17. 5. 2004 1

FII–7 Magnetické pole II

17. 5. 2004 2

Hlavní body• Síly působící na pohybující se náboje• Biot-Savartův a Ampérův zákon• Magnetické dipóly• Výpočet některých magnetických polí

• Solenoid• Toroid

• Použití Lorentzovy síly• Náboje v elektrickém i magnetickém poli• Hmotnostní spektroskopie• Hallův jev

17. 5. 2004 3

Síly působící na elektrické proudy IV

• Ze vztahu popisujícím sílu působící na elektrické proudy mohou být odvozeny jednotky a rozměry.

• V soustavě SI je jednotkou magnetické indukce B 1 Tesla, zkratka T, 1T = 1 N/Am

• Běžně se jestě používají některé starší jednotky, např. 1 Gauss: 1G = 10-4 T

17. 5. 2004 4

Síla působící na elektrický náboj v pohybu I

• Protože proudy jsou pohybující se elektrické náboje, platí pro proudy vše, co platí pro náboje v pohybu.

• Síla , kterou působí magnetické pole o indukci na náboj q, pohybující se rychlostí je popsána Lorentzovým vztahem:

)( BvqF

F

B

v

17. 5. 2004 5

Síla působící na elektrický náboj v pohybu II

• Obecněji se Lorentzovou silou nazývá síla, která zahrnuje společné působení elektrických a magnetických sil:

• Tento vztah může být považován za definici

elektrických a magnetických sil a může být i počátečním bodem pro jejich studium.

)]([ BvEqF

17. 5. 2004 6

Síla působící na elektrický náboj v pohybu III

• Lorentzova síla je centrem celého elektro- magnetismu. Vrátíme se k ní probráním několika příkladů a zjistíme, že pomocí ní lze jednoduše vysvětlit téměř všechny elektromagnetické jevy.

• Nyní si ukážeme, jak je magnetické pole generováno kvantitativně.

17. 5. 2004 7

Biot-Savartův zákon I• Existuje mnoho analogií mezi elektrostatickým a

magnetickým polem a nabízí se otázka, zda existuje vztah analogický Coulombovu zákonu, který by popisoval, jak na sebe působí dva krátké rovné kousky vodičů, protékaných proudem. Takový vztah existuje ale právě jeho složitost je důvodem pro rozdělení problémů magnetismu na generaci polí a jejich působení.

17. 5. 2004 8

Biot-Savartův zákon II• Vše, co je potřebné pro nalezení sil, kterými

na sebe působí dva makroskopické vodiče libovolné velikosti a tvaru je aplikovat princip superpozice a integrovat.

• V obecném případě se takovým způsobem musí postupovat, ale v případě speciální symetrie existuje analogická pomůcka, jako je Gaussova věta elektrostatiky.

17. 5. 2004 9

Ampèrův zákon• Podobně jako v případě elektrostatického pole

existuje v magnetismu zákon, který může výrazně usnadnit výpočty v případech speciální symetrie a může být také použit pro vysvětlení fyzikálních myšlenek v mnoha důležitých situacích.

• Je to Ampérův zákon, který dává do souvislosti integrál přes uzavřenou křivku s proudy, které tato křivka obemyká.

B

17. 5. 2004 10

Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem I

• Podobně jako při použití Gaussovy věty, je Ampérův zákon jednoduše použitelný, podaří-li se najít vhodnou integrační křivku, která je všude tečná k , čili siločáru, na níž je navíc B všude konstantní. Potom lze B vytknout před integrál, který je jednoduše délkou integrační cesty – uzavřené křivky.

B

17. 5. 2004 11

Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem II

• Mějme přímý dlouhý vodič protékaný proudem I.• Předpokládáme, že B(r) je osově symetrická a

vodič je přirozeně osou symetrie. • Siločáry jsou kružnice a tedy naše integrační cesta

bude kružnice s poloměrem r, která prochází bodem, kde chceme zjistit velikost magnetického pole. Potom:

rIrB

IrrB

2)(

)(2

0

0

17. 5. 2004 12

Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem III

• Vektory magnetické indukce jsou tečné ke kružnicím, jejichž centrem je vodič, které jsou tudíž siločaramy, a klesá s první mocninou vzdálenosti.• To je situace podobná jako u elektrostatického

pole dlouhého nabitého vodiče. Ovšem siločáry elektrického pole jsou radiální, zatímco siločáry pole magnetického jsou kružnice, tedy jsou navzájem v každém bodě kolmé.

17. 5. 2004 13

Síla mezi dvěma přímými vodiči I

• Mějme dva dlouhé rovné paralelní vodiče vzdálené d, protékané proudy I1 a I2, které mají stejný směr.

• Nejprve nalezneme směry sil a potom, díky symetrii, můžeme jednoduše pracovat s velikostmi. Je vhodné pracovat se silami na jednotku délky:

dII

lF 210

2

17. 5. 2004 14

Síla mezi dvěma přímými vodiči II

• Protože síla se relativně snadno měří, je tento vztah použit jako definice 1 ampéru:

1 ampér je konstatní proud, protékaný dvěma přímými, rovnoběžnými, nekonečně dlouhýmy vodiči o zanedbatelném průřezu, vzdálenými 1 metr, který by způsobil sílu rovnou 2 10-7 N na metr jejich délky.

17. 5. 2004 15

Magnetický dipól I• V elektrostatice jsme definovali elektrický dipól:

Představujeme si jej jako dva náboje, které mají stejnou absolutní hodnotu ale opačnou polaritu a jsou drženy v určité vzdálenosti od sebe například pomocí pevné tyčinky. • Přestože celkový náboj je nulový, je díky rozdílné

poloze obou nábojů dipól zdrojem elektrostatického pole speciální symetrie, které klesá rychleji než pole bodových nábojů.

• Vnější elekrické pole se obecně snaží dipól natáčet a je-li nehomogenní i posunovat.

17. 5. 2004 16

Magnetický dipól II• Magnetickým dipólem jsou buď tenké ploché

permanentní magnety nebo proudové smyčky.• Jsou opět zdroji polí speciální symetrie, která také

klesají rychleji než pole přímých vodičů a• ve vnějších magnetických polích jsou natáčeny nebo

posunovány podobně jako elektrické dipóly.

• Pomocí magnetických dipólů vysvětlujeme magnetické vlastnosti látek.

17. 5. 2004 17

*Magnetický dipól III• Mějme kruhovou vodivou smyčku o

poloměru a, protékanou proudem I. Popišme magnetické pole na ose smyčky ve vzdálenosti b.

• Rozdělme smyčku na malé kousíčky dl = ad a sečtěme vektorově jejich příspěvky k magnetické indukci s použitím Biot-Savartova zákona.

17. 5. 2004 18

*Magnetický dipól IV• Ze symetrie je směr magnetické indukce stejný

jako směr osy smyčky, kterou nazveme osou z. V tomto případě znamená integrace pouze součet projekcí magnetické indukce do osy z

dBz = dB sin . A z geometrie:

sin = a/r 1/r2 = sin2 /a2

r2 = a2 + b2

• Proveďme integraci.

B

17. 5. 2004 19

Magnetický dipól V• Protože magnetické dipóly jsou zdroji

magnetického pole, jsou jím také ovlivňovány.• V homogenním magnetickém poli bude na

magnetický dipól působit moment síly, který bude jejich osu natáčet do směru magnetických siločar.

• Ilustrujme to na speciálním případě obdélníkové smyčky a x b, kterou protéká proud I.

17. 5. 2004 20

Magnetický dipól VI• Z obrázku vidíme, že síly působící na strany

a se snaží smyčku roztáhnout. Je-li pevná, síly se vyruší.

• Síly působící na strany b jsou horizontální. Horní působí do tabule a spodní z tabule. Lze je rozložit na složky z nichž jednen pár se snaží smyčku roztáhnout, ale druhý tvoří dvojici sil mající otáčivý účinek.

17. 5. 2004 21

Magnetický dipól VII• Moment síly můžeme najít například nalezením

projekce síly kolmo na smyčku: T/2 = Fbsin a/2

• Protože obě síly působí ve stejném smyslu:T = BIabsin

• Užitím definice magnetického dipólového momentu:

lze vztah pro moment síly zobecnit :

0mIabm

BmT

bF

17. 5. 2004 22

Magnetické pole solenoidu I• Solenoid je dlouhá cívka s mnoha závity.• V případě konečného solenoidu je nutné

magnetické pole počítat jako superpozici magnetické indukce vyvolané jednotlivými závity.

• V případě solenoidu téměř nekonečného, kdy lze zanedbat okrajové efekty, můžeme elegantně použít ampérova zákona.

17. 5. 2004 23

Magnetické pole solenoidu II• Jako uzavřenou křivku zvolíme obdélník,

jehož dvě strany jsou rovnoběžné s osou solenoidu.

• Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry budou paralelní s osou solenoidu.

• Protože se uzavřené siločáry vrací „celým vesmírem“ jsou vně solenoidu nekonečně zředěny.

17. 5. 2004 24

Magnetické pole solenoidu III• Je zřejmé, že nenulový příspěvek

křivkového integrálu bude pouze přes stranu obdélníka, která je uvnitř solenoidu.

• Obklopuje-li obdélník N závitů s proudem I a jeho strana má délku l, potom:

Bl = 0NI• A zavedeme-li hustotu závitů, potom:

n = N/l B = 0nI

17. 5. 2004 25

Magnetické pole solenoidu IV• Ze symetrie je patrné, že výsledná indukce je

stejná, ať je náš obdélník ponořen do nitra solenoidu libovolně hluboko. Úvnitř dlouhého solenoidu je tedy homogenní pole.

• Pole co nejblížší homogennímu v určitém objemu je nutné vytvořit u mnoha metod např. hmotnostní spektroskopie nebo NMR.

• Relativně kvalitní pole lze získat pomocí tzv. Helmholtzových cívek. To je velmi krátký solenoid o velkém průměru, rozdělený na půlky.

17. 5. 2004 26

Magnetické pole toroidu I• Toroid si lze představit jako solenoid

uzavřený do sebe. Protože siločáry nemohou uniknout, nemusíme dělat žádné předpoklady o jeho velikosti.

• Má-li toroid střední poloměr R a N závitů, protékaných proudem I, můžeme jednoduše ukázat, že pole jen v toroidu a vypočítat jaká bude jeho velikost pro určitou siločáru.

17. 5. 2004 27

Magnetické pole toroidu II• Budeme integrovat podél siločáry o

poloměru r :B 2r = 0NI B(r) = 0NI/2r

• Toto platí pro každé r uvnitř toroidu.• Je patrné, že pole je:

• nehomogenní, protože závisí na r.• nulové vně toroidu.

17. 5. 2004 28

*Magnetické pole vodiče konečného průřezu I

• Mějme přímý vodič o průměru R, kterým protéká proud I a předpokládejme konstantní proudovou hustotu.

• Použijme Ampérova zákona. Uvažujme dvě kruhové dráhy, jednu uvnitř a druhou vně vodiče.

• Dráha vně vodiče obemyká celý proud a pole je zde stejné jako, kdyby byl vodič nekonečně tenký.

• Dráha uvnitř vodiče obemyká jen část proudu, což vede k lineární závislosti indukce na r.

17. 5. 2004 29

*Magnetické pole vodiče konečného průřezu II

• Uvažujme kruhovou dráhu o poloměru r uvnitř vodiče:

B 2r = 0Ienc

• Obemknutý proud Ienc zde závisí na ploše, jejímž obodem je uvažovaná smyčka

Ienc = I r2/R2

B = 0Ir/2R2

17. 5. 2004 30

Znovu Lorentzova síla• Vraťme se k Lorentzově síle :

a zabývejme se užitím totohoto vztahu. • Začněme pouze s magnetickým polem.• Ukažme, že platí :

)]([ BvEqF

)()( BLIFBvqF

17. 5. 2004 31

Proudy jsou pohybující se náboje I

• Mějme přímý kousek vodiče délky L kolmo na magnetickou indukci a v něm náboj q, pohybující se rychlostí v.

• Na překonání vzdálenosti L bude náboj potřebovat čas : t = L/v

• To odpovídá proudu : I = q/t = qv/L q = I L/v• Dosadíme za q do výrazu pro Lorentzovu sílu :

F = qvB = ILvB/v = ILB

17. 5. 2004 32

Proudy jsou pohybující se náboje II

• Chceme-li znát, jak se v magnetickém poli chová určitý vodič, protékaný proudem, můžeme si pro jednoduchost představit, že nosiče náboje jsou kladné a pohybují se ve směru tekoucího proudu. U většiny jevů nezáleží jakou polaritu nosiče náboje ve skutečnosti mají, ani se jimi tedy nedá zjistit. Výjimkou je např. Hallův jev.

• Ilustrujme to na vodivé tyčce pohybujicí se na vodivých kolejnicích v magnetickém poli.

17. 5. 2004 33

Proudy jsou pohybující se náboje III

• Připojme zdroj ke dvěma rovnoběžným kolejničkám, ležícím v rovině, kolmé k magnetickým siločárám. Položme na ně dvě vodivé tyčinky. V jedné budou nosiče kladné, ve druhé záporné.

• Vidíme, že vzhledem k tomu, že se náboje opačné polarity pohybují při stejném směru proudu na opačnou stranu, bude síla působící na náboje rozdílné polarity a tedy i síla působící na obě tyčky stejná. Je to vlastně princip elektromotoru.

17. 5. 2004 34

Pohybující se náboj v magnetickém poli I

• Vstřelme nabitou částici q, m rychlostí v kolmo do homogenního magnetického pole o indukci B.

• Velikost síly působící na částici je F = qvB a její směr můžeme najít z vlastností vektorového součinu FvB musí tvořit pravotočivý systém.

• Protože F je kolmá k v, bude neustále měnit směr pohybu, ale nikoli velikost rychlosti a výsledný pohyb částice bude kruhový.

17. 5. 2004 35

Pohybující se náboj v magnetickém poli II

• Výsledný pohyb je analogický pohybu planetárnímu. Lorentzova síla musí být silou dostředivou kruhového pohybu :

mv2/r = qvB• Obvykle se měří r , aby se identifikovaly částice :

• r je úměrné velikosti rychlosti a nepřímo úměrné specifickému náboji a magnetické indukci.

Bvrmq

1

17. 5. 2004 36

Pohybující se náboj v magnetickém poli III

• Tento vztah je základem pro identifikaci částic například v mlžné komoře, používané v částicové fyzice.• Můžeme okamžitě určit polaritu částice.• Jsou-li dvě částice stejné, má ta s větším r větší

rychlost a energii.• Jsou-li stejné rychlosti, má částice s větším

specfickým nábojem menší r.

17. 5. 2004 37

*Měření specifického náboje I• Tento princip lzepoužít k měření

specifického náboje elektronu. • Volné elektrony získáme ze žhavené

elektrody (katody). Potom je urychlíme napětím U, necháme vletět kolmo do magnetického pole o indukci B a změříme poloměr r jejich kruhové dráhy.

17. 5. 2004 38

*Měření specifického náboje II• Vyjádříme rychlost: mv2/r = qvB v = rqB/m• Tu dosadíme do rovnice, vyjadřující zachování

energie během urychlování : mv2/2 = qU q/m = 2U/(rB)2

• Veličiny na pravé straně jsou měřitelné. B lze vypočítat z proudu a geometrie elektromagnetů, obvykle Helmholtzových cívek.

17. 5. 2004 39

Specifický náboj elektronu I• Původní přístup objevitele elektronu J.

J. Thompsona v roce 1897 byl odlišný.• Používal zařízení známé nyní jako

“rychlostní filtr”. • Použije-li se magnetické pole B a kolmé

elektrické pole E správné polarity, projdou filtrem pouze částice, mající určitou rychlost v.

17. 5. 2004 40

Specifický náboj elektronu II• Má-li částice filtrem projít, musí se

navzájem kompenzovat elektrická a magnetická síla, které na ní působí :

qE = qvB v = E/B• Tato podmínka nezávisí ani na

hmotnosti ani na náboji částic!

17. 5. 2004 41

*Specifický náboj elektronu III• Thopson tedy :

• Použil elektronové “dělo”, nyní známe jako CRT.

• Označil si, kam nevychýlené elektrony dopadají při nulových polích.

• Zapnul elektrické pole E a označil si výchylku.• Zapnul také magnetické pole a nastavil jeho

indukci B, aby paprsek elektronů dopadal na stejné místo, jako při nulových polích.

17. 5. 2004 42

*Specifický náboj elektronu IV• Vletí-li nabitá částice q/m rychlostí v do

elektrického pole o intenzitě E, koná pohyb po parabolické dráze (obdobně jako při vodorovném vrhu) a po průletu úsekem pole o délce L, který trvá L/v, je odchýlena o y :

y = EqL2/2mv2

• Dosadíme za rychlost v = E/B a dostaneme :m/q = L2B2/2yE

17. 5. 2004 43

Hmotová spektroskopie I• Výše popsané principy jsou také základem

významné analytické metody – hmotnostní spektroskopie, která funguje následovně :• Analyzovaný vzorek je separován, např. GC a

ionizován.• Ionty se urychlí a nechají prolétnout rychlostním

filtrem• Nakonec vletí kolmo do magnetického pole a měří se

množství částic v závislosti na poloměru dráhy.

17. 5. 2004 44

Hmotová spektroskopie II• Výsledkem je množství částic v závislosti na

specifickém náboji, z něhož lze, alespoň principiálně rekonstruovat chemické složení analyzované látky.

• Moderní hmotnostní spektroskopy obvykle pracují s proměnným polem, aby poloměr r byl konstantní a svazek částic dopadal po stejné dráze do velice citlivého detektoru.

• Základní princip ale zůstává stejný.

17. 5. 2004 45

Hallův jev I• Vložme tenký (tloušťka a), podlouhlý a plochý

kousek látky do homogenního magnetického pole, aby silořáry procházely kolmo největší plochou.

• Protéká-li proud po délce (c), objevuje se tzv. Hallovo napětí napříč vzorku.

• Polarita tohoto napětí závisí na polaritě volných nosičů náboje a jeho velikost nese informaci o jejich pohyblivosti.

17. 5. 2004 46

Hallův jev II• Okraje vzorku se budou nabíjet až do

rovnováhy mezi elektrickými a magnetickými silami :qE = qvdB

• Je-li rozměr napříč b, bude Hallovo napětí U : Uh = Eb = vdBb

17. 5. 2004 47

*Hallův jev III• Za vd můžeme dále dosadit ze vztahu :

j = I/ab = nqvd vd = I/abnq = I/abRh

Zde Rh=1/nq je tzv. Hallova konstanta, materiálový parametr, důležitý a hlediska vodivosti.

• Celkově : Uh = BIRh /a Rh = Uha/ BI

17. 5. 2004 48

Urychlovače částic• Urychlovače se staví, aby se získaly nabité

částice a velké energii. Obvykle používá elektrické pole k urychlování a magnetické k udržení svazku částic v určitém tvaru a k fokusaci.• Cyklotrony• Synchrotrony

17. 5. 2004 49

*Cyklotrony I• Cyklotron je plochý, dutý, evakuovaný buben,

rozdělený na dvě, v půdorysu, polokruhové části. Materiál musí být vodivý, ale proniknutelný pro magnetické pole, které je kolmé k plochám. Obě části jsou připojeny k vysokonapěťovému a vysokofrekvenčnímu generátoru, který přepíná polarity.

• Částice jsou urychlovány při průchodu mezerou a přepínání způsobuje, že projdou jen ty, které mají správnou frekvenci kruhového pohybu.

17. 5. 2004 50

*Cyklotrony II• Poloměr je určen :• r = mv/qB = v/r = qB/m • f = /2 = qB/2m• frekvence f je naladělna na částice s určitým

specifickým nábojem. Jejich konečná energie závisí na počtu průchodů mezerou.

Kruhová proudová smyčka I

23

)(2

4

42

42sin

4sin

sin4

44

220

3

20

20

20

20

20

20

baIA

rIa

rIa

dr

IadBB

rIaddB

rIad

rIdldB

zz

z

Kruhová proudová smyčka II

30 2

4)(

bmbB

S = a2 je plocha smyčky a její normála má směr osy z. Můžeme definovat magnetický dipólový moment a předpokládat, že pole pozorujeme z velké dálky takže b>>a. Potom:

Magnetický dipól je zdrojem magnetického pole speciální symetrie, které klesá se třetí mocninou vzdálenosti. ^

SIm

Magnetické působení dvou proudů I

312

1212210212 ||4

)]([)(rr

rrldldIIrFd

Mějme dva proudy I1 a I2, protékající dva krátké rovné kousky vodičů a . Potom síla působící na druhý kousek v důsledku existence prvního kousku je:

Tento velmi obecný vztah plně popisuje silové působení, ale je velmi obtížně prakticky použitelný.

)( 11 rld )( 22 rld

Magnetické působení dvou proudů II

)()( 222212 rBdldIrFd

Proto se dělí na vztah popisující působení pole na proud (který již známe):

a na vztah pro výpočet pole. Ten se nazývá Biot-Savartův zákon:

312

121102 ||4

)]([)(rr

rrldIrBd

Magnetické působení dvou proudů III

Uvědomíme-li si, že:

je jednotkový vektor určující směr od prvního kousku proudu k druhému , vidíme, že magnetické síly klesají se druhou mocninou vzdálenosti, podobně jako síly elektrické:

212

012110

2 ||4][)(

rrrldIrBd

||)(

12

12012 rr

rrr

1r

2r

Magnetické působení dvou proudů IV

Škálovací konstanta 0 = 4 10-7 Tm/A se nazývá permeabilita vakua. V některých pramenech se nepoužívá, neboť 0 , 0 a c nejsou nezávislé přírodní konstanty Mezi permitivitou a permeabilitou vakua a rychlostí světla totiž platí vztah:

2001c

^

Ampérův zákon

iIldB 0

Mějme obecně několik vodičů, protékaných proudy I1, I2 …(třeba i nulovými) potom:

• Všechny porudy se sčítají, ale musí se vzít v úvahu i jejich směr (smysl)!

^