Internı modely v nezivotnım pojistenı

23.10. a 30.10.2015

Internı modely v nezivotnım pojistenı

Deterministicka bilance v case t = 0 slouzı jako vychozı baze pro

dalsı modelovanı. Pomocı stochastickeho modelu zisku a ztrat se

projektujı hodnoty aktiv a pasiv v case t = 1. Simulace vychazejı z

predpokladu o novem obchodu i stavajıcım kmeni. Vysledky

simulacı se pouzijı k analyze rozdelenı vlastnıho kapitalu v case

t = 1.

ocenenı fer hodnotou (co nejblıze pozorovanym trznım cenam)

ekonomicke scenare - modelovanı externıch stochastickych faktoru

Pojistne technicke riziko

-riziko rezerv (nedostatecnost rezerv pro stavajıcı kmen)

-riziko pojistneho (nedostatecnost pojistneho pro novy obchod)

-riziko vyvoje skod (odlisny vyvoj ve vyplatach skod od ocekavanı)

Pojistne technicky vysledek (PTV)

=pojistne (P) - naklady (N) - vyplaty skod (S) - zmena skodnı

rezervy (∆ R)

Vsechny hodnoty ocistene od zajistenı (netto pojistne technicky

vysledek), pro jednoduchost se neuvazuje prenaska pojistneho.

Pojistne technicke riziko

S = S1 + S2,

S1 - vyplaty za skody nastale v aktualnım roce, S2 - vyplaty za

skody vznikle v predchozıch letech.

∆R = ∆R1 + ∆R2,

∆R1 - zmena rezervy na skody vznikle v aktualnım roce, ∆R2 -

zmena rezervy na skody z predchozıch let.

(tvorba +, pouzitı -)

PTV = (P − N − S1 −∆R1) + (−S2 −∆R2)

Vyraz v prvnı zavorce odrazı riziko pojistneho, vyraz v druhe

zavorce riziko rezerv.

Rezervy

R(0) - hodnota rezervy v case 0 (deterministicka)

R1 - rezerva v case 1 (nahodna)

S1 - platby za skody behem roku (nahodne)

Vysledek vyvoje skod na konci roku:

V1 = R1 + S1 − R(0)

Klademe-li

R(0) = E R1 + E S1,

lze psat

V1 = (R1 − E R1) + (S1 − E S1).

Prıklad

Prıklad ma ilustrovat zavislost vysledku na pouzite metode

stanovenı rezervy. Predpoklada se vyvoj skod po dobu 3 let.

Celkove skody modelovany normalnım rozdelenım se strednı

hodnotou 1000 a rozptylem 0,25.

Na konci prvnıho roku vyplaceno 0% z celkovych skod, na konci

druheho roku vyplaceno v prumeru 75% celkovych skod, pri pouzitı

normalnıho rozdelenı s rozptylem 0,2.

Uvazujeme pouze skody vznikle v jednom roce.

Budeme uvazovat 2 ruzne metody odhadu celkovych plnenı.

Prıklad

Obe metody odhadujı na konci prvnıho roku celkova plnenı

hodnotou 1000.

Odhad celkovych plnenı na konci druheho roku:

Metoda 1: dosud vplacene skody/0,75

Metoda 2: max(dosud vyplacene skody,1000).

Tabulky ukazujı vysledky pro nekolik prvnıch simulacı, uvadene

strednı hodnoty a smerodatne odchylky byly zjisteny z 1000

simulovanych scenaru.

Metoda 1

Metoda 2

Volatilita skodnıch rezerv

Mozne prıstupy ke zjist’ovanı volatility rezerv:

1) explicitnı vzorec pro odhad volatility - Mackuv model

2) odhad zalozeny na simulacıch - metoda bootstrap

ad 1)

T. Mack: Distribution-free Calculation of the Standard Error of

Chain Ladder Reserve Estimates. Astin Bulletin, Vol. 23, No. 2,

1993.

Mackova metoda je zalozena na stochastickem modelu pro metodu

CHL.

Volatilita skodnıch rezerv - Mackova metoda

Mackova metoda je dale rozvıjena v clanku

M. Merz, M.V. Wutrich: Modelling the claims development result

for solvency purposes. CAS E-Forum, Fall 2008.

Autori se zamerili na vysledek vyvoje skod za jeden rok

CDRj(t + 1) = E[Rtj |Dt ]− (Xj ,t−j+1 + E[Rt+1

j |Dt+1]),

tj. rozdıl mezi rezervou na skody z roku z roku j stanovenou v case

t na zaklade vyvoje skod do casu t (Dt) a souctem rezervy na

skody z roku j stanovene v case t + 1 a vyplat za skody z roku j

uskutecnenych v roce (t,t+1).

Novy obchod

Modelovanı celkovych skodnıch nakladu z obchodu uzavreneho v

uvazovanem roce: brutto-skodnı naklady (vyplata plnenı + tvorba

rezervy)=⇒ zajistenı =⇒ netto-skodnı naklady.

Pri modelovanı skodnıch nakladu se uvazujı skody rozdelene do 3

skupin: zakladnı (bezne) skody, vysoke skody, kumulovane

(katastroficke) skody.

Zakladnı skody - vysoka frekvence, nızka prumerna vyse, modelujı

se obvykle v uhrnu za dane obdobı.

Novy obchod

Kumulovane (katastroficke) skody - vznikajı v dusledku (prırodnı)

katastrofy, ktera postihne vetsı pocet pojistenych rizik.

Pravdepodobnost udalosti je nızka, nızke skody na jednotlivych

pojistnych smlouvach, velmi vysoke uhrny skod zpusobenych

jednou udalostı.

Vysoke skody - skody, jejichz velikost prekracuje urcitou

pojist’ovnou stanovenou hranici. Nızka skodnı frekvence, vysoka

vyse skody v jednotlivych prıpadech. Uplatnenı komplexnıch

zajistnych konstrukcı.

Brutto - model

Model skodnıch nakladu

Volba vhodneho rozdelenı - statisticke testy (χ2-test dobre shody,

Kolmogorov-Smirnov,...), graficke metody (mean-excess plot, P-P

plot, Q-Q plot,...).

V dusledku provedenych testu muze dojıt k posunutı hranice

definujıcı vysoke skody. Modelovanı zakladnıch skod tedy musı v

case nasledovat po modelovanı vysokych skod.

Model kmene - vyvoj pojistneho, struktura obchodu, upisovacı

politika, pocty pojistenych rizik, pojistne castky,...

Zakladnı skody

Pro uhrn skod se uzıva kolektivnı model (slozene rozdelenı)

S =N∑

i=1

Xi ,

N,X1, . . . nezavisle, X1,X2, . . . stejne rozdelene.

ν = ES = EN E X1

ξ2 = Var S = E N Var X1 + Var N (E X1)2.

Ma-li N Poissonovo rozdelenı, je

ξ2 = EN (Var X1 + (E X1)2).

Zakladnı skody

S lze modelovat pomocı znameho rozdelenı na zaklade znalosti

nekterych charakteristik (prvnı 2 nebo 3 momenty)

napr. logaritmicko - normalnı rozdelenı LN(µ, σ2), kde

σ =

√ln

[1 +

(ξ

ν

)],

µ = ln ν − 1

2σ2.

Pri odhadovanı E X1, Var X1 z dat je treba vzıt v uvahu vyvoj skod

a rovnez prıpadnou upravu starsıch dat pro srovnatelnost s

modelovanym rokem.

Zakladnı skody - prıklad

Kumulovane skody

Katastroficka udalost: objevuje se nepravidelne, nelze predpovedet,

ma vliv na mnoho pojistenych rizik, mimoradne vysoky skodnı

potencial, nebezpecı kumulace - jedna udalost ma za nasledek

mnoho skod, nastava zrıdka.

Typy katastrof:

- boure (hurikany, tajfuny, vichrice)

- krupobitı

- povodne

- zemetresenı

Kumulovane skody

Kumulovane skody se od zakladnıch skod odlisujı velkymi uhrny a

malymi pravdepodobnostmi vzniku udalosti.

Kumulovane skody je treba eliminovat z celkovych dat pred

modelovanım zakladnıch skod.

Pri modelovanı se nevychazı z jednotlivych skod, ale z jednotlivych

udalostı.

Kolektivnı model rizika nenı pouzitelny (porusen predpoklad

nezavislosti poctu a vysı skod).

Kumulovane skody

Pojist’ovny obvykle vyuzıvajı komercnı modely pro riziko katastrof.

Jde o komplexnı fyzikalnı (meteorologicke) modely, ktere jsou

kombinovany s modelovanım pojistne - technickych dopadu

katastrofickych udalostı.

Tabulka skodnıch udalostı (Event Loss Table): modelova sada

udalostı, ktera je vystupem modelu katastrofickych skod.

Ke kazde udalosti se stanovı expozice obsazena v danem pojistnem

kmeni (rada udaju - lokalita, typ stavby, pojistna castka,...).

Datum jsou prirazeny referencnı kody podle uzemnı prıslusnosti.

Kumulovane skody - prıklad

Vysoke skody

1)Modelovanı zalozene na EVT (zobecnene Paretovo rozdelenı).

2)Modelovanı uhrnu vysokych skod pomocı slozeneho rozdelenı.

Modelujı se zvlast’ jednotlive skody a jejich pocty.

Pro vyse skod vhodne naprıklad Paretovo rozdelenı.

Zajistenı a typy skod

1) zakladnı skody - kvotove zajistenı

2) vysoke skody - individualnı XL-zajistenı

3) kumulovane (katastroficke skody) - XL-zajistenı na udalost

simulacnı model - simulace skod, uplatnenı dane zajistne struktury,

za opakovanych simulacı stanoveny charakteristiky brutto a netto

skodnıch uhrnu

XL-zajistenı vysokych skod - prıklad

pocet skod: Poisson (λ = 4, 52)

vyse skod: Pareto (α = 3.57, a = 5, E X = 6.94)

ocekavany uhrn skod brutto: E S = 29.99

zajistenı: 50 XS 5, pocet skod ≤ 8

XL-zajistenı vysokych skod - prıklad

XL-zajistenı kumulovanych skod - prıklad

ocenenı fer hodnotou

FV ocenenı - ocenenı stochastickeho financnıho toku vedoucı ke

stanovenı trznı ceny

NPV - strednı soucasna hodnota (pri bezrizikove urokove mıre)

na strane aktiv: FV>NPV

na strane pasiv: FV<NPV

metoda nakladu na kapital - stanovenı rizikove marze jako

soucasne hodnoty dodatecnych uroku z alokovaneho kapitalu

ocenenı fer hodnotou - prıklad

Predpokladejme bezrizikovou urokovou mıru 4% a dodatecnou

sazbu 6%.

Jednorocnı zavazek s rozdelenım

P (X = 1200) = 0, 6

P (X = 700) = 0, 4

Odtud

E X = 1000,√

Var X = 244, 95,

NPV= 1000/1, 04 = 961, 5.

ocenenı fer hodnotou - prıklad

Pri aproximaci rozdelenı X normalnım rozdelenım a pri pouzitı VaR

na hladine 99,5%, dostaneme alokovany kapital

EC =√

Var X z99,5% = 632, 1.

Naklady na kapital:

CC =0, 06.632, 1

1, 04= 36, 5.

Fer hodnota:

FV = NPV + CC = 998.

Posouzenı ucinnosti zajistenı

kriteria:

- snızenı potreby vlastnıho kapitalu, uspora nakladu na kapital

tradicnı prıstup:

netto vysledek = netto pojistne - netto naklady

-netto skodnı vyplaty - zmena netto skodnı rezervy

FV - prıstup:

FV netto vysledku = soucasna hodnota netto pojistneho

-soucasna hodnota netto nakladu

-soucasna hodnota netto vyplat skod

-zmena FV netto skodnı rezervy

XL-zajistenı vysokych skod - posouzenı ucinnosti

XL-zajistenı vysokych skod - prıklad 2

XL-zajistenı vysokych skod - posouzenı ucinnosti 2

XL-zajistenı kumulovanych skod - posouzenı ucinnosti

Optimalizace zajistenı

Internı model lze vyuzıt k posouzenı alternativnıch zajistnych

struktur:

- zmeny priorit, struktury vrstev, provizı, nakladu, ...

- treba vzıt v uvahu stanovenı zajistneho, rating zajist’ovny,

kapacitu zajistneho trhu, dostupnost uvazovanych forem zajistenı

Riziko kapitalovych investic

Trznı riziko - riziko ztraty na trznı hodnote aktiv (u akciı ztraty v

trznı hodnote, ktere nelze eliminovat diverzifikacı, u nemovitostı

kolısanı cen na trhu)

Urokove riziko - kolısanı kurzu pevne urocenych cennych papıru,

zpusobene zmenami trznıch urokovych mer

Menove riziko - u aktiv v cizı mene, vznika v dusledku zmen

menovych kurzu

Riziko kapitalovych investic

Bonitnı riziko - u pevne urocenych cennych papıru, riziko defaultu

emitenta, vede ke kurzovym ztratam

Riziko z korelace mezi stranou aktiv a pasiv

Prıklad: pojist’ovna drzı ve vetsım objemu akcie prumysloveho

podniku, ktery s nı ma uzavreno pojistenı odpovednosti. Vetsı

skoda zpusobı zvysenı skodnıch rezerv a zaroven pokles hodnoty

akciı.

Modelovanı kapitalovych investic

V ramci modelovanı je treba projektovat trznı ceny vsech

kapitalovych investic pro nasledujıcı rok.

Zakladnı prvky:

- model portfolia

- generator ekonomickych scenaru

- vlastnı model aktiv

Model portfolia kapitalovych investic

Aktiva rozdelena do trıd: obligace, akcie, fondy, nemovitosti,

hypoteky, hotovost,..

Ucelne je delenı podle modelovanych ekonomickych parametru

(napr. doba splatnosti a ratingova kategorie u dluhopisu,

geograficka prıslusnost u akciı). Proto by mely byt trıdy aktiv dale

deleny do podtrıd podle relevantnıch aspektu: doba trvanı, region,

bonita, mena,..

Pritom je treba udrzet pocet podtrıd v primerenych mezıch s

ohledem na narocnost modelovanı.

Generator ekonomickych scenaru

- slouzı ke stanovenı externıch trznıch parametru pomocı vhodnych

simulacnıch postupu

Modelovanymi parametry mohou byt:

vynosove krivky, akciove indexy, kreditnı spread pro dluhopisy,

menove kurzy, vyvoj inflace, indexy cen nemovitostı,...

Prıklad generovanı ekonomickych scenaru

Prıklad generovanı ekonomickych scenaru

V prıkladu bylo pro generovanı bezrizikove urokove mıry pouzito

logaritmicko-normalnı rozdelenı se strednı hodnotou 4% a

variacnım koeficientem 20%.

Pro kreditnı spread bylo uzito logaritmicko normalnı rozdelenı se

strednı hodnotou 3%, variacnım koeficientem 20% a koeficientem

korelace s bezrizikovou urokovou mırou 50%.

Prıklad uzitı generovanych scenaru

Cena bezkuponoveno dluhopisu - uzije se hodnot ze scenare c. 7.

Prıklad uzitı generovanych scenaru

Cena akcioveho portfolia - predpoklada se kapitalizace dividend.

Prıklad uzitı generovanych scenaru

Menove riziko u nemovitosti - pouzije se cenovy index a menovy

kurz.

Model aktiv

V modelu aktiv jsou pouzity generovane scenare na jednotlive

podtrıdy aktiv z modelu portfolia. Agregacı se stanovı polozky

vstupujıcı do rozvahy a vykazu zisku a ztrat.

likvidnı saldo - prostredky z pojistneho (po odectenı skodnıch

vyplat), jeho investovanı se rıdı manazerskymi pravidly.

Slozenı portfolia aktiv na konci roku je jine nez na zacatku.

K urcenı likvidnıho salda je treba vystupu z pojistne-technicke casti

modelu.

Optimalizace portfolia

Internı model muze byt vyuzit pri hledanı struktury portfolia, ktera

by pri odpovıdajıcım kapitalovem pozadavku generovala optimalnı

vynos.

Varianty cılove funkce:

1) RORAC (Return on Risk Adjusted Capital)

RORAC = (ocekavany vynos)/(kapitalovy pozadavek)

- procentnı sazba vynosu vzhledem ke kapitalovemu pozadavku

Optimalizace portfolia

2) EVA (Economic Value Added)

EVA = ocekavany vynos - naklady na kaptial

naklady na kapital = (kapitalovy pozadavek)*(sazba nakladu na

kapital)

- udava, o kolik muze byt zvysena hodnota kapitalu pri zohlednenı

dane sazby nakladu na kapital

Riziko selhanı zajistitele

Pouzijeme metodu nakladu na kapital k vyjadrenı fer hodnoty

cedovane (predane k zajistenı) casti skodnı rezervy:

FV cedovane rezervy = NPV plnenı zajistitele

+ NPV cedovanych nakladu na kapital

- bonitnı prirazka

Cedovane naklady na kapital predstavujı usporu nakladu, bonitnı

prirazka predstavuje zvysenı nakladu, ktere zavisı na bonite

(ratingu) zajistitele.

Modelovanı selhanı zajistitele

Mohou nastat 2 prıpady:

1) V simulovanem roce dojde k selhanı zajistitele

→ snızenı plnenı od zajistitele, zvysenı rezervy na ocekavane ztraty

2) V simulovanem roce nedojde k selhanı zajistitele

→ pouze zmena bonitnı prirazky v dusledku zlepsenı nebo zhorsenı

bonity zajistitele

Ve stochastickem modelu je treba modelovat pravdepodobnost

selhanı a velikost selhanı.

Model pravdepodobnosti selhanı

Pokud pro jednoduchost predpokladame, ze v prıpade selhanı jde

vypadek ve vysi 100%, redukuje se modelovanı na otazku

pravdepodobnosti selhanı.

V literature se doporucuje modelovat pravdepodobnost selhanı jako

nahodnou velicinu pomocı vhodneho rozdelenı na intervalu

< 0, 1 >, ktere dostatecne umoznuje odddelit situaci, kdy udalost

nenastane, nebo nastane jen v malem rozsahu, od situace, kdy

udalost nastane plne, nebo ve znacnem rozsahu.

Model pravdepodobnosti selhanı

Prıklad - rozdelenı s hustotou

f (x) = y1, x ∈< 0, x0)

f (x) = y2, x ∈< x0, 1 > .

Pritom ma platit

P(X ∈< 0, x0)

)= 1− q

P(X ∈< x0, 1 >

)= q

E X = p.

Odtud lze odvodit: x0 = 2p− q, Var X = 1/3(q(1− q) + (p− q)2).

Prıklad

v case t = 0: expozice 1000, pravdepodobnost selhanı 1,02%

⇒ FV rezervy = 1000, FV selhanı (bonitnı prirazka) = 10.2

v case t = 1: expozice 1150, pravdepodobnost selhanı 0,8%

(nahodna)

⇒ FV rezervy = 1150, FV selhanı (bonitnı prirazka) = 9,2

vysledek: 151

Operacnı riziko

Definice OR dle Solventnosti II (totozna s Basel II):

Operacnı riziko je riziko ztraty vyplyvajıcı z nedostatecnosti nebo

selhanı vnitrnıch procesu, osob , systemu, nebo z vnejsıch udalostı.

Pod tuto definici spada pravnı riziko, nezahrnuje strategicke ani

reputacnı riziko.

Modelovanı OR - Loss Distribution Approach

LDA - modelovanı rocnıch uhrnu skod pomocı slozeneho rozdelenı

S =N∑

i=1

Xi ,

Modelujı se zvlast’ vyse skod a skodnı frekvence.

Typicky tezke chvosty (velka pravdep. vysokych hodnot).

Prıklady:

logaritmicko-normalnı rozdelenı:

f (x) = 1√2πσ x

exp

[−1

2

(ln x−µ

σ

)2]

, µ ∈ R, σ > 0,

Paretovo rozdelenı: f (x) = αθα

(x+θ)α+1 , α > 0, θ > 0.

Modelovanı OR - POT-metoda

zobecnene Paretovo rozdelenı:

Wγ,β(x) = 1− (1 + γ x/β)−1/γ

pro γ 6= 0, resp.

Wγ,β(x) = 1− exp(−x/β)

pro γ = 0. Parametr β je v obou prıpadech kladny. Pro γ ≥ 0 je

zobecnene Paretovo rozdelenı definovano pro nezaporna x , v

prıpade γ < 0 je nosicem rozdelenı interval [0,−β/γ].

OR v internım modelu - prıklad

Prıklad:

uhrn skod z OR: logaritmicko-normalnı, E S = 13, 26,√

Var S = 55, 64

celkova aktiva: normalnı, E A = 1000,√

Var A = 100

celkova pasiva: logaritmicko-normalnı, E P = 650,√

Var P = 81, 25

bilance ve strednı hodnote bez OR:

A P

1000 650

350 vl.kap.

1000 1000

OR v internım modelu - prıklad

Pro zahrnutı vlivu OR predpokladejme tvorbu rezervy na hrozıcı

ztraty ve vysi strednı hodnoty celkovych skod:

bilance ve str. hodnote:

A P

1000 650

13,26

336,74 vl.kap.

1000 1000

OR v internım modelu - prıklad

Manazerska pravidla

V realistickem modelu je treba zohlednit manazerska pravidla

odpovıdajıcı vnitropodnikove praxi pojist’ovny (investicnı strategie,

upisovacı politika, zajistna strategie,...)

Specialne: pravidla investovanı a desinvestovanı - nakladanı s

likvidnım saldem.

l.s. kladne → pravidla pro umıstenı na kapit. trhu (regulovano

predpisy)

l.s. zaporne → pravidla urcujı, ktere investice se majı rozpustit jako

prvnı

Model aktiv

Stanovenı kapitaloveho pozadavku

Po definici vsech vstupnıch parametru a manazerskych pravidel se

provadejı simulace hodnoty vlastnıho kapitalu na konci roku:

EK1 = EK0 +∑

ZZi ,

EK0...deterministicky vl. kapital na zacatku obdobı

ZZi ...vysledky jednotlivych modelovanych oblastı (poj.-tech. riziko,

kapitalove investice, OR,...)

Prıklad - simulace vlastnıho kapitalu

Stanovenı kapitaloveho pozadavku

Princip hodnoty v riziku:

ECα = E(EK1)− VaRα(EK1)

EKα...kapitalovy pozadavek ke konci roku

α = 0, 5%

Princip zbytkove hodnoty v riziku:

ECα = E(EK1)− TVaRα(EK1)

TVaRα(EK1) = E(EK1|EK1 ≤ VaRα(EK1))

Literatura

M. Heep-Altiner, H. Kaya, B. Krenzlin, D. Welter: Interne Modelle

nach Solvency II. Schritt fur schritt zum internen Modell in der

Schadenversicherung. Verlag Versicherungswirtschaft 2010.