Dukazy MatI Kopec

8/17/2019 Dukazy MatI Kopec

1/62

ě ů řě

:

8.10.2010 15:53


2/62

2

........................................................................................................................................................ 8

*V ................................................................................................................................. 8

M ůů .................................................................................................................................... 8

*Př ů ....................................................................................................................................... 8

*Nř ů ................................................................................................................................... 8

*Dů .................................................................................................................................... 8

*M ........................................................................................................................ 8

M ................................................................................................................................................... 8

D : ............................................................................................................................ 8

D , : ................................................................................................ 8

Vě 1 M ..................................................................................................... 8

Vě 2 C ........................................................................................................ 9

Č ................................................................................................................................. 10

M ř č ............................................................................................................. 10

M č ...................................................................................................................... 10

M č ............................................................................................................ 10

R č .................................................................................................................................... 11

V č : .................................................................. 11

V ř č : ............................................................................ 11

A : ................................................................................................................................ 11

K č .............................................................................................................................. 12

Vě ě .......................................................................................................... 12

D ........................................................................................................................... 12

Vě 3 ....................................................................................................................... 12

Vě 4 č .......................................................................................................... 13

Vě 5 A .................................................................................................... 14


3/62

3

Vě 6 ě ............................................................................................................ 14

Vě 7 ě ℚ ℝ ∖ ℚ ........................................................................................................ 16L ............................................................................................................................... 17

.................................................................................................................................................. 17

D .................................................................................................................... 17

D .................................................................................................... 17

D ...................................................................................................... 18

D ........................................................................................................................ 18

K ................................................................................................................ 18

D .............................................................................................. 18

Vě 8 č ....................................................................................................... 18

Vě 9 . .............................................................. 19

D ...................................................................................................... 20

Vě 10 .......................................................................................... 20

Vě 11 .............................................................................................................. 20

Vě 12 ..................................................................................................... 22

Vě 13 ř ........................................................................................................ 22

Vě 14 ......................................................................................................... 24

N ............................................................................................................ 24

D .......................................................................................... 24

Vě 9 ............................................................................. 25

Vě 14 ..................................................................................................... 25

D ř ........................................................................................................ 25

Vě 11 .............................................................................................. 26

Vě 15 ě ..................................................................................................... 26

Vě 16 ě .................................................................................. 26


4/62

4

Vě 17 BW ..................................................................................................... 26

Z ............................................................................................................................................... 28

.................................................................................................................................................. 28

D : ........................................................................................................................ 28

Zč: ......................................................................................................................................... 28

*Vč ...................................................................................................................................... 29

*P ........................................................................................................................................... 29

Dč ................................................................................................................ 29

D ................................................................................................................................ 29

D .................................................................................................................. 29

*Z ......................................................................................................................... 29

*S ........................................................................................................................ 29

*R ............................................................................................................. 29

*P .......................................................................................................................... 29

*Z .......................................................................................... 29*B ......................................................................................................................................... 29

*I .............................................................................................. 29

*I ........................................................................................................................................ 29

F ě ............................................................................................................ 29

.................................................................................................................................................. 29

D .............................................................................................................................. 29

D / .................................................................................................. 30

D ........................................................................................................... 30

D ........................................................................................................................ 30

L ..................................................................................................................................... 30

D ........................................................................................................................ 30


5/62

5

D ě ........................................................................................................ 30

Vě 18 č ......................................................................................... 31

*D ......................................................................................... 31

*D ...................................................................................................... 31

D .............................................................................................................. 31

Vě 19 ........................................................................................................ 31

*Vě 20 ............................................................................................................ 32

Vě 21 ě ..................................................................................................... 35

Vě 22 , 2 .......................................................... 35

Vě 23 ..................................................................................................... 38

Vě 24 H () ............................................................................................................ 39

D .......................................................................................................................... 40

Vě 25 ............................................................................................... 40

F ............................................................................................................... 40

D .............................................................................................. 40

Vě 26 ............................................................................ 40

Vě 27 B, .................................................................................. 41

*L 28 .................................................................................................................... 42

Vě 29 ............................................................................... 43

D ............................................................................................................ 43

D ů ............................................................................................................ 44

Vě 30 H ( , ) ........................................................................ 44

L 31 ě ..................................................... 44

*Vě 32 ů .................................................................................................... 45

Dů 33 ....................................................................................... 45

Vě 34 ............................................................................................... 45


6/62

6

Z ......................................................................................................... 45

Vě 35 ........................................................................................................ 45

V ů: ................................................................................. 45

D ................................................................................................................................. 46

D ............................................................................................................... 46

D č .................................................................................................................. 46

Vě 37 ....................................................................................................... 47

Vě 38 ........................................................................................................ 47

Vě 39 ................................................................................................ 49

Vě 40 ............................................................................................... 50

Vě 41 .............................................................................. 51

H ě ............................................................................................................. 52

Vě 42 R ............................................................................................................................... 52

Vě 43 L, ř ě ......................................................................................... 52

Vě 44 ............................................................ 53

Vě 45 č ..................................................................................... 54

Vě 46 H ................................................................................................... 54

D ...................................................................................................... 54

K .............................................................................................................. 54

K ..................................................................................................................... 54

Př ..................................................................................................... 55

D ............................................................................................ 55

L 47 ............................................................................................. 55

Vě 48 ........................................................................................... 56

D č č ....................................................................................... 57

D ............................................................................................................... 57


7/62

7

Vě 49 ........................................................................................... 58

Vě 50 č ................................................................................... 59

Půě ................................................................................................................................... 60

D ............................................................................................................ 60

T 51 ...................................................................................................................................... 60

Vř ůě ............................................................................................................. 62


8/62

8

*

M ůů

*ř ů

*Nř ů

*Dů

*M

M

D :

č ů ů .

D , :

Ř, ⊂ ℝ , č ∈ ℝ ,

∈

≥ . T č

. A

. Ř, ⊂ ℝ , .ě 1 M

ě ž ,, … , . í: ∖ = ( ∖ )

∖ = ( ∖ )

M , :

P = 1:

∖

= ( ∖ )


9/62

9

T:

∖ = ∖ P

n = n + 1:

CHCI:

( ∖ ) U:

∖ = ∖( ∩ ) = = ∖ ∪ ( ∖ ) =

P č ř, ů

= ( ∖ )

∪ ( ∖ ) =

S :

∪ =

T:

= ( ∖ )

ě 2 C

Nť , … , , , … , č. P :

≤


10/62

10

ů ěě ě

P = ⋯ = = 0 í O ň

0.

Dů , č () č ( ), ě ř:

() = ( + ) P ř :

() =

+ 2

+

F . ř, ≤ 0. P:4

− 4

≤ 0

4

≤ 4

Č

M ř č

ℕ = 1,2,3,4,… M č

ℤ = ℕ ∪ 0 ∪ −; ∈ ℕ = …,−2,−1,0,1,2,… M č

ℚ = ; ∈ ℤ, ∈ ℕ Přč

= , ě ∙ = ∙


11/62

11

č

M č ℝ ě , č (č + ∙), ř (č ≤), řč ň ř .

• V č .

• V ř č .

• A .

č :

• ∀, ∈ ℝ: + = + ( č )• ∀, , ∈ ℝ: + ( + ) = ( + ) + ( č )•

ℝ (č 0 ř ),

∈ ℝ

+ 0 = • ∀ ∈ ℝ ∃ ∈ ℝ: + = 0 ( . č č č , , č −)• ∀, ∈ ℝ: ∙ = ∙ ( )• ∀, , ∈ ℝ: ∙ ( ∙ ) = ( ∙ ) ∙ ( )• ℝ (. , č 1), ∈ ℝ 1 ∙ = • ∀ ∈ ℝ ∖ 0 ∃ ∈ ℝ: ∙ = 1 ( , č )• ∀, , ∈ ℝ: ( + ) ∙ = ∙ + ∙ ()

ř č :

• ∀, , ∈ ℝ: ( ≤ ∧ ≤ ) ⇒ ≤ ()• ∀, ∈ ℝ: ( ≤ ∧ ≤ ) ⇒ = ( )• ∀, ∈ ℝ: ≤ ∨ ≤ • ∀,, ∈ ℝ: ≤ ⇒ + ≤ + • ∀, ∈ ℝ: (0 ≤ ∧ 0 ≤ ) ⇒ 0 ≤ ∙

A :

B M . P č ∈ ℝ, :) ∀ ∈ : ≥ )

∀ ∈ ℝ, > ∃ ∈ : < ) T ∀ℰ ∈ ℝ, ℰ > 0 ∃ ∈ : < + ℰ ) č , ě č M

K

I M ě


12/62

12

R č 1 3 č čě

P ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ K č

M č ů + , , ∈ ℝ.M č č. N ℂ č ň 1 ∙ = −1

ě ě

Nť ∈ ℕ, , … , ∈ ℂ, ≠ 0 . P + + + ⋯ + + = 0 ň ř ∈ ℂ.

D

B ⊂ ℝ. Č ∈ ℝ ň• ∀ ∈ : ≤ •

∀

∈ ℝ,

< ∃ ∈ : >

.

ě 3

Nť ⊂ ℝ . P M

Z

= −; ∈

M , A

M , A

T: ∃ inf = , :

∀ − ∈ : − ≥ ⇒ ≤ − Z :


13/62

13

∀ℰ ∈ ℝ, ℰ > 0 ∃ − ∈ : − < + ℰ T:

∀ℰ ∈ ℝ, ℰ > 0 ∃ − ∈ : > − − ℰ

A M = −; ∈ , :∀ℰ ∈ ℝ, ℰ > 0 ∃ ∈ : > − − ℰ – ň ě , ,

sup = − = inf ∎

ě 4 č

P ∈ ℝ č č , . č ∈ ℤ , : ≤ < + 1

P = ∈ ℤ; ≤ C, ( ů ě 3 )S , N : = ∈ ℤ; ≤ T ℤ , ř ( ř 0 T

= inf (ℤ), ∈ ℝ

T ∀ ∈ ℤ: ≥ J

( − 1) ∈ ℤ − 1 ≥ ≥ + 1

, + 1 , SPOR!


14/62

14

T ∃ sup = H ≤ − 1 ( + 1) > ⇒ ( + 1) ř ⇒ + 1 > ř, ě ≤ P

∀ ∈ ℝ ∃ ∈ ℤ: ≤ < + 1 ∎

ě 5 A

K ∈ ℝ ∈ ℕ ň < .

V = + 1, ℤ ℕ, = max +1,1 ∎

ě 6 ě

K ∈ 〈 0 ; +∞) ∈ ℕ ∈ 〈 0 ; +∞) ň = .

č, :

= , = , ≠ BNO < < ⇒ SPOR!P = 0 , č ≠ 0, ∈ ( 0 ; +∞) N , ∃! = P

= ∈ 〈 0 ; +∞),

≥


15/62

15

(ň 1 ) T , :

= inf P > C , ( − ℎ) > , č .T:

0 < ℎ < min − ; N ň :

ℎ > 0 ℎ 0 U ( − ℎ):

( − ℎ)

= ( − )

−

+

=

= + ( − ℎ − ) ∙ (( − ℎ) + ⋯ + ) > A ( − ℎ) < ( − ℎ) > 0 :

> − ℎ ( + + ⋯ + ) = = − ℎ () >

P :

> − − ( ) = T:

( − ℎ) > P ( − ℎ) ∈ SPOR .P < C , ( + ℎ) < , č .


16/62

16

T:

0 < ℎ < min 1; − ( + 1) N ň : ℎ > 0

ℎ < − ( + 1) ℎ < 1

U ( + ℎ):( + ℎ) = ( + ℎ) − + = = + ( + ℎ − )(( + ℎ) + ( + ℎ) + ⋯ + ) =

= + ℎ (( + ℎ) + ( + ℎ) + ⋯ + ) < A


17/62

17

∈ ℚ ň < < C ě ∈ ℚ:

= , ∈ ℤ, ∈ ℕ

Z A ∃∈ ℕ , > , − > P ∈ ℤ , ∈ ( ; ), < = = < T :

č, čě ě

, č. T č . N

, č . ∈ ℝ ∖ ℚ ň < < V , ∈ ℚ, < < < V řč ě ě , √ , , 1. Č č .

= + 1√ 2 ( − ) N ∈ ( ; ) ⊂ ( ; ) ∈ ℝ ∖ ℚ ∎

L

D

J ř č řř č , ř, č. Č č .P , = ∈ ℕ. čů

∈ ℝ; ∃ ∈ ℕ: = D

Řě, :


18/62

18

, čů

+

D

Řě, : , < ∈ ℕ +

D

+ = +

+ č

P č , = P ∈ ℝ , =

K

D

Ř, č ∈ ℝ , č ∈ ℝ, > 0 ř č ∈ ℕ , ř č ≥ | − | < , .:∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : | − | <

Řě,

, ,

∈ ℝ,

ě 8 č K č

→ = , = P:

P

lim = ⇔ lim( − ) = 0

B :


19/62

19

lim→ = ∧ lim→ = Ú >

P . Z

<

,

∃ , ,

:

∀ > : | − | < ∀ > : | − | <

T ,

∀ > : ∈ ( − ; + )

∀ > : ∈ ( − ; + )

J = max ; , ě , ,

∀ > : − < < + ∧ − < < +

J < í : + < −, <

∎ ě 9 .

K .

V lim→ Z ∈ ℝ, > 0 Z , ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : | − | < T , č ě, − , +


20/62

20

T < , čě (), = max| | + , ||, ||, … , ů , : ∀ ∈ ℕ: || ≤, ě .

∎

D

Nť č. Řě, ( ), ř č , = ∈ ℕ.

ě 10

Nť

. J

lim→ = ∈ ℝ, lim→ = .D :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : | − | < T čě > : = , A , , :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ > : − < ě 11

Nť lim→ = ∈ ℝ lim→ = ∈ ℝ , :() lim→( + ) = + () lim→() = () P ≠ 0 ≠ 0 ∀ ∈ ℕ, lim→ = () lim→( + ) = + C:

| + − − | < T :

| − + − | ≤ | − | + |b − | < 2 2


21/62

21

() lim→() =

C:

| − | < V , ě − − :

| − + − | = | ( − ) + ( − ) | T :

≤ | ||( − )| + |||( − )| | − A | < | − B | < , :


22/62

22

≤ 1 ( − A ) + AB ( − B ) ≤ 1

||| − A | + |A|

|B|| − B |

| − A | < | − B | < < 1|| + |A||B|

= | B| + |A||||B| Pě 2) ů , ∃ ∈ ℝ ∀ ∈ ℕ: b ≥ K

≤ | B| + |A|K|B| A

|||||| ∎

ě 12

Nť lim→ ť . P lim→ = 0 V, , :

∀ ∈ ℕ: || < N ě ( P VO2P

, ř )0 ≤ | | = | ||| ≤ || ∎

ě 13 ř

Nť lim→ = ∈ ℝ lim→ = ∈ ℝ ()

Nť ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : ≥ , ≥ () Nť < , ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : <


23/62

23

() S

< 2) :

∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : < b A SPOR.

() Z

= ( ∀ ∈ ℝ, )∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : | − A | <

− A < < + ε ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : | − B | <

|B−| < B− <

> −

, :

= max , ∀ ≥ :

< + ε ∧ > − J :

< + − 2 ∧ > − − 2 < 2 + − 2 ∧ > 2 − ( − )2

< + 2 ∧ > + 2 T:

< + 2 <


24/62

24

P:

<

∎

ě 14

Nť lim→ = lim → = ň :∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : ≤ c ≤ b

P:

lim→ = A V ∈ ℝ, > 0 V:

∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : | − A | < ⇒ > − ε ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : | − A | < ⇒ < + ε

P:

= max; ; N ∀ ≥ m :

− ε < ≤ c ≤ b < + ε T:

|c − A | <

∎ N

D

Řě, +∞ ( č), :

∀ ∈ ℝ ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : >

Řě, −∞ ( č), :


25/62

25

∀ ∈ ℝ ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : < ě 8 č +∞ −∞. J lim→ , ř, , +∞. A −∞. J lim→ ∈ ℝ , ř, , lim→ = ∓∞

, ř, .

ě 9 . P ě 9.

ě 9

Nť lim→ = +∞ . P , .Nť lim→ = −∞ . P , .

ě 10 ( ) .

ě 13 ( ř) ě 14 ( ) .D ě 14.

ě 14

Bď ě .J

lim→

= +∞

∃

∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥

: b

≥ ,

lim→

= +∞

J lim→ = −∞ ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : b ≤ , lim→ = −∞ D ř

Rř ∗ = ∪/−∞;+∞ ř ř ℝ:

• < +∞ −∞ < ∈ ℝ, −∞ < +∞ • + (+∞) = ( +∞) + = +∞ ∈ ℝ∗ ∖ −∞ •

+ (−∞) = ( −∞) + = −∞

∈ ℝ∗ ∖ +∞

• ∙ (±∞) = ( ±∞) ∙ = ±∞ ∈ ℝ∗, > 0 • ∙ (±∞) = ( ±∞) ∙ = ±∞ ∈ ℝ∗, < 0 •

± = 0 ∈ ℝ.

Ně . J :(−∞) + (+∞), (+∞) + (−∞), (+∞) − (+∞), (−∞) − (−∞) (+∞) ∙ 0 , 0 ∙ (+∞), 0 ∙ (−∞), 0 ∙ (−∞) ,

,

,

,

∈ ℝ∗


26/62

26

ě 11

Nť lim→ = ∈ ℝ lim→ = ∈ ℝ , :()

lim→( ± ) = ± ,

() lim→() = , () P ≠ 0 ≠ 0 ∀ ∈ ℕ, lim→ = ,

ě 15 ě

Nť lim→ = ∈ ℝ ∗, > 0, lim→ = 0 ∈ ℕ , ∈ ℕ, ≥ , > 0 . P:

lim→ = +∞

ě 16 ě

K .

• J , lim→ = sup ; ∈ ℕ • J , lim→ = inf ; ∈ ℕ

ě 17 B

Z ů .

ť :∃, ∈ ℝ ∀ ∈ ℕ: ≤ ≤

, , ň:1)

ℕ, ů ů

2) , , ∀ ∈ ℕ: ≤ 3) : ∀ ∈ ℕ: ≤ ≤ 4) (ě )

lim→ = lim→ lim→ − lim→ = 0 →

− = 0 (VOAL)


27/62

27

, ě , ď .

V č , .V

〈; 〉 ě :

〈; + 2 ) ∪ 〈 + 2 ; 〉 P , ň ů čě čů . ( )T č 〈; 〉 Dů . Ič ř ě:

B 1) ∃ ∈ ℕ: ∈ 〈 ; 〉, > B 2)

= , < nebo < , = B 3)

≤ ≤

B 4) ř , ř, , → − = 0 − = − 2

P ěř:

B 1)

∃ ∈ ℕ: ∈ 〈 ; 〉

B 2)

= , < < , = B 3)

≤ ≤ B 4)


28/62

28

− = − 2 č ( č č ů):

P, :∃ ∈ ℕ: ∈ 〈 ; 〉 ≤ ≤

− = − 2 = i.p.= − 22 = − 2

S:

V . I ě ů ř , ℕ K ů ř , ň

V ň ∀ ∈ ℕ: ≤ ≤ lim→ − = lim→ −

2 = 0

∎

D :

Nť , , ř, řř č:

•

: → • : → ()


29/62

29

*č

*

Dč

D

G ; ∈ × ; ∈ , = () D

O

: → :

() = (); ∈ = ∈ ; ∃ ∈ :() =

*

*

*

*

* *B

*I

*I

F ě

D

F ě ( ) : → ℝ, č.


30/62

30

D /

F : → ℝ , , ∈ , < , () < (). A ( , )

.

D

(. ) , , (. , ) .

D

Nť ⊂.Ř, •

, ∈ – ∈ () = −() • , ∈ − ∈ () = () • ∈ ℝ, > 0, ∈ ( + ) ∈ ,( − ) ∈ () = () = () • , č ∈ ℝ , ∈ () ≤ • , č ∈ ℝ , ∈ () ≥ • , č ∈ ℝ , ∈

() ≤

L

D

Nť ∈ ℝ > 0.P (, ) = ( − ; + ) (, ) = ( − ; +) ∖ . +∞ (. −∞) :(+∞,) = (+∞,) = ( 1 ⁄ ; +∞ ) (−∞,) = (−∞,) = ( −∞;−1 ⁄ )

D ě

Ř, č ∈ ℝ∗ ě, ∈ ℝ ∗, :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ∈ (, )


31/62

31

ě 18 č

F ě ∈ ℝ∗. T č

lim→ () =

S:

lim→ () = , lim→ () = , ≠ N ∈ ℝ, > 0 , + < − ( ±∞ ± )P :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () (, ) ∧ ∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () (, )

Př + < − , : − < () < + < − < () < +

() < () SPOR!

∎ *D

*D

D

Ř, ě ∈ ℝ∗, lim→ () = () N:

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ((), ) ě 19

P ě ∈ ℝ∗, ∃ ∈ ℝ, > 0: (, )


32/62

32

Z :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () (, ) T:

∃ > 0 ∀ ∈ (, ): B − < () < + ∎

*ě 20

()

lim→ () + () = +

() lim→ ()() = () lim→ ()() =

P ě

Nť ě ∈ ℝ. P + ě .P () ≠ 0 , ě .

ř ů ()

Z ř.: ( )

∈ ℝ, = +∞ C:

lim→ () + () = + ∞ = +∞ ∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () + () ∈ (+∞, )

N: ∀ ∈ ℝ ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () + () > ∈ ℝ Z :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ∈ (, ) ∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ∈ (+∞,)

Z č , ( ∀ ∈ ℝ, 1): ∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () > − 1


33/62

33

A (( − + 1) ∈ ℝ , ∀ ∈ ℝ, ( − + 1)):∀ ∈ ℝ ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () > − + 1

N , ě : = min, P ů ř,

∀ ∈ ℝ ∀ ∈ (, ): () + () > − 1 + − + 1 = T:

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () + () ∈ (+∞,)

T.:

lim→ () + () = + Dů () :/

ů ():

V:

, ∈ ℝ, ∈ ℝ, > 0 C:

∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): ()() ∈ ( , ) T:

()() − < B − − , ě , :

()() − = () − () () =

− + −


34/62

34

( − ) + ( − )

≤ T ( ů ě):

≤ | | () − + | |() − ()|| = ≤ 1() () − + 1() | ||| () − =

T:

Př , , , ř () − ,() −

() ě č, , ě, ,

ř č . T č :

Z , :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ∈ (; ) T :

∃

∈ ℝ,

> 0 ∀ ∈ (,

): ()

∈ (;||2 )

Z č :

() > | |2 () < ||

D , :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ∈ (; )

N ( ):∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () − < Z č ( , , ě

∀ ∈ ℝ, > 0 || , ):∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () − < ∙ ||

Pě ( ):


35/62

35

∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () − < ∙ | || | N ň:

= min ; ; A ď ř ( ě , 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): ()() − < ∎

ě 21 ě

Nť ∈ ℝ∗. Nť lim→ () = 0 , lim→ () = ∈ ℝ ∗ > 0. J > 0 , (,), lim→ ()() = +∞ .ě 22 , 2

Mě ∈ ℝ∗.()

Nť lim→ () > lim → ()ť. P (,) , :

∀ ∈ (, ): () > () () Nť (,) , ∀ ∈ (, ): () ≤ ().

Nť lim→ () lim→ (). P :lim→ () ≤ lim→ ()

()

( ) Nť ě (,) () ≤ ℎ () ≤

() ť

lim→

()

= lim→

(). P ě

lim→

ℎ()

ř .


36/62

36

Nť ∈ ℝ∗, (,) lim→ () = 0 . Plim→ ()() = 0 Dů ()

Nť lim→ () = lim→ () = , ř > ∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ( , ) ∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () (, )

Z < | | , , . T. : + < −

K , : − < () < + < − < () < + T:

∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () < () ∎

Dů ()

P:

∀ ∈ (, ): () ≤ () lim→ () = lim→ () =

A :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ( , ) ∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () (, )

Z , ě ň: = min;

T :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ):


37/62

37

− < () < + − < () < +

() ≤ ()

N :

< Z < | | , , . T. :

+ < −

J:

() < + < − < () ∧

() ≤ () A SPOR!

∎ Dů ()Z ∈ ℝ, > 0 P :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ( , )

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () (, )

Z , ě ň. = min;

Př :

() ≤ ℎ () ≤ () P:

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ):


38/62

38

− < () ≤ ℎ () ≤ () < + ∎

ě 23

Nť ,, ∈ ℝ∗, lim→ () = , lim→ () = ě ň :

P) ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ≠ S) ě A

P : lim→( ∘ )() = P) , ě ( )

(S) Př, .Z ∈ ℝ, > 0 Vě ( A, ů ):

∃δ > 0 ∀ ∈ (A, δ): f () ∈ B(B,ε) Vř ( ě + , ε, δ):

∃δ > 0 ∀ ∈ P (c, δ): g() ∈ B(A,δ ) N , ,

g() , ř

f (). Dů , f () ů .Z δ , ě ň:

δ = min δ; δ P ů :

∃δ > 0 ∀x ∈ P(c, δ): ( f ∘ g )() ∈ B(B,ε) A , .


39/62

39

(P) Př, ěZ ∈ ℝ, > 0 Vě ( ):

∃δ > 0 ∀ ∈ P (A, δ): f () ∈ B(B, ε) Vř ( ě, ů + , ε, δ):

∃δ > 0 ∀ ∈ P (c, δ): g() ∈ P(A, δ ) Z:

δ = min δ; δ P ů :

∃δ > 0 ∀ ∈ P(c, δ): ( f ∘ g )() ∈ B(B, ε) A č.

∎ ě 24 H ()

Nť ∈ ℝ∗, ∈ ℝ∗ lim→ f () = C . J ň ∈ ∖ ∈ ℕ lim→ = , lim→ () = .

V:

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0 ∀ ∈ (, ): () ∈ (,) ∀ > 0 ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : | − | <

N ( ):

∀ > 0 ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : (, ) A ∀ ∈ ℕ: ≠ :

∀ > 0 ∃ ∈ ℕ ∀ ∈ ℕ, ≥ : (, ) P ů :

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0: ∈ (, ) ⇒ () ∈ (, )

∎


40/62

40

D

Nť , ∈ ℝ∗, < .P ř

(; )

∈ ℝ, < < .

ř 〈; 〉 ≤ ∈ ℝ, ≤ ≤ .ě 25

Nť , ∈ ℝ∗, BNO < . B (; ). P lim→ () lim→ (), řč :J (; ) , :

lim→ () = inf (;)

lim→ () = sup((;)) J (; ) , :

lim→ () = sup (;) lim→ () = inf((;)) F

D

Nť ⊂ ℝ ( čě ů). F : ⟼ ℝ , :• ř ě • ě , ř • ě , ř

ě 26

Nť , : ⟼ , : ⟼ ℝ, . P f ∘ g .

F , ě ... .

T ∈ , ∈ Z ě ě ( (S), ):

lim→ () = ∧ lim→ () =


41/62

41

⇒ lim→( ∘ )() =

T ř , :

( ∘ )() = , , :

lim→ () = () = lim→() () = ( ∘ ) () =

T:

lim→( ∘ )() = ( ∘ ) () ∎

ě 27 B,

B 〈; 〉 ř, () < (). P ∈ ((); ()) ∈ ( ; ) , () = . N ( ůů L. P)

P :

= ∈ 〈 ; 〉, () ≤ V, ≠ ∅ (ě ) M ( ⊆ 〈 ; 〉)T . P

∃ sup = ∈ ℝ M, , ≤ ≤ ⇔ ∈ 〈 ; 〉

D , () = : () <

B ,

.

Pů ě 22 .


42/62

42

lim→ () < lim→ ⇒

∃ > 0 ∀ ∈ (, ): () <

A , ě , ř , .

() > Z ě 22:

∃ > 0 ∀ ∈ (, ): () > T ě ,

, ř

, , , .V, ∈ 〈 ; 〉, :

= ⇒ () = () = ∈ (); () → ! = ⇒ () = () = ∈ (); () → !

P

∈ ( ; )

T , :

∀ ∈ (); () ∃ ∈ ( ; ): () = ∎

*L 28

Nť

⊂ ℝ :

∀, ∈ ∀ ∈ ℝ: < < ⇒ ∈ P .

(ů , ř , ě )

Nť ≠ ∅, = inf

= sup

∀ ∈ : ≤ ≤ (; ) ⊆ ⊆ 〈 ; 〉


43/62

43

V ∈ ( ; ) T ∈ Z

∃ ∈ : > ∃ ∈ : < < <

⊆ 〈 ; 〉 V ∈ 〈 ; 〉 T ≤ ≤ T

∈ ( / )

ě 29

Nť J : → ℝ . P () .U, () ň L 28V

, ∈ ( ), < ⇒ ∃, ∈ : () = , () = V

∈ ℝ, () = < < = () Vě 27 (B, ):

∃ ∈ : () =

∈ () L 28 () .

D

Nť ⊂ ℝ, ∈ ň (. ⊂ ). Ř, ě , :

∀ ∈ : () ≤ ()


44/62

44

B ě . S max čě , ě ( )+ min B ě č .

D ů

Nť ⊂ ℝ, ∈ ň (. ⊂ ). Ř, ě :

• , > 0 , : ∀ ∈ (, ) ∩ : () ≤ () • ,

> 0 , :

∀ ∈ (, ) ∩ : () ≥ () • , > 0 , : ∀ ∈ (, ) ∩ : () < () • , > 0 , : ∀ ∈ (, ) ∩ : () > ()

B , č .

ě 30 H ( , )

Nť ∈ . P ů ň lim = lim() = () L 31 ě

Nť ⊂ ℝ, ≠ ∅ = sup . P ů , lim→ = .

Z , č , ě

č. M

−

. T ,

, .∀ ∈ ℕ ∃ ∈ : > > − 1 T ě

lim→ = P = +∞ ě :

∀ ∈ ℕ ∃ ∈ : >


45/62

45

*ě 32 ů

Nť 〈; 〉. P 〈; 〉 ě () ().

ů

Dů 33

B 〈; 〉. P 〈; 〉 .ě 34

B () J. P ()

()

ě 35

E (č ř ), :

() = ( 0;+∞) ()

log

(0;+∞)

() ∀, ∈ ( 0;+∞): log = log + log ()

lim→ = 1 ů:

1. log 1 = 0 log 1 = log 1 ∙ 1 = log 1 + log 1 = 2 log 1 2 log 1 = log 1 log 1 = 0 2.

∀ ∈ ( 0;+∞):log = − log

• ≠ 0, ů ř log 1 = log = log 1 ∙ 1 ∙ = log 1 + log 1 + log log 1 + log 1 + log = log 1 log 1 + log = 0 log 1 = − log 3.

∀ ∈ ℤ ∀ ∈ ( 0;+∞):log = ∙ log •

= 0 :

log = 0 ∙ log 0 = 0


46/62

46

• ∈ ℕ :• 1. : log = 1 ∙ log log = log o č :

log = ( + 1) ∙ log log ∙ = log + ∙ log log + log = log + ∙ log log = ∙ log • ∈ −; ∈ ℕ

• = − • ∈ ℕ, ě, ∈ ℕ

4. lim→ log = +∞, lim→ log = −∞ • lim→ log = +∞

• L

•

lim→ log = −∞

lim→ log = −∞ lim→ − log = +∞ lim→ log 1 = lim→ log = +∞ 5. 6.

= ℝ 7. ě č ∈ ( 0;+∞) ň log = 1

D

D

Nť ∈ ℝ. P ě ě

′() = lim→ () − ()ℎ ě ě

() = lim→ () − ()

ℎ

ě ě

() = lim→ () − ()ℎ ř .

D č

Nť

ě

∈ ℝ. č

ě

,()

ř


47/62

47

= ; ∈ ℝ ; = () + ′ ()( − ) ě 37

Nť

ě

∈ ℝ . P

ě .

CHCI :

lim→ () = () M , ě :

lim→ () − () = 0

lim→ () − ()

− ( − ) = 0

VOAL:

lim→ () − () − ∙ lim→( − ) = 0 A ( ℝ ), ů ě 22 ( ) , :

() ∙ 0 = 0 0 = 0

∎

ě 38

Př, ě ∈ ℝ ∈ ℝ.P :

() ( + )() = () + () () ()() = ∙ () () ( )() = ()() + ()() () () ≠ 0, :

() = ′ ()() − ()′()()

() () , .


48/62

48

Dů () :

( + )() = lim→ ( + )() − ( + )()ℎ = lim→ () + () − () − ()ℎ

= = lim→ ()

− ()

ℎ ∙lim→ ()

− ()

ℎ = ′ () + ′ ()

Dů ():

S :

() = N ě, ()

Dů ():

Z :

( )() = lim→ ( )() − ( )()ℎ = lim→ () ∙ () − () ∙ ()ℎ = = lim→ () ∙ () − ()() + ()() − () ∙ ()ℎ = = lim→ () ∙ () − () + () ∙ () − ()ℎ = = = lim→ () ∙ lim→ () − ()ℎ

+ lim→ () ∙ lim→ () − ()ℎ

= () () , ě , :

= ′()() + ()′() Dů ():

, , ň () ≠ 0 , č 0 Z :

() = lim→

() − ()ℎ = lim→ ()() − ()()ℎ =

= lim→ 1() ∙ () ∙ ()() − ()()ℎ = = lim→ 1() ∙ () ∙ ()() − ()() + ()() − ()()ℎ = = lim→ 1

() ∙ () ∙ () ∙ () − () − () ∙ () − ()

ℎ =

= lim→ 1() ∙ () ∙ () − ()ℎ () − () () − ()ℎ =


49/62

49

, .= = ′ ()() − ()′()()

∎ ě 39

Nť ě ∈ ℝ , ě ∈ ℝ = (). P:( ∘ )′() = ′ ()′()

Z

( ∘ )′() = lim→ (()) − (()) − = Cě :

= lim→ () − () − ∙ () − ()() − () =

= lim→ () − ()

() − () ∙() − ()

− =

= ′()′() J! Mů , () − () = 0 P

() = () − () − ≠ ′() =

F ě . T ě . A F ě , ů ř, : lim→ () = () ∧ lim→() () = ()

lim→ () = ′ () P:

( ∘ )() = lim→ () − () − = lim→ () ⋅ () − () − =


50/62

50

= = lim→ () ⋅ lim→ () − () − = = ′() ⋅ ′ ()

∎ ě 40

Nť (; ) ě ∈ ( ; ) ′() ů . P ě = () :

()′() = 1

()

= 1

()

P :

() = , = () ()′() = lim→

() − () − = lim→ − () − () = 1 ′() Z () − () ů 0 T ě V39, :

() = () − () − ≠ ′() =

, ě V34 ( ), :

lim→

() = () lim→ () = ()

P V26 (VOSSF):

() = lim→ () = lim→ () − () () − =

A :


51/62

51

= lim→ () − () () − () =

= lim→ −

() − () =

= 1lim→ () − () −

= ( )() T:

() = 1( )()

( )() = 1 () ∎

ě 41

Nť ě ∈ ℝ . J ′(), ′() = 0 .S ť

′()

′() ≠ 0

BNO ′() > 0 ( −′())P ě 22 ( ):

0 < ′() = lim→ () − () − ⇒

∃ > 0 ∀ ∈ (; ): () − () − > 0 N:

∈ (; ): − > 0 ⇒ () − () > 0 ⇒ () > () ∈ (; ): − < 0 ⇒ () − () < 0 ⇒ () < () N, (čě ) ř ě, ů ě , SPOR.

∎


52/62

52

H ě

ě 42

Nť , ∈ ℝ, < :• 〈; 〉 • ( č ) ě ř (; ) • , () = ()

P ∈ ( ; ) ň ′() = 0 .N ř (1. ), (2. ) č ě (3. ) ň ř ě ( 0).

Bď ∀ ∈ 〈 ; 〉: () = (), ′() = 0 N ∃ ∈ ( ; ): () ≠ (). 〈; 〉 , ∈ 〈 ; 〉. P ě 41 ( ) ′() ď, . J ř 2 .

ě 43 L, ř ě

Nť

, ∈ ℝ, <

:

• 〈; 〉 • ( č ) ě (; )

P ∈ ( ; ) , : ′() = () − () −

N ř (1. ), č (2. ) ě ň ř ě ().

U ě ř ěě (R), ě , R.

D () ():() = () − () − () − ∙( −)

T:


53/62

53

V ů () V ř :

() − () − ∙( −)

Oč , č () ň () ř .

Oěř , , () = ():() = () − () − () − ∙ ( − ) = () − () − () = ()

N ů R

:

∃ ∈ ( ; ): ′() = 0 T :

′() = ′ () − () − () − J ′() = 0 :

0 = ′() = () − () − () − () = () − () − ∎

ě 44

Nť

⊂ ℝ . Nť

ř ě

( ř ů č int ) .()

J ′() > 0 ∈ int , .() J ′() < 0 ∈ int , .()

J ′() ≥ 0 ∈ int , .()

J ′() ≤ 0 ∈ int , .


54/62

54

ě 45 č

Nť ě ∈ ℝ lim→ ′(). P () :

() = lim→ () ě 46 H

Nť ∈ ℝ∗ lim→ ()(). Nť :• lim→ () = lim → () = 0 •

lim→() = +∞

P lim→ ()() :lim→ ()() = lim→

()() D

Nť

∈ ℝ . D

ě ě ′′() = lim→ ′() −

()ℎ .

Nť ∈ ℕ ∈ ℝ (č ()). P (+1) ě ě

()() = lim→ ()() − ()()ℎ .

K

K

K ů, ř č č.

M , ∈ ℝ ∈ 〈 0; 1〉. B ř :


55/62

55

= + (1 − ) = + (1 − )( − ) ř

•

⟺ ě :• V řě ě ůě ů• V řě řč ě

= 12 + 12 = + 12 ( − ) • ⟺ , :

• V řě ě ůě ů

• V řě řč ě č = 34 + 14 = + 14 ( − )

D

Ř, • , ∀, ∈ ∀ ∈ 〈 0; 1〉 (()) ≤ () + (1 − ) () • ,

∀, ∈

∀ ∈ 〈 0; 1〉

(()) ≥ () + (1 − ) () • , ∀, ∈ ∀ ∈ 〈 0; 1〉 (()) < () + (1 − ) () • , ∀, ∈ ∀ ∈ 〈 0; 1〉 (()) > () + (1 − ) ()

L 47

F I ě , , ∈ , < < : () − () − ≤ () − () −

, ,

Z , , ∈ , < < N ∈ ( 0; 1) , ( ):

= + (1 − ) Oč , , ; ů ; () ; ()


56/62

56

= ) + − ))

, ) ≤

P :

) − ) −

≤ − )

− =

A ů ) ) ř, ě č ě, :

= − )

− =

) − −

=

A

) ≤ :

= ) − −

≤ ) − )

−

T:

) − ) −

≤ ) − )

−

ď ě ě :

V č

C ( ): ) ≤

J , ) :

) − ) −

) − )

−

A SPOR.

ě 48

P ∈ ℝ ∗ < (; ) . P()

() > 0 ∀ ∈ ( ; ), (; ) ()

() < 0

∀ ∈ ( ; ),

(; )

()

() ≥ 0 ∀ ∈ ( ; ), (; )


57/62

57

()

) ≤ ∀ ∈ ), )

Dů (),

E ), )

B 46, ř,

Nť

∈

P L (V43) :

∃ ∈ ): ) − )

− = ′)

∃ ∈ ): ) − )

− = ′)

Vě 44 ( 1. ): ∀ ∈ ): ) ≥ , . T:

⇒ ′) ≤ ′)

N ůč :

) − ) −

≤ ) − )

−

D č č

Nť ě ∈ ℝ č č ě; (). Ř, ; () č , :

() < () + ′ () ∙ ( − )

P č , ř, ; () č .D

Nť ′() ∈ ℝ . Ř, , Δ > 0 ,

• ∀ ∈ ( − ; ): ; () č ,•

∀ ∈ ( ; +

):

; () č

,


58/62

58

• ∀ ∈ − ): ) č ,• ∀ ∈ + ): ) č .

ě 49

Nť ∈ ℝ . P () , .Uě ů ť () > 0 .

() = lim→ () − () −

/ č

∃Δ > 0 ∀ ∈ ( ; + ): () > ()∀ ∈ ( − ; ): () < () ň ř L ěV ∈ ( ; + ) L:

∃ ∈ ( ; ): () = () − () − () > ()

() − () − > () () − () > () ∙ ( − )

() > () + () ∙ ( − ) T ; () čV ∈ ( − ; ) L:

∃ ∈ ( ; ): () = () − () −

() < ()


59/62

59

) − ) −

)

−) −) + ) ∙ − )

) ) + ) ∙ − )

T ) č

A SPOR .

Sě ě )

∎

ě 50 č

Nť ) ∈ ). Nť :

• ∀ ∈ ): ) ,

• ∀ ∈ ): ) .

P .

ř ∈ )

Z : ) ⇒ ) ⇒ )

)

V ∈ ), ň L, :

∃ ∈ ): ) = ) − )

−

)

)

) − ) −

)

) − ) ) ∙ − )

) ) + ) ∙ − )

č

∈ )


60/62

60

Z : ) ⇒ ) ⇒ )

)

V ∈ ), ň L, :

∃ ∈ ):

) =

) − )

−

) )

) − ) −

)

) − ) ) ∙ − )

−) −) + ) ∙ − )

) ) + ) ∙ − )

č

∎

ůě

D

Př, ⟼ + , ∈ ℝ , +∞, : lim→ () − − = 0 −∞, :

lim→ () − − = 0

51

F +∞ ⟼ + , ě , :lim→ () = ∈ ℝ lim→ () − = ∈ ℝ

ř ů ⇒


61/62

61

T:

→

)

= →

) − − + +

=

= →

) − −

+ +

=

V, ⟼ + :

→

) − − =

T VOAL:

= →

) − −

+ →

+

= + =

T:

→

)

=

A ě (VOAL):

→

) − = → ) − − + =

= →

) − − ) + → =

= + =

P:

→

) − =

ů ⇐

C :

→

) − − =

T VOAL:

→

) − − = → ) − − → =

J č , :

→

) − =

P

= →

) − − →

= − =

T:


62/62

→

) − − =

A ⟼ +

∎

ř ůě

1)

Uč č .2)

Z : , , .3)

Dč č 4) Vř , č

. Uč .5) Sč č ,

. Uč .

6)

Uč .7)

Nč .

Date post:	06-Jul-2018
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