Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizaceČíslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výukyČíslo a název šablony klíčové

aktivity:EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-59 – DERIVACE FUNKCE XV(konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body)

AnotaceAnimace a obrázky názorně ukazují problematiku inflexních bodů funkce a souvislost s konvexitou a konkavitou funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“. Zjišťování inflexních bodů funkce pomocí změny znaménka druhé derivace funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“.

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstupŽák chápe význam inflexních bodů funkce a tečny v inflexním bodě funkce jako důležitou a zpřesňující informaci a chování funkce v okolí inflexního bodu. Uvedené výpočty budou součástí vyšetřování průběhu funkce.

Klíčová slova Druhá derivace funkce, konvexnost (konkávnost) funkce v okolí bodu, inflexní bod.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 21. 12. 2013

INFLEXNÍ BOD – animace 1 znaménko 2. derivace

+ –

FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚHvlevo od bodu x0

graf funkce leží „nad tečnou“funkce je ryze konvexníf //(x) > 0

vpravo od bodu x0graf funkce leží „pod tečnou“funkce je ryze konkávníf //(x) < 0

INFLEXNÍ BOD – animace 2 znaménko 2. derivace

FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚHvlevo od bodu x0

graf funkce leží „pod tečnou“funkce je ryze konkávníf //(x) < 0

vpravo od bodu x0graf funkce leží „nad tečnou“funkce je ryze konvexníf //(x) > 0

– +

INFLEXNÍ BOD

INFLEXNÍ BOD

Ve kterých bodech může mít funkce inflexní bod?

Funkce může mít inflexní bod v bodě x0 v případě, že je druhá derivace funkce v bodě x0 rovna nule.

Body, ve kterých je druhá derivace funkce rovna nule jsou body „podezřelé z inflexe“.

p1)

p3)

p5)

p2)

p4)

f: y = x4 – 6 x2 + 3 x – 4

f: y = – x4 + 4 x3 + 5 x – 11

f: y = x3 – 3 x2 – 9 f: y = – x3 + 12 x2 + 9

f: y = x4 – 12 x2 – 5 x + 1

ÚLOHY K PROCVIČENÍUrčete body podezřelé z inflexe.

p6)

f: y = x5 – 10 x4 + 11 x + 12p7)

f: y = 2 x5 – 5 x4 – 7 x – 8

p8)

f: y = x6 – 10 x4 + 7 x – 2

f: y = x3 f: y = x4

p9) p10)

f: y = x8 – 2 x4 f: y = x8 – 4 x6p11) p12)

VĚTA (nutná, nikoliv však postačující podmínka existence inflexního bodu): Má-li funkce f v bodě x0 inflexní bod a existuje-li v tomto bodě druhá derivace f // (x0), potom platí f // (x0) = 0.

Vzpomeňte si na mocninnou funkci se sudým přirozeným mocnitelem (např. f(x) = x6) a hned se můžete k platnosti či neplatnosti této věty kvalifikovaně vyjádřit.

f(x) = x6 f/(x) = 6x5 f//(x) = 30x4 funkce f má druhou derivaci rovnou nule v bodě x0 = 0 (to je bod „podezřelý z inflexe“), funkce f však v bodě x0 = 0 inflexní bod nemá, protože je funkce f vlevo i vpravo od tohoto bodu ryze konvexní (nemění se znaménko druhé derivace vlevo ani vpravo od bodu x0).

PROBLÉM K ŘEŠENÍ – formulujte větu obrácenou a rozhodněte, zda tato věta platí.

Obrácená VĚTA: Je-li f // (x0) = 0, potom má funkce f v bodě x0 inflexní bod.

VĚTA: Má-li funkce f druhou derivaci v každém bodě –okolí bodu x0 a má-li druhá derivace funkce f// (x) v intervalech (x0 – ; x0) a (x0; x0 + ) různá znaménka, potom je bod x0 inflexním bodem funkce.

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1

Určete inflexní bod dané funkce f. Potom najděte rovnici tečny k funkci f v bodě inflexe a načrtněte tečnu, bod inflexe a graf funkce v okolí inflexního bodu.

2223

:23

xxxyf

210120

122

//

//2/

xxy

xyxxy

funkce f má v bodě x0 = - 0,5 inflexní bod, protože vlevo od bodu x0 je znaménko druhé derivace záporné a vpravo od bodu x0 je druhá derivace kladná

0492454:21

49

1211:

49;

1211;

21;

1211

21

21/

yxtxyt

ykTf t

Určete inflexní body dané funkce f. Potom najděte rovnici tečen k funkci f v bodech inflexe a načrtněte tečny, body inflexe a graf funkce v okolí inflexních bodů. 21

4:xxyf

3030380

1

38

1

248

1

44

2//

32

2

32

3//

22

2/

xxxxxy

x

xx

x

xxyx

xy

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2

0332:3213:

21;3;3;33

33

3/

3 3

yxtxyt

ykTf t

0332:3213:

21;3;3;33

11

3/

1 1

yxtxyt

ykTf t

xyt

ykTf t

4:

4;0;0;00

2

0/

2 2

214:xxyf

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.