ObsahFergusonova kubikaDefinice spline křivkyZákladní rovnice kubické spline křivkyOkrajové podmínky
Fergusonova kubika Základní segment kubické uniformní spline křivkyDáno:
počáteční a koncový boduniformní parametrizacetečné vektory v počátečním a koncovém bodě
1 , +ii PPrr
1 , +′′ ii PPrr
1 , 1 +== + itit ii
Fergusonova kubika Rovnice Fergusonovy kubiky:
Bázové funkce)()( )()( )( 312110 itFPitFPitFPitFPtP iiii −′+−′+−+−= ++
rrrrr
233
232
231
230
)(2)(
32)(
132)(1,0
kkkFkkkkF
kkkFkkkF
k
−=
+−=
+−=
+−=
>∈<
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
F0 F
1
F2
F3
Fergusonova kubika
Lagrangeova a spline interpolace
Globální – Lagrangeova interpolace
Spl
ine
inte
rpol
ace
•Globální interpolace•Stupeň závisí na počtu opěrných bodů•Globální „mimika“
•Interpolace po částech (spline)•Stupeň nezávisí na počtu opěrných bodů•Lokální „mimika“
„Spline stroj“
Spline je „matematický model chovánípružného laťkového křivítka“
Definice kubické spline křivkyDáno:
Opěrné body interpolační křivky (rovinné nebo prostorové), jejich polohové vektory značíme
ParametrizaceOkrajové podmínky (jedna z následujících variant)
vetknutívolné koncekřivka je uzavřená
nPPr
Lr
,,0
nttt <<< L10
nPP ′′rr
a 0
oPP nrrr
=′′=′′ 0
Definice kubické spline křivkyDefinice pomocí spline funkce
Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcíSložky této vektorové funkce jsou kubickými spline funkcemi parametru a splňují okrajovépodmínky
>∈< nttttP , ),( 0
r
Definice kubické spline křivkyPřímá definice
Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcíJejí složky jsou po částech kubické polynomySplňuje interpolační podmínky:Splňuje okrajové podmínky:Je třídy , tedy má spojité derivace do druhého řádu
>∈< nttttP , ),( 0
r
niPtP ii ,,0 ,)( Lrr
==
2C
Definice kubické spline křivkyParametrizace spline křivky
uniformní(konstantní krok parametru)
neuniformníchordálová (krok parametru je úměrný vzdálenosti)
obloukem („nerealizovatelný ideál“) – rovnoměrný pohyb…..
1,,0 ,11 −==−+ nitt ii L
1,,0 |,||)()(| 11 −=−≈− ++ nitttPtP iiii Lrr
Základní rovnice kubické spline křivky
Výpočet kubického uniformního splinu:určíme tečné vektory ve všech uzlech, tj.
generujeme jednotlivé Fergusonovy obloukynPP ′′r
Lr
,,0
3P′r
0P′r
1P′r
2P′r
4P′r
5P′r
6P′r
0P
1P2P
3P 4P
5P
6P
Základní rovnice kubické spline křivky
Základní vztah pro uniformní kubický spline (zajišťuje spojitost do druhéderivace):
Vztah je odvozen na základě výpočtu podmínek pro dotyk dvou Fergusonových kubik při spojitosti až do druhé derivace
1,,1 ),(34 1111 −=−=′+′+′ −++− niPPPPP iiiii Lrrrrr
Okrajové podmínky Vetknutí – doplnění dvou triviálních rovnic (je znám vektor první derivace v počátečním a koncovém bodě)Volné konce
Uzavřená křivka - cykličnost)(32
)(32
11
0110
−− −=′+′
−=′+′
nnnn PPPP
PPPPrrrr
rrrr
)(34
)(34
1001
110
−− −=′+′+′
−=′+′+′
nnn
nn
PPPPP
PPPPPrrrrr
rrrrr
Spline – příklady (3D)
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
5
10
15
20
−20
24
68
10
2
4
6
8
10
12
14
16
180
5
10
15
20
25
Chordálová parametrizaceChordálová parametrizace Silně neuniformní parametrizacet=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 21];
Silně neuniformní parametrizacet=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 21];
Velký kro
k parametru