GIAÛI TÍCH 11...Chöông 5 : Ñaïo haøm 3 b) y = f ( x ) = 21 2 x x + + taïi xo = 1 Giaûi : a)...

Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa

GIAÛI TÍCH 11

www.saosangsong.com.vn

Chöông 5 : Ñaïo haøm


2

CHÖÔNG V. ÑAÏO HAØM §1 . Ñaïo h ïo haøm . aøm & yù nghóa hình hoïc cuûa ña

A . Toùm taét giaùo kh Cho haøm soá y = f ( x ) xaùc ñònh treân khoûang (a,b) vaø xo thuoäc

o o õa

oa . taïi moät ñieåm :1 . Ñaïo haøm cuûa haøm soá

khoûang ( a , b ) . Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f ( x ) taïi ñieåm x , kyù hieäu laø f’ ( x ) , laø giôùi haïn höõu haïn (neáu coù) cuûa tæ soá giösoá gia cuûa haøm soá yΔ vaø soá gia cuûa bieán soá xΔ taïi ñieåm xo khi soá gia cuûa bieán soá daàn tôùi 0 :

x 0 0

( ) ( ) ( ) ( )'( lim im limo o o) lx o

o x x xo

f x f x f x x f xyf x − + Δ −x x x→ Δ → Δ →

Δ= = =

− Δ Δ

Chuù yù : Neáu haøm i soá y = f ( x ) coù ñaïo haøm taïi ñieåm xo thì haøm soá naøy lieân tuïc taïi ñ eåm xo 2 . Ñaïo haøm cuûa haøm soá treân moät khoảng :

) . D laø moät khoảng ( hay hôïp cuûa nhieàu khoảng Haøm soá y = f ( x ) coù ñaïo haøm treân D khi noù coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm xo thuoäc D .

öôïc goïi laø ñaïo

Khi ñoù ta coù moät haøm soá xaùc ñònh treân D : y’ = f’( x ) vôùi moïi x thuoäc D . Haøm soá naøy ñhaøm cuûa haøm soá y = f ( x ) . Ñaïo haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp :

1

0 ,( ) '( ) 1 ,( ) ( , 2) '( ) ,

1( ) '( ) ,2

n n

( ) '( )f x C f x x Rf x x f x x Rf x x n N n f x nx x R

x x f x x Rx

−

+

= ⇒ = ∀ ∈= ⇒ = ∀ ∈

= ∈ ≥ ⇒ = ∀ ∈

= ⇒ = ∀ ∈f

(C laø moät haèng soá)

cuûa ñaïo haøm : Cho haøm soá y = . YÙ nghóa hình hoïc3

M

x0

f(x0)

ϕ

Heä soá goùc cuûa tieáp f ( x ) coù ñaïo haøm taïi ñieåm xo , ñoà thò cuûa haøm soá laø ( C

) . Ñònh lyù : Ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi ñieåm x laø heä soá goùc

tuyeán tanϕ = f’(x0)

o

o

o 0

cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò ( C ) taïi ñieåm Mo( xo , f(xo)) thuoäc ( C ) Nhö theá , phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M ( xo , yo) thuoäc ( C ) coù daïng : ( t ) : y = f’( xo) ( x – x ) + f(x ) .

B . Giaûi toùan .Daïng 1 : Tính đạo hàm của hàm số tại x0 .

Ta thöôøng thöïc hieän caùc böôùc sau : Cho xo moät soá gia xΔ vaø tinh soá gia yΔ .

Laäp tæ soá y ( ) ( ) (o ) ( )o o

o

fx

Δ=

Δx x f xx x x

+ −− Δ

vaø tìm giôùi haïn cuûa tæ soá naøy khi .

o). Giôùi haïn naøy, neáu coù, laø ñaïo haøm f’(x

Ví duï : Tính đạo của caùc haøm soá sau taïi xo

o

f x f x− Δ= 0xΔ →

(hay x → x o) cuûa haøm soá taïi ñieåm xo .

töông öùng :

f ( x) = x2a) y = + 3x – 1 taïi x = 2



3

b) y = f ( x ) = 2 1

2x

x+

+ taïi xo = 1

Giaûi : a) Cho xo = 2 moät soá gia xΔ , ta coù :

( ) ( )

2 2

2 2

( ) ( ) (2 ) 3(2 ) 1 2 3.2 1

[4 4 6 3 1] 9 7

o oy f x x f x x x

x x x x x

⎡ ⎤ ⎡Δ = + Δ − = + Δ + + Δ − − + −⎣ ⎦ ⎣

= + Δ + Δ + + Δ − − = Δ + Δ

⎤⎦

Suy ra: x 0

( x) 7 lim = 7 x x y y

Δ →

Δ Δ= Δ + =>

Δ Δ. Vậy f’(2) = 7.

Cách trình bày khác: Ta có:

2 2(x) - f(2) (x + 3 x 1) - 9 x +3x -10 x 2 x 2 x 2

(x 2)(x +5) x 5x 2

f −= =

− −−

= = +−

−

Suy ra: x 2

(x) - f(2) lim 2 5 7x 2

f→

= + =−

. Vậy đạo hàm f’(2) = 7.

b) Cho xo moät soá gia , ta coù : ( )ox saocho x xΔ + Δ 2≠ −

2(1 ) 1(1 ) (1) 1(1 ) 2

[2(1 x) +1] [(1 x)+2] x (1 ) 2 3 x

1x 3+ x

xy f x fx

xy

+ Δ +Δ = + Δ − = −

+ Δ ++ Δ − + Δ Δ

= =+ Δ + + Δ

Δ=> =

Δ Δ

Trình baøy khaùc:

1

2 1 1( ) (1) 121 1 ( 1)(

( ) (1) 1 1lim1 1 2 3x

xf x f xx

Suy ra: x 0

1limx 3y

Δ →

Δ=

Δ. Vậy f’(1) = 1/3 .

Daïng toùan 2 : Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá . Ta thöôøng thöïc hieän caùc böôùc sau : Goïi x0 laø moät giaù trò thuoäc taäp xaùc ñònh cuûa f.

Tính ñaïo haøm f’(x0) theo xo. Thay x baèng xo ta ñöôïc ñaïo haøm f’(x).

Ví duï 1 : Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau :

a) y = x3 + 3x – 2 . b) y = 21

xx

++

. c) 1( )y f xx

= = .

Giaûi : a) Cho xo moät soá trò baát kì cuûa x, ta coù :

3 3

3 3 2 2

2 2

( ) ( ) ( 3 2) ( 3 2)

( ) 3( ) ( )[( ) 3]( ) ( ) 3

o o o

o o o o o

oo o

o

y f x f x x x x x

x x x x x x x xx xf x f xy x xx x

x x x

Δ = − = + − − + −

= − + − = − + + +

−Δ=> = = + + +

Δ −

2 2

0'( ) lim 3 3 3o o o o ox

yf x x x x x x 2oxΔ →

Δ= = + + + =

Δ+ .

Vaäy f’( x ) = 3 x2 + 3 . b) Ta coù :

x x x xf x f

x→

+−− −+= =

− − − +−

=> = =− +

Vaäy f’(1) = 1/3.



4

20

2 ( )2( ) ( )1 1 ( 1)( 1)

1( 1)( 1)

1 1'( ) lim lim( 1)( 1) ( 1)o

o oo

o o

o

o x x xo o

x x xxy f x f xx x x x

yx x x

yf xx x x xΔ → →

+ − −+Δ = − = − =

+ + + +Δ

=> = −Δ + +

⎛ ⎞Δ=> = = − = −⎜ ⎟Δ + +⎝ ⎠ +

Vaäy f’(x) = 2

1( 1)x

−+

c) Ta coù :

0 0

1 1( ) ( ).

. ( )1 1'( ) lim lim

. ( ) 21'( )

2

o oo o

o o o o

o o o o

o x xo o o o o o

x x xy h x x h x

x x x x x xx

x x x x x xyy xx x x x x x x x x

hay y xx x

Δ → Δ →

− + ΔΔ = + Δ − = − =

+ Δ + Δ

−Δ=

+ Δ + + Δ

Δ − −= = =

Δ + Δ + + Δ

−=

Daïng toaùn 3 : Tieáp tuyeán vôùi ñoà thò cuûa haøm soá y = f ( x ) taïi ñieåm M. Söû duïng coâng thöùc : Phöông trình cuûa tieáp tuyeán taïi M laø: y = f’ (xo) (x – xo) + f(xo) . Ta thöôøng gaëp caùc tröôøng hôïp sau: a) Cho hoaønh ñoä x0 (hay tung ñoä f(x0) cuûa ñieåm M) : ta phaûi tìm f(x0) (hay x0) vaø f’(x0), roài aùp duïng coâng thöùc . b) Cho bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng k : Giaûi phöông trình f’(xo) = k ta tìm ñöôïc xo , suy ra f(x o ). Roài aùp duïng coâng thöùc.

M

x0

f(x0)

A

c) Cho bieát tieáp tuyeán vôùi ( C ) qua moät ñieåm cho tröôùc A ( xA , yA ) : Ta thöïc hieän caùc böôùc sau :

Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm M ( x0 ; f(x0)) baát kì theo aån x0 laø (t ) : y = f’(xo) ( x – xo) + f(x0) .

Tieáp tuyeán naøy qua A neân : yA – yo = f’(xo) (xA – xo) .

Giaûi phöông trình naøy ( aån laø xo ) ta tìm ñöôïc xo. Suy ra PT tieáp tuyeán caàn tìm.

Ví duï 1 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá y = f ( x ) = x2 bieát a) Tieáp ñieåm coù hoøanh ñoä baèng – 3 b) Tieáp tuyeán naøy song song vôùi ñöôøng thaúng d : y = 2x + 3 . c) Tieáp tuyeán naøy ñi qua ñieåm A (- 1 , - 3) Giaûi : a)Ta coù : y’ = f’(x) = 2x . xo= - 3 , suy ra yo= (- 3)2 = 9 ; f’(xo) = 2(-3) = -6 . Vaäy phöông trình cuûa tieáp tuyeán naøy laø : y = - 6( x + 3) + 9 hay y = - 6x - 9 .



5

b) Phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm (xo, yo) thuoäc ( C ) coù daïng : y = 2xo(x –xo) + x02 . Tieáp

tuyeán naøy song song vôùi d : y = 2x + 3 neân : 2xo = 2 (hai ñöôøng thaúng song song coù heä soá goùc baèng nhau) hay xo= 1 . Vaäy phöông trình cuûa tieáp tuyeán naøy laø : y = 2( x – 1) + 1 hay y = 2x – 1 . c)Phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm (xo , yo) thuoäc ( C ) coù daïng : y = 2xo(x – xo) + x0

2 y = 2 xox – x02 (1)

Tieáp tuyeán naøy qua A(-1, -3) neân : - 3 = 2xo ( -1) – x02

xo2 +2xo- 3 = 0 .

xo= 1 hay xo= - 3 . Theá vaøo (1), ta ñöôïc y = 2x – 1 hay y = -6x – 9 . Coù 2 tieáp tuyeán cuûa (C) ñeàu qua ñieåm A.

Ví duï 2 : ( C ) laø ñoà thò cuûa haøm soá 12

xyx

+=

− vaø cho bieát : 2

3'( 2)

yx

−=

−

a) Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát tieáp ñieåm coù tung ñoä baèng 4 . b) Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát tieáp tuyeán naøy vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d : 3y – x + 1 = 0 . c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä x0 döôùi daïng y = ax + b Aùp duïng: tìm treân O x nhöõng ñieåm A sao cho khoâng coù tieáp tuyeán naøo cuûa (C) ñi qua.

Giaûi :

Ta coù : haøm soá xaùc ñònh khi vaø 2x ≠ 2

3'( 2)

yx

−=

− .

a) 01( ) 4 4 4 8 1 32

oo o o

o

xf x x x xx

+= ⇔ = ⇔ − = + ⇔ =

− .

Tieáp ñieåm laø T(3, 4) , heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi T laø : y’(3) = - 3 . Vaäy phöông trình cuûa tieáp tuyeán taïi T laø : y = - 3( x – 3) + 4 y = - 3x + 13 .

b) d: y = 1 13 3

x − => heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng d laø 13

. Goïi k laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán phaûi tìm , ta coù

: 1. 1 33

k k= − ⇔ = − ( vì 2 ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi nhau khi tích soá 2 heä soá goùc baèng -1 ) .

Goïi xo laø hoøanh ñoä tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán naøy , ta coù : y’(xo) = - 3

( )22

3 ( ) 43 3 2 11 ( ) 2( 2)

o oo

o oo

x f xx

x f xx= => =⎡−

⇔ = − ⇔ − = ⇔ ⎢ = => = −− ⎣

Vaäy phöông trình tieáp tuyeán laø : y = - 3(x – 3) + 4 y = - 3x + 13 Hay : y = - 3(x –1) – 2 y = -3x + 1 .

c) Phöông trình tieáp tuyeán taïi M : y = f’(xo)(x – x0) + f(xo) = 2

13 ( )( 2)

oo

o o

xx xx x

+− − +

2− −

y = 2 2

3 ( 1)( 23( 2) ( 2)

o o o

o o

x x xxx x

+ + −− +

− −)

y = - 2

3( 2)o

xx −

+ 2

2

2( 2)

o o

o

x xx+ −

−2

(1)

* Goïi A(a, 0) laø ñieåm treân truïc Ox. Tieáp tuyeân qua A (1) thoûa vôùi x = a vaø y = 0



6

0 = 2

2

3 2 2( 2)

o o

o

a x xx

− + + −−

2 2 2 3 0 (2) ( 2)o o ox x a x+ − − = ≠

Khoâng coù tieáp tuyeán naøo qua A (2) VN hay (2) coù nghieäm keùp baèng 2

2

' 3 3 0 1' 3 3 0 11

22 4 2 3 0

a aa aa

aa

Δ = + < < −⎡ ⎡⎢ ⎢Δ = + = <=> <=> < −= −⎧ ⎧⎢ ⎢⎨ ⎨⎢ ⎢ =+ − − = ⎩⎩ ⎣⎣

C . Baøi taäp reøn luyeän . 5.1 . Tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau taïi giaù trò xo töông öùng a) y = 2x2 + 3x taïi xo= 2 . b) y = 4x3 + x2 – 2x taïi xo = 1.

c) y = 2

1xx+

taïi x0 = 1 d) y = 1

4x + taïi xo = 0

5.2 . Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

a) y = (x – 3)2 b) y = 2 5

3xx

−+

c) y = x 1x −

5.3 .Cho bieát haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x = a laø f’(a) , tìm caùc giôùi haïn sau :

0 0

( 4 ) ( ) ( 2 ) ( 3 )) lim ) limh h

f a h f a f a h f a ha bh h→ →

+ − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) 2 2( ) ( )lim( )

x a

x f a a f xx a→

−−

5.4 . ( C ) laø ñoâ thò cuûa haøm soá y = x . a) Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm M thuoäc ( C ) coù hoøanh ñoä baèng 1 . b) Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm N thuoäc ( C ) coù tung ñoä baèng 2 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến qua điểm

5.5 . ( C ) laø ñoà thò cuûa haøm soá : 2 3

3x xy

x+ +

=+

a) Chöùng minh ñaïo haøm: 2

2

6'( 3)x xyx

+=

+

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi giao ñieåm cuûa ( C ) vôùi ñöôøng thaúng d : y = 5. c)* Goïi M , N laø 2 ñieåm treân ( C ) sao cho tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M , N song song vôùi nhau . Hai ñieåm M , N seõ ñoái xöùng vôùi nhau qua ñieåm coá ñònh naøo ? D . Höôùng daãn – Ñaùp soá .

5.1. a) f’(2) = 11 b) f’(1) = 12 c) f’(1) = - 33 d) f’(0) = - 1/16

5.2. a) y’ = 2(x – 3) b) y’ = 2

11( 3)x +

c) y’ 3 2

2 1xx−

=−

[ ]0 0

0

( 4 ) ( ) ( ) ( )5.3. ) lim lim 4 4 '( ) ( 4 )

( 2 ) ( ) ( 3 ) ( )) lim 2 '( ) 3 '( ) 5 '( )

x x

h

f a h f a f a x f aa f a x hh x

f a h f a f a h f ab f a f a f a

h

Δ → Δ →

→

+ − ⎡ + Δ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = Δ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤+ − − − −

= + =⎢ ⎥⎣ ⎦



7

[ ]

( )

2 2 22 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )) lim lim

( ) ( )lim ( ) lim . 2 ( ) '( )

x a x a

x a x a

x a f a a f x f ax f a a f xcx a x a

f x f ax a f a a af a a f ax a

→ →

→ →

⎡ ⎤− − −⎡ ⎤−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤= + − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

5.4 . 1 1) ( 1) )2 4

a y x b y x= + = +1

tiếp tuyến tại điểm (x0 ; xo ) của © là : y = 1 (x x )+ x

2 x o oo

− c) Phương trình

y = xx 22 x

o

o

+

Tiếp tuyến qua điểm (8 ; 3) 3 = x8 x - 6 x + 8 = 0 22 x

oo o

o

+ <=>

x 2 xo hay= 4o = x0 = 4 hay xo = 16.

Vậy coù hai tiếp tuyến y = 1 14

x + hay y = 1 28

x +

5.5 . a) Phöông trình hoøanh ñoä giao ñieåm cuûa d vaø ( C ) :

22 23 5 4 12 0

63xx x x xxx= −⎡+ +

= ⇔ − − = ⇔ ⎢ =+ ⎣

Vôùi x = - 2 : y’ = - 8 => Phöông trình tieáp tuyeán laø : y = - 8x – 11 .

Vôùi x = 6: Phöông trình tieáp tuyeán laø : 8 19 3

y x= −

( )

.

b) Goïi k laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M , N vaø x1 , x2 laø hoøanh ñoä tieáp ñieåm M , N , ta coù :

( )

2 21 1 2 2

2 21 2

6 63 3

x x x x kx x

+ += =

+ +

( )

hay x1 , x2 laø nghieäm cuûa phöông trình

22 1 2

26 6( 1)( 1) 6( 1) 9 0 3

2 2( 1)3x xx x kk k x k x k

kx++ − −

= ⇔ − + − + = ⇒ = = −−+

(*)

Vaäy hoøanh ñoä trung ñieåm I cuûa MN baèng – 3 . Tung ñoä trung ñieåm I laø :

( )( )( )

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 1

2 21 2 1 21 2 1 2 1 2

1 1 1

2 1 1 2 2 1

3 3 3 31 12 2 3 3 2 3 3

1 5( ) 52 3 2( 3) 2( 3)

( (*) : 3 ( 3); 2( 3) 2( 3) )

M NI

y y x x x x x x x xyx x x x

x x x xx x x x x xx x x

do cho x x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + += = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + +− + − − −= = = = −

+ + +

+ = − + − = − + = +

Hai ñieåm M , N nhaän I ( - 3 , - 5 ) laøm trung ñieåm neân ñoái xöùng qua I coá ñònh . Toùm laïi , 2 ñieåm M , N treân ( C ) coù tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M , N song song vôùi nhau thì luoân ñoái xöùng qua ñieåm I ( - 3 , - 5 ) .



8

§2 . Quy taéc tính ñaïo haøm . Haøm soá Ñaïo haøm

y = u+v-w y ’ = u’+v’- w’ y = uv y ’ = u’v + uv’ y = ku y ’ = ku’

Y = uv

y ’ = 2

'u v uvv−

A Toùm taét giaùo khoa . 1 . Caùc quy taéc tính ñaïo haøm . (u = u(x) , v = v(x) , w = w( x) coù ñaïo haøm vaø k laø moät haèng soá ) B . Gæai toùan . Daïng toùan 1 : Tính ñaïo haøm baèng coâng thöùc . Xeùt xem haøm soá cho thuoäc daïng naøo : y = u + v

– w ; y = u.v ; y = uv

hoaëc y laø haøm soá hôïp

[ ]( )y f u x= ( u , v , w laø nhöõng haøm soá thöôøng

gaëp ) vaø aùp duïng caùc coâng thöùc tính ñaïo haøm .

'

Y = k y’ = 2

'kv−

v v

y = f[u( x)] y ’ = f’[u(x)]u’( x ) Y = un y ’ = n.un – 1 . u’ y = u y ‘ =

'2u

u


a) y = 3x4- 2x3 + 5x - 2 b) y = 2

53 xx

− c) y= ( 2x3—x2) ( 3x + 2 ) d) y = 2 33 1xx

−+

.

Giaûi : a) Haøm soá cho coù daïng y = u + v – w , do ñoù : y’ = 3( x4)’ – 2( x3)’ + 5( x)’ – ( 2 )’ = 12x3 – 6x2 + 5 .

b) Töông töï , ta coù : y’ = 2 33

3 3 3 105( ) ' 102 2 2

x xxx x x

− −− = + = +

c) Haøm soá cho coù daïng : y = u.v , do ñoù : y’ = (2x3-x2)’(3x + 2 ) + (2x3-x2) (3x +2)’ = (6x2-2x) (3x + 2) +( 2x3 – x2) .3 = 24x3+ 3x2 – 4x .

d) Haøm soá cho coù daïng : uyv

= , do ñoù :

y’=( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )2 2 2

2 3 ' 3 1 2 3 3 1 ' 2 3 1 2 3 .3 113 1 3 1 3 1

x x x x x xx x x

− + − − + + − −= =

+ + +

( ) ( )


( )5 32 3 2

62

22 3 2 3 5

4) 3 1 ) 3 2 )1

(2 1)) 2 1 ) (2 1) ( 6) )2

a y x x b y x x c yx

xd y x x x e y x x f yx

= + + = + + =+

−= + + = − + =

+

Giaûi : a) Haøm soá cho coù daïng : y = u5 , do ñoù : y’ = 5u4u’ = 5( x2+ 3x + 1)4(x2 +3x + 1 )’= 5(x2+3x +1 )4(2x + 3)



9

( )( )

( ) ( )( )

b) Haøm soá cho coù daïng :

5 43 2 3 2 2

5 3 23 2

3 2 ' 5 3 2 3 6''2 2 3 22 3 2

x x x x x xuy u yu x xx x

⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ = = =+ ++ +

c) Haøm soá cho coù daïng : ( )

( )( )

( ) ( )

6 52 2

12 12 72 2 2 2

4 1 ' 24 1 .24 4 ' 48'1 1 1

x x xv xy yv v x x x

⎡ ⎤− + − +− −⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ = = = =+ + +

d) Haøm soá cho coù daïng : y = u.v , do ñoù :

( ) ( )2

2 3 2 2 3 2 3 2 2

3 2

3 2 2 2 4 3

3 2 3 2

6 2' ' 2 1 2 1 ' 2 2 12 2 1

2 (2 1) (3 ) 7 3 22 1 2 1

x xy x x x x x x x x x xx x

x x x x x x x x xx x x x

+= + + + + + = + + +

+ ++ + + + + +

= =+ + + +

e) y’ = [(2x – 1)3]’ (x + 6)5 + (2x – 1)3[(x + 6)5]’ = 6(2x – 1)2(x + 6)5 + (2x – 1)3 (x + 6)4 = (2x – 1)2(x + 6)5(8x + 35)

22 2

2

14(2 1) 2 (2 1)[(2 1) ]' 2 (2 1) .[ 2]' 2 2'

2 28(2 1)( 2) (2 1) (2 1)(6 17)

2( 2) 2) 2( 2) 2

x x xx x x x xy

x xx x x x x

x x x x

− + − −− + − − + += =

+ +− + − − − +

= =+ + + +

f)

Ví duï 3 : Cho haøm soá : ax bycx d

+=

+ . Chöùng minh raèng : 2'

( )ad bcycx d

−=

+ .

AÙp duïng coâng thöùc naøy , tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau : 33 2 3 5) ) ) )

2 1 2 1 2 3x x xa y b y c y d yx x x x

− − −⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠

( ) ( ) ( )( )( )

Giaûi : ( ) ( )

( )Ta coù :

( )2 2 2

' ' .'

ax b cx d ax b cx d a cx d ax b c ad bcycx d cx d cx d

+ + − + + + − + −= = =

+ + +

( )

a) a = 3 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 1 27'

2 1y

x +⇒ =

b) a = -1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 2 ( )2

5'2

yx

−⇒ =

+

c) Ñaët u = x

: a = 1 ; b = 0 ; c = 1 ; d = 1 ( )2

1'1

ux

−⇒ =

x 1− −

Vaø y = u3 => y’ = 3u2u’ = 2 2

2 4

1 33. x .1 ( 1) ( 1)

xx x x

− −⎛ ⎞ =⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

d) Ñaët u = 5

2 3x +: a = 0 ; b = 5 ; c = 2 ; d = 3 2

10'(2 3)

ux−

⇒ =+

Vaø y = 2

10' (2 3)'

2 522 3

u xu yu

x

−+=> = =

+

= - 5

(2 3) 2 3x x−

+ +



10

Daïng toùan 2 : Moät soá baøi toùan coù lieân quan ñeán ñaïo haøm . Ví duï 1 : Cho haøm soá : y = x3 + 3x2 +10x – 3 , doà thò laø ( C ) . Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc nhoû nhaát . Giaûi : Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi tieáp ñieåm coù hoøanh ñoä x laø : y’ = 3x2 + 6x +10 = 3 ( x + 1)2 +7 ; daáu “ = “ xaûy ra khi x = - 1 . 7≥Vaäy trong taát caû caùc tieáp tuyeán vôùi ( C ) , tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng 7 laø tieáp tuyeán coù heä soá goùc nhoû nhaát öùng vôùi x 0 = - 1 => f(x9) = f(- 1) = - 11. Phöông trình tieáp tuyeán laø : y = 7 ( x + 1 ) – 11 hay : y = 7x –4 . Ví duï 2* : f(x) laø moät ña thöùc thoûa heä thöùc : f’(x).f(x) = f’(x) + f(x) +2x3 + 2x2 – 1 (1) a) Ña thöùc f(x) coù baäc baèng bao nhieâu ? b) Xaùc ñònh ña thöùc f(x) . Giaûi : a) (1) thaønh : f’(x).f(x) – f’(x) – f(x) + 1 = 2x3 + 2x2 hay : ( f(x) – 1 ) ( f’(x) – 1 ) = 2x3 + 2x2 . Goïi n laø baäc cuûa ña thöùc f(x) thì baäc cuûa ( f(x) - 1 ) cuõng laø n ; baäc cuûa ( f’(x) – 1 ) laø n – 1 . Vaäy baäc cuûa ña thöùc ôû veá traùi n + n – 1 . Do ñoù : 2n – 1 = 3 ( baäc cuûa ña thöùc ôû veá phaûi ) . Suy ra n = 2 . Toùm laïi , ña thöùc f(x) coù baäc baèng 2 . b) Nhö theá f(x) coù daïng : f(x) = ax2 + bx +c . Suy ra : f’(x) = 2ax + b . (1) thaønh : ( ax2 + bx + c – 1) ( 2ax + b – 1 ) = 2x3 + 2x2 hay 2a2x3 + ( 3ab – a )x2 + ( 2ac – 2a + b2 – b )x + ( b – 1 ) ( c – 1 ) = 2x3 + 2x2 . Do ñoù :

2

2

2 21

3 21

2 2 01

( 1)( 1) 0

aa

ab ab

ac a b bc

b c

⎧ ==⎧⎪ − =⎪ ⎪⇔ =⎨ ⎨

− + − =⎪ ⎪

=⎩⎪ − − =⎩

Vaäy : f(x) = x2 + x + 1 . Ví duï 3 : f(x) laø moät ña thöùc coù baäc lôùn hôn hay baèng 2 . Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå f(x) chia heát cho ( x—a )2 laø : f(a) = f’(a) = 0 . AÙp duïng : Chöùng minh raèng ña thöùc f(x) sau chia heát cho ( x – a )2 . f(x) = nxn+1 – ( n + 1) axn +an+1 . Giaûi : Ñieàu kieän caàn : f(x) chia heát cho ( x – a )2 neân : f(x) = ( x – a )2 .g(x) . Suy ra : f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a )2. g’(x) . Do ñoù : f(a) = f’(a) = 0 . Ñieàu kieän ñuû : Chia f(x) cho ( x – a )2 , ta coù : f(x) = ( x – a )2. g(x) + Ax + B . Suy ra : f’(x) = 2( x – a ) .g(x) + ( x – a )2 . g’(x) + A .

0 0( ) '( ) 0

0 0Aa B A

f a f aA B+ = =⎧ ⎧

= = ⇔ ⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩

Vaäy : f(x) = ( x – a )2 g(x) hay f(x) chia heát cho ( x – a )2 . AÙp duïng : f(a) = nan+1 – ( n + 1 ) a.an + an+1 = nan+1 – nan+1 – an+1 + an+1 = 0 . f’(x) = n ( n + 1 ) xn – n ( n + 1 )a xn-1 ; f’(a) = n2an + nan - n2an – nan = 0 . Vaäy f(x) chia heát cho ( x – a )2 .



11

Ví duï 4* : Cho haøm soá : 2 2x mx my

x m− +

=+

( m laø tham soá khaùc 0 ) , ñoà thò laø ( C ) .

a) Goïi A(xA , 0 ) laø moät ñieåm chung cuûa ( C ) vaø truïc Ox .Chöùng minh raèng tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A coù

heä soá goùc baèng 2 2A

A

x mk −x m

=+

.

b) Ñònh m ñeå ( C ) caét Ox taïi 2 ñieåm A , B phaân bieät vaø tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A vaø B vuoâng goùc vôùi nhau .

Giaûi : a) Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A baèng k = y’(xA) . Maø :

2

2

2

22

(2 2 )( ) ( 2 )' .( )

(2 2 )( ) 2 2'( )( )

2( 0 2

A A AA

A A

A AA A

A

x m x m x mx my Suy rax m

x m x m x my xx m x m

x mx mdo y x mx mx m

− + − − +=

+− + −

= =+ +

− += = ⇔ − + =

+

:

0)A

Vaäy tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A coù heä soá goùc baèng k = 2 2A

A

x mx m

−+

b) ( C ) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät A , B khi phöông trình 2 2 0x mx m

x m− +

=+

1

coù 2 nghieäm phaân bieät hay

phöông trình x2 – 2mx + m = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät hay : 2' 0 0m m m hay mΔ = − > ⇔ < > .

Hai tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A , B vuoâng goùc khi : 2

2

2 22

2 2

2 2 2 2 4 . 4 ( ) 4'( ). '( ) 1 . 1 1. ( )

4 8 4 1 5 0 5( 0)2

A B A B A BA B

A B A B A B

x m x m x x m x x my x y xx m x m x x m x x m

m m m m m m do mm m m

− − − + += − ⇔ = − ⇔ = −

+ + + + +

− +⇔ = − ⇔ − = ⇔ = ≠

+ +

( vì xA , xB laø nghieäm cuûa phöông trình x – 2mx + m = 0 neân : xB

2A + xBB = 2m ;

xA . xB = m ) . B

Töø ñònh nghóa ñaïo haøm, ta coù : ( ) ( )lim '( )

o

oox x

o

f x f x f xx x−>

−=

−

Ví du 5 ï: Tính caùc giôùi haïn sau: 35

5 22 4

( 3) 1(2 1) 243) lim ) lim2 16(2 7)x x

xxa bx x x−> −>

− −− −− − −

Giaûi: Töø ñònh nghóa ñaïo haøm, ta coù theå duøng ñaïo haøm ñeå tính giôùi haïn coù daïng sau:

( ) ( )limo

o

x xo

f x f xx x−>

−−

hay 0

( ) (lim o

h

)of x h f xh−>

+ −. . . Caùc giôùi haïn naøy ñeàu baèng f’(xo).

a) Xeùt haøm soá f(x) = (2x – 1)5 => f(2) = 243 vaø f’(x ) = 10(2x – 1)4 => f’(2) = 810

Do ñoù: 8

2 2

(2 1) 243 ( ) (2)lim lim '(2) 8102 2x x

x f x f fx x−> −>

− − −= =

− −=



12

b) Ta coù :

3

3

5 25 24 4

( 3) 1( 3) 1 4lim lim (1)

16(2 7)16(2 7)4

x x

xx x

x xx xx

−> −>

− −− − −=

− −− −−

Xeùt haøm soá f(x) = 3( 3)x − ; f(4) = 1 vaø f ’( x) = 2

3

3( 3) 3'(4)22 ( 3)

x fx−

=> =−

g(x) = 5 2 416(2 7) ; (4) 0 ; '( ) 160(2 7) 2 (4) 160 8 152x x g g x x x g− − = = − − => = − =

Vì 3

4 4

( 3) 1 ( ) (4)lim lim 3 / 24 4x x

x f x fx x−> −>

− − −= =

− − vaø

5 2

4 4

16(2 7) ( ) (4)lim lim '(4) 1524 4x x

x x g x g gx x−> −>

− − −= =

− −=

Vaäy (1) = 3 / 2 3152 304

=

C . Baøi taäp reøn luyeän . 5.6 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá : y = 2x2 + x bieát : a) Tieáp ñieåm coù tung ñoä baèng 3 . b) Tieáp tuyeán naøy song song vôùi ñöôøng thaúng y = 9x + 2 . c) Tieáp tuyeán naøy qua ñieåm A ( 0 , -2 ) .

5.7 . ( C ) laø ñoà thò cuûa haøm soá : y = x3 +2x2 +3x – 5 . Chöùng minh raèng ta khoâng theå tìm ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi ( C ) sao cho chuùng vuoâng goùc vôùi nhau .

5.8 . Cho haøm soá : y = x3 – 3x2 + x , ñoà thò laø ( C ) . Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát raèng tieáp tuyeán naøy taïo vôùi Ox moät goùc 45o .

5.9 . Cho haøm soá : y = - x3 +6x2 – 3x +14 , ñoà thò laø ( C ) . Trong taát caû caùc tieáp tuyeán vôùi ( C ) , vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán coù heä soá goùc lôùn nhaát .

5.10 . Cho haøm soá : x 1

3+y = , ñoà thò laø ( C ) . A (0 , a) laø moät ñieåm treân Oy . Tìm ñieàu kieän cuûa a ñeå töø

x −A ta veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ( C ) maø 2 tieáp ñieåm naøm hai beân ñöôøng thaúng x = 3 .

5.11 . Cho haøm soá : 2

2' ' 'ax bx cy

a x b x c+ +

=+ +

. Chöùng minh raèng :

2

2 2

( ' ') 2( ' ') ' ''( ' ' ')

' '; ' '; ' '' ' ' ' ' '

ab ba x ac ca x bc cbya x b x c

a b a c b cab ba ac ca bc cb

a b a c b c

− + − + −=

+ +

= − = − = −

Xeùt tröôøng hôïp ñaëc bieät : 2

' 'ax bx cy

b x c+ +

=+

AÙp duïng coâng thöùc treân , tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau :



132 2

2 2

22 2

1 2 3 2 3 1) ) )2 2 2 5

3 2 1) )1 3 5

x x x x xa y b y c yx x x x

x x xd y e yx x

+ − + − += = =

+ − + −

⎛ ⎞− + + += =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

5.12 . Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau 4 2 2

2

2

2 7) 2 5 ) 3 2 )3

2 3 2) ) )2 1 1 1

xa y x x b y x x c yx

x x x xd y e y f yx x x

−= − + = − + =

−− +

= =+ + +

=

5.13 . Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau :

( )63 2

2 2

2

2

) 2 3 ) 6

) ( 1) 1 )

1 2) )2 1 3

a y x x b y x x

c y x x d y x x x

x x xe y f yx x x

= + + = −

= + + = + − +

+ + += =

+ + +

1

1

5. 14. Tính giôùi haïn caùc haøm soá sau:

2 42 3 2

2 2 40 1 1

2 4 4

3 452 3

( 2 2) 1( 2) 8 3 2) lim ) lim ) lim( 2 3) 16

( ) 16 16( 3)( 1)) lim ) lim16( 2) ( 1)( 1) 1

x x x

x x

x xx x x xa b cx x x x x

x x x xd ex xx

−> −> −>

−> −>

− + −− + − − +− − + −

− − − −− − −− −

1 2 32 3 .... .... .k nn n n n nC C C kC n C+ + + + + +

5.15. Ruùt goïn caùc biểu thức sau: A = 1 + 2x + 3x2 + 4 x 3 . . . + (n + 1)xn. Vaø B = 1 + x + 2x2 + 3x2 + . . . + nxn

5.16. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = (1 + x)n baèng 2 caùch , suy ra giaù trò cuûa bieåu thöùc:

D . Höôùng daãn . Ñaùp soá . 5.6 . a) 2 tieáp tuyeán : y = 5x – 2 ; y = -6x + 6 . b) 1 tieáp tuyeán : y = 9x – 8 . c) 2 tieáp tuyeán : y = 5x – 2 ; y = -3x – 2 .

5.7 . y’ = 3x2 +4x + 3 > 0 vôùi moïi giaù trò cuûa x neân khoâng theå coù x1 , x2 thoûa : y’(x1).y’(x2) = - 1 . Vaäy khoâng theå coù hai tieáp tuyeán vôùi ( C ) sao cho chuùng vuoâng goùc vôùi nhau .

5.8 . y’ = 3x2 – 6x + 1 . Tieáp tuyeán taïo vôùi truïc Ox moät goùc 45o laø caùc tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y = x hay y = - x . Tieáp ñieåm coù hoøanh ñoä laø nghieäm cuûa caùc phöông trình 3x2 – 6x + 1 = 1 ; 3x2 – 6x + 1 = -1 . Giaûi caùc phöông trình naøy ta tìm ñöôïc 4 tieáp tuyeán .

5.9 . y’ = - 3x2 +12x – 3 = - 3 ( x2 – 4x + 4 ) + 9 . Gía trò lôùn nhaát cuûa y’ laø 9 ñaït ñöôïc khi x = 2 . Phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) coù heä soá goùc lôùn nhaát laø :

y = 9x + 2 .

5.10 . Phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ( x0 , yo ) thuoäc ( C ) laø :



14

002

0 0

002

0 020 0

1 4( ): ( )3 ( 3)

1 4(0, ) ( ) (0 )3 ( 3)

( 1) 2(3 1) 9 3 0(1

xt y x xx x

xA a t a xx x

a x a x a

+ −− = −

− −+ −

∈ ⇔ − = −− −

⇔ − − + + + = )

Coù 2 tieáp tuyeán qua A maø 2 tieáp ñieåm naèm hai beân ñöôøng thaúng x = 3 khi phöông trình ( 1 ) coù 2 nghieäm thoûa : x01 < 3 < x02 hay : ( a – 1 )f(3 ) < 0 - 12( a – 1 ) < 0 . Vaäy a < 1

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

2 2

22

2

22

2 ' ' ' 2 '5.11. '

' ' '

' ' 2 ' ' ' '

' ' '

ax b a x b x c ax bx c a x by

a x b x c

ab ba x ac ca x bc cb

a x b x c

+ + + − + + +=

+ +

− + − + −=

+ +

'

Vôùi a’ = 0 , ta ñöôïc : '2 2

2

' 2 ' ' '' ' ( ' ')

ax bx c ab x ac x bc b cb x c b x c

⎛ ⎞+ + + + −=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(coâng thöùc caàn nhôù)

AÙp duïng :

2

2 2

2

2 2

2

2

2

) ' ' 0.0 1.1 1; ' ' 0.2 1.1 1; ' ' 1.2 1.0 22 2'

( 2)) ' ' 2.( 1) ( 1)1 1; ' ' 2.2 3.1 1; ' ' ( 1).2 ( 1).3 1

2 1'( 2)

4 20 13) '(2 5)

3 2) ' 2.

a ab ba ac ca bc cbx xyx

b ab ba ac ca bc cbx xy

x xx xc y

x

x xd yx

− = − = − − = − = − − = − =

− − +=

+− = − − − = − − = − = − = − − − =

− + +=

− +

− +=

−

− + +=

'2 2 2

2

2 2

3

'2 2

22

2 2 2 3

3 2 3 2 2 12. .1 1 1 ( 1)

2( 3 2)( 2 1)( 1)

1) 3 10 33 5 3 10 3(3 5))

1 1 2 ( 1)(3 5)2 23 5 3 5

x x x x x xx x x

x x x xx

x x xx x xxd yx x x xx x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + + − − +=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + + − − +=

+

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟+ + −+⎝ ⎠= = =

+ + + ++ +



15

( )

( ) ( ) ( )

32

2 2

2 2 22

3 15.12. ) ' 4 4 1 ) ' 2 ) '2 3

4 4 7 1 1) ' ) ' ) '2 1 1 2 1

a y x x b y x c yx x

x x xd y e y f yx x x x

−= − + = − =

−

+ − −= = =

+ + +

( )( )

( ) ( )

52 3 2

2 2

2 2 2

2 2 2

5.13. ) ' 6 3 4 2 3 ) '2 6

2 1 2 1 2 1) ' ) '1 4 1

3 1) ' ) '2 2 1 1 2 3 3

a y x x x x b yx

x x x x xc y d yx x x x x x

e y f yx x x x x x x

= + + + =−

+ + − + + −= =

+

2

12 3

11

x−

− + + − +−

= =+ + + + + + +

5. 14 . Duøng ñònh nghó a ñaïo haøm.

5.15. Ta coù : y’ = n(1 + x)n – 1 (1)

Maët khaùc, duøng khai trieån nhò thöùc Newton : y = C C 0 1 1 2 2 .... ....k k n nn n n n nx C x C x C x+ + + + + +

1

1 2 32 3 .... .... .k nn n n n nC C C kC n C+ + + + + +

=> y’ = (2) 1 2 1.2 .... . .... .k k n nn n n nC C x C kx C nx− −+ + + + +

Cho x = 1 vaøo (1) vaø (2), ta ñöôïc : = n.2n -1

5.16. Xeùt haøm soá y = x + x2 + x3 + . . . + xn + 1 = 1 11

1 1

n nx x xxx x

+ +− −=

− −(1) (toång n + 1 soá haïng cuûa moät caáp

soá nhaân). Laáy ñaïo haøm hai veá, ta ñöôïc :

1 + 2x + 3x2 + . . . + (n + 1)xn = 1

2

[( 1) 1]( 1) ( ).1( 1)

n nn x x x xx

++ − − − −−

(2)

A = 1

2

( 1) 1( 1)

n nnx n xx

+ − + +−

Laáy (2) tröø (1): 1 + x + 2 x2 + n xn + (n + 1)xn+1 = 1 1

2

( 1) 1( 1) ( 1)

n n nnx n x x xx x

+ +− + + −−

− −

B = 1 1

2

( 1) 1( 1) ( 1)

n n nnx n x x xx x

+ +− + + −−

− − - (n + 1)xn + 1 =

3 2 2

2

( 1) (2 1) ( 1) 1( 1)

n n nn x n x n x x xx

+ +− + + + − + + − +=

−

§3. Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá löôïng giaùc A.Toùm taét giaùo khoa

1.Giôùi haïn 0

sinlimx

xx→



16

Ñònh lí 1 : Ta coù 0

sinlimx

xx→

= 1 (vôùi x tính baèng rad)

2. Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá löôïng giaùc a) Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = sinx Ñònh lí 2 : Vôùi moïi x∈R , ta coù (sinx)’ = cosx Heä quaû 1 : Neáu haøm soá u = u(x) coù ñaïo haøm treân J thì : (sinu)’ = (cosu).u’

b) Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = cosx Ñònh lí 3 : Vôùi moïi x∈R , ta coù (cosx)’ = - sinx Heäquaû 2 : Neáu haøm soá u = u(x) coù ñaïo haøm treân J thì : (cosu)’ = (- sinu).u’

c) Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = tanx

Ñònh lí 4 : Vôùi moïi 2

x kπ π≠ + ( k∈ Z) , ta coù (tanx)’ = 2

1cos x

=1 + tan2x

Heä quaû 3 : Neáu haøm soá u = u(x) coù ñaïo haøm treân J vaø u(x) 2

kπ π≠ +

( k∈ Z) treân J thì: (tanu)’ = 2 . '1 ucos u

= [1 + tan2u).u’

d) Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = cotx

Ñònh lí 5 : Vôùi moïi x kπ≠ ( k∈ Z) ,ta coù (cotx)’= 2

1sin

= - (1 + cot2x) −x

kπ≠ Heää quaû 4 : Neáu haøm soá u = u(x) coù ñaïo haøm treân J vaø u(x)

( k∈ Z) treân J thì : (cotu)’ = 2

1 . 'sin

uu

− = - 1 + cot2u). u’

Baûng toùm taét caàn nhôù : (sinx)’ = cosx (sinu)’ = cosu. u’

(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - sinu. u’

(tanx)’ = 2

1cos

(tanu)’ = 2

1cos u

. u’ = [1+ tan2u]u’ =1 + tan2x x

(cotx)’ = 2

1sin

(cotgu)’ = 2

1 . 'sin

uu

− = -(1+cot2u)u’ = -{1+cot2x) −x

B .Giaûi toaùn Daïng 1 : Giôùi haïn cuûa haøm soá löôïng giaùc

Söû duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc ñeå bieán ñoåi haøm soá caàn tìm giôùi haïn veà daïng ( ) 0

sin ( )lim 1( )u x

u xu x→

=

Ví duï : Tìm caùc giôùi haïn sau:

a) 0

sin 3limx

xx→

b) 20

1 cos 4limx

xx→

− c) 20

1 cos 6limtanx

xx→

−

d) 4

sin coslim4x

x xxπ π→

−−

e) 0

1 sin coslim1 sin cosx

x xkx kx→

+ −+ −



17

Giaûi:

a) 0 0

sin 3 s 3lim lim3 3 1 33x x

x in xx x→ →

= × = × =

b) 2

22 20 0 0

1 cos 4 2sin 2 sin 2lim lim lim8 ( ) 82x x x

x x xx x x→ → →

−= = × =

c) 2 22

2220 0 0

2

1 cos6 2sin 3 sin 3lim lim lim18 cossintan 3 sincos

x x x

x x x x xxx x xx

→ → →

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = × × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 18× 1× 1=18

d) 0

4 4

2 sin( )sin cos 24lim lim4 44( )

4x x

xx xx x

π π

π

ππ→ − →

−−= =

− −

e)

2

0 0 2

2sin 2sin cos1 sin cos 2 2lim lim1 sin cos 2sin 2sin cos

2 2x x

2

2

x x xx x

kx kx kxkx kx→ →

++ −=

+ − +

=0 0

sin (sin cos ) sin sin cos2 2 2 2 2 2 2lim lim ( )

sin (sin cos ) sin sin cos2 2 2 2 2 2 2

x x

x x x x kx x x

kx kx kx x kx kx kx→ →

+ += × ×

+ +×

1k

= 1× 1× 1×1k

= 1k

Daïng 2 : Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa haøm soá löôïng giaùc

Ví du 1 : Duøng ñòngh nghóa tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = xsinx

Giaûi Vôùi x0 ∈R ta coù : y = (xΔ 0 + Δ x)sin(x0 + x) – xΔ

Δ0sinx0

= x0[sin (x0 + x) – sinx0] + Δ xsin (x0 + Δ x)

= x0 [2cos(x0 + x

)sin 2xΔ

] + Δ xsin (x0 + Δ x) Δ2

Tìm giôùi haïn 0 0 00 0

sin2lim lim cos( ) sin( )

22

x x

xy x

Δ

x x x xxxΔ → Δ →

Δ Δ= + × + + Δ

ΔΔ

= x0cosx0 + sinx0 Vaäy y’(x0) = sinx0 + x0cosx0

Ví dụ 2 : Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa haøm soá

y = f ( x ) = cos ; , ;2 2 3ox x D xπ π π−⎛ ⎞∈ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Giaûi

Cho xo= 3π

moät soá gia ( )3

x saocho x DπΔ + Δ ∈ , ta coù :



18

cos( ) cos3 3( ) ( ) cos( ) cos

3 3 3 3cos cos

3 3

2sin sin3 2 2

cos cos3 3

xy f x f x

x

x x

x

π ππ π π π

π π

π

π π

+ Δ −Δ = + Δ − = + Δ − =

⎛ ⎞+ Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ Δ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞+ Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Laäp tæ soá yx

ΔΔ

vaø tính giôùi haïn cuûa tæ soá naøy , ta coù :

0 0 0

0

2sin sin sin( ) sin3 2 2 3 2lim lim lim .cos( ) coscos( ) cos 23 33 3

3 sinsin 63 2 2; lim 1)412 cos 2 23 2

x x x

x

x x xxyxx

xx x

x

x

π π

π ππ π

π

π

Δ → Δ → Δ →

Δ →

Δ Δ⎛ ⎞ Δ− + − + Δ⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠= =ΔΔ ⎛ ⎞

+ Δ +Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ− − −= = = =

Δ

63 4π −

=⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟ Vaäy f’

Daïng 3 : Duøng coâng thöùc tính ñaïo haøm cuûa haøm soá löôïng giaùc


a) y = 3sinx – 2cosx b) y = sin cossin cos

x xx x

−+

c) y = xcosx d) y = tan x e) y = 1

1 cot x+

Giaûi a) Ta coù y’ = 3cosx + 2sinx

b) Ta coù y’ = 2

(cos sin )(sin cos ) (sin cos )(sin cos )(sin cos )

x x x x x x x xx x

+ + + − −+

= 2 2

2 2

(sin cos ) (sin cos ) 2(sin cos ) (sin cos )

x x x xx x x x

+ + −=

+ +

c) y’ = 1cosx – xsinx

d) y’ = 2

(tan ) ' 12 tan 2cos tan

xx x x

=

e) y’ = 2 2

(1 ) ' 1(1 cot ) sin (1 cot )

cotx2x x x

− +=

+ +

Ví duï 2 : Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá :

a) y = 2sin x+ b) y = cos32x c) y = tan2x – cot(x2 + 1) d) y = sin2xcos4x 1

Giaûi



19

a) y’ = 2 ' 2( 1) cos 1x x+ × + = 2

2cos( 1)

1x x

x× +

+

b) y’ = (3cos22x).(cos2x)’= - 6sin2xcos22x = -3sin4x.cos2x

c) y’ = 2 2 2

2 2cos 2 sin ( 1)

xx x

++

d) y = 1 (sin 6 sin 2 )2

x x− ⇒ y’ = 3cos6x – cos2x

Ví duï 3 : Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = 1 cos 2 sin 2 .cot1 cos 2 sin 2

x x xx x

− ++ +

.

Giaûi thích keát quaû

Giaûi

Ta coù y’ = 2

(2sin 2 2cos 2 )(1 cos 2 sin 2 ) ( 2sin 2 2cos 2 )(1 cos 2 sin 2 ) .cot(1 cos 2 sin 2 )

x x x x x x x xx x

+ + + − − + − ++ +

x

- 2

1 1 cos 2 sin 2.sin 1 cos 2 sin 2

x xx x x

− ++ +

y’ = 2 2

2 2

4sin 2 4cos 2 4sin 2 cos 1 cos 2 sin 2.(1 cos 2 sin 2 ) sin sin (1 cos 2 sin 2 )

x x x x x xx x x x x x

+ + − +−

+ + + +

= 2 2

4(sin 2 1)cos sin (1 cos 2 sin 2 )(1 cos 2 sin 2 )sin (1 cos 2 sin 2 )

x x x x x x xx x x

+ − + + − ++ +

= 2 2

2 2

2sin 2 (sin 2 1) (1 2sin 2 sin 2 ) cos 2sin (1 cos 2 sin 2 )

x x x x xx x x

+ − + + ++ +

= 2 2

2 2

sin 2 cos 2 1sin (1 cos 2 sin 2 )

x xx x x

+ −+ +

= 0

Giaûi thích keát quaû :

Ta coù y = 2

2

2sin 2sin cos cos 2sin (sin cos )cos.2cos 2sin cos sin 2cos (cos sin )sin

x x x x x x x xx x x x x x x

+ +=

+ + = 1

x Vaäy y’ = 0 C.Baøi taäp reøn luyeän 5.17 Tìm giôùi haïn sau :

a) 2

0

1 cos 2limsinx

xx x→

− b) 20

osmtanx

1 cli xx→

− c) 30

tanli sinmx

x xx−

→

d) 4

cos 2lim4x

x e) 20

1 cos cos 2li x xxπ π→ −

mx x→

− f) li sm( in )

xxx π

→∞

5.18 Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = cos2x

5.19 Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá a) y = xcosx – sinx b) y = cos3x c) y = sin3x.cos2x

d) y = x + cotx - 13

tg3x e) y = 1 cos x− f) y = 1 cos1 cos

x−x+

5.20 Tính ñaïo haøm caùc haøm soá :

a) y = sin2x + cos 3x b) y = sin33x c) y = cos4 (2x - 3π

)

d) y = 1 tan 4x+ e) y = (1 – sinx)(1 + tan2 x) f) y = cos2 x( 1 + sin2x)

5.21 Tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau vaø giaûi thích keát quaû



20

a) y = sin6 x + cos6 x + 3sin2 x cos2 x b) y = 6 6

4 4

sin cos 1sin cos 1

x xx x

+ −+ −

5.22 Cho y = cos2x - 2 3 cosx .Gíi phöông trình y’ = 0

5.23 Cho haøm soá y= 4sinx + 3cosx + mx .Ñònh m ñeå ñeå phöông trình y’ = 0 coù nghieäm

D.Höôùng daãn giaûi

5.17 a) 2

0

1 cos 2limsinx

xx x→

− =

22

0 0

sin 2 sin 2lim lim( ) 4sin 2 sinx x

x x xx x x→ →

= ×x

× = 4

b) 20

1 coslimtanx

xx→

− =

2 2

2 20 0

2sin cos1 cos 2lim lim(1 cos ) tan (1 cos )sinx x

x xxx x x→ →

×−x

= =+ +

= 2

2 2

0

sin 1 cos2lim( ) ( )sin 2 4(1 cos )

2x

xx x

x x x→× × ×

+1

=

c) 30

tan sinlimx

x xx→

− = 2

30 0

sinsin (1 cos ) sin 1 12m lim( ) ( )cos 4 cos

2x x

xx x x

xlix x x x→ →

−= × × × =

14

d) 4

cos 2lim4x

xxπ π→ −

= 0 0

4 4

sin( 2 ) sin 2( ) 12 4lim lim24( ) 4( )

4 4x x

x x

x xπ π

π π

π π− → − →

− − −= = −

− −

20

1 cos cos (1 cos 2 )limx

x x xx→

− + −e) 20

1 cos cos 2limx

x xx→

− = =

= 2 20 0

1 cos cos (1 cos 2 )lim lim(1 cos 2 )x x

x x xx x x→ →

− −+

+

= 2 2

0 0

sin1 cos2lim ( ) lim 2( )2 (1 cos 2 )

2x x

xx sin x

x xx→ →+ ×

+=

32

f) lim( sin )xx

x π→∞

= 0

sin 1 1mx

x

xπ

π

li π π π→× =

5.18

Ta coù 0 0 0

cos 2( ) cos 2 2sin(2 )sinlim lim limx x x

y x x x x x xx x xΔ → Δ → Δ →

Δ + Δ − − + Δ Δ= =

Δ Δ Δ

= -2sin2x Vaäy y’ = -2sin2x 5.19 a) y’ = 1.cosx – xsinx – cosx = - xsinx b) y’ = - 3cos2 x.sinx c) y’ = 3sin2 x.cos3 x – 2cosx.sin4 x = sin 2 xcosx( 3cos2 x – 2 sin2 x)

d) y’ = 1 - 2

1sin x

- tan2 x . 2

1cos x

= 1 – (1 + cot2 x) – tan2 x( 1 + tan2 x)

= - ( cot2x + tan2x + tan4x )



21

e) y’ = sin

2 1 cosx

x−

f) y’ = 2 2

sin (1 cos ) sin (1 cos ) 2sin(1 cos ) (1 cos )

x x x x xx x

+ + −=

+ +

5.20 a) y’ = 2cos2x – 3sin3x b) y’ = 9sin23x.cos3x

c) y’ = - 4cos3(2x - 3π

).2sin(2x - 3π

) = - 4sin(4x - 23π

).cos2(2x - 3π

)

d) y’ = 2

(1 tan 4 ) ' 22 1 tan 4 cos 4 1 tan 4

xx x x

+=

+ +

e) y’ = - cosx(1 + tan2x) + (1 – sinx) 2tanx(1 + tan2x)

= (1 + tan2x)( - cosx + 2tanx – 2sinxtanx) =2 2

3

cos 2sin 2sincos

x x xx

− + −= 3

2sin 1cos

x −

x

Caùch khaùc ta coù : y = 2

1 sincos

xx

−

Do ñoù y’ = 2

4

cos (cos ) 2cos ( sin )(1 sin )cos

x x x xx

− − − − x

= 2 2

3 3

cos 2sin 2sin 2sin 1cos cos

x x x xx x

− + −=

−

f) y’ = -2 cosxsinx(1 + sin2x) + cos2x.2cos2x = 2cosx(sinxsin2x – sinx – cosxcos2x) = -2cosx(cos3x + sinx)

5.21. a) Ta coù y’ = 6sin5xcosx – 6cos5xsinx + 3 (2sinxcos3x – 2cosxsin3x) = 6sinxcosx(sin4x – cos4x + cos2x – sin2x) = 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x – cos2x) + cos2x – sin2x)]= 0 Giaûi thích ta coù a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a+b) Vôùi a = sin2x vaø b = cos2x thì a + b = 1 Vaäy y = a3 + b3 + 3ab = [(a + b)3 – 3ab] + 3ab = 1 Suy ra y’ = 0 b) (sin6x + cos6x – 1)’ = 6sin5xcosx – 6cos5x sinx = 6sinxcosx(sin4x – cos4x) = 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x)]

= -3sin2x.cos2x = 3

2−

sin4x

(sin4x + cos4x -1)’ = 4sin3xcosx – 4cos3xsinx = 4sinxcosx(sin2x – cos2x) = - 2sin2xcos2x = -sin4x

Do ñoù y’ = 4 4 6 6

4 4 2

3 / 2(sin 4 )(sin cos 1) sin 4 (sin cos 1)(sin cos 1)

x x x x x xx x

− + − + + −+ −

=4 4 6 6

4 4 2

sin 4 [ 3(sin cos 1) 2(sin cos 1)](sin cos 1)

x x x x xx x

− + − + + −+ −

= 2 2 2 2

4 4 2

sin 4 (6sin cos 6sin cos )(sin cos 1)

x x x x xx x

−+ −

= 0

Giaûi thích : ñaët a = sin 2 x vaø b = cos2 x ta coù a + b = 1 sin6x + cos6x – 1 = [(a + b)3 – 3ab – 1] = -3ab sin4x + cos4x – 1 = [(a + b)2 – 2ab – 1] = -2ab

Vaäy y= 3/2 Suy ra y’ = 0 5.22. y’= -2sin2x + 2 3 sinx = -2( 2sinxcosx - 3 sinx)

= -2sinx(2cosx - 3 )



22

Do ñoù y’ = 0 sin 0

3 2cos62

x x k

x kx

ππ π

=⎡ =⎡⎢ ⎢⇔ ⇔⎢ ⎢ = ± +=⎢ ⎣⎣

5.23 y’ = 4cosx – 3sin x + m Do ñoù y’ = 0 3sinx – 4cosx = m ⇔Phöông trình coù nghieäm khi m2 ≤ 9 + 16 = 25 ⇔ -5 ≤ m ≤ 5

§4. Vi phaân A.Toùm taét giaùo khoa

1. Khaùi nieäm vi phaân Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x vaø Δ x laø soá gia cuûa bieán soá taïi x. Tích f ’(x). x, kí hieäu laø df(x),ñöôïc goïi laø vi phaân cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x öùng vôùi soá gia Δ Δ x ñaõ cho. Vaäy df(x) = f’(x) x Δ* Neáu laáy f(x) = x thì df(x) = dx = (x)’. x= Δ Δ x Vaäy df(x) = f’(x) dx hay dy = y’dx

2. ÖÙng duïng vi phaân vaøo pheùp tính gaàn ñuùng

Neáu xΔ khaù nhoû vaø thì f’(x0) = 0 00lim '( ) '( )x

y y f x y f x xx xΔ →

Δ Δ⇔ ≈ ⇔ Δ ≈ Δ

Δ Δ

⇔ f(x0 + x) – f(xΔ 0) f’(x≈ 0) x ΔVaäy f(x0 + x) f(xΔ ≈ 0) + f’(x0) x ΔÑaây laø coâng thöùc tính gaàn ñuùng

B.Giaûi toaùn Daïng 1 : Tính vi phaân

Ví duï 1 : Tính vi phaân cuûa haøm soá f(x) = sinx taïi ñieåm x = 3π

öùng vôùi Δ x = 0,01

Giaûi Ta coù f’(x) = cosx

Do ñoù df(3π

) = f’(3π

) x = cos Δ π. x = 0,5Δ × 0.01 = 0,005

3

Ví duï 2 : Tính vi phaân cuûa caùc haøm soá :

a) f(x) = xsinx b) f(x) = x3 – x2 – 2 c) f(x) = cos2x d) f(x) = 2 2 3x x+ −

Giaûi a) df(x) = (sinx + xcosx)dx b) df(x) = (3x2 – 2x)dx c) df(x) = -2cosxsinxdx = - sin2xdx

d) df(x) = 2

12 3

xx x

+

− −dx

Daïng 2 : Tính giaù trò gaàn ñuùng

Ví duï : Tính giaù trò gaàn ñuùng cuûa sin(300 20’)

Giaûi Xeùt haøm soá y = f(x) = sinx . Neáu x tính baèng radian thì f’(x) = cosx



23

Vôùi x0 = 6π

vì 300 = 6π

vaø 20’ = 2060 180 540

π π× = neân laáy Δx =

540π

thì ta coù f(6π

+ 540π

) f(≈6π

) + f’(6π

).540π

Vaäy sin(300 20’) sin(≈6π

) + cos(6π

)×540π

= 0,5 + 3 .

2 540π

0,5 + 0,8660 × 0,0058 ≈ ≈ 0,5050

C. Baøi taäp reøn luyeän 5.21 Tính vi phaân cuûa haøm soá f(x) = 3 x taïi ñieåm x = 1 öùng vôùi Δx = 0,01

5.22 Tính vi phaân cuûa haøm soá f(x) = cos2x taïi ñieåm x = 3π

öùng vôùi Δx = 0.001

5.23 Tính vi phaân cuûa caùc haøm soá :

a) y = cos2 x b) y = 2tan3x – 3 cot2x c) y = 2 1x + d) y = xcos2x

5.24 Tính giaù trò gaàn ñuùng cuûa : a) 3 27, 24 b) sin310 c) cos60030’

D. Höôùng daãn giaûi

5.21 Ta coù f(x) = 13x do ñoù f’(x) =

23

3 2

1 13 3

xx

−

=

Vaäy df(1) = f’(1) x = Δ 1 0,013

× = 0.0033

5.22 f’(x) = -2sin2x

Vaäy df(3π

) = f’(3π

) . x = -2sinΔ 23π

. 0,001 = -2sinπ

.0,001 = 0,0017 3

5.23 a) df(x) = -2cosxsinx.dx = -sin2x.dx

b) df(x) = ( 2 2

6 6cos 3 sin 2x x

− ).dx

c) df(x) = 2 1x

x +.dx

d) df(x) = (cos2x – 2xcosxsinx)dx = (cos2x – xsin2x)dx

thì ta coù f’(x) = 2

33 2

1 13 3

xx

−

= 5.24 a) Xeùt haøm soá f(x) = x3

Vôùi x0 = 27 va x = 0,24 thì f(27,24) f(27) + f’(27).0,24 Δ ≈

+ 3 2

13 27

.0,24 3 + 0,0088 ≈ ≈ 3,0088 3 273 27, 24 = Vaäy

b) Xeùt haøm soá f(x) = sinx ta coù f’(x) = cosx vôùi x tính baèng radian

Vôùi x0 = 300 = 6π

vaø x = 1Δ 0 = 180π

Vaäy sin310 sin (≈6π

) + cos(6π

).180π

≈ 0,5 + 0,8660× 0,0174 =0,5150

b) Xeùt haøm soá f(x) = cosx ta coù f’(x) = -sinx vôùi x tính baèng radian

Vôùi x0 = 600 = 3π

vaø Δx = 30’ = 360π

Vaäy cos60030’ cos(≈3π

) – sin(3π

).360π

≈ 0,5 – 0,8660× 0,0087



24

≈ 0,5 – 0,0075 = 0,4925

§5. Ñaïo haøm caáp cao A.Toùm taét giaùo khoa 1.Ñònh nghóa Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm f’(x). Neáu haøm soá f’(x) coù ñaïo haøm thì ñaïo haøm cuûa noù goïi laø ñaïo haøm caáp hai cuûa haøm soá f(x), kí hieäu f ”(x) hay f(n+2)(x). Toång quaùt : Ñaïo haøm caáp n ( n ) cuûa haøm soá y = f(x) ,kí hieäu laø f,N n∈ ≥ 2 (n)(x) hay y(n) , laø ñaïo haøm cuûa ñaïo haøm caáp (n – 1) cuûa haøm soá f(x). Vaäy f(n) (x) = [f(n-1) x]’

2. YÙ nghóa cô hoïc cuûa ñaïo haøm caáp hai Xeùt moät chaát ñieåm chuyeån ñoäng coù phöông trình s = s(t) Ta bieát vaän toác taïi thôùi ñieåm t0 cuûa chaát ñieåm ñoù laø v(t0) = s’(t0) Gia toác töùc thôøi taïi thôøi ñieåm t0 cuûa chaát ñieåm laø giôùi haïn höõu haïn

0 0( ) lim

t

vtt

γΔ →

Δ=

Δ= v’(t0)

Vaäy yù nghóa cô hoïc cuûa ñaïo haøm caáp 2 laø : Gia toác töùc thôøi taïi thôøi ñieåm t0 cuûa moät chaát ñieåm chuyeån ñoäng coù phöông trình s = s(t) laø γ (t0) = s’’(t0)

B. Giaûi toaùn

Ví duï 1 : Tính ñaïo haøm caáp hai cuûa caùc haøm soá : a) y = x3 – 3x2 + 2x - 1 b) y = tanx c) y = sin2 x d) y = x

Giaûi a) y’ = 3x2 – 6x + 2 vaø y’’ = 6x – 6 b) y’ = 1 + tan2x vaø y’’ = 2tanx(1 + tan2x) c) y’ = 2sinxcosx = sin2x vaø y’’ = 2cos2x

d) y’ = 1

212

x−

vaø y’’ = 3

232

1 1 14 44

xx xx

− − −− = =

Ví duï 2 : Tính ñaïo haøm ñeán caáp ñaõ chæ ra cuûa caùc haøm soá sau :

a) f(x) = x4 – 2x3 + 3x2 – 5 , f(5)(x) b) f(x) = sin2x , f(4)(x) c) f(x) = 1

1x + , f(3) (x)

Giaûi a) f’(x) = 4x3 – 6x2 + 6x

f’’(x) = 12x2 – 12x + 6 f(3)(x) = 24x – 12 f(4)(x) = 24 f(5)(x) = 0

b) f’(x) = 2sinxcosx = sin2x f’’(x) = 2cos2x f(3)(x) = - 4sin2x f(4)(x) = -8 cos2x

c) f’(x) = 2

1( 1)x

−+

f’’(x) = 3

2( 1)x +

f(3) = 4

6( 1)x

− +

Ví duï 3 : Tính ñaïo haøm caáp n cuûa caùc haøm soá



25

a) f(x) = 1

1x − b) f(x) = sin2x

Giaûi

a) Ta coù f’(x) = 2

1( 1)x

−−

f’’(x) = 3 3

( 1)( 2) 1.2( 1) ( 1)x x− −

=− −

Döï ñoùan f(n) = 1

( 1) . !( 1)

n

n

nx +

−−

. Ta chöùng minh coâng thöùc naøy baèng qui naïp

• n = 1 coâng thöùc ñuùng

• Giaû söû coâng thöùc ñuùng khi n = k nghóa laø f(k)(x) = 1

( 1) !( 1)

k

k

kx +

−−

Do ñoù f(k+1)(x) =[ 1

( 1) !( 1)

k

k

kx +

−−

]’ = 2

( 1) ( 1). !.( 1)( 1)

k

k

k kx +

− − +−

=1

2

( 1) .( 1)!( 1)

k

k

kx

+

+

− +−

Vaäy coâng thöùc ñuùng khi n = k + 1 Suy ra theo qui naïp coâng thöùc ñuùng vôùi moïi n N∈

b) f’(x) = 2cos2x = 2sin(2x + 2π

)

f’’(x) = -4sin2x = 22 sin(2x + 22π

)

Döï ñoaùn f(n)(x) = 2n sin(2x + n2π

). Ta chöùng minh coâng thöùc naøy ñuùng baèng qui naïp

• n = 1 coâng thöùc ñuùng

• Giaû söû coâng thöùc ñuùng khi n = k nghóa laø f(k) (x) = 2k sin(2x + k2π

)

π)]’ = 2k+1cos(2x +k

2π

) Do ñoù f(k+1) (x) = [2k sin(2x + k2

π = 2k+1 sin[2x + (k+1) ]

2 Vaäy coâng thöùc ñuùng khi n = k + 1

Suy ra coâng thöùc ñuùng vôùi moïi n ∈ N

Ví duï 4 : Cho haøm soá y = 2x x− .Tìm heä thöùc giöõa y vaø y’’

Giaûi

Ta coù y’ = 2

1 22

xx x−

−

22

2

2

(1 2 )21 22

xx xvaø y’’ = x x

x x

−− − −

−−

= 2 2

2 2

4( ) (1 2 )4( )

x x xx x x x

− − − −

− −

hay 4 y’’.y3 = -4x +4x2 -1 +4x – 4x2 . Vaäy y’’y3 + 1 = 0

C.Baøi taäp reøn luyeän 5.25 Tính ñaïo haøm caáp hai cuûa caùc haøm soá sau : a) y = sin2xsin3x b) y = x4 + x



26

c) y = 1

xx −

d) y = tan2 x

5.26 Tính ñaïo haøm caáp ba cuûa caùc haøm soá sau :

a) y = 3 2x b) y = sin3x

5.27 Tính ñaïo haøm caáp n cuûa caùc haøm soá sau :

a) y = 2

4x

b) y = cos2x

5.28 Tính ñaïo haøm caáp n cuûa haøm soá y = 1

x a+. Suy ra ñaïo haøm caáp n cuûa haøm soá : y = 2

12

x x+ −

5.29 Cho haøm soá y = 21 x− . Tìm heä thöùc giöõa y vaø y”

5.30 Cho haøm soá y = 2sin( tω α+ ) + 3cos( tω α+ ) .Chöùng minh raèng: y” + ω y = 0

D. Höôùng daãn giaûi

5.25 a) y = 12

(cosx – cos5x) y’ = ⇒12

( -sinx + 5sin5x)

⇒ y” = 12

( -cosx + 25cos5x)

b) y’ = 4x3 + 1

2 x ⇒ y” = 12x2 -

14x x

c) y’ = 2

1( 1)x

−−

⇒ y” = 3

2( 1)x −

d) y’ = 2tanx(1+tan2x) = 2tanx + 2tan3x ⇒ y” = 2(1 + tan2x) + 6tan2x(1+tan2x) y” = 2(1+ tan2x)(1+3tan2x)

5.26. a) y = 23x y’ = ⇒

132

3x

−

y” = ⇒4

329

−− x

⇒ y’’’ = 7

33 7

8 827 27

x−

= x

b) y’ = 3sin2x.cosx ⇒ y” = 3(2sinxcos2x – sin3x) ⇒ y’’’ = 3( 2cos3x – 4sin2xcosx – 3sin2x.cosx) = 3cosx (2cos2x – 7sin2x)

5.27. a) Ta coù y = 4x-2 ⇒ y’ = -8x-3 =4(-1)1.2!.x-1-2

Döï ñoaùn coâng thöùc y(n) = 4(-1)n(n+1)!.x-n-2 va chöùng minh baèng qui naïp Giaû söû coâng thöùc ñuùng khi n = k nghóa laø ta coù y(k) = 4(-1)k.(k+1)!x-k-2

Do ñoù y(k+1) =[4(-1)k.(k+1)!x-k-2]’ = 4(-1)k+1(k+2)!x-k-3 ñuùng khi n = k + 1 Vaäy theo qui naïp coâng thöùc ñuùng vôùi moïi n N∈

b) Töông töï nhö ví duï 3b ta coù y = 2ncos(2x + k2π

)

5.28 Theo ví duï 3a ta coù : y = 1

x a+ y⇒ (n)(x) = 1

( 1) . !( )

n

n

nx a +

−+

Ta coù y = 2

12x x+ −

= 1 1 1 1( )

( 1)( 2) 3 1 2x x x x= −

− + − +

Vaäy y(n)(x) = 1 1

( 1) ! 1 1[ ]3 ( 1) ( 2)

n

n n

nx x+ +

−−

− +



27

5.29 y = 21 x− ⇒ y’ = 21 x

x

−

− y” = ⇒

22

2

2

1 11

1

xxx

x

− − +−

−=

22

22

1)1(

1

xx

xx

−−

−+−

Vaäy y”y3 + 1 = 0

5.30. Cho haøm soá y = 2sin( tω α+ ) + 3cos( tω α+ ) y’ = 2ω cos( tω α+ ) - 3ω sin( tω α+ ) y” = -2ω 2sin( tω α+ ) – 3ω 2cos( tω α+ ) = - ω 2 y Vaäy y” + ω 2 y = 0

TRAÉC NGHIEÄM CUOÁI CHÖÔNG . A . Caâu hoûi . 1 . Cho haøm soá y = x3+ 2x . Soá gia cuûa haøm soá taïi xyΔ o= 1 tính theo soá gia xΔ cuûa bieán baèng bieåu thöùc naøo döôùi ñaây ?

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3

3 2 3 2

) 3 5 ) 5

) 3 2 ) 5 2

a x x x b x x

c x x x d x x x

Δ + Δ + Δ Δ + Δ

Δ + Δ + Δ Δ + Δ + Δ

2 . Cho haøm soá 1

xyx

=+

. Tæ soá yx

ΔΔ

taïi xo= 1 baèng bieåu thöùc naøo döôùi ñaây ?

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 1) ) ) )

2 1 2 2 1 2 1a b c d

x x

x x+ Δ + Δ + Δ + Δ

3 . Cho haøm soá y = x3+ x2 , ñoà thò laø ( C ) . (t) laø tieáp tuyeán vôùi ( C ) coù hoøanh ñoä tieáp ñieåm laø moät soá döông vaø (t) song song vôùi ñöôøng thaúng y = 5x . Phöông trình cuûa tieáp tuyeán (t) laø :

a) y = 5x – 1 b) y = 5x – 2 c) y = 5x – 3 d) y = 5x + 1

4 . Cho haøm soá y = x2 , ñoà thò laø ( C ) vaø ñieåm A ( 2 , 3 ) . Neáu (t) laø tieáp tuyeán vôùi ( C ) , (t) qua A vaø phöông trình cuûa (t) coù daïng y = ax – 1 thì tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán naøy coù hoøanh ñoä baèng :

a) 1 b) – 1 c) 2 d) moät ñaùp soá khaùc .

5 . Cho haøm soá y = x2 + x , ñoà thò laø ( C ) vaø y = ax +b ; y = a’x + b’ laø phöông trình cuûa hai tieáp tuyeán vôùi ( C ) coù tung ñoä tieáp ñieåm ñeàu baèng 2 .Theá thì ( a + a’) baèng :

a) 1 b) 2 c) 3 d) moät ñaùp soá khaùc .

6 . Cho haøm soá 2 1

2xy

x+

=+

. Neáu phöông trình y’ = 3 coù hai nghieäm thì toång hai nghieäm naøy baèng bao

nhieâu ? a) –5 b) – 4 c) 4 d) moät ñaùp soá khaùc .

7 . Cho haøm soá 2 2 8y x x= + + . Ñaïo haøm cuûa haøm soá naøy coù giaù trò baèng bao nhieâu khi x = 2 ? a) 0,75 b) 1 c) 1,25 d) moät ñaùp soá khaùc .

8 . Cho haøm soá 82 1

4y x

x= + +

+ . Baát phöông trình y’ < 0 coù bao nhieâu nghieäm laø soá nguyeân ?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

9 . Cho haøm soá y = x3 +ax2 + 3x + 2 . Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì y’ > 0 vôùi moïi giaù trò cuûa x ? a) a < -3 b) a > 3 c) – 3 < a < 3 d) moät ñaùp soá khaùc .

10 . Cho haøm soá : 2

( 01

xy xx

=+

)≠ . Heä thöùc naøo sau nay ñuùng ?



283

21) ' ) ' ) ' ( ) ) 'y ya y b y c y d yy x x

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

yx

=

11 . Cho haøm soá : y = sinx . Ñaïo haøm baäc möôøi hai y(12) cuûa haøm soá naøy baèng : a) sinx b) cosx c) – sinx d) – cosx

12 . Cho haøm soá y = sin2x . Theá thì ( 4y2 + y’2 ) baèng bao nhieâu ? a) 1 b) 2 c) 3 d) moät ñaùp soá khaùc .

13 . Cho bieåu thöùc : 3 2

2

sin 2 2 .x x x xEx− +

= 0Khi x → , giôùi haïn cuûa E ( neáu coù ) baèng bao nhieâu ?


14 . Cho bieåu thöùc : 2

1 cos 2 .xE Khi 0xx

−= → , giôùi haïn cuûa E ( neáu coù ) baèng bao nhieâu ?


15 . Cho bieåu thöùc :

1sin2 .

66

xE Khi x

x

ππ

−=

−→ , giôùi haïn cuûa E ( neáu coù ) baèng bao nhieâu ?

3) 3 ) )2 2

a b 1c

( )

d) moät ñaùp soá khaùc .

16 . Cho haøm soá y = cos2x . Heä thöùc naøo döôùi ñaây ñuùng ? a) y + y” = 0 b) y + 2y” = 0 c)4 y + y” = 0 d) y – 4y” = 0 .

17 . Cho haøm soá y = - x2 – 2x + a . Neáu ñoà thò cuûa haøm soá naøy nhaäân ñöôøng thaúng y = 2x – 1 laøm tieáp tuyeán thì a baèng bao nhieâu ?

a) 3 b) 4 c) - 5 d) moät ñaùp soá khaùc .

2 12 1 ( )2

y ax bx c x x= + + − >18 .Cho haøm soá : . Neáu y’=210 7 22 1

x xx

− +−

thì (a + b + c )

baèng bao nhieâu ? a) 2 b) 3 c) 4 d) moät ñaùp soá khaùc .

19 . Cho haøm soá : 3

2 1y xx

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Ñaïo haøm cuûa haøm soá naøy baèng

( ) ( )

2 2 22

22 322

2 4

1 1 1)3 )3( ) 2

3 1 2 11 1) 3 2 )

a x b x xx x x

x xc x x d

x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

20 . Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi xo= a laø f’(a) vaø bieåu thöùc E ( ) ( )af x xf a

x a−

=−

. Giôùi haïn cuûa bieåu

thöùc naøy khi x tieán tôùi a baèng : a) af(a) – f’(a) b) af’(a) – f(a) c) a( f(a) – f’(a) ) d) f’(a) – af(a) .

B . Ñaùp aùn . 1a 2b 3 c 4 a 5 d 6 b 7 a 8 b 9 c 10 d

11c 12 d 13c 14b 15b 16 c 17c 18a 19d 20b .

C . Höôùng daãn giaûi.



292 5 x1(a) . . ( ) ( ) ( ) ( )3 331 2 1 (1 2.1) 3y x x x xΔ = + Δ + + Δ − + = Δ + Δ + Δ

2(b) . ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 1 21 1 11 1 1 1 2 2 2 2 2 2

x xx xy yx x x x

+ Δ − + Δ+ Δ Δ ΔΔ = − = = ⇒ =

+ Δ + + + Δ + Δ Δ + Δx

3(c ) . Goïi xo laø hoøanh ñoä tieáp ñieåm , ta coù : f’(xo) = 5 hay 3xo2 +2xo = 5 hay xo= 1 ( vì xo> 0 ) .

Phöông trình tieáp tuyeán phaûi tìm laø : y – 2 = 5( x – 1) hay y = 5x – 3 .

4(a) . Tieáp tuyeán naøy qua A( 2 , 3 ) , ta coù : 3 = 2a – 1 hay a = 2 . Goïi xo laø hoøanh ñoä tieáp ñieåm , ta coù : y’(xo) = 2 hay 2xo= 2 hay xo= 1 .

5(d) . y = 2 hay x2 + x = 2 hay x = 1 ; x = - 2 . Maø y’ = 2x + 1 neân phöông trình 2 tieáp tuyeán laø : y – 2 = y’(1) ( x – 1 ) hay y = 3x – 1 ; y – 2 = y’(-2) (x + 2 ) hay y – 2 = - 3 ( x + 2 ) hay y = -3x – 4 . Vaäy ( a + a’ ) = 3 – 3 = 0 .

6(b) .Ta coù : ( ) ( )

22 2

3 3' ; ' 3 3 4 32 2

y y x xx x

= = ⇔ = ⇔ + ++ +

0= . Vaäy toång hai nghieäm baèng – 4 .

7(a) . 2

2 2 6' ; '(2) 0,7582 2 8

xy yx x

+= =

+ +=

( )

.

( )( )

8(b) . 2

22 2

2 8 128' 2 ; ' 0 8 12 0 6 24 4

x xy y x x x

x x

+ += − = < ⇔ + + < ⇔ − < < −

+ +

2' 0 9 0 3 3a a

.Vaäy baát phöông

trình y’ < 0 coù 3 nghieäm nguyeân laø : -5 ; - 4 ; - 3 . 9(c ) . y’ = 3x2 +2ax +3 ; y’ > 0 vôùi moïi x khi Δ < ⇔ − < ⇔ − < <

10(d) . ( ) ( ) ( )

2

23 3

2 2 2 2 2 2

21. 1 .1 1 12 1' ;( ) ( )

1 1 1 1 1 1

xx xyxyxx x x x x x

+ −+= = = =

+ + + + + +

11(c) . y’= cosx ; y”= -sinx ; y(3)= - cosx ; y(4) = sinx y(5) = cosx ; y(6) = -sinx … Vaäy y(12) = sinx .

12(d) . y’ = 2cos2x ; 4y2 +y’2 = 4 .

00

22

2 0 0

6

sin 2 sin 213( ). 2 .2 22

sin 2lim 2lim 0 2 2 2 42

2sin sin14( ). ; lim 2lim 2

( ) ( ) 3615( ). ; lim '( ) cos6 6 2

6( ( ) sin ; '( ) cos )

xx

x x

x

x xc E x xx x

xEx

x xb E Ex x

f x fb E E f

x

do f x x f x x

π

ππ π

π

→→

→ →

→

= − + = − +

⎛ ⎞= − + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

−= = = =

−

= =

16(c) . y’= - 2sin2x ; y” = - 4cos2x . Do ñoù : 4y + y” = 0 .

17(c) . y’ = - 2x – 2 . Goïi xo laø hoøanh ñoä tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (t) phaûi tìm , ta coù : y’(x ) = 2 hay –2 xo o-2 = 2 hay x = - 2 . Phöông trình tieáp tuyeán (t) coù daïng : y – ( -4 + 4 + a = 2(x + 2 ) hay y = 2x +4 + o

a . Theo giaû thieát 4 + a = -1 hay a = -5 .



30

( ) ( ) ( ) ( )22 5 3 2118( ). ' 2 2 1 .

2 1 2 15 10 2

3 2 7 1 22 1

ax b a x c ba y ax b x ax bx c

x xa a

b a b a b cc b c

+ − + −= + − + + + =

− −⎧ = =⎧⎪ ⎪⇒ − = − ⇔ = − ⇒ + + =⎨ ⎨⎪ ⎪− = =⎩⎩

( )( )3 322

2 4

3 1 2 11 119( ). ' 3 2x x

d y x xx x x

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20( ). . ( )

( ) ( )lim .lim ( ) '( ) ( )x a x a

af x af a af a xf a f x f ab E a f ax a x a

f x f aE a f a af a f ax a→ →

− − + − −= =

− −−

= − = −−

−

Date post:	30-Aug-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

GIAÛI TÍCH 11...Chöông 5 : Ñaïo haøm 3 b) y = f ( x ) = 21 2 x x + + taïi xo = 1 Giaûi : a)...

Documents