FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKANCH TECHNOLOGI VYSOK UEN TECHNICK V BRN

Fyzikln semin

Garant pedmtu: RNDr. Eva Hradilov

Autoi textu:

RNDr. Eva Hradilov RNDr. Nadda Uhdeov

Brno 15. 11. 2003

2

Obsah 1 VOD ................................................................................................................................. 7

1.1 ..ZAAZEN PEDMTU VE STUDIJNM PROGRAMU.............................................................7 1.2 ..VOD DO PEDMTU .......................................................................................................7 1.3 ..VSTUPN TEST ..................................................................................................................8 1.4 ..NUTN PEDBN ZNALOSTI........................................................................................11

2 VEKTOROV ALGEBRA ........................................................................................... 14 2.1 ..SKALRN A VEKTOROV VELIINY...............................................................................14 2.2 ..SLOKY, SOUADNICE A VELIKOST VEKTORU................................................................15 2.3 ..JEDNOTKOV VEKTORY .................................................................................................18 2.4 ..ALGEBRAICK METODA STN A ODETN VEKTOR ..............................................19 2.5 ..GRAFICK METODA STN A ODETN VEKTOR .....................................................22 2.6 ..VEKTORY A FYZIKLN ZKONY....................................................................................25 2.7 ..NSOBEN VEKTORU SKALREM....................................................................................26 2.8 ..SKALRN SOUIN .........................................................................................................26 2.9 ..VEKTOROV SOUIN .....................................................................................................29 2.10 DERIVACE VEKTORU......................................................................................................32 2.11 DODATKY...................................................................................................................34

3 KINEMATIKA................................................................................................................ 36 3.1 ..MECHANICK POHYB.....................................................................................................36

3.1.1 K relativnosti pohybu.................................................................................36 3.1.2 Jakm pohybem se budeme zabvat?.........................................................36

3.2 ..POLOHA, POLOHOV VEKTOR ........................................................................................37 3.3 ..TRAJEKTORIE, DRHA, POSUNUT..................................................................................39 3.4 ..PRMRN RYCHLOST...................................................................................................42 3.5 ..OKAMIT RYCHLOST ...................................................................................................44 3.6 ..ZRYCHLENI ....................................................................................................................46 3.7 ..VOLN PD, SVISL VRH ...............................................................................................51 3.8 ..IKM VRH ....................................................................................................................54 3.9 ..VODOROVN VRH..........................................................................................................58 3.10 ROVNOMRN POHYB PO KRUNICI...............................................................................59 3.11 ROVNOMRN ZRYCHLEN (ZPOMALEN) POHYB PO KRUNICI ...................................63 3.12 PEHLEDN TABULKY POHYB HMOTNHO BODU .........................................................65 3.13 DODATKY...................................................................................................................66

4 DYNAMIKA .................................................................................................................... 69 4.1 ..NEWTONOVSK MECHANIKA .........................................................................................69 4.2 ..HMOTNOST, SLA ...........................................................................................................69 4.3 ..O VZJEMNM PSOBEN TLES ....................................................................................70 4.4 ..PRVN NEWTONV POHYBOV ZKON ZKON SETRVANOSTI ...................................70 4.5 ..DRUH NEWTONV POHYBOV ZKON ZKON SLY..................................................71 4.6 ..TET NEWTONV POHYBOV ZKON ZKON AKCE A REAKCE ..................................74 4.7 ..NKTER TYPY SIL.........................................................................................................75

4.7.1 Thov sla..................................................................................................76 4.7.2 Kolm tlakov sla .....................................................................................77 4.7.3 Tahov sla.................................................................................................78 4.7.4 Tec sla ....................................................................................................80

3

4.7.5 Dostediv sla...........................................................................................84 4.8 ..HYBNOST.......................................................................................................................87 4.9 ..IMPULZ SLY A ZMNA HYBNOSTI...................................................................................89 4.10 KINETICK ENERGIE ......................................................................................................90 4.11 MECHANICK PRCE .....................................................................................................92

4.11.1 Prce konstantn sly..................................................................................92 4.11.2 Prce a kinetick energie ..........................................................................94 4.11.3 Prce thov sly.........................................................................................96 4.11.4 Prce promnn sly ..................................................................................97

4.12 POTENCILN ENERGIE...................................................................................................99 4.13 MECHANICK ENERGIE................................................................................................101 4.14 VKON ........................................................................................................................102 4.15 INNOST....................................................................................................................104

5 VOD DO ELEKTINY ............................................................................................. 108 VYBRAN KAPITOLY Z ELEKTINY ......................................................................................111 5.1 ..ELEKTRICK NBOJ V ELEKTROSTATICKM POLI.........................................................111

5.1.1 Elektrick nboj .......................................................................................111 5.1.2 Coulombv zkon.....................................................................................114

5.2 ..INTENZITA ELEKTRICKHO POLE..................................................................................118 5.2.1 Elektrick silory ...................................................................................120 5.2.2 Bodov nboj v elektrickm poli ..............................................................122

5.3 ..POTENCIL ELEKTRICKHO POLE.................................................................................124 5.3.1 Elektrick napt ......................................................................................127 5.3.2 Ekvipotenciln plochy.............................................................................129

5.4 ..ELEKTROSTATICK JEVY VE VODICH A NEVODICH.................................................130 5.4.1 Vodie a nevodie ....................................................................................130 5.4.2 Vlastn kapacita vodie............................................................................132 5.4.3 Kapacita kondenztoru ............................................................................133 5.4.4 Energie nabitho kondenztoru ...............................................................136 5.4.5 azen kondenztor................................................................................137

5.5 ..OBVODY ............................................................. CHYBA! ZLOKA NEN DEFINOVNA.

6 ZVREN TEST .................................................................................................... 151

7 SEZNAM POUIT LITERATURY ......................................................................... 156

4

Seznam obrzk OBR. 2.1: VEKTOR. kajaiaa zyx

GGGG ++= ...........................................................................15 OBR. 2.2: SLOKY VEKTORU..............................................................................................16 OBR. 2.3: JEDNOTKOV VEKTOR 0aG ..................................................................................18 OBR. 2.4: JEDNOTKOV VEKTORY i

G, jG

A kG

....................................................................18 OBR. 2.5: SOUET VEKTOR. ..........................................................................................22 OBR. 2.6: DVA VEKTORY aG A bG LZE STAT V LIBOVOLNM POAD (VZTAH ( 2.15)). .....23 OBR. 2.7: VEKTORY b

G A bG

.............................................................................................23 OBR. 2.8: A) VEKTORY aG , bG A bG , B) ODETEN VEKTORU bG OD VEKTORU aG ..............23 OBR. 2.9: STN VEKTOROVCH VELIIN .......................................................................25 OBR. 2.10: VEKTORY aG A bG SVRAJ HEL . ..................................................................26 OBR. 2.11: KOL 2.7 ...........................................................................................................28 OBR. 2.12: PRAVIDLO PRAV RUKY PRO VEKTOROV SOUIN. ............................................30 OBR. 3.1: POLOHA BODU NA OSE. ......................................................................................38 OBR. 3.2: TRAJEKTORIE A POSUNUT. ................................................................................39 OBR. 3.3: PKLAD 3.4.......................................................................................................40 OBR. 3.4: POSUNUT 12 rrr

GGG = SPOJUJE KONCOV BODY VEKTOR 1rG A 2rG . .................41 OBR. 3.5: DRHA ROVNOMRNHO POHYBU .....................................................................42 OBR. 3.6: RYCHLOST ROVNOMRNHO POHYBU................................................................42 OBR. 3.7: OKAMIT RYCHLOST........................................................................................45 OBR. 3.8: TEN A NORMLOV ZRYCHLEN. ....................................................................47 OBR. 3.9: ZVISLOST RYCHLOSTI NA ASE U ROVNOMRN ZRYCHLENHO POHYBU.......48 OBR. 3.10: ZVISLOST RYCHLOSTI NA ASE U ROVNOMRN ZPOMALENHO POHYBU.......49 OBR. 3.11: GRAF ZVISLOSTI ZRYCHLEN NA ASE ..........................................................49 OBR. 3.12: IKM VRH........................................................................................................55 OBR. 3.13: VODOROVN VRH ..............................................................................................58 OBR. 3.14: ROVNOMRN POHYB PO KRUNICI ..................................................................60 OBR. 3.15: DOSTEDIV (NORMLOV) ZRYCHLEN ..........................................................61 OBR. 3.16: TEN, DOSTEDIV A CELKOV ZRYCHLEN POHYBU PO KRUNICI .................63 OBR. 4.1: VZJEMN PSOBEN TLES...............................................................................70 OBR. 4.2: ZKON AKCE A REAKCE .....................................................................................74 OBR. 4.3: THOV SLA ......................................................................................................76 OBR. 4.4: NORMLOV SLA .............................................................................................77 OBR. 4.5: TAHOV SLA.....................................................................................................78 OBR. 4.6: TEC SLA .........................................................................................................81 OBR. 4.7: DOSTEDIV SLA..............................................................................................84 OBR. 4.8: PRCE KONSTANTN SLY...................................................................................92 OBR. 5.1: DV SOUHLASN NABIT TLESA SE ODPUZUJ....................................................111 OBR. 5.2: DV NESOUHLASN NABIT TLESA SE PITAHUJ ..............................................111 OBR. 5.3: SLY MEZI NBOJI. ...........................................................................................114 OBR. 5.4: INTENZITA ELEKTRICKHO POLE. .....................................................................118 OBR. 5.5: VEKTORY ELEKTRICK INTENZITY KOLEM KLADNHO NBOJE........................120 OBR. 5.6: SILORY POLE DVOU STEJN VELKCH NBOJ OPANCH ZNAMNEK........120 OBR. 5.7: SILORY POLE DVOU STEJN VELKCH KLADNCH NBOJ. .........................121 OBR. 5.8: MILIKANOVO ZAZEN PRO MEN ELEMENTRNHO NBOJE E. ...................124 OBR. 5.9: PROSTOROV GRAF POTENCILU ELEKTRICKHO POLE. ..................................125 OBR. 5.10: STI TY EKVIPOTENCILNCH PLOCH. .......................................................129

5

OBR. 5.11: ELEKTRICK SILORY A PN EZY EKVIPOTENCILNCH PLOCH...............129 OBR. 5.12: VZNIK INDUKOVANHO NBOJE NA POVRCHU VODIE ....................................131 OBR. 5.13: RZN DRUHY KONDENZTOR ......................................................................134 OBR. 5.14: DVA VODIE ELEKTRICKY IZOLOVAN TVO KONDENZTOR. ........................134 OBR. 5.15: ZOBRAZEN DESKOVHO KONDENZTORU. ......................................................135 OBR. 5.16: PARALELN SPOJEN KONDENZTOR ..............................................................137 OBR. 5.17: SRIOV SPOJEN KONDENZTOR...................................................................138

6

Seznam tabulek TAB. 1: MEZINRODN SOUSTAVA JEDNOTEK SI ............................................................12 TAB. 2: DOPLKOV JEDNOTKY SI.................................................................................12 TAB. 3: NSOBKY A DLY JEDNOTEK SI..........................................................................13

7

1 VOD

1.1 Zaazen pedmtu ve studijnm programu

Fyzikln semin je zaazen do 1. semestru 1. ronku jako jeden ze t povinn volitelnch pedmt v bakalskm studijnm programu. Pedmt je doporuovn vem studentm, jejich zkladn znalosti z fyziky nejsou dostaten pro pochopen ltky FYZIKY 1 a FYZIKY 2 a pro ty, kterm by doplnn znalost samostudiem inilo pote. Aktivnm absolvovnm tohoto semin zsk student 2 kredity.

1.2 vod do pedmtu

Rmcov obsah pedmtu Fyzikln semin tvo nsledujc kapitoly: Vektorov algebra, Kinematika, Dynamika a vod do elektiny.

Od akademickho roku 2001/2002 maj studenti na FEKT jako doporuenou literaturu esk peklad knihy D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: FYZIKA. Na doporuenou literaturu navazuj i tyto uen texty, kter svm vbrem ltky i vhodn vybranmi pklady a testy usnadn studentm ppravu na semin a budou zkladem pro dal studium fyziky na fakult. Jak je cl a co vs ek v prvnch dvou stech pedmtu? Mli byste znt rozdly mezi skalry a vektory a mli byste s nimi umt potat. Mli byste si vytvoit pedstavu, m se zabv mechanika. Budete analyzovat mechanick pohyby. Naume se spolen kvalitativn popisovat pohyby po pmce a po krunici. Budeme eit rzn otzky a lohy. Po prostudovn prvnch t kapitol byste mli bt schopni 1. umt rozliit a urit prmrnou a okamitou rychlost, 2. urit prmrn a okamit zrychlen, 3. analyzovat pohyb hmotnho bodu podle tvaru trajektorie a podle asov zvislosti velikosti jeho rychlosti, 4. eit koly spojen s pohyby hmotnho bodu: rovnomrnm a rovnomrn zrychlenm (zpomalenm) po pmce a rovnomrnm po krunici, 5. nakreslit (a pi een loh vyut) grafick zvislosti drhy a rychlosti hmotnho bodu na ase pi jeho rovnomrnm a rovnomrn zrychlenm pohybu, 6. charakterizovat slu a umt skldat a rozkldat sly, kter na hmotn bod psob, 7. vyslovit a objasnit Newtonovy pohybov zkony, 8. urit hybnost a impulz sly,

8

0 2 4 6 t (s)

9. osvojit si zkon zachovn hybnosti, 10. pout nov zaveden veliiny sla, hybnost, impulz sly pi een jednoduchch

loh z dynamiky.

V nsledujc sti kapitoly najdete jednoduch vstupn testy, na nich si mete osvit zkladn znalosti z mechaniky. Vsledky tchto test najdete v kapitole Dodatky.

1.3 Vstupn test T 1.1 Zvislost drhy na ase je znzornna na obrzku. V okamiku t = 4 s byla velikost rychlosti tlesa a) 2,5 m/s s (m) b) 5 m/s c) 0,4 m/s d) 0,8 m/s T 1.2 Hmotn bod se pohybuje po krunici o polomru R konstantn hlovou rychlost . Jeho obvodov rychlost je v. Zmn se velikost jeho obvodov rychlosti, bude-li se pohybovat stejn velkou hlovou rychlost po krunici o polomru 2.R ? a) Rychlost se nezmn. b) Rychlost vzroste na dvojnsobek pvodn hodnoty. c) Rychlost klesne na polovinu pvodn hodnoty. d) Rychlost klesne na tvrtinu pvodn hodnoty. T 1.3 Kter z nsledujcch jednotek nepat mezi zkladn jednotky soustavy SI? a) kilogram b) watt c) metr d) kandela T 1.4 Jak dlouho pad tleso z vky 45 m? Odpor vzduchu zanedbejte, g = 10 m.s-2. a) 1/3 s b) 3 s c) 4,5 s d) 9 s

5

10

9

T 1.5 Na obrzku jsou nakresleny grafy zvislosti drhy na ase pro tyi hmotn body. Kter z tchto hmotnch bod se pohybuj rovnomrnm pohybem? 1. bod 2. bod 3. bod 4. bod a) jen 1. bod b) 1. a 2. bod c) 2. a 3. bod d) jen 4. bod T 1.6 Mezi nsledujcmi veliinami: drha, zrychlen, moment sly, prce, vkon, energie, hybnost a intenzita elektrickho pole jsou nkter veliiny vektorov. Jejich poet je a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 T 1.7 Na obrzku je zakreslen graf zvislosti velikosti rychlosti hmotnho bodu na ase. Jak velk zrychlen m hmotn bod v ase t = 4 s?

10

8 6

4 2

0 1 2 3 4 5 t (s)

v (m.s-1)

T 1.8 Po silnici jedou dva automobily o stejnch hmotnostech. Prvn jede rychlost 40 km.h-1, druh 80 km.h-1 . V jakm pomru jsou kinetick energie obou automobil? Ek1 / Ek2 = 1 / 4 b) Ek1 / Ek2 = 1 / 2 c) Ek1 / Ek2 = 4 d) Ek1 / Ek2 = 2

t

s

t

s

t

s

t

s

a) 8 m.s-2 b) 2 m.s-2 c) 1 m.s-2 d) 0 m.s-2

10

T 1.9

Na ti tlesa, kter se pohybuj po vodorovn podlaze, psob sly 1FG

, 2FG

a 3FG

. Vechny sly

maj stejnou velikost F, ale rzn smr, jak je vidt na obrzku. Uraz-li tlesa stejn drhy, pak nejvt prci vykon a) sla 1F

G b) sla 2F

G c) sla 3F

G d) vechny sly stejnou

s s s

1FK

3FK 2

FK

T 1.10 Kotou o polomru r je otiv kolem nehybn osy, jdouc jeho stedem. Na kotou psob sly 1F

G a 4FG

, znzornn na obrzku. Vechny sly maj stejnou velikost a stejn smr, li se jen polohou psobit. Vzdlenost d je rovna polovin polomru r. Na kotou m nejvt otiv inek

a) sla 1FG

b) sla 2FG

c) sla 3FG

d) sla 4FG

T 1.11 Pi rovnomrn zrychlenm pmoarm pohybu psob na tleso a) nulov sla c) sla mrn asu b) konstantn nenulov sla d) sla mrn rychlosti

T 1.12 Jestlie hybnost stice klesne na polovinu, pak jej kinetick energie a) vzroste 2-krt b) klesne 4-krt c) klesne 8-krt d) vzroste 4-krt

O

2FG

1FG

3FG 4F

G

O d

r rOr

O d

11

T 1.13 Kola A a B o polomrech rA = 50 cm a rB = 20 cm jsou spojena emenovm pevodem. Ot-li se kolo A s hlovou frekvenc 2 Hz, pak se kolo B ot s hlovou frekvenc a) 5 Hz b) 10 Hz c) 2 Hz d) 0,8 Hz T 1.14 m2.kg.s-2 je vyjdenm jednotky a) vkonu b) tlaku c) sly d) prce T 1.15 Jak velkou silou musme kopnout do me o hmotnosti 400 g, abychom mu udlili zrychlen 80 m.s-2 ? a) 200 N b) 32 N c) 20 N d) 5 N T 1.16 Jestlie se setrvankov kolo, vykonvajc na potku 12 otek za sekundu, zastav po esti sekundch, pak prmrn hlov zrychlen je a) - 2 s-2 b) - 4 s-2 c) - 4 s-2 d) - 2 s-2 T 1.17 Velikost dostediv sly Fd pi rovnomrnm pohybu tlesa hmotnosti m po krunici polomru r s hlovou rychlost a obvodovou rychlost v meme vyjdit vztahem a) Fd = m v2r b) Fd = m 2r c) Fd = m r d)

2vmFd = 1.4 Nutn pedbn znalosti

V tto kapitole jsou shrnuty vybran sti z vodu do studia fyziky, na kter studium cel fyziky navazuje. Projdte si tyto vodn strnky pozorn, ponvad obsahem tchto kapitol jsou zklady potebn k dalmu studiu fyziky. Mnoh informace si jist jet pamatujete ze stedn koly. Pak teprve zante se studiem dalch kapitol.

12

Zkladn informace o fyziklnch veliinch a jednotkch K vyjden vsledku pozorovn uritho dje i experimentu pouvme fyzikln

veliiny. Fyzikln veliinou rozumme nap. objem, teplotu, drhu, as, rychlost, hmotnost, elektrick proud atd. Kadou fyzikln veliinu oznaujeme smluvenou znakou, nap. pro uveden veliiny to jsou V, T, s, t, v, m, I.

Kad fyzikln veliina je urena selnou hodnotou a fyzikln jednotkou.

V na republice se pouv Mezinrodn soustava jednotek, kter se oznauje SI

(Systeme International d`Units). Pouvn tchto jednotek je u ns tak stanoveno normou Zkonn mic jednotky SN 01 1300.

Podle Mezinrodn soustavy jednotek se fyzikln jednotky dl na zkladn, doplkov

a odvozen.

a) Zklad SI tvo sedm zkladnch jednotek

Zkladn veliina Znaka Fyzikln jednotka Znaka

dlka l metr m hmotnost m kilogram kg as t sekunda s elektrick proud I ampr A termodynamick teplota T kelvin K ltkov mnostv n mol mol svtivost I kandela cd

Tab. 1: Mezinrodn soustava jednotek SI

b) Doplkovmi jednotkami SI jsou:

Doplkov jednotka Znaka Fyzikln jednotka Znaka rovinn hel t radin rad prostorov hel , steradin sr

Tab. 2: Doplkov jednotky SI

Podle rozhodnut Mezinrodn komise pro mry a vhy jsou tyto dv jednotky interpretovny jako jednotky bezrozmrn, kter meme (ale nemusme) pouvat pro odvozen jednotky SI. Tak nap. v literaturch se nkdy setkvme s jednotkou pro hlovou rychlost ve tvaru rad.s-1 nebo jen s-1. Oboj je sprvn.

13

c) Odvozen jednotky se odvozuj ze zkladnch jednotek pomoc defininch vztah odpovdajcch fyziklnch veliin. Nap. rychlost rovnomrnho pmoarho pohybu

meme vyjdit vztahem v =ts , kde s je drha a t doba trvn pohybu. Ponvad jednotkou

drhy je metr m a jednotkou asu sekunda s, je jednotkou rychlosti metr za sekundu

[v] = sm = m.s-1.

Nsobky a dly jednotek SI jsou tvoeny ze zkladnch jednotek pomoc pedpon SI, tj. pomoc mocnin o zkladu 10. Jejich nzvy jsou pak tvoeny spojenm pedpony a nzvu jednotky v jedno slovo (nap. kilometr, kilogram, milimetr, pikofarad).

Tab. 3. jsou uvedeny nejdleitj pedpony pro tvoen nsobk a dl jednotek (plnou tabulku najdete v SN 01 1300.

Pedpona tera giga mega kilo mili mikro nano piko Znaka T G M k m n p Mocnina 1012 109 106 103 10-3 10-6 10-9 10-12

Tab. 3: Nsobky a dly jednotek SI

Vedlej jednotky povoluje pouvat norma Zkonn mic jednotky a to z praktickch

dvod. Pat mezi n nap. litr (l), tuna (t), minuta (min), hodina (h).

14

2 VEKTOROV ALGEBRA

Ke kapitole 3 z doporuen literatury: D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: FYZIKA

2.1 Skalrn a vektorov veliiny

Veliiny, se ktermi se ve vuce fyziky setkme, dlme na veliiny skalrn a vektorov.

Skalrn fyzikln veliiny nebo strun skalry jsou jednoznan ureny jedinm slem a pslunou mic jednotkou. Pat k nim nap. hmotnost, objem, dlka, as. Zapisujeme je nap. m = 3 kg, V = 10 m-3, l = 5 m, t = 20 s.

Pi potn se skalry pouvme bn pravidla aritmetiky a algebry sel.

Vektorov fyzikln veliiny neboli vektory jsou veliiny, k jejich plnmu uren je teba znt nejen selnou hodnotu a mic jednotku, ale i smr (vetn orientace). Takovmi veliinami jsou nap. sla, rychlost, zrychlen. Vektorov fyzikln veliiny se oznauj bu tun vytitnmi znakami (F, v, a) nebo nad znakou veliiny peme ipku ( F

G, vG , aG ).

Pi vpotech plat zvltn pravidla vektorov algebry. TEST 2.1 Mezi vektorov veliiny pat a) moment sly b) drha c) hmotnost d) tlak

Geometricky zobrazujeme vektorovou veliinu orientovanou sekou, jej dlka znzoruje velikost vektoru, tj. hodnotu veliiny, a jej ipka pak smr vektoru.

Poten bod vektoru uruje umstn vektoru (na Obr. 2.1 je oznaen O) a nazv se

psobitm dan vektorov veliiny. Libovoln vektor aG v kartzsk soustav souadnic O, x, y, z meme vyjdit

pomoc souadnic ),,( zyx aaaaa

GG = ( 2.1 ) jako souet jeho t sloek vztahem

kajaiaa zyxGGGG ++= , ( 2.2 )

kde iG

, jG

a kG

jsou jednotkov vektory ve smru os x, y, z a ax, ay a az jsou souadnice vektoru aG .

15

a kz

a ix

a

a jy

x

y

z

O

Obr. 2.1: Vektor. kajaiaa zyxGGGG ++=

2.2 Sloky, souadnice a velikost vektoru

Slokami vektoru aG jsou vektory

iaa xxGG = , jaa yy

GG = , kaa zzGG = .

Souadnice vektoru v prostoru jsou ureny jeho kolmmi prmty do smr

souadnicovch os x, y a z a oznaujeme je xa , ya a za .

V kartzsk soustav souadnic plat, e

velikost (modul) vektoru aG je 222zyx aaaaa ++== G ( 2.3 )

prmty vektoru aG (viz Obr. 2.1) do smr souadnicovch os lze vyjdit vztahy

cosaax = cosaa y = cosaaz = , ( 2.4 )

kde cos , cos a cos jsou tzv. smrov kosiny.

Velikost vektoru je vdy kladn, nebo dlky seek vyjadujeme jen kladnmi sly.

Velikost vektoru lze pst tak ve tvaru

coscoscos zyx aaaa ++= ( 2.5 )

hly , a seven s kladnmi smry os uruj smr vektoru aG a pro jejich kosiny plat 1coscoscos 222 =++ . ( 2.6 )

16

Velikost i smr vektoru aG lecho (pro nzornost) v rovin meme urit pomoc souadnic vektoru (jak je znzornno na Obr. 2.2)

cosaax = a sinaay = ( 2.7 )

vztahy

22yx aaa += a

x

y

aa

tg = , ( 2.8 )

kde je hel mezi vektorem aG s kladnm smrem osy x. Znamnko souadnice uruje orientaci odpovdajcho prmtu vektoru vzhledem ke kladnmu smru souadnicov osy.

Obr. 2.2: Sloky vektoru.

a) Sloky vektoru aG . b) Pi posunut vektoru (pi zachovn jeho velikosti i smru) se jeho sloky nezmn. c) Sloky vektoru aG tvo odvsny pravohlho trojhelnka, jeho peponou je vektor aG . TEST 2.2 Na kterm z obrzk je sprvn zakreslen rozklad vektoru aG na sloky?

xaG y

x

yaG

aG

a)

yaG

xaG y

xaG

b)

y

x

yaG

xaG

c)

aG

y

xyaG

xaG

d)

aG

17

Pklad 2.1: (HRW 3.17.) Kolo o polomru 45,0 cm se val bez prokluzu po vodorovn podlaze (viz obrzek). Na obvodu kola ozname bod P, kter se v okamiku t1 prv dotkne podlahy. V pozdjm okamiku t2 je kolo otoeno o polovinu otky. Jak je posunut bodu P za dobu od t1 do t2? een: R = 45,0 cm, t1, t2, r = ?

y

xP

P

rx

ryRr

Z obrzku:

22yx rrr +=G , kde rx = RR =2

2

ry = 2 R. Pak 2222 2)2()( +=+= RRRrG Po dosazen

445 2 += rG cm = 167,6 cm

22 ===

RR

rr

tgx

y 2arctg= , = D5,32 .

Bod P se za dobu 12 ttt = posunul o 167,6 cm pod hlem = D5,32 .

kol 2.1 (HRW 3.11.) Vektor posunut rG le v rovin xy a m velikost 15 m (na obrzku). Urete jeho souadnice.

18

kol 2.2 (HRW 3.14.) Lo se chyst na cestu dlouhou 120 km severnm smrem. Nhl boue ji zanese 100 km vchodn od vchozho bodu. Jak mus kapitn zmnit pokyny k plavb vzdlenost a smr), aby lo doshla pvodn plnovanho cle?

2.3 Jednotkov vektory

Jednotkov vektor 0aG je vektor, kter m velikost jedna a m tent smr a orientaci jako vektor aG (Obr. 2.3). Fyzikln je bezrozmrn. Plat

aaa 0GG = , odkud je aaaGG =0 ( 2.9 )

Obr. 2.3: Jednotkov vektor 0aG

Vektory iG

, jG

a kG

jsou definovny jako navzjem kolm vektory jednotkov velikosti, jejich smry jsou souhlasn rovnobn s osami x, y a z pravotoiv soustavy souadnic.

Obr. 2.4: Jednotkov vektory iG

, jG

a kG

.

Pklad 2.2: Vyjdete jednotkov vektory i

G, jG

a kG

pomoc souadnic a vypotejte velikosti tchto vektor.

jG

kG

0aG

aG

y

z x i

G

19

een: Podle obr. 2.4 je vyjden jednotkovch vektor i

G, jG

a kG

pomoc souadnic iG

= (1, 0, 0), jG

= (0, 1, 0), kG

= (0, 0, 1). Pro velikosti vektor i

G, jG

a kG

plat

0012 ++== ii G = 1

010 2 ++== jj G = 1

2100 ++== kk G = 1.

( 2.10 )

kol 2.3 K vektoru kjir

GGGG 432 ++= urete jednotkov vektor 0rG .

Nulov vektor je vektor, jeho velikost je rovna nule (o smru nem smysl hovoit). Opan vektor k vektoru b

G je vektor b

G , kter m stejnou velikost a stejn smr ale opanou orientaci.

2.4 Algebraick metoda stn a odetn vektor

Algebraick metoda vpotu soutu vektor kajaiaa zyxGGGG ++= a kbjbibb zyx

GGGG ++= je zaloena na pouit pravidla stn po souadnicch

xxx bas += yyy bas += zzz bas +=

( 2.11 )

Vsledn vektor sG je ve tvaru

basGGG += = kbajbaiba zzyyxx

GGG)()()( +++++ . ( 2.12 )

Podobn pro rozdl vektor kajaiaa zyx

GGGG ++= a kbjbibb zyxGGGG ++= plat

badGGG = = kbajbaiba zzyyxx

GGG)()()( ++ . ( 2.13 )

20

Pklad 2.3: (HRW 3.21.)

Urete sloky, velikost a smr vektor a) baGG + a b) ab GG , je-li aG = 3,0 iG + 4,0 jG

a bG

= 5,0 iG

2,0 jG

. een: aG = 3,0 iG + 4,0 jG , bG = 5,0 iG 2,0 jG , a) ba GG + = ?, b) ab GG = ? a) Sloky vektoru sG = ba GG + vypotme ze vztahu

sG = ba GG + = yx ss GG + = jbaiba yyxxGG

)()( +++ ,

tj. sG = ba GG + = (3 + 5) iG + (4 2) jG = 8 iG + 2 jG ,

jeho velikost je sG = 2222 28 +=+=+ yx ssbaGG = 8,2

a smr vektoru sG = ba GG + je uren vztahem 82arctg= ,

odkud je = D14 . b) obdobn potme pro vektor d

G= ab GG ,

kde plat pro:

sloky vektoru dG

= ab GG dG = yx ddGG + = jabiab yyxx

GG)()( +

dG

= ab GG = ji GG )42()35( + = ji GG 62

velikost vektoru 2222 62 +=+== yx ddabd GGG

= 6,3

smr vektoru dG

: D7226 =

= arctg .

21

Grafick een:

y

x0

aG

bG

baGG +

y

x

aG

bG

aG

abGG

kol 2.4 (HRW 3.24.) Urete vektory aG a bG , je-li ba GG + = 4 cG , ba GG = 2 cG a jc GGG 43 += .

Pklad 2.4: (HRW 3.29.) Radarov stanice zaznamenala letoun, kter se k n blil pesn z vchodu. V t chvli byl letoun ve vzdlenosti 370 m od stanice a byl vidt pod elevanm hlem D40 (nad vodorovnou rovinou). Radar sledoval letoun a do okamiku, kdy byl od stanice vzdlen 790 m na zpad a velikost pozorovacho hlu inila D123 (na obrzku). Urete posunut letounu bhem doby sledovn a) graficky, b) vpotem.

een: Podle obr. OA = 370 m, OB = 790 m, D17= , D40= , BA G = ?, = ? a) Grafick znzornn posunut letounu

22

0

y

x

BA

=17 =40

b) Nejprve vypotme vektor posunut BAG

jako rozdl vektor BOG

a AOG

AOBOBAGGG =

[ ] ( ) jijijiOBBO GGGGGGG DDDD 0,2315,75517sin17cos79017sin)(17cos +=+=+=

( ) ( ) jijijiOAAO GGGGGGG DDDD 8,2374,28340sin40cos37040sin40cos +=+=+=

Vsledn vektor je m)8,69,1038( jiBAGGG =

a jeho velikost 22 8,69,1038 +=BA G m = 1038,9 m.

Odchylka od vodorovnho smru

DD 038,09,1038

8,6 == arctg .

Letoun se bhem doby sledovn posunul o 1038,9 m ve vodorovnm smru.

2.5 Grafick metoda stn a odetn vektor

Vektory aG a bG narsujeme ve vhodnm mtku tak, e poten bod kterhokoli z nich umstme do koncovho bodu druhho. Jejich soutem je vektor sG spojujc poten bod prvho vektoru s koncovm bodem druhho.

Obr. 2.5: Souet vektor. a) AC je vektorovm soutem vektor AB a BC. b) Jin oznaen vektor z obrzku a)

23

Obr. 2.5 je patrn, e

basGGG += ( 2.14 )

Vektor baGG + tvo hlopku v rovnobnku urenm vektory aG a bG podle Obr. 2.6.

Obr. 2.6: Dva vektory aG a bG lze stat v libovolnm poad (vztah ( 2.15)).

Pi odetn vektoru bG

od vektoru aG zmnme smr vektoru bG a zskme tak vektor opan -b

G, kter piteme k aG (Obr. 2.7).

Pro souet vektor plat :

komutativn zkon abba GGGG +=+ ( 2.15 )

asociativn zkon ( ) ( )cbacba GGGGGG ++=++ ( 2.16 )

Obr. 2.7: Vektory b

G a bG

Obr. 2.8: a) Vektory aG , bG a bG , b) Odeten vektoru b

G od vektoru aG .

Rozdlem vektor aG a bG rozumme vektor dG , kter urme jako souet vektoru aG a vektoru opanho k vektoru b

G, tj. vektoru b

G

( )babad GGGGG +== ( 2.17 )

24

TEST 2.3 Kter z nsledujcch obrzk vyjaduje sprvn grafick setn dvou navzjem kolmch sil

21 , FFGG

? a) b) c) d) Pklad 2.5: (HRW 3.3.) Turista uel 3,1 km na sever, pak 2,4 km na zpad a nakonec 5,2 km na jih. a) Sestrojte vektorov diagram popisujc jeho pohyb. b) Jak daleko a v jakm smru by musel lett ptk, aby ze stejnho vchozho msta doletl do stejnho cle? Let ptka je pmoar. een: Podle obr. AB = 3,1 km, BC = 2,4 km, CD = 5,2 km, rG = ?, = ? a) Vektorov diagram popisujc pohyb turisty

rG

D 0

y

x

C B

A

b) Body A a D maj podle obrzku souadnice A (2,4; 2,1), D (0; 0). Vektor rG = ji GG 1,24,2 . Ptk by musel ulett vzdlenost

22 1,24,2 +=rG = 3,19 km

ve smru D2,414,21,2 == arctg .

2FG

2FG

2FG

1FG

1FG

1FG

2FG

1FG

25

kol 2.5 (HRW 3.4.) Automobil jede 50 km vchodnm smrem, pot 30 km severn a dle 25 km na severovchod pod hlem D30 vzhledem k mstnmu polednku. Sestrojte vektorov diagram pohybu a urete celkov posunut automobilu. Poznmka:

Pi stn vektorovch veliin je poteba si uvdomit, e stat meme jen fyzikln veliiny stejnho druhu (nap. 2 rychlosti, dv sly, ne vak rychlost a zrychlen). Stv se, e hmotn bod kon dva i vce pohyb souasn. Nap. motorov loka, kter pluje na ece je unena proudem eky vzhledem ke behm rychlost 1v

G a souasn pohnna motorem vzhledem k vod rychlost 2v

G . Pak je vsledn rychlost loky vzhledem ke behm eky dna vektorovm soutem rychlost 1v

G a 2vG , tj.

vG = 1vG + 2vG .

Vslednou rychlost vG sestrojme jako hlopku rovnobnku, jeho stranami jsou ob skldan rychlosti.

Na Obr. 2.9 je nakresleno skldn rychlost pro dva rzn smry rychlosti 2v

G loky vzhledem k vod. Tmto vektorovm soutem je dna velikost vsledn rychlosti i jej smr.

Obr. 2.9: Stn vektorovch veliin

TEST 2. 4 lun pohybujc se rychlost v1 v klidn vod m pejet eku tekouc rychlost v2 kolmo vzhledem k behm. Mus proto jet ikmo proti proudu eky a jeho vsledn rychlost vzhledem k behm m velikost

a) v1 - v2 b) v12 + v22 c) v1 + v2 d) 2

22

1 vv

2.6 Vektory a fyzikln zkony

Pi een fyziklnch problm vyadujcch vektorov popis lze pout kteroukoli z mnoha ppustnch souadnicovch soustav. Jej vbr vtinou podizujeme poadavku co nejvtho zjednoduen formulace a een dan lohy. Vztahy mezi vektorovmi veliinami i fyzikln zkony samy jsou na volb soustavy souadnic nezvisl.

vGvG

1vG

2vG 2vG

1vG

26

2.7 Nsoben vektoru skalrem

Vsledkem nsoben vektoru vG skalrem s je vektor o velikosti |s|.| vG |. Pro s > 0 je jeho smr souhlasn se smrem vektoru vG , pro s < 0 je opan. Vektor vG dlme skalrem s 0, nsobme-li jej jeho pevrcenou hodnotou

s1 .

2.8 Skalrn souin

Skalrn souin dvou vektor aG a bG (zname ba GG ) je skalrn veliina, definovan vztahem

cosabba = GG , ( 2.18 )

kde je hel seven vektory aG a bG . V zvislosti na hodnot me bt skalrn souin kladn, zporn nebo nulov. Z Obr. 2.10b je zejm, e skalrn souin vektor lze zskat vynsobenm velikosti kterhokoli z nich slokou druhho vektoru ve smru vektoru prvho.

Skalrn souin vektor kajaiaa zyxGGGG ++= a kbjbibb zyx

GGGG ++= meme vyjdit vztahem

( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx GGGGGGGG ++++= ( 2.19 ) a pi prav pouijeme distributivn zkon.

Obr. 2.10: Vektory aG a bG svraj hel . a) Vektory aG a bG svraj hel . b) Sloka vektoru aG ve smru vektoru bG je a cos , sloka vektoru bG ve smru vektoru aG je b cos .

Pro skalrn souin plat:

komutativn zkonj. ba GG = ab GG . distributivn zkon cabacba GGGGGGG +=+ )( .

Pro skalrn souin neplat:

asociativn zkon cbacba GGGGGG )()(

27

Pklad 2.6: (HRW 3.38.) Ukate, e v pravotoiv soustav (proti smru chodu hodinovch ruiek) souadnic plat

a) iiGG = jj GG = kk GG = 1 a b) ji GG = kj GG = ik GG = 0. ( 2.20 )

c) Zmnily by se pedchzejc vztahy, kdyby soustava souadnic nebyla pravotoiv?

een: a) Z definice skalrnho souinu pro vektory navzjem rovnobn plyne

DGGGG 0cosiiii = ,

kde velikost jednotkovho vektoru 1=iG (byla ji vypotna viz Pklad 2.2) a cos D0 = 1. Pak po dosazen selnch hodnot je 1111 == ii GG . (Stejn pro 1= jj GG a 1= kk GG .) b) Z definice pro skalrn souin pro vektory navzjem kolm plyne

DGGGG 90cosjiji = ,

kde velikosti jednotkovch vektor jsou 1== ji GG a cos D90 = 0,

pak je 0011 == ji GG . c) Nezmnily, u skalrnho souinu plat komutativn zkon. Z vpotu pedchzejcho pkladu vyplv, e libovoln nenulov vektory aG , bG jsou na sebe kolm prv tehdy, kdy plat 0= ba GG . Pklad 2.7: (HRW 3.46.) Vpoet skalrnho souinu vektor pomoc sloek. Ukate, e pro skalrn souin vektor

aG = ax iG

+ ay jG

+ az kG

, bG

= bx iG

+ by jG

+ bz kG

plat baGG = axbx + ayby + azbz.

een: aG = ax i

G + ay j

G + az k

G, bG

= bx iG

+ by jG

+ bz kG

, baGG = ?

28

Skalrn souin zapeme ve tvaru ( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx GGGGGGGG ++++= .

Pouitm distributivnho zkona po roznsoben dostaneme

zzyyxx

zzyzxz

yyxyzxyxxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

bababa

babababababababa

kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiibaba

++==+++

+++++==+++++++

+++=

10010001

)()()(

)()()(

)()()(

GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG

kol 2.6 Zjistte, zda jsou vektory jiu

GGG 43 = a kjiv GGGG 534 += navzjem kolm.

kol 2.7 (HRW 3.44.) Vektory aG , bG a cG jsou zadny podle Obr. 2.11 Urete a) ba GG , b) ca GG , c) cb GG .

Obr. 2.11: kol 2.7

Pklad 2.8: (HRW 3.54.) Vypotte hly mezi tlesovmi hlopkami krychle s dlkou hrany a. een: a, = ?

29

y

z

x aa

a1uG

2uG

hel, kter svraj dva vektory, meme vypotat napklad z definice skalrnho souinu:

21

21cosuuuu GG = ,

kde pro uhlopky 1uG , 2uG plat:

),,(1 aaauG , ),,(2 aaau G , 321 auu == .

Po dosazen 33

)()(cosaaa

kajaiakajaia

+++=GGGGGG

31

3cos 2

222

=+=a

aaa

Pak hledan hel je = D5,7031arccos = .

2.9 Vektorov souin

Vektorov souin dvou vektor aG a bG je vektor cG definovan vztahem cG = ba GG , ( 2.21 )

kde vektory aG , bG , cG tvo pravotoiv systm.

Velikost vektorovho souinu je baccGGG == , tj.

sinabc = , ( 2.22 )kde je hel vektor aG a bG (men z obou hl sevench pmkami, v nich vektory le).

Vektor cG je kolm na rovinu urenou vektory aG a bG a jeho smr je dn pravidlem prav ruky (Obr. 2.12). Pi zpisu pomoc jednotkovch vektor je vektorov souin dn vrazem

( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx GGGGGGGG ++++= ( 2.23 )kter lze jet upravit uitm distributivnho zkona.

30

Vektorov souin lze zapsat determinantem

baGG =

zyx

zyx

bbbaaakjiGGG

= (aybz azby ) iG

+ (azbx axbz) jG

+ (axby aybx ) kG

.

Obr. 2.12: Pravidlo prav ruky pro vektorov souin.

a) Natote pravou ruku tak, aby vektor aG byl ve smru ukazovku a bG ve smru prostednku. Pak palec ukazuje smr cG = ba GG . b) Vidme, e ( ba GG ) = )( ab GG .

Pro vektorov souin plat: distributivn zkon cabacba GGGGGGG +=+ )(

Pro vektorov souin neplat: komutativn zkon; zmna poad vektor je doprovzena zmnou znamnka

baGG = ab GG ( 2.24 )

asociativn zkon cbacba GGGGGG )()(

Nenulov vektory jsou navzjem rovnobn (kolinern) prv tehdy, kdy 0GGG = ba .

Komplanrnmi vektory nazvme vektory, kter le v rovnobnch rovinch. Pklad 2.9: (HRW 3.49.) Vpoet vektorovho souinu vektor pomoc souadnic. Ukate, e pro vektorov souin vektor

aG = ax iG

+ ay jG

+ az kG

, b

G = bx i

G + by j

G+ bz kG

plat

baGG = (aybz azby ) iG + (azbx axbz) jG + (axby aybx) k

G.

31

een: aG = ax i

G + ay j

G + az k

G, bG

= bx iG

+ by jG

+ bz kG

, baGG = ?

Podobn jako u skalrnho souinu je

kbabajbabaibaba

baibajbaiba

bakbajbakbaba

kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiibaba

xyyxzxxzyzzy

zzyzxzzy

yyxyzxyxxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

GGGGGG

GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG

)()()(

0)(

0)()(0

)()()(

)()()(

)()()(

++==++++

+++++==+++++++

+++=

kol 2.8 (HRW 3.39.) Ukate, e v pravotoiv soustav souadnic plat

0GGGGGGG === kkjjii ( 2.25 )

kjiGGG = , ikj GGG = , jik GGG = ( 2.26 )

kol 2.9 Jsou dny vektory: aG (2, 1, 2), bG (6, 3, 1) a cG (2, 1, -5). a) Stanovte, zda jsou vektory aG a cG kolinern a b) vektory aG , bG a cG komplanrn. kol 2.10 (HRW 3.45.) Vektory aG , bG a cG jsou zadny podle obr. 2.11. Urete: a) ba GG , b) ca GG , c) cb GG . kol 2.11 (HRW 3.50.) Jsou dny vektory aG = 3,0 + 5,0 a bG = 2,0 + 4,0. Urete: a) ba GG , b) ba GG a c) ( )a b b+ G GG . Dlen skalru nebo vektoru vektorem nen definovno.

Vrazy asG nebo a

bGG

nemaj smysl.

32

2.10 Derivace vektoru

Je-li vektor funkc parametru t, pak je jeho zvislost na ase vyjdena vztahem

ktajtaitataa zyxGGGGG )()()()( ++== .

Derivace vektoru podle parametru t je vektor

kajt

ai

ta

tata zx

GGGGGtd

dd

dd

ddd)( y ++== .

(Napklad prvn derivace okamit rychlosti podle asu je okamit zrychlen.)

Pro derivace souinu vektorovch funkc plat

bababa += GGGGGG )( ,

bababa += GGGGGG )( . Pklad 2.10: (HRW 4.12.) stice se pohybuje v rovin xy. Jej poloha se mn s asem podle vztahu

jtittrGGG )00,700,6()00,500,2( 43 += , kde rG je v metrech a t v sekundch. Urete jej a)

rychlost vG a b) zrychlen aG v okamiku t = 2,00 s. c) Jak je v tomto okamiku smr teny k trajektorii? een:

jtittrGGG )00,700,6()00,500,2( 43 += , a) vG = ?, b) aG = ? v t = 2,00 s, c) = ?

a) Rychlost vypotme jako prvn derivaci polohovho vektoru podle asu

( ) ( ) ( ) ( ) jtitjtitttt

rvGGGGGG 3243 28567652

dd

dd === .

V ase t = 2,00 s je pak rychlost rovna ( ) ( ) jijiv GGGGG 0,2240,1900,8.28500,4.6 == (m.s-1). b) Zrychlen vypotme jako prvn derivaci rychlosti podle asu

( ) ( )[ ] jtitjtittt

vaGGGGGG 232 84122856

dd

dd =+== .

V ase t = 2,00 s je pak zrychlen rovno

33

jiaGGG 00,4.8400,2.12 = = ji GG 0,3360,24 .

c) Smr teny k trajektorii vypotme ze vztahu

==0,19

0,224

x

y

vv

tg

=0,19

0,224arctg tj. D2,85= .

kol 2.12 (HRW 4.16.) Rychlost stice pohybujc se v souadnicov rovin xy je dna vztahem

jittvGGG 0,8)0,40,6( 2 += . Sloky rychlosti jsou meny v metrech za sekundu a as (t >

0) v sekundch. a) Jak je jej zrychlen v okamiku t = 3,0 s? b) Ve kterm okamiku je jej zrychlen nulov? c) Kdy je nulov jej rychlost?

34

2.11 DODATKY Vsledky test: Test 2.1: a), Test 2.2: c), Test 2.3: c), Test 2.4: d) Vsledky a een a kol: kol 2.1 (HRW 3.11.):

xrG = r cos D30 = 13 m , yrG = r sin D30 = 7,5 m

kol 2.2 (HRW 3.14.): Odklon od severnho smru je d = 156 km, D8,39= kol 2.3:

kjirGGGG 74,056,037,00 ++=

kol 2.4 (HRW 3.24.).:

jiaGGG 129 += , jib GGG 43 +=

kol 2.5 (HRW 3.4.).: a) Vektorov diagram pohybu automobilu.

y

x50 km

30km

25km

S

V

rG

30

b) Podle obrzku m bod B souadnice B (62,5 km, 51,7 km) a vsledn posunut automobilu r = 83.3 km, = D40 . kol 2.6:

vu GG = 24 vektory uG a vG nejsou navzjem kolm kol 2.7 (HRW 3.44.): a) 090cos == DGG baba ,

B

35

b) cos ( , ) 4 4 16aa c a c a c a cc

= = = = G G G G ,

c) cos ( , ) 3 3 9bb c b c b c b cc

= = = = G GG G

kol 2.8 (HRW 3.39.): Poznmka: Postupujte obdobn jako u pkladu 3.38. kol 2.9: a) nejsou kolinern, b) jsou komplanrn kol 2.10 (HRW 3.45.): a) 124390sin === DGG baba , smr k nm, b) sin ( , ) 3 4 12ba c a c a c a c a b

c = = = = =G G G G , smr od ns,

c) sin ( , ) 4 3 12ab c b c b c b c b ac

= = = = =G GG G , smr k nm kol 2.11 (HRW 3.50.): a) kba

GGG 2= , b) 26= ba GG , c) ( ) 46=+ bba GGG kol 2.12 (HRW 4.16.): a) )3(aG = 18 iG m.s-2, b) t = 0,75 s, c) 0,8=yv m.s-1 0

36

KINEMATIKA

Ke kapitolm 2 a 4 z doporuen literatury: D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: FYZIKA

2.12 Mechanick pohyb

Kinematika je st fyziky zabvajc se popisem pohyb tles, tdnm a porovn-

vnm pohyb.

Mechanick pohyb je nejjednodu druh pohybu v prod. Mechanickm pohybem tlesa rozumme zmnu polohy jednoho tlesa vzhledem k jinmu tlesu, ppadn vztanmu systmu.

2.12.1 K relativnosti pohybu Veker svt se pohybuje. I vci, kter se zdaj bt v klidu se pohybuj dky pohybu

Zem kolem vlastn osy, jejm pohybem kolem Slunce, kter se pohybuje vzhledem k na Galaxii atd. Pohyb tles meme zjiovat jen vzhledem k jinm tlesm. Proto hovome o relativnosti pohybu. Abychom mohli popsat pohyb njakho tlesa, musme rozhodnout, kter tleso budeme povaovat za nehybn (nachzejc se v klidu) a s nm pak spojme soustavu souadnic, vzhledem ke kter budeme pohyb tlesa zkoumat. Bn eme ppady, kdy pohyb tlesa spojujeme se Zem. Pak Zemi povaujeme za tleso nachzejc se v klidu (tj. spojen se souadnicovou soustavou nachzejc se v klidu).

Pklad 0.1: Sedte v jedoucm vlaku. Na vedlej koleji jede ve stejnm smru a stejnou rychlost druh vlak. Jak je v pohybov stav vzhledem k tomuto vlaku? een: Vzhledem k druhmu vlaku na vedlej koleji jsme v klidu.

2.12.2 Jakm pohybem se budeme zabvat? V kinematice se budeme zabvat pohyby splujcmi tyto poadavky:

1. Pokud se tlesa vzhledem k Zemi nepohybuj, budeme kat, e jsou v klidu. O padajcm kameni z urit vky na Zemi nebo o automobilu jedoucm po dlnici apod. kme, e se nachz v mechanickm pohybu.

2. Budeme rozliovat pohyby po pmce (sti 2.12 - 2.18), po krunici (2.21) a pohyby sloenmi (ikm a vodorovn vrh kapitoly 2.19 a 2.20).

3. Pohybujc se tleso nahradme hmotnm bodem (stic).

37

Hmotn bod je nejjednodu mysliteln objekt, kter nahrazuje skuten pohybujc se tleso v ppadech, kdy lze jeho rozmry (vzhledem k uvaovanm vzdlenostem) zanedbat.

Tento ppad nastv pedevm tehdy, pohybuj-li se vechny sti tlesa stejn rychle a stejnm smrem. Nhrada tlesa hmotnm bodem vak nen vhodn v ppad, kon-li tleso rotan pohyb (nap. otejc se koloto jeho jednotliv sti se pohybuj rzn rychle a v jinch smrech).

Pklad 0.2: Kter z uvedench tles meme povaovat za hmotn bod? M v rukou branke, rotujc disk, zvodnk bc maratn, uml druice Zem, kola jedoucho automobilu, kmen vren prakem vodorovnm smrem. een: M v rukou branke, zvodnk bc maratn, uml druice Zem, kmen vren prakem vodorovnm smrem.

Pro popis pohybu hmotnho bodu je poteba zavst vhodn fyzikln veliiny. V kinematice jsou nejdleitjmi veliinami: drha s nebo posunut rG , as t, rychlost vG a zrychlen aG ( rG , vG , aG jsou veliiny vektorov).

2.13 Poloha, polohov vektor

Polohu stice (bodu) urujeme polohovm vektorem rG , kter spojuje nejastji polohu bodu s potkem souadnicovch os.

Vektor rG zapisujeme v kartzsk soustav souadnic ve tvaru

kzjyixrGGGG ++= ( 0.1 )

kde vektory ix

G, jyG

a kzG

jsou prmty polohovho vektoru rG do smr souadnicovch os a x, y, z jsou odpovdajc souadnice. Polohov vektor je uren bu velikost a jednm i dvma hly, nebo svmi slokami.

Velikost polohovho vektoru je

222 zyxr ++=G ( 0.2 )

Souadnice mohou bt jak kladn, tak i zporn, podle toho, na kter stran od potku souadnicov osy se nachzej. Je-li hmotn bod pmo v potku, je jeho souadnice nulov. Kladnm smrem osy rozumme smr, ve kterm souadnice roste, opan smr je zporn (Obr. 0.1).

38

Obr. 0.1: Poloha bodu na ose. Polohu bodu na ose zadvme ve vyznaench dlkovch jednotkch. Stupnici lze libovoln rozit v obou smrech.

Pklad 0.3: (HRW 4.1. a), b), c)) Meloun le v mst o souadnicch x = 5,0 m, y = 8,0 m a z = 0 m. Vyjdete jeho polohov vektor a) pomoc jednotkovch vektor, b) pomoc velikosti a smru. c) Nartnte polohov vektor v kartzsk soustav souadnic.

een: x = 5,0 m, y = 8,0 m , z = 0 m, a) rG = ?, b) rG = ?, = ?, c) nrt polohovho vektoru a) Polohov vektor (podle vztahu 4.1) je

)0,80,5( jikzjyixrGGGGGG +=++= m.

b) Velikost polohovho vektoru vypotme ze vztahu

m9,4m00,8)0,5( 222222 =++=++= zyxrG a hel svrajc s kladnou osou x

D1220,5

0,8 =

== arctgx

yarctg .

c) Ponvad souadnice z = 0 m, bude polohov vektor leet v rovin xy.

kol 3.1. (HRW 4.2.) Poloha elektronu je zadna vektorem kjir

GGGG 0,20,30,5 += (v metrech). a) Urete velikost polohovho vektoru a b) zakreslete jej v kartzsk soustav souadnic.

y

x

0

rG

39

2.14 Trajektorie, drha, posunut

Hmotn bod pi mechanickm pohybu opisuje souvislou ru (kivku), kterou nazvme trajektorie pohybu. Trajektorii jedoucho motocyklu pedstavuj vechna msta silnice, ktermi motocykl projel.

Podle tvaru trajektorie dlme pohyby na pmoar a kivoar.

Dlka trajektorie opsan hmotnm bodem pi jeho pohybu za uritou dobu se nazv drha a oznaujeme ji psmenem s. Drha je funkc asu, tj. s = s(t). Drhu mme v metrech nebo v dalch jednotkch dlky.

U pmoarho pohybu je dlka trajektorie (tj. drha s) rovna vzdlenosti tchto bod, tj.

dlce seky AB (Obr. 0.2 a). U kivoarho pohybu mme drhu podl cel kivky Obr. 0.2 b.

Obr. 0.2: Trajektorie a posunut. a) Vechny vyznaen ipky pedstavuj stejn posunut. b) Vechny ti trajektorie spojujc dva body odpovdaj tmu posunut.

Pklad 0.4: Z grafu zvislosti drhy na ase (3.3.) urete: a) dobu, ve kter ujel motocyklista prv 5 km a b) drhu, kterou ujel motocyklista za 5 minut. een: t = ? pro s = 5 km, b) s = ? v t = 5.60 s Z grafu meme odest nsledujc daje: a) drhu 5 km ujel motocyklista za dobu 200 sekund a b) za 5 minut, tj. za 300 sekund, ujel motocyklista drhu 7,5 km.

40

Obr. 0.3: Pklad 3.4

kol 3.2. Bec ubhl bhem kad sekundy drhu 8 m. Urete drhu, kterou bec ubhne za dobu 6 sekund, 10 sekund, 1 minutu.

Posunut x hmotnho bodu v rovin je definovno jako zmna jeho polohy. Nap. ve smru osy x

12 xxx = ( 0.3 )

Pi jednorozmrnm pohybu je posunut kladn, pokud se hmotn bod posunul

v kladnm smru osy x, v opanm ppad je zporn.

Pi pohybu stice v prostoru se mn i jej polohov vektor. Jeho koncov bod se pohybuje spolu s stic a poten bod trvale splv s potkem soustavy souadnic. Souadnice polohovho vektoru x(t), y(t) a z(t) jsou tedy funkcemi asu, polohov vektor

)(trr GG = je vektorovou funkc asu. Je li poloha stice v okamiku t1 urena vektorem 1rG a v nsledujcm okamiku t1 + t vektorem 2rG , je vektor posunut rG stice v asovm intervalu t dno rozdlem

12 rrrGGG = ( 0.4 )

)()( 111222 kzjyixkzjyixrGGGGGGG ++++= ( 0.5 )

ppadn jin zpis posunut vyuvajc opt jednotkovch vektor

kzzjyyixxrGGGG )()()( 121212 ++= , ( 0.6 )

kde (x1, y1, z1) jsou souadnice vektoru 1r

G a (x2, y2, z2) souadnice vektoru 2rG . Posunut rG je znzornno na Obr. 0.4.

320 240 160 80

6

4

2

0 t/s

s/km 8

41

Obr. 0.4: Posunut 12 rrrGGG = spojuje koncov body vektor 1rG a 2rG .

Pklad 0.5: (HRW 4.3.)

Proton se pemst z poten polohy kjirGGGG 0,20,60,51 += do polohy

kjirGGGG 0,20,60,22 ++= , kde jsou souadnice udny v metrech. a) Urete vektor posunut.

b) Se kterou souadnicovou rovinou je tento vektor rovnobn? een: a) kjir

GGGG 0,20,60,51 += , kjirGGGG 0,20,60,22 ++= , rG = ?, b) rovina, se kterou je vektor

rG rovnobn a) Vektor posunut vypotme ze vztahu

kzzjyyixxrrrGGGGGG )()()( 12121212 ++== .

Po dosazen

m)0,120,7(m])0,20,2()0,60,6()0,50,2[( jikjirGGGGGG +=+++= .

b) Ponvad z = 0, je vektor posunut rovnobn s rovinou xy.

kol 3.3. (HRW 4.4.)

Vektor posunut pozitronu v uritm asovm intervalu je kjirGGGG 0,60,30,2 += a jeho

vsledn poloha je urena polohovm vektorem kjirGGGG 0,40,60,32 = (v metrech).

Vyjdete polohov vektor pozitronu na potku asovho intervalu.

42

2.15 Prmrn rychlost

Z bnho ivota znte, e se rzn tlesa mohou pohybovat rznmi rychlostmi (automobil, letadlo, druice, raketa ). S otzkou jak rychle je spojeno nkolik fyziklnch veliin. Jednou z nich je prmrn neboli stedn rychlost.

Vykon-li hmotn bod od potku pohybu za dobu t1 drhu s1 a za dobu t2 drhu s2, pak za asov interval t = t2 t1 uraz drhu s = s2 s1 a velikost prmrn rychlosti je definovna vztahem

12

12

ttss

tsv p

== ( 0.7 )

Je-li t1 = 0 a s1 = 0, vyjadujeme velikost prmrn rychlosti

tsv p = .

Jednotkou rychlosti v SI je metr za sekundu m.s-1.

U rovnomrnho pohybu uraz hmotn bod ve stejnch a libovoln malch asovch intervalech stejn drhy. Proto se velikost rychlosti v (jako podl drhy s a asu t bhem pohybu) nemn, je konstantn (v = konst.).

Potom je drha s rovnomrnho pohybu hmotnho bodu pmo mrn asovmu intervalu t (po kter se pohybuje), kde konstantou mrnosti je rychlost v.

s = v t ( 0.8 )

Grafem zvislosti drhy rovnomrnho pohybu na ase je st pmky. Na Obr. 0.5 je graf zvislosti drhy rovnomrnho pohybu na ase pro v = 25 m.s-1. Ponvad grafem byla tak pmka, usuzujeme, e pohyb byl po celou dobu rovnomrn.

Obr. 0.5: Drha rovnomrnho pohybu Obr. 0.6: Rychlost rovnomrnho pohybu

10 20 30 40 t / s

5 101520 25

v / m.s-1

0 1 2 3 4 5 t / s

25

50

75

100

125

s / m

s = v. t

0

43

Meme ci, e nejjednodum rovnomrnm pohybem je pohyb rovnomrn pmoar.

Ponvad je u rovnomrnho pohybu velikost rychlosti v hmotnho bodu konstantn (v = konst.), je grafem zvislosti rychlosti rovnomrnho pohybu na ase pmka rovnobn s asovou osou, jak vidte na Obr. 0.6. Ovem z podmnky v = konst. nepoznme, jakm smrem se hmotn bod pohybuje a jak je tvar trajektorie tohoto pohybu. Rychlost je veliina vektorov, proto je teba tak znt informaci o smru pohybu. Je-li vak splnna vektorov podmnka vG = .stnkoG , jde o rovnomrn pmoar pohyb, nebo z tto podmnky vyplv, e je mimo velikost a smr i orientace konstantn.

Podle asov zmny velikosti rychlosti dlme pohyby na rovnomrn a nerovnomrn.

Pklad 0.6: (HRW 2.8.) Automobil jede po rovn silnici rychlost 30 km.h-1. Pot, co urazil drhu 40 km, zv rychlost na 60 km.h-1 a pokrauje v jzd dalch 40 km. a) Jak je prmrn rychlost automobilu na cel osmdestikilometrov trati? b) Urete prmrnou rychlost graficky (pomoc grafu x(t)). een: v1 = 30 km.h-1, 1x = 40 km, v2 = 60 km.h-1, 1x = 40 km a) vp = ?, b) vp eit graficky a) Pro vpoet prmrn rychlosti plat

21

21

ttxxv p +

+= ,

kde 1x = 40 km , 2x = 40 km , 1

11 v

xt = , 2

22 v

xt =

Po dosazen zadanch hodnot

6040

3040

4040

++=pv km.h-1 = 40 km.h-1.

b) Grafick een

20

40

60

80x(km)

0 1 2 t(h)

44

kol 3.4. (HRW 2.10.) Automobil jede do kopce rychlost 40 km.h-1.Nahoe neek a vrac se stejnou cestou zpt, tentokrt rychlost 60 km.h-1. Urete prmrnou rychlost pro celou trasu.

2.16 Okamit rychlost

U nerovnomrnho pohybu uraz hmotn bod ve stejnch asovch intervalech nestejn drhy.

Rychlost nerovnomrnho pohybu me mt v rznch okamicch jinou hodnotu (nen konstantn), proto zavdme pojem okamit rychlost. Je to rychlost, kterou m hmotn bod v uritm okamiku na uritm mst trajektorie.

Z praxe znme, e nap. idi automobilu sleduje okamitou rychlost na rychlomru. (Projd-li vak ulicemi msta (a pitom se jet rozjd a brzd) a pak jede po pm silnici, piem projede drhu 3 km za dobu 120 s, potom vypotan rychlost 25 m.s-1 je rychlost prmrn.).

Pro mal zmny pohybu plat, e zmna drhy pohybu hmotnho bodu je rovna zmn velikosti polohovho vektoru

rs = .

Okamitou rychlost dostaneme z rychlosti prmrn tak, e budeme asov interval (dobu) t, men od okamiku t, zmenovat bez omezen k nule. S poklesem hodnoty t se prmrn rychlost hmotnho bodu men v intervalu od t do t + t bl jist limitn hodnot, kter pak definuje rychlost v okamiku .

Velikost vektoru okamit rychlosti je

v = 0t

lim ts

=

0tlim t

r =

tr

dd . ( 0.9 )

Matematicky je okamit rychlost rovna smrnici teny ke grafu funkce r(t) v bod,

kter odpovd danmu okamiku t (Obr. 0.7). Okamit rychlost (nebo jen krtce rychlost) m velikost i smr je tedy pkladem vektorov veliiny

dtrd

trv

t

GGG ==

lim

0

( 0.10 )

Okamitou rychlost meme zapsat tak ve tvarech

kvjvivv zyxGGGG ++= ( 0.11 )

ktzj

tyi

txv

GGGGdd

dd

dd ++= ,

kde jsou souadnice vektoru rychlosti

45

txvx d

d= , tyvy d

d= a tzvz d

d= . ( 0.12 ) Velikost okamit rychlosti je dna vrazem

222zyx vvvv ++=G ( 0.13 )

Obr. 0.7: Okamit rychlost.

Derivace kivky v libovolnm bod je smrnic teny v tomto bod. Smrnice teny (a tedy

i okamit rychlost txvx d

d= v ase t = 1,0 s je tx

= + 2,1m.s-1).

Pklad 0.7: (HRW 4.9.)

Poloha elektronu je dna vztahem rG = 3,0t iG - 4,0t2 jG + 2,0 kG . (as t je men v sekundch a sloky vektoru rG v metrech.) a) Urete asovou zvislost rychlosti elektronu vG (t). b) Jakou rychlost m elektron v okamiku t = 2,0 s? Vsledek zapite pomoc jednotkovch vektor. c) Urete velikost a smr rychlosti elektronu v tomto okamiku. een:

rG = 3,0t iG - 4,0t2 jG + 2,0 kG , a) vG (t) = ?, b) vG (t=2) = ?, c) vG = ?, = ?

a) asovou zvislost rychlosti elektronu vG (t) zskme derivac polohovho vektoru rG

( ) ( )kjtitt

tvKKKG 0,20,40,3

dd 2 += m.s-1 = ( jti GG 0,80,3 ) m.s-1

46

b) V ase t = 2 s m elektron rychlost

vG (t=2) = ( jiGG

)0,20,8(0,3 )m.s-1 = ( ji GG 0,160,3 ) m.s-1. c) Velikost rychlosti elektronu v ase t = 2 s

vG = v = 2222 0,160,3 +=+ yx vv m.s-1= 16 m.s-1. Smr rychlosti elektronu ud hel

D79316 =

= arctg ,

kde znamnko znamen smr proti smru chodu hodinovch ruiek.

kol 3.5. (HRW 4. 12. a), b), d)) stice se pohybuje v rovin xy. Jej poloha se mn s asem podle vztahu rG = (2,00t3 - 5,00t) iG

+ (6,00 - 7,00t4) jG

, kde rG je v metrech a t v sekundch. Urete jej a) polohu rG a b) rychlost vG v okamiku t = 2 s. d) Jak je v tomto okamiku smr teny k trajektorii?

2.17 Zrychleni

Ji vme, e se u nerovnomrnho pohybu hmotnho bodu jeho rychlost bhem pohybu mn. Fyzikln veliina, kter charakterizuje asovou zmnu rychlosti, se nazv zrychlen.

Prmrn zrychlen

Pedpokldme-li, e v prbhu asovho intervalu od t1 do t1 + t dojde ke zmn rychlosti hmotnho bodu z 1v

G na 2vG , pak je prmrn zrychlen paG v asovm intervalu t definovno podlem

paG

= tv

G =

12

12

ttvv

GG . ( 0.14 )

Okamit zrychlen

Okamit zrychlen definujeme, obdobn jako okamitou rychlost, ze zrychlen prmrnho tak, e budeme asov interval (dobu) t, men od okamiku t, zmenovat bez omezen k nule. S poklesem hodnoty t se prmrn zrychlen hmotnho bodu men v intervalu od t do t + t bl jist limitn hodnot, kter pak definuje zrychlen v okamiku t

47

aG = 0t

lim tv

G =

tv

ddG . ( 0.15 )

Okamit zrychlen aG meme zapsat tak ve tvarech

kajaiaa zyxGGGG ++= ( 0.16 )

kt

vjt

vi

tv

a zyxGGGG

dd

dd

dd ++= ( 0.17 )

kde

tv

a xx dd= ,

tv

a yy dd= a

tva zz d

d= . ( 0.18 )

Velikost okamitho zrychlen je dna vrazem

222zyx aaaa ++=G ( 0.19 )

Jednotkou zrychlen v soustav SI je metr za sekundu na druhou m.s-2.

Pro upesnn si uveme:

Zrychlen m velikost i smr, je tedy dal vektorovou veliinou. Okamit zrychlen aG zpravidla rozkldme na dv navzjem kolm sloky tenou ta

G a normlovou naG .

Obr. 0.8: Ten a normlov zrychlen.

Ten sloka zrychlen ten zrychlen taG m smr teny k trajektorii v danm bod a

normlov sloka normlov zrychlen naG je kolm k ten, m smr normly. Jejich

soutem je vsledn zrychlen aG . Ten zrychlen ta

G le ve stejn vektorov pmce jako okamit rychlost hmotnho bodu. Toto zrychlen vyjaduje zmnu velikosti rychlosti. Z toho plyne, e pohybuje-li se hmotn bod s nulovm zrychlenm, velikost rychlosti se nemn (me se vak mnit smr) a pohyb je rovnomrn.

Normlov zrychlen naG je kolm ke smru okamit rychlosti a vyjaduje zmnu

smru rychlosti a nem vliv na velikost rychlosti. (S normlovm zrychlenm se setkme

taG

naG

aG

48

u rovnomrnho pohybu po krunici v kapitole 2.21) U pmoarho pohybu je toto zrychlen nulov.

Nejjednodumi nerovnomrnmi pohyby jsou pohyby pmoar rovnomrn zrychlen a rovnomrn zpomalen, u nich je rychlost linern funkc asu. U tchto pohyb je velikost zrychlen konstantn, nezvisl na ase. (To plat piblin u voln padajcho tlesa, rozjdjcho se vlaku, startujcho letadlo, zastavujcho vlaku, pistvajcho letadla apod.)

U pmoarho pohybu je smr zrychlen dn smrem pmky, po n se hmotn bod pohybuje. U rovnomrn zrychlenho pmoarho pohybu m zrychlen aG stejn smr jako rychlost vG a tedy rychlost se zvtuje. U rovnomrn zpomalenho pmoarho pohybu m zrychlen aG opan smr ne rychlost vG , rychlost se zmenuje.

Zvislosti velikosti rychlosti na ase u rovnomrn zrychlenho pohybu se stejn velkm zrychlenm a = 0,5 m.s-2 nm ilustruj oba grafy na

Obr. 0.9 (graf pro hmotn bod, kter ml nulovou poten rychlost v ase t = 0 byl v klidu a graf pro hmotn bod majc poten rychlost v0 = 3 m.s-1).

Je-li v0 = 0 m.s-1, pak plat pro velikost rychlosti vztah

v = at ( 0.20 ) Odtud vidme, e okamit rychlost rovnomrn zrychlenho pohybu se bhem pohybu zvtuje. V tomto ppad je okamit rychlost rovnomrn zrychlenho pohybu pmo mrn asu.

Je-li v0 = 3 m.s-1, zvis velikost rychlosti na ase vztahem

v = v0 + at ( 0.21 ) kme, e okamit rychlost rovnomrn zrychlenho pohybu je linern funkc

asu. Pi rovnomrn zpomalenm pohybu se rychlost hmotnho bodu s asem rovnomrn zmenuje.

Obr. 0.9: Zvislost rychlosti na ase u rovnomrn zrychlenho pohybu.

v/m.s-1

1 2 3 4 t/s

1 2 3 4 5

0 5 6 7

6

v = at

v = v0 + at

49

Obr. 0.10: Zvislost rychlosti na ase u rovnomrn zpomalenho pohybu

Obr. 0.11: Graf zvislosti zrychlen na ase

Na Obr. 0.10 je nakreslen graf zvislosti velikosti rychlosti na ase rovnomrn zpomalenho pohybu s poten rychlost v0 = 10 m.s-1 a se zrychlenm o velikosti

22m.sa = . Velikost rychlosti hmotnho bodu, kter kon rovnomrn zpomalen pohyb s poten

rychlost v0 a se zrychlenm o velikosti a, zvis na ase vztahem

v = v0 at ( 0.22 )

Na Obr. 0.11 je graf zvislosti zrychlen na ase. Zde je zrychlen konstantn

o velikosti a = 2 m.s-2. TEST 3.1 Letadlo se rozjd se stlm zrychlenm po dobu 10 s a doshne rychlosti 50 m.s-1. Jak dlouhou drhu pitom ujede? a) 250 m b) 250 km c) 2 500 m d) 500 m Pklad 0.8: (HRW 4.13.) San s plachtou jsou hnny vtrem po zamrzlm jezee. V jistm okamiku t maj rychlost (6,30 i

G 8,42 j

G) m.s-1. Bhem dalch t sekund dojde k nhl zmn podmnek a san se

zastav. a) Urete jejich prmrn zrychlen a b) velikost prmrnho zrychlen v asovm intervalu od t do t + 3 s. een:

1vG = (6,30 iG - 8,42 jG ) m.s-1, 2vG = 0

G, t < 0,3 > s, a) paG = ?, b) pa = ?

1

v/m.s-1

1 2 3 4 5 t/s 0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

t/s

a/m.s-2

v = v0 - at 2

50

Prmrn zrychlen vypotme ze vztahu 3.14

paG

= tv

G =

12

12

ttvv

GG .

Pak je

paG

= 2-2- sm)81,210,2(sm342,830,6 = jiji GGGG

,

pa = 22 81,210,2 + m.s-2 = 3,5 m.s-2.

kol 3.6. (HRW 4.10.) Rychlost protonu se bhem 4,0 s zmn z hodnoty kjiv

GGGG 0,30,20,41 += na kjivGGGG 0,50,20,22 += (rychlosti jsou v metrech za sekundu). Urete prmrn zrychlen

protonu paG v tomto asovm intervalu.

Pklad 0.9: (HRW 4.17.) stice A se pohybuje po pmce y = 30 m rovnobn s kladnm smrem osy x. Jej rychlost vG je konstantn a m velikost v = 3,0 m,s-1. stice B vylet z potku soustavy souadnic s nulovou poten rychlost prv v okamiku, kdy stice A prochz osou y (viz obr.). stice B se pohybuje s konstantnm zrychlenm aG o velikosti a = 0,40 m.s-2. Jak je teba volit hel mezi zrychlenm aG stice B a kladnm smrem osy y, aby se stice srazily?

een: y = 30 m, v = 3,0 m,s-1, a = 0,40 m.s-2, = ? Pro hledan hel je z obr. patrn, e plat

tav

ta

tv 2

21

sin2

==

ytvtg =

51

Abychom vylouili as t, ob rovnice vynsobme

yav

ytatvtg

222 22cossinsin ===

.

Po vyslen je 304,0

32cossin 22

=

= 1,5 cos5,1sin 2 = Po matematickch pravch dostaneme rovnici

05,1sin5,1sin 224 =+ ,

kterou substituc u=2sin pevedeme na nsledujc kvadratickou rovnici

05,15,1 222 =+ uu . Pouze koen u1 = 0,75 m vznam. Odtud je 75,0sin = a pro hledan hel je 75,0arcsin= D60= . Aby se stice A a B srazily je teba zvolit hel D60= .

kol 3.7 (HRW 4.16.) Rychlost stice pohybujc se v souadnicov rovin xy je dna vztahem

jittvGGG 0,8)0,40,6( 2 += . Sloky rychlosti jsou meny v metrech za sekundu a as (t > 0) v

sekundch. a) Jak je jej zrychlen v okamiku t = 3,0 s? b) Ve kterm okamiku je jej zrychlen nulov? c) Kdy je nulov jej rychlost? d) Ve kterm okamiku m velikost jej rychlosti hodnotu 10 m.s-1? TEST 3.2 U pohybu pmoarho rovnomrn zrychlenho je a) drha i rychlost linern funkc asu b) drha i rychlost kvadratickou funkc asu c) drha kvadratickou funkc asu a rychlost konstantn d) drha kvadratickou a rychlost linern funkc asu

2.18 Voln pd, svisl vrh

Upustme-li pedmt (ani mu udlme poten rychlost) z urit vky nad zem, pohybuje se svislm smrem k zemi. Zanedbme-li odpor vzduchu, kme, e se pedmt pohybuje volnm pdem.

52

Voln pd je zvltnm ppadem pohybu rovnomrn zrychlenho s nulovou poten rychlost. Zrychlen u volnho pdu nazvme thovm zrychlenm a oznaujeme gG a jeho velikost pi povrchu Zem je v naich zempisnch kch piblin g = 9,81 m.s-2.

Thov zrychlen gG a rychlost vG smuj vdy svisle dol. Velikost thovho zrychlen se mn se zempisnou kou a nadmoskou vkou. (Uveme si, e velikost thovho zrychlen m na rovnku hodnotu ni ne na zempisnch plech.)

Velikost okamit rychlosti zvis na ase vztahem

v = gt ( 0.23 )

Trajektori volnho pdu je st svisl pmky. Drha je zvisl na ase vztahem

s = 221 gt . ( 0.24 )

TEST 3.3 Jakou rychlost dopadne na zem tleso (ve vzduchoprzdnu) padajc volnm pdem z vky 10 m ? (g = 10 m.s-2) a) 10 m.s-1 b) 98 m.s-1 c) 14 m.s-1 d) 7 m.s-1

Pklad 0.10: (HRW 2.63.) Nkladn stavebn vtah je upevnn na jedinm lan. Lano se nhle petrhne, kdy vtah stoj v nejvym pate budovy, ve vce 120 m. a) Jakou rychlost dopadne kabina na zem? b) Jak dlouho polet? c) Jakou rychlost bude mt prv v polovin vzdlenosti men od vchozho bodu k zemi? d) Za jak dlouho uraz prvn polovinu tto vzdlenosti? een: h = 120 m, a) v = ?, b) t = ?, c)

2hv = ?, d)

2ht = ?

a) Vtah je upevnn ve vce 221 tgh = .

Po petren lana se pohybuje volnm pdem a pro jeho rychlost plat

tgv = . eenm uvedench dvou rovnic dostaneme vztah pro rychlost, kterou vtah zsk tsn ped dopadem na zemi hgv 2= 81,91202 =v m.s-1 = 48,5 m.s-1.

53

a) Nkladn vtah bude padat po dobu gvt =

81,95,48=t s = 4,95 s.

b) V polovin vzdlenosti bude mt vtah rychlost

22 hgv = = hg 12081,9 =v m.s-1 = 34,3 m.s-1.

c) Prvn polovinu vzdlenosti uraz vtah za dobu

gvt=

81,93,34=t s = 3,50 s.

kol 3.8. (HRW 2.65.) Ve vzkumnm stavu pro beztn stav agentury NASA Lewis Research Center je i 145 m vysok experimentln v, z n je vyerpn vzduch. Jednm z experiment, k nim v slou, je voln pd koule o prmru 1 m, ve kter jsou umstny mic pstroje. a) Jak dlouho trv pd koule? b) Jak je jej rychlost tsn ped dopadem na zchytn zazen ve spodn sti ve? c) Pi zchytu je koule brzdna s prmrnm zrychlenm o velikosti 25g a do plnho zastaven. Vypotejte drhu potebnou k zastaven koule.

Je-li hmotnmu bodu udlena v okamiku t = 0 poten rychlost 0vG , pak se jeho pohyb

nazv vrh.

Pro vrh svisl nahoru plat

.konstga == , tgvv = 0 , 200 21 tgtvss += ( 0.25 )

a podobn pro vrh svisl dol

.konstga == , tgvv += 0 , 200 21 tgtvss ++= , ( 0.26 )

kde 0s je drha a 0v rychlost v ase t = 0 s. Pklad 0.11: Stela byla vystelena svisle vzhru rychlost 550 m.s-1. Urete polohu a asov okamik, kdy zvukov vlna stelu dostihne. (Potejte s velikost rychlosti zvuku c = 330 m.s-1 a thovm zrychlenm g = 10 m.s-2.) een: v = 550 m.s-1, c = 330 m.s-1, a) h = ?, t = ?

54

Zvukov vlna se pohybuje pomaleji ne stela, proto zvuk dostihne stelu na zpten cest k zemi. (Z toho plyne, e stela uraz del drhu ne zvuk.) Pro vku, ve kter se stela a zvuk setkaj plat

hs = hz = h.

Stela se pohybuje rovnomrn zrychlen s poten rychlost v0, proto

20 2

1 tgtvh = Zvuk se pohybuje rovnomrn pmoae s konstantn rychlost c, proto

h = ct.

Z uvedench rovnic plat tctgtv = 20 21 ,

odkud pro asov okamik, kdy se stela se zvukem setkaj plat ( )

gcv

t= 02 ( )

103305502 =t s = 44 s

a hledan vka je pak h = c.t = 330.44 m = 14,5.103 m.

kol 3.9. M byl hozen svisle vzhru poten rychlost 20 m.s-1. a) Vypotejte maximln vku, kterou m doshne. b) Za jak dlouho se tleso vrt do msta vrhu?

2.19 ikm vrh

ikmm vrhem nazvme vrh, u kterho smuje vektor rychlosti 0vG ikmo vzhru

(nebo ikmo dol). Pokud hmotn bod umstme do potku O kartzsk soustavy souadnic, pak pro okamik t = 0 plat 0000 === zyx . Bude-li se hmotn bod pohybovat v rovin xy, pak m vektor 0v

G souadnice

cos00 vv x = a sin00 vv y = , ( 0.27 ) kde hel nazvme elevan hel.

55

y

00yvG

0xvG

0vG

xvG

yvG

vG 221

0 gtsintvy =x

2gt21

x

Obr. 0.12: ikm vrh

V libovolnm bod trajektorie v ase 0t m hmotn bod rychlost

cos0vvx = a gtvvy = sin0 . ( 0.28 )

Integrac pedchzejcch rovnic dostaneme parametrick rovnice trajektorie cos0 tvx = ( 0.29 )

2

0 21sin tgtvy = . ( 0.30 )

Vylouenm asu t z rovnic ( 0.29 ) a ( 0.30 ) zskme rovnici trajektorie tohoto pohybu.

Trajektori je oblouk paraboly (s potenm bodem v mst vrhu) o rovnici

222

0 cos2x

vgtgxy = . ( 0.31 )

56

Pklad 0.12: (HRW 4.26.) Pi sopen erupci bvaj z krteru vymrovny velk balvany. Na obrzku je znzornn ez japonskou sopkou Fuji. a) Jak velkou poten rychlost by musely balvany mt, aby pi elevanm hlu 35 D dopadly do bodu B na pat sopky? b) Jak by byla doba jejich letu? V obou ppadech zanedbvme vliv odporu prosted. een: a) v0 = ?, = 35 D , b) t = ? , y = 3300 m, x = 9400 m

a) Z rovnice ( 0.31 ) 222

0 cos2x

vgtgxy =

vyjdme po matematickch pravch poten rychlost

( )ytgxgxv = 2cos0 .

Dosadme zadan hodnoty ( )333

0 103,3(35104,9281,9

35cos104,9

= DD tgv m.s

-1

v0 = 256 m.s-1.

b) Pro x-ovou souadnici plat rovnice ( 0.29 )

cos0 tvx = ,

odkud vyjdme as t, tj. vztah pro vpoet doby letu kamen

D35cos0vxt = D35cos256

104,9 3=t s = 44,8 s.

57

kol 3.10. (HRW 4.26.)

Kmen je vren poten rychlost 20,0 ms-1 pod elevanm hlem 40,0 D . Urete vodorovnou i svislou sloku jeho posunut po uplynut doby 1,10 s od potku pohybu.

Doletem nebo dlkou vrhu rozumme nejvt vodorovnou vzdlenost hmotnho bodu

od msta vrhu. Pro souadnici x = d je v ase dt souadnice y = 0, tzn. e je

021sin 20 = dd tgtv ,

odkud je doba doletu

gv

tdsin2 0=

a po dosazen do rovnice cos0 tvx = dostvme dlku vrhu

gv

d2sin20= . ( 0.32 )

Pklad 0.13: (HRW 4.42.) Celch 23 let odolval svtov rekord Boba Beamona ve skoku do dlky. Teprve na atletickm mistrovstv svta v Tokiu v roce 1991 se podailo Miku Powellovi pekonat jej o plnch 5 cm skokem 8,95 m. Pedpokldejte, e odrazov rychlost pi rekordnm skoku byla 9,5 ms-1 (piblin rychlost bhu sprintera). Thov zrychlen v Tokiu m velikost 9,80 ms-2. Urete nejvt mon dolet skokana v idealizovanch podmnkch, tj. bez odporu prosted. een: x = 8,95 m, v0 = 9,5 ms-1, g = 9,80 ms-2, dmax = ?

Rovnice ( 0.32 ) vyjaduje dlku vrhu, tj. g

vd

2sin20= . Maximln hodnotu dlky vrhu zskme dosazenm maximln hodnoty za goniometrickou funkci 2sin , tj. 1. (Plat pro hel D45= .)

Potom je gv

d20

max = 81,95,9 2

max =d m = 9,21 m.

Rozdl mezi maximlnm doletem (v idealizovanch podmnkch) a skutenm skokem Mika Powella je d = (9,21 8,95) m = 0,26 m.

58

kol 3.11. (HRW 4.37.) V laboratoi provdli speciln men s clem zjistit rychlost fotbalovho me pi prudkm vkopu. Letc m ml ve vce 9,1 m rychlost vG = 7,6 iG + 6,1 jG (daje jsou v metrech za sekundu, smr vektoru i

G je vodorovn a smr vektoru j

G svisl). a) Urete rychlost me pi

vkopu, b) Do jak nejvt vky m vystoupil?

2.20 Vodorovn vrh

Vodorovn vrh meme chpat jako pohyb, kter se skld ze dvou pmoarch pohyb rovnomrnho pohybu rychlost 0v

G ve vodorovnm smru a volnho pdu. Pro rychlost hmotnho bodu pak plat

jtgivvGGG = 0 ( 0.33 )

y

x0

h

0vG

xvG

yvG

vG

2gt21

2gt21hy =

x Obr. 0.13: Vodorovn vrh.

Zvolme-li souadnicovou soustavu Oxy tak, e souadnice msta vrhu jsou 00 =x

a hy =0 (Obr. 0.13) a rychlost 0vG m smr osy x, pak souadnice libovolnho bodu trajektorie jsou

tvx 0= , 221 tghy = .

( 0.34 )

TEST 3.4 Trajektori vodorovnho vrhu je a) parabola b) pmka c) st elipsy d) st krunice

59

Pklad 0.14: (HRW 4.53.) a) Pi podn odplil tenista mek vodorovn rychlost o velikosti 23,6 ms-1. K deru dolo ve vce 2,37 m nad povrchem kurtu. V jak vce pelet mek nad hornm okrajem st, je-li s ve vzdlenosti 12 m a je vysok 0,90 m?

een: v0 = 23,6 ms-1, H = 2,37 m, x = 12 m , h = 0,90 m, h1 = ?

0

H

y

h

y0

h1=H-h-y0

x

x

0vG

Z obrzku vyplv, e vka h1, ve kter prolet mek nad st se vypot z rozdlu

h1 = H h y0,

kde neznmou vku y0 zskme eenm rovnic

tvx 00 = a 20 21 tgy = (z x0 vyjdme t a dosadme do y0)

20

20

0 2vxg

y = 22

0 6,2321281,9 =y m = 1,27 m.

Mek pelet nad hornm okrajem st ve vce h1 = H h y0 = (2,37 0,90 1,27) m = 0,20 m. kol 3.12. (HRW 4.52.) M je vren vodorovnm smrem z msta ve vce 20 m nad zem. Na zem dopadne trojnsobnou rychlost. Jak byla jeho poten rychlost?

2.21 Rovnomrn pohyb po krunici

Jestlie se smr rychlosti hmotnho bodu mn, kon hmotn bod pohyb kivoar. Specilnm ppadem kivoarho pohybu je pohyb po krunici. S pohybem hmotnho bodu po krunici se v praxi setkvme asto, nap. u bod na obvodu kola s nehybnou osou, u bod na obvodu setrvanku apod.

60

Obr. 0.14: Rovnomrn pohyb po krunici

Ope-li hmotn bod pi pohybu po krunici (Obr. 0.14) o polomru r v dan rovin mezi body A, B oblouk o dlce s, pak mu meme piadit hel o velikosti . Velikost hlu, tzv. hlovou drhu, mme v radinech. (1 radin je hel, ktermu odpovd oblouk stejn dlky, jako je polomr krunice. Je jednotkou obloukov mry. Pln hel 360o m velikost 2 radin.)

Mezi hlovou drhou a drhou s plat vztah

= rs ( 0.35 ) a pro velikost rychlosti hmotnho bodu plat

v = ts

. ( 0.36 )

Pro pohyb hmotnho bodu po krunici je poteba tak zavst dal rychlost, tzv. hlovou rychlost. hlovou rychlost urujeme jako podl hlov drhy a odpovdajc doby pohybu t

t= ( 0.37 )

Jednotkou hlov rychlosti je radin za sekundu (rad.s-1). (Ponvad je radin doplkov jednotka SI, dosazujeme pi vpotech jednotku s-1.)

Mezi rychlostmi v a plat vztah

v = r . ( 0.38 )

Kon-li hmotn bod rovnomrn pohyb po krunici, nemn se jeho hlov rychlost.

Dal dleitou veliinou pro popis pohybu hmotnho bodu po krunici jsou obn doba neboli perioda T a frekvence f. Perioda T je doba, za kterou ope hmotn bod celou krunici, tj. uraz drhu 2 r. Jej jednotkou je sekunda (s).

A

B

vG

vG s

r S

61

Pevrcen hodnota periody frekvence f je dna potem obh hmotnho bodu po krunici za jednotku asu

Tf 1= ( 0.39 )

Jednotkou frekvence je hertz a m znaku Hz, piem plat Hz = s-1. (Pi frekvenci

1 Hz vykon hmotn bod jeden obh za 1 sekundu.)

Obn doba T a frekvence f maj u rovnomrnho pohybu po krunici stl hodnoty. Pohybm, kter se pravideln opakuj, kme pohyby periodick. Proto rovnomrn pohyb po krunici je pohyb periodick.

hlovou rychlost meme vyjdit pomoc periody T nebo frekvence f nsledujcmi vztahy

fT

22 == ( 0.40 )

Obr. 0.15: Dostediv (normlov) zrychlen. U rovnomrnho pohybu po krunici se sice nemn velikost rychlosti, ale mn se jej smr Obr. 0.15). To znamen, e se hmotn bod pohybuje se zrychlenm. Toto zrychlen smuje do stedu krunice a nazv se dostediv (normlov) zrychlen

rad2= nebo

rvad

2

= . ( 0.41 ) Z tchto vztah vidme, e velikost dostedivho zrychlen da roste s druhou mocninou hlov rychlosti nebo rychlosti v. TEST 3.4 Velikost hlov rychlosti kola automobilu o polomru 0,3 m, jedoucho rychlost 72 km.h-1, je a) 35,3 s-1 b) 66,6 s-1 c) 33,3 Hz d) 42,4 Hz

vG

vG s

r

daG

S

62

Pklad 0.15: (HRW 4.65.) Kosmonaut se ot na centrifuze s polomrem 5,0 m ve vodorovn rovin. a) Jakou rychlost se pohybuje, m-li dostediv zrychlen velikost 7,0g? b) Kolikrt za minutu se centrifuga oto? c) Jak je perioda jejho pohybu? een: R = 5,0 m, a) v = ?, ad = 7,0g, b) t

n = ?, c) T = ?

a) Rychlost pohybu kosmonauta vyjdme ze vztahu pro dostediv zrychlen

Rvad

2

= ,

odkud je daRv = a po vyslen 81,90,70,5 =v m.s-1 = 19 m.s-1. b) Jestlie kosmonaut vykon n otek za dobu t (minutu), pohybuje se rychlost

tRnv 2= ,

odtud je hledan poet otek za minutu tn =

Rv

2

tn =

600,52

19 otek.min

-1 = 35 otek.min-1.

c) Perioda tohoto pohybu je

2=T , kde

Rv= .

Odtud v

R

Rv

T 22 == , po vyslen je 19

0,522 == v

RT s = 1,7 s.

kol 3.13. (HRW 4.63.) Vrtule ventiltoru se ot 1 200krt za minutu. Sledujme bod na konci listu vrtule ve vzdlenosti 0,15 m od osy oten. a) Jakou drhu ope tento bod pi jedn otce vrtule? b) Jak je velikost jeho rychlosti? c) S jakm zrychlenm se pohybuje? d) Jak je perioda jeho pohybu?

kol 3.14. Setrvank kon 450 otek za minutu. Urete velikost normlovho zrychlen bod setrvanku, kter jsou ve vzdlenosti 10 cm od osy oten. Kolikrt se zvt velikost zrychlen tchto bod, zvt-li se poet otek na dvojnsobek?

63

2.22 Rovnomrn zrychlen (zpomalen) pohyb po krunici

Analogicky se vztahy pro rychlost v a drhu s rovnomrn zrychlenho pohybu po pmce, lze zapsat vztahy pro hlovou rychlost a hlovou drhu pohybu po krunici. Konstantn hlov zrychlen definujeme vztahem

tdd = ( 0.42 )

Jednotkou hlovho zrychlen je radin za sekundu rad.s-2.

Pro hlov rychlosti a hlov drhy plat nsledujc vztahy

Pohyb rovnomrn zrychlen Pohyb rovnomrn zpomalen

t += 0 t = 0

200 21 tt ++= 200 2

1 tt +=

Ponvad se u rovnomrn zrychlenho (zpomalenho) pohybu mn smr i velikost rychlosti vG , je ten zrychlen 0GG ta a celkov zrychlen je

nt aaaGGG += ( 0.43 )

Zde velikost ten a normlov slok