PedologiePřednáška 8

Proudění vody v půdě, hydraulická vodivostproudění vody v nasyceném prostředí, Darcyho zákon,

nasycená hydraulická vodivost, proudění v nenasyceném

prostředí, proudění v kapiláře, funkce hydraulické vodivosti

Nasycené proudění

Darcy, H., 1856. Les Fountaines de la Ville de Dijon

Henry Darcy (1856) řešil problém filtrace vody pro

fontány v Dijonu.

Mnoha experimenty zjistil, že průtok vody válcem

naplněným pískem je:

• přímo úměrný rozdílu hydrostatických tlaků na počátku a konci válce

• nepřímo úměrný délce válce

• přímo úměrný ploše průřezu válce

• závislý na koeficientu lišícím se pro různé materiály

Henry Darcy

Darcyho zákon

Q = průtok vody za jednotkový čas [L3.T-1]

A = průtočný průřez [L2]

Ks = nasycená hydraulická vodivost [L.T-1]

�H = H1 – H2 (rozdíl hydraulických výšek) [L]

L= délka vzorku [L]

platí v plně nasyceném prostředí,

například pod pod HPV

L

Α∆ΗΚQ S=

LH2

H1

srovnávací rovina

z1

z2

h1

h2

Hi = hi+zi

pro:

Darcyho zákon přejde do

podoby:

zobecnění Darcyho zákona:

Pro 1D vertikální proudění

kde:

q ... objemový tok [L.T-1]

Q ... průtok vody [L3.T-1]

A ... plocha průtočného průřezu [L2]

L

HKq s

∆=

A

Qq =

dl

dHKq s=

HKdl

dHKq Ss ∇−=−=

poznámka: záporné znaménko proto že

grad H směřuje proti směru proudění

poznámka: záporné znaménko proto že

grad H směřuje proti směru proudění

Koeficient nasycené vodivosti Ks

(EN: saturated hydraulic conductivity)

Nazýván také (nesprávně) filtrační koeficient, Darcyho koeficient nebo

propustnost

Nejčastěji používané jednotky Ks jsou (m.s-1), (cm.d-1), (cm.s-1)

Ks je charakteristikou vztahu půda-voda. Pouze vlastnosti půdy charakterizuje:

kde ν je kinematická viskozita

Propustnost k(EN: permeability)

[ ]2Lg

K

g

Kk ss υ

ρµ

==

[ ]12. −TL

Koeficient nasycené vodivosti Ks a propustnosti pro různé materiály

k(c

m2)

K(c

m.s

-1)

K(m

.s-1

)

Zdroj: Císlerová a Vogel, 1998

Příklad 1 :Vertikálně orientovaný válec půdy: q=?

VODA

PŮDA

Ks=100cm/d

b=

10cm

L=

100cm

q

konst. hladina

volný výtok

1) Definujeme referenční úroveň a

souřadný systém

H = 0

H2

= H1 = z1

2

1

2) Definujeme body 1 a 2 se známými

hydraulickými výškami

= z2

+z

3) Určíme ∆H a vypočteme q pomocí

Darcyho zákona

1

12

12

.1100100

0110100 −−=

−−

−=

=−−

−=∇−=

dcm

zz

HHKHKq ss

Příklad 2 Horizontálně orientovaný válec půdy: q = ?

1) Definujeme referenční úroveň a souřadný systém, (x zleva

doprava)

2) Definujeme body 1 (vtok) a 2 (výtok). Pak x1 = 0 a h1 = 10 cm,

x2=100cm, h2 = 0, z1 = z2 = 0, L = x2 - x1 = 100 cm

3) Hydraulické výšky H1 = h1 + z1 = 10 cm, H2 = h2 + z2 = 0 cm

5) Darcyho zákon

( ) 112 .10100

)100(100 −=

−−=

−−=

∆−= dcm

L

HHK

L

HKq ss

b=0 cm

q

konst. hladina

volný výtok

H = 0 =

H2

= H1 = z1

2

1

1) grad H = = = 1,0H2 - H1

z2 – z1

100 - 0

100 - 0

= z2

+x

2) q pomocí Darcyho zákona

q = - Ks grad H = - Ks.1,0 = - Ks=

= -100 cm.d-1

VODA

PŮDA

Ks=100cm/d

L=

100 cm

grad H = 1 se nazývá jednotkovýgradient potenciálu

Hydraulická vodivost je rovna objemovému toku

při jednotkovém gradientu potenciálu

Příklad 3 :Vertikálně orientovaný válec půdy: grad H = ?, q=?

1) Měření Ks s konstantním spádem

VODA

PŮDA

Ks= ?

b

L

q

konst. hladina

volný výtok

Měření na vzorku půdy

H1 = 0 + 0 (spodní okraj)

H2 = b + L (horní okraj)

∆H = (b+L) - 0

pak:

Principy měření Ks

( )Lb

qL

H

qLKs +

−=∆

−=

( )LbAt

VL

HAt

VLKs +

=∆

=

V praxi se měří Q, resp. V/t, pak:

Q

A

vzorek

po

rézn

í de

stič

ky

měření Q

přepad

přítokkonstantní hladina

b

L

Obr. : http://www.utdallas.edu/~brikowi/Teaching/Geohydrology/LectureNotes/Darcy_Law/Permeameters.html

Experiment s konstantním spádem

Zvláštní úsilí vyžaduje dokonalé nasycení vzorku.

Pokud nasycení není dokonalé neměří se Ks.

Experiment s konstantním spádemJednoduchý set-up sestavený z „tempských cel“ (EN: Tempe Cell)

instalovaný přímo v terénu (povodí Uhlířská)

2) Měření Ks s proměnným spádem (EN: falling-head

permeameter)

Ks= ?

b(t)

L

q

Pokles hladiny

volný výtok

Měření na vzorku půdy v laboratoři

Hladina na počátku v úrovni b0

H1 = 0, H2(t) = L+b(t), ∆H(t) = [b(t) + L] - 0

upravíme na:

VODA

PŮDA

b0

( )L

LbK

dt

dbq s

+−==

dtL

K

Lb

db s−=+

( )Lb

LbLb

Lb

db b

b

b

b++

=+=+∫

0

1lnln 1

0

1

0

Integrace levé strany

b1

R. pokračování

∫∫ −=−=−11

0

1

0

t

ss

t

s

L

tKdt

L

Kdt

L

K

integrace pravé strany

dtL

K

Lb

db s−=+

L

tK

Lb

Lb s 1

0

1ln −=++

po dosazení:

Lb

Lb

t

LKs +

+=

1

0

1

ln

Zdroj: http://www.utdallas.edu/~brikowi/Teaching/Geohydrology/LectureNotes/Darcy_Law/Permeameters.html

Experiment s proměnným spádem

vzorekP

oré

zní

de

stič

ky

Q

Po

kle

s h

lad

iny

b0

L

b1

Lb

Lb

t

L

A

AK b

s ++

=1

0

1

ln

Pro různou plochu

vzorku a byrety vzorec

přechází na tvar:

db

d

kde:t1@. je doba poklesuhladiny vody v byretěAb @ průřez byretyA ... průřez vzorku

VODA

PŮDA

b

L

h0

h2 = b, z2=L

h1 = 0, z1 = 0

Ks je konstantní, h(z) = ?

Darcyho zákon:

z

zhK

L

LbK

L

HKq sss

+−=

+−=

∆−=

zh

zL

bz

L

hhh =

−= 12

V homogenním sloupci

nasycené půdy je průběh

tlakové výšky h lineární

Příklad 3 :Výpočet průběhu tlakové výšky h(z)=?

q

q12 q1z

1

2

b

L1

VODA

Ks

1

Ks

2

Ks N-1

Ks N

L2

LN-1

LN

Darcyho zákon je formálně shodný s Ohmovým zákonem.

Nasycené 1D proudění zvrstveným prostředím je

analogické elektrickému obvodu s resistory v sérii.

Analogií získáme vztah pro efektivní koeficient nasycené hydraulické vodivosti celého sloupce

půdy Kseff .

∑

∑

=

==N

jjs

j

N

j

j

seff

K

L

L

K

1

1

Nasycené 1D proudění ve vícervstvém prostředí

b

L1

VODA

Ks

1

Ks

2

Ks N-1

Ks N

L2

LN-1

LN

Pro výpočet průtoku pak můžeme použít Kseff

b VODA

LKseff

..... proudění ve vícervstvém prostředí

pokud bychom měřili Ks na zvrstveném

vzorku výsledkem

měření bude Kseff

q q

Nehomogenita a anizotropie Ks

=

=syysyx

sxysxx

szzszyszx

syzsyysyx

sxzsxysxx

KK

KKK

KKK

KKK

KKK

K

3D2D

Anizotropie: odlišné Ks v různých směrech

Nehomogenita: odlišné Ks pro různá místa oblasti

Tenzor nasycené hydraulické vodivosti

Ks Ks

Průtok vody přes topografický povrch do půdy nazýváme infiltrace a rychlost tohoto průtoku je rychlost infiltrace q.

Celkové množství zasáklé vody nazýváme kumulativní infiltrace I [L] - jako celková srážka nebo výpar v délkové míře, často v cm.

Infiltrace může být stacionární a nestacionární tzn. infiltrační rychlost není (nebo je proměnlivá v čase)

Měření Ks v terénu – infiltrační experimenty

Výtopová infiltrace:• dva soustředné válce• povrch půdy uvnitř

menšího válce opatříme hrotem

• v čase t = 0 nalijeme do válce vodu tak, že hrot zatopíme

• Po vynoření hrotu se přidává známé množství vody

• měří se čas vynoření hrotu• postup se opakuje• ze záznamu časových

intervalů, známých dávek a známé plochy válce se počítá kumulativní infiltrace a rychlost infiltrace v čase

dvouválcová metoda;

Měření Ks v terénu – Infiltrační pokus – 1D výtopová infiltrace

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0:00:00 0:30:00 1:00:00 1:30:00 2:00:00

kum

ula

tivn

ivn

í mn

ožs

tví [

l]

0.00E+0

3.00E-5

6.00E-5

9.00E-5

1.20E-4

1.50E-4

1.80E-4

infil

tra

ční r

ych

lost

[m

/s]

Kumulativní infiltrace

Infiltrační rychlost

( )dttqIt

∫=0

( ) sKtq =lim

dt

dIq =

Měření Ks v terénu – Infiltrační pokus – 1D výtopová infiltrace

Zdroj: E. Sulzman

• θ se může měnit v čase a prostoru

• existuje vztah θ(h) tj. retenční čára

• hydraulická vodivost závisí na θθθθresp. na h pro h < 0

• závislost K(θ), resp. K(h)se nazývá funkce hydraulické vodivosti

Hydraulická vodivost nenasyceného pórovitého prostředí

H)(Kq ∇−= θ

kde:q je objemový tokH je hydraulický výška

Darcy-Buckinghamův zákonEdgar Buckingham (1907)

Zdroj: Kutílek et al. 1994

Založena na retenční čáře půdy

Předpověď funkce hydraulické vodivosti

kde Ks je nasycená hydraulická vodivost získaná měřením

Teorie kapilárních modelů (Childs and Collis-George, 1950)

Předpokládá, že vztah nasycení-kapilární tlak může být odvozen se statistickým rozdělením velikosti pórů s použitím Laplaceovy rovnice pro kapilární tlak na zakřiveném fázovém rozhraní. Výsledkem jsou vztahy pro snadnou předpověď funkce hydraulické vodivosti.

Kapilární modely

( ) ( ) sr KKK θθ =

Statistické rozdělení velikosti pórů

-distribuční funkce F(r):

F r f r dr

r

( ) ( )= ∫0

kde f (r) frekvenční funkce relativního zastoupení plochy pórů různých poloměrů

Platí:

)()( rSrF =

kde r je poloměr pórů (póry s poloměry < r zaplněné vodou)

Složením S(r) a h(r) - retenční křivka:

S S r

h h r

S S h

c c

c

=

=

=

( )

( )

( )

F(r)

r

f(r)

r

1

F(r)

opakování .... retenční křivka a statistické rozdělení velikosti pórů

r

Kapilára

l

Obecný tvar Poiseuillova zákona pro průměrnou rychlost proudění v kapiláře:

udl

dHr

gu 2

8µρ

=

Výraz lze přepsat s hydraulickou vodivostí jedné kapiláry K1

Hydraulická vodivost jedné kapiláry

( ) ( ) ( ) 2

21

2

11 ,8

, rCrKrg

rKdl

dHrKu ==−=

µρ

kde Aw je plocha průřezu svazku kapilárnaplněného vodou

Střední rychlost ve svazku kapilár je integrací mikroskopických rychlostí přes plochu průřezu zaplněnou vodou

Hydraulická vodivost svazku kapilár

( ) dAuA

Av

wAw

w ∫=1

Určení hydraulické vodivosti svazku kapilárpředpoklady: - existuje vztah mezi Aw a r

- a tedy vztah ( )( )WW rF

drrf

A

dA=

( )( )

( ) ( )∫=Wr

W

W drrfrurF

rv0

1Pak střední rychlost ve svazku kapilár < rw je:

Po dosazení Poiseuillova zákona získáme objemový tok q

Hydraulická vodivost svazku kapilár

( ) ( )dl

dHdrrfrCrq

Wr

SW

−= ∫

0

2

2θ

(q = θv, F = S = θ/θS ):

Nebo jako závislost na tlakových výškách s použitím Laplaceovy rovnice:

( )dl

dH

hCCq

−= ∫

θ

θ0

22

2

1

1

kde: θ... objemová vlhkost

hc...tlaková výška

C1, C2 .... konstanty

r

C

grhc

1cos2==

ρϕσ

Laplaceova rovnice

relativní hydraulická vodivost Kr

kde: je nasycená hydraulická vodivost

Konstanty C12 a C2 se zkrátí

Hydraulická vodivost nenasyceného prostředí

( ) θθθ

dh

CCK ∫=0

2221

1

( ) ( )( )

∫

∫==

S

h

d

h

d

K

KK

S

r θ

θ

θ

θ

θθ

θ

02

02

( ) SS KK =θ

pro jednotkový gradient potenciálu , získáme vztah pro hydraulickou vodivost

1=dl

dH

Burdin (1953):

∫

∫θ

θ

θ

θ

θθ

=θs

s

r

h

d

h

d

K

0

2

0

22

)(

Mualem (1976): 2

0

0

2/1

)(

θ

θ

θ

θ=θ

∫

∫θ

θ

s

s

r

h

d

h

d

K

Zavádějí (θ/θs)b ..... vliv relativní tortuozity

Po dosazení vztahů pro retenční čáru, a po integraci získáme...........................

( )

≥

<

=θ

λ

b

bb

e

Hh

Hhh

H

h

1

( ) ( )( )

≥

<α−+=θ

01

01

1

h

hh

h

mn

e

Bro

oks

a C

ore

yva

n G

en

uch

ten

Nevíce používané modely předpovědi Kr

z Brookse a Coreyhoaλb

eer θ)(θK +=

...... vztahy pro předpověď funkce hydraulické vodivosti z retenční čáry

=(h)Kr

b

λba

b Hhh

H<

+ /

bHh ≥1

kde parametry a a b jsou pro kapilární model Burdina a=2 a b=3Mualema a=2 a b=2.5

rs

reθ

θθθθ

−−

= Efektivní vlhkost

21

5.0 11 ])θ([θ)(θK mmeeer −−=z van Genuchtenova

vztahu

Mualemův model

rs

re

θθ

θθθ

−−

=

...... vztahy pro předpověď funkce hydraulické vodivosti z retenční čáry

=(h)Kr

( ) ( )[ ]{ }( )[ ] 0

αh1

αh1αh1m/2n

2mnmn

<−+

−+−−−

h

01 ≥h

-2

-1

0

1

2

3

4

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

θ (-)

log

hc

písekhlinitopísčitá půdajílovitohlinitá půdajílovitohlinitá půda

-2

-1

0

1

2

3

4

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Kr (-)

log

hc

retenční čára funkce hydraulické vodivosti

VG

BC

VGM

BCM

Retenční čára a funkce hydraulické vodivosti některých půdních druhů a různé modely předpovědi Kr

Typické čáry nenasycené hydraulické vodivosti pro různé materiály

podtlakovým diskovým infiltrometremv terénu – měření rychlosti

ustálené infiltrace v

závislosti na nastaveném

podtlaku v disku

Pod diskem

předpokládáme jednotkový

gradient potenciálu

Měření funkce nenasycené hydraulickévodivosti v terénu

Měření funkce nenasycené hydraulickévodivosti – podtlakový infiltrometr

Jury a Horton 2004

Měření K(h) v terénu – příklad výsledků série infiltrací v jedné lokalitě- jílovitohlinitá půda

1.00E-07

1.00E-06

1.00E-05

1.00E-04

1.00E-03

-0.20-0.18-0.16-0.14-0.12-0.10-0.08-0.06-0.04-0.020.00soil-water suction at the tension disc [m]

K(h

) [m

/s]

soil surface

35 cm below surface

60 cm below surface

Kutílek, M., Kuráž, V., Císlerová, M. Hydropedologie, skriptum ČVUT 1994

Císlerová, M. Inženýrská hydropedologie, skriptum ČVUT 2001

Císlerová M., Vogel T. Transportní procesy, skriptum ČVUT

Jury, W.A. and R. Horton, Soil Physics. Sixth Edition, 2004.

M. E Sumner, Handbook of Soil Science 1998

http://edis.ifas.ufl.edu/AE266

Literatura

Tyto online přednášky vznikly v autorském kolektivuMichal Sněhota a Martin Šanda

R

r

kapilára

proudové vláknona poloměru R

L

H1 H2

Rozdíl hydraulických tlakových výšek

∆H = H2 – H1

síla způsobená ∆H =

= síla třecích sil vody na poloměru R

Bodová rychlost na poloměru R je:

Objemový průtok vody kapilárou Poiseuilleův zákon – laminární proudění (průtok kapilárou)

Q = -ρwgπ r4∆H

8 µ L

ν

µ ..... dynamická

viskozita (Pa.s-1)

Q Q

Proudění jednou kapilárou

( ) ( )22

4Rr

L

HgRu w −

∆=

µρ