過渡熱伝達

試験

• 平成１４年２月５日（火）

• ４時限 14:40～16:10• 講義の内容に基づいた基本的な問題を５～６題度

過渡熱伝達の概要

• ステップ状の伝熱面温度の上昇あるいは熱流束の上昇– 現象の初期は過渡熱伝導が支配的（流体は静止と考えて良い）

– 十分時間がたてば定常の熱伝達が支配的

時間 t

定常の熱伝達係数

過渡熱伝導による熱伝達係数

実際の過渡熱伝達係数

A

熱伝

達係数

α

　 2

2

yTa

tT

∂∂=

∂∂

　　　(0<y<∞) (1)

① t=0で壁温が TW(>T0)に上昇し一定に保たれる場合。

　 �η

ββ−π

=−−

0

2

0W

W d)exp(2TTTT

　　　at2

y=η 　　　　 (2)

)TT(aty

Tq 0W0y

W −πλ=

∂∂λ−=

=

at)TT(

q

0W

W

πλ=

−=α (3)

② t=0で壁面の熱流束が 0から qWに上昇し一定に保たれる場合。

���

���

���

�

� ββ−π

−−η−πλ

=− �η

0

22w0 d)exp(21

2y)exp(atq2

TT (4)

y=0とおけば(TW-T0)が得られて

atq2TT w

0W λπ=− 　　　　　

at2TTq

0W

w λπ=−

=α (5)

平板からの過渡熱伝達過渡熱伝導―――――半無限固体の熱伝導

ｙ

流体（初期温度T0）

固体面

無限平板からの定常垂直自然対流熱伝達（層流）①壁温一定(TW)

4/14/14/1

xx Pr952.0PrPrGr508.0Nu �

�

���

�

+= 　　　　　　 (6)

λα= xNu x 2

0W3

x)TT(gx

Grν

−β= (7)

{ } 4/14/10W

4/1

xa

)TT(gPr952.0

1508.0 −λ−β��

���

�

+=α (8)

(3)式と(8)式から熱伝達係数が一致する時刻（第１図の交点 A）を求めると

( ) { } 2/12/10W

2/1A x)TT(gPr952.04t −−β+

π= (9)

実際は過渡熱伝導が支配的な領域は tAよりも小さく、定常熱伝達が支配的な領域は tAよりも大きい。

より詳しい解析結果

過渡熱伝導が支配的な時間τc

定常に達するまでの時間τs

( ) { } 2/12/10W

2/1s x)TT(gPr952.024.5 −−β+=τ

( ) { } 2/12/10W

2/1c x)TT(gPr5.18.1 −−β+=τ

ｙ

流体（初期温度T0）

固体面

ｘ

TW

4/14/14/1

xx Pr800.0PrPrGr546.0Nu �

�

���

�

+= (10)

この場合には壁温が xにより変化するので(TW-T0)を求めると

5/15/1

2W

3

W5/1

0W

Pr)/xq(gx

/xqPr

Pr800.062.1)TT(

���

���

νλβ

�

�

� +=− (11)

平板の長さを Lとすれば

5/1

2

4W

5/1W

5/1

0W

aLqg

L)L/x)(/q(Pr

Pr800.062.1)TT(

���

���

λβ

�

�

� +=− (12)

(12)式と(5)式から熱伝達係数が一致する時刻（第１図の交点 A）を求めると

( ) 5/25/2

2

4W5/2

2A )L/x(

aLqg

Pr800.045.0L

at−

���

���

λβ

+π= 　　　　　　　　　(13)

この場合も実際に過渡熱伝導が支配的な領域は tAよりも小さく、実際に定常熱伝達が支配的な領域は tAよりも大きい。

熱流束一定（qw）

ｙ

流体（初期温度T0）

固体面

ｘ

qW

より詳しい解析結果

過渡熱伝導が支配的な時間τc

それ以外の時間は

と の

関数

( ) { } 5/25/2*L

5/22

c )L/x(PrRaPr0.197.1L

a −+=τ

λβ=

ρλρµ

λνµβ= 2

4W

22

4W*

L aLqg

)c/()/(LcqgPrRa

∞−−=ψ

)TT()TT(

0W

0W2

2/1L L

atNGr=Θ

2

30W

LL)TT(gGr

ν−β= ∞

より複雑なケース

固体壁の熱容量を考慮

cW’’:固体壁の単位面積あたりの熱容量

q’:固体壁の単位面積あたりの発熱量

熱容量がなければ熱流束qwに等しい

ステップ状の発熱量

q’が０からq’∞にステップ状に上昇

q’が０からq’∞に直線状に上昇その後は一定

より複雑なケース

二つのパラメータにより支配される

直線状の熱量の上昇は

で与えられる。Q*が１以上（固体壁の熱容量

が大きい）と準静的（熱伝達係数は各瞬間定常と仮定）となる

( ) 5/2*L2

* PrbGrLat=Θ

2

4*L

L'qgGrλν

β= ∞

( ) 5/1*L

0

"W* PrbGr

LMccQ

ρ=

*A'q/'q Θ=∞

平板からの定常強制対流熱伝達（層流）　　壁温一定の場合には

　　 3/12/1xx PrRe332.0Nu = 　　　

να= xRex (14)

3/1Prx

U332.0ν

λ=α (15)

(15)式と(3)式から熱伝達係数が一致する時刻（第１図の交点 A）を求めると

π=− 9Pr

xUt 3/1A 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(16)

よって　 3/1PrxUtF −≈ 　をパラメーターとして過渡熱伝達係数を表すこととが可能。

xxxx

TW

U

より詳細な解析

過渡熱伝達係数

φはFの関数として与えられる。」

φνλ=α 1Pr

xU332.0 3/1

3/1Prx

Ut2.0F −=

流路内の過渡熱伝達係数平行平板間流路、円管の場合にも過渡熱伝導による熱伝達は平板の場合と同じ。

t=0で壁温が TW(>T0)に上昇し一定に保たれる場合。

( )�∞

=��

���

� π+π+−+

−π

=−−

0n

222n

0W

W

hy)1n2(cosh/t)1n2(aexp

1n2)1(4

TTTT

(17)

又は

�∞

= ���

��� +++−+−−=

−−

0n

n

0W

W

at4y2h)1n2(erfc

at4y2h)1n2(erfc)1(1

TTTT

(18)

ここで erfc(x)は余誤差関数で

� ξξ−π

−=−=x

0

2 d)exp(21)x(erf1)x(erfc (19)

(18)式を微分して

( )���

��� −−+

π−λ

=∂∂λ−= �

∞

=±= 1n

22n0W

2hy

W )at/()2/h(nexp)1(21at

)TT(yTq 　(20)

tが小さい場合には

at)TT(q

0W

W

πλ=

−=α (21)

y

h 流体初期温度T0

定常熱伝達係数は流路入り口からの距離xに依存（助走域）平行平板では(x/h)RePr円管（直径D）では(x/D)RePrをパラメータとして熱伝達係数は変化（層流、乱流いずれの場合も）

(x/h)/RePrまたは(x/R)/RePr

熱伝

達係数

αs

流路内の強制対流過渡熱伝達

過渡熱伝達係数

定常の強制対流熱伝達係数の定義とは違う

層流では熱伝導が支配的

または がパラメータ

乱流では流動が支配的

または がパラメータ

)TT(q

0W

W

−=α

)TT(q

mW

Ws −

=α

2hat

2Rat

2Rtν

2htν

層流、平行平板、ステップ状壁温上昇

層流、円管、ステップ状壁温上昇

円管内乱流

• 円管内の発達した乱流

• 壁面も流体もT0 の温度

• 時刻t=0で壁温がTWにステップ状に変化

乱流、円管、ステップ状壁温上昇

乱流、円管、ステップ状壁温上昇

乱流、円管、ステップ状壁温上昇

乱流、円管、ステップ状壁温上昇

流れが変化する場合

• 平行平板間流路

• 初期状態は静止、壁面も流体もT0 の温度

• 時刻t=0で圧力勾配がステップ状に変化T0の流体が流れ込むと同時に壁温がTWにステップ状に変化、最終的に速度がuとなる。

流れが変化する場合

• 平行平板間流路

• 初期状態は静止、壁面も流体もTwの温度

• 時刻t=0で圧力勾配がステップ状に変化T0の流体が流れ込み最終的に速度がuとな

る。