EU-8-61 – DERIVACE FUNKCE XVII (průběh funkce - příklady)

Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizaceČíslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výukyČíslo a název šablony klíčové

aktivity:EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-61 – DERIVACE FUNKCE XVII(průběh funkce - příklady)

Anotace Procvičení vyšetřování průběhu funkcí podle doporučeného postupu a na základě řešených ilustrativních úloh.

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstupŽák chápe význam doporučeného postupu vyšetřování průběhu funkce, dovede používat vlastnosti funkce a diferenciální počet k zjišťování důležitých informací o funkci, které mu pomohou přesně narýsovat graf funkce.

Klíčová slova Vlastnosti funkcí, limita, derivace funkce, asymptoty funkce, průběh funkce, graf funkce.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 28. 12. 2013

PRŮBĚH FUNKCE je základní použití diferenciálního počtu, jehož cílem je řada výpočtů vedoucích ke zjištění co největšího počtu informací o dané funkci tak, abychom mohli poměrně přesně graf dané funkce narýsovat.

Doporučený postup vyšetřování průběhu funkce:1. Určíme definiční obor funkce.2. Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými.3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá,

lichá, periodická.4. Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.5. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se

směrnicí.6. Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její

lokální extrémy.7. Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce,

inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech.8. Narýsujeme graf funkce.

Doporučení pro vaši práciVýpočty zapisujte jasně a přehledně. Především závěry výpočtů je potřeba zapisovat jasně a přesně, protože získáte mnoho informací o funkci, které v závěru úlohy o vyšetřování průběhu funkce budete potřebovat pro přesné zakreslení (narýsování) grafu funkce.Graf funkce kreslete (rýsujte) velmi pečlivě a přesně včetně vyznačení důležitých bodů, tečen, asymptot.Vždy si představujte, že úlohu řešíte nejen pro sebe, ale také pro „spolupracovníka“, který se potřebuje ve vašich výpočtech i grafu funkce rychle orientovat.Neodkládejte to, co můžete umět již nyní na později (na vysokou školu), protože se to musíte stejně naučit. Jistě pro vás bude na vysoké škole příjemné, když budete rozumět úvodním přednáškám i cvičením a budete vědět „o co jde“. Významně podpoří vaši sebedůvěru, když úvodní poznatky do „vyšší“ matematiky budete mít zažité již na konci gymnaziálních studií. Navíc doučováním toho, co jiní neumí, se dá i vydělat.

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1

Vyšetřete průběh funkce f.3

4:3xxyf

1. Určíme definiční obor funkce.D(f) = R

2. Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými.

3203201201203

40)( 233

xxxxxxxxxxf

3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická.Funkce f je lichou funkcí v D(f) = R. Podle definice liché funkce platí:

1. x R; x D(f) – x D(f)

2. x D(f); – f(x) = f (– x) 34)(

34)();(

33 xxxfxxxffDx

3

43

4)();(33 xxxxxffDx

)()();( xfxffDx

4. Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.

34lim,

34lim

33 xxxxxx

0)0( f

Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.

Pokud je funkce f lichá, můžeme vyšetřovat průběh funkce v intervalu < 0; + ). Graf funkce dorýsujeme pomocí

středové souměrnosti podle počátku soustavy souřadné.

5. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí.

6. Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy.

7. Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech.

23

3

314lim

312lim3

4lim)(lim x

xxx

x

xx

xxfa

xxxx

xxy 24/

2//

x ( – ; 0); f // (x) > 0 funkce f je ryze konvexní v intervalu ( – ; 0 >.x ( 0; + ); f // (x) < 0 funkce f je ryze konkávní v intervalu < 0; + ).Inflexním bodem je bod T [ 0; 0 ]. Směrnice tečny v bodě T: kt = y / (0) = 4.Rovnice tečny t v bodě inflexe: t: y = 4 x.

Funkce nemá vertikální asymptoty (f je spojitá v R) ani asymptoty se směrnicí (a = – ).

y / = 4 – x2

y / = 0 4 – x2 = 0 x2 – 4 = 0 (x + 2) (x – 2) = 0 (x = – 2 x = 2)

Funkce f je rostoucí v intervalu < – 2; 2 >, klesající v intervalech ( – ; – 2>, < 2; + ).

Body podezřelé z extrému jsou x = – 2, x = 2.

Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z extrémů.

Funkce f má v bodě – 2 ostré lokální minimum, 316

388

32)2(423

f

Funkce f má v bodě 2 ostré lokální maximum, 316

3882 f

34:

3xxyf

8. Narýsujeme graf funkce.


Vyšetřete průběh funkce f. 214:x

yf

1. Určíme definiční obor funkce.D(f) = R


0140)( 2

xxf

3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická.Funkce f je sudou funkcí v D(f) = R. Podle definice sudé funkce platí:

1. x R; x D(f) – x D(f)

2. x D(f); f(x) = f (– x) 21

4)();(x

xffDx

22 14

)(14)();(

xxxffDx

)()();( xfxffDx


22 14lim0

14lim

xx xx

4)0( fRovnice nemá v R řešení, funkce osu x neprotíná.

Funkce f je omezenou funkcí. Zdola je omezena konstantou 0, shora konstantou 4.

4140);( 2

xfDx

Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.

Pokud je funkce f sudá, můžeme vyšetřovat průběh funkce v intervalu < 0; + ). Graf funkce dorýsujeme

pomocí osové souměrnosti podle osy y.



7. Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnice tečen v inflexních bodech.

04lim14

lim)(lim 3

2

xxxx

xxfa

xxx

Funkce nemá vertikální asymptoty (f je spojitá v R), má asymptotu se směrnicí y = 0.

Funkce f je rostoucí v intervalu ( – ; 0 >, klesající v intervalu < 0; + ).

Bod podezřelý z extrému je x = 0.

Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodu podezřelého z extrému.

Funkce f má v bodě 0 ostré lokální maximum, f(0) = 4.

2222

/22//

2/

18

11414

14

xx

xxx

xy

014lim)(lim 2

xaxxfb

xx

322

42

/2222//

22

//

1

138

1

1818

1

8

x

x

x

xxxx

x

xy

33

330130 2// xxxy (body podezřelé z inflexe)

Zjistíme znaménko 2. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z inflexe.

0;33; // yx funkce f je v tomto intervalu ryze konvexní.

0;33;

33 // yx funkce f je v tomto intervalu ryze konkávní.

0;;33 // yx funkce f je v tomto intervalu ryze konvexní.

333

33

ff

Najdeme rovnici tečny t1 k dané funkci v inflexním bodě

3;

33

1T 233

33/

1

ykt

09233:33

2333: 11

yxtxyt

Rovnice tečny t2 k dané funkci v inflexním bodě

3;33

2T 09233:2 yxt

Tečna t1 protíná osy soustavy souřadné v bodech

29;0,0;3

214:x

yf



Vyšetřete průběh funkce f.x

xyf 4:2

1. Určíme definiční obor funkce.D(f) = R – 0


2202204040)( 22

xxxxxx

xxf

Funkce f neprotíná osu y.

3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická.

Funkce f je lichou funkcí v D(f) = R – 0 . Podle definice liché funkce platí:

1. x R; x D(f) – x D(f)

2. x D(f); – f(x) = f (– x) xx

xxxf

xxxffDx

222 44)(4)();(

xx

xx

xxxffDx

222 444)();(

)()();( xfxffDx


xx

xx

xx

xx

xx

xx

4lim4lim

4lim4lim

0

2

0

0

2

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

4lim4lim

4lim4lim

2

2




Funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0.

xxxxxx

xxaxxfb

xx

xx

xx

x

xxfa

xxxxx

xxxx

4lim04lim4lim4lim)(lim

4lim14lim

4

lim)(lim

222

2

2

2

2

2

Funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici y = x.

2

2

2

/2/2/2/ 4444

xx

xxxxx

xxy

Pro každé x R – 0 je znaménko první derivace funkce kladné. Funkce f je rostoucí v intervalu ( – ; 0) a také v intervalu ( 0; + ). Funkce nemá v žádném bodě definičního oboru lokální extrém.

3422

/222/2/

2

2// 88444

xxx

xxxxx

xxy

x ( – ; 0); f // (x) > 0 funkce f je ryze konvexní v intervalu ( – ; 0).x ( 0; + ); f // (x) < 0 funkce f je ryze konkávní v intervalu (0; + ).Inflexní body neexistují.

xx

xxyf 44:2



Vyšetřete průběh funkce f.xxxyf 34:

2

1. Určíme definiční obor funkce.D(f) = R – 0


310310340340)( 22

xxxxxxxxxxf

Funkce f neprotíná osu y.

3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická.Funkce f není sudá, lichá, periodická ani omezená.


xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

34lim34lim

34lim34lim

0

2

0

0

2

0

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

34lim34lim

34lim34lim

2

2

Funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0.

xx

xx

xxxxx

xxxaxxfb

xxxxx

xxx

xxxx

xxfa

xxxxx

xxxxx

34lim434lim34lim34lim)(lim

34lim11

341lim34lim

34

lim)(lim

222

2

22

2

2

2

Funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici y = x – 4.



2

2

2

/2/2/2/ 3343434

xx

xxxxxxx

xxxy

Funkce f je rostoucí v intervalech

3303030 22

2/

xxx

xxy

.33 xneboxBody podezřelé z extrému jsou

Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z extrémů.

Funkce f je klesající v intervalech

.;3;3;

.3;0;0;3

Funkce f má v bodě 3 ostré lokální maximum, 46,743231236

333433

f

Funkce f má v bodě 3 ostré lokální minimum, 54,043231236

3346

333433

f


3422

/222/2/

2

2// 66333

xxx

xxxxx

xxy

x ( – ; 0); f // (x) < 0 funkce f je ryze konkávní v intervalu ( – ; 0). x ( 0; + ); f // (x) > 0 funkce f je ryze konvexní v intervalu (0; + ).Inflexní body neexistují.


xx

xxxyf 3434:

2

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

p1)

p3)

p5)

p2)

p4)

ÚLOHY K PROCVIČENÍ

23: 3 xxyf

Vyšetřete průběh dané funkce f.

xxxyf 42: 23

xxxyf 96: 23 xxxyf 12123: 23

xxxyf 12123: 23

MATEMATIKA PRO GYMNÁZIA – Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, Dag Hrubý, Josef Kubát, 1997 vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1997, strana 159, úloha 52. ISBN 80-7196-063-2.

p6) 86: 24 xxyf

p7) 642: 24 xxyf p8) 34 4,01,0: xxyf

p9) 45 1,002,0: xxyf p10) 32: 36 xxyf

DEFINICE SUDÉ FUNKCEFunkce f je sudou funkcí v D(f) tehdy, když platí současně

1. xR; xD(f) – x D(f) 2. x D(f); f(x) = f(– x) (graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y)

2: xyf 11:

2

x

xxyf

f je sudá funkce v D(f) f není sudá funkce v D(f)

zpět

DEFINICE LICHÉ FUNKCEFunkce f je lichou funkcí v D(f) tehdy, když platí současně

1. xR; xD(f) – x D(f) 2. x D(f); –f(x) = f(– x) (graf sudé funkce je středově souměrný podle

počátku soustavy souřadné)

xyf 1: 1

1:

xxxyf

f je lichá funkce v D(f) f není lichá funkce v D(f)

zpět

Date post:	19-Mar-2016
Category:	Documents
Upload:	nemo
View:	60 times
Download:	3 times

EU-8-61 – DERIVACE FUNKCE XVII (průběh funkce - příklady)

Documents