22. základní škola Plzeň, příspěvková organizace

Na Dlouhých 49, 312 00 Plzeň

Absolventská práce

FIBONACCIHO POSLOUPNOST

Lukáš Pauliny

9. B

Vedoucí absolventské práce: Mgr. Martin Tomik

Školní rok 2010/2011

Prohlašuji, že jsem absolventskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené

literatury a zdrojů informací.

V Plzni dne 1. června 2011

Lukáš Pauliny

…………………….

3

Obsah Obsah ...........................................................................................................................3

Anotace ........................................................................................................................5

Anotace v českém jazyce .......................................................................................5

Anotace v cizím jazyce ..........................................................................................5

Úvod .............................................................................................................................6

1 Fibonacci ...................................................................................................................7

1.1 Stručný životopis .................................................................................................7

1.2 Fibonacciho práce ................................................................................................7

1.2.1 Liber abbaci ..................................................................................................7

1.2.2 Úloha o králících ...........................................................................................8

2 Fibonacciho posloupnost ........................................................................................ 10

2.1 Historie Fibonacciho posloupnosti ..................................................................... 10

2.2 Co je Fibonacciho posloupnost? ......................................................................... 10

2.2.1 Definice ...................................................................................................... 10

2.3 Fibonacciho čísla v praxi ................................................................................... 10

2.3.1 Fibonacci retracement ................................................................................. 10

2.3.2 Příklad Fibonacci retracement ..................................................................... 11

2.3.3 Příklad stavba zdi ........................................................................................ 11

2.3.4 Geometrický paradox .................................................................................. 12

3 Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez ............................................... 14

3.1 Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku ........................................................ 14

3.2 Zlatý řez a Fibonacciho čísla .............................................................................. 14

3.2.1 Definice zlatého řezu .................................................................................. 14

3.2.2 Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem ............................................. 15

4 Fibonacciho posloupnost v přírodě ........................................................................ 16

4.1 Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě...................................................... 16

5 Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi ........................................ 17

5.1 Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla .............................................. 17

5.1.1 Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla ....................................... 17

5.1.2 Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet) .............................. 17

5.1.3 Důkaz matematickou indukcí ...................................................................... 17

Závěr .......................................................................................................................... 19

4

Seznam použité literatury a zdrojů informací ......................................................... 20

Knihy a publikace ................................................................................................ 20

Elektronické zdroje .............................................................................................. 20

5

Anotace

Anotace v českém jazyce

Název práce je Fibonacciho posloupnost. Práce je rozdělena do několika kapitol.

V první kapitole bych vám chtěl přiblížit, kdo byl Fibonacci a co jsou Fibonacciho čísla

s pomocí úlohy o králících, která vedla ke vzniku samotné Fibonacciho posloupnosti.

V druhé kapitole jsem se již zabýval samotnou Fibonacciho posloupností, kde a jak se

dá využít. Ve třetí kapitole se zabývám Fibonacciho čísly v Pascalově trojúhelníku

a také jejich souvislostí se zlatým řezem. Ve čtvrté kapitole vám ukážu, kde všude

najdete Fibonacciho posloupnost a také jak se těmito čísly inspirovala matka příroda.

Anotace v cizím jazyce

The title of this work is the Fibonacci sequence. The thesis is devided into few

chapters. In the first one, I would like to make you acquainted with the personality of

Fibonacci and to explain what the Fibonacci numbers are through the auxiliary problem

about rabits, which have let to origination of the Fibonacci sequence itself. In the

second chapter I dealt with the Fibonacci sequence itself, where and how to use it. In

the third chapter I explain the problem of Fibonacci numbers in the Pascal triangle and

the connection between them and the gold chain. In the last chapter I would like to

show You the Fibonacci sequence in different occurrences and as an inspiration of the

mother nature.

6

Úvod

Když naší třídě oznámili, že si máme vybrat téma absolventské práce tak jsem

neměl žádnou představu o tom jaké téma bych chtěl zpracovat. Proto jsem si jednoho

dne zjistil, jaká témata pro absolventskou práci jsou k dispozici. Nakonec jsem se

rozhodl pro matematiku a to ze dvou důvodů. Proto, že vedoucím této práce je pan

učitel Martin Tomik, který patří k mým nejoblíbenějším učitelům a také proto, že o

tématu slyším poprvé a doufám, že si z této práce odnesu něco, co se mi bude

v budoucnu hodit a co využiji. Ve své práci se vám stejně jako sobě tedy pokusím

přiblížit, co jsou to Fibonacciho čísla, jak souvisí se zlatým řezem a proč tomu tak je.

Další část práce se týká Fibonacciho posloupnosti, kde a jak se dá využít za použití

známých úloh jako třeba známé Fibonacciho úlohy o králících. Když zde zmiňuji jméno

Fibonacci tak v mé práci také naleznete kdo Fibonacci byl a jakým způsobem přišel na

posloupnost, která dnes nese jeho jméno.

1. Portrét

Fibonacciho

2. Ukázka

zlatého řezu

3. Fibonacciho

čísla v přírodě

4. úloha o

králících

1. 2.

3.

4.

7

1 Fibonacci

1.1 Stručný životopis

Leonardo Pisánský známý též také pod přezdívkou Fibonacci, kterou dostal

podle svého otce, kterému se říkalo Bonacci (=dobromyslný člověk) proto přezdívka

Fibonacci (=syn dobromyslného člověka). Fibonacci se stal prvním významným

matematikem ve starém středověku. Narodil se roku 1170 v Italské Pise, avšak vzdělání

se mu dostalo až v Severní Africe, kde pobýval se svým otcem. Fibonacci později

získával poznatky při obchodních cestách ve Středomoří a v Orientu, proto měl možnost

vidět výsledky islámských, řeckých, egyptských a mezopotámských matematiků. Roku

1200 se rozhodl Fibonacci vrátit do italské Pisy, kde zůstal až do své smrti roku 1250.

1.2 Fibonacciho práce

Fibonacciho práce nemálo podpořily staré matematické dovednosti. V dnešní

době jsou nám k dispozici kopie jeho knih Liber abbaci z roku 1202, Praktica

geometriae z roku 1220, Flos 1225 nebo Liber quadratorum z roku 1225. Nás však

bude nejvíce zajímat kniha Liber abbaci (česky Svazek počítadla) o které pojednává

následující kapitola.

1.2.1 Liber abbaci

Liber abbaci je kniha z roku 1202 ve které Fibonacci shrnul poznatky

a myšlenky, které získal na svých cestách. Tato kniha také značně pomohla evropské

matematice tím, že využívala arabské číslice a přinesla také Dekadický systém, což je

poziční číselná soustava používající pro zápis 10 symbolů (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Ve třetí

části této knihy Fibonacci uvádí pro nás velmi důležitou a známou úlohu o králících.

8

1.2.2 Úloha o králících

Zadání:

Kolik králíků bude mít po uplynutí jednoho roku a budou-li platit tyto

podmínky:

1. Na začátku máme 2 králíky samce a samici

2. Králíci jsou schopni se pářit od konce prvního měsíce, takže ke konci druhého

už se narodí nový pár mláďat.

3. Po druhém měsíci se rodí pravidelně každý měsíc jeden pár mláďat.

4. Králíci nikdy neumírají.

Řešení (1. -matematické 2. -praktické) :

Číslo v závorce je číslo měsíce, a hodnota f (x) počet párů králíků na začátku daného

měsíce tím dostaneme:

f(1) = 1

f(2) = 1

f(3) = 2

f(4) = 3

f(5) = 5

9

1. Označíme nově narozené páry králíků písmenem N a dospělé králíky D,

dostaneme:

Měsíc 1: N

Měsíc 2: D

Měsíc 3: DN

Měsíc 4: DND

Měsíc 5: DNDNDN

Tato posloupnost má první 2 členy rovny jedné a každý další člen se pak rovná

součtu dvou předchozích. Takovouto řadu čísel označujeme jako Fn a nazýváme

Fibonacciho čísla a říkáme, že čísla mají tzv. Fibonacciho posloupnost.

10

2 Fibonacciho posloupnost

2.1 Historie Fibonacciho posloupnosti

Fibonacciho čísla jsme mohli poprvé poznat v Indii v díle „Nauka o verši“ od

Indického matematika Pingala, ale jako posloupnost tato čísla poprvé použil a popsal již

výše zmíněný Leonardo z Pisy známý též jako Fibonacci, který tuto posloupnost použil

ve své knize Liber Abbaci, kterou se proslavil.

2.2 Co je Fibonacciho posloupnost?

2.2.1 Definice

Fibonacciho posloupnost je posloupnost, která má první dva členy rovny jedné

a každý další člen se pak rovná součtu dvou předchozích.

Posloupnost Fibonacciho čísel

Posloupnost Fibonacciho čísel 1 1 2 3 5 8 13 21

Způsob výpočtu daného čísla =1 =1 1+1 1+2 2+3 3+5 5+8 8+13

2.3 Fibonacciho čísla v praxi

2.3.1 Fibonacci retracement

Snad nejpoužívanější metoda Fibonacciho čísel se nazývá „Fibonacci

retracement“ což je Fibonacciho úroveň zpětných pohybů. Tento nástroj odvozuje

z ukazatelů, které tvoří 4 po sobě jdoucí Fibonacciho čísla (Př. 13, 21, 34, 55) které

mezi sebou vydělíme a dostaneme tzv. podílového ukazatele.

Fibonacci retracement

13/21 = 0.618 (61.8%) 34/21 = 1.618 (161.8%) 21/55 = 0.382 (38.2%)

34/55 = 0.618 (61.8%) 55/34 = 1.618 (161.8%) 13/34 = 0.382 (38.2%)

V praxi jsou výše uvedené výpočty použity hlavně v analytických přístrojích

díky čemuž vám stačí znát pouze nejnižší číslo (dno) a nejvyšší číslo (vrchol)

významného pohybu a ostatní úrovně již nemusíme počítat, jelikož se nám samy

zakreslí do grafu.

11

2.3.2 Příklad Fibonacci retracement

Máme nyní společnost Forex. Pro společnost Forex jsou hlavní níže uvedené

Fibonacciho úrovně.

0.382 38,2%

0,5 50%

0.618 61,8%

0.786 78,6%

1,27 127%

1.618 161,8%

2.618 261,8%

Za nejsilnější úrovně jsou považovány hodnoty 38.2%, 50% 61.8% jsou to

v podstatě hodnoty které určují kam se bude trh či daný trend ubírat. Využití tohoto

zjištění je opravdu mnoho, například si můžeme vypočítat, kam až by mohla cena

výrobku této firmy dojít a prodat ji za nejvyšší možnou částku a to proto, že trh se po

každé větší změně vrací do předem předvídaných Fibonacciho úrovní.

2.3.3 Příklad stavba zdi

Máme cihly o velikosti 2x1. Chceme postavit zeď, která bude mít

výšku 2 a délku stejnou jako počet cihel, tj. 1 cihla=délka 1, 2 cihly=délka 2 atd. (viz

obrázek):

S 1 cihlou máme jen 1 možnost, jak postavit zeď

S 2 cihly máme 2 různé možnosti, jak zeď postavit

Se 3 cihlami máme 3 různé možnosti

Kolik budeme mít možností, jestliže budeme mít k dispozici 4 nebo 5 cihel?

12

1

cihla

2

cihly

3

cihly

Řešení:

řešení pro 4 cihly bude číslo 5, protože cihly můžeme poskládat následujícími způsoby:

Pro 5 cihel nemusíme dlouho přemýšlet výsledkem se stane číslo 8, protože

pokud výsledek pro 4 cihly bylo číslo 5 což je vlastně součet 2 předchozích variant tedy

2+3 proto výsledek pro 5 cihel se bude také rovnat součtu počtu dvou předchozích

řešení tedy 5+3 a proto výsledkem bude 8 možností.

2.3.4 Geometrický paradox

Geometrický paradox, neboli také problém chybějícího čtverečku je další z řady

příkladů, které potvrzují zajímavé vlastnosti Fibonacciho čísel.

13

Zadání úlohy a její řešení:

1. Rozstříhejte čtverec o straně délky 8 jednotek, tak jak je naznačeno na obrázku

níže a pak ze vzniklých dílů vytvořte obdélník.

2. Podivnost spočívá v tom, že ze čtverce o ploše 64 jednotek (8*8) poskládáme

obdélník o ploše 65 (3*13). Jak je to možné?

Řešení:

Kdybychom rýsovali velmi

přesně v dostatečně velkém měřítku

zjistili bychom, že je zde ještě

jednotka, která má plochu rovnou

číslu 1, protože čísla 5,8,13 jsou 3 po

sobě jdoucí Fibonacciho čísla a proto

pro ně platí:

5*13-82=(-1)

6, tj. 65-64=1

14

3 Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez

3.1 Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku

Fibonacciho čísla nesouvisí jenom se zlatým řezem, ale také s Pascalovým

trojúhelníkem a tudíž i s kombinačními čísly. Pokud si Pascalův trojúhelník narýsujeme

tak jak uvádím níže a sečteme čísla ve stoupajících úhlopříčkách uvidíme, že vychází

čísla tvořící Fibonacciho posloupnost.

3.2 Zlatý řez a Fibonacciho čísla

3.2.1 Definice zlatého řezu

Dříve než začneme zkoumat zlatý řez detailněji, tak se prosím podívejte na 2

následující obrázky.

A B

Většina z nás se asi shodne, že obrázek A je přitažlivější než obrázek B to proto,

že umístění květiny na obrázku A se blíží hodnotě zlatého řezu.

15

A B

Právě díky tomuto zjištění se také velké množství umělců na tuto hodnotu

zaměřilo a začali ji využívat při vytváření svých obrazů soch a staveb, ale nejen zde

najdeme zlatý řez ten se totiž vyskytuje všude kolem nás protože hodnotu zlatého řezu

stejně jako Fibonacciho čísla také využívá matka příroda a to v různých formách ať již

jako zlatou spirálu, trojúhelník a nebo jako zlatý obdélník.

Ukázka zlaté spirály v přírodě – zlatá spirála

Zlatá spirála Hlavonožec Nautilus

3.2.2 Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem

Fibonacciho čísla také velice úzce souvisí s hodnotou zlatého řezu a to tak že

vezmeme li podíl po sobě jdoucích Fibonacciho čísel tak vzniklé číslo se bude postupně

přibližovat hodnotě zlatého řezu tedy číslu 1,618 033 988

16

4 Fibonacciho posloupnost v přírodě

S Fibonacciho posloupností se setkáváme každý den svého života.Dokonce

i matka příroda si z těchto čísel vzala příklad a snad právě proto je počet spirál na

borové šišce 13 levotočivých a 21 pravotočivých.Protože tato dvě čísla jsou zrovna

dvěma následujícími ve Fibonacciho posloupnosti není určitě náhoda, protože se s nimi

můžeme setkat u slunečnice ta má 34 pravotočivých a 55 levotočivých spirál. Možná se

ptáte, proč si příroda z těchto čísel bere příklad a přizpůsobuje se jim? Odpověď je

jednoduchá, díky této posloupnosti se pak na terčíku slunečnice může vyskytovat

nejvíce semen při jejich obvyklé velikosti. Překvapivý je i fakt že stejný princip jako na

borové šišce a slunečnici najdeme i na kaktusu.

4.1 Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě

a) Kosatce 3vnější + 3 vnitřní okvětní lístky

b) Mochničky kuklíkovité 5 lístků

c) Kopretiny 21 okvětních lístků

a b

c

17

5 Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi

Fibonacciho čísla mají také vlastnosti, které nám umožňují vypočítat hodnotu

konkrétního čísla (n) aniž bychom museli vypisovat celou řadu.

5.1 Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla

Možnost výpočtu hodnoty konkrétního čísla v řadě jelikož existují vzorce, které

nám práci s Fibonacciho čísly velmi usnadní.

5.1.1 Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla

1. F1 + F2 + F3 + …. +Fn = Fn+2-1 Výpočet u po sobě jdoucích F. čísel

2. F12 + F2

2 + F3

2 + …. +Fn

2 = Fn * Fn+1 Výpočet u F. čísel s druhou mocninou

3. F1 + F3 + F5 + …. + F2n-1 = F2*n Výpočet u F. čísel s lichým indexem

4. F2 + F4 + F6 + …. + F2n = F2n+1-1 Výpočet u F. čísel se sudým indexem

5.1.2 Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet)

Pomocná řada F. čísel

1. ukázka pro n=4 u 1. zjednodušení

F1 + F2 + F3 + F4 = F4+2-1

1 + 1 + 2 + 3 =8-1

7=7

2. ukázka pro n=4 u 2. zjednodušení

F12 + F2

2 + F3

2 + F4

2 = F4 * F4+1

12 + 1

2 + 2

2 + 3

2= 3 * 5

1 + 1 + 4 + 9 = 15

15=15

5.1.3 Důkaz matematickou indukcí

Základní definice matematické indukce:

Matematická indukce je způsob dokázání tvrzení nebo matematické věty či

posloupnosti. Matematická indukce říká, že platí li pro číslo 1 určité pravidlo bude toto

pravidlo platit i u čísel vyšších v daném dokazovaném výpočtu, posloupnosti a dalších

tvrzeních.

Postup při provádění matematické indukce Fibonacciho posloupností:

1. nejdříve dokážeme, že tvrzení ve výpočtu platí je li n=1

2. Dokážeme, že rovnost opět platí, pokud zvýšíme číslo n o číslo 1 jedna

F1 F2 F3 F4 F5 F6

1 1 2 3 5 8

18

Pomocná řada F. čísel

Důkaz 1. výpočtu matematickou indukcí

1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1)

F1+2-1= F3-1=2-1=1

2. Indukční krok (n≠1)

F(n+1)+2-1=Fn+3-1

Důkaz 2. výpočtu matematickou indukcí

1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1)

F1*F1+1=F1*F2=1*1=1

2. Indukční krok ( n≠1)

F(n+1)*F(n+1)+1=F(n+1)*F(n+2)

F1 F2 F3 F4 F5 F6

1 1 2 3 5 8

19

Závěr

Téma mojí absolventské práce bylo Fibonacciho čísla a Fibonacciho posloupnost

a dnes již s jejím psaním končím. Co mi tato práce přinesla? Tato práce mě naučila

mnoha věcem, které se mi budou jistě hodit jako například zjišťování informací

a odhalila mi že v matematice nejde vždy jenom o čísla a naučila mě vytvářet příklady

ve kterých se vyskytují neznámé a zjistil jsem, že s jejich pomocí si lze velmi

zjednodušit matematické příklady. Tato práce mě však také naučila pečlivé a vytrvalé

práci. Avšak i když mi tato práce dala nepochybně hodně do budoucího studia na

střední škole tak jsem si také povšiml, že konec tohoto školního roku by mohl být

stráven lépe než psaním této absolventské práce. Konec tohoto školního roku by dle

mého názoru měl být stráven tak abychom na něj všichni rádi vzpomínaly a ne tak

abychom vzpomínaly na to, jak jsme psali absolventskou práci. Stálo proto za to se

touto prací zabývat? Mohl jsem se touto prací přestat zatěžovat a užívat si konec

školního roku podle mých představ avšak myslím si že pokud mi byl zadán jasný úkol

je mojí povinností jej splnit, jak nejlépe dokážu. Což je další věc, kterou mě tato práce

naučila a to je pečlivá práce a proto si myslím že tato práce má tak jako velká většina

školních úkolů dva způsoby projevení. První způsob projevení si nemusíme přibližovat

a všichni ho známe je jím otrávení z nově zadané práce, která nás v tu chvíli díky

přívalu instrukcí a úkolů dokáže znechutit natolik že každý z nás si velmi rozmýšlí zda

se do této práce vůbec pustit. Pak následuje 2 část, ve které zjišťujete, že práce není ani

zdaleka tak strašlivá jak jsme si zpočátku mysleli a pokud nás začne práce trochu bavit

tak postupem času už si na psaní do této práce zvykneme na tolik, že nám přestane dělat

jakékoli problémy. Mě se nakonec psaní této práce zalíbilo natolik, že jsem se začal

snažit o to aby byla z mého pohledu co nejlépe vypracovaná a doufám že i když tato

práce určitě nebude bez chyb tak vás čtení této práce nebude nudit natolik aby jste

hledali záminku k ukončení čtení. Takže co mi práce nakonec dala a vzala? Práce mi

vzala velké množství volného času, ale také mne mnoho jak se zmiňuji výše naučila a

myslím si, že absolventská práce má tak jako každá věc v životě svá plus i mínus.

20

Seznam použité literatury a zdrojů informací

Knihy a publikace

1. Eduard Fuchs a Magdalena Hykšová. Historický vývoj matematiky ve

vyučování matematiky v ZŠ. JČMF 2006.

Elektronické zdroje

2. http://absolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava/definice.htm (17. 03.2011)

3. http://www.google.com/imghp?hl=cs&tab=wi (27. 03.2011)

4. http://www.fxstreet.cz/fibonacci-retracement-jak-pouzivat-tuto-metodu.html

(27. 03. 2011)

5. http://cs.wikipedia.org/wiki/Matematick%C3%A1_indukce (1. 6. 2011)