64
22. 5. 2006 1 FII-11 Úvod do moderní fyziky
22. 5. 2006 1
FII-11Úvod do moderní fyziky
22. 5. 2006 2
Hlavní body
• Nástin teorie relativity
• Pád klasické fyziky
• Principy kvantové mechaniky
• Základy jaderné fyziky
• Problémy současné kosmologie• Jak starý je vesmír a čas?
• Je ve vesmíru život?
22. 5. 2006 3
Nástin teorie relativity I
• Teorie relativity se zabývá problémem vztažných soustav a jejich případné ekvivalence nebo vyjímečnosti.
• Speciální TR se zabývá soustavami inerciálními
• Obecná TR se zabývá soustavami neinerciálními
22. 5. 2006 4
Nástin teorie relativity II• Po strastiplném vývoji fyziky byl přijat princip
kovariance – pozorovatelé v každé soustavě vidí svět řízený stejnými fyzikálními zákony.
• Fyzikální veličiny ale nejsou obecně invariantní, tedy jejich konkrétní hodnota může být různá.
• Dlouho se předpokládala platnost Galileova principu, který stanovil, že zákony mechaniky mají ve všech soustavách stejný tvar a čas běží všude stejně rychle.
22. 5. 2006 5
Nástin teorie relativity III• Experiment ovšem ukázal, že ve všech soustavách
je konstantní rychlost světla. Tento fakt musel být přijat za jeden ze dvou základních postulátů STR.
• Druhý stanoví, že fyzikální jevy jsou ve všech inerciálních soustavách popsány zákony, které mají stejný tvar.
• Nutným, i když překvapivým důsledkem je, že v každé soustavě běží vlastní čas.
22. 5. 2006 6
Nástin teorie relativity IV
• Dalším důsledkem je, že prostorové a časové souřadnice spolu úzce souvisí a tvoří společné souřadnice časoprostorové.
• Časoprostorové souřadnice v jedné soustavě závisí na časoprostorových souřadnicích v soustavě druhé. Závislost popisuje Lorentzova transformace, jejíž speciální formu uvedeme.
22. 5. 2006 7
Nástin teorie relativity V
• Předpokládejme, že čárkovaná soustava se pohybuje vůči nečárkované rychlostí u ve směru osy +x potom :
kde :
)( utxx
)(2c
uxtt
2
2
1
1
cu
22. 5. 2006 8
Nástin teorie relativity VI• Pro rychlosti u menší než cca 10% c je
1 a platí téměř přesně Galileovská relativita, tedy x’ x – ut a t’ = t .
• S přibližováním u k c roste do nekonečna a tím se zvětšují i relativistické efekty.
• Zajímavým relativistickým jevem je i skládání rychlostí v klasické mechanice zcela neobvyklé.
22. 5. 2006 9
Nástin teorie relativity VII
• Pohybují-li se dvě soustavy vůči jisté inerciální soustavě rychlostí u resp. v, je jejich vzájemná rychlost w :
• Zřejmě, je-li u nebo v rovno c, je i w = c.
21cuvvu
w
22. 5. 2006 10
Rozdílný tok času I• O rozdílném toku času navzájem se rovnoměrně
pohybujících pozorovatelů se lze přesvědčit jinou jednoduchou úvahou:• Pozorovatel B má hodiny, které pracují se světelným
paprskem, odrážejícím se střídavě od dvou zrcadel kolmo na směr vzájemného pohybu soustav, např. ve směru osy y’, vzdálenými od sebe Y’=Y. Nejvhodnější jednotkou času je doba, mezi dvěma následujícími odrazy od stejného zrcadla, protože se v jeho soustavě odehrají v místě o přesně stejných souřadnících.
• Stejný paprsek pozoruje i pozorovatel A.
22. 5. 2006 11
Rozdílný tok času II• Pozorovatelé naměří časy: B: t’ = 2Y/c; A: t = 2L/c.
• Protože je zjevně L > Y a rychlost světla c je v obou soustavách stejná, musí být t > t’.
• Pomocí Pythagorovy věty dostaneme přesně stejný výsledek jako výše:
2
2,
1
)( 22222222,2
cu
tt
vcttuLYtc
22. 5. 2006 12
Rozdílný tok času III• Stejného výsledku musíme dosáhnou i pomocí
libovolných jiných hodin. V důsledku principu kovariance totiž musí v určité inerciální soustavě běžet všechny hodiny stejně rychle. Jinak by se měřením dala tato soustava odlišit od jiných, čili by byla speciální.
• Všimněme si, že takzvaný správný čas, tedy ten měřený v soustavě, kde se události odehrávají na stejném místě, je čas nejkratší možný.
22. 5. 2006 13
Nástin teorie relativity VIII• Relativistická dynamika ukazuje, že hmotnost
tělesa, která je ve své pohybující se soustavě m0, se jeví v soustavě pevné větší :
• Pomocí této relativistické hmotnosti lze potom definovat hybnost a celkovou energii :
0mm
vmmvp 02
02 cmmcE
22. 5. 2006 14
Nástin teorie relativity IX• V soustavě, vůči které je těleso v klidu, musí mít
tedy klidovou energii :
• a rozdíl klidové a celkové energie je roven energii kinetické :
• Souvislost obou energií a hybnosti je vyjádřena :
220
22420
2 )( pcEcpcmE
200 )1( cmEEEk
200 cmE
22. 5. 2006 15
Nástin teorie relativity X• Klidová energie elektronu je :
• Elektron urychlený napětím U získá kinetickou energii Ue [eV]. Potom lze například určit jeho rychlost (nejlépe vztaženou k rychlosti světla):
• Například pro U = 10 MV je = 0,99882
MeVJcme 512,0102,8 1420
220 2
111
c
v
cm
Ek
22. 5. 2006 16
Nástin teorie relativity XI• Při urychlování tedy rostou kinetická a celková
energie a hybnost. Roste i rychlost, ale jen se asymptoticky přibližuje k rychlosti světla.
• Obecná TR vychází z postulátu, že fyzikální zákony musí být vyjádřeny v takové formě, která je invariantní v jakkoli se pohybující soustavě.
• Pozorovatel nemůže rozlišit, zda je v gravitačním poli nebo zrychlené soustavě. Gravitační pole zakřivuje časoprostor. Světlo, šířící se přímočaře, se ve skutečnosti šíří po křivce. (Merkur, zatmění)
22. 5. 2006 17
Pád klasické fyziky I• Na konci 19. století se nahromadily experimenty,
které dokazovaly principiální odlišnost mikrosvěta od světa makroskopického.
• Nejzávažnější výsledky ukazovaly na kvantování mikroskopických veličin (fotoelektrický jev, teplotní záření černého tělesa) a na dualismus vln a částic (Comptonův jev).
• Byla přijata De Broglieho hypotéza o dualismu vln a částic :
p
h
22. 5. 2006 18
Pád klasické fyziky II• Vychází se z analogie s fotony, u kterých E = hf a
m0 = 0, což z předchozího vede na E = cp atd.
• Je zřejmé, že vlny odpovídající makroskopickým tělesům jsou (zatím?) neměřitelně krátké, ale v mikrosvětě je tomu jinak.• Běžící člověk (100 kg, 10 m/s) 10-37 m
• Brouk Pytlík (0.001 kg, 1 cm/s) 10-29 m
• Elektron (9.1.10-31 kg, 1.106 m/s) 10-10 m
22. 5. 2006 19
Pád klasické fyziky III• Experimenty, které způsobily pád klasické fyziky:
• Fotoelektrický jev a Comptonův jev
• Rentgenovo záření
• Bohrův model (elektronového obalu) atomu
• De Brogliho hypotéza dualismu vln a částic
• Principy kvantové mechaniky:• Relace neurčitosti
• Popis veličin pomocí vlnové funkce a operátorů
• Schrödingerova rovnice a příklady jejího použití
22. 5. 2006 20
Kvantová teorie I
• Ukazuje se, že v mikrosvětě platí princip neurčitosti. Částice principiálně nemá současně přesně určenou určitou složku hybnosti a odpovídající souřadnici. Jinou podobnou dvojicí je doba života a energie.
• Upřesňuje-li se jedna veličina, rozmazává se druhá a tato vlastnost nesouvisí s naší schopností veličiny měřit, ale je principiální
22. 5. 2006 21
Kvantová teorie II• Popis mikrosvěta může tedy mít jen charakter
pravděpodobnosti. Můžeme říct, že se částice vyskytuje v dané oblasti s určitou pravděpodobností a že její hybnost, moment hybnosti, energie atd. mají určité pravděpodobné hodnoty.
• Například elektronové orbitaly vyjadřují množinu bodů, kde je nejvyšší pravděpodobnost výskytu elektronů.
22. 5. 2006 22
Kvantová teorie III• Konkrétně se popis provádí pomocí (komplexní)
vlnové funkce. Její druhá mocnina udává pravděpodobnost výskytu částice v daném bodě. Působením jistými operátory lze pomocí ní určit další veličiny, například hybnost částice.
• Vlnová funkce se počítá řešením Schrödingerovy rovnice.
• Ukážeme si její použití pro případ volné částice a částice v potenciálové jámě.
22. 5. 2006 23
Jaderná fyzika I • Zabývá se strukturou atomového jádra a procesy, které v
něm probíhají.
• Klíčovými momenty byl objev radioaktivity Becquerelem a objev atomového jádra Ruthefordem.• bylo zjištěno, že atomy vyzařují tři typy záření , a • při ostřelování zlaté folie částicemi se zjistilo, že kladný náboj
musí být v atomu koncentrován v oblasti, která je cca 105 krát menší než celý atom.
• Postupně byly nalezeny základní jaderné částice nukleony, kterými jsou protony a neutrony a nacházejí se další.
22. 5. 2006 24
Jaderná fyzika II • Prvky jsou charakterizovány atomovým neboli
protonovým číslem Z. Mohou ale mít různé izotopy, které se liší neutronovým číslem N a tím i číslem hmotnostním A = Z + N.
• Objem atomového jádra je úměrný počtu nukleonů. Nukleony tedy v jádře zůstávají individualitami. Poloměr jádra lze vyjádřit pomocí empirického vztahu :
fmmRkdeARRc 2.1102.1,)( 1500
31
22. 5. 2006 25
Jaderná fyzika III • Jádra atomů drží pohromadě pomocí tzv. silných
interakcí, které překonávají elektrické odpuzování, ale jsou krátkodosahové. U velkých jader již nestačí překonávat Coulombovské odpuzování a jádra mají tendenci se rozpadat.
• Důvody pro to, že atomy vyzařují častice a ne jenom protony jsou energetické.
• Na deficitu energie částic vázaných v jádře vazebnými silami a částic volných je založená jaderná energetika.
22. 5. 2006 26
Jaderná fyzika IV • Atomová hmotnost je součet hmotností všech komponent
celého atomu, čili (hlavně) nukleonů a elektronů. Kromě v kg se vyjadřuje v atomových hmotnostních jednotkách, které jsou definovány tak, že atom má hmotnost 12 u = 12 .(1.6605.10-27 )kg.
• objekt kg u MeV/c2 elektron 9.1094.10-31 0.00054858 0.51100proton 1.67262.10-27 1.007276 938.27atom H1.67353.10-27 1.007825 938.78neutron 1.67493.10-27 1.008665 939.57
C126
22. 5. 2006 27
Jaderná fyzika V • V určitých případech při syntéze lehkých jader je
výsledné jádro nepatrně lehčí než komponenty. V případech jiných se uvolňuje energie při rozpadu těžkých jader na jádra střední.
• Například při rozpadu
je rozdíl hmotnosti na jeden atom m = – 4.56 u, tomu odpovídá uvolněná energie 4,25 MeV, což při obrovských množstvích atomů v makroskopických hmotnostech (Na) hodně.
4234238 HeThU
22. 5. 2006 28
Vyhořelé jaderné palivo I • Problém vyhořelého jaderného paliva je zveličován
různými lobistickými skupinami, které pro své cíle zneužívají důvěřivosti laického obyvatelstva, např. Jihočeských matek. Protože energie je pro civilizaci zásadní a návrat k přírodě nereálný, je třeba problémy racionálně řešit. Skutečnosti jsou zhruba následující:
• Nabízejí se dvě varianty, buď umístění vyhořelého paliva do konečných úložišť nebo jejich přepracování na dále využitelné látky. Zatím se palivové články dávají na 40-50 let do meziskladů v místě elektráren.
22. 5. 2006 29
Vyhořelé jaderné palivo II • Je vysoce pravděpodobné, že se lidstvo vydá cestou
přepracování. Zatím je to dražší varianta, ale je téměř jisté, že v tomto směru bude dosaženo dalšího pokroku.
• Vyhořelý palivový článek obsahuje 95% 238U, 1% 235U a 1% 239Pu. Tyto suroviny lze např. ozařováním neutrony dále přeměnit a využít. Pouze zbylá 3% zatím využít nedovedeme a u nich se plánuje uložení do konečných úložišť. Těchto látek je asi 22. Z reaktoru 3 GW je jich dohromady cca 300 kg za rok a liší se samozřejmě zastoupením a poločasem rozpadu.
22. 5. 2006 30
Jak je starý čas? I• Otázkami jestli vesmír vznikl a jestli zanikne a
kdy k tomu došlo nebo dojde, se lidé zabývali odnepaměti. Nejvíce ale filosofové a teologové, kteří vytvářeli jisté myšlenkové konstrukce na základech, které se nedají podpořit, ani vyvrátit.
• Současně se na tyto otázky snažili odpovědět i vědci, ale na základě pozorování.
• Věda pracuje cestou hypotéza -> model -> teorie, např. Koperník -> Kepler -> Newton
22. 5. 2006 31
Jak je starý čas? II• Po staletí lidé prováděli astronomická i jiná
fyzikální pozorování a učinili řadu významných objevů.
• Ale až ve 20. Století a zvláště na jeho konci se nahromadil dostatek důkazů pro vybudování věrohodných představ (hypotéz) o historii a snad i budoucnosti vesmíru.
• Jedinou “nectností” těchto představ je, že lidé extrapolují informace, získané v určitém omezeném prostoru a čase.
22. 5. 2006 32
Jak je starý čas? III• Existují ale závažné “polehčující
okolnosti”.• Rozborem spekter vzdálených objektů můžeme
učinit závěry a fungování fyzikálních a chemických zákonů v obrovské vzdálenosti. Víme například, že tam existují stejné prvky, jako na Zemi a v jejím okolí.
• Pohled do vzdáleného vesmíru je díky konečné rychlosti světla vlastně pohledem hluboko do minulosti.
22. 5. 2006 33
Jak je starý čas? IV• Významné objevy :
• rudý posuv ve spektrech vzdálených galaxií, který svědčí o tom, že se od sebe vzdalují tím rychleji, čím jsou tyto galaxie dále.
• reliktní záření odpovídající teplotně 2.7 K rozpínajícího se vesmíru v teplotní rovnováze.
• evoluce vesmíru – vzdálené galaxie vypadají jinak
• existence primordiálního (které nemohlo vzniklo ve hvězdách) helia
22. 5. 2006 34
Jak je starý čas? V• Vývoj vesmíru od určitého okamžiku popisuje
standardní model:• Vesmír začal ze singularity velkým třeskem, procesem
obráceným ke vzniku černých děr. • V něm počaly platit současné fyzikální zákony a
principiálně nelze zjistit, co předcházelo.• V prvních zlomcích sekundy se od sebe oddělily čtyři
(zatím) známé základní síly: silná, slabá, elektrická a gravitační.
• Model nepopisuje úplný začátek a neumí samozřejmě najít své okrajové podnínky.
22. 5. 2006 35
Jak je starý čas? VI• Zatím se proto neví, další vývoj, zda bude vesmír
nadále expandovat nebo se zastaví nebo se bude smršťovat. Každopádně, neměl by zaniklnout minimálně dalších 20 miliard let a čas půjde stále dopředu.
• Ke studiu je třeba přibrat kvantovou teorii, a tedy i její princip neurčitosti.
• Kandidátem na lepší model je inflační kosmologický model, který vysvětluje úplný začátek a musí odpovědět na nejvážnější současné problémy:
22. 5. 2006 36
Jak je starý čas? VII• vysokou homogenitu a izotropnost vesmíru
• zároveň jisté existující nehomogenity
• plochost vesmíru
• poměr mezi jednotlivými složkami hmoty
• vznik přebytku hmoty nad antihmotou
• absence pozorovatelných topologických singularit
• problém počáteční singularity
22. 5. 2006 37
Jak je starý čas? IV• Důležité závěry zatím jsou :
• vesmír existuje přibližně 15 miliard let a rozpíná se :• složení je 70% temná energie, 25% temná chladná
nebaryonová hmota a 5% baryonová hmota a malá příměs horké temné látky
• Kdyby vesmír existoval vždy, musel by být podle 2. věty TD naprosto neuspořádaný a v každém bodě oblohy by byla hvězda a každá ploška oblohy by zářila jako Slunce. Jediným důvodem, proč tomu tak není, je že hvězdy svítí od určitého okamžiku. Ve statickém vesmíru by k jejich zapnutí nebyl žádný důvod.
22. 5. 2006 38
Život ve vesmíru I
• Vzhledem k nesmírné velikosti vesmíru je pravděpodobné, že existují planety s podmínkami vhodnými pro život, jak ho známe. Mohou ale být velmi daleko od sebe.
• Předpokládá se, že náš život by se měl v budoucnu rozšířit do vesmíru – antropický princip.
22. 5. 2006 39
Život ve vesmíru II
• Zamezí se tím zániku naší civilizace po předpokládané expanzi Slunce nebo silně pravděpodobné srážce s asteroidem.
• Plány podobných civilizací ale budou jistě podobné, takže pravděpodobně nastane známý problém boje o teritorium.
HOWG!!!
Relativistická dynamika I• Ponecháme-li první dva členy rozvoje obdržíme známý
přibližný vztah pro kinetickou energii.
^
2)11()1(
)1(2
02
201
120
200
2
2
umcmcm
cmEEEk
• Pro malé rychlosti u < 0.1c je rozdíl od správné hodnoty menší než 1% a vzorec běžně považujeme za správný.
Relativistická dynamika II• Upravíme Einsteinovu rovnici pro celkovou energii :
^
20
222
220
42222
220
2222
22
2202
022
02
02
EcpE
cEcumcE
cEuEcE
uc
cEEE
EcmmcE
Rutheford 1911-1913 I
• Částice se dostane do takové vzdálenosti d od jádra, kde je její coulombovská potenciální energie rovna výchozí Ek :
• Částice o Ek = 5.3 MeV směřuje k jádru Au a po interakci se vrací po stejné přímce. Pronikne do jádra?
md
E
qkqd
d
qkqE
k
AuAuk
14196
2199
1029.4106.1103.5
)106.1(792109
Rutheford II
^
• Vzdálenost 43 fm je z makroskopického pohledu nepatrná. Velmi krátká je vzhledem k velikosti atomu. Nicméně je o půl řádu větší, než je velikost atomového jádra Au :
fmARRc 86.6)197(102.1)( 31
31 15
0
• Částice tedy do jádra nepronikne a vzhledem ke spádu potenciálu, lze říci, že tam zdaleka nepronikne. Aby nabité částice pronikly do jádra, musí být urychleny na obrovské energie v obrovských urychovačích nebo musí být použity částice bez náboje – neutrony. Ty ale nelze jednoduše urychlit.
Vazebná energie Fe
^
• Jaká je vazebná energie vztažená na nukleon u ?
• Atom má 26 protonů, 26 elektronů a 30 neutronů. Jejich celková hmotnost je :
u4635.56008665.130007825.126
Fe5626
• Hmotnost je 55.9349 u. Po jejím odečtení dostáváme m = 0.5286 u = 492.5 MeV. Po vydělení počtem nukleonů, dostáváme vazebnou energii 8.8 MeV. Tato energie by se uvolnila, kdybychom atom Fe sestavili z jednotlivých nukleonů a elektronů a tuto energii bychom museli dodat, abychom existující jádro Fe na jednotlivé komponenty rozložili.
Fe5626
Vazebná energie neutronu
^
• Jaká je vazebná energie posledního neutronu atomu ?
• Porovnáme hmotnost atomu se součtem hmotností neutronu a atomu :
u00531.0003355.13008665.1112
C136
m = 0.0531 u = 4.95 MeV. To je energie, kterou je potřeba dodat, abychom odstranili neutron z atomu.
C126
Planckova kvantová hypotéza• Střední energie, kterou vyzařuje dokonale černé těleso (dutina) o
objemu V, v tělese o teplotě T v okolí (úhlové) frekvence je :
1)exp()(
2
32
Tk
d
c
VEd
B
^
Příklad - Fotoelektrický jev I• Cesiová vrstva s výstupní prací Wo = 1.93 eV, je ozařována ze vzdálenosti r = 3.5 m světlem sodíkové výbojky, kde nejsilnější čára má vlnovou délku = 590 nm, s výkonem P=100 W.
Účinný průřez elektronu lze chápat jako kruhovou plošku o poloměru re = 5.10-11 m. • Za jak dlouho by elektron načerpal dostatečnou energii, aby mohl být emitován při izotropním toku energie ?• Za jakou střední dobu proletí jeden foton účinným průřezem elektronu? • Účinný průřez elektronu je :
2212 1085.7 mrS ee
Příklad - Fotoelektrický jev II• Energie emitovaného fotonu v J je:
12019
1097.21037.3
100
s
J
W
E
Pn
ff
JmsJshc
E f19
9
1834
1037.310590
1031063.6
• Energie emitovaného fotonu v eV je:
eVe
hcE f 107.2
• Počet fotonů vyzářených výbojkou za jednotku
času 1 s do všech směrů:
Příklad - Fotoelektrický jev III• Intenzita, čili výkon procházející jednotkou plochy v místě
vzorku je :
21182
120
20 1093.1154
1097.2
4
msm
s
r
nn f
2222
65.0)5.3(4
100
4 Wm
m
W
r
PI
• Počet fotonů procházejících jednotkou plochy v místě
vzorku za 1 s je :
Příklad - Fotoelektrický jev IV• Po vynásobení předchozích hodnot účinným průřezem elektronu do
staneme energii protékají tímto účinným průřezem za jednotku času :
sWs
eVJeV
P
Wt
e
o 60101.5
/106.193.1121
19
• Nyní již snadno zjistíme dobu potřebnou na naakumulování energie rovné výstupní práci :
)(101.5 121 WJsISP ee
• a počet fotonů protékajících tímto účinným průřezem za jednotku času. :
10 015.0 sSnn ee
Příklad - Fotoelektrický jev V• Střední doba než foton prolétne účinným průřezem elektronu
je :
^
• Na první pohled se jedná o srovnatelné časy. Skutečná čekací doba je ale řádově 10-9 s. To lze vysvětlit jedině tak, že elektron nesaje energii postupně, ale pohltí ji celou naráz při srážce s fotonem. Střední doba, za kterou se jakýkoli foton srazí s jakýmkoli elektronem se zkracuje s velikostí vzorku, s počtem elektronů a celovým účinným průřezem, který je součtem účinných průřezů jednotlivých elektronů.
• Dobu potřebnou pro postupné sání energie nijak zkrátit nelze!
sn
te
f 1.661
Bohrův model atomu I• Bohr připustil planetární model, ale jen v určitých stacionátních
stavech, které lze charakterizovat kvantováním momentu hybnosti :
...,2,1 nvrmnL ne• Ze skutečnosti, že elektrická přitažlivá síla je
rovna síle dostředivé plyne s použitím předchozího :
22
222
2
2
2
22
nm
rmkZe
vm
kZer
r
kZe
r
vm
e
ne
en
nn
e
Bohrův model atomu II• Po úpravě zjistíme, že poloměr jakékoli dráhy, jakéhokoli atomu lze
vyjádřit pomocí Bohrova poloměru, což je nemenší poloměr u vodíku.
• Podobně lze vyjádřit každou energii pomocí energie elektronu vodíku na dráze nejbližší jádru.
Z
nr
Zmke
nr
en
2
12
22
2
2
1
222
21
n
ZE
r
kZevmE
nen
Bohrův model atomu III• Po dosazení za mev2 do celkové energie :
^
• A konečně po dosazení za 1/rn :nn
en r
kZe
r
kZevmE
2
222
21
2
2
12
2
2
42
22
22
22 n
ZE
n
Zmek
n
mkZekZeE ee
n
• Přechody mezi těmito energetickými stavy skutečně odpovídají naměřeným spektrům.
Filosofie vlnové funkce I• Rovinnou EMA vlnu, šířící se ve směru, vlnového vektoru ,
lze napsat jako :
EhhfE
2
• Úhlovou frekvenci lze vyjádřit pomocí celkové energie. Pro m0 = 0 :
)(exp),( 0 trkiatra
k
Filosofie vlnové funkce II
• Podobně velikost vlnového vektoru k lze vyjádřit pomocí velkosti vektoru hybnosti p. Totéž platí pro příslušné vektory, které jsou rovnoběžné :
pk
pk
khh
c
hf
c
Ep
EcpE
2
2
20
222
•
Filosofie vlnové funkce III
• Rovinnou EMA vlnu lze tedy napsat jako :)(exp)(exp),( 00 Etrp
iatrkiatra
• Analogicky definujeme vlnovou funkci :
)(exp),( 0 Etrpi
tr
Filosofie vlnové funkce IV
• Po úpravě platí :
• Derivujme vlnovou funkci podle času :
iE
EtrpiiE
t)(exp0
Et
iti
• Výraz má pro vlnovou funkci stejný význam jako energie. Protože jeho působením na vlnovou funkci dostáváme energii, nazývá se operátorem energie.
ti
Filosofie vlnové funkce V
• Pomocí něj lze určit hybnost, pokud je známa vlnová funkce i odvodit fundamentální rovnici kvantové mechaniky tzv. Schrödingerovu rovnici.
^
• Podobně lze pomocí derivace vlnové funkce podle souřadnic :
pipx
i x
i• nalézt operátor hybnosti :
Schrödingerova rovnice
• Hybnost a potenciální energii nahradíme příslušnými operátory a budeme působit na vlnovou funkci :
^
• Odvodíme stacionární Schrödingerovu rovnici pro jednorozměrný případ. Vyjdeme ze zákona zachování energie :
EExm p2
22
2
EEm
pEE ppk
2
2
Volná částice
• S obdobnou diferenciální rovnicí 2. řádu jsme se setkali např. při studiu harmonického oscilátoru. Její obecné řešení je rovinná prostorová vlna:
^
• Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x a nepůsobí na ní žádná síla, čili Ep = 0 :
02
2 22
2
2
22
m
xE
xm
kxBkxA cossin • kde k je vlnový vektor :
22
2
hpmE
k
Částice v potenciálové jámě I
• Schrödingerova rovnice i její obecné řešení jsou stejné jako v případě volné částice :
• Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x, ale je umístěna v nekonečně hluboké potenciálové jámě délky L. Potenciální energii můžeme napsat jako :
0)()0( L
kxBkxA cossin • Nyní ale musíme uvažovat také okrajové podmínky,
vycházející z požadavku spojitosti vlnové funkce :
),0(
),0(0
LxproE
LxproE
p
p
Částice v potenciálové jámě II
• a druhá, díky periodicitě funkce sinus, na kvantování vlnového vektoru, hybnosti a energie :
• První podmínka vede na zjednodušení vlnové funkce :
kxAsin
22
22
2
22
82
sin
nmL
hn
mLEn
Lp
nL
knkL
Částice v potenciálové jámě III
^
• Tedy máme-li volnou částici o přesně známé energii E nebo hybnosti p, může se vyskytovat kdekoli na ose x. To je v dokonalém souladu s principem neurčitosti.
• Omezení výskytu částice v prostoru vede na kvantování hybnosti, energie atd. i obecně. Z něj také vyplývá existence energetických hladin v atomech, která vedla k formulaci Bohrova modelu.
