FMN 2018 1 Matematika V2 · окончательная формула: 1 (1) ( 1) 1 =(1) (1) . ig...

1 (45), 2018 Физико-математические науки. Математика

Physical and mathematical sciences. Mathematics 1

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ 1 (45) 2018

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Бойков И. В., Есафьева В. А. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами ........................................................................ 3

Яремко Н. Н., Селютин В. Д., Журавлева Е. Г. Новые формулы обращения для интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина .......... 24

Шармин В. Г., Шармин Д. В. Свойства сферического образа

пространственной полосы в 4E ........................................................................... 36

Мельников Б. Ф., Тренина М. А., Кочергин А. С. Подход к улучшению алгоритмов расчета расстояний между цепочками ДНК (на примере алгоритма Нидлмана – Вунша) ....................................................... 46

Тактаров Н. Г., Храмова Н. А., Рунова О. А. Поступательно-колебательное движение сферического пористого тела в вязкой жидкости ............................. 60

Смолькин Е. Ю., Снегур М. О. Численное исследование спектра нормальных волн анизотропного диэлектрического волновода ....................... 72

Дёмин А. А., Мачулис В. В. Об одном методе вычисления ляпуновских величин для некоторых систем Льенара ....................................... 83

Бойков И. В., Есафьева В. А., Айкашев П. В. К построению квадратурных и кубатурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов .................. 94

ФИЗИКА

Евстифеев В. В., Костина Н. В. Рассеяние положительных ионов поверхностью конденсированных сред ............................................................. 106

Журавлев В. М. Cолитонные решения уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера и функциональные подстановки ................................ 147

Захарченко М. Ю., Захарченко Ю. Ф. Повышение интенсивности взаимодествия электронов с электромагнитным полем в зазоре взаимодействия резонатора за счет увелиения диаметра отверстия пролетного канала .............................................................................. 164

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

University proceedings. Volga region 2

UNIVERSITY PROCEEDINGS

VOLGA REGION

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES 1 (45) 2018

CONTENT

MATHEMATICS

Boykov I. V., Esaf'eva V. A. Approximated methods for computation of singular and hypersingular integrals with rapidly oscillating kernels .................... 3

Yaremko N. N., Selyutin V. D., Zhuravleva E. G. New inversion formulas for the integral transformations of Laplace, Weierstrass and Mellin ........................ 24

Sharmin V. G., Sharmin D. V. Properties of the spherical image

of a spatial strip in 4E ............................................................................................. 36

Mel'nikov B. F., Trenina M. A., Kochergin A. S. An approach to improving algorithms for computing distances between DNA chains (by the example of the Needleman – Wunsch algorithm) ........................................ 46

Taktarov N. G., Khramova N. A., Runova O. A. Translational-oscillatory motion of a spherical porous body in a viscous fluid .............................................. 60

Smol'kin E. Yu., Snegur M. O. A numerical research of a proper wave spectrum of an anisotropic dielectric waveguide ............................................ 72

Demin A. A., Machulis V. V. On a method of lyapunov quantities computation for some lienard systems ..................................................... 83

Boykov I. V., Esaf'eva V. A., Aykashev P. V. On building of quadrature and cubature formulas for computing of hyper-singular integrals ........................... 94

ФИЗИКА

Evstifeev V. V., Kostina N. V. Scattering of positive ions by the surface of condensed media ......................................................................... 106

Zhuravlev V. M. Soliton solutions of nonlinear Schrödinger-type equations and functional substitutions .................................................................... 147

Zakharchenko M. Yu., Zakharchenko Yu. F. Optimization of electron-electromagnetic field interactions in the resonator interaction gap through extendingthe drift tube hole’s diameter ............................ 164



МАТ ЕМА ТИ К А

УДК 519.64 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-1

И. В. Бойков, В. А. Есафьева

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

С БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЯДРАМИ1 Аннотация. Актуальность и цели. Существует большое число проблем как в физике и

технике, так и непосредственно в различных разделах математики, при иссле-довании которых возникает необходимость в вычислении интегралов (в том числе сингулярных и гиперсингулярных) от быстроосциллирующих функций. Так как непосредственное вычисление таких интегралов возможно лишь в ис-ключительных случаях, возникает необходимость в разработке приближенных методов. Статья посвящена построению приближенных методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов, в ядра которых входят быстро-осциллирующие функции. Особое внимание уделяется построению оптималь-ных по точности (по порядку) квадратурных формул.

Материалы и методы. В работе представлено два метода вычисления син-гулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами. Один метод основан на преобразовании упомянутых интегралов к обыкновен-ным дифференциальным уравнениям и численному решению последних. Вто-рой метод заключается в построении квадратурных формул интерполяционно-го типа. Для получения оценок снизу погрешности квадратурных формул на классах функций используется метод осреднения по равноотстоящим узлам.

Результаты. Построены оптимальные по точности (по порядку) квадра-турные формулы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов

с быстроосциллирующими ядрами на классах функций Гельдера и ( ),rW M

где 1,2,...,r M – положительная константа. Представлен алгоритм транс-формации сингулярных и гиперсингулярных интегралов в обыкновенные дифференциальные уравнения.

Выводы. Предложены методы вычисления сингулярных и гиперсингуляр-ных интегралов с быстроосциллирующими ядрами, которые могут быть исполь-зованы при решении задач физики, техники и вычислительной математики.

Ключевые слова: быстроосциллирующая функция, сингулярные и гипер-сингулярные интегралы, оптимальные по точности (по порядку) квадратурные формулы.

I. V. Boykov, V. A. Esaf'eva

APPROXIMATED METHODS FOR COMPUTATION OF SINGULAR AND HYPERSINGULAR INTEGRALS

WITH RAPIDLY OSCILLATING KERNELS

1 Работа поддержана РФФИ, грант 16-01-00594.



Abstract. Background. There are a lot of problems both in physics and technology, and di-

rectly in various sections of mathematics, in the study of which there arises the need for calculating integrals (including singular and hyper-singular) from rapidly oscil-lating functions. Since direct computation of such integrals is possible only in ex-ceptional cases, it becomes necessary to develop approximate methods. The article is devoted to the construction of approximate methods for calculating singular and hyper-singular integrals, whose kernels include rapidly oscillating functions. Partic-ular attention is paid to constructing quadrature formulas that are optimal in preci-sion (in order).

Materials and methods. The paper presents two methods for calculating singular and hypersingular integrals with rapidly oscillating kernels. One method is based on the transformation of the above-mentioned integrals to ordinary differential equa-tions and the numerical solution of the latter. The second method consists in con-structing quadrature formulas of the interpolation type. To obtain lower bounds of the error of quadrature formulas on function classes, we use the method of averag-ing over equidistant nodes.

Results. There have been built quadrature formulas that are optimal in precision (order) for computing singular and hyper-singular integrals with rapidly oscillating

kernels in Holder function classes and ( ),rW M where 1,2,...,r M – a positive

constant. The article introduces the algorithm of transformation of sungular and hy-per-singular integrals into regular differential equations.

Conclusions. The paper proposes methods for computing singular and hyper-singular integrals with rapidly oscillating kernels that may be applied for problem solving in physics, technology and calculus mathematics.

Key words: rapidly oscillating function, singular and hypersingular integrals, quadrature formulas optimal in precision (order).

Введение

Существует большое число приложений при исследовании которых возникает необходимость в вычислении интегралов (в том числе сингулярные и гиперсингулярные) от быстроосциллирующих функций. Так как непосред-ственное вычисление таких интегралов возможно лишь в исключительных случаях, возникает необходимость в разработке приближенных методов. Од-ной из первых книг, непосредственно посвященных приближенному вычис-лению интегралов от быстроосциллирующих функций (в частности, вычис-лению коэффициентов Фурье по системе тригонометрических функций), бы-ла монография В. К. Задираки [1]. Численным методам вычисления интегра-лов от быстроосциллирующих функций более общей природы посвящены статьи [2–4]. В последнее время появились работы, в которых к вычислению регулярных интегралов от быстроосциллирующих функций применяются ме-тоды обыкновенных дифференциальных уравнений. Обзор ряда таких мето-дов представлен в статье [5].

Отметим, что один из описанных в [5] методов, а именно метод Левина, применим и к вычислению гиперсингулярных интегралов с быстроосцилли-рующими ядрами.

Предварительно напомним определения сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов.



Рассмотрим интеграл

( )

= , < < .b

a

fJ d a t b

t

Известно, что этот интеграл не существует ни в смысле Римана, ни в смысле Лебега. Для того чтобы придать данному интегралу смысл, Коши ввел новый тип интегралов (так называемые интегралы в смысле главного значения по Коши). Исторически введение интегралов в смысле главного значения по Коши является одним из первых методов регуляризации расхо-дящихся интегралов.

Определение 1. Главным значением по Коши особого интеграла

( ),

b

a

fd

c

< < ,a c b называется предел

0

( ) ( ).lim

c b

a c

f fd d

c c

В работе [6] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов. Определение 2. Интеграл вида

( )

( )

b

pa

A x dx

b x

при целом p и 0 < < 1 определяет величину («конечную часть»)

рассматриваемого интеграла как предел при x b суммы

1

( ) ( ),

( ) ( )

x

p pa

A t dt B x

b t b x

если предположить, что ( )A x имеет p производных в окрестности точки b .

Здесь ( )B x любая функция, на которую налагаются два условия:

а) рассматриваемый предел существует; б) ( )B x имеет по крайней мере p производных в окрестности точки

=x b . Произвольный выбор ( )B x никак не влияет на значение получаемого

предела: условие (а) определяет значения ( 1)p первых производных от ( )B x в точке b , так что произвольный добавочный член в числителе есть

бесконечно малая величина, по меньшей мере порядка ( ) pb x .

Замечание. В книге [7] Ж. Адамар увлекательно рассказывает о раз-личных сторонах творческого процесса при решении математических проблем и, в частности, останавливается [7, с. 104] на открытии им гиперсин-гулярных интегралов.

В статье [8] Л. А. Чикин ввел понятие интеграла в смысле главного зна-чения по Коши – Адамару.



Определение 3. Интегралом

( ), < < ,

( )

b

pa

da c b

c

в смысле главного значения Коши – Адамара называется следующий предел:

10

( ) ( ) ( ) ( )= ,lim

( ) ( ) ( )

b c v b

p p p pva a c v

d d d v

c c c v

где ( )v – некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел

существовал. Рассмотрим интеграл

1 ( )

1

( ), 1 < < 1, = 1,2,

( )

i g

p

f ed t p

t

(1)

Интегралу (1) поставим в соответствие дифференциальное уравнение

( )( ) ( )

( ) = ,( )

i gi g

p

d f ex e

d t

в котором t является параметром. После дифференцирования левой части имеем

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) = ,( )

i gi g i g

p

f ex e i g x e

t

причем достаточно рассмотреть уравнение

( )

( ) ( ) ( ) = .( ) p

fx i g x

t

(2)

В случае, если удастся найти аналитическое решение уравнения (2), то

1 1( )

( )

1 1

( )= [ ( ) ] =

( )

i gi g

p

f ed d x e

t

(1) ( 1)(1) ( 1) .i g i gx e x e (3)

Отметим, что при решении дифференциального уравнения (2) можно избежать особенности при = .t

В самом деле, по определению гиперсингулярного интеграла имеем

1 ( ) ( )

01 1

( ) ( )= lim

( ) ( )

ti g i g

p p

f e d f ed

t t

1 ( )

1

( ) ( ).

( )

i g

p pt

f ed

t

(4)



Функция ( ) имеет непрерывные производные до ( 1)p -го порядка

в окрестности нуля и выбирается таким образом, чтобы предел существовал. Рассматривая в отдельности интегралы, стоящие в правой части

формулы (4) и применяя к каждому из них формулу (3), имеем

1 ( )

1

( )=

( )

i g

p

f e d

t

(1) ( )

0(1) ( )lim

i g i g tx e x t e

( ) ( 1)1

( )( ) ( 1) .i g t i g

px t e x e

Функции ( )( ) i g tx t e можно представить в виде суммы:

( ) ( ) ( )1 2( ) = ( ) ( ) ,i g t i g t i g tx t e x t e x t e

где первое слагаемое стремится к бесконечности при 0, а второе –

к конечному пределу. Следовательно,

1 ( )

1

( )=

( )

i g

p

f e d

t

(1) ( )

20

(1) ( )limi g i g tx e x t e

( ) ( 1)2 ( ) ( 1) .i g t i gx t e x e (5)

Так как в предположении, что ( ) ,pf t W ( ) ,pg t W функция 1 ( )

1

( )( ) =

( )

i g

p

f e dt

t

непрерывна при 1 1t [9], то из (5) следует

окончательная формула:

1 ( )(1) ( 1)

1

( )= (1) ( 1) .

( )

i gi g i g

p

f e dx e x e

t

Из проведенных выше рассуждений следует, что для вычисления гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами можно применять численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приведем используемые ниже определения и обозначения. Постановка задачи построения наилучшей квадратурной формулы

(к.ф.) принадлежит А. Н. Колмогорову и заключается в следующем. Пусть – некоторый класс интегрируемых на сегменте [0,1] функций. Рассмотрим к.ф.:

1

=10

( ) = ( ) ( , , ),n

i i n i ii

f x dx p f x R f p x (6)



где коэффициенты ip и узлы 10 < < 1nx x произвольны. Погрешность

к.ф. (1.6) на классе функций равна

( , , ) = | ( , , ) | .supn i i n i if

R p x R f p x

Введем величину [ ] = ( , , ).inf,i i

n n i ip x

R p x Если существуют коэффи-

циенты *ip и узлы *( = 1,2, , ),ix i n при которых * *( ) = ( , , ),n n i iR p x то

к.ф. (6) с весами *ip и узлами *

ix называется наилучшей (или оптимальной) на классе .

Н. С. Бахваловым введены [10] понятия асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку пассивных алгоритмов решения задач численного анализа. Другие подходы к определению оптимальных пассивных алгоритмов предложены в книгах [11–13].

Следуя [10], к.ф. (6) с весами *ip и узлами *

ix назовем асимптотически оптимальной или оптимальной по порядку на классе , если

* *( , , ) ( )n i i nR p x или * *( , , ) ( )n i i nR p x . Напомним, что n n

означает, что ( / ) 1,lim n nn

а n n означает, что ( / ) ,n nA B где

, constA B , 0 < , < .A B Перейдем к определению оптимальных алгоритмов вычисления

сингулярных интегралов с переменной сингулярностью. Ограничимся рассмотрением интеграла с ядром Гильберта

2

0

1= ( ) ,

2 2

sF ctg d

в котором параметр s принимает любые значения, принадлежащие сегменту [0,2 ].

Этот интеграл будем вычислять по к.ф.

=1

= ( ) ( ) ( , ( ), , )n

k k n k kk

F p s t R s p s t (7)

с произвольными весами ( )kp s и узлами (0 2 ).k kt t Под погрешностью к.ф. (7) будем понимать величину

( , , ) = | ( , ( ), , ) | .maxn k k n k ks

R p t R s p s t

Отметим, что если из контекста ясно, о каком векторе узлов и весов идет речь, то вместо обозначений ( , , , )n k kR s p t и ( , , )n k kR p t будем писать

соответственно ( , )nR s и ( ).nR Если некоторый класс заданных на сегменте [0,2 ] функций, то

положим ( , , ) ( , , ).supn k k n k kR p t R p t



Обозначим через [ ]n величину ,

[ ] ( , , ),infk k

n n k kp t

R p t в которой

нижняя грань берется по всевозможным n узлам (0 2 )k kt t и весам

( ), = 1,2, , .kp s k n

Построенную на узлах *kt и весах * ( )kp s к.ф. (7) будем, следуя [10],

называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по по-

рядку, если * *( , , ) = [ ],n k k nR p t * *( , , ) [ ],n k k nR p t * *( , , )n k kR p t

[ ]n соответственно.

Аналогичным образом вводится понятие оптимальных, асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку квадратурных формул для вычисле-ния гиперсингулярных интегралов.

1. Квадратурные формулы вычисления сингулярных интегралов от быстроосциллирующих функций

В данном разделе исследуются методы вычисления сингулярных интегралов от быстроосциллирующих функций следующих видов:

( )sin

, ,m d

tt

(8)

2

0

( )( ) ( )sin ctg , [0,2 ),2

sH s m d s

(9)

где m натуральное число. Отметим, что преобразованием Гильберта интеграл (8) сводится

к интегралу (9). Поэтому в этом разделе можно ограничиться рассмотрением интеграла (9).

Интеграл (9) будем вычислять по квадратурным формулам вида

=1

( )( ) = ( ) ( ) ( , ( ), , ).N

j j N j jj

H s p s w R s p s w (10)

Оценим снизу величину погрешности квадратурных формул вида (10) при условии, что 1(1).H

Для этого обобщим метод построения оптимальных квадратурных формул вычисления сингулярных интегралов, предложенный в [14, 15].

Здесь нужно рассматривать два случая: 1) ;N m 2) .N m Вначале остановимся на случае, когда .N m Введем узлы = 2 / ,kt k N = 0,1, , ,k N = / ,ls l m = 0,1, ,2 .l m

Отметим, что 0 0 2,s s .N mt t

Через jv обозначим узлы, являющиеся объединением узлов ,kt

= 0,1, , 1,k N ,iw = 1,2, , ,i N ,ls = 0,1, ,2 1.l m Не ограничивая



общности можно считать, что множества узлов ,kt = 0,1, , ,k N ,iw

= 1,2, , ,i N = 0,1, ,2 ,ls m не пересекаются. Как будет следовать из

приведенных ниже доказательств, при совпадении некоторых из этих узлов оценка снизу величины погрешности квадратурной формулы не уменьшается. Таким образом, можно считать, что число узлов jv , = 0,1, , 1,j n равно

= 2 2n m N . Обозначим через k сегменты 1= [ , ],k k kv v = 0,1, , 1.k n Здесь

0= .nv v

Каждому узлу ,kt = 0,1, , 1,k N поставим в соответствие функцию

1 1 1 1

1 1 1 1

[ /2] 1 [

(sgn(sin ))min(| |,| |), [ , ],[ , ] [ , ],

= , 1, ,[ / 2] 1;

( ) = (sgn(sin ))min(| |,| |), [ , ],[ , ] [ , ],

= [ / 2] 1, [ / 2] 2, , 1;

0, [ ,

i i i i i i j j

k i i i i i i j j

N N

ms s v v s s v v v v t t

j k k N

s ms s v v s s v v v v t t

j k N k N N

s t t

/2 1].

Тогда

2

0

( )( ) = ( )sin ctg2

kk k k

tH t m d

1[ /2] 2

=1

( )sin ctg2

l k

l k

Nk

kl t

tt

m d

11

=[ /2] 1

( )sin ctg2

l k

l k

Nk

kl N t

tt

m

1[ /2] 2

=1

( 1)ctg | ( ) || sin |

l k

l k

N

kl t

tl

m dN

11

=[ /2] 1

ctg | ( ) || sin | .l k

l k

N

kl N t

tl

m dN

Осредним предыдущее неравенство по ,k = 0,1, , 1.k N В результа-те имеем

1

0 1 =0

1( )( ) ( )( )max

N

l l k kl N k

H t H tN



1[ /2] 21

=0 =1

1 ( 1)ctg | ( ) || sin |

l k

l k

NN

kk l t

tl

m dN N

11 1

=0[ /2] 1

1ctg | ( ) || sin | =

l k

l k

N N

kk N t

tl

m dN N

2[ /2] 2*

=1 0

1 ( 1)ctg ( ) | sin |

N

l

lm d

N N

21*

=[ /2] 1 0

1ctg ( ) | sin | =

N

l N

lm d

N N

2 [ /2] 2*

=10

2 ( 1)(1 (1)) ( ) | sin | ctg .

N

l

lo m d

N N

Здесь *1( ) = min(| |,| |),i iv v 1[ , ],i iv v = 0,1, , .i n

Оценим снизу величину интеграла 2

*

0

( ) | sin |m d при условиях:

1) функция *1( ) (1);H

2) функция *( ) неотрицательная;

3) функция *( ) обращается в нуль в точках ,kv = 0,1, , 1.k n

Напомним, что множество узлов kv объединяет три множества узлов

,it = 0,1, , 1,i N ,iw = 1,2, , ,i N и ,js = 0,1, ,2 1.j m

Пусть / 2.N m Тогда имеется по крайней мере (2 2 )m N сегментов

1[ , ],l ls s в которых отсутствуют узлы из множеств ,iw = 1,2, , ,i N ,it

= 0,1, , 1.i N Назовем такие сегменты отмеченными. Нетрудно видеть, что в отмеченных сегментах

*1

*2

( ) | sin | = 2 | || sin | = ,ll

l l

ss

ls s

Cm d s m d

m

где *1= ( ) / 2.l l ls s s

Здесь и всюду ниже через C обозначаются константы, не зависящие от N и .m

Таким образом, при / 2N m имеем очевидную оценку

2*

20

( ) | sin | (2 2 ) = .C C

m d m Nmm



В случае, когда / 2 ,m N m необходима более точная оценка. При сделанном выше предположении / 2m N m возможна ситуация, когда в каждом сегменте 1[ , ]l ls s имеется точка из множества ,iw = 1,2, , ,i N

или (и) множества ,kt = 0,1, , .k N Для определенности будем считать,

что это точка из множества ,kt = 0,1, , .k N

Рассмотрим вначале случай, когда в некотором сегменте 1[ , ]l ls s

имеется единственная точка jt из множества ,kt = 0,1, , ,k N причем

1< < .l j ls t s

Нетрудно видеть, что интеграл

1* *( ) | sin | ( ) | sin |

j l

l j

t s

s t

m d m d

достигает наименьшего значения, когда *.j lt s

Аналогично, если в интервале 1( , )l ls s имеется p точек

11< < < <p

l l lls s из множества jv , = 0,1, , 1,j n то наименьшее

значение интеграл 1

*( ) | sin |l

l

s

s

m d

достигает при условии равномерного

распределения этих точек: 1 11 ... ... .p k k

l l l l lls s

Отсюда следует, что минимальное значение интеграл 2

*

0

( )d

достигает при равномерном распределении узлов из множества jv , = 0,1, , 1,j n в сегментах 1[ , ]l ls s , 0,1,..., 1.i N

Из полученных оценок следует, что при условии / 2 ,m N m

в каждом сегменте 1[ , ],l ls s = 0,1, ,2 1,l m содержится не более одного

узла из множеств ,kt = 0,1, , ,k N и ,iw = 1,2, , ,i N не совпадающего

с концами сегмента 1[ , ].l ls s

Следовательно, при условии / 2m N m имеет место оценка

2

0

( ) | sin | .C

m dm

Таким образом, при N m имеем оценку

1

1=1

1 1( (1)) ctg .

N

Nk

kR H C

m N N

(11)

Осталось рассмотреть случай, когда .N m



Каждому узлу ,ls = 0,1, ,2 ,l m поставим в соответствие функцию

( ),l s определяемую формулой

1 1

1 1 2 1

1 1

sgn(sin )min min(| |,| |), [ , ];

( ) = sgn(sin )min min(| |,| |), [ , ];

0, [ , ].

j j l l mj

l j j l m l mj

l m l m

ms s v v s s s s

s ms s v v s s s s

s s s

Оценим интеграл

12 1

=10

1( )sin ctg ctg ( ) | sin |

2

l j

l j

sml

lj s

s jm d m d

m

12 1

= 1

ctg ( ) | sin | ,l j

l j

sm

j m s

jm d

m

здесь

10 2

( ) = min min(( ),( )), [0,2 ].i ii m

s s v v s s

Осредняя предыдущее неравенство по параметру ,l = 0,1, ,2 1,l m имеем

2

0 2 0

( )sin ctgmax2

ii

i m

sm d

12 1 1

=0 =1

1 1ctg ( ) | sin |

2

l j

l j

sm m

l j s

jm d

m m

12 2

= 1

ctg ( ) | sin | =l j

l j

sm

j m s

jm d

m

11 2

=1 =0

1 1= ctg ( ) | sin |

2

l j

l j

sm m

j l s

jm d

m m

12 2 2

= 1 =0

1ctg ( ) | sin | =

2

l j

l j

sm m

j m l s

jm d

m m

21

=1 0

1 1= (1 (1)) ctg ( ) | sin | .

m

j

jo m d

m m



Для оценки интеграла 2

0

( ) | sin |m d достаточно повторить рас-

суждения, проведенные выше. В результате имеем

2

0

( ) | sin | .C

m dN

Таким образом, при N m имеем оценку

1

1=1

1( (1)) ctg .

m

Nk

C kR H

N m m

(12)

Из оценок (11), (12) следует Теорема 1. Пусть 1( ) (1),t H тогда

[ /2] 1 1

11 1

1 1( (1)) ctg , ; ctg , .

N m

Nk k

C k C kR H N m m N

m N N N m m

(13)

Несколько усложняя доказательство, приходим к следующему утвер-ждению.

Теорема 2. Пусть ( ) (1), 0 < 1,t H тогда

[ /2] 1 1

1 1

1 1( (1)) ctg , ; ctg , .

N m

Nk k

C k C kR H N m m N

N N m mm N

(14)

Оценим снизу величину погрешности квадратурных формул вида (10)

на классе функций (1),rW = 1,2,r Для краткости приведем доказательство

только для случая, когда .N m Воспользуемся введенными выше системами узлов ,kt

= 0,1, , 1;k N , = 1,2, , ;jw j N ,ks = 0,1, ,2 1;k m ,jv 1,2, , ,j n

= 2 2 .n N m Каждому узлу ,kt = 0,1, , 1,k N поставим в соответствие функцию

11 1 1

11 1 1

[ /2] 1]

( ) ( )sgn sin , [ , ],[ , ] [ , ],

= , 1, , [ / 2] 1;

( ) ( )( ) = sgn sin , [ , ],[ , ] [ , ],

= [ / 2] 1, [ / 2] 2, , 1;

0, [ ,[

r rl l

l l l l j jrl

r rl l

k l l l l j jrl

k N k

s v v sA ms s v v v v t t

h

l k k k N

s v v ss A ms s v v v v t t

h

l k n k N k N

s v v

[ /2] 1],N

1=| |, = 0,1, , 1.l l lh v v l n



Оценив интеграл

2

0

( )sin ctg2

kk

tm d

и затем осреднив полученные неравенства по параметру ,k = 0,1, , 1,k N получаем искомую оценку.

Теорема 3. Пусть (1).rW Для всевозможных квадратурных формул

вида (10), использующих N узлов, справедлива оценка

[ /2] 1 [ /2] 1

=1 =1

1 1[ (1)] ctg , ; ctg , .

m Nr

N r rk k

C k C kR W m N N m

m m N NN m

Построим квадратурные формулуы для вычисления интегралов вида (9). Аппроксимируем функцию ( )s полигоном ( )N s , построенным по

узлам = 2 / , = 0,1, , .kt k N k N

Интеграл (9) будем вычислять по квадратурной формуле

2

0

( )( ) ( )sin ( , ( ), , ).2N N k k

sH s m ctg d R s p s t

(15)

Погрешность квадратурной формулы (15) оценивается неравенством

11

=0

| ( , , ) | ( ( ) ( ))sin ctg .2

lN

N k Nl tl

ts

R s s m d (16)

Рассмотрим два случая: 1) 2 ;m N 2) < 2N m . Вначале остановимся на первом случае. Пусть 1, = [ , ], = 0,1, , 1.j k k ks t t k N

Оценим интеграл

1

1 = ( ))sin ctg2

l

Ntl

ts

J m d (17)

в предположении, что 1, , 1j l l l .

Здесь ( ) = ( ) ( ).N Ns s s Очевидно, 1( ) = ( ) = 0N l N lt t .

Нетрудно видеть, что

1

( ))sin ctg2

l

Ntl

ts

m d



1

2

2 ( 1) ( 1)| ( )) || ctg | max ctg , ctg .

2

l

l

t

Nt

s l j j ld

N NN

(18)

Пусть , = .js j l Оценим интеграл

2

1

2 =| ( ))sin ctg | .2

l

l

t

Nt

sJ m d

Пусть 2 1= min(| |,| |)l ld t s s t . Положим 1=| |ld s t .

Предыдущий интеграл представим в виде

2

1

( ))sin ctg2

l

l

Nt

ts

m d

1

( ))sin ctg2

l

s d

Nt

sm d

2

1 2( ))sin ctg = .2

lt

Ns d

sm d I I

(19)

Оценим каждый из интегралов 1 2,I I в отдельности.


2 2

2 2

4| | | ( ) | ctg ctg .

2

lt

Ns d

sI d

NN

(20)

Оценим теперь интеграл 1I . Очевидно,

1

1| |= ( )sin ctg2

l

s d

Ns

sI m d

1

( ( ) ( ))sin ctg2

l

s d

N Nt

ss m d

1

11 12( )(sin sin )ctg = .2

l

s d

Ns

ss m ms d I I

(21)

Оценим слагаемые 11 12,I I .


1

2

116

| ( ) ( ) | ctg ,2

l

s d

N Nt

sI s d

N

(22)



1

2

12 2

6( ) sin sin ctg .

2l

s d

Ns

s mI s m ms d

N

(23)

Из неравенств (12)–(23) следует, что

22 8 / .J N (24)

Из неравенств (18), (24) следует, что при 2 <m N справедливо неравенство

1ln

( (1)) .NC N

R HN

(25)

Аналогичным образом доказывается неравенство

ln

( (1)) .NC N

R HN

(26)

Рассмотрим второй случай, когда < 2N m . Пусть 1, = [ , ], = 0,1, , 1.j k k ks t t k N

При оценке интеграла (17) рассмотрим два случая 1, , 1j l l l и =j l .

Вначале рассмотрим первый случай. Проведя громоздкие вычисления, можно показать, что наибольшая

погрешность достигается на функциях вида

1( ) = (min( , ))sgnsin ms,N i is s s s s 1[ , ], = / , = 0,1, ,2i i is s s s i m i m .

Здесь для определенности полагается, что узлы , 0,1,..., 1,kt k N

входят в число узлов , 0,1,...,2 1.vs v m

Тогда

1

1 = ( ))sin ctg2

l

l

t

Nt

sJ m d

22 ( 1) ( 1)

max ctg , ctg .l j j l

m N N N

(27)

Рассмотрим случай, когда 1= , [ , ]j jj l s t t . Пусть одновременно

1[ , ].v vs s s Представим интеграл 1J в виде

1 2

1 1

1 ( ))sin ctg ( ))sin ctg2 2

v v

j v

s s

N Nt s

s sJ m d m d

1

2

11 12 13( ))sin ctg = .2

j

v

t

Ns

sm d J J J



Очевидно,

1

11 21

ctg ln ,L

l

C l CJ m

m mm

где [2 / ] 1;L m N 1

13 21

ctg ln ,L

l

C l CJ m

m mm

2

1

12 ( ( )sin ( )sin )ctg .2

v

v

s

N Ns

s CJ m s ms d

m

Проведя выкладки, аналогичные описанным выше, приходим к оценке

11 1

ln ,2 ; lnm, 2 .J C N m N N mN m

(28)

Из теоремы 1 и неравенств (27), (28) вытекает следующее утверждение. Теорема 4. Для квадратурных формул вида (10), использующих при

своем построении N узлов, справедлива оценка

[ /2] 1 1

1 1

1 1ctg , ; ctg ,

N m

k k

C k C kN m m N

m N N N m m

11 1

( (1)) ln ,2 ; ln , 2 .NR H C N m N m N mN m

(29)

Аналогичным образом доказывается Теорема 5. Для квадратурных формул вида (10), использующих при

своем построении N узлов, справедлива оценка

[ /2] 1 1

1 1

1 1ctg , ; ctg ,

N m

k k

C k C kN m m N

N N m mm N

1 1

( (1)) ln ,2 ; ln , 2 .NR H C N m N m N mN m

(30)

2. Приближенное вычисление гиперсингулярных интегралов от быстроосциллирующих функций

Гиперсингулярный интеграл

2

0

= ( )sin ctg2

p sF m d

будем вычислять по квадратурной формуле

=1

= ( ) ( ) ( , ( ), , )N

k k N k kk

F p s w R s p s w (31)

на классе функций (1),rW .r p



При оценке снизу погрешности квадратурной формулы нужно рассмот-реть две возможности:

1) p четное натуральное число; 2) p нечетное натуральное число. Рассмотрим вначале интеграл с четной сингулярностью. Пусть = 2 / ,kt k N = 0,1, , 1.k N Обозначим через ,jv

= 0,1, , 1,j n = 2 2 ,n N m множество узлов, которое получено

объединением узлов ,kt = 0,1, , 1,k N узлов ,kw = 1, , ,k N и узлов

= / ,js j m = 0,1, ,2 1.j m

Введем функцию

* 1

0 2 2

( ) ( )( ) = ,min

r ri i

ri N m i

s v v ss A

h

1 1[ , ], =| | .i i i i is v v h v v

Константа A выбирается из требования выполнения условия * (1).rW

Каждому узлу ,kt = 0,1, , 1,k N поставим в соответствие функцию

*( ) = ( )sgnsin ,k s s ms

тогда

2

0

( )( ) = ( )sin ctg =2

p kk k k

sF s m d

11

=0

= ( )sin ctg2

l

l

tNp k

kl t

sm d

1[ /2] 1

=0

( )sin ctg2

k l

k l

tNp k

kl t

sm d

12

=[ /2] 1

( )sin ctg2

k l

k l

tNp k

kl N t

sm d

1[ /2] 1*

=0

( 1)ctg ( ) | sin |

k l

k l

tNp

l t

lm d

m

12*

[ /2] 1

ctg ( ) | sin | .k l

k l

tNp

l N t

lm d

m

Осредняя предыдущее неравенство по параметру ,k = 0,1, , 1,k N имеем

1

0 1 =0

1( )( ) ( )( )max

N

j j k kj N k

F s F sN



1[ /2] 11*

=0 =0

1 ( 1)ctg ( ) | sin |

k l

k l

tNNp

k l t

lm d

N m

11 2*

=0 [ /2] 1

1ctg ( ) | sin | =

k l

k l

N Np

k l N t

tl

m dN m

2[ /2] 1*

=0 0

2(1 (1)) ( 1)= ctg ( ) | sin | .

Np

l

o lm d

N m

Приступим к оценке интеграла 2

*

0

( ) | sin |m d при следующих

предположениях:

1) *( ) (1);rW

2) * ( )( ) ( ) = 0, = 0,1, , 1,ikv i r = 0,1, , ;k n

3) *( )s неотрицательна на сегменте [0,2 ]. Вначале рассмотрим случай, когда 2 .N m Повторяя с рядом сущест-

венных усложнений рассуждения, проведенные выше при исследовании сингулярных интегралов, имеем

2*

0

( ) | sin | .r

Cm d

m

При 2 <m N имеем

2*

0

( ) | sin | .r

Cm d

N

Таким образом, при четном p имеем оценку

[ /2] 1 [ /2] 1

=0 =0

1 1( (1)) ctg , 2 ; ctg , 2 .

N Nr p p

N r rk k

C k C kR W N m m N

N N N Nm N

Усложняя при p нечетном построения, проделанные выше для p четного, убеждаемся в справедливости оценки

[ /2] 1 [ /2] 1

=0 =0

1 1( (1)) ctg , 2 ; ctg , 2 .

N Nr p p

N r rk k

C k C kR W N m m N

N N N Nm N

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть (1).rW Тогда для всевозможных квадратурных формул вида (31), построенных на 1N узле, справедлива оценка



[ /2] 1 [ /2] 1

=0 =0

1 1( (1)) ctg , 2 ; ctg , 2 .

N Nr p p

N r rk k

C k C kR W N m m N

N N N Nm N

Библиографический список

1. Задирака , В . К . Теория вычисления преобразования Фурье / В. К. Задирака. – Киев : Наукова думка, 1983. – 216 с.

2. Жилейкин , Я . Б . О погрешности приближенного вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций / Я. Б. Жилейкин // Журнал вычислительной ма-тематики и математической физики. – 1971. – Т. 11, 1. – С. 263–266.

3. Жилейкин , Я . Б . Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосцил-лирующих функций / Я. Б. Жилейкин, А. Б. Кукаркин // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1978. – Т. 18, 2. – С. 294–301.

4. Литвин , О . Н . О погрешности численного интегрирования быстроосцилли-рующих функций трех переменных / О. Н. Литвин, О. П. Нечуйвитер // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. – 2013. – Т. 32, 19 (162). – С. 101–107.

5. Ловецкий , К . П . Сравнение методов вычисления интегралов от быстро ос-циллирующих функций / К. П. Ловецкий, И. А. Мигаль // Науковедение. – 2015. – Т. 7, 2. – URL: http//naukovedenie.ru/ PDF / 70TVN315, pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. яз. рус. англ. DOI: 10. 15862/ 70TVN 315.

6. Hadamard, J . Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrody-namique. Herman / J. Hadamard. – Paris, 1903. – 320 p. – (Reprinted by Chelsea. – New York, 1949).

7. Адамар , Ж . Исследование психологии процесса изобретения в области мате-матики / Ж. Адамар. – М. : Сов. радио, 1970. – 152 с.

8. Чикин , Л . А . Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных инте-гральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственно-го университета. –1953. – Т. 113, 10. – С. 57–105.

9. Бойков , И . В . Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов. Ч. II. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. – 252 с.

10. Бахвалов , Н . С . О свойствах оптимальных методов решения задач математи-ческой физики / Н. С. Бахвалов // Журнал вычислительной математики и матема-тической физики. – 1970. – Т. 10, 3. – С. 555–568.

11. Сухарев , А . Г . Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа / А. Г. Сухарев. – М. : Наука, 1989. – 304 с.

12. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач матема-тической физики / под ред. К. И. Бабенко. – М. : Наука, 1979. – 196 с.

13. Трауб , Дж . Общая теория оптимальных алгоритмов / Дж. Трауб, Х. Вожьня-ковский. – М. : Мир, 1983. – 382 с.

14. Бойков , И . В . Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисле-ния сингулярных интегралов / И. В. Бойков. – Саратов : Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1983. – 210 с.

15. Бойков , И . В . Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов. Ч. I. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. – 360 с.

References

1. Zadiraka V. K. Teoriya vychisleniya preobrazovaniya Fur'e [The Fourier transform computing theory]. Kiev: Naukova dumka, 1983, 216 p.



2. Zhileykin Ya. B. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1971, vol. 11, no. 1, pp. 263–266.

3. Zhileykin Ya. B., Kukarkin A. B. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1978, vol. 18, no. 2, pp. 294–301.

4. Litvin O. N., Nechuyviter O. P. Nauchnye vedomosti BelGU. Ser. Matematika. Fizika [Proceedings of BelSU. Series: Mathematics. Physics]. 2013, no. 19 (162), iss. 32, pp. 101–107.

5. Lovetskiy K. P., Migal' I. A. Naukovedenie [Sociology of science]. 2015, vol. 7, no. 2. Available at: http//naukovedenie.ru/ PDF / 70TVN315, pdf (dostup svobodnyy). Zagl. s ekrana. yaz. rus. angl. DOI: 10. 15862/ 70TVN 315.

6. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrody-namique. Herman [Lessons on Wave Propagation and Hydrodynamic Equations. Her-man]. Paris, 1903, 320 p. (Reprinted by Chelsea. – New York, 1949).

7. Adamar Zh. Issledovanie psikhologii protsessa izobreteniya v oblasti matematiki [A re-search of the invention process in the field of mathematics]. Moscow: Sov. radio, 1970, 152 p.

8. Chikin L. A. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kazan State University]. 1953, vol. 113, no. 10, pp. 57–105.

9. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh in-tegralov. Ch. II. Gipersingulyarnye integraly [Approximate methods of computing sin-gular and hyper-singular integrals. Part II. Hyper-singular equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2009, 252 p.

10. Bakhvalov N. S. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1970, vol. 10, no. 3, pp. 555–568.

11. Sukharev A. G. Minimaksnye algoritmy v zadachakh chislennogo analiza [Minimax al-gorithms in numerical analysis problems]. Moscow: Nauka, 1989, 304 p.

12. Teoreticheskie osnovy i konstruirovanie chislennykh algoritmov zadach matema-ticheskoy fiziki [Theoretical bases and building of numerical algorithms in problems of mathematical physics]. Ed. by K. I. Babenko. Moscow: Nauka, 1979, 196 p.

13. Traub Dzh., Vozh'nyakovskiy Kh. Obshchaya teoriya optimal'nykh algoritmov [The general theory of optimal algorithms]. Moscow: Mir, 1983, 382 p.

14. Boykov I. V. Optimal'nye po tochnosti algoritmy priblizhennogo vychisleniya singul-yarnykh integralov [Pecision-optimal algorithms of approximate numerical computing of singular integrals]. Saratov: Izd-vo Sarat. gos. un-ta, 1983, 210 p.

15. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh in-tegralov. Ch. I. Singulyarnye integraly [Approximate methods of computing singular and hyper-singular integrals. Part I. Singular equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2005, 360 p.

Бойков Илья Владимирович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected]



Есафьева Виктория Александровна аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Esaf'eva Viktoriya Aleksandrovna Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)


УДК 519.64

Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-

лярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами / И. В. Бойков, В. А. Есафьева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 3–23. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-1.



УДК 517.444 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-2

Н. Н. Яремко,В. Д. Селютин, Е. Г. Журавлева

НОВЫЕ ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА, ВЕЙЕРШТРАССА И МЕЛЛИНА

Аннотация. Актуальность и цели. Аналитические методы решения задач математиче-

ской физики, в том числе интегральные преобразования, являются активно развивающимся направлением математического моделирования. Метод инте-гральных преобразований представляет собой один из наиболее действенных аналитических методов решения модельных задач математической физики. Помимо непосредственных приложений в физике и при решении краевых за-дач математической физики, интегральные преобразования возникают в тех-нике для кодирования и фильтрации сигналов. Существующие в настоящее время формулы обращения интегральных преобразований Лапласа, Вейер-штрасса и Меллина обладают серьезным недостатком: они требуют выхода в комплексную область или содержат производные как угодно большого по-рядка. Оба указанных недостатка приводят к вычислительным проблемам. Для их разрешения мы доказываем новые формулы для прямого и обратного инте-гральных преобразований Фурье, двухстороннего интегрального преобразова-ния Лапласа, интегральных преобразований Вейерштрасса и Меллина. Новые формулы не содержат производных и получены в виде ряда по системе орто-гональных полиномов Эрмита. Найдены их приложения в теории фильтрации сигналов.

Материалы и методы. Работа основана на теоретических положениях ана-лиза Фурье и теории рядов Эрмита; используются теоремы разложения для интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина.

Результаты. Раскладывая ядра интегрального представления в ряд по по-линомам Эрмита, мы получаем новые формулы обращения для интегрального преобразования Вейерштрасса. Далее, используя формулы для связи инте-гральных преобразований Лапласа, Меллина и Вейерштрасса, мы устанавли-ваем формулы обращения для других интегральных преобразований.

Выводы. Установленные в работе новые формулы обращения интеграль-ных преобразований открывают неизвестные ранее возможности применения классических методов интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Вейер-штрасса, Меллина в теории фильтрации сигналов и в теории обратных задач математической физики.

Ключевые слова: интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Вейер-штрасса, Меллина; многочлены Эрмита.

N. N. Yaremko,V. D. Selyutin, E. G. Zhuravleva

NEW INVERSION FORMULAS FOR THE INTEGRAL TRANSFORMATIONS OF LAPLACE, WEIERSTRASS AND MELLIN

Abstract. Background. Analytical methods for solving problems in mathematical physics,

including integral transformations, are an actively developing field of mathematical modeling. The method of integral transformations is one of the most effective ana-



lytical methods for solving model problems of mathematical physics. In addition to direct applications in physics and in solving boundary value problems of mathemat-ical physics, integral transformations arise in technology for encoding and filtering signals. The currently available inversion formulas for the Laplace, Weierstrass, and Mellin integral transformations have a serious drawback: they require the complex domain or contain derivatives of arbitrarily large order. Both of these drawbacks lead to computational problems. To solve them, we prove new formulas for the direct and inverse integral Fourier transforms, the two-sided integral Laplace transform, the Weierstrass integral transforms, and Mellin transforms. The new formulas do not con-tain derivatives and are obtained in the form of a series оn the system of orthogonal Hermite polynomials. Their applications in the theory of signal filtering are found.

Materials and methods. The work is based on the theoretical positions of the Fourier analysis and Hermite series theory; the expansion theorems for the integral Laplace, Weierstrass, and Mellin transformations are used.

Results. We obtain new inversion formulas for the Weierstrass integral transfor-mation by expanding the kernels of the integral representation in a series in the Hermite polynomials. Further, we establish inversion formulas for other integral transformations by using the formulas for the connection of the integral Laplace, Mellin, and Weierstrass transformations.

Conclusions. The new inversion formulas for integral transforms that have been es-tablished in the paper open up the previously unknown possibilities of applying the classical methods of Fourier, Laplace, Weierstrass, Mellin integral transforms in the theory of signal filtering and in the theory of inverse mathematical physics problems.

Key words: Fourier, Laplace, Weierstrass and Mellin integral transforms; Her-mite polynomials.

Введение

Рассматриваются вопросы, относящиеся к теории интегральных преоб-разований и их приложений. Новые формулы, полученные в статье для пря-мого и обратного интегрального преобразований Фурье, двухстороннего ин-тегрального преобразования Лапласа, интегральных преобразований Вейер-штрасса и Меллина, могут быть основой для создания устойчивых вычисли-тельных алгоритмов, так как не содержат производных и представляют собой ряд по системе ортогональных полиномов Эрмита.

Известные два типа формул обращения приводят к вычислительным трудностям: в одном случае требуется выход в комплексную плоскость, а в другом – знание коэффициентов ряда Тейлора для изображения, а значит, необходимо вычислять производные любого порядка от изображения в неко-торой точке. Оба известных на сегодня подхода для обращения двухсторон-него интегрального преобразования Лапласа, интегральных преобразований Вейерштрасса и Меллина вызывают вычислительные затруднения различного характера: выбор контура интегрирования в первом случае и неустойчивость алгоритма во втором. Новизна полученных нами в статье формул состоит в том, что для вычисления оригиналов требуется знание коэффициентов раз-ложения изображения по системе полиномов Эрмита. Эта особенность позво-ляет создать устойчивые алгоритмы вычисления оригиналов и обойти труд-ность с выбором контура интегрирования.

Статья имеет три раздела. В первом разделе кратко сформулированы предварительные результаты, подробное доказательство которых проведено нами в работе [1]; эти результаты облегчают понимание и служат теоретиче-



ской основой для вывода формул обращения. Второй раздел имеет три под-раздела: интегральное преобразование Вейерштрасса и формулы для его об-ращения; обращение двухстороннего интегрального преобразования Лапласа; преобразование Меллина. В третьем разделе найдены приложения построен-ных преобразований Вейерштрасса в теории фильтрации сигналов.

В заключении определены место полученных результатов в теории ин-тегральных преобразований и перспективы их развития.

1. Предварительные результаты. Теоремы разложения для преобразования Фурье

Приведем обзор наших результатов из [1], на которые будем опираться при доказательстве основных теорем настоящей статьи. Используя классиче-скую теорему разложения для функции f x в интегральной форме Фурье [2]:

1= ,

2i x if x e e f d d

(1)

получим новые формулы обращения для интегрального преобразования Фурье.

Для этого перепишем последнюю формулу в виде

2 21

= ( ) ,2

i x if x e e e e f d d

(2)

где > 0 любое. Используя производящую функцию для полиномов Эрмита [3], полу-

чим равенство

2

2

=0

( )

! 2

jji

jj

ie e H

j

. (3)

В соответствии с [2]

2

2 41 1( )

2 2 2(2 )

x

i x jjj

e xe e i d H

(4)

формула обращения (2) примет вид

2

2

=0

1 ( )= .

2 ! 2

jji x

jj

if x e e H f d d

j

Затем используем формулу (3) и окончательно устанавливаем аналити-ческое представление для оригинала:

2

=0

4 1( ) = ,

!2 2(2 )

x

jjj

j

fe xf x H

j

(5)



где

2= .2

j

j jf H f d

(6)

Замечание 1. Обобщением полученной формулы являются формулы для производной функции f x порядка k:

2

=0

4 ( 1)

!2 2(2 )

x

kjk

j kj kj

fe xf x H

j

.

2. Основные результаты: новые формулы обращения

2.1. Интегральное преобразование Вейерштрасса и формулы для его обращения

В математике интегральное преобразование функции :f R R , названное в честь Карла Вейерштрасса [4], представляет собой «сглаженный» вариант функции f x . Это «сглаживание» получено путем усреднения зна-

чений f с взвешенным Гауссианом с центром в точке x :

2

2

1exp

2)

2[ ](W f x

xF x f d

. (7)

Проблема обращения преобразования Вейерштрасса приводит к реше-нию интегрального уравнения Фредгольма первого рода:

2

1exp

2) .

4[ ](

xF x fW df x

(8)

Правая часть уравнения (8) представляет собой интеграл Пуассона. Из-вестно [2], что решением уравнения Фредгольма (8) является функция

1=0

01= ,

22 !

j

jnj

F xf x H

j

(9)

где jH z многочлены Эрмита.

Соотношение (9) дает известную формулу обращения для преобразова-ния Вейерштрасса [2]. Формула (8) содержит производные сколь угодно вы-сокого порядка образа Вейерштрасса и не может служить основой для регу-ляризирующего вычислительного алгоритма. Следовательно, задача нахож-дения новых формул обращения преобразования Вейерштрасса, не содержа-щих производных, является актуальной.

Получим решение уравнения (8) методом интегральных преобразова-ний Фурье [2]:



21

=2

i x if x e e e F d d

.

Пусть > 0 любое, тогда

2 2 21

= .2

i x if x e e e e e F d d

На основании (3) получим

2

2

=0

1 ( )= (1 )

2 ! 2 1

jji x

jj

if x e e H F d d

j

.

Изменим порядок интегрирования и вычислим внутренний интеграл относительно . Основываясь на формуле (4), имеем

2

2 41 1( ) = .

2 2 2(2 )

x

j i xjj

e xi e e d H

В результате приходим к новой формуле обращения интегрального преобразования Вейерштрасса:

2

=0

4 1( ) = ,

!2 2(2 )

x

jjj

j

Fe xf x H

j

(10)

где

2= (1 ) .2 1

j

j jF H F d

Замечание 2. Аналогичным образом может быть доказана формула для прямого преобразования Вейерштрасса:

2

1exp( )

4[ ]

2

xF x fW df x

2 2 2

0

1exp exp exp exp ,

4 4 2 42 2 !

j

jjj

x x x xf d f

j

где

2j jf f H d

.



2.2. Формула обращения двухстороннего интегрального преобразования Лапласа

В математике двухстороннее преобразование Лапласа является инте-гральным преобразованием, эквивалентным производящей функции для мо-ментов распределения вероятностей. Двусторонние преобразования Лапласа тесно связаны с преобразованием Фурье, преобразованием Меллина и обыч-ным или односторонним преобразованием Лапласа. Если g t – веществен-

ная или комплекснозначная функция вещественного переменного t, опреде-ленного для всех действительных чисел, то двустороннее преобразование Лапласа определяется интегралом [4, 5]:

( ) ( ) ( ) .xL g G x e g d

Интеграл в правой части понимается как несобственный интеграл, сходящийся тогда и только тогда, когда каждый из интегралов

0

0

( ) , ( )x xe g d e g d

существует. Найдем формулу для обращения двухстороннего преобразования

Лапласа. Для этого используем формулу [5], связывающую преобразование Вейерштрасса W и двухстороннее преобразование Лапласа L.

Положим:

2

4( ) ( )x

g x e f x

,

тогда

2 /41

[ ]( ) [ ] .24

x Lx

W f x e g (11)

В обозначениях для двухстороннего преобразования Лапласа имеем

2 /41

[ ]( ) .24

x xW f x e G

(12)

Применим формулу (10) для обращения интегрального преобразования Вейерштрасса:

2

=0

4 1( ) =

!2 2(2 )

x

jjj

j

Fe xf x H

j

.

Следовательно, оригинал двухстороннего преобразования Лапласа име-ет вид



2 1

=0

4 1 1

!2 2()

2 )(

xj

jjj

FxH

jg x e

, (13)

где

2 /2 41

24= (1 ) .

2 1

j

j jF H G de

Выполним в последней формуле замену переменной 2 с учетом

тождества

1 jj jH z H z ,

получим окончательную формулу для коэффициентов jF :

22(1 ) 1

= .1

jj

j j e GF H d

Замечание 3. Формула для изображения двухстороннего преобразова-ния Лапласа получается из соотношений (11) и (12):

0

1

!4

j j

jj

G xx

fj

,

где

2

4 (2

)j jf g H de

.

2.3. Преобразование Меллина

Интегральное преобразование Меллина можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Инте-гральное преобразование Меллина тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел, в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преоб-разованием Фурье, а также с теорией специальных функций. Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика Ялмара Меллина. Прямое и обратное преобразования Меллина задаются формулами [6]:

1

0

( ) ( ) ( )sM f s s x f x dx

, 1 ( ) ( ) ( )2

1c i

s

c i

M x f x x s dsi

.

Найдем новую формулу обращения преобразования Меллина, не тре-бующую выхода в комплексную плоскость.



Двусторонний интеграл Лапласа может быть выражен через преобразо-вание Меллина:

( ) ( ln ) ( )L f s M f x s ,

и, наоборот, преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа с помощью формулы

( ) ( ) ( ).xM f s L f e s

Из последней формулы имеем

( ) ( ) ( ).xs L f e s

По формуле (13) обращения двухстороннего преобразования Лапласа имеем

2 1

4

=0

1 1

!2 2(2 )( )

x

x jjj

j

FxH

jf e e

.

Выполним замену переменного xe t , получим оригинал

2ln 1

=

4

0

1 ( 1) ln

!2 2(2( )

)

xj

jjj

j

FxH

jf t e

,

где

22(1 )

= .1

j

j jF H de

3. Приложения преобразования Вейерштрасса в теории фильтрации сигналов

В электронике и обработке сигналов используется Гауссовский фильтр, т.е. фильтр, чья импульсная характеристика является функцией Гаусса. С точки зрения математики действие Гауссовского фильтра означает свертку входного сигнала с функцией Гаусса

22

1exp .

2 2

x

В итоге создается эффект «размытия по Гауссу». Применение Гауссов-ского фильтра равносильно выполнению интегрального преобразования Вей-ерштрасса из разд. 2.1. Доказанные в этом разделе формулы обращения (10) позволяют восстановить сигнал по «отфильтрованному» сигналу. В теории сигналов используются двумерные фильтры Гаусса с целью снижения уровня шума.



Двумерное интегральное преобразование Вейерштрасса имеет вид [4]:

2 2

2 2

1, exp , .

2 2[ ]( , )

x yF x y f d dW f x y

(14)

Из формулы (14) следует, что двумерное преобразование Вейерштрасса сводится к композиции одномерных преобразований по каждой из перемен-ных. Таким образом, достаточно уметь вычислять одномерное преобразова-ние Вейерштрасса, чтобы выполнить фильтрацию двумерных сигналов.

Будем использовать метод фундаментальных решений [7], в качестве которых выбираются радиально-базисные функции, [8]. Пусть аппроксима-ция сигнала ,f x y взвешенными суммами двумерных гауссиан имеет вид

2 2

2 21

1ex( , p

2)

2

k k

k k

N

kk

xf x y

yw

,

где ,k k – центры гауссиан; k – ширина окна; kw – веса.

Применим преобразование Вейерштрасса:

2 2

12 2

1exp

( ) 2( , )

2( )

k k

kk

k k

N x ywF x y

.

Таким образом, применение фильтра Гаусса приводит к той же форму-ле, что и вычисления аппроксимации сигнала, но с увеличением ширины окна на величину .

Пусть теперь известна аппроксимация фильтра Гаусса, соответствую-щая ширине фильтра σ:

2 2

2 21

1ex( , p

2)

2

k k

k k

N

kk

xF x y

yw

,

и нужно восстановить исходный сигнал ,f x y . Если подбирать аппрокси-

мацию фильтра Гаусса с ограничением на ширину окна каждой из Гауссиан более чем σ, тогда аппроксимация сигнала гауссианами будет иметь вид

2 2

2 21

1exp

( ) 2 2)

(( , .

)

N

k

k kk

k k

x yf y wx

Таким образом, вычисление сигнала проводится по той же формуле, что и вычисления аппроксимации фильтра Гаусса, но с уменьшением шири-ны окна на величину . Регуляризация процесса восстановления происходит автоматически при удовлетворении ограничений на ширину окна Гауссиан.

Настройка весовых коэффициентов, центра и ширины окна каждой из Гауссиан для прямого и обратного двумерных преобразований Вейерштрасса осуществляется методом наименьших квадратов. Также могут быть исполь-



зованы методы: отжига [9], градиентный [10], генетический алгоритм [11], EM-метод [12], RBFNN-метод [8]. Один из вариантов нахождения аппрокси-мации сигнала состоит в использовании приложения Curve Fitting Toolbox из Matlab [13].

Заключение

Полученные в работе результаты расширяют возможности применения классических методов интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Вей-ерштрасса, Меллина. Доказанные формулы обращения могут применяться в теории фильтрации сигналов, для решения ретроспективных задач теории теплопроводности и краевых задач теории потенциалов. Методами, разрабо-танными в статье, возможно проведение исследований для других интеграль-ных преобразований: sin-, cos-преобразований Фурье [2], Бесселя [2], Мейера [4].


1. Yaremko, N. N. On a New Formulas for a Direct and Inverse Cauchy Problems of Heat Equation / N. N. Yaremko, O. E. Yaremko // International Journal of Partial Dif-ferential Equations and Applications. – 2014. – Vol. 2, 1. – P. 1–6.

2. Снеддон , И . Преобразования Фурье / И. Снеддон. – М. : Изд-во иностр. лит, 1955. – 668 с.

3. Бейтмен , Г . Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М. : Наука, 1965. – Т. 1. – 296 с.

4. Брычков , Ю . А . Интегральные преобразования обобщенных функций / Ю. А. Брычков, А. П. Прудников. – М. : Наука, 1977. – 288 c.

5. Pol, B. van der. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace / B. van der Pol, H. Bremmer. – N. Y. : Integral, 1950. – 415 p.

6. Polyanin, A. D. Handbook of integral equations / A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov. – Boca Raton : CRC press, Cop. – 1998. – 787 p.

7. Kupradze, V. D. The method of functional equations for the approximate solution of certain boundary value problems / V. D. Kupradze, M. A. Aleksidze. – USSR Com-put. Math. Math. Phys. – 1964. – Vol. 4 (4). – P. 82–126.

8. Gorbachenko, V. I . Solving Boundary Value Problems of Mathematical Physics Using Radial Basis Function / V. I. Gorbachenko , M. V. Zhukov // Networks. Compu-tational Mathematics and Mathematical Physics. – 2017. – Vol. 57, 1. – P. 145–155.

9. Кирсанов , М . Н . Maple и Maplet. Решения задач механики / М. Н. Кирсанов. – М. : Лань, 2012. – 512 c.

10. Гилл Ф . Практическая оптимизация / Ф. Гилл, М. Мюррей, М. Райт. – М. : Мир, 1985. – 509 с.

11. Емельянов , В . В . Теория и практика эволюционного моделирования / В. В. Емельянов, В. В. Курейчик, В. М. Курейчик. – М. : Физматлит, 2003. – 432 с.

12. Dempster, A. P. Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algo-rithm / A. P. Dempster, N. M. Laird, D. B. Rubin // Journal of the Royal Statistical So-ciety, Series B. – 1977. – Vol. 39 (1). – P. 1–38.

13. Мэтьюз , Д . Г . Численные методы. Использование MATLAB / Джон Г. Мэть-юз, Куртис Д. Финк. – 3-е изд. – М. : Вильямс, 2001. – 720 с.

References

1. Yaremko N. N., Yaremko O. E. International Journal of Partial Differential Equations and Applications. 2014, vol. 2, no. 1, pp. 1–6.



2. Sneddon I. Preobrazovaniya Fur'e [The Fourier transform]. Moscow: Izd-vo inostr. lit, 1955, 668 p.

3. Beytmen G., Erdeyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher transcendental func-tions]. Moscow: Nauka, 1965, vol. 1, 296 p.

4. Brychkov Yu. A., Prudnikov A. P. Integral'nye preobrazovaniya obobshchennykh funktsiy [Integral transformations of generalized functions]. Moscow: Nauka, 1977, 288 p.

5. Pol B. van der., Bremmer H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace. New York: Integral, 1950, 415 p.

6. Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbook of integral equations. Boca Raton: CRC press, Cop. 1998, 787 p.

7. Kupradze V. D., Aleksidze M. A. The method of functional equations for the approxi-mate solution of certain boundary value problems. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1964, vol. 4 (4), pp. 82–126.

8. Gorbachenko V. I., Zhukov M. V. Networks. Computational Mathematics and Mathe-matical Physics. 2017, vol. 57, no. 1, pp. 145–155.

9. Kirsanov M. N. Maple i Maplet. Resheniya zadach mekhaniki [Maple and Maplet. Problem solving in mechanics]. Moscow: Lan', 2012, 512 p.

10. Gill F., Myurrey M., Rayt M. Prakticheskaya optimizatsiya [Practical optimization]. Moscow: Mir, 1985, 509 p.

11. Emel'yanov V. V., Kureychik V. V., Kureychik V. M. Teoriya i praktika evolyutsion-nogo modelirovaniya [Theory and practice of evolutionary modeling]. Moscow: Fiz-matlit, 2003, 432 p.

12. Dempster A. P., Laird N. M., Rubin D. B. Journal of the Royal Statistical Society, Se-ries B. 1977, vol. 39 (1), pp. 1–38.

13. Met'yuz D. G., Fink K. D. Chislennye metody. Ispol'zovanie MATLAB [Numerical methods. The use of MATLAB]. 3d ed. Moscow: Vil'yams, 2001, 720 p.

Яремко Наталия Николаевна доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического образования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Yaremko Nataliya Nikolaevna Doctor of pedagogical sciences, professor, sub-department of mathematical education, Penza State University (40 Kranaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected] Селютин Владимир Дмитриевич доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и математических методов в экономике, Орловский государственный университет имени И. С. Тургенева (Россия, г. Орел, ул. Комсомольская, 95)

Selyutin Vladimir Dmitrievich Doctor of pedagogical sciences, professor, head of sub-department of algebra and mathematical methods in economics, Turgenev State University of Orel (95 Komsomolskaya street, Orel, Russia)




Журавлева Екатерина Геннадьевна кандидат педагогических наук, доцент, кафедра математического образования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Zhuravleva Ekaterina Gennad'evna Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of mathematical education, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)


УДК 517.444

Яремко, Н. Н. Новые формулы обращения для интегральных преобразований

Лапласа, Вейерштрасса и Меллина / Н. Н. Яремко, В. Д. Селютин, Е. Г. Журавлева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 24–35. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-2.



УДК 514.752 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-3

В. Г. Шармин, Д. В. Шармин

СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКОГО ОБРАЗА

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПОЛОСЫ В 4E Аннотация. Актуальность и цели. Исследование свойств поверхностей в различных

пространствах – одна из основных задач дифференциальной геометрии. Для поверхностей в евклидовом пространстве, имеющих коразмерность, большую единицы, возникают новые геометрические характеристики и свойства, кото-рых не имеют гиперповерхности в этом пространстве. В частности, у двумер-ных поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве появляются ко-эффициенты кручения. Целью данной работы является изучение свойств сфе-рического образа двумерной поверхности, оснащенной системой нормалей без кручения, в четырехмерном евклидовом пространстве.

Материалы и методы. Используются методы дифференциальной геомет-рии, разработанные Э. Картаном, К. Ш. Рамазановой и А. И. Фирсовым для исследования поверхностей, имеющих коразмерность больше единицы.

Результаты. Доказаны некоторые свойства сферического образа двумер-ной поверхности, оснащенной системой нормалей без кручения, а также полу-чены достаточные условия того, что он является трехмерной поверхностью.

Выводы. Исследовано строение сферического образа двумерной поверхно-сти, оснащенной системой нормалей без кручения при выполнении некоторых дополнительных условий.

Ключевые слова: евклидово пространство, двумерная поверхность, сфери-ческое отображение, гауссова кривизна, коэффициенты кручения поверхности.

V. G. Sharmin, D. V. Sharmin

PROPERTIES OF THE SPHERICAL IMAGE

OF A SPATIAL STRIP IN 4E Abstract. Background. The study of the properties of surfaces in various spaces is one of

the main problems of differential geometry. Surfaces in Euclidean space, whose codimension is greater than one, are characterized by some new properties that do not have hypersurfaces in this space. In particular, two-dimensional surfaces in four-dimensional Euclidean space have torsion coefficients. This article is devoted to the study of the properties of a spherical image of a two-dimensional surface with a sys-tem normals without torsion in four-dimensional Euclidean space.

Materials and methods. The methods of differential geometry developed by E. Cartan, K. Sh. Ramazanova, and A. I. Firsov to study surfaces, whose codimen-sion is greater than one.

Results. We have proved some properties of the spherical image of a two-dimensional surface with a system of normals without torsion, and also we have ob-tained sufficient conditions that this image is a three-dimensional surface.

Conclusions. We have investigated the structure of the spherical image of a two-dimensional surface with a system of normals without torsion, under certain addi-tional conditions.



Key words: Euclidean space, two-dimensional surface, spherical mapping, Gaussian curvature, coefficients of torsion of the surface.

Введение

В работе [1] определена сферическая индикатриса произвольной про-странственной кривой и изучены свойства этой индикатрисы. В монографии [2] установлена связь между геодезической кривизной пространственной по-лосы и геодезической кривизной ее сферического образа.

В. Т. Фоменко в статье [3] ввел понятие нормального кручения и про-вел полную классификацию поверхностей в четырехмерном пространстве по-стоянной кривизны, для которых нормальное кручение тождественно равно нулю.

И. И. Бодренко получила необходимое и достаточное условие того, что

поверхность 2F в 4E имеет постоянное гауссово кручение const 0 [4].

В работе В. А. Есина [5] изучались свойства сферического отображения

поверхности pV в 2pE , определенного с помощью орта данной нормали. В ряде своих работ авторы настоящей статьи исследовали двумерные

поверхности в 4E и их сферические образы. Так, в статье [6] выведена формула, позволяющая вычислять кривизну

сферического образа двумерной поверхности в 4E , оснащенной системой нормалей без кручения, через геометрические характеристики исходной по-верхности. В работе [7] результат был перенесен на многомерный случай.

Статья [8] посвящена обобщению формулы работы [6] на случай по-верхности в четырехмерном евклидовом пространстве, имеющей ненулевые коэффициенты кручения.

В настоящей статье изучаются свойства сферического образа двумер-

ной поверхности в 4E при некоторых дополнительных условиях.

1. Основные определения и формулы

Пусть 2F есть 3C -регулярная поверхность в евклидовом пространстве 4E , которая задается вектор-функцией

1( , ).2u ur r (1)

Во всех точках этой поверхности существуют касательная и нормаль-ная плоскости. Зададим в каждой нормальной плоскости ортонормированный

базис, состоящий из векторов n и m . На поверхности 2F появятся два век-

торных поля n и m . Пусть эти поля принадлежат классу 2C .

Определение. Поверхность 2F вместе с полем нормалей n или m бу-

дем обозначать 21F или 2

2F соответственно и называть пространственной по-лосой.

Рассмотрим отображение

2 3

1 : ,F S (2)



которое каждой точке M поверхности 2F ставит в соответствие точку M единичной гиперсферы 3S такую, что вектор с началом в точке O и концом

в точке M равен вектору Mn , где точка O – центр гиперсферы 3S .

Аналогично определяется отображение 2 32 : .F S

Определение. Отображения 1 и 2 называются сферическими отоб-

ражениями пространственных полос 21F или 2

2F соответственно.

Определение. Функции 11 up n m и

22 up n m называются коэффи-

циентами кручения поверхности 2F , вычисленными в нормалях n и m [6].

Пусть 2

1, 1

ij i ji j

B du du

и 2

2, 1

ij i ji j

b du du

– вторые квадратичные

формы поверхности 2F в направлениях n и m соответственно, где ,

i j i jij u u ij u uB b r n r m .

Определение. Поверхности 21 и 2

2 трехмерного евклидова про-странства, у которых первая квадратичная форма совпадает с первой квадра-

тичной формой поверхности 2F , а вторые квадратичные формы равны 1

1 2 и 21 2 соответственно, называются ассоциированными

с поверхностью 2F [9].

Определение. Говорят, что поверхности 21 и 2

2 трехмерного евкли-дова пространства образуют пару Бонне, если существует изометрия одной поверхности на другую такая, что линии кривизны переходят в линии кри-визны [9].

Определение. Точка на поверхности 2F называется аксиальной, если векторы 11 12 22( , , )B B BB и 11 12 22( , , )b b bb линейно зависимы [10].

Известно, что гауссова кривизна поверхности 2F вычисляется по фор-муле

1 2 ,K K K (3)

где 2

11 22 121 2

11 22 12

, B B B

Kg g g

211 22 12

2 211 22 12

b b bK

g g g

, i jij u ug r r [9]. Значение K не

зависит от базиса нормальной плоскости [7]. В работе [9] А. И. Фирсовым получено необходимое и достаточное

условие каноничности базиса нормальной плоскости:

11 22 12 12 22 112 0В b B b B b . (4)

Определение. Величина 1 1 2 222 2

a b a b называется гауссовым

кручением поверхности 2F , где 1 1,a b – главные значения тензора

i jij u uB r n ; 2 2,a b – главные значения тензора i jij u ub r m [11, 12].



Определение. Базис нормальной плоскости n и m , в котором коэф-фициенты кручения тождественно равны нулю, называется системой норма-лей без кручения [9].

Определение. Поверхность, у которой система нормалей без кручения является канонической, называется поверхностью без кручения [9].

2. Коэффициенты кручения сферического образа поверхности

Если якобиан отображения (2) отличен от нуля, то 21( )F является

2C -регулярной поверхностью, расположенной на единичной гиперсфере 3S

евклидова пространства 4E и задаваемой вектор-функцией

1 2( , ).u un n (5)

Базис касательной плоскости поверхности (5) образован векторами 1un

и 2un . Базис нормальной плоскости этой поверхности будут образовывать

векторы n и 1 2

1 2

1[ , , ]

[ , , ]

u u

u u

n n n

mn n n

. Так как 1 1 0u n m и

2 1 0u n m , то спра-

ведливо следующее утверждение.

Свойство 1. Базис нормальной плоскости n и 1 2

1 2

1[ , , ]

[ , , ]

u u

u u

n n n

mn n n

по-

верхности 21( )F является для этой поверхности системой нормалей без

кручения.

3. Базис нормальной плоскости сферического образа поверхности

В некоторой точке поверхности 2F может быть введена система коор-динат так, что 12 12 0g B .

Выпишем для этого случая деривационные формулы [9]:

1 21 1 1 2

11 1111 11

11 22,

2 2

u uu u u u

g gB b

g g r r r n m

2 11 2 1 2

11 2212

11 22,

2 2u u

u u u ug g

bg g

r r r m

1 22 2 1 2

22 2222 22

11 22,

2 2u u

u u u ug g

B bg g

r r r n m

1 111

111

,u uB

pg

n r m

1 1 211 12

111 22

,u u ub b

pg g

m r r n



2 222

222

,u uB

pg

n r m

2 1 2

12 222

11 22.u u u

b bp

g g m r r n (6)

Введем обозначения:

11 22

11 22, .

B B

g g (7)

Разложим вектор 1m по базису 1 2, , , u ur r n m :

1 21 .u uA B C D m r r n m (8)

Умножая скалярно равенство (8) поочередно на векторы 1 2, , u un n n и

учитывая, что 1 1 0u n m ,

2 1 0u n m , 1 0 n m и 1m , получим систему

уравнений:

11 1

22 2

2 2 211 22

0

0

0

1.

A g Dp

B g Dp

C

A g B g D

(9)

Легко видеть, что если 1 2 0p p , то 1 m m .

Свойство 2. Если базис нормальной плоскости n и m поверхности 2F является системой нормалей без кручения, то

11 22

11 22

B B

g g или 12 0.b (10)

Доказательство. Запишем уравнение Риччи для поверхности 2F [9]:

2 1

11 22

1 2 11 22

11 12 22

0

0 .u u

g g

p p B B

b b b

(11)

Поскольку 1 2 0p p , то определитель из (11) равен нулю.

4. Свойства сферического образа пространственной полосы в 4E

Пусть поверхность 2F оснащена системой нормалей n и m без кру-чения.

Пользуясь деривационными формулами (6), вычислим коэффициенты

вторых квадратичных форм поверхности 21( )F в направлении нормалей

n и 1m :



11 11 12 22 22, 0, ,B B B B B

11 11 12 12 12 22 22, , .b b b b b b b (12)

Свойство 3. Нормали n и m поверхности 2F являются канонически-ми тогда и только тогда, когда каноническими являются нормали n и 1m по-

верхности 21( )F .

Доказательство следует из равенств (12), свойства 1 и определения ка-нонических нормалей.

Свойство 4. Для того чтобы точка на поверхности 2F была аксиаль-ной, необходимо и достаточно, чтобы ее сферический образ на поверхности

21( )F являлся аксиальной точкой.

Доказательство. Из определения аксиальной точки следует, что на по-

верхности 2F в такой точке 12 0b и 11 22

11 22

b b

B B . Тогда из формул (12) сле-

дует доказательство свойства 4. Пользуясь определением гауссова кручения, получаем, что гауссово

кручение поверхности 2F равно нулю тогда и только тогда, когда 11 22B B

или 11 22 12, 0b b b .

Гауссово же кручение поверхности 21( )F равно нулю тогда и только

тогда, когда 2 211 22

11 22

B B

g g или 11 11 22 22

1211 22

, 0.B b B b

bg g

Свойство 5. Если , то для того чтобы гауссово кручение в неко-

торой точке поверхности 2F было равно нулю, необходимо и достаточно,

чтобы гауссово кручение в соответствующей точке поверхности 21( )F то-

же было равно нулю. Свойство 6. Если и 12 0b , то гауссовы кручения 2F

и

21( )F поверхностей 2F и 2

1( )F соответственно связаны равенством

2 21( )F F .

5. Локальное строение сферического образа

пространственной полосы в 4E

Пусть поверхность 2F оснащена полем нормалей n и m без кручения и 1 0.K

Предположим, что на поверхности 2F имеется аксиальная точка 0M .

Тогда в силу определения аксиальной точки в точке 0M имеем 12 0b и

11 22

11 22

b b

B B . В точке 0M поверхности 2F возможен один из вариантов:

1) 1 0K и 2 0K ;



2) 1 0K и 2 0K ;

3) 1 0K и 2 0K .

Гауссова кривизна ее сферического образа 21( )F вычисляется по

формуле [6]:

2

11 ,

KK

K (13)

поэтому в точке 1 0( )M гауссова кривизна не меньше 1. Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть поверхность 2F оснащена полем нормалей n и m

без кручения и 1 0.K Если на поверхности 2F существует аксиальная точ-

ка, то найдется такая окрестность 0( )U M , что гауссова кривизна K поверх-

ности 1 0( ( ))U M не меньше 1.

Следствие 1. Если поверхность 2F состоит из аксиальных точек, то ее

сферический образ 21( )F является трехмерным, т.е. существует гиперплос-

кость 3E такая, что 2 3 31( )F E S .

Следствие 2. Если поверхность 2F состоит из аксиальных точек и яв-ляется поверхностью без кручения, то ее сферический образ лежит на еди-

ничной двумерной сфере 2 3S S .

Теорема 2. Пусть поверхность 2F является поверхностью без круче-

ния. Если в некоторой точке 0M поверхности 2F 12, 0ii iib B b , то

найдется такая окрестность 0( )U M , что гауссова кривизна K поверхности

1 0( ( ))U M положительна.

Доказательство. Условие каноничности нормалей в точке 0M имеет

вид

11 22

11 22

b b

B B . (14)

Если 11 22 0b b , то точка 0M является аксиальной. Значит, согласно теореме 1, утверждение доказано.

Пусть 11 220, 0b b , тогда 1K и 2K имеют разные знаки. Тогда, если

12, 0ii iib B b , в точке 0M получим 1 2K K . В точке 1 0( )M гауссова

кривизна положительна. Учитывая непрерывность гауссовой кривизны, по-лучаем утверждение теоремы.

Теорема 3. Пусть для поверхности 2F справедливо неравенство

2

11,

K

K (15)

тогда ее сферический образ либо лежит в некоторой гиперплоскости, либо ас-социированные с ним поверхности составляют пару Бонне.



Доказательство. Исходя из условия (15) и формулы (13), получаем,

что гауссова кривизна поверхности 21( )F положительна. Таким образом,

поверхность 21( )F удовлетворяет условиям теоремы 6 [9], что и доказывает

теорему. Замечание 1. Теорема 3 применима к поверхностям, удовлетворяющим

условиям теоремы 1 или теоремы 2. Замечание 2. Примером поверхности, неудовлетворяющей условию

теоремы 3, является плоский тор в 4E

( , ) (cos ,sin ,cos ,sin ). r r (16)

Сферическим образом плоского тора, если система нормалей n и m каноническая, является плоский тор. Гауссовы кривизны плоского тора и его сферического образа равны нулю. Для плоского тора не существует гипер-плоскости такой, что плоский тор принадлежит этой гиперплоскости.


Таким образом, доказаны некоторые свойства сферического образа по-верхностей с системой нормалей без кручения в четырехмерном евклидовом пространстве.


1. Выгодский , М . Я . Дифференциальная геометрия / М. Я. Выгодский. – М. ; Л. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. – 512 с.

2. Бакельман , И . Я . Введение в дифференциальную геометрию «в целом» / И. Я. Бакельман, А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор. – М. : Наука, 1973. – 440 с.

3. Фоменко , В . Т . Классификация двумерных поверхностей с нулевым нормаль-ным кручением в четырехмерном пространстве постоянной кривизны / В. Т. Фоменко // Математические заметки. – 2004. – Т. 75, 5. – С. 744–756.

4. Бодренко , И . И . Характеристический признак поверхностей с постоянным гауссовым кручением в E4 / И. И. Бодренко // Вестник Волгоградского государ-ственного университета. Сер. 1. – 2013. – 2. – С. 13–17.

5. Есин , В . А . О сферическом отображении поверхности Vp⊂Ep+2 / В. А. Есин // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер.: Мат. Физ. – 2008. – 15. – С. 55–57.

6. Шармин , В . Г . Сферическое отображение пространственной полосы / В. Г. Шармин // Исследования по теории поверхностей постоянной кривизны. – Л. : Изд-во ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1987. – С. 98–100.

7. Шармина , Т . Н . Связь гауссовой кривизны двумерной поверхности в (n + 2)-мерном евклидовом пространстве с гауссовой кривизной ее сферического образа / Т. Н. Шармина, В. Г. Шармин // Альманах современной науки и образования. – 2010. – 1 (32). Ч. 1. – С. 33–36.

8. Шармин , В . Г . Кривизна сферического образа двумерной поверхности с нену-

левым кручением в 4E / В. Г. Шармин, Т. Н. Шармина // Вестник Бурятского университета. Математика, информатика. – 2017. – 1. – С. 3–9.

9. Фирсов , А . И . Канонические нормали поверхности большой коразмерности / А. И. Фирсов // Вестник Московского университета. Сер. 1: Механика. Математи-ка. – 1976. – 2. – С. 37–42.

10. Схоутен , И . А . Введение в новые методы дифференциальной геометрии / И. А. Схоутен, Д. Я. Стройк. – М. : ГИИЛ, 1948. – Т. 2. – 348 с.



11. Рамазанова , К . Ш . Теория кривизны 2X в 4E / К. Ш. Рамазанова // Изве-

стия вузов. Математика. – 1966. – 6. – С. 137–143. 12. Картан , Э . Риманова геометрия в ортогональном репере / Э. Картан. – М. :

Изд-во МГУ, 1960. – 307 с.

References

1. Vygodskiy M. Ya. Differentsial'naya geometriya [Differential geometry]. Moscow; Len-ingrad: Gosudarstvennoe izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoy literatury, 1949, 512 p.

2. Bakel'man I. Ya., Verner A. L., Kantor B. E. Vvedenie v differentsial'nuyu geometriyu «v tselom» [Introduction to differential geometry "in general"]. Moscow: Nauka, 1973, 440 p.

3. Fomenko V. T. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 2004, vol. 75, no. 5, pp. 744–756.

4. Bodrenko I. I. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. 1 [Bulletin of Volgograd State University. Series 1]. 2013, no. 2, pp. 13–17.

5. Esin V. A. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Mat. Fiz. [Proceedings of BelSU. Mathematics. Physics]. 2008, no. 15, pp. 55–57.

6. Sharmin V. G. Issledovaniya po teorii poverkhnostey postoyannoy krivizny [Research on the theory of surfaces of constant curvature]. Leningrad: Izd-vo LGPI im. A. I. Gertsena, 1987, pp. 98–100.

7. Sharmina T. N., Sharmin V. G. Al'manakh sovremennoy nauki i obrazovaniya [Alma-nac of modern science and education]. 2010, no. 1 (32), part 1, pp. 33–36.

8. Sharmin V. G., Sharmina T. N. Vestnik Buryatskogo universiteta. Matematika, in-formatika [Bulletin of Buryat University. Mathematics, computer science]. 2017, no. 1, pp. 3–9.

9. Firsov A. I. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 1: Mekhanika. Matematika [Bulle-tin of Moscow State University. Mechanics. Mathematics]. 1976, no. 2, pp. 37–42.

10. Skhouten I. A., Stroyk D. Ya. Vvedenie v novye metody differentsial'noy geometrii [In-troduction into new methods of differential geometry]. Moscow: GIIL, 1948, vol. 2, 348 p.

11. Ramazanova K. Sh. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathemat-ics]. 1966, no. 6, pp. 137–143.

12. Kartan E. Rimanova geometriya v ortogonal'nom repere [Riemannian geometry in the orthogonal frame]. Moscow: Izd-vo MGU, 1960, 307 p.

Шармин Валентин Геннадьевич кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и математической логики, Тюменский государственный университет (Россия, г. Тюмень, ул. Володарского, 6)

Sharmin Valentin Gennad'evich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of algebra and mathematical logic, Tyumen State University (6 Volodarskogo street, Tyumen, Russia)

E-mail: [email protected] Шармин Дмитрий Валентинович кандидат педагогических наук, доцент, кафедра математики и информатики, Тюменский государственный университет (Россия, г. Тюмень, ул. Володарского, 6)

Sharmin Dmitriy Valentinovich Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and informatics, Tyumen State University (6 Volodarskogo street, Tyumen, Russia)




УДК 514.752

Шармин, В. Г.

Свойства сферического образа пространственной полосы в 4E / В. Г. Шармин, Д. В. Шармин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 36–45. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-3.



УДК 004.021; 004.023; 51-76 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-4

Б. Ф. Мельников, М. А. Тренина, А. С. Кочергин

ПОДХОД К УЛУЧШЕНИЮ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ЦЕПОЧКАМИ ДНК

(НА ПРИМЕРЕ АЛГОРИТМА НИДЛМАНА – ВУНША) Аннотация. Актуальность и цели. На практике достаточно часто встречается необхо-

димость вычисления расстояния между последовательностями различной при-роды. Подобные алгоритмы используются в биоинформатике для сравнения секвенированных генетических цепочек. В силу большой размерности таких цепочек приходится использовать эвристические алгоритмы, которые дают приближенные результаты. Поэтому возникает задача оценки качества исполь-зуемых метрик (расстояний), по результатам которой можно сделать вывод о применимости алгоритма к различным исследованиям. Цель исследования – повышение качества оценки расстояния между длинными строками.

Материалы и методы. Для сравнения генетических цепочек, взятых из от-крытого банка данных NCBI, мы предлагаем эвристический алгоритм, разработанный на основе алгоритма Нидлмана – Вунша. После реализации ис-ходного алгоритма к полученным значениям метрики дополнительно применя-ется специальная функция с тремя параметрами, определение которых производится методом градиентного спуска.

Результаты. Получена качественная оценка работы алгоритмов для расче-та расстояния между цепочками ДНК и разработан один из подходов к улуч-шению таких алгоритмов.

Выводы. Было предложено улучшение алгоритма Нидлмана – Вунша срав-нения строковых последовательностей, а также сформулирован подход к улучшению других алгоритмов построения метрик на длинных строках.

Ключевые слова: мера сходства последовательностей ДНК, эвристические алгоритмы, алгоритм Нидлмана – Вунша.

B. F. Mel'nikov, M. A. Trenina, A. S. Kochergin

AN APPROACH TO IMPROVING ALGORITHMS FOR COMPUTING DISTANCES BETWEEN DNA CHAINS (BY THE EXAMPLE OF THE NEEDLEMAN – WUNSCH ALGORITHM)

Abstract. Background. In practice, it is often necessary to calculate the distance between

sequences of a different nature. Similar algorithms are used in bioinformatics to compare sequenced genetic chains. Because of the large dimensionality of such chains, we have to use heuristic algorithms that give approximate results. Therefore, the problem arises of estimating the quality of the metrics (distances) used, which, according to its results, one can conclude that the algorithm is applicable to various studies. Purpose of the study – improving the quality of the distance between thee long strings.

Materials and methods. To compare the genetic chains taken from the open bank NCBI, we offer a heuristic algorithm developed on the basis of the Needleman – Wunsch algorithm. After implementing this algorithm, a special function with three



parameters to the obtained metric values is applied, which are determined by the method of gradient descent.

Results. A qualitative evaluation of the operation of algorithms for calculating the distance between DNA strings was obtained. An approach to the improvement of such algorithms was developed.

Conclusions. It was proposed to improve the Needleman – Wunsch algorithm for comparison of string sequences, and also formulate an approach to improving other algorithms for constructing metrics on long lines.

Key words: measure of the similarity of DNA sequences, heuristic algorithms, the Needleman – Wunsch algorithm.

Введение

На практике достаточно часто встречается необходимость вычисления расстояния между последовательностями различной природы. Подобные ал-горитмы в биоинформатике составляют отдельный очень важный вид задач – это задачи поиска расстояния между заданными генетическими последова-тельностями. Генетическая последовательность (геном) построена из дезок-сирибозы и азотистых оснований. Для записи цепочки используются буквы, соответствующие азотистому основанию: A (аденин), T (тимин), G (гуанин), C (цитозин).

Основной сложностью, возникающей при вычислении расстояния меж-ду генетическими последовательностями, является очень большая длина та-кой последовательности. Например, даже для коротких митохондриальных ДНК (мДНК) человека длина последовательности превышает 16000 символов

[1], а для обычной ДНК может превышать 83 1 0 символов. В силу этого алгоритмы, осуществляющие точную оценку, являются

неприменимыми, а для оценки расстояния между такими цепочками прихо-дится использовать эвристические алгоритмы, которые дают приближенные результаты. Поэтому возникает необходимость разработки метода оценки ка-чества используемых метрик, на основе которого можно сделать вывод о применимости данного алгоритма к различным исследованиям.

1. Предварительные замечания

На сегодня широко известны следующие строковые метрики: – расстояние Хэмминга [2]; – расстояние Левенштейна [3]; – расстояние Дамерау – Левенштейна [4]; – метрика Нидлмана – Вунша [5]; – метрика Смита – Вотермана [6]. Отметим, что все известные авторам алгоритмы, применяемые для ре-

шения задачи поиска расстояния между генетическими последовательностя-ми, так или иначе основаны именно на этих метриках.

Расстояние Хэмминга является одним из универсальных мер близости последовательностей одинаковой размерности и равно числу позиций, в кото-рых соответствующие символы двух слов одинаковой длины различны.

Расстояние Левенштейна между двумя строками – это минимальное ко-личество операций вставки одного символа, удаления одного символа и заме-



ны одного символа на другой, необходимых для превращения одной строки в другую. Добавление еще одной операции, а именно транспозиции символов, дает расстояние Дамерау – Левейштейна.

Описание некоторых из соответствующих алгоритмов приводит к труд-норешаемым задачам [7–9], поэтому для решения подобных задач обычно ис-пользуются эвристические алгоритмы. Последние предлагают псевдоопти-мальное решение за полиномиальное время. Примерами таких алгоритмов являются рассматриваемые нами ниже алгоритмы Нидлмана – Вунша и Смита – Ватермана.

Алгоритм Нидлмана – Вунша – это алгоритм для выполнения выравни-вания двух последовательностей символов. Алгоритм Нидлмана – Вунша представляет собой пример динамического программирования и является, по-видимому, первым приложением динамического программирования [4, с. 299] к сравнению биологических последовательностей. Суть алгоритма в следую-щем. По матрице расстояний между аминокислотами (или, соответственно, между нуклеотидами) итеративным образом рассчитывается матрица всех

возможных маршрутов ijS :

1, 1 1, , 11 1

max , max , max ( ) ij ij i j i k k jk j k i

s D s s G s G

,

где ijs – элемент i-й строки j-го столбца; ijD – расстояние между i-й и j-й

аминокислотами (или нуклеотидами); G – штраф на делецию (штраф за про-пуск аминокислоты).

Затем осуществляется проход по матрице в обратном направлении по максимальным элементам. Полученный маршрут соответствует оптималь-ному выравниванию. В качестве матрицы минимальных расстояний между аминокислотами обычно используется матрица минимальных мутационных расстояний по генетическому коду между аминокислотами, но могут исполь-зоваться и другие меры.

Приведем пример подобного выравнивания. Предположим, есть две по-следовательности: AHWSMSVAGVS и AWTDLASLAGWS. Результат выравнива-ния можно представить следующим образом:

AHWSM--SVAGVS

A-WTDLASLAGWS

В примере выше знаком «–» обозначены разрывы в последовательно-стях. Таким образом, можно заметить совпадения 6 символов. Обычно метри-ки используют так называемые веса, обозначающие цену разрыва в последо-вательности.

Рассмотрим первые 20 символов последовательности мДНК человека (homo sapiens) и шимпанзе (pan troglodytes). Они записываются следующим образом для шимпанзе:

GTTTATGTAGCTTACCCCCT,

и для человека:

GAATTCCCTGTGTTTGTGGT.



После применения алгоритма Нидлмана – Вунша, выполненного в точ-ном соответствии с [4], мы получим следующее:

GAATTCCCTGT-GTTTGTGG--T

GTTTA---TGTAGCTTACCCCCT.

Таким образом, после выравнивания мы получили две последователь-ности, каждая длиной в 23 символа. Из них совпадают 9 символов, т.е. эти последовательности похожи на 39,13 %.

Алгоритм Смита – Ватермана предназначен для получения локального выравнивания последовательностей, т.е. для выявления сходных участков двух нуклеотидных или белковых последовательностей. В отличие от алго-ритма Нидлмана – Вунша, который осуществляет выравнивание последова-тельностей по всей длине, алгоритм Смита – Ватермана сравнивает отрезки всех возможных длин и оптимизирует меру сходства по всем отрезкам и всем выравниваниям этих отрезков [10].

Существует еще один подход к оценке меры сходства последовательно-стей S=<X1 … Xn> непустых объектов Xi из конечного множество объектов I. Для описания этого подхода введем ряд общепринятых определений, имею-щихся, например, в [11].

Размер последовательности, равный n обозначается через |S|. Длиной последовательности называется общее число объектов, встре-

чающихся в последовательности 1

| |n

ii

l S X

.

Последовательность Т = <Y1 … Ym> называется подпоследователь-ностью последовательности S = <X1 … Xn>, если существуют такие индексы 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ … ≤ im ≤ n, что

jj iY X для всех j = 1, …, m, m < n. При этом после-

довательность S называется надпоследовательностью последовательности T. Множество всех подпоследовательностей последовательности S обозначим записью ( )S , а | |S S . Обозначим записью , ( ) ( )S T S T

множество всех общих подпоследовательностей двух последовательностей S и T, и аналогично , | , |S T S T .

2. Меры сходства последовательностей

Введем еще ряд определений. l-префиксом последовательности S называется последовательность из

первых l элементов <X1 … Xi>; j-й набор объектов последовательности S обозначим как S[j].

Пусть S = <X1 … Xn> – последовательность, а Y – набор объектов. Конкатенацией набора объектов Y с последовательностью S называется последовательность <X1 … XnY>.

Примеры. Рассмотрим последовательности

S1 = <a a, b e c, d b, d>, S2 = <a a, b, d a, b, c b, d>.

Примером подпоследовательности последовательности S1 является <abc, d>. Длина последовательности равна 1 8l S , а ее размер –



|S1| = 5. 3-префиксом является 31S = <a a, b e>, а вторым набором объ-

ектов последовательности S1 является a,b. Множеством всех подпоследовательностей является

22( )S = <>, <a>, <b>, <d>, <a,b>, <a, d>, <b,d>,<a, b, d>,

<a a>, <a b>, <a d>, <a a, b>, <a a, d>,

<a b, d>, <a a, b, d>.

Тогда 22( )S = 15.

Примером конкатенации последовательности 22S с набором последова-

тельности a, b, c 22 , , S a b c является <a a, b, d a, b, c>.

Меры сходства последовательностей. 1. Мера «все общие подпоследовательности» вычисляется как число

общих подпоследовательностей, деленное на максимальное число подпосле-довательностей S и Т:

,,

max ,

S TS T

S T

.

Мера сходства удовлетворяет следующим условиям: 1) , 0S T .

2) , 1S T , если .S T

3) , ,S T T S .

Пример. Пусть S1 = <a a, b e c, d b, d>, S2 = <a b, c, d

a, d>. Множество всех общих подпоследовательностей 41S и 3

2 S равно

4 31 2, , , , , , , , ,S S a b c c d a a a b

, , , , , .a c a d a c d b d a b d

Тогда сходство последовательностей равно

, 13 13, .

max , max 56, 61 61

S TS T

S T

2. Мера «самая длинная общая подпоследовательность» здесь рассматривается только самая длинная из подпоследовательностей. Суще-ствует два способа ее измерения – использовать размер или длину последова-тельности:

– используя размер:

| , |,

max| |,| |sizeLCS S T

S TS T

;



– используя длину:

( , ),

max ( ), ( )lengthl LCS S T

S Tl S l T

.

Пример. Пусть S = <a, ba, ca, f>, T = <a, bc>. Способы из-мерения:

– используя размер:

| , | 2,

max| |,| | 3sizeLCS S T

S TS T

;

– используя длину:

( , ) 3 1,

max ( ), ( ) 6 2lengthl LCS S T

S Tl S l T

.

Недостатком этой меры является тот факт, что она не учитывает информацию, содержащуюся во второй по длине, третьей и так далее последовательностях.

Как мы уже отмечали выше, некоторые из алгоритмов подсчета различ-ных характеристик строк (или пар строк) в простом виде представляют собой труднорешаемые задачи, поэтому на практике мы применяем их модифика-ции с помощью применения некоторых эвристик. При применении этих эври-стик получаемые алгоритмы становятся выполнимыми за реальное время, причем, как правило, полиномиальными.

3. Расчет расстояния между цепочками ДНК

Приведем результаты выполненного нами расчета расстояний между цепочками мДНК различных животных. Для этого мы взяли из банка данных NCBI [12] секвенированные цепочки мДНК для одного представителя каждо-го из 28 отрядов млекопитающих; МДНК у разных из этих 28 видов меняются только за счет мутации из-за того, что не подвержены рекомбинации и насле-дуются только по материнской линии.

Для поиска расстояния между различными цепочками мДНК использо-вался метод, предложенный Пажесом. Этот язык создавался для работы с большими данными и имеет библиотеки [13] для работы с последовательно-стями строк.

Метод работает следующим образом: на вход подаются две строки Si,

каждая длиной ni символов c(i,j), где i ∈ 1, 2, j ∈ 1, …, ni. Далее эти строки

преобразуются в iS по формулам

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) i i i i ii i a i a i b i b i bS g c g c g

,

где ai, bi ∈ 1, …, ni ia b , 0ijg или больше разрывов на позиции j для

строки i. Длина( iS ) = длина( kS ), i k . Для описанного здесь преобразования

используется алгоритм Нидлмана – Вунша, подробное рассмотрение и улуч-



шение которого является предметом настоящей публикации. Для оценки рас-стояния берется количество совпадений после выравнивания за вычетом штрафа за разрывы. При выполнении данных вычислений штраф за открытие разрыва предлагается считать равным 10 единиц, а за продолжение разрыва – 4 единицы за символ. Для получения результата производятся следующие вы-числения: количество совпавших позиций делится на общее количество сим-волов и умножается на 100. Таким образом, результатом является число, лежащее в диапазоне от 0 до 100, где 0 – полное несовпадение строк, 100 – полное совпадение. Часть результатов сравнения цепочек мДНК различных представителей млекопитающих представлены в таблице (рис. 1). Полная версия таблицы доступна по ссылке [14].

Рис. 1. Часть результатов сравнения цепочек мДНК различных представителей млекопитающих

Приведенная таблица является матрицей близости; в дальнейшем же мы

будем больше использовать матрицу расстояний, которую получаем из мат-рицы близости делением всех приведенных чисел на 100 и вычитанием полу-ченных значений из единицы.

4. Оценка полученных результатов

Итак, существуют различные алгоритмы определения расстояния меж-ду геномами, но очевидным недостатком при расчете расстояния между одной и той же парой строк ДНК является получение различных результа-тов при использовании различных эвристических алгоритмов для расчета метрик.

Кроме того, одной из часто рассматриваемых в биокибернетике задач является задача восстановления матрицы расстояний, когда известна только часть заполненных элементов. В связи с этим возникает задача, заключаю-



щаяся в разработке метода сравнительной оценки алгоритмов восстановле-ний, а также сравнительной оценки различных вариантов восстановлений матрицы расстояний.

С целью проведения этого сравнительного анализа мы предлагаем для полученной в результате реализации алгоритма восстановлений матрицы рас-стояний между геномами рассматривать все возможные треугольники, пото-му что в идеале они должны быть остроугольными равнобедренными. Пред-положение о том, что треугольники должны быть остроугольными равнобед-ренными, возникает на основе примерно таких рассуждений. Согласно дан-ным биологов шимпанзе (Ш) и бонобо (Б) разошлись (имели общего предка), по разным оценкам, около 2–2,5 млн лет назад (недаром альтернативное название Б – «карликовый Ш», [15]), а человек (Ч) с ними обоими разошелся 5,5–7 млн лет назад. В связи с этим возникает вопрос: почему Ч должен быть ближе к Б, чем к Ш? Или наоборот – почему он должен быть ближе к Ш, чем к Б? Очевидно, что ответ на оба этих вопроса отрицательный, т.е., иными словами, объяснения большей близости существовать не может [16].

Для осуществления сравнения восстановленных матриц используется характеристика «отхода» (“badness”) полученных треугольников от «вытяну-тых равнобедренных» треугольников. При расчете “badness” всей матрицы для каждого варианта восстановления можно либо суммировать соответ-ствующие “badness” по всем возможным треугольникам рассматриваемых матриц, либо взять максимальную “badness” по этим треугольникам; мы ис-пользуем максимальное значение.

Для каждой матрицы образуется 1 ( 2)

6

n n nk

треугольников,

и для характеристики “badness” треугольника мы будем применять формулу

,

где α, β и γ – углы треугольника, причем α ≥ β ≥ γ [16]. Максимальное значение “badness” для некоторого треугольника, со-

гласно определению этих функций, может быть равно 1, при этом в самом плохом случае работы алгоритма, т.е. когда возникает нарушение неравенства треугольника, мы полагаем это значение равным от 1 до 2 (также в зависимо-сти от количественных характеристик этого нарушения).

5. Метрическое пространство в оценки мер сходства последовательностей

Рассмотрим множество P восстановленных матриц различными спосо-бами и введем на этом множестве функцию для любых A, B ∈ P:

1

, .k

A Bi i

i

d A B

(1)

Проверим, удовлетворяет ли функция (1) аксиомам метрики: 1) ,x y o тогда и только тогда, когда x y ;

2) , ,x y y x ;



3) , , ,x y x z z y .

Очевидно, что , 0d A A ,

, 0d A B ⇒ 1

0k

A Bi i

i ⇒ A B

i i для всех 1, , .i k

Это означает равенство характеристик “badness” для всех треугольни-ков этих двух матриц, что говорит о подобии этих треугольников. Таким об-разом, матрицы совпадают с точки зрения их характеристик, но элементы матриц могут отличаться друг от друга. Следовательно, первая аксиома не выполняется, т.е. различные точки пространства могут находиться на нуле-вом расстоянии друг от друга.

Вторая аксиома очевидно выполняется. Выполнение третьей аксиомы вытекает из свойства модуля:

1 1

,k k

A C A c C Bi i i i i i

i i

d A C

1 1

, , .k k

A C C Bi i i i

i i

d A B d B C

Таким образом, функция (1), удовлетворяющая второй и третьей акси-омам и не удовлетворяющая первой аксиоме, является псевдометрикой [17] на P.

Проанализируем, какими свойствами обладает псевдометрика d и мет-рическое пространство (P, d). Для этого будем использовать определения: ограниченного множества, предела последовательности, фундаментальной последовательности и полного пространства согласно [17].

Возьмем любую последовательность матриц Am данного метрическо-го пространства, она будет ограниченной. Действительно, выберем в качестве центра шара O матрицу, у которой характеристика всех матриц равна нулю, т.е. матрицу, все треугольники которой являются остроугольными равнобед-

ренными. Тогда в силу того, что для любого треугольника 1

, вы-

полняется неравенство

,d A O 1 1

k kA О Ai i i

i i

k .

Докажем, что пространство является полным, т.е. любая фундамен-тальная последовательность этого пространства сходится.

Пусть последовательность матриц Am фундаментальная, т.е. она удо-влетворяет условию Коши [17]: для любого ε > 0 найдется номер Kε, начиная с которого для любых номеров n и m выполняется неравенство

1

, n mk

A An m i i

i

d A A

.



При этом любая последовательность в этом метрическом пространстве ограничена, а из любой ограниченной последовательности можно выделить

сходящуюся подпоследовательность kmA .

Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последова-тельности сходится, то ее предел и является пределом всей последовательно-сти. Действительно, пусть последовательность Am фундаментальная и

kmA – ее сходящаяся подпоследовательность, т.е.

limk

km

mA А

. (2)

Тогда для любого / 2 0 найдется номер K , начиная с которого для

любых номеров p и m выполняется неравенство

, / 2n mn m A Ad A A .

Выберем теперь такой номер 0K , чтобы при всех 0k K имело место

неравенство km K . Тогда при всех m N и 0k K справедливо неравен-

ство

2mA A ,

поэтому

lim mm

A А

.

Переходя к пределу при k и используя (2) получим, что для всех m N выполняется неравенство

12

mk

A Aii

i

,

значит,

lim mm

A А

.

В силу того, что любая последовательность пространства (P, d) ограни-чена, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Исходя из теоремы о том, что метрическое пространство компактно тогда и только то-гда, когда из любой последовательности точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность [17], получаем, что пространство (P, d) компактно.

С учетом сложности применения строго алгоритма восстановления матриц выявленные свойства введенного метрического пространства дают возможность говорить о существовании эвристического алгоритма, который приводит к оптимальному восстановлению матрицы расстояний между гено-мами. Отметим по этому поводу, что практически все наши работы по данной тематике как раз и посвящены описанию таких алгоритмов.



6. Улучшение полученных результатов

На полученной матрице расстояний [14] мы вычислили значение “badness”, оно получилось равным 0,9993. Таким образом, это близкое к еди-нице значение, по-видимому, говорит о существовании во множестве тре-угольников таких, которые имеют максимальное отклонение от «вытянутых равнобедренных» треугольников и неоптимальности полученных метрик.

С целью уменьшения значения “badness” и оптимизации меры сходства последовательностей к матрице расстояний мы применили функцию с тремя параметрами:

a ‒ характеризует смещение значений на a единиц; α (альфа) ‒ характеризует выпуклость кривой для всех значений,

больших a; β ‒ характеризует вогнутость кривой для всех значений, меньших a. Значения параметров были получены в результате применения метода

градиентного спуска к целевой функции, исследуемой на минимум. Использование полученной функции к таблице расстояний между це-

почками ДНК, являющейся результатом работы алгоритма Нидлмана – Вун-ша, дает значение “badness” равное 0,0918. Таким образом, применение пред-ложенного эвристического алгоритма привело к значительному улучшению качественной оценки. Это дает возможность говорить об улучшении алгорит-ма Нидлмана – Вунша, поскольку мы получаем результаты, которые удобнее интерпретировать в качестве расстояний. Кроме того, мы ожидаем аналогич-ных улучшений и при применении описанной нами методики и к другим ал-горитмам подсчета расстояний между последовательностями ДНК.


Таким образом, мы предлагаем эвристический алгоритм, разработан-ный на основе алгоритма Нидлмана – Вунша, состоящий в том, что после вы-числения метрики между последовательностями по алгоритму Нидлмана – Вунша к полученным значениям применяется функция с тремя параметрами, определение которых производится методом градиентного спуска на мини-мум. На основе этого предложенного улучшения мы получаем желаемые зна-чения, которые должны быть в результате работы исходного алгоритма, и дальнейшая наша цель – настроить его таким образом, чтобы разработанные алгоритмы давали более правильные с точки зрения введенной качественной оценки значения и могли быть использованы для всех других пар ДНК.


1. Айала , Ф . Современная генетика : пер. с англ. : в 3 т. / Ф. Айала, Дж. Кайгер. – М. : Мир, 1987. – Т. 1. – 295 с.

2. Hamming, R. W. Error detecting and error correcting codes / R. W. Hamming // The Bell System Technical Journal. – 1950. – Vol. 29 (2). – Р. 147–160.

3. Левенштейн , В . И . Двоичные коды с исправлением выпадений, вставок и за-мещений символов / В. И. Левейштейн // Доклады Академии наук СССР. – 1965. – Vol. 163.4. – Р. 845–848.

4. Кормен , Т . Алгоритмы. Построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн. – М. : Вильямс, 2005. – 1296 с.



5. Needleman, S. A general method applicable to the search for simi-larities in the amino acid sequence of two proteins / S. Needleman, C. Wunsch // Journal of Molecu-lar Biology. – 1970. – Vol. 48(3). – P. 443–453.

6. Smith, T. F. Identification of Common Molecular Subsequences / Temple F. Smith and Michael S. Waterman // Journal of Molecular Biology. – 1981. – Vol. 147. – P. 195–197.

7. Hromkovic , J . Algorithmics for Hard Problems. Introduction to Combinatorial Op-timization, Randomization, Approximation, and Heuristics / J. Hromkovic. – Germany : Springer, 2003. – 538 p.

8. Мельников , Б . Еще раз об эвристиках для задачи коммивояжера / Б. Мельников, Н. Романов // Теоретические проблемы информатики и ее прило-жений. – 2001. – Т. 4. – С. 81–87.

9. Melnikov, B. Some specific heuristics for situation clustering problems / B. Melni-kov, A. Radionov, A. Moseev, E. Melnikova // ICSOFT, Technologies, Proceedings 1st International Conference on Software and Data Technologies. – Germany : Springer, 2007. – P. 272–279.

10. Мельников , Б . Ф . Параллельная реализация мультиэвристического подхода в задаче сравнения генетических последовательностей / Б. Ф. Мельников, А. Г. Па-нин // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. – 2012. – 4 (22). – С. 83–86.

11. Ахо , А . Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. Синтаксиче-ский анализ / А. Ахо, Дж. Ульман. – М. : Книга по Требованию, 2012 – Т. 1. – 613 с.

12. Home – Nucleotide – NCBI. – URL: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/nuccore 13. Biostrings: String Objects Representing Biological Sequences and Matching Algo-

rithms / H. Pages, P. Aboyoun, R. Gentleman, S. DebRaoy // Bioconductor – URL: https://bioc.ism.ac.jp/packages/2.6/bioc/html/Biostrings.html

14. Pairwise_Alignment_Mammals. – URL: https://yadi.sk/d/Oa-DTAC83SCzRq 15. Frans, B. M. Bonobo: The Forgotten Ape / B. M. Frans. – University of California

Press, 1998. – 224 р. 16. Melnikov, B. F. Comparative analysis of algorithms calculating distances of DNA

sequences and some related problems / B. F. Melnikov, S. V. Pivneva, M. A. Trifonov // Информационные технологии и нанотехнологии (ИТНТ-2017) : сб. тр. III Между-нар. конф. и молодежной школы / Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева. – Самар, 2017. – С. 1640–1645.

17. Колмогоров , А . Н . Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин ; МГУ им. М. В. Ломоносова. – Изд. 7-е. – М. : Физматлит, 2004. – 570 с.

References

1. Ayala F., Kayger Dzh. Sovremennaya genetika: per. s angl.: v 3 t. [Modern genetics: translation from English: in 3 volumes]. Moscow: Mir, 1987, vol. 1, 295 p.

2. Hamming R. W. The Bell System Technical Journal. 1950, vol. 29 (2), pp. 147–160. 3. Levenshteyn V. I. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the USSR Academy of

Sciences]. 1965, vol. 163.4, pp. 845–848. 4. Kormen T. Leyzerson Ch., Rivest R., Shtayn K. Algoritmy. Postroenie i analiz [Algo-

rithms. Building and analysis]. Moscow: Vil'yams, 2005, 1296 p. 5. Needleman S., Wunsch C. Journal of Molecular Biology. 1970, vol. 48 (3), pp. 443–

453. 6. Smith T. F., Waterman M. S. Journal of Molecular Biology. 1981, vol. 147, pp. 195–

197.



7. Hromkovic J. Algorithmics for Hard Problems. Introduction to Combinatorial Op-timization, Randomization, Approximation, and Heuristics. Germany: Springer, 2003, 538 p.

8. Mel'nikov B., Romanov N. Teoreticheskie problemy informatiki i ee prilozheniy [Theo-retical problems of informatics and its applications]. 2001, vol. 4, pp. 81–87.

9. Melnikov B., Radionov A., Moseev A., Melnikova E. ICSOFT, Technologies, Proceed-ings 1st International Conference on Software and Data Technologies. Germany: Springer, 2007, pp. 272–279.

10. Mel'nikov B. F., Panin A. G. Vektor nauki Tol'yattinskogo gosudarstvennogo universi-teta [The scientific vector of Togliatti State University]. 2012, no. 4 (22), pp. 83–86.

11. Akho A., Ul'man Dzh. Teoriya sintaksicheskogo analiza, perevoda i kompilyatsii. Sin-taksicheskiy analiz [The theory of syntactical analysis, translation and compilation]. Moscow: Kniga po Trebovaniyu, 2012, vol. 1, 613 p.

12. Home – Nucleotide – NCBI. Available at: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/nuccore 13. Pages H., Aboyoun P., Gentleman R., DebRaoy S. Biostrings: String Objects Repre-

senting Biological Sequences and Matching Algorithms. Bioconductor. Available at: https://bioc.ism.ac.jp/packages/2.6/bioc/html/Biostrings.html

14. Pairwise_Alignment_Mammals. Available at: https://yadi.sk/d/Oa-DTAC83SCzRq 15. Frans B. M. Bonobo: The Forgotten Ape. University of California Press, 1998, 224 p. 16. Melnikov B. F., Pivneva S. V., Trifonov M. A. Informatsionnye tekhnologii i nano-

tekhnologii (ITNT-2017): sb. tr. III Mezhdunar. konf. i molodezhnoy shkoly [Infor-mation technologies and nanotechnologies (ITNT-2017): proceedings of III Interna-tional conference and youth school]. Samarskiy natsional'nyy issledovatel'skiy universi-tet imeni akademika S. P. Koroleva. Samara, 2017, pp. 1640–1645.

17. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementy teorii funktsiy i funktsional'nogo analiza [El-ements of the theory of fuctions and functional analysis]. MGU im. M. V. Lomonosova. Ed. 7th. Moscow: Fizmatlit, 2004, 570 p.

Мельников Борис Феликсович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра информационных систем и сетей, Российский государственный социальный университет (Россия, г. Москва, ул. Вильгельма Пика, 4)

Mel'nikov Boris Feliksovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of information systems and networks, Russian State Social University (4 Wilgelma Pika street, Moscow, Russia)

E-mail: [email protected] Тренина Марина Анатольевна старший преподаватель, кафедра прикладной математики и информатики, Институт математики, физики и информационных технологий, Тольяттинский государственный университет (Россия, г. Тольятти, ул. Белорусская, 14)

Trenina Marina Anatol'evna Senior lecturer, sub-department of applied mathematics and informatics, Institute of mathematics, physics and information technologies, Togliatti State University (14 Belorusskaya street, Togliatti, Russia)




Кочергин Александр Сергеевич аспирант, Российский государственный социальный университет (Россия, г. Москва, ул. Вильгельма Пика, 4)

Kochergin Aleksandr Sergeevich Postgraduate student, Russian State Social University (4 Wilgelma Pika street, Moscow, Russia)


УДК 004.021; 004.023; 51-76

Мельников, Б. Ф. Подход к улучшению алгоритмов расчета расстояний между це-

почками ДНК (на примере алгоритма Нидлмана – Вунша) / Б. Ф. Мель-ников, М. А. Тренина, А. С. Кочергин // Известия высших учебных заведе-ний. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 46–59. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-4.



УДК 532.685 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-5

Н. Г. Тактаров, Н. А. Храмова, О. А. Рунова

ПОСТУПАТЕЛЬНО-КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ПОРИСТОГО ТЕЛА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Аннотация. Актуальность и цели. Изучение движения твердых тел, как сплошных, так

и пористых, в вязкой жидкости представляет значительный интерес в связи с разнообразными приложениями в технологических процессах, а также при изучении природных явлений. В настоящей работе исследовано влияние по-ступательно-колебательного движения сферического пористого тела в вязкой жидкости на течение этой жидкости.

Материалы и методы. Для решения задачи используются методы матема-тической физики, а также численные методы. Задача решается в неподвижной сферической системе координат, начало которой в данный момент времени совпадает с центром сферы.

Результаты. Определены поля скоростей жидкости внутри и вне пористо-го тела. Построены линии тока жидкости.

Выводы. Показано, что поля скоростей и линии тока жидкости при движе-нии сферического пористого тела значительно отличаются от таковых в случае движения сплошного (непроницаемого) твердого тела.

Ключевые слова: вязкая жидкость, поступательно-колебательное движе-ние сферического пористого тела, уравнение Бринкмана.

N. G. Taktarov, N. A. Khramova, O. A. Runova

TRANSLATIONAL-OSCILLATORY MOTION OF A SPHERICAL POROUS BODY IN A VISCOUS FLUID Abstract. Background. The study of the motion of continuous and porous solids in a viscous

fluid is of significant due to various applications in technological processes and natural phenomena. The present paper considers the effect of the translational-oscillatory mo-tion of a spherical porous body in a viscous fluid on the said fluid flow.

Materials and methods. The methods of mathematical physics and numerical methods were used to solve the problem. The problem was solved in a motionless spherical coordinate system with the origin that coincides with the sphere’s center at the present time.

Results. The fields of fluid velocities inside and outside of the porous body are found. The fluid stream lines are shown on the graphs.

Conclusions. The article shows that the fields of fluid velocities and stream lines in the cases of the porous body considerable differ from the ones of an impermeable body.

Key words: viscous fluid, translational-oscillatory motion of a spherical porous body, Brinkman equation.

Введение

Изучение движения сплошных и пористых твердых тел в вязкой жид-кости представляет как самостоятельный теоретический интерес, так и в свя-



зи с разнообразными приложениями в технологических процессах, а также при изучении природных явлений.

В работах [1, 2] приведены решения задач о движении сплошных твер-дых сферических тел в вязкой жидкости. В статье [3] решена задача об обте-кании жидкостью неподвижного пористого шара, находящегося в другой по-ристой среде. В работе [4] рассмотрена задача об обтекании неподвижной по-ристой сферической оболочки. Задачи о течении жидкости в пористой среде вокруг сплошного цилиндра и сферы решены в [5]. Движение жидкости, вы-званное вращательно-колебательным движением пористого шара вокруг ста-ционарной оси вращения, проходящей через центр шара, исследовано в [6].

1. Постановка задачи

Рассматривается влияние поступательно-колебательного движения по-ристого шара, погруженного в вязкую жидкость, на течение этой жидкости, неподвижной на бесконечности. Пористая среда предполагается недеформи-руемой, однородной и изотропной. Предполагается также, что пористая среда имеет достаточно большую пористость и высокую проницаемость. При таких свойствах пористой матрицы в ней могут возникать колебательные движения жидкости, в которых скорость жидкости будет заметно отличаться от скоро-сти матрицы.

Скорость шара радиуса R запишем как функцию от времени t* в виде * *

0 exp( )i t , где 0 – действительный вектор, ω – частота колебаний. Знаком «*» здесь и далее обозначаются размерные переменные (но не раз-мерные параметры), чтобы отличать их от соответствующих безразмерных, обозначаемых теми же буквами. В окончательных результатах вычислений везде подразумеваются действительные части соответствующих комплекс-ных выражений. Величины, относящиеся к пористой среде (внутренняя об-ласть) и свободной жидкости (внешняя область), обозначаются в необходи-мых случаях индексами 1 и 2 соответственно.

Движение жидкости рассматривается в неподвижной декартовой си-стеме координат х*, у*, z*, начало которой в данный момент времени совпада-ет с центром шара. Ось z* направлена параллельно вектору 0 0 e

0( 0, | | 1) e . Для решения задачи вводится сферическая система коорди-

нат r*, θ, φ с базисом re , e , e , полярная ось которой совмещена с осью z*,

от которой отсчитывается угол θ. Учитывая осевую симметрию задачи, пред-полагаем, что от угла φ величины не зависят. Величины, относящиеся к пори-стой среде (область 1) и окружающей свободной жидкости (область 2), обо-значаются в необходимых случаях индексами 1 и 2.

Система уравнений нестационарного движения жидкости в пористой среде (модель Бринкмана) имеет вид [7–9]:

*

* * * * *11 1 1*

1 1grad ,p

Kt

uu u u * *

1div 0u , (1)

здесь Г = const – пористость; *1u – макроскопическая скорость фильтрации,

* * u ; *1p – среднее по объему пор давление; ρ – плотность жидкости;



/ , – эффективная вязкость жидкости в порах; / , – вяз-

кость свободной жидкости; * – оператор Лапласа. Предполагается, что пори-стость достаточно велика (близка к единице), полагаем далее [7, 10].

Уравнения нестационарного движения жидкости вне шара запишем в приближении Стокса [1, 2]:

*

* * * *22 2*

1grad p

t

uu , * *

2div 0u . (2)

Граничные условия на поверхности шара (r* = R) [1, 2, 9, 11]:

* *1 2 ,r ru u * *

1 2 ,u u * *1 2 ,rr rr (3)

* * * *1 2 1r r u ,

** *

*2

j

rjrr j

up

r

,

* ***

* * *

1

j

rjr

u uu

r r r

(j = 1, 2),

условие на бесконечности: *2 0u при *r .1

Уравнения непрерывности (1), (2) в сферических координатах в обла-стях 1 и 2 имеют вид

* ** *

* * * *

ctg210.r r

j

u uu u

r r r r

Вычитая здесь из уравнения для j = 1 уравнение для j = 2, находим при r* = R [11]:

* *1 2* *

.r ru u

r r

(4)

Здесь учтено, что * *1 2 ,r ru u * *

1 2u u при r* = R.

С учетом (4) третье условие (3) принимает вид * *1 2( , ) ( , )p R p R .

Четвертое условие (3) с учетом первых двух принимает вид

* ** *1 21* *

u uu

r r

.

1 Исправление ошибок в некоторых работах соавторов настоящей статьи. Второе гра-

ничное условие (3) в [12], второе условие (3) в [13] и третье условие (4) в [14] следует испра-вить аналогично четвертому условию (3) в настоящей статье, т.е. добавить множитель Г. Эти исправления несущественно влияют на основные выводы вышеперечисленных работ, так как во всех расчетах величина Г предполагалась близкой к единице.



2. Решение задачи

Введем безразмерные переменные: * / Rr r , *t t , exp( )it u e , *

0/j j u u , *j jp p 0( / )R (j = 1, 2).

Уравнения (1), (2) в безразмерном виде записываются следующим об-разом:

11 1 12

grad ,K K

pt R

uu u u 1div 0u , (5)

22

2 2gradR

pt

uu , 2div 0u .

Безразмерные граничные условия к этим уравнениям: – при r = 1:

1 2 ,r ru u 1 2 ,u u 1 2 ,p p (6)

1 21 sin ;itu u

u er r

– при r → ∞: 2 0u .

При 2/ 0K R , / 0K из первого уравнения (5) следует 1 u u .

В этом предельном случае жидкость движется как единое целое вместе с по-ристой матрицей.

Применяя операцию rot к уравнениям (5), находим

1 1 12rot rot rot ,

K K

t R

u u u (7)

2

2 2rot rot .R

t

u u

Скорость 1 1 1r ru u u e e в области 1 ищем в виде [2]:

1 1rot rot( ),ite fu e (8)

здесь 1( )f r – функция только от r.

Применив операцию rot к (8), получим

1 1rot rot rot rot( )ite f u e

1 1(grad div ) rot( ) rot( ),it ite f e f e e

здесь 1 1rot( ) gradf f e e .

С учетом этих равенств из первого уравнения (7) следует

2 22

1 1 0 const,R R

f i f CK



22

1.

d dr

dr drr

Это уравнение можно записать в виде

2 21 1 1 0,f m f C

12

,

22

,

2 2

21

2 1

2 R Rm i

.

Обозначая 1 1( )f r , получим неоднородное уравнение Гельмгольца 2

1 1 1 0,m C общее решение которого имеет вид

01 11 1 1 2

1

exp exp( ),

Cim r im r

r r mA B

1 22

1,

R im

2 2 4 41 1 2

1 1 1 1

,

здесь 1A , 1B – неопределенные постоянные.

Решая уравнение 1 1( )f r , находим

01 1 1 11 12 2 2 2

1 1 1

1 1exp exp( ) ,

3

C rdf A B Cr im r r im r

dr im imr r m r

здесь 1 1 1/ ( )A A im , 1 1 1/ ( )B B im . Для конечности решения внутри шара следует принять А1 = В1, С1 = 0.

При этом функцию f1 определять не надо, так как u1 выражается только через производные 1f , 1f :

2

1 11 2

2sin cos sin .it r df d f

er r dr dr

e eu e (9)

Скорость вне шара (область 2) ищем в виде 2 2rot rot( )ite fu e , где

2 ( )f r – функция только от r. Аналогично вышеизложенному находим реше-ние, обращающееся в нуль на бесконечности:

2 2 222 2

2

1exp ,

df A Cr im r

dr imr r

22

1R

m i

.

Выражение для u2 имеет вид (9), в котором f1 следует заменить на f2. Давления р1 и р2 выражаются через скорости u1 и u2 с помощью уравне-

ний (5). Давление р2 на бесконечности принимается равным нулю.



Окончательно выражения для компонент скоростей u1, u2 в базисных векторах er, eθ и давлений внутри и вне шара принимают следующий вид:

011 1 12 2

1 1

2 12 cos cos sin ,

3

itr

CAu e m r m r

m rr m

(10)

011 1 1 12 2

1 1

12 sin sin cos ,

3

it CAu e m r m r m r

m rr m

2 22 2 2 3

2

exp 12 cos 1 ,it

rim r C

u e Aim rr r

2 22 2 22 3

2

exp 1sin 1 ,it im r C

u e A im rim rr r

21 2 2 cositp e m C r , 2

2 2 2 2

cositp e m Cr

, 2

22

22 ,

Rm i

2 21 1 2 2 2

11 1 1

4 3 2 3 (6 6 )

2 sin cos

im B m i m m iBm BA

N m im M m

,

1 1 12

2 2 1 1 1

sin 3 cos,

exp ( sin cos )

F m m E mA

m im N m im M m

20 2 2

33 ,

2C B m C

2

1

RB

,

1 1 12 2

2 1 1 1

2( cos sin ),

( sin cos )

m P m Q mC

m N m im M m

2 22 12 2E m B Bm ,

2 4 2 2 2 22 1 1 1 2 13 6 2 2 6 ,F m B m Bm m m Bm

2 2 4 2 3 2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 1 2 1 23 3 3 2 2 3 3 3 3 ,M im m m m m im m im m m m

4 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 1 22 3 3 3 3N im i m im im m m im m

2 4 3 2 2 2 32 1 2 2 1 1 2 1 23 2 3 3 3 ,im m m m im m m m m

2 2 22 2 1 23 3 3P iBm iB Bm i m m

2 2 3 2 2 21 2 2 1 2 1 23 3 3 3 ,iBm iBm Bm Bm m iBm m

4 4 2 2 2 2 21 1 2 2 2 1 1 2 1 23 3 3Q i m m m iB Bm iBm iBm Bm m i m m

2 2 2 3 2 2 2 31 2 2 2 1 1 2 1 23 3 3 3 .iBm m iBm Bm iBm Bm m Bm m



3. Анализ решения

Переход в первых четырех выражениях (10) к пределу λ → 0, R/δ1 → ∞ равносилен замене проницаемого пористого тела непроницаемым. В этом пределе внутреннее и внешнее поля скоростей принимают вид

1 cositru e , 1 sin ,itu e (11)

22 2 3 2

2 22 2

3exp ( 1) 1 1 3 3cos 1 1 ,it

rim r

u eim r imim r r m

22 22 3 2

2 22 2

3exp ( 1) 1 1 3 3sin 1 1 .

2 2

it im ru e im r

im r imim r r m

В этом предельном случае жидкость в пористой среде движется со ско-ростью пористой среды. При Γ → 1 поля скоростей принимают вид, совпада-ющий с [2, § 24].

При m2 → 0 (ω → 0) из (11) следует

1 cosru , 1 sin ,u

2 3

1 3 1cos ,

2rur r

2 3

1 3 1sin .

4u

r r

Из этих выражений в пределе Γ → 1 получается (в размерном виде) по-ле скоростей, возникающее при равномерном прямолинейном движении со скоростью υ0 непроницаемого шара в неподвижной на бесконечности вязкой жидкости [1, 2].

Случай λ → ∞, R/δ1 – произвольное, R/δ2 = 0 (ω = 0), соответствует рав-номерному прямолинейному движению пористого шара в положительном направлении оси z (θ = 0). При этом внутреннее поле скоростей определяется первыми двумя выражениями (10), в которых следует положить m2 = 0. Внешнее поле скоростей имеет вид

1 12 3 3

1 1 1 1

( sin cos )cos ,

[(2 3 )cos 3sin ]r

M m N mu

r m m m m

(12)

1 12 3 3

1 1 1 1

( sin cos )sin ,

2 [(2 3 )cos 3sin ]

P m Q mu

r m m m m

2 2 21 13 3 6M m r m , 3 3 2

1 1 13 6 ,N m m r m

2 2 21 13 3 6,P m r m 3 3 2

1 1 16 3 ,Q m m m r 2

21

1

2.

Rm

Линии тока во внутренней и внешней областях пористого шара в мери-диональной плоскости x, z в любой заданный момент времени определяются уравнениями:



Re( ) Re( ) 0jz jxu dx u dz (j = 1, 2),

cos sinjx jr ju u u ,

sin cosjz jr ju u u ,

sin /y r , cos /x r , 2 2r x z .

Далее все линии тока построены в плоскости x, z для момента времени t = 0.

На рис. 1 приведены линии тока при t = 0, λ = 0, Г = 0,95; R/δ1 = 500, R/δ2 = 5. Этот случай соответствует низкой проницаемости пористой среды, при этом жидкость в порах движется практически со скоростью пористой среды, т.е. как твердое тело.

Рис. 1. Линии тока: t = 0, λ = 0, Г = 0,95; R/δ1 = 500, R/δ2 = 5 На рис. 2 изображены линии тока при t = 0, λ → ∞, Г = 0,95; R/δ1 = 0,02;

R/δ2 = 2. Видно, что в этом случае появляются замкнутые линии тока, пересе-кающие одновременно внутреннюю и внешнюю области.

Рис. 2. Линии тока: t = 0, λ → ∞, Г = 0,95; R/δ1 = 0,02; R/δ2 = 2



Линии тока при t = 0, λ = 2, Г = 0,95; R/δ1 = 5, R/δ2 = 1 приведены на рис. 3. В этом случае замкнутые линии тока появляются лишь в области вне шара, а внутри шара жидкость движется практически со скоростью пористой среды.

Рис. 3. Линии тока: t = 0, λ =2, Г = 0,95; R/δ1 = 5, R/δ2 = 1

Графики зависимости Re ru от r (сплошные линии) и Reu от r (штри-

ховые линии) при t = 0, λ = 10, Г = 0,95; R/δ1 = 0,01; R/δ2 = 2 для трех значений угла θ приведены на рис. 4. Вне шара 2Re 0ru при r → ∞, а 2Reu < 0

вблизи его поверхности. При увеличении r (r ≥ 1) величины 2Reu умень-

шаются и обращаются в нуль при некотором значении r0 = 1,317, одинаковом для всех трех значений θ. После достижения некоторых максимальных значе-ний величины 2Re 0u при r → ∞. Отметим, что скорость 2Re 0u на всей сферической поверхности r = r0. При переходе через эту поверхность

2Reu изменяет знак на противоположный. Величина r0 при этом будет раз-ной при разных значениях, определяющих параметр.

Рис. 4. Зависимости Re ru от r (сплошные линии) и Reu от r (штриховые линии):

t = 0, λ = 10, Г = 0,95; R/δ1 = 0,01; R/δ2 = 2, θ = π/8, π/4, 3π/8 (кривые 1–3)



Изобары, т.е. линии 1Re const,p 2Re const,p в меридиональной

плоскости x, z при t = 0, λ → ∞, Г = 0,95; R/δ1 = 0,02; R/δ2 = 2 приведены на рис. 5. На оси симметрии θ = 0 (θ = π) для давлений выполняется равенство Re ( ) Re ( )p z p z .

Рис. 5. Изобары в плоскости x, z: t = 0, λ → ∞, Г = 0,95; R/δ1 = 0,02; R/δ2 = 2 Расчеты показывают, что внутри шара на оси θ = 0 давление Re p мо-

нотонно возрастает от 0 до некоторого максимального значения при z = 1, а затем монотонно убывает до нуля при z → +∞.


Исследовано влияние поступательно-колебательного движения сфери-ческого пористого тела в вязкой жидкости на движение этой жидкости внут-ри и вне этого тела. В сферической системе координат найдено точное анали-тическое решение уравнения Бринкмана внутри пористого тела и уравнения Навье – Стокса вне тела. Определены линии тока жидкости для внутренней и внешней областей при различных значениях параметров. Построены графики зависимости скорости жидкости от радиальной координаты во внутренней и внешней областях при разных значениях полярного угла. Приведены гра-фики изобар, т.е. линий постоянного давления в плоскости меридионального сечения.


1. Бэтчелор , Дж . Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. – М. : Мир, 1973. – 760 с.

2. Ландау , Л . Д . Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М. : Физмат-лит, 2006. – 736 с.

3. Grosan, T. Brinkman flow of a viscous fluid through a spherical porous medium embedded in another porous medium / T. Grosan, A. Postelnicu, I. Pop // Transport in Porous Media. – 2010. – Vol. 81, 1. – P. 89–103.



4. Rajvanshi , S . C. Slow extensional flow past a non-homogeneous porous spherical shell / S. C. Rajvanshi, S. Wasu // Int. J. of Applied Mechanics and Engineering. – 2013. – Vol. 18, 2. – P. 491–502.

5. Леонтьев , Н . Е . Течения в пористой среде вокруг цилиндра и сферы в рамках уравнения Бринкмана с граничным условием Навье / Н. Е. Леонтьев // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2014. – 4. – С. 107–112.

6. Тактаров , Н . Г . Движение вязкой жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров // Известия РАН. Ме-ханика жидкости и газа. – 2016. – 5. – С. 133–138.

7. Brinkman, H. C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles / H. C. Brinkman // Appl. Sci. Res. – 1947. – Vol. A1, 1. – P. 27–34.

8. Тактаров , Н . Г . Конвекция намагничивающихся жидкостей в пористых сре-дах / Н. Г. Тактаров // Магнитная гидродинамика. – 1981. – 4. – С. 33–35.

9. Ochoa-Tapia, J . A. Momentum transfer at the boundary between a porous medi-um and a homogeneous fluid. – I. Theoretical development / J. A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // Int. J. of Heat and Mass Transfer. – 1995. – Vol. 38, 14. – P. 2635–2646.

10. Auriault , J .–L. On the domain of validity of Brinkmah’s equation / J.–L. Aureault // Transp. Porous Med. – 2009. – Vol. 79, 2. – P. 215–223.

11. Haber, S . Boundary conditions for Darcy’s flow through porous media / S. Haber, R. Mauri // Int. J. Multiphase Flow. – 1983. – Vol. 9, 5. – P. 561–574.

12. Тактаров , Н . Г . Поперечные волны в вязкой жидкости, вызванные враща-тельным колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров, А. А. Кор-милицин, Н. А. Лемясева // Известия высших учебных заведений. Поволжский ре-гион. Физико-математические науки. – 2016. – 4 (40). – С. 3–13.

13. Тактаров , Н . Г . Влияние граничных условий на движение жидкости, вызван-ное вращательно-колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров, А. А. Кормилицин, Н. А. Лемясева // Известия высших учебных заведений. По-волжский регион. Физико-математические науки. – 2017. – 1 (41). – С. 32–43.

14. Тактаров , Н . Г . Движение вязкой жидкости, вызванное поступательно-колебательным движением плоского слоя пористой среды / Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова, Н. А. Храмова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2017. – 3 (43). – С. 73–86.

References

1. Betchelor Dzh. Vvedenie v dinamiku zhidkosti [Introduction into Fluid Dynamics]. Moscow: Mir, 1973, 760 p.

2. Landau L. D., Lifshits E. M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow: Fizmatlit, 2006, 736 p.

3. Grosan T., Postelnicu A., Pop I. Transport in Porous Media. 2010, vol. 81, no. 1, pp. 89–103.

4. Rajvanshi S. C., Wasu S. Int. J. of Applied Mechanics and Engineering. 2013, vol. 18, no. 2, pp. 491–502.

5. Leont'ev N. E. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas]. 2014, no. 4, pp. 107–112.

6. Taktarov N. G. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas]. 2016, no. 5, pp. 133–138.

7. Brinkman H. C. Appl. Sci. Res. 1947, vol. A1, no. 1, pp. 27–34. 8. Taktarov N. G. Magnitnaya gidrodinamika [Magnetic hydrodynamics]. 1981, no. 4,

pp. 33–35. 9. Ochoa-Tapia J. A., Whitaker S. Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1995, vol. 38, no. 14,

pp. 2635–2646.



10. Auriault J.–L. Transp. Porous Med. 2009, vol. 79, no. 2, pp. 215–223. 11. Haber S., Mauri R. Int. J. Multiphase Flow. 1983, vol. 9, no. 5, pp. 561–574. 12. Taktarov N. G., Kormilitsin A. A., Lemyaseva N. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh

zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2016, no. 4 (40), pp. 3–13.

13. Taktarov N. G., Kormilitsin A. A., Lemyaseva N. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 1 (41), pp. 32–43.

14. Taktarov N. G., Runova O. A., Khramova N. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 3 (43), pp. 73–86.

Тактаров Николай Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (Россия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)

Taktarov Nikolay Grigor'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-departament of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya street, Saransk, Russia)

E-mail: [email protected] Храмова Надежда Александровна ассистент, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (Россия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)

Khramova Nadezhda Aleksandrovna Assistant, sub-departament of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya street, Saransk, Russia)

E-mail: [email protected] Рунова Ольга Александровна кандидат физико-математических наук, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (Россия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)

Runova Ol'ga Aleksandrovna Candidate of physical and mathematical sciences, sub-departament of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya street, Saransk, Russia)


УДК 532.685

Тактаров, Н. Г. Поступательно-колебательное движение сферического пористого

тела в вязкой жидкости / Н. Г. Тактаров, Н. А. Храмова, О. А. Рунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математи-ческие науки. – 2018. – 1 (45). – С. 60–71. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-5.



УДК 517.958;621.372.8 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-6

Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН АНИЗОТРОПНОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА1

Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы – исследование спектра задачи о рас-

пространяющихся электромагнитных волнах анизотропного диэлектрического волновода с круговым сечением.

Материалы и методы. Для определения решения использована вариа-ционная формулировка задачи. Физическая задача сводится к решению за-дачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциаль-ных уравнений. Для нахождения численного решения задачи применяется метод Галеркина с использованием финитных кусочно-линейных базисных функций.

Результаты. Разработан и реализован численный метод решения задачи распространения нормальных волн анизотропного диэлектрического волново-да с круговым сечением, проведен ряд численных экспериментов.

Вывод. Предложенный численный метод является эффективным способом нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнит-ных волн.

Ключевые слова: задача распространения электромагнитных волн, анизо-тропный диэлектрический волновод с круговым сечением, уравнение Макс-велла, дифференциальные уравнения, вариационная формулировка, простран-ства Соболева, метод Галеркина.

E. Yu. Smol'kin, M. O. Snegur

A NUMERICAL RESEARCH OF A PROPER WAVE SPECTRUM OF AN ANISOTROPIC

DIELECTRIC WAVEGUIDE Abstract. Background. The aim of this work is to study the spectrum of the problem of

propagating electromagnetic waves of an anisotropic dielectric waveguide with a circular cross section.

Materials and methods. To determine the solution, we use the variational formulation of the problem. The physical problem is reduced to solving the ei-genvalue problem for a system of ordinary differential equations. To find the numerical solution of the problem, we use the Galerkin method with the use of finite piecewise linear basis functions.

Results. A numerical method for solving the problem of propagation of normal waves of an anisotropic dielectric waveguide with a circular cross-section was de-veloped and implemented; a number of numerical experiments were carried out.

1 Работа написана при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ

(госзадание 1.894.2017/4.6).



Conclusion. The proposed numerical method is an effective way of finding an approximate solution to the problem of propagation of electromagnetic waves.

Key words: problem of propagation of electromagnetic waves, anisotropic die-lectric waveguide with circular cross section, Maxwell's equation, differential equa-tions, variational formulation, Sobolev spaces, Galerkin method.

Введение

Анализ распространения волн в волноводах представляет собой важ-ный класс векторных электромагнитных задач. Однако нередко требуются среды с необычными свойствами (или заданными свойствами), которые мож-но получить, используя анизотропные по составу среды. При исследовании процессов распространения волн в таких волноведущих структурах возника-ют краевые задачи на собственные значения. Для исследования спектральных свойств таких задач оказывается естественным и эффективным метод опера-тор-функций. После сведения исходной краевой задачи к изучению некоторой оператор-функции, можно использовать аппарат функционального анализа для исследования его спектральных свойств [1, 2].

Численные методы расчета параметров различных типов волноведущих структур описаны в монографиях и обзорных работах [3–5]. Однако следует сказать, что большинство методов, применяемых к однородным волноводам, не являются общими и их трудно реализовать и применять для конкретных анизотропных структур.

В этой работе численное исследование проблемы распространения волн в диэлектрических анизотропных волноводах проведено с помощью метода Галеркина с использованием финитных кусочно-линейных базисных функ-ций [1, 6]. Предложенный численный метод является эффективным способом нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнит-ных волн. Проведен ряд численных экспериментов.


Рассмотрим трехмерное пространство 3 с цилиндрической системой координат О z . Экранированный волновод с образующей, параллельной

оси Оz , и круговым поперечным сечением радиуса r помещен в 3 . На рис. 1 представлена геометрия задачи. Волновод неограниченно продолжается в направлении z.

Задача о нормальных волнах волноведущей структуры состоит в отыс-кании нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла

в виде бегущей волны [7], т.е. с зависимостью im i ze от координаты и z ,

вдоль которых структура регулярна:

0

0

rot ,

rot ,

i

i

H E

E H (1)

( ( ) ( ) ( ) ) ,im i zz zE E E e

E e e e

( ( ) ( ) ( ) ) ,im i zz zH H H e

H e e e (2)



причем должны быть удовлетворены следующие условия: ограниченность энергии поля в любом конечном объеме волновода и обращение в нуль каса-тельных составляющих электрического поля на поверхности идеального про-водника

0,r

E 0,z rE (3)

здесь 0 и 0 – диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.

Рис. 1. Геометрия задачи. Оптическая ось zl волновода

лежит под углом к z в плоскости 0 z

Наиболее общий диэлектрический тензор для агиротропной среды без

потерь является симметричным и имеет шесть независимых элементов ij ,

, 1,2,3.i j Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая, когда среда

является одноосной, а оптическая ось zl лежит в плоскости 0 z под углом к z . Ссылаясь на эти оси, диэлектрический тензор примет вид

11

22

33

0 0

0 0 ,

0 0

(4)

где компоненты тензора определены следующим образом [8]:

11

2 222

2 233

,

cos sin ,

sin cos ,

z

z

(5)

z и – некоторые константы.

Задача о нормальных волнах является задачей на собственные значения для системы уравнений Максвелла относительно спектрального параметра



– нормированной постоянной распространения (затухания) волноведущей структуры.

Запишем систему уравнений Максвелла (1) в координатном виде:

0 11

0 22

0 33

0

0

0

,

,

1,

,

,

1,

z

z

z

z

z

z

mi H i H i E

i H H i E

mH i H i E

mi E i E i H

i E E i H

mE i E i H

(6)

и выразим функции E , H , E , H через zE и zH из 1, 2, 4 и 5-го урав-

нений последней системы, получаем

02 21 1

02 22 2

,

,

z z

z z

mE H i E

k k

mE i H E

k k

0 222 22 2

0 112 21 1

,

,

z z

z z

mH i H E

k k

mH H i E

k k

(7)

где 2 2 2 2 2 2 21 0 11 2 0 22 0 0 0, , .k k k k k Из последних формул следует, что поле нормальной волны в волноводе

может быть представлено при помощи двух скалярных функций:

: ( ),e zu iE : ( )m zu H . (8)

Тем самым задача сводится к нахождению функций eu и mu – компо-

нент электрического и магнитного полей. Всюду ( ) обозначает дифференци-рование по .

Для компонент поля eu и mu имеем следующую задачу (задача mP ) на собственные значения: найти такие , что при заданном значении m существуют нетривиальные решения следующей системы дифференциаль-ных уравнений

2233 022 22

2 2 2 211 11 111 2 1 2

22 0

22 112 2 2 22 1 1 2

11 ,

1( ) ,

ee m

mm e

u mmu u

k k k k

u mmu u

k k k k

(9)

удовлетворяющие условиям сопряжения на границе r



0,e ru 0m r

u (10)

и условиям ограниченности поля во всякой конечной области. Зная компоненты поля eu и mu как решение задачи mP , можно опре-

делить оставшиеся компоненты по формулам (7). Определенное так поле ,E H удовлетворяет всем условиям (1)–(3).

2. Вариационное соотношение

Перепишем систему (9) следующим образом:

: ,

: ,e e e e e e e e e m

m m m m m m m m m e

L u p u h u q u f u

L u p u h u q u f u

(11)

где

2 2 2 22 1, ,e mp k p k 2 2

2 1, ,e mh k h k

2 2 2 2 2 2 2 233 221 2 2 1

11 11, ,e mq k k m q k k m

220 0 22 11

111 , ( ) ,e mf m f m

2 2 2 2 2 21 0 11 2 0 22, .k k k k

Будем искать решения eu и mu задачи mP в пространствах Соболева 10 (0, )H r и 1(0, )H r , соответственно, со скалярным произведением и нормой

10

( , )r

f g f g fg d , 2 2 211

0

( , )r

f f f f f d .

Определение 1. Если для заданного m существуют нетривиальные функции

1 10 (0, ) ) , (0,e mu H r u H r ,

отвечающие некоторому , которые являются решением системы урав-

нений (11), а также удовлетворяют условиям (10), то называется характе-

ристическим числом задачи mP .

Основная цель работы: численное исследование свойств характери-стических чисел задачи mP .

Дадим другую вариационную формулировку задачи mP . Умножим

уравнения системы (11) соответственно на произвольные пробные функции

ev и mv , считая их пока непрерывно дифференцируемыми на отрезке [0, ]r .

Используя формулу Грина, получаем



0 0 0 0

r r r r

vLud pvu d hvu d qvud

00 0 0

r r rrpvu pv p v u d hvu d qvud

0 0 0

,r r r

pv p v u d hvu d qvud (12)

где ,ju u ,jv v ,jh h ,jp p ,jq q j e или m .

Применяя полученную формулу (12) отдельно для первого и второго уравнений системы (11) на отрезке 0,r и складывая результаты, получим

0 0

( ) ( )r r

e e e m m m e e e m m mv L u v L u d q u v q u v d

0 0

( ) .r r

e e e e m m m m e e e m m mh p u v h p u v d p u v p u v d (13)

Принимая во внимание правые части уравнений системы (11), имеем

0 0

( ) ( ) .r r

e e e m m m e m e m e mv L u v L u d f u v f u v d (14)

Из (13) с учетом (14), получаем

0 0

( )r r

e e e m m m e e e m m mq u v q u v d h u v h u v d

0 0

( ) ( ) .r r

e e e m m m e m e m e mp u v p u v d f u v f u v d (15)

Замечание 1. Вариационное соотношение (15) получено для гладких функций ev и mv .

Соотношение (15) распространяется на любые функции 10 (0 , ),ev H r

1(0, )mv H r по непрерывности.

3. Проекционный метод

Используя проекционный метод [1, 2], сведем вариационное соотноше-ние (15) к системе алгебраических уравнений. Во-первых, разделим отрезок

0,r на n отрезков длиной /h r n . Определим набор из ( 1)n отрезков:



( 1) ,( 1) ,i i h i h 1,..., 1,i n

и набор из n отрезков

( 1) ,( 1) ,j j h j h 1,..., 1j n и ( 1) , .n n h r

Эти отрезки мы назовем носителями. В соответствии со схемой проекционного метода необходимо ввести

базисные функции i и j , чтобы определить приближенное решение урав-

нения (15). Базисные функции определены для каждого носителя i и j :

Базисные функции i определены на i , имеют вид

( 1), ,

1, 1.( 1)

, ,i

i hih

h i ni h

ihh

(16)

Базисные функции j определены на j и имеют вид

( 1), ,

1, 1,( 1)

, ,j

j hjh

h j nj h

jhh

(17)

и

.nr h

l

(18)

Так, определенные базисные функции учитывают краевые условия (10). Приближенные решения рассматриваемой задачи будем искать в виде

1( )

1

,n

ne i i

i

u

1

( )

1

,n

nm j j

j

u

(19)

где ,i j – неизвестные коэффициенты.

Подставляя функции ( )neu и ( )n

mu с представлением (19) в вариационное

соотношение (15), мы получим систему линейных уравнений относительно

i и j (для фиксированного значения )

( ) 0,A x (20)

где матрицы ( )A A и x имеют вид



1,1 1, 1 1,1 1,

1,1 1, 1 1,1 ,

1,1 1, 1 1,1 1,

,1 , 1 ,1 ,

n nee ee em em

n n n n n nee ee em em

n nme me mm mm

n n n n n nme me mm mm

A A A A

A A A A

A

A A A A

A A A A

,

1

1

1

α

α

β

β

n

n

x

,

где

, , , 1, 1;

i i i

i jee e i j e i j e i jA q d p d h d i j n

, , 1, 1, 1, ,

i

i jem m i jA f d i n j n

, , 1, , 1, 1,

j

i jme e i jA f d i n j n

, , , 1, .

j j j

i jmm m i j m i j m i jA q d h d p d i j n

Обозначим через определитель матрицы A . Если интервал ,

таков, что 0 , то это означает, что существует , ,

которое является спектральным параметром (постоянной распространения) за-дачи mP . Это значение может быть вычислено с любой заданной точностью.

4. Численные результаты

4.1. Точное решение

Проведем сравнение результатов численного решения задачи mP с ре-

шением явного дисперсионного уравнения для конкретной структуры. Пусть constz c , т.е. волновод заполнен однородной изо-

тропной средой с постоянной диэлектрической проницаемостью. Для такой структуры известно точное дисперсионное уравнение, которое имеет вид

1 1( ) ( ) 0,m mJ k r J k r (21)

где 2 2 21 0 ck k .

4.2. Численное исследование

Ниже приведены результаты численного решения задачи о распростра-няющихся электромагнитных волнах анизатропной волноведущей структуры (рис. 2).



Рис. 2. Сравнение точного решения (звездочки) и решения задачи mP ,

полученных с использованием проекционного метода (точки). Значение параметров: 2 , 4, 1cr mm m

На рис. 3 представлены дисперсионные кривые (графики зависимости

( ) ), построенные для разных значений угла . При 0 дисперсионные кривые не отличаются от известных кривых (сравнение с дисперсионными кривыми в задаче [1, 6]). При увеличении значения дисперсионные кривые изменяют форму, появляются новые собственные значения (спектральные параметры) отсутствующие в случае 0 .

Рис. 3. Дисперсионные кривые. Значение параметров: 2r mm, 4, 9, 1z m


Исходная задача о нормальных волнах анизотропной волноведущей структуры сведена к краевой задаче для продольных компонент электромаг-



нитного поля в пространствах Соболева. Для определения решения использо-вана вариационная формулировка задачи.


1. Смолькин , Е . Ю . Численный метод решения задачи распространения элек-тромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия выс-ших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2017. – 2 (42). – C. 32–43.

2. Смирнов , Ю . Г . О дискретности спектра в задаче о азимутальных симметрич-ных волнах открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием / Ю. Г. Смирнов, Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2017. – 3 (43). – С. 50–64.

3. Lifante , G. Numerical methods for optical waveguide devices / G. Lifante, F. Cusso and E. Cantelar // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnet-ic Theory. – Kharkiv, 2006. – P. 77–82.

4. Saad, S . M. Review of Numerical Methods for the Analysis of Arbitrarily-Shaped Microwave and Optical Dielectric Waveguides / S. M. Saad // IEEE Transactions on Mi-crowave Theory and Techniques. –1985. – Vol. 33, 10. – P. 894–899.

5. Baumert , J . C. Numerical method for the calculation of mode fields and propaga-tion constants in optical waveguides / J. C. Baumert and J. Hoffnagle // Journal of Lightwave Technology. – 1993. – Vol. 4, 11. – P. 1626–1630.

6. Смолькин , Е . Ю . Численное исследование спектра нормальных волн откры-того неоднородного волновода с круговым сечением / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволж-ский регион. Физико-математические науки. – 2017. – 4 (44). – С. 76–86.

7. Смирнов , Ю . Г . Математические методы исследования задач электродинами-ки / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009.

8. Lu, M. Anisotropic dielectric waveguides / M. Lu and M. M. Fejer // J. Opt. Soc. Am. A. – 1992. – Vol. 10, 2. – P. 246–261.

References

1. Smol'kin E. Yu., Snegur M. O. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy re-gion. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 2 (42), pp. 32–43.

2. Smirnov Yu. G., Smol'kin E. Yu., Snegur M. O. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 3 (43), pp. 50–64.

3. Lifante G., Cusso F., Cantelar E. International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Kharkiv, 2006, pp. 77–82.

4. Saad S. M. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1985, vol. 33, no. 10, pp. 894–899.

5. Baumert J. C., Hoffnagle J. Journal of Lightwave Technology. 1993, vol. 4, no. 11, pp. 1626–1630.

6. Smol'kin E. Yu., Snegur M. O., Khorosheva E. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 4 (44), pp. 76–86.

7. Smirnov Yu. G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki [Math-ematical methods of electrodynmic problems researching]. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009.

8. Lu M., Fejer M. M. J. Opt. Soc. Am. A. 1992, vol. 10, no. 2, pp. 246–261.



Смолькин Евгений Юрьевич кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Smol'kin Evgeniy Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, research assistant, the research center “Supercomputer modeling in electrodynamics”, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected] Снегур Максим Олегович студент, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Snegur Maksim Olegovich Student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)


УДК 517.958;621.372.8

Смолькин, Е. Ю. Численное исследование спектра нормальных волн анизотропного

диэлектрического волновода / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 72–82. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-6.



УДК 517.938 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-7

А. А. Дёмин, В. В. Мачулис

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛЯПУНОВСКИХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЛЬЕНАРА

Аннотация. Актуальность и цели. Задача нахождения максимального числа предель-

ных циклов, возникающих в дифференциальном уравнении первого порядка, составляет вторую часть 16-й проблемы Гильберта. Она вызывает постоянный интерес у математиков уже более 100 лет. И хотя отдельные частные результа-ты решения этой проблемы известны, полностью решить ее пока не удалось. Це-лью данной работы является практическая реализация одного из методов вычис-ления ляпуновских величин, который был в общих чертах описан в работах Ллойда и Линча. Метод применяется для оценки максимального числа малоам-плитудных предельных циклов в некоторых системах (уравнениях) Льенара.

Материалы и методы. Ллойд и Линч доказали, что при разложении пра-вых частей системы Льенара в ряды Тэйлора имеет место некоторое соотно-шение, зависящие от параметра k. Этот параметр непосредственно связан с возможным числом малоамплитудных предельных циклов, возникающих в

системе. Мы предлагаем процедуру точного нахождения функции ( )F u

(правой части уравнения) в виде ряда, члены которого определяются с помо-щью представления в виде полиномов Белла, согласно формуле Фаа ди Бруно.

Результаты. Получена формула, которая позволяет найти ляпуновские ве-личины произвольного порядка для некоторых систем Льенара с точностью до отрицательного множителя. Проведено сравнение вычислений с известными формулами и показана применимость предлагаемого метода для оценки числа малоамплитудных предельных циклов в системе Льенара.

Выводы. Выполнена техническая реализация метода, изложенного в работе Линча, которая позволяет достаточно просто находить ляпуновские величины, что дает возможность оценить максимальное число малоамплитудных пре-дельных циклов, возникающих из неподвижной точки системы Льенара.

Ключевые слова: предельный цикл, ляпуновская величина, 16-я проблема Гильберта, локальная бифуркация.

A. A. Demin, V. V. Machulis

ON A METHOD OF LYAPUNOV QUANTITIES COMPUTATION

FOR SOME LIENARD SYSTEMS Abstract. Background. The problem of finding the maximum number of limit cycles arising

in the differential equation of the first order is the second part of the 16th Hilbert prob-lem. It has been of constant interest to mathematicians for more than 100 years. And although some particular results of solving this problem are known, it has not yet been fully resolved. The aim of this paper is the practical implementation of one of the methods for calculating Lyapunov quantities, which was described in general terms in the papers of Lloyd and Lynch ([5, 6]). The method is used to estimate the maximum number of small-amplitude limit cycles in some Lienard systems (equations).



Materials ans methods. Lloyd and Lynch proved that when the right-hand sides of the Lienard system are expanded in Taylor series, some relation depends on the parameter k. This parameter is directly related to the possible number of small-amplitude limit cycles arising in the system. We propose a procedure for the exact

determination of the function ( )F u (the right-hand side of the equation) in the

form of a series whose terms are determined using the representation in the form of Bell polynomials, according to the formula of Faa di Bruno.

Results. A formula is obtained which makes it possible to find Lyapunov quanti-ties of arbitrary order for certain Lienard systems up to a negative factor. The calcu-lations are compared with known formulas and the applicability of the proposed method for estimating the number of small-amplitude limit cycles in the Lienard system is shown.

Conclusions. The technical realization of the method described in [6] is per-formed, which makes it possible to easily find Lyapunov quantities, which makes it possible to estimate the maximum number of small-amplitude limit cycles arising from the fixed point of the Lienard system.

Key words: limit cycle, Lyapunov quantities, 16th Hilbert problem, local bifur-cation.

Введение

В 1900 г. на Втором Международном конгрессе математиков Давид Гильберт в своем докладе предложил ученым того времени более двух десят-ков проблем, решение которых поспособствовало бы значительному разви-тию науки, рождению новых идей и, возможно, целых отраслей знаний [1]. Сейчас этот список известен как 23 проблемы Гильберта. Прошло более ста лет после выступления Гильберта, а эти проблемы продолжают оказывать влияние на развитие математики.

Большая часть вопросов, поднятых Гильбертом, уже решена, но неко-торые из них и по сей день являются предметом исследований ведущих уче-ных современности. Среди нерешенных задач имеется 16-я проблема Гиль-берта, или проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей. В исходной постановке она состоит из двух частей:

1. Определение максимального числа замкнутых и отдельно располо-женных ветвей, которые могут существовать у алгебраической кривой поряд-ка n на плоскости.

2. Определение максимального числа предельных циклов и их взаимно-го расположения для дифференциального уравнения первого порядка вида

,

,

Y x ydx

dy X x y , (1)

где ,X Y – целые рациональные функции n -й степени относительно своих аргументов.

Вторую часть проблемы часто переписывают в измененном виде, а именно рассматривают вместо одного уравнения систему дифференциальных уравнений на плоскости вида

, ,

, .

x X x y

y Y x y

(2)



Хотя проблемы Гильберта исследуются более ста лет, для второй части 16-й проблемы до сих пор было получено очень мало результатов.


В настоящее время наибольший интерес представляет именно вторая часть 16-й проблемы Гильберта, в частности, некоторые отдельные случаи систем (1) и (2). Одним из них является уравнение (система) Льенара, играю-щее важную роль в теории колебаний:

0x f x x g x , (3)

или эквивалентная система уравнений

,

,

x y F x

y g x

(4)

где 0

x

F x f d .

В уравнении (3) и системе (4) могут возникать предельные циклы, но нас будут интересовать только те из них, которые появляются при локальных бифуркациях из неподвижной точки. Такие предельные циклы называются малоамплитудными.

Один из основных методов изучения существования малоамплитудных предельных циклов связан с исследованием ляпуновских величин (также встречаются названия фокусные величины, константы Ляпунова Пуанкаре [2, 3]). Следуя Баутину [4], можно с помощью малых возмущений получить K малоамплитудных предельных циклов, если система уравнений имеет не-подвижные точки типа центр или фокус, и для невозмущенной системы име-ют место равенства

1 2 1 0, 0L L L K L K , (5)

где L k есть k -я ляпуновская величина (фокальная величина).

В статье Баутина [4] ляпуновские величины напрямую не указаны, но представлены как нечетные члены в разложении функции последования.

Вычисление ляпуновских величин является весьма нетривиальной за-дачей; существует множество как точных, так и приближенных методов. N. G. Lloyd и S. Lynch [5, 6] предложили метод вычисления ляпуновских ве-личин для уравнений вида (4) со следующими функциями:

21 2

NNF x a x a x a x , (6)

22 ,M

Mg x x b x b x (7)

где , 1N M есть натуральные числа. Рассматриваемую систему заменой переменных и времени можно при-

вести к системе вида



* ,

,

u y F u

y u

где 2 signu x G x x , 0

x

G x g d , *F u F x u , x u – обрат-

ная функция к u x .

N. G. Lloyd и S. Lynch [5, 6] показали, что при разложении в ряд Тейло-

ра функции * *

1

kk

k

F u a u

имеют место соотношения

*2 1k ka C L k , (8)

где 0kC числа, зависящие лишь от k .

Аналогичный результат имеет место и для обобщенных систем Льенара

,

,

x h y F x

y g x

где 0 0h и 0h y .

Равенства (8) позволяют переписать условие (5) в ином виде:

* * * *3 5 2 1 2 10, 0K Ka a a a . (9)

Заметим, что равенство *1 0a является необходимым условием суще-

ствования неподвижной точки типа центр в линеаризованной системе. Равен-ства (9), в свою очередь, определяют условия существования K малоампли-тудных предельных циклов для системы уравнений Льенара в терминах раз-

ложения функции *F u в ряд. Следовательно, возникает задача определе-

ния конкретного вида функции .F u

2. Нахождение функции *F u

Зададимся вопросом нахождения точного вида функции *F u . Для

этого нам потребуется сначала определить обратную функцию для u x . Для

упрощения дальнейших вычислений представим функции F x и g x

формально в виде степенных рядов

1 2

, ,k kk k

k k

F x a x g x x b x

где 0ka при k N и 0kb при k M .



Тогда функция G x вычисляется следующим образом:

2

1

202 1

xkk

k

bxG x g d x

k

.

Исходя из этого функция u x приобретает вид

1

2

22 sign 1

1kk

k

bu x G x x x x

k

. (10)

Для нахождения обратной функции x u воспользуемся теоремой об

обращении ряда Тейлора [7]:

1

11

0

.!

nn n

nn

x

u d xx u

n u xdx

(11)

Нахождение производной в формуле (11) напрямую весьма неудобно, поэтому преобразуем выражение, стоящее под знаком производной, следую-щим образом:

exp ln exp ln ln

nx x

n n x n u xu x u x

.

Подставляя в данное выражение формулу (10), получаем

1

2

2exp ln 1 .

2 1

nkk

k

bx nx

u x k

(12)

Таким образом, задача определения производной высшего порядка от n -й степени дроби свелась к отысканию производной высшего порядка сложной функции. Эта производная определяется по формуле Фаа ди Бруно [8], а именно ее представлением с помощью полиномов Белла [9]:

11

1,11

, , , ,nn

k n kn kn

k

dp q x p q x B q x q x q x

dx

(13)

где , 1 2 1, , ,n k n kB x x x – полиномы Белла.

В рассматриваемом случае функции p и q имеют вид

/2 1

2

2, ln 1

1ny kk

k

bp y e q x x

k

.

Так как нас интересует значение производных только при 0x , полу-чаем 0 0q и



0 /202 2

k kk nqn n

p q e

.

Производные высших порядков функции q x при 0x , которые

встречаются в формуле (13), определяются также по формуле Фаа ди Бруно:

1

2 0

20 ln 1

1

nn kk

nk x

bdq x

kdx

2 1 !1 2, 2 3 23 3

1

1 1 ! , , , .n

n kkn k n kn k

k

k B b b b

(14)

В итоге функция x u принимает вид

1

nn

n

x u u

, (15)

где

1 1, 1

2 1,1

1, , 0 , , 0 , 1.

! 2

knn k

n n n n kk

nb b B q q n

n

Определив выражение для обратной функции x u , мы можем полу-

чить формулу для функции *F u , подставив в (6) вместо x формулу (15):

* *

1 1

Nk n

k nk n

F u F x u a x u a u

.

Определим ,n kS как коэффициент при nu в разложении в ряд по степе-

ням u функции kx u . Заметим, что при u , близком к нулю, имеет место ра-

венство

1 11

1

kk i k k k k k

ii

x u u u O u u O u

.

Следовательно, , 0n kS при n k . Так как входящие в сумму члены по-

рядка выше n не влияют на ,n kS , заменим ряд суммой первых n слагаемых:

1

1 1

k knk i i n

i ii i

x u u u O u

1 2

1 2

1 2 11 2

1 2.

, , ,n

n

i i in nn

ni i i k

ku u u O u

i i i

(16)



Чтобы получить выражение ,n kS , оставим в формуле (16) только те

слагаемые, для которых 21 2 ni ii n nu u u u , или, что то же самое,

1 22 ni i ni n . В итоге получаем выражение

1 2, 1 2

1 2, , ,ni i i

n k nn

kS

i i i

,

в котором суммирование идет по всем наборам целых неотрицательных чисел

1 2, , , ni i i таким, что

1 2

1 2

,

2 .n

n

i i i k

i i ni n

Зная ,n kS , можно легко записать выражение для *na :

*, ,

1 1

n

n k n k k n kk k

a a S a S

.

Обозначив коэффициенты с нечетными номерами *2 1ˆn na a , получаем

условие (5) в виде

1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ0, 0K Ka a a a .

Ниже представлены выражения для 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,a a a с учетом 0 1ˆ 0a a :

1 2 2 32

ˆ ,3

a a b a

3 22 2 2 2 2 3 2 4 3 2 3 3 4 2 5

7 7 2 7 3 4ˆ ,

9 6 5 6 4 3a a b a b b a b a b a b a b a

5 3 2 23 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 3 4

143 143 33 11 9ˆ

108 36 16 5 10a a b a b b a b b a b b a b b

4 2 22 2 5 2 6 3 2 3 2 3 3 3 3 2 4

2 143 33 27 9

7 72 8 32 5a b b a b a b a b b a b a b b

3 23 5 4 2 4 2 3 4 4 5 2 5 3 6 2 7

1 22 4 5 53 2 .

2 9 5 2 4a b a b a b b a b a b a b a b a

Следует указать, что приведенные формулы записаны в общем виде без учета условия (9). Сравним полученные результаты с соответствующими ре-зультатами в работах [5, 6]:

2 2 3 2 2 3 12

ˆ1 2 3 3 33

L a b a a b a a

.



Если взять 3 2 22

3a a b , получим 1 0L . Тогда для 2L будет иметь

место следующее соотношение:

2 4 4 2 2 2 3 52 6 20 10 15L a b a b a b b a

2 4 4 2 2 2 3 5 22 4 2

ˆ15 15 .5 3 3

a b a b a b b a a

Из этих формул и формулы (8) получаем 1 3C и 2 15C (заметим,

что разница между формулами для 2L в работах [5, 6] обусловлена тем,

что в первой выражение представлено без учета равенства нулю 1L ).

Сравним теперь полученные результаты с более общей формулой для

1L и 2L , продемонстрированной в [3]. Для этого выпишем систему

уравнений в виде, представленном в исходной работе:

2 2 3 2 2 320 11 02 30 21 12 03x y f x f xy f y f x f x y f xy f y

4 3 2 2 3 4 5 440 31 22 13 04 50 41f x f x y f x y f xy f y f x f x y

53 2 2 3 4 532 23 14 05 ,f x y f x y f xy f y o x y

2 2 3 2 2 320 11 02 30 21 12 03y x g x g xy g y g x g x y g xy g y

4 3 2 2 3 4 5 440 31 22 13 04 50 41g x g x y g x y g xy g y g x g x y

53 2 2 3 4 532 23 14 05 .g x y g x y g xy g y o x y

Для того чтобы данная система соответствовала виду системы (4), (6), (7), сделаем в ней циклическую замену переменных (поменяем местами x и y ), примем все коэффициенты ijf и ijg , кроме 0if и 0ig , равными нулю.

С учетом того, что 0i if b , 0i ig a , получим

03 02 02 3 2 2 2 2 3 13 2 3

ˆ1 3 2 3 24 4 4 3 4

L f f g a a b a b a a

.

В качестве следствия получаем, что 13

04

C . Приравняв 1L

к нулю и приняв 3 2 22

3a a b , получаем

4 2 2 2 3 2 4 52 60 30 18 4572

L a b a b b a b a

2 2 3 2 4 4 2 5 245 2 2 4 5

ˆ ,72 3 5 3 8

a b b a b a b a a



откуда 25

08

C .

Причина, по которой константы 1C и 2C в двух рассмотренных случа-

ях сравнения с работами [3, 5, 6] отличаются друг от друга, связана с разли-чиями в методах вычисления ляпуновских величин. Заметим, однако, что аб-солютная величина констант 1C и 2C не влияет на определение числа мало-

амплитудных предельных циклов. В качестве основного результата мы можем теперь сформулировать

следующую теорему. Теорема. Для системы уравнений Льенара (4), (6) и (7) имеет место

формула для вычисления ляпуновских величин ˆk kL k C a , где 0kC ,

а значения ˆka вычисляются по формуле

2 1

2 1,1

ˆk

k i k ii

a a S

.


В результате проделанной работы была получена расчетная формула, позволяющая определить величины Ляпунова произвольного порядка для си-стем Льенара вида (4), (6) и (7) с точностью до отрицательного множителя. Насколько известно авторам, данные результаты получены впервые. Было проведено сравнение вычислений с известными формулами для первой и второй ляпуновских величин, где на примерах была показана применимость данного метода в исследовании существования малоамплитудных предель-ных циклов в системе Льенара. Таким образом, технически реализован метод [6], позволяющий определять ляпуновские величины, что дает возможность оценивать количество малоамплитудных предельных циклов, возникающих из неподвижной точки систем Льенара. Преимуществом данного метода яв-ляется то, что ляпуновские величины представлены в явном виде в терминах коэффициентов системы уравнений Льенара. Поэтому данный метод легко реализуется на компьютере, в том числе за счет использования таких средств, как полиномы Белла, широко представленных в различном математическом программном обеспечении.

В дальнейшем планируется изучение данного метода при исследовании проблемы числа предельных циклов в системе Льенара, а также оптимизация алгоритма вычисления коэффициентов ˆka .


1. Проблемы Гильберта : сборник / под ред. Александрова П. С. – М. : Наука, 1969. – С. 48–49.

2. Ляпунов , А . М . Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. – Харьков, 1892.

3. Леонов , Г . А . Современные методы символьных вычислений: ляпуновские ве-личины и 16-я проблема Гильберта / Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов, Е. В. Кудря-шова, О. А. Кузнецов // Труды СПИИРАН. – 2011. – 16. – С. 5–36.



4. Баутин , Н . Н . О числе предельных циклов, рождающихся при изменении ко-эффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр / Н. Н. Баутин // Ма-тематический сборник (Новая серия). – 1952. – Т. 30 (72), 1. – С. 181–196.

5. Lloyd, N. G. Small-amplitude limit cycles of certain Liénard system / N. G. Lloyd, S. Lynch // Proceeding of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. – 1988. – 1854. – С. 199–208.

6. Lynch, S. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hil-bert’s sixteenth problem / S. Lynch // Differential Equations with Symbolic Computa-tions. – Cham : Springer International Publishing AG, 2005. – С. 1–22.

7. Шабат , Б . В . Введение в комплексный анализ / Б. В. Шабат. – М. : Наука, 1961. – С. 190–191.

8. Дворянинов , С . В . О формуле Фаа ди Бруно для производных сложной функции / С. В. Дворянинов, М. И. Сильванович // Математическое образование. – 2009. – 1. – С. 22–26.

9. Warren P. J . The curious history of Faà di Bruno’s formula / Warren P. Johnson. // The American Mathematical Monthly. – 2002. – 3. – С. 217–234.

References

1. Problemy Gil'berta: sbornik [Hilbert problems: collection]. Ed. P. S. Aleksandrov. Moscow: Nauka, 1969, pp. 48–49.

2. Lyapunov A. M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya [The general problem on motion stability]. Khar'kov, 1892.

3. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Kudryashova E. V., Kuznetsov O. A. Trudy SPIIRAN [Proceedings of SPIIRAS]. 2011, no. 16, pp. 5–36.

4. Bautin N. N. Matematicheskiy sbornik (Novaya seriya) [Mathematical collection (New series)]. 1952, vol. 30 (72), no. 1, pp. 181–196.

5. Lloyd N. G., Lynch S. Proceeding of the Royal Society of London. Series A, Mathemat-ical and Physical Sciences. 1988, no. 1854, pp. 199–208.

6. Lynch S. Differential Equations with Symbolic Computations. Cham: Springer Interna-tional Publishing AG, 2005, pp. 1–22.

7. Shabat B. V. Vvedenie v kompleksnyy analiz [Introduction into complex analysis]. Mos-cow: Nauka, 1961, pp. 190–191.

8. Dvoryaninov S. V., Sil'vanovich M. I. Matematicheskoe obrazovanie [Mathematical education]. 2009, no. 1, pp. 22–26.

9. Warren P. J. The American Mathematical Monthly. 2002, no. 3, pp. 217–234.

Дёмин Альберт Алексеевич магистрант, Институт математики и компьютерных наук, Тюменский государственный университет (Россия, г. Тюмень, ул. Володарского, 6)

Demin Al'bert Alekseevich Master’s degree student, Institute of mathematics and computer sciences, Tumen State University (6 Volodarskogo street, Tyumen, Russia)

E-mail: [email protected] Мачулис Владислав Владимирович кандидат педагогических наук, доцент, кафедра фундаментальной математики и механики, Институт математики и компьютерных наук, Тюменский государственный университет (Россия, г. Тюмень, ул. Володарского, 6)

Machulis Vladislav Vladimirovich Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of fundamental mathematics and mechanics, Institute of mathematics and computer sciences, Tyumen State University (6 Volodarskogo street, Tyumen, Russia)




УДК 517.938

Дёмин, А. А. Об одном методе вычисления ляпуновских величин для некоторых

систем Льенара / А. А. Дёмин, В. В. Мачулис // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 83–93. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-7.



УДК 519.64 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-8

И. В. Бойков, В. А. Есафьева, П. В. Айкашев

К ПОСТРОЕНИЮ КВАДРАТУРНЫХ И КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ1 Аннотация. Актуальность и цель. Существует большое число проблем, как в физике и

технике, так и непосредственно в различных разделах математики, при реше-нии которых возникает необходимость в вычислении гиперсингулярных ин-тегралов. Так как непосредственное вычисление таких интегралов возможно лишь в исключительных случаях, возникает необходимость в разработке при-ближенных методов. Статья посвящена построению приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов. Особое внимание уделяется иссле-дованию связи между методами вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

Материалы и методы. В работе исследуется связь между методами вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Предложен ме-тод оценки сверху квадратурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов и кубатурных формул вычисления полигиперсингулярных инте-гралов.

Результаты. Построены оптимальные по точности (по порядку) квадра-турные и кубатурные формулы вычисления гиперсингулярных и полигипер-сингулярных интегралов с особенностями второго порядка. Рассматриваются гиперсингулярные и полигиперсингулярные интегралы с периодическими яд-рами и на классах периодических функций.

Выводы. Предложены оптимальные по порядку методы вычисления гипер-сингулярных и полигиперсингулярных интегралов, которые могут быть ис-пользованы при решении задач физики, техники и вычислительной математики.

Ключевые слова: гиперсингулярные интегралы, полигиперсингулярные интегралы, квадратурные формулы, кубатурные формулы, оптимальные методы.

I. V. Boykov, V. A. Esaf'eva, P. V. Aykashev

ON BUILDING OF QUADRATURE AND CUBATURE FORMULAS FOR COMPUTING OF HYPER-SINGULAR INTEGRALS

Abstract. Background. There are a large number of problems, both in physics and technol-

ogy, and directly in various sections of mathematics, the solution of which requires to calculate hypersingular integrals. Since direct computation of such integrals is possible only in exceptional cases, it becomes necessary to develop approximate methods. The article is devoted to the construction of approximate methods for calculating hypersynchial integrals. Particular attention is paid to the investigation of the connection between the methods for calculating singular and hypersingular integrals.

Materials and methods. In this paper, we investigate the relationship between the methods for calculating singular and hyper-singular integrals. A method is proposed

1 Работа поддержана РФФИ. Грант 16-01-00594.



for estimating from above quadrature formulas for calculating hypersingular inte-grals and cubature formulas for calculating polyhyper-singular integrals.

Results. The quadrature and cubature formulas optimal in precision (order) of the calculation of hypersingular and polyhyper-singular integrals with singularities of the second order are constructed. We consider hypersingular and polyhypersingu-lar integrals with periodic kernels and on classes of periodic functions.

Conclusions. The work proposes precision-optimal methods for calculating hypersingular and polyhyper-singular integrals that can be used for problem solving in physics, engineering and computational mathematics.

Key words: hypersingular integrals, polyhyper-singular integrals, quadrature formulas, cubature formulas, optimal methods.

Введение

Гиперсингулярные интегралы, введенные в математику Ж. Адамаром в 1903 г. [1, 2], в настоящее время находят все большее применение в различ-ных разделах аэродинамики, теории упругости, теории композитных матери-алов, электродинамики и многих других областях естествознания и техники.

Вычисление гиперсингулярных интегралов в замкнутой форме воз-можно лишь в исключительных случаях. Поэтому активно развиваются при-ближенные методы их вычисления. Подробное изложение основных резуль-татов, полученных в данном направлении, и обширная библиография содер-жатся в монографии [3]. Несмотря на активное развитие исследований по приближенным методам вычисления гиперсингулярных интегралов, прибли-женные методы вычисления сингулярных интегралов развиты значительно шире [4].

В данной работе излагается один из методов построения квадратурных и кубатурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов, основан-ный на использовании квадратурных и кубатурных формул вычисления син-гулярных интегралов.

Статья построена следующим образом. В первом разделе приводятся определения гиперсингулярных интегралов. Во втором разделе даны опреде-ления оптимальных алгоритмов вычисления гиперсингулярных интегралов. В третьем разделе построены оптимальные по порядку квадратурные и куба-турные формулы вычисления одного класса гиперсингулярных и бигипер-сингулярных интегралов.

1. Определения гиперсингулярных интегралов

Напомним определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Рассмотрим интеграл

( )

= , < < .b

a

fJ d a t b

t

(1)

Известно, что этот интеграл не существует ни в смысле Римана, ни в смысле Лебега. Для того чтобы придать интегралу (1) смысл, Коши ввел новый тип интегралов (так называемые интегралы в смысле главного значе-ния по Коши). Исторически введение интегралов в смысле главного значения



по Коши является одним из первых методов регуляризации расходящихся интегралов.

Определение 1.1. Главным значением по Коши особого интеграла

( ), < < ,

b

a

d a c bc

называется предел

0

( ) ( ) ( )= .lim

cb b

a a c

d d dc c c

В работе [1] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов. Определение 1.2. Интеграл вида

( )

( )

b

pa

A x dx

b x

при целом p и 0 < < 1 определяет величину («конечную часть»)

рассматриваемого интеграла как предел при x b суммы

1

( ) ( ),

( ) ( )

x

p pa

A t dt B x

b t b x

если предположить, что ( )A x имеет p производных в окрестности точки .b

Здесь ( )B x – любая функция, на которую налагаются два условия:

а) рассматриваемый предел существует; б) ( )B x имеет по крайней мере p производных в окрестности точки

=x b . Произвольный выбор ( )B x никак не влияет на значение получаемого

предела: условие (а) определяет значения ( 1)p первых производных от

( )B x в точке b , так что произвольный добавочный член в числителе есть

бесконечно малая величина по меньшей мере порядка ( ) pb x .

В статье [5] Л. А. Чикин ввел понятие интеграла в смысле главного значения по Коши – Адамару.

Определение 1.3. Интегралом

( ), < < ,

( )

b

pa

da c b

c

в смысле главного значения Коши – Адамара называется следующий предел:

10

( ) ( ) ( ) ( )= ,lim

( ) ( ) ( )

b c v b

p p p pva a c v

d d d v

c c c v

где ( )v – некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел

существовал.



Распространим приведенное выше определение на полигиперсингуляр-ные интегралы. Для простоты обозначений ограничимся бигиперсингуляр-ным интегралом

1 2 1 2

1 21 1 2 21 2

( , )= ,

( ) ( )p p

d dB

t t

где i – замкнутый ограниченный контур в плоскости комплексной

переменной ,iz = 1,2.i Будем считать, что ,i = 1,2,i – гладкие контуры,

удовлетворяющие условиям Ляпунова. Построим окружность с центром в точке 1t столь малого радиуса 1,

что она пересекает контур 1 только в двух точках 1t и 1.t Меньшую часть

контура 1, заключенную между точками 1t и 1,t обозначим через 1.l

Аналогичное построение проведем и на контуре 2 , меньшую часть

контура 2 , расположенную между точками 2t и 2 ,t обозначим через 2.l Интеграл B определяется выражением

1 2 1 2 1 21 11 2 1 20, 01 2 1 1 2 2\ \ 1 21 1 2 2

( , ) ( , )= ,lim

( ) ( )p p p p

l l

d dB

t t

(2)

где 1 2( , ) – функция, имеющая непрерывно дифференцируемые

производные до 1( 1)p порядка по переменной 1 и до 2( 1)p порядка по

переменной 2.

Функция 1 2( , ) выбирается таким образом, чтобы предел существовал и был единственным.

Отметим, что в соответствии с принятым в работе способом определения гиперсингулярных интегралов для нахождения функции

1 2( , ) нужно вычислить по частям интеграл в правой части формулы (2) и из результата вычесть слагаемые, стремящиеся к бесконечности, когда

0,i = 1,2.i

Согласно этой технологии имеем

2 2

2 200 0

1 ( ) ( ) 8 ( )J = = .lim

2sin sin

2 2

s

s

d ds s

2. Определения оптимальных алгоритмов

Постановка задачи построения наилучшей квадратурной формулы (к.ф.) принадлежит А. Н. Колмогорову и заключается в следующем. Пусть – некоторый класс интегрируемых на сегменте [0,1] функций. Рассмотрим к.ф.

1

=10

( ) = ( ) ( , , ),n

i i n i ii

f x dx p f x R f p x (3)



где коэффициенты ip и узлы 10 < < 1nx x произвольны. Погрешность

к.ф. (3) на классе функций равна

( , , ) = | ( , , ) | .supn i i n i if

R p x R f p x

Введем величину ,

[ ] = ( , , ).infn n i ip xi i

R p x Если существуют коэффи-

циенты *ip и узлы *( = 1,2, , ),ix i n при которых * *( ) = ( , , ),n n i iR p x то

к.ф. (3) с весами *ip и узлами *

ix называется наилучшей (или оптимальной)

на классе . Н. С. Бахваловым введены [6] понятия асимптотически оптимальных и

оптимальных по порядку пассивных алгоритмов решения задач численного анализа. Другие подходы к определению оптимальных пассивных алгоритмов предложены в книгах [7–9].

Следуя [6], к.ф. (3) с весами *ip и узлами *

ix назовем асимптотически

оптимальной или оптимальной по порядку на классе , если * *( , , )~ ( )n i i nR p x или * *( , , ) ( )n i i nR p x (напомним, что n n

означает, что ( / ) = 1,lim n nn

а n n означает, что ( / ) ,n nA B где

, constA B , 0 < , < ).A B

Перейдем к определению оптимальных алгоритмов вычисления сингулярных интегралов с переменной сингулярностью.

Ограничимся рассмотрением интеграла с ядром Гильберта:

2

0

1= ( ) , [0,2 ].

2 2

sF ctg d

Этот интеграл будем вычислять по к.ф.

=1

= ( ) ( ) ( , ( ), , )n

k k n k kk

F p s t R s p s t (4)

с произвольными весами ( )kp s и узлами (0 2 ).k kt t

Под погрешностью к.ф. (4) будем понимать величину

( , , ) = | ( , ( ), , ) | .maxn k k n k ks

R p t R s p s t

Отметим, что если из контекста ясно, о каком векторе узлов и весов идет речь, то вместо обозначений ( , , , )n k kR s p t и ( , , )n k kR p t будем писать

соответственно ( , )nR s и ( ).nR

Если некоторый класс заданных на сегменте [0,2 ] функций, то

положим ( , , ) = ( , , ).supn k k n k kR p t R p t



Обозначим через [ ]n величину ,

[ ] = ( , , ),infn n k kp tk k

R p t в которой

нижняя грань берется по всевозможным n узлам (0 2 )k kt t и весам

( ), = 1,2, , .kp s k n

Квадратурную формулу (4), построенную на узлах *kt и весах * ( )kp s ,

будем, следуя [6], называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оп-

тимальной по порядку, если * *( , , ) = [ ],n k k nR p t * *( , , )~ [ ],n k k nR p t * *( , , ) [ ]n k k nR p t соответственно. Аналогичным образом вводится понятие оптимальных, асимптотически

оптимальных и оптимальных по порядку к.ф. для вычисления гиперсингу-лярных и бигиперсингулярных интегралов.

3. Приближенное вычисление гиперсингулярных интегралов на гладких контурах интегрирования

Рассмотрим гиперсингулярный интеграл

2

20

1 ( )= .

2sin

2

J ds

Эти интегралы возникают в аэродинамике при исследовании задач обтекания крыла потоком газа.

Нетрудно видеть, что интеграл J связан с сингулярным интегралом с ядром Гильберта формулой

2

0

1= ( )ctg .

2

d sJ d

ds

(5)

Приближенным методам вычисления сингулярных интегралов с ядром Гильберта посвящена обширная литература. В монографии [4] содержится обзор методов приближенного вычисления сингулярных интегралов и по-дробная библиография.

Построим, используя формулу (5), квадратурные формулы интерполя-ционного типа для вычисления интеграла J .

Рассмотрим следующую квадратурную формулу, предназначенную для вычисления сингулярного интеграла:

2

0

1= ( ) .

2 2

sH ctg d

Введем узлы = 2 / ,ks k N = 0,1, ,2 .k N

Интеграл H будем вычислять по квадратурной формуле

2

0

1= ( )ctg ( ),

2 2N Ns

H d R

(6)



где ( )N – полином, интерполирующий функцию ( )s по узлам .kt

Очевидно,

2

=0

2 1sin ( )1 2( ) = ( ) ( ), ( ) = .

2 1 sin2

N k

N k k kkk

Ns s

s s s ss sN

(7)

Известно [4] следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть = (1),rpW 1 2.p Тогда погрешность квадратур-

ных формул (6) на классе оценивается неравенством

,[ ] ( ( ))(2 ln ),rN N q rR E D x q N

где =1

cos( / 2)( ) =r r

k

kx rD x

k

– функция Бернулли, 1 / 1 / = 1,p q , ( )N qE f –

наилучшее приближение функции f тригонометрическими полиномами

степени n в метрике пространства [0,2 ].qL

Будем считать, что квадратурные формулы (6) определены на классе

функций (1),rW H = 1,2, ,r 0 < < 1. Из теоремы Привалова [10] следует, что сопряженная функция

( ) =s H также принадлежит классу ( )rW H M с некоторой константой ,M 0 < < .M

Из теоремы 1 следует, что

[0,2 ]

1( ) ( ) ln ,

r

N Cs s C N

N

(8)

где ( ) = .N Ns H Здесь и ниже через C обозначаются константы, независящие от .N Подставив сумму (7) в интеграл (6), имеем

2

=0

sin( 1) sin2 2 2= ( ) ( ).2 1 sin

2

k kN

k Nkk

s s s sN N

H s Rs sN

(9)

Замечание. Отметим что эта к.ф. (9) может быть представлена [11] в виде

2

=0 =1

2= ( ) sin ( ) ( ).

2 1

N N

k k Nk l

H s l s s RN

(10)

Несмотря на более громоздкий вид этой формулы по сравнению с формулой (9), она может быть более удобной в дальнейшем.

Интеграл £ будем вычислять по к.ф.



( )N NJ J R

2

=0

sin( 1) sin4 2 2( ) ( ).2 1 sin

2

k kN

k Nkk

s s s sN Nd

s Rs sN ds

(11)

Оценим норму разности

( ( ) ( ))

= 2 .NN

d s sJ J

ds

Повторяя доказательство второй теоремы С. Н. Бернштейна о струк-турных свойствах функций [12], можно показать, что

1( ( ) ( )) 1ln .

rNd s s

C Nds N

Следовательно,

11| ( ) | ln .

r

NR C NN

Так как – произвольная функция из класса функций (1),rW H то

окончательно имеем

11| ( (1)) | ln .

rr

NR W H C NN

Известна [3, с. 105] следующая оценка:

1

(2 (1))[ (1)] ,r r

r

o KW

N

где rK константа Фавара.

Небольшая модификация доказательства этого неравенства позволяет получить оценку

1[ (1)] .r

r

CW H

N

Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 2. Среди квадратурных формул, использующих N значений

подъинтегральной функции, оптимальной по порядку на классе функций

(1)rW H является формула (11). Ее погрешность равна

1[ (1)] = .r

N r

CR W H

N



Замечание. При построении квадратурных формул для вычисления гиперсингулярных интегралов более удобно использовать формулу

2 2 ( )N NJ J R

2

=0 =1

4= ( ) sin ( ) ( ).

2 1

N N

k k Nk l

ds l s s R

N ds

(12)

Здесь через pJ обозначен интеграл

2

0

1 ( ).

2sin

2

pp

J ds

Продемонстрируем изложенный выше прием на примере вычисления полигиперсингулярных интегралов на замкнутых контурах интегрирования.

Для определенности ограничимся рассмотрением бигиперсингулярных интегралов следующего вида:

2 2

1 22,2 1 22 1 1 2 22 20 0

( , )1= .

( ) ( )4 sin sin2 2

B d dt t

(13)

Интегралу 22B поставим в соответствие интеграл

2 21 1 2 2

1,1 1 2 1 220 0

1= ( , )ctg ctg .

2 24

t tH d d

Обозначим через

, = ( , ), = 2 / (2 1), = 0,1, ,2 ,k l k l kv x y x k N k N

= 2 / (2 1), = 0,1, ,2 ,ly l M l M

узлы кубатурной формулы. Функцию 1 2( , )t t будем аппроксимировать интерполяционным поли-

номом

2 2

1 2 1 2=0 =0

( , ) = ( , ) ( ) ( ).N M

NN k l k lk k

t t x y t t (14)

Подставляя 1 2( , )NN t t в интеграл B и используя известные формулы

2

0

1sin ctg = cos ,

2 2

sn d ns

2

0

1cos ctg = sin ,

2 2

sn d ns

получаем



2 2

1,1=0 =0

2 2= ( , )

2 1 2 1

N M

k lk l

H x yN M

1 2=1 =1

sin ( )sin ( ) ( ).N M

k l NMi j

i t x j t y R (15)

Используя формулу (15), приходим к следующей кубатурной формуле вычисления гиперсингулярного интеграла 2,2B :

2 2

2,2=0 =0

4 4= ( , )

2 1 2 1

N M

k lk l

B x yN M

2

1 21 2 =1 =1

sin ( )sin ( ) ( ).N M

k l Ni j

i t x j t y Rt t

(16)

Для кубатурных формул (16) известны [3] следующие оценки:

, 1 1( (1)) ln ln .r s

NM r sR W N M

N M

Повторяя в многомерном случае рассуждения, приведенные в доказа-тельстве обратных теорем С. Н. Бернштейна [12], получаем следующую оценку погрешности кубатурной формулы (16):

,1 1

1 1( (1)) ln ln .r s

NM r sR W N M

N M

Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 3. Среди всевозможных кубатурных формул, использущих

NM узлов подынтегральной функции, оптимальной по порядку является формула (16). Ее погрешность равна

2 ,1 1

1 1( (1)) ln ln .r s

NM r sR W N M

N M


1. Hadamard, J . Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l’Hydrodynamique. Herman / J. Hadamard. – Paris, 1903. – 320 p. – (reprinted by Chelsea. – New York, 1949).

2. Адамар , Ж . Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. – 351 с.

3. Бойков , И . В . Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов. Часть вторая. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. – 252 с.

4. Бойков , И . В . Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов. Часть первая. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. – 360 с.



5. Чикин , Л . А . Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных инте-гральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственно-го университета. – 1953. – Т. 113, кн. 10. – С. 57–105.

6. Бахвалов , Н . С . О свойствах оптимальных методов решения задач математи-ческой физики / Н. С. Бахвалов // Журнал вычислительной математики и матема-тической физики. – 1970. – Т. 10, 3. – С. 555–568.

7. Сухарев , А . Г . Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа / А. Г. Сухарев. – М. : Наука, 1989. – 304 с.

8. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач матема-тической физики / под ред. К. И. Бабенко. – М. : Наука, 1979. – 196 с.

9. Трауб , Дж . Общая теория оптимальных алгоритмов / Дж. Трауб, Х. Вожьня-ковский. – М. : Мир, 1983. – 382 с.

10. Гахов , Ф . Д . Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М. : ГИФМЛ, 1963. – 639 с. 11. Корнейчук , А . А . Квадратурные формулы для сингулярных интегралов /

А. А. Корнейчук // Численные методы решения дифференциальных и интеграль-ных уравнений и квадратурные формулы. – М. : Наука, 1964. – С. 64–74.

12. Натансон , И . П . Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М. ; Л., 1949. – 688 с.

References

1. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l’Hydrodynamique. Herman [Lessons on the Propagation of Waves and the Equations of Hydrodynamics. Herman]. Paris, 1903, 320 p. (reprinted by Chelsea. – New York, 1949).

2. Adamar Zh. Zadacha Koshi dlya lineynykh uravneniy s chastnymi proizvodnymi giper-bolicheskogo tipa [The Cauchy problem for nonlinear equations with partial derivatives of hyperbolic type]. Moscow: Nauka, 1978, 351 p.

3. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh in-tegralov. Chast' vtoraya. Gipersingulyarnye integraly [Approximate methods for calcu-lating singular and hyper-singular integrals. Part two. Hyper-singular integrals]. Penza: Izd-vo PGU, 2009, 252 p.

4. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingu-lyarnykh integralov. Chast' pervaya. Singulyarnye integraly [Approximate methods for calculat-ing singular and hyper-singular integrals. Part one. Singular integrals]. Penza: Izd-vo PGU, 2005, 360 p.

5. Chikin L. A. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kazan State University]. 1953, vol. 113, bk. 10, pp. 57–105.

6. Bakhvalov N. S. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1970, vol. 10, no. 3, pp. 555–568.

7. Sukharev A. G. Minimaksnye algoritmy v zadachakh chislennogo analiza [Minimax al-gorithms in problems of numerical analysis]. Moscow: Nauka, 1989, 304 p.

8. Teoreticheskie osnovy i konstruirovanie chislennykh algoritmov zadach matematich-eskoy fiziki [Theoretical bases and building of numerical algorithms in problems of mathematical physics]. Ed. by K. I. Babenko. Moscow: Nauka, 1979, 196 p.

9. Traub Dzh., Vozh'nyakovskiy Kh. Obshchaya teoriya optimal'nykh algoritmov [Gen-eral theory of optimal algorithms]. Moscow : Mir, 1983, 382 p.

10. Gakhov F. D. Kraevye zadachi [Boundary problems]. Moscow: GIFML, 1963, 639 p. 11. Korneychuk A. A. Chislennye metody resheniya differentsial'nykh i integral'nykh

uravneniy i kvadraturnye formuly [Numerical methods for solving differential and inte-gral equations and quadrature formulas]. Moscow: Nauka, 1964, pp. 64–74.

12. Natanson I. P. Konstruktivnaya teoriya funktsiy [Constructive theory of functions]. Moscow; Leningrad, 1949, 688 p.



Бойков Илья Владимирович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected] Есафьева Виктория Александровна аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Esaf'eva Viktoriya Aleksandrovna Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected] Айкашев Павел Владимирович аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Aykashev Pavel Vladimirovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)


УДК 519.64

Бойков, И. В. К построению квадратурных и кубатурных формул вычисления

гиперсингулярных интегралов / И. В. Бойков, В. А. Есафьева, П. В. Айка-шев, // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 94–105. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-8.



ФИ З И К А

УДК 537.534 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-9

В. В. Евстифеев, Н. В. Костина

РАССЕЯНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ИОНОВ ПОВЕРХНОСТЬЮ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД

Аннотация. Актуальность и цели. Представлен обзор экспериментальных и теоретиче-

ских исследований по рассеянию положительных ионов малых и средних энергий поверхностью металлов. Актуальность таких исследований обуслов-лена внедрением в практику новых прогрессивных пучковых технологий и ме-тодов анализа вещества, связанных с взаимодействием заряженных атомных частиц с твердым телом. Целью настоящей работы является анализ результа-тов исследований, устанавливающих механизм взаимодействия ионов с по-верхностью при их рассеянии на атомах твердого тела, а также изучение раз-личных факторов (энергия и масса иона, масса атома мишени и ее физические свойства), влияющих на эти механизмы.

Материалы и методы. Экспериментальные результаты получали на уста-новках по обратному рассеянию, обладающих высоким угловым и энергетиче-ским разрешением и позволяющих снимать энергетические спектры рассеян-ных ионов. Теоретические исследования проводили методом компьютерного моделирования (численного эксперимента) с использованием вычислительной техники в рамках выбранной математической модели.

Выводы. В зависимости от энергии и массы бомбардирующих ионов и ато-мов мишени установлены два механизма взаимодействия: модель парных упругих столкновений (область килоэлектронвольтных энергий) и механизм многочастичного взаимодействия (область низких энергий – десятки и сотни электроновольт). Определены границы применимости этих механизмов и намечены пути их возможного использования в аналитических целях.

Ключевые слова: рассеяние ионов, упругие столкновения, ориентацион-ные эффекты, потенциалы взаимодействия, парные столкновения, многоча-стичные взаимодействия.

V. V. Evstifeev, N. V. Kostina

SCATTERING OF POSITIVE IONS BY THE SURFACE OF CONDENSED MEDIA

Abstract. Background. The article presents a review of experimental and theoretical stud-

ies on the scattering of positive ions of small and medium energies by a metal. The relevance of such studies is due to the introduction in practice of new progressive beam technologies and methods for analyzing matter associated with the interaction of charged atomic particles with a solid. The purpose of this paper is to analyze the results of studies that establish the mechanism of interaction of ions with the surface

1 (45), 2018 Физико-математические науки. Физика

Physics and mathematics sciences. Astronomy 107

when they are scattered on solid-state atoms, and also to study various factors (ion energy and mass, the target atom mass and its physical properties) that affect these mechanisms.

Materials and methods. Experimental results were obtained on backscattering facilities having a high angular and energy resolution and making it possible to re-move the energy spectra of scattered ions. Theoretical studies were carried out by computer simulation (numerical experiment) using computer technology within the framework of the chosen mathematical model.

Conclusions. Depending on the energy and mass of the bombarding ions and target atoms, two interaction mechanisms are established: a model of paired elastic collisions (the region of kiloelectron-voltaic energies) and the mechanism of multi-particle interaction (low-energy region - tens and hundreds electron-volts). The lim-its of applicability of these mechanisms are determined and the ways of their possi-ble use for analytical purposes are outlined.

Key words: ion scattering, elastic collisions, orientation effects, interaction po-tentials, pair collisions, multiparticle interactions.

Введение

Воздействие потока заряженных частиц (ионов) на поверхность твердо-го тела сопровождается рядом явлений, одним из которых является рассеяние на ее атомах. В зависимости от начальной энергии Е0 ионы могут испытать как упругое, так и неупругое рассеяние. В области малых энергий (Е0 < 103 эВ) не-упругими потерями пренебрегают и рассматривают только упругие взаимо-действия. В этой области столкновения иона с атомами мишени считают аб-солютно упругими. При таких столкновениях соблюдаются законы сохране-ния кинетической энергии и импульса, а движение частиц рассматривается в рамках классической механики Ньютона.

В области средних энергий (Е0 ≥ 103 эВ) в атомных взаимодействиях наряду с упругими столкновениями имеют место неупругие, связанные с иони-зацией и возбуждением (т.е. с неупругой потерей энергии). С увеличением энергии Е0 доля неупруго рассеянных ионов увеличивается (граница 103 эВ между диапазоном малых и средних энергий условна; физическим различием между указанными диапазонами является наличие неупругой потери энергии при взаимодействии).

Если энергия бомбардирующего иона такова, что время его взаимодей-ствия значительно меньше периода колебаний атомов в решетке (~10–14 с), то в этом случае энергией связи между атомами в твердом теле (~5–8 эВ) можно пренебречь и считать их свободными. Тогда взаимодействие налетающего иона с поверхностью твердого тела можно представить как упругое столкновение его с отдельными изолированными атомами решетки (газовая модель) [1–3]. Относительная энергия Е/Е0 рассеянного иона в процессе такого столк-новения вычисляется по формуле, которая следует из законов сохранения энер-гии и импульса при упругом ударе двух абсолютно твердых упругих шаров, а вероятность столкновения, определяющая интенсивность рассеяния, может быть найдена, если будет известно сечение рассеяния в элемент телесного угла dΩ. При этом эффективное сечение рассеяния должно быть меньше его геомет-рического значения.

При малых энергиях (скоростях) бомбардирующих ионов, когда время их взаимодействия с атомами решетки становится сравнимым или большим пери-



ода колебаний атомов, энергией связи пренебрегать нельзя. В этом случае «га-зовая модель» неприменима, и рассеяние иона следует рассматривать как акт одновременного взаимодействия его с несколькими атомами кристаллической решетки (кластером) [4] или с поверхностью в целом [5]. Такое взаимодействие называется многочастичным взаимодействием. Механизм многочастичных вза-имодействий начинает работать при малых скоростях налетающих частиц (~104 м·с–1), что соответствует энергии Е0 = 20–500 эВ в зависимости от их массы [6].

Исследование явления рассеяния ионов поверхностью, как правило, сво-дится к изучению коэффициента рассеяния, представляющего собой отношение тока рассеянных ионов к току падающих на мишень ионов, а также угловых и энергетических распределений рассеянных ионов. Эти характеристики иссле-дуют в зависимости от геометрических факторов (углов падения и рассеяния, кристаллографических направлений и типа кристаллической решетки), от рода сталкивающихся частиц (их массы и зарядового состояния), начальной энергии Е0 и состояния бомбардируемой поверхности. Вакуумные условия играют важ-ную роль при установлении механизма взаимодействия.

1. Историческая справка

Первые исследования по рассеянию заряженных частиц различными ме-таллами относятся к началу ХХ в., когда Э. Резерфорд наблюдал рассеяние α-частиц на атомах при прохождении через вещество. Систематические иссле-дования по обратному рассеянию положительных ионов поверхностью твердо-го тела начали проводиться в середине ХХ в. М. А. Еремеев [7] и У. А. Арифов [8] показали, что при бомбардировке поликристаллических мишеней из туго-плавких металлов и расплавленного олова ионами щелочных металлов (Li+, Na+, K+) с энергией Е0 от 0,5 до нескольких кэВ их рассеяние удовлетворитель-но описывается в рамках парных упругих столкновений. Во всем исследован-ном диапазоне энергий Е0 относительная энергия Е/Е0 иона, отраженного от поверхности мишеней из указанных металлов, остается постоянной и совпадает со значением, определяемым формулой

22 2

0

cos sin,

1

E

E

(1)

где ψ – угол рассеяния (угол между направлениями импульсов налетающего иона до и после столкновения); M m (M – масса атома мишени, m – масса

иона). Формула (1) следует из решения уравнений, описывающих законы сохра-

нения энергии и импульса при абсолютно упругом столкновении двух частиц. К аналогичным выводам пришли также и зарубежные ученые при изу-

чении обратного рассеяния легких газовых ионов поверхностью [9–13]. Х. Д. Хэгструм [14] изучал зависимость коэффициента рассеяния Кр ионов инертных газов от их начальной энергии (Е0 = 0,2–1 кэВ) при бомбардировке чистой поверхности тугоплавких металлов. Он показал, что для случая нор-мального падения ионов на чистую вольфрамовую мишень коэффициент от-ражения для He+, Ne+, Ar+ очень мал (Кр = 10–3–10–4) и практически не зависит от их кинетической энергии.



К. Брюнне [15], исследуя отражение ионов щелочных металлов от чи-стой молибденовой поверхности, установил, что, как и в случае рассеяния инертных газов, коэффициент Кр не зависит от энергии Е0, за исключением области низких энергий (рис. 1). В области Е0 < 1 кэВ коэффициент рассеяния резко возрастает с уменьшением Е0. Аналогичные результаты были получены У. А. Арифовым с соавторами [8].

Рис. 1. Зависимость коэффициента рассеяния ионов щелочных металлов от кинетической энергии падающего иона при бомбардировке чистой

поликристаллической поверхности молибдена в области средних энергий [15] Наиболее полную информацию о механизме взаимодействия ионов

с поверхностью дают исследования энергетических распределений (спектров) рассеянных ионов. Как показывают опыты, в случае энергии бомбардировки Е0, превышающей несколько сот эВ, максимум спектров для поликристаллов соответствует значению энергии рассеянных ионов Е, вычисленной по фор-муле (1). Слева и справа от максимума наблюдаются «хвосты», которые вме-сте с ним в целом создают большую энергетическую ширину спектра, а не ту, которую требует формула (1). Это свидетельствует о том, что в составе рас-сеянных ионов, помимо тех, которые испытали однократные столкновения с атомами мишени, имеются ионы, претерпевшие многократные столкнове-ния. Энергия Е при многократных столкновениях может быть определена по формуле

2 22 2 2 2

1 1 2 20

cos sin cos sin,

1 1E E

(2)

где ψ1, ψ2, … – углы рассеяния в первом, втором и т.д. столкновениях. Нетрудно показать, что энергия Е иона, рассеянного на угол ψ при од-

нократном столкновении, меньше, чем энергия в многократных столкновени-ях на тот же угол ψ (ψ = ψ1 + ψ2 + …), если его движение все время происхо-дит в одной плоскости, совпадающей с плоскостью падения и детектирова-ния. Если же ион испытал столкновения той же кратности с выходом из плос-кости падения и детектирования на угол Φ и последующим возвращением в эту плоскость, то он будет обладать значительно меньшей энергией, чем



энергия Е, определяемая формулой (1). Действительно, угол рассеяния ψ1 по-сле первого столкновения с выходом иона из плоскости падения на угол Φ определяется как

1cos cos sin , (3)

где Φ – азимутальный угол; φ – угол падения. Угол рассеяния ψ2 после второго столкновения с заходом иона в перво-

начальную плоскость определяется выражением

2cos cos cos , (4)

где 2.

Определяя из формул (3) и (4) углы ψ1 и ψ2, можно найти энергию иона после двукратного рассеяния на угол ψ с выходом из плоскости своего пер-воначального движения. Оказывается, что эта энергия значительно меньше той, которую ион имеет после однократного рассеяния на тот же угол ψ.

Реализация столкновений с выходом из плоскости падения и обратным возвращением в эту плоскость возможна при глубоком проникновении ионов в мишень, для чего необходимо, чтобы они были легкими и имели достаточно большую начальную энергию. Доказательством могут служить опыты Т. Бака [16] по рассеянию поликристаллическим золотом ионов He+ с энергией Е0 = 2–25 кэВ (рис. 2). Для Е0 ≥5 кэВ в спектрах наблюдается широкий фон, обусловленный рассеянными ионами He+, которые глубоко проникли в ми-шень и претерпели многократные столкновения с выходом из плоскости па-дения. С уменьшением энергии Е0 фон быстро снижается и появляется ост-рый поверхностный пик, связанный с однократным столкновением ионов He+ с атомами Au.

Рис. 2. Энергетические спектры ионов He+, рассеянных поликристаллом золота при разных энергиях первичных частиц E0, кэВ: Δ – 2, – 5, × – 10, o – 25 [16]



В работе [6] показано, что аналогичная ситуация наблюдается для лег-ких ионов и в случае низких энергий. На рис. 3 приведены для разных энер-гий Е0 спектры ионов K+, рассеянных под углом ψ = 70° поверхностью поли-кристаллов тантала, вольфрама и рения, нагретых до T = 1700 К. Обращает на себя внимание форма энергетических распределений. В области Е0 ≤ 100 эВ спектры имеют вид крутых колоколообразных кривых, положение максиму-ма которых на шкале энергий близко к рассчитанному значению по формуле (1) для парных столкновений. С увеличением энергии Е0 положение высоко-энергетического максимума остается неизменным, но слева от него в низко-энергетической части появляется хвост с наличием нескольких широких гор-бов. Его возникновение связано с началом проникновения ионов в глубь ми-шени, сопровождающегося «зигзагообразным» (с выходом из плоскости па-дения) рассеянием их на атомах нижележащих слоев с существенной потерей энергии.

а) б) в)

Рис. 3. Энергетические спектры ионов К+, рассеянных нагретыми до Т = 1700 К поликристаллическими мишенями из тантала (а), вольфрама (б) и рения (в)

(угол падения φ = 55°, угол рассеяния ψ = 70°): E0, эВ: 1 – 60, 2 – 80, 3 – 100, 4 – 150, 5 – 200, 6 – 300, 7 – 400 [6] (пунктирные линии – расчет для парного столкновения)

Характерным отличием однократных столкновений от других видов

взаимодействий ионов с атомами мишени является независимость их относи-тельной энергии Е/Е0 от энергии бомбардировки (рис. 4). Другим отличием является независимость Е/Е0 от угла падения φ ионов на мишень [6].

Полученные с поликристаллов угловые и энергетические зависимости выражают усредненные характеристики рассеяния ионов, поскольку поли-кристаллы, представляющие собой набор микрокристаллов различной ориен-тации, не имеют выделенных кристаллографических направлений.



Рис. 4. Зависимость доли энергии, сохраняемой рассеянными ионами К+

в процессе парных столкновений с атомами тяжелых металлов, от энергии бомбардировки [6] (пунктирные линии соответствуют расчету

по формуле (1) для парных столкновений)

2. Неупругие потери энергии

Неупругие потери энергии иона связаны с возбуждением электронов и ионизацией атомов твердого тела. Оценки неупругих потерь энергии в эле-ментарном акте столкновения были проведены О. Б. Фирсовым. В их основе лежит предположение о торможении сталкивающихся частиц в результате электронного обмена, сопровождающегося переносом импульса электрона с одного атома на другой. В среднем этот импульс равен произведению отно-сительной скорости атомов на массу электрона.

Предполагалось также, что рассеяние происходит на малые углы. По-лученная Фирсовым формула для подсчета неупругих потерь энергии нале-тающего иона имеет вид

5 3 5 381 2 Б 0 1 2 0

5 51 3 1 371 2 0 Б 1 2 0

0,35 4,3 10

1 0,16 1 3,1 10

Z Z h a Z ZQ

Z Z r a Z Z r

, эВ, (5)

где 0 – скорость налетающей частицы, см·с–1; 0r – расстояние наибольшего

сближения, см. Расстояние наибольшего сближения сталкивающихся частиц массами

m1 и m2 при лобовом ударе можно определить по формуле

41 2 1 2

0 2 3 21 2 1 2 0

5,84 10 Z Z m mr

Z Z m m

,

полученной для потенциала Фирсова [17] из условия равенства потенциаль-ной и кинетической энергии.

Выражение для неупругих потерь энергии, справедливое для любых прицельных параметров для двух произвольных сталкивающихся атомов, да-но Л. М. Кишиневским [18]:



1 2 1 2 1 6 1 681 1 2 1 2

0 3

1 01 6 1 61 2

3 10 0,68 ( )( , ) 1 ,

0,671

r

r

TF

Z Z Z Z Z V rQ E

EZ r

a Z Z

эВ, (6)

где r – скорость относительного движения атомов, см·с–1; rЕ – энергия от-

носительного движения атомов, эВ. В области средних энергий (от нескольких единиц до десятков кэВ) не-

упругие потери энергии составляют лишь небольшую часть (5–10 %) общих потерь. Однако они играют существенную роль в процессах ионизации и эмиссии электронов, сопровождающих рассеяние ионов.

3. Ориентационные эффекты при рассеянии ионов монокристаллами

Монокристаллы, в отличие от поликристаллов, имеют выделенные кри-сталлографические направления, и поэтому можно ожидать в угловых и энер-гетических распределениях анизотропию рассеяния. С. Датцем и К. Снуком [19] при исследовании рассеяния ионов Ar+ с энергией Е0 в несколько десят-ков кэВ монокристаллом меди было обнаружено влияние ориентации кри-сталла по отношению к падающему пучку на форму энергетического распре-деления рассеянных ионов. Они изучали зависимость формы пика в энерге-тическом распределении от угла падения ионов Ar+ на грань (100) кристалла меди при фиксированном угле рассеяния. Данные для углов падения 37° и 45 приведены на рис. 5. При угле падения = 45 пик расщеплен на две компоненты, относительные интенсивности которых примерно соответству-ют концентрации изотопов меди в естественной смеси и объясняются одно-кратными столкновениями. При угле = 37 расщепление пиков не наблюда-ется, но в спектрах появляется высокоэнергетический хвост. Это нетрудно понять, если обратиться к иллюстрации взаимного расположения пучка ионов и атомов кристалла. При = 45 пучок первичных ионов Ar+ параллелен кри-сталлографическому направлению [110] и создаются благоприятные условия для того, чтобы значительная часть падающих ионов захватывалась в каналы кристаллической решетки. При этом основная часть рассеянных ионов обра-зуется в тех столкновениях, которые происходят на поверхности мишени (однократные столкновения), что приводит к сужению пика по сравнению со случаем = 37, когда условия для каналирования частиц в кристалле не вы-полняются и имеют место многократные столкновения.

Первым ориентационным эффектом, обнаруженным при изучении рас-сеяния ионов средних энергий поверхностями твердых тел, является эффект двукратного рассеяния. Его наблюдали Е. С. Машкова и В. А. Молчанов [1] при изучении рассеяния ионов Ar+ кристаллом меди (рис. 6). Эффект состоит в том, что при определенных условиях в высокоэнергетической части распре-деления рассеянных ионов появляется характерный пик. Энергия, соответ-ствующая этому пику, близка к расчетной энергии ионов, рассеянных в дан-ном направлении в результате двух последовательных столкновений иона с атомами мишени.



Рис. 5. Изотопический эффект в энергетическом распределении рассеянных ионов Ar+ на грани (100) монокристалла меди [19] (E0 = 60 кэВ, φ = 45°, ψ = 70°)

Рис. 6. Энергетические спектры ионов Ar+, рассеянных монокристаллом меди; Е0 = 30 кэВ; φ = 65°; ψ = 50° [1]

Тонкая структура энергетических спектров рассеянных ионов наблюда-

ется и в области низких энергий бомбардирующих частиц [6]. На рис. 7 при-ведена серия спектров ионов Cs+, рассеянных на угол = 92 различными гранями монокристалла вольфрама. Природа возникновения пиков, наблюда-емых в спектрах, может быть объяснена в области энергий Е0 500 эВ с по-зиции парных одно- и многократных столкновений [20, 21]. Для однократных столкновений не существует зависимости энергии рассеянных ионов от угла падения. В случае же двух- и трехкратных столкновений эта зависимость просматривается в форме колоколообразных кривых. На рис. 8 изображена зависимость энергии Е, соответствующей наблюдаемым в спектре пикам рас-сеянных на угол = 92° ионов Cs+, от угла падения первичных на поверх-ностную грань (001) монокристалла вольфрама. Пик I соответствует одно-кратному, а пики II–V – двукратному столкновению иона с атомами мишени в определенных кристаллографических направлениях.

Вероятность того, что отраженный ион может испытать больше одного столкновения с атомами мишени, существенно зависит от глубины располо-жения первой рассеивающей частицы. Если падающий ион испытывает пер-



вые столкновения в третьем или четвертом слое, то он имеет гораздо боль-шую вероятность испытать и другие столкновения до выхода из кристалла, чем ион, испытавший первое столкновение в первом слое.

а) б) в)

Рис. 7. Энергетические спектры ионов Cs+, рассеянных гранями монокристалла вольфрама при различных углах падения [6]: а – грань (001), Е0 = 500 эВ;

б – грань (112), Е0 = 580 эВ; в – грань (110), Е0 = 580 эВ

Рис. 8. Зависимость энергии, соответствующей положению пиков I, II, III, IV, V в спектрах рассеянных ионов, от угла падения первичных

ионов на поверхностную грань (001) (Е0 = 500 эВ) [21] Однако вероятность выхода рассеянных ионов сильно уменьшается при

возрастании глубины проникновения в решетку. Это значит, что влияние многократных столкновений на спектры может быть значительно уменьшено и даже сведено к нулю при таком расположении мишени, когда налетающий



ион либо испытывает первое столкновение в первом слое, либо, прежде чем испытать столкновение, проникает так глубоко в решетку, что его выход ста-новится маловероятным.

Это условие, как показали С. Датц и К. Снук, может быть выполнено на эксперименте, если направить пучок ионов на поверхностную грань (100) кристалла меди, имеющую гранецентрированную кубическую решетку, в направлении [110]. В этом случае происходит движение ионов внутрь откры-тых каналов кристалла (эффект каналирования). Обратный выход таких ионов затруднен. Часть налетающих ионов испытывает рассеяние в основном на поверхностных атомах в процессе однократных столкновений. Изменение угла на несколько градусов приводит к закрытию каналов и появлению в энергетическом спектре группы ионов, образованной в результате много-кратных столкновений.

В работе [22] было установлено, что в случае рассеяния ионов щелоч-ных металлов на монокристаллах в угловых зависимостях коэффициента рас-сеяния и угловых распределениях рассеянных ионов наблюдается анизотро-пия, связанная с кристаллографическими направлениями. Различные про-зрачности для разных ориентаций кристалла по отношению к падающему пучку ионов приводят к анизотропии коэффициента рассеяния Kp. С увеличе-нием массы бомбардирующих ионов глубина их проникновения в глубь кри-сталла уменьшается, а ориентационные эффекты «сглаживаются».

Таким образом, результаты исследований энергетических и угловых характеристик рассеяния ионов на монокристаллах дают бóльшую информа-цию о структуре поверхности и о механизме рассеяния, чем в случае поли-кристаллов. Они свидетельствуют о том, что явление рассеяния можно ис-пользовать для изучения структуры поверхности твердого тела, обнаружения дефектов кристаллической решетки и установления температуры отжига этих дефектов. Метод обратного рассеяния легких ионов средних энергий позво-ляет обнаружить чужеродные атомы на поверхности образца. Детальный ана-лиз состава поверхности с помощью данного метода был проведен Д. Смитом [23] при исследовании полупроводника CdS ионами He+ с энергией E0 = 2 кэВ.

Падающий и рассеянный пучки ионов лежали в плоскости 1120 . Угол рас-

сеяния ψ был равен 90°. В спектре рассеянных ионов He+ для чистой поверх-ности наблюдались два пика, соответствующие сере (S) и кадмию (Cd) (рис. 9,а). При загрязнении поверхности полупроводника появлялись доба-вочные пики, соответствующие элементам загрязнения. Для более детального изучения этой проблемы Смит провел исследования с алюминиевой мише-нью. Он снимал спектры рассеянных ионов He+ (E0 = 1,8 кэВ) сначала с чи-стого алюминия (рис. 9,б, спектр 1), а затем его окислял. В результате на по-верхности образовывалась пленка окиси алюминия (Al2O3) и в спектре кроме пика Al появлялся еще пик кислорода (O) (рис. 9,б, спектр 2).

4. Рассеяние ионов на атомной цепочке

В случае очень малых углов скольжения рассеяние ионов поверхно-стью не может быть описано моделями одно- или двукратного столкновения. При скользящем падении налетающая частица взаимодействует с цепочкой атомов, расположенной в данном кристаллографическом направлении. Суще-



ствует два основных подхода к описанию взаимодействия иона с атомными цепочками:

1) модель Линдхарда, в которой рассеяние описывается с помощью не-прерывного потенциала (непрерывного атомного ряда);

2) модель атомной цепочки Парилиса, в которой рассеяние рассматри-вается как последовательность коррелированных парных столкновений иона с отдельными атомами цепочки.

а) б)

Рис. 9. Энергетические спектры рассеянных на угол ψ = 90° ионов Не+: а – на чистой поверхности полупроводника CdS (Е0= 2 кэВ);

б – на чистой (1) и окисленной (2) алюминиевой поверхности (Е0= 1,8 кэВ) [23] Приближение непрерывного атомного ряда используется в случае вы-

соких энергий при каналировании легких ионов на больших глубинах кри-сталла и в случае, когда угол скольжения настолько мал, что атомной струк-турой цепочки можно пренебречь. Рассеяние происходит в плоскости цепоч-ки на угол = 2 (зеркальное отражение), где – угол скольжения. В этом случае энергетическое распределение рассеянных частиц представляет собой спектр с одним максимумом.

При отражении ионов средних энергий от монокристалла энергетиче-ский спектр рассеянных ионов обладает структурой, обусловленной суще-ствованием различных типов траекторий рассеяния (одно- и двукратное). На рис. 10 показана схема, иллюстрирующая одно- и двукратное столкновения иона последовательно с двумя атомами решетки.

Для небольших углов скольжения прицельные параметры при первом 1 и втором 2 столкновениях связаны соотношением

2 1 sin( ).d (7)

В модели атомной цепочки считается, что первое столкновение проис-ходит с атомом, для которого прицельный параметр не превосходит некото-



рого граничного значения гр, соответствующего рассеянию на заданный ма-лый угол гр. Для потенциала Фирсова для пары Ar+ Cu с энергией Е0 = 30, 10 и 5 кэВ значения прицельного параметра гр равны 1,5; 2,0 и 2,5 Å соответ-ственно. Угол рассеяния в каждом столкновении i (i) определяется потен-циалом взаимодействия для данной энергии налетающего иона Еi, которая вычисляется с учетом упругих и неупругих потерь согласно формулам (1) и (5). Прицельный параметр каждого следующего столкновения i+1 определя-ется предыдущим параметром i и углами рассеяния i как

1 1 1 11

( ( ), ) ( ( ), ) sinn

i i i i i i i i ii

E E d

. (8)

Рис. 10. Схема, иллюстрирующая одно- и двукратное рассеяние: α – угол скольжения; β – угол вылета; ψ – угол рассеяния

Взаимодействие с цепочкой прекращается, когда прицельный параметр

становится больше гр и ион покидает цепочку, рассеявшись на угол

i . Обычно это происходит после 3–10 столкновений. При данном

угле скольжения угол вылета и угол рассеяния = + однозначно определяются первым прицельным параметром 1. Угол рассеяния (1) яв-ляется периодической функцией 1 с периодом d·sin и ограничен минималь-ным и максимальным углами вылета. Это ограничение получило название «блокировка» и объясняется взаимным экранирующим действием атомов це-почки.

С увеличением угла число столкновений с атомами цепочки умень-шается и происходит плавный переход многократного рассеяния к дву- и од-нократному. Эффект экранировки исчезает, и угол рассеяния max может до-стигать сколь угодно больших значений, вплоть до 180.

В модели двух атомов рассеяние на данный угол происходит в ре-зультате одного или двух столкновений, что дает разную энергию Е рассеян-



ных ионов и соответствует двум пикам в энергетическом распределении. По-добная двузначность зависимости энергии от угла рассеяния Е() сохраняет-ся и при рассеянии на атомной цепочке. Поскольку каждому 1 соответствует свое значение энергии Е, энергия рассеянных в данном направлении ионов оказывается двузначной. На рис. 11 изображен характерный овал в зависимо-сти Е(), а также показаны зависимость интенсивности рассеянных ионов от угла рассеяния и положения пиков рассеянных ионов в энергетических спек-трах [2].

Рис. 11. Зависимость энергии рассеянных ионов (а) и интенсивности рассеяния (б) от угла рассеяния и положения пиков в спектре ионов,

рассеянных одномерной цепочкой (в) [2] Таким образом, при рассеянии ионов на атомной цепочке в угловых за-

висимостях Е() наблюдаются характерные овалы, ограниченные минималь-ным и максимальным углами рассеяния. Овалы вписываются в кривые одно- и двукратного рассеяния лишь при больших углах скольжения. В энергетиче-ских спектрах проявляется двухпиковая структура, содержащая квазиодно-кратные и квазидвукратные пики. Эти пики смещены по энергетической шка-ле в сторону больших энергий Е относительно пиков, соответствующих чисто однократному и двукратному рассеянию. Смещение увеличивается с умень-шением угла скольжения.

5. Рассеяние ионов в полуканалах

Следующим модельным представлением рассеяния ионов поверхно-стью является рассеяние в полуканалах, когда взаимодействие ионов проис-ходит не с одной, а с несколькими соседними цепочками атомов, которые об-разуют на поверхности монокристалла канал, открытый сверху. Атомные це-почки, расположенные вдоль разных кристаллографических направлений, образуют полуканалы различного вида и размеров.

б)

а) в)



Рассматриваются два типа полуканалов: открытый (без дна) полуканал, в котором атомные ряды второго слоя расположены под атомными рядами первого слоя (рис. 12,а), и полуканал с дном, образованным атомным рядом второго слоя, расположенным между атомными рядами первого слоя (рис. 12,б). Атомы в цепочках, составляющих стенки полуканала, могут в за-висимости от кристаллографических направлений располагаться симметрич-но (например, направления [110] и [100] на поверхности (110) ГЦК-решетки) и несимметрично (направление [112] на той же поверхности) относительно оси полуканала.

а) б)

Рис. 12. Схема открытого (без дна) полуканала (а) и полуканала с дном (б) Первые теоретические работы по изучению рассеяния тяжелых ионов

средних энергий полуканалами на поверхности монокристалла были прове-дены Э. С. Парилисом с соавторами [2]. В них методом компьютерного моде-лирования исследовались пространственные и энергетические закономерно-сти рассеяния в зависимости от угла скольжения, ориентации и температуры мишени, а также от начальной энергии Е0. Расчеты проводились в рамках мо-дели парных столкновений для ионов Ar+ с энергией Е0 = 4–30 кэВ, рассеянных гранью (100) монокристалла меди при углах скольжения 8 20.

Расчеты показали, что на диаграмме пространственных распределений рассеянных ионов наблюдаются две наиболее интенсивные группы ионов. Первая группа близка к углу зеркального отражения и соответствует рассея-нию ионов на гребне цепочек. Их энергетический спектр соответствует ре-зультатам, полученным на модели цепочки. В нем наблюдаются пики квази-однократного и квазидвукратного рассеяния.

Вторая группа обусловлена рассеянием ионов на дне полуканалов и вблизи гребней поверхностных цепочек; траектории таких частиц «зигзагооб-разные». Эти ионы, захваченные в полуканалы, претерпевают до 20–30 столк-новений со стенками полуканалов и рассеиваются на малые углы. При этом существует определенная вероятность возвращения иона в первоначальную плоскость. С увеличением угла эта группа рассеянных ионов пропадает, т.е. число частиц, захваченных в полуканалы, уменьшается.

В ряде случаев в энергетических спектрах, помимо пиков квазиодно-кратного и квазидвукратного рассеяния, предсказываемых моделью одномер-ной атомной цепочки, экспериментально наблюдаются дополнительные пики. Появление этих пиков обусловлено «зигзагообразными столкновениями», свя-занными с выходом иона из плоскости падения и возвращением его снова в эту плоскость. Сечение рассеяния таких ионов возрастает с уменьшением началь-ной энергии Е0 быстрее, чем сечение одно- и двукратного столкновения.



Таким образом, при достаточно малых углах скольжения значительная часть отраженного пучка ионов обусловлена рассеянием в полуканалах на поверхности кристалла.

6. Эффект ионной фокусировки

Эффект ионной фокусировки проявляется в увеличении интенсивности и уменьшении полуширины пространственного распределения рассеянных ионов при определенных ориентациях мишени по отношению к падающему пучку. Этот эффект заключается в том, что ионы, проходящие между двумя атомными рядами поверхности кристалла, фокусируются на дно полуканала в плоскости, перпендикулярной направлению канала (рис. 13).

Рис. 13. Схема ионной фокусировки кристаллом Фокусирующие свойства полуканала впервые были замечены

В. Е. Юрасовой с сотрудниками в численных расчетах по отражению ионов от монокристаллов [24, 25] и обнаружены экспериментально Е. С. Машковой и В. А. Молчановым [1] при изучении рассеяния ионов Ar+ с энергией Е0 = 30 кэВ монокристаллом меди. Ими было установлено, что максимальное сжатие потока рассеянных ионов по азимуту имеет место, когда плоскость падения первичных ионов параллельна наиболее плотноупакованным атом-ным рядам [110] мишени, образующим узкие и глубокие полуканалы, дном и стенками которых являются атомные цепочки [110]. При этом зависимость интенсивности рассеянных ионов от азимутального угла Φ поворота мишени вокруг нормали к ее поверхности значительно сильнее по сравнению со слу-чайной ориентацией.

При изменении азимутального угла Φ от 0 до 15, т.е. при переходе от плотноупакованного направления к случайной ориентации, полуширина про-странственного распределения рассеянных ионов существенно возрастает.

Таким образом, для не слишком малых углов падения ионов средних энергий на мишень их рассеяние от низкоиндексных кристаллографических плоскостей можно описать с помощью модели «атомной цепочки», учитыва-ющей коррелированные последовательности соударений иона с атомами по-верхностных атомных рядов. Если поверхностные ряды образуют совместно



с атомными рядами второго слоя полуканалы, то в дополнение к рассеянию изолированными цепочками действует эффект фокусировки траекторий ионов на входе в полуканал и выходе из него.

7. Затруднения модели парных столкновений в области низких энергий

Одним из главных аргументов в пользу модели парных столкновений является прежде всего независимость относительной энергии 0E E ионов, рассеянных на атомах кристаллической решетки (рис. 4), и коэффициента рассеяния Kр (рис. 1) от начальной энергии Е0 в широком диапазоне ее значе-ний от единиц до десятков кэВ. Однако это имеет место в основном для больших соотношений масс атома мишени и бомбардирующего иона ( >> 1) и энергий Е0 1 кэВ.

С уменьшением и Е0 (т.е. с переходом от легких ионов к тяжелым, ко-гда имеет место предельный угол однократного рассеяния, и от средних зна-чений энергии бомбардирующих частиц к низким) обнаруживается отклоне-ние от установленного правила. Так, в работе Д. Д. Груича [26] показана не-монотонная зависимость коэффициента рассеяния ионов Na+ и K+ W, Cs+ Ni, достигающая максимума при энергии Е0 = 40 – 60 эВ и спадающая при дальнейшем уменьшении энергии (рис. 14). Аналогичная зависимость интенсивности рассеяния от энергии была получена в работе [27] при бом-бардировке поликристалла молибдена низкоэнергетическими ионами Cs+ (рис. 15,б). Если возрастающую (справа от максимума) ветвь зависимости I(Е0) (или Kр(Е0)) можно как-то объяснить, связав ее с увеличением эффек-тивного сечения рассеяния при уменьшении энергии Е0, то спадающую (слева от максимума) ветвь этим объяснить нельзя.

Рис. 14. Зависимость коэффициента рассеяния ионов щелочных металлов (Na+, К+, Cs+) на поликристаллических мишенях из вольфрама и никеля в области низкой энергии от кинетической энергии этих ионов [26]



Другим затруднением модели парных столкновений является экспери-ментально установленный факт увеличения 0E E с уменьшением начальной энергии Е0 ионов Cs+ (рис. 15,а).

а)

б)

Рис. 15. Зависимость отношения 0nE E в максимуме кривой энергетического

распределения (а) и интенсивности рассеяния (в относительных единицах) (б) от энергии первичных ионов для углов рассеяния = 90 (кривые 1)

и 110 (кривые 2); угол падения = 45 [27] Факт сохранения рассеянным ионом Cs+ больших значений энергии Е и

нелинейный ход энергетической зависимости 0 0E E f E нельзя объяс-

нить с точки зрения модели парных столкновений. Действительно, если все-таки встать на позиции парных многократных столкновений, то для объясне-ния аномально большого значения относительной энергии иона Cs+ (0,29 для Е0 = 20 эВ) при рассеянии на угол = 110 (пред = 46) необходимо поло-жить, что этот ион испытал не менее n = 5 симметричных столкновений

1 2 ...n

с атомами молибдена с разворотом импульса в одну сто-

рону, прежде чем быть зарегистрированным в приемнике. Но для этого иону необходимо достаточно глубоко внедриться в глубь мишени, чтобы найти партнеров по одиночным последовательным столкновениям. Однако опыты других экспериментаторов [28] свидетельствуют о том, что для Cs+Мо ко-личество диффузионных ионов, образованных в результате внедрения при Е0 = 200 эВ, составляет всего 4%, а при Е0 < 200 эВ внедрение практически отсутствует.

Очевидно, такой способ объяснения рассеяния тяжелых ионов на ато-мах мишени, когда M < m, неубедителен и требует иного подхода к проблеме взаимодействия иона с поверхностью.



Следует отметить, что и в случае компьютерного моделирования рассе-яния ионов на атомах решетки методом последовательных парных столкно-вений наблюдается разногласие между расчетом и экспериментом [29]. На рис. 16 приведены гистограммы энергетических распределений (1) и экспе-риментальные спектры (2) ионов Cs+, рассеянных поверхностной гранью (001) монокристалла вольфрама, для разных энергий Е0: 1140 эВ, 520 эВ и 190 эВ. Угол рассеяния равен 92, а угол падения 58.

а)

б)

в)

Рис. 16. Гистограммы энергетических распределений (1) и экспериментальные спектры (2) ионов Cs+, рассеянных поверхностной

гранью (001) монокристалла вольфрама, для разных энергий Е0: а – 1140 эВ; б – 520 эВ; в – 190 эВ; = 92, = 58 [29]

Гистограммы (1) получены при расчете с потенциалом:

( ) , / 2,( ) 0, / 2,

FV r C r aV r r a

(9)

где ( )FV r – потенциал Фирсова; С – эмпирическая константа, вводимая для

того, чтобы «улучшить» потенциал ( )FV r на расстояниях r > 1 Å. Из сравнения экспериментальных и теоретических данных следует, что

как на опыте, так и в расчетах энергетические распределения отраженных ионов имеют двухпиковую структуру (пики I и II). Совпадение положения



пиков на экспериментальных спектрах и гистограммах, а также правильное соотношение их интенсивностей для Е0 = 1140 эВ свидетельствуют о приме-нимости модели последовательных парных столкновений для данной энер-гии. Пики I и II имеют сходное многократное происхождение. Пик I обуслов-лен столкновениями кратности 1–3, причем сильное изменение энергии и направления движения иона происходит в одном столкновении с атомом ре-шетки, а затем уже он «доворачивается» до данного угла в результате еще нескольких скользящих столкновений. Это согласуется с расчетами работы [30], где взаимодействие названо «квазиоднократным».

Пик II обусловлен столкновениями с кратностью 2–4, где сильное из-менение энергии и импульса налетающего иона происходит в двух соударе-ниях. Такое взаимодействие по аналогии названо «квазидвукратным».

С уменьшением энергии Е0 экспериментальный спектр смещается в сторону высоких значений энергии рассеянных ионов (рис. 16,б). Тем не менее, согласие между экспериментальным и рассчитанным спектрами еще сохраняется. Совершенно иначе обстоит дело при Е0 = 190 эВ (рис. 16,в). Здесь не только отсутствует совпадение в положении пиков (эксперименталь-ные пики существенно сдвинуты в высокоэнергетическую часть спектра по сравнению с расчетными), но и неправильно предсказано отношение их интен-сивностей. И если различие интенсивности можно было бы отнести к плохому знанию потенциала в данной области энергий, то различие в положении пиков, не зависящем от вида потенциала, этим объяснено быть не может.

Таким образом, наблюдаемый эффект не может быть интерпретирован в рамках модели парных столкновений.

8. Механизм многочастичного взаимодействия низкоэнергетических ионов с поверхностью

Угловые зависимости рассеяния

В области энергий Е0 < 500 эВ наблюдается отступление от модели пар-ных столкновений. Действительно, при малых энергиях (скоростях) время пребывания иона в зоне действия атомов поверхности значительно возраста-ет, поэтому на процессе рассеяния может определенным образом сказаться влияние связей атомов кристаллической решетки [5]. Кроме того, эффектив-ный радиус взаимодействия частиц существенно увеличивается, и не исклю-чена возможность действия соседних атомов. Все это изменит характер рас-сеяния.

Для объяснения аномально больших значений энергии Е, сохраняемой рассеянными ионами в области низких энергий Е0, и нелинейного хода зави-симости отношения 0E E от величины Е0 привлекается механизм многоча-стичных взаимодействий [6]. Его суть сводится к одновременному взаимо-действию налетающего медленного иона с группой поверхностных атомов кристаллической решетки, связанных между собой силами связи. Идея груп-повых взаимодействий впервые была высказана Н. Н. Петровым [31] при объяснении рассеяния ионов Cs+ молибденовой поверхностью (Cs+→Mo, E0 = 200–1400 эВ) на большие углы ψ (ψ > ψпред = arcsin μ). Если μ < 1, то со-гласно формуле (1) однократное рассеяние тяжелых ионов возможно только на углы ψ ≤ ψпред, где предельный угол рассеяния определяется как ψпред = arcsin μ.



В соответствии с этой идеей возможно соударение иона одинаковым образом сразу с двумя атомами (гантелью) кристаллической решетки. Фор-мально оно сводилось к столкновению иона с некоторым гипотетическим атомом, обладающим эффективной массой Мэф, большей массы атома мише-ни М, но меньше 2М. Дальнейшее развитие эта идея с использованием эффек-тивной массы получила в работах В. И. Векслера [32–34]. Методом кривых задержки были получены зависимости максимальных энергий ионов K+, Rb+ и Cs+, рассеянных накаленной до 1450 К поверхностью молибдена под раз-ными углами ψ = 90–126°, от начальной энергии E0. На основании получен-ных данных им была предложена модель взаимодействия иона одновременно с группой, состоящей из нескольких (2–4) атомов и обладающей осью сим-метрии. При этом ион движется в одной из плоскостей симметрии системы, не проходящей через центры атомов.

Однако рассчитанные в приближении абсолютно твердых упругих ша-ров некоторые характеристики рассеяния [4], используемые для сравнения с экспериментальными данными, оказались мало убедительными. Уязвимым местом модели было понятие об «эффективной массе» некоторого гипотети-ческого атома, которым заменялась группа атомов мишени (кластер), участ-вующих во взаимодействии с ионом. Такая замена, наоборот, усложняла по-нимание физики взаимодействия сталкивающихся частиц.

В общем виде теоретическое рассмотрение групповых столкновений представляет собой крайне сложную и нерешаемую в аналитическом виде за-дачу, поскольку, во-первых, это задача многих тел, которая в механике не решается; во-вторых, неизвестен вид потенциала взаимодействия между ионом и атомами решетки. Данная задача может быть решена только с ис-пользованием современной компьютерной техники.

При изучении угловых закономерностей рассеяния ионов Cs+ поверх-ностями легких металлов (молибден, никель, алюминий) был обнаружен эф-фект «зеркального» отражения [35]. Когда углы падения близки (или равны) углу зеркального отражения, наблюдается наибольшее количество рассеян-ных ионов (рис. 17) с максимальным значением относительной энергии 0E E

(рис. 18). Полученные результаты можно понять, если считать, что бомбардиру-

ющий ион взаимодействует одновременно с группой атомов поверхности (кластером), наиболее близко расположенных к иону в момент столкновения. Чем больше атомов входит в кластер, тем более адекватно реальное отраже-ние зеркальному. Это напоминает упругие отражения молекул газа от стенки, рассматриваемые в молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Роль массы и энергии связи атомов решетки

Чтобы проследить, как меняется механизм взаимодействия налетающих ионов с атомами мишени при переходе от одного рода мишеней к другому, можно провести сравнительный анализ результатов, полученных при иссле-довании рассеяния ионов Сs+ поверхностью тяжелых ( > 1) и легких ( < 1) металлов. В области малых энергий Е0 наблюдаются отраженные ионы от любой мишени, независимо от ее атомной массы. Энергетические распреде-ления представляют собой кривые с четко выраженным максимумом, поло-жение которого на шкале энергий для разных мишеней различным образом



зависит от энергии бомбардировки (рис. 19). В случае Cs+ Co, Мо и W наблюдается сильная зависимость 0E E (Е0), тогда как для Cs+ U238 вели-

чина относительной энергии остается постоянной во всем исследованном ин-тервале энергий Е0. Очевидно, для Cs+ U238 парность столкновений сохра-няется вплоть до энергии Е0 40 эВ.

Рис. 17. Зависимость интенсивности рассеяния ионов Cs+ (в произвольных единицах) поликристаллом молибдена от угла падения для энергии Е0; кривые: 1 – 20 эВ, 2 – 40 эВ, 3 – 60 эВ, 4 – 80 эВ, 5 – 100 эВ,

6 – 200 эВ, 7 – 300 эВ; = 110, Т = 540 K [6]

Рис. 18. Зависимость доли энергии, сохраняемой рассеянными ионами Cs+ на молибденовой поверхности, от угла падения для начальной энергии Е0;

кривые: 1 – 30 эВ, 2 – 40 эВ, 3 – 60 эВ, 4 – 80 эВ, 5 – 100 эВ; = 90, Т = 540 K) [35]



а)

б)

в)

г)

Рис. 19. Зависимость отношения Еn/Е0 в максимуме энергетических распределений рассеянных ионов от энергии бомбардировки [6]: а – Cs+ Со, = 0,44; б – Cs+ Мо, = 0,72; в – Cs+ W, = 1,38; г – Cs+ U238, = 1,79

Ход указанной зависимости качественно можно понять, если принять

во внимание возможность реализации хотя бы одного из следующих положе-ний:

1) взаимодействие налетающего иона одновременно с группой бли-жайших в момент столкновения атомов решетки;

2) влияние межатомных связей в твердом теле. Первое положение может быть реализовано только в предположении

дальнодействующего характера потенциала взаимодействия, когда спад по-тенциала с расстоянием плавный и влияние на рассеяние ближайших к иону атомов поверхности оказывается значительным. Рассеивающее действие на ион оказывает не только область поверхности, занятая узлами кристалличе-ской решетки, но и междоузлие. Известно, что для межатомного потенциала V(r) нет единой аналитической формулы, пригодной для любых расстояний r. Для нахождения потенциала имеется ряд методов, каждый из которых при-меним лишь для ограниченного интервала значений r [36].

Что касается положения о влиянии энергии связи на рассеяние, то оно определяется электронной структурой атомов в твердом теле и, следователь-но, зависит от рода материала мишени. Указать, какое из этих положений вносит больший вклад в механизм многочастичных взаимодействий, трудно, однако можно с уверенностью сказать, что оба они в той или иной мере опре-деляют этот механизм.



Влияние плотности упаковки атомов на величину энергии рассеянных ионов

Величина энергии рассеянного иона в процессе многочастичных взаи-модействий существенным образом зависит от межатомных расстояний ато-мов в кластере, с которым взаимодействует налетающий ион. Это можно проверить экспериментально, проведя исследования рассеяния ионов на ми-шенях с разной плотностью упаковки. Опыты были проведены с ионами K+, отраженными от поликристаллических мишеней из хрома, титана и ванадия [37]. Геометрия бомбардировки соответствовала условию зеркального отра-жения (углы падения и рассеяния соответственно равны 55 и 70).

Выбор материала мишени был сделан из следующих соображений. Атомные массы хрома, титана и ванадия примерно одинаковы и не могут влиять на возможные различия в энергии рассеянных ионов. Если эти разли-чия будут иметь место, то они обусловлены разной плотностью заполнения (упаковки) атомов указанных металлов, так как многочастичные взаимо-действия существенно зависят от межатомных расстояний кристаллической

решетки. Число атомов в единице объема aN

A (где aN – число Авогад-

ро, – плотность вещества, А – атомная масса). Значения для соответству-ющих мишеней приведены в табл. 1.

Таблица 1

Некоторые параметры, характеризующие материал мишеней, подвергнутых ионной бомбардировке

Ион-атом мишени

Плотность упаковки атомов мишени , см–3

Постоянная решетки а, Å (ОЦК- тип)

Отношение масс атома мишени

и иона K+ Cr V Ti Cs+ W

9,2×1022 7,9×1022

6,2×1022 6,9×1022

2,88 3,03 3,28 3,16

1, 33 1,31 1,23 1,38

На рис. 20 приведены результаты эксперимента [37], представляющие

собой зависимость отношения 0nE E рассеянных ионов K+ в максимуме энергетических распределений (а) (кривые 1 – 3) и ее максимальных значений (б) от энергии бомбардировки для разных мишеней (V, Cr, Ti) (Еn – энергия рассеянного иона в максимуме распределения; Еmax – его максимальная энергия).

Экспериментальные данные указывают на то, что относительная энер-гия ионов K+ при рассеянии на хроме и ванадии, значительно выше, чем при рассеянии на титане. Плотность упаковки атомов Cr и V больше, чем Ti. Увеличение плотности упаковки приводит к уменьшению межатомного рас-стояния и, следовательно, к более сильному эффекту многочастичного взаи-модействия, в результате которого рассеянные ионы сохраняют аномально высокие значения своей энергии. Значения max 0E E ионов K+, рассеянных поверхностями хрома и титана, также подтверждают заключение о влиянии плотности упаковки атомов на величину энергии рассеянных частиц.



Рис. 20. Зависимость относительной энергии рассеянных ионов в максимуме кривых энергетических распределений (а) и ее максимальных значений (б) от энергии бомбардировки; кривые: 1 – K+ V; 2 – K+ Cr; 3 – K+ Ti, 4 – Cs+ W

На рис. 20,а в качестве сравнения приведена зависимость 0nE E от Е0

для случая Cs+ W (кривая 4). Видно, что, несмотря на примерно одинако-вое значение у приведенных пар (см. табл. 1), доля энергии, сохраняемая рассеянными ионами K+, значительно выше, чем у ионов Cs+. Этот факт ука-зывает на то, что в случае Cs+ W потенциал ион-атомного и межатомного взаимодействия, по-видимому, менее дальнодействующий, чем для легких элементов, что приводит к ослаблению эффекта многочастичного взаимодей-ствия и, как следствие, к уменьшению относительной энергии рассеянных частиц.

На основании этих результатов априори можно предсказать, что в слу-чае отражения ионов от тяжелых металлов с малой плотностью упаковки (например, Pb, La, U; < 4,5×1022 см–3) эффекта многочастичных взаимодей-ствий ожидать нельзя даже при очень низких значениях начальной энергии Е0. Подтверждением этому могут служить опыты для случая Cs+ U238 (см. рис. 19,г). И наоборот, в случае бомбардировки тяжелых металлов с больши-ми значениями (например, Ta, W, Re; > 5,5×1022 см–3) многочастичные взаимодействия имеют место уже при энергии Е0 в несколько сот эВ.

Таким образом, эффект многочастичных взаимодействий зависит не только от начальной энергии Е0 и массы m бомбардирующего иона, но и от кристаллической структуры мишени. Уменьшение межатомного расстояния а приводит к усилению данного эффекта и, наоборот, к его ослаблению при увеличении а. Это открывает широкие возможности практического примене-ния механизма многочастичного взаимодействия в качестве инструмента ис-следования тонких пленок и технологического контроля их роста начиная с монослойного покрытия.

а)

б)



9. Модель рассеяния ионов поверхностью кристаллов методом молекулярной динамики

Математическое описание модели

Энергия рассеянных ионов в процессе многочастичного взаимодей-ствия с поверхностными атомами кристаллической решетки определяется с помощью компьютерных расчетов методом молекулярной динамики. В со-ответствии с этим методом система взаимодействующих частиц описывается гамильтонианом вида

2

20

1

2 ( ),2

n

i ii

pH p M U

m r (10)

где р0, m – импульс и масса налетающего иона; рi, Mi – импульс и масса i-го атома мишени; ( )U r – потенциальная энергия системы взаимодействующих частиц.

Потенциальная энергия системы взаимодействующих частиц представ-ляется в виде следующих слагаемых:

1 2 ,U U U (11)

где 1 0 01

n

i ii

U V

r r – потенциальная энергия взаимодействия иона (ча-

стица с индексом 0) с атомами мишени ( 0iV – потенциал парного ион-атомного взаимодействия);

2 ( )U V z .

Феноменологический потенциал V(z) учитывает дополнительное оттал-кивание ионов, связанное с обменным и спин-поляризационным взаимодей-ствием перекрывающихся электронных оболочек иона и кластера, состояще-го из ближайших атомов мишени. Он представляется в виде [38]:

2( ) ,V z A r B (12)

где А (эВÅ2) – константа, которая в расчетах выбиралась пропорциональной энтальпии испарения соответствующего металла (величине порядка энергии связи атомов этого металла); В = 0,01 Å2 вводилась для исключения особен-ности при z = 0 (z – нормальная координата к поверхности мишени).

С учетом этого записывается система дифференциальных уравнений вида

0 0

0 00

01

0 0

1

,

( ),

,

,

k k

ni i

kki

ik ik

ni i

i ikiki

r

V V zm

r z

r

VM

r

r r

r r

(13)



где r0k, rik – проекции радиус-векторов иона и i-го атома соответственно на k-ю ось координат; υ0k, υik – проекции скоростей иона и i-го атома;

0kik

ik

VF

r

– проекции силы, действующей на i-й атом.

Начальные условия задаются в виде

0

0

0

(0) 0;

(0) 2 sin cos ,

(0) 2 sin sin ,

(0) 2 cos .

ik

ox

oy

oz

E m

E m

E m

(14)

Здесь индекс k принимает значения (x, y, z); и – полярный и азиму-тальный углы в сферической системе координат (r, , ).

Система (13) – система обыкновенных дифференциальных уравнений – имеет точное решение только для N = 2 (задача двух тел). Для N > 2 един-ственным способом решения является численное интегрирование. При реше-нии полученной системы дифференциальных уравнений используется чис-ленный метод Адамса – Башфорта – Мултона [39]. Решение системы уравне-ний движения контролируется по выполнению закона сохранения энергии

01

,n

ii

E E E

(15)

где Е0 – начальная энергия системы взаимодействующих частиц; Е – энергия, сохраняемая ионом после взаимодействия; Еi – энергия, полученная i-м ато-мом мишени после взаимодействия (энергия отдачи).

Выбор потенциала взаимодействия

В численных экспериментах по исследованию рассеяния медленных ионов упорядоченными структурами методом молекулярной динамики в ка-честве потенциала ион-атомного взаимодействия V0i применяли потенциал Циглера – Бирзака – Литтмарка [40]:

21 2 2

1( ) expZ Z e c r

V r cr b

6 843 5 7exp exp exp

c r c rc rс с с

b b b

, (16)

где 1Z e и 2Z e соответственно ядерные заряды иона и атома мишени; r расстояние между ними;

0,23 0,231 2 1 2 3Å; 0,1818;0,8853 0,5 3,2; 0,5099;3 , c cZ cb Z

4 5 6 7 80,9423; 0,2802; 0,4029; c 0,02817; 0,2016.c c c c



Для сравнения с ним использовали потенциал Борна – Майера

( ) exp ,r

V r ab

(17)

где 3 21 2

1 28200 29a Z Z , эВ; b = 0,219 Å.

На рис. 21 приведены энергетические распределения рассеянных по-верхностной гранью (001) монокристалла вольфрама ионов Cs+, рассчитан-ные методом молекулярной динамики с использованием потенциалов Борна – Майера (БМ) и Циглера – Бирзака – Литтмарка (ЦБЛ) для начальной энергии Е0 = 190 эВ и углов падения = 32 и рассеяния = 92.В качестве сравнения расчета с экспериментом на этом же рисунке показан экспериментальный спектр (пунктирная линия) для той же геометрии и энергии Е0. Углы падения и рассеяния лежали в одной плоскости (плоскость (110)).

а) б)

Рис. 21. Энергетические распределения рассеянных поверхностной гранью (001) монокристалла вольфрама ионов Сs+, рассчитанные с использованием

потенциалов БМ (а) и ЦБЛ (б); Е0 = 190 эВ, = 32 и = 92°; пунктирная линия – экспериментальный спектр; Nст/Е – количество ионов

в столбце гистограммы, отнесенное к энергии столбца [6] Сравнение рассчитанных спектров с экспериментальными для

Е0 = 190 эВ свидетельствует о правильном описании механизма рассеяния ионов Cs+ на поверхности вольфрама многочастичными взаимодействиями. Рассчитанные гистограммы удовлетворительно совпадают с эксперименталь-ными спектрами, причем при использовании потенциала ЦБЛ это совпадение значительно лучше, чем при использовании потенциала БМ. Несоответствие рассчитанных с БМ-потенциалом энергетических распределений проявляется в сдвиге гистограммы в низкоэнергетическую область по сравнению с экспе-риментальными спектрами. При этом в энергетических распределениях в ос-новном наблюдается максимум, соответствующий рассеянным ионам с малой энергией. Следует отметить, что эта тенденция проявляется начиная с энер-гии Е0 ≥ 580 эВ и при использовании потенциала ЦБЛ.

Таким образом, механизм многочастичных взаимодействий тяжелых ионов с атомами твердого тела работает в области энергий 0 500E эВ. Чет-кой энергетической границы, когда начинает работать механизм многоча-

E/E0

Nст/E Nст/E

E/E0



стичного взаимодействия или модель парных столкновений, обозначить нель-зя, поскольку это связано не только с соотношением масс иона и атома ми-шени, но и с родом и электронной структурой поверхности исследуемого ме-талла.

10. Численные эксперименты по исследованию рассеяния ионов монокристаллами методом молекулярной динамики

Существующий неоднозначный подход к механизму взаимодействия ионов с атомами твердого тела в области низких энергий может быть успеш-но преодолен путем компьютерного моделирования рассеяния налетающих частиц поверхностью методом молекулярной динамики. Достоинством дан-ного метода является то, что он основан на строгом численном решении дифференциальных уравнений движения частиц, не требует введения различ-ных подгоночных параметров для согласования с экспериментом и дает воз-можность решать задачу многих тел. Этот метод позволяет найти не только величину энергии рассеянных ионов после взаимодействия, но и их количе-ство с данной энергией, а также угловые и энергетические распределения. Указанный метод позволяет объяснить эффект зеркального отражения ионов Cs+ от молибденовой поверхности, имеющий место в области малых энергий (Е0 ≤ 100 эВ) и установленный экспериментально в работе [35]. Эффект за-ключается в том, что интенсивность и положение максимума спектров на шкале энергий 0E E претерпевают угловую зависимость (см. рис. 17 и 18), достигая наибольшего значения при углах падения φ, равных (или близких) углу зеркального отражения

0 .2

На рис. 22 показаны рассчитанные гистограммы энергетических рас-пределений ионов V+, W+ и U+, рассеянных мишенями соответствующих ме-таллов: а – ванадия, б – вольфрама, в – урана, для энергии бомбардировки E0, эВ [34] (здесь и в последующих численных исследованиях выбор взаимо-действующих частиц Me+→Me (μ = 1) сделан специально, чтобы исключить влияние соотношения масс атома мишени и налетающего иона на величину энергии рассеянных частиц). Ориентация монокристаллических мишеней с ОЦК-решеткой относительно первичного пучка была такова, что падающий и детектируемый отраженный пучки ионов лежали в плоскости (001), а бом-бардировке под углом φ = 55 относительно нормали к поверхности подвер-галась грань (110) монокристалла.

В расчетах выбор константы А в феноменологическом потенциале (12) соответствовал величине, равной энтальпии испарения соответствующего ис-следуемого металла, которая порядка энергии связи его атомов. Для ванадия А = 4,7, вольфрама – 8 и урана – 4,4 эВÅ2. Как следует из рис. 22, спектры содержат в основном три пика, соответствующих трем группам ионов, рассе-янных определенными кластерами кристалла. Например, для E0 = 80 эВ вы-сокоэнергетический пик соответствует взаимодействию иона с кластером из N = 18 атомов для V, 13 – для W и 11 – для U. У низкоэнергетического пика число атомов в кластере меньше: 13 атомов для ванадия, 10 – для вольфрама и 8 – для урана. Для среднего пика число атомов, одновременно участвую-



щих во взаимодействии с ионом, равно 16 – у V, 11 – W и 6 – U. Ионы, не до-ходя до поверхности мишени, под действием поверхностных атомов развора-чиваются и удаляются от нее. Следует отметить, что из всех атомов в класте-ре, участвующих во взаимодействии, наибольшую энергию получают только 2–3 близлежащих к иону атома, а остальным передается незначительная часть энергии через связь. Анализ рассчитанных спектров показывает, что чем боль-ше число атомов в кластере, с которым взаимодействует ион, тем больше отно-сительная энергия рассеянного иона. У ванадиевой мишени с постоянной ре-шетки a = 3,02 Å в зону действия попадает в среднем большее число атомов, чем в случае вольфрамовой (a = 3,16 Å) и урановой (a = 3,52 Å) мишеней. По-этому относительная энергия рассеянных ионов V+ выше, чем ионов W+ и U+ (рис. 23). Построение кривых на рис. 23 проводилось по максимальным значе-ниям энергии в энергетических спектрах рассеянных ионов (рис. 22). Наблюда-емый ход зависимости 0 0( )E E f E находится в полном соответствии с по-лученными ранее экспериментальными данными [6] для случая рассеяния щелочных ионов мишенями из указанных металлов и подтверждает механизм многочастичного взаимодействия. Постоянная кристаллической решетки ме-талла, из которого изготовлена мишень, играет важную роль в многочастич-ных взаимодействиях. С уменьшением постоянной решетки а относительная энергия рассеянных ионов увеличивается [42]. На рис. 24 приведена зависи-мость максимальной относительной энергии, рассчитанная в случае рассея-ния Me+ → Me для ряда металлов с ГЦК-решеткой, от постоянной а. Видно, что с возрастанием а величина max 0E E соответственно уменьшается.

а) б) в)

Рис. 22. Гистограммы энергетических распределений ионов V+, W+ и U+, рассеянных соответствующими мишенями: а – V; б – W; в – U на угол ψ = 70

для энергии E0: 1 – 40 эВ; 2 – 80 эВ; 3 – 500 эВ (φ = 55) [41]

E/E0

I



Рис. 23. Зависимость максимальной относительной энергии рассеянных ионов от энергии бомбардировки, кривые:

1 – V+→V; 2 – W+→W; 3 – U+→U (ψ = 70, φ = 55) [41]

Рис. 24. Зависимость максимальной относительной энергии ионов Ni+, Al+, Pt+ и Pb+, рассеянных соответственно монокристаллами Ni, Al, Pt и Pb, от постоянной решетки: – для всех типов ионов энергия E0 постоянна и равна 40 эВ; × – для всех типов

ионов начальная скорость υ0 постоянна и равна 16800 мс–1 [42] Угловые распределения рассеянных ионов (рис. 25) подтверждают эф-

фект зеркального отражения для E0 = 40 и 80 эВ (гистограммы 1 и 2). Рассея-ние имеет место только в узком интервале углов ψ вблизи угла зеркального отражения (ψ = 70, φ = 55), где наблюдается максимальная интенсивность. С увеличением энергии бомбардировки диапазон углов ψ, на которые могут рассеяться ионы от поверхности, расширяется в область малых значений ψ (гистограммы 3). При этом исчезает эффект зеркального отражения, и для E0 = 500 эВ рассеяние от зеркального (отражение от стенки) переходит к изо-тропному (парным столкновениям). У легких ионов (V+→V) переход к пар-ным столкновениям происходит при меньших значениях E0, чем у тяжелых (W+→W или U+→U). В этом случае число попавших в детектор частиц резко уменьшается. Например, для W+→W при переходе от E0 = 40 эВ к E0 = 500 эВ оно уменьшилось в 19 раз.

Emax/E0

E0, эВ



а) б) в)

Рис. 25. Угловые распределения ионов V+, W+ и U+, рассеянных соответственно V-мишенями (а); W-мишенями (б); U-мишенями (в) для энергии E0: 1 – 40 эВ, 2 – 80 эВ, 3 – 500 эВ (φ = 55) (Nст – число ионов в столбце гистограммы) [41]

Таким образом, вероятность многочастичных взаимодействий резко

уменьшается с увеличением энергии бомбардирующих частиц. При этом су-щественно уменьшается относительная энергия рассеянных ионов, пропадает эффект зеркального отражения (отражения от стенки), а взаимодействия пе-реходят от многочастичных к парным.

11. Влияние ориентации кристалла на рассеяние ионов

Ориентация кристалла относительно падающего на него пучка суще-ственно влияет на величину относительной энергии рассеянных ионов. В ра-боте [43] показаны результаты экспериментального исследования рассеяния ионов Cs+ различными гранями монокристалла молибдена. В качестве иссле-дуемых мишеней были выбраны образцы с поверхностными гранями (001) и

(110) с кристаллографическими направлениями 001 и 110 вдоль линии

движения бомбардирующего иона (рис. 26). Выбор образцов проводился с целью реализации различных комбинаций атомов поверхностных слоев, ближайших к линии движения иона. Углы падения и рассеяния были равны соответственно 55 и 70. На рис. 27 показаны экспериментальные кривые за-висимости относительных энергий 0nE E рассеянных ионов Cs+ в максиму-ме их энергетических распределений от энергии E0 для четырех монокри-сталлических мишеней (кривые 1–4) и для поликристалла (кривая 5). Обна-ружено, что величина 0nE E нелинейно возрастает с уменьшением E0 для всех мишеней. Кроме того, доля энергии, сохраняемая рассеянным ионом от поверхности монокристалла, различна для разных граней и кристаллографи-

Nст/Ψ

Ψ, град



ческих направлений, и в области E0 ≤ 200 эВ существенно выше, чем от по-ликристалла. Наибольшую величину ион сохраняет при бомбардировке по-

верхностной грани (001) при своем движении вдоль 110 в плоскости (110)

(рис. 26,г). Доли энергии, сохраняемые ионом при отражении от тех же гра-ней в случаях б,в, имеют промежуточные значения.

а) б)

в) г)

Рис. 26. Схема расположения атомов в плоскости падения и детектирования ионов при различной ориентации кристалла ОЦК-типа; а – грань (001),

плоскость падения 110, направление 110 ; б – (110), 110 , 001 ;

в – (001), 010 , 100 ; г – (110), 001 , 110 [43]

Полученные результаты качественно объясняются с точки зрения мно-

гочастичных взаимодействий и влияния сил связи атомов в твердом теле. В момент наибольшего сближения иона с одним из поверхностных атомов решетки на него оказывают отталкивающее действие также ближайшие ато-мы первого и второго слоя решетки. Из рассматриваемых комбинаций распо-ложения этих атомов видно, что в момент столкновения иона с атомом ре-шетки расстояния до его ближайших соседей различны для разных граней и кристаллографических направлений. Так, в среднем наименьшее расстояние имеют атомы первого и второго слоя в случае а, б, а наибольшее – в случае г. Поэтому результирующее действие ближайших соседей, а следовательно, энергия рассеянного иона, должны быть для а максимальными, для б – не-сколько меньшими (так как второй слой расположен глубже от поверхности, чем в случае а), а для г – минимальными, что и подтверждается на экспери-менте (кривые 1, 2, 4). Учет сил связи близлежащих атомов может только усилить эффект многочастичного взаимодействия.

В случае поликристалла, представляющего «набор» зерен произволь-ной ориентации, ситуации, аналогичные рассмотренным на рис. 26, реализу-ются с малой вероятностью из-за отсутствия выделенных направлений. Плот-ность поликристалла меньше, чем у монокристалла, и у него слабее меж-атомные связи. Все это существенно сказывается на величине сохраняемой ионом энергии (кривая 5).



Данные результаты находятся в согласии с компьютерными расчетами, проведенными методом молекулярной динамики [44]. Моделирование рассе-яния ионов Cs+ поверхностями (001) и (110) монокристалла Mo для условий, соответствующих эксперименту [43] (угол падения φ = 55, угол рассеяния ψ = 70), выявило качественно различный характер рассеяния в направлениях

001 и 110 . Энергетические спектры ионов, рассеянных в кристаллогра-

фическом направлении 110 , состоят из двух пиков, соответствующих ква-

зиоднократному и квазидвукратному рассеянию. Здесь под квазиоднократ-ным подразумевается такой акт взаимодействия, при котором энергия отдачи передается в основном одному атому мишени. Взаимодействие же с осталь-ными атомами позволяет иону рассеяться на угол пред . Аналогично,

в случае квазидвукратного рассеяния энергия отдачи распределяется в основ-

ном между двумя атомами цепочки 110 . В случае же рассеяния в направ-

лении 100 энергия отдачи плавно перераспределяется между двумя атома-

ми цепочки в зависимости от параметра удара, что приводит к исчезновению структуры спектра (квазиоднократный и квазидвукратные пики не разреше-ны, спектр имеет колоколообразный характер).

Рис. 27. Зависимость относительной энергии ионов Cs+, рассеянных монокристаллом

Mo, от энергии бомбардирующих ионов; кривые: 1 – грань (001), направление 110 ;

2 – (110), 001 ; 3 – (001), 100 ; 4 – (110), 110 ; 5 – поликристалл [43]

Различный характер рассеяния в направлениях 110 и 100 связан,

очевидно, с уменьшением межатомного расстояния (от 2a до a). Это при-водит к тому, что влияние соседей настолько велико, что рассеяние в направ-

En/E0

E0, эВ



лении 100 приводит к появлению одного пика в энергетическом спектре,

поэтому в этом случае возможно прямое сравнение с экспериментальными зависимостями относительной энергии, сохраняемой рассеянными частица-ми, от начальной энергии E0 (рис. 28). Видно, что при любых значениях па-раметра А в феноменологическом потенциале (12) рассеяние на грани (110) дает большие значения энергии рассеянного иона по сравнению с рассеянием на (001). Это согласуется с экспериментом и указывает на то, что подобные ориентационные эффекты в области низкой энергии связаны с многочастич-ными взаимодействиями.

а) б)

Рис. 28. Зависимость относительной энергии ионов Cs+, рассеянных под углом 70 гранями (001) (а) и (110) (б) в направлении 001 , от энергии бомбардирующих

ионов [44]; кривые: 1 – расчет (А = 0); 2 – расчет (А = 5 эВÅ2); 3 – эксперимент Таким образом, механизм многочастичных взаимодействий можно ис-

пользовать как метод анализа структуры поверхности твердого тела при со-ответствующем развитии этого метода.


Из проведенного анализа результатов экспериментальных и теоретиче-ских исследований по рассеянию ионов малых и средних энергий поверхно-стью следует, что наибольшую информацию о механизме их взаимодействия с атомами мишени дают энергетические и угловые распределения. Структура энергетических спектров тесно связана со структурой твердого тела и его по-верхности, а также с наличием на поверхности чужеродных атомов. Твердое тело имеет либо кристаллическую структуру со случайным распределением микрокристаллитов (поликристалл), либо представляет собой монокристалл, поверхность которого совпадает с одной из его граней. В случае поликри-сталла спектры обычно имеют вид колоколообразных кривых с четко выра-

E0, эВ E0, эВ

E/E0E/E0



женным максимумом, а в случае монокристалла они обладают структурой в виде наличия нескольких пиков, обусловленных рассеянием иона на атомах выделенных кристаллографических направлений. В зависимости от началь-ной энергии бомбардирующих частиц при их рассеянии поверхностью уста-новлены два механизма: модель парных столкновений и механизм многоча-стичных взаимодействий.

Модель парных столкновений пригодна для описания рассеяния ионов атомами мишени в области средних энергий (от одного до десятка кэВ). Ме-ханизм многочастичных взаимодействий работает в области низких энергий (от сотен до единицы эВ). Оба механизма можно использовать в прикладных целях. Метод обратного рассеяния легких (газовых) ионов средних энергий используют как инструмент для масс-спектрометрического анализа малых примесей в сверхчистых веществах; при разработке технологии микроэлек-тронных приборов для изучения диффузионных и имплантационных профи-лей; для обнаружения дефектов кристаллической решетки и установления температуры «отжига» этих дефектов.

Метод рассеяния тяжелых ионов низких энергий может быть применен в нанотехнологиях для анализа тонких металлических пленок (вплоть до мо-нослоя); для контроля за качеством их изготовления, поскольку данный ме-тод очень чувствителен к межатомным расстояниям. Он может быть также применен для обнаружения поверхностных дефектов, так как низкоэнергети-ческие ионы практически не распыляют поверхность.

Компьютерные расчеты угловых и энергетических распределений рас-сеянных частиц методом молекулярной динамики дают прогноз для целена-правленных экспериментов по исследованию рассеяния медленных тяжелых ионов упорядоченными структурами.


1. Машкова , Е . С . Рассеяние ионов средних энергий поверхностями твердых тел / Е. С. Машкова, В.А. Молчанов. – М. : Атомиздат, 1980. – 255 с.

2. Парилис , Э . С . Теория рассеяния атомов средних энергий поверхностью твердого тела / Э. С. Парилис, Н. Ю. Тураев, Ф. Ф. Умаров, С. Л. Нижная. – Таш-кент : Фан, 1987. – 210 с.

3. Курнаев , В . А . Отражение легких ионов от поверхности твердого тела / В. А. Курнаев, Е. С. Машкова, В. А. Молчанов. – М. : Энергоатомиздат, 1985. – 192 с.

4. Векслер , В . И . Вторичная эмиссия атомных частиц при бомбардировке метал-лов положительными ионами малых и средних энергий / В. И. Векслер. – Таш-кент : Фан, 1970. – 243 с.

5. Гудман , Ф . Динамика рассеяния газа поверхностью / Ф. Гудман, Г. Вахман. – М. : Мир, 1980. – 423 с.

6. Евстифеев , В . В . Многочастичные взаимодействия при рассеянии медленных ионов поверхностью металла / В. В. Евстифеев. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. – 200 с.

7. Еремеев , М . А . Испускание электронов и отражение ионов от поверхности металла / М. А. Еремеев // Доклады Академии наук СССР. – 1951. – Т. 79. – С. 775–778.

8. Арифов , У . А . Взаимодействие атомных частиц с поверхностью твердого тела / У. А. Арифов. – М. : Наука, 1968. – 370 с.



9. Heiland, W. Энергетические распределения ионов благородных газов низких энергий при рассеянии поверхностью монокристалла никеля / W. Heiland, H. G. Schäffler, Е. Taglauer // Surface Science. – 1973. – Vol. 35. – P. 381–392.

10. Heiland, W. Низкоэнергетическое рассеяние: упругие и неупругие эффекты / W. Heiland, Е. Taglauer // Nucl. Instruments and Methods. – 1976. – Vol. 132. – P. 535–545.

11. Niehus, H. Количественные аспекты спектроскопии рассеянных ионов / H. Niehus, E. Bauer // Surface Science. – 1975. – Vol. 47. – P. 222–233.

12. Tongson, L. L. Экспериментальное исследование рассеяния ионов низкой энергии поверхностью твердого тела / L. L. Tongson, C. B. Cooper // Surface Sci-ence. – 1975. – Vol. 52. – P. 263–269.

13. Хайланд , В . Взаимодействие заряженных частиц с твердым телом / В. Хай-ланд. – М. : Высш. шк., 1994. – 752 с.

14. Hagstrum, H. D. Оже-эмиссия электронов из вольфрама под действием ионов инертных газов / H. D. Hagstrum // Phys. Rev. – 1954. – Vol. 96. – P. 325.

15. Brunne, C. Об отражении ионов и вторичной электронной эмиссии при попа-дании щелочных ионов на чистую молибденовую поверхность / C. Brunne // Zeitschrift für Physik. – 1957. – Bd. 147. – S. 161.

16. Ball , D. J . Низкоэнергетическое рассеяние ионов как аналитический метод ис-следования поверхности / D. J. Ball, T. M. Buck, D. Mac Nair, G. H. Weatley // Sur-face Sciеnce. – 1972. – Vol. 30. – P. 69.

17. Фирсов , О . Б . Вычисление потенциала взаимодействия атомов / О. Б. Фирсов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1957. – Т. 33. – С. 696–699.

18. Кишиневский , Л . М . К теории ионно-электронной эмиссии из металла / Л. М. Кишиневский, Э. С. Парилис // Известия Академии наук СССР. Сер. физ. – 1962. – Т. 26, 11. – С. 1409–1410.

19. Datz, S . Рассеяние на большие углы ионов аргона (с энергией 40–80 кэВ) от ме-талла / S. Datz, C. Snoek // Phys. Rev. – 1964. – Vol. 134. – P. A347–A355.

20. Векслер , В . И . Энергетические спектры ионов Cs+ при рассеянии их поверх-ностью монокристалла вольфрама / В. И. Векслер, В. В. Евстифеев // Журнал тех-нической физики. – 1972. –Т. 42, 7. – С. 1479–1481.

21. Векслер , В . И . Групповые и последовательные парные столкновения при рас-сеянии ионов Cs+ монокристаллом вольфрама / В. И. Векслер, В. В. Евстифеев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1973. –Т. 64, 2. – С. 568–575.

22. Арифов , У . А . Угловые закономерности взаимодействия атомных частиц с твердым телом / У. А. Арифов, А. А. Алиев. – Ташкент : Фан, 1974. – 285 с.

23. Smith, D. P. Анализ состава поверхности с помощью обратного рассеяния низ-коэнергетических ионов / D. P. Smith // Surface Sciеnce. – 1971. – Vol. 25, 1. – Р. 171–191.

24. Yurasova, V. E. Отражение ионов от монокристалла в случае наклонного па-дения / V. E. Yurasova, V. I. Shulga, D. S. Karpusov // Proc. of the 8th Intern. Conf. on Phen. in Ionized Gases. – Vienna, 1967. – P. 50.

25. Karpusov, D. S . Некоторые особенности при отражении ионов от монокри-сталлов / D. S. Karpusov, V. I. Shulga, V. E. Yurasova // Proc. of the 9th Intern. Conf. on Phen. in Ionized Gases. – Bucharest, 1969. – P. 103.

26. Арифов , У . А . К вопросу о рассеянии медленных щелочных ионов с поверх-ности металла / У. А. Арифов, А. Х. Аюханов, Д. Д. Груич // Известия Академии наук CССР. Сер. физ. – 1960. – Т. 24, 7. – С. 710– 714.

27. Евстифеев , В . В . Рассеяние медленных ионов Cs+ поликристаллом молибдена / В. В. Евстифеев, Н. М. Крылов, Л. Б. Кудряшова // Диагностика поверхности ион-



ными пучками : тез. докл. Всесоюз. совещания-семинара. – Ужгород, 1985. – С. 247–248.

28. Арифов , У . А . Рассеяние щелочных ионов на поверхности металла при высо-кой температуре / У. А. Арифов, Х. Х. Хаджимухамедов, А. П. Соколов // Изве-стия Академии наук УзССР. Сер. физ.-мат. – 1961. – 6. – С. 46–49.

29. Evsti feev, V. V. Компьютерное моделирование рассеяния ионов Cs+ поверхно-стью (100) W / V. V. Evstifeev, I. V. Ivanov // Surface Sciеnce. – 1989. – Vol. 217. – P. L373–L376.

30. Шелякин , Л . Б . Расчет рассеяния ионов поликристаллом по модели блока атомов и бинарной модели / Л. Б. Шелякин, А. С. Мосунов, В. Е. Юрасова // По-верхность. Физика, химия, механика. – 1983. – 5. – С. 37–42.

31. Петров , Н . Н . Вторичная эмиссия с раскаленного металла под действием ионов цезия и калия / Н. Н. Петров // Физика твердого тела. – 1960. – Т. 2. – С. 949.

32. Векслер , В . И . Распределение по энергиям распыленных и рассеянных ионов при бомбардировке поверхностей тантала и молибдена положительными ионами цезия / В. И. Векслер // Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1960. – Т. 38. – С. 234.

33. Векслер , В . И . Некоторые угловые закономерности рассеяния медленных ионов щелочных металлов от поверхности молибдена / В. И. Векслер // Физика твердого тела. – 1964. – Т. 6, 8. – С. 2229–2237.

34. Векслер , В . И . Эффективная масса при групповых столкновениях / В. И. Векслер // Известия Академии наук СССР. Сер. физ. – 1966. – Т. 30, 5. – С. 857–859.

35. Векслер , В . И . Энергетические спектры медленных ионов, рассеянных при разных углах падения / В. И. Векслер, В. В. Евстифеев, Н. М. Крылов, Л. Б. Куд-ряшова // Взаимодействие атомных частиц с твердым телом: материалы VII Все-союз. конф. – Минск, 1984. – Ч. I. – С. 40–41.

36. Евстифеев , В . В . К расчету потенциала взаимодействия К+→V / В. В. Евсти-феев, И. В. Иванов // Письма в Журнал технической физики. – 1992. – Т. 18., 18. – С. 69–74.

37. Евстифеев , В . В . О влиянии плотности упаковки атомов на энергию рассеян-ных ионов / В. В. Евстифеев, Н. М. Крылов, Л. Б. Кудряшова // Поверхность. Фи-зика, химия, механика. – 1994. – 5. – С. 8–13.

38. Hulpke, E. Surface rainbow scattering of alkali ions from metal surfaces / E. Hulpke, K. Mann // Surface Sciеnce. – 1983. – Vol. 133. – P. 171.

39. Хайрер , Э . Решение обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. – М. : Мир, 1990. – 512 с.

40. Ziegler , J . F. The stopping and Range of Ions in Solid / J. F. Ziegler, J. P. Biersack, U. Littmark. – N. Y. : Pergamon Press, 1985. – Vol. 1. – 321 p.

41. Евстифеев , В . В . О зеркальном отражении ионов от поверхности в области низких энергий / В. В. Евстифеев, Н. В. Костина // Известия Российской Акаде-мии наук. Сер. физ. – 2000. – Т. 64, 4. – С. 771–776.

42. Евстифеев , В . В . Компьютерное моделирование Ме+→Ме с ГЦК-решеткой / В. В. Евстифеев, Н. В. Костина // Известия Российской Академии наук. Сер. физ. – 2002. – Т. 66, 1. – С. 129–130.

43. Базарбаев , Н . Н . Влияние ориентации кристалла на энергию рассеянных ионов / Н. Н. Базарбаев, В. В. Евстифеев, Н. М. Крылов, Л. Б. Кудряшова // Пись-ма в Журнал технической физики. – 1990. – Т. 16, 7. – С. 88–91.

44. Евстифеев , В . В . Компьютерное моделирование влияния ориентации моно-кристалла Мо на рассеяние низкоэнергетических ионов Cs+ / В. В. Евстифеев, И. В. Иванов // Журнал технической физики. – 1991. – Т. 61, 12. – С. 132–135.



References

1. Mashkova E. S., Molchanov V. A. Rasseyanie ionov srednikh energiy poverkhnostyami tverdykh tel [Scattering of medium energy ions by solid bodies’ surfaces]. Moscow: At-omizdat, 1980, 255 p.

2. Parilis E. S., Turaev N. Yu., Umarov F. F., Nizhnaya S. L. Teoriya rasseyaniya atomov srednikh energiy poverkhnost'yu tverdogo tela [The theory of medium energy atom scattering by solid bodies’ surfaces]. Tashkent: Fan, 1987, 210 p.

3. Kurnaev V. A., Mashkova E. S., Molchanov V. A. Otrazhenie legkikh ionov ot pov-erkhnosti tverdogo tela [Reflection of light atoms from solid bodies’ surfaces]. Mos-cow: Energoatomizdat, 1985, 192 p.

4. Veksler V. I. Vtorichnaya emissiya atomnykh chastits pri bombardirovke metallov polozhitel'nymi ionami malykh i srednikh energiy [Secondary emission of atom particles during metal bombardment with low and medium energy ions]. Tashkent: Fan, 1970, 243 p.

5. Gudman F., Vakhman G. Dinamika rasseyaniya gaza poverkhnost'yu [Dynamics of gas scattering by a surface]. Moscow: Mir, 1980, 423 p.

6. Evstifeev V. V. Mnogochastichnye vzaimodeystviya pri rasseyanii medlennykh ionov poverkhnost'yu metalla [Many-particle interactions during slow ion scattering by met-al’s surface]. Penza: Izd-vo PGU, 2009, 200 p.

7. Eremeev M. A. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the USSR Academy of Sci-ences]. 1951, vol. 79, pp. 775–778.

8. Arifov U. A. Vzaimodeystvie atomnykh chastits s poverkhnost'yu tverdogo tela [The in-teraction of atom particles with solid bodies’ surfaces]. Moscow: Nauka, 1968, 370 p.

9. Heiland W., Schäffler H. G., Taglauer E. Surface Science. 1973, vol. 35, pp. 381–392. 10. Heiland W., Taglauer E. Nucl. Instruments and Methods. 1976, vol. 132, pp. 535–545. 11. Niehus H., Bauer E. Surface Science. 1975, vol. 47, pp. 222–233. 12. Tongson L. L., Cooper C. B. Surface Science. 1975, vol. 52, pp. 263–269. 13. Khayland V. Vzaimodeystvie zaryazhennykh chastits s tverdym telom [The interaction

of charged particles with solid bodies]. Moscow: Vyssh. shk., 1994, 752 p. 14. Hagstrum H. D. Phys. Rev. 1954, vol. 96, p. 325. 15. Brunne C. Zeitschrift für Physik [Physics journal]. 1957, vol. 147, p. 161. 16. Ball D. J., Buck T. M., Mac Nair D., Weatley G. H. Surface Science. 1972, vol. 30,

p. 69. 17. Firsov O. B. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of experimental

and theoretical physics]. 1957, vol. 33, pp. 696–699. 18. Kishinevskiy L. M., Parilis E. S. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Ser. fiz. [Proceedings

of the USSR Academy of Sciences. Series: Physics]. 1962, vol. 26, no. 11, pp. 1409–1410.

19. Datz S., Snoek C. Phys. Rev. 1964, vol. 134, pp. A347–A355. 20. Veksler V. I., Evstifeev V. V. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of technical phys-

ics]. 1972, vol. 42, no. 7, pp. 1479–1481. 21. Veksler V. I., Evstifeev V. V. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal

of experimental and theoretical physics]. 1973, vol. 64, no. 2, pp. 568–575. 22. Arifov U. A., Aliev A. A. Uglovye zakonomernosti vzaimodeystviya atomnykh chastits

s tverdym telom [Angular regularities of the interaction of atom particles with solid bod-ies]. Tashkent: Fan, 1974, 285 p.

23. Smith D. P. Surface Science. 1971, vol. 25, no. 1, pp. 171–191. 24. Yurasova V. E., Shulga V. I., Karpusov D. S. Proc. of the 8th Intern. Conf. on Phen. in

Ionized Gases. Vienna, 1967, p. 50. 25. Karpusov D. S., Shulga V. I., Yurasova V. E. Proc. of the 9th Intern. Conf. on Phen. in

Ionized Gases. Bucharest, 1969, p. 103.



26. Arifov U. A., Ayukhanov A. Kh., Gruich D. D. Izvestiya Akademii nauk CSSR. Ser. fiz. [Proceedings of the USSR Academy of Sciences. Series: Physics]. 1960, vol. 24, no. 7, pp. 710–714.

27. Evstifeev V. V., Krylov N. M., Kudryashova L. B. Diagnostika poverkhnosti ionnymi puchkami: tez. dokl. Vsesoyuz. soveshchaniya-seminara [Surface diagnostics with beams: report theses of an All-USSR conference-seminar]. Uzhgorod, 1985, pp. 247–248.

28. Arifov U. A., Khadzhimukhamedov Kh. Kh., Sokolov A. P. Izvestiya Akademii nauk UzSSR. Ser. fiz.-mat. [Proceedings of the UzSSR Academy of Sciences. Series: Physics and mathematics]. 1961, no. 6, pp. 46–49.

29. Evstifeev V. V., Ivanov I. V. Surface Science. 1989, vol. 217, pp. L373–L376. 30. Shelyakin L. B., Mosunov A. S., Yurasova V. E. Poverkhnost'. Fizika, khimiya, mek-

hanika [Surface. Physics, chemistry, mechanics]. 1983, no. 5, pp. 37–42. 31. Petrov N. N. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 1960, vol. 2, p. 949. 32. Veksler V. I. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of experimental

and theoretical physics]. 1960, vol. 38, p. 234. 33. Veksler V. I. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 1964, vol. 6, no. 8, pp. 2229–

2237. 34. Veksler V. I. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Ser. fiz. [Proceedings of the USSR Acad-

emy of Science. Series: Physics]. 1966, vol. 30, no. 5, pp. 857–859. 35. Veksler V. I., Evstifeev V. V., Krylov N. M., Kudryashova L. B. Vzaimodeystvie atom-

nykh chastits s tverdym telom: materialy VII Vsesoyuz. konf. [The interaction of atom particles with solid bodies: proceedings of VII All-USSR conference]. Minsk, 1984, part I, pp. 40–41.

36. Evstifeev V. V., Ivanov I. V. Pis'ma v Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Letters to Journal of technical physics]. 1992, vol. 18, no. 18, pp. 69–74.

37. Evstifeev V. V., Krylov N. M., Kudryashova L. B. Poverkhnost'. Fizika, khimiya, mek-hanika [Surface. Physics, chemistry, mechanics]. 1994, no. 5, pp. 8–13.

38. Hulpke E., Mann K. Surface Science. 1983, vol. 133, p. 171. 39. Khayrer E., Nersett S., Vanner G. Reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy

[Solution of regular differential equations]. Moscow: Mir, 1990, 512 p. 40. Ziegler J. F., Biersack J. P., Littmark U. The stopping and Range of Ions in Solid. New

York: Pergamon Press, 1985, vol. 1, 321 p. 41. Evstifeev V. V., Kostina N. V. Izvestiya Rossiyskoy Akademii nauk. Ser. fiz. [Proceed-

ings of the USSR Academy of Science. Series: Physics]. 2000, vol. 64, no. 4, pp. 771–776.

42. Evstifeev V. V., Kostina N. V. Izvestiya Rossiyskoy Akademii nauk. Ser. fiz. [Proceed-ings of the USSR Academy of Science. Series: Physics]. 2002, vol. 66, no. 1, pp. 129–130.

43. Bazarbaev N. N., Evstifeev V. V., Krylov N. M., Kudryashova L. B. Pis'ma v Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Letters to Journal of technical physics]. 1990, vol. 16, no. 7, pp. 88–91.

44. Evstifeev V. V., Ivanov I. V. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of technical phys-ics]. 1991, vol. 61, no. 12, pp. 132–135.

Евстифеев Виктор Васильевич доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Evstifeev Viktor Vasil'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of physics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)




Костина Наталья Владимировна кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Kostina Natal'ya Vladimirovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of physics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)


УДК 537.534

Евстифеев, В. В. Рассеяние положительных ионов поверхностью конденсированных

сред / В. В. Евстифеев, Н. В. Костина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 106–146. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-9.



УДК 51-71, 532.51, 538.93 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-10

В. М. Журавлев

CОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОДСТАНОВКИ1

Аннотация. Актуальность и цели. Основной целью работы является установление вза-

имосвязи между методом обратной задачи (МОЗ) и методом функциональных подстановок в теории интегрируемых нелинейных уравнений в частных про-изводных. Метод обратной задачи используется для построения решений уравнений, допускающих многосолитонные решения, а метод функциональ-ных подстановок – к уравнениям, которые часто называются уравнениями ти-па Бюргерса. В данной работе демонстрируется, что модификация метода функциональных подстановок с помощью введения в процедуру дополнитель-ных замыкающих условий позволяет приводить уравнения типа Бюргерса к уравнениям, совпадающим с уравнениями, интегрируемыми с помощью МОЗ. Исследуются только уравнения типа нелинейного уравнения Шрединге-ра (НУШ), в частности, уравнения Гинзбурга – Ландау.

Материалы и методы. Методом исследования является матричный вари-ант метода функциональных подстановок.

Результаты. Вычислены уравнения типа Бюргерса, имеющие вид, схожий с уравнением НУШ, для произвольной матричной размерности подстановок. Для частного случая в размерности n = 2 построены все возможные типы уравнений типа НУШ. С помощью введения дополнительного матричного дифференицального соотношения порядка 1 вычисляются уравнения, имею-щие форму, идентичную форме НУШ.

Выводы. Развитый в работе метод устанавливает связь между уравнениями типа Бюргерса, которые интегрируются с помощью метода функциональных подстановок и уравнениями, интегрируемыми с помощью МОЗ. Приведенный пример устанавливает такую связь лишь для НУШ, причем в частном случае матричной размерности 2, что приводит к односолитонным решениям и их обобщениям.

Ключевые слова: точно интегрируемые нелинейные уравнения, обобщен-ные функциональные подстановки, точные решения обобщенных нелинейных уравнений Шредингера и Гинзбурга – Ландау.

V. M. Zhuravlev

SOLITON SOLUTIONS OF NONLINEAR SCHRÖDINGER-TYPE EQUATIONS

AND FUNCTIONAL SUBSTITUTIONS

1 Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (номер

проекта 16.2773.2017/4.6), РФФИ проекты 16-42-732119 р_офи_м и 16-42-732113 р_офи_мб, а также средств субсидии, выделенной в рамках государственной поддержки Казанского (Приволжского) федерального университета в целях повышения его конкурентоспособности среди ведущих мировых научно-образовательных центров.



Abstract. Background. The main goal of the paper is to establish the relationship between

the inverse problem method (IPM) and the method of functional substitutions (MFS) in the theory of integrable nonlinear partial differential equations. The inverse prob-lem method is used to construct solutions of equations admitting multi-soliton solu-tions, and the method of functional substitutions to equations, which are often called Burgers type equations. In this paper, it is demonstrated that modifying the MFS by introducing additional closing conditions into the procedure makes it possible to de-rive Burgers-type equations for equations that coincide with equations integrable by means of MOS. In this paper we study only equations of the type of the nonlinear Schrödinger equation (NLS), and Ginzburg – Landau equations.

Materials and methods. The method of investigation is a matrix version of the method of functional substitutions.

Results. In the paper, equations of Burgers type are calculated, having a form like the NLS equation for arbitrary matrix dimension of substitutions. Then, in the case of dimension n = 2, all possible types of NLS-type equations are constructed. With the introduction of an additional matrix differential equation of the order of 1, equations that are identical in form to the NLS are calculated.

Conclusions. The method developed in this paper establishes a connection be-tween equations of Burgers type that are integrated with the help of the method of functional substitutions and equations integrable with the help of IPM. The above example only fixes such a connection for NLS, and in the case of matrix dimension 2, which leads to one-soliton solutions and their deformation.

Key words: exactly integrable nonlinear equations, generalized functional sub-stitutions, exact solutions of generalized nonlinear Schrödinger and Ginzburg – Landau equations.

Введение

Уравнения типа нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) играют важную роль в различных разделах нелинейной физики [1, 2], в частности, в нелинейной оптике [3, 4]. Особенностью этого класса уравнений является то, что оно допускает многосолитонные решения, которые строятся с помощью метода обратной задачи (МОЗ) [1, 2]. Для задач нелинейной оптики в реаль-ности имеют важное значение различные обобщения НУШ, включающие до-полнительные слагаемые и параметры, характеризующие свойства нелиней-ной среды. В частности, важное значение имеют в нелинейной оптике среды с комплексными показателями преломления, нелинейности и дисперсии, по-скольку в реальных средах такие показатели описывают распространение волн в активных средах [3, 4] (с диссипацией и накачкой). Соответствующее обобщение НУШ часто называют уравнением Гинзбурга – Ландау (УГЛ) [4]. Однако в случае комплексных коэффициентов уравнения НУШ не могут быть разрешены с помощью МОЗ. В связи с этим для анализа уравнений типа НУШ и Гинзбурга – Ландау представляет интерес рассмотрение метода функциональных подстановок, который был развит ранее в работах [5]. Такая возможность открывается в результате некоторого расширения метода функ-циональных подстановок с помощью дополнительных условий, ограничива-ющих класс решений, но расширяющих класс уравнений, которые допускают такие решения.

В работе [6] был получен предварительный результат, доказывающий возможность построения решений типа НУШ с помощью функциональных



подстановок. В настоящей работе этот подход развивается и применяется конкретно к уравнению НУШ и его обобщениям. Попутно устанавливаются условия, при которых такой подход может применяться для построения урав-нений Гинзбурга – Ландау. Хотя для НУШ метод позволяет строить решения односолитонного типа, в работе обсуждается вопрос о построении многосо-литонных решений исследуемых уравнений.

1. Метод матричных функциональных подстановок

Метод обобщенных подстановок [5] в размерности 1 + 1 строится на основе двух исходных соотношений, называемых базовыми, для одной вспо-

могательной матричной функции ˆ( , )T x t произвольной матричной размерно-

сти n n с элементами, зависящими от двух независимых переменных x и t . Базовые соотношения могут иметь множество различных, но эквивалентных форм [5]. Выбор той или иной формы определяется в первую очередь тем, что эти базовые соотношения позволяют однозначно связать вспомогатель-

ную функцию ˆ( , )T x t с набором функциональных параметров, которые и

удовлетворяют искомым нелинейным интегрируемым уравнениям. Простей-шей формой базовых соотношений являются соотношения первого порядка:

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= , = ,x tT AT T BT (1)

где ˆ ( , )A x t и ˆ ( , )B x t – комплексные матричные функции той же размерности

n n . Если функция ˆ( , )T x t задана, то функциональные параметры ˆ ( , )A x t и ˆ( , )B x t однозначно выражаются через саму функцию T и ее производные:

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= , = ,x tA T T B T T (2)

что можно рассматривать как дифференциальные подстановки типа Коула –

Хопфа. С другой стороны, требование, что функция ˆ( , )T x t одновременно

обращает в тождество два уравнения (1), накладывает на функции ˆ ( , )A x t и ˆ( , )B x t ограничение, которое можно выразить в форме одного матричного

уравнения:

ˆ ˆˆ ˆ[ , ] = 0,t xA B A B (3)

совпадающего по форме с уравнением Захарова – Шабата в теории МОЗ, но имеющее несколько иной смысл, поскольку не содержит в явном виде спектрального параметра.

При выполнении (3) все производные функции T можно выразить

через саму функцию T :

[ , ] [ , ]ˆˆ ˆ ˆ= = ,n k

n k n kn k

T T A Tx t

где матричные функции [ , ]n kA могут быть вычислены рекуррентно по

формулам:



[ , ][ 1, ] [ , ] [ , ] [ , 1] [ , ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= , = , = 0,1, ,n kn k n k n k n k n kx tA A A A A A A A k (4)

с начальными условиями:

[1,0] [0,1]ˆ ˆ ˆ ˆ= , = .A A A B

В частности:

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= ( ) , = ( ) = ( ) ,xx x xt t xT A A T T A AB T B BA T (5)

откуда

[2,0] 2 [1,1]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ= , = = .x x tA A A A B BA A AB

К базовой системе (1) можно добавить произвольное интегрируемое

уравнение для T . В качестве такого интегрируемого уравнения проще всего

использовать линейное уравнение с постоянными коэффициентами ,ˆn kC

конечного порядка L :

[ , ],

=0 =0

ˆ ˆ = 0.L L

n kn k

k k n

C T

(6)

Эти уравнения будем называть замыкающими. С помощью

соотношений (2) и (4) из (6) можно исключить все производные функции T и ее саму. В результате (6) превращается в нелинейное уравнение относительно

элементов матричных функций ˆ ˆ, A B следующего общего вида:

[ , ], 00

=0 =1

ˆ ˆ ˆ = 0,L L

n kn k

k k n

C A C

которое вместе с уравнением (3) и системой равенств (4) образует замкнутую

нелинейную систему относительно элементов двух функций ˆ ˆ, A B . Такой подход составляет суть метода обобщенных функциональных

подстановок (МОФП), примеры применения которого для ряда нелинейных уравнений приведены в [5, 6].

2. Основное интегрируемое уравнение типа НУШ

Рассмотрим уравнения, которые возникают в результате использования схемы МОФП с замыкающим матричным уравнением следующего вида:

ˆˆ ˆ ˆ ˆ= ( ) .t xxT JT Q t T (7)

В этом уравнении ( )K t и ˆ ( , )Q x t – некоторые заданные комплексные

функции t , соответственно, скалярная и матричная, а J – постоянная невырожденная матрица. В соответствии с общим изложением МОП приводим данное уравнение к уравнению для матричных коэффициентов базовых соотношений. Имеем:



2ˆ ˆ ˆˆ ˆ= ( ) .xB J A A Q

Подставляя это соотношение в (3), приходим к уравнению:

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ= ( ) [ , ] [ , ] [ , ] ,t xx x x x xA J A A A AA A JA A J A A Q Q (8)

которое обращается в тождество, если функция T удовлетворяет замыкаю-щему уравнению (7) . Это уравнение можно привести к следующему виду:

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ= (2 [ , ] ) [ , ] [ , ] .t xx x x xA JA JA A J A A A J A A Q Q (9)

Это уравнение представляет собой матричное обобщение НУШ с комплексными коэффициентами, которое встречается в том же контексте, что и НУШ, например, в нелинейной оптике [4]. В дальнейшем уравнение (9)

и уравнения на компоненты матрицы A , следующие из (9), будем называть базовыми для рассматриваемого класса уравнений.

3. Дополнительные интегрируемые соотношения

В работе [6] было показано, что уравнение типа (9) можно превратить в уравнение типа НУШ, если к замыкающему уравнению (3) добавить еще

одно линейное матричное соотношение на функцию T следующего вида:

ˆˆ ˆ ˆ= ,xT GTL (10)

где ˆ ( )G t – некоторая матрица, зависящая от t , а L – невырожденная

постоянная матрица. Для тех матричных функций, которые удовлетворяют одновременно (7) и (10), выполняются следующие дополнительные

уравнения для A и B :

2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ= , = .x xA A GAG A B BA GBG A (11)

Первое из этих соотношений преобразуем к более удобной форме:

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= [ , ] .xA G A G A (12)

Тогда, используя это соотношение, преобразуем уравнение (9) к виду, который аналогичен уравнению НУШ:

1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ= (2 [ , ] [ , ][ , ] [ , ] ) [ , ] .t xx xA JA J A G G A J A G A G A J A A A Q Q (13)

Нелинейное слагаемое в этом уравнении на самом деле может быть представлено в более общей форме. Именно слагаемое со второй

производной ˆxxA можно дополнительно разделить на две части, одну из

которых с помощью соотношения (12) можно превратить также в нелинейное слагаемое. Следуя такому рецепту, уравнение (13) можно представить в следующем виде:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ= (1 ) [ , ] ,t xx xA J D A N A Q Q (14)

где



1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ= ([ ,[ , ] ] [ , ] [ , ] )N JD G G A G A G A G A G G A G A

1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 [ , ] [ , ][ , ] [ , ]J A G G A J A G A G A J A A .

Здесь матрица D может быть любой, зависящей только от t , матрицей. При этом уравнение (14) имеет кубическую нелинейность, как и уравнение НУШ.

В отличие от классического НУШ, это уравнение в покомпонентной

записи относительно элементов матрицы A будет иметь различный вид

в зависимости от алгебраической структуры матриц ˆˆ, J A и G . Имеется

ввиду то, что если матрицы ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , T A B J D Q и G определены на некоторой

подалгебре линейной матричной алгебры nGL матриц размерности n n , то

структура уравнений будет целиком определяться этой подалгеброй и

конкретным выбором элементов матриц ˆˆ ˆ, , J D Q и G . Вследствие этого

дальнейший анализ уравнений (13) должен определяться выбранной структурой подалгебры алгебры nGL , что и будет являться содержанием

дальнейших построений в данной работе. Однако прежде чем приводить примеры уравнений, соответствующих

определенным подалгебрам nGL , заметим, что матрица играет роль,

аналогичную роли спектрального параметра в МОЗ. Уравнения (7) и (10)

можно рассматривать как уравнения для вспомогательной функции T метода МОЗ, которая удовлетворяет в этом методе паре уравнений для «неодетых» операторов представления Лакса – Захарова – Шабата (ЛЗШ). Для большего сходства уравнение (7), используя (10), можно привести к форме матричного уравнения первого порядка по t :

2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= .tT JG TL QT (15)

Это уравнение имеет вид уравнения первого порядка по t , что аналогично представлению ЛЗШ для уравнения НУШ. Для того чтобы существовало общее решение уравнения (10) и уравнения (15), достаточно, чтобы матричные операторы в правой части этих уравнений коммутировали между собой. Это условие эквивалентно требованию

3 3 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= xJG TL QGTL GJG TL GQTL Q T

и обращается в тождество, если выполнены следующие два условия:

ˆ ˆ ˆ ˆˆ[ , ] = 0, [ , ] = 0, = 0.xJ G Q G Q

При такой интерпретации операторы ˆAL и ˆ

BL :

ˆˆ ˆ ˆ= , = ,A BL A L Bx t

можно рассматривать как одевающие операторы в схеме МОЗ. Поэтому такой подход, как это было ранее отмечено в [6], представляет собой некоторый аналог МОЗ.



4. Интегрируемые уравнения для матриц размерности = 2n

Рассмотрим случай алгебры матриц размерности 2 2 . В этом случае

матричные функции ˆ ˆˆ ˆ, , , T A B G можно представить в виде линейных комбина-ций матриц Паули:

1 2 30 1 0 1 0

ˆ ˆ ˆ= , = , = ,1 0 0 0 1

i

i

и единичной матрицы

01 0

ˆ = .0 1

Матрицы ˆ , i = 0,1,2,3,i удовлетворяют следующим соотношениям:

0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= = , [ , ] = 0, = 0,1,2,3;i i i i i

3

=1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= = ;i

(16)

3

=1

ˆ ˆ ˆ[ , ] = 2 , , , = 1,2,3,i

Таким образом, любая матричная функция T , заданная на 2GL , имеет

следующий общий вид:

3

=0

ˆ = ( , ) ,i ii

T x t (17)

где ( , )i x t – вспомогательные функции. Соответственно

3 3

=0 =0

ˆ ˆˆ ˆ= ( , ) , = ( , ) ,i i i ii i

A a x t B b x t (18)

Выберем матрицу J в такой форме;

3ˆ ˆ= ( ) ,J iK t (19)

где = ( )K K t – некоторая комплексная функция переменной t .

Подставляя матрицы в уравнение (8) после простых, но несколько громоздких вычислений, приходим к следующей системе уравнений относительно функций ( , ), = 0,1,2,3ia x t i :

0, 3, 0 3( ) 2 ( ) ( ) = 0,t xxa iK t a iK t a ax

2 2 2 2 23, 0, 1 2 1 2 0( ) 4 ( ) = 0,t xxa iKa iK R a a iK a a a

x

(20)



21, 2, 2, 0 0, 2 2 0 3 12 ( 2 ) 2 4 = 0,t xx x xa Ka K a a a a KR a iKa a a

22, 1, 1, 0 0, 1 1 0 3 22 ( 2 ) 2 4 = 0,t xx x xa Ka K a a a a KR a iKa a a

здесь 2 2 2 2 21 2 0 3=R a a a a .

Вводя переменные 1 2=u a ia , 1 2=u a ia , 0=v a и 3=w ia ,

приходим к следующей системе уравнений:

2 24 2 2 ( ) 4 = 0,t xx x xu iKu iKv u iKvu Ki uu v w u Kwvu

2 24 2 2 ( ) 4 = 0,t xx x xu iKu iKv u iKvu Ki uu v w u Kwvu

2 ( ) = 0,t xxv Kw K vwx

(21)

2 2(2 ) 4 = 0.t xxw Kv K uu v w Kuuvx

Уравнение для комплексной функции u является уранением типа НУШ в том случае, если функция 1 2=u a ia является комплексно сопряженной

функции 1 2=u a ia . Это условие связано с тем, что сами функции

( , ), = 0,1,2,3ia x t i могут быть комплексными. Первые два уравнения этой

системы комплексно сопряжены, если сопряжены функции u и u , а функции v и w – вещественны. Поскольку задачей данной работы является разработка метода вычисления решений уравнений типа НУШ с помощью функциональных подстановок, то мы не будем специально рассматривать вопрос о комплексной сопряженности уравнений (21) и функций u и u .

5. Уравнения типа НУШ

Рассмотрим теперь уравнения в размерности = 2n , соответствующие редукции, связанной с дополнительным соотношением (10). Выберем

матрицу G в следующей форме:

3ˆ ˆ= ,G

где – некоторая вещественная постоянная. При этом выбор матриц ˆˆ,J G

оставим прежним (19). Соотношения (12), которые редуцируют уравнения (14) к уравнениям

типа НУШ, в покомпонентной записи имеют такой вид:

2 20, 1 2 3,2( ) = 0, = 0,x xa a a a (22)

1, 0 1 3 2 2, 0 2 3 12 2 = 0, 2 2 = 0.x xa a a ia a a a a ia a

Отсюда, в частности, следует, что функция 3a не зависит от x :

3 3= ( )a c t , а функцию 0a можно представить в виде

2 20 1 2 0= ( ) ( ),a a a dx c t



где функции 0 ( )c t и 3( )c t будут определяться формой решений для

элементов матрицы T .

Вводя переменные 1 2=u a ia , 1 2=u a ia , 0 3=v a a и 0 3=v a a , уравнения (14) приводятся к паре комплексных уравнений:

2 2(1 ) 2 (3 2 ) 2 (1 2 )t xxu iK u i Ku u iK v u

3 32 2 = 0,xq u qa q (23)

2 2(1 ) 2 (3 2 ) 2 (1 2 )t xxu iK u i Kuu iK v u 3 32 2 = 0,xq u qa q

Здесь 1 2 1 2= , =q q iq q q iq . Уравнения (23) комплексно сопряжены друг другу и являются некоторым аналогом НУШ. Используя (22), получаем следующее соотношение:

20 3 03= = ,v a a u dx c

которое позволяет уравнение (23) записать в следующем виде:

2(1 ) 2 (3 2 )t xxu iK u i K u u

2203 32 (1 2 ) 2 = 0.i K u dx c u q u (24)

При этом функция v удовлетворяет уравнению

22(1 ) 2 (3 2 ) 2 (1 2 ) = 0,t xx xv iK v iK u v iK u v p (25)

здесь 0 3=p q q , кроме этого, введено обозначение: 2 2 21 2u a a .

Величина 2 2 21 2u uu a a переходит в квадрат модуля функции

1 2u aa i в том случае, если функции ( , ), = 1,2ia x t i являются вещественными. Следует отметить, что только в этом случае уравнение (24) может перейти в НУШ при определенном выборе параметров системы.

Заметим, что параметр произволен, но сами решения для функций ( , )u x t и ( , )v x t от него не зависят. Это означает, что предлагаемый способ

получения нелинейных уравнений и их решений, на самом деле, позволяет строить пучки уравнений с инвариантным классом решений, который определяется функциональными подстановками, определенными выше. В частности, полагая = 1 / 2 , преобразуем уравнение (24) к классическому

НУШ с линейным коэффициентом преломления среды 3( ) = 2 ( )t iq t ,

который задается произвольной функцией 3( )q t . Функции u и v при таком выборе являются решениями уравнений:

32 24 2 = 0, 4 = 0.

2 2t xx t xx xi i

u Ku iK u u q u v Kv iK u v p (26)

Первое уравнение не зависит от функции v и является классическим НУШ (в случае комплексной сопряженности u и u ), а второе уравнение



описывает распространение возмущений в среде с показателем преломления 24 | |K u и источником xp .

В случае = 3 / 2 уравнения (24) и (25) принимают следующий вид:

23( 2 ) = 0,

2t xxK

u i u i Kv iq u

,24 = 0,

2t xx xK

v i v iK u v p

А в случае = 1 уравнения (24) и (25) переходят в систему нелинейных

обыкновенных дифференциальных уравнений относительно u и v :

2 232 2 2 = 0,tu iK u u i Kv u q u 22 ( ) = 0,t xv iK u v v p

в которых зависимость функций от x является параметрической.

6. Обобщенные уравнения типа НУШ

Выберем в качестве матриц J и G матрицы следующего вида:

1 3 2 0 0 3ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= , = .J iK K G i

Вводя, как и раньше, переменные 1 2=u a ia , 1 2=u a ia ,

0 3 0= =v a a a ia , 0 3 0= =v a a a ia и полагая 1 2= = 0q q , уравнения (21)

преобразуем к следующей форме:

2 20 1 2 32 2 = 0,t xxu i u i v u i u u iq u (27)

2 230 1 22 2 = 0.t xxu i u i v u i uu iq u

Здесь также введены следующие обозначения:

0 1 2= ( )( 1 ),K iK i

1 1 2= (2 1 2 ) 2 ( 1 ),K i iK i

2 1 2 1 1= (2 3 2 ) 2 ( 1 ) = 2 .K i iK i K

Уравнения для v и v будут в этом случае такими:

210 12 ( ( ) ( )) = 0,t xx xv i v i u v v K v v p (28)

20 1 12 ( ( ) ( )) = 0t xx xv i v i u v v K v v p .

Для того чтобы уравнения (27) были комплексно сопряжены друг другу (это касается и (28)), достаточно потребовать, чтобы функции ,ia = 0,1,2i

и 3=a ia были вещественными, как и коэффициенты 1,K 2 ,K , . При

этом коэффициенты 1,K 2 ,K , могут быть произвольными

вещественными функциями времени.



Особый интерес представляет случай, когда (27) имеет вид уравнения НУШ, но с комплексными коэффициентами. Такое уравнение носит название уравнения Гинзбурга – Ландау. Для того чтобы привести уравнение (27) к подходящему виду, необходимо потребовать, чтобы коэффициент 1

обращался в ноль. Как видно, в этом случае в уравнении будет отсутствовать

слагаемое с 2v , как и в случае классического НУШ. В данном случае условие обращения 1 в ноль эквивалентно двум алгебраическим уравнениям:

1 2 1 2(2 1) 2 = 0, 2 2( 1) = 0.K K K K (29)

Это уравнение будет иметь нетривиальные решения относительно 1K и

2K в случае выполнения условия

22(2 1)( 1) 4 = 0. (30)

Относительно это уравнение имеет следующие два корня:

23 1= 1 16 .

4 4 (31)

Поскольку для сопряженности уравнений необходимы вещественные решения и , то из (31) следует, что это возможно лишь при условии

| |< 1 / 4 . При выполнении этих условий коэффициенты 1K и 2K связаны

одним соотношением:

2 12 1

= .2

K K

Уравнение (27) при таком выборе переменных будет иметь вид

20 2 32 2 = 0,t xxu i u i u u iq u

где коэффициенты 0 и 2 равны

2 2

0 1 2 1( 1)

= , = 2 .1

K K

Здесь было учтено, что условие (30) эквивалентно условию

2 1= .

2 1

Нетрудно видеть, что в этом случае уравнение превращается в классическое НУШ с вещественными коэффициентами.

Однако все же среди уравнений (27) имеются уравнения, форма которых соответствует уравнению УГЛ. Обратим еше раз внимание на то, что от параметров и зависит только форма уравнений, но не зависят сами их

решения, полученные с помощью подстановок. Выберем два произвольных набора параметров 1 1, и 2 2, , не требуя выполнения условий (29).



Соответствующие два уравнения (27) перепишем в следующей форме:

(1)2 20 31

(1) (1) (1) (1)1 1 1 1

212 1 2 = 0,t xx

qKu i u iv u i u u i u

(2)2 20 31

(2) (2) (2) (2)1 1 1 1

212 1 2 = 0.t xx

qKu i u iv u i u u i u

Вычитая теперь первое уравнение из второго и умножая результат на величину

(2) (1)1 1

1 1= ,m

приходим к уравнению УГЛ следующего вида:

21 34 2 = 0,t xxu iDu iK u u iq u (32)

где

(2) (1) (1) (2)0 1 0 1

(2) (1)1 1

= .D

Аналогичные вычисления следует применить ко второму уравнению системы (27) . В результате получим

21 34 2 = 0.t xxu iDu iK u u iq u

Величина D является в общем случае комплексной. Следовательно, уравнение (32) является подходящим по форме уравнением Гинзбурга – Ландау с комплексной дисперсией.

7. Вычисление решений основного уравнения

Вычисление решений строится на основе решения матричного уравнения (7) в покомпонентной форме. Используя обозначения (17),

перепишем систему для T в виде следующей системы уравнений для i :

0, 2 0, 1 3, 3, 2 3, 1 0,= 0, = 0,t xx xx t xx xxK iK K iK (33)

1, 2 1, 1 2, 2, 2 2, 1 1,= 0, = 0.t xx xx t xx xxK K K K (34)

Отыскивая решение этих уравнений в виде

= ,kx tk kA e (35)

находим дисперсионное соотношение:

2 2 4 22 1( ) = 0.k K k K (36)



Для имеем два решения:

2 22 1 2 1( ) = ( ), ( ) = ( ).k k K iK k k K iK (37)

Обозначим через ( )kA решения для амплитуд, соответствующие

( )k . Подставляя (35) для ( )k , находим, что амплитуды должны быть

связаны соотношениями:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 2 1 2 1= , = , = , = .A A A A A iA A iA (38)

Если не требовать выполнения дополнительного соотношения (10) или (12), то решения для функций k будут иметь следующий общий вид:

0 0 0 3 0 0= ( , ) ( , ), = ( , ) ( , ),h x t g x t h x t g x t

1 1 1 2 1 1= ( , ) ( , ), = ( , ) ( , ),h x t g x t ih x t ig x t (39)

где

( ) ( )( ) ( )0 00 0( , ) = ( ) , ( , ) = ( ) ,

kx k t kx k th x t A k e dk g x t A k e dk

( ) ( )( ) ( )1 11 1( , ) = ( ) , ( , ) = ( ) .

kx k t kx k th x t A k e dk g x t A k e dk

Эти соотношения позволяют отыскать решения системы уравнений (21) типа Бюргерса, для которой следует положить 2 = 0K .

Из базового соотношения (1) имеем

1ˆ ˆ ˆ= .xA T T

Используя (17), находим

31

0 0=1

1ˆ ˆ ˆ= ,TZ

где

2 2 2 20 1 2 3

ˆ= det( ) = .Z T

Отсюда находим

3 20 3 0 3 1 2

0 1

1 1= ln , = ln ln ,

2a Z a i

x Z x x

311 0 1 3 2

0 2

1= ln ln ,a i

Z x x

2 12 0 2 1 3

0 3

1= ln ln .a i

Z x x



Подставляя в эти соотношения функции k из (39), можно получить

решения уравнений (27) или (32) в явном виде.

8. Решение уравнений с ограничениями

В случае использования дополнительного замыкающего соотношения

(10) компоненты матрицы T должны дополнительно являться решениями системы линейных уравнений по õ первого порядка. Рассмотрим в качестве

матрицы L матрицу следующего вида:

1 1

2 2

ˆ =L

.

Теперь решение для k можно искать в следующем виде:

( ) ( )( ) ( )1 1 2 20 1 2 0 0( , , , ) = ,

k x k t k x k tx t k k A e A e

( ) ( )( ) ( )1 1 2 23 1 2 0 0( , , , ) = ,


( ) ( )( ) ( )1 1 2 21 1 2 1 1( , , , ) = ,


( ) ( )( ) ( )1 1 2 2

2 1 2 11 1( , , , ) = ( ) .k x k t k x k t

x t k k iA k e iA e (40)

В этом случае условием выполнения соотношения (10) являются следующие ограничения на выбор параметров этих решений:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 11 0 1 0

1 2= , =

k kA A A A

(41)

и

1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2( )( ) = , ( )( ) = .k k k k

Отсюда следует, что для 1k и 2k имеются следующие допустимые

решения:

1 1 2 0 2 1 2 0= (( ) ) / 2, = ( ( ) ) / 2,k Q k Q

где 20 1 2 1 2= ( ) 4Q .

Таким образом, в силу линейности соотношения (10) общее решение можно представить в виде

0 0 1 2 0 1 2= ( , , , ) ( , , , ),x t k k x t k k

3 3 1 2 3 1 2= ( , , , ) ( , , , ),x t k k x t k k

1 1 1 2 1 1 2= ( , , , ) ( , , , ),x t k k x t k k

2 2 1 2 2 1 2= ( , , , ) ( , , , ).x t k k x t k k (42)



Решение для функций 1( , )a x t , 2 ( , )a x t и 1 2( , ) =u x t a ia теперь имеет

такой вид:

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 21 1 2 1 1 2 2

2= ,

( , )

Q iK K t x Q iK K t xQa u u e v v e

P x t

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 22 1 2 1 1 2 2

2= ,

( , )Q iK K t x Q iK K t xQ

a i u u e v v eP x t

2 ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 1 2

1 24

( , ) = = ,( , )

Q iK K t xQ v vu x t a ia e

P x t (43)

где 2 21 1 2 1 2= ( ) / 2Q , 1 2 1= ( )K , и

( ) ( )2 0 02 11 2( , ) = ( , ), ( , ) = ,

i t x Q i t x QK Q tP x t e F x t F x t R e R e

1 2 2 0 1 2 0 2 1 1 0 1 2 0= ( ( ) ), = ( ( ) ).R u v Q Q R u v Q Q

При этом 3 1 2=a , а решение для 0a имеет вид

20 2 10

4 ( , )= ,

( , )K Q tQ H x t

a eP x t

где

( ) ( )0 01 2( , ) = ,

i t x Q i t x QH x t S e S e

1 2 2 1 2 0 2 1 1 1 2 0= , = .S u v Q S u v Q

Эти решения переходят в солитон, подобный НУШ, например, в частном случае выполнения условий:

1 2 2 1 2= , = , 0.i ik ik R R

Однако форма решения несколько отличается от стандартного солитона НУШ. В частном случае:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2= 1, = 2, = 2, = 1, = = 1, = = 1, = 1, = 0,1,k k u u v v K K

решение для ( , )u x t можно записать в виде

(6 4 )2( , ) = ,

ch(2 8 ) sh(2 8 )

i t xeu x t

x t i x t

при этом

2 288| ( , ) | = .

ch(4 16 )u x t

x t

Отличие от солитонов типа НУШ состоит в том, что для такого типа решений не выполняется условие сопряженности u и u . Выбор параметров в другом виде приводит к решениям, отличающимся от обычных солитонов.




В работе развит метод построения точных решений уравнений типа НУШ и УГЛ с помощью метода матричных функциональных подстановок. Были получены конкретные решения этих уравнений в матричной размерно-сти 2×2. Как было показано, метод дает широкий класс решений типа Бюр-герса, подобных уравнению НУШ. Хотя применение таких уравнений для конкретных прикладных задач не обсуждалось, тем не менее сам их вид ука-зывает на адекватность этих уравнений определенным физическим задачам. Кроме этого, с помощью введения дополнительных замыкающих соотноше-ний, как было показано, полученные уравнения приводятся к требуемому ви-ду уравнений НУШ и УГЛ. В таком варианте метод был применен для по-строения конкретных решений уравнений типа УГЛ. Также в работе было показано, что решения уравнений, подобных НУШ и УГЛ, могут быть по-строены и в размерности матрицы, большей чем 2. В размерности большей 2 возрастает число произвольных функциональных параметров уравнений, что можно сопоставить с ростом числа солитонов в методе обратной задачи при увеличении числа функциональных параметров. Однако при этом необходи-мо проводить дополнительные исследования, касающиеся редукции таких решений к конкретному виду уравнений типа НУШ или УГЛ. Обсуждение таких редукций выходит за рамки данной работы.


1. Захаров , В . Е . Теория солитонов: Метод обратной задачи / В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский. – М. : Наука, 1980. – 321 с.

2. Додд , Р . Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррио. – М. : Мир, 1988. – 694 с

3. Агарвал , Г . Нелинейная волоконная оптика / Г. Агарвал. – М. : Мир, 1996. – 321 с

4. Ахмедиев , Н . Н . Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. – М. : Физматлит, 2003. – 300 с.

5. Журавлев , В . М . Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа и новые примеры линеаризуемых нелинейных эволюционных уравнений / В. М. Журавлев // Теоретическая и математическая физика. – 2009. – Т. 158, 1. – С. 58–71.

6. Бызыкчи , А . Н . Солитоны и метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа / А. Н. Бызыкчи, В. М. Журавлев // Вестник Самарского государственного техни-ческого университета. Сер.: Физ.-мат. науки. – 2013. – 2 (31). – C. 193–199.

References

1. Zakharov V. E., Manakov S. V., Novikov S. P., Pitaevskiy L. P. Teoriya solitonov: Metod obratnoy zadachi [The soliton theory: the method of inverse problem]. Moscow: Nauka, 1980, 321 p.

2. Dodd R., Eylbek Dzh., Gibbon Dzh., Morrio Kh. Solitony i nelineynye volnovye uravneniya [Solitons and nonlinear wave equations]. Moscow: Mir, 1988, 694 p.

3. Agarval G. Nelineynaya volokonnaya optika [Nonlinear fiber optics]. Moscow: Mir, 1996, 321 p.

4. Akhmediev N. N., Ankevich A. Solitony. Nelineynye impul'sy i puchki [Solitons. Non-linear impulses]. Moscow: Fizmatlit, 2003, 300 p.

5. Zhuravlev V. M. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathe-matical physics]. 2009, vol. 158, no. 1, pp. 58–71.



6. Byzykchi A. N., Zhuravlev V. M. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Ser.: Fiz.-mat. Nauki [Bulletin of Samara State Technical University. Series: Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 2 (31), pp. 193–199.

Журавлев Виктор Михайлович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Ульяновский государственный университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42);

Zhuravlev Viktor Mikhaylovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of theoretical physics, Ulyanovsk State University (42 Lva Tolstogo street, Ulyanovsk, Russia)


УДК 51-71, 532.51, 538.93

Журавлев, В. М. Cолитонные решения уравнений типа нелинейного уравнения

Шредингера и функциональные подстановки / В. М. Журавлев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 147–163. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-10.



УДК 621.385.6. / 517 DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-11

М. Ю. Захарченко, Ю. Ф. Захарченко

ПОВЫШЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ВЗАИМОДЕСТВИЯ ЭЛЕКТРОНОВ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В ЗАЗОРЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РЕЗОНАТОРА ЗА СЧЕТ УВЕЛИЧЕНИЯ

ДИАМЕТРА ОТВЕРСТИЯ ПРОЛЕТНОГО КАНАЛА Аннотация. Актуальность и цели. В лампах бегущей волны на цепочке связанных ре-

зонаторов диапазона 30…120 ГГц высокие величины коэффициента усиления (КУ) и электронного коэффициента полезного действия (КПД) обеспечивают-ся при диаметре d отверстия пролетного канала (ПК) резонаторов, равном 0,75…1,5 ширины Δ зазора взаимодействия (ЗВ). В диапазоне 200… 300 ГГц для реализации приемлемых КУ и КПД электронный пучок с плотностью тока до 500 А/см2 и с потенциалом до 25 кВ необходимо пропускать через отвер-стия с d < 0,2 мм, чтобы сохранить оптимальное d/Δ. Однако в этом случае конструкция электронно-оптической системы очень сложна, а изготовление таких отверстий проблематично, потому что невозможно применить техноло-гию сверления и трудно применить электроэрозионную технологию. Теорети-чески показано, что лампs бегущей волны на цепочке связанных резонаторов диапазона 200…300 ГГц будут иметь КПД < 1 %. Поэтому при их разработке целесообразно стремиться к увеличению интенсивности взаимодействия (ИВ) электронов с высокочастотным полем в ЗВ, а не к увеличению КПД. В этом случае КУ и выходная высокочастотная мощность будут расти, так как ИВ происходит на периферийной части сечения пучка, увеличивающейся с ростом d/Δ. Цель исследований – теоретически рассмотреть основные закономерности роста ИВ электронов с высокочастотным полем в ЗВ за счет увеличения d/Δ.

Материалы и методы. Для анализа основных закономерностей поставлен-ной задачи используется математический аппарат, где взаимодействие элек-тронов и высокочастотного поля в ЗВ рассматривается в рамках линейного приближения, а электродинамическая часть задачи - в рамках квазиэлектро-статического приближения. Рассматривается модель в виде зазора шириной Δ между плоскими границами проводящих полупространств, в которых располо-жены соосно два круглых ПК диаметром d. Полагается, что действующий в за-зоре электрический высокочастотный потенциал VΔ, изменяется в поперечном направлении по закону, соответствующему изменению в этом направлении компонент напряженности высокочастотного поля (КНП) в цилиндрическом резонаторе. Аналитическое описание распределения КНП в ЗВ проводится с помощью функциональных рядов, составленных из собственных решений уравнения Лапласа. Коэффициенты в рядах находятся из решения системы линейных уравнений, полученной в результате приравнивания продольных и поперечных КНП на общей цилиндрической границе диаметром d и последу-ющего разложения получаемых выражений в ряды Фурье по тригонометриче-ским функциям. Для анализа ИВ в ЗВ применяются интегральные выражения для сгруппированного тока в пучке и для мощности его взаимодействия с вы-сокочастотными полями.

Результаты. Рассчитано распределение КНП в пространстве ЗВ, которое использовано для расчета зависимости коэффициента ИВ (Kинт) от d/Δ.

Выводы. Показано, что Kинт растет при увеличении d/Δ и имеет максимум при d/Δ, равных 4,25…4,75. Эти величины Kинт превышают в 3…5 раз величи-



ну Kинт для d/Δ, равных 0,75…1,5. Наибольшего значения максимальное зна-чение Kинт достигает при угле пролета электронов через ЗВ, равном 3/8. Зна-чения d/Δ, равные 4,25…4,75, меньше, чем критический размер dкр/Δ в ПК, при котором возникает электродинамическая связь между смежными резона-торами.

Ключевые слова: миллиметровые волны, лампа бегущей волны, цепочка связанных резонаторов, повышение интенсивности взаимодействия электро-нов с высокочастотным полем в зазоре взаимодействия.

M. Yu. Zakharchenko, Yu. F. Zakharchenko

OPTIMIZATION OF ELECTRON - ELECTROMAGNETIC FIELD INTERACTIONS IN THE RESONATOR INTERACTION GAP

THROUGH EXTENDINGTHE DRIFT TUBE HOLE’S DIAMETER Abstract. Background. In a traveling wave tube (TWT), high-gain amplification processes

and electron efficiency found along the chain of coupled resonators with the band-width about 30 … 120 GHz, are obtained when the diameter d of the hole in the resonator drift tube equals 0,75 … 1,5 from the Δ width of the interaction gap. Within the bandwidth of 200… 300 GHz, in order to provide the required amplifica-tion coefficient and electron efficiency and preserve the optimum value for d/Δ, the electron beam with the current density up to 500 А/см2 and the potential up to 25 kW must be induced in the hole with d no less than 0,2 mm. However, under these conditions the construction of the electron-optical system is most sophisticated, and designing holes for the resonator drift tube is highly problematic, since application of the welding and electroerosion technologies is hardly possible. Based on the the-ory, we showed that electron efficiency along the chain of coupled resonators of TWTs with 200 … 300 GHz will be lower than 1%. Therefore, when designing TWTs it will be appropriate to achieve higher interaction intensity of electrons with high frequency fields within the interaction gap, rather than upgrade electron effi-ciency. In this case, the amplification coefficient and output high-frequency power will grow, since interaction activity occurs in the peripheral area of the beam cross-section, which grows together with the increase of d/Δ. The aim of the research is to consider the theory of the basic operating principles relating the increase in the in-teraction activity of electrons with high frequency fields within the interaction gap due to the increase of d/Δ.

Materials and methods. To analyze the basic principles we used the mathemati-cal tools. Thus interaction of electrons and high-frequency fields in the interaction gap is considered in terms of linear approximation, while electrodynamic part of the problem was considered in terms of quasi-electro-static approximation. We investi-gated the model presented as a gap with the width Δ between the flat boundaries of conducting half-spaces, where the location of two circular drift tubes of d diameter is coaxial. It is assumed that the actual electric high frequency potential VΔ operating in the gap, changes in the direction of cross section in line with the principle, which corresponds to the changes acting in the same direction of the component of high frequency field intensity in the cylindrical resonator. Analytic description of distri-bution of the field-intensity component within the interaction gap is conducted by means of functional series composed from solutions to the Laplace’s equation. The coefficients in the series are found from solving a system of linear equations. The latter result from equating longitudinal and transverse components of the field inten-sity over the common cylindrical boundary of d diameter and further expansion of



the resulting expressions into Fourier series by trigonometric functions. To analyze interaction activity in the interaction gap, we used integral expressions for the bunched electron beam and capacity of its interaction with high frequency fields.

Results. The provided calculations refer distribution of the intensity-field com-ponent along the interaction gap spacing, which has been applied to estimate the de-pendence of the interaction intensity coefficient (Kint) from d/Δ.

Conclusions. It is shown that Kint grows as the d/Δ is increased, and is at the maximum when d/Δ equals 4,25…4,75. These variables for Kint exceed the value of Kint given for d/Δ and equal to 0,75…1,5, by 3 … 5 times. The maximum variable of Kint reaches its top value when the angle of the electron transit through the inter-action gap equals 3/8. The variables of d/Δ when equal to 4,25…4,75, are lower than the critical dimension dкр/Δ in the drift tube, where we find the process of elec-trodynamic coupling between the adjacent resonators.

Key words: millimeter waves, traveling wave tube, a chain of coupled cavity resonators, growth in interaction activity of electrons and the high frequency field in the interaction gap.

Введение

Разработчики ламп бегущей волны (ЛБВ) на основе цепочки связанных резонаторов (ЦСР) при выборе конструкции и размеров функциональных элементов исходят из требований, обеспечивающих высокие значения коэф-фициента полезного действия (КПД) и коэффициента усиления (КУ). В сан-тиметровом и в длинноволновой части миллиметрового (мм) диапазонов волн одним из необходимых условий по обеспечению этих требований является выбор диаметра d отверстия пролетного канала (ПК) в стенках резонаторов в пределах 0,75…1,5 ширины Δ зазора взаимодействия (ЗВ) [1].

В приборах коротковолновой части мм-диапазона (190…300 ГГц) для реализации приемлемых величин КУ и КПД необходимо использовать элек-тронный пучок с плотностью тока 250…500 А/см2. Причем желательно, что-бы потенциал Ue0 пучка был не более 25 кВ. Данный пучок должен пропус-каться через отверстия ПК диаметром менее 0,2 мм со 100 % токопрохожде-нием [2]. Использование отверстий с таким маленьким d обусловлено требо-ванием сохранения оптимального значения d/Δ для обеспечения приемлемого КПД.

Но применение ЦСР с такими отверстиями ПК проблематично. Это обусловлено трудностями разработки электронно-оптической системы дли-ной 3…8 см, включающей электронную пушку с компрессией сечения пучка 50…80, один или два каскада ЦСР с числом резонаторов до 50 в каждом кас-каде и компактную, но мощную магнитную фокусирующую систему. Изго-товление подобной электронно-оптической системы сталкивается с серьез-ными технологическими трудностями. Прежде всего они возникают при из-готовлении отверстий ПК, потому что при d меньше 0,2 мм невозможно при-менить технологию сверления и очень трудно применить электроэрозионную технологию [3].

В диапазоне 75…125 ГГц для увеличения d до 0,8…1,0 мм при сохране-нии оптимального d/Δ приходится увеличивать 0eU до 35…50 кВ, а это при-

водит к увеличению длины прибора в 1,5…2 раза [3, 4]. Как следствие, уве-личивается масса и стоимость прибора. При этом требования к допускам на изготовление функциональных элементов остаются достаточно жесткими.



В настоящее время в коротковолновой части мм-диапазона нет закон-ченных разработок ЛБВ на ЦСР. Но из результатов теоретического анализа выходных параметров следует, что КПД будет не выше 1 % [2]. Поэтому при их разработке имеет смысл ориентироваться на увеличение интенсивности взаимодействия (ИВ) электронов с высокочастотным (ВЧ) полем в ЗВ, а не на увеличение КПД. В этом случае КУ и выходная ВЧ мощность будут расти.

При увеличении d/Δ в ЗВ быстро уменьшается продольная состав-ляющая напряженности электрического поля в радиальном направлении. По-этому в этом же направлении будет уменьшаться величина модуляции элек-тронов в пучке по скорости и по плотности. Однако интенсивное взаимодей-ствие электронов с ВЧ-полем происходит на периферийной части площади сечения пучка, которая линейно увеличивается с ростом d/Δ [4, 5].

Отметим, что при малых КПД разброс скоростей электронов в пучке будет небольшим, так как амплитуда электрических полей в ЗВ небольшая. По-этому можно реализовать высокий технический КПД прибора за счет исполь-зования коллектора-рекуператора. Такое техническое решение используется в ЛБВ на ЦСР диапазона 75…125 ГГц с КПД не более 10 % [4].

Цель исследований – теоретически рассмотреть основные зако-номерности роста ИВ в ВЧ-зазоре за счет увеличения d/Δ.

1. Математический аппарат для описания электрических полей

Строгое описание электромагнитного поля в резонаторе требует при-менения численных методов электродинамики, а описание взаимодействия ВЧ-поля и электронов с учетом нелинейных процессов в пучке требует при-менения численных методов вакуумной электроники [5, 6]. Эти методы тру-доемки (особенно при совместном применении) как при разработке про-граммных алгоритмов, так и при проведении вычислений. Поэтому для ана-лиза основных закономерностей поставленной задачи используется матема-тический аппарат, где группировка электронов описывается в линейном при-ближении, а электродинамическая часть задачи – в квазиэлектростатическом приближении.

В работе рассматривается модель в виде зазора шириной Δ между плоскими границами проводящих полупространств, в которых вдоль оси z расположены соосно два круглых канала диаметром d (рис. 1).

Рис. 1



Полагается, что в ЗВ действует потенциал VΔ, изменяющийся в попе-речном направлении по закону 0 0· · (2 / )·exp( )V E J D j t , где 0E – напряженность ВЧ-поля в центре цилиндрического резонатора диаметром D при отсутствии ПК; 0 ( )J x – функция Бесселя; ρ – поперечная координата

в системе (ρ, φ, z); – величина, при которой 0 ( ) 0J ; ω – круговая частота

ВЧ поля; t – время. Вводятся безразмерные величины: ·V V Y , /z , 2 / d , /h d . Для задания V используются выражения в виде функциональных рядов,

составленных из собственных решений уравнения Лапласа [7]. Расчетное пространство состоит из двух областей. Область I задается в виде:

0 0 , 0 1 при 01 / 2 | | , а область II – в виде: 1 / 2 1 / 2 , 1 .

В области I функция I ( , )Y z представляется рядом, содержащим моди-

фицированные функции Бесселя первого рода ( )nI x [7]:

0 0

0 00 01

( 2 )( , ) sin( / ) .

( 2 )I nn

I hnY A A n

I h n

(1)

Дифференцируя (1) по и , получим производные I /Y и I /Y в виде

0 0

0 00 0 01

( 2 )cos( / ) .

( 2 )I nn

I h nd Y d A A n n

I hn

(2)

1 0

0 00 0 01

( 2 )sin( / ) .

2 ( 2 )I nn

I h nhd Y d A A n n

I hn

(3)

В области II функция II ( , )Y z представляется рядом, содержащим мо-

дифицированные функции Бесселя второго рода ( )nK x [7]:

0

II 001

( )( , ) sin(2 ).

( )pp

K h pY B B p

K h p

(4)

Дифференцируя (4) по и , получим производные II /Y и

II /Y в виде

II 0

00p 1

( )2 cos(2 ) ;

( )pd Y K h p

B B p pd K h p

(5)

II 1

0p 1

( )sin (2 ) .

( )pd Y K h p

h B p pd K h p

(6)

На общей границе –1 / 2 1/ 2 , 1 , областей I и II должны выпол-

няться условия: I II/ /Y Y и I II/ /Y Y . На границах



01 / 2 , 1 , и 0– –1/ 2 , 1 , области I должно выполняться

условие I / 0Y . При 1 / 2 должно выполняться условие

II / –1Y , из которого следует 0 –1B .

Приравнивая (2) и (5) при 1 , получим выражение

0 00 1

`cos( / )

N

nn

A A n n

1

0

0

1 11 2 cos (2 ) при ,

2 2

10 при ,

21

0 при .2

P

pp

B p p

(7)

Приравнивая (3) и (6) при 1 , получим выражение

1 00

0 0 01

( 2 )1sin( / )

2 ( 2 )n

N

n

I hnA n n

I hn

1

01

)sin(2 ).

( )

P

pp

K p hB p p

K p h

(8)

В рядах в (7) и (8) функции при nA и nB являются непрерывными, од-

нозначными и ограниченными. Поэтому (7) и (8) являются разложениями в ряды Фурье по соответствующим тригонометрическим функциям [8]. В си-лу этого правая и левая части (7) умножаются на 0cos( / )n , ( 1, ,n N ),

и интегрируются по в пределах 0 0 с применением формулы

(401.05) из [9]. Правая и левая части (9) умножаются на sin(2 )p

( 1, ,p P ) и интегрируются по в пределах 1/ 2 1 / 2 с применением

формулы (401.07) из [9]. В результате получим систему линейных уравнений относительно коэффициентов nA и nB

0 01 2 ;A (9)

0,2 2

0 1

sin 2 1,

2

P

np

p p nn p

A B Hnn

1 00220, 0

0

sin 2( 1) 2 / ,

/ 2

2 / ;

при

при

p

p n

nnp n

H p n

p n

(10)



1

,1 00

1 0 0 0

/ 2;

( ) 2 / 2p k p kk

N I h kK p h kB A W

K p h I h k

12

,

002

0

0

sin / 22( 1) при 2 / ,

/ 2

1 / при 2 / .

p

p k

kp k

W p k

p p k

(11)

Подставляя (11) в (10) и изменяя порядок суммирования, получим не-однородную систему линейных уравнений относительно коэффициентов nA :

,1

, 1,2,3,..., ,k n k nk

NA a с n N

(12)

где коэффициенты ,n ka и nc задаются выражениями

0 01/ ( )sin 2 2 .nc n n n (13)

, , ,

1 0 0

0 0 0 11

2 11.

02 2

приприn k p n p k

p

PI h k n kK p hka p H W

n kn I h k K p h

(14)

2. Математическое описание взаимодействия электронного пучка с электрических ВЧ-полем в рамках линейного приближения

Согласно [10] в электронном пучке в одномерном приближении плот-ность сгруппированного тока Je запишется в интегральной форме в виде

0

0 0

sin ( / ) ( )1( , , ) .

2 ( / )e e

zz

eq ej je

e Ee q e

zJ UJ j e d e

U

(15)

Здесь 0eJ – постоянная плотность тока по сечению пучка; ( , , )E –

функция распределения продольной напряженности Ez электрического поля в пределах сечения пучка; q – редуцированная плазменная частота пучка;

ω – частота ВЧ-сигнала; /e e ; e – скорость электронов при напряже-

нии пучка 0eU .

Согласно [5] величина энергии взаимодействия eP электронного пучка

с электрическим ВЧ-полем в ЗВ запишется в виде

2 /2 /2

0 0 /2

( , , ) ( , , ) ,ek d L

L

e E eU

P d d dz z J z

(16)

где ek – коэффициент заполнения ПК электронным пучком; *eJ – обозначение

комплексно-сопряженной величины eJ ; L – длина области I вдоль оси z.



В (15) и (16) полагается, что квазистатическое напряжение U , дей-

ствующее за пределами ЗВ, приближенно соответствует распределению ВЧ поля в цилиндрическом резонаторе диаметром D и высотой Δ. Имеем

0 0 ( / ),U U J d D (17)

где 0 ( / )J d D – функция Бесселя; ≈ 2,405 – величина, при которой

0 ( ) 0J .

Подставляя (16) в (17) и вводя е – пролетный угол электронов

в ЗВ, получим выражение для мощности PeΔ, характеризующей интенсив-ность взаимодействия электронов с ВЧ-полем в ЗВ. Имеем:

220 0 0 0 инт( /16)( ) / ,e e e eP J U U U K (18)

где интK – коэффициент интенсивности взаимодействия, задаваемый в виде

2инт

0

2 ( , )ek

jEK j h d d e

sin ( / ) ( )

( , ) .( / )

qjE

qd e

(19)

3. Результаты расчета

Расчеты по (2), (3), (5), (6), (9), (12)–(14), (19), (20) проводились с по-мощью вычислительной системы Mathematica 7.0 фирмы Wolfram Research Inc. с точностью до четырех верных знаков после запятой [11]. При расчетах полагалось: 0 25N ; 250N P ; / 0,1D ; / 0,1d ; / 0,01q . Ве-

личина изменялась в пределах / 8 3 / 4 . Величина /d D изменялась в

пределах 0,05…0,65. Графики на рис. 2. демонстрируют в области I характерные особенно-

сти распределения компонент напряженности ВЧ электрического поля от ζ при η, равных: 1,0 (1); 0,75 (2); 0,5 (3); 0,25 (4); 0 (5), – для d/Δ = 1,5 (рис. 2,а,б) и d/Δ = 4,5 (рис. 2,в,г). На рис. 2,а и рис. 2,в даны зависимости – ∂YI/∂ζ от ζ. На рис. 2,б и рис. 2,г даны зависимости – ∂YI/∂η от ζ. Видно, что разработанный математический аппарат позволяет описывать распределение ∂YI/∂ζ и ∂YI/∂η от ζ и η в полном соответствии с теорией электрофизики.

Результаты расчета, демонстрирующие основные закономерности зави-симости |Kинт|/|Kинт (0)| от d/D, даны на рис. 3, где |Kint(0)| = 0,178 для d/D = 0,125; ke = 0,75; = 3/8. На рис. 3,а приведены зависимости |Kинт|/|Kинт

(0)| от d/D для ke = 0,75 при = /8 (1), = /4 (2), = 3/8 (3), = /2 (4), = 5/8 (5), = 3/4 (6) . На рис. 3,б приведены зависимости |Kинт|/|Kинт (0)| от d/D для = 3/8 при ke = 0,3 (1), ke = 0,4 (2), ke = 0,5 (3), ke = 0,6 (4), ke = 0,7 (5). Отметим, что при d/D < 1 отсутствует электромагнитная связь



между смежными резонаторами через волну типа E01, так как критический размер dкр отверстия в ПК равен D [12].

а) б)

в) г)

Рис. 2

а) б)

Рис. 3


Показано, что Kинт растет при увеличении d/Δ и имеет максимум при d/Δ = 4,25… 4,75. Эта величина Kинт превышает в 3…5 раз величину Kинт для



d/Δ = 0,75… 1,5. Наибольшего значения максимальный Kинт достигает при уг-ле θΔ пролета электронов через ЗВ, равном 3/8.

Показано, что величина Kинт зависит от ke и, например, уменьшается с 8 до 4 раза при уменьшении ke с 0,7 до 0,5. Изменение ke мало влияет на по-ложение максимумов зависимости Kинт от d/Δ, лежащих в интервале 4,25…4,75.

Рассматриваемые значения d/Δ меньше, чем размер dкр/Δ, при котором возникает электродинамическая связь между смежными резонаторами через волну типа E01. В данном случае dкр равно D.


1. Davis , J . A. New developments in gridded coupled cavity millimeter-wave TWTs / J. A. Davis, J. P. Vaszari // International Electron Devices Meeting (1982, December 13–15). – San-Francisco, California, 1982. – P. 22–26.

2. Викулов , И . Американская программа по СВЧ вакуумной электронике HiFiVE / И. Викулов, Н. Кичаева // ЭЛЕКТРОНИКА: Наука, Технология, Бизнес. – 2008. – 5. – С. 70–74.

3. Acker, A. E. New techniques vitalize mm-wave CCTWT development and produci-bility / A. E. Acker // MSN. – 1986. – Vol. 16, 13. – P. 68–79.

4. Ляшенко , А . В . Усилительные приборы типа О миллиметрового диапазона / А. В. Ляшенко, В. П. Еремен, А.И. Тореев // Прикладная физика. – 2009. – 5. – С. 119–132.

5. Канавец , В . И . Нелинейные процессы в мощных многорезонаторных кли-стронах и оптимизация их параметров (третья зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 7 / В. И. Канавец, В. М. Лопухин, А. Н. Сандалов. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1974. – 243 с.

6. Булгакова , Л . В . Лекции по электронике СВЧ приборов типа О (дискретный подход к описанию взаимодействия электронного потока с ВЧ электромагнитны-ми полями) / Л. В. Булгакова, Д. И. Трубецков, В. Л. Фишер, В.Н. Шевчик. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1974. – 221 с.

7. Корн , Г . А . Справочник по математике для научных работников и инженеров (определения, теоремы, формулы) / Г. А. Корн : под ред. И. Г. Арамовича. – М. : Наука, 1974. – 832 с.

8. Толстов , Г . П . Ряды Фурье / Г. П. Толстов. – М. : Наука, 1980. – 384 с. 9. Двайт , Г . Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Двайт. –

М. : ИЛ, 1969. – 228 с. 10. Электроника ламп с обратной волной / под ред. В. Н. Шевчика и Д. И. Трубецкова :

Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1975. – 195 с. 11. Дьяконов , В . П . Математика 4.1/4.2/5.0 в математических и научно-тех-

нических расчетах / В. П. Дьяконов. – М. : СОЛОН-Пресс, 2004. – 696 с. 12. Брунов , Б . Я . Теория электромагнитного поля / Б. Я. Брунов, Л. М. Гольден-

берг, И. Г. Кляцкин и др. ; под ред. И. Г. Кляцкина. – М. ; Л. : Госэнергоиздат, 1962. – 512 с.

References

1. Davis J. A., Vaszari J. P. International Electron Devices Meeting (1982, December 13–15). San-Francisco, California, 1982, pp. 22–26.

2. Vikulov I., Kichaeva N. ELEKTRONIKA: Nauka, Tekhnologiya, Biznes [ELECTRONICS: Science, Technology, Business]. 2008, no. 5, pp. 70–74.

3. Acker A. E. MSN. 1986, vol. 16, no. 13, pp. 68–79. 4. Lyashenko A. V., Eremen V. P., Toreev A. I. Prikladnaya fizika [Applied physics].

2009, no. 5, pp. 119–132.



5. Kanavets V. I., Lopukhin V. M., Sandalov A. N. Nelineynye protsessy v moshchnykh mnogorezonatornykh klistronakh i optimizatsiya ikh parametrov (tret'ya zimnyaya shkola-seminar inzhenerov). Kn. 7 [Non-linear processes in powerful multiresonator klystrons and optimization of their parameters (III Winter school-seminar for engi-neers). Book 7]. Saratov: Izd-vo Sarat. un-ta, 1974, 243 p.

6. Bulgakova L. V., Trubetskov D. I., Fisher V. L., Shevchik V. N. Lektsii po elektronike SVCh priborov tipa O (diskretnyy podkhod k opisaniyu vzaimodeystviya elektronnogo potoka s VCh elektromagnitnymi polyami) [Lectures on electronics of O-type VHF de-vices (the discrete approach to describing the interaction of the electron flow with HF electromagnetic fields)]. Saratov: Izd-vo Sarat. un-ta, 1974, 221 p.

7. Korn G. A. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov (opre-deleniya, teoremy, formuly) [Mathematics reference book for scientists and engineers (definitions, theorems, formulas)]. Moscow: Nauka, 1974, 832 p.

8. Tolstov G. P. Ryady Fur'e [Fourier series]. Moscow: Nauka, 1980, 384 p. 9. Dvayt G. Tablitsy integralov i drugie matematicheskie formuly [Integral tables and oth-

er mathematical formulas]. Moscow: IL, 1969, 228 p. 10. Elektronika lamp s obratnoy volnoy [Electronics of lamps with inverse wave]. Eds. V.

N. Shevchik, D. I. Trubetskov. Saratov: Izd-vo Sarat. un-ta, 1975, 195 p. 11. D'yakonov V. P. Matematika 4.1/4.2/5.0 v matematicheskikh i nauchno-tekhnicheskikh

raschetakh [Mathematics 4.1/4.2/5.0 in mathematical and technical calculations]. Mos-cow: SOLON-Press, 2004, 696 p.

12. Brunov B. Ya., Gol'denberg L. M., Klyatskin I. G. et al. Teoriya elektromagnitnogo polya [The electromagnetic field theory]. Moscow; Leningrad: Gosenergoizdat, 1962, 512 p.

Захарченко Михаил Юрьевич кандидат технических наук, доцент, кафедра автоматизации, управления, мехатроники, Саратовский государственный технический университет имени Ю. А. Гагарина (Россия, г. Саратов, ул. Политехническая, 77)

Zakharchenko Mikhail Yur'evich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of automation, control, mechatronics, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov (77 Politechnicheskaya street, Saratov, Russia)

E-mail: [email protected] Захарченко Юрий Федорович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Саратовское отделение Института радиотехники и электроники РАН (Россия, г. Саратов, ул. Зеленая, 38)

Zakharchenko Yuriy Fedorovich Candidate of physical and mathematical sciences, senior staff scientist, Saratov branch of the Institute of Radio Engineering and Electronics of RAS (38 Zelenaya street, Saratov, Russia)


УДК 621.385.6. / 517

Захарченко, М. Ю. Повышение интенсивности взаимодействия электронов с электро-

магнитным полем в зазоре взаимодействия резонатора за счет увеличе-ния диаметра отверстия пролетного канала / М. Ю. Захарченко, Ю. Ф. За-харченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физи-ко-математические науки. – 2018. – 1 (45). – С. 164–174. – DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-11.

4, 2008 Технические науки. Сведения об авторах

175

Вниманию авторов!

Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его стра-ницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области мате-матики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.

Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других журналах, редколлегией не рассматриваются.

Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использовани-ем текстового редактора Microsoft Word for Windows (тип файла – RTF, DOC).

Необходимо представить статью в электронном виде ([email protected]) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах. Оптимальный объем руко-писи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт статьи – Times New Roman, 14 pt че-рез полуторный интервал. Статья обязательно должна содержать индекс УДК, ключе-вые слова и развернутую аннотацию объемом от 100 до 250 слов, имеющую четкую структуру на русском (Актуальность и цели. Материал и методы. Результаты. Выводы) и английском языках (Background. Materials and methods. Results. Conclusions).

Обращаем внимание авторов на то, что в соответствии с этическим кодексом журнала для обеспечения единообразия перевод фамилии, имени, отчества каждого ав-тора на английский язык (в сведениях об авторах и списке литературы) осуществляется автоматически с использованием программы транслитерации в кодировке BGN (сайт translit.ru).

Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением 300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии 0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.

Формулы в тексте статьи обязательно должны быть набраны в редакторе формул Microsoft Word Equation (версия 3.0) или MathType. Символы греческого и русского алфавита должны быть набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требова-ния необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием шрифтов Symbol).

В списке литературы нумерация источников должна соответствовать очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в квадратных скобках. Требования к оформлению списка литературы на русские и иностранные источники: для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство, год издания, том, количество страниц; для журнальных статей, сбор-ников трудов – фамилия и инициалы автора, название статьи, полное название журна-ла или сборника, серия, год, том, номер, страницы; для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название статьи, название конференции, город, изда-тельство, год, страницы.

К материалам статьи должна прилагаться следующая информация: фамилия, имя, отчество, ученая степень, звание и должность, место и юридический адрес работы (на русском и английском языках), e-mail, контактные телефоны (желательно сотовые).

Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается. Рукопись, полу-ченная редакцией, не возвращается. Редакция оставляет за собой право проводить ре-дакторскую и допечатную правку текстов статей, не изменяющую их основного смыс-ла, без согласования с автором.

Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований, к рассмотрению не принимаются.


176

Уважаемые читатели!

Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия выс-ших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки» рекомендуем вам оформить подписку.

Журнал выходит 4 раза в год по тематике: • математика • физика • механика

Стоимость одного номера журнала –500 руб. 00 коп. Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить

заявку в редакцию журнала: факс/тел. (841-2) 36-84-87. Е-mail: [email protected]

Подписку можно также оформить по объединенному каталогу «Пресса Рос-сии» тематические разделы «Научно-технические издания. Известия РАН. Ивестия ВУЗов». Подписной индекс – 82413.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

ЗАЯВКА

Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки» на 20__ г.

1 – ______ шт., 2 – ______ шт., 3 – ______ шт., 4 – ______ шт.

Наименование организации (полное) __________________________________

__________________________________________________________________

ИНН ___________________________ КПП _____________________________

Почтовый индекс __________________________________________________

Республика, край, область ____________________________________________

Город (населенный пункт) ___________________________________________

Улица ____________________________________ Дом ____________________

Корпус __________________________ Офис ____________________________

ФИО ответственного ________________________________________________

Должность ________________________________________________________

Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail _____________________

Руководитель предприятия ____________________ ______________________ (подпись) (ФИО)

Дата «____» _________________ 20__ г.

Date post:	05-Jun-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

FMN 2018 1 Matematika V2 · окончательная формула: 1 (1) ( 1) 1 =(1) (1) . ig...

Documents