Dynamika I, 13. přednáška

Obsah přednášky :

dynamika relativního pohybu

základy teorie rázu

reaktivní pohyb

Doba studia :

asi 1 hodina

Cíl přednášky :

Doplňkové kapitoly

seznámit studenty se způsobem řešení dynamiky relativního pohybu, se základy teorie rázu a se zákonitostmi reaktivního pohybu.

Dynamika I, 13. přednáška

aunáš

Jednou ze zvláštních kapitol dynamiky je dynamika relativního pohybu.Představme si nákladní auto, na jehož korbě leží náklad o hmotnosti m. Auto se rozjíždí se zrychlením aunáš (pohyb auta je unášivým pohybem). Zrychlení auta je tak velké (a tření na korbě tak malé) že náklad na korbě proklouzne směrem dozadu. Proti směru tohoto klouzavého pohybu působí třecí síla T.

N

v, am

GT

Dynamika relativního pohybu

Jak se ale náklad pohybuje vůči vozidlu ? Např. za jakou dobu přepadne přes okraj ?

Pohybová rovnice nákladu je :

Zrychlení nákladu je :Náklad se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem, pro nějž platí :Toto je pohyb nákladu vůči Zemi. Dráha x je vzdálenost od nějakého pevného objektu, např. od budovy, rychlost v a zrychlení a jsou rychlost a zrychlení vůči Zemi.

TFam i

002

21 xtvtax 0vtav

m

Ta (předpokládáme, že toto zrychlení

je menší než zrychlení auta a<aunáš.konsta

Dynamika I, 13. přednáškaDefinujme kromě dráhy x nákladu vůči Zemi ještě dráhu xunáš unášivého pohybu auta vůči Zemi a konečně xrel nákladu vůči vozu. Derivace těchto souřadnic jsou rychlost v a zrychlení a nákladu vůči Zemi, vunáš a aunáš auta vůči Zemi a konečně relativní rychlost vrel a relativní zrychlení arel nákladu vůči vozu.

v, a

N

m

GT

Dunáš

Pro dráhy x, resp. pro příslušné polohové vektory platí : relunas xxx

relunas aaa

Po dvojí derivaci dále :

A konečně po vynásobení hmotností m : relunas amamam

Rovnici můžeme přeuspořádat : unasrel amamam

Dle základní pohybové rovnice je první člen na pravé straně : iFam

Druhý člen na pravé straně můžeme nahradit d’Alembertovou silou : unasunas Dam

Pohybová rovnice relativního pohybu pak je : unasirel DFam

TDam unasrel

aunášx

vrel, arel xrel

xunáš

Dynamika relativního pohybu

Dynamika I, 13. přednáška

v, a

N

m

GT

Dunáš

aunášx

vrel, arel xrel

xunáš

Dynamika relativního pohybuŘešení dynamiky relativního pohybu pak můžeme shrnout takto :Unášivý pohyb nahradíme příslušnou d’Alembertovou silou a relativní pohyb řešímejako by se jednalo o základní pohyb, přičemž do součtu sil zahrneme i tuto d’Alembertovu sílu.

Dynamika I, 13. přednáška

Du

S

G

an

at

D m au u

Pak již můžeme sestavit pohybovou rovnici matematického kyvadla na „jako by“ pevném závěsu.

m a D G

m a S D Gt u

n u

cos sin

sin cos

22n

t

rra

rra

Zde tečné a normálové zrychlení jsou :

Vlastní pohybovou rovnicí je první z obou rovnic :Druhá může sloužit k výpočtu síly v závěsu :

sincos gara ut

cossin gmamrmS u2

sincosr

g

r

a uVlastní pohybovou rovnici pak ještě upravíme :

Postup budeme demonstrovat na úloze matematického kyvadla. Hmotný bod o hmotnost m je zavěšen na nehmotném závěsu délky r. Závěsný bod se pohybuje s konstantním zrychlením au.Poloha závěsu s hmotným bodem je dána úhlem sklonu od svislice.Na hmotný bod působí akční tíhová síla G a reakční síla v závěsu S. Kromě toho zavedeme d’Alembertovu sílu Du jako náhradu unášivého pohybu závěsného bodu.

Dynamika relativního pohybu

m

r

au

Postup budeme demonstrovat na úloze matematického kyvadla. Hmotný bod o hmotnost m je zavěšen na nehmotném závěsu délky r. Závěsný bod se pohybuje s konstantním zrychlením au.Poloha závěsu s hmotným bodem je dána úhlem sklonu od svislice.Na hmotný bod působí akční tíhová síla G a reakční síla v závěsu S. Kromě toho zavedeme d’Alembertovu sílu Du jako náhradu unášivého pohybu závěsného bodu.

Dynamika I, 13. přednáška

Vlastní pohybová rovnice je nelineární diferenciální rovnicí II. řádu :

sincosr

g

r

a

dt

d u2

2

0r

g

r

a u sincos

Řešení v uzavřeném tvaru = (t) neumíme nalézt. Můžeme provést řešení numerické.

t

Dynamika relativního pohybu

Du

S

G

an

at

m

r

au

Zajímavé (a jednoduché) je řešení ustáleného stavu. Kývavý pohyb jsme popsali jako netlumený. Jak však již bylo zmíněno, každé kmitání je tlumené (zde např. odporem vzduchu).Časem se tedy kývání ustálí v jisté poloze (=ust), úhlové zrychlení pak již bude nulové =0.

0r

g

r

austust

u sincosg

a uust tan

Dynamika I, 13. přednáškaPostup budeme demonstrovat na úloze matematického kyvadla. Hmotný bod o hmotnost m je zavěšen na nehmotném závěsu délky r. Závěsný bod se pohybuje s konstantním zrychlením au.Poloha závěsu s hmotným bodem je dána úhlem sklonu od svislice.Na hmotný bod působí akční tíhová síla G a reakční síla v závěsu S. Kromě toho zavedeme d’Alembertovu sílu Du jako náhradu unášivého pohybu závěsného bodu.

Alternativní řešení je diferenciální rovnice I. řádu :

sincosr

g

r

a

d

d u

V tomto případě nalezneme řešení poměrně snadno separací proměnných a integrováním.

0

u

0

u

dr

g

r

ad

dr

g

r

ad

sincos

sincos

00u2

0212

21

r

g

r

a coscossinsin

2a

r

g

r

g

ru sin cospři počátečních podmínkách : t=0 ... =0, =0

pro maximální úhel výkyvu platí (=max) = 0 : 0r

g

r

g

r

amaxmax

u cossin

Dynamika relativního pohybu

Du

S

G

an

at

m

r

au

Dynamika I, 13. přednáškaJak víme z teorie současných pohybů, výsledné zrychlení je dáno třemi složkami (příspěvky) :zrychlení unášivého pohybu, zrychlení relativního pohybu, Coriolisovo zrychlení.

Correlunas aaaa

Po roznásobení hmotností : Correlunas amamamam

Po přeuspořádání : Corunasrel amamamam

První člen na pravé straně je (dle základní pohybové rovnice) : iFam

Druhý člen představuje d’Alembertovu sílu unášivého pohybu : unasunas Dam

Třetí člen představuje d’Alembertovu sílu, příslušející Coriolisovu zrychlení : CorCor Dam

Pohybová rovnice relativního pohybu pak má tvar : Corunasirel DDFam

relunasCor v2a

kde Coriolisovo zrychlení je :

Řešení dynamiky relativního pohybu pak můžeme shrnout takto :Unášivý pohyb nahradíme příslušnou d’Alembertovou silou.Zavedeme d’Alembertovu sílu, příslušející Coriolisovu zrychlení.Relativní pohyb řešíme jako by se jednalo o základní pohyb,přičemž do součtu sil zahrneme i obě tyto d’Alembertovy síly.

unasunas amD

CorCor amD

Dynamika relativního pohybu

Dynamika I, 13. přednáškaOdstředivý vrhač je buben, rotující konstantní úhlovou rychlostí (unášivý pohyb), opatřený radiální drážkou. V ní se pohybuje projektil o hmotnosti m. Budeme řešit relativní pohyb projektilu v drážce (směr ).

m

r

vrel, arel

m

vrel, arel

Nan

aCor

DCor

Dn

T

0 konst

Buben leží ve vodorovné rovině, tíhová síla působí kolmo k rovině pohybu, proto s ní nebudeme počítat.Zrychlení projektilu je trojí :at = · = 0 - unášivé tečné zrychlení,an = 2· - unášivé normálové

zrychlení,arel - relativní zrychlení,aCor = 2··vrel - Coriolisovo zrychlení.

2

nn

tt

mamD

0mamD

2a

v2a

Cor

relCor

Na projektil působí normálová reakce N (kolmo k drážce), třecí síla T = N·f (f je koeficient tření) proti směru pohybu. D’Alembertovy síly jsou :

m2D

amD

Cor

CorCor

unášivý pohyb, normálový směr

unášivý pohyb, tečný směr

Coriolisovo zrychlení

Z rovnice rovnováhy pro směr kolmo k drážce vyplývá : CorDN Třecí síla je : m2fNfT

Konečně pohybová rovnice relativního pohybu je : mf2mTDam 2nrel

Dynamika relativního pohybu

Dynamika I, 13. přednáškaOdstředivý vrhač je buben, rotující konstantní úhlovou rychlostí (unášivý pohyb), opatřený radiální drážkou. V ní se pohybuje projektil o hmotnosti m. Budeme řešit relativní pohyb projektilu v drážce (směr ).

m

r

vrel, arel

m

vrel, arel

Nan

aCor

DCor

Dn

T

0 konst

Pohybová rovnice relativního pohybu :

mf2mam 2rel

f2a 2rel

0f2 2

t2

t

t

eC

eC

eC

Řešení hledáme ve tvaru :

Sestavíme charakteristickou rovnici : 0f2 22 Její řešení je : 222

21 ff ,

je záporný.

t222

t111

t22

t11

eCeC

eCeC

V řešení : integrační konstanty C1 a C2 určíme z

počátečních podmínek.

t=0 ... 0

r0

počáteční poloha projektilu v drážcepočáteční rychlost 0CC

rCC

2211

021

f1f 21 Zde kořen je kladný,

kořen f1f 22

Dynamika relativního pohybu

Dynamika I, 13. přednáškaOdstředivý vrhač je buben, rotující konstantní úhlovou rychlostí (unášivý pohyb), opatřený radiální drážkou. V ní se pohybuje projektil o hmotnosti m. Budeme řešit relativní pohyb projektilu v drážce (směr ).

m

r

vrel, arel

m

vrel, arel

Nan

aCor

DCor

Dn

T

0 konst

Relativní pohyb :t2

2t1

1 eCeC

Integrační konstanty :

1f

f1

2

1rrC

1f

f1

2

1rrC

2021

102

2012

201

0 0.005 0.01 0.015

20

40

t [s]

[mm]

0

Kořen 1 je kladný a člen C1·e1·t (v grafu červeně) představuje exponenciální nárůst.Kořen 2 je záporný a člen C2·e2·t (v grafu modře) se limitně blíží nule.

t22

t11 eCeC

t11 eC

t22 eC

Dynamika relativního pohybu

Dynamika I, 13. přednáškaZáklady teorie rázu - centrální rázRáz těles je situace, kdy mezi dvěma tělesy dojde k mechanické interakcipo extrémně krátkou dobu. V průběhu této doby dojde ke změně rychlostí obou těles.

Centrální ráz nastává, jestliže vektory rázových sil, vznikajících na normále styčné plochy,leží na spojnici středů hmotnosti obou těles.Mají pak k tomuto středu nulový moment a neprojeví se tedy natáčením tělesa.

Mějme dvě tělesa o hmotnostech ma a mb.Tělesa se pohybují tak, že dojde k jejich vzájemnému nárazu.Označme kolmici ke společné dotykové rovině,procházející dotykovým bodem, za normálu.Prochází-li tato normála středy hmotnosti obou těles Sa a Sb,označíme jejich ráz za centrální.

mb

ma

va0vb0

SbSa

n

V okamžiku nárazu, přesněji těsně před nárazem, mají obě tělesa jisté okamžité rychlosti.Tyto rychlosti rozložíme do směru normály n a do směru kolmého k normále,který můžeme označit za tečný.Tečné složky rychlosti se nebudou v průběhu rázu nijak měnit a nebudeme se tedy jimi zabývat.Normálové složky okamžitých rychlostí těsně před nárazem jsou va0 a vb0

(nutným předpokladem vzniku rázu samozřejmě je va0 > vb0).Jak se tyto rychlosti budou v průběhu rázu měnit, bude ukázáno v dalším textu.

Dynamika I, 13. přednáškaZáklady teorie rázu - centrální rázCelý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.

mb

ma

va0vb0

SbSa

n

1. Náraz

Hybnost obou těles těsně před nárazem je :

vab

n

p m v m va a b b 0 0

Mají-li obě tělesa na konci nárazu společnou rychlost vab,pak jejich hybnost na konci této první fáze je :

p m m va b ab

Protože na obě tělesa působí pouze vnitřní síly, které jsou navzájem stejně velké,opačně orientované, a jejich celkový impuls je nulový (oba impulsy se navzájemodečtou), je změna celkové hybnosti rovněž nulová,neboli hybnost před nárazem a po něm jsou shodné :

m v m v m m va a b b a b ab 0 0

neboli :

vm v m v

m maba a b b

a b

0 0

Dynamika I, 13. přednáškaZáklady teorie rázu - centrální rázCelý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.

2. Odraz

Tato fáze je z hlediska dalšího pohybu obzvlášť důležitá. Ve fázi nárazu docházík deformaci obou těles (působením sil, jimiž na sebe tělesa navzájem působí).Ve fázi odrazu mají tělesa snahu nabýt opět původního tvaru(proto se tato fáze nazývá “restitucí”).I nadále na sebe navzájem působí silami, navzájem se od sebe “odstrčí”.

> Jestliže obě tělesa ve fázi odrazu dosáhnou zcela svého původního tvaru(např. kulečníkové koule), nazveme jejich ráz dokonale pružným.

> Jestliže obě tělesa dosáhnou jen částečně svého původního tvaru(např. olověný projektil), nazveme jejich ráz pružně-plastickým.

> Jestliže se tvar těles od okamžiku vyrovnání rychlostí již vůbec nezmění(např. koule z plastelíny), nazveme jejich ráz dokonale plastickým.V tomto případě již fáze odrazu nenastane.

Promítněme (v souladu s Newtonovým řešením) ztráty,spojené s trvalým přetvořením těles, do úbytku hybnosti.Budou-li rychlosti obou těles na konci odrazu va resp. vb (kde samozřejmě va < vb),bude hybnost jednotlivých těles po odrazu :

p m va a a p m vb b b resp.

Dynamika I, 13. přednáškaZáklady teorie rázu - centrální rázCelý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.

2. Odraz

Definujme tzv. součinitel restituce , vyjadřující úbytek hybnosti jednotlivých těles.Vyjádřeme změnu hybnosti ve fázi nárazu a odrazu jednotlivých těles :

p podraz ná raz

> Pro dokonale pružný ráz (=1) budou ve fázi odrazu působit stejné vnitřní síly,jako ve fázi nárazu. Jejich impulsy budou stejné v obou fázícha změna hybnosti každého jednotlivého tělesa při odrazu bude stejná,jako změna hybnosti téhož tělesa při nárazu.

> Pro pružně-plastický ráz (0<<1) bude impuls vnitřní síly, působící na každé tělesopři odrazu -násobně menší, než při nárazu.Tedy i změna hybnosti každého jednotlivého tělesa při odrazu bude -násobně menší,než změna hybnosti téhož tělesa při nárazu.

> Pro dokonale plastický ráz (=0) již ve fázi odrazu vůbec nedojde ke změně tvaru těles,vnitřní síly již při odrazu nebudou působit, a jejich impuls,jakož i změna hybnosti jednotlivých těles, budou nulové.

Dynamika I, 13. přednáškaZáklady teorie rázu - centrální rázCelý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.

2. Odraz

těleso a : těleso b :

m v m v m v m va ab a a a a a ab 0 m v m v m v m vb b b ab b ab b b 0

Z těchto výrazů můžeme vyjádřit součinitel restituce :

v v

v vab a

a ab0

v v

v vb ab

ab b0

Dosazením výrazu pro společnou rychlost obou tělespři přechodu od nárazu k odrazu vab do těchto vztahů dostáváme :

v

m v m v m v v

m maa a b b b a b

a b

0 0 0 0

vm v m v m v v

m mba a b b a a b

a b

0 0 0 0

Čtenář snadno sám nahlédne, že pro dokonale plastický ráz (=0)je řešení shodné s koncem fáze nárazu.Jak bylo uvedeno výše, při dokonale plastickém rázu fáze odrazu vůbec nenastává.

podraz pnáraz podraz pnáraz

rychlost tělesa a po odrazu rychlost tělesa b po odrazu

Dynamika I, 13. přednáškaZáklady teorie rázu - centrální rázZvláštním případem rázu je situace, kdy obě tělesa mají stejnou hmotnost (ma=mb=m),a jedno těleso je před rázem v klidu (např. vb0 = 0).Výše odvozené výrazy pro rychlost obou těles po rázu se zjednoduší na tvar :

v va a 12 01 v vb a 1

2 01

Pro dokonale pružný ráz (=1) pak konečně vychází :

va 0 v vb a 0

To znamená, že první těleso, které se původně pohybovalo rychlostí va0, se zastaví,zatímco druhé těleso, které bylo původně v klidu, se bude po rázu pohybovatrychlostí prvního tělesa před rázem vb=va0.

Jiný zvláštní případ rázu je situace, kdy druhé těleso je velmi hmotné a v klidu (mb » ma, vb0=0).Z nulové rychlosti druhého tělesa bezprostředně vyplývá :

ba

a

ba

b0a

ba

ba0aa mm

m

mm

mv

mm

mmvv

v vm m

m mv

m

m mb aa a

a ba

a

a b

0 0 1

Uvážíme-li dále, že pro mb » ma jehmotnost prvního tělesa ma zanedbatelnávůči součtu hmotností ma+mb, zatímcohmotnost druhého tělesa mb je tomutosoučtu hmotností téměř rovna, dostáváme :

v v

va a

b

0

0

Tedy první těleso se odrazí v protisměru rychlostí, která je -násobně menší než rychlost nárazu.Druhé těleso zůstane i nadále prakticky v klidu.

Dynamika I, 13. přednáškaReaktivní pohybO reaktivním pohybu mluvíme tehdy, jestliže se hmotnost tělesa při pohybu mění.Když jsme se v jedné z počátečních kapitol zabývali zákonem o změně hybnosti,měli jsme na mysli většinou změnu rychlosti (ať už velikosti nebo směru).Může se však jednat též o změnu hmotnosti.Typickým příkladem je reaktivní pohon rakety, jejíž hmotnost při spalování paliva klesá.Spaliny jsou silou F urychlovány a výtokovou rychlostí c opouštějí raketu.Podle zákona akce a reakce působí na raketu stejně velká, opačně orientovaná reaktivní síla FR.

m - dm

v

c

dm

FFR

v

c

v s

v - rychlost rakety,c - relativní výtoková rychlost spalin vůči raketě,vs - absolutní rychlost spalin vůči okolnímu prostoru.

Dynamika I, 13. přednáškaReaktivní pohybm - dm

v

c

dm

FFR

v

c

v s

v - rychlost rakety,c - relativní výtoková rychlost spalin vůči raketě,vs - absolutní rychlost spalin vůči okolnímu prostoru.

Za elementární časový okamžik dt je hmotnost spalin dm vypuzena z rakety.Vzhledem k zákonu akce a reakce jsou síla F, kterou jsou spaliny vrhány z rakety,a reaktivní síla FR, působící na raketu, stejně velké, ale opačně orientované.Celkový impuls sil je tedy nulový a i změna hybnosti dp je nulová.Hybnost na počátku časového úseku dt je :

p m vt

kde m je hmotnost rakety (proměnná), v je její rychlost.Hybnost rakety a spalin na konci časového úseku dt je :

p m dm v dv dm vt dt S

kde vS = c-v je skutečná rychlost spalin.

hybnost rakety hybnost spalin

Dynamika I, 13. přednáškaReaktivní pohybJe-li impuls sil a tedy i změna hybnosti nulová, musí platit :

0vmdmvdmcdvdmdmvdvmvm

Výraz dm·dv je veličina nekonečně malá druhého řádu, tedy limitně se blížící nule.Rovnice pak má tvar :

m dv c dm 0

Diferenciál hmoty dm vyjadřuje úbytek hmotnosti rakety. Vyjádříme-li jej jako přírůstek(jak je obvyklé), tedy s opačným znaménkem, dostaneme :

m dv c dm

m dv c dm

0

0

Integrací této rovnice pak dostáváme :

m

m

v

v 00m

dmcdv

S0

00 mm

mcvv

ln

Toto jest Ciolkovského rovnice reaktivního pohybu.Zde m0 je počáteční hmotnost rakety, mS je hmotnost spalina m=m0-mS je okamžitá hmotnost rakety.

dttp tp

0vmvcdmdvvdmmppdp tdtt

Dynamika I, 13. přednáškaReaktivní pohybToto jest Ciolkovského rovnice reaktivního pohybu.Zde m0 je počáteční hmotnost rakety, mS je hmotnost spalina m=m0-mS je okamžitá hmotnost rakety.

S0

00 mm

mcvv

ln

m dv c dm

mdv

dtm a c

dm

dt

Pravá strana této pohybové rovnice je reaktivní síla :

F cdm

dtR

Připomeňme, že hmotnost rakety se snižuje, změna hmotnosti dm je tedy zápornáa samotná reaktivní síla FR je samozřejmě kladná.

Rovnice vyjadřuje nárůst rychlosti rakety v v závislosti na poklesu hmotnosti rakety.Z původní diferenciální rovnice lze vyjádřit reaktivní sílu :

Pozn. : Jak se s časem mění okamžitá hmotnost rakety (režim spalování),jaká je časová derivace této závislosti, jaká je výtoková rychlost c, a tedy reaktivní síla,je problémem termodynamiky a nebude zde řešeno.

Dynamika I, 13. přednáška

Obsah přednášky :

dynamika relativního pohybu

základy teorie rázu

reaktivní pohyb