MODERNÍ APLIKACE
STATISTICKÉ FYZIKY I
NTMF049, 2/0 Zk - ZS
externě: ÚTF UK
Miroslav Kotrla a František Slanina [email protected] [email protected]
kmenově:
FZÚ AV ČR, v.v.i., Praha 8
oddělení teorie
kondenzovaných látek
http://www.fzu.cz/~kotrla/teach.htm
Přednášky MK na ÚTF
MODERNÍ APLIKACE STATISTICKÉ FYZIKY I TMF049, 2/0 Zk - ZS MODERNÍ APLIKACE STATISTICKÉ FYZIKY II TMF050, 2/0 Zk - LS POČÍTAČOVÉ SIMULACE VE FYZICE MNOHA ČÁSTIC TMF021, 2/0 Zk - ZS POKROČILÉ SIMULACE VE FYZICE MNOHA ČÁSTIC TMF024, 2/0 Zk – LS
Kde mě najít? V budově Ústavu
teorie informace
a automatizace
(UTIA)
Pod Vodárenskou
věží 4, Praha 8,
křídlo v pravo,
místnost 435,
doprava: např.
metrem do
stanice Ládví
též na stránce
www.fzu.cz/~kotrla
Statistická fyzika
Metoda: - Vychází z představy o atomové struktuře látky.
- Předpokláda platnost ergodické hypotézy a místo řešení
pohybových rovnic užívá středování přes statistické
soubory, tj. metod statistiky.
Původní cíl:
odvodit fenomenologické zákonitosti
termodynamiky z mikroskopického hlediska
Statistická fyzika
Úspěšné: - vybudován obecnýn formalismus při užití statistických
metod –> stat. fyzika je důležitá součást teoretické fyziky
- mnoho aplikací pro všechny stavy hmoty:
pevné látky, kapaliny, kinetická teorie plynů, etc.
- v principu lze STATFYZ použít pro systém složený z
velkého počtu elementů s definovanými vztahy mezi nimi
Původní cíl:
odvodit fenomenologické zákonitosti
termodynamiky z mikroskopického hlediska
Statistická fyzika je to vhodný nástroj i pro
studium netradičních složitých
nerovnovážných problémů.
Tato přednáška
Představíme některé v aplikace rovnovážné i
nerovnovážné statistické fyziky.
Cíl: Výklad pokročilejších metod statistické fyziky
a seznámení se studiem komplexních jevů.
Společný rys: kritické chování
červená niť: existence škálování
Kritické chování vysvětlujeme
na příkladu magnetických jevů.
Kritické jevy – kritická teplota TC
kritický bod pára - kapalina
kritický bod feromagnet – paramagnet
Singulární chování
v okolí Tc
Magnetizace má skok v Tc.
Měrné teplo Cv
a susceptibilita c
mají singularitu.
Singularita v Tc je mocninná !
Experimentální výsledky pro železo
p CC k T T
kritický exponent α
Dvě části přednášky
a) rovnovážné uzavřené systémy
– demonstrováno pomocí
Isingova modelu a dalších
mřížkových modelů
b) nerovnovážné otevřené systémy
– demonstrováno výkladem
růstových jevů etc.
Isingův model
Existuje fázový přechod a kritické chování?
počítáme: měrné teplo, susceptibilitu etc.
Příklady konfigurací
magnetického systému
pro různé teploty včetně
okolí kritického bodu.
Konfigurace jsou
získané simulacemi,
hodnota spinu (+-1)
je zobrazena černým
resp. bílým bodem.
Všimněte si velikosti
domén stejně
orientovaných spinů.
Velikost domén roste
s blížením k TC a se
zvětšováním systému.
To naznačuje divergenci
pro nekonečný systém.
≈ TC
pod TC
nad TC
Složité nerovnovážné systémy
• dopravní problémy
• vývoj rozhraní
• modely evoluce
• náhodné sítě
• samoorganizované automaty
• …
- složitější než rovnovážné a klasické
N-částicové systémy přitom jsou nekvantové;
- otevřené systémy;
- vykazují kritické chovaní.
například:
viz dále
v přednášce
Data o skutečné
dopravě
Cíl je maximální průjezdnost.
Ale vznikají zácpy.
Nagel-Schreckenbergův model http://en.wikipedia.org/wiki/Nagel-Schreckenberg_model
V každém kroku se aplikují dané akce na všechna auta,
tj. máme určený celulární automat.
Stav buňky: i) prázdná=žádné auto ii) auto s rychlostí V; V= 0,1, … Vmax.
Dynamika: Obsazené buňky se pohybují jedním směrem i -> i+1;
auto na uzlu i vidí auto vpředu do vzdálenosti L.
Nagel-Schreckenbergův model V každém kroku se aplikují 4 akce v uvedeném pořadí na všechna auta.
1. ZRYCHLENÍ: když auto jede menší než maximální
rychlostí, pak jeho rychlost je zvýšena o jednotku,
tj. V -> V+1.
2. BRZDĚNÍ: pro každé auto se kontroluje, aby jeho
vzdálenost k předchozímu autu byla menší než jeho
rychlost, tj. když L<= V, pak V -> V-1.
3. NÁHODNÉ ZPOMALENÍ: rychlost každého auta, které
má rychlost větší než 0, je s pravděpodobností p
snížena o jednotku.
4. POHYB: všechna auta jsou posunuta dopředu o počet
jednotek rovný jejich rychlosti.
Bod 3. NÁHODNOST je podstatný: lidský faktor, stav
vozovky etc.,bez něj přechod do stacionárního
stavu s neměnnými rychlostmi!
Simulace
Nagel-
Schreckenbergova
modelu
Zácpy se pohybují
proti směru jedoucích
vozidel.
Vznikají zácpy, když
pohybu auta brání
předchozí vozidlo, etc.
Fraktální geometrie Pojem fraktálu, příklady matematických a reálných fraktálů, výpočet
fraktální dimenze, self-afinní fraktály, Hurstův exponent, škálovací relace.
Kritické jevy Fenomenologie kritických jevů, parametr uspořádání, kritická teplota,
singulární chování termodynamických veličin v okolí kritické teploty,
kritické exponenty, universalita - pojem tříd univerzality.
Mřížkové modely Isingův model a ekvivalentní modely, Bragg-Williamsova a Betheho
aproximace středního pole, přesné řešení Isingova modelu v 1D a
vlastnosti Onsagerova řešení v 2D, vysokoteplotní rozvoje a analýza řad.
Škálování Škálovací hypotéza, škálovací relace, škálování s velikostí systému,
idea renormalizační grupy (RG).
Obsah přednášky - rovnováha
Stochastické procesy Markovův proces, mistrovská rovnice, Langevinova rovnice, harmonický
oscilátor ve fluktuujícím vnějším poli, kinetický Isingův model Kawasakiho a
Glauberova dynamika, fázové uspořádávání.
Dynamické škálování Časový vývoj rozhraní v experimentech a diskrétních modelech, hrubost
povrchu a její chovaní (exponent hrubosti, růstový a dynamický exponent),
cesta k data kolapsu - škalovací funkce, dynamické třídy universality.
Modely vývoje rozhraní Konstrukce obecné spojité stochastické rovnice na základě symetrií,
náhodná depozice, Edwards-Wilkinsonův model, Kardar-Parisi-Zhangova
rovnice, diskrétní modely, asymetrický vylučovací proces.
Celulárni automaty (CA) Typy CA, klasifikace dynamického chování, pojem samoorganizace,
samoorganizované kritické systémy, hra života, chování pískové kupy, BTW
model, dopravní problémy atd.
Obsah - nerovnováha
Fraktály typy: • matematické (abstraktní) fraktály
• přírodní objekty
• výsledky měření/výpočtů
mnoho příkladů:
• Cantorova množina, Kochova křivka, …
• mapy (profily pobřeží, síť říčních přítoků,
hvězdná obloha, krátery na planetách, …)
• výsledky měření/výpočtů
http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal#Introduction
další příklady a informace např. na wikipedii:
např.
H. von Koch - jeden z prvních matematických fraktálů 1904,
B. Mandelbrot - pojem fraktálu – 1975, …
Fraktály typy: • matematické (abstraktní) fraktály
• přírodní objekty
• výsledky měření/výpočtů
mnoho příkladů:
• Cantorova množina, Kochova křivka, …
• mapy (profily pobřeží, síť říčních přítoků,
hvězdná obloha, krátery na planetách, …)
• výsledky měření/výpočtů
PROČ A JAK V PŘÍRODĚ VZNIKAJÍ?
1. samopodobnost (self-similarity)
2. fraktální dimenze
vlastnosti:
první krok statický popis tj. Geometrie
• tradiční > 2000 let
• založená na určité velikosti
• vhodná pro makroskopické lidské výtvory
• popsaná vzorci
Euklidovská geometrie:
• nová cca 40 let
• žádná specifická škála
• vhodná pro přírodní objekty
• objekty jsou určeny algoritmy
fraktální geometrie:
Škálová invariance
M bL g b M L
Po n iteracích po sobě nL b L
n
ng b g b
n
n nM b L g b M L g b M L
řeší g b b
Příklad samopodobnosti - krajina
pojem dimenze
objekt rozděl na N stejně velkých částí o velikosti r
fraktální dimenze:
Kochova křivka - rok 1904 http://en.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Koch
V rovině …
Sierpinski gasket
Sierpinski carpet
log 3
log 2D
Mnoho příkladů na
internetu http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
přírodní objekty
DLA klaster vzniklý elektrodepozicí sulfátu mědi
Výbojem vytvořený fraktál
High-voltage dielectric breakdown within a block of plexiglas creates a fractal pattern called a Lichtenberg figure. The branching discharges ultimately become hairlike, but are thought to extend down to the molecular level.
http://capturedlightning.com/frames/lichtenbergs.html
Sněhové vločky
Diffusion Limited Aggregation (DLA)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Of7_p0001_15h.jpg
A DLA consisting about 33,000 particles obtained by allowing random walkers to adhere to a seed at the center. Different colors indicate different arrival time of the random walkers.
• B.B. Mandelbroad, The fractal geometry of nature,
W.H. Freeman and comp., New York 1983.
• M. Plischke a B. Bergensen, Equilibrium statistical Physics,
World Scientific, Singapore, 1994(2. vydání)
• K. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons,
Singapore, 1987 (2. vydání)
• A. -L Barabasi a H. E. Stanley, Fractal Concepts is Surface
Growth, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
•A. C. Levi and M. Kotrla, Theory and simulations of crystal
growth, J. Phys. Cond. Matt. 9, 299-344 (1997).
•N. G. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and
Chemistry, North-Holland, Amsterdam, 1981.
Literatura
MODERNÍ APLIKACE
STATISTICKÉ FYZIKY I
NTMF049, 2/0 Zk - ZS
http://www.fzu.cz/~kotrla/teach.htm
tato prezentace bude na:
pod NTMF049 úvodní přednáška
