LS 2016/17 - Univerzita Karlovarokyta/vyuka/1617/ls/F_apl_mat/ApM… · 8.1 Základní pojmy 17 8.2...

Aplikovaná matematika II (NMAF072) Mirko Rokyta (KMA MFF UK)

LS 2016/17

7 Lineární vektorové prostory 1 7.1 Definice a příklady 1 7.2 Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 7.3 Podprostory, lineární obal, báze 2 7.4 Lineární zobrazení 4 7.5 Matice – definice a základní vlastnosti 5 7.6 Soustavy lineárních algebraických rovnic 8 7.7 Determinanty a jejich výpočet 10 7.8 Použití determinantů k výpočtům 12 7.9 Vztah mezi maticemi a lineárními zobrazeními 14 7.10 Lineární, bilineární a kvadratické formy 15

8 Funkce více proměnných 17 8.1 Základní pojmy 17 8.2 Konvergence v Rn 18 8.3 Spojitá zobrazení 18 8.4 Parciální derivace a totální diferenciál 19 8.5 Parciální derivace vyšších řádů 21 8.6 Věty o implicitně zadaných funkcích 23 8.7 Extrémy funkcí více proměnných 23 8.8 Taylorův polynom 25

9 Vícerozměrná integrace 27 9.1 Elementy teorie míry 27 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál 28 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci 30 9.4 Věty o limitních přechodech 31 9.5 Integrály s parametrem 31 9.6 Gamma funkce 32

Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika II (NMAF072), kterou jsem v zimním semestru akademického roku 2016/17 vedl na MFF UK a je rozšířením a úpravou textu, který vznikl v letech 2010/11 a 2013/14, kdy jsem tuto přednášku také měl. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a také důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobným korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese [email protected] Text je možno nalézt v elektronické podobně na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/ ©M. Rokyta, 2011-17

mailto:[email protected]

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II – kap. 7: Lineární vektorové prostory 1M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II – kap. 7: Lineární vektorové prostory 1

7 Lineární vektorové prostory

7.1 LVP - definice a príklady

Definice. Množina G se nazývá grupou, jestliže

• v G je definována (binární) operace "◦ : G × G → G", tj. ke každým dvema prvkum x, y ∈ G je

prirazen práve jeden prvek x ◦ y ∈ G, pricemž platí:

• (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) . . . asociativnost

• v G existuje neutrální prvek, tj. ∃e ∈ G, x ◦ e = e ◦ x = x pro každé x ∈ G;

• ke každému x ∈ G existuje inverzní prvek x−1 ∈ G takový, že x ◦ x−1 = x−1 ◦ x = e.

Dodatek: pokud navíc pro všechna x, y ∈ G platí x◦y = y◦x (komutativita), nazývámeG komutativní(nebo též Abelovou) grupou.

Príklady grup:

• Celá císla s operací scítání.

• Nenulová racionální císla s operací násobení.

• Grupa symetrií geometrických útvaru.

• Povolené transformace na Rubikove kostce.

Definice. Množina V se nazývá reálným, resp. komplexním lineárním vektorovým prostorem (LVP),

pokud

• V je komutativní grupou vzhledem k operaci "scítání prvku ve V ";

• ve V je navíc definováno násobení "·" reálným resp. komplexním císlem, splnující:

• 1 · x = x

• α · (β · x) = (αβ) · x . . . asociativnost;

• (α+ β) · x = α · x+ β · xα · (x+ y) = α · x+ α · y . . . distributivnost

pro všechna reálná (resp. komplexní) císla α, β a libovolné x, y ∈ V .

Príklady LVP:

• Prostor Rn se skaláry z R.

• Prostor Cn se skaláry z C.

• Prostor polynomu s reálnými koeficienty (scítání polynomu, násobení reálným skalárem).

• Prostory funkcí, prostory posloupností...

http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


7.2 Lineární závislost a nezávislost vektoru

Úmluva: prvky lineárního (vektorového) prostoru budeme nazývat vektory, prvky (reálná nebo komplexní

císla), kterými násobíme vektory, budeme nazývat skaláry.

Definice. Necht’ x1, . . . , xn ∈ V jsou vektory a c1, . . . , cn skaláry. Potom vektor∑n

j=1 cjxj nazýváme

lineární kombinací prvku x1, . . . , xn s koeficienty c1, . . . , cn.

Pokud je c1 = · · · = cn = 0, nazýváme tuto kombinaci triviální lineární kombinací, v opacném

prípade mluvíme o netriviální lineární kombinaci.

Definice. Rekneme, že vektory x1, . . . , xn ∈ V jsou lineárne závislé, pokud existuje netriviální lineární

kombinace techto vektoru, která je rovna nule. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, tj.

pokud platín∑

j=1

cjxj = 0 =⇒ c1 = · · · = cn = 0,

ríkáme, že vektory x1, . . . , xn ∈ V jsou lineárne nezávislé.

Tvrzení 7.1. Vektory x1, . . . , xn ∈ V jsou lineárne závislé práve tehdy, je-li jeden z nich lineární kombinací

zbylých vektoru.

Definice. Bud’ M ⊂ V libovolná podmnožina LVP. Rekneme, že M je lineárne nezávislá, pokud je každá

její konecná podmnožina lineárne nezávislá.

Poznámka. Výše uvedená definice umožnuje identifikovat i lineárne nezávislé množiny o nekonecném poctu

prvku.

Veta 7.2 (Steinitzova). Necht’ pro vektory x1, . . . , xn ∈ V , y1, . . . , ym ∈ V platí:

• pro všechna k = 1, 2, . . . ,m je vektor yk (nejakou) lineární kombinací vektoru x1, . . . , xn,

• y1, . . . , ym jsou lineárne nezávislé.

Potom m ≤ n.

Jinak receno: v množine všech lineárních kombinací daných n vektoru existuje nejvýše n lineárne

nezávislých vektoru.

Ješte jinak receno: vytvoríme-li z n vektoru lineárními kombinacemi k vektoru, a pritom k > n, tak

techto k vektoru už je lineárne závislých.

7.3 Podprostory, lineární obal, báze

Definice. Necht’ V je lineární vektorový prostor. Množinu P ⊂ V nazýváme podprostorem prostoru V ,

pokud

• pro každé x, y ∈ P je x+ y ∈ P ,

• pro každé x ∈ P a pro každý skalár α je α · x ∈ P .

Pozorování:

• Každý podprostor LVP je sám LVP.

• Prunik libovolných podprostoru je opet podprostor; sjednocení dvou podprostoru je podprostor jen

tehdy, je-li jeden z nich podmnožinou druhého.



Definice (Lineární obal). Bud’ M ⊂ V libovolná podmnožina LVP. Lineárním obalem množiny M

(znacíme L(M)) nazveme množinu všech konecných lineárních kombinací prvku z M ,

L(M) = {x ∈ V, ∃n ∈ N, ∃x1, . . . , xn ∈M,

∃c1, . . . , cn skaláry , x =n∑

j=1

cjxj} .

Príklad: L({0}) = {0}, L(V ) = V , L({[1]}) = R, L({[1, 0], [0, 1]}) = R2.

Veta 7.3. Bud’ M ⊂ V libovolná podmnožina LVP. Potom L(M) je podprostorem ve V .

Poznámky:

• L(M) je nejmenší podprostor, obsahující M ;

• L(M) se nezmení, pokud z M vynecháme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvku z M ;

nebo pokud k M pridáme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvku z M ;

• Bud’ M = {x1, . . . , xn}, Je-li k > n, potom každých k vektoru z L(M) je lineárne závislých (viz

"Steinitz").

Definice. Bud’ V neprázdný LVP.

• Rekneme, že M ⊂ V generuje V (je generátorem prostoru V ), pokud L(M) = V .

• Rekneme, že V je konecne generovaný, pokud existuje množina o konecném poctu prvku, která jej

generuje. V opacném prípade ríkáme, že V je nekonecne generovaný.

Definice (Báze). Podmnožina M ⊂ V se nazývá bází prostoru V , pokud

• M je lineárne nezávislá;

• M generuje V .

Veta 7.4. Každý LVP má bázi.

Poznámka: Báze V není urcena jednoznacne, ale platí: pokud ve V existuje n-prvková báze (n ∈ N),

pak i každá jiná báze V má n prvku (plyne ze Steinitzovy vety).

Definice (Dimenze). • Rekneme, že prostor V má dimenzi n ∈ N, a píšeme dimV = n, pokud v nem

existuje báze, složena z n prvku.

• Nulovému prostoru V = {0} pripisujeme dimenzi 0.

• Rekneme, že V je konecne dimenzionální, pokud dimV ∈ N ∪ {0}.

• Není-li V konecne dimenzionální, ríkáme, že je nekonecne dimenzionální, a píšeme dimV = ∞.

Poznámky:

• Je-li dimV = n ∈ N, pak každá lineárne nezávislá n-prvková množina je báze.

Príklad: Množiny {[1, 0], [0, 1]} i {[2, 0], [3, 3]} jsou báze v R2.

• Je-li dimV = ∞, pak pro každou n-prvkovou množinu M (n ∈ N) platí L(M) ⊂ V , L(M) 6= V .

Veta 7.5 (O zámene). Necht’ dimV = n, {x1, . . . , xn} je báze ve V . Necht’ P ⊂ V je podprostor

V , dimP = k, k < n, {y1, . . . , yk} je báze v P . Potom existují indexy j1, . . . jn−k takové, že množina

{y1, . . . , yk, xj1 , . . . , xjn−k} tvorí bázi ve V .



Dusledek:

• V konecne dimenzionálním prostoru V lze bázi každého podprostoru P ⊂ V doplnit na bázi celého

prostoru V pomocí (nekterých) prvku z predem dané báze celého prostoru V . Jinak receno:

• V konecne dimenzionálním prostoru V lze (nekteré) prvky báze celého prostoru V nahradit prvky

báze daného podprostoru P ⊂ V tak, že výsledná množina zustane bazí celého prostoru V .

Veta 7.6 (O souradnicích). Necht’ dimV = n, {x1, . . . , xn} je báze ve V s reálnými (resp. komplexními

skaláry). Potom pro každý x ∈ V existuje jednoznacne urcená n-tice skaláru c1, . . . , cn taková, že

x =n∑

j=1

cjxj .

Definice. Císla c1, . . . , cn z predchozí vety se nazývají souradnice vektoru x v bázi {x1, . . . , xn}.

7.4 Lineární zobrazení

Definice. Necht’ V a W jsou LVP. Rekneme, že zobrazení ϕ : V →W je lineární, pokud

• D(ϕ) = V ;

• ϕ(cx+ dy) = cϕ(x) + dϕ(y) pro všechny vektory x, y ∈ V a všechny skaláry c, d;

Tvrzení 7.7. Je-li ϕ : V →W lineární zobrazení mezi dvema LVP, platí

ϕ(0) = 0 , ϕ

( n∑

j=1

cjxj

)=

n∑

j=1

cjϕ(xj) ,

pro všechny vektory xj , a všechny skaláry cj , j = 1, . . . , n.

Definice. Bud’ ϕ : V →W lineární zobrazení mezi dvema LVP.

• Množinu R(ϕ) := {y ∈W, ∃x ∈ V, ϕ(x) = y} nazýváme oborem hodnot zobrazení ϕ.

• Množinu N(ϕ) := {x ∈ V, ϕ(x) = 0} nazýváme jádrem zobrazení ϕ.

Poznámky:

• Jiné termíny a znacení: Obor hodnot ≡ Range;

jádro: N(ϕ) = Ker(ϕ).

• Je-li ϕ : V →W lineární zobrazení, je R(ϕ) podprostorem ve W a N(ϕ) podprostorem ve V .

Veta 7.8. Bud’ ϕ : V →W lineární zobrazení mezi dvema LVP.

• Je-li ϕ prosté zobrazení, je ϕ−1 lineární a prosté zobrazení z R(ϕ) do V .

• Zobrazení ϕ je prosté práve tehdy, když platí ϕ(x) = 0 =⇒ x = 0.

(Poznámka: implikace x = 0 =⇒ ϕ(x) = 0 platí vždy.)

• Je-li ϕ prosté zobrazení, pak platí

{x1, . . . xk}LN ve V ⇐⇒ {ϕ(x1), . . . ϕ(xk)}LN ve W

a

{x1, . . . xk}LZ ve V ⇐⇒ {ϕ(x1), . . . ϕ(xk)}LZ ve W .



Veta 7.9. Bud’ ϕ : V →W lineární zobrazení mezi dvema LVP, pricemž dimV je konecná. Potom platí

dimN(ϕ) + dimR(ϕ) = dimV .

Veta 7.10. Bud’ ϕ : V → W lineární zobrazení mezi dvema LVP, pricemž dimV = dimW je konecná.

Potom platí

ϕ je prosté na V ⇐⇒ ϕ zobrazuje V na W .

Duležitým dusledkem je následující veta:

Veta 7.11 (Fredholmova alternativa). Bud’ ϕ : V → W lineární zobrazení mezi dvema LVP, pricemž

dimV = dimW je konecná. Potom

∀ y ∈W ∃ !x ∈ V ϕ(x) = y

práve tehdy, když

ϕ(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 .

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti

Definice. Reálnou resp. komplexní maticí A typu m× n nazveme obdélníkovou tabulku

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

= (aij)i=1,...,m

j=1,...,n,

kde aij ∈ R, resp. aij ∈ C nazýváme prvky matice A.

Poznámky:

• rádky (sloupce) matice A jsou vektory z Rn (Rm) resp. Cn (Cm);

• m× n . . . matice A má m rádku a n sloupcu;

• m = n . . . mluvíme o ctvercové matici A stupne n.

Oznacení. Množinu všech reálných matic rozmeru m×n budeme znacit Mm×n(R), množinu všech kom-

plexních matic rozmeru m× n budeme znacit Mm×n(C).

Úmluva:

Zápisem Mm×n budeme rozumet množinu všech reálných nebo komplexních matic rozmeru m × n,

zejména v situacích, kdy formulované tvrzení nebo vlastnost platí pro matice rozmeru m × n, bez ohledu

na to, jestli jsou reálné nebo komplexní.

Definice. • Rovnost matic: A ∈ Mm×n, B ∈ Mr×s. Potom A = B práve tehdy, když m = r, n = s,

a bij = aij pro všechna i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n.

• Scítání (odcítání) matic: A,B,C ∈ Mm×n,C = A±B: cij = aij ± bij pro všechna i = 1, . . . ,m;

j = 1, . . . , n.

• Násobení skalárem: A ∈ Mm×n, (αA)ij = αaij pro všechna i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n.

Poznámka. • Scítání matic a násobení matice skalárem je tedy definováno "po složkách".

• Mm×n je lineární vektorový prostor dimenze mn.



Definice (Násobení matic). Bud’ A ∈ Mm×s, B ∈ Ms×n. Matice C = A · B ∈ Mm×n je definována

takto:

C = (cij)i=1,...,mj=1,...,n

, kde cij :=

s∑

k=1

aikbkj .

Poznámka (Einsteinova sumacní konvence:)

s∑

k=1

aikbkj ≡ aikbkj

(scítání pres opakující se indexy). Pozor na interpretaci zápisu typu "akk" apod.

Poznámka (Skalární soucin dvou vektoru:) Bud’te ~x = (x1, . . . , xn), ~y = (y1, . . . , yn) dva vektory z

Rn. Potom skalárním soucinem vektoru ~x a ~y nazveme císlo

~x · ~y :=n∑

j=1

xjyj .

Na skalární soucin dvou vektoru lze nahlížet jako na soucin dvou matic: typu M1×n a typu Mn×1. Výsled-

kem je pak matice typu M1×1, tedy císlo.

Poznámka. Pro A,B ∈ Mn×n je definováno A ·B i B ·A, obecne je ovšem A ·B 6= B ·A, tj. násobení

matic není komutativní. Uvažte napríklad

A =

(1 00 2

), B =

(0 10 0

),

kdy

A ·B =

(0 10 0

), B ·A =

(0 20 0

).

Poznámka. • Násobení matic ovšem je asociativní, tj. A · (B ·C) = (A ·B) ·C, pokud jsou všechna

násobení definována (tj. pokud souhlasí rozmery matic).

• Dále platí (overte):

A · (B+C) = A ·B+A ·C ,

(B+C) ·A = B ·A+C ·A ,

λ (A+B) = λA+ λB ,

λ (A ·B) = (λA) ·B ,

pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj. souhlasí rozmery matic).

Definice (Jednotková matice stupne n). Jednotková matice stupne n je matice I ∈ Mn×n tvaru

I =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . 1

.

Poznámka:

• Jednotková matice se též nekdy znací symbolem E.



• Jednotková matice je príkladem tzv. diagonální matice, tj. matice, pro kterou aij = 0, pokud i 6= j.

• Overte: je-li I ∈ Mn×n jednotková matice, pak A · I = I ·A = A, pro všechny matice A ∈ Mn×n.

Definice. • Bud’ A ∈ Mn×n. Rekneme, že A má inverzní matici (znacíme ji A−1), pokud existuje

A−1 ∈ Mn×n, taková, že

A ·A−1 = A−1 ·A = I .

• Pokud A ∈ Mn×n má inverzní matici, ríkáme, že A je regulární matice, v opacném prípade ríkáme,

že A je singulární matice.

Tvrzení 7.12. • Je-li A ∈ Mn×n regulární, pak je A−1 urcena jednoznacne a platí (A−1)−1 = A.

• Jsou-li A,B ∈ Mn×n regulární, pak i matice A ·B a B ·A jsou regulární, a platí

(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 , (B ·A)−1 = A

−1 ·B−1 .

• Množina všech regulárních matic stupne n tvorí grupu vuci operaci násobení matic, pricemž jed-

notkovým prvkem této grupy je jednotková matice.

Tvrzení 7.13. Bud’ A ∈ Mn×n. Potom

A je regulární ⇐⇒ sloupce A jsou LN ⇐⇒

⇐⇒ rádky A jsou LN.

Poznámka:Toto tvrzení ješte pozdeji rozšíríme o další ekvivalentní podmínky.

Definice. • Transponovanou maticí k matici A ∈ Mm×n nazvu matici AT ∈ Mn×m takovou, že

pro její prvky aTij platí: aTij = aji pro všechna i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n.

• Reknu, že matice A ∈ Mn×n je symetrická, pokud A = AT . (Uvedomte si na základe definice

rovnosti dvou matic, že tento pojem má smysl jen pro matice z Mn×n).

• Reknu, že matice A ∈ Mn×n je ortogonální, pokud A ·AT = I.

Tvrzení 7.14. • Bud’ A ∈ Mn×n; potom A ·AT = I ⇐⇒ AT ·A = I.

• Bud’ A ∈ Mn×n; potom A je ortogonální ⇐⇒ (A je regulární a A−1 = A

T ).

Definice. • Hermitovsky sdruženou (nekdo ríká též "adjungovanou") maticí k matici A∈Mm×n(C)

nazvu matici AH ∈ Mn×m(C) definovanou predpisem AH := A

T, kde A je matice, sestávající z

prvku komplexne sdružených k prvkum matice A.

• Reknu, že matice A ∈ Mn×n(C) je hermitovská (prípadne "samoadjungovaná"), pokud A = AH .

• Reknu, že matice A ∈ Mn×n(C) je unitární, pokud A ·AH = I.

Tvrzení 7.15. • Bud’ A ∈ Mn×n(C); potom A ·AH = I ⇐⇒ AH ·A = I.

• Bud’ A ∈ Mn×n(C); potom A je unitární ⇐⇒ (A je regulární a A−1 = A

H ).

Poznámka:

• Pro A ∈ Mn×n(R) splývají pojmy "hermitovská" a "symetrická"; a "unitární" a "ortogonální".



• Nekdy se používá pro AH též oznacení A∗. Presneji, A∗ se užívá pro adjungovanou matici, AH pro

matici Hermitovsky sdruženou. Názvosloví pochází z teorie operátoru, kde tyto pojmy oznacují dve

ruzné vlastnosti. Pro zobrazení, která jsou reprezentována konecnými maticemi, oba pojmy splynou.

Cvicení. Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespon na jedné

strane uvažovaných rovností):

(A ·B)T = BT ·AT ,

(A ·B)H = BH ·AH .

(Porovnejte tyto identity se vztahem

(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 ,

který platí pro regulární matice A,B.)

7.6 Soustavy lineárních algebraických rovnic

Soustavam lineárních algebraických rovnic (LAR) pro n neznámých x1, . . . , xn (pricemž "pravá strana"

y1, . . . ym a "koeficienty" aij jsou dány):

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = y2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = ym

m

Ax = y ≡ A~x = ~y

kde A ∈ Mm×n(R) (resp. Mm×n(C)), ~x ≡ x ∈ Rn (resp. Cn), ~y ≡ y ∈ Rm (resp. Cm).

Diskuse:

1. Pokud ~y = 0, ríkáme dané soustave (A~x = 0) homogenní soustava LAR. Oznacme

NA := {~x ∈ Rn (resp. Cn); A~x = 0}

množinu rešení homogenní soustavy A~x = 0. Potom platí:

• vždy je 0 ∈ NA, tedy NA 6= ∅;

• pokud NA = {0}, ríkáme, že homogenní soustava A~x = 0 má pouze triviální rešení;

• NA je vektorový podprostor prostoru Rn (resp. Cn), tedy ~x ∈ NA, ~z ∈ NA, α, β ∈ R =⇒α~x+ β~z ∈ NA.

2. Pokud ~y 6= 0, ríkáme dané soustave (A~x = ~y) nehomogenní soustava LAR. Platí:

• pokud je ~xP jedno (partikulární) rešení soustavy A~x = ~y, pak všechna rešení soustavy A~x = ~y

mají tvar

~x = ~xP +N∑

J=1

cJ~xJ , (1)

kde cJ jsou konstanty (skaláry), N je dimenze vektorového prostoru NA a ~xJ jsou (lineárne

nezávislé) prvky báze prostoru NA.



• Situaci z (1) nekdy též formálne zachycujeme zápisem ~x = ~xP +NA.

Veta 7.16. Bud’ A ∈ Mm×n. Potom

∀~y ∈ Mm×1 ∃! ~x ∈ Mn×1 , A~x = ~y ⇐⇒ NA = {0} .

Navíc platí: pokud NA je netriviální (NA ) {0}), tak pro pevne zvolené ~y ∈ Mm×1 nastane práve jedna z

techto možností:

• neexistuje ~x ∈ Mn×1 takové, že A~x = ~y (soustava nemá rešení);

• existuje nekonecne mnoho ~x ∈ Mn×1 takových, že A~x = ~y (soustava má nekonecne mnoho rešení);

tato rešení jsou pak tvaru ~xP +NA, kde ~xP je nejaké (jedno) rešení soustavy rovnic A~x = ~y.

Definice. Bud’ A ∈ Mm×n. Hodností matice A (píšeme h(A)) nazveme maximální pocet lineárne

nezávislých sloupcu matice A.

Tvrzení 7.17. Bud’ A ∈ Mm×n. Potom h(A) = h(AT ).

Dusledky:

• Definice hodnosti matice se nezmení, pokud v ní zameníme slovo "sloupcu" slovem "rádku".

• Pro A ∈ Mm×n je h(A) ≤ min(m,n).

Definice. Bud’ A ∈ Mm×n, ~y ∈ Mm×1, ~x ∈ Mn×1. Rozšírenou maticí soustavy A~x = ~y nazvu matici

(A; ~y) ∈ Mm×(n+1), která vznikne rozšírením matice A o jeden sloupec pridáním (sloupcového) vektoru

~y.

Veta 7.18 (Frobenius). Bud’ A ∈ Mm×n, ~y ∈ Mm×1. Potom soustava A~x = ~y je rešitelná (tj. existuje

alespon jedno ~x ∈ Mn×1 takové, že A~x = ~y) ⇐⇒ h(A) = h(A; ~y).

Poznámka: Vždy je h(A) ≤ h(A; ~y) (rozmyslete si), tedy platí: soustava A~x = ~y nemá rešení ⇐⇒h(A) < h(A; ~y).

Veta 7.19. Bud’ A ∈ Mm×n (tedy n je pocet sloupcu matice A). Potom

dimNA + h(A) = n ,

tedy

dimNA = 0 ⇐⇒ h(A) = n .

Veta 7.20 (aneb 1. rozšírení Tvrzení 7.13). Bud’ A ∈ Mn×n ctvercová matice. Potom


⇐⇒ rádky A jsou LN ⇐⇒

⇐⇒ h(A) = n ⇐⇒ dimNA = 0.

Rekapitulace:Mejme soustavu rovnic A~x = ~y, A ∈ Mm×n, ~y ∈ Mm×1, tedy matice A má n sloupcu. Potom

nastane práve jedna z techto trí situací:

1. h(A) = n: ∃! ~x ∈ Mn×1 , A~x = ~y .

2. h(A) < n & h(A) = h((A; ~y)): prostor všech rešení homogenní soustavy A~x = 0 má dimenzi

dimNA = n − h(A), a soustava A~x = ~y má nekonecne mnoho rešení tvaru ~xP + NA, kde ~xP je

jedno (partikulární) rešení soustavy A~x = ~y.



3. h(A) < n & h(A) < h((A; ~y)): prostor všech rešení homogenní soustavy A~x = 0 má dimenzi

dimNA = n− h(A), ale soustava A~x = ~y nemá žádné rešení (není rešitelná).

Definice. Matici A = (aij) nazvu horní trojúhelníkovou maticí, pokud platí aij = 0 pro všechna i > j.

Matici A = (aij) nazvu dolní trojúhelníkovou maticí, pokud platí aij = 0 pro všechna i < j.

Poznámky:

• Matice je horní trojúhelníková a soucasne dolní trojúhelníková práve tehdy, když je diagonální.

• Je-li A horní (nebo dolní) trojúhelníková matice, je nalezení rešení soustavy A~x = ~y jednoduché,

stejne jako nalezení hodnosti matice A.

Gaussova eliminacní metoda rešení soustavy rovnic A~x = ~y: Upravujeme rozšírenou matici soustavy

(A; ~y) s cílem obdržet na míste A horní trojúhelníkovou matici; používáme tyto úpravy:

• prohození dvou rádku v matici (A; ~y) (odpovídá prohození poradí rovnic v systému);

• vynechání rádku v matici (A; ~y), pokud tento rádek tvorí s nekterými dalšími rádky LZ množinu

vektoru (odpovídá vynechání príslušných rovnic v systému);

• vyškrtnutí nulových sloupcu (odpovídá vynechání promenné xj , která se nevyskytuje v soustave

rovnic);

• prohození dvou sloupcu (odpovídá precíslování promenných xj ve vektoru rešení ~x);

• prictení násobku jednoho rádku k jinému rádku matice (A; ~y).

Príklad 1. Rešte tyto soustavy rovnic:

(a) 2x+ 3y+z= 5 (b) 2x+ 3y+z= 5

x+ 4y+z= 3 x+ 4y+z= 3

x− y = 1 x− y = 2

(c) 2x+ 3y+z= 5

x+ 4y+z= 3

x− y+z= 1

Rešení: (a) Nemá rešení. (b) Nekonecne mnoho rešení tvaru [x, y, z] = [2, 0, 1] + c[1, 1,−5], c ∈ R, (dimNA =

1). (c) Práve jedno rešení: [x, y, z] = [ 125, 25,−1].

7.7 Determinanty a jejich výpocet

Definice. Determinant ctvercové matice A ∈ Mn×n, detA, definujeme induktivne takto:

• Pro A ∈ M1×1, A = (a11), definujeme detA := a11 .

• Pro A ∈ Mn×n, definujeme

detA :=n∑

j=1

(−1)j+1a1j detM1j ,

kde M1j je matice, která vznikne z matice A vyškrtnutím 1. rádku a j-tého sloupce.

Príklad: vzorec pro výpocet determinantu A ∈ M2×2, Sarusovo pravidlo pro A ∈ M3×3.



Poznámka. Místo oznacení "detA" používáme nekdy zkrácené znacení "svislé cáry kolem prvku matice

A". Tedy

det

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Pravidla pro výpocet determinantu:

• Je: detAT = detA, proto všechna následující tvrzení platí i tehdy, nahradíme-li všude slova "rádek,

rádky". . . slovy "sloupec, sloupce". . .

• Je-li A matice, kterou dostaneme z A prohozením (zámenou) dvou rádku, pak det A = − detA.

• Obsahuje-li matice A nulový rádek, nebo jsou-li rádky matice A lineárne závislé, je detA = 0.

• Pricteme-li k nejakému rádku matice A lineární kombinaci jiných rádku, nezmení se její determinant.

• Vynásobíme-li nejaký rádek matice A císlem α, je determinant výsledné matice roven α detA.

Tvrzení 7.21 (Rozvoj determinantu podle rádku (sloupce)). Oznacme Mij matici, kterou dostaneme z A

vyškrtnutím i-tého rádku a j-tého sloupce. Oznacme dále Aij := (−1)i+j detMij tzv. algebraický doplnek

prvku aij vzhledem k matici A. Potom platí:

detA =

n∑

j=1

aijAij =

n∑

j=1

(−1)i+jaij detMij , ∀i = 1, . . . , n ,

resp.

detA =n∑

i=1

aijAij =n∑

i=1

(−1)i+jaij detMij ∀j = 1, . . . , n .

Poznámka.

• Císlo detMij nazýváme (i, j)-tým minorem matice A.

• Pro všechna i = 1, . . . , n resp. j = 1, . . . , n obecneji platí:

n∑

j=1

aijAkj = δik detA ,

resp.n∑

i=1

aijAik = δjk detA ,

kde δij je tzv. Kroneckerovo delta, mající vlastnost δii = 1, δij = 0 pro všechna i 6= j.

Tvrzení 7.22. • Je-li A ∈ Mn×n (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, pak

detA =n∏

j=1

ajj .

• Bud’te A,B ∈ Mn×n. Potom

det(A ·B) = detA · detB .



Tvrzení 7.23.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n...

......

...

bk1 + ck1 bk2 + ck2 . . . bkn + ckn...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n...

......

...

bk1 bk2 . . . bkn...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n...

......

...

ck1 ck2 . . . ckn...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

7.8 Použití determinantu k výpoctum

A. Regularita a hodnost matice

Veta 7.24 (aneb 2. rozšírení Tvrzení 7.13). Bud’ A ∈ Mn×n ctvercová matice. Potom


⇐⇒ rádky A jsou LN ⇐⇒

⇐⇒ h(A) = n ⇐⇒ dimNA = 0 ⇐⇒

⇐⇒ detA 6= 0.

Definice. Subdeterminantem dané matice A ∈ Mn×n nazveme determinant jakékoli matice A, která

vznikne z matice A vyškrtnutím stejného poctu rádku a sloupcu. Stupnem subdeterminantu det A nazveme

stupen (tj. rozmer) príslušné (ctvercové) matice A.

Veta 7.25. Hodnost matice A ∈ Mn×n je rovna maximálnímu stupni všech nenulových subdeterminantu

matice A.

B. Výpocet inverzní matice

Veta 7.26. Je-li A ∈ Mn×n regulární matice, pak prvky αij její inverzní matice A−1 jsou dány vzorci:

αij =Aji

detA, i, j = 1, . . . , n ,

kde Aji je algebraický doplnek k prvku aji matice A.

C. Cramerovo pravidlo pro rešení soustavy A~x = ~y

Veta 7.27. Bud’ A ∈ Mn×n regulární matice, ~y ∈ Mn×1. Potom složky x1, . . . , xn rešení rovnice A~x = ~y

jsou dány vzorci:

xi =detA

(i)~y

detA, i = 1, . . . , n ,

kde matice A(i)~y vznikne tak, že v matici A nahradíme její i-tý sloupec vektorem ~y.



Príklad 2Rešte pomocí Cramerova pravidla:

2x+ 3y+z= 5

x+ 4y+z= 3

x− y+z= 1

Rešení: Je ∣∣∣∣∣∣

2 3 11 4 11 −1 1

∣∣∣∣∣∣= 5 6= 0 ,

∣∣∣∣∣∣

5 3 13 4 11 −1 1

∣∣∣∣∣∣= 12 ,

∣∣∣∣∣∣

2 5 11 3 11 1 1

∣∣∣∣∣∣= 2 ,

∣∣∣∣∣∣

2 3 51 4 31 −1 1

∣∣∣∣∣∣= −5 ,

Proto x = 12

5, y = 2

5, z = −5

5= −1. Porovnejte výsledek s výsledkem Príkladu 1 c).

D. Nalezení kolmého vektoru ke dvema vektorum v R3, jejich vektorový soucin

Definice (Kolmé vektory). Bud’te ~x = (x1, . . . , xn), ~y = (y1, . . . , yn) dva vektory z Rn. Rekneme, že tyto

dva vektory jsou kolmé (ortogonální), pokud

~x · ~y :=n∑

j=1

xjyj = 0 ,

tedy pokud skalární soucin (nenulových) vektoru ~x, ~y je nulový.

Poznámka. Platí ~x · ~y = ~y · ~x.

Definice (Vektorový soucin dvou vektoru z R3). Bud’te ~x = (x1, x2, x3), ~y = (y1, y2, y3) ∈ R3. Definujme

vektorový soucin techto dvou vektoru predpisem

~x× ~y :=

(∣∣∣∣x2 x3y2 y3

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣x1 x3y1 y3

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣x1 x2y1 y2

∣∣∣∣)

∈ R3 . (2)

Veta 7.28. Pro ~x, ~y ∈ R3 platí:

• ~y × ~x = −(~x× ~y).

• ~x a ~y jsou lineárne nezávislé ⇐⇒ ~x× ~y 6= 0 .

• Jsou-li ~x a ~y jsou lineárne nezávislé, pak je vektor ~x× ~y kolmý jak k vektoru ~x, tak k vektoru ~y.

Poznámka. • Bud’te ~x, ~y, ~z ∈ R3. Potom

~z · (~x× ~y) =

∣∣∣∣∣∣

z1 z2 z3x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣.

Odtud ihned plyne predchozí veta (rozmyslete si).

• Oznacme ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1). Definici vektorového soucinu pak lze formálne

zachytit i takto:

~x× ~y =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣.



Poznámka. Oznacme ~e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , ~en = (0, 0, . . . , 1) ∈ Rn. Vektorový soucin v Rn lze definovat

pro (n−1) vektoru ~x1, . . . , ~xn−1 ∈ Rn pomocí následujícího determinantu:

~x1 × ~x2 × · · · × ~xn−1 :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~e1 ~e2 . . . ~enx11 x12 . . . x1n...

.... . .

...

xn−11 xn−1

2 . . . xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Jsou-li vektory ~x1, . . . , ~xn−1 lineárne nezávislé v Rn, je (nenulový) vektor ~x1 × ~x2 × · · · × ~xn−1 kolmý ke

všem temto vektorum.

E. Objem rovnobežnostenu v Rn

Tvrzení 7.29. Necht’ ~a1 = (a11, . . . , a1n), . . . , ~an = (an1 , . . . , a

nn) je n lineárne nezávislých vektoru v Rn.

Potom absolutní hodnota determinantu∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

je císelne rovna objemu rovnobežnostenu, jehož hrany tvorí tyto vektory.

7.9 Vztah mezi maticemi a lineárními zobrazeními

Veta 7.30. • Bud’ A ∈ Mm×n(R). Potom zobrazení ϕ : Rn → Rm definované predpisem

ϕ(~x) := A~x pro všechna ~x ∈ Rn

je lineární.

• Bud’ ϕ : Rn → Rm lineární zobrazení. Potom existuje práve jedna matice Aϕ ∈ Mm×n(R) taková,

že

ϕ(~x) = Aϕ~x pro všechna ~x ∈ Rn.

V tomto prípade ríkáme, že Aϕ reprezentuje zobrazení ϕ.

Veta 7.31. Pokud n = m a Aϕ ∈ Mn×n(R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : Rn → Rn, platí

ϕ je prosté ⇐⇒ ϕ je "na" ⇐⇒ Aϕ je regulární.

Veta 7.32. Pokud A ∈ Mn×n(R), reprezentující lineární zobrazení ϕ : Rn → Rn, je regulární, pak matice

A−1 ∈ Mn×n(R) reprezentuje zobrazení ϕ−1 : Rn → Rn, inverzní k ϕ.

Veta 7.33. Pokud A ∈ Mm×n(R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : Rn → Rm, a B ∈ Ms×m(R)reprezentuje lineární zobrazení ψ : Rm → Rs, pak matice B · A ∈ Ms×n(R) reprezentuje lineární

zobrazení ψ ◦ ϕ : Rn → Rs.

Predchozí ctyri vety zustanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolem C.



7.10 Lineární, bilineární a kvadratické formy

Definice. Lineární formou (lineárním funkcionálem) nad (reálným resp. komplexním) vektorovým pro-

storem V nazvu lineární zobrazení f prostoru V do R resp. C.

Veta 7.34. Necht’ {~e (1), . . . , ~e (n)} je báze v n-dimenzionálním vektorovém prostoru Vn. Potom každý

lineární funkcionál f nad Vn je tvaru

f(~x) =

n∑

j=1

αjγj ,

kde γj = f(~e (j)), j = 1, . . . , n, a ~α jsou souradnice vektoru ~x v bázi {~e (1), . . . , ~e (n)}, tj. ~x =∑n

j=1 αj~e(j).

Definice. Bilineární formou na (reálném resp. komplexním) vektorovém prostoru V nazvu zobrazení A =A(~x, ~y) z prostoru V × V do R resp. C, které splnuje následující požadavky pro všechna ~x, ~y, ~z ∈ V a pro

všechna α ∈ R resp. C:

A(~x+ ~y, ~z) = A(~x, ~z) +A(~y, ~z) , (3)

A(~x, ~y + ~z) = A(~x, ~y) +A(~x, ~z) , (4)

A(α~x, ~y) = αA(~x, ~y) , (5)

A(~x, α~y) = αA(~x, ~y) . (6)

Poznámka. Vlastnosti (3)–(5) jsou vlastnosti linearity, vlastnost (6) je tzv. antilinearita vzhledem ke druhé

složce. Pokud jsou skaláry z R, je bilinearita totéž co linearita v každé z obou složek.

Definice. Bilineární forma A(~x, ~y) na V se nazývá hermitovská (resp. symetrická), pokud pro všechna ~x,

~y ∈ V platí

A(~x, ~y) = A(~y, ~x) (resp. A(~x, ~y) = A(~y, ~x) ) .

Poznámka. • Príkladem hermitovské bilineární formy je skalární soucin na vektorovém prostoru.

• Je-li A ∈ Mn×n(K), A = (aij)ni,j=1, je zobrazení

A(~x, ~y) :=n∑

i,j=1

aijxiyj ≡ (A~x, ~y) , ~x, ~y ∈ Kn ,

bilineární formou na Kn, která je hermitovská práve tehdy, když je hermitovská matice A.

Na konecnedimenzionálních prostorech je výše zmínená situace typická:

Veta 7.35. Bud’ A(~x, ~y) bilineární forma na Vn, dimVn = n. Bud’ {~e (1), . . . , ~e (n)} báze ve Vn. Potom

A(~x, ~y) = (A~α, ~β) =n∑

i,j=1

aijαiβj ,

kde pro prvky matice A platí aij = A(~e (i), ~e (j)), a ~α, resp. ~β jsou souradnice vektoru ~x resp. ~y v bázi

{~e (1), . . . , ~e (n)}.

Poznámka. Je-li A ∈ Mn×n(C) hermitovská matice, pak platí (A~x, ~x) ∈ R (ukažte to). Pokud je navíc

(A~x, ~x) ≥ 0 a (A~x, ~x) = 0 ⇐⇒ ~x = 0, je výrazem (A~x, ~y), ~x, ~y ∈ Cn, (kde (·, ·) je eukleidovský

skalární soucin v Cn), maticí A definován (urcen) jiný skalární soucin (bilineární forma A(~x, ~y) = (A~x, ~y)má všechny vlastnosti skalárního soucinu). Tento nový skalární soucin generuje odpovídající normu,

‖~x‖A :=√

(A~x, ~x) , (7)

címž zavádí i nový pojem vzdálenosti (metriky) v Cn, ρA(~x, ~y) := ‖~x− ~y‖A.



Poznámka. Casto se používají pojmy "skalární soucin", "norma", "metrika" i tehdy, když forma (A~x, ~y)nemá všechny vlastnosti skalárního soucinu. Napríklad tzv. Minkowského metrika (používaná v teorii rela-

tivity) je definovaná diagonální maticí A ∈ M4×4(R), mající na diagonále prvky (1, 1, 1,−c2). Odpovída-

jící casoprostorová metrika generuje casoprostorovou "normu" tvaru

‖(x, y, z, t)‖2 = x2 + y2 + z2 − c2t2 .

Definice (Kvadratická forma). Je-li A(~x, ~y) bilineární forma na vektorovém prostoru V , nazvu zobrazení

Q(~x) := A(~x, ~x) : V → R (C)

kvadratickou formou na V , generovanou (vytvorenou) bilineární formou A. Kvadratická forma se nazývá

hermitovskou, pokud je vytvorena hermitovskou bilineární formou.

Tvrzení 7.36. Bilineární forma A(~x, ~y) v komplexním prostoru je hermitovská práve tehdy, když A(~x, ~x) ∈R pro každé ~x.

Tvrzení 7.37. V reálném prostoru lze každou kvadratickou formu vytvorit pomocí jediné symetrické bi-

lineární formy.

Príklad 2. Kvadratická forma Q(~x) = x21 + x1x2 + 3x1x3 + 2x22 : R3 → R muže být vytvorena jednak

(nesymetrickou) bilineární formou

AN (~x, ~y) = x1y1 + x1y2 + 3x1y3 + 2x2y2 ,

jednak symetrickou formou

AS(~x, ~y) = x1y1 +1

2(x1y2 + x2y1) +

3

2(x1y3 + x3y1) + 2x2y2 .

Poznámka. Predchozím dvema bilineárním formám AN resp. AS odpovídají príslušné dve matice

AN =

1 1 30 2 00 0 0

, AS =

1 12

32

12 2 032 0 0

.

Veta 7.38 (o prevedení na kanonický tvar). Ke každé hermitovské kvadratické forme Q(~x) v komplexním

vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické forme v reálném vektorovém prostoru) Vn (dimVn =n) se skalárním soucinem existuje ortonormální báze {~e (1), . . . , ~e (n)} ve Vn taková, že

Q(~x) =n∑

j=1

λj |αj |2 , pro ~x =

n∑

j=1

αj~e(j) , (8)

kde λj ∈ R jsou urcena jednoznacne až na poradí.

Definice (Kanonický tvar). Kanonickým tvarem kvadratické formy Q(~x) v komplexním vektorovém pros-

toru (resp. v reálném vektorovém prostoru) Vn (dimVn = n) se skalárním soucinem nazveme tvar

Q(~x) =

n∑

j=1

λj |αj |2 , pro ~x =

n∑

j=1

αj~e(j) , (9)

kde {~e (1), . . . , ~e (n)} ve Vn je nejaká báze ve Vn a λj jsou nejaké skaláry.

Veta 7.39 (Zákon setrvacnosti kvadratické formy). Ke každé hermitovské kvadratické forme Q(~x) v kom-

plexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické forme v reálném vektorovém prostoru) Vn se

skalárním soucinem (dimVn = n) existuje (nikoli nutne ortonormální) báze {~e (1), . . . , ~e (n)} ve Vn taková,

že

Q(~x) =n∑

j=1

ρj |αj |2 , pro ~x =

n∑

j=1

αj~e(j) , (10)

kde ρj ∈ R jsou bud’ 0, 1 nebo −1, pricemž pocet nul, jednicek a minus jednicek nezávisí na bázi, v níž má

Q(~x) tvar (10).


M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II – kap. 8: Funkce více promenných 17M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II – kap. 8: Funkce více promenných 17

8 Funkce více promenných

8.1 Základní pojmy

Definice. Eukleidovskou vzdálenostíbodu~x = (x1, . . . , xn), ~y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn budeme rozumet

císlo‖~x − ~y‖, kde‖~x − ~y‖2 =

n∑

j=1

(xj − yj)2 .

Poznámka. (i) ∀~x, ~y ∈ Rn : ‖~x − ~y‖ = 0 ⇐⇒ ~x = ~y,

(ii) ∀~x, ~y ∈ Rn : ‖~x − ~y‖ = ‖~y − ~x‖, obecneji ‖α(~x − ~y)‖ = |α|‖~x − ~y‖, (α ∈ C).

(iii) ∀~x, ~y, ~z ∈ Rn : ‖~x − ~y‖ ≤ ‖~x − ~z‖ + ‖~z − ~y‖.

Obecne jakékoli zobrazení‖ · ‖ : Rn → 〈0, +∞) s vlastnostmi (i)–(iii) nazývámenormou na prostoru

Rn.

Definice. (i) Necht’ ~x ∈ Rn, r > 0. MnožinuBr(~x) ≡ Ur(~x) definovanou predpisem

Br(~x) = {~y ∈ Rn; ‖~x − ~y‖ < r}

nazývámeotevrenou koulí se stredem~x a polomerem r nebo takéotevreným okolím bodu ~x.

(ii) Necht’ ~x ∈ Rn, r > 0. MnožinuBr(~x) definovanou predpisem

Br(~x) = {~y ∈ Rn; ‖~x − ~y‖ ≤ r}

nazývámeuzavrenou koulí se stredem~x a polomerem r.

Definice. (i) Necht’ M ⊂ Rn, ~x ∈ R

n. Rekneme, že~x ∈ Rn je vnit rním bodem množiny M , jestliže

existujer > 0 splnujícíBr(x) ⊂ M .

(ii) MnožinaM ⊂ Rn se nazýváotevrená, jestliže každý její bod je jejím vnitrním bodem.

(iii) Vnit rkem množiny M rozumíme množinu všech vnitrních bodu množinyM . Vnitrek množinyMbudeme znacit int M .

Poznámka. (i) MnožinaM ⊂ Rn je otevrená ⇐⇒ M = intM .

(ii) Prázdná množina a celý prostorRn jsou otevrené množiny.

(iii) Necht’ A je neprázdná množina indexu. Necht’ množinyGα ⊂ Rn, α ∈ A, jsou otevrené. Pak

⋃

α∈A Gα je otevrená množina.

(iv) Necht’ m ∈ N. Necht’ množinyGi, i = 1, . . . , m, jsou otevrené. Pak⋂m

i=1 Gi je otevrená množina.(Prunik nekonecne mnoha otevrených množin nemusí být otevrená množina: rozmyslete si, že platí:⋂∞

n=1(−1n, 1

n) = {0}).

Definice. (i) Necht’ M ⊂ Rn a ~x ∈ R

n. Rekneme, že~x je hrani cním bodem množinyM , pokud prokaždér > 0 platíBr(~x) ∩ M 6= ∅ a zároven Br(~x) ∩ (Rn \ M) 6= ∅.

(ii) Hranicí množiny M rozumíme množinu všech hranicních boduM . Znacíme jiH(M) nebo∂M .

(iii) Uzáverem množinyM rozumíme množinuM ∪ H(M). Uzáver množinyM znacímeM .

(iv) Rekneme, že množinaM je uzavrená, jestliže obsahuje všechny své hranicní body (tj.H(M) ⊂ M ,neboliM = M ).

http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/


Poznámka. (i) MnožinaF ⊂ Rn je uzavrená, práve kdyžR

n \ F je otevrená.

(ii) Prázdná množina a celý prostorRn jsou uzavrené (i otevrené).

(iii) Necht’ A je neprázdná množina indexu. Necht’ množinyFα ⊂ Rn, α ∈ A, jsou uzavrené. Pak

⋂

α∈A Fα je uzavrená množina.

(iv) Necht’ m ∈ N. Necht’ množinyFi, i = 1, . . . , m, jsou uzavrené. Pak⋃m

i=1 Fi je uzavrená množina.(Sjednocení nekonecne mnoha uzavrených množin nemusí být uzavrená množina: rozmyslete si, že⋃∞

n=1〈1n, 1 − 1

n〉 = (0, 1)).

Definice. Necht’A ⊂ Rn, A 6= ∅, a~x ∈ R

n. Vzdáleností bodu~x od množinyA rozumímecíslo

ρ(~x, A) = inf{‖~x − ~y‖; ~y ∈ A}.

Diametrem (prumerem)neprázdné množinyB ⊂ Rn rozumíme

diamB = sup{‖~x − ~y‖; ~x, ~y ∈ B}

a klademediam ∅ = 0. PokuddiamB < ∞, pakríkáme, žeB je omezenámnožina.

8.2 Konvergence vRn

Definice. Necht’{~xk}∞k=1 je posloupnost prvkuRn. Rekneme, že{~xk}

∞k=1 konverguje k ~y ∈ R

n, ~xk → ~y,jestliže platílimk→∞ ‖~xk − ~y‖ = 0. Prvek~y nazývámelimitou posloupnosti {~xk}

∞k=1. Konvergentní

posloupností vRn rozumíme každou posloupnost prvkuR

n, která má limitu vRn.

Veta 8.1.Necht’{~xk}∞k=1 je posloupnost prvkuRn, ~xk = (xk,1, . . . , xk,n) a necht’~y = (y1, . . . , yn). Potom

~xk → ~y ⇐⇒ xk,j → yj pro všechnaj ∈ {1, 2, . . . , n}.

Veta 8.2(vlastnosti konvergence). Platí:

(i) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

(ii) Necht’ A ⊂ Rn. MnožinaA je uzavrená, práve když limita každé konvergentní posloupnosti prvku

zA leží vA.

(iii) Necht’ {~xkj}∞j=1 je posloupnost vybraná z posloupnosti{~xk}

∞k=1 prvku R

n, tj., {kj}∞j=1 je rostoucí

posloupnost prirozených císel. Jestliželimk→∞ ~xk = ~y, pak takélimj→∞ ~xkj= ~y.

8.3 Spojitá zobrazení

Definice. Necht’ ~f : Rn → R

m je zobrazení,~a ∈ Rn aM ⊂ R

n.Rekneme, že

• ~f je spojité v bode~a vzhledem k množineM , jestliže~a ∈ M a platí

∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀~x ∈ M : ‖~x − ~a‖ < δ ⇒ ‖~f (~x) − ~f (~a))‖ < ε;

• f je spojité v bode~a, jestliže je spojité v~a vzhledem kRn. ~f je spojité na M , jestliže je spojité vkaždém bode~a ∈ M vzhledem kM .

Definice. Necht’A ⊂ Rn a~x ∈ A. Rekneme, že~x je izolovaným bodem množinyA, jestliže

∃ε > 0: A ∩ (Bε(~x) \ {~x}) = ∅.



Definice. Necht’ ~f : Rn → R

m, A ⊂ Rn a necht’~a ∈ R

n není izolovaným bodem množinyA. Rekneme,že prvek~b ∈ R

m je limitou zobrazení ~f v bode~a vzhledem k množineA, jestliže platí

∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0∀~x ∈ A, ~x 6= ~a : ‖~x − ~a‖ < δ =⇒ ‖~f (~x) −~b‖ < ε.

Je-liA = Rn, ríkáme, že~f máv bode~a limitu ~b.

Oznacení. Pokud limita ~f v bode ~a vzhledem kA existuje, pak ji znacíme lim~x→~a,~x∈A

~f (~x). Místo zápisu

lim~x→~a,~x∈Rn

~f (~x) píšeme jenlim~x→~a

~f (~x).

Veta 8.3(Heineova veta o limite). Necht’ ~f : Rn → R

m, A ⊂ D(~f ),~a není izolovaným bodemA,~b ∈ Rm.

Potom jsou následující dve tvrzení ekvivalentní:

(i) lim~x→~a,~x∈A~f (~x) = ~b,

(ii) pro každou posloupnost{~xk} prvku množinyA, ~xk 6= ~a, splnujícílim ~xk = ~a, platí lim ~f (~xk) = ~b.

Veta 8.4(Heineova veta o spojitosti). Necht’ ~f : Rn → R

m, A ⊂ D(~f ), ~a není izolovaným bodemA.Potom jsou následující dve tvrzení ekvivalentní:

(i) ~f je spojitá v bode~a vzhledem k množineA,

(ii) pro každou posloupnost{~xk} prvku množinyA, splnujícílim ~xk = ~a, platí lim ~f (~xk) = ~f (~a).

Poznámka.Platí standardní vety o aritmetice limit, o spojitosti souctu, rozdílu, soucinu a podílu.

Veta 8.5(spojitost složeného zobrazení v bode). Necht’ ~f : Rn → R

m a ~g : Rm → R

k jsou vektorovéfunkce více promenných. Necht’~a ∈ P ⊂ R

n, ~f (~a) ∈ Q ⊂ Rm, a necht’ platí:

• existujeδ ∈ R, δ > 0, takové, že~f (Bδ(~a) ∩ P ) ⊂ Q,

• ~f je spojité v bode~a vzhledem kP ,

• ~g je spojité v bode~f (~a) vzhledem kQ.

Pak zobrazení~g ◦ ~f je spojité v bode~a vzhledem kP .

8.4 Parciální derivace a totální diferenciál

Definice. Necht’ f : Rn → R je reálná funkcen promenných,~a ∈ R

n, 1 ≤ i ≤ n. Pakparciální derivacifunkce f v bode~a podle i-té promennédefinujeme jako limitu

∂f

∂xi(~a) = lim

t→0

f(~a + t~e i) − f(~a)

t,

pokud tato existuje vlastní. Symbolem∂f∂xi

oznacujemeparciální derivaci funkce f podle i-té promenné,

tj. funkci, která bodu~x prirazuje hodnotu∂f∂xi

(~x). Symbolem~e i oznacujemei-tý bázový vektor eukleidovskébáze vRn.

Definice. Necht’f je reálná funkcen promenných,~a ∈ Rn aL : R

n → R je lineární zobrazení.Rekneme,žeL je (totální) diferenciál funkce f v bode~a, jestliže platí

lim~h→~0

f(~a + ~h) − f(~a) − L(~h)

||~h||= 0.



Veta 8.6(vztah totálního diferenciálu a parciální derivace). Necht’L je diferenciál funkcef v bode~a ∈ Rn.

Potom existují parciální derivace∂f

∂x1(~a), . . . ,

∂f

∂xn(~a)

a pro každé~h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn platí

L(h1, . . . , hn)︸︷︷︸

totální diferenciál

=∂f

∂x1(~a)h1 + · · · +

∂f

∂xn(~a)hn

︸︷︷︸

parciální diferenciály

.

Jiná znacení: (L ≡ f ′(~a) ≡ df(~a).)

f ′(~a)(h1, . . . , hn) =∂f

∂x1(~a)h1 + · · · +

∂f

∂xn(~a)hn.

~h = (h1, . . . , hn) ≡ (dx1, . . . , dxn) =⇒

df(~a)(dx1, . . . , dxn)︸︷︷︸

totální diferenciál

=∂f

∂x1(~a)dx1 + · · · +

∂f

∂xn(~a)dxn

︸︷︷︸

parciální diferenciály

.

Veta 8.7. Má-li funkcef v bode~a ∈ Rn totální diferenciál, jef v bode~a spojitá.

Veta 8.8. Necht’f je reálná funkcen promenných,~a ∈ Rn a ∂f

∂x1, . . . , ∂f

∂xnjsou spojité funkce v bode~a.

Potom máf v bode~a totální diferenciál.

Pouhá existence parciálních derivací (tj. parciálních diferenciál ˚u) ješte neimplikuje existenci totál-ního diferenciálu!

Definice. • Necht’f je reálná funkcen promenných,~a ∈ Rn a~v ∈ R

n. Pakderivací funkcef v bode~a podle vektoru ~v rozumíme (vlastní) limitu

D~vf(~a) = limt→0

f(~a + t~v) − f(~a)

t.

• Necht’ f je reálná funkcen promenných,~a ∈ Rn a f ′(~a) existuje. Pak definujemegradient funkce

f v bode~a jako vektor

grad f(~a) ≡ ∇f(~a) =

(∂f

∂x1(~a), . . . ,

∂f

∂xn(~a)

)

∈ Rn.

Veta 8.9. Necht’f je reálná funkcen promenných,~a ∈ Rn a ~v ∈ R

n. Necht’ existujef ′(~a). Pak platí

(i) D~vf(~a) = ∇f(~a) · ~v = f ′(~a)(~v) ≡ df(~a)(~v),

(ii) max{D~vf(~a); ‖~v‖ = 1} = ‖∇f(~a)‖.

Poznámka.Rozmyslete si k dukazu bodu (ii):‖~v‖ = 1 =⇒ |D~vf(~a)| ≤ ‖∇f(~a)‖ ‖~v‖ = ‖∇f(~a)‖,‖∇f(~a)‖ 6= 0, pak~v := ∇f(~a)

‖∇f(~a)‖ =⇒ D~vf(~a) = ∇f(~a) · ∇f(~a)‖∇f(~a)‖ = ‖∇f(~a)‖.

Geometrický význam gradientu.

• Gradient funkce v bode urcuje smer nejvetšího rustu funkce.



• Velikost gradientu funkce v bode je zároven hodnotou (této nejvetší) derivace ve smeru gradientu.

Definice. Necht’ ~f je zobrazení zRn doRk, ~a ∈ R

n aL : Rn → R

k je lineární zobrazení.Rekneme, žeLje derivací (totálním diferenciálem) zobrazení~f v bode~a, jestliže platí

lim~h→~0

||~f (~a + ~h) − ~f (~a) − L(~h)||

||~h||= 0.

Úmluva.Pod termínem "derivace" budeme pro funkce~f : R

n → Rk rozumet totéž, co pod termínem "(totální)

diferenciál".

Veta 8.10.Necht’ ~f je zobrazení zRn doRk, které má v bode~a ∈ R

n derivaciL ≡ ~f ′(a). Potom je~f ′(a)reprezentováno (Jacobiho) maticí

D~f

Dx(~a) ≡

D(f1, . . . , fk)

D(x1, . . . , xn)(~a) :=

∂f1

∂x1(~a) . . . ∂f1

∂xn(~a)

∂f2

∂x1(~a) . . . ∂f2

∂xn(~a)

......

∂fk

∂x1(~a) . . . ∂fk

∂xn(~a)

.

Veta 8.11.Necht’ ~f je zobrazení zRn doRk, ~a ∈ R

n a ~f ′(~a) existuje. Potom~f je spojité v~a.

Veta 8.12.Necht’ ~f je zobrazení zRn do Rk, ~a ∈ R

n a ∂fj

∂xi, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k, jsou spojité v~a.

Potom~f ′(~a) existuje.

Veta 8.13(derivace složeného zobrazení). Necht’ ~f je zobrazení zRn do Rk, ~g je zobrazení zRk do R

s,~a ∈ R

n a~b = f(~a) ∈ Rk. Jestliže existují~f ′(~a) a ~g ′(~b), pak existuje(~g ◦ ~f )′(~a) a platí (~g ◦ ~f )′(~a) =

~g ′(~b) ◦ ~f ′(~a).

Dusledek 8.14(retízkové pravidlo). Necht’ funkcef1, . . . , fk z Rn do R mají v bode~a ∈ R

n totální difer-enciál a funkceg z R

k do R má v bode~b = (f1(~a), . . . , fk(~a)) totální diferenciál. Definujme funkcih z Rn

doR predpisemh(~x) = g(f1(~x), . . . , fk(~x)).

Potom máh v bode~a totální diferenciál a proi ∈ {1, . . . , n} platí

∂h

∂xi(~a) =

k∑

j=1

∂g

∂yj(~b)

∂fj

∂xi(~a).

8.5 Parciální derivace vyššíchrádu

Definice. Necht’f je funkce zRn doR, i, j ∈ {1, . . . , n},~a ∈ Rn. Parciální derivaci funkce∂f

∂xipodlej-té

promenné v bode~a znacíme ∂2f∂xj∂xi

(~a), pokudi 6= j, prípadne ∂2f

∂x2

i

(~a), pokudi = j. Analogicky znacíme

parciální derivace vyššíchrádu.

Definice. Necht’ G ⊂ Rn je otevrená množina,f : G → R a p ∈ N. Rekneme, žef je trídy Cp, jestliže

všechny parciální derivace funkcef až dorádup vcetne jsou spojité naG. Množinu všech funkcíf : G → R

trídy Cp oznacujemeCp(G) a klademeC∞(G) =⋂∞

p=1 Cp(G).

Definice. Necht’G ⊂ Rn je otevrená množina,p ∈ N ∪ {∞} a ~f : G → R

k. Rekneme, že~f je zobrazenítrídy Cp, jestliže všechny jeho složkyf1, . . . , fk jsou trídy Cp.



Veta 8.15.Necht’p ∈ N ∪ {∞}, G ⊂ Rn, H ⊂ R

k jsou otevrené množiny,~f : G → Rk, ~g : H → R

s jsoutrídy Cp a platíf(G) ⊂ H. Pak zobrazení~g ◦ ~f je trídyCp.

Veta 8.16.Necht’G ⊂ Rn je otevrená,p ∈ N, a funkcef ∈ Cp(G). Necht’~a ∈ G. Potom hodnota

∂pf

∂xi1 . . . ∂xip

(~a)

je nezávislá na poradí indexui1, i2, . . . , ip.

Poznámka.Tato tzv. zámennost parciálních derivací obecne neplatí pro funkce, jejichž parciální derivace(až do príslušnéhorádu vcetne) nejsou spojité.

Definice. Necht’ všechny níže uvedené parciální derivace existují.

• Bud’ ~f : Rn → R

n. Divergencí ~f v bode~a nazvu

div ~f (~a) :=n∑

j=1

∂fj

∂xj(~a) .

• Bud’ ~f : R3 → R

3. Rotací ~f v bode~a nazvu

rot ~f (~a) :=

∣∣∣∣∣∣

~e1 ~e2 ~e3

∂∂x

∂∂y

∂∂z

f1 f2 f3

∣∣∣∣∣∣

(~a) =

=

(∂f3

∂y−

∂f2

∂z,∂f1

∂z−

∂f3

∂x,∂f2

∂x−

∂f1

∂y

)

(~a) .

Definice. Bud’ f : Rn → R a necht’ existují parciální defivace∂

2f

∂x2

j

, j = 1, . . . , n, v bode~a ∈ Rn. Hodnotou

Laplaceova operátoru∆, aplikovaného na funkci~f v bode~a (cteme "Laplacef(~a)") nazvu hodnotu

∆f(~a) :=n∑

j=1

∂2f

∂x2j

(~a) .

Poznámka. • Operátory∆, agrad ≡ ∇ lze aplikovat i na vektorové funkce, "po složkách", tj. napr. pro~f : R

n → Rk je ∆~f (~a) k-rozmerný vektor se složkami∆fj(~a), j = 1, . . . , k.

• Pri formálním oznacení∇ = ( ∂∂x1

, . . . , ∂∂xn

) lze psát tyto formální identity:

grad f = ∇f , div ~f = ∇ · ~f ,

∆f = (∇ · ∇)f , rot ~f = ∇× ~f .

Cvicení. Overte, že pro všechny funkce, mající v daném bode spojitéparciální derivace nejvyššího v iden-titách použitéhoradu, platí tyto identity:

div∇f(~x) = ∆f(~x) ,

div rot ~f (~x) = 0 ,

rot rot ~f (~x) = ∇ div ~f (~x) − ∆~f (~x) ,

rot ∇f(~x) = ~0 .



8.6 Vety o implicitn e zadaných funkcích

Veta 8.17(o implicitne zadané funkci). Necht’p ∈ N∪{∞}, G ⊂ Rn+1 je otevrená množina,F : G → R,

~x ∈ Rn, y ∈ R, [~x, y] ∈ G a necht’ platí:

(i) F ∈ Cp(G),

(ii) F (~x, y) = 0,

(iii)∂F

∂y(~x, y) 6= 0.

Pak existuje okolíU ⊂ Rn bodu~x a okolíV ⊂ R boduy, že∀~x ∈ U ∃ ! y ∈ V s vlastnostíF (~x, y) = 0.

Oznacíme-li totoy jakoϕ(~x), je ϕ ∈ Cp(U), a

∂ϕ

∂xj(~x) = −

∂F∂xj

(~x, ϕ(~x))

∂F∂y

(~x, ϕ(~x)), kdej ∈ {1, . . . , n}, ~x ∈ U .

Veta 8.18(o implicitne zadaných funkcích). Necht’ n, m ∈ N, p ∈ N ∪ {∞}, G ⊂ Rn+m je otevrená

množina,~F : G → Rm, ~x ∈ R

n, ~y ∈ Rm, [~x, ~y] ∈ G a platí:

(i) ~F ∈ Cp(G),

(ii) ~F (~x, ~y) = ~0,

(iii)∣∣∣∣∣∣∣

∂F1

∂y1(~x, ~y) . . . ∂F1

∂ym(~x, ~y)

.... ..

...∂Fm

∂y1(~x, ~y) . . . ∂Fm

∂ym(~x, ~y)

∣∣∣∣∣∣∣

6= 0.

Pak existuje okolíU ⊂ Rn bodu ~x a okolí V ⊂ R

m bodu ~y, že∀ ~x ∈ U ∃ ! ~y ∈ V s vlastností~F (~x, ~y) = ~0. Oznacíme-li toto~y jako ~ϕ(~x), je ~ϕ ∈ Cp(U).

8.7 Extrémy funkcí více promenných

Definice. Bud’ f : Rn → R aM ⊂ D(f).

• Rekneme, žef nabývá v bodex maxima (resp.minima) na M , jestliže platí

∀y ∈ M : f(y) ≤ f(x) (resp.∀y ∈ M : f(y) ≥ f(x)).

Bodx pak nazývámebodem maxima(resp.minima) funkcef na množineM .

Definice. • Rekneme, žef nabývá v bode x lokálního maxima (resp.lokálního minima) vzhledemk M , jestliže existujeδ > 0 takové, že

∀y ∈ Bδ(x) ∩ M : f(y) ≤ f(x)

(resp.∀y ∈ Bδ(x) ∩ M : f(y) ≥ f(x)).

Bodx pak nazývámebodem lokálního maxima(resp.lokálního minima) funkcef na množineM .



Definice. • Rekneme, žef nabývá v bode x ostrého lokálního maxima (resp.ostrého lokálníhominima) vzhledem kM , jestliže existujeδ > 0 takové, že

∀y ∈ Bδ(x) \ {x}) ∩ M : f(y) < f(x)

(resp.∀y ∈ Bδ(x) \ {x}) ∩ M : f(y) > f(x)).

Bod x pak nazývámebodem ostrého lokálního maxima(resp.ostrého lokálního minima) funkcef na množineM .

• Symbol maxM f (resp.minM f ) oznacuje nejvetší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkcef namnožineM nabývá (pokud taková hodnota existuje).

Definice. Rekneme, žeM ⊂ Rn je kompaktní, pokudM je uzavrená a omezená množina vR

n.

Veta 8.19.Bud’ M ⊂ Rn neprázdná kompaktní množina af : M → R spojitá naM . Pakf nabývá naM

svého maxima i minima (a tedy je m.j. omezená naM ).

Veta 8.20. Necht’G ⊂ Rn je otevrená,~a ∈ G, j ∈ {1, . . . , n}. Necht’ funkcef : G → R má v bode~a

lokální extrém (vzhledem keG). Pak bud’ ∂f∂xj

(~a) neexistuje nebo je rovna nule.

Definice. Bod~a ∈ Rn nazývámestacionárním bodemfunkcef , pokudgrad f(~a) = ~0, tj. pokud ∂f

∂xj(~a) =

0 pro všechnaj = 1, . . . , n.

Definice. Je-liA ∈ Mn×n symetrická matice, pak funkceQ : Rn → R, definovaná predpisem

Q(~h) := (A · ~h) · ~h =n∑

i,j=1

aijhihj

je kvadratickou formou (definovanou maticíA).

Definice. Bud’ Q : Rn → R (jakákoli) kvadratická forma.Rekneme, žeQ je

• pozitivne (negativne) definitní, pokudQ(~h) > 0 (< 0) pro všechna~h ∈ Rn, ~h 6= 0;

• pozitivne (negativne) semidefinitní, pokudQ(~h) ≥ 0 (≤ 0) pro všechna~h ∈ Rn;

• indefinitní , pokud existují vektory~h,~k ∈ Rn takové, žeQ(~h) > 0 aQ(~k) < 0.

Definice. Necht’ f : Rn → R má spojité druhé parciální derivace v bode ~a ∈ R

n. Potom zobrazeníd2f(~a) : R

n × Rn → R definované predpisem

d2f(~a)(~h,~h) :=n∑

i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(~a)hihj

nazývámedruhým diferenciálem funkcef v bode~a.

Poznámka.Zobrazeníh : 7→ d2f(~a)(~h,~h) je kvadratická forma, definovaná tzv. Hessovou maticí druhých

derivací,H(f)(~a) =(

∂2f(~a)∂xi∂xj

)n

i,j=1.

Veta 8.21(postacující podmínky lokálního extrému). Budižf ∈ C2(G), ~a ∈ G a necht’∇f(~a) = ~0 (tj. ~a

je stacionárním bodemf ). Potom platí:

• Je-li kvadratická forma~h 7→ f ′′(~a)(~h,~h) negativne definitní, nabýváf v bode~a ostrého lokálníhomaxima.



• Je-li kvadratická forma~h 7→ f ′′(~a)(~h,~h) pozitivne definitní, nabýváf v bode~a ostrého lokálníhominima.

• Je-li kvadratická forma~h 7→ f ′′(~a)(~h,~h) indefinitní, nenabýváf v bode~a ani lokálního maxima, anilokálního minima.

Poznámka.K urcení definitnosti kvadratické formy secasto hodí následující pravidlo:

• Bud’ A ∈ Mn×n matice kvadratické formy. OznacmeA1 ∈ M1×1, A2 ∈ M2×2. . . ,An ∈ Mn×n

její hlavní diagonální podmatice; necht’ dále všechny determinantydetA1, . . .detAn jsou nenulové.

• Oznacmecíslemp pocet znaménkových zmen v posloupnosti{1, detA1, . . .detAn}.

Potom platí:

• Kvadratická forma definovaná maticíA je pozitivne definitní⇐⇒ p = 0.

• Kvadratická forma definovaná maticíA je negativne definitní⇐⇒ p = n.

Veta 8.22 (Lagrangeovy multiplikátory). Necht’ m, n ∈ N, m < n, G ⊂ Rn je otevrená množina,

f, g1, . . . , gm ∈ C1(G),

M = {~z ∈ G; g1(~z) = 0, g2(~z) = 0, . . . , gm(~z) = 0}

a bod~z ∈ M je bodem lokálního extrému funkcef vzhledem k množineM . Potom je splnena alespon jednaz následujících podmínek:

(I) vektory∇g1(~z),∇g2(~z), . . . ,∇gm(~z) jsou lineárne závislé,

(II) existují reálná císlaλ1, λ2, . . . , λm ∈ R splnující

∇f(~z) + λ1∇g1(~z) + λ2∇g2(~z) + · · · + λm∇gm(~z) = ~0.

8.8 Tayloruv polynom

Definice. Necht’ k ∈ N a necht’ funkcef : Rn → R má spojité k-té parciální derivace v bode~a ∈ R

n.Potom zobrazenídkf(~a) : R

n × · · · × Rn

︸︷︷︸

k-krát

→ R definované predpisem

dkf(~a)(~h, . . . ,~h︸︷︷︸

k-krát

) :=n∑

j1,...,jk=1

∂kf(~a)

∂xj1 · · · ∂xjk

hj1 · · ·hjk,

nazývámek-tým diferenciálem funkcef v bode~a.

Definice. Necht’ pro~a ∈ Rn existujedkf(~a), k ∈ N ∪ {0}. PotomTaylorovým polynomemk-tého rádu

funkce f v bode~a rozumíme polynomn promenných

Tf,~ak (~x) = f(~a) +

k∑

j=1

1

j!djf(~a)(~x − ~a, . . . , ~x − ~a

︸︷︷︸

j−krát

).

Definice. Rekneme, že množinaM ⊂ Rn je konvexní, pokud pro každé dva body~x, ~y ∈ M patrí do M i

celá úsecka, která tyto dva body spojuje.



Veta 8.23(Lagrangeuv tvar zbytku). Necht’G ⊂ Rn je otevrená konvexní množina,f ∈ Ck+1(G) (k ∈

N ∪ {0}), ~a ∈ G, ~x ∈ G. Potom existuje~ξ ležící na úsecce spojující body~a, ~x takové, že

f(~x) = Tf,~ak (~x) +

1

(k + 1)!dk+1f(~ξ)(~x − ~a, . . . , ~x − ~a

︸︷︷︸

(k+1)−krát

).

Veta 8.24(dusledek: veta o prírustku funkce). Necht’G ⊂ Rn je otevrená konvexní množina,f ∈ C1(G),

~a ∈ G, ~x ∈ G. Potom existuje~ξ ležící na úsecce spojující body~a, ~x takové, že

f(~x) − f(~a) = f ′(~ξ)(~x − ~a).

Veta 8.25(Peanuv tvar zbytku). Necht’f je funkce zRn do R, která je trídyCk (k ∈ N) na jistém okolíbodu~a ∈ R

n. Potom platí

lim~x→~a

f(~x) − Tf,~ak (~x)

||~x − ~a||k= 0.


M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II – kap. 9: Vícerozmerná integrace 27M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II – kap. 9: Vícerozmerná integrace 27

9 Vícerozmerná integrace

9.1 Elementy teorie míry

Poznámka.NaRn definujeme systém tzv.meritelných množin, Mn, který má následující vlastnosti

• ∅ ∈ Mn, Rn ∈ Mn;

• všechny otevrené a uzavrené množiny zRn jsou prvkyMn;

• je-li A ∈ Mn, je i Rn \ A ∈ Mn;

• jsou-li Aj ∈ Mn, pak∪∞j=1Aj ∈ Mn, ∩∞

j=1Aj ∈ Mn.

Definice. Bud’ Mn systém meritelných množin naRn. Množinovou funkciµ : Mn → R∗ nazvumíra,

pokud platí

1. µ(A) ≥ 0 pro všechnaA ∈ Mn;

2. µ(∅) = 0;

3. jsou-liAj ∈ Mn po dvou disjunktní, pak platí tzv.princip spocetné aditivity,

µ( ∞⋃

j=1

Aj

)

=∞∑

j=1

µ(Aj) .

Zajímavá otázka: Existují nemeritelné množiny?

Definice. NaRn uvažujme tzv.nedegenerovanýn-rozmerný interval (hranol), tj. množinu tvaru〈a1, b1〉×

· · · × 〈an, bn〉, kdeaj , bj ∈ R, aj < bj pro všechnaj. Bud’ dáleMn systém meritelných množin naRn

takový, že všechny nedegenerované hranoly jsou prvkyMn. Míru λn, definovanou naMn, která navícsplnuje podmínku

λn (〈a1, b1〉 × · · · × 〈an, bn〉) = (b1 − a1) · · · (bn − an)

nazvuLebesgueovoun-dimenzionální mírou (naRn).

Poznámka.Existuje více mer než jenom Lebesgueova.

• Uvažujte napríklad jednorozmernou míruµ, splnujícíµ((a, b)) = arctg b − arctg a.

• Uvažujte dále napríklad jednorozmernou míruδ, splnující δ(A) = 0, pokud0 /∈ A, δ(A) = 1, pokud0 ∈ A. (tzv. Diracova míra).

Vlastnosti (Lebesgueovsky) meritelných množin

• Translacní invariance: posunutí, otocení, zrcadlení nemení hodnotu míry dané množiny.

• Monotonie: A, B ∈ Mn, A ⊂ B =⇒ λn(A) ≤ λn(B), tedy speciálne omezené množiny majíkonecnou Lebesgueovu míru.

• Aj ∈ Mn, Aj ⊂ Aj+1∀j ∈ N =⇒

λn

( ∞⋃

j=1

Aj

)

= limj→∞

λn(Aj).



• Aj ∈ Mn, Aj ⊃ Aj+1∀j ∈ N, ∃k ∈ N, λn(Ak) < ∞ =⇒

λn

( ∞⋂

j=1

Aj

)

= limj→∞

λn(Aj).

Definice(nulové množiny). Rekneme, že množinaA ∈ Mn je nulová (v míreλn), pokudλn(A) = 0.

Poznámka. • Nekdy znacímeNn := {A ∈ Mn, λn(A) = 0}.

• Prázdná množina a jednobodová množina jsou nulové=⇒ (podle principu spocetné aditivity)spocetné množiny jsou nulové (mají míru nula)! Tj. napr. λ1(Q) = 0 (tedy speciálne: neomezenémnožiny nemusejí mít nekonecnou míru).

Definice(vlastnost s.v.). Rekneme, že nejaký výrokV (x), x ∈ A, platískoro všude (s.v.)naA (vzhledemk míreµ), pokudV (x) platí pro všechnax ∈ A \ N , kdeµ(N) = 0.

Príklady.

• Funkce|x| má s.v. naR vlastní derivaci.

• S.v. reálnácísla jsou iracionální.

• Pokud se dve funkce liší nejvýše ve spocetne mnoha bodech, pak jsou si s.v. rovny.

9.2 Vícerozmerný (Lebesgueuv) integrál

Definice. 1. Bud’ M ∈ Mn. Reknu, že funkces : M → R je jednoduchá (schodovitá)naM , pokudexistují konstantyc1, c2, . . . , ck ∈ R a množinyM1, M2, . . . , Mk ∈ Mn takové, že

• Definicní obor fukces, tj. D(s) = ∪kj=1Mj , pricemžλn(M \ D(s)) = 0 (tedys je definována

s.v. naM );

• s nabývá naMj konstantní hodnotycj , j = 1, . . . , k.

2. Je-lis : M → R je jednoduchá (schodovitá)naM a navíc jes ≥ 0 s.v. naM , definujeme

(L)

∫

M

s(x) dλn(x) :=k∑

j=1

cjλn(Mj) . (1)

Poznámky.

• Je-li v (1) cj = 0 a λn(Mj) = ∞, klademecjλn(Mj) = 0. Jinak v souctu (1) používáme pravidlapro scítání v rámci rozšírené reálné osy,R∗.

• Znacenídλn(x) zduraznuje roli Lebesgueovy míry príslušné dimenze.Casto zjednodušujeme

dλn(x) ≡ dλ(x) ≡ dx .

• Role dimenze je nekdy (zejména pron = 2, 3) vyznacená znásobením symbolu integrálu:

(L)

∫

M

s(x) dλ3(x) ≡

∫∫∫

M

s(x) dx ,

apod...



Úmluva.

Pokud budeme v dalším textu mluvit o funkcif : M ⊂ Rn → R, budeme mít typicky na mysli tuto

situaci:

• M ∈ Mn, af je definovaná alespon s.v. naM ;

• pokud jef ≥ 0 naM , potom pro skoro všechnax ∈ M platí

f(x) = sup0≤s≤f

s(x) ,

kdes jsou jednoduché funkce definované naM ;

• pro obecnouf píšemef = f+ − f−, kde f+ := max{f, 0} a f− := max{−f, 0}; o funkcíchf+ ≥ 0, f− ≥ 0 predpokládáme, že mají vlastnost z predchozího bodu.

Definice(vícerozmerný (Lebesgueuv) integrál). 1. Bud’ f : M ⊂ Rn → R, f ≥ 0 funkce (ve smyslu

predchozí úmluvy). Pak definujeme:∫

M

f(x) dλn(x) := sup0≤s≤f

∫

M

s(x) dλn(x) . (2)

2. Bud’ f : M ⊂ Rn → R, f = f+ − f−, (ve smyslu predchozí úmluvy). Pak definujeme:

∫

M

f dλn(x) :=

∫

M

f+ dλn(x) −

∫

M

f− dλn(x) , (3)

má-li rozdíl vpravo smysl.

Definice. • Pokud∫

Mf dλn(x) je definován (tj. má smysl rozdíl

∫

Mf+−

∫

Mf−), ríkáme, žeintegrál

z f pres M existuje a píšemef ∈ L∗(M). (Integrál, který existuje, muže nabýt i nekonecnýchhodnot.)

• Pokud∫

Mf dλn(x) je konecný (tj. oba integrály

∫

Mf+,

∫

Mf− jsou konecné stejne jako jejich

rozdíl), ríkáme, žeintegrál z f presM konverguje a píšemef ∈ L(M).

Poznámka(Duležitá). Pokud existuje Newtonuv i Lebesgueuv integrál funkcef pres množinuM ⊂ R (vjedné dimenzi), pak se jejich hodnoty rovnají.

Nekteré základní vlastnosti integrálu.

•∫

M(αf + βg) = α

∫

Mf + β

∫

Mg, pokud výraz vpravo má smysl.

• f , g ∈ L∗(M), f = g s.v. naM =⇒∫

Mf =

∫

Mg.

• |f | ≤ g s.v. naM ,∫

Mg ∈ R =⇒

∫

Mf ∈ R.

• Aj ⊂ Aj+1∀j ∈ N, f ∈ L∗(∪∞j=1Aj) =⇒

∫

⋃∞

j=1Aj

f = limj→∞

∫

Aj

f.

• Aj ⊃ Aj+1∀j ∈ N, ∃k ∈ N,

∫

Ak

f ∈ R =⇒

∫

⋂∞

j=1Aj

f = limj→∞

∫

Aj

f.



9.3 Fubiniho veta a veta o substituci

Oznacení(k Fubiniho vete). Bud’ M meritelná vRn+k, oznacíme:

• Pn(M) := {x ∈ Rn ,∃y ∈ R

k , [x, y] ∈ M} . . . projekceM doRn.

• Pk(M) := {y ∈ Rk ,∃x ∈ R

n , [x, y] ∈ M} . . . projekceM doRk.

• Prox ∈ Pn(M) pevné:Mx,• := {y ∈ Pk(M), [x, y] ∈ M} . . .x-ový rez množinouM .

• Proy ∈ Pk(M) pevné:M•,y := {x ∈ Pn(M), [x, y] ∈ M} . . .y-ový rez množinouM .

Veta 9.1(Fubini). Bud’teM resp.Pn(M) resp.Pk(M) meritelné vRn+k resp.Rn resp.Rk. Necht’∫∫

Mf

existuje. Potom∫∫

M

f(x, y) dx dy =

∫

Pn(M)

(∫

Mx,•

f(x, y) dy)

dx

=

∫

Pk(M)

(∫

M•,y

f(x, y) dx)

dy

V situaci "kartézského soucinu množin i funkcí" je znení Fubiniho vety jednodušší:

Tvrzení 9.2. Bud’ M = A1 × · · · × An, f(x) = f1(x1) · · · fn(xn). Necht’∫

Mf existuje. Potom

∫

M

f(x) dx =

(∫

A1

f1(x1) dx1

)

· · ·

(∫

An

fn(xn) dxn

)

.

Definice. Necht’G ⊂ Rn je otevrená množina. Zobrazení~ϕ : G → R

n je regulární, jestliže

(i) ~ϕ ∈ C1(G),

(ii) determinant maticeD~ϕD~x

(tj. jakobián zobrazení~ϕ) je nenulový v každém bode množinyG.

Ruzná znacení:

det

(D~ϕ(~x)

D~x

)

≡ Jac~ϕ(~x) ≡ J~ϕ(~x) .

Veta 9.3(o substituci). Bud’teM, G ⊂ Rn otevrené množiny, bud’~ϕ : G → M regulární a prosté v G, a

takové, že~ϕ(G) = M . Potom

∫

M

f(~y) d~y =

∫

G

f(~ϕ(~x))

∣∣∣∣det

(D~ϕ(~x)

D~x

)∣∣∣∣

d~x , (4)

pro f : M → R, pokud aspon jeden z integrálu existuje.

Mnemotechnická pomucka:Pri ztotožnení ~ϕ(~x) ≡ ~y(~x), je mnemotechnika pro výpocet správného jakobiánu tato:

”d~y =

∣∣∣∣det

(D~y

D~x

)∣∣∣∣

d~x .”



9.4 Vety o limitních prechodech

Veta 9.4. Uvažujme funkcefn definované naM . Necht’ pro s.v.x ∈ M existujelimn→∞ fn(x) = f(x).Necht’ je dále splnenaalespon jednaz následujících trí podmínek:

• (Levi I:) 0 ≤ fn ≤ fn+1 s.v., pro všechnan ∈ N;

• (Levi II:) g ≤ fn ≤ fn+1 s.v., pro všechnan ∈ N, a pritom∫

Mg > −∞;

• (Lebesgue:)|fn| ≤ g s.v., pro všechnan ∈ N, a pritom∫

Mg ∈ R.

Potom∫

M

limn→∞

fn = limn→∞

∫

M

fn (5)

Poznámka.Vztah (5) (zámena limity a integrálu) platí také, pokud jsou Leviho podmínky splneny "zr-cadlove vzhledem k nule", tj. pokud je splnena alespon jedna z následujících podmínek:

• (Levi I′:) 0 ≥ fn ≥ fn+1 s.v., pro všechnan ∈ N;

• (Levi II ′′:) g ≥ fn ≥ fn+1 s.v., pro všechnan ∈ N, a pritom∫

Mg < ∞.

Veta 9.5. Uvažujme funkcefn definované naM . Necht’ pro s.v.x ∈ M existuje∑∞

n=1 fn(x) = f(x).Necht’ je dále splnenaalespon jednaz následujících dvou podmínek:

• (Levi:) fn ≥ 0 s.v., pro všechnan ∈ N;

• (Lebesgue:)|∑N

n=1 fn| ≤ g s.v., pro všechnaN ∈ N, a pritom∫

Mg ∈ R.

Potom∫

M

∞∑

n=1

fn =∞∑

n=1

∫

M

fn

Poznámka.Nekdy se také hodí následující modifikace Lebesgueovy podmínky prorady: Uvažujme funkcefn definované naM . Necht’ pro s.v.x ∈ M existuje

∑∞n=1 fn(x) = f(x). Bud’ an :=

∫

M|fn(x)|. Pokud

císelnárada∑∞

n=1 an konverguje, pak

∫

M

∞∑

n=1

fn =∞∑

n=1

∫

M

fn

9.5 Integrály s parametrem

Oznacení. Budeme studovat následující situaci:

• M ⊂ Rn je meritelná množina (presx ∈ M "budeme integrovat"), množinaF ⊂ R

k je množina"parametru"α.

• K funkci f(x, α) : M × F → R definujeme funkci

F (α) :=

∫

M

f(x, α) dx

jako "integrál s parametremα", pro všechnaα, pro která integrál vpravo konverguje. Zajímají násvlastnosti funkceF .

• Tuto situaci budeme v tomto paragrafu nazývat "situace (P)".



Veta 9.6(o limite). Uvažujme situaci (P). Necht’ existujeg ∈ L(M) taková, že|f(x, α)| ≤ g(x) s.v. naM ,a proα ∈ P(α0). Potom

limα→α0

F (α) = limα→α0

∫

M

f(x, α) dx =

∫

M

limα→α0

f(x, α) dx ,

pokud limita vpravo za znamením integrálu existuje pro s.v.x ∈ M vlastní.

Veta 9.7(o spojitosti). Uvažujme situaci (P). Necht’ existujeg ∈ L(M) taková, že|f(x, α)| ≤ g(x) s.v. naM , a proα ∈ G ⊂ F , G otevrená. Necht’ je dálef(x, α) spojitá naG v promennéα (a to pro s.v. pevnáx ∈ M . PotomF je spojitá naG.

Veta 9.8(o derivaci). Uvažujme situaci (P). Necht’

• existuje vlastní∂f∂αj

(x, α) pro všechnaα ∈ U(α0);

• existujeg ∈ L(M) taková, že∣∣∣

∂f∂αj

(x, α)∣∣∣ ≤ g(x) s.v. naM , a pro všechnaα ∈ U(α0);

• existujeα1 ∈ U(α0) takové, že∫

Mf(x, α1) dx je konecný.

Potom

•∫

Mf(x, α) dx je konecný pro všechnaα ∈ U(α0), a

•∂F

∂αj(α) =

∂

∂αj

∫

M

f(x, α) dx =

∫

M

∂f

∂αj(x, α) dx .

Poznámka. • Funkceg z predchozích trí vet (mající konecný integrál), nazývámeintegrabilní majo-ranty príslušného problému (problém limity, spojitosti, derivace). Všimnete si: integrabilní majorantyje potreba hledat tak, abynezávislely na parametruα.

• Jsou-li množinyM a F ze situace (P)omezené, a f ∈ C(M × F ), pak je integrabilní majorantoug pro funci f konstanta (rovná maximální hodnote |f | na M × F - tato maximální hodnota musíexistovat, nebot’f jako spojitá funkce na kompaktuM × F své maximální hodnoty vždy nabývá).

9.6 Gamma funkce

Definujme

Γ(s) :=

∫ ∞

0xs−1e−x dx .

Potom platí:

• Γ je konecná pros ∈ (0, +∞), navícΓ ∈ C∞(0,∞).

• Γ(s + 1) = sΓ(s) pro všechnas ∈ (0, +∞).

• Γ(n + 1) = n! pro všechnan ∈ N.

• Γ(12) =

√π, Γ(n + 1

2) = (2n)!22nn!

√π pro všechnas ∈ (0, +∞).

• Γ klesá na(0, x0) a roste na(x0,∞), kdex0 ≈ 1.46163; lims→0+ Γ(s) = lims→+∞ Γ(s) = +∞;

• Γ je ryze konvexní na(0, +∞).




Date post:	16-Jun-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

LS 2016/17 - Univerzita Karlovarokyta/vyuka/1617/ls/F_apl_mat/ApM… · 8.1 Základní pojmy 17 8.2...

Documents