Univerzita Karlova v Praze

Matematicko-fyzikln fakulta

BAKALSK PRCE

Nikola Pajerov

Leonardo a geometrie

Katedra didaktiky matematiky

Vedouc bakalsk prce: PhDr. Alena arounov, CSc.

Studijn program: Matematika Studijn obor: Matematika zamen na vzdlvn v kombinaci s deskriptivn geometri

Praha 2013

Tmto bych chtla velice podkovat vedouc tto bakalsk prce PhDr. Alen arounov, CSc. za velkou trplivost, spoustu cennch rad, zapjen literatury a za vbornou spoluprci. Dle dkuji vem, kte mi poskytli nov informace, byli mi oporou a pomohli mi najt sprvnou cestu pi tvorb prce. Vem velice dkuji.

Prohlauji, e jsem tuto bakalskou prci vypracovala samostatn a vhradn s pouitm citovanch pramen, literatury a dalch odbornch zdroj.

Beru na vdom, e se na moji prci vztahuj prva a povinnosti vyplvajc ze zkona . 212/2000 Sb., autorskho zkona v platnm znn, zejmna skutenost, e Univerzita Karlova v Praze m prvo na uzaven licenn smlouvy o uit tto prce jako kolnho dla podle 60 odst. 1 autorskho zkona.

V Kutn Hoe dne 10. 5. 2013 Nikola Pajerov

Nzev prce: Leonardo a geometrie

Autor: Nikola Pajerov

Katedra: Katedra didaktiky matematiky

Vedouc bakalsk prce: PhDr. Alena arounov, CSc., katedra didaktiky matematiky

Abstrakt: Prce se zabv geometrickou tvorbou Leonarda da Vinci. Je zde shrnuta historie pavimenta a mnohostn. V prci je zahrnut i popis konstrukce dvou poloh pavimenta a osmibodov konstrukce krunice. Dle jsou zde uvedeny i vlastnosti a vztahy mezi jednotlivmi pravidelnmi, polopravidelnmi a hvzdicovmi mnohostny. V posledn kapitole je uveden ivotopis Leonarda da Vinci a zmnka o jeho kodexech. Tato kapitola je zamena tak na pavimentum a rekonstrukci linern perspektivy v nkterch jeho obrazech a tak na porovnn Leonardovch kreseb mnohostn se skutenm obrazem tlesa v dan poloze a velikosti v linern perspektiv. Uitel zde mohou najt nmty pro tvorbu v programech GeoGebra a Rhinoceros, ve kterch je rekonstruovna linern perspektiva, elipsy a mnohostny.

Klov slova: Leonardo da Vinci, linern perspektiva, mnohostn, pavimentum

Title: Leonardo and geometry

Author: Nikola Pajerov

Department: Department of Mathematics Education

Supervisor: PhDr. Alena arounov, CSc., Department of Mathematics Education

Abstract: This bachelor thesis deals with geometrical creation of Leonardo da Vinci. History of pavement and polyhedra is summarized in here. The description of construction of the two pavements position and eight-point construction are covered in this thesis. The charasteristics and relations among every single regular, semiregular and star-shaped polyhedra are mentioned here too. In the last chapter there is mentioned the Leonardo da Vincis biography and mention of his codices. This chapter is also concentrated on the pavement and reconstruction of linear perspective in some of his pictures and also on comparison Leonardos pictures of polyhedra with real image of the solid in fixed position and large in linear perspective. Teachers can find here theme for their creation in programmes GeoGebra and Rhinoceros, where the reconstruction of linear perspective, ellipses and polyhedra are reconstructed.

Keywords: Leonardo da Vinci, linear perspective, polyhedron, pavement

Obsah

vod 1 1. Pavimentum 2

1.1 Pavimentum a jeho polohy 2

1.2 Historie pavimenta 2

1.3 Rzn uit tvercov st 7

1.4 Popis konstrukce prelnho pavimenta 11

1.5 Popis konstrukce nronho pavimenta 14

1.6 Osmibodov konstrukce krunice 15

2. Mnohostny 19

2.1 Pravideln mnohostny 19

2.2 Historie pravidelnch mnohostn 21

2.3 Polopravideln mnohostny 22

2.4 Historie polopravidelnch mnohostn 24

2.5 Hvzdicov mnohostny 25

2.6 Historie hvzdicovch mnohostn 27

3. Leonardo da Vinci 28

3.1 ivotopis 28

3.2 Leonardovy kodexy 34

3.3 Leonardo, perspektiva a tvercov s 35

3.4 Leonardo, mnohostny a transformace 43

3.5 Leonardovy nkresy mnohostn v Pacioliho knize 45

Zvr 54

Seznam obrzk 55

Seznam pouit literatury 57

1

vod

Ve sv bakalsk prci jsem se pokusila ovit, jak dobe ve svch obrazech a skicch pouval Leonardo da Vinci linern perspektivu a jak pesn jsou jeho obrzky mnohostn, kter kreslil pro Pacioliho knihu Bosk pomr. ten je strun seznmen s histori tvercov dlaby v linern perspektiv, kter se v renesanci asto uvala, a tak s histori mnohostn.

Pedpokldaj se tenovy znalosti zklad linern perspektivy a bn uvanch konstrukc, jako napklad Rytzovy konstrukce elipsy. Pi rekonstrukci mnohostn se pot s tm, e si ten doke pedstavit dan mnohostn a tedy si odvod nkter postupy ze zkladnch vlastnost mnohostn (napklad jak stny danho tlesa jsou navzjem rovnobn atd.). V tto prci byly vyuity programy GeoGebra a Rhinoceros pro konstrukci linern perspektivy v obrazech, elips a rekonstrukci mnohostn.

Prce me bt inspirac pro mnoh uitele matematiky a deskriptivn geometrie. Studentm lze napklad ukzat konstrukci kueloseky z pti bod v programu GeoGebra (zkonstruovat a nsledn zkontrolovat sprvnost pomoc funkce v programu, nebo ovit i poetn), nebo t poetn ovit rovnost obsah tvar v Hippokratov msku nebo korektnost jinch zmnnch Leonardovch transformac. Pro zrunj studenty je pak mon konstrukce nkterch mnohostn napklad ze pejl, ppadn jejich nkres a nsledn i konstrukce v perspektiv (pro ky, kte maj deskriptivn geometrii). Pro lep pedstavivost je dobr vyut i program Rhinoceros a teba nechat i studenty njak leh tleso i jeho obraz si vytvoit.

2

1. Pavimentum

Nsledujc kapitola shrnuje historii kreslen obrazu tvercov dlaby, sprvn a nesprvn konstrukce pavimenta, nkolik jejch patnch obraz, jeho vyuit a nakonec postupy pi konstruovn prelnho a nronho pavimenta a

osmibodovou konstrukci elipsy, ve kter se pavimentum sten vyuv.

1.1 Pavimentum a jeho polohy:

Pavimentum je obraz tvercov dlaby, kter se vyuv zejmna v perspektiv, kde se umisuje na pdorysnu nebo na rovinu rovnobnou s pdorysnou nebo na rovinu kolmou na nrysnu i pdorysnu. Me mt bu prelnou nebo nron polohu.

Preln poloha dlaby je takov, kde je jedna ada (preln) spr rovnobn se zkladnic a druh ada navzjem rovnobnch spr kolm na nrysnu. Perspektivn obrazy prelnch pmek (mluva: dle budeme pst jen prelnch pmek, z kontextu bude zejm, e jde o obrazy) maj v perspektiv nevlastn bnk, proto jsou vechny rovnobn se zkladnic. Naopak perspektivn obrazy kolmch pmek (mluva: dle budeme pst jen kolmch pmek) na nrysnu se sbhaj v hlavnm bod. Oproti tomu v nron poloze pavimenta se jedna ada pmek, rznobnch se zkladnic, sbh v jednom bnku na horizontu a druh ada se sbh v druhm bnku.

1.2 Historie pavimenta:

tvercov dlaba se zprvu umisovala ve vodorovn rovin pouze tak, aby jedna sada navzjem rovnobnch ar byla rovnobn s nrysnou, co je preln poloha pavimenta. U nkterch autor tvoily obrazy hlopek tverek sti parabol umlci vdli, e se vzdalujc dladice zmenuj, ale zvolili si nesprvn pomr vzdlenost mezi sousednmi rovnobnmi prelnmi pmkami. Jin mali

3

zase neznali dobe geometrii a kreslili jen podle pocitu a nahodilch pravidel. Pklad patnho pavimenta meme vidt na obrzku 1.1, kde se nejsp dolnosask mistr snail postavou v poped zakrt patn se sbhajc spry.

Obr. 1.1: Dolnosask mistr (1410), Lneburg (pevzato z [6])

Toto preln pavimentum bylo hojn mali uvno napklad jako pomcka pro uspodn mstnosti, co znamen, e mali museli konstrukci pavimenta provdt sprvn. Dle se pavimentum uvalo tak jako pomcka pro zkreslen vek v rznch vzdlenostech od nrysny (tedy se pouvala tvercov s v rovin kolm na pdorysnu i nrysnu), k uren vzjemn velikosti postav i jako zajmav strop.

V renesanci byla populrn takzvan florentsk metoda konstrukce prelnho pavimenta, kter vak byla nesprvn (jet dal nesprvn konstrukce je pozdj Holbeinova metoda obrzek 1.3). Florentsk metoda (obrzek 1.2) je takov metoda, kde pro pavimentum v preln poloze je vzdlenost obraz dvou sousednch prelnch spr rovna dvma tetinm vzdlenosti pedchozch spr. Florentskou metodu rozebr Leon Battista Alberti (1404 1472) ve sv knize O malstv kniha tet (1436). Tento postup popsal jako patn a uvedl dv sprvn

4

metody, ktermi jsou: construzione legitima (pomocn bokorys pro zjitn zkreslen vzdlenost pmek rovnobnch se zkladnic) a construzione albertina (preln pavimentum konstruovan pomoc hloubkovch pmek a diagonly). Oba postupy meme vidt na obrzku 1.2. Prvn metoda je vak Albertimu pisuzovna neprvem, nebo nen jejm autorem. Tuto metodu toti znali i jeho souasnci. Pomoc pavimenta Alberti tak ukzal, jak zkonstruovat perspektivn obraz krunice vepsan do zvolench spr tvercov dlaby lec v pdorysn a za nrysnou. Obrazem byla tedy elipsa a jej sestrojen mohlo bt znan pesn, pokud se vyuily dva opsan tverce krunici, jejich obrazy stran byly pak teny s body dotyku elipsy (ta se sestrojila piblin proloenm kivkou podobnou elipse tmito body dotyku a v nich s odpovdajcmi tenami). Tato metoda se vyuv i dnes osmibodov konstrukce krunice. Dal metodu popisuje Jean Plerin-Viator (zhruba 1445 1524) v knize De artificiali Perspectva (1505, O uml perspektiv). Nkolik obrzk z jeho knihy meme vidt ne obrzek 1.4 a 1.5.

Obr. 1.2:. Zleva Florentsk metoda, construzione legittima, construzione albertina (pevzato z [7])

Obr. 1.3: Zleva dv Dantiho nesprvn konstrukce, tet je nesprvn Holbeinova metoda (pevzato z [7])

5

Obr. 1.4: Viator Perspekiva (1509) (pevzato z [6])

Obr. 1.5: Viator Perspektiva (1509), nanen vek (pevzato z [6])

O zobrazen pavimenta se pokusil ji Ambrogio Lorenzetti (1290 1348) v obraze Zvstovn, ale hlavn bod umstil moc nzko. Diagonla pavimenta se, dky nesprvnmu postupu, zobrazila jako st paraboly obrzek 1.6.

6

Obr. 1.6: Ambrogio Lorenzetti Zvstovn (pevzato z [11])

I Leonardo da Vinci vyuval preln pavimentum (zejmna je nzorn vidt v obraze Klann t krl), kde hlavn bod umisoval vtinou do stedn sti obrazu (nap. v Posledn veei). Nkte mali vak perspektivu pavimenta pouvali nesprvn, jako napklad Jan van Eyck (zhruba 1390 1441) v obraze Madona s dttem a dontorem, korunovan andlem, kde hlopky pavimenta nemaj spolen bnk obrzek 1.7 (rekonstrukce obrazu pomoc programu Geogebra).

7

Obr. 1.7: Rekonstrukce obrazu Madona s dttem a dontorem, korunovan andlem (podkladov obrzek pevzat z [14])

1.3 Rzn uit tvercov st:

Linern perspektiva dlala mnohm malm v minulosti velk problm, a proto vynalezli pomcku pro pesnj vystien relnho objektu - pomocnou tvercovou s. Tato s byla v renesanci nejdve vytvoena tak, e byla mka vetkvna do prhlednch zvoj, kter se umstily mezi oko a pedmt mali tak mli pomocn souadnicov systm (viz. obrzek 1.8). Pozdji se uvala s z motouz a s nakreslen na sklennou desku.

Obr. 1.8: Drerv perspektograf uit tvercov st (pevzato z [1])

8

Pomoc tvercov st mali tvoili takzvanou kuriosn perspektivu. Ta spovala v tom, e skica byla rozdlena opt tvercovou st a promtnuta ikmo na stnu, take vznikl zkreslen obraz, kter se z uritho msta (odkud byl malovn) jevil jako nezkreslen (viz. obrzek 1.9). Tato metoda se tak vyuvala pi tvorb divadelnch kulis.

Obr. 1.9: Niceron Kuriosn perspektiva (1652) (pevzato z [6])

V baroku mali eili pomoc st perspektivu na klenbch a bonch stnch sn tmto zpsobem (viz. obrzek 1.10): Na klenbu se malovalo pomoc rovinn skicy, kter se rozdlila na tvereky a pod klenbou se vytvoila velk tvercov s. Zvolilo se msto, odkud mla bt malba pozorovna a tam se umstila pochode, kter osvtlila velkou provzkovou s a jej stn se na klenb obthl uhlem (to by mohlo bt ve velkch prostorch patn provediteln). Pak se postupn po stech tvoila malba podle skicy (kontrolovala se sprvnost obrazu pi pohledu z danho msta - oka). Tento pklad vyuit uvd F. Kadevek ve sv knize Geometrie a umn v dobch minulch.

9

Obr. 1.10: Malba kleneb pomoc tvercov st (pevzato z [6])

tvercov s byla pozdji pouita pro tvorbu perspektivnho relifu. Ten vyuil napklad Donato dAngelli Lazzari, zvan Bramante, pi rekonstruovn kostela San Satiro v Miln od roku 1482, kde nahradil tmto zpsobem apsidu pouhm obrazem na zdi (viz. obrzek 1.11 a 1.12).

10

Obr. 1.11: Pdorys kostela San Satiro v Miln, v horn sti mla bt apsida, paprsky naznauj tvorbu relifu na eln stn (pevzato z [6])

Obr. 1.12: Kostel San Satiro v Miln, zadn stna je namalovan relif (pevzato z [6])

11

1.4 Popis konstrukce prelnho pavimenta:

Obr. 1.13: Prostorov pohled na een prelnho pavimenta

Nech tvercov dlaba le v pdorysn . Obraz tto dlaby bude leet v nrysn , kter je kolm na pdorysnu. Prsenice tchto dvou rovin je zkladnice z. Mali v renesanci postavili lovka na pdorysnu, ped nrysnu, kter pozoroval dlabu lec za nrysnou okem O. Tedy se ve vzdlenosti, stejn jako vka lovka, nad z vedla v nrysn rovnobka se zkladnic, kter se nazv horizont h. Hlavn bod H je nrysem bodu O a le na horizontu. Pdorysem bodu H je bod Z, lec na zkladnici (tedy |ZH| = vka lovka). Vzdlenost oka od nrysny se nazv distance d, z eho meme vidt, e vzdlenost bodu H od oka O je distance d. Stejn tak vzdlenost pdorysu bodu O od bodu Z je d. Pokud bychom bod O sklopili do nrysny okolo h na svislou pmku HZ, pak bychom dostali takzvan doln distannk Dd nebo horn distannk Dh. Na horizontu by sklopenm bodu O kolem pmky HZ vznikl prav distannk Dp i lev distannk Dl. (obrzek 1.13)

tvercov dlaba le v pdorysn, ale meme si ji otoit kolem zkladnice do nrysny (pro pehlednost pod zkladnici). Vme, e v perspektiv se rovnobn pmky kolm na nrysnu, nebo-li hloubkov pmky, zobraz jako rznobky, protnajc se v bod H, jejich bnku. Jejich prseky se zkladnic jsou samodrun body, tedy se v nich protn dan hloubkov pmka se svm obrazem. Sta, kdy spojme dan prseky zkladnice s kolmmi sprami dlaby na s bodem H a dostaneme tak perspektivn obraz hloubkov pmky a tedy jednu perspektivn adu spr.

12

Nyn jsme si popsali konstrukci obraz jedn sady spr dlaby, te se podvejme na druhou sadu. Navzjem rovnobn pmky rovnobn i s nrysnou se zobraz jako rovnobky, jen rzn vzdlen, nebo se protnaj v nevlastnm bnku. Tak diagonly tverc dlaby, kter jsou navzjem rovnobn, se zobraz jako rznobky, protnajc se v danm bnku.

Podle construzione legittima nejsp v renesanci vyuvali jeden z distannk na horizontu, co jim tak pomohlo pi konstrukci pavimenta v rovin kolm na pdorysnu i nrysnu. (Tuto polohu pavimenta vyuvali spolu s prelnm pavimentem jako pomocnou s.) Na pmku z se nanesou od bodu Z vzdlenosti spr dlaby (jako bychom se na tuto situaci dvali zboku). Pot se z bodu Dl vedou pmky do nanesench bod na z. Konkrtn v naem obrzku se spoj Dl a Po, tato spojnice protne pmku HZ, m vznikne bod P, kterm prochz prvn spra pavimenta rovnobn se z. Takto postupujeme i se zbylmi nanesenmi body dlaby. Vznikly nm tedy perspektivn prmty druh ady spr dlaby. (obrzek 1.14)

Obr. 1.14: Konstrukce prelnho pavimenta pomoc bonho pohledu

13

Obdobn by se to dalo provst tak s Dd i Dh. Pro pehlednost zvolme Dh a otome dlabu kolem zkladnice smrem pod ni. Hloubkov pmky sestrojme jako v pedchozm postupu. Nyn spojme bod hrany dladice Ro s Dh a ta nm protne danou hloubkovou pmku v bod R. Tm jsme zskali bod, kterm prochz jedna spra pavimenta rovnobn se zkladnic. Takto postupujeme pro dal body, ktermi vedou dal preln spry dlaby. (obrzek 1.15)

Obr. 1.15: Konstrukce prelnho pavimenta pomoc hornho distannku

14

Pouit dolnho i hornho distannku (i jeho redukci) popisuje pravdpodobn a Kadevek ve sv knize Perspektiva. Prav a lev distannk vyuv ji zmnn construzione albertina (pouze pro diagonlu tverce, nikoliv pro obecnou pmku v pdorysn).

1.5 Popis konstrukce nronho pavimenta:

Obr. 1.16: Prostorov pohled na een nronho pavimenta

Konstrukce z, h, H, Z, O a Dh jsou shodn s pedchozm postupem. tvercov dlaba le opt v pdorysn, ale dn ada jejch spr nen rovnobn s nrysnou. Dlabu si otome do nrysny, pod zkladnici. Nyn potebujeme zskat bnk U pro jednu adu spr pavimenta a bnk V pro druhou adu spr. Tedy vedeme bodem Dh rovnobku s jednou adou a ta nm protne horizont v bod U a stejn sestrojme rovnobku s druhou adou, kter protne horizont v bod V. (obrzek 1.16) Vme, e body, kde spry pavimenta protnou zkladnici, jsou samodrun. Tedy napklad z bodu Q vedeme pmku do bnku V a vznikne nm perspektivn pmka pavimenta. Stejn to meme udlat se vemi zbylmi sprami. (obrzek 1.17)

15

Tak bychom mohli zobrazit napklad bod Po, prsek dvou spr. V tomto ppad bychom vedli svislici z tohoto bodu, kter by protla z v bod R. Odtud bychom dle vedli pmku do bodu H a kde by tato pmka protla pmku QV, tam by leel bod P. (obrzek 1.17)

Obr. 1.17: Konstrukce pavimenta v nron poloze

1.6 Osmibodov konstrukce krunice:

Jeliko se pomoc pavimenta me sestrojit perspektivn obraz krunice, mali v renesanci tento postup hojn vyuvali. Tedy bychom si mli uvst, jak se pi takovto konstrukci krunice postupuje.

16

Nejprve si zkonstruujeme zkladn prvky perspektivy, tedy z, h, H, Z a Dl (podle pedchozho postupu u pavimenta). Krunice le opt v pdorysn za nrysnou (jako poloha prelnho pavimenta). Tuto krunici si otome do nrysny pod zkladnici (pro pehlednost) a opeme j dva tverce jeden, kter m dv strany rovnobn se zkladnic, a druh takov, e jeho strany se zkladnic svraj 45. Jak si meme vimnout tverce jsou podobn polohm pavimenta, tedy takto mohli mali se znalostmi tvercov dlaby sestrojit velmi pesn obraz krunice z osmi bod a osmi teen.

Ukame si, jak by postupovali v renesanci: Prvn tverec v perspektiv sestrojme stejn, jako pavimentum v preln poloze (pomoc hloubkovch pmek a bonho pohledu). Druh tverec pak meme sestrojit pouze pomoc prsek s prvnm tvercem. Vme, e obraz prseku Po m leet na preln stran obrazu tverce a hloubkov pmce, kterou si snadno sestrojme. Dle tato strana druhho tverce, kter prochz bodem Po, prochz tak samodrunm bodem R=Ro na zkladnici. Tedy mme dva body dan strany. Pmka PR protn rovnobku se zkladnic jdouc obrazem stedu krunice v bod T. Ten sta spojit s bodem, kde hloubkov pmka protn protj prelnou stranu prvnho tverce, tedy s bodem Q. Zskali jsme druhou stranu neprelnho tverce. Zbyl dv se zkonstruuj stejnm postupem. Tmto postupem jsme zskali osm teen a bod dotyku elipsy (obrazu krunice), odpovdajcm osmi bodm dotyku krunice s opsanmi tverci. (obrzek 1.18)

17

Obr. 1.18: Osmibodov konstrukce krunice

Dnes bychom postupovali ponkud pesnji: Ve by se odehrvalo stejn, a na volbu distannku, kter pro pehlednost zvolme horn. Sestrojen hloubkovch pmek je stejn. Pomoc bodu Ao a jeho obrazu A sestrojme, postupem u prelnho pavimenta, jednu prelnou stranu tverce a stejnm postupem i tu protj. Nsledn sestrojme podle postupu u nronho pavimenta bnky U a V pro dan strany neprelnho tverce a pot spojme samodrun body, jako napklad R=Ro, s danm bnkem strany. Pmky p a q tverce meme sestrojit bu pomoc samodrunch bod, nebo pomoc bodu Bo a jeho obrazu B na hloubkov pmce (viz. konstrukce bodu P u nronho pavimenta), kdy B spojme s U a V a zskme dan pmky. Nyn meme piblin vykreslit elipsu pomoc zjitnch bod dotyku a jejich teen. Pro pesnj konstrukci nm bude stait najt pouze hloubkovou pmku jdouc stedem krunice a body, kde protn preln tverec. Tuto

18

perspektivn seku bychom rozplili a nali na vzoru tto pmky bod So, vzor stedu seky S. Bodem So bychom vedli rovnobku se z a zskali prmr na krunici, tedy body Co a Do. Znmm postupem najdeme jejich perspektivn obrazy C a D. Zskali jsme dva sdruen prmry pro Rytzovu konstrukci (vyznaen lut). Pomoc n zskme ji pesn tvar elipsy. (obrzek 1.19)

Obr. 1.19: Konstrukce elipsy pomoc sdruench prmr a Rytzovy konstrukce

19

2. Mnohostny

Lid ji odnepamti znali tvary rznch mnohostn. Pozdji se o n zaali zajmat geometi, umlci a vdci. Tvary rznch mnohostn meme najt napklad ve vzhledu organism i krystal (nap. kuchysk sl m tvar krychle).

V tto kapitole se budeme zaobrat tm, jakmi typy mnohostn se umlci a vdci v renesanci zabvali a jak se definuj a ekneme si tak nco o jejich historii. Konkrtn se budeme zabvat tmi mnohostny, kter Leonardo da Vinci vytvoil jako ilustraci k Pacioliho knize Bosk pomr (1496 1498) krom jehlanu, vlce, kuele i koule, zde najdeme Leonardovy obrzky pravidelnch, polopravidelnch a hvzdicovch mnohostn, tedy si nco ekneme pouze o tchto tech typech mnohostn.

Ji dvno ped renesanc se uenci zabvali mnohostny a zkoumali je. O obdob do konce 17. stolet, tedy do konce renesance, si povme v historii jednotlivch mnohostn. Nyn si eknme jen nco mlo o dob po renesanci. Mezi 17. a 19. stoletm, bylo na geometrii pohleno obecnji. V tto dob byl prv francouzsk filosof, matematik a fyzik Ren Descartes (1596 1650) prvnm, kdo se zabval zkonitostmi mnohostn. Po nm pak uvedl vztahy v mnohostnech vcarsk matematik a fyzik Leonhard Euler (1707 1783) Eulerv vztah (v+s = 2+h, kde v je poet vrchol mnohostnu, s je poet stn a h poet hran). Dal francouzsk geometr a fyzik Louis Poinsot (1777 1859) napsal dlo o mnohohelncch a mnohostnech, kde uvedl sv objevy novch dvou hvzdicovch mnohostn, velkho dvanctistnu a velkho dvacetistnu (t popsal i zbyl dva mnohostny, objeven Keplerem). (viz. [10], str. 50-52, 60-61)

2.1 Pravideln mnohostny:

Tato tlesa jsou pravideln konvexn mnohostny, kter maj nsledujc vlastnosti: vechny stny jednoho mnohostnu maj stejn tvar pravidelnho mnohohelnku, z kadho vrcholu mnohostnu vychz stejn poet hran a vrcholy

20

le na opsan kulov ploe mnohostnu, kter m sted shodn se stedem vepsan kulov plochy stejnmu pravidelnmu mnohostnu. Jak ji popsal Platn (427 347 p. n. l.), tchto tles existuje pouze pt (viz. obrzek 2.1). Nkter jsou mezi sebou duln, co znamen, e vrcholy jednoho mnohostnu le ve stedech stn druhho mnohostnu ale i naopak. tystn je tedy duln sm se sebou, krychle s osmistnem a dvanctistn s dvacetistnem. Dualitou mezi tmito tlesy se zabval ji Johannes Kepler (1571 1630). Dualita tles je vidt v tabulkce 1, podvme-li se na poet hran nebo poty stn a vrchol napklad estistn m 6 stn a k tomu duln osmistn m 6 vrchol, kter pesn le ve stedech stn estistnu.

tystn estistn osmistn dvanctistn dvacetistn Obr. 2.1: Pravideln mnohostny (pevzato z [13])

nzev tlesa tvar stn poet stn

poet hran

poet vrchol

Eulerv vztah

tystn rovnostrann trojhelnk 4 6 4 4+4 = 2+6

estistn tverec 6 12 8 8+6 = 2+12

osmistn rovnostrann trojhelnk 8 12 6 6+8 = 2+12

dvanctistn pravideln ptihelnk 12 30 20 20+12 = 2+30

dvacetistn rovnostrann trojhelnk 20 30 12 12+20 = 2+30

Tabulka 1: Pehled pravidelnch mnohostn a jejich vlastnost (erpno z [8],[5])

21

2.2 Historie pravidelnch mnohostn:

Jedny z prvnch nlez model pravidelnch mnohostn jsou kamenn tlesa z doby 2000 p. n. l. ze Skotska. Ji Pythagoras ze Samu (zhruba 570 500 p. n. l.) popisoval pravideln mnohostny. Znal pravdpodobn tystn, krychli a dvanctistn. Model etruskho dvanctistnu (nalezenho u Padovy) pochz z let 500 p. n. l., avak v t dob pravdpodobn nedokzali pmo sestrojit toto tleso, kvli jeho ptihelnkovm stnm. Bylo nalezeno i mnoho dalch model. Podle historik pravdpodobn prvn konstrukci pravidelnch mnohostn vytvoil Theaittos z Athn (zhruba 417 369 p. n. l.). Dalm badatelem tchto tles byl ji zmnn Platn, kter ve svm dle Timaios (asi 350 p. n. l.) popsal pt pravidelnch mnohostn. Znal tak polopravideln kuboktaedr. (viz. [10], str. 14) Domnval se, e svt a elementy jsou sloeny z dokonalch stic. Tedy ohni piadil tystn (asi pro jeho ostr hrany), Zemi krychli (robustn a pevn), vzduchu osmistn a vod dvacetistn (hlad ne ostatn tlesa, tedy se lpe val). Nakonec dvanctistn piadil k bomu uspodn nebes (tzn. vesmr je tvaru dvanctistnu). Po nm ijc Eukleids (zhruba 325 260 p. n. l.) shrnul matematiku a geometrii ve svm dle Zklady. V jej posledn, tinct, knize rozebr konstrukce platnskch tles, kde samozejm dokzal, e neexistuj jin pravideln konvexn mnohostny.

Johannes Kepler ve sv knize Tajemstv vesmru (1596), vyuval platnsk tlesa k popisu vzdlenost prvnch esti planet od Slunce, kter kolem nj obhaj (byl toti ovlivnn teori Mikule Kopernka (1473 1543)). Saturnu tedy piadil krychli, kde po jej opsan kulov ploe se stedem ve Slunci ml obhat Saturn. Jupiter pak ml opisovat krunici, lec na kulov ploe vepsan tto krychli. Do

kulov plochy pak Kepler vepsal tystn a po vepsan kulov ploe tystnu pak

ml obhat Mars. Mezi Marsem a Zem ml bt dvanctistn, mezi Zem a Venu dvacetistn a mezi Venu a Merkurem ml leet osmistn. (viz. obrzek 2.2)

22

Obr. 2.2: Keplerovo vkldn mnohostn mezi obn drhy planet (pevzato z [13])

2.3 Polopravideln mnohostny:

Tato tlesa jsou opt konvexn a jejich stny tvo pravideln mnohohelnky, avak dvou nebo t druh. U kadho vrcholu se protn stejn poet stn kadho druhu. Tchto mnohostn je celkem patnct (viz. obrzek 2.3), piem tinct jich odvodil ji Archimds ze Syrks (287 212 p. n. l.) z platnskch tles oeznm vrchol. Proto se tchto tinct nejdve objevench tles tak nazv archimdovsk mnohostny. V tabulce 2 jsou vypsny zkladn vlastnosti polopravidelnch mnohostn (poet a tvary stn, hran a vrchol) a tak je tu uvedena platnost Eulerova vztahu v kadm tomto tlese.

23

osekan tystn kuboktaedr osekan krychle (osekan estistn)

osekan osmistn (mal) rombokuboktaedr osekan kuboktaedr (velk rombokuboktaedr)

otupen krychle ikosododekaedr osekan dvanctistn (otupen estistn) (2 asymetrick formy)

osekan dvacetistn (mal) romboikosododekaedr osekan ikosododekaedr (velk romboikosododekaedr)

otupen dvanctistn (otupen ikosododekaedr) (2 asymetrick formy)

Obr. 2.3: Polopravideln mnohostny (pevzato z [13])

24

nzev mnohostnu dva tvary stn

poet stn

poet hran

poet vrchol

Eulerv vztah

osekan tystn trojhelnk, estihelnk 8 18 12 12+8 = 2+18

kuboktaedr trojhelnk, tverec 14 24 12 12+14 = 2+24

osekan krychle trojhelnk, osmihelnk 14 36 24 24+14 = 2+36

osekan osmistn estihelnk, tverec 14 36 24 24+14 = 2+36

rombokuboktaedr trojhelnk, tverec 26 48 24 24+26 = 2+48

osekan kuboktaedr estihelnk, tverec,

osmihelnk 26 72 48 48+26 = 2+72

otupen krychle trojhelnk, tverec 38 60 24 24+38 = 2+60

ikosododekaedr trojhelnk, ptihelnk 32 60 30 30+32 = 2+60

osekan dvanctistn trojhelnk, desetihelnk 32 90 60 60+32 = 2+90

osekan dvacetistn ptihelnk, estihelnk 32 90 60 60+32 = 2+90

romboikosododekaedr trojhelnk, tverec,

ptihelnk 62 120 60 60+62 = 2+120

osekan ikosododekaedr

tverec, estihelnk, desetihelnk

62 180 120 120+62 = 2+180

otupen dvanctistn trojhelnk, ptihelnk 92 150 60 60+92 = 2+150

* vechny stny uveden v tabulce maj tvar pravidelnho mnohohelnku Tabulka 2: Pehled polopravidelnch mnohostn a jejich vlastnost

(erpno z [8], [5])

2.4 Historie polopravidelnch mnohostn:

Jak ji bylo zmnno, mnohostny jako prvn popsal Archimds ze Syrakus, ale jeho dla se nedochovala. A Johannes Kepler mezi n vak zahrnul hranol a antihranol (tj. obdoba hranolu, jeho podstavy jsou tak pravideln n-helnky, ale jsou vi sob pootoen o hel /n, a jeho stny jsou rovnostrann trojhelnky), kter do t doby nebyly povaovny za polopravideln. Nsledn pak prvn dochovan zmnka o polopravidelnch tlesech pochz z pt knihy Synagog od

25

eckho matematika Pappa z Alexandrie (290 350 n. l.), kter v tomto dle mimo jin uvd dkaz toho, e mezi pti pravidelnmi mnohostny a koul o stejnm povrchu, m prv koule nejvt objem. Pln poet mnohostn, tedy patnct, uvedl a v renesanci Johannes Kepler ve svm dle Harmonie svta (1619, jeden list knihy na obrzku 2.4), kde mnohostny zkoumal i z matematickho hlediska. Mal hvzdicov dvanctistn pravdpodobn poprv umlecky zobrazil Paolo di Dono na sti dlaby v bazilice sv. Marka v Bentkch (1425 1427).

Obr. 2.4: Johannes Kepler Harmonie svta (pevzato z [10])

2.5 Hvzdicov mnohostny:

Hvzdicov mnohostn je nekonvexn tleso, kter vznikne z pravidelnho mnohostnu protaenm stn do jehlan (nebo jakmsi nalepenm jehlan s odpovdajcmi podstavami na stny pravidelnho mnohostnu), kter maj dan stny v rovinch s jinmi jehlany. Tedy napklad mal hvzdicov dvanctistn lze vytvoit z pravidelnho dvanctistnu bu protaenm stn, nebo pipojenm dvancti jehlan s ptihelnkovou podstavou. Podstava kadho jehlanu se pipoj na jednu ptihelnkovou stnu dvanctistnu, piem stny pti jehlan, kter jsou v obrzku 2.5 vybarveny napklad oranov, le v jedn rovin a to pmo v rovin,

26

ve kter le tak ptihelnkov stna dvanctistnu. Velk dvanctistn pak lze vytvoit prvnm zpsobem, tedy pomoc protaen stn. Velk hvzdicov dvanctistn dostaneme obdobnm zpsobem, kde opt napklad oranov stny pti jehlan le v jedn rovin (viz. obrzek 2.5). Z dvacetistnu meme zskat velk dvanctistn protaenm stn, nebo tak pokud bychom odebrali jehlan s trojhelnkovou podstavou, kter by ml podstavu ve stn dvacetistnu a vrchol uvnit tlesa. Vzniknou jaksi hvzdy, piem na obrzku 5 meme opt vidt, e nkter stny le v jedn rovin, jako napklad v tmav modr. Z dvacetistnu vznikne tak sloenina pti osmistn i sloenina pti tystn. (Vce o postupu pi tvorb hvzdicovch mnohostn viz. [10])

Mal hvzdicov Velk dvanctistn Velk hvzdicov dvanctistn (L. Poinsot) dvanctistn (J. Kepler) (J. Kepler)

Velk dvacetistn Sloenina pti osmistn Sloenina pti tystn (L. Poinsot) (E. Hess) (E. Hess)

Obr. 2.5: Hvzdicov mnohostny (pevzato z [10])

27

2.6 Historie hvzdicovch mnohostn:

Johannes Kepler objevil dva typy tchto mnohostn, a to mal hvzdicov dvanctistn a velk hvzdicov dvanctistn. Po nm Louis Poinsot objevil k nim duln velk dvanctistn a velk dvacetistn. A nakonec sloeninu pti osmistn a sloeninu pti tystn objevil Edmund Hess (1843 1903). Podle prvnch dvou objevitel, tedy Keplera a Poinsota, jsou pojmenovny tyto mnohostny.

28

3. Leonardo da Vinci

V tto kapitole si ekneme nco o Leonardov ivot a v kadm obdob zmnme dan dla, kter vytvoil. Dle shrneme nco mlo o kodexech, kter za ivota vytvel. Nsledn se budeme vnovat rekonstrukcm Leonardovch elips, pavimenta a linern perspektivy v jeho obrazech a nakonec se pokusme zrekonstruovat mnohostny, kter nakreslil pro Pacioliho knihu.

3.1 ivotopis:

Leonardo da Vinci se narodil 15. dubna roku 1452 ve msteku Vinci, kter je asi 30 km od Florencie. Byl nemanelskm synem note Sera Piera di Antonio a Catariny de Anchiona. Leonardo proil sv dtstv spolu s otcem a jeho manelkou Albierou Amadori v dom otcovch rodi ve farnosti Santa Croce ve Vinci. Byla to velmi movit rodina, a tak se Leonardovi dostvalo veho, co poteboval napklad ml monost zskat dobr vzdln i vysok spoleensk postaven. Tyto monosti mu dovolily vyut sv schopnosti a dovednosti. Jeho zvdavost, kter mu pomohla se lpe uit, mu vydrela cel ivot. Asi v roce 1466 se s celou rodinou pesthovali do Florencie, co hrlo dleitou roli v rozvoji Leonardova talentu (jeliko se vldci snaili Florencii povznst, aby mla vysokou presti). Jet v roce 1468 il se svm otcem a jeho druhou enou Francescou di ser Giuliano Lanfredini.

Otec chtl mt z Leonarda prvnka, ale jak uvidl jeho nadn pro umn, zanesl jeho kresby, kter se vak nedochovaly, ukzat svmu pteli Andreovi del Verrochio, kter byl nejlepm a nejznmjm florentskm malem, zlatnkem a sochaem. Verrocchio uasl nad Leonardovm umem a v roce 1469 ho pijal za svho un. Verrocchio se snail o pirozen zobrazen lidsk postavy a ve sv renomovan dln uil ky neoprat se o aplikaci striktnch norem, ale eit kad problm samostatn a podle sv kreativity (co mohlo pispt k Leonardov tvrmu citu). Leonardo se po ase strvenm zde stal mistrovm spolupracovnkem. Podlel se na tvorb Verocchiova obrazu Kest Kristv, kter byl Leonardovou prvn malskou zkoukou. Zde Leonardo namaloval levho andla a krajinu, kter jsou odlin od zbytku a v celm obrazu vynikaj jejich detaily. Mistr byl tak dojat a

29

pokldal se za pedstienho svm kem, e se pr zekl malstv. V Leonardovch dlech vak nenajdeme dn prvky Verrocchiova stylu. (viz. [9], str. 20)

V roce 1472 byl Leonardo pijat do florentskho malskho cechu sv. Luke. Prvnm jeho obrazem je perokresba krajiny dol eky Arna, pravdpodobn vytvoen 5. srpna 1473. Kolem tohoto roku zaal tvoit obraz Zvstovn (vystaven v galerii Uffizi). Mnoho jeho rannch dl se nezachovalo, ale Giorgio Vasari se zmiuje o Leonardovch kresbch rostlin a zvat (karton Adam a Eva) takto: byly tak peliv a pirozen provedeny, e dn bosk duch pirozenji a vrnji by to nedovedl vytvoiti. (viz. [11], str. 867)

Nkdy mezi roky 1476 a 1478 Leonardo pravdpodobn odeel z Verrocchiovy dlny a zaal tvoit sm. V roce 1478 pila vlna spiknut Pazzi proti Medicejskm z Milna a Neapole tak do Florencie. Nakonec se stal jedinm vldcem tohoto msta Lorenzo Medicejsk, kter ml velik zjem o vchovu a vzdln. Proto zaloil kolu v Medicejsk zahrad kltera sv. Marka, kam pijal pod svou ochranu Leonarda.

Nkdy mezi rokem 1478 a 1480 Leonardo namaloval Madonu s karafitem a Madonu Benois. Roku 1480 zaal malovat oltn obraz Svat ti krlov, k nmu se zachovalo i nkolik perovch skic. Roku 1481 byl poven namalovnm obrazu Klann t krl, kter vak nedokonil. V roce 1482 odjel Leonardo do Milna, kam byl (podle Giorgia Vasariho) posln Lorenzem k Ludovicu Sforzovi jako umleck vyslanec, a rozpracovan obraz zstal v dom Ameriga Benciho (otce Ginevry Benci, kterou nkolikrt maloval, poprv snad ji okolo roku 1475).

Mezi lety 1482 a 1499 Leonardo poprv pobval v Miln. To bylo v t dob dky sv poloze, prmyslu a politick moci pravdpodobn nejvznamnjm italskm mstem, akoliv byla Florencie dokonalej. Byla to nejaktivnj etapa jeho ivota. Proslavil se po cel Itlii (byl obdivovan i u dvora Sforz) a i Milan ho pijali a pozdji i napodobovali. V tomto obdob namaloval nejvce dl a tak nejkvalitnjch, jak zapoat, tak i dokonen i jen nrty nebo mylenky. V tomto obdob je jeho styl umn samostatn (nezvis na florentskch i lombardskch vzorech), jak je ji poprv vidt na obraze Klannm t krl. (viz. [9], str. 38) Dle tu namaloval obraz Sv. Jeronma (1482 1483). Takt zde spolupracoval s Lucou Paciolim, kter zde pebval mezi lety 1496 a 1499. Leonardo se zajmal o matematiku a zaujalo ho Pacioliho pojednn, jaksi uebnice matematiky, Souhrn aritmetiky, geometrie, proporc a proporcionality. Leonardo se tedy o autora zaal

30

zajmat a oba se sptelili. Pracovali spolu na studich pomru, zabvali se geometri i matematikou. Leonardo tak prohloubil sv znalosti v matematice, nebo mu Pacioli sv dlo vyloil a prostudoval s nm podrobn vechny knihy Eukleidovch Zklad. Leonardo peetl t nkolik Archimdovch dl. Tak namaloval obrzky mnohostn pro Pacioliho knihu Bosk pomr, kterou vnovali Ludovicu Sforzovi a kter byla pozdji vydna v Bentkch. (viz. [2], str.128-9, 238) Leonardo si mimo jin zhotovoval modely mnohostn i ze deva.

V Miln v roce 1487 Leonardo vytvoil kresbu Vitruviova mue. (Marcus Vitruvius Pollio byl msk architekt v 1. stolet p.n.l.) V italsk renesanci byl toti obnoven idel krsy zaloen na matematickch a hudebnch pojmech harmonie a proporce. Samozejm Leonardo nebyl jedin, kdo se zabval lidskmi proporcemi, inspirovn Vitruviovm modelem (a tak Leonardem) byl i Albrecht Drer, kter sepsal o tomto tmatu i vlastn prci.

V 80. letech v Miln Leonardo t vytvoil Madonu ve skalch, kter je vystaven v Louvru. 25. dubna 1483 dostal toti spolu s bratry Evangelistou a Ambrogiem de Predisovmi (kte tak ili v Miln) zakzku na vrobu devnho olte s nzkmi relify. Avak kvli nesplacen honore se zaaly vst spory, kter trvaly a do roku 1508 (to u byl Leonardo mimo Milno).

Za tohoto pobytu se Leonardo vnoval t portrtn malb. Vliv na jeho portrty ml nejsp i Antonello da Messina, kter pravdpodobn v Miln pobval. Jeho (Messinova) technika byla povaovna za nejavantgardnj ze vech a zaslouil se o rozen zvltnho typu portrtu s postavou na tmavm pozad a velmi pelivm znzornnm vraz a gest. (viz. [9], str. 54) Oproti tomu portrty, pisuzovan Leonardovi se vyznauj zetelnmi tvary, tmavm pozadm, postavou znzornnou od hlavy zhruba do poloviny hrudnku a ze t tvrtin naklonnou. Avak nen znmo, kdo byly osoby na jeho portrtech, u nkterch ani zda je Leonardo maloval cel sm. Nejspe to byli lid, kte se pohybovali u dvora Sforz (kvli jejich dren tla). Jeden z prvnch portrt tohoto obdob je Dma s hranostajem (1485 1490, Muzeum v Krakov), na kterm je namalovna lehce se usmvajc mlad ena s pronikavm pohledem, drc hranostaje. Nejpravdpodobnji je zde vyobrazena mlad Cecilia Gallerani (milenka Ludovica Sforzy a Leonardova ptelkyn). Leonardo tmto obrazem mimo jin zahjil vlastn tvr etapu, jejm vyvrcholenm se stala Mona Lisa.

31

Zhruba od roku 1489 zaal psobit u dvora Sforz jako jevitn vtvarnk a organiztor slavnost. Tak se zde zapojoval do spoleensk zbavy poezi i hrou na nstroje. V tomto roce tu zaal s ppravami pro tvorbu jezdeckho pomnku na poest mrtvho Franceska Sforzy. Souso vak kvli potm s konstrukc pro

odlvn a po dlouhodobm een tchto problm nevzniklo (pouze model, ale ten byl znien). Zachovaly se pouze jeho nkresy a poznmky k technice odlvn.

Leonardo byl spolu s architektem a inenrem Franceskem di Giorgiem roku 1490 posln Ludovicem Sforzou do Pavie, aby kontrolovali stavbu mstsk katedrly. Franceskovo pojednn o stavebnictv a vojenskm inenrstv mlo vliv na Leonarda. Oba tito umlci se poslze stali blzkmi pteli. Po dokonen katedrly tu Leonardo jet zstal a pln ohromen zkoumal zdej knihovnu. Seznmil se tu s Faziem Cardanem (profesor matematicky na zdej univerzit), kter se podrobn zabval vdou o perspektiv, neboli linern perspektivou a geometrickou optikou. Dky jeho studim a diskus s nm se Leonardo zaal zajmat o matematiku a hlavn geometrii (tedy dve, ne se setkal s Paciolim, co bylo mezi lety 1496 a 1499). Probrali spolu mimo jin i Eukleidovy Zklady geometrie. (viz. [2], str.124-5)

V roce 1491 Leonardo do svch slueb pijal desetiletho chlapce Giancarla Caprotti da Oreno, zvanho Salai (blk).

Okolo roku 1492 vytvel kostmy pro prvod Skyth a Tatar, kter se konaly u pleitosti svatby Ludovica Sforzy a Beatrice dEste.

Z jeho poznmek se usuzuje, e v ervenci roku 1493 se k nmu do Milna pesthovala jeho matka Catarina, kter o dva roky pozdji zemela. Leonardo j vystrojil velkolep poheb a vechny vdaje s nm spojen detailn zaznamenal ve spise (st Fosterova kodexu II, Victoria and Albert Museum, Londn).

V obdob kolem roku 1494 se musel Leonardo tak vnovat projektm odvodovn a zavodovn na pozemcch Ludovica Sforzy.

V roce 1495 zaal Leonardo pracovat na Posledn veei, kter je jeho nejpracnjm a nejdleitjm dlem. Tato malba pokrv severn stnu refekte dominiknskho kltera Santa Maria della Grazia v Milnu a je velik 460880 cm. Ppravn prce a vlastn malba mu trvaly vce ne ti roky, protoe zkoumal, jak tve by mli apotolov a hlavn Jid a Je mt. Kolem roku 1497 Leonardo pravdpodobn vytvoil obraz La Belle Ferronire (galerie Louvre). Na obrazu je nejsp nakreslena dal milenka

32

Ludovica, Lucrezia Crivelli. Mezi roky 1498 a 1499 (tedy na konci pobytu v Miln) vznikla skica Svat Anny samotet (Sv. Anna s Pannou Mari, Jekem a malm sv. Janem Ktitelem). V roce 1499 odjd spolu s Lucou Paciolim z Milna. Nejprve jel za svm kem Melzim do Vapria a pak dle do Mantovy, kde namaloval dva portrty Isabelly dEste. Cestu pak ukonil v Bentkch. V roce 1500 pak pobval ve Florencii. O dva roky pozdji psobil jako architekt a hlavn inenr ve slubch vvody Cesara Borgii a zstal u nj a do jara roku 1503. Pot se vrtil do Florencie a pi cest, bhem oblhn Pisy, projektoval plny na odklonn toku eky Arna a tvoil topologick nkresy. V dubnu roku 1503 byl poven, aby vyzdobil jednu stnu slu v palci Palazzo Vecchio freskou Bitva u Anghiari (v t roku 1440 florentsk a papesk vojska zvtzila nad milnskmi). Leonardo se pi tvorb tohoto obrazu poprv zabval krutost a nsilm. V polovin roku 1504 dostal i Michelangelo zakzku vymalovat jinou stnu v tomto sle freskou Bitva u Casciny (v n Florenan porazili roku 1364 Pisnce). Ale ani z jedn fresky se nic nedochovalo. Leonardo chtl fresku vytvoit na tukovanm podklad. Nejprve si to vyzkouel na devn desce, kterou vysuil pi vysokch teplotch, a podle vsledku povaoval metodu za vhodnou. Ale nejsp patn podmnky v tomto velkm sle zpsobily prosakovn na nkterch mstech povrchu malby. Ani z dochovanch skic a ani z dokumentac nen jasn, kde mla bt freska umstna, jak byla velk a jakmi barvami byla malovna. V tomto roce v ervenci tak zemel Leonardovi otec. Ve stejnm roce zaal malovat druhou verzi Madony ve skalch, kter se nachz v National Gallery v Londn a kter byla dokonena v letech 1506 1508. O nejasnostech obou verz Madony ve skalch (z Louvru a Londna) modern kritika k, e verze v Louvru je star a e ji Leonardo maloval sm. Tak k tto londnsk verzi obrazu vytvoil mnoho studi. Studie k hlav andla vznikla ji kolem roku 1480. Tato studie je asi jednou z nejkrsnjch kreseb na svt. Leonardo se v n asi snail zobrazit co nejplastitj tv (viz. [9], str. 44).

Mezi roky 1503 1505 maloval nejslavnj obraz, kter je povaovn za vrchol portrtnho umn vech dob, Giocondu neboli Monu Lisu.

Mezi roky 1503 1506 vytvoil obraz Leda Spiridon. Lda byla eck mytologick postava, dcera aiolskho krle Thestia, kter byl synem boha vlky

33

rea. Lda byla podle povst svedena Diem v labut podob. K obrazu jsou znmy ppravn kresby a tak kopie Leonardovch k. Obraz se takto jmenuje nejsp podle jednoho z jeho majitel, Ludovica Spiridona.

V ervnu roku 1506 se Leonardo vrtil do Milna, ke dvoru Ludvka XII, kde zstal a do z roku 1507. V tomto roce odjel opt do Florencie, kde zstal rok. Pot se sem jet vrtil roku 1511, aby vyeil ddictv po otci. V roce 1508 se vrtil zpt do Milna, kde zstal a do z roku 1513. Stle byl obklopen svmi ky a jeden z nich, Francesco Melzi, s nm zstal a do smrti. Leonardo zde stle bdal a vytvel jak architektonick dla, tak i malsk.

Nkdy mezi roky 1508 a 1510 byl Leonardo poven namalovnm obrazu Sv. Anny samotet (Sv. Anna, Panna Marie a Jeek s bernkem) pro hlavn olt kostela Santissima Annuziata, kter maloval pravdpodobn se svmi ky. Toto tma ml ji rozpracovno od prvnho pobytu v Miln jako skicu na kartonu. Ale tato florentsk malba nen podobn tto skice.

V roce 1510 se vnoval anatomickm studim spolu s Marcantoniem della Torre. Do obdob roku 1512 je datovn tak Leonardv dajn autoportrt.

Leonardo odeel v z roku 1513 z Milna spolu s Melzim a Salaiem nakrtko do Florencie a pak do ma, kde byl a do roku 1516. V tto dob pli netvoil, jen se zabval vysouenm bain a uspodnm pstavu Civitavecchia (rok 1514) a tak rozioval sv znalosti v matematice a geometrii (jak se d usuzovat z jeho rukopis). Pokraoval tak v anatomickch studich mrtvol, co byla jedna z jeho vn. Ale musel s tm na doporuen papee skonit, jeliko se ily pomluvy, e je zapleten do magie. Leonardovo posledn tvr obdob nejlpe asi vystihuj prce jako Potopy i Kosmick katastrofy, zabval se tak pojednnm o kosmologii, hydrologii, aerologii a teorii ivl.

V obdob poslednch let mskho pobytu a prvnch let pobytu ve Francii (podle kritiky) Leonardo vytvoil obraz Sv. Jana Ktitele, kter je nyn v Louvru. Po njak dob byl obraz povaovn za nevhodn, a zhral, nejsp kvli dvojpohlavnosti tve a fyzick struktue postavy, ale tak zhadn dvojsmyslnosti smvu, gestu a celmu obrazu, kter se vyznauje svtelnou vhavost mezi vystoupenm z temnot a ponoenm se do nich (viz. [9], str. 86). K tomuto obrazu vzniklo v pozdjch dobch mnoho kopi.

V zim na pelomu let 1516 a 1517 Leonardo odjel na pozvn jeho velkho obdivovatele Frantika I. (ten roku 1515 zskal Milnsk vvodstv) do Francie. Ten

34

toti chtl mt Leonarda pln k dispozici, tedy ho jmenoval prvnm krlovskm malem, architektem a inenrem a ubytoval ho v zmku Cloux u Ambois. Leonardo zde il v pohodl s Melzim, Salaiem a sluebnou Maturinou. Krl mu vnoval svou pozornost a vekerou podporu. Leonardo se tu zabval tak svmi kodexy a poznmkami, kter si sem dovezl. Dle zde tvoil nvrhy windsorskch slavnostnch masek, navrhl architektonick projekt pro zmek krlovny matky v Romorantinu a pracoval na studich vysouecch prac v povod Loiry mezi Romorantinem a Ambois.

23. dubna 1519 Leonardo nadiktoval svoji zv, kde Francesku Melzimu odkzal kodexy a rukopisy, hudebn nstroje a obrazy, pomocnkm Battistu de Vilanisovi a Salaimu odkzal napl nemovitosti a svm bratrm statek ve Fiesole.

Leonardo zemel 2. kvtna 1519 (po lehk mrtvici ochrnul a po druhm zchvatu zemel), kdy s nm byl jeho pomocnk Melzi, kter o jeho smrti dal tak vdt rodin. Podle svho pn byl pohben v kostele Saint-Florentin v Ambois.

3.2 Leonardovy kodexy:

Nkter jeho seity byly objeveny a v roce 1965. Jsou psny zrcadlovm psmem (snad pro ulehen psan, jeliko byl levk) a ilustrovan s vysvtlujcmi nrtky. Meme zde najt jeho vdeck zkoumn, nvrhy rznch stroj a matematick hdanky i nvrhy hudebnch nstroj. Nejrozshlej kodex, kter vytvoil je Codex Atlanticus (401 list). Jsou tu nkresy stroj, studie a poznmky k malstv, perspektiv a tak botanice. Sv mylenky tu zaznamenal pomoc pohdek, bajek a filosofickch vah. V Codexu Arundel (vlastnil ho lord Arundel) najdeme zase pevn matematick tmata. V Rukopisu L jsou poznmky tkajc se Posledn veee a v Rukopisu M je vidt vliv Eukleidovy geometrie. Ve Forsterovch kodexech (vlastnil je i John Forster) najdeme pak mnoho tmat a tak literrn sti. Codex Trivulzianus je jeden z nejstarch rukopis (z let 1487 1490). Poznmky k Bitv u Anghiari, poznmky o perspektiv a optice a t seznam knih meme najt v Codexu Madrid II (byl nalezen v Nrodn knihovn Madridu). A Codex Hammer (jeho majitelem byl i Armand Hammer), spe katalog (Leonardo pidval postupn listy), obsahuje studie o vod s ilustracemi proud, kaskd a vr. Nanetst osudy

35

vech spis byly mnohdy velice dramatick z nkterch rukopis byly vytreny strnky, nkter mly mnoho majitel.

3.3 Leonardo, perspektiva a tvercov s:

Leonardo se, stejn jako vichni renesann umlci, zabval perspektivou. Avak pohlel na tuto techniku ze dvou hl: zkoumal, jak se vzhled objektu mn napklad se vzdlenost nebo atmosfrickmi podmnkami a tak se zabval svtlem, svtelnmi paprsky a stny (viz. obrzek 3.1); druhm hlem pohledu je to, e Leonardo studoval lidsk oko a nervov drhy smyslovch impuls. (viz. [2], str. 253) O tom jak ovlivuj atmosfrick podmnky zetelnost objektu, se meme dost napklad v nsledujc vt v knize vahy o malstv (str. 97): Vci vidn v mlze se budou jeviti znan vt, ne je prav jejich velikost, a to povstv z toho, e perspektiva prosted, vloenho mezi oko a takovou vc, nepen barvu vci v souhlase s rozmrovou velikost jej, protoe takov mlha je podobna rmutnmu vzduchu za pknho poas vloenmu mezi oko a obraz. ... Nebo v t sam knize na stran 103: ... Vzduch obtkan parami, jen se klade mezi oko a pedmt, dodv pedmtm okraje neurit a zvtuje nm onen pedmt zdnliv nad jeho skutenou velikost. To je z toho, e linern perspektiva nezmenuje zorn hel, jen k oku nese tvarov prvky, perspektiva barev vak pedmt oddaluje vc, ne skuten je; tak tedy, kdy jedna perspektiva jeho zorn hel nezmenuje, jev se pedmt vtm. ... To, e znal a dobe ovldal perspektivu je vidt napklad v jeho obrazu Klann t krl.

Ve stedovku se hodn pouval takzvan jehlan lini, neboli jehlan, kter ml vrchol v oku pozorovatele a svm povrchem se dotkal pozorovanho pedmtu (jeho povrchov pmky byly teny objektu v uritm bod). Na obrzku 3.2 je znzornn svteln jehlan zboku pro dv polohy umstn oka. S tm souvis i nkolik Leonardovch vah zmnnch napklad v jeho dle vahy o malstv: Zkuenost jsem zjistil, e je-li druh pedmt vzdlen od prvnho pedmtu stejn, jako prvn pedmt od oka, pak i kdy jsou stejn velik, ten druh se bude zdt oproti prvnmu polovin., Zdvojnsob-li se pekonan vzdlenost, zdvojnsob se zmenen. (viz. [2], str. 256) Leonardo vyuval Albertiho pravidla linern perspektivy (tj. horizont v rovni oka namalovan postavy, zorn bod ped

36

bnkem), ale nebyl jimi svzn a snail se perspektivu zdokonalit a pohrt si s n. Jeho snaen meme vidt na fresce Posledn veee. Leonardo tak prohlsil, e: Existuj ti druhy perspektivy. Prvn se zabv pinou zmenovn vc, kdy se oku vzdaluj. Druh se zabv tm, jak se mn barvy, kdy se oku vzdaluj. Tet a posledn popisuje, jak se pedmty, m jsou vzdlenj, zdaj bt stle mn zeteln. (viz. [2], str.259-60). Prvn typ pojmenoval linern perspektiva, druh perspektiva barev (vce viz. nap. [4], str.42/46) a tet perspektiva vzdalovn. Dalm typem perspektivy, kter Leonardo uvedl, je vzdun perspektiva, kter vysvtluje, e atmosfra m vliv na barvy a zrakov vnmn (viz. [4], str.52).

Obr. 3.1: Osvtlen koule ze ty pozic (a, b, c, d) a sytosti stn (pevzato z [2])

Obr. 3.2: Linern perspektiva a svteln jehlany Kodex Atlanticus (pevzato z [2])

37

Nyn bychom si zrekonstruovali nkter Leonardovy kresby, kde se zamme na elipsy a krunice a jejich pesnost a obrazy s linern perspektivou.

Nsledujc rekonstrukce obraz a nkres byly provedeny pomoc programu Geogebra, piem pro tvorbu elips byla vyuita monost vytvoen kueloseky z pti bod.

Na fresce Posledn veee (obrzek 3.3) je znzornna perspektiva. Obdlnk, kter tvo hranici fresky je zvraznn lut s ernou spodn stranou. Horizont a hlavn bod jsou lut a hlopky obdlnku obrazu erven. Hloubkov pmky podl tverc na strop jsou vyznaeny zelen a protnaj se spolu s hlopkami v hlavnm bod na horizontu. Svtle modr pmky jsou rovnobn s horizontem a kopruj hranu stolu a konec ubrusu a jedno hranu mezi stropem a zadn stnou. Tmav modr pmky jsou kolm na horizont a tvo kraje jakchsi dve v bonch stnch. Diagonly tverc na strop se sprvn protnaj v bod U na horizontu. Tedy zvrem, na tto fresce Leonardo ukzal, jak dobe ovld pravidla linern perspektivy.

Obr. 3.3: Freska Posledn veee (podkladov obrzek pevzat z [1])

Dal obraz, ve kterm lze najt prvky perspektivy je Zvstovn na obrzku 3.4. Hloubkov pmky jsou tu zvraznny svtle mode a opisuj hrany stolku a zdky v pozad. Tyto pmky se protnaj velmi pesn v jednom bod hlavnm bod H. lut jsou pak obtaeny hrany stolku a zdky, kter jsou rovnobn s horizontem. Zelen pmky jsou kolm na horizont a obtahuj hranu zdi za Mari a hranu stolku.

38

Perspektiva tu nen tak znan jako u Posledn veee, nebo skicy Klann t krl (bude rozebrna pozdji), protoe tu nen tolik hran a pmek. Ale i tak je perspektiva zkonstruovna velice pkn.

Obr. 3.4: Obraz Zvstovn z galerii Louvre (pevzato z [14])

Druh verze obrazu Zvstovn (obrzek 3.5) u nem tak pesnou perspektivu, ale m oproti pedchozmu vce lini a hran. Zelen pmky rovnobn s horizontem tu obtahuj hrany zdky v pozad a konec jakhosi trvnku a hranu stolku. Svtle mode jsou pak obtaeny hloubkov pmky, tedy sti svtlch cihel na zdi a prh u dve napravo. Tyto pmky se a na jednu (hrana vrchn cihly v pozad) protnaj sprvn v bod H, stejn jako lut hloubkov pmky, koprujc hrany stolku a kraj trvnku. Ale ve me bt zpsobeno nepesnost rekonstrukce. Pokud ji opomineme, pak lze opt ci, e je tu perspektiva zkonstruovna velmi pesn.

Obr. 3.5: Obraz Zvstovn z galerie Uffizi (podkladov obrzek pevzat z [1])

39

Skica Klann t krl (obrzek 3.6) je asi jedin ppad, kde Leonardo jist pouil preln pavimentum k rozvren postav a pro perspektivu hran sloup a

schod. Pavimentum je sestrojeno velmi pesn. Ve skice meme tak vidt sestrojenou diagonlu, kter je v rekonstrukci vyznaena svtle mode a le ve. S ohledem na nepesnost rekonstrukce se tyto dv diagonly po prodlouen tm protnaj na horizontu. lut hloubkov pmky tvoc hranu schod a zd se sprvn protnaj v hlavnm bod. Oranov pmka je rovnobn s horizontem a tm pekrv Leonardovu posledn pmku pavimenta. Co se te vzdlenost prelnch spr, tak na skice je vidt, jak si Leonardo sestrojil body na zkladnici, ktermi pak vedl tyto preln spry. Mode vyznaen elipsa je tak sestrojena velmi pesn, ale nememe s jistotou ci, e pro jej konstrukci Leonardo pouil pavimentum ve svisl rovin nebo jinou metodu, nebo na skice nen vidt dn nznak pomocn konstrukce.

V porovnn s nedokonenm obrazem k tto skice je zde vce perspektivnch prvk a zeteln perspektiva. V obrzku 3.7 je vidt, e Leonardo v obrazu vyuil jen nkolik prvk z lev sti skicy (sloupy a schodit). Pouze pomoc tchto objekt lze v obraze sten zrekonstruovat perspektivu (v obrzku je sestrojen pouze hlavn bod a obrazy hloubkovch pmek).

Obr. 3.6: Skica k obrazu Klann t krl (pevzato z [9])

40

Obr. 3.7: Obraz Klann t krl (pevzato z [9])

Velice pkn vytvoen jaksi kolo, avak opt bez nznaku njak konstrukce elipsy, meme vidt na obrzku 3.8. Mon se jedn o ppravu ozubenho kola pro vojensk nstroj, ve kterm Leonardo t velmi pesn nakreslil kolo (viz. obrzek 3.9). V obrzku 3.8 jsou pomoc ji zmnn funkce, vytvoen kueloseky z pti bod, dv varianty elips (lut a modr) vytvoench z lutch pti bod a modrch pti bod. Body le na Leonardovch elipsch a vsledn elipsy se li jen mlo, co ukazuje, e je toto kolo zkonstruovno velmi pesn.

V obrzku 3.9 je pak vykreslen rozdl mezi ervenou elipsou, vytvoenou z pti ervench bod na Leonardov elipse, a zelenou krunic, kter vznikla ze t ervench bod. Je vidt, e na prav stran se elipsa li od krunice, tedy z toho meme vyvodit, e bu Leonardo nevzal v potaz polohu krunice lec v rovin rovnobn s nrysnou, nebo tuto krunici umstil mrn ikmo od nrysny avak kolmo k pdorysn.

41

Obr. 3.8: Obraz kola (pevzato z [3])

Obr. 3.9: Pstroj na rychl natahovn a stlen z ku (pevzato z [3])

Dal velmi pesn nkresy elips najdeme napklad v obrzku pevodovky (obrzek 3.10), nebo stroje na spltn lan (obrzek 3.11). V nkresu pevodovky jsou zvraznny dv svisl elipsy, zkonstruovan opt z pti bod, a jedna preln krunice, vytvoen ze t bod lecch na Leonardov kole. Rozdl mezi zelenmi elipsami a ervenmi je opt zeteln, ale jet stle mal.

Na obrzku stroje na spltn lan (obrzek 3.11) je ji vidt rozdl mezi ervenmi elipsami vytvoenmi z pti modrch bod a zelenmi elipsami prochzejcmi pti lutmi body. V Leonardov obrzku se elipsy pli neli, ale v prav sti se erven elipsy vce li od zelench.

42

Obr. 3.10: Leonardova kresba vodou pohnnho mlecho stroje (pevzato z [3])

Obr. 3.11: Leonardv obrzek stroje na spltn lan (pevzato z [3])

43

3.4 Leonardo, mnohostny a transformace:

Leonardo se zabval jak mnohostny tak i mnohohelnky. Snail se transformovat napklad trojhelnk, obdlnk i rovnobnk v jin mnohohelnk se stejnm obsahem. Zejmna pak bdal nad transformac krychle na pravohl hranol se stejnm objemem. Tak porovnval objemy kolmch a kosch jehlan. Ve svm Kodexu Forster pak uvd jak transformovat dvanctistn na krychli se stejnm objemem. Fritjof Capra ve sv knize Vda mistra Leonarda popisuje tento postup takto: Nejprve rozdlil dvanctistn na 12 stejnch jehlan s ptihelnkovmi podstavami; pak kad z tchto jehlan rozdlil na 5 mench jehlan s trojhelnkovmi podstavami, take dvanctistn byl te rozezn na 60 stejnch jehlan; potom trojhelnkovou podstavu kadho jehlanu transformoval na obdlnk tho obsahu, aby objem jehlanu zstal zachovn; a v poslednm kroku dmysln sestavil z tchto 60 tybokch jehlan krychli, kter evidentn mla tent objem jako pvodn dvanctistn. Leonardo provedl tuto transformaci i opan. V rovinn geometrii se tak zabval pevodem krunice na elipsu pomoc opsanho tverce, kter se transformuje na rovnobnk. Jako mnoz badatel, se i Leonardo snail vyeit kvadraturu kruhu, tedy sestrojen tverce, kter by ml stejn obsah jako dan kruh, a to pouze pomoc pravtka a krutka.

Dle pouval kivoar transformace. Na obrzku 3.12 meme vidt, jak Leonardo doclil toho, e plocha Z s dvma kivoarmi okraji m stejn obsah jako dan obdlnk X kvadratizoval plochu. Zkrtka posunul tvar XY s jednou kivou stranou a zskal tvar YZ. Avak nelo mu o zjitn obsahu, ale o uren proporc. Dal transformac je napklad peveden trojhelnku do srpku tak, e z jednoho jeho ramene jakoby odzneme danou se a pidme ji na druh rameno (viz. obrzek 3.13). V Kodexu Madrid toto i vysvtluje. T pracoval s takzvanm Hippokratovm mskem, kde obsah msku M je stejn jako obsah pravohlho trojhelnku ABC (viz. obrzek 3.14). V Kodexu Madrid II zkouel tak tyto transformace z trojhelnka na srpek ut i pro tlesa z jehlanu udlal jaksi vtrem prohnut jehlan, kter nazval t srpek, a tot i s kuelem i vlcem (viz. obrzek 3.15). (viz. [2], str. 309-311)

44

Obr. 3.12: Obrzek transformace posunutm

Obr. 3.13: Obrzek transformace Obr. 3.14: Obrzek Hippokratova trojhelnku ve srpek msku

Obr. 3.15: Obrzek z Kodexu Madrid II, Leonardovy transformace tles (pevzato z [2])

45

3.5 Leonardovy nkresy mnohostn v Pacioliho knize

Leonardo a Luca byli ptel a navzjem si pomhali ve zkoumn matematiky a geometrie, jak bylo ji zmnno v Leonardov ivotopise. Obrzk pro knihu De divina proportione Leonardo nakreslil pes edest. My si tu zrekonstruujeme jen nkolik z nich, piem se zamme na pravideln, polopravideln a hvzdicov mnohostny.

Pi rekonstrukci budeme pedpokldat, e Leonardo vyuil perspektivu (nejsou toti dn Leonardovy pomocn konstrukce ani poznmky k tvorb tchto obrzk). Prvn ze srie obrzku (pod popisem rekonstrukc vech tles) je vdy Leonardova ilustrace ke knize, pak nsleduje model tlesa v tm shodnm mtku a poloze a tet obrzek je pekryt Leonardovy kresby zrekonstruovanm mnohostnem. Model tlesa a pekryt je vytvoeno v programu Rhinoceros.

Pokud zaneme u tystnu, jako nejjednoduho platnskho tlesa, tak z rekonstrukce jist musme piznat, e Leonardo toto tleso vystihl velmi pesn. Pedn stna je tm naprosto rovnostrann trojhelnk (odchylka pouze pr milimetr), tady pokud uvaujeme, e by obrzek byl nakreslen v perspektiv, tak vme, e trojhelnk le v rovin rovnobn s nrysnou. Pokud bychom provedli rekonstrukci obrzku (kter vak nen jednoznan, jeliko nezjistme, kde pesn me horizont leet) a piloili bychom nmi vytvoen tystn se shodnmi rozmry, zjistili bychom, e paprsky, jdouc z bodu O tm vude sprvn protnaj v odpovdajcch bodech model tystnu. Odchylka je pouze u zadnho vrcholu v podstav tystnu. (obrzky 3.16, 3.17, 3.18)

U kresby pravidelnho osmistnu vychz pedn stna jako rovnoramenn trojhelnk, tedy tato stna le v rovin mrn naklonn od nrysny. Pi rekonstrukci meme vyut rovnobnosti protilehlch stn a vek v trojhelncch tchto stn. Takto meme rekonstruovat perspektivu. (obrzky 3.19, 3.20, 3.21)

Dvanctistn je pomrn tk tleso, nebo sama konstrukce ptihelnku je sloitj. Pokud se podvme na rekonstrukci, uvidme, e pedn a zadn ptihelnkov stna je sestrojena velice pkn. Celkov by se dalo ci, e horn st

46

tlesa je pomrn pesn, ale spodn se u s perspektivou skutenho dvanctistnu rozchz. (obrzky 3.22, 3.23, 3.24)

Dal z pravidelnch tles si meme rekonstruovat napklad dvacetistn. Pedn trojhelnkov stna opt le v naklonn rovin, nebo je trojhelnk rovnoramenn, co je vidt i z naklonn celho pohledu na tleso. Co se te pesnosti, tak lev a prav hrana se pli sbhaj, co pispv k celkov nekorektnosti obrzku (a pipomn to tbnkovou perspektivu). Jinak je vak tleso velice podobn skutenmu perspektivnmu modelu. (obrzky 3.25, 3.26, 3.27)

Obtn na nakreslen jsou polopravideln tlesa. Dal rekonstruovan mnohostn je jednm z nich kuboktaedr. Trojhelnkov pedn stna se jev, a skuten tm takov je, jako rovnostrann trojhelnk. Tedy opt meme pedpokldat, e le v rovin rovnobn s nrysnou. Rovnobnost stran tvercovch stn je velmi patn, m se kaz i celkov sprvnost nakreslen mnohostnu a vznikaj velk odchylky. (obrzky 3.28, 3.29, 3.30)

Dal polopravideln tleso, kter meme v knize najt, je osekan osmistn. Jeho pedn tvercov stna je velmi pesn, avak nepesnosti vznikaj v nakreslen estihelnkovch stn. Jak je patrno z obrzku, dokonce ani lev a prav krajn hrana nejsou rovnobn. Take bychom mohli ci, e toto tleso je pravdpodobn kresleno jen podle oka i podle modelu, ale nikoliv pomoc perspektivy. (obrzky 3.31, 3.32, 3.33)

Jako takovou teku na zvr si meme ukzat, jak Leonardo nakreslil sloeninu dvou tystn, nebo t hvzdicov osmistn. Z obrzku rekonstrukce je patrn, e i pes obtnost a mnostv hran je mnohostn nakreslen velmi pesn. Podotknme t, e ji u samotnho tystnu Leonardo provedl velmi pesnou kresbu, tedy tento tystn vyuil a pipojil k nmu jet jeden, otoen o 180 okolo stedu tlesa. (obrzky 3.34, 3.35, 3.36)

47

Obr. 3.16: Leonardova kresba tystnu Obr. 3.17: Model tystnu

Obr. 3.18: Rekonstrukce tystnu (zvraznn zelen)

48

Obr. 3.19: Leonardova kresba osmistnu Obr. 3.20: Model osmistnu

Obr. 3.21: Rekonstrukce osmistnu (zvraznn zelen)

49

Obr. 3.22: Leonardova kresba dvanctistnu Obr. 3.23: Model dvanctistnu

Obr. 3.24: Rekonstrukce dvanctistnu (zvraznn zelen)

50

Obr. 3.25: Leonardova kresba dvacetistnu Obr. 3.26: Model dvacetistnu

Obr. 3.27: Rekonstrukce dvacetistnu (zvraznn zelen)

51

Obr. 3.28: Leonardova kresba kuboktaedru Obr. 3.29: Model kuboktaedru

Obr. 3.30: Rekonstrukce kuboktaedru (zvraznn zelen)

52

Obr. 3.31: Leonardova kresba osekanho Obr. 3.32: Model osekanho osmistnu osmistnu

Obr. 3.33: Rekonstrukce osekanho osmistnu

53

Obr. 3.34: Leonardova kresba sloeniny Obr. 3.35: Model sloeniny dvou tystn (hvzdicov osmistn) dvou tystn

Obr. 3.36: Rekonstrukce sloeniny dvou tystn

54

Zvr: Clem tto prce bylo ovit, zda Leonardo sprvn vyuval linern perspektivu a zda jsou jeho kresby elips a mnohostn sprvn. V prvn kapitole byl ten seznmen s vvojem pavimenta, kter bylo vyuvno nejen pro rozmstn vc v kresbch, ale tak jako pomcka pro kreslen krunic v linern perspektiv. Pot byly uvedeny popisy konstrukc dvou poloh obrazu tvercov dlaby, tedy preln a nron pavimentum. A zvr kapitoly byl vnovn popisu osmibodov konstrukce krunice. V druh kapitole jsme se pak zamili na mnohostny pravideln, polopravideln a hvzdicov. Uvedli jsme jejich definice a vlastnosti a tak jsme se strun zmnili o jejich historii. Posledn kapitola byla vnovna samotnmu Leonardovi a rekonstrukcm jeho dl. Nejprve jsme si uvedli jeho ivot spolu s dly, kter v prbhu nj vytvoil, a poslze kodexy, ve kterch se snail shrnout sv poznatky. Na to jsme navzali tm, co Leonardo vdl o linern perspektiv (z jeho poznmek) a kde ji spolu s pavimentem pravdpodobn vyuval. Linern perspektivu jsme pak zrekonstruovali v obrazech Poledn veee, Klann t krl a dvou Zvstovnch. Pot jsme se pesunuli k rekonstrukci nkolika elips, kter Leonardo nakreslil do svch kodex. Nsledn jsme si povdli o Leonardovch transformacch, souvisejcch s elipsou a mnohostny, a nzorn jsme si nkter ukzali. V zvru kapitoly u jsme se snaili rekonstruovat a porovnat nkter mnohostny, kter Leonardo nakreslil pro Pacioliho knihu, a pomoc pekryt jeho obrzku s vhodnou polohou vymodelovanho mnohostnu jsme ovovali sprvnost tchto kreseb tystnu, pravidelnho osmistnu, dvanctistnu, kuboktaedru, osekanho osmistnu a sloeniny dvou tystn (hvzdicov osmistn). Vm, e prce bude inspirovat nkter uitele v prci s programy GeoGebra a Rhinoceros a jejich vyuit k rekonstrukcm a tvorb rznch tles a situac. Zapojen tchto program do vuky by mlo jist kladn pnos a pomohlo by studentm lpe si pedstavit nkter tlesa i konstrukce v deskriptivn geometrii.

55

Seznam obrzk: 1.1 Dolnosask mistr (1410), Lneburg 3 1.2 Florentsk metoda, construzione legittima, construzione albertina 4 1.3 Dv Dantiho nesprvn konstrukce, tet je nesprvn Holbeinova metoda 4 1.4 Viator Perspekiva (1509) 5 1.5 Viator Perspektiva (1509), nanen vek 5 1.6 Ambrogio Lorenzetti Zvstovn 6 1.7 Rekonstrukce obrazu Madona s dttem a dontorem, korunovan andlem 7 1.8 Drerv perspektograf uit tvercov st 7

1.9 Niceron Kuriosn perspektiva (1652) 8 1.10 Malba kleneb pomoc tvercov st 9 1.11 Pdorys kostela San Satiro v Miln 10 1.12 Kostel San Satiro v Miln 10

1.13 Prostorov pohled na een prelnho pavimenta 11 1.14 Konstrukce prelnho pavimenta pomoc bonho pohledu 12 1.15 Konstrukce prelnho pavimenta pomoc hornho distannku 13 1.16 Prostorov pohled na een nronho pavimenta 14 1.17 Konstrukce pavimenta v nron poloze 15 1.18 Osmibodov konstrukce krunice 17 1.19 Konstrukce elipsy pomoc sdruench prmr a Rytzovy konstrukce 18 2.1 Pravideln mnohostny 20 2.2 Keplerovo vkldn mnohostn mezi obn drhy planet 22 2.3 Polopravideln mnohostny 23 2.4 Johannes Kepler Harmonie svta 25 2.5 Hvzdicov mnohostny 26 3.1 Osvtlen koule ze ty pozic (a, b, c, d) a sytosti stn 36 3.2 Linern perspektiva a svteln jehlany Kodex Atlanticus 36 3.3 Freska Posledn veee 37 3.4 Obraz Zvstovn z galerii Louvre 38 3.5 Obraz Zvstovn z galerie Uffizi 38 3.6 Skica k obrazu Klann t krl 39 3.7 Obraz Klann t krl 40 3.8 Obraz kola 41

56

3.9 Pstroj na rychl natahovn a stlen z ku 41 3.10 Leonardova kresba vodou pohnnho mlecho stroje 42 3.11 Leonardv obrzek stroje na spltn lan 42 3.12 Obrzek transformace posunutm 44 3.13 Obrzek transformace trojhelnku ve srpek 44 3.14 Obrzek Hippokratova msku 44 3.15 Obrzek z Kodexu Madrid II, Leonardovy transformace tles 44 3.16 Leonardova kresba tystnu 47 3.17 Model tystnu 47 3.18 Rekonstrukce tystnu 47

3.19 Leonardova kresba osmistnu 48 3.20 Model osmistnu 48 3.21 Rekonstrukce osmistnu 48 3.22 Leonardova kresba dvanctistnu 49 3.23 Model dvanctistnu 49 3.24 Rekonstrukce dvanctistnu 49 3.25 Leonardova kresba dvacetistnu 50 3.26 Model dvacetistnu 50 3.27 Rekonstrukce dvacetistnu 50 3.28 Leonardova kresba kuboktaedru 51 3.29 Model kuboktaedru 51 3.30 Rekonstrukce kuboktaedru 51 3.31 Leonardova kresba osekanho osmistnu 52 3.32 Model osekanho osmistnu 52 3.33 Rekonstrukce osekanho osmistnu 52 3.34 Leonardova kresba sloeniny dvou tystn (hvzdicov osmistn) 53 3.35 Model sloeniny dvou tystn 53 3.36 Rekonstrukce sloeniny dvou tystn 53

57

Seznam pouit literatury: [1] Antoccia, L., Chastel, A., Cianchi, M., Galluzzi, P., Laurenza, D., Papa, R., Pedretti, C.: Leonardo umlec a vdec, peloila Jchov, A., vydal Knin klub, Praha, 2006, prvn vydn [2] Capra, F.: Vda mistra Leonarda, peloili Synkov, H. a Synek, L., vydalo Nakladatelstv Academia, Praha, 2009, prvn vydn [3] Cianchi, M.: Die Maschinen Leonarda da Vincis, vydalo Becocci editore [4] da Vinci, L.: vahy o malstv, peloil Topinka, F., vydalo nakladatelstv a vydavatelstv GRYF, Praha, 1994 [5] Chmelkov, V., Moravec, L.: Pravideln mnohostny, MFF UK, 2007 [6] Kadevek, F.: Geometrie a umn v dobch minulch, nakladatelstv Pdorys, Praha, 1994 [7] Kadevek, F.: Perspektiva Pruka pro architekty, male a ptele umn, nakladatelstv Jan tenc, Praha, 1922 [8] Pavlkov, I.: Polopravideln mnohostny (bakalsk prce), Masarykova univerzita, Prodovdeck fakulta, 2011 [9] Snchez, L. G.: Gniov umn Leonardo da Vinci, peloila Radilov, K., vydalo Nakladatelstv SUN, Praha, 2007, prvn vydn [10] Svobodov, V.: Historie pravidelnch mnohostn (rigorzn prce), Brno, 2006

Dal pouit zdroje: [11] Ottv slovnk naun/ Dl patnct Krajij Ligustrum, vydalo nakladatelstv Argo a nakladatelstv Ladislav Horek Pasek, Olomouc, 1999 [12] euler.fd.cvut.cz/predmety/geometrie/lp_malirstvi [13] cs.wikipedia.org [14] www.artchiv.info/GALERIE/UMENI/MALIRSTVI/index.html

Doporuen literatura: Laurenza, D.: Leonardovy stroje, peloila Petroov, K., vydalo nakladatelstv SUN, Praha, 2008, prvn vydn Coleov, A.: Umn zblzka Renesance, peloila Voskov, M., vydalo vydavatelstv PERFEKT, Bratislava, 1995, prvn vydn

58

Coleov, A.: Umn zblzka Perspektiva, peloila Solperov, J., vydalo vydavatelstv PERFEKT, Bratislava, 1995, prvn vydn Olsen, S.: Zhadn zlat ez, peloil Holk, P., vydalo nakladatelstv Dokon, Praha, 2009, prvn vydn Lundyov, M.: Posvtn geometrie, peloil Pilucha, J., vydalo nakladatelstv Dokon, Praha, 2008, prvn vydn Sutton, D.: Platnsk a archimedovsk tlesa, peloila Nyklov, H., vydalo nakladatelstv Dokon, Praha, 2011, prvn vydn Martineau, J.: Mal kniha velkch nhod, peloil Holk, P., vydalo nakladatelstv Dokon, Praha, 2008, prvn vydn Pickover, C. A.: Matematick kniha, peloil Holk, P., vydalo nakladatelstv Dokon a nakladatelstv Argo, Praha, 2012, prvn vydn