Funkce

Lineární funkce - příklady

Opakování: Funkce - definiceFunkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo.

Funkci značíme obvykle písmenem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmena, např. g,

h, …

a obvykle zapisujeme ve tvaru:

nebo ve tvaru:

y = f(x), např. y = 2x+1

f: y = 2x + 1

kde proměnná x je argument funkce.

Opakování: zápis funkce

f: y = 2x + 1 kde proměnná x je argument funkce,

nebo-li nezávisle proměnná.

Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního

oboru.

Množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou

funkci nabývat, se nazývá definiční obor. Značí se: D(f)

Opakování: obor hodnotKe všem přípustným hodnotám argumentu x, přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot).

Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které dostaneme jako výstupní

hodnotu funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f).

Značí se: H(f)

Hodnota závisle proměnné je pro danou

funkci jednoznačně určena hodnotou

argumentu x - proto „závisle“ proměnná.

Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu

argumentu x. Jinak řečeno: výstupní hodnota funkce.

Obvykle ji značíme y nebo f(x).

Opakování: zadání, zápis funkce1) Předpisem (vzorcem, rovnicí)

2) Tabulkou

3) Grafem

f: y = 2x + 1

x -2 -1 0 1 2

y -3 -1 1 3 5

Opakování: Lineární funkceLineární funkce je funkce daná rovnicí

y = kx + qkde k, q jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem množina všech

reálných čísel.

y = 2x + 1

Poznámka: Je-li definičním oborem podmnožina (část) množiny všech reálných čísel, hovoříme o části lineární funkce.

y = 0,5x - 3

y = - 1/2x –

0,75

y = - 5x + 3/4

y = - 3x + 1,5

Opakování: Graf lineární funkce

Sestrojte graf funkce f: y=2x-1, pro xR.

x -

2

-

1

0 1 2

y -

5

-

3

-

1

1 3

Grafem funkce je

přímka. Slovo přímka pochází z latinského „linea“, což

označuje čáru nebo přímku.Funkci, jejímž grafem je

přímka říkáme

lineární funkce.

Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí:

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí

32

1 xy

12

1 xy

12

1 xy

x 2 4

y 2 1

x 2 4

y 0 -1

x 2 4

y -2 -3

Jsou-li dvě lineární rovnice určeny rovnicemi

y=k1x+q1; y=k2x+q2 a jestliže k1=k2, pak grafy těchto funkcí jsou navzájem rovnoběžné

přímky.

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcíBudeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient q (koeficient k=1).

x 0 1

y 2 3

q=2: y=x+2

x 0 1

y 1 2

q=1: y=x+1

x 0 1

y 0 1

q=0: y=x

x 0 1

y -

1

0

q=-1: y=x-1

x 0 1

y -

2

-

1

q=-2: y=x-2

Koeficient q určuje posunutí grafu ve směru

osy y.Udává y-ovou souřadnici

průsečíku s osou y.

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcíBudeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient k (koeficient q=1).

x 0 1

y 1 3

k=2: y=2x+1

x 0 1

y 1 2

k=1: y=x+1

x 0 1

y 1 1

k=0: y=1

x 0 1

y 1 0

k=-1: y=-x+1

x 0 1

y 1 -

1

k=-2: y=-2x+1

Funkce f je rostoucí, právě tehdy když pro každé dvě

hodnoty x1, x2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x1<x2, pak f(x1)<f(x2).

k>1funkce

rostoucí

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcíBudeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient k (koeficient q=1).

x 0 1

y 1 3

k=2: y=2x+1

x 0 1

y 1 2

k=1: y=x+1

x 0 1

y 1 1

k=0: y=1

x 0 1

y 1 0

k=-1: y=-x+1

x 0 1

y 1 -

1

k=-2: y=-2x+1

Funkce f je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty

x1, x2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x1<x2,

pak f(x1)>f(x2).

k<1funkce

klesající

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcíBudeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient k (koeficient q=1).

x 0 1

y 1 3

k=2: y=2x+1

x 0 1

y 1 2

k=1: y=x+1

x 0 1

y 1 1

k=0: y=1

x 0 1

y 1 0

k=-1: y=-x+1

x 0 1

y 1 -

1

k=-2: y=-2x+1

Zvláštní případ lineární funkce y=q se nazývá

konstantní funkce.Grafem konstantní funkce

je přímka rovnoběžná s osou x.

k=0funkce

konstantní

Příklady

1) [1; -1]

Je dána funkce f: y=-3x+2 ; x -3;3). Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

… pokud daná uspořádaná dvojice patří funkci f, musí po dosazení za souřadnice x a y do její rovnice nastat rovnost. A samozřejmě x-ová souřadnice musí patřit do definičního oboru funkce.

-1=-3.1+2-1=-1 … uspořádaná dvojice [1; -1] funkci

patří.2) [2; 4]

4=-3.2+24-4 … uspořádaná dvojice [2; 4] funkci

nepatří.3) [3; -7]… x-ová souřadnice nepatří do definičního

oboru!… uspořádaná dvojice [3; -7] funkci nepatří.

Příklady

[0; 1]

[0; -1]

[0,25; -1/2]

[-1/4; -1,5]

[3/2; -2]

Je dána funkce f: y=2x-1 ; x R. Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

Příklady

[0; 1]

[0; -1]

[0,25; -1/2]

[-1/4; -1,5]

[3/2; -2]

Je dána funkce f: y=2x-1; x R. Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

Ne

Ano

Ano

Ano

Ne

Příklady

[-3; 2,5]

[0; -0,5]

[3; -1,5]

[6; -3,5]

[-9; 6,5]

Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

Příklady

[-3; 2,5]

[0; -0,5]

[3; -1,5]

[6; -3,5]

[-9; 6,5]

Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

Ano

Ne

Ano

Ne

Ne

PříkladyVypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3 s osami souřadnic.

PříkladyVypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3 s osami souřadnic.Průsečík s osou y má souřadnice: [0; y]Dosazením do rovnice dostaneme:

y=-3[0; -3]

Jinak také na základě znalostí vlastností lineárních funkcí a průběhu jejich grafů víme, že koeficient q v rovnici lineární funkce určuje průsečík s osou y, přesněji řečeno jeho y-ovou souřadnici, přičemž x-ová je samozřejmě nulová. Z toho tedy bez jakéhokoliv výpočtu také vyplývá, že souřadnice průsečíku s osou x jsou:

[0; -3]

Průsečík s osou y má souřadnice: [x, 0]Dosazením do rovnice dostaneme:

0=4x-3

[3/4; 0]

4x=3

x=3/4

Obecně tedy platí, že průsečík s osou y má vždy souřadnice [0; q].

PříkladyJak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ? Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.

PříkladyJak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ? Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající a zdůvodněte.

f: y = 3

k=0 funkce konstantní

PříkladyJak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ? Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.

f: y = -2x

k<0 funkce klesající

PříkladyJsou dány tři lineární funkce: f: y = 2x - 3, g: y = 2x + 5, h: y = 7x + 5. Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g? Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?

PříkladyJsou dány tři lineární funkce: f: y=2x-3, g: y=2x+5, h: y=7x+5. Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g? Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?

Lineární funkce f a g mají stejný kladný koeficient k, jsou tedy rostoucí pod stejným sklonem (úhlem). Liší se jen koeficientem q, tedy jejich grafy jsou rovnoběžné přímky. Lineární funkce g a h mají stejný koeficient q, jejich grafy tedy mají společný průsečík s osou y … [0; 5].

PříkladyNapište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:A[0,2] a B[2,3].

PříkladyNapište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:A[0,2] a B[2,3].

Souřadnice bodů dosadíme do obecné rovnice lineární funkce:y = kx + q

2 = k.0 + q3 = k.2 + q

Dostaneme tak soustavu dvou

lineárních rovnic o dvou neznámých:

koeficientech lineární funkce k a q.

2 = q3 = 2k + q 3 = 2k + 2

3 - 2 = 2k1 = 2k

k = 0,5

Dosazením vypočítaných koeficientů k a q do

obecné rovnice lineární funkce dostaneme námi hledanou rovnici funkce procházející zadanými

body.

y = 0,5x + 2

PříkladyZe sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte početně i graficky.

Příklady:Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte početně i graficky.

y = 150 – 30.x

Čas, počet minut vytékání.

Množství vody

v sudu.

20 = 150 – 30.x30.x = 150 –

2030.x = 130

x = 130 : 30

x = 13/3 min

20 litrů bude v sudu za 4 minuty a 20 sekund.

PříkladyZe sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte početně i graficky.

x 0 1 2 3 4 5

y 15

0

12

0

90 60 30 0

x = 13/3 min