Fouri dekonvoluce, Fouriérovské...

Fouriérova transformace, konvoluce, Fouriérova transformace, konvoluce, dekonvoluce, Fouriérovské integrálydekonvoluce, Fouriérovské integrály

Úvod do programování v prostředích Octave, Scilab a Matlab

co byste měli umět po dnešní lekci:

● používat funkce pro výpočet FFT (Fast Fourier Transformation)● spočítat konvoluci/dekonvoluci pomocí FFT● použít FFT při výpočtu určitých integrálů● vědět co je nízko\vysokofrekvenční (Wienerův) filtr● vědět, co je fázová korelace a k čemu je dobrá



Fouriérovy řadyFouriérovy řady

aproximace periodických funkcí pomocí F.řad



Fouriérova transformaceFouriérova transformace

(f(t) definována na intervalu )

základní, fundamentální, frekvence



Fouriérova analýza diskrétních datFouriérova analýza diskrétních dat

mějme nhodnot nějaké funkce f(t), měřené v ekvidistatních časových intervalech ti,

DFT:

Fk reprezentují koeficienty F. řady pro funkci f(t) pro frekvence menší než

Nyquistova frekvenceNyquistova frekvence



Příklad: Analýza časové série počtu slunečních skvrn na povrchu Slunce (Wolfovo číslo)

octave:53>s=load('sunspot.dat');octave:54> cas=s(:,1);octave:55> Wolf=s(:,2);octave:56> FTWolf=fft(Wolf);octave:57> FTWolf(1)=[]; % prvni cislo je suma hodnot v poli octave:58> n=length(FTWolf);octave:59> FTWolf2=abs(FTWolf(1:floor(n/2))).^2;octave:60> nyquist=1/2;octave:61> frekv=(1:n/2)/(n/2)*nyquist;octave:62> out=[frekv' FTWolf2];octave:63> save ascii 'periodogram.dat' outoctave:64> perioda=1./frekv;octave:65> out=[perioda' FTWolf2];octave:67> save ascii 'cyklus.dat' outoctave:68> m=find(FTWolf2==max(FTWolf2));octave:69> perioda(m)ans = 11.038



funkce fft a ifft ukázka výpočtu FT Gaussovy funkcefunkce fft a ifft ukázka výpočtu FT Gaussovy funkce

x=linspace(10,10,256);y=5*exp(x.^2/2/4);FTy=fft(y);plot(real(FTy))FTy=fft(fftshift(y));plot(real(FTy))

N=length(x);n=[N/2:N/21];Delta=x(2)x(1);om=2*pi*n/N/Delta;plot(om,fftshift(FTy));

po volání fft (ifft) jsou hodnoty v poli o délce N=2n řazeny takto: 1 ≤ j ≤ N/2 hodnoty pro nezáporné frekvence N/2+1 ≤ j ≤ N hodnoty pro záporné frekvence fftshift



konvoluce a dekonvoluce pomocí FTkonvoluce a dekonvoluce pomocí FT

M, I a R jsou Fouriérovské obrazy m, i a r



konvoluce a dekonvoluce pomocí FTkonvoluce a dekonvoluce pomocí FT

dekonvoluce je špatně podmíněná úloha – je velmi citlivá na omezenost intervalů,na kterých máme změřená data a na přítomnost šumu data je nutno pro dekonvolucipředpřipravit:

● odečíst pozadí● FT vyžaduje pole stejných délek (nejlépe 2n) – data doplníme nulami● nutno vyhladit šum

pro výpočet FT použijeme implementované funkce fft a ifft (viz help).



modifikovaná Stokesova metodamodifikovaná Stokesova metoda

vyhlazení dat pomocí násobení Gaussovou funkcí

po zpětné FT vyjde:

tj. vyhladímeli M a R, je automaticky vyhlazena i F!!!!



% Fourierova transformace of merenych dat % a rozlisovaci funkceM = fft([m zeros(1,length(r)1)]); % zarovnam nulami na stejnou velikostR = fft([r zeros(1,length(m)1)]);% vyhlazeni Msigma = length(M)/20; x = 1:length(M);gauss = exp((x.^2)/sigma^2);gauss = gauss + fliplr(gauss); M = gauss.*M;% vyhlazeni Rsigma = length(R)/5; x = 1:length(R);gauss = exp((x.^2)/sigma^2);gauss = gauss + fliplr(gauss);R = gauss.*R;ft = real(ifft(M./R)); ft = fftshift(ft);



Výpočet integrálů pomocí Fouriérovy transformaceVýpočet integrálů pomocí Fouriérovy transformace

integrál aproximujeme



Výpočet integrálů pomocí Fouriérovy transformaceVýpočet integrálů pomocí Fouriérovy transformace

nutno zohlednit kraje intervalu integrace

FFT

Lichoběžníková aproximace:



Filonova metoda výpočtu Fouriérovských integrálůFilonova metoda výpočtu Fouriérovských integrálů

pro malá



Filonova metoda výpočtu Fouriérovských integrálůFilonova metoda výpočtu Fouriérovských integrálů



ideální NF filtr

Butterworthův NF filtr

Gaussův NF filtr

Nízko/vysokofrekvenční filtryNízko/vysokofrekvenční filtry




komprese obrazu



Wienerův filtr, optimální filtrováníWienerův filtr, optimální filtrování

instrumentální funkce fyzikální profil

šumfiltr

minimalizace

Wienerův filtrWienerův filtr



(měřené)

loga

ritm

ická

škál

a (extrapolované)

(odhadnuté)



Fázová korelaceFázová korelace

shift teorém

similarity teorém

zjištění vzájemného posunutí obrázků, rotace a změny měřítka




posun obrázků




rotace




změna měřítka




1. spočteme amplitudová spektra obou obrazů2. převedeme spektra do polárních souřadnic (r, )3. tato spektra jsou posunutá o vektor (0,), který určíme metodou uvedenou výše4. otočíme druhým obrazem o úhel (otočení kolem středu), nyní ještě zbývá posunutí (x0, y0)

zjištění vzájemné rotace:

zjištění změny měřítka: 1. spočteme amplitudová spektra obou obrazů2. převedeme spektra do polárních souřadnic s log osou r (log(r), )3. tato spektra jsou posunutá o vektor (log(c),0), který určíme metodou uvedenou výše

zjištění vzájemného posunutí:

1. spočteme spektra obou obrazů2. spočteme fázovou korelaci těchto obrazů3. poloha maxima (x0, y0) určuje vektor vzájemného posunutí obrazů



Úkoly:

1) Napište funkci na výpočet koeficientů an a bn F.řad. Aproximujte různé funkce, periodické i neperiodické.2) Napište skript, který bude počítat Fouriérovské integrály Filonovou metodou.3) Napište skript, který bude počítat Fouriérovské integrály pomocí FT4) Napište skript, který bude provádět dekonvoluci dat pomocí modifikované Stokesovy metody5) Napište skript, který bude aplikovat na data jeden z uvedených šumových filtrů.6) Troufnete si napsat skript, který bude zjišťovat vzájemné posunutí dvou obrázků?

Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29

Date post:	24-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Fouri dekonvoluce, Fouriérovské...

Documents