Funkce

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Mgr. Jaroslava Vrbková

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Goniometrické funkce

VY_32_INOVACE_05_2_08_M2

1

Goniometrické funkce

Je dán pravoúhlý trojúhelník:

a je odvěsna

b je odvěsna

c je přepona

2

Funkce sinus

Obecná definice: Specielně pro

úhel alfa:

Specielně pro

úhel beta:

3

Funkce cosinus

Obecná definice: Specielně pro

úhel alfa:

Specielně pro úhel

beta:

4

Funkce tangens

Obecná definice: Specielně pro

úhel alfa:

Specielně pro úhel

beta:

5

Funkce cotangens

Obecná definice: Specielně pro

úhel alfa:

Specielně pro

úhel beta:

6

Př: Řešení pravoúhlého trojúhelníku.

Vypočtěte zbývající strany a úhly v pravoúhlém trojúhelníku

a) a = 14,5cm 𝜶 = 480

Řešení:

nejprve určíme zbývající úhel 𝛽: 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 1800 → 𝛼 + 𝛽 = 900

→

𝛽 = 900 – 480 = 420

Výpočet délek stran:

strana c – přepona , využijeme sin 𝛼 = 𝑎

𝑐 → tj. c =

𝑎

sin 𝛼; c =

14,5

𝑠𝑖𝑛48 =

19,5 cm

strana b – odvěsna, využijeme tg 𝛼 = 𝑎

𝑏 → tj. b=

𝑎

tg 𝛼 ; b =

14,5

𝑡𝑔48 =

13 cm

7

b) b = 15,8 cm 𝛼 = 150

c) c = 15,9cm 𝛼 = 730

d) c = 18,8cm 𝛽 = 22020´

Vypočtěte úhly v trojúhelníku, je-li dáno:

a) a = 135cm b = 148cm

b) a = 333cm c = 548cm

c) b = 38,7cm c = 64,3cm

8

V rovnoramenném trojúhelníku o základně c a ramenech a, b je dáno:

a) a = 50,3cm, c = 48,2cm; určete úhly a výšku na základnu vc

b) a = 7,28cm, 𝛾 = 66012´; vypočtěte 𝛼, c, vc

c) 𝛼 = 330, c = 15,8cm; vypočtěte a, vc , 𝛾

9

Slovní úlohy

Př. V jakém úhlu stoupá schodiště, jehož schody jsou 42cm široké a 22cm

vysoké?

a = 22cm

b = 42cm

tg𝛼 = 22

42 = 0,524 tj. 𝛼 = 27038´

Schodiště stoupá pod úhlem 27038´.

10

Př. Jaký je sklon žebříku délky 6,2m, který je svým horním koncem opřen ve

výšce 5,12m?

Př. Určete úhel dvou sousedních stran kosočtverce, jehož uhlopříčky jsou u1 =

12cm , u2 = 9cm.

Př. Jak vysoko stoupá letadlo letící rychlostí 500𝑘𝑚

ℎ𝑜𝑑 za 5 minut, stoupá-li pod

úhlem 80?

Př. Jaký je výškový rozdíl míst A a B na trati, která má stoupání 8025´, je-li

vzdálenost míst A a B rovna 1 275m?

11

Př. Jak vysoký je stožár, který vrhá stín dlouhý 40,6m pod úhlem 44035´?

Př. Z pozorovací věže ve výšce 115m nad hladinou moře je zaměřena loď

v hloubkovém úhlu 6044´. Jak daleko je loď od věže?