Guıa de Trabajos Practicos de Fısica I, mencion Tecnologıa

TP 0: Problemas de Repaso

1) Imagine que usted esta sosteniendo sobre la palma de su mano un libro que pesa 4 N, de manera queel libro esta en reposo. Analice las diferentes situaciones planteadas y complete donde se indica.a) Una fuerza hacia abajo de magnitud 4 N esta ejercida sobre el libro por .b) Una fuerza hacia arriba de magnitud esta ejercida sobre por la mano.c) ¿Es la fuerza hacia arriba (b) la reaccion a la fuerza hacia debajo de (a)?d) La reaccion a la fuerza (a) es una fuerza de magnitud , que ejerce sobre . Sudireccion es .e) La reaccion a la fuerza (b) es una fuerza de magnitud , que ejerce sobre . Sudireccion es .f) El hecho de que las fuerzas (a) y (b) sean iguales es un ejemplo de la ley de Newton.g) El hecho de que las fuerzas (b) y (e) sean iguales es un ejemplo de la ley de Newton.

Suponga ahora que usted ejerce una fuerza hacia arriba de magnitud 5 N sobre el libro.

h) ¿Permanece el libro en equilibrio?i) ¿La fuerza que ejerce la mano sobre el libro es igual y opuesta a la fuerza que sobre el libro ejerce la Tierra?j) ¿La fuerza ejercida por la Tierra sobre el libro es igual y opuesta a la fuerza que el libro ejerce sobre la Tierra?k) ¿La fuerza ejercida sobre el libro por la mano es igual y opuesta a la fuerza que el libro ejerce sobre la mano?

Finalmente, suponga que retira su mano del libro mientras el libro esta moviendose hacia arriba.

l) ¿Cuantas fuerzas actuan entonces sobre el libro?m) ¿Esta el libro en equilibrio? Si no lo esta, ¿cual es la aceleracion del libro mientras sube?n) Decimos que una fuerza es conservativa cuando el que realiza sobre un cuerpo depende de lospuntos y y no del seguido para llegar de uno a otro.n) El realizado por las fuerzas conservativas a lo largo de un es cero.o) Cuando movemos un cuerpo venciendo una fuerza conservativa que se opone, el trabajo realizado aumentala del cuerpo.p) Las fuerzas conservativas conservan la del sistema.

2) Explique que es una fuerza conservativa y de por lo menos dos ejemplos.

3) Indique cuanto valen (como se calculan) las fuerzas de roce estatico y dinamico. ¿Vale siempre µeN lafuerza de roce estatico?

4) Se usa un canon para lanzar capsulas que contienen una sustancia retardadora de fuego a un incendioen un campo. El canon esta a una distancia D = 1, 0Km de un acantilado que tiene una altura h = 0, 50Km,y el fuego esta a 2, 0Km de la base del acantilado. Si las capsulas se disparan con un angulo de 45o:a) ¿Que rapidez inicial vi necesitan tener para llegar al fuego?b) ¿Con que velocidad llegan las capsulas? Tome g = 9, 8ms−2, y use cos45o = sen45o =

√2/2.

5) Dos bloques de igual masa M = 10kg descansan sobre un plano inclinado 30o de la horizontal. El coeficientede friccion cinetico entre el bloque inferior (A) y el plano es de 0,50, y entre el bloque superior (B) y el plano0,30.

a) Calcule la aceleracion de cada bloque y la fuerza normal ejercida por B sobre A.b) Repita los calculos de a) en el caso en que B esta cuesta abajo de la rampa.

6) Una rueda gira con velocidad angular constante alrededor de un eje que pasa por su centro, y da 2,05 vueltaspor segundo en el sentido indicado en la figura. Su radio es de 2m. Calcule, en el instante t = 10s:a) La posicion del punto de la rueda que a t = 0 estaba en la parte mas alta.b) La aceleracion del mismo punto considerado en a). Represente graficamente este vector.c) La fuerza centrıpeta sobre el punto. ¿Quien aporta esa fuerza? Represente graficamente este vector.d) El trabajo de la fuerza centrıpeta que actua sobre el punto en el intervalo de 10 segundos.

7) Sobre un bloque de 10 kg inicialmente en reposo se aplica una fuerza horizontal que varıa de magnitudconforme el bloque se desplaza, ver figura.a) Calcular el trabajo realizado por la fuerza para mover al bloque de A a B, y de B hasta el final del desplaza-miento.b) Calcular la velocidad del bloque en los puntos A y B.c) Calcular la cantidad de movimiento del bloque al final del desplazamiento.

8) Un cuerpo de 3 kg desliza a lo largo de una pista, como se muestra esquematicamente en la figura. La pistatiene tramos lisos (µe = µc = 0) y rugosos.a) Si se desea que el cuerpo, partiendo del reposo desde A, se detenga en B, ¿cual tendrıa que ser la longituddel tramo rugoso, si allı el coeficiente dinamico de roce fuera µc = 0, 5?b) Si se desea que el cuerpo, tras pasar por A hacia abajo con velocidad de 2 m/s, se detenga en B, ¿cuantotendrıa que valer µc si el tramo rugoso ocupara 1 m?c) ¿Con que velocidad llegarıa el cuerpo a B, liberado desde el reposo desde A, si se reemplazara el tramo rugosopor uno liso?

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9) Un estudiante que esta en una ventana del segundo piso de un edificio ve a un profesor de fısica venir porla acera que corre al lado del edificio. El estudiante suelta un globo con agua desde 18 m arriba del suelocuando el profesor est a 1,0 m del punto directamente debajo de la ventana. Si el profesor tiene 1,70 m dealtura y camina a una velocidad de 0,45m/s, ¿le caera el globo en la cabeza? ¿Le caera en alguna parte delcuerpo? ¿Cuanto tiempo tiene que esperar el estudiante para lanzar el globo y pegarle en la cabeza del profesor?

10) Dos bloques de madera, cada uno de 50 N, se ponen lado a lado sobre una superficie aspera.a) Si se aplica una fuerza horizontal constante de 40 N a uno de los bloques en la direccion del otro bloque,¿cual es la aceleracion resultante si el coeficiente de rozamiento dinamico es igual a 0,3?b) Si la fuerza se aplica al bloque con un angulo de 25o debajo de la horizontal, ¿cual es la aceleracion?

11) Una persona sujeta un bloque de 100 N contra una pared. Evalue cuanto tiene que valer la fuerza deroce estatica entre el bloque y la pared para que el bloque no deslice mientras la persona ejerce una fuerza de150 N inclinada 42o.

12) Considere una centrifugadora opera con una rapidez de 5.000 rpm.a) ¿Cual es la aceleracion centrıpeta de un virus que esta a 4,0 cm del eje de rotacion de la centrıfuga?b) ¿Como se compara esta aceleracion con g, la aceleracion debida a la gravedad?c) ¿Como se compara con la aceleracion de un auto que va a 60 km/h; frena y se detiene en un trayecto de 10 m?

13) Un estudiante tiene seis libros de texto, cada uno de 4 cm de espesor y de 30 N de peso. ¿Cual es elmınimo trabajo que el estudiante debe hacer para acomodar los libros uno sobre otro?

14) Analice la validez de las siguientes expresiones:

• El trabajo de las fuerzas no-conservativas que actuan sobre un sistema es igual al cambio de la energıamecanica del sistema.

• El trabajo de la fuerza resultante sobre un sistema es igual al cambio de la energıa cinetica del sistema.

• La fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento.

• Dado un objeto apoyado en el piso, la fuerza normal de contacto del piso con el objeto es el par de acciony reaccion de la fuerza peso.

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• La aceleracion normal al movimiento conserva la velocidad de un movil.

• La aceleracion en un movimiento circular conserva el valor absoluto de la velocidad de un movil.

• La masa inercial es lo mismo que la masa gravitatoria.

• ¿Cual es el valor de la fuerza normal de una pelota en el aire en presencia de gravedad?

• En un choque plastico no se conserva la cantidad de movimiento.

• En un choque parcialmente elastico se conserva la cantidad de movimiento.

• Si a un movil que describe un movimiento rectilıneo no uniforme se le deja de aplicar una fuerza, dichomovil se detiene.

• La velocidad media es la velocidad promedio.

• En un tiro oblicuo en presencia de gravedad, cuando el movil alcanza la altura maxima la velocidad esmınima en la direccion vertical y maxima en la horizontal.

15) Dos partıculas se mueven en una recta, El movimiento de la partıcula 1 se describe a partir de la ecuacionde movimiento: x1(t) = 2ms t−3ms2 t

2 + 1ms3 t3. La partıcula 2 describe un movimiento acelerado (no constante en

el tiempo) cuya ecuacion es: a2(t) = −6ms2 + 3ms3 t y se sabe que a t = 0 se encontraba en x2 = −3m moviendosecon una velocidad instantanea de v2 = 5.5m/s.

• Halle la posicion y tiempo de encuentro; grafica y si es posible analıticamente. Analice que pasa en cadaencuentro.

• Encuentre los puntos donde la velocidad es nula en ambas partıculas. ¿Que ocurre con las pendientes enel grafico x(t)?

• Grafique velocidad y aceleracion en funcion del tiempo para cada partıcula.

Nota: Recuerde que x es la derivada de la posicion respecto del tiempo y x es la derivada segunda de x(t).

16) Dado el sistema de la figura, si inicialmente se encuentra en reposo; determine la velocidad con la quela masa m2 llega al piso si la altura desde la polea a este es de 2m en los casos siguientes:a) No hay rozamiento entre el plano horizontal y el objeto de masa m1.b) Existe rozamiento entre el plano y m1, los coeficientes de rozamiento estatico y dinamico respectivamenteson: µd = 0, 4 y µe = 0, 8.Datos: m1 = 10Kg; m2 = 5Kg, g = 10m/s2

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TP 1: Incertezas y errores

1) Se midio una magnitud X cuyo resultado dio X = 12.56 ± 1.3456. Exprese el resultado a una cifra sig-nificativa, a dos cifras significativas y a tres cifras significativas.

2) Indique cual es el numero de cifras significativas tomadas en cada medicion:a) 45± 1 b) 45.0± 0.1 c) 45.00± 0.01 d) 450± 10 e) (45± 1)10 f) 45.00± 0.12

3) ¿32 y 32.0 son iguales?

4) Diga si las siguientes mediciones son del mismo orden de magnitud o no.a) 54 y 540 b) 10 y -10 c) 99 y 100 d) 99 y 10

5) Calcule el error relativo y porcentual absoluto de las siguientes expresiones:a) 55± 1 b) 45.2± 0.3

6) Calcule la expresion del error por propagacion de las operaciones basicas: suma, resta, multiplicacion ydivision.

7) Calcule la expresion del error por propagacion de las siguientes leyes empıricas:

a) F (X) =√cos(X) b) F (X) = (logX)3 c) F (x, y) =

√x2 + y2 d) F (x, y) = x2/y3

8) Dadas las tablas de mediciones de las magnitudes X e Y con sus respectivas incertezas. Haga las siguientescosas:a) Grafique adecuadamente cada caso.b) Determine la curva que mejor ajusta a cada grafico por distintos metodos.

Medicion 1 Medicion 2

X ∆X Y ∆Y0.0 0.5 1.5 0.11.0 0.4 3.1 0.12.0 0.3 4.4 0.23.0 0.5 6.5 0.44.0 0.1 7.1 0.35.0 0.3 9.0 0.2

X ∆X Y ∆Y0.0 0.5 1.5 0.11.0 0.4 9.1 0.12.0 0.3 16.4 0.23.0 0.5 26.5 0.44.0 0.1 37.1 0.35.0 0.3 49.0 0.2

9) En cada caso se midieron dos magnitudes X e Y ; determine si presentan diferencias significativas o no encada caso:a) X = 1.5± 0.1 Y = 1.4± 0.01b) X = 0.05± 0.01 Y = 1± 1c) X = 100.50± 0.01 Y = 100.40± 0.07

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TP 2: Vectores y aplicaciones

1) ¿Cual es la magnitud del vector A = 3i− 4j − 12k?

2) La magnitud del vector F = Fxi− 120Nj − 40Nk es 130 N. ¿Que valor tiene Fx?

3) Se tiene el vector A = 40i − 70j − 40k. ¿Cual es la magnitud de A? ¿Cuales son los angulos θx; θy yθz entre A y los ejes coordenados positivos?

4) En la figura, el punto A esta contenido en el plano x − z. La componente x de la fuerza F es Fx = 100N .¿Cual es la magnitud de F? Determine tambien los angulos θx; θy y θz entre F y los ejes coordenados positivos.

5) El cable AB ejerce una fuerza FAB de 2000 N en el punto A, dirigida a lo largo de la lınea de A a B.a) Exprese FAB en funcion de sus componentes escalares.b) Si la fuerza FAC que el cable AC ejerce sobre A es de 1000 N, determine la magnitud de la fuerza totalejercida en A por los dos cables.

6) Dadas dos fuerzas de magnitudes 100 N y 140 N, si el angulo α entre las fuerzas puede tener cualquier valor,¿cuales son los valores mınimo y maximo posibles de la magnitud de la suma de las fuerzas y cuales son losvalores correspondientes de α?

7) Los puntos A, B y C forman un triangulo (ver la figura). La distancia del punto A al B es de 4m y ladistancia de A a C es de 6 m. Determine la magnitud del vector que va de B a C y el angulo α.

8) Se ha disenado un sosten (ver la figura), para soportar con seguridad una fuerza F = Fxi+Fy j de magnitud2000 N. Si va a estar sometido a componentes FX en el intervalo [1500, 1000] N, ¿a que intervalo de valores deFy puede quedar sometido con seguridad?

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9) Tres fuerzas actuan sobre una esfera. La magnitud de FB es de 60N. La suma vectorial de las tres fuerzases igual a cero. ¿Cuales son las magnitudes de FA y FC?

10) Las magnitudes de las fuerzas que actuan sobre un soporte son F1 = F2 = 100N . El soporte fallara si lamagnitud de la fuerza total que actua sobre el excede de 150 N. Determine el intervalo de valores aceptablesdel angulo α.

11) Los cables A, B y C ayudan a soportar una columna de una estructura. Las magnitudes de las fuerzasejercidas por los cables son iguales: FA = FB = FC . La magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas es de200 kN. ¿Cual es la magnitud de FA?

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TP 3: Sistemas en equilibrio

1) Analice las diferentes situaciones; en cada caso encuentre la tension en cada cuerda. En todos los casosel peso del cuerpo suspendido es 100 N.

2) El bloque A pesa 100 N, el bloque B pesa 20 N y el sistema esta en equilibrio. El coeficiente de friccionestatica entre el bloque A y la superficie es 0,30.a) Encuentre la fuerza de roce estatico sobre el bloque A en funcion del angulo α. Luego calculela para α = 45o.Comparela con el valor de µeN. ¿Que concluye?b) Encuentre el rango de valores de α que mantiene el sistema estatico.

3) Una tabla uniforme de 15 m de largo, que pesa 400 N, esta apoyada simetricamente sobre dos soportesseparados 8 m. Una persona de 600 N de peso camina sobre la tabla, moviendose desde A hacia la derecha.a) Represente graficamente las fuerzas que soportan los puntos A y B, FA y FB , en funcion de la coordenadax del cuerpo de la persona.

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b) De las graficas que ha hecho encuentre cuanto puede desplazarse la persona mas alla del punto B antes deque la tabla se despegue de A.c) ¿Donde debe ponerse el soporte B de modo que la persona pueda caminar hasta el extremo derecho de latabla sin que esta se despegue de A?

4) Considere el diagrama de la figura, donde la carga es de 1000 N y el peso de la viga puede ser despreciadofrente al de la carga. Encuentre la tension en el cable BD y las componentes horizontal y vertical de la fuerzaejercida sobre la viga AB en el punto A, usando:a) Las condiciones de equilibrio primera y segunda, tomando momentos respecto de un eje que pasa por elpunto A perpendicular al plano del diagrama.b) Solamente la segunda condicion de equilibrio, tomando momentos primero respecto a un eje a traves de A,luego respecto de un eje que pase por B y finalmente respecto de un eje que pase por D.c) Represente las fuerzas calculadas en un diagrama a escala y muestre que las lıneas de accion de las fuerzasejercidas sobre la viga en los puntos A, B y C concurren en un punto comun.

5) El poste de la figura es uniforme y pesa 2500 N. Encuentre la tension T del cable horizontal y las componenteshorizontal RH y vertical RV de la fuerza ejercida sobre el poste en el punto de apoyo A.Resuelvalo de dos maneras, utilizando el producto vectorial y por la regla de la mano derecha.Atencion: ¿puede decir a priori que la lınea de accion de R esta fuerza esta sobre el poste?

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6) Una grua de 1200 N de peso esta soportada por un cable, como se muestra en la figura. La grua esta pivotadaen su parte mas baja y un objeto de 2000 N cuelga de su extremo superior. Encuentre la tension en el cable ylas componentes de la fuerza que la grua ejerce al piso.

7) ¿Cual bisagra del porton es la que mas sufre?

8) Mariana y Cecilia se sientan en columpios, uno frente al otro, y tiran de los extremos opuestos de una sogahorizontal, quedando el columpio de Mariana inclinado 45o y el de Cecilia 30o, ambos respecto a la vertical. SiMariana pesa 363N, calcular el peso de Cecilia.

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TP 4: Centro de masas

1) Encuentre la posicion del centro de masas de los siguientes sistemas de partıculas respecto de un sistema dereferencia de su eleccion.

2) ¿Donde esta el centro de masas del sistema constituido por la Tierra y la Luna? ¿Y el del sistema Sol-Tierra?¿Puede tratar a estos grandes cuerpos como masas puntuales?MS ≈ 2x1030kg, MT ≈ 5, 9x1024kg, ML ≈ 3, 7x1022kg, dST ≈ 1, 5x108km, dTL ≈ 3, 8x105km.

3) La distancia entre los ejes de un automovil es de 3 metros. Si el 60% del peso del automovil recae so-bre las ruedas frontales, ¿a que distancia del eje delantero esta ubicado el centro de masas?

4) Dos personas cargan una escalera de 6 metros de longitud y 900 N de peso. Si una de las personas puedelevantar un maximo de 300 N y lleva la escalera de un extremo, ¿de donde tiene que levantar la escalera lasegunda persona?

5) Los objetos de la figura estan construıdos con un alambre que se doblo para definir las formas mostradas.Encuentre la posicion del centro de masas de cada una.

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6) ¿Donde esta el centro de masas del bate de la figura: a la izquierda o a la derecha del punto P? ¿La masamA es mayor, igual o menor que mB?

7) Las figuras representan placas metalicas delgadas. La primera esta compuesta por dos materiales de diferentesdensidades, ρ1 y ρ2. A la segunda se le ha cortado una seccion rectangular. Determine la posicion del centrode masas de cada plancha.

8) Usted desea fabricar un adorno con una lamina metalica semicircular delgada que va a colgar con el ladorecto vertical. ¿Donde debe atar el hilo de donde va a quedar colgada la lamina? Si se ata el hilo de una esquinade la placa, ¿que angulo quedara rotada respecto del primer caso?

9) Un remache esta formado por una cabeza hemisferica de radio R y un cuerpo cilındrico de radio R/2y longitud R. El centro de masas del remache se determina experimentalmente y se halla a una distancia(25/22)R del extremo inferior del cuerpo. ¿Donde esta el centro de masas de la cabeza hemisferica?

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10) Una chapa perforada por la corrosion apoya sobre dos balanzas. Las lecturas de las balanzas son: balanzaA: 12,0 kg; balanza B: 8,0 kg. Con esta informacion, mas los datos de la chapa, deduzca la coordenada x delcentro de masas de la chapa, xCM , y la del baricentro de la perforacin, xP .

11) De una lamina uniforme y cuadrada se recorta un triangulo, de tal modo que el centro de masas del objetoresultante esta en el vertice del triangulo. ¿Cual es la altura h del triangulo?

12: Encuentre el centro de masa de la siguientepieza despreciando su espesor.Datos: σ1 = 8g/cm2, σ2 = 4g/cm2, a = 432mm

13) Se tiene un semicırculo de radio R y densidad homogenea σ (suponga que es bidimensional para sim-plificar). Si se cuelga de uno de sus vertices en una pared, determine el angulo de inclinacion.

14) Encuentre el centro de masa de la siguiente pieza despreciando su espesor.

Datos: σ1 = 8g/cm2, σ2 = σ1 · (2 +x

a− x2

4a2), a = 40mm, b = 5a, a ≤ x ≤ 4a, si toma como origen de

coordenadas el extremo izquierdo de la pieza 1.

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TP 5: Momento de inercia

1) Calcule el momento de inercia (respecto de los ejes que se indican) de los siguientes sistemas de partıculas.

2) Calcule el momento de inercia de los siguientes cuerpos homogeneos respecto al eje de simetrıa indicado encada caso:

3) Dos varillas de 1 m de longitud se unen como se muestra en la figura. Si una de las varillas es de laton(densidad ρ = 8, 6 · 103kg/m3) y la otra es de hierro (ρ = 7, 8 · 103kg/m3), ¿cual es momento de inercia delconjunto respecto de un eje que pasa por el punto medio?

4) Exprese el momento de inercia respecto a los ejes z y z de un aro delgado como integrales sobre el angulo θ.Luego, evalue las integrales.

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5) Una pieza, cortada de una chapa de densidad uniforme, tiene la forma que se muestra en la figura.a) Encuentre la posicion del centro de masas de la pieza.b) Indique si Iy > Ix, Iy < Ix o Iy = Ix (no hace falta que haga calculos, observe la distribucion de masarespecto de cada eje y compare).

6) Dos masas M y m estan conectadas por una varilla rıgida de largo L y masa despreciable.

Para un eje perpendicular a la varilla, muestre que el sistema tiene un momento de inercia mınimo cuando eleje pasa a traves del centro de masas. Muestre que ese momento de inercia es:

I = µL2

donde

µ =mM

m+M

7) Calcular el Tensor de Inercia de la siguiente configuracion.

El cuadrado superior la distancia entre los vertices es a y la partıcula central esta a igual distancia de todoslos vertices. Las partıculas que forman el eje central estan a distancia a/2 entre sı . Las partıculas puntualesindicadas por esferas son de masa “m” y las partıculas puntuales indicadas por cubos son de masa “3m”.

Ayuda: Recuerde que Ij` = Σn=7i=1 mi [r2i δj` − xj,i x`,i] donde r2i = x2i + y2i + z2i , i es el numero de partıcula,

j = 1 es la coordenada x, j = 2 es la coordenada y, j = 3 es la coordenada z y lo mismo con la variable `.

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TP 6: Dinamica de sistemas en rotacion

1) Sobre una rueda actua durante 10 segundos un momento neto constante de 20 Nm, y durante ese tiempo lavelocidad angular de la rueda crece desde cero hasta 100 rpm. Entonces se retira el momento externo y luegode 100 segundos la rueda se detiene debido a la friccion en el eje. Calcule:a) El momento de inercia de la rueda.b) El momento de la fuerza de friccion.c) El numero total de revoluciones hechas por la rueda en los 110 segundos.

2) Una piedra esmeril de 0,40 m de diametro y 5 kg de masa esta girando a 900 rpm. Se apoya normal-mente a la periferia de la piedra una herramienta que le hace una fuerza de 200 N y la rueda alcanza el reposoen 10 segundos. Encuentre el coeficiente de rozamiento entre la herramienta y la piedra (desprecie el roce en eleje de la rueda).

3) Una cuerda esta enrollada alrededor de una polea de 0,5 m de radio y una fuerza de 50 N esta ejercidasobre la cuerda (figura 1a). El momento de inercia de la polea es 4 kgm2. La polea esta montada sobre cojinetesde rozamiento insignificante.a) Calcule la aceleracion angular de la polea.b) Si un cuerpo que pesa 50 N cuelga de la cuerda (figura 1b), calcule la aceleracion angular de la polea.Compare con el resultado obtenido en a) e interprete.

4) Una cuerda esta atada en su parte superior a una barra fija y esta enrollada alrededor de un disco uniformede radio R y masa M . El disco se libera desde el reposo y cae acelerado. En todo instante la cuerda estavertical. Muestre que en estas condiciones:a) La tension en la cuerda es un tercio del peso del disco.b) La magnitud de la aceleracion del centro de masas del disco es 2g/3.c) La velocidad del centro de masas del disco es

√4gh/3 cuando el disco se desplazo h.

5) Un cilindro solido de 15 kg de masa y 0,3 m de diametro esta colgado de un eje horizontal que pasa porsu centro de masa. Una cuerda enrollada alrededor de la superficie del cilindro tiene atada en su extremo unbloque de 8 kg.a) ¿Cuanto desciende el bloque en 5 segundos, si parte del reposo?b) ¿Cual es la tension de la cuerda?c) ¿Cual es la fuerza ejercida sobre el cilindro por el eje?

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6) Maquina de Atwood: Dos pesas, una m1 de 1 kg y la otra m2 de 2 kg, cuelgan de una polea (quepuede representarse como un disco de masa M = 0,5 kg y momento de inercia I = 0, 5MR2 donde R = 0,1 mes el radio del disco). Suponga que la polea puede girar sin rozamiento sobre un eje horizontal y que la cuerdaque une a las masas tiene masa despreciable.a) Encuentre la tension de la cuerda a ambos lados de la polea. Analice el resultado.b) Encuentre la aceleracion de los cuerpos.c) Encuentre la velocidad angular de la polea 2 segundos despues de iniciado el movimiento.

7) Dos objetos cuelgan de dos cuerdas unidas a dos ruedas capaces de girar sobre el mismo eje (ver figura). Elmomento de inercia de las dos ruedas es I = 40kgm2. Los radios de las ruedas son R1 = 1, 2m y R2 = 0, 4m.a) Cuando m1 = 24kg, ¿cual debe ser el valor de m2 para que el sistema este en equilibrio?b) Si se agrega con suavidad sobre m1 otra masa de 12 kg, calcular la aceleracion angular de las ruedas, laaceleracion de las masas y la tension de las cuerdas. Tenga en cuenta que las aceleraciones de cada masa puedenser distintas; discuta esta situacin.

8) Un cuerpo de 1 kg esta sobre un plano inclinado con rozamiento (µc = 0, 2) y sujeto por una cuerda (a lacual puede despreciarse su masa y considerarla como inextensible) que esta enrollada alrededor de un disco de0,5 kg de masa, radio 0,1 m y momento de inercia I = 12MR2. La rueda puede girar sin rozamiento en el ejey la cuerda no desliza por su borde.a) Encuentre la tension de la cuerda.b) Encuentre la aceleracion del cuerpo.

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TP 7: Rodadura sin deslizamiento

1) Hallar y dibujar el vector velocidad de los puntos que se indican en las figuras.Caso 1: El disco gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro.Caso 2: El disco rueda sin deslizar sobre un plano horizontal y se mueve (su centro de masa) con velocidad de3 m/s.En ambos casos, el disco tiene un radio de 5 cm. Los puntos A (arriba), C (a la derecha) y D (abajo) estan enla periferia; B esta 2,5 cm por debajo del centro del disco.

2) Dos esferas comienzan a rodar por un plano inclinado. Ambas parten desde el reposo y en el mismo instante.Una de ellas duplica en radio y masa a la otra.a) ¿Cual llega primero a la base del plano?b) Cual llega con mayor velocidad?c) Cual llega con mayor energıa cinetica?d) Calcule el cociente de las energıas.e) Cual llega con mayor energıa cinetica de rotacion?f) Calcule el cociente de las energıas de rotacion.

3) Dos discos de masa M y radio R cada uno estan unidos por una barra cilındrica corta de radio R/10,de largo L y masa M/10 (ver la figura). El sistema esta situado sobre una rampa de modo que los discos cuelganpor los lados, como se muestra en la figura. El sistema rueda rampa abajo sin deslizar. Cuando los discos tocanla mesa horizontal, el cuerpo continua rodando sin deslizar sobre la mesa.a) Calcule el momento de inercia I del cuerpo respecto de un eje que pasa por su centro de masas y es paraleloal eje de la barra cilındrica.b) Exprese la energıa cinetica EC del cuerpo en cualquier punto de la rampa en funcion de M, R y de lavelocidad instantanea v del centro de masas del cuerpo.c) Encuentre la velocidad v* del cuerpo en el instante en que los discos tocan la mesa, sabiendo que el cuerpofue liberado desde una posicion en la que su centro de masas estaba a una altura h.d) Calcule la velocidad de traslacion u del cuerpo una vez que continua su movimiento sobre la mesa en el casoen que los discos no resbalen.

4) En la siguiente figura se muestra un cilindro de 4,5 kg de masa que rueda sin deslizar a lo largo de un planoinclinado 42o con la horizontal. El centro del cilindro esta unido mediante una cuerda al borde de una polea enforma de disco de 2,2 kg de masa y 85 mm de radio, y en el eje de la polea existe un rozamiento cuyo momentoes de 1,3 Nm. Calcular:a) La aceleracion del cilindro y la tension de la cuerda.b) La velocidad del bloque una vez que haya descendido 3 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo.

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5) Observe la figura. Un carrete rueda sin deslizar sobre una mesa horizontal y se aproxima a una barra cuyaparte superior esta a la misma altura que la parte inferior del eje de carrete. Una vez que los discos mas grandesdel carrete dejan la mesa, el eje empiece a rodar sobre la barra. Analice el caso y diga cual de las siguientesafirmaciones es correcta.a) La rapidez de traslacion y la rapidez de rotacion del carrete permanecen sin cambios.b) La rapidez de traslacion y la rapidez de rotacion del carrete disminuyen.c) La rapidez de traslacion del carrete aumenta mientras que la rapidez de rotacion disminuye.d) La rapidez de traslacion del carrete disminuye mientras que la rapidez de rotacion aumenta.e) La rapidez de traslacion del carrete disminuye mientras que la rapidez de rotacion permanece sin cambio.

6) Dado el sistema de la figura se tiene un disco A de masa mA y radio R, vinculado por medio de una sogaideal a una pesa B, de masa mB . La polea C es de masa mc y radio r. Entre la polea y la soga hay rodadurasin deslizamiento, como asimismo entre el disco A y la superficie horizontal. Analice los siguientes casos y si lasituacion es fisicamente posible, calcule la aceleracion del sistema:a) No hay fuerza de rozamiento entre la superficie y el disco.b) La fuerza de rozamiento es horizontal y apunta a la izquierda.c) La fuerza de rozamiento es horizontal y apunta a la derecha.

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TP 8: Trabajo, energıa y potencia

1) Un bloque de 1000 kg esta suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acabaen un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 10cm/s . El radio del tambor del tornoes de 30 cm y la masa de la polea es despreciable.a) ¿Cuanto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?b) ¿Cuanto vale la velocidad angular del tambor del torno?c) ¿Que potencia tiene que desarrollar el motor?d) Calcular el trabajo realizado durante 10 segundos.

2)Una esfera de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre una rampa entre dos tramos horizontales con undesnivel de altura h. La esfera es impulsada inicialmente de modo que la velocidad de su centro de masa es v.a) Calcule para que valores de la velocidad inicial v < vmax la esfera alcanza una altura maxima y luego de-sciende.b) Calcule la velocidad final del centro de masa si v > vmax.

3) Un disco solido, uniforme, de radio R y masa M puede rotar libremente sobre un pivote que se encuentraen el borde. Si el disco se libera desde una posicion indicada por el cırculo pintado, ¿cual es la velocidad de sucentro de masas cuando el disco alcanza la posicion indicada por la lınea de trazos? ¿Cual es la velocidad delpunto mas bajo del disco en esa ultima posicion? Responda las mismas preguntas para el caso de un aro.

4) Un cuerpo rıgido esta constituıdo por tres varillas homogeneas de igual seccion, longitud L y masa M. Estecuerpo, con forma de H, es libre de girar, como se muestra en la figura. Si se permite que el cuerpo caigarotando alrededor de un eje que pasa por una de las varillas, como se indica en la figura, partiendo desde unaposicion en que la H se halla en un plano horizontal:a) ¿Cual es la velocidad angular ω del cuerpo cuando el plano de la H se halla vertical?b) ¿Y su energıa al llegar a dicha posicion?c) ¿Cual es su aceleracion angular γ en esa misma posicion?

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5) Un pendulo compuesto esta formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferasmacizas de 500 g y 5 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El pendulo se haya suspendidode un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de una de las esferas, y es desviado 65o de la posicionde equilibrio estable. Determinar la velocidad angular del pendulo cuando, una vez soltado, pasa por la posicionvertical.

6) Muchas maquinas emplean levas para varios propositos, como abrir y cerrar valvulas. La leva es un discocircular giratorio sobre un eje que no pasa a traves del centro del disco, sino que se encuentra descentrado comose observa en la figura. Para lograr esto, en la fabricacion se agujerea la leva con el diametro del eje con el cualgirara asociado. Ambos cuerpos estan soldados y la leva (cilindro de radio mayor) posee una masa M. ¿Cual esla energıa cinetica de la leva cuando gira con velocidad angular en torno al eje del arbol?

7) Una esfera de masa m y radio r, se mueve con una velocidad de centro de masa v y asciende una altura hpor un plano inclinado como se muestra en la figura. Entre el plano y la esfera los coeficientes de rozamientoson µe y µd. Determine: a) La velocidad antes de dejar el plano inclinado.b) La velocidad angular en todo punto del espacio.c) La altura maxima que alcanza.d) La distancia horizontal de vuelo total.e) Grafique para todo punto, la energıa cinetica de traslacion y rotacional, la energıa potencial gravitatoria y

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la energıa mecanica total:

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TP 9: Sistemas en Rotacion

1) ¿Que angulo en radianes esta subtendido por un arco de 6 m de longitud, sobre una circunferencia deun cırculo cuyo radio es 4 m? ¿Cual es este angulo en grados?

2) El angulo entre dos radios de un cırculo es 0,60 radianes. ¿Cual es la longitud del arco interceptado por lacircunferencia de un cırculo de 20 cm de radio? ¿Y por una sobre un cırculo de radio de 200 cm?

3) Calcule la velocidad angular, en rad/s, de un eje que rota a 4.800 revoluciones por minuto.

4) Un motor electrico, que tiene un sistema de tres poleas de 5, 10 y 15 cm de diametro, gira a 1800 rpm.Encuentre la velocidad lineal de la superficie de cada polea, en m/s. Las poleas pueden conectarse por mediode una correa a otro conjunto de poleas: la de 5 cm de diametro a una de 15 cm, la de 10 cm a otra de 10 cm,y la de 15 cm a otra de 5 cm. Encuentre las tres velocidades angulares del segundo juego de poleas, en rpm.

5) Una rueda de 0,6 m de diametro parte del reposo y acelera uniformemente a una velocidad angular de 100rad/s en 20 s. Encuentre la aceleracion y el angulo que giro en 20 s.

6) La velocidad angular de una rueda decrece uniformemente de 1000 rpm a 400 rpm en 5 segundos. En-cuentre la aceleracion angular y el numero de revoluciones de la rueda en un intervalo de 5 segundos. ¿Cuantossegundos mas se requieren esperar hasta que la rueda se detenga?

7) Una rueda requiere 3 segundos para rotar 234 radianes. Su velocidad angular luego de este tiempo es108 rad/s. Encuentre la aceleracion angular (constante) de la rueda.

8) a) Distinga claramente entre aceleracion tangencial y radial.b) Una rueda rota con velocidad angular constante. Considere un punto sobre la periferia de la rueda: ¿Tieneaceleracion tangencial? ¿Tiene aceleracion radial?c) Una rueda rota con aceleracion angular constante. Un punto de la periferia, ¿tiene aceleracion tangencial?¿Tiene aceleracion radial? ¿Son constantes las magnitudes de estas aceleraciones?

9) El motor de un auto gira a 500 rpm. Cuando se pisa el acelerador, la velocidad angular aumenta a 3000 rpmen 5 segundos. Suponga una aceleracion angular constante.a) ¿Cuales son las velocidades inicial y final, expresadas en rad/s?b) ¿Cual fue la aceleracion angular, en rad/s2?c) ¿Cuantas revoluciones hizo el motor durante el perıodo de aceleracion?d) Considere que el eje del motor tiene 0,25 m de diametro. ¿Cual es la rapidez lineal de un punto sobre elborde del eje cuando la velocidad angular es 3000 rev/s?e) ¿Cual fue la aceleracion tangencial del punto durante el perıodo de aceleracion?f) ¿Cual es la aceleracion radial del punto cuando la rapidez angular es 3000 revoluciones por minuto?

10) Una manera de determinar la velocidad de una bala consiste en hacerla pasar a traves de dos discosde papel que rotan separados una distancia d alrededor del mismo eje. Conociendo el desplazamiento angular∆θ de los dos agujeros que deja la bala en los discos y la rapidez angular de los discos, se puede determinar lavelocidad de la bala. A partir de esto, encuentre la velocidad de una bala si el dispositivo tiene d = 80 cm yω = 900 rpm, y se mide ∆θ = 31o.

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11) Debido a la friccion, la rapidez angular de una rueda cambia en el tiempo de acuerdo con

dθ

dt= ω0e

−σt

donde ω0 y σ son constantes. La rapidez angular cambia de 3,5 rad/s a t = 0 a 2,0 rad/s despues de 9,3segundos. Use esta informacion para determinar las constantes ω0 y σ. Luego, determine:a) La magnitud de la aceleracion angular a t = 3,0 s.b) El numero de revoluciones que da la rueda en los primeros 2,5 segundos.c) El numero de revoluciones que da antes de quedar en reposo.

12) La turbina de la figura es accionada por un flujo de agua que por un eje rıgido transmite el movimiento algenerador. Inicialmente se abre la compuerta desde el reposo hasta una velocidad tangencial final de 120m/segen los extremos de las aspas. Desde el inicio hasta que alcanza el regimen estacionario le demora 10 minutos.Sabiendo que el radio de la turbina es 7,5m y del generador 15m. Determine:a) La velocidad angular ω0 de las aspas de la turbina y del generador en el regimen estacionario.b) La aceleracion angular del sistema hasta alcanzar el regimen estacionario.c) A partir de un determinado momento por desgaste, uno de los engranajes del eje provoca un rozamiento enla turbina de manera que su rapidez cambia como ω(t) = ω0e

−t/1hora. Se sabe que cuando la velocidad es unadecima parte de ω0 la turbina se “clava”, halle cuanto tiempo tardara en romperse.

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TP 10: Momento Angular

1) Use la definicion de momento angular: L = r × p y compare los momentos angulares de:a) Dos automoviles identicos que van por la misma curva, uno a 75 km/h y el otro a 55 km/h. Considere elmomento angular respecto del centro del cırculo tangente a la curva.b) Dos automoviles identicos que viajan a 55 km/h, cuando uno va por una curva de 1 km de radio y el otropor una de 2 km de radio.2) Una partıcula esta en el eje y a 2 m del origen y su velocidad v esta en el plano xy, a 45o del eje y:v = (10m/s)(i+ j). Ubique los puntos con respecto a los cuales:

a) ~L = 0.

b) ~L esta en la direccion +z.

c) ~L esta en la direccion z.

d) ~L esta en el plano xy.e) Si A es cualquier punto del eje x, describa cuando menos una trayectoria que puede seguir la partıcula para

tener un momento angular ~LA constante.

3) Una partıcula de masa m se mueve en el plano xy, en direccion paralela al eje x, a lo largo de la rectay = a. Su velocidad v = −vi es constante. Determine el momento angular de la partıcula respecto al origen.

4) Una partıcula de masa m = 1 kg, velocidad v = 50ms1(i− j), y posicion ~r = (30m)(2i− 3j + 4k). Calculeel momento angular de la partıcula con respecto al origen del sistema de coordenadas.

5) Un avion de 10.000 kg esta 100 km al noroeste de una ciudad, a una altura de 3.000 m, y vuela haciael este a 300 km/h. ¿Cual es su momento angular respecto a esa ciudad?

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TP 11: Conservacion del Momento Angular

1) ¿Verdadero o falso? Si el momento resultante sobre un sistema rotatorio es cero, la velocidad angulardel sistema no puede modificarse.

2) Si el momento angular de un sistema es constante, ¿cual de las siguientes afirmaciones es cierta?a) Ningun momento actua sobre una parte cualquiera del sistema.b) Un momento constante actua sobre cada una delas partes del sistema.c) Un momento resultante nulo actua sobre cada parte del sistema.d) Un momento externo constante actua sobre el sistema.e) Un momento resultante cero actua sobre el sistema.

3) Un bloque que se desliza sobre una mesa sin rozamiento esta atado a una cuerda que pasa por un agu-jero de la mesa. Inicialmente el bloque se desliza con rapidez v0 sobre una circunferencia de radio R0. Unapersona debajo de la mesa tira lentamente de la cuerda. ¿Que ocurre cuando el bloque gira en espiral haciaadentro?a) Su energıa y momento angular se conservan.b) Su momento angular se conserva y su energıa crece.c) Su momento angular se conserva y su energıa decrece.d) Su energıa se conserva y su momento angular crece.e) Su energıa se conserva y su momento angular decrece.

4) Un bloque de masa m que se desliza sobre una mesa sin rozamiento esta atado a una cuerda que pasapor el agujero de la mesa. Inicialmente el bloque desliza con rapidez v0 en un cırculo de radio R0. Determinar:a) El momento angular del bloque.b) Su energıa cinetica.c) La tension de la cuerda.

Una persona situada debajo de la mesa tira suavemente de la cuerda, ¿cuanto trabajo se necesita para re-ducir el radio de R0 a R0/2.

5) Suponga que el radio de la Tierra se duplica. Analice las consecuencias que este cambio tendrıa sobrela rotacion de la Tierra, considerada como una esfera rıgida. ¿Cuanto durara “un dıa” en esas condiciones?

6) Un nino de 50 kg esta de pie a 1 m del centro (eje de rotacion) de una plataforma de 100kg que giracon una velocidad angular de 4 rpm (ver figura). El nino camina sobre la plataforma hacia la periferia hastaque se detiene a una distancia de 2 m del centro. Evalue la velocidad angular del sistema una vez que el ninose detiene.

7) Un disco de 500g y 30cm de radio gira a 10 rps. Otro disco de 300g y 20cm de radio se deja caer sobre elprimero y los discos quedan pegados. ¿Cual es la velocidad angular de los dos discos?

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8) Una barra rıgida de masa M y longitud a que puede pivotar libremente en torno al punto O, descansa sobreuna superficie plana horizontal como indica la figura. Una partıcula puntual de masa m impacta en al punto Pa velocidad v formando un ngulo θ con la barra.a) Calcule el impulso L angular del sistema respecto del pivote O.b) Si luego del impacto la partıcula queda adherida a la barra, calcule el tiempo necesario para que la barraefectue un giro completo en torno al pivote.

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TP 11: Movimiento Armonico Simple

1) ¿Cual es la ecuacion diferencial que satisface una partıcula con movimiento armonico simple? ¿Que funcionesse pueden proponer como solucion de la ecuacion?

2) En el extremo de un resorte, una partıcula oscila con un perıodo de 0,5 s. La partıcula se reemplazacon otra cuya masa es del doble de la primera. ¿Cual es el nuevo perıodo?

3) Dos resortes tienen la misma longitud cuando estan descargados y sus constantes son k1 y k2 . Con el-los se forman los tres sistemas mostrados. Para cada uno de los tres casos calcule la constante de fuerza efectivay la frecuencia de oscilacion del bloque. Desprecie el rozamiento entre el bloque y el piso.

4) Cuando t = 0, un objeto de 50g de masa en el extremo de un resorte horizontal se mueve hacia la derecha,a 10 cm/s, y esta desplazado 2 cm a la izquierda de la posicion de equilibrio. Si la constante del resorte es0,2N/m, deduzca una expresion que de la posicion de la partıcula en funcion del tiempo.

5) Los graficos muestran las condiciones iniciales de tres sistemas oscilatorios. Tambien se conocen los parametrosy la energıa cinetica maxima de cada uno. Con esta informacion formule las expresiones que describen el de-splazamiento de cada masa respecto del punto de equilibrio:

x(t) = Acos(t+ φ)

6) Una esfera de 2,0 kg de masa se halla fija al extremo de un resorte horizontal de constante 1,0 N/m. Cuandot = 0, se le transmite a la esfera un impulso p = 1,0 Ns hacia la derecha. Determine la posicion de la esfera en

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funcion del tiempo.

7) Calcule la masa de la partıcula que oscila en el extremo de un resorte cuya constante es 15 N/m sabiendoque a t = 0 s la partıcula esta en reposo en x = 6 cm, cuando t = 1 s esta en x = 4 cm. ¿Es esta masa unica?

8) Un cuerpo esta vibrando con movimiento armonico simple de amplitud 15 cm y frecuencia 4 Hz. Cal-cule:a) los valores maximos de aceleracion y de velocidad,b) la aceleracion y la velocidad cuando la coordenada es 9 cm,c) el tiempo requerido para moverse desde la posicion de equilibrio hasta un punto distante 12 cm.

9) Un cuerpo de 10 g de masa se mueve con movimiento armonico simple de 24 cm de amplitud y perıodo4 s. La coordenada es +24 cm cuando t = 0. Calcule:a) la posicion del cuerpo cuando t = 0,5 s,b) la magnitud y la direccion de la fuerza cuando t = 0,5 s,c) el mınimo tiempo requerido para que el cuerpo se mueva desde su posicion inicial al punto x = 12 cm,d) la velocidad del cuerpo cuando x = 12 cm.

10) Un cuerpo de 2 kg de masa esta suspendido de un resorte de masa despreciable y estira al resorte 20cm.a) ¿Cual es la constante del resorte?b) ¿Cual es el perıodo de oscilacion del cuerpo cuando es retirado de su posicion de equilibrio y soltado?c) ¿Cual serıa el perıodo de un cuerpo de 4 kg de masa cuando oscile colgado del mismo resorte?

11) Un bloque esta ejecutando un movimiento armonico simple en un plano horizontal con una amplitudde 10 cm. A un punto distante 6 cm de la posicion de equilibrio, la velocidad es 24cms1.a) ¿Cual es el perıodo?b) ¿Cual es el desplazamiento cuando la velocidad es 12cms1?c) Si un pequeno cuerpo colocado sobre el bloque esta a punto de deslizar al final del recorrido, ¿cual es elcoeficiente de friccion entre el bloque y el cuerpo?

12) Un cuerpo de 100 g de masa cuelga de un resorte. Cuando se retira el cuerpo 10 cm por debajo de laposicion de equilibrio y se lo suelta, comienza a oscilar con un perıodo de 2 s.a) ¿Cual es la velocidad del cuerpo cuando pasa por la posicion de equilibrio?b) ¿Cual es su aceleracion cuando esta a 5 cm por arriba de la posicion de equilibrio?c) Cuando se esta moviendo hacia arriba, ¿cuanto tiempo se requiere para que se mueva desde un punto 5 cmpor debajo de su posicion de equilibrio hasta un punto 5 cm por arriba?d) ¿Cuanto se acortara el resorte cuando se retire el cuerpo?

13) Un cuerpo de 5 kg de masa cuelga de un resorte y oscila con un perıodo de 0,5 s. ¿Cuanto se acor-tara el resorte cuando el cuerpo se retire?

14) Un bloque suspendido de un resorte vibra con movimiento armonico simple. En un instante cuando eldesplazamiento del bloque es igual a la mitad de la amplitud, ¿que fraccion de la energıa total del sistema escinetica y que fraccion es potencial?

15) Dos sistemas masa-resorte A y B oscilan de modo que sus energıas son iguales, EA = EB . Si MA = 2MB ,¿cual de las siguientes relaciones es valida?a) AA = AB/2b) AA = AB/

√2

c) AA = ABd) No hay suficiente informacion para determinar la relacion de amplitudes.

16) Un bloque cuelga de un resorte y esta en equilibrio; en esta condicion la longitud del resorte es unacantidad d mayor que su longitud en el estado sin carga. Pruebe que cuando el cuerpo oscila su perıodo es:

T = 2π

√d

g

17) El piston en un automovil tiene 8,03 cm de diametro y recorre una distancia total de 7,42cm por tiempo.

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¿Cual es la amplitud de su oscilacion? Calcule la velocidad y aceleracion maxima del piston cuando trabaja a3.700 rpm. Exprese su resultado de amax en funcion de la aceleracion de la gravedad, g. Suponga un movimientoarmonico simple.

18) Sobre una superficie plana lisa, que esta inclinada 60o, se coloca un resorte (ver figura). Cuando unbloque de 1 kg de masa se fija al resorte, el resorte se estira 0,10 m. Cuando, luego, un alumno estira 0,05 mmas al resorte y lo suelta, la masa empieza a oscilar.a) Determine la frecuencia angular, la frecuencia y el perıodo de la oscilacion.b) Determine la amplitud de la oscilacion, la velocidad maxima y la aceleracion maxima de la masa que oscila.

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TP 12: Pendulo Simple

1) Encuentre la longitud de un pendulo simple cuyo perıodo es exactamente 1,0 s cuando oscila con unapequena amplitud en un lugar donde g = 9, 80m/s2

2) ¿En que porcentaje se modifica el perıodo de un pendulo simple si su longitud se incrementa en un 15%?

3) Un pendulo simple de 80 cm de longitud oscila con una amplitud de 4 cm.a) Calcule la velocidad del pendulo en el punto mas bajo.b) Calcule la aceleracion del pendulo en los extremos de su recorrido.

4) ¿Cual es el cambio ∆T en el perıodo de un pendulo simple cuando la aceleracion de la gravedad g cambia∆g? Demuestre que:

dT

T= −1

2

dg

g

5) Un reloj de pendulo, que da el tiempo correcto en un lugar donde g = 9, 8000m/s2 , atrasa 10 segundos pordıa en un lugar mas elevado. Use el resultado anterior para encontrar aproximadamente el valor de g en ese lugar.

6) Un pendulo simple tiene un perıodo de 2 s en la Tierra. ¿Cual es el perıodo del mismo pendulo en lasuperficie de la Luna, donde g = 1, 7m/s2? En este caso, ¿puede usar el resultado del problema 4?

7) Suponga que se quiere definir al segundo como el tiempo requerido por un pendulo simple de exactamente1 m de longitud para completar media oscilacion.a) Evalue que error tiene esa definicion si g = 9, 800m/s2

b) ¿Para que valor de g serıa exacta la definicion?

8) Un pendulo simple esta constituido por una masa en el extremo de un hilo de L = 1, 2m de longitud. Hayun clavo a una distancia L/2 justo abajo del punto de suspension. Calcule el perıodo del pendulo suponiendopequenas oscilaciones. Este pendulo se atribuye a Galileo y se conoce como pendulo interrumpido.

9) Para demoler edificios se usa una gran esfera de hierro de 350 kg de masa que cuelga de un cable de acerode 35 m de longitud. Cuando la esfera se coloca a 1 m al lado del edificio y luego se la eleva 20o y se la suelta:a) Calcule la velocidad de la esfera al chocar con el edificio.b) Calcule qu angulo se necesita para que la esfera choque a 20m/s.Represente graficamente la situacion descrita.

10) Algunas preguntas sobre el movimiento del pendulo simple:a) ¿En que posicion de la trayectoria la velocidad es cero?b) ¿En que posicion la aceleracion es nula?c) ¿En que posicion es nulo el torque respecto del punto de suspension?d) ¿En que posicion es maxima la tension del hilo?

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TP 13: Pendulo Fısico

1) Se desea construir un pendulo de perıodo 10 s.a) ¿Cual es la longitud de un pendulo simple que tenga ese perıodo?b) Suponga que el pendulo debe montarse en un gabinete de medio metro de altura. Disene un pendulo fısico(proponga la geometrıa del pendulo: barra, disco, etc.) que tenga el mismo perıodo de 10 s y que satisfaga elrequerimiento.

2) Un disco solido de 12 cm de radio oscila como un pendulo fısico alrededor de un eje perpendicular alplano del disco a una distancia r del centro.

a) Calcule el perıodo de oscilacion (para pequenas amplitudes) para los siguientes valores de r: 0, R/4, R/2,3R/4, R.b) Sea T0 el perıodo cuando r = R, y T el perıodo para cualquier valor de r. Construya un grafico de T/T0como funcion de r/R.c) Pruebe por calculo que el perıodo es mınimo cuando r R / 2 . ¿Concuerda este resultado con su grafico?

3) Una regla de 1 m cuelga de un eje horizontal en un extremo y oscila como pendulo fısico. Un cuerpode pequenas dimensiones, y que tiene una masa igual a la de la regla, puede anclarse a la regla a una distanciah debajo del eje. Sea T el perıodo del sistema con el cuerpo pegado y T0 el perıodo del metro solo. Encuentrela relacin T/T0:a) cuando h = 0,5 m,b) cuando h = 1m.c) ¿Hay un valor de h para el cual T = T0? Si lo hubiera, encuentrelo, y explique por que el perıodo no cambiacuando h tiene ese valor?

4) Analice el siguiente sistema constituido por una barra de masa M y largo L, pivotada en el centro yunida a dos resortes de constantes k1 y k2 , como se indica en la figura

Demuestre que en este sistema se satisfacen condiciones para que observar un movimiento oscilatorio simple yencuentre la frecuencia de oscilacin.

5) Una barra horizontal de masa m y largo L esta pivotada en un extremo. El otro extremo de la barra

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esta soportado por un resorte de constate de fuerza k.a) Muestre que la barra, luego de se desplazada un pequeno angulo desde su posicion de equilibrio horizontaly liberada, se mueve con movimiento armonico simple.b) Encuentre el perıodo de oscilacion de la barra.c) Evalue la frecuencia de oscilacion si m = 5kg, L = 0, 60m y k = 100N/m.

6) El pendulo de un reloj esta formado por una varilla de longitud d y masa m1, con una lenteja de masam2 en su extremo.a) Exprese el perıodo de este pendulo en funcion del cociente entre las masa,µ = m1/m2.b) ¿Cual debe ser la longitud d de la varilla para que cada oscilacion del pendulo tarde un segundo desde eldesplazamiento maximo hacia un lado hasta el desplazamiento maximo hacia el otro? Exprese d en funcion deµ y calculela para µ = 0, 10.

7) Dos varillas delgadas identicas, cada una con masa m y longitud a, se unen en angulo recto para for-mar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre un filo. Si se desvıa un poco al objeto y se suelta, elobjeto oscila. Calcule la frecuencia de su oscilacion.

8) Un pendulo fısico oscila pivotado sobre un eje y su perıodo de oscilacion es T . Se encuentra que cuandoel pendulo oscila alrededor de un segundo eje, el perıodo es el mismo. Muestre que, en este caso, el perıododepende solamente de la distancia L entre los ejes y esta dado por:

T = 2π

√`

g

9) Una esfera de 2 cm de radio se deja caer desde 0,50 m de altura sobre una rampa que forma un angulo de30o con la horizontal. Rueda rampa abajo, pasa a una parte horizontal de 11 cm de longitud y sube una rampasemejante al otro lado. ¿El movimiento es periodico? ¿Es armonico? Calcule el perıodo de la oscilacion.

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TP 14: Oscilaciones amortiguadas

1) Considere un oscilador armonico con friccion. Para sintetizar una idea piense en una masa m unida aun resorte de constante k. Cuando la fuerza de friccion es proporcional a la velocidad, la ecuacion diferencialque describe el movimiento es:

md2x

dt2+ β

dx

dt+ kx = 0

que tambien puede escribirse como:

d2x

dt2+ Γ

dx

dt+ ω0x = 0

donde Γ = β/m y ω0 = k/m es la frecuencia de oscilacion del sistema en ausencia de roce.a) ¿En que unidades se miden β y omega0?b) Compruebe que la funcion

x(t) = Ae−Γ2 tcos(ωt+ φ)

es solucion de la ecuacion diferencial; es la frecuencia angular (en rad/s), A es la amplitud inicial (en la mismaunidad que x) y es la fase inicial (en rad).c) Demuestre que la frecuencia es:

ω =

√ω20 −

Γ2

4

d) Analice cual es el maximo valor que puede tomar la constante β que permita un movimiento oscilatorio.

2) Una masa de 2 kg cuelga de un resorte de constante k = 200N/m. Considere que el aire genera unafuerza de friccion proporcional a la velocidad, es decir, f = βv. Tome β = 2 (en el Sistema Internacional deunidades).a) Calcule la frecuencia y el perıodo de oscilacion de la masa.b) Suponga que en el instante inicial la posicion de la masa es 10 cm por arriba de la posicion de equilibrio yque en ese momento la velocidad es cero. Obtenga la posicion de la masa en funcion del tiempo.

3) Una masa de 100 g esta atada a un resorte y describe un movimiento vertical oscilatorio amortiguadocon un perıodo de 0,5 s. Se observa que tras 100 oscilaciones la amplitud decae un 10% del valor inicial. A par-tir de estos datos determine los valores de la frecuencia angular ω la constante de amortiguamiento Γ, definidacomo: Γ = β/m, y la frecuencia natural ω0

4) Considere un sistema oscilatorio amortiguado por una fuerza proporcional a la velocidad. Demuestre queluego de un tiempo τ = 2/Gamma desde el inicio de la oscilacion, la amplitud decae en un factor !/e respecto dela inicial. El tiempo se denomina tiempo caracterıstico del decaimiento de la amplitud de oscilacion del sistema.

5) Encuentre expresiones para la energıa potencial, la energıa cinetica y la energıa mecanica para el casode una masa que oscila con movimiento amortiguado.

6) Un oscilador comienza a oscilar desde su maxima amplitud y pierde el 10% de su energıa potencial ini-cial en 20 oscilaciones. ¿En que porcentaje decae su amplitud en el mismo intervalo?

7) Las siguientes ecuaciones diferenciales son las ecuaciones de movimiento de un sistema masa-resorte conrozamiento. Indique que tipo de movimiento describen en cada caso.

x+ 2x+ 5x = 0 3x+ 8x+ x = 0 x+ 64x+ 16x = 0

8) Se tiene un resorte oscilando en presencia de un rozamiento proporcional a la velocidad de este. La constanteelastica del resorte es K = 3N/m y la masa que puede considerarse puntual es de 10kg.(a) ¿Cuanto vale la constante de proporcionalidad de dicho rozamiento si la amplitud decae a la mitad en 10segundos?(b) Grafique la amplitud y la velocidad en funcion del tiempo. El apartamiento original desde el reposo es de10cm.

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TP 15: Ondas. Funcion de onda

1) De ejemplos de ondas que pueden considerarse que se propagan en 1, 2 y 3 dimensiones.

2) Indique como pueden generarse ondas transversales y longitudinales en una varilla metalica.

3) Un murcielago puede detectar pequenos objetos, como un insecto cuyo tamano es aproximadamente igual auna longitud de onda del sonido que el murcielago emite. Si estos animales emiten un chirrido a una frecuenciade 60 kHz y si la velocidad del sonido en el aire es de 340m/s (a 20oC), ¿cual es el insecto mas pequeno que unmurcielago puede detectar?

4) La rapidez de las ondas de radio en el vacıo (igual a la de la luz) es de 3 · 108m/s. Calcule para:a) una estacion de radio AM con f = 1.000 kHz,b) una estacion de radio FM con f = 100 MHz.

5) Si la amplitud es suficientemente alta, el odo humano puede responder a ondas longitudinales en una gamade frecuencias de 20 Hz a 20.000 Hz. Calcule las longitudes de onda correspondientes a estas frecuencias paraondas.a) en aire (v = 344 m/s),b) en agua (v = 1480 m/s). ¿Por que la onda de sonido viaja mas rapido en el agua? 6) En t = 0, un pulso deonda transversal en un alambre se describe por medio de la funcion

y =6

x2 + 3

donde x y y estan en metros. Escriba la funcion y(x, t) que represente esta onda si esta viaja en la direccion xpositiva con una velocidad de 4,5 m/s.

7) Una onda que se mueve a lo largo del eje x se describe por medio de

y(x, t) = 5e−(x+5t)2

donde x esta en metros y t se mide en segundos. Determine la direccion del movimiento de la onda y la velocidadde la onda.

8) Un tren de onda senoidal se describe por medio de

y(x, t) = 0.25sen(0.3x− 40t)

donde x y y se miden en metros y t en segundos. Determine para esta onda: la amplitud, la frecuencia angular,el numero de onda, la longitud de onda, la velocidad de onda y la direccion de movimiento.

9) a) Escriba la expresin de y(x,t) de una onda senoidal que se propaga a lo largo de una cuerda en la di-reccion x, con las siguientes caracterısticas: amplitud A = 8 cm, longitud de onda = 80 cm, frecuencia f = 3Hz y y(0, 0) = 0.b) Escriba la expresin de y(x,t) para la onda del inciso a) sabiendo que y(x, 0) = 0 cuando x = 10 cm.

10) Las ondas en el oceano con una distancia entre cresta a cresta de 10 m pueden describirse mediante:

y(x, t) = 0, 80sen(0, 63x− vt)

donde y se mide en metros y v = 1,2 m/s. Dibuje y(x, t) en t = 0 y t = 2 s.

11) En la Figura A se muestra una onda que viaja por una cuerda en la direccion +x. El desplazamientode un punto de la cuerda se muestra en la Figura B.

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a) Determine la amplitud de la onda que viaja por la cuerda, la frecuencia angular, el numero de onda y larapidez de la onda.b) Escriba la funcion de onda.

12) Superposicion de ondas: Dos pulsos que viajan en la misma cuerda se describen por medio de:

y1(x, t) =5

(3x− 4t)2 + 2

y2(x, t) =5

(3x+ 4t− 6)2 + 2

a) ¿En que direccion viaja cada pulso?b) ¿En que tiempo se cancelan los dos?

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TP 16: Ondas en cuerdas

1) Una persona ata un extremo de una cuerda de 10 m y 0,2 kg a un poste, y tira del otro extremo paraestirar la cuerda horizontalmente con una tension de 80 N.a) Calcule la rapidez de las ondas transversales en la cuerda.b) Si la persona sube y baja el extremo con una frecuencia de 6 Hz, que longitud de onda tienen las ondastransversales en la cuerda.c) La persona tira con mas fuerza, duplicando la tension. ¿Con que frecuencia debe subir y bajar el extremolibre para producir ondas transversales con la misma longitud de onda que en a)?

2) Un astronauta en la Luna desea encontrar el valor local de g midiendo el tiempo entre pulsos transver-sales que viajan por un alambre que tiene una gran masa suspendida de el. Suponga que usa un alambre de4 g de masa y 1,60 m de largo, y que tiene una masa suspendida de 3 kg. Un pulso tarda 36,1 metros pararecorrer la longitud del alambre. Muestre como el astronauta puede obtener g a partir de estos datos. (¿Sepuede ignorar la masa del alambre?)

3) Calcule la velocidad de propagacion de la onda transversal que viaja por el alambre del problema ante-rior considerando la masa del alambre. Calcule el tiempo que demora la onda en recorrer una cierta distanciad en este caso.

4) Una cuerda ligera de masa m y largo L tiene sus extremos sujetos a dos paredes separadas por una distanciaD. Dos masas, cada una de masa M , estan suspendidas de esa cuerda, como se ve en la figura. Si un pulso deonda se desvıa desde el punto A, ¿cuanto tarda en viajar hasta el punto B?

5) Una onda en una cuerda se describe mediante la funcion de onda y = (0, 10m)sen(0, 5x− 20t)a) Muestre que una partıcula en la cuerda en x = 2m ejecuta un movimiento armonico.b) Determine la frecuencia de oscilacion de este punto particular.

6) Un bloque de 2kg cuelga de una cuerda de hule y se sostiene de modo que la cuerda no se estire. Lalongitud de la cuerda sin estirar es de 0,50m y su masa es igual a 5g. La constante de la cuerda es de 100N/m.a) Determine la tension en la cuerda cuando el bloque se suelta y se detiene en el punto mas bajo.b) ¿Cual es la longitud de la cuerda en esta posicion alargada?c) Encuentre la velocidad de una onda transversal en la cuerda si el bloque se mantiene en esta posicion mas baja.

7) Dos cuerdas, una con masa por unidad de longitud 1 y otra con 2 , estan unidas y sujetas tensas entredos paredes, como se muestra en la figura. Considere dos pulsos que se emiten simultaneamente: uno desde Ahacia la derecha y el otro desde B hacia la izquierda. Encuentre la relacion que debe haber entre 1 y 2 , y entrelas masas m 1 y m 2 de cada cuerda, para que los pulsos se encuentren en el nudo.

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TP 17: Interferencia de ondas. Ondas estacionarias en cuerdas

1 Dos ondas viajeras, cada una de amplitud 3 mm, perıodo 3ms y rapidez 100m/s, se mueven por una cuerdaque tiene un extremo fijo en x = 0. Son identicas, excepto que sus velocidades son opuestas. Escriba la funcionde la onda estacionaria resultante.

2) Ciertas ondas estacionarias en un alambre se describen con la ecuacion y(x, t) = Asen(kx)sen(ωt)Si A = 2,50 mm, ω = 942rad/s, k = 0, 75πrad/s, con el extremo izquierdo del alambre en x = 0. ¿A quedistancias de ese extremo estan los nodos y los antinodos de la onda estacionaria?

3) Ecuacion de onda y ondas estacionarias. Demuestre por sustitucion directa que y(x, t) = Asen(kx)sen(ωt)es una solucion de la ecuacion de onda, para ν = ω/k, y tambien es valida para ondas estacionarias.

4) Los antinodos adyacentes de una onda estacionaria en una cuerda estan separados 15 cm. Una partıcula enun antinodo oscila con movimiento armonico simple con amplitud de 0,85 cm y perıodo de 0,075 s. La cuerdaesta en el eje +x, fija en x = 0.a) Obtenga el desplazamiento de un punto de la cuerda en funcion de la posicion y del tiempo.b) Calcula la rapidez de propagacion de una onda transversal de la cuerda.c) Calcule la amplitud en un punto a 3 cm a la derecha de un antinodo.

5) Un afinador de piano estira un alambre de piano de acero con una tension de 800 N. El alambre tiene0,40 m de longitud y una masa de 3 g.a) Calcule la frecuencia de su modo fundamental de vibracion.b) Determine el numero del armonico mas alto que podrıa oır una persona que capta frecuencias de hasta 10 kHz.

6) Cuerda de guitarra. Una de las cuerdas de 63,5 cm de una guitarra criolla se afina para producir la nota B3

(f = 245 Hz) vibrando en su modo fundamental.a) Calcule la rapidez de las ondas transversales en esta cuerda.b) Si la tension de la cuerda se aumenta en 1%, ¿cual sera su nueva frecuencia fundamental?c) Si la rapidez del sonido en el aire circundante es de 344 m/s, ¿cuanto valdran la frecuencia y la longitud deonda de la onda sonora en el aire por la vibracion de esta cuerda? Comparelas con f y λ de la onda estacionariaen la cuerda.

7) Afinacion de un violonchelo. Una violonchelista afina la cuerda C de su instrumento a una frecuenciafundamental de 65,4 Hz. La porcion vibrante de la cuerda tiene una longitud de 0,60 m y una masa de 14,4 g.a) ¿Con que tension debe estirarse la cuerda?b) ¿Que porcentaje se debe aumentar la tension para elevar la frecuencia de 65,4 Hz a 73,4 Hz, correspondientea un aumento de tono de C a D?

8) Una cuerda vibra en su modo fundamental, con nodos en sus extremos. La longitud del segmento decuerda que vibra es de 40 cm. La aceleracion transversal maxima de un punto en el punto medio del segmentoes de 8, 4x103m/s2, y su velocidad transversal maxima es de 3,80 m/s.a) Calcule la amplitud de esta onda estacionaria.b) ¿Que rapidez tienen las ondas viajeras transversales en esta cuerda?c) Compare la aceleracion maxima con el valor de g.

9) Un tablon de 5 m de longitud esta apoyado en sus extremos y queda elevado del piso. Una estudiantede fısica se para a la mitad del tablon y comienza a saltar verticalmente de modo que salta hacia arriba dosveces por segundo. El tablon oscila con amplitud grande que es maxima en su centro.a) ¿Que rapidez tienen las ondas transversales en el tablon?b) ¿Con que ritmo debera saltar la estudiante para producir oscilaciones de amplitud grande si esta parada a1,25 m de un extremo?

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TP 18: Potencia transmitida por una onda

La potencia transmitida por cualquier onda sinusoidal es proporcional al cuadrado de la frecuencia angulary al cuadrado de la amplitud A. En particular, para una onda sinusoidal que se propaga con rapidez ν por unacuerda tensa de masa por unidad de longitud , la potencia transmitida es:

P =1

2µω2A2ν

1) Una cuerda tensa tiene una masa por unidad de longitud de 0,20 kg y una longitud de 4 m. ¿Que potenciadebe proporcionarse para generar en la cuerda una onda sinusoidal con una amplitud de 0,10 m y una longitudde onda de 0,50 m, y cuya velocidad sea de 30 m/s?

2) Se generan ondas en una cuerda sometida a tensin constante. ¿En que factor la potencia requerida au-menta o disminuye si:a) la longitud de la cuerda se duplica y la frecuencia angular permanece constante,b) la amplitud se duplica y la frecuencia se reduce a la mitad,c) tanto la longitud de onda como la amplitud se duplican, yd) tanto la longitud de onda como la amplitud se reducen a la mitad?

3) Se desea transmitir ondas de 5,00 cm de amplitud a lo largo de una cuerda que tiene una densidad lin-eal de 4, 00x102kg/m. Si la maxima potencia entregada por la fuente es de 300 W y la cuerda esta sometida auna tension de 100 N, ¿cual es la frecuencia de vibracion mas alta a la cual puede operar la fuente?

4) Una cuerda horizontal puede transmitir una potencia mxima P (sin romperse) si viaja por ella una onda conamplitud A y frecuencia angular. Con el fin de aumentar esta potencia maxima, un estudiante decide doblarla cuerda y utilizar esta cuerda doble como un transmisor. Analice la opcion del estudiante y si la consideraadecuada determine la potencia maxima que puede transmitirse a lo largo de la cuerda doble.

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