LAPORAN TUGAS PEMODELAN MATEMATIKA

BRAZILLIAN NUT EFFECT

Disusun Oleh:

Grace - 10109011

William Kusmono - 10109015

Adrian Hartanto - 10109022

Matheus Bernardo Yesaya - 10109051

Wanandi Kartawinata - 10109103

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2012

1

1 Latar belakang Masalah

Efek kacang brazil pada awalnya dikenal sebagai muesli effect. Muesli sebe-

narnya merupakan nama sebuah sereal dimana sereal tersebut memiliki kompo-

sisi butiran-butiran yang berbeda ukuran. Efek kacang brazil ini pada awal-

nya dilihat dari sereal muesli ini, dimana ketika sereal ini diberikan sumber

getaran, butiran-butiran yang lebih besar ukurannya akan naik ke permukaan

sereal tersebut. Fenomena ini lalu memunculkan pertanyaan, ”Mengapa bu-

tiran yang lebih besar dapat muncul ke permukaan?”. Sudah banyak sekali

ilmuwan-ilmuwan dan pihak-pihak yang mencoba untuk memecahkan misteri

ini dan mencoba untuk membuat model dan formulasinya.

Apa sebenarnya yang membuat fenomena ini terjadi? Sampai saat ini belum

ada pihak yang dapat menjelaskannya. Sampai saat ini ada beberapa dugaan

terhadap fenomena ini, salah satunya adalah gravitasi. Karena pada efek ka-

cang brazil ini terdapat dua jenis partikel yang berbeda ukuran, sehingga ada

dugaan kalau partikel yang lebih kecil akan lebih mudah terpengaruh oleh

gaya gravitasi. Ada juga yang mengatakan, karena berbeda ukuran maka ter-

dapat celah-celah kecil sehingga partikel-partikel yang berukuran kecil ketika

diberikan getaran akan ”menyusup” ke dalam celah kecil itu, sehingga partikel

yang lebih besar akan terdorong ke atas, sehingga pada akhirnya dapat sampai

ke permukaan.

Fenomena efek kacang brazil ini tidak hanya terjadi pada sereal muesli atau

pada kacang brazil saja. Namun terjadi juga dalam pembentukan lapisan-

lapisan di bumi kita ini. Salah satu contohnya dikenal sebagai Inverse Grad-

ing batuan, istilah dimana posisi batuan berkumpul dengan ukuran yang sama

yang diakibatkan oleh getaran-getaran di bumi. Selain itu efek kacang brazil

ini juga banyak terjadi pada kehidupan sehari-hari kita, seperti menampi be-

ras, fenomena longsor salju, tempat sampah yang terkena guncangan dan se-

bagainya.

2

2 Tujuan Pemodelan

Efek kacang brazil ini sudah banyak sekali diteliti oleh berbagai pihak, namun

sampai sekarang belum ada formulasi yang dapat mewakili semua kondisi yang

terjadi. Maka dari itu karena kami melihat banyak manfaat yang bisa dida-

pat dari memformulasikan efek kacang brazil ini, maka kami merasa perlu

untuk mencoba mencari formula dari efek kacang brazil ini. Dalam kasus pe-

modelan kali ini kami mencoba mencari formulanya dengan cara memodelkan

eksperimen kami menggunakan rumur-rumus fisika seperti: Hukum Newton,

Hukum Archimedes, gaya gesek, dan gaya gravitasi. Setelah kita mendapatkan

model yang sesuai kami akan mencoba melihat hubungannya dengan fenom-

ena ini dengan melakukan berbagai eksperimen. Pada eksperimen kami akan

mengganti-ganti frekuensi dan mencoba melihat pengaruhnya terhadap Brazil

Nut Effect ini. Selanjutnya kami akan melihat gaya-gaya yang bekerja pada

model kami sebagai fungsi dari waktu dan frekuensi dan mencoba melihat ada

hubungan apa antara frekuensi dan fenomena ini.

3

3 Manfaat Pemodelan

Efek kacang brazil ini sebenarnya memberikan banyak manfaat bagi kehidu-

pan kita sehari-hari namun tidak banyak disadari oleh kita. Pemodelan ini

bertujuan untuk memformulasikan hubungan antara frekuensi dan fenomena

ini. Diharapkan solusi dari pemodelan ini dapat memberikan pandangan yang

baru dan ide-ide baru dalam mengembangkan penelitian Brazil Nut effect

ini. Diharapkan juga hasil dari pemodelan kami ini dapat digunakan untuk

penelitian-penelitian selanjutnya guna memberikan hasil yang lebih akurat dan

lebih baik sehingga pada akhirnya dapat ditemukan solusi dari fenomena ini.

4

4 Model Matematika

∑F = m.a

Fdrag + Farch + Fgrav = m.a

−1

2.cd.ρf .A.v

x + ρf .g.Varch − ρb.g.Vb = m.a

−1

2.cd.ρf .A.

d

dty(t)

x

+ ρf .g.Varch − ρb.g.Vb = m.d2

dt2y(t)

dimana

v = kecepatan naik benda(ms

)

ρf = massa jenis fluida( kgm3 )

A = luas cross section (m2)

cd = konstanta gesek benda

x = faktor kecepatan

g = gravitasi benda(ms

)

Vb = volume intruder(m3)

Varch = volume intruder yang tercelup dalam granular(m3)

h = tinggi granular (m)

dengan syarat y(0) = −0.11 + h dan y′(0) = 0

Karena ada 3 bentuk geometri yang berbeda maka formulasi untuk Varch dan

A untuk masing-masing intruder berbeda-beda pula

Untuk Model Prisma Segitiga Terbalik

Varch =

l.(h−y(t))2

2.hy(t) ≥ 0

l.h.w2

y(t) < 0dan A =

lh.(h− y(t)).w y(t) ≥ 0

l.w y(t) < 0

Untuk model Balok Persegi

Varch =

h.w.(h− y(t)) y(t) ≥ 0

h2.w y(t) < 0dan A = h.w, untuk ∀y(t)

Untuk model Balok Persegi Panjang

Varch =

l.w.(h− y(t)) y(t) ≥ 0

h.l.w y(t) < 0dan A = l.w, untuk ∀y(t)

5

5 Teknik Penyelesaian

Untuk memenuhi tujuan pemodelan kami, maka kami akan melakukan eksper-

imen dan membuat model matematika dari efek kacang brazil. Lalu hasil

eksperimen dan hasil model ini akan kami bandingkan dan kami lihat hubun-

gannya untuk menemukan solusi yang kita inginkan.

Untuk eksperimen, langkah langkahnya adalah sebagai berikut

1. Mempersiapkan alat dan bahan berupa speaker dan wadah, intruder den-

gan beberapa bentuk dan ukuran, granula, amplifier, dan NCH Tone

Generator

2. Memasukkan granula dan intruder kedalam wadah yang sudah kita rakit

bersama dengan speaker

3. Menyambungkan amplifier dan speaker ke laptop

4. Mengatur frekuensi pada software NCH Tone Generator ,menyalakannya

dan mencatat waktunya

5. Mengamati intruder yang digetarkan oleh NCH Tone Generator dan

menghentikan perhitungan saat seluruh permukaan intruder muncul ke

permukaan

6. Mengulang langkah (1) - (5) dan membandingkan data-data yang kita

peroleh untuk mendapatkan frekuensi yang ideal

Berdasarkan kondisi awal eksperimen akan dibentuk model matematikanya.

Setelah ditemukan model matematika untuk perhitungan efek kacang brazil,

akan dimasukkan semua data-data yang dimiliki dan akan didapat sebuah per-

samaan differensial orde 2 yang sulit ditemukan solusi analitiknya. Akan tetapi

akan lebih mudah jika dicari solusi numeriknya menggunakan software Maple

11 dengan metode Runge Kutte 45.

Contoh formulasi Maple:

restart; with(DEtools):

model := F [drag] + F [grav] + F [arch] = m.a:

a := diff(y(t), t$2); v := diff(y(t), t$1):

g := 9.8; ρf := 2644.8; ρb := 30; ρair := 1.2 :

6

w := 0.013;h := 0.02598; l := 0.03;Vb := 0.5.l.w.h;m := ρb.Vb :

F [grav] := −m.g;F [arch] := ρf .g.Varch :

cd := 0.6;x := 0.8;F [drag] := −cd.ρf .A.vx :

Varch =

l.(h−y(t))2

2.hy(t) ≥ 0

l.h.w2

y(t) < 0:

A =

lh.(h− y(t)).w y(t) ≥ 0

l.w y(t) < 0:

solusi0 := dsolve(model, y(0) = −0.8402e− 1, (D(y))(0) = 0, numeric,method =

rkf45) :

plots[odeplot](solusi0, [t, y(t)], 0..10); solusi0(100);

solusi0(′last′);

7

6 Penyelesaian

Dengan menggunakan metode numerik Runge Kutte 45 dan dengan bantuan

software Maple 11 maka didapatkan solusi dari persamaan differensial orde 2

pada model yang kami buat.

Solusi yang kami dapat sebagai berikut

1. Untuk bentuk geometri Prisma Segitiga Terbalik dengan ukuran 3cm

setiap sisinya dan ketebalan 1.3cm didapat

dimana solusinya adalah

t = 4.52953272656180

y(t) = 0.0232121740271484

diff(y(t), t) = 8.55769111654356.10−7

2. Untuk bentuk geometri Balok Persegi dengan ukuran 7cm setiap sisinya

dan ketebalan 1.3cm didapat

dimana solusinya adalah

t = 3.29035133781133

y(t) = 0.0692045214775413

diff(y(t), t) = 0.00000166999539790086

8

3. Untuk bentuk geometri Balok Persegi Panjang dengan ukuran 5cmx10cm

dan ketebalan 1.3cm didapat

dimana solusinya adalah

t = 3.97168737240853

y(t) = 0.0988649865998275

diff(y(t), t) = 6.85556355751072.10−7

9

7 Diskusi

1. Dari 9 model yang dibuat akan diambil 3 model yang dapat mewakili

pemodelan kami. Ternyata setelah dibandingkan hasil pemodelan dan

hasil eksperimen yang kami lakukan, hasilnya tidak berbeda jauh. Hal ini

menunjukkan bahwa model sudah cukup baik sehingga dapat mewakili

hasil eksperimen yang dilakukan. Walaupun ada variabel yang masih

kurang akurat

2. Berdasarkan hasil-hasil yang diperoleh, didapatkan frekuensi yang opti-

mal yaitu 12Hz

10

8 Pustaka

1. Sparisoma Viridi, Nuning Nuraini, Mohammad Samy, Ayu Fitriyanti,

Ika Kusuma Adriani, Nurwenda Amini, and Ganjar Santoso , ”Rise

Time of Spherical Intruder in Granular Fluid”, Simposium Nasional In-

ovasi Pembelajaran dan Sains 2011, 22-23 Juni, Bandung, Indonesia;

arXiv:1105.2987v1 [cond-mat.soft] 16 May 2011

2. M. E. Mobius, B. E. Lauderdale, S. R. Nagel, and H. M. Jaeger, ”Brazil-

nut effect: Size separation of granular particles”, Nature 414, 270 (2001)

11

9 Lampiran

Berikut lampiran data-data yang diperoleh melalui eksperimen

Figure 1: Tabel Rise Time Geometri Balok Persegi

Figure 2: Tabel Rise Time Geometri Prisma Segitiga Sama Sisi

12

Figure 3: Tabel Rise Time Geometri Balok Persegi Panjang

Figure 4: Tabel Perbandingan Rise Time Hasil Percobaan dan Hasil Permod-elan

13