FUNKCE Mgr. Zora Hauptová

FUNKCE

ZÁKLADNÍ POJMY

OPVK 1.5 – EU peníze středním školám

CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

VY_32_INOVACE_MA_2_01

Název školy Střední odborné učiliště Svitavy Nádražní 1083, Svitavy

Název šablony III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Předmět Matematika

Tematický celek Funkce

Téma Funkce – základní pojmy

Klíčová slova Funkce, definiční obor, obor hodnot, graf funkce, rostoucí funkce, klesající funkce, sudá funkce, lichá funkce, omezená funkce

Druh učebního materiálu

Prezentace (Microsoft PowerPoint)

Metodický pokyn Prezentace je určena pro žáky SOU 1. ročníku maturitního oboru mechanik seřizovač a mechanik seřizovač – mechatronik

Datum vytvoření 23. 11. 2013

Základní pojmy

funkce na množině 𝐴 ⊂ 𝑅 je předpis, který každému číslu 𝑥 z množiny 𝐴 přiřazuje právě jedno reálné číslo 𝑦

množina 𝐴 se nazývá definiční obor funkce, ozn. 𝐷𝑓 nebo 𝐷(𝑓)

zápis funkce:

𝑦 = 𝑓 𝑥

číslo 𝑓(𝑥) nazýváme hodnota funkce 𝑓 přiřazená číslu 𝑥 nebo funkční hodnota

množina všech 𝑦 ∈ 𝑅, ke kterým existuje aspoň jedno 𝑥 z definičního oboru funkce 𝑓 tak, že 𝑦 = 𝑓(𝑥), se nazývá obor hodnot funkce 𝑓, ozn. 𝐻𝑓 nebo 𝐻(𝑓)

𝑦 = 𝑓 𝑥

𝐷𝑓 . . . . definiční obor funkce 𝑓

𝑥 ∈ 𝐷𝑓

𝐻𝑓 . . . . obor hodnot funkce 𝑓

𝑦 ∈ 𝐻𝑓

dvojice číselných os 𝑥, 𝑦 v rovině, pro které platí

1. obě osy jsou navzájem kolmé

2. jejich průsečíku 𝑂 odpovídá na obou osách číslo 0,

se nazývá kartézská soustava souřadnic v rovině a

označuje se 𝑶𝒙𝒚

bod 𝑶 se nazývá počátek kartézské soustavy souřadnic a přímky 𝒙 , 𝒚 se nazývají souřadnicové osy

𝐴 𝑥1; 𝑦1

čísla 𝑥1, 𝑦1 se nazývají souřadnice bodu 𝑨 v kartézské

soustavě 𝑂𝑥𝑦

dvojice souřadnic je uspořádaná, pořadí se nesmí zaměnit

graf funkce 𝑓 ve zvolené soustavě souřadnic 𝑂𝑥𝑦 v rovině je množina všech bodů 𝑋 𝑥; 𝑓 𝑥 , kde 𝑥 patří do definičního oboru funkce 𝑓

Př.

a) rovnicí, např. 𝑦 = 2𝑥 − 1

b) tabulkou

c) grafem

x - 1 0 1 2

y - 3 - 1 1 3

funkce 𝑓 se nazývá rostoucí, právě když pro všechna 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 platí :

je-li 𝑥1 < 𝑥2, pak 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2

funkce 𝑓 se nazývá klesající, právě když pro všechna 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 platí :

je-li 𝑥1 < 𝑥2, pak 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2

je dána funkce 𝑓 a interval 𝐼, který je částí definičního oboru funkce 𝑓 (𝐼 ⊂ 𝐷𝑓)

funkce se nazývá rostoucí v intervalu 𝑰, právě když pro všechna 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐽 platí:

je-li 𝑥1 < 𝑥2, pak 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2

funkce se nazývá klesající v intervalu 𝑰, právě když pro všechna 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐽 platí:

je-li 𝑥1 < 𝑥2, pak 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2

interval 𝐼 může být omezený nebo neomezený, uzavřený, polouzavřený, otevřený

funkce je

klesající v intervalu (−∞; 2

rostoucí v intervalu 2; ∞)

funkce 𝑓 se nazývá prostá, právě když pro všechna 𝑥1 ≠ 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 platí:

je-li 𝑥1 ≠ 𝑥2, pak 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2

funkce je prostá

funkce není prostá

je-li funkce rostoucí,

pak je prostá

je-li funkce klesající,

pak je prostá

funkce 𝑓 se nazývá sudá, právě když platí

1. pro každé 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je také −𝑥 ∈ 𝐷𝑓

2. pro každé 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)

graf sudé funkce je souměrný podle osy 𝑦

funkce 𝑓 se nazývá lichá, právě když platí

1. pro každé 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je také −𝑥 ∈ 𝐷𝑓

2. pro každé 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je 𝑓 −𝑥 = − 𝑓(𝑥)

graf sudé funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic 𝑂𝑥𝑦

funkce 𝑓 se nazývá zdola omezená, právě když existuje číslo 𝑑 takové, že pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je 𝑓 𝑥 ≥ 𝑑

funkce 𝑓 se nazývá shora omezená, právě když existuje číslo 𝑒 takové, že pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je 𝑓 𝑥 ≤ 𝑒

funkce 𝑓 se nazývá omezená, právě když je zdola omezená a zároveň shora omezená

Funkce 𝑓 má v bodě 𝑎 maximum, právě když pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑎

Funkce 𝑓 má v bodě 𝑏 minimum, právě když pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓(𝑏)

Odvárko, Oldřich; Řepová, Jana; Skříček, Ladislav. Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 2. část. 1. vydání. Praha: SPN, 1984, ISBN 14-608-84.

Odvárko, Oldřich. Matematika pro gymnázia. Funkce. 3., upravené vydání. Praha: Prometheus, 2003, ISBN 80-7196-164-7.

Matematický software GeoGebra, 4.2.310.