II Ciclo Semestre 2018 II - University of San Martín de Porres · 2018. 7. 19. · Sea una matriz...

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RECURSOS HUMANOS FACULTAD DECIENCIAS CONTABLES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS

UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS GENERALES

Manual para uso exclusivo de los estudiantes

Ciudad Universitaria USMP Av. Las Calandrias N°151

Santa Anita - Lima

II Ciclo

Semestre 2018 – II

Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes de las Facultades y Escuelas Profesionales:

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINITRATIVAS Y RECUSOS HUMANOS Escuela Profesional de Administración de Negocios Internacionales

Escuela Profesional de Administración Escuela Profesional de Gestión de Recursos Humanos

Escuela Profesional de Marketing

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Escuela de Profesional Contabilidad y Finanzas

Escuela Profesional de Economía

INTRODUCCION

El presente Manual de Ejercicios y Problemas de Matemática II para el estudiante

representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinación Académica y el Área de

Matemática vienen realizando en cada semestre académico. Su elaboración está orientada a

incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática II,

en la Unidad Académica de Estudios Generales.

Este Manual que presentamos, contiene ejercicios y problemas de aplicación después

cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el presente semestre académico

2018 - II, por lo que está dividido en cuatro unidades, de acuerdo al silabo correspondiente.

Estas unidades son: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite y

Continuidad de una Función Real de Variable Real, Derivadas e integrales.

Es nuestra intención y propósito, que el presente Manual sea en un instrumento básico de

trabajo para el estudiante, por tanto, es indispensable la consulta permanente con la bibliografía

recomendada en el silabo. Asimismo, esperamos que contribuya a la formación profesional y

académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de

Matemática II, así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.

Los profesores

MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

01

SEMANA 1

MATRICES

DEFINICIÓN

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos ij

a dispuestos en filas y columnas. Estos

elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las

letras mayúsculas , , A B C , etc.

Representación General:

11 12 1

21 22 2

1 2

.......

.......

.

.

.......

n

n

mnm m mxn

A

a a a

a a a

a a a

Orden de una matriz

El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la

matriz.

Si, [ ]ij m n

A a

es una matriz , entonces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n.

determinan el orden, que en este caso es m x n (se lee “m” por “n”). Los subíndices indican la

posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la

columna (j). Por ejemplo el elemento 12

a está en la fila 1 y en la columna 2.

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES

EJERCICIOS:

Elaborar las matrices siguientes:

1) 2 2

;[ ] /

3 2 ;ij ijx

i j i jA a a

i i j

2)

2

3 3

2 ;

[ ] /;

2

i j

ij ijx

i j

A a a i ji j


02

IGUALDAD DE MATRICES

Las matrices [ ]ij m n

A a

y [ ]m nij

B b

son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y

sus entradas correspondientes son iguales.

ij ijA B a b , para todo ,i j

EJERCICIOS:

Si las matrices A y B son iguales, entonces:

1. Calcule: 6

x y zE

si:

6 2 8

4 2

x yA

z x y

y

6 8

2 5B

2. Calcule: E xy xz yz si:

0,2 1 7

4 0

11 8

3

x

A y

z

y

25 1 7

4 0

8 3y

B y

x y

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se

denota TA . El orden original es m x n y el orden de

TA es n x m.

Propiedades

( )T TA A

( ) T T TA B A B

( )T Tk A k A

MATRICES ESPECIALES

Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila.

Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna.

Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.


03

Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas y se

denota n

A . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas nnaaaa ,......,,, 332211 forman la

diagonal principal.

Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera

de la diagonal principal son ceros.

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal

principal son iguales.

Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la

diagonal principal son iguales a uno.

Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A .

Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A . En una matriz

antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.

EJERCICIOS:

1. Si: 5 10

5 0

x zA

y

es una matriz nula, calcule E x y z .

2. Si:

2 8 16 7

2 10 4 0

0 3 21 0

x z

B y

z

es una matriz diagonal, halle los valores de , , x y z

OPERACIONES CON MATRICES

ADICIÓN DE MATRICES

Si ij

A a y ij

B b son matrices de orden m x n, entonces la suma A B es la matriz

de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B .


04

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (escalar), entonces la matriz k A ,

tiene el mismo orden m x n y se obtiene al multiplicar cada entrada por k .

Propiedades

Sean A , B , C y O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k , 1

k , 2

k son

números reales:

1. A B B A 5. 1 2 1 2

( ) A Ak k k k A

2. ( ) ( )A B C A B C 6. 1 2 1 2

( ) ( )Ak k k k A

3. O OA A A 7. 0 OA

4. ( )A Bk kA kB 8. O Ok

SUSTRACCIÓN DE MATRICES:

Dado que ( 1 )B B , se define: ( )A B A B

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p, entonces el producto AB

es la matriz C de orden m x p cuyas entradas ijc , se obtienen al sumar los productos de las

entradas de la fila “i” de la matriz A , con sus respectivas entradas de la columna “j” de la

matriz B .

Propiedades

1. ( ) ( )A BC AB C 3. ( )A B C AC BC

2. ( )A B C AB AC 4. ( )T T TAB B A

EJERCICIOS:

1. Dadas las matrices 5 7

2 4A

, 2 22 xB I A y BAC .

Calcule:

a) ( )C B A b) ( ) ( 2 )T TC B C

2. Si, 2 1

0 5

A

, 1 3

4 0

B

y 2 2

3x

BC I . Calcular: 2 ( ) TP B A B C B


05

EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN

CONOCIMIENTO

I. RESPONDE acertadamente si la proposición es verdadera o falsa colocando V o F 1. Es una matriz triangular superior si los elementos que están por encima de la

diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 i > j.

2. Una matriz es antisimétrica si se cumple: -A = AT

3. Una matriz cuadrada se denota por An

4. Si A·B = O implica que A = O ó B = O

5. La multiplicación de matrices siempre es conmutativa

II. IDENTIFICA las matrices y coloca el nombre a cada una de ellas.

a) 0 3 53 0 45 4 0

b) 7 0 03 7 05 9 7

c) 5 1 50 5 90 0 5

d)

700

070

007

e) 201

f) 0 1 21 0 72 7 0

____________________________________________________________________________

APLICACION - ELABORACION

A. ELABORA (Construye) las siguientes matrices.

1)

2

3 3

; [ ] /

; ij ijx

i j i jB b b

i j i j

2)

3 3

2 ;[ ] /

2 ;

i

ij ijx

i jB b b

j i j

3) 3 3ij x

D d / ;

2 3 ;

2 3

j i

j iij

i jd

i j

4)

2 3

max ( , ) ; [ ] /

min ( , ) ;ij ijx

i j i jE e e

i j i j

5) 3 2ij x

M m / 2 2

3

2

i j

ijji

; i j

m i j ; i j

; i j

6) 2 3ij x

N n /

i

i jij

j

j ; i j

n ; i j

i ; i j

B. IGUALDAD DE MATRICES

Si las matrices son iguales, entonces:

1. Calcule: E s m p , si 3 5

4 10

p m s m

s pC

y 27 125

64 10D

2. Calcule: 5

1

x yE

z

, si

9 5

2 2

y z x z

x yM

y 81 25

8 2N

3. Calcule: 1

2E xzz

, si: 2 2

[ ]ij x

A a / a ij = ,

2 ,

i j i j

i i j

y

3

2 2

x

x yB

x y z


06

4. Calcule: x y

Ez

, si:

2 2[ ]

ij xA a / a ij =

,

2 ,

i j i j

i i j

y

3

2 2

x

x yB

x y z

5. Calcule: E s m p si:

0,5 2 7

4 0

11 3

7

S

A s

p

y

16 2 7

4 0

3 7m

B s

m s

C. MATRICES ESPECIALES

6. Si:

4 4 0

0 10 6

4 3 5 2 7

x y a b

N a b

c d x y

es una matriz escalar, halle: 4 2 3

2 ( )

d b cE

x y

7. Si:

3 0 ,25

2

6 8 7

x

x y

A z yz

es una matriz simétrica, halle x y

Ez

8. Si:

5 0,25

7 0 6

4 3 1

x

y z

y z

M y

x z

es una matriz simétrica, calcule: 2x y

Ez

9. Si:

4 2 5

5 12 243

2 3 4y z

x y

x y

A

es una matriz simétrica, calcule 2 3E x y z

10. Halle los valores de a, b y c, si

0 1 3

10 1

2 3 0

Aa

b c

es antisimétrica.

11. Si:

1 16 125

2 1 1/ 27

5 3 0

x y

y z x z

a b

A a b

es antisimétrica, calcule

3

2

3 2 4x y zE

a b


07

12. Si:

5

5 9

6 3 0

a b d c

A c

a

, es antisimétrica, calcule: a b c

dE

13. Sea M la matriz antisimétrica dada por:

( )

3 1

aa m n m n

M p b m n

c

, Calcule:

E ab c p mn

D. APLICANDO PROPIEDADES

14. Dadas las matrices: 2 1

1 0

A

; 35 50

1 7

B

; 2 2

0 4

C

, halle la matriz X si

se cumple: ( ) 4 2 ( )T T T TA B AC X B A C

15. Halle la matriz X en: ( 3 ) 3 ( )T T T TA B X A AB C . Si

3 7 33

349

7

A

, 1 4

2 3

B

y 3T TC B A I 22x

16. Si 3 1

4 2A

y 2 1

3 5

TB

, determine la matriz X si se cumple:

2 3 ( ) 5 4 ( 2 )T T T TA A B X A B

COMPRENSIÓN - ANALISIS - SINTESIS

Comprende, analiza y resuelve los siguientes problemas:

1. Un fabricante de zapatos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, blanco

y gris. La capacidad de producción (en miles de pares) en la Planta de Vitarte está dada por

la siguiente matriz:

28 50 20

12 38 60

160 80 50

A

Negro

Gris

Blanco

Niños Damas Caballeros


08

La producción en la Planta de la Victoria está dada por la matriz:

8 36 20

64 03 60

66 12 26

B

a) Halle la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapatos en

ambas plantas.

b) Si la producción en la planta de Vitarte se incrementa en un 50% y de la Victoria en un

25%, hallar la matriz que represente la nueva producción total de cada tipo de calzado.

2. Un fabricante de pantalones para niños, damas y caballeros los produce en color crema, rojo

y verde. La producción (en miles de pantalones) en la fábrica de Santa Anita está dada por la

siguiente matriz:

70 30 80

24 4 18

28 16 8

A

La producción en la fábrica de la Villa el Salvador está dada por la matriz siguiente:

40 30 20

10 40 10

20 60 80

B

a) Determine la representación matricial de la producción total del fabricante.

b) Halle la producción total de pantalones color rojo para niños.

c) Halle la producción total de pantalones color crema para damas.

d) Si la producción en la fábrica de Santa Anita disminuye en un 50% y en la fábrica de

Villa el Salvador se incrementa en un 30%, hallar la matriz que represente la nueva

producción total.

3. La empresa distribuidora de autos Perú Vagen de San Luis presenta las ventas, del

mes de Julio, de los autos WV modelo Bora y Vento mediante la matriz A siguiente:

50 20 28

30 60 14S

Bora

Vento

Color Negro Color rojo Color Plata Tamaño 2 Tamaño 3

Crema

Rojo

Verde


Crema

Rojo

Verde



Negro

Gris

Blanco


09

Mientras que las ventas en la Av. La Marina está representada por la matriz B

siguiente:

25 50 40

30 20 35M

a) Indique el modelo y color de auto más vendido en cada local.

b) Escriba una matriz que represente la venta total de ambos locales e indique el

modelo y color de auto que menos se vendió en el mes de Julio.

4. Juan y Manuel son dos hermanos empresarios de la zona industrial de Villa el Salvador,

fabricantes de camas de una plaza, plaza y media y dos plazas en colores blanco, cedro y

nogal. La producción mensual de la fábrica administrada por Manuel se representa mediante

la matriz M siguiente:

Una plaza Plaza y media Dos plazas

15 20 27

10 18 28

12 16 30

M

Mientras que la producción mensual de la fábrica administrada por Juan está dada por la

matriz N siguiente:

Una plaza Plaza y media Dos plazas

14 22 26

11 15 30

12 13 31

N

a) Indicar el modelo y color de cama, que es más fabricada, por cada uno de los

hermanos.

b) Halle la matriz que representa la producción total mensual.

c) Halle la producción total de camas de dos plazas en color cedro.

d) Halle la producción total de camas de una plaza en color blanco.

5. Una fábrica ensambladora de automóviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus dos

plantas A y B ubicados en la ciudad de Tacna. Los ingresos mensuales en dólares en

el mes de diciembre son representados por la siguiente matriz:

M1 M2 M3

32000 17000 25000

40000 21000 15000

Color Negro Color rojo Color Plata Tamaño 2 Tamaño 3

Blanco

Cedro

Nogal

Blanco

Cedro

Nogal

Planta A

Planta B

Bora

Vento


010

Mientras que los costos de producción mensuales en dólares del mes de diciembre son

como se muestra en la siguiente matriz:

M1 M2 M3

5000 12000 15000

10000 3000 5000

a) Matricialmente, halle la utilidad en la planta A.

b) Matricialmente, halle la utilidad en la planta B.

c) Halle la matriz utilidad.

6. Un agente de bolsa vendió a un cliente 50 acciones del tipo A, 60 del tipo B, 10 del tipo C y

60 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 20; $17, $ 30 y $ 50 por acción respectivamente,

determine el valor total de la transacción comercial en forma matricial.

7. Tiendas Tottus, por ocasión del mundial y la participación de Perú en dicho evento, vendió en

el mes de junio: 120 TV LED 3D de 20”, 85 de 32”, 115 de 42” y 100 de 47”. Los TV LED 3D

de 20” tenían un precio de $ 520, los de 32” un precio de $ 980, los de 42” $ 1 820 y los de

47” a $ 2 899. Calcule en forma matricial el ingreso total que recibió la tienda Tottus.

8. En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos: modelo A,

modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420 y S/. 360

respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudación total por la venta de 30, 45 y 60

buzos de cada modelo respectivamente.

9. En las elecciones municipales pasadas, un grupo político, contrató los servicios de una

empresa de relaciones públicas para promover a su candidato mediante tres formas: por

teléfono, repartiendo volantes a las casas y mediante cartas. El costo por cada contacto

establecido se obtuvo mediante la matriz:

Costo por contacto

S / . 1,20

S / . 1,80

S / . 2,20

El número de contactos que pudo establecerse en dos distritos, está representado por la

siguiente matriz:

Teléfono volante carta

930 1260 3120

750 2300 2000

Lince

Jesús María

Teléfono

Volante

Carta

Planta A

Planta B


011

a) Halle la cantidad total que se gastó en el distrito de Lince.

b) Halle la cantidad total que se gastó en el distrito de Jesús María.

c) Halle el gasto total realizado.

10. Una empresa fabrica billeteras, carteras y maletines en dos plantas A y B. Las unidades

vendidas en el mes de Julio se muestran en la siguiente matriz:

Billeteras Carteras Maletines

250 120 110

130 350 150

Las utilidades obtenidas por cada unidad vendida se muestran en la matriz:

Planta A Planta B

$3 $4

$8 $9

$10 $12

Mediante el producto de matrices, calcule:

a) La utilidad obtenida en la planta A

b) La utilidad obtenida en la planta B.

Planta A

Planta B

Billeteras

Carteras

Maletines


012

SEMANA 2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se

denota por: A .

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2

a bA

c d

a bA ad bc

c d , ejemplo:

2 3( 2 )(5) (3)( 4 )

4 52A

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)

a b c

A d e f

g h i

a b c a b

A d e f d e aei bfg cdh ceg afh bdi

g h i g h

Ejemplo:

2 1 3

0 4 5

3 2 0

A

Propiedades

1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces:

0A

2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 0A

3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces A es igual al producto de las

entradas de la diagonal principal.

4. Si “ k ” es una constante y A una matriz de orden “n”, entonces: nA Ak k

5. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes

A B A B .

6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta TA A

7. Si A es una matriz invertible: 1

1A

A

36 20 0

2 1 3 2 1

0 4 5 0 4 (0 15 0) ( 36 20 0) 41

3 2 0 3 2

0 15 0

A


013

MÉTODO O REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

Dado el sistema 11 12 1

21 22 2

a x a y b

a x a y b

,

Denotamos: 11 12

21 22

a aA

a a

1 12

2 22

x

b aA

b a

11 1

21 2

y

a bA

a b

luego: xA

xA

yA

yA

siempre que 0A

Este método es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas,

siempre que 0A

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:

De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:

1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solución y puede ser:

a) Determinado. Cuando tiene solución única.

b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solución paramétrica).

2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solución.

Atendiendo a sus términos independientes:

a) Homogéneos. Cuando todos los términos independientes son nulos.

b) No Homogéneos. No todos sus términos independientes son nulos.

Ejemplo 1

Resolver por el método o regla de Cramer: 2 5 11

3 4 6

x y

x y

Solución:

2 58 15 7

3 4A

,

11 544 30 14

6 4xA

, luego

14

7x

2x

2 1112 33 21

3 6yA

, luego

21

7y

3y


014

Ejemplo 2

Resolver el sistema:

2 3

3 2 2 20

3 5 29

x y z

x y z

x y z

utilizando el método o regla de Cramer.

Solución:

2 1 1 2 1

3 2 2 3 2 20 2 9 2 12 15 9 5 14

1 3 5 1 3

A

3 1 1 3 1

20 2 2 20 2 30 58 60 58 18 100 148 176 28

29 3 5 29 3

xA

2 3 1 2 3

3 20 2 3 20 200 6 87 20 116 45 107 51 56

1 29 5 1 29

yA

2 1 3 2 1

3 2 20 3 2 116 20 27 6 120 87 69 27 42

1 3 29 1 3

zA

luego: 28

214

xx

A

A

;

564

14

yy

A

A

;

423

14

zz

A

A


015


CONOCIMIENTO

A. COMPLETA correctamente, colocando la palabra adecuada sobre la línea:

La regla de Sarrus, sirve para calcular el _____________________ de una matriz de tercer

orden.

Sistema Compatible Indeterminado es aquel que __________________________________.

El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz ________________.

El determinante de una matriz es igual al determinante de su ______________TA A

El método o regla de Cramer es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con

“n” incógnitas, siempre que el __________________________________________________.

B. IDENTIFICA sin resolver, colocando un check a la matriz tiene determinante cero.

4 2 5

1 3 6

0 0 0

7 0 3

5 0 4

2 0 5

2 1 3

4 4 1

2 1 3

6 1 2

0 3 5

0 0 3

5 1 5

1 4 1

1 6 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

APLICACIÓN

1. Calcule los siguientes determinantes:

a)

2 1 5

3 4 1

0 6 1

b)

4 2 3

1 4 5

3 1 7

c)

5 0 2

3 2 4

0 1 6

d)

3 2 1

0 5 2

2 3 7

e)

4 2 5

1 3 6

3 1 2

f)

7 1 3

5 3 4

2 6 5

g)

2 1 3

4 4 1

2 6 5

h)

6 1 2

2 3 5

2 8 3

2. Utilizando el método o regla de Cramer resuelva los siguientes sistemas:

a) 3 8

2 5

x y

x y

b)

3 2 4

5 3 25

x y

x y

c)

11 3 7

2 5 21

x y

x y

d) 2 5 25

4 7 1

x y

x y

e)

7 8 26

6 11 43

x y

x y

f)

9 5 7

7 4 37

x y

x y


016

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de z en:

g)

2 3 1

3 2 12

3 2 5

x y z

x y z

x y z

h)

4 3 2 14

3 5 2 23

2 5 6

x y z

x y z

x y z

Calcular el valor de y en: Calcular el valor de x en:

i)

5 6 7 31

3 5 3 4

4 3 2 5

x y z

x y z

x y z

j)

6 5 4 28

5 3 3 17

2 2 5 13

x y z

x y z

x y z

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de z en:

k)

0,2 0,3 0,4 2,7

0,3 0,1 0,5 3,1

0,7 0,2 0,4 4

x y z

x y z

x y z

l)

7 7 7 0

13 13 2 13 3 13

5 3 5 2 5 3 5

x y z

x y z

x y z

ANALISIS - SINTESIS

Lee los siguientes enunciados, comprende y resuelve.

1. La empresa “Textiles del Perú” produce pantalones y faldas, con un costo de producción

unitario de S/. 90 y S/. 60 respectivamente y con un costo fijo mensual de S/. 6 000.

Sabiendo que el costo total mensual es de S/. 16 800 y que cada pantalón se vende a

S/. 200 y cada falda a S/.180, que generan un ingreso total mensual de s/. 26 800.

Determine la cantidad de pantalones y faldas producidas en un mes.

2. La empresa H&B fabrica y envasa mermelada de fresa y puré de manzana. Por cada unidad

de mermelada que vende la ganancia es de S/. 6 y por cada unidad de puré que vende la

ganancia es de S/. 9. Se vendieron 500 unidades entre mermelada y puré siendo la

ganancia total de S/. 3 900. ¿Cuántas unidades de cada producto se vendieron?

3. Una empresa que fabrica artículos de cuero, tiene un costo fijo mensual de S/.10 000. Si

produce carteras y correas, con un costo de producción unitario (mano de obra y material)

de S/. 40 y S/. 30 respectivamente y con un costo total mensual fue de S/. 20 000 y, además

se fabrican 300 artículos (entre carteras y correas). Calcule la cantidad de carteras y

correas producidas en el mes.

4. Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de

mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo, el modelo B requiere de

1 hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada hora que la línea

de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para

pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. ¿Cuántos automóviles de cada modelo

pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra?


017

5. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de fundición

dispone de un máximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento de acabado

tiene un máximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 12 horas para

fundición y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8 horas para fundición y 12

horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su máxima capacidad, ¿cuántas

esculturas de cada tipo debe producir cada semana?

6. Una empresa tiene dos plantas para la fabricación de mochilas. Una está ubicada en La

Victoria y la otra en Los Olivos. En la planta de la Victoria, los costos fijos mensuales

ascienden a $ 5 900 y el costo unitario de producción a $ 25. En la planta de los Olivos, los

costos fijos son de $ 9 000 y el costo unitario de producción es de $ 30. Si se desea fabricar

1400 mochilas mensuales, halle la producción de cada planta, sabiendo que los costos

totales mensuales en cada planta deben ser iguales.

JUICIO DE VALOR

Recomienda o en su defecto Defiende o Critica:

7. Escritorios Nacionales tiene plantas para la producción de escritorios en la Costa del

Atlántico y en la Costa del Pacífico. En la planta de la costa del Atlántico, los costos fijos son

de $16 000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $90. En la planta del

Pacífico, los costos fijos son de $20 000 por año y el costo de producción de cada escritorio

es de $80. El año siguiente la compañía quiere producir en total de 800 escritorios.

Recomienda la producción de la planta del Pacífico para el año próximo si el costo total de

cada una debe ser el mismo.

8. Una diseñadora de modas que confecciona trajes de noche, tarda 3 horas en cortar y 2

horas en coser un vestido de fiesta. Para confeccionar un terno tarda 3 horas en cortar y 3

horas en coser. En una semana de trabajo la diseñadora dispone de 30 horas para el corte y

25 horas para el cosido. La diseñadora calcula que el número de trajes de noche de cada

tipo que puede producir en una semana, teniendo en cuenta que trabaja aprovechando toda

su capacidad es el mismo para ambos. Defienda o critique lo calculado por la diseñadora

justificando su respuesta.

9. Una fábrica de zapatos y zapatillas tiene un costo fijo mensual de $700, el costo de

producción unitario es de $40 y $30 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3 000

y se fabrican 70 pares entre zapatos y zapatillas. Recomienda la cantidad zapatos y

zapatillas producidas en un mes.


018

SEMANA 3

MATRIZ REDUCIDA - MATRIZ INVERSA

SISTEMA DE ECUACIONES

MATRIZ REDUCIDA

Una matriz se dice que es matriz reducida, si satisface lo siguiente:

Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en

la fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las demás entradas de su

columna, son ceros.

En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada

diferente de cero de cada fila arriba de él.

Todas las filas que consistan únicamente de ceros están en la parte inferior de la matriz.

REDUCCIÓN DE MATRICES

Para transformar una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales sobre

filas de la matriz, estas son:

1° x yF F : Intercambio de filas. Se cambian la fila xF por la fila yF .

2° xk F : Multiplicación de un escalar por una fila. El número real “ k ” diferente de cero,

multiplica a la fila xF .

3° x yF Fk : Suma de “ k ” veces una fila a otra fila. K veces la fila xF se suma a la fila yF .

(La fila xF no se altera).

OBSERVACIÓN: Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o más

operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son

equivalentes.

EJERCICIOS

1. Determinar si cada matriz que se muestra a continuación es reducida o no (justifique su respuesta):

a. 1 0

0 2

b.

1 0

0 0

c.

1 0 0

0 0 1

d.

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

e.

0 1 0 2

0 0 1 5

0 0 0 0


019

Ejemplo:

Reducir la matriz

Solución:

1098

795

442

1

(1 / 2)F

1098

795

221

1 2

( 5)F F

1098

310

221

1 3( 8)F F

670

310

221

2

( 1)F

670

310

221

2 1( 2)F F

1 0 4

0 1 3

0 7 6

2 3

(7)F F

1500

310

401

3(1/15)F

100

310

401

3 1

(4)F F

100

310

001

3 2

( 3)F F

100

010

001

Por lo tanto, la matriz reducida de

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A

es

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B

.

2. Haciendo uso de las operaciones elementales, reducir las siguientes matrices:

a)

4 0

105

b)

4 8 6

2 4 3

1 2 3

c)

4 0 6 2

1 4 2 2

3 3 3 12

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A


020

MATRIZ INVERSA

Definición. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una

matriz denotada por 1

A

tal que: 1 1

A A A A I

. A la matriz 1

A

se le llama matriz

inversa de A .

CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN

Sea A , una matriz cuadrada de orden “n”. Para calcular la matriz inversa de A , denotada por

1A

, se sigue los siguientes pasos:

1º. Se construye una matriz de la forma: A I donde I es la matriz identidad. A esta matriz

se le llama matriz aumentada.

2º Utilizando las operaciones elementales sobre filas (método de Gauss - Jordan), se

transforma (si es posible) la matriz A , en la matriz identidad: 1 I A

. La matriz que

resulta en el lado derecho, será la matriz inversa de A .

Ejemplo 1.

Calcular la matriz inversa de 3 7

1 2A

Solución:

Formando la matriz aumentada de A : 3 7 1 0

1 2 0 1

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila: 1 2 0 1

3 7 1 0

1 2 0 1

0 1 1 3

1 0 2 7

0 1 1 3

1 I A

Por lo tanto: 1 2 7

1 3A

es la matriz inversa de A .

3F1 + F2

F1 F2

2F2 + F1


021

Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

1 1 3

2 1 4

3 2 2

A

Solución:

Formando la matriz aumentada de A :

1 1 3 1 0 0

2 1 4 0 1 0

3 2 2 0 0 1

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila:

1 1 3 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 5 11 3 0 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

1 0 0 6 4 1

0 1 0 16 11 2

0 0 1 7 5 1

1 I A

Por tanto: 1

6 4 1

16 11 2

7 5 1

A

es la matriz inversa de A .

Propiedades

a) 1A A I b)

1 1 1( )A B B A

c) 1 1( )A A d)

1( )I I

e) 1 1( ) ( )T TA A f)

1 1 1( )A Ak k ; 0k , k

2F1 + F2

3F1 + F3

F2 + F1

5F2 + F3

F3

F3 + F1

2F3 + F2


022

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Resolución por el Método de la Matriz Inversa

El sistema 12 1

21 22 2

11

a x a y b

a x a y b

, se puede expresar como:

1

21 22 2

11 12b

b

a a x

a a y

A X = B

Simbólicamente AX B , donde:

A es la matriz de los coeficientes.

X es la matriz columna de variables.

B es la matriz columna de las constantes

Multiplicando a ambos miembros por 1A (por la izquierda), se tiene:

1 1A AX A B

de donde: 1IX A B , por lo tanto:

1X A B

Este procedimiento es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n”

incógnitas, siempre y cuando exista 1A.

Ejemplo:

Resolver el sistema 5 23

2 11 49

x y

x y

Solución:

Formando la matriz de coeficientes: 1 5

2 11A

Hallando su matriz inversa: 1 5 1 0

2 11 0 1

1 5 1 0

0 1 2 1

1 0 11 5

0 1 2 1

entonces:

1 11 5

2 1A

Como: 1X A B

11 5 23 8

2 1 49 3

x

y

Por lo tanto: 8x ; 3y

2F1 + F2

5F2 + F1


023

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

CONOCIMIENTO

A. RESPONDE acertadamente si la proposición es verdadera o falsa colocando V o F.

1. En una matriz reducida las filas que consistan únicamente de ceros están en la

parte superior de la matriz.

2. Se pueden intercambiar dos columnas para reducir una matriz.

3. Todas las matrices cuadradas tienen inversas.

4. Con la matriz inversa se cumple la propiedad de conmutatividad en la

multiplicación de matrices.

5. Una matriz cuadrada puede tener varias matrices inversas.

B. COMPLETA correctamente, colocando la/s palabra/s adecuada/s sobre la línea:

La matriz BA donde B es la matriz de los términos independientes, se le llama matriz

aumentada para el método de la __________________________________ .

La matriz A I donde I es la matriz identidad se le llama matriz aumentada para el

método de la _____________________________ .

Si A y B son matrices cuadradas en las que se cumple que A.B= I y B.A = I entonces por

definición B es la matriz _________________ de A.

Si una matriz cuadrada A no tiene inversa, entonces se dice que es una matriz ___________

_________________________ .

C. IDENTIFICA sin resolver, colocando un check a la matriz reducida.

a. 1 0 0 4

0 1 1 0

b.

1 0 0

0 1 6

c.

1 0 0 3

0 1 0 1

d.

410

001 e.

3 01

3 0 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

APLICACIÓN

1. Haciendo uso de las operaciones elementales, reduce las siguientes matrices:

a) 0 0 8

0 6 10

b)

0 0 6

1 1 0

3 0 1

c)

2 / 3 1 4 / 3

3 / 2 1 1

2 8 12

d)

4 3 1

3 2 4

10 2 6


024

2. Dada las siguientes matrices:

2 5

1 3A

, 3 5

1 2B

,

3 6

1 1C

,

1 1

1 0D

a) Calcula AB y BA . ¿Se puede decir que las matrices A y B son inversas?

b) Calcula CD y DC . ¿Se puede decir que las matrices C y D son inversas?

3. Halla la inversa de las siguientes matrices:

3 1

5 2A

, 2 3

3 5B

,

1 1 1

2 0 1

0 1 1

C

7 1 3

0 0 1

6 12 18

D

APLICACIÓN - ELABORACION

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método de la matriz inversa.

a) 5 2 46

2 19

x y

x y

b)

8 5 66

3 2 25

x y

x y

c)

6 5 50

3 2 23

x y

x y

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método de la inversa.

a)

3 10

2 4 20

3 2 2 28

x y z

x y z

x y z

b)

3 2 2 15

2 10

2 16

x y z

x y z

x y z

c)

4 5 6

3 2 9

2 3 2 4

x y z

x y z

x y z


025

SEMNA 4

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Problema de aplicación resuelto por el Método de G. POLYA

1. Miriam gerente de una fábrica que elabora dos productos M y N. Sabe que por cada unidad

que vende de M la ganancia es de $8 y por cada unidad que vende de N la ganancia es de

$11. De su experiencia ha encontrado que puede vender 25% más de M que de N. Para el

año siguiente Miriam desea obtener una ganancia total de $42 000. La Gerente ha calculado

que debe vender 2 000 unidades del producto N. Ayúdala tú calculando ¿Cuántas unidades

de cada producto debe vender?

Utiliza el método de la matriz inversa e indica si es correcto lo que calculó Miriam.

RESOLUCION

PASO 1 : ENTIENDO EL EJERCICIO

a) Identifica la/las incógnitas

¿Cuál es la/las incógnitas del problema?

La cantidad de productos M y N elaborados y vendidos.

b) Identifica los datos

¿Cuáles son los datos del ejercicio?

Por cada unidad M la ganancia es $ 8

Por cada unidad N la ganancia es $ 11

Se desea obtener una ganancia de $ 42 000 el próximo año

Se debe vender 25% más del producto M que de N.

c) Identifica las condiciones (verbos)

¿Cuál es la condición o condiciones del ejercicio?

Cuántas unidades de cada producto M y N se debe fabricar y vender.

PASO 2: CONCIBO UN PLAN

a) Redacta cómo vas a resolver el ejercicio o Puedes redactar el problema con tus propias palabras

Primero debo formar las ecuaciones lineales

Formo el sistema de ecuaciones matriciales.


026

Construyo la matriz aumentada.

Resuelvo el sistema de ecuaciones por el método solicitado.

Obtengo los valores de M y N

Verifico las soluciones

Redacto mi respuesta.

Emito mi juicio crítico.

b) ¿Qué operación matemática debes hacer?

Formo las ecuaciones:

8 11 42 000

14

M N

M N N

8 11 42000

4 5 0

M M

M N

Aplico el algoritmo de la matriz inversa.

PASO 3: EJECUTO EL PLAN

OPERACIONES

Formo el sistema de ecuaciones matriciales: 8 11 42000

4 5 0

M

N

Construyo la matriz aumentada: 8 11 1 0

4 5 0 1

Hallando la matriz inversa: 8 11 1 0

4 5 0 1

11 11 0

8 8

4 5 0 1

11 11 0

8 8

21 10 12 2

5 111 0

84 84

1 20 121 21

entonces: 5 1111

84 4 -8A

Como: 1X A B

5 11 2 5001

84 4 8 0 2000

42000M

N

Por lo tanto: 2500M ; 2000N

11/8 F1

4F1 + F2 -2/21 F1


027

PASO 4: EXAMINO LA SOLUCION

Verifico las soluciones obtenidas.

8 M + 11 N = 42000

8(2500) +11(2000) = 4200042000 = 42000

1M = N + N4

1M = (2000) + 20004

M = 2500

RESPUESTA

Se deben vender 2500 unidades del producto M y 2000 unidades del producto N

JUICIO DE VALOR

Estoy de acuerdo con la Gerente Miriam porque su cálculo es correcto, se debe vender 2 000

unidades del producto N.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

ANALISIS – SINTESIS

Lee los siguientes problemas, comprende y resuelve, utilizando el método de Cramer o el método de la inversa de matrices.

1. Un empresario compró acciones mineras y comerciales de los tipos A y B respectivamente.

Cada acción del tipo A la adquirió a S/.10 y cada acción del tipo B la adquirió a S/.15. Si

se sabe que compró 900 acciones entre las del tipo A y las del tipo B y que invirtió S/.11

000 en la compra. ¿Cuántas acciones del tipo A y del tipo B adquirió el empresario?

2. En una empresa textil se fabrican chompas y camisas cuyos precios de venta unitaria se

fijan en $ 25 y $ 20 respectivamente. Los costos totales ascienden a $ 12 000 y se desea

fabricar 700 prendas en total. Halle la cantidad de chompas y camisas que se debe fabricar

para obtener una utilidad de $ 4 000.

3. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. Suponga que cada modelo A

requiere 10 partes del tipo I y 14 partes del tipo II, mientras que cada modelo B requiere 8

partes del tipo I y 6 partes del tipo II. Si La fábrica puede obtener 850 partes del tipo I y 930

partes del tipo II, ¿cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas

las partes disponibles?

4. Una fábrica de zapatos y zapatillas tiene un costo fijo mensual de $1 000. El costo de

producción por par (mano de obra y material) es de $40 y $20 respectivamente. Si el costo

total mensual es de $3 000 y se fabricaron 70 pares entre zapatos y zapatillas, calcule la

cantidad de pares de zapatos y zapatillas producidas en un mes.


028

5. La empresa “Dulces SAC” fabrica, envasa y vende mermelada y puré de manzana. Por

cada unidad de mermelada que vende, la ganancia es de $6 y por cada unidad que vende

de puré la ganancia es de $ 9. La empresa determinó que por cada 3 frascos de

mermelada vende 2 frascos de puré. Así que para el próximo año la empresa desea

obtener una utilidad de $72 000. ¿Cuántas unidades de puré deberá vender?

6. Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1 y B2. El precio

de venta del modelo B1 es de $30 y del modelo B2 es de $40. Si en el mes de enero la

tienda vendió 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total fue de $15 000,

determine el número USB de cada tipo que se vendieron durante el mes de enero.

7. Una compañía tiene ingresos gravables por $ 312 000. El impuesto a la Sunat es el 25% de

la parte que queda después que el impuesto al Municipio ha sido pagado. El impuesto al

Municipio es el 10% de la parte que queda después que el impuesto a la Sunat ha sido

pagado. Encuentre el monto pagado a la Sunat y al Municipio.

JUICIO DE VALOR

Defienda o Critique la afirmación hecha:

8. Un sastre por campaña escolar compra tela para pantalones y camisas, el metro de tela

para pantalón cuesta S/ 10, y el metro de tela para camisa cuesta S/.5, El sastre compró

400 metros de tela de ambos tipos; esto le generó un gasto de S/2500. El sastre afirma que

compró 100 metros de tela para pantalón y 300 metros de tela para camisa. Defienda o

Critique lo afirmado por el sastre.

9. Un veterinario compra comida para pollos y cerdos, la bolsa de 4kg de comida para pollos

le cuesta S/ 10, y el de comida para cerdos la bolsa de 4kg le cuesta S/.15, El veterinario

compró 900 bolsas en total entre comida para pollos y cerdos; que le generó un gasto total

de S/ 11 000. El veterinario afirma que tiene que comprar 300 bolsas de comida para pollos

y 600 bolsas de comida para cerdos. Defienda o Critique lo afirmado por el veterinario.

10. Una fábrica de muebles, que produce mesas y roperos, tiene un costo fijo mensual de

$500. El costo de producción unitario (mano de obra y material) es de $300 y $400

respectivamente. Si el costo total es de $10 500 y se fabricaron en un mes 30 muebles

entre mesas y roperos, calcule la cantidad de mesas y roperos producidos en un mes. El

fabricante afirma que se debe fabricar igual cantidad de mesas y roperos. Defienda o

Critique esta afirmación calculando la producción de cada artículo.


029

CASO: MATRICES – DETERMINANTES – MATRIZ INVERSA

El promedio del número de pasajeros que viaja en una unidad del metropolitano de Lima

durante el día es 1 000 personas. La tarifa preferencial para escolares y universitarios es de

S/1,25 y la tarifa general es $2,50. El total de ingresos recibidos por los pasajes del día (en

promedio) es de $2 250.¿Cuántos pasajeros viajaron haciendo uso de la tarifa preferencial y

cuantos de la tarifa general? Fuente:https://diariocorreo.pe/ciudad/el-metropolitano-planea-atender-a-100-mil-pasajeros-mas-en-este-ano-662690/

Si consideramos:

x= Pasajeros que pagaron con tarifa preferencial.

y =Pasajeros que pagaron con tarifa general.

CONOCIMIENTO

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. x + y = 1 000 es la ecuación que representa al total de pasajeros B. x + y = 1 250 es la ecuación que representa al total de pasajeros C. Ninguna es correcta.

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. 1.25 x + 2.50 y = 1 000 es la ecuación que representa los ingresos B. 1.25 x + 2.50 y = 2 250 es la ecuación que representa los ingresos C. Ninguna es correcta.

3. ¿Cuánto paga de pasaje un adulto común? 4. ¿Cuánto paga de pasaje un estudiante de USMP? 5. ¿En cuánto excede la tarifa general a la tarifa preferencial?

COMPRENSION

6. Que representa la ecuación: x + y = 1 000? 7. Que representa la ecuación: 1.25x + 2.50y = 2 250?

APLICACIÓN

8. Escriba el sistema de ecuaciones lineales (simplifíquelas) y luego represéntelo en forma matricial usando la multiplicación de matrices.

a) ¿Cuál es el orden de la matriz de las variables? b) La matriz de los coeficientes es una matriz escalar. Justifica tu respuesta.

ANALISIS

9. Utilizando los datos proporcionados en el caso y el Método de la matriz inversa resuelve e indica:

a) ¿Cuántos pasajeros viajan usando la tarifa preferencial? b) ¿Cuántos pasajeros viajan usando la tarifa general?

10. Verifica tu respuesta haciendo uso del método de Cramer.

JUICIO DE VALOR

El gerente de Relaciones del metropolitano afirma que el número de pasajeros que usaron la tarifa preferencial es 250 y el número de pasajeros que usaron la tarifa general es 750. Defienda o critique usted esta afirmación. Emita su opinión sobre lo que afirma el gerente.

METROPOLITANO

https://diariocorreo.pe/ciudad/el-metropolitano-planea-atender-a-100-mil-pasajeros-mas-en-este-ano-662690/


030

SEMANA 5

LÍMITES

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

Es importante conocer el comportamiento de una función ( )f x , cuando los valores de la

variable independiente “ x ”, se aproximan a un número determinado que llamaremos 0x .

Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al

número 0x .

Ejemplo Si 3 1

1

xf x

x

Observamos que el punto 0 1x no pertenece al dominio de la función. En la tabla adjunta

escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el entorno de 1, y calculamos

los valores correspondientes de la función ( )f x :

1x 1x

x 0,95 0,99 0,995 0,999 1,001 1,005 1,01 1,05

xf 2,8525 2,970 2,9850 2,9970 3,0030 3,0150 3,0301 3,1525

De la tabla podemos observar que, mientras el valor de “x” se aproxima al número 1, el valor de

( )f x se aproxima al número 3.

Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función ( )f x cuando x “tiende” a 1; es 3.

Esto se simboliza:

3

1

13

1limx

x

x

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

El límite de una función ( )f x , cuando la variable x se aproxima a un valor dado 0x , es el

número real “L” , (siempre que exista), al cual se aproxima la función, esto se simboliza:

( )lim0x x

f x L

, se lee: “El límite de ( )f x cuando x tiende a 0x es L ”


031

ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS

Sean k , 0x números reales y n un número entero positivo. Entonces:

1.

0

limx x

k k

2. 0

0

limx x

xx

3. 0

0

lim n n

x xxx

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Sean k , 0x números reales y n un número entero positivo y f, g funciones cuyos límites

existen:

0

( )limx x

f x L

y

0

( )limx x

Mg x

Entonces:

1.

0 0

( ) ( )lim limx x x x

Lf x f xk k k

2. 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x

f x g x f x g x L M

3. 0 0 0


f x g x f x g x L M

4. 0 0 0


f x g x f x g x L M

5. 0

0

0

( )( )

( ) ( )

lim

limlim

x x

x xx x

f xf x L

g x Mg x

, siempre que 0M .

6. 0 0

( ) ( )lim lim

n

n n

x x x xf x f x L

7. 00

lim lim nnn

x x x x

f x f x L


032

FORMA INDETERMINADA: 00

Cuando en una función ( )f x reemplazamos la variable por un valor dado “x0” y nos da la

forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el

0

( )limx x

f x

; previamente se debe factorizar o

racionalizar ( )f x con la finalidad de “eliminar o levantar la indeterminación.

Ejemplo 1 Calcular 2

21

2

2 3limx

x x

x x

Solución: 2

21

2 0 . .02 3

limx

x x F Ix x

2

21 1

( 1)( 2)2 ( 1)( 3)2 3

lim limx x

x xx xx xx x

1

( 2) ( 3)

limx

x

x

4

3

Por tanto: 2

21

2 3 42 3

limx

x x

x x

Ejemplo 2 Calcular 7

2 3 7

limx

xx

Solución: 7

2 3 0 . .7 0

limx

x F Ix

7 7

2 3 2 3 2 3 7 7 2 3

lim limx x

x x x

x x x

22

7

2 3lim

( 7)( 2 3)x

x

x x

7

( 7)lim

( 7)( 2 3)x

x

x x

7

1lim( 2 3)x x

6

1

Por tanto: 7

2 3 1lim7 6x

x

x


033

4

6

2

y

x

EJERCICIOS:

Calcular los siguientes límites

1. 3 (7 )lim

x 2. 4

2 lim

xx

3. 2

22 3lim

xx x

4. 2

3

3 3

2 1limx

x

x

5.

2

6

3limx

x

x

6.

2

22

3 2

4 3limx

x x

x x

Forma indeterminada 00

7. 4

1

1

1limx

x

x

8.

24

4

12lim

x

x

x x 9.

22

2

4limx

x

x

10. 2

2 2

2limx

x

x

11.

2 3

3

7 4lim

x

x

x

12.

2

0

1 1limx

x

x

13. 2

22

5 6

3 10limx

x x

x x

14.

2

1

2

1limx

x x

x

15.

23

3

2 3limx

x

x x

LÍMITES LATERALES

Consideremos una función por tramos:

2 ; 2

( )

34 ; 2

x si xf x

x si x

Podemos observar que cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la izquierda ( 2)x , la función

se aproxima al número 4; esto se simboliza:

2

( ) 4limx

f x

Asimismo, cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la derecha ( 2)x , la función se aproxima

al número 6, esto se simboliza:

2( ) 6lim

xf x


034

DEFINICIÓN. Una función ( )f x tiene límite en “ a ” si los límites laterales en “ a ” son iguales;

esto es:

Lxfax

)(lim Lxfxfaxax

)(lim)(lim

Verifique si existen los siguientes límites:

1.

2 2 1; 1( )

4 1 ; 1

x si xf x

x si x

a) 1

limx

f (x)

b) 1

limx

f (x)

c) 1

( )limx

f x

2.

2 4 ; 2

( ) 2

5 2 ; 2

xsi x

f x x

x si x

a) 2

limx

f (x)

b) 2

limx

f (x)

c) 2

limx

f (x)

3. Halle el valor de m y n si existen 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

;

2 3 ; 2

( ) 5 ; 2 1

32 ; 1

x m si x

f x mx n si x

x si x

4. Dada la gráfica de la función ( )f x , calcule si existen los siguientes límites;

a) 1 3

( )limx

f x

b) 1 3

( )limx

f x

c) 1 3

( )limx

f x

d) 1 2

( )limx

f x

e) 1 2

( )limx

f x

f) 1 2

( )limx

f x

g) 21

( )limx

f x

h) 21

( )limx

f x

i) 12

( )limx

f x

23

1

1

3

4

2 x

y


035


I. CONOCIMIENTO

A. COMPLETA correctamente, colocando la respuesta adecuada sobre la línea:

Para que exista el límite de una función cuando la variable se aproxima a un valor

determinado, ______ necesario que la función esté definida en ese valor o punto.

( )lim0x x

f x L

, se lee: “El límite de ( )f x cuando x ____________ a 0x es L ”

Lxfax

)(lim lim ( ) lim ( ) ______x a x a

f x f x

Si el límite de una función existe, este se puede determinar, estimar o calcular usando una

tabla (y calculadora), aplicando ____________________ o observando una ___________ .

B. RESPONDE acertadamente si la proposición es verdadera o falsa colocando V o F.

Si 0x es un número real. Entonces: 0

0

limx x

xx

0 0 0

( ) ( ) ( ) - ( )lim lim limx x x x x x

f x g x f x g x L M

00

lim lim nnn

x x x x

f x f x L

II. APLICACION

A. Aplicando las propiedades correspondientes calcule los siguientes límites:

1. 2

2

3 10

11limx

x x

x

2. 2

23

5 24

12limx

x x

x

3.

1

8

3limx

x

x

B. Forma Indeterminada (0/0)

1. 2

22 3

3 2

3 4 4lim

x

x x

x x

2.

2

2

4 4

2lim

x

x x

x

3.

2

2 4

9 20

3 4limx

x x

x x

4. 0

9 3

16 4limx

x

x

5.

2 2

limx a

b x b a

x a

6.

2

0

3

3 1 1limx

x x

x

7. 0

2

4 2

9 3limx

x

x x

8.

4

2 2

1 3limx

x

x

9.

4

2 1 3

2 2limx

x

x

C. En los siguientes ejercicios, calcule la constante c de modo que el límite exista. Para ese valor de c determinar el límite.

a) 2

21

2 1

limx

x x c

x

b)

2

22

3 7 4

limx

x x c

x

c)

2

22

5 6

limx

x x c

x x


036

d) 2

24

2 8

limx

x x c

x x

e)

2

23

4 2 15

limx

x x c

x x

f)

2

22

5 4 12

limx

x x c

x x

III. ANALISIS Y SINTESIS

A. Analiza la función por tramos y determina si los limites existen:

1.

2

2 ; 1

1( )

3 ; 1

8

x xsi x

xf x

xsi x

a) 1

( )limx

f x

b) 1

( )limx

f x

c) 1

( )limx

f x

2.

3

2

8 ; 2

4( )

3 3 3 ; 2

2

xsi x

xf x

xsi x

x

a) 2

( )limx

f x

b) 2

( )limx

f x

c) 2

( )limx

f x

B. Analiza la siguiente grafica y determina si los limites existen:

1.

I. a) 2

( )limx

f x

b) 2

( )limx

f x

c) 2

( )limx

f x

II. a) 5

( )limx

f x

b) 5

( )limx

f x

c) 5

( )limx

f x

III. a) 7

( )limx

f x

b) 7

( )limx

f x

c) 7

( )limx

f x

2. Dada la gráfica de la función ( )f x , calcule si existen los siguientes límites:

2 x

y

-2 5 6

1

3

5

7

a) 11

( )limx

f x

b) 11

( )limx

f x

c) 11

( )limx

f x

d) 1 2

( )limx

f x

e) 1 2

( )limx

f x

f) 1 2

( )limx

f x

g) 21

( )limx

f x

h) 21

( )limx

f x

i) 12

( )limx

f x

2

3

1 2

8

4

9

x

y


037

3. Dado:

3 2

2

3 1 ; 1

( ) 1 ; 1

3 1 2

Bx x si x

f x xsi x

x

, calcule el valor de, B si existe 1

( )limx

f x

.

4. Halle el valor de a y b si existen 1

( )limx

f x

y 3

( )limx

f x

;

2 1 ; 1

( ) ; 1 3

5 ; 3

x si x

f x ax b si x

x si x

5. Halle el valor de m y n si existen 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

;

2 3 ; 2

( ) 5 ; 2 1

32 ; 1

x m si x

f x mx n si x

x si x

IV. JUICIO DE VALOR

6. Se sabe que 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

existen, Pedro afirma que el valor de a es 5 y b

es -6. si. Juzgue Ud. si está a favor de lo que afirma Pedro. Justificando su respuesta.

2

2

2 ; 1

( ) 4 ; 1 2

3 6; 2

ax x si x

f x x ax b si x

x si x

7. Se sabe que 3

( )limx

f x

y 5

( )limx

f x

existen, Luis afirma que el valor de m es 4 y n es

-7/3. si. Juzgue Ud. si está a favor de lo que afirma Luis. Justificando su respuesta.

2 ; 3

( ) ; 3 5

1 3; 5

x nx si x

f x mx n si x

m x si x


038

SEMANA 6

CONTINUIDAD

Continuidad de funciones

Una función ( )f x es continua en a ; si y sólo si, se cumplen las siguientes tres

condiciones:

1. Existe ( )f a , es decir a pertenece al dominio de ( )f x .

2. Existe el ( )limx a

f x

, es decir los limites laterales existen y son iguales

( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x f x f x

3. ( )= ( )limx a

f a f x

OBSERVACIONES

Una función polinomial es continua en todo su dominio.

Ejemplo 1 3( ) 2 3 1, f x x x x

3

3 3

3

Sea :

) ( ) 2 3 1, existe.

) ( ) 2 3 1 2 3 1, existe.

) ( ) ( ) 2 3 1

lim lim

lim

x ax a

x a

a

i f a a a

ii f x x x a a

iii f a f x a a

f es continua en a

Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y es

continua en cualquier otro punto de su dominio.

Ejemplo 2

Analizar la continuidad de la función: 2

2 1( )

9

xf x

x

Solución:

2

Si 3:

2(3) 1 7) (3) , 3

03 9

x

i f f x

es discontinua en


039

2

Si 3:

2( 3) 1 5) ( 3) , 3

0( 3) 9

x

i f f x

es discontinua en

EJEMPLOS

1. Analizar la continuidad de la función: 2

3 1, 0

( ) , 0 1

2 1, 1

x x

f x x x

x x

Solución:

2

2 2

0 0

0 0 0

2

2 2

1 1

1

Si 0 :

) ( ) 0 0

) 0 0; 3 1 3( 0 ) 1 1

( ) ( ) ( )

0

Si 1:

) (1) 1 1

) 2 1 2 (1) 1 1; 1 1

lim lim

lim lim lim

lim lim

lim

x x

x x x

x x

x

x

i f x

ii x x

f x f x f x

f x

x

i f

ii x x

es discontinua en

1

( ) 1

) (1) ( ) 1

1

limx

f x

iii f f x

f x

es continua en

2. Hallar los valores de a y b , si:

3 , 1

( ) 3 1, 1 2

2 1, 2

x a x

f x a x

bx x

es continua en todo su dominio.

Solución:

Se analiza la continuidad en 1x y 2x , pues esto va generar que se formen

ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de “ a ” y “b ”.


040

Como ( )f x es continua en 1x , basta observar que:

1 1

(1) ( ) ( )lim limx x

f f x f x

Luego: (1) 3 1f a ; 1

(3 1) 3 1limx

a a

; 1

(3 ) 3limx

x a a

3 1a = 3 a 1a

Como ( )f x es continua en 2x , basta observar que:

2 2

(2) ( ) ( )lim limx x

f f x f x

Luego:

(2) 2 (2) 1f b ; 2

(2 1) 2 (2) 1limx

bx b

; 2

(3 1) 3 1limx

a a

;

4 1b = 3 1a 4 1b = 3(1) 1 = 2 1 4b

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

1. Discontinuidad removible o evitable. Una función presenta discontinuidad removible

o evitable en un punto “ a ” cuando existe ( )limx a

f x

pero es diferente de ( )f a ó

( )a Df x .

Ejemplo:

OBSERVACIÓN

b) En el primer gráfico, (3) 5f pero3

( ) 4limx

f x

,

luego ( )f x es discontinua removible en 3x

5

4

3

( )f x

3

4

( )f x

a) b)


041

c) En el segundo gráfico, (3)f no existe, sin embargo,3

( ) 4limx

f x

( )f x es discontinua removible en 3x

2. Discontinuidad no removible o inevitable. Una función presenta discontinuidad en un

punto “ a ” cuando no existe ( )limx a

f x

, o al menos uno de los límites laterales en “ a ”

es .

Ejemplo

OBSERVACIÓN

a) En el primer gráfico, 2

( ) 4limx

f x

y 2

( ) 7limx

f x

2

( )limx

f x

( )f x es discontinua no removible en 2x

b) En el segundo gráfico, 3

( ) 1limx

f x

y 3

( ) limx

f x

3

( )limx

f x

( )f x es discontinua no removible en 3x

2

4

7

3

1


042


CONOCIMIENTO Y APLICACION

I. En los siguientes ejercicios, utilizando la definición de continuidad indique porqué la función dada es continua en el punto indicado.

a. 3 8 , 2f x x x x ____________________________________________________

b. 23

, 02

xf x x

x

____________________________________________________

c. 3

, 39

xf x x

x

____________________________________________________

d. 3 , 1f x x x _____________________________________________________

e. 2 3 , 0f x x x ___________________________________________________

f. 3 8

, 22

xf x x

x

___________________________________________________

II. Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique de qué tipo se trata:

a. 4

( )2

xf x

x

b.

2

3( )

9

xf x

x

c.

2

2

4( )

1

xf x

x

d.

2

2

1( )

4

x xf x

x

e.

2

2

4( )

16

x xf x

x

f.

3

7( )

xf x

x x

ANALISIS Y SINTESIS

I. Analice la continuidad de las siguientes funciones:

a.

2 1 ; si 1

( ) 1

2 ; si 1

xx

f x x

x

b.

2

2

3 2 ; si 2

2 4( )

2 4 ; si 2

4

x xx

xf x

xx

x

c.

4 1 ; 1

( ) 5 ; 1

2 3 ; 1

x si x

f x si x

x si x

d.

3 8 ; 2

2

( ) 3 ; 2

2 1 ; 2

xsi x

x

f x si x

x si x

e.

2 1 3 ; 1

1( )2 1

; 13

x xsi x

xf xx

si x

f. 2

4 2 ; 1

( ) 3 ; 1 4

6 ; 4

x si x

f x x x si x

x si x


043

g.

2 1 ; 2

( ) 6 ; 2 8

4 3 ; 8

x si x

f x si x

x si x

h.

2 2 1 ; si 7

( ) 1 ; si 7 9

2 ; si 9

x x x

f x x x

x x

i)

2

2 ; 2

4( ) ; 2 3

2

5 ; 3

x x

xf x x

x

x

j)

3

1 ; si 0

3

2 1( ) ; si 0 2

3

8 ; si 2

xx

x

xf x x

x x

II. Calcule el valor de las constantes, sabiendo que las funciones son continuas en todo su dominio.

1.

3 ; 1( )

3 ; 1

ax xf x

ax x

2.

2 ; 1( ) 3 ; 1

x a xf xx

3.

22 4 ; 2

( ) 6 ; 2 4

3 2 ; 4

ax b si x

f x si x

ax b si x

4.

2 2 5 ; 1

( ) 8 2 ; 1 3

2 ; 3

ax b si x

f x x si x

ax b si x

5.

2 ; 2

( ) 3 ; 2 1

6 2 ; 1

x a si x

f x ax b si x

x b si x

6.

3 1 ; 1

( ) ; 1 3

4 ; 3

x si x

f x ax b si x

x si x

7.

3 ; 1

( ) 4 ; 1 2

2 8; 2

x si x

f x si x

bx si x

8.

2

2

3 1 ; 1

( ) 1 ; 1

3 1 2

ax x si x

f x xsi x

x

9.

2 2 1; 2

( ) 2 1 ; 2

3 3 ; 2

mx n si x

f x x si x

n mx si x

10. 3

2

2 ; 3

( ) 27 ; 3

3

m x si x

f x xsi x

x x

III. Analiza las gráficas siguientes y determina los valores de x donde la función es continua o

discontinua. En caso de ser discontinua indica el tipo de discontinuidad. Justificando tu respuesta.

y

x

( )f x

2

5

6

22

y

x

1 4

3

y

x

( )f x

1

7

53

5


044

JUICIO DE VALOR

1. Manuel estudiante aplicado de Mat II de la USMP, afirma que esta función por tramos es continua en el punto x=1 y discontinua inevitable en el punto x=4, defiende o critica esta afirmación, justificando tu respuesta.

2

4 2; 1

( ) 3 ; 1 4

6 ; 4

x si x

f x x x si x

x si x

2. Julio estudiante poco aplicado de Mat II de la USMP, afirma que esta función por tramos es continua en el punto x=0 y discontinua inevitable en el punto x=2, defiende o critica esta afirmación, justificando tu respuesta.

3

1; 0

3

2 1( ) ; 0 2

3

8; 2

x si xx

xf x si x

x si x

3. José afirma que la gráfica de la función dada, es discontinua evitable en x=-3 y discontinua no removible en x=0. Defienda o critique usted lo planteado por José. Justifique su respuesta.

4. Armando afirma que la gráfica de la función dada, es discontinua evitable en x=-2 y

discontinua no removible en x=2. Defienda o critique usted lo planteado por Armando.

Justifique su respuesta


045

CASO: LIMITES - CONTINUIDAD

Los costos fijos de una empresa encargada de

empaquetar emparedados al vacío es $3000, los costos

totales de la empresa para incentivar la producción

disminuirán hasta $2000 cuando se empaqueten hasta

mil emparedados, según la función:

( ) 3 , 0 1C x x si x .

Donde x es el número de emparedados empaquetados

expresado en miles y C(x) es el costo total también

expresado en miles de dólares. Si el número de

emparedados empaquetados es superior a mil el costo

total se calculará de acuerdo a la siguiente función 2( ) 1 , 1C x x si x .

CONOCIMIENTO 1. De los datos, la función lineal del costo total es:

2. De los datos, la función cuadrática del costo es:

3. Cuáles el costo total de la empresa cuando se empaqueten exactamente mil emparedados.

COMPRENSION 4. Con los datos completa la gráfica y contesta verdadero (V) o falso (F):

- El punto (0;3) debe ser abierto ( )

- El punto (1;2) debe ser cerrado ( )

5. Cuál será el costo total de la empresa cuando se empaqueten 2 000 emparedados.

Responda solamente observando la gráfica.

APLICACIÓN 6. Escribe la regla de correspondencia de la función por tramos

7. Aplicando límites demuestra tu respuesta de la pregunta 5.

8. Aplicando limites laterales demuestra que 0

lim ( )x

C x no existe

ANALISIS 9. Analiza la continuidad o discontinuidad (indicando el tipo), de la función por tramos o la

gráfica de la función en x = 0 y x = 1.

JUICIO DE VALOR

10. El Gerente afirma que la función es continua en ambos puntos. Emite tu opinión sobre lo

afirmado por el Gerente.

3

2 4

2

1

4

5

1 3

( )C x

x


046

SEMANA 7

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:

Sea )(xf una función definida en cada punto del intervalo I , entonces se dice que )(xf

es derivable en el punto x I , si existe el límite siguiente:

0

( ) ( ) lim

h

f x h f x

h

La derivada de una función se denota por: ( )' xf o por ( )xdf

dx y se lee “la derivada de )(xf

en el punto x ”, entonces por definición se tiene:

0

( )

( )( ) ( )

' lim h

xx

f x h f xf

h

df

dx

Ejemplos:

Halle la derivada de las siguientes funciones usando la definición.

a) 23)( xxf b) 23 2 5f x x x c) ( ) 2 1f x x

Solución:

a)

0

( )( ) ( )

' l imh

xf x h f x

fh

0

( )3( ) 2 (3 2)

' l imh

xx h x

fh

0

( )3 3 2 3 2

' l imh

xx h x

fh

0

( )3

' l imh

xh

fh

0

( ) 3' l imh

xf

3)(' xf .

b)

0

( )( ) ( )

lim´h

xf x h f x

fh

2 2

0

( )3( ) 2( ) 5 (3 2 5)

' limh

xx h x h x x

fh


047

2 2 2

0

( )3( 2 ) 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2 2 2

0

( )3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2 2 2

0

( )3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2

0

( )6 3 2

' limh

xxh h h

fh

0

( )(6 3 2)

' limh

xh x h

fh

0

( )(6 3 2)

6 2' limh

xh x h

f xh

( ) 6 2´ xf x .

c)

0

( )( ) ( )

' l imh

xf x h f x

fh

0

( )2( ) 1 2 1

' limh

xx h x

fh

0

( )( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)

( 2 2 1 2 1)

' limh

xx h x x h x

fh x h x

0

( )(2 2 1 2 1) 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)

' limh

xx h x h

fh x h x h x h x

0

( )2 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 1 2 1)

' limh

xfx h x x x

( )2 1

2 2 1 2 1

' xfx x

.

REGLAS BASICAS DE DERIVACIÓN

Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define:

1) Si, ( )xf k , es una función constante, entonces: ( ) 0' xf

2) Si, ( ) nf x x , n , entonces: 1( )' nf x nx

3) ( )( ) xx fk f k , donde k es constante.

4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g


048


CONOCIMIENTO

A. COMPLETA correctamente lo siguiente, colocando la palabra o el signo adecuado:

Si, ( )xf k , es una función constante, entonces: ( )' xf _______________ .

Coloca los signos que faltan a la siguiente formula: ( ) ( )

( ) limh

f x h f xf x

h

0

Si, f(x) = xn, n , entonces: ( )' xf __________________ .

( )' xf se lee “la derivada de )(xf en _____________________ .

APLICACIÓN

A. Aplicando la definición, encuentre la derivada de las siguientes funciones:

1. ( ) 5 2f x x 2. 2( ) 5 6f x x x 3. ( ) 3f x x

4. ( ) 2 7f x x 5. 2 5

( )4 1

xf x

x

6.

3 5( )

4 2

xf x

x

APLICACIÓN Y ELABORACIÓN

I. Aplicando las diferentes reglas de diferenciación, halle la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el punto dado:

1. )(xf = 5 4 22 3 145

35 2 78

x x x ; 2x 2. ( )f z = 1/2 2/3 1/41

2 3 5

z z z ; 1z

3. ( )f x = 5 3x 22 3 3x x ; 1x 4. )(xf =

24x (3 38 2x x ); 1x

5. 1

( ) x

f xx

; 4x 6.

2( ) 5 2 6 5f x x x x ; 1x

7.

2/3 3

1/3

2 32 2( )

4

x x xf x

x

; 8x 8.

3 2 1( ) 2 2 3f x x x x

x

; 8x

9. 1 2 4/3

4

5 2 3( )

x x xf x

x

; 1x 10. )(xf =

2

3

(3 4 3)x x

x

; 64x

11. ( )f t =

3 6

2

5 2 7t t t

t

; 64t 12. )(xf = 32 7)(3( xxxx ) ; 1x


049

SEMANA 8

DERIVADA DE UNA POTENCIA, PRODUCTO Y COCIENTE

Derivada de una potencia

5) 1

( )( ) ( )n n

n f xf x f x

Derivada de un producto

6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x

Derivada de un cociente

7) 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f x f x g x f x g x

g xg x

, si ( ) 0xg

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Sea ( )y f x una función definida en I , I , cuya gráfica sea la siguiente:

Si: )()()( 0000 xfxxfxf

Entonces, en el triángulo rectángulo MPN,

)( 0xf representa la longitud del cateto

PN, de igual manera que 0x representa

la del MP.

De aquí se tiene que : )()(

0

0 tgx

xf

Pero si hacemos ,00 x

Entonces:

0

0

0

00

( )( )l im

x

f xf x

x

.

Esto quiere decir que, geométricamente, la derivada de una función en un punto debe

interpretarse como: la pendiente de la tangente geométrica a la curva de la función f , en

el punto considerado 0 0, ( )x f x .

0x

0 0x x

P

N

M

0( )f x

0 0( )f x x

( )f x

x

y

0


050

RECTA TANGENTE Y NORMAL

La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una recta

que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente.

La ecuación de la recta tangente TL a la gráfica

de ( )y f x en el punto 0 0,x y y pendiente

LTm está dada por : 0 0( )LTy y x xm .

Pero sabemos que la pendiente de la recta tangente

en 0x es la derivada de 0( )f x : 0( )LT f xm .

Entonces, la ecuación de la recta tangente es:

0 0 0( )( )y y f x x x

La ecuación de la recta normal NL a la gráfica de

( )y f x en el punto 0 0,x y de pendiente LNm , está dada por: 0 0( )LNy y x xm .

Pero sabemos que: 1

LNLT

mm

. Entonces, la ecuación de la recta normal es:

0 0

0

1( )

( )y y x x

f x

Ejemplo:

Halle la ecuación general de la recta tangente y de la recta normal a la parábola: 22 8 5y x x en el punto (1, 1)P .

Solución:

Derivando 2( ) 2 8 5f x x x , se tiene: ( ) 4 8f x x .

Evaluando la derivada en 1x , se tiene la mLT es ' (1) 4f , luego:

La ecuación general de la recta tangente es:

1 4 ( 1)y x : 4 3 0TL x y .

La ecuación general de la recta normal es:

11 ( 1 )

4y x : 4 5 0TL x y .

EJERCICIOS:

Determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones siguientes:

1. 2( ) 4 5 2 f x x x ; en (2, 8)P 2. 3

1 23 xxy ; en 0x

0 0( ; )P x y

NL

TL

( )f x


051


CONOCIMIENTO

A. COLOCA adecuadamente los signos que faltan a las siguientes fórmulas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f x f x g x f x g x

g xg x

Siempre que ( ) 0xg .

0 0 0( )( )y y f x x x

0 0

0

1( )

( )y y x x

f x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x

B. COMPLETA correctamente, colocando la(s) palabra(s) adecuada(s):

Geométricamente la derivada de una función se interpreta como la _____________ de la

recta tangente a la curva de la función f en un punto.

La recta normal es una recta que pasa por el punto de tangencia y es _________________

a la recta tangente.

La pendiente de la recta tangente a 0( )f x en el punto 0x es la _____________de 0( )f x

APLICACION

I. Aplicando las fórmulas adecuadas derive las siguientes funciones:

1. 5( ) ( 3)f x x 2.

3

5( ) ( 3)f x x

3. 2 23( ) (4 3 2)f x x x 4. 4 2( ) ( 1)( 3 5)f x x x x

5. 3 4 2 9( ) (2 ) ( 2 7)f x x x x x 6. 4( ) ( 1) 2 3f x x x

7. 2

3

5 3 2( )

4

x xf x

x

8.

3 2

2

4( )

( 1)

x x xf x

x

9. 6 8

3

( 3) ( 1)( )

( 2)

x xf x

x

10.

107( )4

xf xx

11.

2/32

3

3 1( )

7

x xf x

x

12.

4( 5 )

3 1( )

x

xf x

13.

2

32

1( )

1

xf x

x

14.

2 5 2 2

3 2

(3 7 ) ( 2 1)( )

6

x x x xf x

x x


052

ANALISIS - SINETSIS

A. Analice y determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones siguientes:

1. 2( ) 5 3 1 f x x x ; en (3, 37)P 2. 654)( 2 xxxf ; en 1x

3. 2

( )1

f x xx

; en 2x . 4. 2( ) 3 2f x x x ; en 0x

5. 2( ) 7 ; 3f x x x en x 6.

2(2 )( ) ; (4, ) ( )

x xf x en P k f x

x

B. Analice y halle, determine o encuentre:

7. Encuentre la ecuación general de la recta tangente a la curva 2 1

( )2

xy f x

x

que pasa por el punto (1,1) .

8. Halle la ecuación general de la recta tangente a la curva: ( ) 2 3 1f x x x , en

2x .

9. Sea 1

( )3

xy f x

x

. Hallar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la

recta normal, en el punto de abscisa 1.

10. Encontrar la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de la función:

1( )

1

xy f x

x

que pasa por el punto (2 ) ( ), k f x .

11. Sea :

2

23

3 6( )

xy g x

x

, halle la ecuación general de la recta tangente y normal

a la gráfica de ( )y g x que pasa por el punto (1, ) ( )g xk .


053

SEMANA 9

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Derivada de funciones exponenciales.

8) ( ) ( )

( ) lnf x f x

f x aa a

, donde a .

9) ( ) ( )

( )f x f x

f xe e

, donde e es la constante de Euler.

Caso particular ( ) 'x xe e

Derivada de funciones logarítmicas.

10) ( )

ln ( )( )

f xf x

f x

, caso particular:

1ln x

x

11) ln

( )( )

( )b

f xLog f x

f x b

, caso particular:

ln

1( )

b bLog x

x

NOTA

Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logarítmicas, aplicar algunas propiedades

de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes:

1) ln lnna an 2) ln( . ) ln lna b a b

3) ln( ) ln lna

a bb

4) ln

loglnb

aa

b (cambio de base)

EJERCICIOS:

I. Derive las siguientes funciones:

1. 3 2

4 2 5( )

x xf x e

2. 2( ) 1lnf x x

3. 32

1 2lny x x 4.

1 ln

1 ln

xy

x


054

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y ELABORACION

Aplicando las formulas correspondientes, derive las funciones

1. 33 6 2( ) x xf x e 2.

35

( ) ( 3) 2x

f x x

3. 24 3 6( ) (7 8) xf x x e 4. 34 2 1lny x x

5. 2 21 2lny x x x 6. 2 3 3 2lny x x

7. ln

2

xy

x

8. 1

1( ) ln

x

xf x

9. 2 ln(2 1)y x x 10. 3 2ln( 2 5 ). 4 2y x x x x

11. 2

5log 1y x x 12.

x x

x xy

e e

e e

13. 3 2

2 y log x x 14.

22

32

1 1

4

lnx x

y

x

15.

3

2 4

6 5 ( 4 5)

(7 8) 8 1 ln

x xy

x x

16.

45

7

4 3 ( 2 7 )

( 2 7 ) 3 2 ln

x xy

x x

ANALISIS Y SINTESIS

Analice y determine, halle o encuentre lo solicitado:

1. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva:

2

3

5 2

1( )

x

xf x

e

e

en 0x .

2. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva ( ) 4 3lnxy f x que pasa por el

punto (1, 2 ) .

3. Halle la ecuación general de la recta tangente y normal a la curva 2 2( ) ( 1) xy f x x e en el punto ( 2 , 5 ) .

4. Halle la ecuación general de la recta normal a la curva: 3 ln (2 3)

( ) ( 2)x

f x x e , en el

punto donde 2x .

5. Determinar la ecuación general de la recta tangente a la curva

( ) ( 3) (3 1) 3lnf x x x en el punto ( 0 , 3 ) .


055

SEMANA 10

INCREMENTO Y RAZÓN DE CAMBIO.

APLICACIONES A LA ECONOMÍA.

Razón media de cambio de “y” con respecto a “x”:

Si tenemos la función y = f(x). Todo cambio en la variable independiente “x” produce un cambio

en la variable dependiente “y”. Así, si x cambia del valor “ x” a xx 1 , entonces “y” cambia de

)( 1xf . Así el cambio en “y” que podemos denotar como y es )()( 11 xfxxf , cuando el

cambio en x es x .

El promedio de la razón de cambio de “y” por unidad de cambio en “x”, cuando “x” cambia de 1x

a xx 1 , es: x

y

x

xfxxf

)()( 11

Así en general, tenemos: Cambio en x: x x x x

Cambio en y: ( )y f x x f x

( ) ( )Cambio en y y f x x f x

Cambio en x x x

RAZON INSTANTANEA DE CAMBIO DE “y” CON RESPECTO A “x”

Si existe el límite de 1 1

( ) ( )f x x f x

x

cuando x se aproxima a cero, lo cual denotamos

como 1 1

0

( ) ( )lim

x

f x x f x

x

; este límite es el que recibe el nombre de razón instantánea

de cambio de “y” por unidad de cambio de “x”. Definición

Si ( )y f x , la razón de cambio instantánea de “y” por unidad de cambio de “x” en x1 es la

derivada de “y” con respecto a x en x1, denotada por 1

( )'f x , si ésta existe en x = x1.


056

APLICACIONES A LA ECONOMIA

Función de costo total.

La función de costo total de un fabricante, ( )C f q , nos da el costo total C de producir y

comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de C con respecto a q se llama

costo marginal. Así,

Costo marginal ' dC

Cdq

Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional producida.

Ejemplo 1.

El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado por 245 5C q . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

Solución:

Derivamos la función costo: ' 10C q entonces '(3) 10(3) 30C , es decir, si la

producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente en 30

dólares.

Función de costo promedio.

Si C es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio

por unidad C es:

C

Cq

Además, la función costo total se puede hallar utilizando: C q C .

Ejemplo 2.

El costo medio unitario en la producción de q unidades es 2

1000000.002 0.4 50C q q

q .

Determine la función del costo marginal y, en base a esta función, calcule el costo marginal

luego de producir 40 unidades.

Solución:

Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra

multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir:

3 20.002 0.4 50 100000C Cq q q q


057

La función del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir:

2' 0.006 0.8 50 C q q (Función de costo marginal)

Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:

'(40) 9.6 32 50 $27,60C aproximadamente por la unidad adicional

producida; es decir por la unidad 41.

Función de ingreso total.

La función de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuación ( )r f q pq

que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio

por unidad es p .

Función de ingreso marginal.

El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor total recibido, con respecto al

número total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente la

derivada de r con respecto a q :

Ingreso marginal ' dr

rdq

El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades

vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional

de producción.

Ejemplo 1.

Un fabricante vende un producto a 3 50q dólares/unidad. Determine la ecuación del ingreso

marginal y el ingreso marginal para 100q .

Solución:

El ingreso es r pq , entonces 23 50 3 50 r p q q q q q

Por lo tanto, el ingreso marginal es ' 6 50 r q . Para 100q , el ingreso marginal será:

'(100) $650 por una unidad adicional vendidar .

Interpretación: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en

el ingreso de aproximadamente $ 650.


058

Función Utilidad

La función utilidad total por la producción y venta de q unidades, es la ecuación:

U r C Ingresos - Costos

donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q

unidades.

Función de utilidad marginal

Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades

producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de

una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la derivada de U con

respecto a q :

' ' ' U r C

Ejemplo 1.

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 210 0,01 700 p q q y la

función de costo es 21000 0,01 C q . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la

utilidad marginal para 100q unidades.

Solución:

Sabemos que la utilidad está dada por ( ) ( ) ( ) U q r q C q y que el ingreso es r pq . Por lo

tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la

función ingreso:

2 2 10 700 0,01 70 0,1 0,001 p q q p q q

2 3 ( ) 70 0,1 0,001 r q pq q q q

2 3 2 3 2( ) 70 0,1 0,001 1000 0,01 0,001 0,11 70 1000U q q q q q q q q

2'( ) 0,003 0.22 70U q q q .

Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en 100q simplemente sustituimos este valor de

q en dicha función. Es decir:

2(100) 0,003(100) 0,22(100) 70 30 22 70 $94U , que es la ganancia aproximada,

por la unidad adicional producida y vendida.


059

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Cuando se deriva una función ( )y f x se obtiene ( )'f x que también es una función. Si se

deriva esta función la nueva función que se obtiene se denomina segunda derivada y se le

denota como ( )''f x . De manera análoga si se deriva la segunda derivada se obtiene otra

función llamada tercera derivada. A las derivadas que se obtienen de esta forma se llaman

derivadas de orden superior.

Las notaciones que se usan para las derivadas de orden superior son:

dy df

dx dxy , primera derivada de la función ( )f x .

2 2

2 2

d y d f

dx dxy , segunda derivada de la función ( )f x .

3 3

3 3

d y d f

dx dxy , tercera derivada de la función ( )f x .

n n

n n

nd y d f

dx dxy , n esima derivada de la función ( )f x .

Ejemplo:

Dada la función: 4 34 3 5 1y x x x , halle ( )'''f x y evalúe en 1x

Solución:

3 216 9 5'y x x 248 18''y x x 96 18'''y x

(1) 96 18 78'''y

EJERCICIOS:

Halle la derivada indicada de las siguientes funciones y, evalúe en el punto correspondiente.

a. 3 25 6 4 2y x x x ; '''y ;

0x = 1

b. 3

( )1

xf x

x

;

3

3

d y

dx ; 0x .


060

EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO

A. RESPONDE dentro de los paréntesis con V o F según le corresponda a cada una de las siguientes proposiciones:

1. El ingreso marginal es la derivada del ingreso con respecto al número de unidades vendidas.

2. La razón de cambio de C con respecto a q se llama Costo marginal

3. La función costo total se puede hallar utilizando: q

CC

4. Interpretamos el ingreso marginal como el ingreso aproximado recibido al vender la última unidad de producción.

5. Si la utilidad es U I C entonces la utilidad marginal es U I C

APLICACIÓN Calcule la derivada indicada de las siguientes funciones y evalúe en el punto correspondiente

a. ( ) 8f t t ; )('' tf ; 0

t = 4

b. 1

4 2y

x

;

2

2

d y

dx ;

0x = 1

c. 1

1

xy

x

; ''y ;

0x = 2

d. 5 xy e ; '''y ;

0x = 1/5

e. ln (4 2)y x ; '''y ; )0(

x = 1

ANALISIS Y SINTESIS

ANALIZA el enunciado de los siguientes problemas, resuelve y responde según lo planteado:

1 La aceptación de cierto pisco dependerá del tiempo que tenga en el mercado de acuerdo a

la siguiente función 50 150

( )1

At

tt

, donde A es la aceptación expresada en puntos y t

es el tiempo en meses. Hallar la razón de cambio de la aceptación con respecto al tiempo dentro de 3 meses. Interprete el resultado.

2 Debido a la depreciación, el valor de cierta maquinaria después de t años, está dada por

800000 60000 , donde 0 10V t t . Determinar que tan rápido cambia el valor de la

maquinaria con respecto al tiempo a los 2 años. Interprete el resultado.

3 Sea 2500 2p q la ecuación de demanda del producto de un fabricante, donde q es el

número de artículos demandados y p es su precio unitario en dólares. Halle la razón de


061

cambio del precio con respecto a los artículos demandados, cuando éstos son 5. Interprete

el resultado.

4 Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educación de niños de

edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que “ x ” años después de iniciado un

programa particular, ( )f x miles de niños estarán matriculados, donde

210( ) (12 )

9f x x x , 0 12x

a) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 3 años de iniciado el programa?

b) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 9 años de iniciado el programa?

5 Supóngase que 522

1)( 2 qqqC es el costo total de la producción en dólares, de

ciertos artículos, determine:

a) La función de costo promedio

b) La función de costo marginal

c) El costo total al producir 1000 unidades

d) El costo promedio al producir 1000 unidades

e) El costo real de producir la unidad # 1001

6 Si la ecuación de demanda para cierta mercancía es 0122 qp . Encontrar:

a) La función del precio

b) La función del ingreso total.

c) La función del ingreso marginal

d) El ingreso total al vender 8 unidades

e) El ingreso al vender la unidad numero 9

7 El número de dólares del costo total de la manufactura de q relojes en cierta fábrica, está

dada por: 15003020

)( qq

qC .Encontrar:


b) El costo promedio al producir 550 relojes

c) La función de costo marginal

d) El costo marginal cuando q = 40

e) El costo real de manufactura del cuadragésimo primer reloj.

8 Si C(q) es el costo total de la manufactura de “q” juguetes y 2( ) 110 4 0,02C q q q .

Encontrar:


062


b) La función de costo marginal

c) El costo promedio al producir 500 juguetes

d) El costo marginal cuando q = 10

e) El costo real de manufactura del onceavo juguete

9 Supóngase que un líquido se produce por cierto proceso químico y que la función del costo

total C(q) está dado por qqC 46)( , donde C(q) dólares es el costo total de la

producción de q galones del líquido. Encontrar

a. El costo de producir el 17 avo. galón

b. El número de galones producidos cuando el costo marginal es de $ 0.40 por galón.

10 Una compañía constructora renta cada departamento en p dólares por mes cuando se

rentan x departamentos y xp 230010 .¿Cuántos departamentos deben de ser

rentados para que el ingreso marginal sea cero?

11 Si la ecuación de la demanda para cierta mercancía es 3 4 12q p . Encontrar:

a) La función del precio.

b) La función del ingreso total.

c) La función del ingreso marginal

12 La ecuación de la demanda de cierta mercancía es 28 qp y la función del costo total

está dada por 218)( qqqC donde )(qC dólares es el costo total cuando se compran q

unidades. a) Encontrar la función de ingreso total

b) Encontrar las funciones de ingreso marginal y de costo marginal

c) Encontrar el valor de “q” para el cual el costo marginal sea igual al ingreso marginal.

13 Supongamos que cuesta qqqC 156 23 dólares producir “ q ” radiadores cuando

la producción es de 8 a 30 unidades. En un determinado taller usualmente se producen 10 radiadores al día. Aproximadamente ¿cuánto más costará producir un radiador adicional cada día?.

14 La función de costo total de una fábrica de medias está dada por 2000328,0750,669,48410 qqC donde “ q ” es la producción en docenas de

pares y C el costo total. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando

5000q . Interprete el resultado.

15 Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es 2 5000

0,0001 0,02 5 C q qq

,

encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 50 unidades? Interprete el resultado.

16 La función de ingreso total de la Empresa San Martín S.A. dedicada a la producción de

piensos (alimento especial) para aves viene dada por 2330 qqI , donde “ q ” es la


063

cantidad de toneladas de piensos vendidas por dicha empresa en un año. Determine el

ingreso marginal para 3q toneladas. Interprete el resultado.

17 La ecuación de la demanda del producto de un fabricante está dada por 5000

25p

q

, en

donde q son los artículos demandados y p es el precio de cada artículo. Determinar la

función del ingreso marginal y evaluarla cuando 100q . Interprete el resultado.

18 Suponga que el ingreso obtenido al vender “ q ” lavadoras es 1

20000 1rq

dólares. a) Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras.

b) Use la función 'r para estimar el incremento en el ingreso como resultado del aumento

en la producción, de 100 a 101 lavadoras a la semana.

19 La función de demanda para el producto de un fabricante es 250 0,2 0,003p q q y la

función de costo es 2( ) 500 0,3C q q . Halle la utilidad marginal de producir y vender 80

unidades, sabiendo que p y C están en dólares. Interprete el resultado.

JUICIO DE VALOR

DEFIENDE O CRITIQUE la decisión tomada en cada uno de los siguientes casos:

20 Sea )100)(50( qqp la función de demanda del producto “A” de un fabricante.

Encontrar la razón de cambio del precio “p” (dólares) por unidad con respecto a la cantidad

“q” (unidades). ¿Qué tan rápido cambia el precio con respecto a “q” cuando q = 40? Calcule

e interprete el resultado y defienda o critique la opinión del fabricante quien afirma que el

precio disminuirá aproximadamente $ 30.

21 La función de costo promedio de una fábrica que produce ventiladores de mano, está dada

por: 2 100000,002 0,4 50C q q

q , donde C está en dólares. Determine el costo

marginal de producir 40 unidades. Interprete el resultado. Defienda o critique la opinión

del dueño de la fábrica quien afirma que el costo aproximado de producir el ventilador # 41

es aproximadamente $ 27,6.

22 Supongamos que 3 23 12r q q q nos da el ingreso en dólares que se genera al

vender “ q ” radiadores cuando la producción es de 8 a 30 unidades. En un taller de tu

propiedad usualmente se producen 10 radiadores al día. ¿En cuánto se incrementa el

ingreso al vender 11 radiadores al día? Opina si es correcto o no el cálculo realizado


064

que indica “el ingreso al vender el 11avo. radiador se incrementara en

aproximadamente $ 252.

23 La función de utilidad de una empresa, en miles de dólares, está dada por

( ) 50ln( 1) 90 U x x , donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Calcule la

razón de cambio de la utilidad con respecto al número de unidades, cuando se fabrican y

venden 10 unidades. Defienda o critique la opinión del dueño de la empresa quien afirma

que la utilidad aproximada recibida al producir la unidad # 11 es $ 4 545,45

24 Un carpintero ha decidido producir y vender 70 muebles de escritorio en melamine

en vez de 50, pues cree que la razón de cambio de su Ingreso será mayor, siendo

el ingreso: )60(3 xxI donde x es precio por unidad. Defienda o critique la

decisión del carpintero.

Rpta: Critico la decisión del carpintero. Producir y vender 70 muebles es menor que

de 50.

25 El docente de la asignatura propone el siguiente problema: Suponga que la ecuación de

demanda para el producto de un monopolista es: 400 2p q y que la función de costo

promedio es 400

0,2 4C qq

, donde q es el número de unidades y, p y C se

expresan en dólares por unidad. Halle la utilidad marginal cuando 30q e interprete el

resultado. Mario estudiante aplicado de Matemática II opina: “El incremento de la utilidad

cuando se produzca y venda la unidad 31 es de aproximadamente $ 264,00”. Emita usted

un juicio al respecto refutando o corroborando dicha opinión.


065

SEMANA 11

EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:

f es creciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I .

f es decreciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I .

Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c I y si ( ) 0 f c o ( ) f c no existe,

entonces el valor de c es un punto critico de f .

Ejemplo 1: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 2 3( ) 4 2f x x x .

Solución:

La derivada de 2 3( ) 4 2f x x x es ( ) 2 (4 3 )f x x x . La función es creciente en aquellos

intervalos para los cuales ( ) 0f x . Luego f es creciente para todo 0x y 4/3x , es

decir en el intervalo 0, y , 4 / 3 .

f es decreciente si ( ) 0f x , luego es decreciente para todo 0x y 4/3x , o sea en el

intervalo 4 / 3, 0

Ejemplo 2:

Determine los puntos críticos de la función definida por 4/3 1/3( ) 4f x x x .

Solución:

1/3 2/3

2 /3

( 1)4 4 4( ) ( )

3 3 3´ ´

xf x x x f x

x

. Tenemos que ( ) 0´f x en 1x . y la

derivada no existe en 0x . Luego 1 ; 0x son los puntos críticos.

1. En los siguientes ejercicios encontrar los puntos críticos:

a) 2( ) 8f x x x b)

3 21 1( ) 2

3 2f x x x x

c) 3 2( ) 4 2f x x x d) ( ) ( 1)( 2)f x x x x


066

2. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) 2( )f x x b)

2( ) 2 1f x x x

c) 2( ) 2( 3) 5f x x d)

2( ) 8f x x x

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Sea ( )f x una función continua en el intervalo abierto ,a b . Sea c un punto de ,a b .

Tenemos lo siguiente

a) Si,

( ) 0

( ) 0

f x a x c y

f x c x b

en todo punto de

en todo punto de

Entonces ( )f c es un valor máximo relativo de la función.

b) Si,

( ) 0

( ) 0

f x a x c y

f x c x b

en todo punto de

en todo punto de

Entonces ( )f c es un valor mínimo relativo de la función.

REGLA PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Para determinar los extremos relativos de la función ( )f x se procede de la siguiente manera:

1. Se halla ( )´f x .

2. Se encuentran los puntos críticos de la función, o sea aquellos puntos tales que

( ) 0 ´ ( )´ ´f x o f x no existe.

3. Se aplica el criterio de la primera derivada a cada punto crítico.

Ejemplo:

Determinar los máximos o mínimos relativos, de la función 3 2( ) 6 9f x x x x


067

Aplicamos la regla dada:

1˚ . Derivada de la función: ( ) 3( 3)( 1)f x x x .

2˚ . Puntos críticos: 1, 3x x ambos anulan a la derivada.

3˚ . Si, 1 3x entonces ( ) 0f x , y si 3, ( ) 0x f x ; luego en 3x la función tiene

un mínimo relativo.

Si 1x entonces ( ) 0f x , y si 1 3x , entonces ( ) 0f x , luego en 1x la

función tiene un máximo relativo.

EJERCICIOS:

1.- Determine, para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos relativos y haga un bosquejo de la gráfica.

a) 3( ) 12 6 2f x x x b)

3 2( ) 2 9 12f x x x x

Solución de a:

1° Obtenemos los puntos críticos:

2( ) 6 16f x x , ( ) 0f x , luego 6( 1)( 1) 0 x x

Los únicos puntos críticos son: 1, 1x x

2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada

son:

Crecimiento: , 1 1,

Decrecimiento: 1, 1

Máximo relativo en: ( 1) 16f y Mínimo relativo en: (1) 8f

Con esta información podemos hacer el bosquejo de la gráfica:


068


CONOCIMIENTO

A. COMPLETA correctamente colocando la(s) palabra(s) adecuadas:

f es decreciente en I si y solo si _______________________________________.

Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c I y si ( ) 0 f c o

( ) f c no existe, entonces el valor de c es: __________________________ de f .

Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función siempre son:__________

En un intervalo I , si ( ) 0 f x entonces la función es ____________________ en I .

Si cumple en el orden siguiente: ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0 f x f c y f x entonces la función

tiene un punto ______________ en . x c

APLICACION

Aplicando tus conocimientos determina los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento en las siguientes funciones:

a)2( ) 4 3f x x x e)

2( ) 3 21f x x x

b) 3( )f x x f)

3 2( ) 4 2f x x x

c) ( ) ( 1)( 2)f x x x x g) 3( ) 3f x x x

d) 3 2( ) 3 1f x x x h)

3 2( ) 6 9f x x x x

ANALISIS Y SINTESIS

ANALIZA y determina, para cada una de las siguientes funciones, los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento, los puntos máximos y mínimos relativos, con esa información haga usted un bosquejo de la gráfica.

a) 3 2( ) 6 9f x x x x b)

3 2( ) 3 1f x x x

c)

3 2

( ) 63 2

x xf x x d)

4( ) 32 48f x x x

e) 2( ) 4 3f x x x f)

3 2( ) 3 2f x x x

g) 4 3( ) 4 12f x x x h)

3 22( ) 4 6 2

3f x x x x

i) 5( ) 6f x x j) 3 21

( ) 6 9 66

f x x x x

k) 2 2( ) ( 12)f x x x l)

3 211( ) 2 10 2

2f x x x x


069

SEMANA 12

EXTREMOS ABSOLUTOS

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Si una función f es continua en un intervalo cerrado ba, se puede demostrar que entre

todos los valores de x de la función ( )f x en ba, , debe existir un valor máximo

(absoluto) y un valor mínimo (absoluto) a estos valores se les llama valores extremos.

Teorema del valor extremo

Si la función f es continua en el intervalo cerrado ba, , entonces f tiene un valor

máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en ba,

Regla Practica: Para la determinación de los extremos absolutos de una función continua en

un intervalo cerrado

1) Determinación de los valores de la función en los puntos críticos de f en ba,

2) Determinación de los valores de ( ) ( )f a y f b .

3) El mayor valor determinado en los pasos 1) y 2) será el valor máximo absoluto, y el menor

valor determinado en los pasos 1) y 2), será el mínimo absoluto.

Ejemplo 1

Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función 3 2( ) 3 9f x x x x definida en el

intervalo 4, 4

Solución:

Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está

garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica

dada.

Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.

( ) 3( 1)( 3) 0 3,1'f x x x x .

Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

( 3) 27 ; (1) 5 ; ( 4) 20 ; (4) 68f f f f , entonces:


070

En 4x se produce un máximo absoluto en 4, 4 , que es (4) 68f .

En 1x se produce un mínimo absoluto en 4, 4 , que es (1) 5f .

Ejemplo 2

Determine, si existen los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función: 4 2

8 16( )f x x x en el intervalo 3, 2

Solución:

Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está

garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica

dada.

Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.

' 3( ) 4 16 0

( 2)( - 2) 2,0,2

f x x x

x x x x

Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

( 3) 25 ; (2) 0 ; (0) 16 ; ( 2) 0f f f f , entonces:

Máximo absoluto de f en 3, 2 , es ( 3) 25f

Mínimo absoluto de f en 3, 2 , es ( 2) (2) 0f f

Ejemplo 3.

Determine, si existen los extremos absolutos de la función:

23( ) 1 ( 3)f x x en el

intervalo 5, 4

Solución:

La continuidad de f en el intervalo 5, 4,

garantiza la existencia de extremos absolutos de

f en dicho intervalo.

Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada.

1/3

2'( )

3( 3)f x

x

El único punto crítico de es 3x donde la derivada no existe. (Note que ' 0f x , no tiene

solución).


071

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

( 5) 3 ; (4) 0 ; (3) 1 ; f f f entonces:

Máximo absoluto de f en 5, 4 , es (3) 1f

Mínimo absoluto de f en 5, 4 , es ( 5) 3f

EJERCICIOS:

1.- Hallar los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo indicado.

a) ( ) 4 3 , 3, 1f x x x b) 2( ) , 1,2f x x x

c) 3( ) , 1,1f x x x d) 2( ) 4 3, 1,3f x x x

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Si ( )y f x es una función, y los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina

puntos de inflexión, es decir en 0x se tiene un punto de inflexión si 0( ) 0f x .

Si 1x es punto crítico es decir 1( ) 0f x ó no existe 1( ) 0f x .

Si, ( ) 0f x , entonces existe mínimo en 1x x

Si ( ) 0f x , entonces existe máximo en 1x x

Si, ( ) 0f x , , ( )x a b f x es cóncava hacia arriba.

Si, ( ) 0f x , , ( )x a b f x es cóncava hacia abajo.

Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese intervalo

están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las rectas tangentes a

la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para

considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde

abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia

arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión.


072

Según este criterio tendremos:

Signo de ( ) ( )f x y f x Propiedades de la gráfica

de f Forma de la gráfica

( ) 0 ( ) 0f x y f x Creciente y cóncava hacia arriba

( ) 0 ( ) 0f x y f x Creciente y cóncava hacia abajo

( ) 0 ( ) 0f x y f x Decreciente y cóncava hacia arriba

( ) 0 ( ) 0f x y f x Decreciente y cóncava hacia abajo

Ejemplo:

Sea 4 3 24

( ) 43

f x x x x . Determine los extremos relativos de ( )f x aplicando el criterio de

la segunda derivada, los puntos de inflexión (si los hay) y las concavidades. Utilice esta

información para dibujar la gráfica de ( )f x .

Solución:


3 2( ) 4 4 8f x x x x , ( ) 0f x , luego 4 ( 2)( 1) 0 x x x

Los únicos puntos críticos son: 2, 0, 1x x x


son:

Crecimiento: 2,0 1,

Decrecimiento: , 2 0,1

Máximo relativo en: (0) 0f y Mínimo relativo en: 32 5

( 2) (1)3 3

f y f

3° Obtenemos la segunda derivada: 2( ) 12 8 8f x x x

( ) 0f x

2212 8 8 0 3 2 1 0 (3 1) ( 1) 0 x x x x x x

Luego los puntos de inflexión son: 1 y 1/ 3x x


073

x

y

4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:

( 2) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.

(0) 0f cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.

(1) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.

Ejemplo 2:

Sea 3( ) 3f x x x determine los puntos máximos y mínimos relativos de ( )f x aplicando el

criterio de la segunda derivada, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Utilice

esta información para dibujar la gráfica de ( )f x .

Solución:


2( ) 3 3f x x , ( ) 0f x , luego 3( 1)( 1) 0 x x

Los únicos puntos críticos son: 1, 1x x


son:

Crecimiento: , 1 1,

Decrecimiento: 1, 1

Máximo relativo en: ( 1) 2f y Mínimo relativo en: (1) 2f


074

3° Obtenemos la segunda derivada: ( ) 6f x x ( ) 0f x 6 0 0 x x

Luego el punto de inflexión es: 0x

4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:

( 1) 0f cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.

(1) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.

Con esta información podemos realizar la gráfica:

EJERCICIOS

1. Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos

relativos, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Trace la curva que

representa a cada función.

a) 3( ) 12 4 4f x x x b)

3( ) 12 12f x x x

c) 3 21 1

( ) 63 2

f x x x x d) 4( ) 32 48f x x x


075

APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS

MAXIMIZACIÓN DEL INGRESO

Ejemplo:

La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: 80

, 0 q 804

qp

,

donde q es el número de unidades y p el precio por unidad, en dólares. ¿Para qué valor de q

se tendrá un ingreso máximo?. ¿Cuál es el ingreso máximo?.

Solución:

Sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como:

Ingreso = (precio) (cantidad), tenemos: r pq 280 80

,4 4

q q qq

donde .800 q

Haciendo 0dr

dq , obtenemos: r

80 20,

4

qdr

dq

80 2 0q ; 40q

Luego: (10)r 80 20

154

(50)r

80 1005

4

Examinando la primera derivada para 0 40q tenemos / 0dr dq , por lo que r es

creciente. Si 40q , entonces / 0dr dq , por lo que r es decreciente. A consecuencia de

que a la izquierda de 40 tenemos que r es creciente y a la derecha de r es decreciente,

concluimos que 40q da el ingreso máximo absoluto, esto es,

280

4

q qr

280(40) (40)400

(40) 4r

MINIMIZACIÓN DEL COSTO PROMEDIO

Ejemplo:

La función de costo total de un fabricante está dada por : 2

3 4004

qC q , donde C es el

costo total de producir q unidades. Si C está en dólares, ¿Para qué nivel de producción será el

costo promedio un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?.

+ -

0 10 40 50 80


076

Solución:

La función a minimizar es el costo promedio C . La función de costo promedio es:

C

2

3 4004004

34

qq

qC

q q q

Aquí q debe ser positiva. Para minimizar C , diferenciamos:

C 2

2 2

16001 400

4 4

qd C

dq q q

para obtener los valores críticos, resolvemos 0d C

dq 2 1600 0,q

luego: ( 40)( 40) 0q q . 40q (ya que 0q ).

C 2

2

1600

4

q

q

(10)C

2

2

(10) (1600) 15

4(10) 4

(50)C 2

2

(50) 1600 9

4(50) 100

Entonces, como 0 40q es decreciente, 40q es crecientes en 40q hay un

mínimo absoluto.

Maximización del número de beneficiarios de los servicios de salud

Ejemplo 3:

Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico

de servicios de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas adultas recibiría

beneficios directos, donde: 3

26 323

tn t t ; 12. t 0

¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiarios?

10 40 50

_ +


077

Solución:

haciendo 0dn

dt , tenemos: 2 12 32 0

dnn t t

dt

( 4)( 8) 0t t entonces: 4t ; 8t

Como el dominio de n es el intervalo cerrado 0,12 , el valor máximo absoluto se obtiene

evaluando en los puntos críticos y en los extremos de dicho intervalo:

Si, 0t , entonces 0n ,

Si, 4t , entonces 160

3n

Si, 8t , entonces 128

3n

Si, 12t , entonces 96n .

, así se tiene un máximo absoluto en 12t .

ADVERTENCIA:

El ejemplo anterior ilustra que no se debe ignorar los extremos cuando se determinan extremos

absolutos en un intervalo cerrado.

MAXIMIZACIÓN DE UTILIDADES

Ejemplo 4:

Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio

de $ 6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) es:

2 -6 3 = 1000 + 6 0.003 + 10C x x x x ¿Qué valor de x debemos seleccionar con el objeto de

maximizar las utilidades?

Solución:

El ingreso producido por la venta de x artículos a $ 6 cada uno es = 6 R x x dólares. Por

consiguiente, la utilidad por semana es:

= - U x R x C x

2 -6 3= 6 1000 + 6 0.003 + 10U x x x x x

3

26 32 0,123

tn t t en

t

96

4 8 12

326 32

3

tn t t

n


078

2 -6 31000 + 0.003 - 10U x x x

A fin de encontrar el valor máximo de la utilidad, buscamos los puntos críticos en la forma usual

y luego investigamos su naturaleza. Derivando obtenemos:

-6 2 = 0.006 3 . 10U x x x y haciendo = 0U x , encontramos que 0 ó 2000x x

Así que 0 x es un mínimo local de U x , mientras que 2000x es un máximo local.

Este último valor representa el nivel de producción en que la utilidad es máxima.

La utilidad está dada por

2 3-62000 1000 + 0.003 2000 - 10 2000 = 3000U o $ 3000 por semana.

PUBLICIDAD Y GANANCIAS

Ejemplo 6:

Una compañía obtiene una utilidad de $ 5 por cada artículo del producto que vende. Si gasta A

dólares por semana en publicidad, el número de artículos que vende por semana está dado por

2000 1 kAx e en donde 0.001k .

Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta.

Solución:

La utilidad bruta por la venta de x artículos es de 5x dólares, y de ésta restamos el costo de la

publicidad. Esto nos deja una utilidad neta dada por

5 10 000 1 kAU x A e A

(1)

Derivamos con la finalidad de encontrar el valor máximo de la utilidad.

= 10 000 1 = 10 1kA kAU x ke e . Haciendo esto igual a cero, obtenemos

10 = 1 o bien 10kA kAe e y tomando logaritmos naturales, resulta que ln 10 = 2.30kA en

consecuencia:

2,30 2,30

2 3000,001

Ak

La cantidad óptima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $ 2 300 por

semana.. La utilidad máxima se encuentra sustituyendo este valor de A en la ecuación: (1). Ya

que 1

10

kAe , se sigue que la utilidad semanal máxima es:

1Um x = 10 000(1 - ) 2 300 6 700 dolares

10á


079


CONOCIMIENTO

A. RESPONDE con V o F según le corresponda a cada una de las siguientes

proposiciones:

A los valores máximos y/o mínimos absolutos de una función también se les llama valores extremos.

En una función los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina puntos críticos.

Si f es continua en el intervalo cerrado, la existencia de máximo y mínimo

absoluto está garantizada.

Si ( ) 0f x es cóncava hacia arriba, tenemos un valor mínimo.

Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión

APLICACIÓN

Calcula los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo indicado:

a) 3 2( ) 3 7, 0,5f x x x x b) 2( ) 2( 3) 5, 0,5f x x

c) 2( ) 3 21 , 1,2f x x x d) 3 2( ) 2 2, 1,2f x x x x

e) 3

( ) 1 , 4, 43

xf x x f)

4 2

( ) 3 , 4, 44 2

x xf x

APLICACIÓN – ELABORACION

Aplicando los conocimientos adquiridos, determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Luego con esa información elabore la curva que representa a cada función.

a) 2( ) 4 3f x x x b)

3 2( ) 3 2f x x x

c) 4 3( ) 4 12f x x x d)

3 22( ) 4 6 2

3f x x x x

e) 5( ) 6f x x f) 3 21

( ) 6 9 66

f x x x x

g) 5 3( ) 5f x x x h)

2 4( ) 12 2f x x x

i) 4 3 24

( ) 43

f x x x x j) 4 2( ) (1/ 8)( 8 )f x x x

k) 3 4( ) 10 4f x x x l) 4 3( ) 8f x x x


080

ANALISIS - SINTESIS

1. La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es 5 60p q donde

4 10q . Halle el precio que maximiza el ingreso.

2. La función de demanda para el producto de un monopolista es: 1600 20p q , si el

monopolista quiere que el nivel de producción se encuentre en 50 75q , donde “ q ” es el

número de unidades producidas. Determine:

a) El nivel de producción que maximiza el ingreso.

b) El ingreso máximo.

c) El precio para ese ingreso.

3. Un fabricante ha determinado que el costo total C , de producir un determinado artículo,

está dado por la función de costo: 20, 05 5 500C q q donde 100 120q . ¿Para qué

nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad?

4. El costo por hora (en dólares) de operar un automóvil está dado por:

20,12 0,0012 0,08C s s ; 30 60s , donde s es la velocidad en km por hora. ¿A

qué velocidad el costo por hora es mínimo?.

5. La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende pantalones, está dada por:

34000, 6 60C q

q , donde 10 80q es el número de unidades producidas. C está

en dólares y q Determine:

a) El nivel de producción que minimiza el costo.

b) El costo mínimo.

6. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por

unidad) está dado por: C 2 2002 36 210 ,q q

q donde 2 10q .

a) ¿A qué nivel dentro del intervalo 2,10 debe fijarse la producción para minimizar el

costo total? . ¿Cuál es el costo total mínimo?

b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo 5,10 , ¿qué valor de q

minimizaría el costo total?.

7. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es 72 0,04p q , y la función

de costo es 500 30C q . Si el costo está expresado en dólares y 600 700q , halle:


081

a) El nivel de producción que maximiza la utilidad.

b) El precio que maximiza la utilidad.

c) La utilidad máxima.

8. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por

unidad) está dado por : 2 55002 42 192C q q

q , donde 3 12q . Determine el

nivel de producción que minimiza el costo y el costo mínimo.

9. La ecuación de demanda para cierto producto es 2 7200

11 ,p q qq

y tiene un costo fijo

mensual de $1200 y el costo variable es de $80. Además q 8,20 .

a) Determine el nivel de producción que maximiza la utilidad.

b) Halle la utilidad máxima.

10. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: 72 0,04p q y la

función de costo total 500 30C q , donde q 100,500 . Si el precio y el costo

están en dólares, halle:


b) El precio que maximiza la utilidad.

c) La utilidad máxima

11. Para un monopolista la función de demanda es de ( ) 600 2P q q , y la de costo

2( ) 3300 480C q q q , donde 80 ; 110q . Si el precio y el costo están en dólares

por unidad, determine:


b) La utilidad máxima.

c) El precio para esa utilidad.

12. Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad ( )R x , viene dada en

función de la cantidad que se invierte x , en miles de soles, por la siguiente expresión: 2( ) 0, 001 0, 4 3,5R x x x

a) ¿Cuándo aumenta y cuando disminuye la rentabilidad?

b) ¿Qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan, para obtener la máxima

rentabilidad?.

c) ¿Cuál será la rentabilidad máxima que se obtendrá?.


082

JUICIO DE VALOR

13. La función de demanda para el producto de un monopolista es de 3300

( ) 150P q qq

,

donde 70 ; 110q . Si el precio está en dólares por unidad, determine:

a) El nivel de producción que maximiza el ingreso.

b) El ingreso máximo.

c) El precio para ese ingreso.

Defienda o critique la opinión del monopolista quien afirma: “El nivel de producción que

maximiza el ingreso es 75 unidades, el ingreso máximo es $2 325 y el precio para ese

ingreso es $31”

14. Un fabricante puede producir, cuando mucho, 120 unidades de cierto artículo cada año. La

ecuación de demanda para ese producto es 2 100 3200p q q , y la función de costo

promedio del fabricante es C 22 1000040

3q q

q . Determine la producción q que

maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad máxima, si el precio y el costo promedio

están en dólares. Luego defienda o critique la opinión de fabricante quien afirma: “la

producción que maximiza la utilidad es 120 unidades y la utilidad máxima obtenida es

$86000.

15. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero

invertido, según la fórmula: 2( ) 0,002 0,8 5R x x x , donde ( )R x representa la

rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad de x dólares. Determine, teniendo en

cuenta que disponemos de 500 dólares:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto se debe de invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad

Defienda o critique la opinión del inversionista quien afirma: “La inversión aumenta cuando

se invierte hasta cerca de $200, disminuye si se invierte mas de $200; para obtener la

máxima rentabilidad se debe invertir $200 y la rentabilidad obtenida es de $75.”


083

CASO: EXTREMOS ABSOLUTOS Una fábrica de Polos Publicitarios para empresas e instituciones, ubicados en Gamarra

(Emporio comercial textil más grande del Perú). También los produce para exportación. El

fabricante con el ingeniero textil han determinado que para exportar a Europa, el costo

promedio (en euros por unidad) está dado por: 2 200

2 36 210C q qq

, donde 2 10q

es la producción por hora.

Fuente:http://polospublicitarios.net/fabrica-de-polos/

CONOCIMIENTO 1. De los datos, la función del costo total es:

2. ¿Qué grado tiene la función del costo total?

3. Escriba la función del costo marginal:

COMPRENSION 4. ¿Cómo se obtiene el costo marginal? Redacte su respuesta, no calcule.

5. ¿Cómo se interpreta el costo marginal? Redacte su respuesta, no calcule.

APLICACIÓN

6. ¿A qué nivel dentro del intervalo 2,10 debe fijarse la producción por hora, para minimizar

el costo total? .

7. ¿Cuál es el costo total mínimo?

8. Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo 5,10 unidades por hora, ¿qué

valor de q minimizaría el costo total?.

ANALISIS 9. Analiza la función del costo total y determine: Los intervalos en los que el costo aumenta

(crece) y disminuye (decrece); los costos máximos y mínimos, con esa información grafique

la función del costo total.

JUICIO DE VALOR

10. Que es lo más conveniente para el fabricante respecto al nivel de producción. Emita su

opinión.

http://polospublicitarios.net/polos/


084

SEMANA 13

LA INTEGRAL INDEFINIDA

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN: La función :F I es una antiderivada o primitiva de una función

:f I si y sólo si: ( ) ( ), [ , ]F x f x x I a b

Si ( )F x k , es la familia de antiderivadas de ( )f x .

DEFINICIÓN: Si ( )F x es una antiderivada de ( )f x sobre un intervalo [ , ]I a b , es decir,

( ) ( )´F x f x , entonces:

( ) ( )G x F x k se demostrará por:

( ) ( ) ( )G x f x dx F x k , x I

Llamaremos integral indefinida de ( )f x

Al término ( )f x se le llama integrando

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN

dx x k 3. ( ) ( )cf x dx c f x dx

1

1

nn x

x dxn

k

; 1n 4. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Donde k se le llama constante de integración.

Ejemplos

I. Halle la antiderivada de las siguientes funciones:

a) 265)( 23 xxxf b) 87)( 4 xxxf c) 3 2

2

4 6( )

x xf x

x


085

solución de a)

3 2 3 2(5 6 2) 5 6 2dxI x x dx x x dx dx

3 1 2 13 2 5 6

5 6 2 23 1 2 1

x xI x dx x dx dx x k

4 352 2

4I x x x k

EJERCICIOS: Halle la integral indefinida de las siguientes funciones:

1. 4dx 2.

1

24 x dx 3.

9

1 dx

x 4.

3 4

1 2( ) x dxx x

II. Encuentre ( )f x , sujeta a las condiciones iniciales dadas:

a) ( ) 5 4 , (2) 3 / 4f x x f

b) ( ) 1, (0) 1, (0) 2, (0) 4y x x y y y

Solución de a)

( ) ( )( ) 5 4

df x df xf x x

dx dx ( ) 5 4f x x dx dx

254

2

xx k

25( ) 4

2 ;

xf x x k

3(2)

4f

2

3

4

x

y

23 5 5(2) 4(2)

4 2 4= k k

25 5 ( ) 4

2 4f x x x

III. APLICACIONES (Problemas resueltos)

1. Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es 20,6 0,8 9,5dC

q qdq

y el costo fijo es de $ 1 800, donde es el número de unidades producidas. Halle el costo

promedio cuando se producen 200 unidades.


086

Solución:

2 20, 6 0,8 9,5 (0, 6 0,8 9,5)dC

q q dC q q dqdq

Integrando:

2 3 2 (0, 6 0,8 9,5) 0, 2 0, 4 9,5 C q q dq C q q q k

Hallando la constante de integración

De CT CV CF si no hay producción ( 0q ) , entonces el costo total es igual al

costo fijo, luego: 3 2 1800 0, 2(0) 0, 4(0) 9,5(0)C CF k

1800 k

La función de costo es: 3 2 0, 2 0, 4 9,5 1800C q q q

Hallando el costo promedio: 2 1800 0, 2 0, 4 9,5

CC q q

q q

Evaluando en 200: (200)C 2 1800 0, 2(200) 0, 4(200) 9,5 7938,5

200

Cuando se producen 200 unidades el costo promedio es de $ 7938,5.

2. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es: 24( 5) 8

dCq q

dq . Si

el costo de producir 12 unidades es de $ 738, donde q es el número de unidades

producidas, determine el costo promedio de producir 30 unidades.

Solución:

2 24( 5) 8 (4 20 8 )dC

q q dC q q dqdq

Integrando:

Hallando la constante de integración:

Del dato: 12q

32

4(12) 738 20(12) 4(12)

3C k 750 k

La función de costo es:

2 (0, 6 0,8 9,5) dC q q dq

32 2

4 (4 20 8 ) 20 4

3

qC q q dq C q q k

32

4 20 4 750

3

qC q q


087

La función de costo promedio es:

El costo promedio cuando se producen 30 unidades es:

3. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es

29 200dr

q qdq

, donde es el número de unidades producidas. Determine el ingreso

cuando se producen y venden 50 unidades.

Solución:

2 29 200 (9 200 )dr

q q dr q q dqdq

Integrando: 2 3 2 (9 200 ) 3 100r q q dq q q k


De: r pq , si 0 0q r

3 2 0 3(0) 100(0) 0r k k

Entonces la función de ingreso es: 3 2 3 100r q q

El ingreso cuando de producen y venden 50 unidades es:

3 2 (50) 3(50) 100(50) $ 125000r

4. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es 2 400dr

qdq

,

donde es el número de unidades producidas. Halle el precio cuando se demandan 120

unidades, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 4 200.

Solución:

2 2 2400 ( 400) ( 400) dr

q dr q dq dr q dqdq

24 750 20 4

3

C qC q

q q

24(30) 750 (30) 20 4(30) $ 1035

3 30C


088

Integrando:


Del dato: si 30q entonces 4200r , luego:

3(30) 4200 400(30)

3r k

Efectuando operaciones se tiene que:

La función de ingreso es:

3

400 72003

qr q

La función de demanda es: 2 7200

4003

qr pq p

q

El precio cuando se demanda 120 unidades es:

2(120) 7200 (120) 400 $ 4460

3 120P

32 ( 400) 400

3

qr q dq r q k

7200 k


089


CONOCIMIENTO

A. COMPLETA correctamente, colocando la(s) palabra(s) adecuada(s) sobre la línea:

En la integral indefinida:

A ( )F x k , se le llama familia de _________________ de ( )f x .

Al término ( )f x se le llama _________________.

A k se le llama constante de __________________ .

B. RESPONDE colocando V o F según le corresponda:

1.dx x k

2.

1

1

nn x

x dxn

k

; 1n

3.( ) ( )cf x dx c f x dx

APLICACIÓN

A. Aplicando las propiedades básicas halle la integral indefinida de las siguientes funciones

1 5( 2 4) x x dx 2 3 2(8 7 10) x x dx

3 2 2

5( 4 3 1)x x dx

x

4 9

3

4(2 6 5) x x dx

x

5 2( 1) x dx 6 2(2 3) x dx

7 (2 4)( 5) x x dx 8 2 2( 4 )( 1) z z z dz

8 3 5 2

7 2

( )2

x x xdx

x

9

6 4

2

18 3( )

6

x xdx

x

10 2( 3 1) xt x dx 11 3 4( 3 6) za z dz

12 ( 3 ) x x x dx 13 2 3(2 3)( 6 ) x t x dx

14 3( 1)( ) x x x dx 15

3

3

( )( )

x x x xdx

x

16 4 1/26 3 9

( ) 3

x x x xdx

x

17

3 28 3 2( )

4

x x xdx

x


090

B. Encuentre ( )f x , sujeta a las condiciones iniciales dadas:

a) 2( ) 2 , (1) 0, (1) 1f x x x f f

b) ( ) 1, (0) 0, (0) 6y x x y y

c) ( ) 2 3, (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 4y x x y y y

d) ( ) 2 , ( 1) 3, (3) 10, (0) 12y x x y y y

ANALISIS - SINTESIS

1. Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es

20, 03 1, 8 6, 5dC

q qdq

y el costo fijo es de $ 2 400 , donde es el número de

unidades producidas. Halle la función de costo y el costo cuando el nivel de producción es

de 100 unidades.

2. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es 4(3 ) 80dC

qdq

y

el costo de producir 40 unidades es de $ 6 900, donde q es el número de unidades

producidas. Determine el costo promedio cuando el nivel de producción es de 50 unidades.

3. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal, para un

determinado producto es 15 2300dr

qdq

, donde es el número de unidades producidas.

Encuentre la función de demanda.

4. Para cierta fábrica de artesanías, su función de ingreso marginal está dada por:

2275 4 3dr

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Halle la función de

demanda, si cuando se producen 50 artículos el ingreso es de $ 5 000.

5. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por

(3 10)50

2

dr q q

dq

(en dólares), para q unidades producidas. Encuentre el precio para

30q .

6. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por

20, 03 5dr

qdq

(en dólares), para q unidades producidas. Se sabe que al vender 10

productos se obtiene un ingreso de $1 000. Encuentre el precio cuando la demanda es de

20 unidades.


091

SEMANA 14

INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Sea ( )f x una función continua, entonces:

P1. ( )b

a

c dx c b a , donde c es una constante

P2. ( ) ( ) b b

a a

cf x dx c f x dx , donde c es un número real arbitrario

P3. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

P4. Si a c b , se cumple: ( ) ( ) ( ) b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

P5. Si c d , entonces ( ) ( ) d c

c df x dx f x dx

P6. ( ) 0 a

af x dx

P7. Si ( ) 0f x para todo x en ,a b , entonces ( ) 0 b

af x dx

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f una función continua en un intervalo cerrado ,a b :

Parte I: Si la función G está definida por ( ) ( ) b

aG x f t dt , para todo x en ,a b

entonces si ( )f x es continua, ( )G x es diferenciable sobre ,a b y se cumple que:

( ) ( )G x f x , es decir ( ) ( )b

a

df t dt f x

dt .

Parte II: Si F es cualquier antiderivada de f ó llamada también primitiva de f en ,a b ,

entonces: ( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a


092


CONOCIMIENTO

RESPONDA verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

( )b

a

c dx c b a , donde c es una constante

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F a F b

Si ( ) 0f x para todo x en ,a b , entonces ( ) 0 b

af x dx

Si ( )f x es continua en ,a b , entonces ( )G x es diferenciable en ,a b

( ) 1 a

af x dx

APLICACIÓN

Calcule en cada caso las integrales definidas:

1.

2

145 dx

2.

3

225 dx

3.

23 2

1(2 8) x x dx

4.

23 2

1

4 3 2

5 2 5 x x x dx

5.

23 2

1

44

3x x x dx

6. 2

3 2

1

12 5

3x x x dx

7.

4 22

20

5 3 6

x xdx

x

8.

14 3

0

5 4

2 3 x x x dx

9.

3 52

21

9 3 8

x xdx

x

10.

12

13 1 4 x x x dx

11.

3 210

1 5

4 3 1( )

q qdq

q

12.

2 3 23

21

1

x x xdx

x

13.

12

218 2 6 2 x x x dx

14.

32 3 2

15 8 9 3 x x x dx


093

SEMANA 15

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida es ampliamente aplicada en la economía. Esto se observa cuando se tiene

como información la razón con la que varían los ingresos y los costos según la producción

(ingresos y costos marginales, respectivamente) y si se quisiera encontrar las funciones de

ingreso y costo. Asimismo, la integral definida puede aplicarse al cálculo de utilidades netas,

depreciación de maquinarias, excedencia del consumidor o del productor, etc. Veamos algunos

casos.

APLICACIONES

1. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el

precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente fórmula:

20,09 0,0006d P

xd x

, donde P es el precio.

a) ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas?

b) ¿Se debe vender todo el mineral posible ahora o se debe de esperar dentro de 10

semanas?

Solución:

Como 2 2 0,09 0,0006 (0,09 0,0006 )

d Px dP x dx

d x

Integrando: 10 10

2 3

00 0,09 0,0006 0,09 0,0002 dP x dx x x

El precio dentro de 10 semanas será:

103

046 0,09 0,0002P x x

Entonces: 46 1,1 47,1P .

a) Dentro de diez semanas la tonelada costará 47,1 dólares.

b) Se debe de esperar 10 semanas para vender todo el mineral posible.


094

2. Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es 2( ) ( 3 60 )R x x x . Calcula

el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades, si el

ingreso esta en dólares.

Solución:

Al integrar la función de ingreso marginal se obtiene la función de ingreso y al evaluarla

se tiene el incremento, entonces:

2 2( 3 60 ) ( 3 60 ) dR

x x dR x x dxdx

Integrando: 2020 3 2 20

2 3 21515 15

3 603 60 30

3 2

x xR x x dx x x

3 2 3 2(20) 30(20) (15) 30(15) 8000 12000 3375 6750 625R

El incremento en el ingreso cuando la demanda varia de 15 a 20 unidades, es de 625

dólares.

3. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de

21 50R x x dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

2 ( ) 200 5R x x dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será más rentable?.

Solución:

El segundo plan será mas rentable hasta que las funciones de ambos planes sean iguales:

1 2R x R x , entonces se tiene:

2 2 250 200 5 5 150 0x x x x

( 10)( 15) 0x x

1 1 10 ; 15x x

El segundo plan es más rentable durante 15 años.


095

4. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de 2( ) 5000 20R x x dólares por año y costos que se acumulan a razón de

2( ) 2000 10C x x dólares por año.

a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria?

b) ¿Cuales son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo

obtenido en la parte a)?

Solución:

a) El uso de la maquinaria será rentable mientras que el ritmo al que se generan los

ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que ( ) ( )R x C x ,

entonces:

2 2 25000 20 2000 10 100 0x x x

( 10)( 10) 0x x

1 1 10 ; 10x x

El uso de la maquinaria es rentable durante 10 años.

b) Dado que la ganancia neta generada por una maquinaria, durante cierto período de

tiempo, está dada por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y su

costo total de operación y mantenimiento, se puede determinar esta ganancia por la

integral definida:

10 10

2 2 2

0 05000 20 2000 10 3000 30GN x x dx x dx

10

3 30

3000 30 3000(10) (10) 29000x x

Las ganancias netas ascienden a 29 000 dólares.


ANALISIS

1. La compañía minera “Duran Ventures” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los estudios

indican que dentro de “ x ” semanas, el precio por tonelada estará cambiando a una razón

de cambio dada por la función: 20,012 0,05d P

x xd x



096

a) Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas.

b) ¿Debe la compañía vender todo el cobre posible ahora, o esperar dentro de 5

semanas?

2. La Empresa Pacific Rubiales vende el barril de petróleo a $ 105,6. Los estudios de

mercado indican que dentro de “ x ” meses, el precio del barril estará cambiando a una

razón dada por la siguiente función: 20, 0084 0, 012dP

x xdx


a) Halle el precio del barril de petróleo dentro de dos meses.

b) ¿La Empresa debe vender todo el petróleo posible ahora o debe de esperar dentro de

tres meses?.

3. En cierta fábrica, el costo marginal es 2

3 4q dólares por unidad cuando el nivel de

producción es “ q ” unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel

de producción aumenta de 6 a 10 unidades?

4. Se estima que dentro de “ x ” meses la población de Tumbes cambiará a una razón de 2x x personas por mes. ¿En cuánto crecerá la población de Tumbes durante los

próximos 3 años?

5. En el Distrito Federal de México los especialistas han determinado que el número de

personas infectadas por la gripe H1N1 tipo A, cambia a razón de 2, 2 2, 2idPt

dt donde

iP es el numero de personas infectadas y t es el tiempo en semanas. Determine el

número de personas infectadas en los próximos dos meses.

6. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de

21 40R x x dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón


¿Durante cuantos años el segundo plan será más rentable?.

7. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de 2( ) 9260 25R x x dólares por año y costos que se acumulan a razón de

2( ) 3500 15C x x dólares por año. Halle:

a) El numero de años en que es rentable el uso de la maquinaria.

b) Las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo de la parte a).

8. Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es 2( ) 4(25 )D q q dólares por unidad. Halle la cantidad total de dinero que los

consumidores están dispuestos a gastar para obtener 3 unidades del artículo.


097

9. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de 2

1 ( ) 100R x x dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de


¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?

10. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de 2( ) 6025 10R x x dólares al año y origina costos que se acumulan a la razón de

2( ) 4000 15C x x dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?.

JUICIO DE VALOR

Defienda o critique la opinión dada.

11. Para cierta empresa la función de ingreso marginal es : 2

360q qdr

dq (en dólares) halle

el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 20 a 25 unidades, pues el

Gerente afirma que la empresa pierde $875. Defienda o critique esta afirmación.

12. Suponga que la función de costo marginal para el producto de un fabricante es:

80,2qdc

dq Si c está en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 65

a 75 unidades y defienda o critique pues el cálculo hecho por Gerente indica que es de

$105.7

13. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquinaria industrial genera ingresos a la razón

de 2( ) 6025 8R x x dólares por años y origina costos que se acumulan a la razón de

2( ) 4681 13C x x dólares por año. ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la

maquinaria? ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquina durante el

periodo obtenido? La gerencia ha calculado 8 años y las ganancias netas de $7 168.

Defienda o critique este cálculo.


098

SEMANA 16

SESION INTEGRADORA

I. RESPONDA verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

1. Si, f(x) = xn, n , entonces: f ’(x) = nxn-1 ( )

2. Si

21

( )f xx

entonces 2( ) 2f x x

( )

3. Si entonces ( )

4.

!

2

( ) '( ). ( ) ( ). '( )

( ) ( )

f x f x g x f x g x

g x g x

( )

5.

( ) ( )'( ) lim

0h

f x h f xf x

h

( )

6. ( ) ( )cf x dx c f x dx ( ) 7. 1

1

nn x

x dxn

k

1n ( )

8. ( )b

a

c dx c b a , donde c es una constante ( )

9. ( ) ( ) ( )b

a

f x dx F a F b ( )

II. COMPLETA correctamente lo siguiente, colocando la palabra adecuada sobre la línea:

Si, ( )xf k , es una función constante, entonces: ( )' xf _______________

La integral indefinida es una ___________________, y la integra definida es un número.

En la integral indefinida, k se le llama ________________ de integración.

Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces: f es ____________________

en I si y solo si ( ) 0 f x x I .

III. Utilizando las diferentes reglas de diferenciación: halle la derivada de las siguientes funciones y , si es el caso, evalúe en el punto dado:

1.

2 3

( )ln(2 1)

x

f xx

e

2. 3 21( ) ln(2 5)xf x x

3.

2

3

( 1)( 2 4)( )

( 2)

x xf x

x

4

35

2 4

6 5 ( 4 5)( )

( 7 8) 8 1 ln

x xf x

x x

5. 3 1( ) .ln 1xf x xe ; x = 1 6.

2 2( 1) 3( ) .ln( 1)xf x xe ; x = 1


099

IV. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva, en cada caso:

1.

52

22

x

)x(f)xx(e

, en el punto (2; k) que pertenece a dicha gráfica.

2. 2 2( 1) xy x e , en el punto (2; 5). 3. ln(2 1)y x x , en el punto x = 1 .

V. APLICACIONES A LA ECONOMÍA

1. Sea : 32 11 q)(qf(q)C , función costo total. Halle el costo marginal. (No

simplifique su respuesta).

2. Para cierto fabricante, la función ingreso está dada por 23.070 qqr .

a) ¿Qué tan rápido cambia el ingreso respecto a q, cuando q = 100?

b) Halle la razón de cambio relativa cuando q = 10

3. La función de demanda, de una fábrica que produce carteras, está dada por:

50 0,3p q , ( p está en dólares y q es la cantidad producida). Halle la función

de ingreso marginal y evalúela para una producción de 30 unidades. Interprete el resultado.

4. Si la función de demanda, para el producto de un fabricante es: 2 70010 0,01p q q , ( p está en dólares y q es la cantidad producida), halle

la función de ingreso marginal y evalúela cuando se venden 10 unidades. Interprete el resultado.

5. La función de costo promedio por unidad, de una fábrica que produce carteras,

está dada por: 2 2500,02 0,1 C q q

q, ( C está en dólares). Halle la función de

costo marginal y evalúela para 10q . Interprete el resultado.

VI. Encuentre la derivada indicada y evalúe en el punto determinado:

a) 17

1

xy ; )2(''y b)

23

7

xy ; )3('''y

VII. REALICE EL BOSQUEJO DE LA GRÁFICA

En las siguientes funciones halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los puntos máximos y mínimos relativos, las concavidades y los puntos de inflexión.

a) 3 2( ) 2 3 12 1f x x x x b) 104883)( 234 xxxxf


0100

VIII. APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: 60

4

qp

;

600 q , donde q es el número de unidades y p es el precio por unidad. ¿Para

que valor de q se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?

2. La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende polos, está dada por:

90000, 2 72C q

q , donde C está en dólares y q es el número de unidades

producidas. Halle el nivel de producción que minimiza el costo y el costo mínimo.

IX. INTEGRE las siguientes funciones:

a) dxxxx )4)(26( 3 b) 2 4 3

3 7 5 3 x x x x dx

c) dxx

xxx

)24)(27( 3

d) 3

42 )(( ) x x x x

x

dx

e) 2 3

1

xdx

x

f)

1

2

11 x

x dxx

e

g) ( )

3

1

1

x

x

xdx

x

e

e

h)

ln(1 ln )5 x x

x dx

X. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

1. Un fabricante ha determinado que la función costo marginal es

128.009.0 2 qqdq

dc y el costo fijo es de $ 2,500, donde q es el número de

unidades producidas. Encuentre la función de costo total y la función de costo promedio.

2. Para cierto fabricante, su función de costo marginal está dada por:

6 4 300dC

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Si sus

costos fijos son de $ 300, determine el costo promedio cuando se producen 4 unidades:

3. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es

220 30dr

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Encuentre la

función de ingreso total.


0101

4. Para cierta fabrica de artesanías, su función de ingreso marginal está dada por:

2200 20 3dr

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Halle la

función de demanda, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 2000.

5. Para cierta compañía su función de costo marginal está dada por: 26 10q q

dc

dq ,

donde q es el número de unidades producidas. Si sus costos fijos son de S/ 4000,

determine el costo promedio cuando produce 100 unidades:

6. Un fabricante ha determinado que la función costo marginal es

20.06 2 10dc

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Si los

costos fijos son de $3600, determine la función de costo y el costo promedio producir de producir 90 unidades.

7. La función de ingreso marginal, para el producto de un fabricante, está dada por:

2 1015 2800dr

q qdq

. Si r está en dólares, determine el ingreso cuando se

incrementa la producción de 10 a 15 unidades

8. La compañía minera “Buenaventura” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio por tonelada estará

cambiando a una razón de cambio dada por la función: 20,012 0,05d P

x xd x

,

donde P es el precio.

Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas.

¿Debe la compañía vender todo el cobre posible ahora, o esperar dentro de 5

semanas?

9. La Compañía Financiera Atlantis, lanza al mercado dos planes anuales de

inversión. El primero generará una rentabilidad a razón de 21 20P x x

dólares por año, mientras que el segundo lo hará a la razón de 2 ( ) 104 5P x x

dólares por año.

Determine el número de años que el segundo plan será más rentable que el primero.

Halle la Utilidad Neta, si se invierte en el segundo plan en lugar del primero, durante

el periodo obtenido en la primera parte.

Date post:	14-Mar-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

II Ciclo Semestre 2018 II - University of San Martín de Porres · 2018. 7. 19. · Sea una matriz...

Documents