Fyzika polovodiˇc˚u pro optoelektroniku...

Fyzika polovodič̊u pro optoelektroniku I

Doc. Ing. Jan Franc, DrSc.Prof. RNDr. Pavel Höschl, DrSc.

(posledńı úprava dne 11. ledna 2007)

Obsah

Obsah 1

Seznam obrázk̊u 3

Seznam tabulek 5

1 Krystaly 71.1 Krystalická struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Zavedeńı Millerových index̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Reciproká mř́ıžka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Difrakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Laueho formulace difrakčńı podmı́nky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Poruchová energie v přibĺıžeńı volných elektron̊u . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Homogenńı polovodič 162.1 Statistika elektron̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Rozdělovaćı funkce elektron̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Elektrony ve vodivostńım pásu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Vlastnosti rozdělovaćı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4 Rozdělovaćı funkce elektron̊u v krystalu . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.5 Výpočet koncentrace elektron̊u ve vodivostńım pásu . . . . . . . . . 22

2.2 Statistika děr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Př́ıměsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Monovalentńı donor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2 Monovalentńı akceptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.3 Divalentńı donor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.4 Divalentńı akceptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Stanoveńı Fermiho meze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Podmı́nka elektrické neutrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.1 Nedegenerovaný kompenzovaný N-typ . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Boltzmannova kinetická rovnice 363.1 Odvozeńı Boltzmannovy kinetické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1

OBSAH 2

3.2 Platnost Boltzmannovy kinetická rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Stanoveńı nerovnovážné rozdělovaćı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Fyzikálńı význam relaxačńı doby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.1 Relaxačńı doba - rozptyl na podélných akustických fononech . . . . 443.4.2 Relaxačńı doba - rozptyl na ionizovaných př́ıměśıch . . . . . . . . . 453.4.3 Relaxačńı doba - rozptyl na podélných optických fononech . . . . . 46

3.5 Řešeńı Boltzmannovy kinetické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Hustota elektrického proudu a hustota proudu energie bez vněǰśıho mag-

netického pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7 Hustota elektrického proudu a hustota proudu energie pro magnetické pole

s jednou nenulovou složkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Transportńı jevy 574.1 Transportńı jevy bez magnetického pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.1 Elektrická vodivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.2 Termoelektrická śıla (Seebeck̊uv jev) . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.3 Tepelná vodivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Transportńı jevy při nenulovém magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . 614.2.1 Podélné jevy v magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2 Př́ıčné jevy v magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Polovodiče se smı́̌senou elektrickou vodivost́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Kinetika nosič̊u 735.1 Rovnice kontinuity elektron̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1 Odvozeńı rovnice kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2 Odvozeńı balančńı rovnice hybnosti a rovnice pro proudovou hustotu . . . 76

5.2.1 Teplota nosič̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Odvozeńı drift-difúzńı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4 Celková proudová hustota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5 Elektrony a d́ıry v nerovnovážném stavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.5.1 Difúzńı délka minoritńıch nosič̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6 Poissonova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.7 Pohyb nosič̊u proudu v homogenńım polovodiči . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.7.1 Vedeńı proudu ve vakuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.7.2 Vedeńı proudu v izolantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.8 Ambipolárńı pohyblivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.9 Vliv rekombinačńıch center — Schockleẙuv-Read̊uv model . . . . . . . . . 87

6 Nehomogenńı systémy 906.1 Slabě nehomogenńı polovodič . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 Přechod P–N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.1 Voltampérová charakteristika ideálńıho přechodu P–N . . . . . . . . 916.3 Kontakt kov-polovodič (M–S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

OBSAH 3

6.3.1 Kontakt M–S s polovodičem typu N . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3.2 Kontakt M–S s polovodičem typu P . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Elektron v magnetickém poli 977.1 Klasický pohled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.1.1 Elektron v magnetickém poli B 6= 0 a v elektrickém poli E⊥B . 1017.2 Elektron v magnetickém poli — kvantové efekty . . . . . . . . . . . . . . 105

Seznam obrázk̊u

1.1 Millerovy indexy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Indexy roviny v př́ımé mř́ıžce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Vzdálenost rovin v reciproké mř́ıžce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Braggova difrakčńı podmı́nka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Laueho formulace difrakčńı podmı́nky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Difrakce na hranici Brillouinovy zóny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Fermiho rozdělovaćı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Koncentrace elektron̊u ve vodivostńım pásu . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Koncentrace elektron̊u ve vodivostńım pásu-degenerovaný př́ıpad . . . . . . 182.4 Aproximace Fermiho integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Energetické schéma homogenńıho polovodiče . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Pásové schéma monovalentńıho donoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Pásové schéma monovalentńıho akceptoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.8 Pásové schéma divalentńıho donoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9 Pásové schéma divalentńıho akceptoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.10 Klasifikace polovodiče podle stupně dotace a odpov́ıdaj́ıćı poloha Fermiho

hladiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.11 Teplotńı závislost polohy Fermiho hladiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.12 Pr̊uběh koncentrace elektron̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Elektrická vodivost — poloha vzorku v poli . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Termoelektrická śıla - schéma jevu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Termoelektrická śıla — poloha vzorku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Peltier̊uv článek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1 Ustáleńı koncetrace nosič̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2 Pohyb nosič̊u v homogenńım elektrickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Pásový model rekombinace na hlubokých rekombinačńıch centrech . . . . . 88

6.1 Vznik přechodu pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.2 Pásové schéma kovu a polovodiče typu N před spojeńım . . . . . . . . . . 956.3 Pásové schéma kovu a polovodiče typu N po spojeńı . . . . . . . . . . . . . 956.4 Pásové schéma kovu a polovodiče typu P před spojeńı . . . . . . . . . . . . 96

4

SEZNAM OBRÁZKŮ 5

6.5 Pásové schéma kovu a polovodiče typu P po spojeńı . . . . . . . . . . . . . 96

7.1 Trajektorie elektronu v magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.2 Kvantováńı energie elektronu v magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . 106

Seznam tabulek

2.1 Tabulka aproximaćı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1 Charakteristika transportńıch jev̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6

Kapitola 1

Krystaly

1.1 Krystalická struktura

Krystalické látky uvažujeme jako periodické uspořádáńı základńıch stavebńıch jednotek.Za počátek krystalografie se považuje experimentálńı d̊ukaz krystalové struktury, který

provedl William Lawrence Bragg (1913) pomoćı RTG paprsk̊u.Základńım konceptem libovolného krystalického tělesa je Bravaisova mř́ıžka (Auguste

Bravais), která specifikuje periodické uspořádáńı opakuj́ıćıch se základńıch stavebńıch jed-notek (atomů, molekul, iont̊u).

Definice Bravaisovy mř́ıžky: Bravaisova mř́ıžka sestává z bod̊u určených v prostoruvektory

R = n1a1 + n2a2 + n3a3, (1.1)

kde ai jsou 3 vektory nelež́ıćı v jedné rovině (nazývaj́ı se primitivńı vektory), ni jsou celáč́ısla.

Bravaisova mř́ıžka charakterizuje geometrické uspořádáńı těchto jednotek nezávisle natypu jednotky (je to čistě geometrický pojem).

Primitivńı buňka je část prostoru, která při translaci přes všechny vektory Bravaisovymř́ıžky vyplńı celý prostor bez překryv̊u a beze zbytk̊u.

Elementárńı buňka má vlastnosti primitivńı buňky, ale může obsahovat v́ıce bod̊u Bra-vaisovy mř́ıžky, tj. vyplńı prostor beze zbytk̊u a překryv̊u pro některé vektory Bra-vaisovy mř́ıžky.

Volba primitivńıch vektor̊u ani primitivńı buňky neńı jednoznačná, ale jej́ı objem ano.Primitivńı buňka obsahuje právě jeden bod Bravaisovy mř́ıžky. Je-li n hustota bod̊u v Bra-vaisovy mř́ıžce a v objem primitivńı buňky, pak plat́ı: nv = 1

Primitivńı buňka nemuśı mı́t symetrii Bravaisovy mř́ıžky. Proto je z praktického hlediskavhodné naj́ıt takovou základńı stavebńı jednotku, která symetrii Bravaisovy mř́ıžky má.

Řešeńım tohoto problému je:

7

KAPITOLA 1. KRYSTALY 8

1. Výběr takové primitivńı buňky, která symetrii Bravaisovy mř́ıžky má — Wignerova-Seitzova buňka (oblast prostoru, která je bližš́ı k danému bodu prostoru, než k jakémukolivjinému mř́ıžkovému bodu). Pro kubickou prostorově centrovanou mř́ıžku (bcc) jeWignerova-Seitzova buňka osekaný osmistěn, pro kubickou plošně centrovanou mř́ıžku(fcc) dvanáctistěn.

2. Definovat jako základńı stavebńı jednotku dané krystalové struktury vhodně zvolenouelementárńı buňku.

Koordinačńı č́ıslo — určuje počet nejbližš́ıch soused̊u

Př́ıklady počtu nejbližš́ıch soused̊u:

• kubická prostá mř́ıžka — 6• kubická prostorově centrovaná mř́ıžka (body centered cubic, bcc) — 8 (Fe, K, W)• kubická plošně centrovaná mř́ıžka (face centered cubic, fcc) — 12 (Au, Ag, Al, Pt,

Ca)

Krystalová struktura je Bravaisova mř́ıžka s báźı. Je to struktura źıskaná identickýmikopiemi stejných fyzikálńıch jednotek zasazených do všech bod̊u Bravaisovy mř́ıžky.

• diamantová struktura — dvě kubické plošně centrované mř́ıžky posunuté o 1/4tělesové úhlopř́ıčky; ve všech bodech je stejný atom (C, Si, Ge)

• sfaleritová struktura — dvě kubické plošně centrované mř́ıžky posunuté o 1/4 tělesovéúhlopř́ıčky, body př́ıslušej́ıćı jedné fcc mř́ıžce jsou obsazeny jedńım typem atomů,body druhé druhým typem (GaAs, CdTe, InP, ZnTe, HgTe, ZnSe)

• hexagonálńı struktura — dvě hexagonálńı Bravaisovy mř́ıžky posunuté takto: ver-tikálně o c/2 a horizontálně tak, že body jedné lež́ı nad středy trojúhelńık̊u (prvńı),tvořeny sousedńımi body roviny, třet́ı řada kouĺı přesně nad prvńı, atd. (kulečńıkovékoule nad sebou — ABAB. . . ) (Cd, Hg, Ti)

• struktura NaCl — kubická plošně centrovaná mř́ıžka s báźı tvořenou dvěma atomy,každý iont jednoho typu má 6 nejbližš́ıch soused̊u typu druhého (NaCl, KCl)

• struktura CsCl — kubická prostorově centrovaná mř́ıžka s báźı tvořenou dvěmaatomy.

Z hlediska symetrie je Bravaisova mř́ıžka charakterizována všemi operacemi zachovávaj́ıćımivzdálenosti mezi body (operacemi symetrie), které převedou mř́ıžku v sebe samu. Tentosoubor operaćı se nazývá grupa symetrie Bravaisovy mř́ıžky a sestává z

1. translace přes vektory Bravaisovy mř́ıžky,


2. operace, které zachovávaj́ı nějaký pevný bod,

3. operace složené z prvńıch dvou.

Soubor operaćı typu 2 definuje tzv. bodovou grupa Bravaisovy mř́ıžky (rotace, reflexe,inverze). Bylo zjǐstěno, že existuje celkem 7 bodových grup, které Bravaisova mř́ıžka můžemı́t Těmto 7 bodovým grupám pak odpov́ıdá 7 tzv. krystalových soustav.

Pokud se neomezujeme na bodovou grupu, ale na plně symetrickou grupu, dostaneme14 grup, které může Bravaisova mř́ıžka mı́t, tj. z hlediska symetrie existuje 14 Bravaisovýchmř́ıžek (Bravais, 1845).

Přehled krystalových soustav (č́ıslo v závorce udává počet Bravaisových mř́ıžek př́ıslušej́ıćıchdané soustavě):

• kubická (3)• tetragonálńı (2)• ortorombická (4)• monoklinická (2)• triklinická (1)• trigonálńı (1)• hexagonálńı (1)Provedeńı podrobné analýzy na reálné krystalové struktuře. tj. při zahrnut́ı báze, která

nemuśı mı́t maximálńı symetrii Bravaisovy mř́ıžky, vede k výsledku, že existuje 230 grupsymetrie (prostorových grup). V př́ıpadě omezeńı se na netranslačńı symetrii pak existuje32 krystalových bodových grup.

1.2 Zavedeńı Millerových index̊u

Millerovy indexy soustavy rovin (viz obrázek 1.1) jsou č́ısla h, k, l, pro něž plat́ı:

h : k : l =1

m:

1

n:1

p(1.2)

a h, k, l jsou nejmenš́ı celá č́ısla splňuj́ıćı tento vztah. Kromě jedné nemaj́ı žádného společnéhodělitele a vztahuj́ı se k celé soustavě rovin, které jsou v krystale ekvivalentńı.


ny

mx

x

y

z

pz

Obrázek 1.1: Millerovy indexy, značeńı...

1.3 Reciproká mř́ıžka

Základńı vlastnost krystalu je periodické uspořádáńı — při posunut́ı krystalu o vektor Rn(n = (n1, n2n3), ni ∈ Z) se krystal ztotožńı sám se sebou, fyzikálńı vlastnosti se při translacineměńı (např.: koncentrace elektron̊u, elektrický potenciál V (r), V (r) = V (r + R)).

Pro periodické funkce V (r) = V (r + R) je výhodné (pro zkoumáńı jejich vlastnost́ı)provést Fourierovský rozklad:

V (r) =∑R

Vb exp [ib · r] , (1.3)

kde b je zat́ım neznámý vektor závislý na vlnovém vektoru k.

V (r + Rn) =∑

b

Vb exp [ib · (r + Rn)] = (1.4)

=∑

b

Vb exp [ib · r] exp [ib ·Rn)] =∑

b

Vb exp [ib · r] ⇒ (1.5)

⇒ exp [ib ·Rn)] = 1 = exp[i2πm]; m ∈ Z (1.6)b ·Rn = 2πm (1.7)

n1 (b · a1) + n2 (b · a2) + n3 (b · a3) = 2πm. (1.8)

Hledáme vektory bi (primitivńı vektory reciproké mř́ıžky), splňuj́ıćı tento vztah. Definujme


např.

b1 = 2πa2 × a3

a1 · (a2 × a3) , (1.9)

b2 = 2πa3 × a1

a1 · (a2 × a3) , (1.10)

b3 = 2πa1 × a2

a1 · (a2 × a3) . (1.11)

Pro zkoušku muśı platit bi · aj = 2πδij. Pro libovolný vektor reciproké mř́ıžky GR tedyplat́ı

GR = hb1 + kb2 + lb3, (1.12)

GR ·R = 2π(hn1 + kn2 + ln3). (1.13)Výraz (hn1+kn2+ ln3) je celé č́ıslo, pokud h, k, l jsou celé č́ısla. Z toho plyne, že podmı́nkyperiodicity jsou splněny, pokud h, k, l ∈ Z a reciproká mř́ıžka je Bravaisova mř́ıžka.

Vektory bi maj́ı rozměr převrácené délky. Nekonečná periodická mř́ıžka sestrojená po-moćı translačńıch vektor̊u bi se nazývá reciproká mř́ıžka. Plat́ı

b1 · (b2 × b3) = (2π)3

Ω, kde Ω = a1 · (a2 × a3). (1.14)

ma1

na2a1

a2

a3

pa3

Obrázek 1.2: Indexy roviny v př́ımé mř́ıžce

Hledáme vektor kolmý k rovině na obrázku 1.2. Muśı pro něj platit

(hb1 + kb2 + lb3) · (ma1 − na1) = (hm− kn) = 0 ⇒ (1.15)

hm = kn, hm = lp, lp = kn (1.16)

m =1

h, n =

1

k, p =

1

l(1.17)


h, k, l jsou Millerovy indexy roviny k ńıž je vektor Ghkl = (hb1 + kb2 + lb3) kolmý, tj.vektor Ghkl je kolmý k rovině (hkl).

Dále ukážeme, že vzdálenost dvou sousedńıch rovin systému je dhkl =2π

|Ghkl| .

x

y

v0

Obrázek 1.3: Vzdálenost rovin v reciproké mř́ıžce

K obrázku 1.3 (využijeme definici roviny):

n0 =Ghkl|Ghkl| , (1.18)

r · n0 = konst, (1.19)a1k

(hb1 + kb2 + lb3)

|Ghkl| =2π

|Ghkl| . (1.20)

Pro každé m je nejkratš́ı vektor odpov́ıdaj́ıćı vzdálenosti dvou sousedńıch rovin rovnýa1h

= r, kde h je Miller̊uv index.

1.4 Difrakce

V roce 1913 W. L. Bragg pozoroval, že krystalické látky vykazuj́ı charakteristické obrazcepři odrazu RTG paprsk̊u. Předpokládal, že docháźı k odrazu na rovinách a že paprskyodražené od sousedńıch rovin interferuj́ı konstruktivně. Braggova formulace:

sin θ =x

dhkl, (1.21)

2dhkl sin θ = nλ, (1.22)

n je řád odpov́ıdaj́ıćı reflexe,

λ

2dhkl≤ 1 ⇒ λ < 2dhkl

(λ

2< dhkl

)(1.23)

dhkl je obvykle 2 ÷ 10 Å = 0,2 ÷ 1 nm a t́ım vlnová délka λ odpov́ıdá RTG paprsk̊um,elektron̊um nebo neutron̊um.


dhkl

x

θ

Obrázek 1.4: Braggova difrakčńı podmı́nkan

1.5 Laueho formulace difrakčńı podmı́nky

Předpokládejme, že krystal se skládá z identických mikroskopických objekt̊u (atomů, iont̊u)umı́stěných v bodech R Bravaisovy mř́ıžky. Každý z objekt̊u může vyzářit dopadaj́ıćı zářeńıv libovolném směru. Ostré ṕıky budou pozorovány pouze ve směrech a při vlnových délkách,pro které paprsky rozptýlené z r̊uzných mř́ıžkových bod̊u budou interferovat konstruktivně.

d cos θ + d cos θ′ = d · n− d · n′ = d · (n− n′) = mλ, m ∈ Z, (1.24)d · (k − k′) = 2πm. (1.25)

k

k′

d

k′

k

θ′θ

Obrázek 1.5: Laueho formulace difrakčńı podmı́nky

Obecně

R (k − k′) = 2πm, (1.26)exp [i (k − k′) ·R] = 1, (1.27)

pro všechny Bravaisovy vektory R. To odpov́ıdá definici reciproké mř́ıžky, tj. k − k′ jevektor reciproké mř́ıžky, G = k−k′. Pokud je známa Bravaisova mř́ıžka krystalu, lze určitBravaisovou mř́ıžku reciprokého krystalu.


Při pružném rozptylu plat́ı |k| = |k′| = kk2 = k2 − 2k ·G + G2, (1.28)G2 = 2k ·G, (1.29)

(G

2

)2= k ·

(G

2

)= |k|

∣∣∣∣G

2

∣∣∣∣ cos θ =(

G

2

)2. (1.30)

kk

G

Obrázek 1.6: Difrakce na hranici Brillouinovy zóny

Toto je jiná formulace difrakčńı podmı́nky. Každý vektor k vedený z počátku a konč́ıćına rovině vedené jako kolmice v polovině spojnice dvou sousedńıch bod̊u, splňuje připružném rozptylu difrakčńı podmı́nku. Takto popsaná rovina tvoř́ı část hranice zóny.Svazek zářeńı dopadaj́ıćı na krystal bude difraktovaný, jestliže jeho velikost a směr splňuj́ıpodmı́nku

k · G2

=

(1

2G

)2. (1.31)

Směr difraktovaného paprsku je dán vektorem k−G. Oblast vyznačená jako prostor mezipočátkem a výše popsanými rovinami se nazývá Brillouinova zóna. Je to vlastně Wignerova-Seitzova buňka v reciproké mř́ıžce.

1.6 Poruchová energie v přibĺıžeńı volných elektron̊u

(Pomoćı shora uvedené formulace difrakčńı podmı́nky lze vysvětlit vznik zakázaných pas̊uv polovodič́ıch. Řešeńı energetického spektra elektron̊u v krystale při použit́ı metody téměřvolných elektron̊u vede k opravě v rámci prvńıho řádu poruchového počtu

E = − m2π~2

∑

g 6=0

|Vg|2G2 + 2G · k . (1.32)


Tato oprava k energii volných elektron̊u je malá, pokud neńı jmenovatel zlomku roven nule.Když vlnový vektor elektronu k splňuje pro některý vektor reciproké mř́ıže G podmı́nkuG2 +2k ·G = 0, je téměř volný pohyb elektron̊u silně porušen. Tato porucha má charakterzrcadlového odrazu elektronové vlny od atomové roviny kolmé k vektoru G (Braggovadifrakčńı podmı́nka).

Řešeńım rovnice pro přibĺıžeńı volných elektron̊u dostaneme v okoĺı prvńı Brillouinovyzóny (k = ±π

a)

Ek = ~2k2

2m∗± |Vg| . (1.33)

Energetické spektrum pak nabývá charakter pás̊u. V neporušených mř́ıž́ıch se elektronnemůže vyskytovat v zakázaném pásu.

Kapitola 2

Homogenńı polovodič

2.1 Statistika elektron̊u

Elektrony se v tepelné rovnováze chovaj́ı jako soustava nabitých nerozlǐsitelných částic. Nadovolených energetických hladinách jsou rozděleny Fermiho statistikou.

Energetické stavy rozlǐsujeme:

• spojité — kontinuum (vodivostńı pás, př́ıměsový pás a valenčńı pás),• diskrétńı (př́ıměsi).

2.1.1 Rozdělovaćı funkce elektron̊u

Rozdělovaćı funkce elektron̊u má tvar

f0(ES) = nSgS

=1

1 + exp[ES−EFkBT

] , (2.1)

kde nS je počet elektron̊u ve stavu s energíı ES, gS počet stav̊u s energíı ES, EF Fermihoenergie (chemický potenciál), kB označuje Boltzmannovu konstantu a T teplotu.

EEF

f0(E) 4kBT

0

1

Obrázek 2.1: Fermiho rozdělovaćı funkce

16

KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 17

EF ≈ 2kBTg(calE), dn

dEf0(E)

dndE

g(E)E

8kBT

1

Obrázek 2.2: Koncentrace elektron̊u ve vodivostńım pásu

2.1.2 Elektrony ve vodivostńım pásu

Elektrony v tepelné rovnováze s krystalovou mř́ıž́ı se ve vodivostńım pásu chovaj́ı jakovolné částice s efektivńı hmotnost́ı m∗e. Pro rozdělovaćı funkci plat́ı

f0(Ek) = 11 + exp

[E(k)−EF

kBT

] . (2.2)

2.1.3 Vlastnosti rozdělovaćı funkce

Na obr. 2.1 je znázorněn pr̊uběh rozdělovaćı funkce f0(Ek) pro T = 0 a T > 0.Podle polohy Fermiho energie při teplotě T se mohou elektrony v krystalu chovat jako:

nedegenerovaný elektronový plyn definovaný podmı́nkami

exp

(− EF

kBT

)À 1, při − EF

kBT> 4. (2.3)

V tomto př́ıpadě Fermiho mez lež́ı v zakázaném pásu alespoň 4kBT od vodivostńıhopásu. Fermiho rozděleńı se redukuje na Boltzmannovo rozděleńı.

f0(Ek) = exp[EF − E(k)

kBT

]. (2.4)

silně degenerovaný elektronový plyn vyhovuj́ıćı vztah̊um

exp

( EFkBT

)À 1, při EF

kBT> 10. (2.5)

Fermiho mez lež́ı hluboko ve vodivostńım pásu (např́ıklad u kov̊u).

částečně degenerovaný elektronový plyn

−4 < EFkB

< 10. (2.6)


0

1

E8kBT

g(E), dndEf0(E)

EF ≈ 10kBT

dndE

g(E)

Obrázek 2.3: Koncentrace elektron̊u ve vodivostńım pásu-degenerovaný př́ıpad

2.1.4 Rozdělovaćı funkce elektron̊u v krystalu

Při stanoveńı rozdělovaćı funkce elektron̊u budeme hledat počet rozlǐsitelných zp̊usob̊u,kterým je možné daný počet částic rozdělit do určitého počtu krabiček. V našem př́ıpaděčástice představuj́ı elektrony a krabičkami jsou vlastńı stavy systému. Těmi mohou býtstavy v pásu, určené kvantovými č́ısly kx, ky, kz nebo př́ıměsové stavy, charakterizo-vané vlastńımi kvantovými č́ısly. Důležitým předpokladem je, že elektron v jednom stavu(krabičce) muśı jen slabě interagovat s elektrony v ostatńıch stavech. V takovém př́ıpaděje celkový Hamiltonián systému pouhým součtem individuálńıch Hamiltonián̊u.

Elektrony v systému přicházej́ı z valenčńıho pásu nebo z donorových stav̊u. Tyto elek-trony mohou být distribuovány mezi stavy ve valenčńım pásu, vodivostńım pásu a mezidonorová a akceptorová centra.

Vodivostńı pás rozdělme na energetické úseky ∆EC. Každý tento úsek obsahuje velkémnožstv́ı stav̊u, ale velikostně je menš́ı než ∆E charakterizuj́ıćı přesnost měřeńı. Předpokládejme,že i-tý úsek (∆ECi) obsahuje nCi elektron̊u rozmı́stěných do NCi stav̊u. Počet rozlǐsitelnýchzp̊usob̊u, jak rozdělit nCi elektron̊u do NCi stav̊u je

WCi =

(NCinCi

)=

NCi !

nCi !(NCi − nCi)!. (2.7)

Počet rozlǐsitelných zp̊usob̊u, jak rozmı́stit všechny vodivostńı elektrony je

WC =∏

i

WCi =∏

i

NCi !

nCi !(NCi − nCi)!. (2.8)

Analogicky pro valenčńı pás plat́ı

WV =∏

j

WVj =∏

j

NVj !

nVj !(NVj − nVj)!. (2.9)

Zavedeńı př́ıměśı do statistiky je relativně jednoduché za předpokladu, že každá př́ıměsmá jen jeden stav v zakázaném pásu (toto omezeńı v pozděǰśım výkladu již nebude up-latňováno). To znamená, že obsahuje-li konkrétńı atom na +1 elektron̊u, je potřeba energie


EIk k excitaci jednoho z elektron̊u (EIk < Eg). Obsahuje-li atom na elektron, je potřebak excitaci jednoho elektronu energie větš́ı než Eg. Bez degenerace je počet možných per-mutaćı. (

NIknIk

)=

NIk !

nIk !(NIk − nIk)!. (2.10)

Zde NIk je celkový počet atomů př́ıměsi typu k, z nichž nIk obsahuje na + 1 elektron̊u azbytek na elektron̊u. Nav́ıc př́ıslušné elektrony (na nebo na + 1) na každém atomu mohoubýt permutovány g zp̊usoby, kde g je degenerace př́ıslušného stavu. Např́ıklad máme-li tři ekvivalentńı elektrony v orbitalu, který může obsáhnout celkem elektron̊u šest, jedegenerace g = 6!

3!3!= 20. Předpokládáme, že g1 je degenerace stavu s na +1 elektrony a g0

degenerace stavu s na elektrony. Pak d́ıky tomu, že stavy obsahuj́ıćı o jeden elektron nav́ıc

jsou obsazeny nIk elektrony a počet stav̊u s na elektrony je NIk − nIk , máme gnIk1 g

(NIk−nIk )0

extra permutaćı, takže nakonec

WIk =g

nIk1 g

(NIk−nIk )0 NIk !

nIk !(NIk − nIk)!. (2.11)

Máme-li v́ıce př́ıměśı (donor̊u či akceptor̊u), je výsledný počet jejich obsazeńı

WI =∏

k

WIk . (2.12)

Celkový počet rozlǐsitelných zp̊usob̊u, jak rozdělit elektrony v systému, je

W = WCWVWI. (2.13)

Věta: (plynoućı z teorie pravděpodonosti)Přepdokládáme-li, že každá permutace, jej́ımž výsledkem je stejná celková energie, je

stejně pravděpodobná, pak nejpravděpodobněǰśı rozděleńı mezi energetické úseky je to, kterémaximalizuje W .

Nyńı spolu se Stirlingovým vzorcem ln N ! = N ln N − N tuto větu aplikujeme na nášpř́ıpad. Vzhledem ke stejné monotonii Wi i ln W můžeme studovat jednodušš́ı linearizo-vanou závislost ln W . Po rozepsáńı dostaneme

ln W =∑

i

NCi ln NCi − nCi ln nCi − (NCi − nCi) ln(NCi − nCi)+

+∑

j

NVj ln NVj − nVj ln nVj − (NVj − nVj) ln(NVj − nVj)+

+∑

k

NIk ln NIk − nIk ln nIk − (NIk − nIk) ln(NIk − nIk)+

+ nIk ln g1k + (NIk − nIk) ln g0k. (2.14)


Při maximalizaci ln W muśı být zachován celkový počet elektron̊u a celková energie. Mámetedy dvě podmı́nky

F1(n) =∑

i

nCi +∑

j

nVj +∑

k

nIk = Ne, (2.15)

F2(n, E) =∑

i

nCiECi +∑

j

nVjEVj +∑

k

nIkEIk = Et (2.16)

potřebné k užit́ı metody Lagrangeových multiplikátor̊u

∂

∂ne{ln W + α[Ne − F1(n)] + β[EF − F2(n, E)]} = 0. (2.17)

Necht’ je postupně ne = nCe , nVe , nIe , kde index e označuje vybraný elektron. Pak

∂ ln W

∂nCe= − ln nCe − 1 +

NCeNCe − nCe

+ ln(NCe − nCe)−nCe

NCe − nCe=

= ln(NCe − nCe)− 1− ln nCe + 1 = ln(NCe − nCe)− ln nCe , (2.18)

∂

∂nCeα[Ne − F1(n)] = 0− α∂F1(n)

∂nCe= −α, (2.19)

∂

∂nCeβ[Et − F2(n, E)] = −βECe . (2.20)

Tedy celkem

∂

∂nCe{ln W + α[Ne − F1(n)] + β[Et − F2(n, E)]} =

= ln(NCe − nCe)− ln nCe − α− βECe = 0. (2.21)Analogicky dostaneme

ln(NVe − nVe)− ln nVe − α− βEVe = 0 (2.22)a

ln(NIe − nIe)− ln nIe + ln g1e − ln g0e − α− βEIe = 0. (2.23)Z těchto vztah̊u zřejmě plyne

nCe =NCe

1 + exp(α + βECe), (2.24)

nVe =NVe

1 + exp(α + βEVe)= NVe −

NVe1 + exp[−(α + βEVe)]

, (2.25)

nIe =NIe

1 + g0g1

exp(α + βEIe). (2.26)


Lze ukázat, že pro multiplikátory α a β plat́ı

α = − EFkBT

, β =1

kBT. (2.27)

V obecném př́ıpadě necht’ nklm je počet center m-tého excitovaného stavu l-tého nábojovéhostavu k-té př́ıměsi nebo energetického úseku vodivostńıho nebo valenčńıho pásu. Nultý stavrezonuje s valenčńım pásem, tj. k excitaci elektronu z tohoto stavu do vodivostńıho pásuje potřebná energie větš́ı než Eg. At’ lk je počet nábojových stav̊u (hladin) v zakázanémpásu pro k-té centrum l = 0, 1, . . . , lk, kde l je počet ionizovatelných elektron̊u. Pro danél je mkl počet excitovaných stav̊u (ml = 0, 1, . . . , mkl). Necht’ gklm je degenerace klm-téhostavu, pak

W =∏

k

lk∏

l=0

mkl∏m=0

(gklm)nklmNk!

nklm!. (2.28)

Hledáńı maxima této funkce je omezeno podmı́nkami

• zachováńı počtu elektron̊u na k-té př́ıměsi∑

l,m

nklm = Nk. (2.29)

Př́ıslušný Lagrange̊uv multiplikátor označ́ıme γk.

• zachováńı celkového počtu elektron̊u (každá př́ıměs ve stavu klm má l ionizovatenýchelektron̊u) ∑

k,l,m

nklml = Ne, (2.30)

kde Ne je celkový počet elektron̊u. Zde Lagrange̊uv multiplikátor označ́ıme α.

• zachováńı celkové energie ∑

k,l,m

nklmEklm = EF, (2.31)

přičemž β bude odpov́ıdaj́ıćı Lagrange̊uv multiplikátor.

Konečně můžeme psát

∂

∂nklm{ln W + γk[Nk − F1k(n)] + α[Ne − F1(n)] + β[EF − F2(n, E)]} =

= ln gklm − ln nklm − γk − αl − βEklm = 0. (2.32)

Ve speciálńım př́ıpadě l = 0 a m = 0 máme

ln gk00 − ln nk00 − γk − βEk00 = 0. (2.33)


Kombinaćı rovnic (2.32) a (2.33) źıskáme

nklm =gklmgk00

nk00e−lα−β(Eklm−Ek00) =

gklmgk00

nk00e−lηF−(ηklm−ηk00), (2.34)

kde zavád́ıme redukovanou energii

ηklm =EklmkBT

. (2.35)

Pro počet elektron̊u na k-té př́ıměsi dostáváme

Nk =∑

l,m

nklm =nk00gk00

∑

l,m

gklme−lηF−(ηklm−ηk00) =

= nklm

(1 +

∑

l 6=l′

∑

m6=m′

nkl′m′

nklm

)=

= nklm

(1 +

∑

l′ 6=l

∑

m6=m′

gkl′m′

gklmeηklm−ηkl′m′−(l−l

′)ηF

), (2.36)

z čehož pro počet elektron̊u ve stavu klm plyne

nklm =Nk

1 +∑

l′ 6=l∑

m6=m′gkl′m′gklm

eηklm−ηkl′m′−(l−l′)ηF. (2.37)

2.1.5 Výpočet koncentrace elektron̊u ve vodivostńım pásu

Od této chv́ıle budeme normalizovat počty částic na jednotkový objem, takže se z nichstanou hustoty částic

n =∑

l∈(vod. pás)nCl =

∑

l

g(El)∆E1 + exp[El−EF

kBT], (2.38)

kde g(E) je hustota stav̊u ve vodivostńım pásu, plat́ı tedy se započteńım spinu pro ni

g(E) = 4π(2m∗e)

3/2

h3

√E . (2.39)

Pak přechodem k integraci, tj. ke spojitému rozděleńı energíı , dostáváme

n =

ECmax∫

ECmin

g(E)dE1 + exp[E−EF

kBT]=

4π(2m∗e)3/2

h3

∞∫

0

√EdE1 + exp[E−EF

kBT]=

∞∫

0

f0(E)g(E)dE . (2.40)

V posledńı úpravě jsme předpokládali, že na dně vodivostńıho pásu je E = 0 a vzhledemk tomu, že Fermiho funkce efektivně padá k nule už jen několik kBT nad EF, je možné horńı


mez integrace položit rovnou nekonečnu, což značně usnadńı řešeńı integrálu. V některýchučebnićıch se do funkce g(E) nezapoč́ıtává faktor 2 spinové degenerace — pak je

n = 2

∞∫

0

f0(E)g′(E)dE . (2.41)

Použijeme-li výše zavedenou redukovanou energii x = EkBT

a redukovanou Fermiho energii

η = EFkBT

,můžeme odvodit

n =

∞∫

0

f0(E)g(E)dE =√

2(m∗e)3/2

π2~3

∞∫

0

√EdE1 + exp[E−EF

kBT]= (2.42)

=

√2(m∗ekBT )

3/2

π2~3

∞∫

0

x1/2

ex−η + 1dx. (2.43)

Tento výsledek lze také zapsat pomoćı tzv. Fermiho integrálu F∗r (η) definovaného vztahem

F∗r (η) =∞∫

0

xr

ex−η + 1dx (2.44)

jako

n =

√2(m∗ekBT )

3/2

π2~3F∗1/2(η). (2.45)

Jestliže nyńı vezmeme

NC = 2

(2πm∗ekBT

h3

)3/2(2.46)

jako tzv. efektivńı hustotu stav̊u elektron̊u, je možné koncentraci elektron̊u n napsatv ještě přehledněǰśım tvaru

n =2√π

NCF∗1/2(η). (2.47)

Vedle právě ukázaného zp̊usobu zavedeńı Fermiho integrálu existuje i alternativńı postup:

n =1

3π2

∞∫

0

(−∂f0

∂E)

k3(E)dE = 13π2

(2m∗e)3/2

~3

∞∫

0

(−∂f0

∂E)E3/2dE , (2.48)

nebot’

k3 =(2m∗e)

3/2

~3E3/2. (2.49)


Pak po dosazeńı redukované energie, redukované Fermiho energie a efektivńı hustoty stav̊umáme

n =4

3√

πNC

∞∫

0

(−∂f0

∂x

)x3/2dx, (2.50)

kde výraz

Fr(η) =∞∫

0

(−∂f0

∂x

)xrdx (2.51)

je tzv. Fermiho-Dirac̊uv integrál. Konečně koncentrace elektron̊u n nabývá přehledného

23η

32

4

10

1

0,1

-2 0 2

F∗12

(η)

√π

2eη

η

Obrázek 2.4: Aproximace Fermiho integrálu

zápisu

n =4

3√

πNCF3/2(η). (2.52)

Mı́sto Fr(η) se někdy rovněž zavád́ı

Fr =Fr(η)

Γ(r + 1), (2.53)

přičemž Γ(r + 1) je známá Γ-funkce s následuj́ıćımi vlastnostmi :

Γ(r + 1) = rΓ(r), Γ(j + 1) = j!, Γ(1/2) =√

π, (2.54)


takže pro koncentraci elektron̊u plat́ı

n =4

3√

πNCF3/2(η) = 4

3√

πNC

3

2Γ

(3

2

)F3/2(η) =

=4

3√

πNC

3

2

1

2

√πF3/2(η) = NCF3/2(η). (2.55)

Pro některé oblasti je možné Fermiho integrály nahradit analytickou funkćı, např́ıklad F∗1/2lze nahradit dle tabulky ńıže uvedené.

Aproximuj́ıćı Oblast Relativńıfunkce platnosti chyba

√π

2eη η < −4 1 %

√π

2eη (1− 0, 3eη + 0, 06e2η) η < 0 0, 75 %

√π

2eη 1

1+0,27eηη < 1, 25 3 %

23η3/2

(1 + π

2

8η2

)η > 1, 25 1 %

23η3/2 η > 10 1, 5 %

Tabulka 2.1: Tabulka aproximaćı

Tyto aproximace použijeme pro dva limitńı př́ıpady:

nedegenerovaný polovodič , kde η < −4Koncentraci elektron̊u lze pak vyjádřit

n =2√π

NCF∗1/2(η) =2√π

NC

√π

2eη = NCe

η, (2.56)

silně degenerovaný polovodič , pro který je η > 10

Koncentrace elektron̊u má potom tvar

n =2√π

NCF∗1/2(η) =2√π

NC2

3η3/2 =

4

3√

πNCη

3/2, (2.57)

přičemž zavád́ıme

EF0 = ~22m∗e (3π2n)2/3, kF0 = (3π

2n)1/3. (2.58)


2.2 Statistika děr

Rozdělovaćı funkce pro d́ıry je

f0h(E) = 1− f0(E) = 1− 1e(x−η)+1 = e(x−η)+1−1e(x−η)+1 =

= e(x−η)

e(x−η)+1 =1

1+e−(x−η) .(2.59)

Aby byly vztahy pro elektrony a d́ıry obdobné, je nutné provést transformaci

E ′ = −E − Eg, x′ = −x− 1β

, (2.60)

E ′F = −EF − Eg, ⇒ η′ =E ′F

kBT, (2.61)

β =kBT

Eg , η′ = −η − 1

β. (2.62)

Pak

f0h(x) =1

1 + e−(x−η)=

1

ex′+ 1

β−η′− 1

β + 1= (2.63)

=1

1 + e(x′−η′)= f0(x

′), (2.64)

kde E ′F je Fermiho mez pro d́ıry odeč́ıtaná od vrcholu valenčńıho pásu (viz obr. 2.5).

Ev = −EgE ′ > 0

EFE ′F < 0

EgEF < 0

Ec = 0E > 0

Obrázek 2.5: Energetické schéma homogenńıho polovodiče

Přejdeme-li tedy plně k d́ırám, tj.

x −→ x′, η −→ η′, m∗e −→ m∗h, (2.65)

źıskáme pro koncentraci děr

p =

∞∫

0

f0(E ′)g(E ′)dE ′ = 2√π

NVF∗1/2(η′) =4

3√

πNVF3/2(η′) = NVF3/2(η′), (2.66)


kde

NV = 2

(2πm∗hkBT

h3

)3/2.= 4, 84.1015

(m∗hm0

)3/2T 3/2 cm−3 (2.67)

je efektivńı hustota stav̊u děr.

2.3 Př́ıměsi

Nyńı odvod́ıme konkrétńı vztahy pro obsazeńı př́ıměsových hladin monovalentńıch akcep-tor̊u a donor̊u. Z obecného vztahu (2.37) při zanedbáńı excitovaných stav̊u dostáváme

nkl =Nk

1 +∑

l′ 6=lgkl′gkl

eEkl−Ekl′

kBT− EF

kBTl−l′

, (2.68)

kde k označuje typ centra (akceptor, donor), l nábojový stav (počet ionizovatelných donor̊u)a gkl je stupeň degenerace daného stavu.

2.3.1 Monovalentńı donor

Zde je l=0 (žádný elektron na centru, donor je ionizován) nebo l=1 (elektron je na cen-tru, donor je elektricky neutrálńı). Potom, polož́ıme-li nulovou hladinu energie na dnovodivostńıho pásu, tj. Ek0 = ED0 = 0, a tedy i Ek1 = −ED, máme

nD0 =ND

1 + gD1gD0

eED+EF

kBT

. (2.69)

Vzhledem k tomu, že

gD0 =2!

0!2!= 1, gD1 =

2!

1!1!= 2, gD2 =

2!

2!= 1 ⇒ gD1

gD0= 2, (2.70)

plat́ı pro nD0

nD0 =ND

1 + 2eED+EF

kBT

=ND

1 + 2eβ(ED+EF)(2.71)

a pro nD1

nD1 =ND

1 + 12e−ED+EF

kBT

=ND

1 + 12e−β(ED+EF)

. (2.72)


nD0nD1

−ED

−Eg

Ec = 0

Obrázek 2.6: Pásové schéma monovalentńıho donoru

2.3.2 Monovalentńı akceptor

V základńım (elektricky neutrálńım) stavu chyb́ı na akceptoru jeden elektron. V př́ıpaděl=1 (l′=0) je elektron na akceptoru (akceptor je ionizován). Vztáhneme-li nulu energíı kednu vodivostńıho pásu, tedy EA0 = −Eg a EA1 = −EA, dostáváme

nA1 =NA

1 + gA0gA1

e−EA+EF+Eg

kBT

. (2.73)

Vzhledem k tomu, že vrchol valenčńıho pásu je dvakrát degenerovaný (př́ıtomny lehkéi těžké d́ıry), může být obsazen čtyřmi elektrony. Neionizovaný akceptor obsahuje tři elek-trony, zat́ımco ionizovaný čtyři. Potom

gA0 =4!

3!1!= 4, gA1 =

4!

4!0!= 1, ⇒ gA0

gA1= 4. (2.74)

Počet elektron̊u na akceptoru nA1 je roven počtu děr ve valenčńım pásu vzniklých v d̊usledkupřechodu elektron̊u z valenčńıho pásu na akceptor. Celkem tedy máme

nA1 =NA

1 + 4e−EA+EF+Eg

kBT

. (2.75)

Za předpokladu l=0 (l′=1) neńı na akceptoru žádný elektron, je tedy v neutrálńım stavu.Pak při ponecháńı EA0 = −Eg a EA1 = −EA plyne pro počet elektron̊u na akceptoru

nA0 =NA

1 + gA1gA0

eEA+EF−Eg

kBT

=NA

1 + 14e−EA+EF+Eg

kBT

. (2.76)

V př́ıpadě, že chceme výpočet vztáhnout k valenčńımu pásu, muśıme položit EA0 = 0a EA1 = EA. Můžeme následně odvodit, že

nA1 =NA

1 + 4eβ(EA+EF), (2.77)

kde EA = −Eg + EA.


−EA

EA−Eg

nA1 nA0

Ec = 0

NA

Obrázek 2.7: Pásové schéma monovalentńıho akceptoru

2.3.3 Divalentńı donor

K nalezeńı koncentraćı elektron̊u na těchto př́ıměśıch muśıme diskutovat jejich možnouionizaci :

l=0 Žádný elektron na donoru — donor je dvakrát ionizován (EK0 = 0, EK1 = −ED1,EK2 = −ED2). Zřejmě plat́ı

nD0 =ND

1 + gD1gD0

eβ(ED1+EF) + gD2gD0

eβ(ED2+2EF). (2.78)

l=1 Jednou ionizované divalentńı donory. S kalibraćı energíı zavedenou výše můžeme psát

nD1 =ND

1 + gD0gD1

e−β(ED1+EF) + gD2gD0

eβ(−ED1+ED2+EF). (2.79)

l=2 Neionizované donory, pro které podobně plyne

nD2 =ND

1 + gD0gD2

e−β(ED2+2EF) + gD1gD0

e−β(ED1+ED2+EF). (2.80)

−ED1

nD2

−ED2

nD0nD1−Eg

Ec = 0

Obrázek 2.8: Pásové schéma divalentńıho donoru

Degeneračńı faktory nabývaj́ı hodnot

gD0 = 1, gD1 = 2, gD2 = 1. (2.81)


2.3.4 Divalentńı akceptor

K nalezeńı koncentraćı elektron̊u na těchto př́ıměśıch je nutné diskutovat jejich př́ıpadnouionizaci :

l=0 Žádný elektron na akceptoru — akceptor je v neutrálńım stavu. Potom máme

nA0 =NA

1 + gA1gA0

eβ(EA1−Eg+EF) + gA2gA0

eβ(EA1−Eg+2EF). (2.82)

l=1 Jednou ionizované divalentńı akceptory — jeden elektron na akceptoru (resp. jednad́ıra ve valenčńım pásu). Plat́ı

nA1 =NA

1 + gA0gA1

eβ(−EA1+Eg−EF) + gA2gA1

eβ(−EA1+EA2+EF). (2.83)

l=2 Dva elektrony na akceptoru, ten je tedy dvojnásobně ionizován (EK0 = −Eg, EK1 =−EA1, EK2 = −EA2), pak

nA2 =NA

1 + gA0gA2

eβ(−EA2+Eg−2EF) + gA1gA2

eβ(−EA2+EA1−EF). (2.84)

−EA2 −EA1

nA2

NA

Ec = 0

nA0nA1−Eg

EA

Obrázek 2.9: Pásové schéma divalentńıho akceptoru

V př́ıpadě dvakrát degenerovaného valenčńıho pásu je

gA0 =4!

2!2!= 6, gA1 =

4!

3!1!= 4, gA2 =

4!

4!0!= 1. (2.85)

2.4 Stanoveńı Fermiho meze

Uvažujme vlastńı polovodič: podmı́nka elektrické neutrality dává

p = n, (2.86)

4

3√

πNVF3/2(η′) = 4

3√

πNCF3/2(η), (2.87)

(m∗h)3/2F3/2(η′) = (m∗e)3/2F3/2(η). (2.88)


Tuto rovnici lze vyřešit pouze numericky nebo aproximativně např́ıklad pro nedegenerovanýpolovodič

(m∗h)3/2F∗1/2(η′) = (m∗e)3/2F∗1/2(η), (2.89)√

π

2(m∗h)

3/2eη′=

√π

2(m∗e)

3/2eη, (2.90)

(m∗h)3/2e−η−βg = (m∗e)

3/2eη; βg =Eg

kBT, (2.91)

e2η = e−βg(

m∗hm∗e

)3/2, (2.92)

ηidef= η = −1

2

EgkBT

+3

4ln

(m∗hm∗e

). (2.93)

T́ımto jsme definovali tzv. intrinsickou Fermiho mez ηi. Je proto možné rozeznávat polovodičetypu N a P:

N-typ η > ηi,

P-typ η < ηi.

Nyńı ještě odvod́ıme intrinsickou koncentraci nosič̊u.

ni =2√π

NCF∗1/2(η) =2√π

NCπ√2eηi = (2.94)

= NCeηi = NCe

−βg2

(m∗hm∗e

)3/4= (NCNV)

1/2e−βg2 . (2.95)

Pro nedegenerovaný polovodič tedy plat́ı

n2i = np. (2.96)

2.5 Podmı́nka elektrické neutrality

Pro extrinsický polovodič má podmı́nka elektrické neutrality tvar

p + nD0 = n + pA1 p + N+D = n + N

−A , (2.97)

2√π

NVF∗1/2(η′) +ND

1 + 2eE∗D+η

=2√π

NCF∗1/2(η) +NA

1 + 4eE∗A+η

′ , (2.98)


kde

η′ = −η − E∗g , (2.99)E∗g =

EgkBT

, (2.100)

E∗D =EDkBT

, (2.101)

E∗A =EAkBT

. (2.102)

Řešeńım této rovnice dostaneme vždy Fermiho mez η, resp. EF.

2.5.1 Nedegenerovaný kompenzovaný N-typ

Jako př́ıklad ukážeme nyńı výpočet Fermiho meze pro nedegenerovaný kompenzovanýpolovodič typu n. Jak jsme uvedli výše, vyjdeme z podmı́nky elektrické neutrality

2√π

NVF∗1/2(η′) +ND

1 + 2 exp [E∗D + η]=

2√π

NCF∗1/2(η) +NA

1 + 4 exp [E∗A + η′],

p + pD = n + nA. (2.103)

Z vlastnost́ı uvažovaného polovodiče plyne

p → 0, n = NCeη, nA = NA. (2.104)

Dostáváme tedy

NCeη =

ND1 + 2eE

∗D+η

−NA,NCe

η(1 + 2eE∗Deη) = ND −NA(1 + 2eE∗Deη). (2.105)

Úpravou źıskáme

NCeη + 2NCe

E∗De2η −ND + NA + 2NAeE∗Deη = 0,e2η.2NCe

E∗D + eη(NC + 2NAe

E∗D)− (ND −NA) = 0,

N2Ce2η + NCe

η

︸︷︷︸n

(NA +

1

2NCe

−E∗D)− 1

2NC(ND −NA)e−E∗D = 0,

n2 + n

(NA +

1

2NCe

−E∗D)

︸︷︷︸b

−12NC(ND −NA)e−E∗D

︸︷︷︸c

= 0. (2.106)


Stač́ı jen vyřešit tuto kvadratickou rovnici v proměnné n. Spoč́ıtáme-li diskriminant D =b2 − 4ac (a = 1), můžeme pro kořeny psát

n = − b2

+

√(b

2

)2− c = b

2

√1− c(

b2

)2 − 1 , (2.107)

n = NCeη =

1

4

(2NA + NCe

−E∗D)[(

1 +8(ND −NA)NCe−E∗D(2NA + NCe−E

∗D)2

)1/2− 1

]. (2.108)

Tento obecný vztah budeme diskutovat ve třech limitńıch př́ıpadech

a) Slabě kompenzovaný polovodič (NA ¿ ND) za ńızkých teplot.Dosazeńım předpoklad̊u

2NA ¿ NCe−E∗D ¿ 8ND, NA ¿ n ¿ ND (2.109)

můžeme odvodit

n =1

4NCe

−E∗D

[(1 +

8NDNCe−E∗D

N2Ce−2E∗D

)1/2− 1

]

=1

4NCe

−E∗D

[(1 +

8NDNCe−E

∗D

)1/2− 1

]

=1

4NCe

−E∗D(

8NDNCe−E

∗D

)1/2==

(NCND

2

)1/2e−

E∗D2 . (2.110)

b) Kompenzovaný polovodič (NA < ND) za ńızkých teplot.

Ze vztahuNCe

−E∗D ¿ 2NA < 2ND (2.111)platného pro takovýto polovodič plyne

n =ND −NA

2NANCe

−E∗D . (2.112)

c) Kompenzovaný polovodič (NA < ND) za vysokých teplot.

Použit́ımNCe

−E∗D À 8(NA −ND) (2.113)dostaneme konstantńı hustotu elektron̊u

n = ND −NA. (2.114)


ND (cm−3)

p+p++

Ecp n n+ n++

ND, A ¿ ni EFEi

NA = ni

Ev1020 1018

NA0 1018 1020

ND = ni

Obrázek 2.10: Klasifikace polovodiče podle stupně dotace a odpov́ıdaj́ıćı poloha Fermihohladiny

1 2 3

b

a

c

typ N

0

EEc

Ei

Ev

EF NDEi

T

Obrázek 2.11: Teplotńı závislost polohy Fermiho hladiny pro polovodič s jedńım typempř́ıměśı (typu N)


log n

1/T

n = ND

ND

∼ ED/2

∼ Eg/2

123

b

c

a

0

Obrázek 2.12: Pr̊uběh koncentrace elektron̊u pro polovodič s jedńım typem př́ıměśı

Kapitola 3

Boltzmannova kinetická rovnice

Vedle popisu rovnovážných stav̊u má značný význam studium vodivostńıch elektron̊u aděr v nerovnovážném stavu, kdy se pohybuj́ı krystalem pod vlivem vněǰśıch poĺı (elek-trického, magnetického, teplotńıho). Takové jevy, spojené s přemı́st’ováńım elektron̊u a děrse nazývaj́ı transportńı nebo kinetické.

3.1 Odvozeńı Boltzmannovy kinetické rovnice

V termodynamické rovnováze jsou elektrony popsány funkćı

f0(x) =1

1 + ex−η(3.1)

kde η = EFk0T

a x = Ek0T

. Systém elektron̊u, který neńı v termodynamické rovnováze jepopsán funkćı (nejprve uvažujeme volné elektrony)

f(vx, vy, vz, x, y, z, t) dvx dvy dvz dx dy dz = f(v, r, t) d3v d3r (3.2)

kde strany rovnice vyjadřuj́ı počet elektron̊u, které jsou v čase t, v bodě r a s rychlost́ı x,které souřadnice lež́ı postupně v intervalech (vx, vx + dvx), (vy, vy + dvy) a (vz, vz + dvz),v objemu d3r = dx dy dz. Známe-li f(v, r, t), lze určit hustotu proudu v bodě r a v časet.

Počet elektron̊u s rychlost́ı v uvnitř válce je f(v, r, t) d3v vx dt. Tyto elektrony se začas dt přemı́st́ı ve směru osy x o vzdálenost vx dt. Tedy

dt

∫∫∫ ∞−∞

f(v, r, t)vx dvx dvy dvz

je celkový počet elektron̊u všech rychlost́ı, které projdou ploškou za čas dt. Pak proud vesměru osy x je dán vztahem:

jx = −e∫∫∫ ∞

−∞f(v, r, t)vx dvx dvy dvz (3.3)

f(v, r, t) = f0(E) + f1(v, r, t)

36

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 37

kde f0(E) je sudá (záviśı na v2x). Proto f0vx je lichá funkce dle dvx. T́ım pádem∫

f0vx dvx = 0.

Potom rovnice (3.3) přecháźı na tvar:

jx = −e∫∫∫ ∞

−∞f1(v, r, t)vx dvx dvy dvz (3.4)

Prostudujeme změnu počtu elektron̊u s rychlost́ı v za čas dt v d̊usledku jejich pohybuv prostoru. Levou stěnou dy dz elektrony přicházej́ı, pravou odcházej́ı (předpokládámevx > 0). Počet elektron̊u za čas dt vstupuj́ıćıch levou stěnou je f(v, x, y, z, t) d

3v dy dz vx dt,počet elektron̊u vystupuj́ıćıch pravou stěnou je f(v, x + dx, y, z, t) d3v dy dz vx dt. Zvýšeńıpočtu elektron̊u s rychlost́ı v v objemu d3r je

f(v, x, y, z, t) d3v dy dz vx dt− f(v, x + dx, y, z, t) d3v dy dz vx dt == −vx{f(v, x + dx, y, z, t)− f(v, x, y, z, t)} dy dz d3v dt = −v∂f

∂xdx dy dz d3v dt

Při zahrnut́ı všech stěn dostáváme

−(

vx∂f

∂x+ vy

∂f

∂y+ vz

∂f

∂z

)d3v d3r dt = −v · ∇r f d3v d3r dt = −v∂f

∂rd3v d3r dt

Analogicky lze určit změnu počtu elektron̊u s rychlost́ı v v objemu d3v = dvx dvy dvzv d̊usledku jejich pohybu ve v prostoru, tj. v d̊usledku zrychleńı

v̇∂f

∂vd3v d3r dt = − 1

m(F∇v f) d3v d3r dt

protože v̇ = Fm

, kde F (r, t) je śıla p̊usob́ıćı na elektron v bodě r a v čase t. Počet elektron̊us rychlost́ı v se rovněž změńı následkem srážek. Elektron s rychlost́ı v se v d̊usledku srážkydostane z objemu d3v, v d̊usledku změny jeho rychlosti. Budeme sledovat pouze pružnésrážky, tj. v = v′. Pravděpodobnost, že se elektron s rychlost́ı v za čas dt rozptýĺı a stanese z něj elektron s rychlost́ı v′ je W (v,v′) d3v′ dt.

Celkový počet elektron̊u, s rychlost́ı v které ubudou za čas dt následkem srážek je roven

−∫

(v′)f(v, r, t)W (v,v′) d3v d3r d3v′ dt (3.5)

Počet elektron̊u s rychlost́ı v bude r̊ust, pokud se elektrony s rychlost́ı v′ změńı vlivemsrážek v elektrony s rychlost́ı v

∫

(v′)f(v′, r, t) d3v′ d3rW (v′,v) d3v dt (3.6)


úhrnná změna elektron̊u s rychlost́ı v vlivem srážek je tedy

d3v d3r dt

∫

v′(f(v′, r, t)W (v′,v)− f(v, r, t)W (v,v′)) d3v′ (3.7)

Zvýšeńı počtu elektron̊u s rychlost́ı v za čas dt lze psát jako

f(v, r, t + dt) d3v d3r − f(v, r, t) d3v d3r = ∂f∂t

d3v d3r dt

Potom můžeme napsat Boltzmannovu kinetickou rovnici ve tvaru

∂f

∂t= −v · ∇r f − 1

mF (∇v f) +

∫(f(v′, r, t)W (v′, v)− f(v, r, t)W (v,v′)) d3v′ (3.8)

3.2 Platnost Boltzmannovy kinetická rovnice

Protože Boltzmannova kinetická rovnice představuje základńı východisko pro popis trans-portńıch jev̊u v polovodič́ıch, je d̊uležité pochopit jej́ı omezeńı. Boltzmannova rovnice jepřibližná, nebot’ se jedná o jednočásticový popis mnohačásticového systému. Korelace mezičásticemi nejsou uvažovány. Daľśı aproximaćı je semiklasický popis nosič̊u jako částic po-hybuj́ıćıch se podle Newtonových zákon̊u.

Rozdělovaćı funkce definuje nejpravděpodobněǰśı stav systému nosič̊u. Takový stati-stický popis je vhodný, pokud je počet částic velký1. Vzhledem k tomu, že částice reaguj́ıprostřednictv́ım elektrických poĺı, existuje korelace mezi částicemi. K určeńı pravděpodobnostiobsazeńı nějakého stavu je tedy principiálně nutné znát, jak jsou obsazeny ostatńı stavy.K statistickému popisu N -částicového systému je tedy nutná N -částicová rozdělovaćı funkce.V př́ıpadě ńızkých koncentraćı nosič̊u jsou ale vzájemné interakce slabé a mı́sto N -částicovérozdělovaćı funkce je možno použ́ıt funkci jednočásticovou. Vliv ostatńıch nosič̊u je započtenpřes self -konzistentńı elektrické pole.

BTR je rovněž přibližná proto, že popisuje nosiče jako částice podléhaj́ıćı Newtonovýmzákon̊um. Kvantová mechanika je použita pouze pro popis srážek. To že použit́ı rozdělovaćıfunkce je klasický koncept je zřejmé z toho, že určuje jak souřadnici tak hybnost v jednomčasovém okamžiku. Vzhledem k principu neurčitosti

∆p∆r ≥ ~ (3.9)∆p '

√2m∗k0T

⇒ ∆r ≥ ~√2m∗k0T

= λB

Vzhledem k tomu, že vlnová délka nosiče v tepelné rovnováze je λB =~√

2m∗k0T, plat́ı

∆r À λB. Tento výsledek nám ř́ıká, že k tomu abychom mohli nosiče popisovat jako1Extrémně malé součástky mohou obsahovat tak malé množstv́ı nosič̊u, že statistický popis neńı

oprávněný.


částice, je nutné, aby nosič byl lokalizován vzhledem k λB (která je typicky 10− 20 nm připokojové teplotě). Rovnice je splněna, jestliže se potenciál měńı pomalu ve srovnáńı s λB.V př́ıpadě rychle se měńıćıho potenciálu je třeba řešit vlnovou rovnici.

Daľśı omezeńı BTR vyplývá z daľśı obměny principu neurčitosti, a to

∆E∆t ≥ ~

který ř́ıká, že nosič muśı z̊ustat v daném stavu dostatečně dlouho, aby měl dobře defino-vanou energii.

Předpokládejme, že ∆t ≈ τ (doba mezi srážkami) a ∆E ≈ k0T . Pak τ À ~k0T , avynásobeńım vT dostáváme l = vT τ À ~vTk0T ≈ λB. Tento vztah ř́ıká, že středńı volná dráhamuśı být mnohem deľśı, než de Broglieho vlnová délka, aby platila BTR.

τ À ~k0T

⇒ ω ¿ k0T~· 2π

Proto za pokojové teploty muśı být ω ¿ 6 · 1012 Hz. V součástkách v současnostivyráběných je tato podmı́nka splněna s dostatečnou rezervou. Člen

(∂f

∂t

)

P

= −v∇r f − 1m

(F · ∇v f)

se nazývá polńı. Člen(

∂f

∂t

)

S

=

∫{f(v′, r, t)W (v′,v)− f(v, r, t)W (v,v′)} d3r′

se nazývá srážkový. Ve stacionárńım př́ıpadě

0 =

(∂f

∂t

)=

(∂f

∂t

)

P

+

(∂f

∂t

)

S

(3.10)

dostáváme

v · ∇r f + 1m

F∇v f =∫{f(v′, r, t)W (v′,v)− f(v, r, t)W (v,v′)} d3v′ (3.11)

Nyńı přejdeme od volných elektron̊u k elektron̊um v krystalu.

F = mdv

dt⇒ F = ~dk

dt(3.12)

E = ~2k2

2m∗= m∗

v2

2(3.13)

Impuls nahrad́ıme kvaziimpulsem

v =~km∗

=1

~∇k E(k) = 1~

∂E(k)∂k

(3.14)


Za śılu F dosad́ıme Lorentzovu śılu

F = −e [E + (v ×B)] (3.15)a dostaneme (

∂f

∂t

)

S

=∂f

∂t+ v(k)∇r f − e~∇k f [E + v ×B] (3.16)

Ve stacionárńım př́ıpadě je ∂f∂t

= 0, tedy:(

∂f

∂t

)

S

= +v · ∇r f − e~∇k f · [E + v ×B] (3.17)

Srážkový člen pak lze psát jako(

∂f

∂t

)

S

=∑

k

{W (k′, k)f(k′) (1− f(k))−W (k,k′)f(k) (1− f(k′))} (3.18)

kde jsme na rozd́ıl od volných elektron̊u přihlédli k Pauliho principu.Z principu detailńı rovnováhy plyne, že počet elektron̊u přicházej́ıćıch ze stavu k do

stavu k′, a naopak, se muśı rovnat počtu ve stavu statistické rovnováhy.

W (k′, k)f0(E ′)[1− f0(E)] = W (k,k′)f0(E)[1− f0(E ′)] (3.19)tedy

W (k′,k)eE

k0T = W (k,k′)eE′

k0T (3.20)

při pružném rozptylu je E = E ′, a protoW (k′, k) = W (k,k′) (3.21)

Potom plat́ı(

∂f

∂t

)

S

=∑

k′{W (k′, k)f(k′)−W (k,k′)f(k)} =

∑

k′{W (k,k′)(f(k′)− f(k))} (3.22)

3.3 Stanoveńı nerovnovážné rozdělovaćı funkce

f(k) = f0(E) + f1(k) (3.23)f1(k) = −∂f0

∂E χ(E)k (3.24)

f(k′)− f(k) = f0(E ′) + f1(k′)− f0(E)− f1(k) = f1(k′)− f1(k) = −∂f0∂E χ(k

′ − k) =

=∂f0∂E χ(E)(k − k

′) =∂f0∂E χ(E)k(1− cos θ) = −f1(k)(1− cos θ) (3.25)


kde θ je úhel mezi k a k′. Dále můžeme psát(

∂f

∂t

)

S

=∑

k′W (k,k′) {−f1(k)(1− cos θ)} = −f1(k)

∑

k′W (k, k′)(1− cos θ) (3.26)

Zavedeme tzv. relaxačńı dobu

τ(k) =

(∑

k′W (k, k′)(1− cos θ)

)−1(3.27)

Potom (∂f

∂t

)

S

= −f1(k)τ(k)

= −f − f0τ

(3.28)

3.4 Fyzikálńı význam relaxačńı doby

Předpokládejme, že v čase t = 0 zruš́ıme všechny vněǰśı pole. Pak

(∂f

∂t

)

S

= −∂(f − f0)∂t

= −f − f0τ

(3.29)

d(f − f0)f − f0 = −

dt

τ⇒ ln(f − f0) = − t

τ+ C

pro t = 0, ln(f − f0)t=0 = C ⇒ ln (f − f0)(f − f0)t=0 = −

t

τ

(f − f0) = (f − f0)t=0e− tτ ⇒ pro t = τ, (f − f0)t=τ(f − f0)t=0 =

1

e(3.30)

τ je tedy doba, za kterou se rozd́ıl (f − f0) ze změńı e-krát.Budeme uvažovat

• rozptyl na podélných akustických kmitech mř́ıže LA• rozptyl na podélných optických kmitech mř́ıže LO (jen v př́ıpadě, kdy je pružný)• rozptyl na ionizovaných př́ıměśıch NI = D• + A′

• rozptyl na neutrálńıch př́ıměśıch NN = Dx +Ax odpov́ıdaj́ıćı PP přechodu elektronuz k do k′ za 1 s

Budeme mı́t tedy postupně tyto pravděpodobnosti: WLA(k,k′), WLO(k,k

′), WI(k,k′) a

WN(k,k′). Vzhledem k tomu, že rozptylové procesy jsou alternativńı (bud’ jeden nebo


druhý), můžeme napsat tzv. Matthiesenovo pravidlo

1

τ=

∑

k′W (k,k′)(1− cos θ) =

=∑

k′WLA(k, k

′)(1− cos θ) +∑

k′WL0(k, k

′)(1− cos θ)+

+∑

k′WI(k,k

′)(1− cos θ) +∑

k′WN(k,k

′)(1− cos θ) (3.31)

které můžeme zapsat také ve tvaru

1

τ=

1

τLA+

1

τLO+

1

τI+

1

τN(3.32)

Zbývá stanovit jednotlivé relaxačńı doby.Dále budeme předpokládat, že se při srážce neměńı spin. Přejdeme od sč́ıtáńı k integraci

1

τi=

V

(2π)3

∫

k′Wi(k, k

′)(1− cos θ) dk′ (3.33)

kde i = LA, LO, I, N. Objem na jeden stav je (2π)3

V. Počet stav̊u k v elementu dk′ se rovná

dk′(2π)3

V

= V(2π)3

dk′, kde dk′ = k′2 sin θ dθ dϕ dk′

1

τi=

V

(2π)3

∫ 2π0

∫ π0

∫ ∞0

Wi(k,k′)k′2 dk′(1− cos θ) sin θ dθ dϕ (3.34)

Označme

Wi(k, θ) =V

(2π)3

∫ ∞0

Wi(k,k′)k′2 dk′ (3.35)

Fermiho zlaté pravidlo vypadá následovně

Wi(k, k′) =

2π

~|Mi(k,k′)|2 δ (E(k)− E(k′)) (3.36)

kde |Mi(k, k′)| je maticový element poruchového potenciálu Ui při přechodu ze stavu k dostavu k′

Mi(k,k′) =

∫ψ∗k′(r)Ûiψk0(r) dr (3.37)

• ψk(r) — vlnová funkce elektronu a rozptylového centra

ψk(r) = ψ(r)φ(r)

• φ(r) — vlnová funkce rozptylového centra• ψ(r) — vlnová funkce elektronu


Wi(k, θ) =V

(2π)32π

~

∫ ∞0

|Mi(k,k′)|2 δ(E(k)− E(k′))k′2 dk′ (3.38)

E = ~2k2

2m∗e, dE = ~

2k dk

m∗edk

dE =m∗e~2k

⇒ m∗e

~2= k

dk

dE

g(E) dE = (2m∗e)

3/2E1/22π2~3

=m∗ekπ2~2

=k2 dk

π2(3.39)

Wi(k, θ) =V

4π

∫ ∞0

|M(k, k′)|2 g(E ′) δ(E(k)− E(k′)) dE ′ = V4π

g(E) |M(k, k′)|2 (3.40)

kde g(E) je hustota stav̊u ve vodivostńım pásu

1

τi=

πV

2~g(E)

∫ 2π0

|M(k,k′)|2 (1− cos θ) sin θ dθ (3.41)

Pro rozptyl na podélných akustických fononech LA plat́ı

|MLA(k,k′)|2 = E21ck0T1

ρa〈ne〉2V (3.42)

Pro rozptyl na podélných optických fononech LO plat́ı

|MLO(k,k′)|2 = e2~ωLO2V E0

(1

E∞ −1

ES

)1

k2{nq/nq+1}Fq (3.43)

kde nq je v př́ıpadě absorpce fononu a nq+1 je v př́ıpadě emise fononuPro rozptyl na ionizovaných př́ıměśıch plat́ı

|MI(k,k′)|2 = NI(

Ze2

E0ErV)2·(

1

R2S+ |k − k′|2

)−2(3.44)

kde

nq =1

e~ωLO

kT − 1(3.45)

F±q =(

k

q±

)2·(

1

1 + tq

)2, tq =

1

qRS(3.46)

RS =ne2

2E0E∞k0T ·F∗−1/2(η)F1/2(η) (3.47)

q2 = k′2 + k2 − 2kk′ cos θ


• E1,c — deformačńı potenciál vodivostńıho pásu• ρa — hustota• 〈ne〉 — středńı rychlost š́ı̌reńı akustických vln

〈ne〉 =(

Vaσπ2

)1/3ωLA (3.48)

kde V je objem krystalu a VA je objem elementárńı buňky.

3.4.1 Relaxačńı doba - rozptyl na podélných akustických fononech

Dále provedeme výpočet relaxačńı doby pro rozptyl na podélných akustických fononechτLA

1

τLA=

πV

2~g(E)

∫ π0

|M(k,k′)|2 (1− cos θ) sin θ dθ (3.49)

1

τLA=

πV

2~· 2m

∗3/2e

2π2~3E1/2E21ck0T

1

ρa〈ne〉2V∫ π

0

(1− cos θ) sin θ dθ (3.50)

1

τLA=

(m∗e)3/2

√2~4π

· E21ck0T

ρa〈ne〉2 E1/2

∫ π0

(1− cos θ) sin θ dθ (3.51)

s využit́ım rovnosti

g(E) = (2m∗e)

3/2

2π2~3√E (3.52)

Dále uvážeńım substituce cos θ = x dostáváme

∫ π0

(1− cos θ) sin θ dθ = −∫ −1

1

(1− x) dx =∫ 1−1

(1− x) dx = [x]1−1 −[x2

2

]1

−1= 2− 0 = 2

(3.53)

1

τLA=

√2(m∗e)

3/2E21c~4ρa〈ne〉2π k0TE

1/2 (3.54)

τLA =π~4ρa〈ne〉2√2(m∗e)3/2E

21c

(k0T )−1/2E−1/2 (3.55)

τLA = τ0LAE−1/2 (3.56)


3.4.2 Relaxačńı doba - rozptyl na ionizovaných př́ıměśıch

Pro relaxačńı dobu v př́ıpadě rozptylu na ionizovaných př́ıměśıch τI plat́ı

1

τI=

πV

2~· (2m

∗e)

3/2

2π2~3E1/2

∫ π0

NI

(Ze2

E0ErV)2· (1− cos θ) sin θ dθ((

1R2s

)2+ |k − k′|2

)2 (3.57)

Definujeme:

nI =NIV

(3.58)

1

τI=

(m∗e)3/2

√2π~4

E1/2nIZ2(

e2

E0Er

)2 ∫ π0

(1− cos θ) sin θ dθ(1

R2s+ |k − k′|2

)2 (3.59)

|k − k′|2 = (k − k′)(k − k′) = 2k2(1− cos θ) = 4m∗e

~2E(1− cos θ) (3.60)

(1

R2S+ (k − k′)2

)2=

(1

RS+

4m∗e~2

E(1− cos θ))2

=

=

(4m∗eE~2

)2 ( ~4m∗e

· 1ER2s+ 1− cos θ

)2(3.61)

přičemž~

4m∗e· 1ER2s

= b (3.62)

Tedy (1

R2S+ (k − k′)2

)2=

(4m∗e~2

)2(b + 1− cos θ)2 (3.63)

Potom dostaneme

1

τ + I=

nIZ2

π√

2·(

e2

E0Er

)2· 116m

∗1/2e

· E−3/2∫ 2

0

t dt

(b + t)2(3.64)

kde vnitřek integrálu označ́ıme jako αI,

t = 1− cos θdt = sin θ dθ

αI =

{b

t + b+ ln(t + b)

}2

0

=b

2 + b+ ln(2 + b)− 1− ln b =

=b

2 + b− 1 + ln (b + 2)

2=

b + b− 2b + 2

+ ln(b + 2)

b= − 2

b + 2+ ln

b + 2

2(3.65)

Konečně1

τI=

nIZ2

π√

2·(

e2

E0Er

)2· 116m

∗1/2e

E−3/2αI, τI = τI0E3/2 (3.66)


3.4.3 Relaxačńı doba - rozptyl na podélných optických fononech

Pro vysoké teploty lze rozptyl na podélných optických fononech považovat přibližně zapružný, tj. k = k′. T À Θ, Θ = ~ωLO

k.

Zanedbáme dále st́ıněńı

F (q) =k2

q2(3.67)

dostáváme tedy

|MLO(k,k′)|2 =(

e2~ωLO2V E0

)(1

E∞ −1

E0

)1

k2Fq{nq/nq+1} =

= ±(

e2~ωLO2V ²0

)(1

E∞ −1

E0

)1

q2{nq/nq+1} (3.68)

kde nq odpov́ıdá absorpci a nq+1 emisi.

1

τI=

πV

2~(2m∗e)

3/2

2π2~3√E

∫ π0

e2~ωLO2V E0

(1

E∞ −1

ES

){nq/nq+1} 1

q2(1− cos θ) sin θ dθ (3.69)

q = k − k′ q2 = k2 + k′2 − 2kk′ cos θ = 2k2(1− cos θ)

E = ~2k2

2m∗1

q2=

1

2k21

1− cos θ =~2

4m∗eE1

1− cos θ

1

τLO=

V (m∗e)3/2E1/2√

2π~2

(e2~ωLO2V E0

)(1

E∞ −1

ES

)~2

4m∗eE∫ π

0

1− cos θ1− cos θ sin θ dθ =

=m∗1/2e√2π~2

E−1/2(

e2~ωLO2E0

) (1

E∞ −1

ES

)1

42(2nq + 1) =

=m∗1/2e√2π~2

(e2~ωLO

2E0

)(1

E∞ −1

ES

)nqE−1/2 (3.70)

Plat́ı2nq + 1 ≈ 2nq

z toho plyne

τLO =2√

2π~2E0m∗1/2e e2~ωLO

(1

E∞ −1

ES

)−1 (e

ΘT−1

)(3.71)

kde

Θ =~ωLO

k(3.72)

Pro T ∼ Θ nelze řešit BTR v aproximaci relaxačńı doby — je nutné numerické řešeńı.


3.5 Řešeńı Boltzmannovy kinetické rovnice

Stacionárńı př́ıpad:(Anselm, str. 277) Pro slabé pole plat́ı

v · ∇r f − e~ [E + v ×B]∇k f = −f − f0

τ= −f1

τ=

1

τ

∂f0∂E (χ · k) , (3.73)

kde

v =1

~∇k E (k) = 1

m∗hk. (3.74)

f = f (k, r) = f0(E) + f1 (k) , f0(E) =(

exp

[E − EFk0T

+ 1

])−1(3.75)

Funkci f1 (k) máme definovanou již dř́ıv

f1 (k) =

(−∂f0

∂E)· (χ · k) (3.76)

Takže můžeme psát

f (k) = f0 (k −∆k) = f0 (k) + ∂f0∂E

∂E∂k

(−∆k) =

= f0 (k)− ∂f0∂E

~2

m∗∆k · k = f0 (k)− ∂f0

∂E (χ · k)

χ =~2∆km∗e

(3.77)

∇r f = ∇r f0(E) +∇r f1(k), (3.78)

f0(E , EF, T ), E = E (k) = E (k) , EF = EF (r) , T = T (r) (3.79)

∇r f0 = −∂f0∂E ∇r EF +

∂f0∂T

· ∇r T (3.80)

∂f0∂EF = −

∂f0∂E =

1

kBT

exp[E−EFkBT

]

(exp

[E−EFkBT

]+ 1

)2 (3.81)

∂f0∂T

=E − EFkBT 2

exp[E−EFkBT

]

(exp

[E−EFkBT

]+ 1

)2 = −E − EF

T

∂f0∂E (3.82)


kde kB je Boltzmannova konstanta.

⇒ ∇r f0 = ∂f0∂E

{E − EFT

∇r T −∇r EF}

(3.83)

∇r f1 = ∇r(−∂f0

∂E)

χ (k) · k = − ∂∂E (∇r f0) χ (k) · k =

= − ∂∂E

[∂f0∂E

{E − EFT

∇r T −∇r EF}]

χ (k) · k =

= −∂2f0

∂E2{E − EF

T∇r T −∇r EF

}+

∂f0∂E

∇r TT

χ (k) · k (3.84)

Prvńı člen můžeme zanedbat, protože i na pravé straně Boltzmannovy kinetická rovnicepoč́ıtáme s přesnost́ı do prvńıho řádu.

∇r f ≈ ∂f0∂E

{EF − (E − (χ · k))T

∇r T −∇r EF}

(3.85)

χ · k = ~2

2m∗e2 (k ·∆k) , χ · k ¿ E = ~

2k2

2m∗e(3.86)

V prvńım řádu tedy máme

∇r f = ∂f0∂E

{−(E − EF)T

∇r T −∇r EF}

= ∇r f0∇k f = ∇k f0(E) +∇k f1(k),∇k f0 = ∂f0

∂E ∇k E =∂f0∂E ~v

∇k f1 = ∇k(−∂f0

∂E (χ · k))

=

= ∇k(−∂f0

∂E)

(χ · k)− ∂f0∂E ∇k (χ · k) =

=∂2f0∂E2 ∇k E (χ · k)−

∂f0∂E χ−

∂f0∂E

(k · ∂χ

∂E)∇k E =

=∂2f0∂E2 v · (χ · k)−

∂f0∂E χ−

∂f0∂E

(k · ∂χ

∂E)~v (3.87)

− e~{E + v ×B}∇k f ≈ − e~E · v

∂f0∂E ~−

e

~[v ×B]

(−∂f0

∂E)

χ =

=∂f0∂E e∇rϕ · v +

∂f0∂E

e

~[v ×B] · χ =

=∂f0∂E e

(∇rϕ + e~ [B × χ]

)· v (3.88)


Aproximace byla provedena pro členy s E s přesnost́ı do prvńıho řádu a s využit́ım vztahu[v ×B] · v = 0. Dosazeńım do Boltzmannovy kinetická rovnice dostaneme :

∂f0∂E

{EF − ET

∇r T −∇r (EF − eϕ) + e~ [B × χ]}· v = 1

τ

∂f0∂E χ · v

m∗e~

(3.89)

⇒ χ = − ~m∗e

τ (k)

{EF − ET

∇r T −∇r (EF − eϕ) + e~ [B × χ]}

(3.90)

Pro χ máme vektorovou rovnici typu

χ = a + [b× χ] (3.91)jej́ıž řešeńı je

χ =a + [b× χ] + (a · b) b

1 + b2(3.92)

χ = − ~τm∗e

{−EF−ET∇r T +∇r (EF − eϕ)

}

1 +(

eτm∗eB

)2 +

+

eτm∗e

[B × {−EF−E

T∇r T +∇r (EF − eϕ)

}]

1 +(

eτm∗eB

)2 +

+

(eτm∗e

)2 [B · {−EF−E

T∇r T +∇r (EF − eϕ)

}]B

1 +(

eτm∗eB

)2

(3.93)

Pro zjednodušeńı si zavedeme označeńı

χ = − ~em∗e

χ∗ (3.94)

P =EF − E

eT∇r T +∇r

(Ee− ϕ

)(3.95)

γ =e

m∗e(3.96)

χ∗ =τP + γτ 2 [B × P ] + γ2τ 3 (B · P ) B

1 + (γτB)2(3.97)

Analogický vztahy plat́ı pro d́ıry

E → E ′m∗e → m∗hEF → E = −EF − Eg−e → +e (3.98)


Při přechodu do bezrozměrných veličin

x =E

kBT, η =

EFkBT

(3.99)

P (x) =kBe

(x− η)∇rT + kBTe∇r η −∇r ϕ (3.100)

ϕ je vněǰśı napět́ı.

3.6 Hustota elektrického proudu a hustota proudu en-

ergie bez vněǰśıho magnetického pole

Počet elektron̊u ve stavu k připadaj́ıćıch na 1 cm3 je

1

V2f (k, r, t)

dk(2π)3

V

, (3.101)

kde posledńı zlomek je počet stav̊u v dk, jeho jmenovatel označuje objem na jeden stav,dvojnásobek udává počet spin̊u a t́ım počet elektron̊u v každém stavu, a (k, r, t) udávástředńı počet elektron̊u ve stavu k (distribučńı funkce). Elektrický proud:

j =1

V2∑

k

f (k, r, t) v(−e) = − e4π3

∫f (k) v · dk =

= − e4π3

∫f0v · dk − e

4π3

∫f1 (k) v · dk =

= − e~4π3m∗e

∫f1 (k) k · dk (3.102)

Tok energie:

w =1

V2∑

k

f (k, r, t) v (E − eϕ) = w = ~4π3m∗e

∫f1 (k) (E − eϕ)k · dk (3.103)

j = − e~4π3m∗e

∫ (−∂f0

∂E)

(χ · k) k · dk (3.104)

Vı́me, že ∂f0∂E je funkćı k a také χ = χ(k). V souřadné kartézském systému souřadnic a úhl̊u

plat́ı

kx = k sin ϑ cos ϕ

ky = k sin ϑ sin ϕ

kz = k cos ϑ

(3.105)

k = |k| (3.106)


χ · k = χk cos ϑ (3.107)dk = d3k = k2 dk sin ϑ dϑ dϕ (3.108)

∫−

(∂f0∂E

)(χ · k) k · dk =

=

∫−

(∂f0∂E

)χ [i0k sin ϑ cos ϕ + j0k sin ϑ sin ϕ + k0k cos ϕ]×

×k3 dk cos ϑ sin ϑ dϑ dϕ (3.109)Složky s vektory i0 a j0 jsou rovny 0 (integruje se podle ϕ a uvedené členy obsahuj́ı cos ϕnebo sin ϕ), zbude pouze složka s k0

∫−

(∂f0∂E

)(χ · k) k · dk =

=

∫−

(∂f0∂E

)χk0k

4 dk4

3π =

4

3π

∫ ∞0

(−∂f0

∂E)

χk4 dk (3.110)

protože ∫ 2π0

dϕ

∫ π0

cos2 ϑ sin ϑ dϑ =4

3π (3.111)

j = − e~4π3m∗e

∫ (−∂f0

∂E)

(χ · k) k · dk = − e~4π3m∗e

∫ ∞0

χ

(−∂f0

∂E)

k4 dk (3.112)

E = ~2k2

2m∗e⇒ k4 = 2 (m

∗e)

2

~4E2,

dE = ~2

2m∗e22k dk dk =

m∗e~2

1

kdE = m

∗e

~2~

(2m∗e)12

E− 12 dE (3.113)

k4 dk =(2m∗e)

2

~4E2 (m

∗e)

12

~1√2E− 12 dE = 2

32 m∗e

52

~5E 32 dE (3.114)

j = − e~3π2m∗e

232 m∗e

52

~5

∫ (−∂f0

∂E)

χE 32 dE = −e (2m∗e)

32

3π2~3

∫ ∞0

(−∂f0

∂E)

χE 32 dE =

=2

32 e2 (2m∗e)

12

3π2~3

∫ ∞0

(−∂f0

∂E)

χ∗E 32 dE = (2kBT )32 e2 (2m∗e)

12

3π2~3

∫ ∞0

(−∂f0

∂E)

χ∗x32 dx

(3.115)

Definujme středńı hodnotu funkce χ∗, funkci 〈χ∗〉.

〈χ∗〉 =∫∞0

(−∂f0∂E

)χ∗E 32 dE∫∞

0

(−∂f0∂E

) E 32 dE=

∫∞0

(−∂f0∂x

)χ∗x

32 dx∫∞

0

(−∂f0∂x

)x

32 dx

=

∫∞0

(−∂f0∂x

)χ∗x

32 dx

F 32(η)

(3.116)


Pak ještě budeme potřebovat

〈χ∗x〉 =∫∞0

(−∂f0∂x

)χ∗x

52 dx∫∞

0

(−∂f0∂x

)x

32 dx

(3.117)

Plat́ı

−∂f0∂E =

(−∂f0

∂x

)dx

dE = −∂f0∂x

1

kBT⇐⇒ x = E

kBT(3.118)

E 32 dE = (kBT ) 32 x 32 (kBT ) dx = (kBT ) 52 x 32 dx (3.119)

n =4

3√

πNCF 3

2(η) =

2√2NCF∗1

2(η) NC = 2

(2πm∗ekBT

~2

) 32

(3.120)

w =~

4π3m∗e

∫f1 (k) (E − eϕ)k · dk =

=~

4π3m∗e

∫f1 (k) kBT (x− eϕ

kBT)k · dk (3.121)

Na závěr vycháźı poměrně jednoduchý vztah:

j =e2n

m∗e〈χ∗〉 = (−e)(−e)n

m∗e〈χ∗〉 (3.122)

w = −enkBTm∗e

{〈χ∗x〉 − eϕ

kBT〈χ∗〉

}= −enkBT

m∗e〈χ∗x〉+ jϕ (3.123)

Přechod pro d́ıry

x → x′

η → η′ = −η − EgkBT

m∗e = m∗h

n → p−e → +eNC → NV (3.124)

Obecně plat́ı

j = je + jhw = we + wh (3.125)

To vše plat́ı pro rovinnou vlnu, pro kterou isoenergetické plochy jsou koule, E = ~2k22m∗ .


3.7 Hustota elektrického proudu a hustota proudu

energie pro magnetické pole s jednou nenulovou

složkou

Bez újmy na obecnosti zvoĺıme B = (0, 0, B). Pak

χ∗ =τP + γτ 2 [B × P ] + γ2τ 3 (B · P ) B

1 + (γτB)2(3.126)

P (x) =kBe

(x− η)∇r T + kBTe∇r η −∇r ϕ = kB

e(x− η)∇r T −

(∇r ϕ− kBT

e

)(3.127)

V homogenńım vodiči je

• ϕ elektrostatický potenciál a

• EFe

=kBTη

echemický potenciál

• ϕ∗ = ϕ− kBTηe

elektrochemický potenciál

• ∇r ϕ∗ = E∗ intenzita elektrického pole ve vzorku• ∇r ϕ = E intenzita elektrického pole vněǰśıho

Takže

P (x) = E∗ +kBT

e(x− η∇r T ) (3.128)

Dále si definujemeν := γτB (3.129)

Pro vektorový součin bude platit

B × P =∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k00 0 BPx Py Pz

∣∣∣∣∣∣= i0(−BPy) + j0(−1)3(−BPx) = −i0BPy + j0BPx (3.130)

(B · P ) B = BPzB = k0PzB2 (3.131)


χ∗ =1

1 + ν2{i0(τPx − τ 2γBPy) +

+ j0(τPy + τ2γBPx) + k0(τPz + τ

3γ2B2Pz)}

=

=1

1 + ν2{i0(τPx − τνPy) + j0(τPy + τνPx) + k0τPz(1 + ν2)

}

χ∗x =τ

1 + ν2E∗x −

τν

1 + ν2E∗y +

k0e

(x− η)τ1 + ν2

∇xT − k0e

(x− η)τν1 + ν2

∇yT

χ∗y =τν

1 + ν2E∗x +

τ

1 + ν2E∗y +

k0e

(x− η)τν1 + ν2

∇xT + k0e

(x− η)τ1 + ν2

∇yT

χ∗z = τE∗z +

k0e

(x− η)τ∇zT (3.132)

j =e2n

m∗e〈χ∗〉 = (jx, jy, jz) (3.133)

Po dosazeńı 3.132 do 3.133 dostaneme

jx = σxxE∗x − σxyE∗y − βxx∇xT + βxy∇yT (3.134)

jy = σxyE∗x + σxxE

∗y − βxy∇xT − βxx∇yT (3.135)

jz = σzzE∗z − βzz∇zT (3.136)

kde

σxx =e2n

m∗e

〈τ

1 + ν2

〉σxy =

e2n

m∗e

〈τν

1 + ν2

〉

σzz =e2n

m∗e〈τz〉 (3.137)

βxx = −enk0m∗e

〈τ(x− η)1 + ν2

〉βxy = −enk0

m∗e

〈τν(x− η)

1 + ν2

〉

βzz = −enk0m∗e

〈τ(x− η)〉 (3.138)

Všimneme si, že

σxx = f(B) σxy = f(B) σzz 6= f(B)βxx = f(B) βxy = f(B) βzz 6= f(B) (3.139)

Můžeme také psátj = σ ·E∗ + β∇r T (3.140)

kde

σ =

σxx −σxy 0σxy σxx 00 0 σzz

β =

−βxx βxy 0−βxy −βxx 0

0 0 −βzz

(3.141)


Plat́ı

ϕ∗ = ϕ− k0Te

η

k0T

eϕ∗ =

k0T

eϕ− η

k0T

eϕ =

k0T

eϕ∗ + η

(3.142)

w = −enk0Tm∗e

〈χ∗x〉+ ϕj (3.143)

Značku středováńı 〈·〉 psát nebudeme

wx = −enk0Tm∗e

τx

1 + ν2E∗x +

enk0T

m∗e

τxν

1 + ν2E∗y−

− nk20T

m∗e

x(x− η)τ1 + ν2

∇xT + nk20T

m∗e

x(x− η)τν1 + ν2

∇yT+

+

(ϕ∗ +

k0T

eη

){e2n

m∗eE∗x −

e2n

m∗e

τν

1 + ν2E∗y

}+

+enk0m∗e

(x− η)τ1 + ν2

∇xT − enk0m∗e

(x− η)τν1 + ν2

∇yT =

= −enk0Tm∗e

τ(x− η)1 + ν2

E∗x +enk0T

m∗e

τν(x− η)1 + ν2

E∗y−

− nk20Tτ

m∗e

(x− η)2τ1 + ν2

∇xT + nk20T

m∗e

(x− η)2τν1 + ν2

∇yT + ϕ∗jx (3.144)

wx = TβxxE∗x − TβxyE∗y − (κxx + κϕ)∇xT + κxy∇yT + ϕ∗jx (3.145)

wy = TβxyE∗x + TβxxE

∗y − κxy∇xT − (κxx + κϕ)∇yT + ϕ∗jy (3.146)

wz = TβzzE∗z − (κzz + κϕ)∇zT + ϕ∗jz (3.147)

kde

κxx =n

T

(k0T )2

m∗e

〈τ(x− η)2

1 + ν2

〉(3.148)

κxy =n

T

(k0T )2

m∗e

〈τν(x− η)2

1 + ν2

〉(3.149)

κzz =n

T

(k0T )2

m∗e

〈τ(x− η)2〉 (3.150)

Obecně je tedy hustota toku energie přenášená elektrony a d́ırami:

w = Tβ ·E∗ + κ∇r T + ϕ∗j (3.151)

κ =

−κxx − κϕ κxy 0

κxy −κxx − κϕ 00 0 −κzz − κϕ

(3.152)


kde κϕ je mř́ıžková tepelná vodivost, která je zp̊usobena prouděńım fonon̊u z mı́st svyšš́ı teplotou na mı́sta s s nižš́ı teplotou. Elektronová složka tepelné vodivosti pocháźıod volných elektron̊u, které difunduj́ı z mı́st s vyšš́ı teplotou na mı́sta s nižš́ı teplotou.Elektrony přitom transportuj́ı jak náboj, tak i energii.

Kapitola 4

Transportńı jevy a transportńıkoeficienty

Transportńı jevy jsou takové jevy, při nichž docháźı k transportu náboje a přenosu energiev krystalu.

4.1 Transportńı jevy bez magnetického pole

V tomto př́ıpadě je homogenńı vodivé prostřed́ı charakterizováno třemi kinetickými ko-eficienty — elektrickou vodivost́ı, termoelektrickou silou a tepelnou vodivost́ı. Tyto třipř́ıpady postupně odděleně probereme.

4.1.1 Elektrická vodivost

Po přiložeńı vněǰśıho elektrického pole ve směru x vzniká v témž směru elektrický proudcharakterizovaný proudovou hustotou j. Empirický zákon (Ohmův zákon) zńı

j = σ0E, (4.1)

kde pro vodivost σ0 z experimentu plyne

σ0 =1

ρ0=

I

U

S

l, (4.2)

protože pro elektrický odpor R plat́ı

R = ρ0l

S=

U

I. (4.3)

Budeme předpokládat (viz obr. 4.4)

57

KAPITOLA 4.

Date post:	22-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Fyzika polovodiˇc˚u pro optoelektroniku...

Documents