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Fundamentación antropológica de las organizaciones

Marianna Bosch

Josep Gascón Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona, España Abstract. The didactics of mathematics needs to elaborate its own epistemological models to describe and analyze mathematical knowledge. This is an important contribution of the theory of didactic situations that is later found in the anthropological theory of the didactic (ATD). In the case of the ATD, the notion of praxeology is used as a model of both mathematical

f this knowledge. This paper proposes a revision of the proposals made in the ATD to support didactic praxeologies, from

Résumé. Le besoin, pour la didactique des mathématiques, épistémologiques des savoirs mathématiques constitue un apport fondamental de la théorie des situations didactiques qui se retrouve dans la théorie anthropologique du didactique (TAD). Dans le cas de la TAD, la notion de praxéologie sert de modèle aussi bien du savoir mathématique que des activités « didactiques propose une révision des différentes propositions qui se sont faites depuis la TAD pour fonder les praxéologies didactiques, la notion de « ». Resumen. La necesidad para la didáctica de las matemáticas de elaborar sus propios modelos epistemológicos de los saberes matemáticos constituye una aportación fundamental de la teoría de situaciones didácticas que recoge la teoría antropológica de lo didáctico (TAD). En el caso de la TAD, la noción de praxeología sirve de modelo tanto del saber matemático como

revisión de las distintas propuestas que se han hecho desde la TAD para fundamentar de las praxeologías didácticas, desde el modelo de los momentos del estudio hasta la noción de

orrido de estudio e investigación .

Bronner, A., Larguier, M., Artaud, M., Bosch, M., Chevallard, Y., Cirade, G. & Ladage, C. (Éds)

55-91) IIe congrès international sur la TAD (Uzès, 31 oct.-3 nov. 2007) © 2010

Marianna Bosch y Josep Gascón

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1. El problema del desarrollo y fundamentación de las organizaciones didácticas A lo largo de la historia encontramos múltiples formas de organizar la enseñanza escolar de las matemáticas. Todas ellas se apoyan, en cierta medida, en una manera particular de interpretar las matemáticas un modelo epistemológico estrechamente relacionada con una conceptualización

momento histórico, en cada tradición cultural y en cada institución: lo que podemos considerar como un modelo didáctico. En la medida que los modelos didácticos se mantienen implícitos, a salvo de todo cuestionamiento y, sobre todo, en la medida en que las formas de organizar la enseñanza de las matemáticas se presentan como si no necesitaran de ningún tipo de justificación ni fundamentación explícita más allá de criterios genéricos que emanan principalmente del sentido común, diremos que se trata de modelos didácticos espontáneos.

Con la universalización de la educación obligatoria y las reformas que se han sucedido desde los años 60, han aumentado las críticas a las formas tradicionales de organizar la enseñanza de las matemáticas y, consiguientemente, ha resurgido la necesidad de explicitar los principios que, presuntamente, las fundamentan o justifican. De esta manera, los modelos docentes que se vienen proponiendo desde mediados del siglo

base a criterios más manifiestos y potencialmente criticables. Curiosamente la mayoría de los principios que se han esgrimido para

fundamentar las propuestas de enseñanza escolar de las matemáticas, especialmente los que figuran en los documentos curriculares oficiales, se basan en postulados de origen psicopedagógico que no tienen suficientemente en cuenta ni la especificidad de la actividad matemática ni, por lo tanto, el modelo epistemológico de las matemáticas que implícitamente se está utilizando. Así, por ejemplo, en una de las últimas reformas de la enseñanza en España, se planteó abiertamente el problema de

r lo que se designaba

¿dónde buscar la información necesaria para precisar las intenciones objetivos y contenidos y el plan de acción que debe seguirse en la educación escolar?; ¿con qué criterios decidir cuál es la mejor secuencia y el ritmo más adecuados para presentar a los alumnos unos contenidos

Las organizaciones didácticas: de los TPM a los REI

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determinados?; etc. La respuesta oficial que se propugnaba refería a la psicológico, del análisis

disciplinar, del análisis sociológico y del análisis pedagógico (Coll, 1986, pp. 14-21). Pero, dada la posición dominante de la psicología educativa en el proyecto de reforma y la imposibilidad de construir un discurso efectivo y coherente mediante la simple yuxtaposición de criterios provenientes de diferentes disciplinas, se acabó otorgando una preeminencia absoluta a la fuente psicológica y, en relación con esta, a la fuente pedagógica 1.

Actualmente se da un fenómeno similar con la d

estudiantes las competencias necesarias para resolver los problemas de todo tipo: académicos, profesionales, personales y sociales. Dado que esta

no propone una organización detallada del proceso de estudio que permita desarrollar efectivamente dichas competencias, el problema de la génesis y justificación del modelo didáctico vuelve a quedar abierto, apareciendo, a lo sumo, formulado en términos asombrosamente simplistas, como lo muestra el siguiente pasaje de Rué (2008):

a trabajar en equipo se aprende trabajando en equipos eficientes y eficaces. A observar, se aprende observando realidades distintas, comparándolas. Resolver problemas significa inventar soluciones y verificar si funcionan o no, o hasta dónde o en qué condiciones lo son. Por lo tanto, finalidad, método y evaluación de resultados deben seguir una misma lógica. (p. 15)

ógica de la

Guy Brousseau en las pasadas reformas (consideradas como fracasadas) de los sistemas educativos. El motor de todas ellas es la confusión entre los instrumentos de evaluación de los resultados de los alumnos y los criterios para organizar el proceso de enseñanza escolar (Brousseau, 2007).

1.1. fundamentación de las organizaciones didácticas Desde el punto de vista de la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD), las formas de organizar la enseñanza escolar de las matemáticas se describen en términos de praxeologías didácticas y, como tales, presentan una estructura compuesta por dos bloques inseparables: el 1. Para más detalles, ver Chevallard, Bosch y Gascón (1997), pp. 141-147.


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bloque práctico-técnico (la praxis tecnológico-teórico (el logos actividades humanas, la praxis didáctica, constituida por las tareas y las técnicas didácticas, sólo puede vivir con normalidad en una institución si en ésta hay disponible un discurso tecnológico-teórico didáctico capaz de describir, justificar, interpretar y desarrollar la praxis, aportando además criterios para diseñarla y gestionarla. En caso contrario, dicha práctica envejece rápidamente, deja de tener sentido para los sujetos de la institución y acaba siendo reemplazada por otra. Postulamos que éste es el proceso habitual, relativamente rápido, que siguen la mayoría de innovaciones didácticas espontáneas implantadas por las sucesivas reformas de la enseñanza de las matemáticas. Al no conseguir difundir discursos tecnológico-mantener en vida, desarrollar y dar sentido a las distintas praxis didácticas que impulsa cada reforma, éstas tienden a funcionar con mucha rigidez, pierden efectividad y acaban por ser abandonadas.

Utilizando las herramientas que proporciona la TAD, podemos formular como sigue el problema de la génesis, el desarrollo y la fundamentación de las organizaciones didácticas:

¿Cómo describir el componente práctico de una organización didáctica dada? ¿Cómo (en qué términos, con qué categorías) determinar los tipos de tareas y las técnicas didácticas correspondientes? ¿En qué consiste un discurso que cumpla las funciones de discurso tecnológico en relación a la práctica didáctica citada? ¿Con qué términos primitivos y con qué categorías conceptuales se construye dicho discurso

logos ación didáctica? ¿Cuáles son los mecanismos mediante los cuales la tecnología didáctica incide sobre la práctica didáctica y la hace evolucionar? ¿Qué papel juega o podría jugar la teoría didáctica (considerada como último nivel de justificación e interpretación de la práctica didáctica) en la génesis y desarrollo de las organizaciones didácticas?

tecnología notar que, en el ámbito de las praxeologías matemáticas, y a diferencia de lo que pasa en el caso de las praxeologías didácticas, nadie pretenderá hoy día que las prácticas matemáticas deban generarse, describirse, justificarse,


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interpretarse o fundamentarse mediante un discurso ajeno a las propias matemáticas. Podemos concluir que poseer un discurso tecnológico-teórico propio constituye uno de los rasgos distintivos de las praxeologías que se apoyan en disciplinas científicas relativamente autónomas.

En consecuencia, para empezar a abordar el problema de la génesis, el desarrollo y la fundamentación de las praxeologías didácticas, es imprescindible clarificar la naturaleza del discurso específicamente

relativa de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica. Para ello debemos empezar situando la didáctica de las matemáticas en un universo de disciplinas, puesto que la autonomía relativa de una disciplina se define en función de las relaciones de dependencia que mantiene con las

que, siguiendo a Chevallard (1991, postfacio), situamos la didáctica de las matemáticas en el universo de la antropología cognitiva y, más concretamente, como parte nuclear de la antropología de las matemáticas, que toma como objeto primario de estudio las diferentes formas de manipulación social (creación, difusión, utilización y transposición institucional) de las matemáticas.

Una vez clarificado el ámbito en el que situamos el discurso específicamente didáctico-matemático, el objetivo principal de este trabajo consiste precisamente en empezar a esbozar algunos de los componentes principales del bloque tecnológico-teórico de las praxeologías didácticas, esto es, algunos de los elementos del discurso que permite generar, describir, interpretar, justificar y desarrollar los procesos de estudio de las matemáticas. Este discurso tecnológico-teórico es el que deberá proporcionar

matemáticas) a las distintas posibles prácticas didácticas. En la medida en que podamos cumplir este objetivo estaremos

esbozando lo que podríamos denominar un modelo antropológico general de la cognición matemática que abarcará, de forma inseparable, un modelo epistemológico de las matemáticas y un modelo de su estudio (que incluye la enseñanza y el aprendizaje institucionalizados de las matemáticas). Se trata, en definitiva, de describir cuáles son las condiciones necesarias para que los

tiempo, establecer qué tipos de restricciones dificultan, y hasta pueden llegar a impedir, que dicha actividad se desarrolle con normalidad.


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La forma concreta en que formularemos la respuesta al problema de la fundamentación de las organizaciones didácticas es la siguiente. Empezaremos utilizando algunos resultados obtenidos anteriormente en el ámbito de la TAD para caracterizar tres disfunciones esenciales en el tipo de actividad matemática que es posible llevar a cabo actualmente en las instituciones escolares y que impiden su desarrollo en el aula. A continuación, describiremos la estructura y las funciones de los nuevos tipos de organizaciones didácticas que, postulamos, constituyen la infraestructura didáctica necesaria para superar estas restricciones.

tico de

En múltiples investigaciones anteriores (Bolea, 2003; Bolea, Bosch & Gascón, 2001; Barbé, Bosch, Espinoza & Gascón, 2005; Bosch, Fonseca & Gascón, 2004; García, 2005; García, Gascón, Ruiz & Bosch, 2006; García, Bosch, Gascón & Ruiz, 2007; Sierra, 2006; Sierra, Bosch & Gascón, 2007) hemos utilizado una hipótesis básica que se ha manifestado muy fecunda para el análisis didáctico. Dicha hipótesis puede formularse, concisamente, como sigue: toda organización o praxeología didáctica (en adelante, OD) que vive en una institución determinada está sustentada y fuertemente condicionada por el modelo epistemológico de las matemáticas dominante en dicha institución. Esta hipótesis puede considerarse como una reformulación de la afirmación de Guy Brousseau según la cual los modelos docentes espontáneos son simplistas porque están sustentados por un modelo

s matemáticas, de elaborar un modelo epistemológico que le sirve de

presentes en las instituciones observadas como para la elaboración de nuevas propuestas de OD.

En los trabajos citados, hemos explicitado modelos epistemológicos de referencia (MER) específicos de cada uno de los ámbitos matemáticos considerados: el álgebra elemental, los límites de funciones, la modelización matemática, los sistemas de numeración y la medida de magnitudes. Dichos modelos, elaborados por la didáctica de las matemáticas para el análisis y el diseño didácticos, deben ser considerados como sistemas de referencia


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relativos y provisionales para el investigador 2. Los hemos utilizado, en cada caso, como instrumentos de análisis del modelo epistemológico de las matemáticas dominante en la institución escolar y como auxiliares para caracterizar los modelos docentes espontáneos que se sustentan en el citado modelo epistemológico. Han resultado asimismo imprescindibles para diseñar, gestionar y evaluar propuestas de nuevas organizaciones didácticas.

refiere Brousseau, como los MER que hemos utilizado en las investigaciones

-En efecto, en los primeros trabajos del enfoque antropológico (Chevallard, 1991, 1992) ya se postulaba la necesidad de ampliar substancialmente la epistemología a fin de integrar en su objeto de estudio, junto a la génesis y desarrollo del saber, la enseñanza, la utilización y la transposición institucional del mismo. Se ampliaba así, paralelamente, la noción misma de fenómeno didáctico y, por consiguiente, el objeto de estudio de la didáctica

de manipulación social de las matemáticas. En coherencia con esta posición, la didáctica de las matemáticas debe

elaborar sus propios modelos didácticos de referencia (MDR) que pueden ser considerados como una ampliación de los ya citados modelos epistemológicos de referencia (MER). Una de las funciones esenciales del uso de dichos modelos es la de constituir, para el investigador en didáctica y para la propia disciplina, un instrumento de emancipación respecto las diferentes instituciones que forman parte de su objeto de estudio: la institución matemática, la clase, la institución escolar y la sociedad (Chevallard, 2007; Bosch & Gascón, 2007). En particular deben servir para cuestionar, analizar y evaluar (en lugar de aceptar acríticamente) los dos tipos de modelos dominantes en estas instituciones: por un lado, los modelos epistemológicos de las matemáticas que se toman como transparente e

2. La teoría de la transposición didáctica nos enseña que no hay ningún sistema de referencia privilegiado para el análisis de las diferentes etapas del proceso de transposición didáctica. Pero la ausencia de un sistema de referencia absoluto no hace menos imprescindible la utilización de sistemas de referencia relativos adecuados a cada situación, modelos cuyo carácter hipotético les atribuye una provisionalidad permanente o, mejor dicho, una evolución permanente siempre sometidos a la prueba del contraste empírico y reformulados en función de los nuevos problemas por abordar (Bosch & Gascón, 2005).


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legitimidad social, aparecen como las encargadas de conformar la institución or ello dejan de formar parte del objeto de

estudio del didacta); y, por otro lado, los modelos didácticos más o menos espontáneos que constituyen la forma aceptada culturalmente de interpretar la enseñanza y el aprendizaje escolar de las matemáticas y que, en consecuencia, tienen una gran preponderancia en las instituciones docentes.

Si utilizamos la jerarquía de niveles de codeterminación entre las formas de estructurar las cuestiones matemáticas a estudiar y las maneras de organizar su estudio en la escuela (Chevallard, 2001, 2004), esto es, entre las organizaciones matemáticas escolares y las correspondientes organizaciones didácticas, podemos considerar modelos didácticos de referencia que sean, en primera instancia, específicos de un tema, de un sector o de un área de la matemática escolar. Pero, al igual que pasa con los MER, la estructura y la dinámica de los citados MDR debe ser coherente con un modelo didáctico de referencia general cuya descripción se formule en el nivel de la disciplina (matemática, en este caso) pero que tome en consideración las condiciones y restricciones provenientes de los niveles más genéricos de codeterminación, como el nivel pedagógico, el escolar, el social y el de la civilización.

Digamos, para concluir este apartado, que la teoría de los momentos didácticos (Chevallard, 1999), considerados como factores básicos o dimensiones del desarrollo de la actividad matemática institucionalizada, es el instrumento privilegiado de la TAD para describir la dinámica de las organizaciones didácticas. En consecuencia, los citados momentos jugarán

praxislogos

didácticas) y, en definitiva, en la formulación del citado modelo didáctico de referencia. 2. de análisis de las organizaciones didácticas históricamente existentes Utilizando las herramientas que proporciona la TAD podemos precisar un poco la noción de modelo didáctico al considerarlo como una descripción simplificada de un tipo de praxeologías u organizaciones didácticas. Este

descripción de un modelo didáctico suele centrarse en la práctica didáctica (prescindiendo del bloque tecnológico-teórico de la praxeología didáctica) y,


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por otro lado, a que la descripción de dicha práctica se hace normalmente tomando en consideración únicamente unas pocas características de la misma ignorándose, por cuestiones de economía, otras muchas.

De hecho, cualquier intento de analizar la extraordinaria complejidad de las organizaciones didácticas efectivamente existentes requiere el uso de

cos, en el sentido de los conceptos-tipo ideales

los fenómenos de las ciencias sociales. Se trata, en nuestro caso, de tipos

ninguna institución docente, pero que son muy útiles para describir los modelos didácticos efectivamente existentes, de un modo análogo a como se puede utilizar la tabla periódica de los elementos químicos para describir los minerales efectivamente existentes en la naturaleza.

Empezaremos resumiendo muy brevemente algunos trabajos anteriores (Gascón, 2001; Bosch y Gascón, 2005) en los que hemos utilizado los momentos didácticos construir ciertos tipos ideales de modelos didácticos posibles. Inicialmente elegimos sólo tres dimensiones (o momentos) porque parecen suficientes para situar los modelos didácticos (casi siempre espontáneos) efectivamente existentes a lo largo de la historia de la enseñanza escolar de las matemáticas. Los tres primeros tipos ideales de modelos didácticos que hemos construido son los que pueden denominarse unidimensionales porque cada uno de ellos está caracterizado por dar una prioridad casi absoluta a uno sólo de los momentos o dimensiones del proceso de estudio. Tenemos así, respectivamente, los modelos didácticos teoricistas (centrados en el momento tecnológico-teórico), tecnicistas (centrados en el momento del trabajo de la técnica) y modernistas (centrados en el momento exploratorio).

En dichos trabajos hemos mostrado que cada uno de dichos tipos ideales de modelos didácticos presupone implícitamente un modelo del estudio (y, en particular, de la enseñanza y el aprendizaje institucionalizado) de las matemáticas y, por lo tanto, unos criterios para generar y fundamentar una manera particular de organizar el proceso de estudio de las matemáticas (esto es, una organización didáctica). Se trata, en definitiva, de tipos ideales de modelos epistemológico-didácticos y, como tales, podrán utilizarse como prototipos, muy rudimentarios, de modelos didácticos de referencia genéricos.


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El esquema anterior hace surgir otros tres tipos ideales de modelos didácticos, en este caso bidimensionales porque integran dos de las dimensiones o momentos del proceso de estudio. Los hemos denominado respectivamente clásicos (centrados en los momentos tecnológico teórico

empiristas (cuando toman en

constructivistas y tecnológico- (ver figura 1).

Finalmente en los trabajos citados hemos asociado a cada uno de los tipos ideales de modelos didácticos bidimensionales uno de los tipos clásicos de modelos epistemológicos de las matemáticas. Así, las OD clásicas

-

en efecto que una primera caracterización de un modelo didáctico viene dada por el tipo de modelo epistemológico de las matemáticas que lo sustenta. Dicho en otras palabras, consideramos que un componente esencial del logos -teórico) de una praxeología didáctica es la

forma (más o menos explícita) de interpretar qué son las matemáticas y cómo se construyen, difunden, enseñan, aprenden y utilizan. Dado que los tipos ideales de modelos didácticos que hemos definido y caracterizado brevemente aceptan una tecnología didáctica muy sencilla, constituyen un

Figura 1. Modelos didácticos uni y bidimensionales.

/

W

Ex

OD Clásicas

OD Constructivistas

OD Procedimentalistas

OD Modernistas

OD Tecnicistas


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principales de dicha tecnología didáctica en las organizaciones didácticas

3. Tres disfunciones de las organizaciones matemáticas escolares El análisis de los modelos didácticos espontáneos efectivamente existentes a lo largo de la historia muestra que éstos no sólo se sitúan en el espacio tridimensional definido por las tres dimensiones citadas sino que, en general, no toman en consideración más de dos de dichos momentos de la actividad matemática, por lo que podrían situarse hipotéticamente en alguno de los tres

1) y, por lo tanto, se podrían considerar sustentados por alguno de los tres tipos de modelos epistemológicos citados. Aunque los factores que provocan que, en un momento histórico y en una institución docente determinada, se prioricen unas u otras dimensiones de la actividad matemática son muy complejos, podemos considerar, en primera instancia, como uno de los factores principales la ideología pedagógica dominante en la institución y, en particular, el modelo epistemológico (de las matemáticas) subyacente a dicha ideología.

De hecho, gran número de investigaciones dentro de la TAD han puesto de manifiesto que algunas lagunas y disfunciones que se observan en la actividad matemática que es posible llevar a cabo en el seno de las instituciones docentes actuales, están claramente vinculadas a los modelos epistemológicos y didácticos dominantes en dichas instituciones. Es por ello que postulamos que la explicitación de dichas disfunciones nos permitirá desarrollar progresivamente un modelo didáctico de referencia útil para el análisis, diseño, gestión y evaluación de las praxeologías didácticas.

Empezamos pues destacando tres disfunciones básicas de la actividad matemática escolar que se lleva a cabo en las instituciones docentes actuales. Mencionaremos, en primer lugar, la ausencia de un dispositivo didáctico que permita la vida institucionalizada del momento del trabajo de la técnica (Chevallard, 1991; Chevallard, Bosch & Gascón, 1997). Dicha ausencia puede interpretarse, en parte, como consecuencia de la poca importancia atribuida al trabajo de la técnica y la ignorancia escolar (y cultural) de su papel en toda actividad creativa en general y en la actividad científica en particular. Si consideramos los demás momentos didácticos y cómo la ausencia de algunos de ellos afecta al tipo de organizaciones matemáticas que se pueden construir en la escuela, aparece una segunda disfunción: la


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incompletitud relativa de las organizaciones matemáticas locales escolares en Secundaria (Bosch, Fonseca & Gascón, 2004), ligada a las restricciones escolares que impiden el desarrollo de algunos momentos didácticos, como el tecnológico-teórico y el del trabajo de la técnica o, más parcialmente, el de la evaluación muy centrada en los alumnos y que raramente afecta a las praxeologías matemáticas efectivamente construidas en el aula o el de la institucionalización que sólo alcanza de manera muy selectiva unos pocos ingredientes de dichas praxeologías. Finalmente, una disfunción importante correlativa de lo que Chevallard (2004) ha designado como la pedagogía

de la mayoría de praxeologías matemáticas que se construyen en el aula, olvido que se manifiesta en la ausencia escolar de las principales cuestiones (intramatemáticas o extramatemáticas) a las que responden las matemáticas enseñadas.

Estas ausencias, lagunas o disfunciones de la actividad matemática escolar no son imputables, en primera instancia, a los sujetos de la institución docente los alumnos y profesores sino que provienen de restricciones que surgen en el nivel del sistema de enseñanza e incluso más allá. La concentración del didacta en aquellos fenómenos que se pueden circunscribir dentro de los límites estrechos del trabajo en el aula ha dificultado que el estudio de estas restricciones haya recibido hasta la fecha la atención que merece.

Podríamos considerar que las anteriores disfunciones son esencialmente de origen epistemológico (en el sentido habitual restringido de la epistemología de las matemáticas), al tratarse principalmente de características que afectan a los componentes de las praxeologías matemáticas. Pero, en realidad, los tres fenómenos didácticos descritos brevemente hacen referencia a las condiciones de posibilidad y a las restricciones que afectan la génesis y el desarrollo institucional de las praxeologías matemáticas. Podríamos continuar diciendo que las

la condición de aceptar la ampliación radical de la epistemología que incluye como ámbito de estudio no sólo la creación o construcción y evolución del saber sino también sus condiciones de difusión en las instituciones sociales. En consecuencia, la respuesta a las citadas disfunciones deberá venir dada por una forma de organizar las prácticas didácticas institucionalizadas que tome en consideración criterios no sólo epistemológicos (en el sentido de la


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epistemología clásica de las matemáticas), sino también otros criterios antropológicos tendentes a superar las restricciones que están en la base de las disfunciones que hemos citado anteriormente. Este conjunto de criterios empezarán a conformar un discurso tecnológico-teórico de naturaleza

constituirá el primer esbozo de un modelo antropológico de la cognición matemática.

Para ello, empezaremos por esbozar la estructura y la dinámica de un nuevo tipo de praxeologías didácticas que pretenden superar las tres grandes disfunciones que hemos descrito y que son comunes a la inmensa mayoría de los modelos docentes espontáneos actualmente vigentes. A continuación mostraremos que este nuevo tipo de praxeologías didácticas, cuya completa implantación en los actuales sistemas de enseñanza no deja de ser problemática, se fundamenta efectivamente en un modelo antropológico de la cognición matemática

epistemológico de las matemáticas (en el sentido de la epistemología clásica), un modelo de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas y

cognitivorequiere y las restricciones que dificultan la génesis y el desarrollo de la relación personal de los sujetos de una institución a las praxeologías matemáticas. 4.

nuevo dispositivo didáctico cuya principal función es la de legitimar, institucionalizar y hacer visible el momento del trabajo de la técnica dentro de los distintos procesos didácticos escolares (Chevallard, 1991; Bosch & Gascón, 1994). Este dispositivo fue diseñado para paliar la primera de las lagunas que hemos citado como inherentes a los actuales sistemas de enseñanza de las matemáticas. En su origen, este dispositivo se introdujo en la enseñanza universitaria española de las matemáticas con la perspectiva de

educativo, estructura basada en un modelo epistemológico de tinte

teorías y tecnologías matemáticas, subordina la construcción del bloque práctico-técnico de las OM a la de su bloque tecnológico-teórico. Así, en la


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tecnológico-teórico de las OM que se quieren enseñar (definiciones, axiomas, principios, teoremas, proposiciones, corolarios, etc.) y,

estos ingredientes y a transformarlos en técnicas útiles para abordar distintos tipos de problemas.

Es muy habitual que esta estructura didáctica binaria, en la que

aula un gran número de praxeologías nuevas con las que deben familiarizarse y que deben aprender a dominar por sí solos, a partir del trabajo personal fuera del aula. Es también en este ámbito privado donde se deben tratar las dificultades, nuevas cuestiones y resultados que necesariamente surgen de este trabajo de afianzamiento técnico. Si bien es

individuales con el profesor debería venir a reforzar y guiar este trabajo personal, no alcanza a tener ni los recursos ni la importancia académica que se asigna a las clases presenciales de teoría y problemas. En definitiva, el

que propone no incluye ningún indicio sobre la importancia efectiva del trabajo de la técnica para la creación de nuevos objetos matemáticos, ni

nuevos ámbitos que se les presentan. Los TPM se introdujeron de forma experimental en las asignaturas de

primer ciclo de la licenciatura de matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona a principios de la década de los 90 como dispositivo complementario de esta organización didáctica con el objetivo de ofrecer un lugar en el que los estudiantes, con la ayuda de un profesor, pudieran llevar a cabo un estudio profundizado de un pequeño número de tipos de problemas

(Bosch & Gascón, 1994). El análisis del funcionamiento controlado de los TPM permitió poner de manifiesto su capacidad de incidencia sobre los dispositivos didácticos existentes y sobre la vida del resto de las dimensiones del proceso de estudio. En particular, se evidenció su capacidad para integrar tres momentos didácticos que aparecen claramente desvinculados en la organización tradicional: el momento exploratorio, el tecnológico-teórico y el del trabajo de la técnica.


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El funcionamiento general de un TPM puede describirse sintéticamente del modo siguiente. Consiste en retomar una OM puntual previamente establecida es decir un tipo de problemas previamente explorado por el grupo de estudiantes y para el que se dispone de un embrión de técnica de estudio el objetivo de enriquecerla con nuevos problemas, nuevos ingredientes técnicos y tecnológico-teóricos, transformando así poco a poco la OM puntual de partida en una OM local más amplia y más completa. Dado que toda técnica se construye mediante la consideración de especímenes de problemas muy concretos y particulares, es normal que ésta presente muy pronto un alcance y una funcionalidad limitados. El objetivo del TPM consiste en ir ampliando progresivamente los especímenes de problemas considerados por los estudiantes para provocar variaciones más o menos fuertes de la técnica inicial, lo que permite medir su alcance y hacerla evolucionar. Este desarrollo de la técnica, que se presenta como el motor de la ampliación progresiva del tipo de problemas estudiado, suele provocar la aparición de multitud de cuestiones tecnológicas (relativas al trabajo práctico-técnico) y de nuevas necesidades teóricas. Recíprocamente, el desarrollo del bloque tecnológico-teórico facilita la creación de nuevas técnicas y de nuevas relaciones entre las técnicas construidas, lo que permite plantear nuevas cuestiones, generando entonces nuevos momentos exploratorios. Se alimenta así una dinámica en la que no sólo se integran de manera funcional las citadas tres dimensiones de la actividad matemática el trabajo de la técnica, el momento tecnológico teórico y el exploratorio , sino que también es posible dar un nuevo sentido al momento de la evaluación: se evalúan los distintos elementos de las organizaciones matemáticas consideradas y no sólo el dominio que muestran los estudiantes en la activación de estos elementos. De este modo, lo que el trabajo en un TPM acaba provocando es la articulación de distintas OM puntuales previamente disponibles para los alumnos en una OM local construida alrededor de una problemática y un discurso tecnológico-teórico común.

Hasta la fecha, los únicos TPM diseñados y experimentados por nuestro equipo de investigación afectan a la enseñanza universitaria. Todos estos TPM presentan una misma estructura. Se organizan en tres o cuatro sesiones de 3 horas cada una, con una temática común pero cierta independencia entre ellas: cada sesión parte de una OM puntual concreta y tiene por objetivo la construcción, mediante el desarrollo del momento del trabajo de la técnica,


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de elementos de una OM local que la incluya. Las OM puntuales de las distintas sesiones están relacionadas entre sí en el sentido que se podrían articular en una misma OM local o regional. La explicitación de esta posible construcción más amplia puede constituir el objetivo final del taller, o bien quedarse implícita dejando cierta autonomía en el trabajo de cada sesión, para ser retomada después en otros momentos del proceso de estudio (por

MP es

relativamente simple. El profesor empieza presentando el objetivo del taller, destacando el tipo de problemas y la cuestión que le da origen la OM puntual previamente disponible y entrega a los estudiantes una lista de problemas del tipo considerado, a veces estructurados en dos o tres subtipos.

estudiado algunos de los problemas propuestos y conocen la técnica inicial distintos modos,

la técnica inicial delante de los alumnos para resolver algunos de los problemas propuestos. Se pretende de este modo que los alumnos puedan empezar a trabajar con cierta autonomía y resolver con cierta facilidad los primeros problemas que se les presentan. Después de recorrer algunos de ellos, lo normal es que la técnica empiece a mostrar sus limitaciones y requiera algún tipo de adaptación o variación. Los distintos especímenes de problemas propuestos van así provocando el desarrollo de la técnica y la incorporación de nuevos ingredientes tanto técnicos como tecnológicos a la OM inicial. Para ello es importante que los alumnos dispongan de algún medio de validación para la utilización de la técnica, es decir que puedan evaluar cuándo el problema considerado se ha podido resolver convenientemente y cuando no. Algunas veces los propios estudiantes pueden ser capaces de asumir las variaciones técnicas requeridas para continuar el estudio, e incluso de sugerir cambios más bruscos que los inicialmente previstos. Otras veces es el profesor quien debe introducir o sugerir los nuevos elementos praxeológicos a considerar. En este sentido, la dinámica de cada sesión puede ser distinta en función de la OM puntual de partida y de la complejidad de la técnica inicial. También su finalización puede tomar distintas formas. En algunos casos se puede proponer una breve prueba en la que los estudiantes deben resolver en tiempo limitado (unos 15


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minutos) un nuevo problema del tipo considerado durante la sesión. En otros casos se puede pedir a los estudiantes que entreguen un dossier al final del taller explicando el trabajo realizado y los resultados obtenidos en cada sesión, reconstruyendo así a posteriori una posible relación entre las distintas sesiones del taller.

A pesar de la variabilidad que hemos comentado, tanto en la planificación como en la gestión efectiva de los distintos TPM

de este tipo de dispositivo didáctico que se pueden resumir en los puntos siguientes:

1. Cada taller supone la selección de un número muy reducido de OM puntuales relacionadas entre sí que forman parte del programa de estudios del

del

centrados en otras OM puntuales a modo de dispositivo de estudio personal. 2. Para cada sesión y cada OM puntual considerada, los estudiantes deben disponer de alguna técnica inicial de resolución de los problemas considerados y de medios de validación de la utilización de esta técnica. Por ejemplo, en algunos casos, la disponibilidad de dos técnicas alternativas para la resolución de los problemas puede funcionar como un medio de esta validación. 3. Para que el momento del trabajo de la técnica pueda vivir con normalidad, es importante que reduzca la habitual limitación del tiempo de estudio en clase que se impone en los demás dispositivos didácticos (clases de teoría, clases de problemas, exámenes, etc.). 4. A pesar que tanto la selección de las OM puntuales de cada sesión como los especímenes a considerar y el orden en que hay que abordarlos son decisiones que quedan bajo la responsabilidad del profesor (o el investigador responsable del diseño del TPM), se requiere que los estudiantes puedan trabajar con autonomía relativa durante el taller. Las intervenciones puntuales del profesor se concentran especialmente al principio y al final de cada sesión. 5. En resumen podríamos decir que en un TPM los estudiantes, que trabajan normalmente en pequeños grupos, tienen una autonomía limitada por las restricciones que vienen dadas de antemano por la organización global del taller. El objetivo final del TPM consiste en que los estudiantes lleguen a ser


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icas matemáticas y que esto les permita ser protagonistas (en grupo e individualmente) del desarrollo de las mismas. Y todo ello como medio para tener la posibilidad de llevar a cabo una actividad matemática genuinamente creativa, esto es, creadora de nuevas técnicas, de nuevos tipos de problemas y de nuevos elementos tecnológicos.

Presentamos a continuación, de manera muy esquemática, la descripción de tres de los talleres experimentados con asignaturas de cálculo diferencial para estudiantes de primer curso de matemáticas o ciencias experimentales.

TALLER 1. Resolución numérica de ecuaciones Sesión 1. Resolver ecuaciones del tipo f (x) = 0 (*) mediante la representación gráfica de y = f (x) y el cálculo aproximado de los ceros de la función por el método de dicotomía. La técnica se amplía para resolver ecuaciones del tipo F(x) = G(x) (**) mediante la representación gráfica conjunta de las curvas y = F(x) e y = G(x) o para transformar la expresión (*) en una expresión (**) con F y G fáciles de representar. Sesión 2. Resolver ecuaciones del tipo x = f (x) o ecuaciones equivalentes F(x) = 0 estudiando la convergencia de la sucesión recurrente asociada xn+1 = f (xn). Comparar la velocidad de convergencia de cada sucesión relacionándola con la pendiente de f (x) cerca de las soluciones de la ecuación. Sesión 3. Comparar distintos métodos recurrentes, como el método de

raíces de la ecuación considerada. TALLER 2. Cálculo de límites en una variable Sesión 1. Ordenar un conjunto de funciones según su orden de convergencia en torno a un punto dado. La técnica inicial, consistente en calcular el límite f (x)/g(x) para comparar f y g

ilitar las múltiples comparaciones, por ejemplo hallando una función del tipo y = b(x a)m asintóticamente equivalente a cada función

ones del tipo f (x)/g(x). Sesión 2. Demostrar desigualdades funcionales que se expresan como acotaciones del error cometido cuando se aproximan ciertas funciones con polinomios de segundo grado, utilizando distintas fórmulas del resto del polinomio de Taylor (Cauchy, Lagrange, integral). Utilizar las desigualdades para el cálculo de límites de funciones del tipo f (x)/g(x).


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Sesión 3. Estudiar la convergencia de series numéricas de términos no negativos utilizando dos tipos de técnicas: el cálculo efectivo de la serie y la comparación de la serie con una conocida. Para ello se necesita establecer en

y completarlas con algunos criterios de convergencia (cociente, raíz, condensación, Raabe). Sesión 4. Calcular la serie de Taylor de un conjunto de funciones dadas por una expresión algebraica o como solución a una ecuación diferencial sencilla. Sesión 5. Estudiar la convergencia de un conjunto de series numéricas que se pueden considerar como casos particulares de determinadas series de potencias. TALLER 3. Integración en una variable

Sesión 1. Estudiar las variaciones de funciones del tipo F(x) = ( )

( )( ) d

u x

v xf t t y

hacer un esbozo de su gráfica. La técnica inicial consiste en utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo, previa descomposición de F(x) como una

suma de integrales del tipo ( )

( )( )d ( )d

a u x

v x af t t f t t .

Sesión 2. Utilizar la integral definida para calcular áreas de regiones limitadas por dos curvas y para calcular volúmenes de sólidos de revolución. La validación del trabajo resulta de utilizar dos técnicas distintas para cada caso (considerando distintas subdivisiones de las regiones o sólidos) y comprobar que las dos integrales obtenidas son equivalentes. Sesión 3. Estudio de la convergencia de integrales impropias. La técnica

la integral para que el intervalo de integración sólo tenga una singularidad. Después se busca una primitiva, se integra y se pasa al límite. Cuando no se conoce ninguna primitiva de la función, la técnica debe desarrollarse hacia la comparación con una función que se pueda integrar, por ejemplo del tipo 1/(x

b)a. En este caso sólo se puede determinar si la integral converge o no, pero no su valor (restricción de la respuesta al problema).

Esta sesión aparece como un desarrollo de la sesión 2 del taller anterior.

En síntesis, y dentro de las limitaciones institucionales de la enseñanza universitaria actual que asumimos inicialmente, podemos decir que, en general, los distintos TPM experimentados se revelaron como un dispositivo didáctico eficaz para:


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Rutinizar las técnicas, desarrollarlas y evaluar su pertinencia y su economía.

Realizar un estudio profundizado de ciertos tipos de problemas, más allá de la mera exploración.

Suscitar el cuestionamiento tecnológico-teórico a partir del trabajo práctico-técnico.

Hacer fracasar las técnicas iniciales de manera controlada, lo que obliga a analizar su ámbito de validez y sus limitaciones.

Articular parcialmente una o varias OM puntuales para integrarlas en una OM local partiendo del trabajo que surge en el bloque práctico-técnico.

del bloque tecnológico-teórico para pasar a ser constitutivo y generador de la OM en cuestión.

De este modo, el TMP permite dar visibilidad a un momento esencial de la actividad matemática y proporciona a los estudiantes la ocasión de rutinizar las técnicas y la legitimidad institucional para hacerlo. Este trabajo les

condición necesaria para que los estudiantes puedan ser los actores de la creación efectiva de nuevos objetos matemáticos, superando así la paradoja que se da cuando se contrapone cualquier atisbo de creatividad al trabajo rutinario y técnico (como si éste fuese un obstáculo para aquella).

A pesar que el TPM modifica localmente aspectos muy importantes del contrato didáctico institucional, siguen quedando bajo la responsabilidad exclusiva del profesor aspectos cruciales del proceso de estudio, como son la elección de las OM puntuales a desarrollar, los especímenes de problemas sobre los que poner a prueba la técnica, los tipos de variaciones técnicas posibles y los medios necesarios para provocar estas variaciones. En general, podemos decir que el profesor es el responsable tanto de la mesogénesis necesarios para generar el estudio), como de la topogénesis (reparto de tareas). Es en la cronogénesis (planificación de la progresión del estudio) donde la participación de los estudiantes es mucho mayor al ser ellos los que

eración de los distintos problemas propuestos. Por lo tanto, y siempre en relación al contrato didáctico imperante en la institución universitaria en la que nos hemos centrado hasta el momento, el topos del estudiante se ve aquí relativamente ampliado. Comparten responsabilidades en la gestión y el desarrollo de


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ciertos momentos del estudio (principalmente en el trabajo de la técnica y el de la evaluación) que, en el contrato didáctico habitual, o bien no son gestionados en clase o bien quedan bajo la responsabilidad exclusiva del profesor. Podemos pues decir que los TPM eliminan cierto grado de

dirección no funcional del estudio: los alumnos se guían más por necesidades matemáticas que por obligaciones del contrato pedagógico, aunque continúa siendo el profesor quien elige el tipo de problemas a estudiar, los especímenes iniciales a considerar y el que diseña la dirección de desarrollo de las técnicas.

De todos modos, y como hemos dicho anteriormente, es evidente que la mera incorporación de los TPM no pueden modificar más que localmente la organización didáctica escolar. En este sentido, los TPM que hemos diseñado y experimentado no cuestionaban ni pretendían transformar la estructura clásica del sistema de enseñanza de las matemáticas, sino que tan

que organizan el estudio universitario de las matemáticas. De este modo se mejoran las condiciones que favorecen el desarrollo de los distintos momentos del estudio, pero no está claro hasta qué punto se puede incidir en la gestión de algunos momentos, como el del primer encuentro, el exploratorio y el de la institucionalización. Además, en los TPM tan sólo se aborda de forma muy implícita el problema de la razón de ser de las OM puntuales de partida y no se toma en consideración, al menos explícitamente, la futura estructuración de las organizaciones matemáticas más allá del nivel local. 5. inv Hemos visto que los TPM tienen como principal función dar cabida de manera oficial al momento del trabajo de la técnica dentro de los procesos de estudio escolares de las matemáticas. Ya hemos comentado que, por la propia naturaleza del cuestionamiento matemático, esta inclusión provoca una interrelación estrecha con el momento tecnológico-teórico y el momento exploratorio, modificando algunos aspectos esenciales de los otros momentos: primer encuentro, evaluación e institucionalización. Además, el resultado de la inclusión de los TPM en los procesos de estudio

establezcan vínculos entre las distintas OM puntuales que se eligen como


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punto de partida del trabajo en los talleres. Se podría pues considerar que los

introducción de las OM esencialmente su bloque teórico la utilización o ejemplificación de ciertos componentes

tecnológico- Una limitación fundamental de los TPM que también hemos comentado

es la necesidad de partir de OM puntuales previamente establecidas, que no siempre aparecen como respuestas a cuestiones problemáticas que el grupo de estudiantes se haya podido plantear previamente. Es difícil en consecuencia que el trabajo del desarrollo técnico, aunque pueda ayudar a establecer interrelaciones entre las OM puntuales trabajadas y contribuya a la construcción de OM más amplias, substituya el necesario trabajo de

claramente establecida, conforman el programa de estudios. Ante la grave crisis epistemológica y política que sufre la escuela actual debido a la

Chevallard (2005, 2007), surge la necesidad de concebir nuevas formas de organización del estudio que permitan superar de manera más drástica las limitaciones mencionadas.

La TAD propuso inicialmente una estructuración del proceso de estudio en base a seis dimensiones de la actividad matemática o momentos didácticos como herramienta para llevar a cabo el análisis concreto de las organizaciones didácticas observables. Como indica Chevallard (2007), y como ponen en evidencia numerosos estudios empíricos realizados en el marco de la TAD (por ejemplo, Barbé, Bosch, Espinoza & Gascón, 2005), el modelo de los momentos didácticos constituye una herramienta fructífera para la emancipación del investigador en didáctica de los usos y puntos de

son un ejemplo de este tipo de emancipación, anteponiendo a la ideología de

observación de los procesos científicos. Pero el modelo de los momentos didácticos también puede utilizarse

como herramienta para plantear y aportar elementos de respuesta a lo que Y. Chevallard designa como el problema de la organización didáctica, es decir el problema del diseño, gestión, evaluación y desarrollo de procesos de estudio. Más allá de la reforma local que suponen los TPM, debemos


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plantearnos el problema de la realización de los distintos momentos del estudio. Podemos tomar como punto de partida un programa de estudios

escolar considerada, con organizaciones matemáticas locales (OML) más o menos interrelacionadas entre ellas en bloques o ámbitos temáticos particulares 3. El problema que se plantea el profesor es el de cómo enseñar,

respuestas efectivas a este complejo problema del profesor y, en especial, para solventar la segunda de las lagunas que hemos señalado en las instituciones docentes actuales y que provoca importantes disfunciones en la actividad matemática que es posible desarrollar en su seno: nos referimos a la incompletitud relativa de las organizaciones matemáticas escolares. Desde otro punto de vista, podemos decir que, en cierta manera, las AEI retoman una preocupación inherente a la teoría de situaciones didácticas y a su propuesta de reconstrucción funcional de los conocimientos matemáticos a

de estudio. Al igual que los TPM, las AEI pueden tomar formas muy diversas en

función de la institución escolar y de la OM local consideradas. Podemos sin embargo señalar algunos aspectos que caracterizan la estructura y las funciones de este modelo didáctico.

5.1. Las AEI y la integración funcional de las dimensiones del proceso didáctico Dada una OM local a enseñar, el diseño de una AEI se inicia buscando una

rezca una cuestión problemática cuya resolución permita o incluso requiera la reconstrucción de la OM local en

3. Si asociables a OM locales formadas por OM puntuales estructuradas en torno a un discurso

Pitágoras, Triángulos equivalentes, Simetría axial, Relación de proporcionalidad, Medidas y unidades, Derivada de una función, etc.), las amalgamas de OM locales en bloques o ámbitos de contenido suelen estar mucho más desarticuladas como para hablar de la configuración de OM regionales explícitas, es decir, estructuradas en torno a una teoría suficientemente


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cuestión. Aunque es el profesor el que propone en el aula dicha situación, es importante preguntarse sobre qué institución debe recaer la responsabilidad de diseñar dichas situaciones y de proponer los dispositivos didácticos necesarios para que el profesor pueda gestionarlas en el aula 4.

Una vez que la situación ha sido presentada a la comunidad, se inicia un proceso de estudio que, como todos, puede describirse funcionalmente mediante los momentos o dimensiones de dicho proceso. En el caso de las AEI es importante subrayar que el momento del primer encuentro se

tarea escolar ya depurada. Esto significa que la cuestión generatriz de una AEI, aunque sea sugerida por el profesor, no está perfectamente formulada

comunidad de estudio. Tampoco es una cuestión que pueda resolverse llevando a cabo una tarea escolar previamente establecida y con una respuesta predeterminada. De hecho, las respuestas tentativas que vayan surgiendo deberán poder ser contrastadas por la propia comunidad de estudio, en lugar de delegar al profesor la responsabilidad de dicha evaluación. Este carácter adidáctico de la situación se refleja especialmente a lo largo del momento exploratorio que, a pesar de estar más o menos

por la propia construcción de las respuestas tentativas y por la interacción con un medio

Dado que las AEI constituyen un tipo de modelo didáctico que pretende

posibilitar la construcción escolar de OM relativamente completas, es imprescindible que se apoye en otros dispositivos a fin de integrar de manera funcional todos los momentos o dimensiones del proceso de estudio. Así, a lo largo del desarrollo de una AEI aparecerán momentos en los que deberán

forma que pondrán en marcha el momento del trabajo de la técnica, provocando así el desarrollo de la OM puntual considerada. En este punto se cuestionará el alcance de las diversas técnicas, se utilizarán variaciones de las mismas y se elaborarán técnicas compuestas. Surgirá de esta manera el germen de un taller de prácticas matemáticas integrado como componente de la AEI.

4. Reaparece aquí la importancia de un trabajo cooperativo entre la investigación en didáctica

e señalado por Cirade (2006).


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La emergencia comunidad de estudio en cuestión) provocará nuevas necesidades tecnológico- síntesisa cabo, prioritariamente, en el momento de la institucionalización, cuya gestión no debe recaer en exclusiva al profesor. Digamos, para finalizar, que el momento de la evaluación se integra en las AEI a través de los controles mo un todo, más allá

del dominio de las técnicas, de la capacidad de resolver las tareas y de describir los elementos tecnológico-teóricos. Esto significa que en una AEI también hay que evaluar la economía de las técnicas, la pertinencia de los respectivos elementos tecnológicos, el proceso mediante el cual las técnicas se han desarrollado, etc.

5.2. Funciones didácticas y limitaciones de las AEI La principal función didáctica de las AEI es la de introducir en el núcleo del programa de estudio, de manera explícita y como cuestión generatriz del mismo, la razón de ser de la OML que se quiere construir a partir del estudio

EI puede consistir, naturalmente, en el estudio de una situación matemática.

Una pedagogía de las AEI debería así permitir superar la estructura binaria clásica de los modelos docentes que distribuye en dos dispositivos

ción del proceso de estudio de las matemáticas. Esta estructura binaria no es casual, está basada en una

relega la práctica matemática a un papel auxiliar de la misma. Dicha pedagogía, todavía dominante en los sistemas de enseñanza de las

Por el contrario, la integración de dispositivos didácticos basados en las AEI promueve una que concibe las matemáticas como un instrumento para aportar respuestas a cuestiones problemáticas que se plantean en el mundo (y no únicamente en la escuela).

Aunque, como hemos dicho anteriormente, no parece razonable hacer recaer sobre el profesor (considerado individualmente) la responsabilidad de diseñar las situaciones cuyo estudio permitirá reconstruir las OM locales a enseñar, es evidente que la pedagogía de las AEI plantea (al profesorado como institución) el problema de la s OM locales curriculares y la necesidad de considerar dicha razón de ser


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como un elemento central de las organizaciones didácticas. En consecuencia, no parece exagerado considerar que una integración masiva de la pedagogía de las AEI en el sistema de enseñanza requeriría un cambio en la profesión docente puesto que incorporaría una nueva función en el topos del profesorado: la necesidad de conocer alguna funcionalidad o razón de ser de las OM curriculares. Además, la pedagogía de las AEI requiere, asimismo, un cambio en la profesión de alumno, puesto que incorpora en el topos de éste la posibilidad de participar en la gestión de casi todos los momentos (tecnológico-teórico, síntesis, evaluación) que, en la pedagogía monumentalista tradicional, se situaban bajo la responsabilidad exclusiva del profesor. Estas funciones didácticas de las AEI constituyen un elemento

enseñanza y que, en consecuencia, dificulta objetivamente su implantación generalizada.

Más allá de las dificultades para llevar a cabo una implantación masiva de la pedagogía de las AEI, hay que decir que ésta también tiene importantes

dado que las AEI se sherramienta eficaz para cuestionar aquellos aspectos de la epistemología escolar monumentalista que opera, al menos, a nivel de la disciplina y más allá.

matemáticas (Chevallard, 2001). Esto es debido a que muchas veces las cuestiones que constituyen la razón de ser de una OM local se hallan no sólo más allá del nivel local, sino incluso más allá del nivel regional, sectorial y hasta disciplinar. Además, el paso de una AEI a otra AEI no puede estar motivado funcionalmente por la propia AEI.

Hay que tener en cuenta que el objetivo último de una AEI es la construcción de una OM local previamente establecida puesto que la cuestión generatriz es propuesta por el profesor (los alumnos no participan en el planteamiento y formulación de la cuestión) en función de la OM local que es el objetivo n consecuencia, de una cuestión impuesta por necesidades didácticas y, como tal, corre el riesgo de perder sentido, de subordinarse a la construcción de la OM. Por todo ello, aparece como evidente la necesidad de que, integrando las AEI, abarque globalmente el sistema de enseñanza.


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6. organizaciones didácticas funcionales Hasta ahora hemos considerado las praxeologías u organizaciones didácticas en sí mismas, sin tomar en consideración que siempre se inscriben en un proyecto educativo más amplio en el seno de una sociedad. En este sentido, las actividades de estudio e investigación (AEI) se definen en relación a un proyecto educativo que determina los contenidos de enseñanza en un

de organizaciones matemáticas locales o regionales más o menos articuladas entre sí. De ahí que se pueda atribuir a cada AEI el objetivo de reconstruir una determinada OM local previamente establecida por un programa de estudios concreto dentro de un determinado proyecto educativo. Por lo tanto el modelo de las AEI no nos permite cuestionar este nivel superior de codeterminación didáctica en el que los proyectos educativos se formulan en términos de saberes o conocimientos praxeológicos previamente determinados. Y, por lo mismo, nos obliga a distinguir el estudio escolar de las matemáticas de cualquier otro tipo de estudio por ejemplo el que realiza el investigador que no tenga predeterminado un tipo de OM por reconstruir.

indicadas más arriba: la falta de motivación de la cuestión generatriz y el problema de la articulación de las OML construidas por cada AEI.

6.1. Como acabamos de indicar, las AEI vienen determinadas por una OML que un profesor Y debe hacer estudiar, reconstruir y hacer accesible a un grupo de alumnos X. Para ello es necesario partir de una cuestión generatriz Q cuyo estudio conduzca a la reconstrucción de los principales elementos de la OML de partida. Se genera así un sistema didáctico que podemos designar como S(X; Y; Q) cuyo desarrollo debe conducir, de alguna manera, a una respuesta final en forma de praxeología. Esta respuesta final se designa generalmente mediante el símbolo R por constituir el objetivo del proceso de estudio que se desea alcanzar. En el caso de un proceso de estudio praxeológicamente finalizado como es una AEI, se impone la condición que R principales componentes de una OML previamente determinada y conocida de antemano, que se designa R (R


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5 introducido por Y. Chevallard (2008), se puede obtener un esquema simple del funcionamiento de las AEI:

S(X ; Y ; Q) R R

En la medida en que el proceso de estudio incluya la activación de un medio M, se puede completar el esquema del modo siguiente:

[S(X ; Y ; Q) M ] R R

que la presencia, aunque se mantenga implícita, de una respuesta previa a la cuestión Q acaba siempre por debilitar esta cuestión, haciéndola aparecer como un medio y no como el fin mismo del estudio. En la medida en que un programa de estudios esté definido o determinado por un conjunto de

Q que podrían motivar y justificar la reconstrucción de estos saberes puedan actuar como motor principal del proceso didáctico. Se acabará siempre imponiendo la lógica de una enseñanza secular más dedicada a hacer un

cuestionar el mundo e intentar aportar nuevas respuestas a los problemas planteados. Como indica Y. Chevallard (2004): « ] ne résistent guère à une écologie scolaire encore fortement monumentaliste : très rapidement, elles sont comme emportées par la formidable pression exercée

! » La noción de REI surge de la necesidad de fundamentar las

organizaciones didácticas tanto las tipo de institución en una epistemología realmente funcional, en la que los

la creación de respuestas R a cuestiones Q. En palabras del mismo Y. Chevallard (2004):

Contre le point de à vide » des savoirs et rejette au second plan, voire oblitère, les couples (Q, R), le point de vue fonctionnel met au premier plan les couples (Q, R), et ne promeut un savoir S questions Q R.

5. El Johann Friedrich Herbart (1776-1841).


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Podemos pues ahora considerar un modelo más general de proyecto de estudio en el que el objetivo del estudio no viene definido como un conjunto de saberes o de sistemas praxeológicos designados de antemano, sino como un conjunto de cuestiones Q a las que la comunidad de estudio se propone aportar una respuesta R . En este modelo, durante la actividad de estudio, se movilizarán todos aquellos recursos, medios, saberes y respuestas ya disponibles R Rdistintas formas posibles de cualquier recorrido de estudio e investigación es el siguiente:

[S(X ; Y ; Q) { R1, R2 Rn, On+1 Om }] R

En este esquema el sistema { R1, R2 Rn, On+1 Om } representa el conjunto de recursos que servirán para producir la respuesta final R , entre los que se encuentran tanto organizaciones praxeológicas bien identificadas por la cultura en la que se mueven X e Y (las Ri) como objetos de cualquier

otra índole (los Oi ) que actuarán como medio tanto para poner a prueba las

distintas Ri como para elaborar con ellas nuevos elementos de respuesta a Q. De este modo, el M, está formado por dos conjuntos de elementos clave: un conjunto de respuestas preestablecidas y, en cierto

previamente construidas en relación a Q a las cuales se puede tener acceso. El medio M

fueron en su momento construidas para tratar cuestiones más o menos relacionadas con las que se están ahora planteando. Estas respuestas deben

necesidades de Q. En este sentido, cualquier respuesta preestablecida va a

respuestas parciales a Q, lo que conlleva un proceso epistemológicamente esencial de deconstrucción-reconstrucción de las praxeologías. No desarrollaremos más aquí este esquema que incluye, por sí mismo, toda la dinámica del desarrollo interno de las praxeologías (por ejemplo en la reconstrucción y puesta a prueba de las Ri). Nos centraremos ahora en destacar aquellas características que la TAD asigna a los REI para que puedan funcionar como un modelo epistemológico-didáctico general.


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6.2. El carácter abierto y la estructura arborescente de los REI El punto de partida de un REI es una cuestión generatriz Q comunidad de estudio y cuya respuesta no aparece directamente accesible. Como ya hemos dicho, el objetivo de estudiar Q no es la construcción de cierta OM designada de antemano sino la búsqueda de una respuesta apropiada R . Esta respuesta debe constituir en sí misma una aportación significativa, en el sentido de ampliar el universo praxeológico de la comunidad de estudio. Por ello, acabará generalmente incluyendo praxeologías por lo menos locales, integrando elementos praxeológicos que pueden ir más allá del nivel regional e incluso disciplinario. Nos referiremos a ello diciendo que Q es una cuestión en el sentido fuerte de la palabra.

A lo largo del REI, el estudio de la cuestión generatriz Q evoluciona y Q1, Q2 Qn cuya

pertinencia debe ser constantemente revisada. El criterio esencial para decidir la pertinencia de las Qi es precisamente su capacidad para proporcionar respuestas praxeológicas Ri que contribuyan a elaborar la respuesta final R . Forma parte del propio REI el tomar en consideración la

posibilidad, para la c

que todo REI presente una estructura necesariamente abierta e indeterminada al inicio, puesto que es el propio proceso de estudio el que va delimitando los posibles caminos a seguir (con tantos retrocesos, rodeos y atajos como sea necesario). Es también habitual que, a lo largo del REI, la cuestión generatriz Q evolucione y se transforme en una o varias nuevas cuestiones, por ejemplo cuando el avance del estudio requiere un nuevo planteamiento o reformulación del problema inicial, lo que marca otro grado de apertura de los REI.

Podemos sos, el trabajo de producción de

R podrá describirse como una arborescencia de cuestiones Qi y de respuestas Ri a estas cuestiones, lo que conduce a un conjunto de praxeologías relacionadas entre sí que se pueden interpretar a menudo como un proceso de modelización progresiva y recursiva (Barquero, Bosch & Gascón, 2007a, 2007b).

Debido a su estructura arborescente, en un REI, la búsqueda de una


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parciales Ri y, por ello, va más allá de la reconstrucción de OM locales. En consecuencia, cuando el proceso de estudio requiere la movilización de respuestas preestablecidas Ri, la construcción de la respuesta final requiere

En cierto sentido, esta característica de los REI responde a las limitaciones previamente destacadas de las AEI puesto que las integra al tiempo que completa sus funciones epistemológicas. En efecto, una de las características de las AEI es la de integrar diferentes praxeologías puntuales en una praxeología local, con la limitación de no poder motivar el paso de una praxeología local a otra ni, por lo tanto, articularlas entre sí. En un REI, la elaboración de la respuesta final requiere siempre poder relacionar las cuestiones que se derivan de Q, lo que supone la construcción de praxeologías cada vez más amplias y completas.

6.3. Los REI como modelo didáctico La gestión y el desarrollo institucional de los REI requieren enriquecer las praxeologías didácticas basadas en la gestión de los momentos didácticos

dialécticas dialéctica de los medios y los mediapara la elaboración de las sucesivas respuestas provisionales Ri, de algunas respuestas preestablecidas Ri accesibles a través de los diferentes medios de

comunicación y difusión: los media. Como las respuestas Ri son construcciones que se han elaborado para dar respuesta a cuestiones diferentes a las que se pueden plantear durante el proceso de estudio, deben

propias necesidades. Para y por ello se van a necesitar instrumentos los medios que permitan contrastar empíricamente y poner a prueba la validez de estas respuestas, así como generar nuevas preguntas para relanzar el estudio. Esta dialéctica es un elemento clave de la reforma epistemológico-didáctica que está en la base de los REI y que éstos heredan en cierta forma, de la teoría de las situaciones didácticas.

Chevallard (2001, 2004) introduce además otras dialécticas que no


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de lo que la TAD considera como un proceso de estudio e investigación basado en una epistemología funcional de los saberes. La investigación del funcionamiento y la ecología de estas dialécticas debería conducir al desarrollo de las praxeologías didácticas necesarias para hacer de los REI un dispositivo de estudio cada vez má

Es evidente que la consideración de los REI como modelo de las

organizaciones didácticas escolares pone en evidencia la existencia de muchas restricciones que operan en los niveles superiores de codeterminación didáctica: el de la pedagogía, de la Escuela y de la Sociedad. Además, aunque la ecología de los REI sea un problema de investigación muy reciente 6, su estudio saca en seguida a relucir aspectos de las organizaciones pedagógicas, escolares e incluso sociales que la investigación didáctica no suele cuestionar pero que se revelan como verdaderos obstáculos para el desarrollo de procesos de estudio funcionales.

aparecer en el currículum obligatorio actual más que implícitamente en

ejemplo anterior sería el paradigma de relación al saber que propugna la

epistemológica y didáctica a los media disponibles (Chevallard, 2008). Dentro de los niveles inferiores de codeterminación didáctica, el modelo

de los REI y, más concretamente, los conocimientos que aporta su experimentación en el aula, permiten también poner en entredicho algunas

gestor del tiempo didáctico (cronogénesis) o el carácter individual del aprendizaje quedan substituidos por el modelo de un proceso de estudio colectivo, dirigido por un profesor que comparte con el grupo de estudiantes la responsabilidad de la gestión de los diferentes momentos didácticos (topogénesis). En particular, muchos aspectos del proceso de estudio que

-en el desarrollo de los REI una dimensión matemática esencial. Incluso ciertos aspectos de la actividad de los estudiantes considerados 6. Para un ejemplo de este estudio, véase Barquero, Bosch & Gascón (2010).


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EI, como componentes irreductiblemente matemáticos de la actividad (Rodríguez, 2005; Rodríguez, Bosch & Gascón, 2007).

Hemos visto en qué sentido los REI pueden funcionar como un modelo muy general de proceso de estudio, superando muchas de las limitaciones de los talleres de prácticas matemáticas y de las actividades de estudio e investigación, al tiempo que integran y conservan sus principales funciones didácticas. Son al mismo tiempo un paradigma de hasta qué punto el

se funde con el , siguiendo el espíritu de la ruptura con la didáctica clásica que provocó la TSD. Podemos pues considerar que los REI, interpretados como tipos de modelos didácticos muy generales que incluyen y completan las funciones didácticas de los TPM y de los AEI, conforman un modelo de referencia de los procesos didácticos reales o posibles. Constituyen en efecto una base o sistema de referencia para describir los procesos de estudio, analizar los que existen

condiciones de posibilidadprocesos basados en una visión más cuestionadora del mundo y una relación más funcionalista al saber. Si las AEI pueden aparecer como cuyo objetivo es construir una OML previamente designada, los REI pueden considerarse como para modelizar (es decir describir, crear, analizar y evaluar) cualquier tipo posible de proceso de estudio. Referencias Barbé, J., Bosch, M., Espinoza, L. & Gascón, J. (2005). Didactic restrictions

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