04. 11. 2013 1

FFZS-04 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika

a hydrodynamika

http://stein.upce.cz/msfzs13.html

http://stein.upce.cz/lectcz/ffzsn_04.html

Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

04. 11. 2013 2

Hlavní body• Gravitace

• Gravitační pole v blízkosti Země• Planetární pohyby• Potenciál a potenciální energie

• Nauka o pružnosti a pevnosti• Hydrostatika a hydrodynamika

• Hydrodynamika krevního oběhu

04. 11. 2013 3

Gravitační pole v blízkosti Země I

• Gravitační pole v těsné blízkosti Země lze charakterizovat intenzitou. Její velikost nazýváme gravitačním zrychlením.

• Po korekcích gravitačního zrychlení ag = 9.83 ms-2 na různé vlivy, zvláště rotaci Země, dostáváme měřitelné tíhové zrychlení. Jeho střední hodnota je g = 9.81 ms-2.

0021 )( rar

R

MrE g

04. 11. 2013 4

Gravitační pole v blízkosti Země II

• Ve vztahu vystupuje součin M. Gravitační konstanta se musí určit z nezávislého měření v laboratoři. Například na torzních vahách. Díky tomu je možné v laboratoři ‘vážit‘ nebeská tělesa.

• Tíhové zrychlení vykazuje drobné odchylky v důsledku nepřesně kulového tvaru Země a nehomogenit její hmotnosti a polohy na ní. Toho se využívá při geologickém průzkumu

04. 11. 2013 5

Gravitační pole v blízkosti Země III

• Zemi je možné vážit z gravitačního zrychlení nebo z pohybu Měsíce.

• Příklad : Určete M a M z a g.

kgRa

M g 242

1098.5

333

2

105.54

3 mkgR

RagM

04. 11. 2013 6

Konzervativní pole • Gravitační pole se řadí mezi takzvaná pole

konzervativní.• Celková práce potřebná na přenesení hmotnosti

po libovolné uzavřené dráze je nulová.• Práce potřebná na přenesení hmotnosti m z

bodu A do bodu B nezávisí na cestě, ale jenom na nějaké skalární vlastnosti pole v těchto bodech = potenciálu .

W(A->B) = m(B) - m(A)

04. 11. 2013 7

Potenciál I • Je třeba správně chápat rozdíl mezi

potenciálem, což je vlastnost pole a potenciální energii, což je vlastnost určitého hmotného tělesa v tomto poli.

• Výhody popisu pole pomocí potenciálu :• Skalární• Princip superpozice vede na aritmetické sčítání• Lépe konverguje

04. 11. 2013 8

Potenciál II• Potenciál v jistém bodě centrosymetrického

pole získáme rozdělením potenciální energie na vlastnost pole a vlastnost částice:

• Potenciál v kalibraci c=0 :

crM

mrmrEp )()(

r

Mr

)(

04. 11. 2013 9

Potenciál III• Obecně je pohodlnější popisovat gravitační

pole pomocí potenciálu, ale na jeho základě je nutné umět vypočítat intenzitu a sílu :

• V centrosymetrickém případě :

))(())(()( rrgradrE

dr

rdrE

)()(

04. 11. 2013 10

Gradient I• Gradient skalární funkce je vektor, který má

• směr největšího růstu funkce v daném bodě

• velikost danou přírustku funkce v jednotkové vzdálenosti od daného bodu v tomto směru :

rdz

df

dy

df

dx

dfrfgrad

);;())((

04. 11. 2013 11

*Gradient II• Gradient je trojrozměrnou obdobou

diferenciálu :

• Význam gradientu vyplývá z faktu, že skalární součin bude maximální, když jsou jeho činitelé paralelní.

))((.)()( rfgradldrfldrf

))((a rfgradld

04. 11. 2013 12

Zákon zachování energie I

• Práce dodaná do systému se rovná přírůstku jeho celkové energie, který je roven součtu přírůstku kinetické a přírůstku potenciální energie.

• Jak se přírůstky konkrétně rozdělí závisí na dalších podmínkách problému. Je-li práce kladná může se kinetická energie i snížit, ale její pokles musí být vykompenzován odpovídajícím vzrůstem energie potenciální

pk EEEW

04. 11. 2013 13

Zákon zachování energie II

• Je-li práce dodaná do systému nulová zachovává se celková energie, tedy součet energie kinetické a potenciální. (Zatím uvažujeme jen tyto dva druhy energie).

• Jeden druh energie se ale může měnit v druhý.

• V těsné blízkosti Země :

0 pk EEE

mghmv

2

2

04. 11. 2013 14

Pohyb satelitů I• Obecně se tělesa otáčejí kolem společného těžiště.

• Je-li satelit podstatně lehčí než centrální těleso lze společné těžiště ztotožnit s těžištěm centrálního tělesa.

• Uvažujme pro jednoduchost kruhovou dráhu. V prvním přiblížení je dostředivá síla realizována silou gravitační a platí :

2

2

r

mM

r

mv

04. 11. 2013 15

Pohyb satelitů II• Můžeme například vyjádřit rychlost

oběhu :

• Nyní chápeme 3. Keplerův zákon pro satelity obíhající stejné centrální těleso:

rMv

MrTr

Tv

rT

rM

2

3

2222 442

04. 11. 2013 16

Pohyb satelitů III• Jsou-li hmotnosti těles srovnatelné, musí se

uvažovat pohyb kolem jejich společného těžiště. Čili dochází i k pohybu centrálního tělesa.

• Takto lze vysvětlit příliv a odliv nebo odhalit exoplanety u vzdálených hvězd.

• Používá se přímého pozorování a moderněji spektroskopických metod (136).

04. 11. 2013 17

*1. Kosmická rychlost • 1. Kosmická rychlost je rychlost oběhu

těsně u povrchu vesmírného tělesa. • Tedy zakřivení dráhy vodorovného vrhu akorát

kopíruje povrch tělesa.

• Takový pohyb je možný pouze, když těleso nemá atmosféru, jinak je zbržděno (a shoří).

• V případě Země se jedná o hodnotu fiktivní :

16.7 skmaRv gRM

I

04. 11. 2013 18

*2. Kosmická rychlost• 2. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při

které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo z dosahu Země do nekonečna • Opět nesmí dojít ke ztrátám průletem atmosférou

• Rozdíl od rychlosti potřebné k dosažení např. Měsíce je ale nepatrný.

122

2.112

skmvR

MmmvRM

II

04. 11. 2013 19

*3. Kosmická rychlost• 3. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při

které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo ze Země z dosahu Slunce do nekonečna • Úniková rychlost z oběžné dráhy Země je

• Ms je hmotnost Slunce, rsz je poloměr dráhy Země.• Při vypuštění sondy ve směru obíhání Země lze ale odečíst

obvodovou rychlost Země, tedy cca 30 km/s.

122

2.422

skmvr

mMmvsz

s

rM

IIsz

s

04. 11. 2013 20

*Proč shořela Columbie I• Celková energie satelitu :

• Kde jsme použili dříve odvozený vztah pro rychlost satelitu:

r

mM

r

mM

r

mM

r

mMmvE

222

2

rMv

04. 11. 2013 21

*Proč shořela Columbie II• Podle předchozího se celková energie satelitu

musí zvětšit dodáme-li práci. Přitom :• se zvětší její vzdálenost

• její rychlost se zmenší(!)

• Když naopak satelit vstupuje do atmosféry a je bržděn atmosférou nebo svými motory, klesá jeho výška, ale roste rychlost. Musí tedy (v určité fázi letu, například než může letět jako letadlo nebo být bržděno padáky) vydržet obrovské teploty.

04. 11. 2013 22

*Moderní teorie gravitace• Albert Einstein se zabýval ekvivalencí gravitační a

setrvačné hmotnosti na ní a na předpokladu, že fyzikální zákony musí v každé (i neinerciální) soustavě být stejné vybudoval obecnou teorii relativity. • Podle ní hmotnost zakřivuje časoprostor ve svém okolí. • Experimentálními potvrzeními této teorie jsou

například ohyb elektromagnetických vln v blízkosti velkých těles (Slunce, Jupiter) a stáčení roviny oběhu Merkura.

04. 11. 2013 23

Atomová hypotéza I• Richard Feynman – jeden z největších fyziků 20.

století a autor výborné a nadčasové učebnice “Feynmanovy kurzy fyziky“ – tvrdí, že pokud bychom směli zanechat budoucím generacím jedinou větu, měla by znít : Svět je složen z atomů, malých částic, které jsou v neustálém pohybu, když se přiblíží, přitahují se, ale když se přiblíží ještě více, naopak se odpuzují.

• Rozměry atomů se měří v (SI) zakázaných, ale velice praktických jednotkách - angströmech 1Ǻ = 10-10 m

04. 11. 2013 24

Atomová hypotéza II• Kdybychom zvětšili jablko na rozměr Země (asi 108 krát),

atomy by měly rozměr jablka.

~ 6 cm = 6 .10-2.108 m = 6 .106 m = 6 .103 km ~ 6 Ǻ.108 = 6 .10-10 .108 m = 6 .10-2 m = 6 cm

Je zajímavé, že i při tomto zvětšení :by atomové jádro nebylo vidět pouhým okem. Mělo by totiž

průměr jen řádově jednotky m !poloměr Země by nedosáhl k nejbližší hvězdě. Musel by se

ještě 60 krát vynásobit!

04. 11. 2013 25

Dalekodosahové síly ICherchez le puits (de potential)

• Součástky hmoty - atomy nebo molekuly na sebe vzájemně působí dalekodosahovými silami, které mají následující vlastnosti:• na velké vzdálenosti jsou zanedbatelné

• při menších vzdálenostech jsou přitažlivé

• při ještě menších vzdálenostech jsou odpudivé

• existuje alespoň jedna rovnovážná vzdálenost,

v níž se přitažlivé a odpudivé síly kompenzují

04. 11. 2013 26

Dalekodosahové síly II• Dalekodosahové síly lze zjednodušeně vystihnout

průběhem potenciální energie částice, která se blíží k částici, umístěné do počátku – tzv. potenciálovou jámou.• v blízkosti minima ji lze aproximovat parabolou

• lze pomocí ní kvalitativně vysvětlit například:• existenci a pravidelnost kondenzovaného stavu

• elastické chování látek

• teplotní roztažnost

• mechanické vlastnosti sedlin

04. 11. 2013 27

Pružnost I• Z vzájemného působení součástek hmoty,

které jsme si přiblížili pomocí potenciálové jámy, je patrné, že tělesa nemohou být dokonale tuhá. Jejich tvar v každé situaci odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil.

• Změnou působení vnějších sil se mění síly uvnitř. Snaží se vyrovnat účinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti.

04. 11. 2013 28

Pružnost II• Vzájemné působení může být velmi složité a

existují látky s bizardními vlastnostmi.• Naše potenciálová jáma je zjednodušení,

zhruba fungující pro velké množství látek.• Zatím přijměme tvrzení, že při velmi malých

deformacích se při vymizení vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy.

• Zaveďme si vhodně veličiny, které jsou ve hře:

04. 11. 2013 29

Napětí I• Experiment ukazuje, že pro deformační

účinek je rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí tzv. mechanické napětí

• Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2

S

F

dS

Fd

04. 11. 2013 30

Napětí II• Odezva látek může být komplikovaná, ale i

u nejjednodušších látek (homogenních a izotropních) je rozdílná nejméně v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládat napětí alespoň na normálové a tečné:

dS

dFnn

dS

dFtt

04. 11. 2013 31

Deformace• Odezva látek je vždy úměrná rozměru před

deformací, proto je užitečné ji k tomuto původním rozměru vztáhnout. Podle typu deformace používáme například relativní• prodloužení

•

• Střih dx

dy

• stlačení

0ldl

dydx

0VdV

v

04. 11. 2013 32

Závislost napětí na deformaci

• Průběh namáhání látek se obvykle (ale ne vždy) zobrazuje jako závislost napětí na deformaci. Má následující oblasti a meze:• úměrnosti ... zde platí Hookův zákon• elasticity ... návrat do původního tvaru• plasticity ... zůstává trvalá deformace• kluzu ... velká změna chování• pevnosti ... porušení materiálu

04. 11. 2013 33

Závislost napětí na deformaci

oblast tečenímez pevnosti

elastická oblast plastická oblast

oblast proporcionality – zde platí Hookův zákon

p

r

04. 11. 2013 34

Hookův zákon I• Pro velmi malé (přesně nekonečně malé)

deformace potom například platí :

Veličiny E, G a K jsou tzv. moduly, vyjadřují odpor vůči deformaci a u pevných látek mají značně velké hodnoty ~1010 Pa.

VdV

Kp

G

E

v

04. 11. 2013 35

Hookův zákon II• Moduly se nazývají :

• E …Youngův modul pružnosti v podélném prodloužení

• G … Youngův modul pružnosti ve smyku

• K … modul objemové pružnosti

• Často se používají i reciproké hodnoty modulů. Vyjadřují samozřejmě poddajnost (compliance) materiálů a jsou typicky velmi malé.

04. 11. 2013 36

*Hookův zákon III• Mezi ději ve směru namáhání a ve směru kolmém existuje

souvislost. Například protahujeme-li drát, dochází v kolmém směru ke zužování. Popisujeme jej relativním příčným zkrácením, které je úměrné normálovému napětí :

• Míru změny v příčném směru popisujeme novým materiálovým parametrem Poissonovým číslem (ný) nebo (jeho reciprokou) Poissonovou konstantou m :

nka

aa

a

a 1

,

nn mEmEkk 11

11

04. 11. 2013 37

*Hookův zákon IV• Podélný a příčný rozměr po deformaci lze vyjádřit :

• Budeme-li krychli V = aaa namáhat hydrostatickým tlakem p = n, projeví se ve změně k každého rozměru i příčné vlivy a objem po deformaci bude :

)1()1(,

Elll n

)1()1(,

mEaaa n

)]2(31[)]2(1[ 3, VVV

04. 11. 2013 38

*Hookův zákon V• Čili po zanedbání kvadratických a vyšších členů

můžeme vyjádřit relativní změnu objemu:

• a srovnáním dostáváme součinitel objemové stlačitelnosti γ nebo modul objemové pružnosti K :

pmEm

VVV )2(3

)2(3,

KEmEm

pVV 1)21(3)2(31

04. 11. 2013 39

*Hookův zákon VI• Poissonova konstanta nebo Poissonovo

číslo se také uplatní ve vztahu mezi modulem ve smyku a v tahu, takže jednoduché materiály lze charakterizovat jen dvěma materiálovými parametry :

)1(2)1(2

E

m

mEG

04. 11. 2013 40

*Deformace neizotropních látek I

• V obecném případě neizotropních těles je nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu a .ij je j-tá složka napětí působící na plošku

kolmou k ose i.

pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru osy q.

04. 11. 2013 41

*Deformace neizotropních látek II• Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako:

ij = Cijpq pq • Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů.• Každá symetrie materiálu znamená i symetrií v C, tedy

nějakou vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů.

• Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě.

• Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich jen dva parametry E a G.

04. 11. 2013 42

Úvod do mechaniky tekutin I• Tekutiny je společný název pro kapaliny a plyny.

Přitažlivé síly v nich jsou kohézního charakteru. • Mají společný téměř nulový modul ve smyku. Díky tomu

snadno mění tvar.

• Relativně lehce se rozdělují.

• Na rozdíl od plynů jsou kapaliny téměř nestlačitelné.

• V případě, že se neprojevují efekty, které souvisí s existencí atomové struktury, lze tekutiny, podobně jako pevné látky považovat za tak zvané kontinuum – spojité prostředí.

04. 11. 2013 43

Tekutiny II

• Z hlediska elastických vlastností lze tekutiny definovat následovně:• kapaliny ... K velmi veliké, G malé

• plyny ... K konečné dané EOS, G malé

04. 11. 2013 44

Tekutiny III

• Pro odhalení základních mechanických vlastností kapalin a plynů je vhodné začít od ideální kapaliny a později zavádět korekce, popisující reálnější chování například viskozitu a stlačitelnost.

• Ideální kapalina má K nekonečné a G nulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smyková napětí ani deformace.

04. 11. 2013 45

Hydrostatika ideální kapaliny I

• Hydrostatika se zabývá kapalinami nebo plyny v rovnováze, bez ohledu na to, jak a za jak dlouho k ní dojde (např. smůla na stromě není v rovnováze).

• Budeme nejprve uvažovat ideální a tedy dokonale nestlačitelnou kapalinu, navíc homogenní a izotropní.

• Je pohodlné charakterizovat kapalinu fyzikálními veličinami vztaženými na jednotku objemu, tedy hustotami fyzikálních veličin.

04. 11. 2013 46

Hydrostatika ideální kapaliny II

• Nejběžnější jsou :• hustota je hmotnost na jednotku objemu :

= m/V, [] = kg m-3

• hustota působících sil , tedy síla na jednotku

objemu : , [f] = N m-3

• tlak p lze chápat jako hustotu tlakové energie : [p] = N/m2 = J/m3

dV

Ff

f

04. 11. 2013 47

*Základní rovnice hydrostatiky I

• Pro tenzor napětí u ideální kapaliny platí jednoduše Pascalův zákon :

ij=-pij.

ij je tzv. Croneckerovo delta. Nabývá dvou hodnot: ij=1 pro i=j nebo ij=0 pro ij.

• p = F/S [Pa] je tlak - normálové napětí. • Budeme upravovat základní vztah pro

rovnováhu kontinua : 0

ji

ij fx

04. 11. 2013 48

*Základní rovnice hydrostatiky II

• Po dosazení za tenzor napětí platí :

• Síla působí ve směru největší změny tlaku nebo naopak největší změna tlaku je ve směru působící síly.

• Jde-li speciálně o sílu vytvořenou polem majícím potenciál

fpgradfxp

jj

0

gradf

04. 11. 2013 49

Základní rovnice hydrostatiky III

• Tedy:

• A konečně po integraci obdržíme :

• Tuto rovnici lze iterpretovat tak, že místa stejného tlaku leží na ekvipotenciálních plochách a s poklesem potenciálu = růstem hloubky se tlak zvětšuje.

ddp

gradpgrad

04. 11. 2013 50

Základní rovnice hydrostatiky IV • Všechna rozhraní kapalin, samozřejmě včetně

hladiny, která je rozhraním kapaliny a plynu, jsou tedy ekvipotenciální plochy.

• Hladiny nejsou ve skutečnosti zcela vodorovné :• kopírují například zemský povrch a sledují i jemnější

změny potenciálu v důsledku rotace Země, její nehomogenity i společné působení Měsíce a Slunce.

• také se zakřivují v blízkosti okrajů nádoby.

04. 11. 2013 51

Tlak v kapalině I Pascalův zákon

• V důsledku neexistence tečných napětí působí v každém bodě pouze tlak (=normálové napětí) a je stejný ze všech směrů.

• Na tomto principu je založena např. hydraulika. Můžeme-li zanedbat vlastní tíhu kapaliny, je tlak v ní všude stejný a na různě velké plochy tedy působí různě velká síla:

F1/S1 = p1 = p2 = F2/S2

04. 11. 2013 52

Tlak v kapalině II

• Předpokládejme • gravitační pole v blízkosti povrchu Země.

= gz

• svislá osa je z, její kladná část míří vzhůru.

• Obecně musíme připustit závislost hustoty na z, potom :

gzdz

dp)(

04. 11. 2013 53

Tlak v kapalině III Průběh tlaku v kapalině je lineární

• U těžko stlačitelných kapalin lze hustotu považovat za konstantní a tedy :

• Integrace vede na lineární pokles tlaku s výškou (např. ode dna z = 0, kde je p = p0) :

• Častěji uvažujeme naopak vzrůst s hloubkou pod hladinou (z = 0, kde je barometrický tlak p = b0) :

gdzdp

gzpzp 0)(

ghbhp 0)(

04. 11. 2013 54

Tlak v kapalině IVPrůběh tlaku v atmosféře je

exponenciální• Předpokládejme izotermickou atmosféru,

stlačitelnou podle Boyle-Marriotova zákona

• Potom :

• Diferenciální rovnici řešíme integrací po separaci proměnných a po odlogaritmování:

pgpdz

dp

0

0

0

000 p

pVppV

)exp()(0

00 p

gzpzp

04. 11. 2013 55

Archimédův zákon I• Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno

silou, která se rovná tíze tekutiny tělesem vytlačené.

• Nadlehčování je způsobeno tlakovými silami, které se snaží tekutinu “vrátit”, do míst, odkud byla tělesem vytlačena nebo kam se může alespoň principiálně dostat.

• Protože tlak roste s hloubkou, lze očekávat, že výslednice sil bude směřovat vzhůru.

04. 11. 2013 56

Archimédův zákon II• Archimédův zákon

• úzce souvisí s růstem tlaku s hloubkou • lze ilustrovat na tělese speciálního tvaru nebo• dokázat obecně jako rovnováhu objemových a

povrchových sil. Druhý důkaz nepožaduje konstantní hustotu, čili nezávisí na možné stlačitelnosti tekutiny a platí tedy i pro plyny a také tělesa, která mohou být v několika prostředích, např. neúplně ponořená.

04. 11. 2013 57

Archimédův zákon III• Mějme rotační válec o výšce h a podstavě S

v ideální kapalině o hustotě 0.• Tlakové síly na plášť se v každé hloubce

vyrovnají.• Nevykompenzovaná zůstane pouze tlaková síla

působící na spodní podstavu a tedy vzhůru, protože tato podstava je hlouběji o výšku válce než podstava horní: F = Sh0g.

• To je ale přesně tíha vytlačené kapaliny.

04. 11. 2013 58

Archimédův zákon IV

• V kapalině, která je v rovnováze si mysleme její určitý objem libovolného tvaru.• Tento objem má svoji hmotnost, a tíha směřuje

svisle dolů.• Na povrch objemu působí tlakové síly. Protože

je objem v rovnováze, musí jejich výslednice vykompenzovat tíhu, čili musí směřovat svisle vzhůru a její velikost se musí rovnat tíze myšleného objemu.

04. 11. 2013 59

Povrchové napětí I

• Částice kapaliny blízko rozhraní mají ve svém okolí prostředí dvojího druhu. To obecně vede k nesymetrii působících sil, jak dovedeme vysvětlit opět pomocí potenciálové jámy.

• Takový efekt existuje i na rozhraní dvou pevných látek. Jak jsme poznali, rozhraní kapaliny se vyznačuje tím, že zaujímá v každém bodě směr kolmo k působící síle.

04. 11. 2013 60

*Povrchové napětí II

Δx

lF

Práce vykonaná při zvětšení blány o plochu ΔS:

Mýdlová blána

(2 povrchy)Proč se mince položená opatrně na povrch vody nepotopí?

ΔW = 2σlΔx

Energie na jednotku plochy = povrchové napětí:

ΔW/2lΔx = σ

[σ] = N.m-1 = J.m-2

04. 11. 2013 61

Povrchové napětí III

• Například na rozhraní kapalina – plyn působí síly směřující do kapaliny.• Výsledkem je, že se rozhraní snaží zaujímat

minimální povrch, např. se tvoří kapky.

• Na rozhraní kapalina – pevná látka mohou síly směřovat : • do kapaliny - kapalina látku nesmáčí

• z kapaliny ven - kapalina látku smáčí.

04. 11. 2013 62

Kapilární elevace a deprese

04. 11. 2013 63

Úvod do hydrodynamiky

• Popsat tekutiny v pohybu patří mezi nejobtížnější problémy, které v klasické fyzice existují.

• Pro jednoduchost vyjdeme ze zákonů zachování, které platí pro pomalé proudění neviskózní a nestlačitelné kapaliny.

• Později podrobněji popíšeme chování nejjednodušší viskózní, tzv. Newtonovské kapaliny a ukážeme příklady chování některých ne-Newtonovských kapalin.

04. 11. 2013 64

Hydrokinematika I

• Proudící kapalinu lze popsat pomocí :• Trajektorií, křivek, po nichž se částice pohybují

v čase. Částicí se zde rozumí makroskopicky malý ale mikroskopicky velký objem kapaliny.

• Proudnic, křivek tečných v každém bodě k vektorům rychlosti. Proudnice tvoří proudové trubice, jejichž stěnami kapalina neprochází. Jejich vnitřek se nazývá proudová vlákna.

04. 11. 2013 65

Zákony zachování

• U ideálních kapalin lze jednoduše využít zákonů zachování. Zachovávají se :• Množství – rovnice kontinuity

• Hybnost

• Energie – Bernoulliho rovnice

04. 11. 2013 66

Rovnice kontinuity

• Časový objemový průtok Q kapaliny určitou proudovou trubicí se zachovává. Jinak by se kapalina musela někde objevovat nebo mizet.

• Má-li proudová trubice u nestlačitelné kapaliny v jednom místě průřez S1 a v druhém S2, platí :

S1v1 = Q1 = Q2 = S2v2

• U stlačitelných tekutin je konstantní průtok hmotnostní a platí : S1v11 = S2v22

04. 11. 2013 67

Zachování hybnosti

• Ke změně směru proudové trubice může dojít jen v případě existuje-li impuls síly, který příslušnou změnu hybnosti umožní v čase :

• Proudnice musí zpravidla podpírat i síly tlakové.

• Např. změna rychlosti vody v hadici vede ke změně jejího tvaru a nové rovnováze.

tvvQptF )( 12

04. 11. 2013 68

Zachování energie

• Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování hustoty energie :

• V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v rozměrech délkových :

.2

2

konstV

Epgh

v

.2

2

konstg

ph

g

v

04. 11. 2013 69

Odvození Bernoulliho rovnice I

• Uvažujme dvě různá místa, ohraničující určitý úsek jedné proudové trubice, která jsou popsána rychlostí vi, tlakem pi a výškou hi.

• Působením tlakových sil se určitý objem V se přemístí za čas t z prvního místa do druhého.

• Na oba objemy působí z vnějšku úseku tlakové síly opačné orientace o velikosti Fi = Si pi.

• Práce, kterou vykonají tyto síly za t se musí rovnat přírůstku celkové energie daného objemu.

04. 11. 2013 70

Odvození Bernoulliho rovnice II

• Tedy :

• Dosadíme za síly a energie :

• Aplikujme rovnici kontinuity a dělíme ΔV :

)()( 11222211 pkpk EEEEvFvFt

)(2

)()( 12

21

22

222111 hhmgvvm

vSpvSpt

)(2

)()( 12

21

22

21 hhmgvvm

ppV

04. 11. 2013 71

Odvození Bernoulliho rovnice III• Tento vztah, vyjadřující zachování energie, bývá

zvykem vztáhnout ke jednotkovému objemu, tedy vydělit V a přeskupit podle uvažovaných míst :

• Rci odvodil Švýcar Daniel Bernoulli 1700-1783

• Celková energie proudící kapaliny má tedy tři složky : tlakovou, kinetickou a potenciální.

2

22

21

21

1 22gh

vpgh

vp

04. 11. 2013 72

Použití Bernoulliho rovnice I

• Bernoulliho rovnice lze použít jako prvního přiblížení při řešení řady praktických problémů.

• Uvažujme například výtok kapaliny ze široké (nebo doplňované) nádoby malým otvorem umístěným v hloubce h pod hladinou. V Bernoulliho rovnici můžeme udělat několik úprav a zanedbání :

04. 11. 2013 73

Použití Bernoulliho rovnice II

• Oba tlaky jsou atmosférické : p1= p2.

• Vyjádříme hloubku: h = z1 – z2

• Rychlost v1 můžeme zanedbat.

• Po zkrácení a úpravě :Je zajímavé, že tento tzv. Torrichellio vzorec byl

znám již sto let před Bernoullim.

2

22

21

21

1 22gz

vpgz

vp

ghv 22

04. 11. 2013 74

Použití Bernoulliho rovnice III

• Není-li možné rychlost v1 zanedbat, použijeme rovnici kontinuity v1 = v2S2/S1 :

• Po zkrácení , zavedení hloubky a úpravě :

(výraz má zjevně smysl jen pro S1 > S2)

2

22

121

22

22

22gz

vgz

S

Sv

22

21

12

2

SS

ghSv

04. 11. 2013 75

Použití Bernoulliho rovnice IV• Uvažujeme-li místa o stejné výšce je z Bernoulliho

rovnice patrná zajímavá vlastnost proudících tekutin a to, že v místech s větší rychlostí je nižší tlak. Na tomto principu je založena řada jevů od bouchání dveří v průvanu, přes střílení rohového kopu ve fotbale, po létání letadel. Protože jsou důsledky na první pohled překvapivé, je tento jev znám jako hydrodynamický paradoxon.

• Významné je jeho využití při měření rychlosti.

04. 11. 2013 76

Použití Bernoulliho rovnice V• Pitotova trubice (fajfka) :

• do měřené kapaliny jsou vnořeny dvě trubice, ústí jedné je kolmo, ústí druhé rovnoběžně s jejím proudem (fajfka) v2 = 0.

• v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí

• ve vztahu vystupuje pouze rozdíl výšek zi

)(22 1212

21

1 zzgvgzv

gz

04. 11. 2013 77

*Použití Bernoulliho rovnice VI

• Venturiho trubice (potřebuje zúžení) :• do měřené kapaliny jsou kolmo vnořeny dvě

trubice, jedna v místě s průřezem S1, druhá S2.

• v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí

2211

22

2

21

1 22vSvS

vgz

vgz

04. 11. 2013 78

*Použití Bernoulliho rovnice VII

• Z obou rovnic :

• Pro rychlost v1 a průtok Q platí po úpravě :

22

21

2121

)(2

SS

zzgSv

22

21

21

21

21 22)(

S

Svvzzg

22

21

212111

)(2

SS

zzgSSvSQ

04. 11. 2013 79

Viskózní kapaliny I

• Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny.

• Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon:

dtd

dydtdx

Ddydv

x

04. 11. 2013 80

Viskózní kapaliny II• dynamická viskozita (éta) – míra odporu tečení

• [] = kg m-1s-1 = Nm-2s = Pa s

• Starší jednotka Poise [P]=gcm-1s-1=0.1 Pa s

• Převrácená hodnota viskozity se nazývá tekutost:

= 1/• Často se používá viskozita vztažená na hustotu, tzv.

kinematická viskozita (ný) = /• D je gradient rychlosti rovný časové změně

deformace ve střihu .

04. 11. 2013 81

Viskózní kapaliny III

• Fyzikální význam viskozity : • Snažme se například táhnout desku jistou rychlostí v po

hladině kapaliny hloubky y nad stojícím dnem. Od něj k desce tedy vytváříme gradient rychlosti :

Musíme táhnout tím větší silou• čím větší je viskozita kapaliny nebo

• čím větší rychlosti chceme dosáhnout

• Analogicky s Ω zákonem lze viskozitu chápat jako tečné napětí potřebné na jednotkový gradient rychlosti :

Ddydv

y

v

dy

dvD

D )(

I

UR

04. 11. 2013 82

Viskózní kapaliny IV

• Dynamická a kinematická viskozita některých kapalin:

[Pa s] (ný) [m2/s]• ETOH 1.2 10-3 1.51 10-6

• benzín 2.9 10-4 4.27 10-7

• rtuť 1.5 10-3 1.16 10-7

• olej 0.26 2.79 10-4

• voda 1.005 10-3 0.804 10-6

04. 11. 2013 83

Viskózní kapaliny V

• Viskozita : • snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek)

• způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální.

• Ukážeme, že v (proudové) trubici kruhového průřezu je rozložení rychlosti na vzdálenosti od osy parabolické.

04. 11. 2013 84

*Viskózní kapaliny VI

• Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na• podstavy působí tlakové síly (p1 > 0, p2 < 0)

• plášť síla způsobená třením okolních vrstev.

• Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící, tedy síly působící na podstavy plus na plášť v rovnováze :

02)( 212

dydv

lyppy

04. 11. 2013 85

Výpočet objemu proteklé tekutiny potrubím při laminárním proudění

r

Směr pohybu tekutiny

F1 F2

Ft

2yp1 p2

04. 11. 2013 86

*Viskózní kapaliny VII

• Předpokládejme, že p1 > p2 a tedy kapalina se pohybuje ve směru růstu souřadnice x.

• Znaménko + znamená, že třecí sílu bychom považovali (jako obvykle) za kladnou, kdyby měla směr rychlosti.

• Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy.

04. 11. 2013 87

*Viskózní kapaliny VIII

• Po zavedení p = p1 – p2 a úpravě :

• Po integraci :

dyyl

pdv

2

1

kyl

pyv

2

4

1)(

04. 11. 2013 88

*Viskózní kapaliny IX

• Uvažujeme-li trubici o poloměru r. Obdržíme hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 :

• a celkově dostáváme parabolickou závislost :

2

4

1r

l

pk

)(4

1)( 22 yr

l

pyv

04. 11. 2013 89

*Viskózní kapaliny X

• Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní:

• Celkový průtok obdržíme integrací :

• To je známá Hagen-Poiseuillova rovnice.

dyyyrlp

yydyvydQv )(21

)(2)( 22

l

prdyyyr

l

pQ

r

v

8)(

2

1 4

0

22

04. 11. 2013 90

Rozložení rychlosti při laminárním proudění potrubím kruhového průřezu

)(41

);( 22 yrlp

ryv

ryv(y)

vmax

)(41 2

max rlp

v

04. 11. 2013 91

Elegantní měření- pád kuličky ve viskózní kapalině

grG 3

34

G

FVFS

Působící síly: tíha, vztlak, odpor

Koule nerovnoměrně zrychluje až do vyrovnání působících sil:

GFF SV

grFV 03

34

rvFS 6

04. 11. 2013 92

Viskózní kapaliny XI

• Stokesův zákon:• Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje

malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla

F = 6rv• Kulička o hustotě bude po ustálení rovnováhy

padat v kapalině 0 konstantní rychlostí vt :

)(9

20

2

gr

vt

04. 11. 2013 93

Viskózní kapaliny XII

• Laminární proudění• brzdící síla je úměrná rychlosti• rychlost je úměrná r2

• střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovému spádu

• Za mezí Stokesova zákona :• Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2

• Cd je parametr, který závisí na tvaru

04. 11. 2013 94

Viskózní kapaliny XIII• Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se

používá tzv. Reynoldsovo číslo. • pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v• pro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici

o poloměru r platí :

• Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní(ve jmenovateli posledního výrazu je řecké (ný), tedy kinematická viskozita!)

vrvr

R

04. 11. 2013 95

Dynamika krevního oběhu INa základě práce Dr. J. Tulky

• Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň -> komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic).

• Krev v aortě :• <v> = 0.3 ms-1

• r = 0.01 m = 1060 kg m-3

= 3.3 10-3 Pa s

• R 970 proudění je ještě těsně laminární.

04. 11. 2013 96

Dynamika krevního oběhu II

• Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = 0.001 ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez• velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty

• vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty

04. 11. 2013 97

Dynamika krevního oběhu III• Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo

úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci :• aorta plicnice

• systola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPa

• diastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa

04. 11. 2013 98

Dynamika krevního oběhu IV

• Práce srdce bývá vyjadřována jako součet • statické – objemové dodávající tlakovou energii

• kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti :

• Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je WS= 0.93 J a WK = 0.003 J, tedy W = 0.94 J

VvVpWWW KS 221

04. 11. 2013 99

Dynamika krevního oběhu V

• Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J.

• Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W.

• Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny.

04. 11. 2013 100

Dynamika krevního oběhu VI

• Celkový srdeční výkon je tedy asi 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu.

• Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je :• 3 s výkonu Chvaletické elektrárny

• Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest

Příklad - potenciál I• Spočítejme práci, kterou musíme (jako

vnější činitel) dodat pro přemístění hmotnosti m z rA do rB v centrálním poli jisté hmotnosti M.• Závisí jen na vzdálenostech od tělesa a práci

musíme dodávat jen při zvětšování r, protože působíme proti přitažlivé síle.

B

A

r

r

B

A

B

A

BA drrFrdrFdWW )()(

Příklad - potenciál II

Tuto práci chápeme jako přírůstek potenciální energie

srovnáním

)11

(2AB

r

r

BA rrmMdr

rmM

WB

A

)()( AEBEW ppBA

rmM

rEp

)(

Příklad - potenciál III• Práce dodaná tělesu vnějším činitelem zvýší

jeho potenciální energii. Tu obecně definujeme včetně integrační konstanty c, dané kalibrací:

• Často předpokládáme, že potenciální energie v nekonečnu je nulová, což odpovídá c=0 :

crM

mrEp )(

rmM

rEp

)(^