch transformacı.

2Volby Show only one Stock a Show all Conditions.

104

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 9.2. Testovacı uloha

editory, i tento obsahuje nektere dalsı funkce, usnadnujıcı vlastnı praci.Lze namıtnout, ze vyhodnejsı by bylo spojit IFSMaker a IFSLimiter do jednoho

programu. To je vsak tezce realizovatelne hlavne v souvislosti s univerzalitou obounastroju. Prehlednejsı je proto rozdelenı ukolu tak, jak je tomu v soucasnosti.

9.2 Testovacı uloha

Jednotlive mechanismy demonstrujme na jednoduchem prıkladu. Predpokladejmeobdelnık, jehoz delsı stranu bychom radi optimalizovali. Neuvazujme nynı fixnı delkuhrany nastavenou v EvalInFem na 10cm. Situace je zobrazena na obr. 9.2.

Obrazek 9.2: Obrazek optimalizacnıch mezı pro testovacı ulohu

Delku obdelnıka ovlivnuje parametr a transformacnı matice. Pokud nastavımeFRC.iter rovno [1 1 1], tj. vypoctena bude 1. iterace a pouze tato bude pouzitana vlastnı patch, muzeme rozsahem parametru a ovlivnovat delku vysledne kolaze.Je-li velikost obdelnıka 10×4 cm a koeficientu a 0.6, bude vysledna delka 6cm, resp.velikost 6× 4.

Obrazek 9.3: Zadanı podmınky, vstup a vystup

Zvolme tedy hranice s.s. v rozsahu (0.6, 1), jak ukazuje i obrazek 9.3. Nynı k teto

105

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 9.3. Zadanı uloh

hranici pridame podmınku. V prvnım kroku zvolıme transformace, pote kliknemevlevo na transformaci T1 (vıc jich ani pro obdelnık nemame) a zvolıme parametr a.

Tento vysledek exportujeme jako PsoData do Matlabu (na obr. 9.3 vpravo, jevidet i doplnenı polı bound a cond) a spustıme optimalizaci. Rezonancnı frekvencedominantnıho modu je dana pouze delkou optimalizovane hrany a nejmensı vychazıpro nejdelsı hranu. PSOptimizer proto vracı vysledek 10cm.

9.3 Zadanı uloh

Stejnym postupem, jaky byl uveden u prıkladu vyse, resıme i slozitejsı strukturys vıce body a transformacemi. Iteraci zpravidla volıme 3, coz je vhodny kom-promis mezi pozadovanou krivostı utvaru a rychlostı vypoctu. Na nasledujıcıchradcıch popisme konkretnı ulohy, ktere byly optimalizovany. Vysledky a jejich rozborprovedeme v nasledujıcı kapitole.

Ulohy jsou znaceny podle jednoducheho klıce, ktery nam zajistı systematickyprıstup ke vsech vstupum i vystupum optimalizace. Pısmeno je odvozeno od nazvuzdrojove kolaze (FRC A, FRC B apod.), cıslo znacı poradı optimalizace. Vsechnyprovedene simulace jsou uvedeny v tabulce na DVD. Ta obsahuje souradnice kolaze,nastavenı, pocatecnı podmınky, celkovy cas a vysledky optimalizace. Na dalsım listutabulky je prehled uzıvanych FRC.

9.3.1 Uloha A1

Do DP byly vybrany vzorove ulohy se tremi tvarove odlisnymi zarici. K zadavanıpodmınek vyuzıvame IFSLimiter. Zobrazenı 9.4, 9.5, 9.7 a 9.8 davajı predstavu ooptimalizovanych parametrech.

Obrazek 9.4: Obrazek optimalizacnıch mezı pro ulohu A1

V tomto prıpade, obr. 9.4, optimalizujeme velikost jednotlivych trojuhelnıku.Rozmer s.s. je (0.5, 0.7). Minimum je limitovano celistvostı patche. Jiz pri hodnotachkoeficientu a a d 0.5 se jednotlive trojuhelnıky dotykajı pouze v bodech, coz eliminujetekoucı proudy po strukture. S rezervou je tedy za minimum povazovana hodnota0.501.

106

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 9.3. Zadanı uloh

Obrazek 9.5: Obrazek optimalizacnıch mezı pro ulohu B1

9.3.2 Uloha B1

Pro Minkowskeho fraktal je dulezity zejm. tvar strednı spojky (tj. prvnı trans-formace zakladnıho objektu). Ten muze nabyvat mnoha tvaru, viz obr. 9.5. Prozakladnı tvar fraktalu jsou hodnoty transformacnıch koeficientu stredove prıckyrovny: a = 0.2, d = 0.334, b = c = e = f = 0. PSO se pokusı najıt nizsı frekvenci vrozsahu a ∈ (0.1, 1) ∧ d ∈ (0.334, 1). Tento s.s. je tedy dvourozmerny.

Prvnı dve ulohy jsou dostatecne jednoduche, abychom prıpadne vysledky mohlioverit rychlou parametrickou analyzou. Zaroven se na nich prokaze, zda vsechnysoucasti fungujı bezchybne.

9.3.3 Uloha B3

Jak ukazuje obr. 9.6, tato uloha zkouma vliv naklonenı ramen fraktalu FRC B.

Obrazek 9.6: Uloha B3 v IFSLimiteru

Toho lze docılit pomocı zmeny koeficientu c, d. Ty zajist’ujı rotaci a zkosenıobjektu. Pomocı IFSLimiteru lze efektivne hlıdat, kdy je jeste kolaz souvisla a kdyse jiz rozdelı na mensı casti. Dıky tomu byl stanoven optimalizovany interval na

107

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 9.4. Rozsırene moznosti IFSLimiteru

(0, 0.1).

9.3.4 Uloha C3

Nejvetsı snızenı frekvence dominantnıho modu ocekavame v prıpade tohoto fraktalu.Je velice clenity, lze tedy nalezt mnoho optimalizacnıch podmınek. Navıc ma tenkouspojku a vysoka ramena, ktera dale prodluzujı rezonancnı delku.

Obrazek 9.7: Obrazek optimalizacnıch mezı pro ulohu C3

Zacneme jednodussımi podmınkami (C1-C3) a postupne pridavame dalsı (C4-C6). Jak naznacuje obr. 9.7, budeme zkoumat optimalnı pozici strednı spojky (zdadole, uprostred nebo nahore) a mıru zasunutı postrannıch ramen.

9.3.5 Uloha C6

K predchozı uloze C3 byly pridany dalsı dve podmınky. Obe pracujı s body3, jakukazuje obr. 9.8.

Tato uloha je v programu IFSLimiter zobrazena na obr. 9.1 (pouze prvnıdve podmınky). Prestoze obsahuje celkem 7 neznamych, dıky sprazenı nam stacıctyrrozmerny s.s.

9.4 Rozsırene moznosti IFSLimiteru

IFSLimiter byl postupem casu rozsıren o dalsı uzitecne moduly. Mezi ne patrı para-metricka analyza, obr. 9.9. Lze analyzovat pouze nacteny fraktal, vsechny hranice(se vsemi podmınkami), vybranou hranici (s podruznymi podmınkami), vybranoupodmınku, v zavislosti na stupni iterace. Krok sweepu je nastavitelny a vystupnıinformace jsou volitelne.

Po ulozenı a startu je opetovne volan EvalInFem4, ktery uklada vysledky doIFSLimiteru. Ty si lze prohlednout v Parameter sweep 7→ Show results, a tım zıskathruby prehled o chovanı struktury.

Z pohledu optimalizace je take zasadnı pro vsechny scenare uchovat pokudmozno celistvy tvar kolaze. Zda tomu tak je pro vsechny hranice se vsemi

3Vzdy dva vrcholove body jsou sprazeny do jedne hranice/Stocku tak, aby se menily najednou.4Vyzaduje pripojeny Comsol.

108

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 9.4. Rozsırene moznosti IFSLimiteru

Obrazek 9.8: Obrazek optimalizacnıch mezı pro ulohu C6

Obrazek 9.9: IFSLimiter: parametricky resic

podmınkami overuje funkce Check subdomains. Existuje-li varianta, kdy se kolazrozpadne, je tato s upozornenım zobrazena.

V nezbytnych prıpadech (viz zmena merıtka a pevny bod) je tez vhodnemıt moznost presunout stred fraktalu o urcitou vzdalenost. Pak jsou upravenyodpovıdajıcı koeficienty transformacı a IFS je znovu vygenerovano. Pro podobneucely lze v IFSLimiteru upravit i vybrany bod, prıp. transformaci. Tyto upravyjsou dosazitelne z menu Tools.

109

Kapitola 10

Optimalizace a analyza FRC

Optimalizacnı proces probıha podle schematu 10.1.

Obrazek 10.1: Postup optimalizace

Jsou do nej zapojeny vsechny moduly, ktere jsme doposud predstavili. Povytvorenı kolaze (IFSMaker) a nastavenı podmınek (IFSLimiter) dochazı k inicia-lizaci PSO (pocet agentu, pocet iteracı). Po spustenı PSOptimizeru je v kazdemkroku volana fitness funkce (EvalInFem) a skrze nı i jadro Comsolu. K resici Eval-InFem lze pristoupit jiz drıve, a to bud’ parametrickou analyzou nebo jednorazovymresenım z Matlabu.

Na zaver jsme vybrali tri fraktaly, ktere byly v minule kapitole pripraveny koptimalizaci. Jejı vysledky nalezneme v tab. 10.1. Podmınky jsou bud’ bodove (b)nebo transformacnı (tr), znacka 3tr pak znacı 3 podmınky se spolecnou hranicı.Pocet agentu (Ag.) i iteracı (it.) byl volen ruzny podle slozitosti optimalizace a sohledem na typ struktury. V ramci jedne struktury je potrebny cas priblizne umernysoucinu agentu a iteracı (viz B1 a B3), v prıpade ruznych struktur (B3 vs. C3) tovsak neplatı. Je to dano ruznou slozitostı meshe a tedy i ruznou delkou vypoctu.

Prvnı uloha (A1) dosla ke stejnemu fraktalu, ktery byl zadan na vstupu. To

110

Nastroj pro modalnı analyzu FPA

PsoData A1 B1 B3 C3 C6Podmınky 3tr, 3tr 1tr, 1tr 4tr, 4tr 1tr, 2tr 1tr, 2tr, 2b, 2bAg., it. 15, 100 25, 150 25, 75 25, 75 25, 80fr pred PSO 637 MHz 684 MHz 684 MHz 637 MHz 637 MHzfr po PSO 637 MHz 408 MHz 504 MHz 543 MHz 310 MHz∆fr 0 276 MHz 180 MHz 94 MHz 327 MHzZlepsenı 0% 40.3% 26.2% 14.8% 51.3%Doba vypoctu −(∗) 4813s 2209s 3066s 2062s

(*) nezaznamenano

Tabulka 10.1: Vysledky vybranych optimalizacı

Obrazek 10.2: Nekolik agentu optimalizace A1

ukazuje, ze pro zadane podmınky (tedy velikost trojuhelnıku) je znama hodnota tanejlepsı. Nekolik agentu teto optimalizace ukazuje obrazek 10.2.

Pri rozboru vysledku se musıme vyvarovat urcitym chybam. Napr. A1 vracı jakooptimalnı pro obe podmınky hodnotu 0.5, ta je vsak (jak bylo uvedeno v minulekapitole) chybna, nebot’ spojuje casti kolaze jen v bodech. Z toho plyne, ze prokazdy vysledek je vhodne zkontrolovat navrzenou kolaz prımo v Comsolu (CST,IE3D, TCM atd.). Po uprave na 0.501 vychazı spravne vysledky. PSO algoritmustımto zpusobem postupuje automaticky a pro vsechny podmınky. Je proto dobre jizpri jejich zadavanı meze spravne omezit.

Dalsı uloha je lehce overitelna pomocı jednoduche parametricke analyzy.Hledame minimum s pomocı zmeny sırky a vysky strednı prıcky fraktalu FRC B.Pro vsechny extremy je hodnota rezonancnı frekvence uvedena na obr. 10.6. Nejnizsı

111


Obrazek 10.3: Nekolik agentu optimalizace B1

Obrazek 10.4: Nekolik agentu optimalizace B2

frekvenci nalezame pro prıpad v dolnı rade uprostred (fr = 409 MHz, a = 0.1, b = 1).Ke stejnemu zaveru dochazıme i s pomocı PSO (fr = 408 MHz, a = 0.100009, b =0.99998).

S dobrym vysledkem pak skoncila optimalizace C3 a C6, kde bylo dosazenoznacneho poklesu rezonancnı frekvence. Struktury navıc nepotrebujı dalsı upravy.Vyznamny pokles v prıpade C6 je dan masivnı upravou geometrie (obr. 10.8).

Na zaklade optimalizovanych dat se muzeme podıvat i na pokles frekvence s ite-racı u optimalizovaneho i neoptimalizovaneho patche, obr. 10.5. Prubeh je pro obazarice podobny, pouze v prıpade po PSO (zelena krivka) je mırny vykyv v 2. iteraci.Pokud aproximujeme hodnotu optimalizovane kolaze v prvnı iteraci na zaklade os-tatnıch hodnot, zıskame zajımavy poznatek. Optimalizace fraktalnı struktury trendpoklesu fr s rostoucı iteracı pouze posouva smerem k nizsı frekvenci. Smernice pok-lesu zustava stejna.

Obrazek 10.9 ukazuje ”krajinu“ optimalizace ulohy H2. Vrstevnice naznacujıstejne hodnoty frekvence. Ze znamych hodnot s.s. a zadanych podmınek lze urcit

112


Obrazek 10.5: Zavislost rez. frekv. na iteraci pred PSO a po PSO

Obrazek 10.6: Parametricke srovnanı

rez. frekvenci dominantnıho modu vsech odvozenych zaricu. Kontury funkce bylyzjiteny systematickym sweepem pres cely s.s. (100× 100 hodnot).

Z uvedenych prıkladu je videt, ze snizovanı rezonancnı frekvence (resp.zmensovanı rozmeru patche) je v Comsolu realizovano zuzovanım cest, kudytece proud. Tyto spoje jsou dıky PSO zmensovany az za mez vyrobnı toleran-ce. Spravnym nastavenım hranic vsech podmınek lze tomuto ukazu efektivnepredchazet. Druhym dulezitym faktorem je prodluzovanı dominantnı proudovecesty. Vyvstava otazka, zda jsou uvedena zjednodusenı platna obecne (figuruje tentomechanismus i v TCM?).

V teto kapitole byly shrnuty vysledky celeho projektu. V prıpade vhodnenastavene optimalizace muze pokles rezonancnı frekvence prekrocit i 50%. Staleje vsak nutne finalnı zaric podrobit pokrocilejsı analyze, ve ktere je zpravidlarozdıl mezi puvodnım a optimalizovanym tvarem mensı. Omezeni jsme i ze strany

113


Obrazek 10.7: Nekolik agentu optimalizace C6

pouzitelnych kolazı a vyrobnıch moznostı. Bohuzel, systematictejsı prıstup je casovevelmi narocny. Neuvadıme proto prıklady dalsıch optimalizacnıch uloh, ani jed-notlive rezonancnı frekvence vsech FRC kolazı. Vsechny toto udaje jsou uvedeny naDVD, je mozne je zjistit i s pomocı EvalInFem a PSOptimizeru. Dulezitost PSO sejeste zvetsı s pozadavkem na multipasmovou optimalizaci.

114


Obrazek 10.8: Vysledek optimalizace C6 (2. a 3. iterace)

Obrazek 10.9: Pohyb agentu pri uloze H2, zacatek (vlevo) a zaver (vpravo)

115

Kapitola 11

Zaver

Tato prace mela za cıl ukazat, ze v geometricke rovine lze nalezt novy typ ob-jektu, ktere jsou vhodne jako zarice patch anten v mnoha ohledech vıce, nez beznevyuzıvane euklidovske utvary. Ukazali jsme nektere zajımave vlastnosti fraktalnıchkrivek a nalezli analogie v prırode. Pro cetna zjednodusenı jsme zvolili generaci IFSstruktur, ta byla popsana vc. prıkladu a potrebnych nastroju.

Vlastnı simulaci predchazel vyber vhodne numericke metody a jejı implementace.Vysledky CM analyzy byly srovnany s referencnımi simulatory. Pro malou vyskunad zemnı rovinou je chyba minimalnı. Zvazili jsme moznost optimalizovat tvaranteny pri fixnım zachovanı fraktalnıho charakteru, tak jsme dosli k optimalizaciIFS parametru. Toho bylo dosazeno dıky PSO; dokonceny PSOptimizer dosahujeskvelych vysledku, dolozitelnych i na rade testovanych funkcı.

Popsany byly zpusoby, jak ze znamych dat extrapolovat VD, vc. jeho vypoctu.Pro zpracovanı vysledku, kalibraci PSO, upravu nodu a rızenı optimalizace jepotreba cela sada nastroju, ktere byly postupne predstaveny. Vyjmenujme v heslechdulezite vysledky diplomove prace:

• Vznikl efektivnı a nazorny generator IFS fraktalu, ktery lze vyuzıt ve vyucenumerickych metod, Matlabu a antennı problematiky.

• Vznikly nastroje na simulaci a analyzu IFS anten, viz dodatek 12.3, vc. resiceEvalInFem, ktery ma mnohostranne vyuzitı.

• Byly odvozeny a navrhnuty nove postupy hodnocenı IFS kolazı a nalezenynove fraktaly (FRC J, FRC K a dalsı)

• Zavedeny byly formaty FRC a PsoData.

• Byl vytvoren univerzalnı a rychly optimalizator PSOptimizer. Ten lze vyuzıvatna rozlicne typy uloh.

• Uspesne jsme implementovali metodu, ktera vypocte, exportuje a zpracujeproudy z Comsolu. Dıky nim lze vypocıtat VD.

116


• Analyzovany byly vybrane IFS patche, ktere se podarilo s pomocı PSO zmensit(resp. nalezt pri stejnem rozmeru nizsı fr).

Mnoho problemu zustalo nedoreseno, nektera resenı nejsou optimalnı a vyzadujıdalsı upravy. Obcas se (vzdy vsak s upozornenım) vyskytuje nepodlozena domnenkanebo myslenka. Zde jsou moznosti, jak v projektu pokracovat:

• Prozkoumat moznosti navrhu IFS pomocı neuronovych sıtı s kriteriem obsahu,obvodu, 1. modu a mrızkove dimenze. Prıpadne alespon nalezt a zkonstruovatdalsı tvary IFS kolazı rucne.

• Mısto CM vyuzıt TCM resic (vyresit souvisejıcı problemy).

• Zrychlit IFSMaker, dokoncit moduly na sweep, box-counting, zrychlit praci sTune nastrojem a spravu velkeho poctu objektu.

• Opravit merenı obsahu a poctu segmentu pro komplikovanejsı utvary, otestovatpresnost ”NaN“ metody i pro vypocet mrızkove dimenze.

• Pokusit se extrahovat vnejsı normalu pomocı ”NaN“ metody (rychlejsı vypocetVD).

• Upravit algoritmus na vypocet VD a zrychlit jej, upravit jeho optimalizaci navahovanı vıce cılu.

• Je mozny dalsı rozvoj PSO – hledanı vıce minim najedou, moznost vytvaretvıce roju, SPSO pro analyticke funkce, GSO, dalsı moznosti zpracovanı.

• Soustavne studium vlastnostı fraktalnıch zaricu s nasazenım vyvinutychnastroju (velikost fraktalnı dimenze a obsahu vs. rezonancnı kmitocet,prıpadne rozlozenı modu).

• Klasifikace modu na zaklade bitmapy (vhodne vylepsenı i pro TCM), do-datecna stratifikace modu, oznacenı modu se silne lokalizovanymi proudy.

Uzitecnost cele prace muze posoudit jen a pouze jejı ctenar, kteremu tımtodekuji, dostal-li se az na zaver.

”Kdyz je dılo dokonano, necht’ se clovek vzdalı.“

— Lao-C’, O Tau a ctnosti, IX. basen

117

Literatura

Monografie

[1] Karel Zaplatılek, Bohuslav Donar: MATLAB pro zacatecnıky. 2.vydanı,BEN, Praha, 2005. ISBN 80-7300-175-6

[2] Karel Zaplatılek, Bohuslav Donar: MATLAB tvorba uzivatelskych aplikacı.1.dotisk 1.vydanı, BEN, Praha, 2005. ISBN 80-7300-133-0

[3] Ivan Zelinka, Frantisek Vcelar, Marek Candık: Fraktalnı geometrie: prin-cipy a aplikace. BEN, Praha, 2006. ISBN 80-7300-191-8

[4] Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman,1982.

[5] Benoit B. Mandelbrot: Fraktaly: tvar, nahoda a dimenze. 1.vydanı, Kolum-bus, Praha, 2003. Edice Kolumbus – Svazek 163. ISBN 80-204-1009-0

[6] Peter Coveney, Roger Highfield: Mezi chaosem a radem. 1.vydanı, Kolum-bus, Praha, 2003. Edice Kolumbus – Svazek 160. ISBN 80-204-0989-0

[7] Ilya Prigogine, Isabelle Stengersova: Rad z chaosu. 1.vydanı, Kolumbus,Praha, 2001. Edice Kolumbus – Svazek 158. ISBN 80-204-0910-6

[8] The MathWorks: Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox. ver. 2., User’sGuide, The MathWorks, 2006.

[9] The MathWorks: Using Matlab Graphics. ver. 7., User’s Guide, The Math-Works, 2004.

[10] The MathWorks: Partial Differential Equation Toolbox. ver. 1., User’s Guide,The MathWorks, 2002.

[11] Milos Mazanek, Pavel Pechac: Sırenı elektromagnetickych vln a anteny.dotisk 2.vydanı, CVUT, Praha, 1998. Nakladatelstvı CVUT, 10931. publikace.ISBN 978-80-01-03032-5

118

Nastroj pro modalnı analyzu FPA Literatura

[12] Jan Machac, Karel Novotny, Zbynek Skvor, Jaroslav Vokurka: Nume-ricke metody v elektromagnetickem poli. CVUT, Praha, 2002. NakladatelstvıCVUT, ISBN 978-80-01-03753-9

[13] Ladislav Szanto: Maxwellovy rovnice a jejich nazorne odvozenı. 1.vydanı,BEN, Praha, 2003. ISBN 80-7300-096-2

[14] Zdenek Novacek: Elektromagneticke vlny, anteny a vedenı.

[15] Jirı Sıma, Roman Neruda: Teoreticke otazky neuronovych sıtı.

[16] Blanka Heringova, Petr Hora: Matlab. Dıl I. - Prace s programem. Plzen,1995, H-S.

[17] Blanka Heringova, Petr Hora: MatLab. Dıl II. - Popis funkcı. Plzen, 1995,H-S.

[18] Andy H. Register: A Guide to Matlab Object-Oriented Programming. SciTechPublishing Inc., 2007. Atlanta, Georgia, USA. ISBN 978-1-58488-911-3

[19] The MathWorks: Classes and Object-Oriented Programming. User’s Guide,The MathWorks, 2008.

[20] The MathWorks: Matlab Compiler. ver. 2., User’s Guide, The MathWorks,1999.

[21] Petr Olsak: Linearnı algebra. CVUT, Praha, 2002. Take na:ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/.

[22] Felix T. S. Chan, Manoj K. Tiwari: Swarm Inteligence – Focus on Antand Particle Swarm Optimization. I-Tech Education and Publishing, 2007.ISBN 978-3-902613-09-7

[23] Karl E. Lonngren, Sava V. Savov: Fundamentals of Electromagnetics withMatlab. Scitech Publishing Inc., 2004. ISBN 1-891121-30-8

[24] Won Y. Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, John Morris: Applied Nu-merical Methods Using Matlab. John Wiley Inc., 2005. ISBN 0-471-69833-4

[25] Solving the Engineering Problem.

[26] Jaan Kiusalaas: Numerical Methods in Engineering with Matlab. CambridgeUniversity Press, 2005. ISBN 978-0-521-85288-3

[27] J. R. James, P. S. Hall: Handbook of Microstrip Antennas vol.1. London,1989. Peter Peregrinus Ltd. ISBN 0-86341-150-9. chapter 1− 3

[28] Constantine A. Balanis: Antenna Theory: Analysis and Design. 2nd ed.,USA, 1997. John Wiley. ISBN 0-471-59268-4

119


[29] Constantine A. Balanis: Advanced Engineering Electromagnetics. USA,1989. John Wiley. ISBN 0-471-62194-3. Chapter 6.

[30] J. R. James, P. S. Hall, C. Wood: Microstrip Antenna Theory and Design.USA, 1981. Peter Peregrinus Ltd. ISBN 0-906048-57-5.

[31] Thomas A. Milligan: Modern Antenna Design. 2nd ed., USA, 2005. John Wi-ley. ISBN 978-0-471-45776-3.

[32] S. J. Orfanidis: Electromagnetic waves & Antennas. www.ece.rutgers.edu/ or-fanidi/ewa.

[33] Sergey N. Makarov: Antenna and EM Modeling with Matlab. USA, 2002.John Wiley. ISBN 0-471-21876-6

[34] Kenneth Falconer: Fractal Geometry – Mathematical Foundations and App-lications. USA, 2003. John Wiley. ISBN 0-470-84861-8 (HB)

[35] Gerald Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry. 2nd ed., USA, 2008.Springer. ISBN 987-0-387-74749-1

[36] Basic methods of calculation and design of patch antennas. pgs. 71− 87

[37] Comsol AB.: Comsol Documentation.. 1994-2008, Comsol 3.5.0.

Clanky a prıspevky

[38] Miloslav Capek, Pavel Hazdra: PSO optimalizace v Matlabu. TechnicalComputing Prague 2008, ISBN sbornıku: ISBN 978-80-7080-692-0.

[39] Miloslav Capek: PSO Optimization of IFS Fractal Patch Antennas. Poster2009, CTU-FEE, Prague.

[40] Pavel Hazdra, Miloslav Capek, Jan Kracek: Optimization Tool for FractalPatches Based on the IFS Algorithm. EuCAP 2009, Berlin.

[41] Pavel Hazdra, Miloslav Capek: IFS Tool for Microstrip Patch AntennaAnalysis. In Proceedings of the 14th Conference on Microwave TechniquesCOMITE 2008 [CD-ROM]. Praha: Ceskoslovenska sekce IEEE, 2008, p. 227-230. ISBN 978-1-4244-2138-1.

[42] Jordi Romeu, Yahya Rahmat-Samii: Fractal Elements and TheirApplications to Frequency Selective Surfaces. IEEE Antennas and Wire-less, 2000.

[43] Jacob Robinson, Yahya Rahmat-Samii: Particle Swarm Optimization inElectromagnetics. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 52, No. 2,pp.397-407, February 2004.

120


[44] Nanbo Jin, Yahya Rahmat-Samii: Advances in Particle Swarm Optimiza-tion for Antenna Designs: Real-Number, Binary, Single-Objective and Multi-objective Implementations. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 55,No. 3, pp.556-567, March 2007.

[45] James Kennedy, Russell Eberhart: Particle Swarm Optimization. IEEE,pp.1942-1948, 1995.

[46] K. E. Parsopoulos, M. N. Vrahatis: Recent approaches to global optimiza-tion problems through Particle Swarm Optimization. Natural Computing,pp.235-306, 2002.

[47] K. E. Parsopoulos, V. P. Plagianakos, G. D. Magoulas,M. N. Vrahatis: Stretching Technique for Obtaining Global Mi-nimizers Through Particle Swarm Optimization. Dostupne na:http://www.mat.univie.ac.at/ neum/glopt/mss/ParPM01.pdf

[48] Ruzica M. Golubovic, Dragan I. Olcan: Antenna Optimization Using Par-ticle Swarm Optimization Algorithm. Journal of Automatic Control, Vol. 16,pp.21-24, 2006.

[49] Chia-Feng Juang, Yuan-Chang Liou On the Hybrid of Genetic Algorithmand Particle Swarm Optimization For Evolving Recurrent Neural Network.

[50] A. Gandelli, F. Grimaccia, M. Mussetta, P. Pirinoli, R. E. Zich:Genetical Swarm Optimization: an Evolutionary Algorithm for Antenna Design.AUTOMATIKA 47 (2006) 3− 4, str.105− 112

[51] Sergey Makarov: MoM Antenna Simulation with Matlab: RWG Basis Func-tions.EM Programmer’s Notebook

[52] P.W.Tang, P.F.Wahid: Hexagonal Fractal Multiband Antenna.IEEE Antennas and Wireless letters, vol.3, 2004.

[53] Krzysztof Gdawiec: Fractals. 2006.

[54] Carla M. Riggi: Hutchinson Operators In R3. http:/facweb.uofs.edu/

[55] J. Lacık, Z. Raida: Analyza planarnıch struktur pomocı metody momentu ajejich optimalizace. VUT v Brne, prıspevek

[56] M. V. Berry: Distribution of Modes in Fractal Resonators. University of Bris-tol, Bristol. 1986.

[57] M. V. Berry: Improved Eigenvalue Sums for Inferring Quantum BilliardGeometry. University of Bristol, Bristol. 1986.

121


[58] Sachendra N. Sinha, Manish Jain: A Self-Affine Fractal Multi-bandAntenna. AWPL 0126-2006.

[59] D. H. Werner, P. L. Werner, K. H. Church: Genetically Engineered Multi-band Fractal Antennas. ELECTRONICS LETTERS, Vol. 37, No. 19. 2001.

[60] Z. Baharav: Fractal Arrays Based on Iterated Function System. IEEE, 1999.0-7803-5639-X/99.

[61] P. Hazdra, M. Polıvka, V. Sokol: Microwave Antennas and Circuits Mode-ling Using Electromagnetic Field Simulator.

[62] Christopher Lum: Matlab Class Tutorial. Autonomous Flight Systems Lab-oratory, 2006.

[63] Matt Aasted: Primer on Scripting Comsol with Matlab. 2007.

[64] Andre Waser: On the Notation of Maxwell’s Field Equations.

[65] R. F. Harrington, J. R. Mautz: Theory of Characteristic Modes for Con-ducting Bodies. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. AP-19, No. 5,pp. 622-628, Sept. 1971.

[66] J. C. Malzahn Kampe: Matlab Programming. 1999.

[67] Shardul Bhatia, Wen Eu Cheah: Matlab Documentation for OOP. Dos-tupne na: www.cc.gatech.edu/classes/AY2005/cs1371 spring/

Prace vetsıho rozsahu

[68] Miloslav Capek: Moznosti generovanı fraktalu pomocı IFS. Semestralnı prace,FEL CVUT. Praha, 2006.

[69] Miloslav Capek: Modalnı analyza mikropaskovych patch anten. Bakalarskaprace, FEL CVUT. Praha, 2007.

[70] Miloslav Capek: Implementace vyzarovacıho diagramu v prostredı Matlab. In-dividualnı projekt, FEL CVUT. Praha, 2009.

[71] Pavel Hazdra: Compact Fractal Antenna Structures. Technical Thesis, dep. ofElectromagnetic Field, CTU. Prague, 2005.

[72] Pavel Tisnovsky: Interaktivnı editor afinnıch transformacı. Diplomova prace,VUT. Brno, 1999.

[73] Pavel Hazdra: Fraktalove anteny. Diplomova prace, FEL CVUT. Praha, 2003.

122


[74] Jan Rohan: Navrh patchove anteny pomocı genetickeho algoritmu. Bakalarskaprace, VUT. Brno, 1999.

[75] Geneticke algoritmy. Diplomova prace, Praha.

[76] Miroslav Janosık: Algoritmy pro optimalizaci sıtı GAME. Bakalarska prace,FEL CVUT. Praha, 2006.

[77] Milos Nemec: Optimalizace pomocı mravencıch koloniı. Diplomova prace,CVUT. Praha, 2006.

[78] Martin Stumpf: Frekvencne selektivnı struktury s fraktalnımi motivy.Bakalarska prace, VUT v Brne.

[79] Vlastimil Koudelka: Neuronova sıt’ pro navrh sirokopasmove anteny.Bakalarska prace, VUT v Brne. Brno, 2007.

[80] Ales Marsalek: Multifrekvencnı ozarovac male parabolicke anteny s kruhovoupolarizacı. Diplomova prace, VUT v Brne.

[81] Pavel Hamouz: Analyza anten metodou charakteristickych modu. Diplomovaprace, FEL CVUT v Praze. Praha, 2007.

[82] Robert Zalesak: L-systemy a systemy iterovanych funkcı – Popis a realizacev prostredı Matlab. Bakalarska prace, VUT. Brno, 2007.

[83] Robert Wiesner: Uzitı a zneuzitı fraktalu. Diplomova prace, Masarykova Uni-verzita. Brno, 2006.

[84] Petr Paus: Pocıtacove metody analyzy fraktalnıch mnozin. Diplomova prace,FjFi CVUT v Praze. Praha, 2005.

[85] Marta Cabedo Fabres: Systematic Design of Antennas Using the Theory ofCharacteristic Modes. Ph. D. dizertace, Universidad Politecnica de Valencia,2007.

Internetove zdroje

[86] Fraktaly v pocıtacove grafice, na serveru: www.root.cz. Serial. I.–IV. 2006.

[87] Galleries and Resources: www.fractalus.com. Otevrena galerie fraktalu.

[88] Genetic Algorithms in Plain English:www.ai-junkie.com/ga/intro/gat1.html, ...

[89] Matlab tutorial1:http://artax.karlin.mff.cuni.cz/ beda/cz/matlab/primercz/.

123


[90] Matlab tutorial2:http://uprt.vscht.cz/majerova/matlab/lekce2.html, ...

[91] Simulace elektromagnetickeho pole. Presentace dostupna na: www.elmag.orgnebo www.rfprop.com.

[92] Numericka simulace elektromagnetickeho pole – Simulatory elmag. pole. Presen-tace k predmetu na: www.elmag.org.

[93] Rojova inteligence, mravencnı kolonie. Osobnı stranky zabıvajıcı se mj. rojovouoptimalizacı, na: www.milosnemec.cz.

[94] Objekty a objektove paradigma. http://objekty.vse.cz

[95] Metoda konecnych prvku. http://www.345.vsb.cz/jirihruby/Vmt/

[96] Pocıtacove generovanı fraktalnıch mnozin.http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/∼pauspetr/html/skola/fraktaly/reserse.htm] Toc73066108

[97] Vybrane fraktaly a jejich dimenze.http://www.kitnarf.cz/publications

[98] Humusoft. Stranky vyhradnıho prodejce Matlabu, Comsolu a HeavyHorsestanic v CR. Dostupne na: http://www.humusoft.cz

[99] Matlab. http://www.mathworks.com/

[100] Comsol Multiphysics. http://www.comsol.com/

[101] Computer Simulation Technology. http://www.cst.com/

[102] EM Software & Systems-S.A.. http://www.feko.info/

[103] Benoit B. Mandelbrot: Fractals in Science, Engineering and Finance. Videoprednaska na MIT, http://mitworld.mit.edu/video/52.

124

Rejstrık

σ-algebra, 11sırka pasma, 40

absorbcnı zed’, 84afinnı transformace, 8agent, 83apertura, 71

bazove funkce, 42, 47Banach,Stefan, 7Banachova veta, 7Barnsley, M. F., 3Besicovitch, Abram S., 3Borelovska mnozina, 13

C++, 19callback funkce, 20Caratheodory, Constantin, 14charakteristicke proudy, 50charakteristicky uhel, 51Comsol Multiphysics, 49cost funkce, 86CST-MWS, 62

datovy typ, 21Demko, S., 3Diracuv impuls, 43diskretizace, viz meshdokonala elektricka stena, 44, 49dokonala magneticka stena, 44

Eulerova rovnice, 50excitacnı koeficient, 52

FEKO, 56fraktal, 3Fredholmova teorie, 44

funcional, 46funkce (Matlab), 22

Galerkinova metoda, 43, 46

Holderova funkce, 13handle, 20harmonicky ustaleny stav, 44Hausdorff, Felix, 3Hausdorffova dimenze, 13Helmholtzova vlnova rovnice, 45Hutchinson, John E., 5Hutchinsonuv operator, 5

IFS, 3

Java, 19

kolektivnı chovanı, 82kontrakce, 6Kroneckerovo delta, 51

Lagrangeuv variacnı princip, 49linearnı operator, 41Lipschitzova funkce, 13

mıra, 11mrızkova dimenze, 15Makarov, Sergey N., 52Mandelbrot, Benoit B., 3Matlab, 19mesh, 47, 56metrika, 6Moler, Cleve, 19

napajenı anteny, 39nesmyslne mody, 57Neumannova podmınka, 44

125

Nastroj pro modalnı analyzu FPA Rejstrık

neviditelna zed’, 85

odrazna zed’, 84

pevny bod, 6postupna proudova vlna, 39princip ekvivalence, 71proudova hustota, 67

Register, Andy H, 21rezonance, 46, 50Richardsonuv efekt, 4Ritzova metoda, 46rojova optimalizace, 82RWG bazove funkce, 52

Scierpinskeho trojuhelnık, 17, 127skalarnı potencial, 50, 66skalarnı soucin, 42skript (Matlab), 22sobeprıbuznost, 4sobepodobnost, 4solution space, 83stojata proudova vlna, 39

Thomsonuv princip, 46topologicka dimenze, 11transformacnı matice, 70trojuhelnıkovou nerovnost, 6

vektorovy potencial, 50, 66vlastnı cısla, 45vnejsı normala, 72

126

Kapitola 12

Prılohy

12.1 Dodatek A: Vyber IFS fraktalu

Obrazek 12.1: Fraktal FRC A v prvnı, druhe a tretı iteraci

Obrazek 12.2: Fraktal FRC A inicializacnı objekt a transformace

Parametry IFS:

FRC A.base =

0 0100 050

√5000

127

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 12.1. Dodatek A: Vyber IFS fraktalu

FRC A.tran =

0.5001 0 0 0.5001 0 00.5001 0 0 0.5001 50 00.5001 0 0 0.5001 25

√1250

FRC A.iter =

[3 3 3

]Pocet nodu a polygonu:

1.iterace 2.iterace 3.iteraceNodu 9 27 81

Polygonu 3 9 27

Tabulka 12.1: Parametry kolaze FRC A

Obrazek 12.3: Fraktal FRC B v prvnı, druhe a tretı iteraci

Obrazek 12.4: Fraktal FRC B inicializacnı objekt a transformace

Parametry IFS:

FRC B.base =

−50 −3050 −3050 30−50 30

128


FRC B.tran =

0.2 0 0 0.334 0 00.45 0 0 0.45 27.5 17.50.45 0 0 0.45 27.5 −17.50.45 0 0 0.45 −27.5 17.50.45 0 0 0.45 −27.5 −17.5

FRC B.iter =

[3 3 3

]Pocet nodu a polygonu:

1.iterace 2.iterace 3.iteraceNodu 20 100 500

Polygonu 5 25 125

Tabulka 12.2: Parametry kolaze FRC B

Obrazek 12.5: Fraktal FRC C v prvnı, druhe a tretı iteraci

Parametry IFS:

FRC C.base =

0 044.4 044.4 45.4629.6 45.4629.6 22.7314.8 22.7314.8 45.46

0 45.46

FRC C.tran =

0.334 0 0 0.5 0 00.334 0 0 0.5 14.8 00.334 0 0 0.5 29.6 00.334 0 0 0.5 0 22.730.334 0 0 0.5 29.6 22.73

129


Obrazek 12.6: Fraktal FRC C inicializacnı objekt a transformace

FRC C.iter =[

3 3 3]

Pocet nodu a polygonu:1.iterace 2.iterace 3.iterace

Nodu 40 200 1000Polygonu 5 25 125

Tabulka 12.3: Parametry kolaze FRC C

Parametry IFS:

FRC D.base =

103.9236 0207.8460 60207.8460 180103.9236 240

0 1800 60

FRC D.tran =

0.3350 0 0 0.3350 0 00.3350 0 0 0.3350 66.7 00.3350 0 0 0.3350 −33.5 57.80.3350 0 0 0.3350 100 57.80.3350 0 0 0.3350 0 115.50.3350 0 0 0.3350 66.7 115.5

FRC D.iter =

[3 3 3

]

130


Obrazek 12.7: Fraktal FRC D v prvnı, druhe a tretı iteraci

Obrazek 12.8: Fraktal FRC D inicializacnı objekt a transformace

Parametry IFS:

FRC E.base =

1 00.5 0.886−0.5 0.886−1 0−0.5 −0.8860.5 −0.886

FRC E.tran =

0.5 0 0 0.5 −0.5 00.5 0 0 0.5 0.25 0.4430.5 0 0 0.5 0.25 −0.443

FRC E.iter =

[3 3 3

]131



Nodu 36 216 1296Polygonu 6 36 216

Tabulka 12.4: Parametry kolaze FRC D

Obrazek 12.9: Fraktal FRC E v prvnı, druhe a tretı iteraci


Nodu 18 54 162Polygonu 3 9 27

Tabulka 12.5: Parametry kolaze FRC E

Parametry IFS:

FRC F.base =

−50 −30−50 3050 3050 −30

FRC F.tran =

0.15 0 0 0.3 0 00.5 0 0 0.35 30 180.5 0 0 0.35 30 −180.5 0 0 0.35 −30 180.5 0 0 0.35 −30 −18

FRC F.iter =

[3 3 3

]

132


Obrazek 12.10: Fraktal FRC E inicializacnı objekt a transformace

Obrazek 12.11: Fraktal FRC F v prvnı, druhe a tretı iteraci

Parametry IFS:

FRC H.base =

4.6194 1.91341.9134 4.6194−1.9134 4.6194−4.6194 1.9134−4.6194 −1.9134−1.9134 −4.61941.9134 −4.61944.6194 −1.9134

FRC H.tran =

0.3333 0 0 0.3333 3 00.3333 0 0 0.3333 0 30.3333 0 0 0.3333 −3 00.3333 0 0 0.3333 0 −30.3333 0 0 0.3333 0 0

FRC H.iter =

[3 3 3

]

133


Obrazek 12.12: Fraktal FRC F inicializacnı objekt a transformace


Nodu 20 100 500Polygonu 5 25 125

Tabulka 12.6: Parametry kolaze FRC F

Parametry IFS:

FRC J.base =

−1 −1−1 11 11 −1

FRC J.tran =

0.5 0 0 0.5 0 00.3 0 0 0.3 0.7 0.70.3 0 0 0.3 −0.7 0.70.3 0 0 0.3 −0.7 −0.70.3 0 0 0.3 0.7 −0.7

FRC J.iter =

[3 3 3

]

134


Obrazek 12.13: Fraktal FRC H v prvnı, druhe a tretı iteraci

Obrazek 12.14: Fraktal FRC H inicializacnı objekt a transformace

Parametry IFS:

FRC K.base =

−0.75 0.75−0.75 −0.75−0.25 −0.75−0.25 −0.250.25 −0.250.25 −0.750.75 −0.750.75 0.750.25 0.750.25 0.25−0.25 0.25−0.25 0.75

135



Nodu 40 200 1000Polygonu 5 25 125

Tabulka 12.7: Parametry kolaze FRC H

Obrazek 12.15: Fraktal FRC J v prvnı, druhe a tretı iteraci

FRC K.tran =

0.334 0 0 0.334 0 00.334 0 0 0.334 0.5 0.3750.334 0 0 0.334 0.5 −0.3750.334 0 0 0.334 0.5 0.3750.334 0 0 0.334 −0.5 −0.375

FRC K.iter =

[3 3 3

]

136


Obrazek 12.16: Fraktal FRC J inicializacnı objekt a transformace


Nodu 20 100 500Polygonu 5 25 125

Tabulka 12.8: Parametry kolaze FRC J

Obrazek 12.17: Fraktal FRC K v prvnı, druhe a tretı iteraci


Nodu 60 300 1500Polygonu 5 25 125

Tabulka 12.9: Parametry kolaze FRC K

137


Obrazek 12.18: Fraktal FRC K inicializacnı objekt a transformace

138

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 12.2. Dodatek B: Simulace vybranych FRC

12.2 Dodatek B: Simulace vybranych FRC

Obrazek 12.19: VD pro 1. mod kolaze FRC F (CST-MWS)

139


Obrazek 12.20: VD pro 2. mod kolaze FRC F (CST-MWS)

140


Obrazek 12.21: Mody struktury FRC C (CM, 1-8 zleva doprava)

Obrazek 12.22: Mody struktury FRC J (CM, 1-4 zleva doprava)

141


Obrazek 12.23: Proudove rozlozenı dominantnıch modu

142

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 12.3. Dodatek C: Prehled aplikacı

12.3 Dodatek C: Prehled aplikacı

Obrazek 12.24: Schema celeho projektu

Nazev Status KomentarAntTool 09/08 pozastaveno

IFSMaker nedokonceno +sweep, FEM, poly a dalsıIFSLimiter 11/08

PSOptimizer 1/09 +multiple-min, DBT, GSO / SPSOPSOPost 2/09 volba dimenzı, dalsı udaje

EvalInFem 10/08 max fr podle mesheEvalRadPattern 03/09 upravit algoritmus

OptimRadPattern neDBT ne podle licence

Tabulka 12.10: Prehled vsech vyvinutych nastroju

143

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 12.4. Dodatek D: Prıkazy AntTool

12.4 Dodatek D: Prıkazy AntTool

Prıkaz Operaceadd pt x,y ulozı bod [x, y]

add tr a,b,c,d,e,f ulozı transf. podle [a, b, c, d, e, f ]add it x ulozı pocet iteracı, v rozsahu (1, 15)

save pt X ulozı vsechny body do souboru points arrayX.matsave pt otevre dialog, uklada do zadaneho txt souboru

save tr / tr X ukladanı transformacı, podobne jako u bodusave ifs X ulozı polygony (cell) do externıho souboru

save ifs x,y,z jako vyse, ale od iterace y do iterace zsave pc screenshot obrazku, otevre vyber moznostı

load pt X nacte slot X s bodyload pt otevre dialog pro vyber txt souboru

load tr / tr X nacıtanı transformacı, jako u boducor pt x umoznı opravit bod c.xcor tr x lze opravit transformaci x

del pt x,y,z,. . . smaze body c.x,y,z,. . .del tr x,y,z,. . . smaze transformace c.x,y,z,. . .

del pt/tr 0 maze vsechny body/transformacesw pt vykreslı zadane bodysw tr vykreslı zadane transformacesw ifs vykreslı celou kolaz

sw ifs y,z vykreslı IFS od iterace y do zsolve ifs vypocte IFS fraktalsc txt nacte a vyresı skript z B program source/script data1.txt

about ant otevre info okno

Tabulka 12.11: Prehled1 dostupnych prıkazu programu AntTool (Matlab)

Vetsina uvedenych prıkazu ma vıce tvaru, rozsirujıcı jejich moznosti. Tentoprehled je zakladnı a mel by umoznit vytvorit a vykreslit kolaz. I kdyz funkci Ant-Toolu prevzal IFSMaker, je vhodne tyto prıklady uvest, nebot’ dokladujı, ze i vMatlabu lze vytvorit fungujıcı konzoly zalozenou na presnem tokenizeru a rychleinterpretaci rozdelenych prıkazu.

12.5 Dodatek E: Srovnanı programu

Tato prıloha dokladuje vyvoj vybranych aplikacı od BP k DP.

144

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 12.5. Dodatek E: Srovnanı programu

Vyzaduje pripojeny Comsol Multiphysicsconv ifs prevede IFS na FEM geometrii

conv ifs y,z prevede IFS na FEM geometrii od it. y do zconv poly prevede polygony na FEM geometriisw geom vykreslı FEM geometrii

siz ifs xk,yk body kolaze jsou nasobeny xk,ykdim ifs slot najde max. rozmer kolaze a ten vypıse

mesh geo Y,Z diskretizuje FEM geometrii, Y je multiplik., Z ∼ Qmina dalsı . . .

Tabulka 12.12: Prehled2 dostupnych prıkazu programu AntTool (Comsol)

Obrazek 12.25: CM solver z BP (vlevo) a z DP (vpravo)

145

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 12.5. Dodatek E: Srovnanı programu

Obrazek 12.26: IFS editor z BP (dole) a DP (nahore)

146

Nastroj pro modalnı analyzu FPA 12.6. Dodatek F: Obsah DVD

12.6 Dodatek F: Obsah DVD

DVD prilozene k hotove praci obsahuje:

• Zdrojovy kod vsech programu v Matlabu, slozka mfiles

• Vzory FRC promenych, PsoData, vysledky a hladiny funkcı, vars

• Pres 250 obrazku1 (z DP, vysledky, fraktaly a dalsı), doc

• Excel tabulku s fraktaly, optimalizacnımi ulohami a jejich vysledky, doc

• Publikovane clanky, Artics

• Vybrane clanky z Literatury, Liter

• Schemata, data a mfile soubory k normale v Matlabu, Norm

• CST model FRC F ma 10mm, CST

• Videa (Video):

– CST animace rozlozenı proudu na FRC

– Analyza pomocı EvalInFem, vc. chybneho zadanı

– Ukazka tvorby IFS v IFSMakeru

– Tutorial na IFSLimiter

– Zaznam optimalizace IFS pomocı PSO a CM (cely projekt)

– Pohyb roje nad FRC, uloha H2, 100 iteracı

1Pozn.: Nenı-li uvedeno jinak, jsou vsechny obr. dılem autora (Corel, Visio, Photoshop . . . ).

147

Date post:	30-Mar-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

DIPLOMOVA PR ACE - cvut.cz · 2014-08-23 · ii Pod ekov an R ad bych pod ekoval n ekolika lidem,...

Documents