複素関数論

講義１３

第13回孤立特異点、留数定理

が正則な点がある

が孤立特異点

( )f zが特異点

a で正則でない

( )f z

a

a の近傍で

が

a

が正則

( )f z a で正則でない

( )f za の近傍でaを除いて

が

を中心にローラン展開可能

1

0

( ) ( )

( ) ( )

nn

n

n nn n

n n

f z c z a

c z a c z a

+∞

=−∞

− +∞

=−∞ =

= −

= − + −

∑

∑ ∑

主要部

が孤立特異点a

a

孤立特異点の分類

１．主要部がない

２．主要部が有限項

３．主要部が無限項

0( ) ( ) ( )n n

n nn n

f z c z a c z a+∞ +∞

=−∞ =

= − = −∑ ∑

１．主要部がない

除き得る（除去可能な）特異点3 5

2 4

sin 1 ...3! 5!

1 ...3! 5!

z z zzz z

z z

= − + −

= − + −

例：

(0) 1f = と定義

11

0

( ) ( )

... ( )( ) ( )

( 0)

nn

n

nk knk k

n

k

f z c z a

c c c z az a z a

c

+∞

=−∞

+∞− − +

−=

−

= −

= + + + −− −

≠

∑

∑

２．主要部が有限項

a はk 位の極

( ) ( )nn

nf z c z a

+∞

=−∞

= −∑

３．主要部が無限項

a は真性特異点

留数の定理

1C

2CmC

C

D

( )f z

C がD内の単一閉曲線

C の内部はDの点のみ

がCの内部の有限個の点 1 2, ,..., ma a aを除いてDで正則

1( ) 2

m

jCj

f z dz i Bπ=

=

∑∫

2a1a

ma

1 2

( ) ( ) ( ) ... ( )mC C C C

f z dz f z dz f z dz f z dz= + + +∫ ∫ ∫ ∫

1 ( )2 j

j CB f z dz

iπ= ∫ と置けばよい．

証明

より

1 ( ) (0 )2j z a r

B f z dz ri

ρπ − =

= < <∫における留数

留数

が( )f z 0 z a ρ< − < で正則

a

Res( ; )a f Res ( )f a

1( ) 2 Res( ; )

m

jCj

f z dz i a fπ=

=

∑∫

などで表記Res( )a

( ) ( )nn

nf z c z a

+∞

=−∞

= −∑11 ( )( ) ( 0, 1, 2,...)

2n

n cc f a d n

iζ ζ ζ

π− −= − = ± ±∫

ローラン展開再掲

1n = − 11 ( )

2 cc f d

iζ ζ

π− = ∫

留数

1Res( ; )a f c−=

留数の求め方

１．既存の展開式を利用し，0 z a r< − <でのローラン展開を実施

例 3cos( ) zf z

z= 0での留数を求めよ

2 4

3 3

3

cos 1( ) (1 ...)2! 4!

1 1 1 ...2! 4!

z z zf zz z

zz z

= = − + −

= − ⋅ + − 1Res(0; )2

f = −

留数の求め方

２．何位の極かがわかれば，以下の公式

k位の極の場合

特に１位の極の場合

1

11Res( ; ) lim ( ) ( )

( 1)!

kk

kz a

da f z a f zk dz

−

−→ = − −

[ ]Res( ; ) lim ( ) ( )z a

a f z a f z→

= −

留数の求め方

２．何位の極かがわかれば，

例 2 2 ( 0)ize a

z a>

+

2 2 ( )( )

iz ize ez a z ia z ia

=+ − +

ia± に極

極の留数をもとめなさい．

ia− も同様．

∴一位の極．( )( )

( )ng zf zz b

=−

( )g z がbで正則

ｎ位の極．

留数の求め方

２．何位の極かがわかれば，

例 2 2 ( 0)ize a

z a>

+

ia+

( )Res( ) lim( )( ) 2

iz a

z ia

e z ia eiaz ia z ia ia→−

+− = = −

− +

極の留数もとめなさい．

極

ia−

( )Res( ) lim( )( ) 2

iz a

z ia

e z ia eiaz ia z ia ia

−

→

−= =

− +

極

留数の求め方

３． とかけるとき

ただし，

( ) ( ) / ( )f z h z g z=

は z a= で正則( ), ( )h z g z( ) 0, ( ) 0, ( ) 0h a g a g a′≠ = ≠

a が一位の極

( )Re ( ; )( )

h as a fg a

=′

留数の求め方

３．sin ( )tancos ( )

z h zzz g z

= =

cos 0a =( )2 1

( )2

na n

π+= ∈

例

(2 1)sin( )(2 1) 2Res 1(2 1)2 sin( )2

nn

n

ππ

π

++ = = − + −

留数を求めよ

sin 0a ≠ cos 0a′ ≠ a で正則

( ) nn

nf z c z

+∞

=−∞

= ∑

の周りのローラン展開∞

{ | }D z R z= < < +∞( )f z が で正則

( ) nn

nf z c z

+∞

=−∞

= ∑

の周りのローラン展開∞{ | }D z R z= < < +∞( )f z が で正則

11 ( ) ( )

2 z rc f z dz R r

iπ− == < < +∞∫

11Re ( ; ) ( )

2( )

z rs f c f z dz

iR r

π− =∞ = − = −

< < +∞

∫

∞におけるf(z)の留数

外部領域の留数の定理

1C2C

mC C−

D

( )f z

C がD内の単一閉曲線

C の外部はDの点のみ

がCの外部の有限個の点 1 2, ,..., mb b bを除いてDで正則

1

( )

2 Res( ; ) Res( ; )

C

m

jj

f z dz

i b f fπ

−

=

=

+ ∞

∫

∑

2b1b

mb