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7/29/2019 Licence Topologie.dvi

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LICENCEDE

MATHMATIQUES

PURES

Topologie


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Universit Bordeaux IAnne universitaire 2000-01

PHILIPPE CHARPENTIERUNIVERSIT BORDEAUX I

LABORATOIRE DE MATHMATIQUES PURES351, COURS DE LA LIBRATION, 33405 TALENCE

Adresse lectronique: [email protected]


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INTRODUCTION

Cepolycopi a t ralis durant lanne universitaire 2000-2001 alors que jenseignais les certificats de LicenceLA1 et LA2. Jai choisi de faire une prsentation assez exhaustive (donc ne correspondant pas toujours exac-tement au contenu des programmes officiels de la Licence de Bordeaux) pour prparer aux complments detopologie du certificat dAnalyse Fonctionnelle de Matrise affin dviter au maximum les trous que jai puconstater en travaillant la prparation de loral de lagrgation.

La prsentation tche toujours de dgager en premier les concepts gnraux mme si on ne les utilise quedans des cas particuliers. Cest ainsi que, par exemple toutes les notions topologiques que lon doit introduire

lors de ltude des espaces mtriques sont dfinies dans le cadre gnral des espaces topologiques; cela permet de bien distinguerles notions de nature topologique de celles de nature mtrique. Ceci amne videmment rajouter un certain nombre de dfinitionsconcernant les espaces topologiques. Dans le chapitre sur les espaces mtriques, seul le thorme dAscoli t rajout.

Dans le mme tat desprit, pour que la notion de srie, et de srie multiple, dans un espace norm soit bien comprise, jintroduiscelle de famille sommable et je dcris prcisment les liens qui existent entre les deux notions. Cette notion permet de plus dtudierles espaces fondamentaux et ainsi que de traiter, en toute gnralit, la thorie des espaces de Hilbert. Dans le chapitresur les espaces norms, par rapport au programme officiel, jai rajout les thormes classiques lis au thorme de Baire (Sous-sectionIII.4.3, page 61) et le thorme de Hahn-Banach (Sous-section III.4.4, page 62). Pour des raisons de cohrence, je considre que cedernier thorme doit tre enseign en Licence. En annexe, jai dvelopp les notions de thorie des ensembles relatives laxiomedu choix, au lemme de Zorn (utile pour le thorme de Hahn-Banach) et la cardinalit des ensembles. A titre de rfrence, citonsles ouvrages suivants qui ont inspir bien des points : [Die68], [Rud70], [DS67]. Pour la partie thorie des ensembles, les courageuxpouront consulter [Bou67].

Les exercices des fins de chapitre sont ds Grard Galusinski.Philippe Charpentier

iii


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TABLE DES MATIRES

Introduction iii

CHAPITRE I. Les nombres rels 1I.1. Une construction de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2. Suites de nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

CHAPITRE II. Espaces mtriques 7

II.1. Vocabulaire topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.2. Espaces mtriques, dfinition et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.4. Continuit dans les espaces topologiques et mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II.4.1. Suites dans un espace mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.4.2. Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.4.3. Continuit uniforme, isomtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16II.4.4. Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II.5. Espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II.5.1. Connexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II.5.2. Connexit par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.6. Produit despaces topologiques et despaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21II.7. Espaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II.7.1. Suites de Cauchy, espaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.7.2. Exemples despaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II.7.3. Thormes de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.7.4. Compltion dun espace mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.7.5. Thormes du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II.8. Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.8.1. Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.8.2. Espaces mtriques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.8.3. Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.8.4. Compactification dun espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.8.5. Applications aux espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.8.5.1. Approximation des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.8.5.2. quicontinuit, Thorme dAscoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

CHAPITRE III. Espaces vectoriels norms 51III.1. Espaces norms et espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.3. Sries et familles sommables dans un espace norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

III.3.1. Sries dans un espace norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.3.2. Familles sommables et absolument sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.3.3. Sries commutativement convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.3.4. Les espaces et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

III.4. Espaces dapplications linaires et multilinaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.4.1. Applications multilinaires et linaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.4.2. Hyperplans ferms et formes linaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61III.4.3. Les Thormes de Banach et de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61III.4.4. Le Thorme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

III.4.5. Dual dun espace norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64III.4.6. Duaux des espaces et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.5. Espaces norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.5.1. Structure des espaces norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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TABLE DES MATIRES

III.5.2. Sries et familles sommables dans les espaces norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

CHAPITRE IV. Espaces de Hilbert 73IV.1. Formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

IV.1.1. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

IV.1.2. Formes hermitiennes positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.1.3. Exemples de formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

IV.2. Espaces prhilbertiens et Hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75IV.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76IV.4. Projection sur un sous-ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

IV.4.1. Projection sur un convexe spar et complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76IV.4.2. Projection sur un cne convexe spar et complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78IV.4.3. Projection sur un sous-espace vectoriel spar et complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78IV.4.4. Dual dun espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79IV.4.5. Sous-espaces orthogonaux supplmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

IV.5. Sommes hilbertiennes et bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.5.1. Somme hilbertienne externe despaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.5.2. Somme hilbertienne de sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82IV.5.3. Familles orthonormales et bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83IV.5.4. Orthonormalisation, existence des bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84IV.5.5. Exemples de bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Exemples de sujets et de corrigs dexamens 89Examen partiel de lanne universitaire 2000-2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Examen de la session de Janvier 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Examen de la session de Septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Examen partiel de lanne universitaire 2001-2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Examen de la session de Janvier 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

ANNEXE : Lemme de Zorn, Cardinalit des ensembles 103

ANNEXE A. Axiome du choix et Lemme de Zorn 105A.1. Laxiome du choix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.2. Ensembles ordonns : dfinitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A.3. Thorme de Zermelo et Lemme de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107A.4. Applications de laxiome du choix aux espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

ANNEXE B. Cardinalit des ensembles 111B.1. Cardinalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111B.2. Ensembles dnombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.3. Cardinalit des ensembles infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Index des Notations 115

Index Terminologique 117

Bibliographie 121

vi Licence de Mathmatiques Pures de Bordeaux


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CHAPITRECHAPITRE

LES NOMBRESRELS

SECTION I.1

Une construction de

Rappelons tout dabord que lon appelle suite de Cauchy de rationnels une suite de rationnels telle que , il existe

tels que, implique .Les deux propositions suivantes, dont les dmonstrations sont videntes constituent une dfinition mathmatique de .

PROPOSITION I.1.1.

Soit tq est de Cauchy dans . Alors est un anneau commutatif unitairenon intgre pour les oprations

et un espace vectoriel sur pour la multiplication externe

PROPOSITION I.1.2.

Soit . Alors est un idal et un sous-espace vectoriel de et le quotient

est donc un anneau commutatif unitaire et un espace vectoriel sur . Par dfinition ce quotient est appellensemble des nombres rels et est not .

Remarque I.1.1. Les proprits suivantes sont des consquences immdiates de la dfinition de :1. Les lments de sont des classes dquivalence de suites de rationnels : si , et si appartient la classe dquivalence

de , alors .2. Pour tout , soit dfinie par , . Alors lapplication de dans est un

homomorphisme danneau injectif. On identifie alors et et, par abus de langage, on dit que est inclus dans .3. Si est une suite de rationnels qui converge, dans , vers , alors dans .

THORME I.1.1.est un corps commutatif.

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CHAPITRE I. LES NOMBRES RELS

LEMME. Soit , . Il existe , tel que, si est une suite de rationnels appartenant la classedquivalence , alors il existe tels que, pour , on a .

Dmonstration. Puisque , on a . Par suite il existe une sous-suite extraite de et un rationnel tel que,, . La conclusion du lemme en dcoule aisment (avec par exemple ) car est de Cauchy.

Dmonstration du Thorme I.1.1. En effet, si , et si est une suite de rationnels appartenant la classe dquivalence, alors, pour on a

ce qui prouve que , avec , pour , est une suite de Cauchy dans . Alors, clairement est linverse de

.

hrite aisment de lordre dfini sur . En effet, on dira que est strictement positif si il existe une suite dans la classede telle quil existe un entier et un rationnel tels que, pour , on a . Pour deux lments et de ondfinit alors la relation (ou ) par (ou ). Le lemme du Thorme I.1.1 montre que cet ordre est total :

PROPOSITION I.1.3.est un corps totalement ordonn et archimdien.

Le fait que est archimdien rsulte de la mme proprit pour , et on vrifie sans difficults que lordre est compatible avec lastructure de corps (i.e. et implique , et, et implique ).

De la mme manire on dfinit la valeur absolue en posant, pour : . Puis on dfinit les suites convergentesde nombres rels comme dhabitude en utilisant la valeur absolue.

THORME I.1.2.est dense dans i.e. , , , , o dsigne lensemble

des nombres rels strictement compris entre et .

Dmonstration. On peut supposer quitte changer en . Puisque est archimdien, il existe , , telque . Pour la mme raison, lensemble des entiers strictement positifs plus grands que est non vide et admet

donc un plus petit lment qui vrifie donc . Alors on a car, dans le cas contraire, on aurait

ce qui contredit la dfinition de , et un rationnel cherch est .

THORME I.1.3.1. Une suite de nombres rels est convergente dans si et seulement si elle est de Cauchy. On dit que est

complet.2. Soit une suite dintervalles ferms embots de . Alors est un intervalle ferm non

vide. De plus, si , cette intersection est rduite un point (axiome des segments embots).

Dmonstration. Remarquons tout dabord que le 2. rsulte aisment du 1. : en effet, comme la suite (resp. ) est croissante(resp. dcroissante) et majore (resp. minore) on voit facilement quelle est de Cauchy; donc les limites et existent, et,

si on les note respectivement et on a clairement .

Dmontrons donc le 1. Comme il est clair que toute suite convergente est de Cauchy, supposons que soit une suite de Cauchydans et montrons quelle est convergente. Soit une suite de rels strictement positifs qui converge vers . Daprs le ThormeI.1.2, pour tout il existe tel que . Clairement est une suite de Cauchy dans et dfinit donc un rel .Pour conclure, il suffit de voir que ce qui rsulte du lemme suivant :

LEMME. Soit un nombre rel et une suite de rationnels de la classe dquivalence de . Alors la suite converge versdans .

Dmonstration. En effet, il faut voir que , tel que, pour , on a . Vrifions par exemple que ,pour . Pour cela, il faut montrer quil existe et dans les classes respectives de et , et tels que, pour

(et ) on a . Comme est de Cauchy et , il suffit clairement de prendre .

COROLLAIRE 1.nest pas dnombrable.

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I.2. SUITES DE NOMBRES RELS

Dmonstration. Montrons que lintervalle nest pas dnombrable. Sil ltait, on aurait . Couponsen trois intervalles ferms de mme longueurs , , . Lun de ces intervalles, , est tel que . Coupons ensuite

en trois segments gaux et choisissons un qui ne contient pas . En recommenant de mme avec et ainsi de suite, on construitune suite dintervalles ferms embots dont le diamtre tend vers zro et daprs le Thorme I.1.3, on a . Clairement

, , ce qui est absurde.

COROLLAIRE 2.est dense dans .

Dmonstration. Ceci rsulte de la densit de dans (Thorme I.1.2) et du fait que, par le corollaire prcdent, nest pas vide(daprs la Proposition B.2.1, page 112, est dnombrable), car si , .

Rappelons maintenant que si est une partie de , on appelle borne suprieure de (resp. borne infrieure de ) le plus petit(sil existe) (resp. le plus grand) des majorants (resp. minorants) de et on le note (resp. ). En dautres termes,si et seulement si , et, , tel que .

THORME I.1.4.Toute partie non vide majore de admet une borne suprieure (et de mme pour les parties non vides

minores avec la borne infrieure).

Dmonstration. En effet, soient une partie non vide majore de , et un majorant de . Posons . Soit lemilieu du segment . Si est un majorant de , on pose , avec ; sinon cela signifie quil existetel que et on pose . Puis on recommence le mme procd en remplaant par , et ainsi de suite. On

construit ainsi une suite de segments embots dont le diamtre tend vers zro. Daprs le Thorme I.1.3, on a . On

vrifie alors facilement que est la borne suprieure de .

Notation I.1.1. On note .

SECTION I.2

Suites de nombres rels

Si est une suite de nombres rels, on appelle valeur dadhrence dans (resp. ) de la suite tout nombre rel(resp. ) tel quil existe une suite extraite de la suite telle que . Dans la suite nous noterons

lensemble des valeurs dadhrence de la suite dans et le mme ensemble dans .On dit quune suite de nombres rels est borne sil existe deux rels et tels que, , .

THORME I.2.1 (Thorme de Bolzano-Weierstrass).Soit une suite borne de nombres rels. Alors .

Dmonstration. Soit . Alors est une partie borne de (i.e. majore et minore) et, daprs le ThormeI.1.4, elle admet une borne suprieure . La suite est dcroissante et minore et donc converge vers la borne infrieure de .Comme, pour tout entier il existe un entier tel que , quitte extraire de la suite une suite strictementcroissante, on construit aisment une suite extraite de la suite qui converge vers .

Remarque I.2.1. 1. Avec les notations de ci-dessus, si on note la borne infrieure de et le borne suprieure de

, alors .2. Si est une suite quelconque de nombres rels, alors est toujours non vide.

La seconde partie de la remarque rsulte du fait que, si la suite est non borne, par hypothse, ou est une valeur dadh-rence.

DFINITION I.2.1.

Soit une suite de nombres rels. La borne suprieure (resp. infrieure) de sappelle lalimitesuprieure(resp. infrieure) de la suite etsenote (resp. ) ou (resp. ).

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CHAPITRE I. LES NOMBRES RELS

Remarque I.2.2. tant une suite de nombres rels, et .

Exercices

Exercice I.1 (Structure des groupes additifs de ).Soit un sous groupe additif de non rduit et .

1. Montrer que si , alors et .

2. Montrer que si , alors est dense dans .

3. Soit une fonction continue priodique non constante. Montrer que admet une plus petite priode non nulle.

4. Soit un rel nappartenant pas . Montrer, en considrant lensemble , queest dense dans .

Exercice I.2.1. Soit , une application croissante telle que :

Montrer quil existe un rel tel que pour tout rel , .

2. En dduire toutes les applications telles que

et

Exercice I.3.1. Soit un nombre rel .

(a) Montrer quil existe une suite de nombres entiers appartenant lensemble tels que .

(b) Montrer quune telle suite est unique si lon ajoute la condition que lensemble est infini.

2. Une autre preuve de la non dnombrabilit de :Supposons quil existe une bijection et dsignons par le n-ime terme du dveloppement dcimal proprede . Choisissons pour tout entier un nombre de lensemble avec et soit le rel dont ledveloppement dcimal est . Que peut on penser de ?

Exercice I.4.1. Montrer que toute srie absolument convergente de nombres rels est convergente.

2. Montrer que la srie converge dans . On dsignera par sa somme.

3. Montrer que pour tout , .

4. Montrer que la srie ne converge pas dans .

Exercice I.5.Soit une suite numrique et un nombre rel. Exprimer, laide de la notion de sous suite, la proprit :

la suite ne tend pas vers .

Exercice I.6.1. Dmontrer quune suite borne converge si et seulement si ses limite suprieure et infrieure sont gales.

2. Soit une suite numrique et sa limite suprieure dans . Montrer que est caractris par les proprits suivantes :

(a) Quel que soit lensemble des qui vrifient est infini.

(b) Quel que soit lensemble des qui vrifient est fini.



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EXERCICES

3. Caractriser de faon analogue la limite infrieure.

Exercice I.7.Soit une suite relle telle que les sous suites et convergent vers les nombres rels et respectivement. Quelles

sont les valeurs dadhrence de la suite ? Dterminer la limite suprieure de la suite o .

Exercice I.8.1. Dmontrer la rgle de Cauchy :

Soit une suite de nombres rels ou complexes, et soit :

( ).

Si la srie est absolument convergente.Si la srie est divergente.

2. Soit une srie entire complexe, son rayon de convergence vrifie : .

3. Soit le rayon de convergence de la srie entire . Quel est celui de la srie entire ?

Exercice I.9.Soit une suite relle borne telle que la suite converge vers une limite .

1. Soit une valeur dadhrence de la suite . Montrer que est une autre valeur dadhrence de la suite .

2. Itrer le procd prcdent et prouver que la suite converge.

Exercice I.10.Soit un intervalle ouvert de et une application croissante de dans . Montrer que admet une limite droite et gauche entout point de .

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CHAPITRECHAPITRE

ESPACESMTRIQUES

Dans ce chapitre, on pose les bases de lanalyse : les notions despace topologique et despace mtrique sont constammentutilises en analyse. On a choisi de ne traiter en dtails que les espaces mtriques. Nanmoins, tout espace mtriquetant un espace topologique, on a dcid de donner, part, la dfinition despace topologique ainsi que les principalesterminologies qui lui sont attaches. Dans tout le cours qui suit, on pourra ainsi distinguer, dans ltude des espaces

mtriques, ce qui rsulte de la structure despace topologique sous-jacente et ce qui rsulte de la structure mtrique. De plus, enanalyse fonctionnelle, on est amen, de faon quasi ncessaire, considrer certains espaces topologiques qui ne sont pas des espacesmtriques : par exemple la topologie de la convergence simple (c.f. Exemple II.6.1, page 22) est fortement utilise dans ltude des

espaces de formes linaires.

SECTION II.1

Vocabulaire topologique

Dans cette section, on donne la dfinition despace topologique ainsi que lessentiel du vocabulaire topologique de base.

DFINITION II.1.1.On appelleespace topologiqueun ensemble muni dune partie de lensemble des parties devrifiant les proprits suivantes :

1. et appartiennent ;2. Toute runion dlments de est un lment de ;3. toute intersection finiedlments de est un lment de .Les lments de sont appels les ouverts de lespace topologique . De plus les complmentaires de

ouverts de sont appels les fermsde . est parfois appele latopologiede .

On notera donc que toute intersection de ferms est un ferm et que toute runion finie de ferms est un ferm et que et sontdes ferms (une partie de peut tre la fois ouverte et ferme).

Exemple II.1.1 (Lespace topologique ). Une partie de est dite ouverte si, , il existe tel que lintervalle ouvert

est contenu dans . Il est bien clair que ceci dfini une topologie sur .

DFINITION II.1.2.Soit un espace topologique. Soit une partie de

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CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

1. On appelleadhrence de lintersection de tous les ferms contenant (elle existe puisque est unferm qui contient ) et on la note . est un ferm et les lments de sont appels les points adhrents

.2. On appelleintrieurde la runion de tous les ouverts contenus dans (elle existe, puisque est ouvert,

mais peut tre vide) et on la note . est un ouvert et les lments de sont appels les points intrieursde

. 3. Lensemble est appel lafrontire de et se note gnralement .4. Un point de est ditisol(dans ) sil existe un voisinage de tel que .

DFINITION II.1.3.Soit un espace topologique. On dit quune partie de est un voisinagedun point sil existe

un ouvert contenant et contenu dans . En particulier est intrieur si et seulement si est unvoisinage de et est ouvert si et seulement sil est un voisinage de chacun de ses points. Plus gnralement, si

est une partie de on appellevoisinagede toute partie de contenant un ouvert contenant .

Exemple II.1.2. Dans lespace topologique , un voisinage de est une partie de qui contient un intervalle ouvert de la forme, .

DFINITION II.1.4.Un espace topologique est dit spar si tant donns deux points distincts et de , il existe un

voisinage de et un voisinage de tels que .

PROPOSITION II.1.1.Soient un espace topologique et une partie de .1. Un point de est adhrent si et seulement si tout voisinage de rencontre .2. Supposons que soit infinie. On dit que est un point daccumulation de si tout voisinage de

contient une infinit de points de (ce qui implique en particulier ).

Dmonstration. En effet, dans le cas contraire il existe un ouvert contenant et ne rencontrant pas . Alors le complmentaire de

est un ferm contenant et ne contenant pas .

PROPOSITION II.1.2.

Soient un espace topologique et une partie de . Alors .

Dmonstration. En effet, si nappartient pas alors tout ouvert contenant rencontre le complmentaire de .

PROPOSITION II.1.3.Soient un espace topologique et et deux parties de . Alors :1. Si , et ;

2. et .

Dmonstration. Montrons par exemple la premire galit du 2. Linclusion provient du 1. ; dautre partce qui donne linclusion inverse.

Remarque II.1.1. On notera que, en gnral, on a seulement les relations et et pas des galits,comme le montre lexemple et pour la seconde. Un autre exemple est fourni par : et : dansce cas , , , , et (le fait que a t vu au Thorme I.1.2, page 2 et le fait que

au Corollaire 2 du Thorme I.1.3, page 3).

DFINITION II.1.5.

Soient un espace topologique et deux parties de . On dit que estdensedans si .

DFINITION II.1.6.

Un espace topologique est ditsparablesil contient un sous-ensemble dense dans dnombrable.

Exemple II.1.3. Comme nous lavons dj vu est dense dans , ce qui fait que est sparable.



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II.2. ESPACES MTRIQUES, DFINITION ET PREMIRES PROPRITS

DFINITION II.1.7.Soient un espace topologique et une partie de .1. On dit que estraresi lintrieur de son adhrence est vide ou, ce qui revient au mme, que lintrieur

de est dense.2. On dit que estmaigresi elle est contenue dans une runion dnombrable densembles rares (i.e. si elle

est contenue dans une runion dnombrable de ferms dintrieurs vides).

Exemple II.1.4. Dans tout ensemble fini est rare. De mme lensemble des points dune suite convergente est rare. Par contreun ensemble dnombrable nest pas rare en gnral : nest pas rare puisquil est dense dans . est toutefois maigre puisquednombrable. Par contre, nest pas maigre : cest une consquence immdiate du Thorme de Baire ( page 25).

PROPOSITION II.1.4.Soit un espace topologique et soit une partie de . Soit . Alors muni de

est un espace topologique. est appele la topologie induite par celle de et on parle du sous-espacetopologique de

La vrification de la proposition ci-dessus est immdiate.

DFINITION II.1.8.Soit un espace topologique, la topologie de .1. On dit quune partie de est une base pour la topologie de si tout ouvert de est runion

dlments de .2. Soit un lment de . Soit une famille de voisinages de . On dit que est unebase de voisinages

de si tout voisinage de contient un lment de la famille .

En particulier, la famille des ouverts contenant est une base de voisinages de .

DFINITION II.1.9.Soient un espace topologique de topologie , et une relation dquivalence sur lensemble . Soient

lensemble quotient de lensemble par la relation et la surjection canonique de sur .1. Lensemble tels que est une topologie sur appele latopologie

quotientde par . On appelleespace topologique quotientde par , lensemble quotient muni dela topologie quotient .

2. On dit que est une relation ferme(resp. ouverte) si (resp ferm pour , ), (resp.) est ouvert (resp. ferm) pour .

Remarque II.1.2. Il se peut quun espace topologique soit spar sans que lespace topologique quotient le soit.

SECTION II.2

Espaces mtriques, dfinition etpremires proprits

DFINITION II.2.1.On appelledistancesur un ensemble une application possdant les proprits suivantes :1. , ;2. ;3. , ;4. , (ingalit triangulaire).

De plus, on appelleespace mtriqueun ensemble muni dune distance .

Dans toute la suite, la distance dun espace mtrique sera toujours note , sauf lorsque cela peut prter confusion, auquel casla notation sera alors prcise.

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Remarque II.2.1. Une application possdant les proprits 1. 3. et 4. de la dfinition ci-dessus, la proprit 2.tant remplace par , (i.e. la rciproque ntant pas ncssairement vrifie) sappelle un cartsur .

Comme application quasi-immdiate de lingalit triangulaire, on peut noter lingalit souvent utile suivante :

PROPOSITION II.2.1.

Soient un espace mtrique (de distance ) et trois points de . Alors .

DFINITION II.2.2.Soit un espace mtrique.1. Soient et deux parties non vides de . On appelledistance de le nombre rel positif, not

, dfini par ;

2. Soit une partie non vide de . On appelle diamtre de le nombre rel positif, not , dfini par; on dit que estbornsi son diamtre est fini.

Remarque II.2.2. Si on note simplement . De plus on vrifie aisment que .

PROPOSITION II.2.2.Soient un espace mtrique, une partie non vide de et et deux points de . Alors

.

Dmonstration. En effet, par lingalit triangulaire, , lautre in-

galit sobtenant en changeant les rles de et .

PROPOSITION II.2.3.Soient un espace mtrique et et deux parties bornes de . Alors est borne et

.

Dmonstration. En effet, on peut supposer ce qui implique . Alors,

si , et et , on a, par lingalit triangulaire, , ce qui donne, donc, do le rsultat.

DFINITION II.2.3.Soit un espace mtrique.1. On appelleboule ouverte(resp. boule ferme, sphre)de centre et de rayon lensemble

tq (resp. tq , tq ;2. On dit quune partie de estouvertesi , il existe tel que .

PROPOSITION II.2.4.Soit un espace mtrique. Soit lensemble des ouverts de . Alors muni de est un espace topolo-

gique, les boules ouvertes forment une base pour la topologie de et les boules ouvertes centres en un pointune base de voisinages de . On dit que est la topologie dfinie par la distance de .

Dmonstration. En effet, il est clair quune runion densembles ouverts est ouverte et, si et sont deux ouverts, si ,et si et , en posant , on a .

Remarque II.2.3. 1. Les boules ouvertes centres en et de rayons rationnels (en fait ) forment aussi une base de voisinagesde . Tout point admet donc une base dnombrable de voisinages.

2. Un espace mtrique est spar (c.f. Dfinition II.1.4, page 8).3. Soit une partie dun espace mtrique . Pour , soit tq . Alors est un voisinage

de mais lensemble des , , ne forme pas, en gnral, une base de voisinages de (voir toutefois Proposition II.8.16,page 35). Par exemple, dans , si on prend , alors

et le voisinage ouvert

de ne contient aucun ; de mme, si , pour tout , ne contient pas le

voisinage ouvert de .



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II.2. ESPACES MTRIQUES, DFINITION ET PREMIRES PROPRITS

DFINITION II.2.4.On dit quun espace topologique estmtrisablesi sa topologie peut tre dfinie par une distance.

Remarque II.2.4. Si est un cart (Remarque II.2.1, page prcdente) sur un ensemble , on peut dfinir des boules et des sphresde la mme manire que ci-dessus pour une distance, puis une topologie sur , comme dans la Proposition prcdente, qui nest,

priori, pas spare. On obtient ainsi un espace semi-mtrique que lon appelle, par abus de langage, un espace mtrique. Bien quenous ne considrerons pas, pour la thorie, de tels espaces dans ce chapitre, il peut arriver, dans les exemples et dans les chapitres quisuivent, que lon fasse appel cette notion.

PROPOSITION II.2.5.

Une boule ferme et une sphre sont des ensembles ferms. De plus, on a , linclusionpouvant tre stricte (c.f. Exemple 7, Section II.3, page 13).

Dmonstration. En effet, si , cela signifie que , et, si on pose , lingalit triangulaire montre

que ce qui montre que le complmentaire de est ouvert. La preuve pour la sphre est similaire.

PROPOSITION II.2.6.

Soit un espace mtrique.1. Soit une partie de . Alors un point de est adhrent si et seulement si .2. Tout ferm est lintersection dune suite dcroissante densembles ouverts, et tout ouvert est runion dune

suite croissante de ferms. Plus prcisment, si est ferm on a

(c.f. le 3. de la Remarque II.2.3, page prcdente) .

Dmonstration. Si alors toute boule ouverte de rayon strictement positif rencontre ce qui montre que ; rcipro-quement, si , pour tout , il existe tel que ce qui signifie que . La premireassertion du 2. en rsulte, et la seconde sobtient par passage au complmentaire.

PROPOSITION II.2.7.Pour quun espace mtrique soit sparable, il faut et il suffit quil existe une base dnombrable pour sa

topologie.

Dmonstration. La condition est clairement suffisante car si est une telle base et si , , alors est clairement densedans . Inversement, supposons que soit sparable et soit un sous-ensemble dense dnombrable. Montrons que la familledouverts est une base pour la topologie de . Pour cela il suffit de voir que tout boule , ,contient un lment de la famille tel que . Puisque est dense dans , pour tout , il existe

tel que , . Alors, si est assez grand, on peut trouver tel que la boule , avec ,rponde la question.

DFINITION II.2.5.Soient un ensemble et deux distances sur .

1. On dit que et sonttopologiquement quivalentessi les topologies quelles dfinissent sur sontles mmes.

2. On dit que et sontquivalentessil existe deux constantes et telles que.

On notera que, clairement, deux distances quivalentes sont topologiquement quivalentes. Par contre la rciproque est en gnralfausse.

PROPOSITION II.2.8.Soient un espace mtrique et un sous-ensemble de . Soit la restriction de la distance

de . Alors est une distance sur la topologie dfinie par sur est la topologie induite par celle de. On parle alors du sous-espace mtrique .

La dmonstration de cette proposition est immdiate.

Remarque II.2.5. Soient un espacemtrique et une relation dquivalence sur lensemble . En gnral, lespace topologiquequotient nest pas mtrisable (i.e. sa topologie nest pas dfinie par une distance).

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SECTION II.3

Exemples

1. La fonction est une distance sur .

Plus gnralement, la fonction est une distance sur appele la distance Euclidienne. Pour

, est aussi une distance sur .

Pour le voir, on utilise lingalit de Minkowski qui se dduit de celle de Hlder :

Soient et des nombres rels positifs, et deux rels et de vrifiant . Alors on a (Ingalit

de Hlder) :

(II.3.1)

En effet, la fonction tant convexe, on a , ce qui donne, puisque ,

et, si on applique cette ingalit et , on obtient (II.3.1).

On en dduit alors aisment lingalit de Minkowski :

(II.3.2)

En effet, si est tel que , en crivant , (II.3.1) donne

do on dduit le rsultat en utilisant que puis que .

Plus gnralement encore, on note (resp. ) lensemble des suites de nombres complexes (resp. rels) tellesque

si , et si . Sur ces ensembles, les fonctions (resp.

) sont des distances, ce qui se dduit immdiatement de (II.3.2) pour et est vident

pour .

2. Soient un ensemble et un espace mtrique. Soit lensemble des fonctions de dans . Alors

est une distance sur appele la distance de la convergence uniforme sur et muni de cette distance se notegnralement .

3. Soit un ensemble et lensemble des fonctions bornesde dansun espace mtrique .Alors

dfinit sur une distance presque quivalente la distance de la convergence uniforme sur , dans le sens o elle est gale la distance de la convergence uniforme sur sur toute partie de diamtre plus petit que et quivalente la distance de laconvergence uniforme sur sur toute partie borne. On note cet espace .



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II.4. CONTINUIT DANS LES ESPACES TOPOLOGIQUES ET MTRIQUES

4. Soient un ensemble, un espace mtrique et lensemble des fonctions de dans . Soit une famille

dnombrable de parties de telle que . Pour chaque , soit

la distance de la convergence uniforme sur (ce nest pas ncessairement une distance sur , mais, priori, seulementun cart). Alors

est une distance sur appele la distance de la convergence uniforme sur les . Une suite de fonctions convergepour cette distance si et seulement si elle converge uniformment sur chaque .

5. Soit un segment de et soit lensemble des fonctions continment drivables sur . Alors

, est une distance sur .

6. Soit un segmentde et lensemble des fonctions continues sur . Alors

est une distance sur ainsi que .

7. Soit un ensemble. Posons si et . Alors est une distance sur et lespace mtrique obtenu estappel un espace mtrique discret. On notera que, pour cet espace, on a alors que .

8. Soit un nombre premier. Pour tout entier , soit lexposant de dans la dcomposition de , en facteurs premiers.Clairement on a

(II.3.3)

Si est un nombre rationnel non nul, et entiers , on pose , ce qui ne dpend pas de lareprsentation de daprs (II.3.3). De mme, on voit que (II.3.3) est vraie pour des rationnels non nuls. On pose alors, pouret rationnels

(II.3.4)

Alors est une distance sur appele la distance -adique. De plus elle vrifie lingalit

(II.3.5)

Les distances vrifiant lingalit (II.3.5) sont dites ultramtriques.

SECTION II.4

Continuit dans les espaces

topologiques et mtriques

SOUS-SECTION II.4.1

Suites dans un espace mtrique

DFINITION II.4.1.Soient un espace mtrique et une suite dans . On dit que la suite converge vers si, pour

tout voisinage de , il existe un entier tel que, pour , on a et on crit .

Remarque II.4.1. On peut naturellement donner une dfinition semblable dans un espace topologique quelconque. Mais la notionainsi dfinie na, en gnral, pas beaucoup dintrt.

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De la dfinition on dduit immdiatement les proprits suivantes :

PROPOSITION II.4.1.Soit un espace mtrique.1. Pour quune suite dans converge vers il faut et il suffit que, , tel que

implique . Il revient au mme de dire que .2. Soit une suite dans . Si alors pour toute suite extraite de la suite on a

.

DFINITION II.4.2.Soit une suite dans un espace mtrique . On dit que est unevaleur dadhrence de la suitesil existe une suite extraite telle que . Lensemble des valeurs dadhrence de est

parfois not .

Si une suite converge vers alors est lunique valeur dadhrence de . Mais la rciproque nest pas vraie ; par exemple,dans la suite dfinie par , a comme unique valeur dadhrence et ne converge pas.

PROPOSITION II.4.2.Soit une suite dans un espace mtrique . Soit . Les conditions suivantes sont quivalentes :1. est valeur dadhrence de ;2. Pour tout voisinage de et tout entier , il existe un entier tel que ;3. Pour tout , et tout entier , il existe un entier tel que .

Cette proposition est vidente.

PROPOSITION II.4.3.Soient un espace mtrique et une partie de . Soit . Les conditions suivantes sont quivalentes :1. ;

2. est valeur dadhrence dune suite de points de ;3. est limite dune suite de points de .

Dmonstration. Vrifions simplement que 1. implique 3. : par hypothse, pour tout , il existe tel que .Alors la suite rpond la question.

PROPOSITION II.4.4.

Soit une suite dans espace mtrique . Soit . Si est infini et si est pointdaccumulation de alors est valeur dadhrence de la suite .

Dmonstration. En effet, ceci se voit en remarquant que, pour tout , il existe , aussi grand que lon veut tel que.

On remarquera que la rciproque de cette Proposition nest pas vraie en gnral : une valeur dadhrence dune suite nest pasncessairement un point daccumulation de lensemble des points de la suite comme la montre lexemple .

SOUS-SECTION II.4.2

Fonctions continues

DFINITION II.4.3.

Soient et deux espaces topologiques et une application de dans . On dit que estcontinue ensi, pour tout voisinage de dans , il existe un voisinage de dans tel que .

De plus, on dit que estcontinuesi elle est continue en tout point de .

Il revient au mme de dire que, pour tout voisinage de dans , est un voisinage de dans . Dans le cas desespaces mtriques, cette dfinition sexprime aisment en termes de distances et de suites :



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PROPOSITION II.4.5.Soient et deux espaces mtriques de distances respectives et et une application de dans .

Alors les conditions suivantes sont quivalentes :1. est continue en ;2. , il existe , tel que, implique ;

3. Pour toute suite dans qui converge vers , la suite converge vers dans .Dmonstration. Pour voir que 3. implique les deux autres proprits, on raisonne par labsurde et on contredit facilement, par exemple,le 2.

La proprit suivante est importante et compltement gnrale :

THORME II.4.1.Soient et deux espaces topologiques et une fonction de dans . Les conditions suivantes sont

quivalentes :1. est continue;2. Pour tout ouvert de , est un ouvert de ;3. Pour tout ferm de , est un ferm de ;4. pour toute partie de .

Dmonstration. Comme un ensemble est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points (c.f. Dfinition II.1.3),lquivalence 1. 2. rsulte de la dfinition; 2. 3. sobtient par passage au complmentaire; 3. 4. en rsulte aussitt (car

est un ferm contenant ); enfin 4. 3. car si est ferm, et si , alors , donc.

PROPOSITION II.4.6.Soient , et trois espaces topologiques, et . Si est continue en et si

est continue en alors est continue en . En particulier, si et sont continues, lest aussi.

Dmonstration. En effet, si est un voisinage de alors est un voisinage de parhypothse.

Si est un espace topologique et si est un sous-espace de , alors linjection est continue comme le montrela dfinition de la topologie induite (Dfinition II.1.4, page 9). On en dduit la proprit suivante :

PROPOSITION II.4.7.Soient et deux espaces topologiques, une fonction continue en et un sous-espace

de contenant . Alors la restriction de est continue en .

Naturellement, la restriction dune application un sous-espace peut tre continue sans que soit elle mmecontinue aux points de .

PROPOSITION II.4.8.

Soient un espace mtrique et et deux parties non vides de . Si , il existe deuxouverts disjoints et tels que et .

Dmonstration. En effet, daprs la Proposition II.2.2, page 10, la fonction est continue sur , strictementngative sur et strictement positive sur . Il suffit donc de prendre et .

DFINITION II.4.4.Soient et deux espaces topologiques et . On dit que est un homomorphismesi elle

est bijective et si et sont toutes deux continues. De plus, dans ce cas, on dit que les espaces et sonthomomorphes.

La proprit suivante rsulte des dfinitions :

PROPOSITION II.4.9.Soient un ensemble et et deux distances sur . Soient et les espaces mtriques obtenus en

munissant des distances et respectivement. Alors les conditions suivantes sont quivalentes :1. Les distances et sont topologiquement quivalentes ;

2. Lapplication identique est un homomorphisme de sur ;

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3. Pour tout espace topologique et toute fonction , les proprits suivantes sont quivalentes :

(a) est continue;

(b) est continue.

On traduit cette Proposition en disant que deux distances sont topologiquement quivalentes si elle dfinissent les mme fonctionscontinues.

La Proposition suivante est une consquence immdiate de la dfinition des topologies quotients :

PROPOSITION II.4.10.

Soient un espace topologique et une relation dquivalence sur lensemble . Alors la surjectioncanonique de sur est continue de lespace topologique sur lespace topologique .

SOUS-SECTION II.4.3

Continuit uniforme, isomtriesDFINITION II.4.5.

Soient et deux espaces mtriques. On dit quune fonction estuniformment continuesi, , il existe tel que implique .

Limportant dans cette dfinition est que le ne dpend pas de ni de ; cest donc une proprit plus forte que la continuit :toute fonction uniformment continue est continue, mais la rciproque est fausse. De plus, la continuit est une notion topologiquealors que la continuit uniforme est une notion mtrique.

Exemple II.4.1. Si est un sous-ensemble non vide dun espace mtrique alors est uniformment continue.

En effet, ceci rsulte de la Proposition II.2.2, page 10.La proposition suivante est immdiate :


La compose de deux fonctions uniformment continues est uniformment continue.

DFINITION II.4.6.

Soient et deux espaces mtriques de distances respectives et . On dit quune applicationest uneisomtriesi, , on a . Dans ce cas, et si est surjective, on

dit que les espaces et sontisomtriques.

Une isomtrie bijective est naturellement un homomorphisme uniformment continu ainsi que son inverse.La Proposition suivante est immdiate :


Soient un ensemble et et deux distances sur . Si ces distances sont quivalentes, pour tout espacemtrique , toute fonction est uniformment continue pour si et seulement elle est uniformmentcontinue pour .

On traduit cette Proposition en disant que les fonctions uniformment continues sont les mme pour deux distances quivalentes.

On remarquera toutefois que la rciproque de cette proprit nest pas vraie : il se peut que, pour deux distances non quivalentes lesfonctions uniformments continues soient les mme (cest par exemple le cas si est une distance non borne et que lon considre

). En fait ce qui compte ici est ce que lon appelle la structure uniforme de lespace mtrique. Pour avoir une ide surcette notion, les plus courageux pouront consuter [Bou65] Chapitre 2.



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SOUS-SECTION II.4.4

Limites

DFINITION II.4.7.

Soient et deux espaces topologiques, une partie de , tel que voisinage de ,, et une fonction de dans . On dit que a unelimite lorsque tend vers , , et on

crit

si la fonction dfinie par , si , et, , est continue dusous-espace topologique dans .

On notera que la condition voisinage de , nest pas ncessaire pour formuler la dfinition, mais, si estun point isol de , la dfinition ne dit rien, et lunicit de la remarque ci-dessous nest plus vraie. Cette condition est donc supposesatisfaite dans toute la suite.

En termes de voisinages, cette dfinition se traduit comme suit :

PROPOSITION II.4.13.tant donn deux espaces topologiques et , soient , , et . Alors

si et seulement si, pour tout voisinage de dans , il existe un voisinage de dans tel que

Remarque II.4.2. 1. Soient et des espaces topologiques, et . Pour que soit continue en , il faut et ilsuffit que

2. Si est spar, ne peut avoir quune seule limite lorsque tend vers en restant dans .3. On peut aussi dfinir pour . Si , cela ne change rien ; par contre si , lexistence de cette limite

est quivalente la continuit en de .

Le 2. de la remarque ci-dessus est clair en vertu de la Proposition prcdente et de la Dfinition II.1.4, page 8.Dans le cas des espaces mtriques, on peut exprimer cette dfinition avec la distance et les suites :


Soient et deux espaces mtriques de distances respectives et , , , et. Les conditions suivantes sont quivalentes :

1. ;

2. Pour tout , il existe , tel que , , implique ;3. Pour toute suite dlments de telle que , on a .

Dmonstration. 2. est la traduction de en termes de boules. Lquivalence entre 3. et les deux autres proprits rsulte de la Propo-sition II.4.5, page 15.

Les proprits rsumes dans la proposition suivante sont toutes immdiates :


1. Si , alors .

2. Si est telle que et si est continue alors

3. Si et si , alors .

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De la mme manire que lon a dfini les limites suprieures et infrieures de suites de nombres rels (Dfinition I.2.1, page 3), onpeut dfinir les limites suprieures et infrieures dune fonction valeurs dans :

DFINITION II.4.8.

Soient un espace mtrique, une fonction de dans , et un point de . On appellelimite

suprieure (resp. infrieure) de lorsque tend vers en restant dans le nombre

(resp. ).

Naturellement, cette dfinition sinterprte aussitt en termes de suites :


Soient un espace mtrique, une fonction de dans , et un point de . Alors

(resp. ) si et seulement si :

(a) Pour toute suite dlments de qui converge vers on a

(resp. ) ;

(b) Il existe une suite dlments de qui converge vers telle que

(resp. ).

SECTION II.5

Espaces connexes

SOUS-SECTION II.5.1

ConnexitDFINITION II.5.1.

On dit quun espace topologique estconnexe si on ne peut pas le mettre sous la formeo et sont deux ouverts disjoints non vides. Une partie de est diteconnexesi lespace topologique(pour la topologie induite) lest.

On ferra attention au fait que, pour une partie, la connexit est une proporit de la topologie induite. Prcisment, si nest pasconnexe, cela signifie quil existe deux ouverts et de lespace tels que , et , ce quinimplique pas .

Exemple II.5.1. Dans , nest pas connexe ( ).

On peut mme dire plus : les seules parties de qui sont connexes sont les parties rduites un point : est totalement discontinu(c.f. Dfinition II.5.3, page 20).

Par contre :



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II.5. ESPACES CONNEXES

PROPOSITION II.5.1.Les connexes de sont les intervalles.

Dmonstration. Soit un connexe de . Si nest pas un intervalle, il existe trois points , et dans tels que , etdans et dans le complmentaire de . Ceci contredit la connexit de puisque

Vrifions maintenant que tout intervalle est connexe. Soit un intervalle de . Si nest pas connexe, il existe deux ouverts ,, tels que , et . Soit un point de . Par hypothse sur les , on peut, par exemple,

supposer quil existe , . Soit alors

Alors et . Clairement on ne peut avoir ni ni donc ce qui contredit le fait que soit unintervalle.

PROPOSITION II.5.2.Dans un espace topologique toute union dune famille de connexes dont lintersection est non vide est

connexe.

Dmonstration. Soit , , une telle famille. Supposons

ouverts non vides de disjoints. Comme chaque est connexe, il est soit contenu dans soit dans . Comme ils ont tous

un point en commun, ils sont tous contenus soit dans soit dans .

PROPOSITION II.5.3.

Soit une partie connexe dun espace topologique . Tout ensemble tel que est connexe.

Dmonstration. En effet, supposons , les tant des ouverts disjoints de . Comme est connexe, on doit avoir, parexemple, . Ceci qui implique car si , est un voisinage de donc .

PROPOSITION II.5.4.Soient et deux espaces topologiques, une application continue de dans et une partie

connexe de . Alors est connexe.

Dmonstration. Cest une consquence immdiate de la dfinition et du Thorme II.4.1, page 15.

La Proposition suivante est souvent trs utile pour montrer quun espace est connexe :

PROPOSITION II.5.5.Un espace topologique est connexe si et seulement si toute application continue de dans est

constante.

Dmonstration. Ceci est presque immdiat. La ncessit vient du fait que et sont la fois ouverts et ferms dans , et lasuffisance se voit de mme en raisonnant par labsurde.

PROPOSITION II.5.6.Soit un espace topologique. La relation entre lments de dfinie par il existe une partie connexe

de qui contient et est une relation dquivalence. Les classes dquivalences pour cette relation sontappeles les composantes connexes de . La classe dquivalence contenant un lment de est la runiondes connexes de contenant et sappelle la composante connexe de . Lorsque lon parle des composantesconnexes dune partie dun espace topologique il sagit toujours (sauf mention expresse du contraire) descomposantes connexes de lespace topologique muni de la topologie induite par celle de .

Dmonstration. Cette Proposition rsulte de la Proposition II.5.2.

DFINITION II.5.2.Un espace topologique est dittotalement discontinu si ses composantes connexes sont toutes rduites

un seul point.

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DFINITION II.5.3.Un espace topologique est ditlocalement connexesi tout point admet une base de voisinages connexes.

Exemple II.5.2. est un espace mtrique localement connexe (en fait localement connexe par arc c.f. sous-section suivante).

PROPOSITION II.5.7.

Pour quun espace topologique soit localement connexe il faut et il suffit que les composantes connexes desouverts soient ouvertes. En particulier, dans un espace topologique localement connexe, tout point admet unebase de voisinages ouverts connexes.

Dmonstration. La preuve de cette proprit est trs simple. En effet, si est localement connexe, la conclusion rsulte de la Proposi-tion II.5.2 car, un point dune composante connexe dun ouvert possde un voisinage connexe contenu dans louvert et ce voisinage estdonc contenu dans la composante. Rciproquement, si est un voisinage ouvert dun point, la composante connexe du point dansest un ouvert connexe contenu dans .

Remarque II.5.1. Il est clair que la connexit locale nimplique pas la connexit. De mme la connexit nimplique pas laconnexit locale. Par exemple, dans , lensemble constitu du segment de et de tous les segmentsest connexe (car il est connexe par arc c.f. sous-section suivante), mais les points qui ne sont pas sur nont pas de voisinages connexes.

Voici deux exemples classiques dutilisation de la connexit :

PROPOSITION II.5.8.Tout ouvert de est runion dnombrable dintervalles ouverts deux deux disjoints.

Dmonstration. Soit un ouvert de . Comme est localement connexe, les composantes connexes de sont ouvertes, et, commeest dense dans , les composantes connexes de sont les composantes connexes des rationnels de et forment donc un

ensemble dnombrable.

PROPOSITION II.5.9 (Thorme de Darboux).Soit une fonction drivable de dans . Alors est un intervalle. En dautres termes, vrifie

le thorme des valeurs intermdiaires.

Dmonstration. Soit

t qest clairement un connexe (vrification facile en utilisant par exemple la connexit par arcs vue a la sous-section suivante). Soit la

fonction dfinie sur par

Daprs le thorme des accroissements finis, pour , il existe tel que . On a donc .Dautre part, si , on a ce qui entrane . Le rsultat dcoule donc de la Proposition II.5.3

et de la Proposition II.5.1.

SOUS-SECTION II.5.2

Connexit par arcsDFINITION II.5.4.

1. On dit quun espace topologique estconnexe par arcssi, tant donns deux points et de , il existeune application continue de dans telle que et . On dit quune partie de estconnexe par arcs si le sous-espace correspondant est connexe par arcs.

2. On dit quun espace topologique est localement connexe par arcs si, tout point admet une base devoisinages connexes par arcs.

PROPOSITION II.5.10.Tout espace topologique connexe par arcs est connexe.

Dmonstration. Supposons o et sont deux ouverts non vides disjoints. Soit et ; par hypothse,il existe une fonction continue de dans telle que et . Soit t q . Onne peut pas avoir car est continue; on a donc . Dautre part, pour la mme raison, on ne peut avoir ni ni

ce qui est une contradiction.



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II.6. PRODUIT DESPACES TOPOLOGIQUES ET DESPACES MTRIQUES

Remarque II.5.2. Comme il a t dit dans la remarque de la sous-section prcdente, la connexit par arc nimplique pas la localeconnexit.

Exemple II.5.3. Soit le graphe, dans de la fonction , pour . est videment connexe par arcs, doncconnexe, et par suite (Proposition II.5.3), est connexe. Or on voit facilement que est la runion du graphe de la fonction et de

lintervalle de laxe des ordonnes ; on constate alors que nest pas connexe par arcs (le graphe natteint jamais laxe desordonnes).

Cet exemple montre que la rciproque de la proposition ci-dessus est fausse.

PROPOSITION II.5.11.Soient et deux espaces topologiques, une partie connexe par arcs de et une application continue

de dans . Alors est connexe par arcs.

Cette proposition est immdiate.


Soit un espace topologique. La relation dfinie entre deux lments de par il existe un chemincontinu dans qui joint est une relation dquivalence. Les classes pour cette relation sont appeles les

composantes connexes par arcs de . La classe dquivalence contenant un lment est appele la compo-sante connexe par arcs de .

Le fait que, dans cette Proposition, soit une relation dquivalence se vrifie en utilisant linverse dun chemin continu (i.e.parcouru dans le sens inverse) et la juxtaposition de deux chemins.

PROPOSITION II.5.13.Un ouvert de est connexe si et seulement si il est connexe par arcs.

Dmonstration. En effet, soit un ouvert connexe de . Soit un point de , et soit lensemble des points de qui peuvent

tre joints par un chemin continu contenu dans . Toute boule de tant connexe par arcs, est ouvert; dautre part, si , et si, alors, pour la mme raison . Ceci montre que est la fois ouvert et ferm dans ce qui termine la preuve.

SECTION II.6

Produit despaces topologiques etdespaces mtriques

DFINITION II.6.1.

Soit une famille quelconque despaces topologiques et soit le produit des ensembles

. Soit la famille de parties de dfinies comme tant les runions quelconques densembles de la forme, o est un ouvert de et sauf pour un nombre fini dindices . Alors est une topologie sur

appele latopologie produitdes topologies des . muni de cette topologie sappellelespace topologiqueproduit des et se note .

En effet, la seule chose vrifier est que lintersection de deux ensemble de la forme , o est un ouvert de et

sauf pour un nombre fini dindices , est encore de la mme forme, ce qui est vident.Cette dfinition a pour consquence immdiate la description suivante des voisinages des points pour la topologie produit :

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PROPOSITION II.6.1.Soient une famille despaces topologiques et le produit de ceux-ci. Soit un point de . Alors

les ensembles de la forme o est voisinage de et sauf pour un nombre fini dindices ,

forment une base de voisinage de .

Exemple II.6.1. Soient un ensemble et un espace topologique. Soit lensemble des applications de dans .Identifions avec (i.e. on identifie une fonction avec lensemble des valeurs quelle prend). Alors la topologie produit sur

sappelle latopologie de la convergence simple sur . Lespace topologique ainsi obtenu se note parfois .

A titre dexercice, on pourra crire explicitement une base de voisinages dune fonction pour cette topologie pour comprendreintuitivement cette terminologie.

Remarque II.6.1. Si est le produit des espaces topologiques , on peut considrer les projections canoniques (i.e.

). Alors, est continue de dans .

Ceci est une consquence facile de la dfinition et du fait que, si avec si , ouvert de ,

alors .

PROPOSITION II.6.2.Soient lespace topologique produit dune famille despaces , un espace topologique et une appli-

cation de dans . Alors est continue si et seulement si les applications sont continues.

Dmonstration. Ceci sobtient facilement par la remarque ci-dessus et le Thorme II.4.1, page 15.

La topologie produit est en fait dfinie de sorte que cette proposition soit vraie (i.e. la topologie produit est la moins fine rendantcontinues les projections).

PROPOSITION II.6.3.

Soient et deux espaces mtriques de distances respectives et . Alors, sur les troisdistances

et

sont quivalentes et dfinissent la topologie produit. muni de lune de ces distances sappelle lespace m-trique produit de et .

Dmonstration. Le fait que ces distances sont quivalentes est trs simple. Vrifions que dfinit la topologie produit. Soitun point de . Alors, pour , la boule ouverte de centre et de rayon est le produit des boules ouvertes de centres et de

rayon dans chaque . Toute runion de boules ouvertes pour est donc un ouvert pour la topologie produit et la rciproque sobtient

tout aussi immdiatement.

Un produit infini despaces mtriques nest pas, en gnral un espace mtrique. Toutefois :

PROPOSITION II.6.4.Un produit dnombrable despaces mtriques , , est un espace mtrique dont la topologie est

dfinie par la distance donne par la formule

o dsigne la distance de , et .

Dmonstration. Soit une boule ouverte pour . Puisque la srie est convergente, il existe tel que,contiennent lensemble des tels que pour . On dduit facilement le rsultat de cette remarque.

La proprit suivante est immdiate :



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II.7. ESPACES MTRIQUES COMPLETS

PROPOSITION II.6.5.Soient un espace mtrique produit, un espace mtrique et une application de dans .

Pour que soit uniformment continue, il faut et il suffit que les fonctions , le soient.

La description faite ci-dessus de la topologie produit montre que, la plupart du temps, pour vrifier une proprit sur un espaceproduit il suffit de la vrifier sur chacun des facteurs. La proposition suivante est une liste de telles proprits et la dmonstration en est

laisse au lecteur :

PROPOSITION II.6.6.Soient et deux espaces mtriques et leur produit.1. Pour quune suite soit convergente, il faut et il suffit que les suites et le soient.2. Pour que soit un espace de lun des types suivants- born;- sparable,- connexe,- localement connexe,il faut et il suffit que et soient tous deux du mme type.

SECTION II.7

Espaces mtriques complets

SOUS-SECTION II.7.1

Suites de Cauchy, espaces mtriques

completsDFINITION II.7.1.

Soit un espace mtrique. On dit quune suite dans estde Cauchysi , il existe telque, implique .

On notera que cette notion fait appel la distance de ce nest pas une notion topologique. Ainsi elle nest pas ncessairementstable si on remplace la distance de par une distance topologiquement quivalente (c.f. Exemple 3), mais elle lest si on la remplacepar une distance quivalente.

PROPOSITION II.7.1.Soit un espace mtrique.

1. Toute suite convergente dans est de Cauchy.2. Si une suite de Cauchy dans possde une valeur dadhrence alors elle est convergente.

Dmonstration. Le 1. est vident, vrifions le 2. Soit de Cauchy et extraite telle que . Soit ; il existe

donc deux entiers et tels que et impliquent et . Si , on aalors, pour , .

DFINITION II.7.2.Un espace mtrique est ditcompletsi toute suite de Cauchy de est convergente.

PROPOSITION II.7.2.Soit un espace mtrique et un sous-espace. Si est complet, il est ferm dans . Si est complet,

est ferm si et seulement si il est complet.

Ceci est immdiat.La proposition suivante se montre directement partir des dfinitions (c.f. Proposition II.6.6, page 23) :

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PROPOSITION II.7.3.Soient et deux espaces mtriques. Alors lespace mtrique produit est complet si et seulement

si les espaces et sont tous deux complets. De mme, un produit dnombrable despaces mtriques (c.f.Proposition II.6.4, page 22) est complet si et seulement si chaque facteur est complet.

DFINITION II.7.3.Soient et deux espaces mtriques, , . On appelleoscillation de dans , et on

note , le diamtre de :

Soit . On appelleoscillation de au point par rapport le nombre

voisinage de

PROPOSITION II.7.4.

Soient et deux espaces mtriques. On suppose que est complet. Soient et . Pour que

existe, il faut et il suffit que loscillation de au point par rapport soit nulle, et de mme pour(c.f. Dfinition II.4.7).

COROLLAIRE .Dans les conditions de la Proposition, pour que existe, il faut et il suffit que, pour toute suite

dlments de , , qui converge vers , la suite soit de Cauchy dans .

Dmonstration. La condition est bien sr ncssaire. Pour voir quelle est suffisante, on raisonne par labsurde : si la limite nexiste

pas, il existe une suite dans qui converge vers telle que la suite ne converge pas. Comme est complet celaimplique que nest pas de Cauchy.

PROPOSITION II.7.5 (Proprit de Cantor).

Soit un espace mtrique complet. Soit une suite de sous-ensembles ferms non vides de dcrois-sante au sens de linclusion et telle que le diamtre de vrifie

Alors lintersection des est exactement un point.

Dmonstration. En effet, pour tout soit . La dcroissance et la proprit sur le diamtre impliquent que la suite est de

Cauchy et donc converge vers puisque est complet. Puisque pour tout , il en rsulte que son diamtre est nul,

ce qui termine la preuve.

Remarque II.7.1. ATTENTION : si est une suite dcroissante de ferms dun espace mtrique complet dont le diamtrene tends pas vers zro, il se peut que lintersection des soit vide : cest le cas par exemple de dans . Cela peut aussise produire avec une suite dcroissante de ferms borns (c.f. Exemple 2, page 26).

PROPOSITION II.7.6.Soit un espace topologique. Les conditions suivantes sont quivalentes :(i) Toute intersection dnombrable douverts denses est dense.(ii) Toute runion dnombrable de ferms dintrieurs vides est dintrieur vide.(iii) Tout ensemble ouvert non vide est non maigre (Dfinition II.1.7, page 9).

(iv) Le complmentaire dun ensemble maigre est dense.(v) Toute suite de ferms vrifiant est telle que est dense.



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Dmonstration. (i) et (ii) sont quivalents par passage au complmentaire, (ii) implique clairement (iii) qui implique tout aussi facile-ment (iv). Voyons que (iv) implique (v) : si

comme il existe tel que , on a . Comme est rare, la runion de ces ensembles est maigre, ce qui

montre (v). Reste voir que (v) implique (i). Soit une suite douverts denses. Clairement lhypothse implique que nestpas maigre (sil est non vide) et, par suite, la runion des complmentaires des ne peut tre gale cest--dire que lintersectiondes est non vide. Si on remarque que tout ouvert de vrifie automatiquement la proprit (v) (en effet, si , , est une suitede ferms dun ouvert de dont la runion des intrieurs (dans ) est dense dans , on a , , o est un fermde , et, en posant , on obtient une suite , , de ferms de dont la runion des intrieurs (dans ) est dense dans

, ce qui implique que

est dense dans , do le rsultat), le raisonnement ci-dessus donne aussitt la conclusion.

Les proprits introduites dans la Proposition prcdente se justifient par le Thorme essentiel suivant :

THORME II.7.1 (Thorme de Baire).Un espace mtrique complet vrifie les conditions quivalentes de la Proposition II.7.6 ci-dessus.

Dmonstration. Dmontrons ce thorme sous la forme de lassertion sur les ferms. Soit donc une suite de ferms din-

trieurs vides de et montrons que le complmentaire de rencontre toute boule ouverte. Soit une telle boule. Puisque

est dense et ouvert il contient une boule ouverte de rayon dadhrence contenue dans . De mme , donc, contient une boule ouverte de rayon dadhrence contenue dans . En recommenant de mme avec et

, et ainsi de suite, on construit une suite dcroissante de boules ouvertes de rayons tendant vers zro et telles que et

La Proposition II.7.5 montre que lintersection des contient un point, qui, par construction, est dans le complmentaire de la runiondes , ce qui termine la preuve.

Remarque II.7.2. Limportance de ce Thorme a entran lutilisation de nombreuses terminologies.1. Une intersection dnombrable douverts denses sappelle un et une runion dnombrable de ferms dintrieurs vides un .

Un sous-ensemble maigre (Dfinition II.1.7, page 9) dun espace topologique est contenu dans un .2. Un espace mtrique est dit depremire catgorie de Bairesil est runion dnombrable de sous-ensembles dont les adhrences

sont dintrieurs vides. Dans le cas contraire, il est dit de seconde catgorie de Baire. Le Thorme de Baire implique donc quunespace mtrique complet est de seconde catgorie de Baire.

Ce Thorme a de nombreuses applications non videntes en analyse. Les deux Propositions suivantes en sont des exemples trsclassiques. La premire, que nous utiliserons au chapitre suivant, est parfois appele le principe de la borne uniforme et la secondeest connue sous le nom de Thorme de Sunyer et Balaguer (une autre application tout aussi classique est le rsultat de lexercice I

page 95) :

PROPOSITION II.7.7.

Soient un espace mtrique complet (ou un espace de Baire) et une famille de fonctions continuesde dans . Si

alors, pour tout ouvert de il existe un ouvert non vide contenu dans tel que

Dmonstration. Il suffit de dmontrer le rsultat avec quitte lappliquer ensuite une boule ferme de . Soit. ferm, comme intersection de ferms, et par hypothse. Daprs le thorme de Baire,

il existe tel que soit dintrieur non vide ce qui est le rsultat cherch.

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PROPOSITION II.7.8.Soit une fonction de dans lui-mme de classe . On suppose que, pour tout , il existe un entier

(dpendant priori de !) tel que , o dsigne la drive -ime de . Alors est unpolynme.

Dmonstration. Soit lensemble des points de au voisinage desquels il existe une drive de qui est identiquement nulle. Il estclair que est un ouvert. Si lon montre que alors la dmonstration est termine en vertu de la remarque suivante :

Soit un intervalle ouvert (born ou non) contenu dans . Alors il existe un entier tel que est identiquement nulle sur .On peut bien sr supposer non vide. Soit un point de . Par hypothse, il existe un entier et un intervalle ouvert contenant surlequel sannule. Soit le plus grand intervalle ouvert contenant et contenu dans sur lequel sannule. Supposons

: par exemple, . Par continuit, pour tout entier , . Par ailleurs ; il existe un entier tel que estidentiquement nulle au voisinage de . Alors la formule de Taylor-Young applique en un ordre suffisament grand montre queest un polynme de degr au voisinage de ce qui contredit la dfinition de .

Soit maintenant . Comme est ferm, cest un espace mtrique complet. Remarquons tout dabord que ne possdepas de points isols : en effet, si tait isol dans , il existerait tel que les intervalles et seraientcontenus dans , et, daprs ce qui prcde il existerait une drive de identiquement nulle sur ces deux intervalles ce qui implique

. Appliquons maintenant le Thorme de Baire . Soit tels que . Les sont des ferms de , et,par hypothse, est runion des . Le Thorme de Baire implique donc quil existe tel que est dintrieur non nul (dansbien sr). En dautres termes, il existe et tel que est nulle sur .

Remarquons maintenant que, en tout point de , on a , pour tout entier . En effet, comme na pasde points isols, est limite dune suite infinie de points de . En appliquant le Thorme de Rolle entre deux points de cette suite,on conclut quil existe une suite infinie de points qui converge vers et sur lesquels sannule. En rptant ce procd, parrcurrence, pour tout entier , on produit une suite infinie qui converge vers sur laquelle sannule. Ceci prouve notreassertion par continuit.

Comme est un ouvert, cest une runion dnombrable dintervalles douverts deux deux disjoints(Proposition II.5.8, page20). Pourchacun de ces intervalles , il existe un entier tel que est nulle sur . Alors, en appliquantla formule de Taylor en un ordre suffisament lev, on conclut que est un polynme de degr sur . Il en rsulte queest identiquement nulle sur ce qui contredit le fait que et termine la preuve.

C.Q.F.D.

Il existe des espaces topologiques (non ncessairement mtriques (c.f. Proposition II.8.22, page 37)) qui vrifient les conclusionsdu Thorme de Baire. Ceci a amen introduire la terminologie suivante :

DFINITION II.7.4.On dit quun espace topologique estde Bairesil vrifie les conclusions du Thorme de Baire, cest--

dire les proprits quivalentes de la Proposition II.7.6.

PROPOSITION II.7.9.Tout ouvert dun espace topologique de Baire est de Baire.

Dmonstration. Supposons donc que est un ouvert dun espace de Baire , et soit une suite douverts denses de . Alors

les sont denses (dans ) dans et si , est dense dans . Par hypothse, est

dense dans ce qui implique que est dense dans .

SOUS-SECTION II.7.2

Exemples despaces mtriques complets

1. muni de la distance euclidienne est un espace mtrique complet. En effet, cela rsulte facilement du fait que est complet(Thorme I.1.3 page 2), car si on a une suite de Cauchy dans , les suites coordonne par coordonne sont de Cauchy dans(Proposition II.7.3).

2. Les espaces et (c.f. Exemple 1, page 12) sont des espaces mtriques complets. De plus, lespace (resp.) form des suites de (resp. ) qui tendent vers zro linfini est un sous-espace ferm donc un espace

mtrique complet. Lespace fournit un exemple trs simple dune suite dcroissante de sous-ensembles borns ferms dont

lintersection est vide (alors quil est complet) : soit llment de cet espace dont la -ime coordonne vaut (symbole deKronecker qui signifie si et sinon. Soit alors ; il est clair que les sont borns etque leur intersection est vide ; enfin ils sont ferms car ne peut contenir aucune suite de Cauchy (infinie) puisque la distancede est gale si .



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3. Sur , lapplication est une distance qui dfinit la topologie usuelle de

( est un homomorphisme de sur . Toutefois nest pas complet pour : les suites etsont de Cauchy pour mais ne convergent pas.

4. Exemple 2, page 12, lensemble des applications dun ensemble dans un espace mtrique complet muni de ladistance de la convergence uniforme est complet. En effet, si est une suite de Cauchy de fonctions pour la convergence

uniforme, alors, pour tout , est de Cauchy dans et donc converge, et on conclut facilement.

5. (Exemple 3, page 12) est un espace mtrique complet car une limite uniforme de fonctions bornes est borne et,si est une suite de Cauchy de fonctions bornes pour la convergence uniforme, alors la limite est une fonction borne.Plus gnralement, lespace des fonctions bornes dun ensemble dans un espace mtrique complet muni de lamtrique de la convergence uniforme est complet.

6. Soient un espace topologique et un espace mtrique. On note lespace mtrique des fonctions continues dedans muni de la distance de la convergence uniforme (Exemple 3, page 12). Si est complet alors est aussi

complet. En effet, on vrifie sans peine quune limite uniforme de fonctions continues est continue.

7. (Exemple 5, page 13) est un espace mtrique complet. En effet, si est de Cauchy dans cet espace, la suiteconverge uniformment sur , et, comme converge, un thorme nous dit que converge uniformment vers unefonction drivable dont la drive est la limite des .

8. LExemple 6, page 13, fournit un espace mtrique non complet. En effet, pour simplifier les notations, supposons etconsidrons la suite de fonctions continues dfinie par

sursur

Cette suite est bien de Cauchy car , si . Supposons donc que cette

suite converge vers une fonction continue ce qui signifie que

et

La seconde condition donne ce qui entrane (puisque est continue) sur , et comme,

ce qui prcde montre que et, par suite, sur ce qui conduit une contradiction puisque est

continue.

9. Un exemple dapplication du Thorme de Baire est le suivant : soit une fonction positive intgrable au sens de Riemann sur

un segment telle que . Les ensemble , , sont videmment dintrieurs vides, et il rsulte

du Thorme II.7.1 que leur runion lest aussi et contient .

SOUS-SECTION II.7.3

Thormes de prolongement

PROPOSITION II.7.10.Soient et deux espaces mtriques et et deux applications continues de dans .1. Lensemble des tels que est ferm dans .2. Pour que il faut et il suffit que lensemble des tels que soit dense dans .3. Supposons que . Alors lensemble des tels que est ferm dans .

4. Supposons encore . Pour que il faut et il suffit que lensemble des tels quesoit dense dans .

La vrification de cet nonc est vidente.

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PROPOSITION II.7.11.Soient et deux espaces mtriques, un sous-ensemble dense de et une application de dans

. Pour quil existe une application continue de dans concidant avec dans il faut et il suffit que,, existe dans . De plus lapplication est alors unique.

Dmonstration. Comme est dense dans , la condition est clairement ncessaire daprs la Remarque II.4.2, 3., page 17, applique . Supposons donc la condition satisfaite. On pose donc , . Lhypothse implique tout dabord que

, et il reste voir que est continue. Soient et un voisinage ferm de dans . Par hypothse, il existe unvoisinage ouvert de dans tel que . Puisque , , est la limite de par rapport cest aussi la limitede par rapport et, par suite .

PROPOSITION II.7.12.Soient un espace mtrique, un sous-ensemble de dense dans un espace mtrique complet et

une application uniformment continue de dans . Alors se prolonge de manire unique en une applicationuniformment continue de dans .

Dmonstration. En vertu de la Proposition prcdente et de la Proposition II.7.4, page 24, il suffit de voir que loscillation de par

rapport en un point quelconque de est nulle ce qui rsulte aussitt de lhypothse de continuit uniforme.

THORME II.7.2 (Thorme de Tietze-Urysohn).Soient un espace mtrique, une partie ferme de et une application continue borne de dans

. Alors il existe une fonction continue de dans qui concide avec dans et qui est telle queet .

Dmonstration. Comme on peut supposer non constante, quitte la remplacer par , , on peut supposeret . Posons

pour

pour

Lhypothse implique il reste donc seulement montrer que est continue. Comme g est continue sur parconstruction,montrons tout dabord quelle est aussi continue sur . Sur cet ensemble est non nulle et continue (PropositionII.2.2, page 10) et il faut donc voir que est continue en tout point de . Or, si , pour

, on a donc . De mme on a ce qui donne lersultat.

Reste voir la continuit en un point frontire de . Soit . Par la continuit de , il existe tel que pour ,on a . Soit tel que . Si , on a ; supposons donc

. Pour et , on a donc et

comme il vient

On a donc

ce qui montre bien que et termine la preuve.

SOUS-SECTION II.7.4

Compltion dun espace mtrique

Au Chapitre I, nous avons construit de sorte que ce soit le plus petit espace mtrique contenant qui soit complet. C

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