M0122 Fyzika 2 Distancni Text

Projekt OP RLZ Opatření 3.2-0413

Tento projekt je spolufinancován evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Dokument byl vytvořen s finanční podporou Evropské unie a České republiky. Obsah tohoto dokumentu je plně v zodpovědnosti příjemce grantu a nelze jej v žádném případě považovat za oficiální stanovisko Evropské unie a České republiky.

Fyzika II Distanční text

© 2007

Fyzika II

19. května 2008 Strana 2/101

Celkový obraz O modulu: Několik odstavců, které charakterizují celý text po stránce jeho obsahu, očekávaných znalostí studujícího apod.

Pomůcky a nástroje: Výčet toho, co je potřeba ke studiu kromě textu samotného.

Pravidla a konvence: Odstavec nebo výčet charakteristik popisující formu, kterou autor používá.

Fyzika II


Obsah 1. Vedení elektrického proudu v kapalinách a plynech .................................................. 5

1.1 Úvod ........................................................................................................................... 5 1.2 Elektrický proud v kapalinách.................................................................................... 5 1.3 Elektrický proud v plynech ........................................................................................ 6 1.4 Plazma ........................................................................................................................ 7

2. Kmity................................................................................................................................ 8 2.1 Úvod ........................................................................................................................... 8 2.2 Kmity tělesa na pružině, harmonický pohyb.............................................................. 8

3. Vlny ................................................................................................................................ 10 3.1 Úvod ......................................................................................................................... 10 3.2 Rovnice postupné vlny ............................................................................................. 10

4. Akustika......................................................................................................................... 12 4.1 Úvod ......................................................................................................................... 12 4.2 Rovnice postupné vlny ............................................................................................. 12

5. Elektromagnetické vlny................................................................................................ 14 5.1 Úvod ......................................................................................................................... 14 5.2 Maxwellovy rovnice a Hertzův pokus ..................................................................... 14 5.3 Popis elektromagnetických vln a jejich spektrum.................................................... 16 5.4 Interference na tenké vrstvě ..................................................................................... 19 5.5 Difrakce na mřížce ................................................................................................... 23 5.6 Difrakce na štěrbině a otvoru ................................................................................... 25

6. Geometrická optika ...................................................................................................... 27 6.1 Měření rychlosti světla ............................................................................................. 27 6.2 Definice pojmů ......................................................................................................... 28 6.3 Znaménková konvence............................................................................................. 28 6.4 Rovinné zrcadlo........................................................................................................ 29 6.5 Kulové zrcadlo ......................................................................................................... 30 6.6 Snellův zákon ........................................................................................................... 36 6.7 Čočka........................................................................................................................ 36

7. Optické přístroje ........................................................................................................... 40 7.1 Oko ........................................................................................................................... 40 7.2 Brýle ......................................................................................................................... 44 7.3 Lupa.......................................................................................................................... 44 7.4 Mikroskop ................................................................................................................ 45 7.5 Dalekohled ............................................................................................................... 46

Fyzika II


7.6 Rozlišovací schopnost optických přístrojů............................................................... 47 8. Termodynamika............................................................................................................ 49

8.1 Úvod ......................................................................................................................... 49 8.2 Teplota a nultý zákon termodynamiky..................................................................... 49 8.3 Teplotní roztažnost a měření teploty........................................................................ 52 8.4 Teplo, tepelná kapacita a kalorimetrická rovnice..................................................... 56 8.5 Latentní teplo............................................................................................................ 59 8.6 Práce a teplo v termodynamických procesech, první zákon termodynamiky. ......... 60 8.7 Mechanismus přenosu energie (tepla)...................................................................... 62

9. Termodynamika a molekulová fyzika......................................................................... 67 9.1 Úvod ......................................................................................................................... 67 9.2 Ideální plyn a aplikace prvního zákona termodynamiky ......................................... 67 9.3 Kruhový děj, práce plynu a Carnotův cyklus ........................................................... 73 9.4 Druhá věta termodynamiky a entropie vratných i nevratných dějů ......................... 78 9.5 Statistická interpretace entropie ............................................................................... 82 9.6 Entropie a informace ................................................................................................ 83 9.7 Termodynamická funkce - entalpie.......................................................................... 85 9.8 Fázové přechody a Clausius-Clapeyronova rovnice ................................................ 86

10. Fyzika v kuchyni ........................................................................................................... 88 10.1 Úvod ......................................................................................................................... 88 10.2 Princip ledničky........................................................................................................ 88

11. Záření absolutně černého tělesa .................................................................................. 89 11.1 Teplotní záření.......................................................................................................... 89 11.2 Definice veličin ........................................................................................................ 89 11.3 Pohltivost.................................................................................................................. 89 11.4 Stefanův-Boltzmannův zákon .................................................................................. 90 11.5 Wienův zákon........................................................................................................... 91 11.6 Planckův zákon ........................................................................................................ 91 11.7 Skleníkový jev.......................................................................................................... 94

12. Kvantová fyzika ............................................................................................................ 95

12.1 Úvod ......................................................................................................................... 95 12.2 Fotoelektrický jev..................................................................................................... 96

13. Kvantová kryptografie, kvantové počítače................................................................. 98 13.1 Úvod ......................................................................................................................... 98 13.2 Kvantová kryptografie.............................................................................................. 98

14. Teorie relativity........................................................................................................... 100 14.1 Úvod ....................................................................................................................... 100

Fyzika II


1. Vedení elektrického proudu v kapalinách a plynech

1.1 Úvod

Elektrický proud v kovech je zprostředkován volnými (vodivostními) elektrony. Proto tuto vodivost nazýváme elektronovou vodivostí, kdy nedochází ke „klasickému“ pohybu látky a ani k chemickým změnám. U kapalin a plynů je situace poněkud odlišná.

1.2 Elektrický proud v kapalinách

Kapaliny v čistém stavu (alespoň jejich většina) jsou špatnými vodiči elektrického proudu. Například destilovaná voda je velmi dobrým izolantem, což je způsobeno tím, že neobsahuje dostatečný počet volně pohyblivých nabitých částic. Přidáme-li do vody látku (např.: NaCl, KCl, KOH, HCl, HNO3...), která se v ní rozštěpí na pohyblivé ionty, vznikne vodivý roztok – elektrolyt.

..................................

Elektrolytická disociace

Elektrolytická disociace je děj, při kterém nastává rozpad látky na ionty způsobený rozpouštědlem. Jedná se o samovolný proces završený rovnovážným stavem, kdy jsou v roztoku přítomny vždy dva druhy iontů: kationty (kladné ionty) a anionty (záporné ionty).

.................................

Aby vznikl elektrický proud, je zapotřebí vytvořit v elektrolytu elektrické pole. (elektrody: katoda – záporně nabitá, anoda – kladně nabitá). Elektrické pole vyvolá usměrněný pohyb iontů v roztoku. Kationty jsou přitahovány ke katodě a anionty k anodě. Obvodem prochází elektrický proud. Ionty, které dospějí k elektrodám, zde odevzdají svůj náboj a mění se v neutrální atomy, které se vylučují nebo reagují s materiálem elektrody. Jinak řečeno s přenosem náboje dochází také k přenosu látky. Tento děj se nazývá elektrolýza.

Faradayovy zákony elektrolýzy (M. Faraday, v r. 1834)

Fyzika II


Matematicky tento zákon zapíšeme ve tvaru:

kde konstanta úměrnosti A [kg.C-1]se nazývá elektrochemický ekvivalent látky. Hmotnost vyloučené látky lze také spočítat jako součin počtu vyloučených iontů N a hmotnosti uvažovaného iontu m0 : m= Nm0=N(Mm/NA), kde NA je Avogadrova konstanta a Mm je molární hmotnost látky. Celkový přenesený náboj Q (Q=It) můžeme také spočítat jako: Q=Nze, kde z je nábojové číslo iontu a e je elementární náboj. Konstantu úměrnosti A pak lze vyjádřit:

kde F = eNA = 9,6487.104C.mol-1 je Faradayova konstanta.

II. Faradayův zákon: Hmotnosti různých prvků nebo radikálů vyloučených při elektrolýze týmž celkovým nábojem jsou chemicky ekvivalentní.

Elektrická dvojvrstva

Galvanické články

Elektrolytická polarizace, polarizační napětí

Akumulátory

Elektrometalurgie, galvanostegie, galvanoplastika, elektrolytický kondenzátor

1.3 Elektrický proud v plynech

Ionizace

Nesamostatný výboj

Fyzika II


Samostatné výboje: doutnavý, obloukový, jiskrový

Katodové záření

1.4 Plazma

Fyzika II


2. Kmity

2.1 Úvod

Kmitání stejně jako vlnění patří k typickým nestacionárním dějům s převážně periodickým průběhem. Veličiny, kterými kmitání popisujeme, se tedy s časem mění, ale mají také opakující se charakter. V této kapitole se budeme zabývat pouze klasickými kmity mechanickými a elektromagnetickými. Přestože tyto dva druhy kmitání mají zcela jinou fyzikální podstatu, jsou zařazeny do jedné společné kapitoly, protože jejich matematický popis je naopak totožný.

2.2 Kmity tělesa na pružině, harmonický pohyb

Pro příklad jednoduchého harmonického kmitání si představme, že máme těleso o hmotnosti m pevně spojené s („nehmotnou“) pružinou, která je na druhém konci upevněna na nepohyblivou desku (viz obr. 17.1.1.). Polohu tělesa, při které pružina není stlačená ani natažená, nazveme rovnovážnou polohou (na x-ové ose je x = 0). Pro jednoduchost ještě předpokládejme, že tření mezi podložkou a tělesem m je nulové.

Obrázek 17.1.1.: Kmity tělesa na pružině. (A) Těleso je v rovnovážné poloze.(B), resp. (C)

Fyzika II


Výchylka tělesa ve směru osy x, resp. proti ose x a směr síly pružiny je vždy opačný.

Síla, kterou pružina působí na vychýlené těleso a která jej vrací zpět do rovnovážné polohy, je odvozena z Hookova zákona:

Jinak řečeno je tato síla přímo úměrná (k) výchylce (x) tělesa na pružině. Konstanta k je nazývána tuhostí pružiny. Aplikujeme-li II. Newtonův zákon o síle musí platit následující rovnice:

kde.....................

Fyzika II


3. Vlny

3.1 Úvod

Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, když do vody hodíme kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který je mechanickým vlněním, se může šířit pouze prostředím, jehož částice si mohou předávat energii kmitů mezi sebou. Jak známo, elektromagnetické vlny látkové prostředí pro svůj přenos nepotřebují a šíří se naopak ve vakuu nejlépe. V této kapitole se však budeme zabývat pouze mechanickým vlněním a elektromagnetickým vlnám se bude věnovat samostatná 20. kapitola.

3.2 Rovnice postupné vlny

Vlnění se v pružném prostředí šíří rychlostí v, která závisí na vlastnostech prostředí. jestliže zdroj vlnění kmitá s frekvencí f=1/T, pak vlnění za dobu T dospěje do vzdálenosti λ, kterou nazýváme vlnová délka a platí vztah:

Uvažujme, že zdroj Z vlnění kmitá harmonicky podle následující rovnice (viz kapitola Kmity):

kde y je okamžitá výchylka, A je amplituda, ω je úhlová frekvence a t je čas. Vlnění se šíří v přímé bodové řadě v kladném směru osy x. Do bodu X (viz obr. 18.1.1.) ve vzdálenosti x od zdroje Z vlnění dospěje za dobu τ = x/v (kde v je rychlost vlnění). Což znamená, že kmitání bodu X bude mít stejnou okamžitou výchylku jako zdroj Z o dobu τ později. Okamžitá výchylka bodu X je potom určena vztahem:

Dosadíme-li za ω=2π/T a použijeme-li výraz pro vlnovou délku 18.1., dostaneme rovnici postupné vlny pro řadu bodů:

Fyzika II


Obrázek 18.1.2.: Postupná vlna řady bodů.

Fyzika II


4. Akustika

4.1 Úvod

Fyzikálními ději, které probíhají při vzniku, šíření či vnímání zvuku, se zabývá akustika. Lidské ucho je schopné vnímat zvuky o frekvenčním rozsahu 16 Hz až 16KHz. Mechanické vlnění s většími frekvencemi nazýváme ultrazvuk a s menšími infrazvuk.

4.2 Rovnice postupné vlny

Vlnění se v pružném prostředí šíří rychlostí v, která závisí na vlastnostech prostředí. jestliže zdroj vlnění kmitá s frekvencí f=1/T, pak vlnění za dobu T dospěje do vzdálenosti λ, kterou nazýváme vlnová délka a platí vztah:

Uvažujme, že zdroj Z vlnění kmitá harmonicky podle následující rovnice (viz kapitola Kmity):

kde y je okamžitá výchylka, A je amplituda, ω je úhlová frekvence a t je čas. Vlnění se šíří v přímé bodové řadě v kladném směru osy x. Do bodu X (viz obr. 18.1.1.) ve vzdálenosti x od zdroje Z vlnění dospěje za dobu τ = x/v (kde v je rychlost vlnění). Což znamená, že kmitání bodu X bude mít stejnou okamžitou výchylku jako zdroj Z o dobu τ později. Okamžitá výchylka bodu X je potom určena vztahem:

Dosadíme-li za ω=2π/T a použijeme-li výraz pro vlnovou délku 18.1., dostaneme rovnici postupné vlny pro řadu bodů:

Fyzika II


Obrázek 38.1.1 Postupná vlna řady bodů

Fyzika II


5. Elektromagnetické vlny

5.1 Úvod

Optika je část fyziky zabývající se světlem, patří spolu s mechanikou k nejstarším fyzikálním oborům. Podle jedné ze starověkých teorií je světlo vyzařováno z oka a oko si jím „ohmatává“ okolní svět. Aristoteles (384 - 322 př. n. l.) předpokládal, že rychlost světla je nekonečná, tuto myšlenku podporoval i Hérón z Alexandrie (10-70) úvahou, že vzdálené objekty, jako například hvězdy, se objeví, jakmile se oko otevře – světlo z oka k nim musí doletět okamžitě. Modernější představy o světle pochází od Newtona (1643-1727), který předpokládal, že světlo je proud rychle letících částic (korpuskulární teorie) a Huygense (1629-1695), který tvrdil, že světlo je vlnění „světelného éteru“. Ve 3. kapitole bylo popsáno mechanické vlnění, které se šíří pouze v látkovém prostředí. Elektromagnetické vlny se však mohou šířit i ve vakuu. V kapitolách o elektřině a magnetismu jsme se dozvěděli o Maxwellových rovnicích (James Clerk Maxwell, 1831-1879), které tvoří základ teorie elektromagnetického pole. Tyto rovnice měli a mají dalekosáhlé důsledky. Ampér-Maxwellův zákon předpovídá, že časově proměnné elektrické pole vytváří magnetické a naopak Faradayův zákon říká, že časově proměnné magnetické pole vytváří elektrické. Maxwellovy rovnice tedy předpovídají existenci elektromagnetických vln šířící se rychlostí světla c, která je podle Einsteinovy Obecné teorie relativity ve vakuu konstantní. V roce 1887 německý fyzik Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) sestrojil zařízení, kterým dokázal generovat i detekovat elektromagnetické vlny, a díky němu tuto Maxwellovu předpověď el.-mag. vln experimentálně potvrdil. Stále se však fyzici domnívali, že světlo je vlnění (až na Isaaca Newtona). Počátkem 20. století však Max Planck (1858-1947) vyslovil kvantovou hypotézu o chování elektromagnetického záření a elementární částice světla byla nazvána fotonem, stal se tak jedním ze zakladatelů kvantové teorie, která přisuzuje světlu jak vlnové, tak i částicové vlastnosti.

5.2 Maxwellovy rovnice a Hertzův pokus

J. C. Maxwell ukázal, že vlnový charakter světla (elektromagnetické vlny) je přirozeným důsledkem základních zákonů jeho teorie elektromagnetického pole vyjádřených následujícími rovnicemi:

Fyzika II


Jinak řečeno zjistil, že světelný paprsek je postupná vlna tvořená elektrickým a magnetickým polem. Optika, fyzika studující vlastnosti a chování viditelného světla, se od této doby stává nedělitelnou součástí elektromagnetismu. Maxwell byl však především teoretickým fyzikem se skvělou intuicí, avšak jeho teorie ještě čekala i na experimentální důkazy. Jeho myšlenka velmi brzo zaujala Heinricha Hertze, který objevil rádiové vlny šířící se stejnou rychlostí jako viditelné světlo. Experimentální zařízení, které použil Hertz pro generaci postupné elektromagnetické vlny je schematicky znázorněno na obrázku 5.2.1.

Obr. 5.2.1: Experimentální zařízení pro generaci a příjem elektromagnetických vln.

Oscilátor LC mající úhlovou frekvenci ω = (LC)-1/2 je podstatnou částí celého Hertzova zařízení. Jak již bylo vysvětleno v kapitolách o RLC obvodech, s frekvencí ω se v takovémto obvodu periodicky (např. sinusově) mění náboje a proudy. Zdroj v tomto případě je generátor střídavého napětí, který kompenzuje jednak tepelné ztráty na odporu R, jednak energii, která je přenášena rádiovými vlnami generovanými dipólovou anténou. Dipólová anténa se v principu skládá ze dvou vodivých tyčí. Vzhledem k tomu, že proud v tyčích se také periodicky mění s frekvencí ω, je jasné, že anténa se chová jako elektrický dipól a její dipólový moment p se mění také periodicky s frekvencí ω. Dipólový moment mění svou velikost i směr, čímž se musí měnit také velikost a směr elektrického pole jím buzeného (resp. elektrická intenzita). Jestliže se mění v čase proud, musí se také měnit velikost a směr magnetického pole (resp. magnetická indukce, viz rovnice 5.4). Takto vytvořené elektro-magnetické pole se pochopitelně nemění současně stejně v libovolném místě od zdroje (dipĺové antény), ale šíří se rychlostí světla, tedy c. Toto v čase proměnné pole tvoří elektromagnetickou vlnu šířící se rychlostí c a má tutéž frekvenci ω, jako LC oscilátor.

Fyzika II


5.3 Popis elektromagnetických vln a jejich spektrum

Než se budeme dále zabývat elektromagnetickým vlněním, je zapotřebí si uvědomit základní vlastnosti, které má každá elektromagnetická vlna:

1) Elektrické pole E a magnetické pole B jsou vždy kolmé ke směru šíření vlny, která je tedy příčná.

2) Vektory elektrické intenzity a magnetické indukce (intenzity H) jsou navzájem kolmé a vektorový součin E × B tedy udává vždy směr šíření vlny.

3) Jedná-li se o harmonickou vlnu, pak elektrická intenzita E a magnetická indukce B (intenzita H) jsou ve fázi a mají stejnou frekvenci.

Obr. 5.3.1: Elektromagnetická vlna. Magnetická a elektrická vlna jsou vzájem kolmé a šíří se rychlostí c.

Na základě těchto vlastností předpokládejme, že se vlna šíří ve směru osy x. Potom elektrické pole kmitá rovnoběžně s osou y a magnetické pole kmitá rovnoběžně s osou z. Jinak řečeno platí, že intenzita elektrického pole má složky E = (0, E, 0) a magnetická indukce B = (0, 0,B). Podle obrázku 5.3.1 a výše uvedených vlastností můžeme zapsat obě pole jako vlnové funkce závisející na poloze x a času t:

kde Em a Bm jsou amplitudy, k a ω jsou vlnové číslo a úhlová frekvence elektromagnetické vlny. Elektrická a magnetická složka vlny nemohou existovat nezávisle. Lze snadno odvodit, že rychlost vlny je c = ω/k (viz kapitola Vlny). Z rovnice Faradayova zákona elektromagnetické indukce (rovnice 5.3) lze také odvodit vztah pro výpočet rychlosti světla (c = 299 792 458 m.s-1) z poměru amplitud elektrického a magnetického pole:

Fyzika II


Ze vztahu 5.4 a s použitím vztahu 5.7 lze ještě odvodit další vztah pro rychlost elektromagnetických vln, který vychází přímo z Maxwellových rovnic:

Vztah 5.8 vyjadřuje již známý fakt, že všechny elektromagnetické vlny mají ve vakuu tutéž rychlost c bez ohledu na svou frekvenci či vlnovou délku.

Polarizované elektromagnetické vlnění

Běžný zdroj světla, jako je Slunce nebo žárovka, emituje vlny, které jsou sice vždy kolmé na směr šíření, ale směry vektorů elektrické intenzity (a tedy i směry vektorů magnetické indukce) se nahodile mění, neboli jsou nepolarizované. Televizní nebo rádiové antény vysílají vlny polarizované, což jsou vlny, jejichž vektor elektrické intenzity kmitá v jedné rovině (viz obr. 5.3.2).

Obr. 5.3.2: (a) Nepolarizované světlo skládající se z vln s náhodnými směry E. Vlny se šíří směrem k nám a mají stejnou amplitudu. (b) Rovina kmitů elektrické intenzity polarizované vlny. (c) Polarizovaná vlna

zobrazená v rovině yz s vyznačením amplitudy intenzity elektrického pole.

Nepolarizované světlo lze velmi jednoduše polarizovat průchodem či odrazem vln na určitých krystalech nebo můžeme použít tzv. polarizační destičkou. Takovéto polarizátory se často nazývají polaroidy či polarizační filtry, které propouští vlny kmitající jen v jednom směru.

Fyzika II


Elektromagnetické spektrum

Elektromagnetické spektrum obsahuje elektromagnetické záření všech vlnových délek. Mezi vlnovou délkou λ a frekvencí f vlnění platí vztah

kde c je rychlost vlnění, pro elektromagnetické záření ve vakuu, tedy rychlost světla, je c = 299 792 458 m.s-1. Elektromagnetické záření lze považovat i za proud částic, fotonů, s energií

kde h je Planckova konstanta, h = 6,65.10-34 J.s. Rozdělení elektromagnetického spektra na jednotlivé oblasti je na obrázku 5.3.3. Jednotlivé rozsahy nejsou přesně definovány a jejich hranice se mohou překrývat. Zařazení do oblasti je ovlivněno i způsobem vzniku. Například elektromagnetické vlny o vlnové délce 1 cm považujeme za infračervené záření, jsou-li vyzářeny teplým tělesem nebo za mikrovlny, když je vygeneroval nějaký vysílač.

Obr. 5.3.3: Elektromagnetické spektrum.

Radiové vlny mají vlnovou délku v kilometrech až milimetrech, vznikají v anténách běžných rozměrů, využívají se k přenosu dat (rádio, televize, mobilní telefony).

Mikrovlny mají vlnovou délku v milimetrech, vznikají v magnetronu, využívají se k přenosu dat (Wi-Fi - frekvence 2,4 GHz). V mikrovlnné oblasti zpravidla pracují radary. Protože jsou výrazně pohlcovány polárními molekulami, používají se k mikrovlnnému ohřevu (mikrovlnná trouba - frekvence 2,45 GHz, vlnová délka 12,24 cm).

Infračervené záření má mikrometrové vlnové délky, vyzařují ho teplá tělesa (např. člověk má maximum vyzařování na vlnové délce kolem 10 �m). Značí se IR (z anglického InfraRed). Infračervené záření používají např. přístroje pro noční vidění, senzory bezpečnostních systémů nebo automatické spínače osvětlení, ale také bezkontaktní teploměry. Je částečně pohlcováno a odráženo skleníkovými plyny v atmosféře (vodní pára, CO2, CH4)

Viditelné světlo (viz obr. 5.3.4) je oblast vlnových délek mezi 400 - 750 nm (někdy se uvádí rozsah až 380 - 800 nm; na krajích intervalu citlivost oka klesá, proto není rozsah dobře

Fyzika II


definován), ve které je citlivé lidské oko. Viditelné světlo je emitováno horkými tělesy a při přechodu elektronů mezi hladinami v atomu. Ve viditelné oblasti Slunce vyzařuje maximum energie. Spektrální barvy a jim odpovídající vlnové délky světla jsou v tabulce (barvy v tabulce jsou pouze orientační; z principu není možné zobrazit na monitoru nebo tiskárně věrné spektrální barvy).

Obr. 5.3.4: Spektrum viditelného záření.

Ultrafialové záření má vlnové délky v desítkách a stovkách nanometrů, je vyzařováno velmi horkými tělesy nebo při přechodech elektronů mezi vnitřními hladinami v atomu. Značí se UV (z anglického UltraViolet). Energie UV fotonu stačí na rozbití chemické vazby (degradace polymerů, opalování). UV záření je pohlcováno ozonovou vrstvou.

Rentgenovo záření má vlnové délky v jednotkách a desetinách nanometru. Je připravováno v rentgenkách při přechodu elektronů mezi vnitřními hladinami u těžších prvků. Je pronikavé a prochází hmotou (lékařství, defektoskopie).

Gama záření má vlnové délky kratší než 1 nm. Vzniká při dějích v jádrech atomů. Má vysokou energii a je velmi pronikavé.

Atmosféra chrání povrch Země před většinou záření přicházejícího z Vesmíru. Propouští pouze rádiové vlny v rozsahu vlnových délek v intervalu od 1cm do 20 m, částečně infračervené záření kratší než 10 �m a velmi dobře propouští viditelné světlo. Částečně je propouštěno i blízké ultrafialové záření s vlnovou délkou delší než 300 nm. Vlnové délky kratší než 300 nm jsou dobře pohlcovány, což má velký význam pro existenci života na Zemi.

5.4 Interference na tenké vrstvě

Interference vlnění

Slovo interference znamená vzájemné pronikání, prolínání nebo ovlivňování. Často se pojem interference používá při popisu vzájemného ovlivňování vln. O skládání vln mluvíme jako o interferenci. Výsledný kmitavý pohyb v nějakém místě je dán součtem (superpozicí) kmitů jednotlivých vlnění. V některých místech pak může docházet ke zvětšení amplitudy (zesílení vlnění) a v jiných ke snížení amplitudy (zeslabení vlnění). Dále se budeme zabývat interferencí vln se stejnou frekvencí.

Setkají-li se dvě vlny posunuté o celý počet vlnových délek, dojde ke konstruktivní

Fyzika II


interferenci a vlnění se zesílí (obr. 5.4.1):

kde ∆ je dráhový rozdíl (posunutí) mezi vlnami, m je celé číslo a λ je vlnová délka vlnění.

Obr. 5.4.1: Konstruktivní interference.

Setkají-li se dvě vlny posunuté o lichý násobek půlvlnových délek, dojde k destruktivní interferenci a vlnění se zeslabí (obr. 5.4.2):

Obr. 5.4.2: Destruktivní interference.

Koherence

Aby byla interference dvou vln pozorovatelná, je nutné, aby se fázový rozdíl paprsků s časem neměnil. O takových vlnách říkáme, že jsou koherentní. Sluneční světlo nebo světlo žárovky nejsou koherentní, protože atomy na povrchu tělesa vyzařují náhodně a nezávisle. Koherentní vlny z těchto zdrojů můžeme získat tak, že jednu vlnu rozdělíme na dvě části, ať už průchodem dvojicí štěrbin nebo odrazem na dvou rozhraních. To je také důvod, proč Young při svém pokusu nechal světlo projít nejprve jednou štěrbinou, a pak dvojicí. Kdyby nechal sluneční světlo projít přímo dvojicí štěrbin, každou ze štěrbin by procházela jiná vlna a nebyly by tedy koherentní. Tím, že světlo prošlo nejprve jednou štěrbinou, získal jednu vlnu a tu potom dvojicí štěrbin rozdělil na dvě koherentní.

Zdrojem koherentních vln je laser, ve kterém je jedna vlna zesilována tak, že se k ní ve fázi přidávají další vlny od různých atomů.

Fyzika II


Tenká vrstva

Předpokládejme vlnění dopadající kolmo (na obrázku 5.4.3 je zakreslen šikmý dopad, protože při kolmém by byly všechny vlny v jedné přímce a překrývaly se, my budeme zpočátku předpokládat Θ1 = Θ2 = 0) na tenkou vrstvu o tloušťce d a s indexem lomu n (obr. 5.4.3).

Obr. 5.4.3: Odraz na tenké vrstvě.

Vlna (A) dopadá z prostředí nad vrstvou o indexu lomu n1, pod vrstvou je prostředí s indexem lomu n2. Po dopadu na horní rozhraní se část světla odrazí (B) a zbytek projde (C). Vlna (C) pak dopadne na dolní rozhraní, kde se opět část světla odrazí (D) a zbytek projde (E). Vlna (D) se vrátí na horní rozhraní, část projde (F) a část se odrazí (G). Při dopadu vlny na rozhraní dvou dielektrik se odrazí jen asi 10 % světla a zbylých 90 % projde. Odražené vlny (B) a (F) mají srovnatelnou intenzitu a stejný směr, dochází mezi nimi k interferenci. Přitom vlny (B) a (F) vznikly rozdělením vlny (A) a jsou tedy koherentní. Vlna (F) musela urazit o 2d větší vzdálenost a je tedy proti (B) dráhově posunutá. Dále je třeba si uvědomit, že vlna (F) urazila vzdálenost 2d v prostředí s indexem lomu n, ve kterém se pohybovala n-krát pomaleji a tomu odpovídá n-krát větší vzdálenost. Dráhové zpoždění vlny (F) je pak 2nd. Dále je třeba si uvědomit, že při odrazu vlny na volném konci se fáze nemění, zatímco na pevném konci se obrací jako by se vlna posunula o polovinu vlnové délky. Odrazu na pevném konci odpovídá v optice odraz na prostředí opticky hustším (myslí se tím, že prostředí, na které vlna dopadá, má větší index lomu než prostředí ze kterého přichází), odrazu na volném konci pak odraz na prostředí opticky řidším. Dráhový rozdíl mezi vlnami (B) a (F) lze potom napsat

Přitom závorky indikují, že se příslušný sčítanec v závorce někdy přičítá a někdy vypouští. První závorka bude ve vztahu pouze v případě, že vrstva je opticky hustší než prostředí nad ní (n > n1) a druhá závorka pouze v případě, že podklad (prostředí pod vrstvou) je opticky hustší než vrstva (n < n2). V případě, že dopad světla není kolmý, dráha vln ve vrstvě se prodlouží a vztah 5.13 pak bude

Fyzika II


Interference na tenké vrstvě způsobuje zbarvení mýdlových bublin nebo olejových skvrn na vodě. Také zbarvení některých druhů hmyzu (brouků, motýlů) je ovlivněno interferencí světla na krovkách nebo křídlech. Tenké vrstvy se často používají v optice ke snížení odrazivosti povrchů čoček.

Příklad

Zadání: Jakou barvu mají motýlí křídla v kolmo odraženém bílém světle, jsou-li mezi šupinkami křídel vzduchové mezery o tloušťce 350 nm?

Řešení: Tenká vrstva je tvořena vzduchem s indexem lomu n = 1,0. Prostředí nad vrstvou i pod vrstvou má index lomu vyšší (index lomu nemůže být menší než 1). Ze vztahu 5.13 můžeme napsat: ∆ = 2nd + λ/2 (vrstva není opticky hustší než prostředí nad ní, první závorku ve 5.13 nepíšeme; podklad je opticky hustší než prostředí pod ní, druhou závorku píšeme). Aby měla vrstva v odraženém světle nějakou barvu, musí být odrazivost pro tuto barvu maximální a dráhový rozdíl musí odpovídat konstruktivní interferenci 5.11 ∆ = mλ. Musí tedy platit: 2nd + λ/2 = mλ. Známe n a d, zajímá nás λ:

Abychom mohli vypočítat vlnovou délku λ, musíme znát m, o kterém víme jen, že je to celé číslo. Můžeme ale použít doplňující podmínku, že vlnová délka odraženého světla musí být z viditelné oblasti (máme určit barvu odraženého světla, tedy vlastně jeho vlnovou délku z viditelné oblasti). Vypočítejme vlnové délky λm odpovídající několika nejnižším hodnotám mλ1 = 1400 nm (tato vlnová délka je s infračervené oblasti, neprojeví se ve viditelném zabarvení křídel), λ2 = 467 nm (tato vlnová délka odpovídá modrému světlu), λ3 = 280 nm (tato vlnová délka je už v ultrafialové oblasti). Křídlo bude v odraženém světle modré.

Příklad

Zadání: Navrhněte antireflexní vrstvu s indexem lomu 1,3, která nanesená na skleněné čočce s indexem lomu 1,55 minimalizuje její odrazivost pro vlnovou délku 550 nm. Tloušťka vrstvy by měla být kolem 350 nm.

Řešení: Když není uvedeno jinak, předpokládáme nad vrstvou vzduch s indexem lomu 1,0. Pak následuje vrstva n = 1,3 a podklad je sklo s indexem lomu 1,55. Dráhový rozdíl podle 5.13 je ∆ = 2nd - λ/2 + λ/2 = 2nd (na obou rozhraních jde o odraz na prostředí opticky hustším, píšeme obě závorky z 5.13, které se následně odečtou). Vrstva má minimalizovat odrazivost, interference tedy musí být destruktivní podle 5.12. Musí tedy platit:

Hledáme tloušťku vrstvy:

Podobně jako v předchozím příkladu známe vše kromě celého čísla m. Vrstva minimalizující

Fyzika II


odrazivost pro vlnovou délku 550 nm může mít tloušťku λ0 = 105 nm; λ1 = 317 nm; λ2 = 528 nm; ... Doplňující podmínce na tloušťku vrstvy vyhovuje nejlépe λ1 = 317 nm.

5.5 Difrakce na mřížce

Při průchodu vlnění otvorem nebo kolem překážky je vlnění překážkou ovlivňováno a vlny prošlé různými místy navzájem interferují. Takovým jevům říkáme difrakce (ohyb) vlnění. Difrakční jevy rozlišujeme na Fresnelovu a Fraunhoferovu difrakci. Fresnelova difrakce se zabývá intenzitou interferenčních jevů v závislosti na poloze v konečné vzdálenosti. Fraunhoferova difrakce studuje intenzitu v rovině v nekonečnu, lze ji tedy považovat za zjednodušený případ Fresnelovy difrakce.

Předpokládejme, že na mřížku o vzdálenosti štěrbin d (obr. 5.5.1) dopadá koherentní rovinná vlna. Ve vzdálenosti l za mřížkou je stínítko. Podle Huygensova principu se každá štěrbina mřížky stává novým zdrojem vlnění. Tyto vlny jsou navzájem koherentní, protože vznikly rozdělením dopadající rovinné vlny. Po průchodu štěrbinou se každá nová vlna šíří všemi směry a dopadá do každého bodu stínítka (na obr. 5.5.1 jsou zakresleny jen vlny dopadající do bodu A na stínítku). Vlny prošlé jednotlivými štěrbinami urazí do daného bodu každá jinou vzdálenost a interferují.

Obr. 5.5.1: Difrakce na mřížce.

Pro odhad výsledku interference na stínítku přijmeme zjednodušující předpoklad, že vzdálenost stínítka je velmi velká proti vzdálenosti štěrbin, pak můžeme přejít od Fresnelovy k Fraunhoferově difrakci. Vlny procházející jednotlivými štěrbinami se setkají na stínítku až v nekonečnu (nebo někde daleko, blízko nekonečna :-)) a můžeme je tedy považovat za rovnoběžné (obr. 5.5.2). Dráhový rozdíl mezi vlnami je

Fyzika II


Obr. 5.5.2: Dráhový rozdíl při difrakci na mřížce.

S rostoucím úhlem φ roste dráhový rozdíl mezi vlnami prošlými sousedními štěrbinami. Vždy, když je dráhový rozdíl roven celému násobku vlnové délky, dojde ke konstruktivní interferenci a na stínítku zaznamenáme maximum. Maximu, kdy je m ve vztahu 5.11 rovno nule, říkáme maximum nultého řádu (podle obrázku 5.5.3 mu odpovídá φ = 0 a najdeme ho přímo za štěrbinou), m = 1 pak odpovídá maximum prvního řádu a analogicky m = 2, 3, 4... odpovídá maximům druhého, třetího, čtvrtého... řádu. Všimněme si, že když je dráhový rozdíl mezi dvěma sousedními štěrbinami roven celému násobku vlnové délky, je roven celému násobku vlnové délky i dráhový rozdíl mezi libovolnými dvěma štěrbinami a všechny vlny procházející všemi štěrbinami se sčítají.

Obr. 5.5.3: Výpočet spektra 1. řádu.

Příklad

Zadání: Mřížka má 100 vrypů na milimetr. Na mřížku dopadá bílé světlo. Zjistěte polohu spektra prvního řádu na stínítku 40 cm za mřížkou.

Řešení: Bílé světlo obsahuje vlnové délky od λf = 400 nm pro fialovou barvu po λč = 750 nm pro červenou. Vzdálenost štěrbin je 0,01 mm, což je 10-5 m. Hledáme maxima, dráhový rozdíl

Fyzika II


musí odpovídat vztah 5.11. Maximum má být prvního řádu, m = 1. Kombinací vztahů 5.15 a 5.11 obdržíme

což lze upravit do tvaru:

ze kterého lze vypočítat pod jakými úhlu se šíří vlny, které po interferenci vytvoří maxima pro obě krajní vlnové délky viditelné části spektra φf = 2,3o a φč = 4,3o. Vzdálenosti x příslušných maxim od maxima nultého řádu lze vypočítat jako x = l.tgφ a tedy xf = 1,6 cm a xč = 3,0 cm.

5.6 Difrakce na štěrbině a otvoru

K tomu, aby došlo k difrakci, není nezbytné mít velké množství štěrbin, jak bylo předvedeno v předchozí kapitole, ale k difrakci může dojít i na jedné štěrbině.

Předpokládejme, že na štěrbinu o šířce D dopadá rovinná vlna (obr. 5.6.1). Stínítko předpokládejme ve velké vzdálenosti za štěrbinou – jedná se tedy opět o jednodušší Fraunhoferovu difrakci. Podle Huygensova principu se každá část štěrbiny stává novým zdrojem vlnění. Toto vlnění je koherentní, protože vzniklo rozdělením jedné vlny.

Obr. 5.6.1: Difrakce na štěrbině.

V případě, že bereme po průchodu vlny, které se šíří přímo (φ = 0), dráhový rozdíl mezi nimi bude nulový a přímo za štěrbinou bude na stínítku pozorovatelné maximum intenzity. Nyní zjistíme, jak bude toto centrální maximum (maximum nultého řádu) široké. Centrální maximum bude ohraničeno z obou stran minimy. Zjistěme, pro jaký úhel φ (obr. 5.6.1) získáme minimum intenzity. Abychom obdrželi minimum intenzity, musí se vlny procházející jednotlivými částmi štěrbiny navzájem vyrušit. K tomu dojde v případě, že vlna A se vyruší

Fyzika II


s vlnou E, B s F, C s G a D s H. Dráhový rozdíl mezi vlnami A a E je na obrázku 5.6.1 červeně. Podobně, jako jsme ukázali na obrázku 5.5.2, bude dráhový rozdíl

Využili jsme toho, že pro malé x platí sin x = x. Aby se vlny vyrušily, musí být dráhový rozdíl roven polovině vlnové délky a tedy

Úhel, pod kterým bude pozorovatelné minimum, bude

Centrální maximum bude mít tedy úhlovou šířku φ na obě strany. Pro kruhový otvor je odvození obtížnější než pro štěrbinu, ale lze dokázat, že platí

kde D je průměr otvoru. Centrální maximum je tedy ploška s úhlovým poloměrem φ. Je pozoruhodné, že čím je větší průměr otvoru, tím menší plošku tvoří centrální maximum.

Nyní si musíme uvědomit, že při použití čočky nebo zrcadla není součástka nikdy nekonečná, ale vždy tvoří nějaký „otvor“. Zobrazením hvězdy, která je bodová a v nekonečnu v ohnisku dokonalé čočky nevznikne bodový obraz, ale obraz bude vždy ploška podle vzorce 5.17. Důsledkům tohoto jevu se budeme věnovat v kapitole o rozlišovací schopnosti optických přístrojů.

Fyzika II


6. Geometrická optika

6.1 Měření rychlosti světla

Jak už bylo zmíněno v kapitole o elektromagnetickém vlnění, předpokládali přírodovědci z počátku, že rychlost světla je nekonečná. Tento předpoklad zpochybnil svým pozorováním v roce 1675 dánský astronom Olaf Rømer (1644-1710). Rømer pozoroval zákryty měsíčku Jupitera Io za Jupiterův kotouček a zjistil, že proti výpočtům se někdy předbíhají a někdy opožďují. Na obrázku 6.1.1 Z značí Slunce, J Jupiter, Z1 a Z2 dvě polohy Země během jejího oběhu kolem Slunce. Rozměry v obrázku nejsou v měřítku, pohyb Jupitera na dráze kolem Slunce není důležitý. Pozoroval-li Rømer měsíček Io v době, když byla Země v poloze Z1, změřil nějaké okamžiky zákrytů. Při pozorování se Zemí v poloze Z2 však světlo muselo urazit vzdálenost o ∆d = d2 – d1 delší a dospělo k pozorovateli později než kdyby byl v poloze Z1. Proto pozorovatel v poloze Z2 viděl zákryt později.

Obr. 21.1: Rømerův objev konečné rychlosti světla. Z je Slunce, J Jupiter, Z1 a Z2

dvě polohy Země během jejího oběhu kolem Slunce.

Přesněji změřil rychlost světla v roce 1849 francouzský fyzik Hippolyte Fizeau. Jeho experimentální uspořádání je na obrázek 6.1.2 Ze zdroje vychází paprsek světla, odráží se na polopropustném zrcadle, prochází mezi zuby ozubeného kola, odráží se od zrcadla a vrací se zpět mezi zuby ozubeného kola, prochází polopropustným zrcadlem a dopadá do oka pozorovatele. Vzdálenost kola od zrcadla d je několik kilometrů.

Obr. 6.1.2: Schéma Fizeauova měření rychlosti světla

Fyzika II


Roztočí-li se kolo vysokou rychlostí, pootočí se za dobu kterou světlo potřebuje na překonání vzdálenosti 2d a paprsek po odrazu od zrcadla narazí buď na zub kola a neprojde nebo projde některou další mezerou. Nastaví-li se rychlost otáčení tak, aby paprsek prošel tam jednou mezerou a zpět sousední mezerou, lze ze vzdálenosti d, rychlosti otáčení kola a počtu jeho zubů vypočítat rychlost světla. Rychlost světla je 299 792 458 m.s-1, v praxi často vystačíme s hodnotou 3.108 m.s-1.

V současnosti je 1 metr definován jako vzdálenost, kterou světlo urazí ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy. Rychlost světla určená touto definicí je tedy z definice přesná a odpovídá rychlosti světla změřené s využitím staré definice metru.

6.2 Definice pojmů

Optický prvek je plocha, která ovlivňuje chod paprsku lomem nebo odrazem.

Optická soustava je soustava optických prvků (čočka, mikroskop).

Optická osa je osa, na které leží středy křivosti optických prvků.

Předmětová vzdálenost je vzdálenost od optického prvku k předmětu. Značí se a.

Obrazová vzdálenost je vzdálenost od optického prvku k obrazu. Značí se a’.

6.3 Znaménková konvence

Budeme používat Jenskou (kartézskou) znaménkovou konvenci.

1) Světlo se šíří zleva doprava.

2) Vzdálenosti se měří od optického prvku (čočky, zrcadla).

3) Vzdálenost od optického prvku vlevo je záporná, vpravo je kladná.

4) Výšky nad optickou osou jsou kladné, pod osou záporné.

5) Úhly měřené od optické osy ve směru hodinových ručiček jsou záporné.

Velkou výhodou Jenské znaménkové konvence je, že k určení znamének veličin nepotřebuje žádné další informace o tom, jestli je například obraz reálný nebo virtuální. V učebnicích optiky se často používá jiná znaménková konvence. Je svobodná volba každého zvolit si konvenci, která mu vyhovuje. Velmi důležité je rozhodnout se pro jednu z konvencí a té se držet. Kombinace vztahů vycházejících z jedné konvence a znamének podle jiné konvence vede ke špatným výsledkům. Protože výsledek a’ = - 5 cm může znamenat cokoliv podle toho, kterou znaménkovou konvenci používáte, je dobré doplnit ho i slovní informací – například: a’ = - 5 cm, obraz je 5 cm před čočkou.

Fyzika II


6.4 Rovinné zrcadlo

Zrcadlo je rozhraní mezi dvěma prostředími, které odráží úzký dopadající paprsek světla do jednoho směru. Světlo dopadající na zrcadlo tedy není rozptylováno. Pro odraz na zrcadle platí, že úhel dopadu se rovná úhlu odrazu, tedy (obr. 6.4.1) Θ = Θ’.

Obr. 6.4.1: Úhel dopadu Θ a odrazu Θ’ při odrazu na rovinném zrcadle.

Dodržujeme pravidlo (často v optice používané), že úhly paprsků dopadajících na nějakou plochu se měří ke kolmici k této ploše.

Jako zrcadlo se zpravidla používá vyleštěná stříbrná deska nebo vrstvička hliníku nanesená na skle. Nanese-li se na skleněnou desku jen tenká vrstvička kovu (o tloušťce několika atomů), získáme polopropustné zrcadlo, které část světla propustí a část odrazí. Umístíme-li takové zrcadlo mezi světlou a tmavou místnost, lidé uvnitř světlé místnosti vidí své obrazy v zrcadle, lidé v tmavé místnosti pak paprsky prošlé ze světlé místnosti.

Obr. 6.4.2: Předmět P a obraz O při odrazu na rovinném zrcadle.

Z předmětu (zdroje světla) P (obr. 6.4.2) vychází paprsky a dopadají na zrcadlo. Platí, že úhel dopadu se rovná úhlu odrazu. Protáhneme-li odražené paprsky za zrcadlo (na obrázku čárkovaně), vychází zdánlivě z jednoho bodu - obrazu O. Obraz je stejně daleko za zrcadlem, jako je předmět před zrcadlem.

Fyzika II


Je-li tedy předmět například 1 m před zrcadlem, platí a = -1 m, je obraz 1 m za zrcadlem (a’ = +1 m).

Stojí-li pozorovatel před zrcadlem (obr. 6.4.3) a dopadá na něj světlo, odráží jeho ruka toto světlo všemi směry. Odražené paprsky dopadají na zrcadlo a odráží se od něj tak, že úhel dopadu se rovná úhlu odrazu. Ze všech paprsků, které se odráží od zrcadla jsou pro pozorovatele důležité jen ty, které mu směřují do oka. Oko nepozná, že dráha paprsků, které do něho dopadají není přímá a má pocit, že pozoruje objekt nacházející se za zrcadlem podle vztahu 6.1.

Obr. 6.4.3: Zobrazení rovinným zrcadlem.

6.5 Kulové zrcadlo

Odrazná plocha zrcadla nemusí být nutně rovinná, ale může být i zakřivená. V praxi se často používají kulové odrazné plochy, které nazýváme kulová (sférická) zrcadla. Je-li odrazný povrch vytvořen na vnitřním povrchu kulové plochy, nazýváme zrcadlo vyduté (konkávní) nebo také duté (obr. 6.5.1).

Fyzika II


Obr. 6.5.1: Vyduté sférické zrcadlo

Je-li odrazný povrch vytvořen na vnějším povrchu kulové plochy, nazýváme zrcadlo vypuklé (konvexní) (obr. 6.5.2). Duté zrcadlo má zápornou ohniskovou vzdálenost a vypuklé kladnou ohniskovou vzdálenost.

Obr. 6.5.2: Vypuklé sférické zrcadlo.

Ohnisko zrcadla

Prostudujme nejdříve odraz paprsků vycházejících z předmětu ve velké vzdálenosti od zrcadla (v nekonečnu). Na obrázku 6.5.3 je duté zrcadlo. Označme S střed křivosti zrcadla (střed koule na které je nanesena odrazná plocha), r poloměr křivosti zrcadla (všimněte si, že poloměr křivosti se měří od zrcadla ke středu křivosti v souladu s Jenskou konvencí a ne od středu k zrcadlu, jak je běžně zvykem) a V vrchol zrcadla. Optická osa o je definována body V a S. Paprsky vycházející z předmětu ležícího na optické ose v nekonečnu a dopadající na zrcadlo se šíří rovnoběžně s optickou osou. Část kulového zrcadla, na kterou dopadá paprsek p1, můžeme nahradit rovinným zrcadlem t1, které je v místě dopadu tečné ke kulové ploše. Platí tedy, že úhel dopadu se rovná úhlu odrazu (vzhledem ke kolmici k ploše n1). Úhel mezi dopadajícím a odraženým paprskem je dvojnásobkem úhlu dopadu. Je-li tento úhel malý, je vzdálenost průsečíku odraženého paprsku s optickou osou od zrcadla poloviční než vzdálenost středu křivosti od zrcadla. Paprsky jdoucí rovnoběžně s optickou osou protínají osu uprostřed mezi zrcadlem a poloměrem křivosti, tento bod se nazývá ohnisko zrcadla a značí se F. Vzdálenost ohniska od zrcadla se nazývá ohnisková vzdálenost a značí se f. Platí tedy

Fyzika II


Obr. 6.5.3: Ohnisko zrcadla.

Geometrická konstrukce zobrazení zrcadlem

Mějme duté zrcadlo o ohniskové vzdálenosti f (obr. 6.5.4). Ve vzdálenosti a před zrcadlem (v předmětové vzdálenosti) leží předmět y. Z toho, co už víme o zobrazení zrcadlem můžeme popsat dráhu čtyř význačných paprsků:

1) Paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou (obr. 6.5.4 - modrý) se odráží do ohniska. (ohnisko je definováno jako bod, kde paprsky jdoucí rovnoběžně s optickou osou po odrazu optickou osu protínají)

2) Paprsek odrážející se ve vrcholu zrcadla (obr. 6.5.4 - červený) se odráží pod stejným úhlem jako dopadl. (tečnou k zrcadlu ve vrcholu je plocha kolmá k optické ose)

3) Paprsek procházející ohniskem (obr. 6.5.4 - zelený) se odráží rovnoběžně s optickou osou. (tvrzení plyne z chodu modrého paprsku)

4) Paprsek procházející středem křivosti zrcadla (obr. 6.5.4 - tyrkysový) se odráží opět do středu zrcadla. (paprsek procházející středem křivosti dopadá na odraznou plochu kolmo a odráží se zpět po stejné dráze)

Všechny paprsky vycházející z předmětu y se po odrazu na zrcadle protínají v jednom bodě y’, který se nachází v obrazové vzdálenosti a’ od zrcadla. Pokud do vzdálenosti a’ od zrcadla umístíme stínítko (např. list papíru), vznikne na stínítku obraz. Takovému obrazu říkáme skutečný (reálný) obraz – paprsky se v místě obrazu skutečně protnou.

Fyzika II


Obr. 6.5.4: Konstrukce obrazu vydutého zrcadla.

Mějme vypuklé zrcadlo o ohniskové vzdálenosti f (obr. 6.5.5). Ve vzdálenosti a před zrcadlem (v předmětové vzdálenosti) leží předmět y. Čtveřice paprsků, jejichž chod byl popsán výše pro duté zrcadlo, se bude podle stejných pravidel odrážet i od vypuklého zrcadla (jak je zakresleno na obrázku 6.5.5).

Paprsky vycházející z předmětu y se po odrazu na zrcadle rozbíhají do různých směrů a v žádném bodě se všechny čtyři neprotnou. Prodloužíme-li ale dráhy odražených paprsků zpět, zdá se, jako by všechny vycházely z jednoho bodu y’, který se nachází v obrazové vzdálenosti a’ od zrcadla. Pokud do vzdálenosti a’ od zrcadla umístíme stínítko, nevznikne na stínítku žádný obraz. Takovému obrazu říkáme zdánlivý (virtuální) obraz – paprsky místem obrazu vůbec neprochází, pouze se po odrazu zdá, jako by z místa obrazu vycházely. Vložíme-li na místo virtuálního obrazu stínítko, nebudou na něho dopadat žádné paprsky a neuvidíme žádný obraz. Reálné obrazy vznikají na téže straně zrcadla, jako se nachází předmět, virtuální obrazy vznikají na opačné straně zrcadla.

Obr. 6.5.5: Konstrukce obrazu vypuklého zrcadla.

Fyzika II


Pro konstrukci obrazu stačí zakreslit pouze dva z výše popsaných čtyř paprsků. Je rozumné nakreslit si jich víc pro kontrolu, že se opravdu všechny protínají v jednom bodě. Pravidla pro chod paprsků platí pro paprsky, které jdou blízko optické osy. Pro názornost zakreslujeme paprsky dál od optické osy, které jsou názornější, ale nemusí se protínat přesně v jednom bodě.

Zobrazovací rovnice zrcadla Mezi ohniskovou f, předmětovou a a obrazovou a’ vzdáleností zrcadla platí vztah reprezentovaný zobrazovací rovnicí zrcadla

Například na obr. 6.5.4 je ohnisková vzdálenost zrcadla f = -3 cm (záporná, protože ohnisko je před zrcadlem) a vzdálenost předmětu od zrcadla a = -10 cm (záporná, protože předmět leží před zrcadlem). Z rovnice 6.3 dopočítáme a’ = -4,3 cm (záporná hodnota indikuje, že obraz bude před zrcadlem). Vypočítaná hodnota je v dobrém souladu s nákresem.

Pro situaci podle obr 6.5.5 je ohnisková vzdálenost zrcadla f = +3 cm (kladná, protože ohnisko je za zrcadlem) a vzdálenost předmětu od zrcadla a = -4 cm (záporná, protože předmět leží před zrcadlem). Z rovnice (6.3) dopočítáme a’ = +1,7 cm (kladná hodnota indikuje, že obraz bude za zrcadlem).

Zobrazovací rovnice zrcadla platí i pro rovinné zrcadlo. Střed křivosti rovinného zrcadla je v nekonečnu, r = ∞ a podle 6.2 f = ∞. Potom podle 6.3 platí a = -a’.

Všimněme si, že předmět v nekonečnu se zobrazí do ohniska a naopak předmět v ohnisku do nekonečna.

Zvětšení zrcadla

Zvětšení při optickém zobrazení je definováno jako velikost obrazu ku velikosti předmětu

Záporné zvětšení znamená, že obraz je převrácený. Na obrázku 6.5.6 je zakreslen předmět, odpovídající odraz a paprsek, který se odráží ve vrcholu zrcadla. Pravoúhlé trojúhelníky ay a a’y’ mají všechny úhly stejné, jsou tedy podobné a mají stejný poměr stran. Vztah 6.4 lze potom upravit:

Fyzika II


Obr. 6.5.6: Zvětšení zrcadla.

Sférická vada

Při diskusi o zobrazení sférickým zrcadlem jsme zdůraznili, že popsané dráhy paprsků platí pouze pro malé úhly dopadu a tedy paprsky, které na zrcadlo dopadají blízko optické osy. Z obrázku 6.5.7 je patrné, že zatímco paprsek A dopadající blízko optické osy protíná osu blízko ohniska, paprsek B se ohnisku vůbec nepřiblíží. Skutečnosti, že paprsky odrážející se daleko od optické osy se neodráží do ohniska, se říká sférická vada. Řešením je použití parabolického zrcadla (obr. 6.5.8), pro které platí, že všechny paprsky jdoucí rovnoběžně s optickou osou se odráží do ohniska. Parabolické zrcadlo je sice lepší z hlediska zobrazení, ale je náročnější na konstrukci.

Obr. 6.5.7: Sférická vada.

Obr. 6.5.8: Parabolické zrcadlo.

Fyzika II


6.6 Snellův zákon

Dopadá-li na rozhraní mezi dvěma prostředími paprsek světla, dochází při průchodu z jednoho prostředí do druhého ke změně směru paprsku. Experimentálně bylo zjištěno, že mezi úhlem dopadu Θ1 a úhlem lomu Θ2 platí Snellův zákon (obr. 6.6.1a, 6.6.1b):

Konstantou úměrnosti v tomto vztahu je index lomu n, definovaný pro určité prostředí jako poměr rychlosti světla ve vakuu c a rychlosti světla v v tomto prostředí.

Prochází-li paprsek z prostředí opticky hustšího (opticky hustší je prostředí s vyšším indexem lomu) do opticky řidšího, dochází k lomu ke kolmici (obr. 6.6.1a). Prochází-li paprsek z prostředí opticky řidšího do opticky hustšího, dochází k lomu od kolmice (obr. 6.6.1b).

Dopadá-li paprsek z prostředí opticky hustšího na rozhraní s prostředím opticky řidším pod úhlem Θ1 takovým, že

neexistuje žádný úhel Θ2, pod kterým by paprsek mohl vstoupit do řidšího prostředí a dochází k úplnému (totálnímu) odrazu a všechno dopadající záření se odráží (obr. 6.6.1c). Úhel, pro který ve vztahu 6.8 platí rovnost, nazýváme mezní úhel. Totální odraz se využívá v optických vláknech nebo hranolech.

Obr. 6.6.1: (a) Lom ke kolmici, (b) lom od kolmice, (c) totální odraz.

6.7 Čočka

Čočka je průhledné těleso se dvěma centrovanými lámavými plochami. Index lomu materiálu, ze kterého je čočka vyrobena je n, kolem čočky se zpravidla nachází vzduch s indexem lomu 1. Světlo dopadá pod úhlem Θ1 na první lámavou plochu (obr. 6.7.1) a láme se ke kolmici pod úhlem Θ2. Po průchodu čočkou dopadá pod úhlem Θ3 na druhou lámavou plochu a láme se od kolmice pod úhlem Θ4.

Fyzika II


Obr. 6.7.1:Průchod paprsku čočkou

Ohniska čočky

Lze ukázat, že podobně jako kulové zrcadlo, láme čočka paprsky tak, že se protínají s optickou osou v jednom bodě – ohnisku. Podobně jako máme dutá zrcadla, která paprsky soustřeďují do ohniska a vypuklá zrcadla, která je rozptylují, rozlišujeme i čočky na spojky, které soustředí paprsky rovnoběžné s optickou osou do ohniska (obr. 6.7.2) a rozptylky, které je rozptylují (obr. 6.7.3). Spojka se v nákresech značí podle obr. 6.7.4 rozptylka podle obr. 6.7.5. Na rozdíl od sférického zrcadla má čočka dvě různá ohniska. Předmětové ohnisko se značí F a leží před spojkou (obr. 6.7.4) a za rozptylkou (obr. 6.7.5). Obrazové ohnisko se značí F’ a leží za spojkou a před rozptylkou. U čoček rozlišujeme také předmětovou ohniskovou vzdálenost a obrazovou ohniskovou vzdálenost. Pro spojku platí f<0 a f’>0, pro rozptylku f>0 a f’<0.

Obr. 6.7.2:Spojka. Obr. 6.7.3:Rozptylka.

Obr. 6.7.4:Ohniska spojky. Obr. 6.7.5: Ohniska rozptylky.

Fyzika II


Geometrická konstrukce zobrazení čočkou

Mějme spojku o ohniskové vzdálenosti f (obr. 6.7.6). Ve vzdálenosti a před spojkou (v předmětové vzdálenosti a) leží předmět y. Můžeme popsat dráhu tří význačných paprsků:

1) Paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou (obr. 6.7.6 - modrý) se láme do obrazového ohniska.

2) Paprsek procházející středem čočky (obr. 6.7.6 - červený) se neláme.

3) Paprsek procházející předmětovým ohniskem (obr. 6.7.6 - zelený) se láme rovnoběžně s optickou osou.

Obr. 6.7.6:Konstrukce obrazu spojkou.

Všechny paprsky vycházející z předmětu y se po průchodu čočkou protínají v jednom bodě y’, který se nachází v obrazové vzdálenosti a’ od čočky. Obraz je reálný – vložíme-li do vzdálenosti a’ stínítko, uvidíme na něm obraz.

Mějme rozptylku o ohniskové vzdálenosti f (obr. 6.7.7). Ve vzdálenosti a před čočkou (v předmětové vzdálenosti a) leží předmět y. Trojice paprsků, jejichž chod byl popsán výše pro spojku, se bude podle stejných pravidel lámat i na rozptylce (jak je zakresleno na obrázku 6.7.7).

Fyzika II


Obr. 6.7.7:Konstrukce obrazu rozptylkou.

Paprsky vycházející z předmětu y se po průchodu čočkou rozbíhají do různých směrů a v žádném bodě se všechny tři neprotnou. Prodloužíme-li ale dráhy lomených paprsků zpět, zdá se, jako by všechny vycházely z jednoho bodu y’, který se nachází v obrazové vzdálenosti a’ od zrcadla. Obraz je virtuální – paprsky bodem y’ vůbec neprochází, pouze se po průchodu čočkou zdá, jako by z místa obrazu vycházely.

Zobrazovací rovnice čočky

Mezi obrazovou ohniskovou f’, předmětovou a a obrazovou a’ vzdáleností čočky platí vztah reprezentovaný zobrazovací rovnicí čočky

Například na obr. 6.7.6 je obrazová ohnisková vzdálenost čočky f’ = +3 cm (kladná, protože obrazové ohnisko je za čočkou) a vzdálenost předmětu od čočky a = -7 cm (záporná, protože předmět leží před čočkou). Z rovnice 6.9 dopočítáme a’ = +5,25 cm (kladná hodnota indikuje, že obraz bude za čočkou). Vypočítaná hodnota je v dobrém souladu s nákresem.

Pro situaci na obr. 6.7.7 je obrazová ohnisková vzdálenost čočky f’ = -3 cm (záporná, protože obrazové ohnisko je před čočkou) a vzdálenost předmětu od čočky a = -7 cm (záporná, protože předmět leží před čočkou). Z rovnice 6.9 dopočítáme a’ = -2,1 cm (záporná hodnota indikuje, že obraz bude před čočkou). Vypočítaná hodnota je v dobrém souladu s nákresem.

Všimněme si, že předmět v nekonečnu se zobrazí do obrazového ohniska a naopak předmět v předmětovém ohnisku do nekonečna.

Fyzika II


7. Optické přístroje

7.1 Oko

Oko je orgán živočichů reagující na světlo. Obratlovci a hlavonožci mají jednoduché oči, členovci, kteří mají menší rozměry a jednoduché oko by trpělo difrakčními jevy, mají složené oči.

Části oka Oko má přibližně kulovitý tvar (obr. 7.1.1). Z fyzikálního hlediska jsou v oku důležité tyto části:

Rohovka má vyklenutý tvar a zakřivuje světelné paprsky.

Duhovka má tvar kruhového terčíku s otvorem (zornicí) uprostřed. Omezuje množství světla vstupujícího do oka, je pigmentovaná, aby nepropouštěla světlo.

Řasnaté tělísko je svalová tkáň, na které je zavěšena čočka. Změnou napětí může měnit zakřivení a tím i ohniskovou vzdálenost čočky.

Čočka láme paprsky tak, aby se vytvořil ostrý obraz na sítnici.

Sítnice je světlocitlivá vrstva na vnitřní straně oka, obsahuje čípky a tyčinky – buňky citlivé na světlo.

Slepá skvrna je místo na sítnici, kde z oka vychází zrakový nerv. Nejsou zde žádné světlocitlivé buňky.

Žlutá skvrna je místo na sítnici s největší hustotou světlocitlivých buněk a nejostřejším viděním. Obsahuje jen čípky.

Tyčinky jsou černobílé, hodně citlivé, je jich v oku asi 130 milionů. Nejsou ve žluté skvrně. Tyčinky jsou nejcitlivější pro vlnové délky kolem 500 nm.

Čípky jsou méně citlivé než tyčinky, ale rozlišují červenou, zelenou a modrou barvu (3 druhy čípků, 3 barvy). V oku jich je asi 7 milionů. Kombinovaná spektrální citlivost čípků má maximum kolem 550 nm.

Obr. 7.1.1: Části oka

Fyzika II


Akomodace oka

Zdravé oko je schopno zaostřit na sítnici předměty ve vzdálenosti od asi 15 cm do nekonečna. V případě blízkého předmětu (obr. 7.1.2) řasnaté tělísko zakřiví čočku víc, tím zkrátí její ohniskovou vzdálenost a na sítnici se vytvoří ostrý obraz. U velmi vzdáleného předmětu jsou paprsky vstupující do oka prakticky rovnoběžné (obr. 7.1.3), řasnaté tělísko napne čočku, protáhne ji, zmenší její zakřivení a prodlouží ohniskovou vzdálenost tak, že ohnisko čočky je na sítnici. Nejmenší vzdálenost, na kterou je oko schopno zaostřit, nazýváme blízký bod, největší vzdálenost pak vzdálený bod. Vzdálenost, na kterou oko dokáže delší dobu pozorovat předměty s nejmenší námahou, se nazývá konvenční zraková vzdálenost a je dohodou stanovena na 25 cm.

Obr. 7.1.2: Akomodace oka na blízko. Obr. 7.1.3: Akomodace oka na dálku.

Barevné vidění

Ve zdravém lidském oku existují tři druhy čípků, které jsou schopné zaregistrovat červené (R), zelené (G) a modré (B) světlo. Červených čípků je 64 %, zelených 32 % a modrých jen 4 %. Spektrální citlivost různých druhů čípků je na obrázku 7.1.4. Podle míry podráždění různých čípků se v mozku přiřadí dopadajícímu záření barva. Barvu tedy můžeme definovat pomocí tří základních barev. Normou jsou stanoveny základní spektrální barvy, které odpovídají vlnovým délkám: λR = 700 nm (červená - Red), λG = 546,1 nm (zelená - Green) a λB = 435,8 nm (modrá - Blue). Barvu světla můžeme definovat pomocí souřadnic RGB v trojrozměrném barevném prostoru. Jiný způsob, kterým lze popsat barvy, používá veličin barevný tón (sytá spektrální barva, kterou musíme složit s bílou, abychom dostali požadovanou barvu), sytost (poměr světelného toku příslušejícího světlu daného barevného tónu k součtu světelného toku syté a bílé barvy) a světelný tok (vnímaná intenzita světelného toku). Protože světelný tok určuje pouze intenzitu, stačí pro znázornění barev v rovině barevný tón a sytost. Barvy se pak znázorňují pomocí barevného diagramu (obr. 7.1.5).

Obr. 7.1.4: Spektrální citlivost čípků

Fyzika II


Obr. 7.1.5: Barevný diagram

Oblouk na obvodu diagramu jsou syté spektrální barvy odpovídající vlnovým délkám z viditelné oblasti. Krajní hodnoty spektra spojuje přímka sytých nespektrálních barev. Uvnitř oblasti se nachází nesyté barvy (obr. 7.1.6). Na obr. 7.1.6 je zakreslen barevný trojúhelník spojující trojici zvolených základních RGB barev. Barvy na spojnicích vrcholů vznikají smícháním dvojice barev ve vrcholech. Přitom množství základní barvy je tím větší, čím je bod blíž příslušnému vrcholu. Barvy uvnitř trojúhelníka vznikají smícháním trojice barev. Pro barvy vně trojúhelníka vychází podíl některé složky záporný – takové barvy nelze ze zvolených základních barev namíchat. Světelný tok není v barevném diagramu vynesen. Mohli bychom ho vynášet kolmo k obrázku a je-li například ve středu diagramu bílá barva (jako rovnoměrné zastoupení složek RGB), jsou pod ní stále tmavší odstíny šedé až po černou.

Obr. 7.1.6: Části barevného diagramu

Fyzika II


Až dosud jsme sčítali světlo různých barev (vlnových délek). Takovému skládání barev se říká aditivní (mohli bychom přeložit jako sčítací). Takové sčítání se používá například u monitoru nebo televize, kde body na obrazovce svítí. Barvy vzniklé sčítáním základních RGB barev jsou na obrázku 7.1.7. Rozsvítí-li se například na monitoru červený bod a těsně vedle zelený, vnímáme dané místo jako žluté. Každý, kdo maloval, ví, že žlutou nedostane smícháním zelené a červené barvy, ale naopak zelenou získá smícháním modré a žluté (obr. 7.1.8). Při mícháni malířských barev totiž nemícháme světla, ale pigmenty. Pigment funguje tak, že některé barvy pohltí a jiné odrazí. Například žlutý pigment pohltí modrou a odrazí červenou a zelenou. Míchání pigmentů odpovídá subtraktivní (odečítací) skládání barev. Základní barvy pro subtraktivní skládání jsou azurová (Cyan), purpurová (Magenta) a žlutá (Yellow). Smícháním žlutého pigmentu a azurového pigmentu se pohltí modrá a červená barva a odrazí se jen zelená. Místo modelu CMY se v tiskárnách používá model CMYK. Smícháním všech základních pigmentů má vzniknout černá, která však působí trochu špinavě. Proto (a taky aby se při tisku černého textu nepoužívaly všechny barevné tonery) se k CMY pigmentům přidává ještě černý.

Obr. 7.1.7: Aditivní skládání barev Obr. 7.1.8: Subtraktivní skládání barev

Vady oka

Je-li čočka příliš zakřivená a řasnaté tělísko ji nedokáže napnout, je ohnisková vzdálenost čočky příliš krátká (nebo lze také říct, že oko je příliš dlouhé). Rovnoběžné paprsky (ze vzdáleného předmětu) se u takového oka neprotnou na sítnici, ale ještě před sítnicí a bodový zdroj světla se na sítnici zobrazí jako ploška. Takové oko nazýváme krátkozraké (obr 7.1.9). Vzdálený bod krátkozrakého oka je blíž než v nekonečnu. Jak se předmět přibližuje k oku, obraz se od oka vzdaluje, až se vytvoří na sítnici a oko vidí na krátké vzdálenosti ostře.

Obr. 7.1.9: Krátkozraké oko

Fyzika II


Obr. 7.1.10: Dalekozraké oko

Je-li čočka zakřivená málo, paprsky vycházející z blízkého předmětu se na ní lomí málo a protínají se za čočkou. Bodový zdroj světla se opět zobrací na sítnici jako ploška. Takové oko nazýváme dalekozraké (obr 7.1.10). Blízký bod dalekozrakého oka je ve větší vzdálenosti než je konvenční zraková vzdálenost.

7.2 Brýle

Brýle slouží ke korekci očních vad, zejména krátkozrakosti a dalekozrakosti. Pracují tak, že zobrazí předmět, který je ve vzdálenosti, na kterou oko není schopno zaostřit do vzdálenosti, na kterou zaostřit dokáže. Například dokáže-li krátkozraké oko zaostřit na vzdálenosti pouze od 10 do 20 cm a potřebuje vidět do nekonečna, musí brýle zobrazit předmět, který je v nekonečnu do vzdálenosti 20 cm před oko. Naopak je-li dalekozraké oko schopno zaostřit na vzdálenost od 2 m a potřebujeme vidět už od 25 cm, musí brýle zobrazit předmět z 25 cm do vzdálenosti 2 m před oko.

Optická mohutnost

Parametrem popisujícím lámavé vlastnosti čočky je ohnisková vzdálenost. Trochu paradoxně platí, že čím je čočka silnější (čím víc láme světlo), tím menší je její ohnisková vzdálenost. Proto se v optice používá vhodnější parametr optická mohutnost φ, definovaná

kde f’ je obrazová ohnisková vzdálenost v metrech. Jednotkou optické mohutnosti je dioptrie D. 1 D = 1 m-1.

7.3 Lupa

Lupa je jednoduchý optický přístroj tvořený spojnou čočkou nebo spojnou soustavou čoček. Slouží k pozorování malých blízkých předmětů. Zorný úhel, pod kterým vidíme nějaký malý předmět, roste se zmenšující se vzdáleností předmětu od oka. Je tedy vhodné, umístit předmět co nejblíže k oku. Umístíme-li ale předmět příliš blízko, blíž než je blízký bod oka, není oko schopno tak blízký předmět zaostřit. Řešením je použití spojky s malou ohniskovou vzdáleností. Umístíme-li předmět do předmětového ohniska této spojky, zobrazí se do

Fyzika II


nekonečna. Oko do nekonečna bez problémů zaostří a vidí předmět pod zorným úhlem α, který přísluší jeho vzdálenosti před okem (obr. 7.3.1).

Obr. 7.3.1: Lupa

Zvětšení Z lupy je poměr úhlu, pod kterým pozorujeme předmět v ohnisku lupy, k úhlu, pod kterým předmět pozorujeme z konvenční zrakové vzdálenosti, tedy

kde f’ je ohnisková vzdálenost lupy (v metrech).

7.4 Mikroskop

Mikroskop je přístroj sloužící k pozorování velmi malých předmětů. První mikroskop byl sestrojen kolem roku 1590 v Holandsku Zachariasem Jansenem.

Obr. 7.4.1: Mikroskop

Fyzika II


Mikroskop se skládá ze dvou spojných soustav čoček – objektivu (soustava blíž k předmětu) s velmi malou ohniskovou vzdáleností a okuláru (soustava, ke které se přikládá oko). Předmět y1 se umístí kousek před předmětové ohnisko objektivu F1 (obr. 7.4.1). Objektiv vytvoří reálný, zvětšený, převrácený obraz y’1 za obrazovým ohniskem F‘1. Okulár je umístěn tak, aby obraz vytvořený objektivem byl v jeho předmětovém ohnisku. Obraz vytvořený objektivem je tedy předmětem pro okulár (y’1 = y2). Okulár pak působí stejně jako lupa a zobrazí tento předmět y2 do nekonečna jako obraz y’2 (na obrázku 7.4.1 je obraz vytvořený okulárem blíž než v nekonečnu). Obraz y’2 pak pozoruje oko. Na rozdíl od lupy je tedy předmět zvětšen dvakrát, nejdříve objektivem a pak ještě okulárem. Zvětšení mikroskopu Z je součinem zvětšení objektivu Zob a zvětšení okuláru Zok

Optický mikroskop dosahuje zvětšení až 1000x. A nejmenší podrobnosti pozorovatelné mikroskopem mohou mít velikost kolem 1 μm.

7.5 Dalekohled

Dalekohled slouží k pozorování velmi vzdálených předmětů. První dalekohled sestavil v roce 1608 Hans Lippershey. Jeho konstrukci zdokonalili velmi brzy Galileo Galilei, který použil spojku a rozptylku, a Johannes Kepler s použitím dvou spojek. Isaac Newton má prvenství v použití zrcadla jako objektivu. Dalekohledy, které používají jako objektiv čočku, se nazývají refraktory, ty, u kterých je objektivem zrcadlo, jsou reflektory.

Keplerův dalekohled

U Keplerova dalekohledu jsou objektiv i okulár spojky (obr. 7.5.1). Předmět je v nekonečnu. Objektiv vytvoří jeho obraz y’1 v obrazovém ohnisku objektivu F‘1. Okulár je umístěn tak, aby obraz vytvořený objektivem byl v jeho předmětovém ohnisku. Obraz vytvořený objektivem je předmětem pro okulár (y’1 = y2) a výsledný obraz vytvořený okulárem je převrácený a v nekonečnu (na obrázku 7.5.1 je obraz y’2 zakreslen z pochopitelných důvodů blíž než v nekonečnu, měl by být vlevo v nekonečnu a dosahovat k paprsku, který prochází středem okuláru).

Obr. 7.5.1: Keplerův dalekohled.

Fyzika II


Galileův (holandský) dalekohled

Galileo Galilei použil jako objektiv spojku a okulárem jeho dalekohledu byla rozptylka (obr. 7.5.2). Předmět je v nekonečnu. Objektiv vytvoří jeho obraz y’1 v obrazovém ohnisku objektivu F’1. Okulár je umístěn tak, aby obraz vytvořený objektivem byl v jeho předmětovém ohnisku. Obraz vytvořený objektivem je tedy předmětem pro okulár (y’1 = y2) a ten z něj vytvoří výsledný, přímý obraz. Obraz je zakreslen podobně jako u Keplerova dalekohledu.

Obr. 7.5.2: Galileův dalekohled

Zvětšení dalekohledu

Zvětšení dalekohledu definujeme jako poměr zorného úhlu α2, pod kterým předmět vidíme v dalekohledu, a úhlu α1, pod kterým předmět vidíme bez dalekohledu (obrázek 7.5.1 i 7.5.2):

Jsou-li úhly malé, platí v obou případech αi = y1/fi. Vztah 7.4 lze s uvážením znamének zapsat jako

Zvětšení dalekohledu je tedy určeno podílem ohniskové vzdálenosti objektivu k ohniskové vzdálenosti okuláru.

7.6 Rozlišovací schopnost optických přístrojů

Z výpočtu zvětšení dalekohledu i mikroskopu se zdá, že je v principu možné postavit přístroje s libovolně velkým zvětšením a pozorovat tak libovolně malé podrobnosti. Difrakční jevy, ke kterým dochází jak na překážkách, tak na optických přístrojích, omezují rozlišovací schopnost optických přístrojů. Platí:

Fyzika II


Z tohoto důvodu mlhou špatně prochází světlo, ale bez problémů rádiové vlny, proto zvířata k echolokaci používají ultrazvuk a ne slyšitelné frekvence, proto jsou dlouhé vlny slyšet i v údolí za kopcem, zatímco mikrovlny vyžadují přímou viditelnost mezi vysílačem a přijímačem, proto optický mikroskop nemůže rozlišit předměty menší než přibližně 1 μm a používá se imersní nebo ultrafialová mikroskopie.

Ze vztahu 5.17 lze vypočítat úhlovou šířku maxima při difrakci na otvoru. Používáme-li jakýkoliv přístroj, nikdy nezpracuje celou dopadající vlnu, ale vždy jen její část, která prošla objektivem. Proto pozorujeme-li dalekohledem hvězdu (která je tak daleko, že ji můžeme považovat za bodový zdroj), její obraz nikdy nebude bodový, ale bude tvořit plošku definovanou vztahem 5.17. Zajímá-li nás, jak daleko od sebe musí být úhlově dvě hvězdy, abychom rozlišili plošky jejich obrazů, platí dohoda, že centrální difrakční maximum musí padnout nejméně do prvního difrakčního minima. Pro úhlovou vzdálenost předmětů tedy platí:

kde λ je vlnová délka použitého záření a D průměr vstupního otvoru. Proto subwoofer můžete mít kdekoliv, ale výškové reproduktory musí být umístěny správně, proto nemůže být oko hmyzu na stejném principu jako oko obratlovců, proto živočichové k echolokaci používají ultrazvuk a ne zvuk.

Fyzika II


8. Termodynamika

8.1 Úvod

„Ignis mutat res“

N. N.

V kapitole 7. a 8. se budeme zabývat fyzikou popisující děje, ve kterých se teplota nebo skupenství látky (obecně - stav systému) mění skrze přenos energie. Tato část fyziky se nazývá termodynamika. Jak záhy uvidíme, termodynamika také hledá souvislosti mezi makroskopickými vlastnostmi látek a mechanikou jejich atomů a molekul.

Z historického hlediska se termodynamika začala vyvíjet v druhé polovině 18. století, kdy James Watt (1736-1819) sestrojil a patentoval svůj parní stroj. Ne že by lidé do této doby neznali „sílu“ páry, ale teprve tehdy se začali přenosem energie zabývat exaktněji. Parní stroj odhalil nové možnosti: přeměnu tepla na mechanickou práci. Až do začátku 19. století se termodynamika zabývala takřka výhradně rovnovážnými stavy a vratnými procesy. Prvním, kdo začal popisovat nevratné procesy byl Joseph Fourier. Tehdy se objevil pojem entropie, jako veličiny popisující míru uspořádanosti systému. V roce 1865 formuloval Rudolf Clausius dva základní principy termodynamiky, která v této době již začíná zasahovat do všech odvětví fyziky. Mimo jiné osobnosti následoval Ludwig Boltzmann, který se zabýval statistickou interpretací entropie. Max Planck, studující tepelné záření, položil díky svému vyzařovacímu zákonu jeden ze základních kamenů pro vybudování kvantové teorie. Takto bychom mohli pokračovat dál až k době, kdy Ilya Prigogine přišel s popisem samoorganizačních procesů, disipativních struktur a systémů daleko od rovnováhy.

V tomto základním fyzikálním kurzu se však budeme zabývat pouze základními principy termodynamiky a molekulové fyziky, nerovnovážných systémů se dotkneme opravdu jen symbolicky. Po přečtení této části skript by mělo být jasné, proč může voda vřít při 20°C nebo taky při 180°C, proč jsou na kolejích mezi jednotlivými díly mezery, proč je v horku na přímém slunci lepší nosit volné černé oblečení a nikoliv bílé….

8.2 Teplota a nultý zákon termodynamiky

Často spojujeme představu teploty s tím, jak teplé nebo studené se nám jeví tělesa , když se jich dotkneme. Naše smysly nám tedy poskytují kvalitativní informaci o teplotě. Nicméně, naše smysly jsou z hlediska skutečné teploty nevěrohodné a často nás matou. Jestliže například vyndáme z mrazničky led a papírový karton zmrzlé zeleniny, jeví se nám led mnohem studenější než papír, ačkoliv obě látky byly vystaveny stejné teplotě. Tento fakt je

Fyzika II


způsoben především různým přenosem tepla na led a papír. Potřebujeme tedy spolehlivější a reprodukovatelnější metodu pro měření studených nebo teplých látek, než je rychlost přenosu energie. Než se začneme zabývat principem teploměru, je nutné připomenout si některé, pro většinu z nás, známé pojmy.

K pochopení pojmu teploty je užitečné definovat si dvě často používané fráze: tepelný kontakt a tepelná rovnováha. Řekneme tedy, že dva objekty jsou v tepelném kontaktu tehdy, jestliže mezi nimi může být energie předána skrze teplotní rozdíl obou těles. Tepelná rovnováha je situace, při které si dvě tělesa v tepelném kontaktu mezi sebou nepředávají teplo nebo energii tepelného záření.

Představme si, že máme dvě tělesa A a B, která nejsou v tepelném kontaktu, a třetí těleso C je náš teploměr (viz obr. 8.1.1). Nyní dáme do tepelného kontaktu teploměr C s tělesem A, vyčkáme dokud mezi nimi nenastane tepelná rovnováha, a pak si přečteme hodnotu na teploměru. Totéž provedeme na tělese B. Jestliže jsou obě hodnoty na teploměru stejné, pak můžeme říct, že tělesa A a B jsou také v tepelné rovnováze. Pokud bychom tedy dali do tepelného kontaktu těleso A a těleso B, nedojde mezi nimi k žádné výměně tepla.

Obrázek 8.1.1: Nultý zákon termodynamiky

Předchozí výsledek teď zobecníme a dostaneme tzv. nultý zákon termodynamiky (zákon tepelné rovnováhy):

Tento zákon je triviální a na první pohled se možná zdá zbytečné jej tady uvádět, protože je pro nás zcela samozřejmý. Nicméně je velmi důležitý, neboť nám umožňuje definovat teplotu jako termodynamickou veličinu: dvě tělesa, které jsou ve vzájemné tepelné rovnováze (v rovnovážném termodynamickém stavu), mají stejnou teplotu.

Teplotu tělesa můžeme vyjadřovat v několika jednotkách, resp. stupnicích: Celsiově, Fahrenheitově, Kelvinově, Rankinově, Newtonově, Réaumurově, atd. Představme si teď tři nejznámější a nejpoužívanější:

Fyzika II


Celsiova stupnice

Stupeň Celsia (°C) je jednotka teploty, kterou v roce 1742 vytvořil švédský astronom Anders Celsius (1701-1744). Celsius původně stanovil dva pevné body, 0°C pro teplotu varu vody a 100°C pro teplotu tání ledu (obojí při tlaku 1013,25 hPa). Carl Linné stupnici otočil, a proto je dnes bod tání 0°C a bod varu 100°C. V současnosti je Celsiova stupnice definována pomocí trojného bodu vody, kterému je přiřazena teplota 0,01°C a absolutní velikost jednoho dílku této stupnice (1°C) je rovna 1 K (Kelvinu, viz níže).

Kelvinova stupnice

Tuto stupnici měření teplot navrhl skotský matematik a fyzik Wiliam Thomson (1824-1907), který byl za své výrazné vědecké úspěchy povýšen do šlechtického stavu pod jménem lord Kelvin. Kelvin (K) je jednotkou teploty označovanou také jako termodynamická teplota. Kelvin je také jednou ze sedmi základních jednotek soustavy SI a je definován dvěma body: 0 K je teplota absolutní nuly, tedy nejnižší teplota, která je fyzikálně definována (teplota dosažená v laboratoři ≈ 10-7 K) a 273,16 K je teplota trojného bodu vody. Přechod od Kelvinu ke stupňům Celsia je tedy:

kde T je termodynamická teplota a TC je Celsiova teplota.

Fahrenheitova stupnice

Jednotka teploty, stupeň Fahrenheita (°F), je pojmenovaná podle německého fyzika Daniela Gabriela Fahrenheita (1686-1736) a dnes se stále ještě hlavně v USA používá. Vychází ze dvou základních bodů, podobně jako předchozí dvě stupnice. Teplota 0°F je nejnižší teplota, jaké Fahrenheit v laboratoři dosáhl smícháním NaCl, vody a ledu. Druhou referenční teplotou (96°F) je teplota lidského těla. Později byly tyto základní body stupnice upraveny na 32°F pro teplotu tání ledu a 212°F pro bod varu vody. Tyto body jsou od sebe vzdáleny 180 stupňů, můžeme tedy potom psát:

kde T je termodynamická teplota, TC je Celsiova teplota a TF je Fahrenheitova teplota.

Fyzika II


8.3 Teplotní roztažnost a měření teploty

Teplotní roztažnost

Než se seznámíme s nejjednoduššími zařízeními pro měření teploty, musíme si nejdříve vysvětlit základní princip, na kterém je většina nejpoužívanějších teploměrů založena.

Jeden z těchto principů popisuje určitou změnu v látce - "zvyšujeme-li teplotu látky, zvětšuje se i její objem a naopak". Tento zákon se nazývá teplotní roztažnost a hraje důležitou roli v mnoha inženýrských aplikacích. K teplotní roztažnosti dochází následkem změn v průměrné vzdálenosti mezi atomy v látce. K pochopení tohoto jevu si představme model soustavy atomů v pevné látce jako kuličky spojené pružinami. Atomy v tomto modelu kmitají kolem svých rovnovážných poloh s určitou maximální výchylkou z této polohy (viz kapitola 3. Kmity). Zvýšíme-li teplotu pevné látky, zvětší se i maximální výchylka kmitajících atomů, což vede k nepatrnému zvětšení vzdálenosti mezi nimi. Následně musí tedy dojít k celkové expanzi (roztažení) daného objektu. Čím bude objem látky větší (nebo-li obsahuje větší počet atomů), tím více se také roztáhne.

Předpokládejme, že těleso má počáteční délku Lp při počáteční teplotě Tp, a že délka vzroste o ∆L při změně teploty ∆T. Potom je vhodné definovat koeficient lineární teplotní roztažnosti jako míru změny délky při změně teploty:

Experimenty by nám ukázaly, že α je konstantní pro malé změny teplot. Obvykle bývá rovnice vyjádřena jako:

nebo

kde Lk je konečná délka, Tp a Tk jsou počáteční a konečná teplota a konstanta úměrnosti α je koeficient teplotní roztažnosti pro daný materiál [°C-1].

Protože se délka tělesa mění s teplotou, je logické, že podobně se bude měnit i povrch nebo objem tělesa. Zobecníme nyní rovnici 8.4. Změna objemu je přímo úměrná součinu velikosti počátečního objemu Vp a změny teploty:

kde β je koeficient objemové teplotní roztažnosti. Obvykle můžeme, pro pevné látky, říci, že β= 3α (ale pouze za předpokladu, že materiál má ve všech třech dimenzích stejnou lineární

Fyzika II


roztažnost a jde tedy o isotropní materiál).

Mějme nyní pevnou látku o počátečním objemu Vp, resp. o rozměrech x, y a z, přičemž za počáteční teploty Tp platí, že Vp = xyz. Jestliže se teplota změní na Tp + ∆T, změní se také objem na Vp + ∆V, kde za předpokladu, že β= 3α , se každý rozměr tělesa změní v souladu s rovnicí 8.4, tzn.:

protože je αΔT << 1 (viz Tabulka 8.1) pro typické hodnoty ΔT (< 100°C), můžeme ostatní dva členy v poslední rovnici zanedbat a po této aproximaci lze psát:

Tabulka 8.1

Měření teploty

Běžný teploměr, který denně používáme, se skládá ze skleněné kapiláry a určitého objemu kapaliny (obvykle rtuti nebo alkoholu), která se vlivem změny teploty roztahuje, resp. smršťuje. Stupnice pak může být kalibrována na základě nultého zákona termodynamiky, kdy nastane tepelná rovnováha s látkou, u níž známe teplotu, při které dochází ke změně skupenství (např. teplota varu vody za atmosférického tlaku). Stejného principu teplotní roztažnosti využívá také nejjednodušší termostat, tzv. bimetalový proužek, který je složený ze dvou různých a pevně spojených kovových pásků (např.: bronz a ocel) o různé teplotní roztažnosti. Díky různému koeficientu teplotní roztažnosti dochází k roztažení bimetalového proužku (viz obr. 8.3.1).

Fyzika II


Dalším, poněkud sofistikovanějším zařízením pro měření teploty je plynový teploměr pracující za konstantního objemu (viz obr. 8.3.2). Fyzikální změna využívaná v tomto zařízení

Obrázek 8.3.1: (a) Bimetalový proužek se ohýbá díky změně teploty, protože každý z kovových pásků má

jinou teplotní roztažnost. (b)Bimetalový proužek použitý v termostatu k vypnutí nebo sepnutí elektrického kontaktu.

je změna tlaku plynu o konstantním objemu v závislosti na teplotě. Plynový teploměr musí být samozřejmě kalibrován nejlépe pomocí bodu tání ledu a bodu varu vody. Vložíme-li baňku s plynem (viz obr 8.3.2) do vodní lázně o teplotě bodu tání, rtuťový rezervoár B mění svou výšku do té doby, až se ustálí hladina ve sloupci A. Rozdíl hladin h v rezervoáru B a v rtuťovém sloupci A pak indikuje tlak v plynové baňce při teplotě 0°C. Tutéž kalibraci provedeme pro vodní lázeň při varu a rozdíl hladin pak udává tlak v plynové baňce při teplotě 100°C.

Fyzika II


Obrázek 8.3.2: Plynový teploměr pracující za konstantního objemu měří tlak plynu v baňce vložené do

lázně s kapalinou. Tlak plynu je udržován konstantní díky zvyšování či snižování hladiny v rezervoáru B, proto se nemění ani výška hladiny ve sloupci rtuti A.

Za předpokladu lineární závislosti tlaku plynu na teplotě, můžeme v grafu (a) (obr 8.3.3) tyto dva body spojit, a tuto přímku o určité směrnici lze pak považovat za kalibrační křivku.

Obrázek 8.3.3: (a) Typický příklad funkce p(T) sestrojená z dat naměřených pomocí plynového teploměru pracujícího za konstantního objemu. (b) Závislost tlaku na teplotě pro tři různé typy plynů. Exprapolací

těchto funkcí lze pak určit absolutní nulu, -273,16°C.

Fyzika II


8.4 Teplo, tepelná kapacita a kalorimetrická rovnice

Asi do roku 1850 byly termodynamika a mechanika považovány za dvě odlišné disciplíny přírodních věd. Zdálo se, že zákon zachování energie popisuje jen určité druhy mechanických systémů. Nicméně v polovině 19. století poukázaly experimenty, které provedl nejen James Prescott Joule (1818-1889), na prokazatelnou souvislost mezi tepelným přenosem energie v termodynamických procesech a přenosem energie pomocí vykonané nebo spotřebované práce v mechanických procesech. Dnes již víme, že vnitřní energie systému, o které budeme mluvit v této kapitole, může být přeměněna na mechanickou práci. Fyzikální pojem energie byl tedy zobecněn a zákon zachování energie se stal univerzálním zákonem přírody a vesmíru vůbec.

Teplo a vnitřní energie

Na začátku této podkapitoly je důležité definovat si rozdíl mezi vnitřní energií a teplem. Vnitřní energie je celková energie systému, která zcela souvisí s jeho mikroskopickými složkami - atomy a molekulami. Vnitřní energie zahrnuje především kinetickou a potenciální energii všech částic (lze samozřejmě zahrnout i všechny ostatní postižitelné energie, např. chemickou, elektromagnetickou, atd.). Kinetická energie se skládá z náhodných translačních, rotačních a vibračních pohybů všech částic a potenciální energií se rozumí p. energie uvnitř molekul a mezi molekulami. Důležité je také poznamenat, že do vnitřní energie se nezahrnuje kinetická a potenciální energie, kterou má těleso jako celek. Z definice je tedy zřejmé, že energie izolovaného systému (nevyměňuje si s okolím ani energii ani částice) je konstantní. Je velmi užitečné hledat závislosti mezi změnou vnitřní energie a změnou teploty systému. Tyto vztahy však mají svá omezení, ale o tom budeme mluvit až v další podkapitole.

Teplo je definováno jako energie předaná mezi systémem a jeho okolím, přičemž přenos energie probíhá díky jejich teplotnímu rozdílu. Jestliže budete zahřívat látku, předáváte této látce energii díky kontaktu s teplejším okolím. Jednotkou tepla je 1 joule, který kvantifikuje energetické změny v tepelných procesech. Nicméně se stále setkáváme s označením jednotky tepla 1 cal (kalorie, například na potravinářských výrobcích). Tato jednotka představuje množství energie (tepla) potřebné k tomu, aby vzrostla teplota 1 g vody z 14,5°C na 15,5°C. Převod této jednotky na jouly, který označujeme jako mechanický ekvivalent tepla, je potom:

V kapitole zabývající se mechanikou jsme hovořili o poli konzervativních a nekonzervativních sil. Síly tření jsou nekonzervativní, a proto při jejich působení neplatí zákon zachování mechanické energie. Mechanická energie však nemůže zmizet, ale transformuje se na vnitřní energii. Přeměnu mechanické práce na vnitřní energii si lze představit na jednoduchém příkladě. Jestliže budeme zatloukat hřebík kladivem, pak kinetická energie v okamžiku dopadu kladiva se zcela přemění na jiné energie. Jednou z nich bude rozhodně zvýšení vnitřní energie hřebíku, což může demonstrovat fakt, že je teplejší. Ačkoliv Benjamin Thompson studoval tuto souvislost mezi mechanickou a vnitřní energií jako první, byl to James Prescott Joule, který zavedl pojem ekvivalence mezi těmito dvěma formami energie.

Fyzika II


Na obrázku 8.4.1 je znázorněn nejznámější Jouleův experiment. Zkoumaným systémem je voda uzavřená v tepelně izolované nádobě. Mechanická práce je vykonána na vodě prostřednictvím rotujících lopatek, které jsou řízeny tělesy klesajícími konstantní rychlostí.

Obrázek 8.4.1: Jouleův experiment na určení mechanického ekvivalentu tepla.

Teplota míchané vody vzrůstá díky tření mezi ní a lopatkami. Jestliže zanedbáme energetické ztráty přes stěnu nádoby, odpovídá pokles potenciální energie těles o hmotnosti m práci vykonané rotujícími lopatkami. Pokud obě tělesa klesnou o výšku h, je pokles potenciální energie Ep = 2mgh, kde m je hmotnost jednoho tělesa. Tento pokles je zcela vyjádřen výrazem 8.8. Joule předpokládal, že mechanický ekvivalent tepla za rozdílu teplot 1°C je stejný při jakékoli počáteční teplotě. Pozdější experimenty však ukázaly, že s rostoucí počáteční teplotou se velikost tohoto ekvivalentu mění, a proto je přesně definován pro rozdíl 14,5°C -15,5°C.

Tepelná kapacita

Když předáme energii systému a nedojde ke změně potenciální ani kinetické energie systému, vzroste obvykle teplota tohoto systému (výjimku v tomto tvrzení tvoří systémy, procházející tzv. fázovou změnou, což budeme diskutovat později). Pokud bychom studovali, kolik energie potřebuje látka, aby se její teplota zvýšila o jeden stupeň celsia, zjistili bychom, že je toto množství energie pro každou látku jiné. Například množství energie nutné pro zvýšení teploty 1kg vody o 1°C je, jak už bylo uvedeno výše, 4186 J, ale množství energie potřebné na zvýšení teploty 1kg mědi o 1°C je jen 387 J. Pro definování této materiálové vlastnosti se používá veličina tepelná kapacita K, která představuje množství tepla Q předaného látce při ohřátí o 1°C:

Fyzika II


Tepelná kapacita vztažená na jednotku hmotnosti se nazývá měrná tepelná kapacita c, její hodnoty pro různé látky jsou uváděny ve fyzikálních tabulkách a vyjádříme ji vztahem:

kde Q je teplo, m je hmotnost a ΔT je rozdíl teplot. Řekneme tedy: čím větší je měrná tepelná kapacita materiálu, tím více energie je mu nutno dodat na zvýšení teploty. Tabulka 8.2 udává hodnoty tepelné kapacity pro některé materiály.

Tabulka 8.2

Kalorimetrie a kalorimetrická rovnice

Experimentální metoda, která umožňuje určovat měrnou tepelnou kapacitu látek, se nazývá kalorimetrie (přístroj – kalorimetr). Nejprimitivnější kalorimetr se skládá z teploměru a nádoby, která by měla být dobře tepelně izolovaná od okolí. Potom můžeme v kalorimetru jako termodynamicky izolovaném systému využívat pro výpočty měrné tepelné kapacity látek zákon zachování energie (konzervativní systém). Izolovaná nádoba obsahuje vodu (měrná tepelná kapacita: cv = 4186 J.kg-1.°C-1) o známé hmotnosti mv a teplotě Tv. Do této nádoby (s vodou) vložíme vzorek měřené látky X, o kterém známe hmotnost mx a teplotu Tx. Zákon zachování energie nám potom dovoluje napsat rovnici pro přenos tepla mezi vodou a měřenou látkou:

kde teplo přijaté chladnější vodou Qv je rovno úbytku tepla Qx v teplejší měřené látce, resp. teplo přijaté chladnější měřenou látkou Qx je rovno úbytku tepla Qv v teplejší vodě. Tuto rovnici můžeme použít, jestliže jediným přenosem energie je teplo mezi vodou a měřenou látkou. Pro přesnější měření je samozřejmě nutné ještě započítat teplo, které přijímá, resp. ztrácí nádoba kalorimetru. Musíme znát i měrnou tepelnou kapacitu kalorimetru ck. Dosadíme-li rovnici 8.10 do 8.11, dostaneme kalorimetrickou rovnici, ze které lze snadno spočítat měrnou tepelnou kapacitu měřené látky cx:

Fyzika II


kde Tk je výsledná teplota, při které jsou voda i měřená látka v tepelné rovnováze.

8.5 Latentní teplo

Předáváme-li látce energii, obvykle roste její teplota. Nicméně látky mají také svá skupenství (pevné, kapalné, plynné), ve kterých se nachází za určitých termodynamických podmínek. Zahříváme-li například vodu za atmosférického tlaku (p = 1,01325.105 Pa), obvykle se nám nepodaří překročit teplotu 100°C (neplatí např. při skrytém varu). Jinak řečeno prochází látka během varu fázovou změnou (změna skupenství) a kapalina se mění v plynnou fázi. Přenos energie (teplo), který nemá za následek nárůst teploty a při němž dochází k fázové změně, se nazývá latentní teplo nebo skupenské teplo.

Z předchozí definice latentního tepla L zjistíme, že energie spotřebovaná při fázové změně čisté látky o dané hmotnosti m je:

kde znaménko ± představuje fakt, že pokud budeme látku naopak ochlazovat, bude se například při kondenzaci páry energie uvolňovat (Kolem teploty 0°C jsou sněhové vločky co do tvaru nejpestřejší pravděpodobně proto, že při tuhnutí vody se energie uvolňuje, určitá její část se spotřebuje na tání a tyto dva navzájem protichůdné procesy způsobují vznik mnoha malých krystalů ledu.). Na obrázku 8.5.1 lze potom odečíst v oblasti B latentní teplo tání Lt a v oblasti D latentní teplo vypařování Lv měřené látky o hmotnosti m.

Obrázek 8.5.1: Graf závislosti teploty na dodané energii vodě, která postupně mění skupenství. V částech

B a D teplota neroste, protože energie se spotřebuje na fázovou změnu.

Fyzika II


8.6 Práce a teplo v termodynamických procesech, první zákon termodynamiky.

Z makroskopického termodynamického pohledu popisujeme stav systému tzv. stavovými veličinami: tlak p, objem V, teplota T a vnitřní energie Evnitřní. Pokud popisujeme konkrétní děj v systému použijeme tzv. dějové veličiny: teplo Q a práce W.

V této části kapitoly se budeme zabývat dějovými veličinami. Na obrázku 8.6.1 je vidět jednoduchý příklad práce vykonané na plynu stlačením pístu. Na začátku je plyn uzavřený v nádobě v rovnováze a z makroskopického hlediska je stav tohoto systému zcela určený počátečním tlakem pp působícím na stěny nádoby a objemem Vp. Sílu, kterou působí plyn na píst o ploše S, můžeme vyjádřit jako:

Obrázek 8.6.1: Obrázek ilustrující práci vykonanou na plynu

Předpokládejme nyní, že píst se bude pohybovat dolů, a tím i kvazistaticky stlačovat plyn, což znamená, že se píst bude pohybovat tak pomalu, aby celý systém byl v tepelné rovnováze po celou dobu stlačování. Je to samozřejmě jistá aproximace reálné situace (nerovnovážná termodynamika), ale pro naše výpočty v rovnovážné termodynamice nezbytná. Během pohybu pístu směrem dolů je vnější síla proti směru osy y (viz obr. 8.6.1) vektorově vyjádřena jako:

Fyzika II


Infinitesimální změnu práce vykonané na plynu lze potom odvodit ze základního vztahu:

kde velikost vnější síly F je rovna součinu pS, jelikož vnější síla stlačující píst je vždy v rovnováze se silou, kterou působí plyn na plochu S pístu. Nyní ještě zanedbejme hmotnost pístu a pro práci pak lze psát:

kde dV je rovno Sdy, tedy infinitesimální změně objemu plynu. Jestliže je plyn stlačován, je dV záporné, protože se objem plynu zmenšuje. Práce vykonaná na plynu je potom kladná a celkovou práci vyjádříme:

kde Vp , resp. Vk je objem plynu na začátku procesu, resp. konečný objem.

Během termodynamických procesů není tlak obecně konstantní, ale závisí na teplotě a objemu. Jestliže jsou stavové veličiny tlak a objem měřitelné v každém okamžiku procesu, lze sestrojit graf zvaný PV diagram (viz obr. 8.6.2).

Obrázek 8.6.2: PV diagram. Plyn je stlačován kvazi-staticky (velmi pomalu).

Význam integrálu 8.19 a to, co vyjadřuje PV diagram, můžeme shrnout do následující definice:

Fyzika II


První zákon termodynamiky

V mechanice jste se seznámili se zákonem zachování mechanické energie. Obecný zákon z. energie říká, že změna energie systému je rovna součtu všech energií předaných mezi systémem a jeho okolím. První zákon termodynamiky je speciálním případem zákona zachování energie, který hovoří o změnách ve vnitřní energii, přenosu energie teplem a vykonanou prací. Všechny tyto energie či přenos energie se zachovává a jedná se o zákon, který je použitelný pro mnoho procesů a umožňuje propojení mezi mikrosvětem a makrosvětem. Na základě našich předchozích tvrzení lze první zákon termodynamiky shrnout:

Matematicky můžeme první zákon termodynamiky vyjádřit:

kde ΔEvnitřní je vnitřní energie, Q je teplo a W je vykonaná práce. Výraz dEvnitřní představuje infinitesimální (malou, minimální) změnu vnitřní energie a je tzv. úplným (totálním) diferenciálem, zatímco δQ a δW jsou infinitesimální změny známých veličin, které jsou parciálními (neúplnými, částečnými) diferenciály. Totální diferenciál stavové funkce vnitřní energie znamená, že je závislá pouze na veličinách určujících stav systému (stavové veličiny) a není závislá na způsobu, jakým se systém dostane z jednoho stavu do druhého. Změna vnitřní energie je tedy závislá jen na počátečním a koncovém stavu systému. Množství tepla δQ a práce δW však závisí na způsobu, jakým se soustava mezi počátečním a konečným stavem měnila. Nejsou tedy závislé pouze na počátečním a konečném stavu a nepopisují stav soustavy. Práce ani teplo nejsou funkcemi stavu soustavy, jsou tedy parciálními diferenciály a součet jejich změn je pak vždy roven přírůstku vnitřní energie.

Aplikace prvního zákona termodynamiky si předvedeme v 9. kapitole, kde se budeme mimo jiné zabývat ideálními plyny.

8.7 Mechanismus přenosu energie (tepla)

Jedním ze základních rysů pojetí energie je obecně platné tvrzení, že žádná energie nemůže vzniknout z ničeho či zaniknout bez toho, aniž by se přeměnila v jinou. Energie se tedy vždy a zcela zachovává. Toto je obecné vyjádření zákona zachování energie, které lze shrnout do jednoduché matematické formulace:

Fyzika II


kde E je energie předaná přes rozhraní mezi systémem a jeho okolím různými mechanismy.

Vedení (kondukce) tepla

Proces přenosu energie teplem můžeme také nazvat tepelnou vodivostí. V tomto mechanismu je přenos energie reprezentován na atomární úrovni jako výměna kinetické energie mezi mikroskopickými částicemi - molekulami, atomy, volnými elektrony, kde částice s nižší energií získávají energii srážkami s částicemi s vyšší energií. Jednoduchým příkladem může být pokus, kdy vezmeme dlouhou kovovou tyč a jeden její konec vložíme do ohně. Po chvíli zjistíme, že roste teplota konce tyče, který držíme v ruce. Samozřejmě se zahřívá i naše ruka neboli roste její energie díky tepelné vodivosti. Na mikroskopické úrovni atomy v přímém kontaktu s ohněm kmitají kolem svých rovnovážných poloh s větší amplitudou než atomy kovu, které v přímém kontaktu s ohněm nejsou. Částice mající větší energii předávají, díky vazbám mezi jednotlivými atomy krystalické mřížky, část energie dalším atomům.

Rychlost přenosu energie tepelnou vodivostí závisí na vlastnostech zahřívané látky. Obecně lze říct, že kovy vedou teplo mnohem lépe díky krystalické struktuře (relativně pevné vazby mezi atomy) než azbest, korek, papír či sklo, které jsou převážně amorfního charakteru (slabší vazby mezi jednotlivými molekulami). Dalším důvodem velmi dobré tepelné vodivosti kovů je velký počet volných (delokalizovaných) elektronů, podobně jako při elektrické vodivosti. Tyto elektrony mohou přenášet energii na relativně velké vzdálenosti (z hlediska velikosti atomů). Jinak řečeno, kovy dobře vedou teplo díky vibracím atomů a pohybu volných elektronů.

Vedení tepla jakoukoliv látkou je podmíněno rozdílem teplot mezi jednotlivými částmi tělesa. Gravitační a elektrické pole bylo popsáno pomocí intenzit a potenciálů. Setkali jsme se s vyjádřením E = -gradφ, kde je intenzita pole definována rozdílem potenciálů. Velmi podobně by bylo možné popsat i tzv. teplotní pole, které si můžeme představit jako jednorozměrný případ na obrázku 8.7.1. Na ekvidistantních čarách je vždy stejná teplota (homogenní teplotní pole), podobně jako v kondenzátoru jsou na ekvipoteciálních čarách stejné potenciály (homogenní elektrické pole). Podle této analogie bychom mohli v třírozměrném prostoru vyjadřovat pole gradientu teploty jako vektorové.

Fyzika II


Obrázek 8.7.1.: Jednorozměrné teplotní pole.

Obvykle lze popis vedení tepla zjednodušit. Představme si nyní těleso o tloušťce Δx a ploše S. Na jedné straně desky je teplota Tz a na druhé Tch, přičemž Tz > Tch (viz obr. 8.7.2).

Obrázek 8.7.2. Vedení tepla tělesem o tloušťce ∆x a ploše S

Fyzika II


Můžeme říct, že rychlost přenosu tepla z teplejší strany na chladnější je P = Q/∆t. Tento výraz je zároveň přímo úměrný velikosti plochy S, teplotnímu rozdílu (∆T = Tz - Tch) a naopak nepřímo úměrný tloušťce tělesa ∆x:

kde ∆t je časový interval a λ je koeficient tepelné vodivosti. Ze vztahu 8.23 je zřejmé, že se jedná o výkon, tzn. rychlost přenosu energie teplem. Pokud bychom chtěli zobecnit předchozí výraz a přijali fakt, že vzdálenosti mezi čarami, na kterých je teplota konstantní, nejsou stejné, dostaneme pro výkon:

kde dT/dx je gradient teploty.

Vedení (kondukci) tepla lze popsat také pomocí rovnice hustoty tepelného toku. Uvažujeme-li prostor, ve kterém dochází k přenosu tepla ve všech směrech, pak je teplotní pole funkcí všech tří souřadnic:

Vztah 8.25 nebo 8.26 je vektorová rovnice pro hustotu tepelného toku, nebo-li tzv. Fourierův zákon. Hustota tepelného toku je vektorová veličina (narozdíl od výkonu), jejíž velikost je dána hodnotou tepelného toku (teplo za čas, nebo-li výkon) připadající na jednotku plochy. Směr vektoru je kolmý na příslušnou plochu a orientace je ve směru poklesu teploty. Fourierův zákon říká, že vektor hustoty tepelného toku je přímo úměrný gradientu teploty. Všimněte si podobnosti tohoto zákona s vyjádřením intenzity elektrického pole pomocí potenciálu.

Koeficient tepelné vodivosti λ má rozměr J.K-1m-1.s-1. Podle něj dělíme látky na dobré a špatné vodiče tepla. Dobrými vodiči, jak už bylo vysvětleno výše, jsou kovy (vedou také dobře elektrický proud). Koeficient tepelné vodivosti kapalin je podstatně menší než u kovů. Z tohoto hlediska je můžeme zařadit mezi izolátory. Ještě menší tepelnou vodivost mají plyny.

Proudění (konvekce) tepla

Přenos tepla v tekutinách (kapalinách a plynech) bývá spojen s prouděním (konvekcí). Výpočty proudění tepla jsou podstatně složitější než výpočty vedení tepla. Exaktním způsobem bylo spočítáno jen málo jednoduchých případů. Při složitějších výpočtech jsou často využívány empiricky získané závislosti. Rozeznáváme dva typy konvekce tepla:

(a) Nucená konvekce - proudění je způsobeno tlakovým rozdílem (např. použitím čerpadla). V tekutinách existuje rychlostní pole nezávisle na poli teplotním.

Fyzika II


(b) Volná konvekce - proudění nastane změnou měrné hmotnosti látky při jejím zahřátí. Vznikají tak teplotní rozdíly, které určují teplotní pole, a to je příčinou proudění.

Matematicky lze popsat konvekci obdobnou parciální diferenciální rovnicí jako kondukci (vedení). Musíme si však uvědomit zásadní rozdíly mezi oběma způsoby transportu tepla. Je zřejmé, že vedením se teplo sdílí nezávisle na proudění. Při proudění musí kromě rozdílů teplot (teplotních gradientů) udávajících teplotní pole existovat ještě pole rychlostní, které způsobuje usměrněný pohyb částic. Nastává potom přenos hmoty, a tato pole se navzájem ovlivňují. Proudění je tedy účinnější přenos tepla než vedení, a to proto, že při proudění se kromě přenosu energie vedením zúčastní přenosu ještě hmotnost částic, které při pohybu přenášejí teplo. Například při ohřívání tekutin se konvekce uplatňuje podstatným způsobem. Ohříváme-li tekutinu zdola, tak spodní vrstvy zvyšují teplotu a zvětšují jejich objem, což má za následek zmenšení hustoty a tekutina proudí nahoru. Na její místo proudí shora chladnější tekutina a tak vzniká volná konvekce. Bez konvekce by vznikaly potíže při zahřívání kapalin, protože mají malou tepelnou vodivost. O tom je možné se přesvědčit při zahřívání kapaliny shora, kdy je možné uvést do varu svrchní vrstvu kapaliny a spodní vrstvy zůstávají chladné.

Šíření tepla radiací

Oba předchozí způsoby přenosu tepla (kondukce i konvekce) jsou podmíněny přítomností látkového prostředí, které přenos umožňuje.

Přenos tepla radiací se děje prostřednictvím elektromagnetických vln s vlnovou délkou od 760nm - 1mm, které se mohou šířit i ve vakuu. Šíření elektromagnetických vln popisují Maxwellovy rovnice (viz kapitola Elektromagnetické vlny). Kvantový charakter elektromagnetických vln (viz kapitola Kvantová fyzika) se projevuje až při jejich interakci s látkovým prostředím, tj. při emisi nebo absorpci záření, kdy se také projevují tepelné účinky záření.

Elektromagnetické vlny vysílá každé těleso s teplotou různou od absolutní nuly. Rozdělení energie v závislosti na vlnových délkách je dáno Planckovým zákonem (viz kapitola Záření černého tělesa), podle něhož vlnová délka, které přísluší maximum energie, je nepřímo úměrná termodynamické teplotě tělesa. Celková vyzářená energie je pak úměrná velikosti jeho povrchu, druhu povrchu a vzrůstá se čtvrtou mocninou termodynamické teploty tělesa. Při postupném zahřívání vyzařuje těleso teplo nejprve sáláním a při vyšších teplotách začíná také vyzařovat ve viditelné oblasti spektra (červená-oranžová-žlutá-modrá).

Pro studium zákonů záření byl zaveden pojem absolutně černého tělesa, což je idealizované těleso, které bezezbytku pohlcuje elektromagnetické záření všech vlnových délek. Takové těleso pak vyzařuje i největší množství energie. Výkon vyzářený jednotkovou plochou povrchu absolutně černého tělěsa v oblasti všech vlnových délek je intenzita vyzařování H, pro kterou platí Stefan-Boltznamův vztah:

kde σ je konstanta (σ = 5,67.10-8W.m-2.K-4).

Podrobněji se budeme touto problematikou zabývat až v kapitole Záření absolutně černého tělesa.

Fyzika II


9. Termodynamika a molekulová fyzika

9.1 Úvod

„Princip energie je záležitost zkušenosti. Pokud by tedy jednoho dne měla být jeho všeobecná platnost zpochybněna, což v atomové fyzice není vyloučené, pak by se problém perpetua mobile stal náhle aktuálním. V tom případě není jeho nesmyslnost vůbec absolutní.“

Max Planck

Následující text navazuje na předchozí 8. kapitolu, která pojednávala především o energii a transformaci energie z hlediska termodynamiky. Nyní se budeme zabývat aplikacemi termodynamických zákonů a entropií.

9.2 Ideální plyn a aplikace prvního zákona termodynamiky

Pro zjednodušení dalšího výkladu je nutné si zavést a definovat pojem ideálního plynu. Molekuly ideálního stejnorodého plynu považujeme za kuličky o stejné velikosti a hmotnosti. Jsou dokonale pružné a jejich rozměry jsou vzhledem k prostoru, ve kterém se pohybují, zanedbatelně malé. Při srážkách molekul uplatňujeme zákony mechaniky - zákon zachování hybnosti a zachování energie. Dále zanedbáváme vzájemná působení molekul a tedy neuvažujeme potenciální energii, takže vnitřní energie soustavy ideálního plynu je tvořena součtem kinetických energií translačního pohybu molekul soustavy. Pokud se ideální plyn nachází v termodynamické rovnováze platí důležitá věta:

Hustota plynu je pak v každém místě a čase stejná. Reálné plyny (např. vodík, dusík, kyslík) se při malých tlacích a nízkých hustotách chovají jako ideální.

Stavová rovnice ideálního plynu

Stav každé termodynamické soustavy je v daném čase určen stavovými veličinami (tlak-p, objem-V, teplota-T, látkové množství-n). Uvažujme nyní o plynné soustavě, která při teplotě T0 a tlaku p0 zaujímá objem V0. Dříve než uvedeme tvar stavové rovnice, seznámíme se s empiricky odvozenými zákony, které udávají vztah mezi dvěma stavovými veličinami za předpokladu, že jedna z nich se nemění.

Fyzika II


a) Zákon Boyle-Marriotův vyjadřuje závislost mezi tlakem a objemem při stálé teplotě (T=konst.) a je vyjádřen vztahem:

Změna stavu plynu při konstantní teplotě se nazývá změna izotermická. Graficky se jedná o závislost p(V) vyjádřené rovnoosou hyperbolou, kterou nazýváme izoterma (viz obr. 9.1.1).

Obrázek 9.1.1: PV diagram izotermické expanze ideálního plynu

b) Zákony Gay-Lussacův a Charlesův analogicky vyjadřují závislost objemu na teplotě plynu při konstantním tlaku a závislost tlaku plynu na teplotě při konstantním objemu. Pro první případ můžeme tedy psát:

nebo-li objem plynu při stálém tlaku je přímo úměrný absolutní teplotě. Tento případ nazýváme izobarickou změnou a přímka závislosti V(T) je izobara (viz obr. 9.1.2 A). Pro druhý případ analogicky platí:

nebo-li tlak plynu za stálého objemu je přímo úměrný absolutní teplotě. Takový proces pak nazveme izochorickou změnou a přímka závislosti p(T) je izochora (viz obr. 9.1.2 B). Výše uvedené zákony platí jen pro ideální plyn.

Fyzika II


Obrázek 9.1.2: (A) izobarická změna, (B) izochorická změna

Převeďme nyní plyn do stavu charakterizovaného veličinami pV, T při V0=konst. Jde tedy o izochorickou změnu, pro kterou v tomto případě platí:

Dále provedeme izotermickou změnu, při které se změní tlak z hodnoty pV na p a objem z hodnoty V0 na V. Následně můžeme napsat rovnici:

Dosadíme-li rovnici 9.5 do rovnice 9.6 dostaneme stavovou rovnici pro ideální plyn:

Z přednášek z chemie víme, že podle Avogadrova zákona zaujímá jeden mol libovolného plynu při daném tlaku a teplotě vždy stejný objem. Například 1 mol libovolného plynu za normálních podmínek, tj. při T0 = 273K a tlaku p0 = 1,013.105 Pa zaujímá objem V0 = 22,4dm3, takže potom můžeme napsat rovnici 9.7 jako:

kde Rm je molární plynová konstanta (Rm = [1,013.105 Pa . 22,4.10-3 m3]/273 K = 8,314 J.K-1.mol-1). Rovnice 9.8 platí pro 1 mol plynu. Pokud chceme zobecnit rovnici pro n molů plynu, musíme dosadit za objem veličinu molárního objemu (definovaný vztahem Vm = V/m) a rovnice dostane následující tvar:

kde n je počet molů.

Fyzika II


Měrná a molární tepelná kapacita

Na základě rovnice 8.9, kde jsme nevzali v úvahu infinitesimální změny, lze napsat obecnější výraz pro tepelnou kapacitu soustavy a následně i pro měrnou tepelnou kapacitu:

Měrná tepelná kapacita plynů podstatně závisí na tom, jaké změně je plyn při zahřívání podroben a nabývá proto různých hodnot. Pokud se při zahřívání nemění tlak plynu ale pouze jeho objem, hovoříme o měrné tepelné kapacitě za konstantního tlaku (cp). Analogicky - nemění-li se objem plynu ale jen tlak, mluvíme o měrné tepelné kapacitě za konstantního objemu (cV). Poměr těchto kapacit se nazývá Poissonova konstanta, kterou využijeme později při výkladu adiabatického děje:

U všech látek je cp>cV, je tedy vždy κ >1. Pro termodynamické úvahy zavádíme ještě pojem molární tepelná kapacita za konstantního tlaku, resp. za konstantního objemu:

kde n je látkové množství.

Aplikace prvního zákona termodynamiky

Budeme-li zabývat izochorickým dějem, při kterém soustava přijímá teplo δQ a její teplota se zvýší o dT, pak se získané teplo spotřebuje pouze na zvýšení vnitřní energie, protože dV je rovno nule (objem se nemění). To znamená, že v rovnici 8.21 prvního termodynamického zákona vypadne člen pro práci: dEvnitřní = δQ. Vyjádříme-li teplo pomocí molární tepelné kapacity (9.13) a za tlak dosadíme do rovnice 8.21 výsledek ze stavové rovnice, lze napsat první větu termodynamiky pro n molů plynu jako:

V termodynamice rozlišujeme čtyři základní termodynamické děje. Proveďme nyní diskuzi jednotlivých procesů:

a) Děj izochorický - zde je V = konst., tzn., že dV = 0, plyn nekoná práci a tedy:

kde Tp je počáteční Tk konečná teplota.

Fyzika II


b) Děj izobarický - zde je p = konst., ale objem se mění, tudíž člen pro práci je nenulový a soustava koná práci proti vnějším silám, ale zároveň i roste její vnitřní energie:

Teplo získané výměnou s okolím se rovná zvýšení jeho vnitřní energie a práci, kterou soustava vykoná proti vnějším silám.

(c) Děj izotermický - zde je T = konst., tzn., že dT = 0 nebo-li CVdT = 0, můžeme I. zákon termodynamiky přepsat do tvaru:

Při izotermickém ději se teplo získané soustavou výměnou s okolím spotřebuje jen na vykonání práce a vnitřní energie se nemění, tzn.:

Vzhledem k tomu, že tlak není konstantní a je funkcí objemu, lze ho vyjádřit pomocí stavové rovnice (p = RmT/V), kterou dosadíme do rovnice (9.18):

V případě, že soustava koná práci, a objem se zvětšuje (V2>V1), jedná se o izotermickou expanzi, při níž soustava přijímá z okolí teplo (+δQ) a koná stejnou práci (-δW), tedy δQ = -δW. Pokud se objem soustavy zmenšuje jde o izotermickou kompresi, (V2<V1), při níž je práce spotřebována (+δW) a soustava dodává do okolí teplo (-δQ), tedy -δQ = δW.

(d) Děj adiabatický

Nyní řešme izolovanou soustavu, která si s okolím nemůže vyměňovat teplo, tzn, že δQ = 0. Z první věty plyne:

Výraz 9.20 znamená, že při adiabatickém ději soustava koná práci na úkor své vnitřní energie a platí:

Pokud je práce vykonaná soustavou kladná, hovoříme o adiabatické expanzi, při níž klesne teplota (T1>T2) a vnitřní energie soustavy se zmenší. Pokud je práce záporná, jedná se o adiabatickou kompresi, při níž je vykonána práce (okolím) na soustavě, teplota soustavy vzroste (T2>T1) a vnitřní energie se zvýší.

Fyzika II


Odvoďme si nyní vztah pro závislost tlaku na objemu při adiabatickém ději. Z rovnice 8.20 plyne:

Protože tato rovnice 9.22 obsahuje tři stavové veličiny, vyjádříme si teplotu (dT) pomocí objemu a tlaku ze stavové rovnice, ze které diferenciací dostaneme:

Dosadíme-li za dT do rovnice 8.22, dostaneme:

Použijeme-li tzv. Mayerův vztah (bez odvození: Cp=CV+Rm) a vydělíme CV, můžeme pomocí rovnice 8.12 pro Poissonovu konstantu vyjádřit rovnici:

kterou zintegrujeme:

a následně po odlogaritmování dostaneme:

což je rovnice pro adiabatický děj, která se nazývá Poissonova rovnice. Tato rovnice udává závislost mezi tlakem a objemem. Vzhledem k tomu, že teplota zde není konstantní je často vhodné vyjádřit si závislosti mezi objemem a teplotou a mezi tlakem a teplotou. Uvedeme si zde tyto závislosti alespoň bez odvození:

Grafickým vyjádřením rovnice 9.24 je křivka, kterou nazýváme adiabata (viz. obr. 9.1.3). Poissonova rovnice připomíná svým tvarem rovnici Boyle-Mariotteovu pro izotermický děj. Obě rovnice vyjadřují funkční závislost p = p(V). Nicméně, Cp > CV a tedy κ > 1. Stlačíme-li plyn z objemu V1 na V2 adiabaticky, vzroste tlak plynu více, kdyby komprese proběhla izotermicky.

Fyzika II


Obr. 9.1.3: Srovnání adiabaty s izotermou.

9.3 Kruhový děj, práce plynu a Carnotův cyklus

Kruhovým dějem rozumíme proces, při kterém soustava prochází procesem s určitým počtem stavových změn, přičemž se nakonec vrací zpět do původního stavu. Jedná se tedy o děj, kdy se nemění vnitřní energie systému:

Systém však může v některých fázích kruhového děje přijímat z okolí teplo (+Q1) a v jiných fázích teplo odevzdávat okolí (-Q2). Celkové přijaté teplo je potom Q = Q1 - Q2 a užitím II. zákona termodynamiky (rovnice 8.21) dostaneme:

Celková práce, kterou soustava během jednoho cyklu vykoná, se tedy rovná Q = Q1 - Q2. Jinak řečeno může soustava během kruhového děje přijímat od okolí teplo a vykonávat pak ekvivalentní práci.

Pro teoretické úvahy v rovnovážné termodynamice je důležitý tzv. vratný děj. Aby kruhový děj byl jako celek vratný, musí být vratné všechny fáze, kterými systém prochází. Je také nutné si uvědomit, že vratné děje jsou limitní, idealizované případy, a reálné systémy prochází vždy nevratnými procesy. Stejně je tomu tak i u Carnotova cyklu, který je též vratným kruhovým dějem.

Carnotův cyklus

V roce 1824 francouzský inženýr Nicolas-Léonard-Sadi Carnot (1796-1832) popsal teoretický tepelný stroj, dnes označovaný jako Carnotův stroj. Tento idealizovaný stroj pracuje na principu vratného kruhového děje, který se nazývá Carnotův cyklus. Ve své době byl tento cyklus, jako myšlenkový experiment, velmi důležitý pro další rozvoj nejen teoretické termodynamiky, ale přispěl i k rozvoji tepelných strojů. Ve své vědecké publikaci,

Fyzika II


Réflexions sur la puissance motrice du feu, et sur les machines propres a développer cette puissance, také Sadi Carnot vyslovil následující teorém (Carnotův):

Účinnost tepelného stroje je definována jako podíl práce W vykonané v průběhu jednoho cyklu a tepla Q dodaného během jednoho cyklu:

Carnotův cyklus je tvořen čtyřmi stavovými vratnými ději (viz obr. 9.2.1): a) izotermická expanze (při teplotě T), b) adiabatická expanze, c) izotermická komprese (při teplotě T0), d) adiabatická komprese.

Obr. 9.2.1: Carnotův cyklus (T>T0).

Fyzika II


Carnotův tepelný stroj pracuje se dvěma lázněmi – ohřívačem s teplotou T a chladičem s teplotou T0. Uvažujme dále jako pracovní médium 1 mol ideálního plynu, který je uzavřen v dokonale tepelně izolovaném válci s pístem, který se pohybuje bez tření. Válec uvedeme do styku s oběma lázněmi, ohřívačem i chladičem, o teplotách T>T0. Předpokládejme, že tepelná kapacita obou lázní je tak veliká, aby se při tepelné výměně s plynem ve válci teplota lázní nezměnila.

Obr. 9.2.2: pV diagram Carnotova cyklu.

Nyní proveďme diskuzi jednotlivých fází Carnotova cyklu, jehož pV diagram je na obr. 9.2.2:

(a) Izotermická expanze

Vyjdeme ze stavu A, kde je plyn charakterizován stavovými veličinami p1, V1 a je v tepelném kontaktu s ohřívačem o teplotě T. Díky styku s ohřívačem získává plyn energii prostřednictvím tepla Q. Probíhá tedy izotermická expanze při teplotě T, kdy se plyn rozepne z objemu V1 na V2, tlak klesne z hodnoty p1 na p2 a systém přejde do stavu B (viz obr. 9.2.1 a 9.2.2).

Platí, že p1V1 = p2V2, a současně se při izotermickém ději nemění vnitřní energie soustavy (dEvnitřní = 0), plyn odebírá z ohřívače teplo +Q a vykoná práci (-W1):

Grafickým znázorněním izotermické expanze je na obr. 9.2.2 izoterma A→B.

Fyzika II


(b) Adiabatická expanze

Soustava se nachází ve stavu B. Nyní dokonale izolujeme plyn od ohřívače, tzn., že ohřívač není v tepelném kontaktu s plynem. Plyn si nevyměňuje energii s okolím (Q = 0) a adiabaticky se rozpíná z objemu V2 na V3, tlak klesne z hodnoty p2 na p3 a teplota rovněž klesne z hodnoty T na T0. Platí rovnice

Soustava koná práci na úkor své vnitřní energie a tedy platí

Křivkou adiabatické expanze pV diagramu, obr. 9.2.2., je adiabata B→C. Soustava dospěla ze stavu (p1,V1, T) na konec cesty „tam“, kde má hodnoty p3,V3, T0. K dokončení cyklu je potřeba uskutečnit cestu „zpět“ do výchozího stavu A.

(c) Izotermická komprese

Na začátku této fáze uvedeme systém do tepelného kontaktu s chladičem a působením vnějších sil vykonáme práci na systému, nebo-li provedeme izotermickou kompresi. Tlak vzroste (p3<p4)a objem klesne (V3>V4)za konstantní teploty T0, tedy platí

Vnitřní energie plynu se nemění (dEvnitřní = 0), vnější síly vykonají práci na systému (+W3) a plyn odevzdá chladiči stejně velkou energii prostřednictvím tepla (-Q0):

Izoterma C→D je pak grafickým znázorněním izotermické komprese v pV diagramu na obr. 9.2.2.

(d) adiabatická komprese

Až soustava dospěje do bodu D (obr. 9.2.2), opět dokonale izolujeme plyn od chladiče, což znamená, že chladič není v tepelném kontaktu s plynem. Plyn dále adiabaticky stlačujeme až se systém dostane do výchozího stavu A, přičemž teplota vzroste na T (T>T0), tlak vzroste z p4 na p1 a objem klesne na V1 (V4>V1). Znovu platí, že

Práce, kterou vykonají vnější síly při adiabatické kompresi, zvětší vnitřní energii systému na původní hodnotu, při čemž platí:

Fyzika II


Adiabata D-A je graficky znázorněna na obr. 9.2.2.

Celková práce vykonaná během celého Carnotova cyklu je součtem všech prací vykonaných nebo spotřebovaných v jednotlivých fázích, tedy:

Nyní si ze stavových rovnic pro jednotlivé děje Carnotova cyklu vyjádříme vztahy mezi příslušnými objemy. Po vynásobení rovnic máme

Vztah 9.37 dosadíme do vztahu 9.36 pro celkovou práci při jednom Carnotově cyklu a přepíšeme na tvar:

Jelikož je V2>V1 a T>T0 je W>0, jedná se o pracovní zisk při Carnotově cyklu, jenž je v pV diagramu 9.2.2 znázorněn růžovou plochou. Je tedy zřejmé ze vztahu 9.38, že adiabatické děje k celkovému pracovnímu zisku nepřispívají a podílejí se na něm jen izotermické děje.

Nyní si dosazením do rovnice 9.28 vyjádříme účinnost Carnotova stroje:

To znamená, že po úpravě a s použitím vzorce 9.36 a 9.38 dostaneme:

což je důkaz Carnotova teorému.

V ideálním Carnotově cyklu jsou všechny jeho fáze vratné. Proto celý tento děj může probíhat oboustranně. Probíhá-li kruhový děj ve směru, který je postupně určen stavy A, B, C, D, A (viz obr. 9.2.2), hovoříme o přímém cyklu a jde o tepelný stroj. Probíhá-li ve směru opačném, tzn. A, D, C, B, A, pak se jedná o nepřímý cyklus a probíhá takto:

(a) Plyn se adiabaticky rozpíná a teplota klesne z T na T0.

(b) Plyn se izotermicky rozpíná při teplotě T0, a odebírá z chladiče teplo Q0.

Fyzika II


(c) Plyn je adiabaticky stlačen a jeho teplota vzroste z T0 na T.

(d) Plyn je izotermicky stlačen při teplotě T, a odevzdává ohřívači teplo Q.

Výsledkem je skutečnost, že plyn odebírá z chladnější lázně teplo Q0 a přijímá z okolí energii prostřednictvím mechanické práce, která se mění v teplo. Jinak řečeno odevzdá plyn ohřívači teplo Q=A+Q0. Výsledkem je ochlazení chladiče a zařízení pak pracuje jako chladící stroj.

9.4 Druhá věta termodynamiky a entropie vratných i nevratných dějů

Tepelné stroje pracující na principu vratného kruhového děje jsou schopny soustavně měnit teplo na práci. Nicméně žádný stroj, ani pracující za ideálních podmínek (vratně, cyklicky, bez tření a jiných ztrát), nepřemění veškeré teplo Q odebrané z ohřívače zcela na práci. Vždy je část tepla (tedy Q0) předána okolí nebo-li chladiči, což má za následek vzrůst jeho teploty. Teplo nelze zcela přeměnit na mechanickou práci, protože při této přeměně je část tepla předána z tělesa teplejšího na těleso chladnější. Tato část tepla se ze systému nenávratně vytratí a je v tepelném stroji nevyužitelná. V souladu s první větou termodynamiky se energie samozřejmě neztrácí, ale mění se ve formu „méněcennou“ - teplo. Jinak řečeno - při přeměně tepelné energie na jiné druhy energie vždy část zůstává ve formě tepla, avšak jiné druhy energie lze měnit v tepelnou beze zbytku.

Rudolf Clausius (1822-1888) na základě těchto poznatků rozšířil a zobecnil závěry Sadiho Carnota o tepelných strojích do formulace druhého zákona termodynamiky (1865):

Formulací druhého zákona termodynamiky bylo vysloveno několik, všechny však hovoří o tomtéž. Uveďme si zde ještě větu Maxe Plancka (1858-1947):

Druhá věta termodynamiky tak omezuje obecnou platnost první věty termodynamiky. Tepelný stroj, který by byl schopen přeměnit veškerou tepelnou energii na práci, tzn. měl by 100% účinnost, se nazývá perpetuum mobile 2. druhu a nelze jej tedy sestrojit.

Vraťme se nyní ke Carnotově teorému a vztahu o účinnosti Carnotova stroje (vratný cyklus):

Po úpravě dostaneme:

Fyzika II


Obecně se poměr tepla (přijatého nebo odevzdaného) ku teplotě, při které se přenos uskutečňuje, nazývá redukované teplo a rovnici lze také přepsat do tvaru:

tzn., že při vratném Carnotově cyklu je celkové redukované teplo rovno nule. Představme si obecnější případ kruhového děje, při němž probíhá tepelná výměna při více teplotách. Z makroskopického hlediska probíhá kruhový děj při spojitě se měnících teplotách a tepelná energie je rovněž předávána spojitě (na atomární úrovni to samozřejmě neplatí - kvantová teorie). Potom můžeme rovnici 9.42 přepsat do tvaru:

Rovnice 9.43 se někdy také nazývá rovnicí Clausiovou. Je zřejmé, že se rovnice 9.42 vztahuje k vratnému cyklu, tzn. energie se v sytému během cyklu zachovává. Položme si ale otázku, jak se změní situace, když budou jednotlivé děje v cyklu nevratné, tj. když uskutečníme expanzi tak rychle, že se tlak na ustupujícím pístu nestačí vyrovnávat na hodnotu odpovídající stavové rovnici p = RmT/V nebo když při zpětné kompresi nastanou ztráty třením. Potom bude práce vykonaná při prvním ději (izotermickou expanzi) a jí odpovídající odběr tepla z ohřívače menší, než by odpovídalo rovnici 9.29 platné pro vratný děj. Zatímco práce vynaložená na zpětnou cestu a energie předaná okolí (chladiči) tepelným přenosem při izotermické kompresi bude naopak větší, než odpovídá rovnici 9.33. To znamená, že účinnost při nevratném cyklu je menší. Z ohřívače se do chladiče převede tepelným přenosem ve srovnání s vratnou realizací děje větší množství energie, což se děje na úkor jejího využití pro přeměnu na mechanickou práci

nebo

kde Q0

nevrat je vetší než Q0. Obecně tedy platí:

Fyzika II


Entropie vratných a nevratných dějů

Pokusíme se nyní shrnout předchozí úvahy a závěry. První věta termodynamiky definuje přeměnu tepla v jiné druhy energie, avšak již nehovoří o tom, za jakých podmínek a jak k této přeměně dochází. V podstatě je první věta termodynamiky z fyzikálního hlediska jen jinak vyjádřený zákon zachování energie. Energie nemůže vzniknout ani se ztratit sama od sebe nebo-li mechanická práce se může přeměnit v ekvivalentní teplo a naopak. Tato transformace energie tedy může probíhat neomezeně v obou směrech. Druhá věta termodynamiky nám však říká, že oboustranný proces není neomezený, a proto omezuje první větu termodynamiky: mechanickou práci můžeme zcela přeměnit na teplo, avšak získané teplo nelze (z Carnotova cyklu) transformovat na mechanickou práci beze zbytku.

Všechny reálné děje v přírodě probíhají jednosměrně a spějí samovolně do rovnovážného stavu. Tento rovnovážný stav (stav klidu) můžeme porušit a obrátit děj tak, aby se vrátil do počátečního stavu, je k tomu však zapotřebí vnější zásah. V ději, ve kterém se systém vzdaluje od rovnováhy, je nutno systému dodávat energii z okolí či jiného termodynamického systému, který následně míří sám do rovnovážného stavu. Takže druhá věta termodynamiky dělí děje neodporující první větě na ty, které mohou probíhat samovolně, a na ty, které samovolně probíhat nemohou.

Proto v této souvislosti Rudolf Clausius (1822-1888) definoval takovou stavovou funkci, která by se měnila při samovolných dějích. Tato funkce, která je kvantitativní mírou stupně nevratnosti děje a tím i samovolnosti děje a kritériem rovnovážného stavu, se nazývá entropie (z řeckého slova "τροπη" - transformace, vnitřní změna). Z definice tedy vyplývají následující vztahy:

Entropie má pro druhou větu termodynamiky stejný význam, jako vnitřní energie pro první větu termodynamiky. Jednotkou entropie je J.K-1. Změna entropie systému je dána jako podíl přírůstku tepla při vratném ději za konstantní teploty. Entropie má následující vlastnosti:

a) Její hodnota závisí jen na stavu systému a ne na cestě, po níž se systém do daného stavu dostal. Je to aditivní veličina, což znamená, že změna entropie charakterizující určitý děj je rovna součtu změn entropií jednotlivých dílčích procesů, ze kterých se děj skládá.

b) Změna entropie udává směr, kterým děj probíhá a je také mírou "vzdálenosti" soustavy od rovnováhy.

Určíme si nyní změnu entropie při vratném dějí ideálního plynu při přechodu ze stavu, kde má objem V0, teplotu T0, do stavu s objemem V a teplotou T. Dosadíme-li do první věty termodynamiky za teplo z rovnice 9.47, dostaneme pro nekonečně malou vratnou změnu systému:

vydělením rovnice teplotou, dosazením ze stavové rovnice za tlak a zintegrováním dostáváme:

Fyzika II


Z rovnic 9.47 a 9.43 zároveň také plyne, že pro všechny vratné procesy musí být logicky změna entropie:

Jinak řečeno rovnice 9.51 znamená, že při vratných procesech zůstává suma entropie zachována. Dosazením dEvnitřní = CVdT do rovnice 9.49 dostáváme spojení první a druhé věty termodynamiky, které se často nazývá základní rovnicí termodynamiky pro vratné děje:

Kruhový děj je nevratný, jeli alespoň jedna jeho část nevratná. Je-li tedy děj jako celek nevratný, pak platí

tedy

Ze spojení rovnic 8.51 a 8.54 je tedy zřejmé, že entropie při kruhovém ději, jehož alespoň jedna část je nevratná, roste. Přírůstek entropie je pak kladný a je mírou nevratnosti děje. Pro izolovanou soustavu (dQ = 0), kde probíhají jen adiabatické děje, je pak entropie

V izolované soustavě, která není v rovnovážném stavu (různé tlaky a teploty), probíhají samovolné děje (tlaky a teploty se vyrovnávají) a soustava spěje do rovnovážného stavu. Tento proces bude probíhat tak dlouho, dokud entropie nedosáhne největší možné hodnoty za daných podmínek.Výše uvedené lze shrnout a jinak formulovat druhou větu termodynamiky: všechny spontánní děje vedou ke vzrůstu entropie celku, který se skládá jak ze samotného systému, tak i z jeho okolí. Z rovnice 9.50 je zřejmé, že při izotermické expanzi entropie roste (jelikož T = T0 a V > V0) a při izotermické kompresi zase klesá. Při této úvaze ale určujeme pouze změnu entropie, nikoliv její absolutní hodnotu. Tuto absolutní hodnotu lze určit jedině pokud víme, kde leží nulový bod entropie. O existenci tohoto nulového bodu nás informuje třetí věta termodynamiky, která byla poprvé formulovaná Waltherem Nernstem (1864-1941): při teplotě rovné absolutní nule nabývá entropie chemicky čisté látky nulové hodnoty. Matematicky lze třetí větu termodynamiky vyjádřit:

Fyzika II


9.5 Statistická interpretace entropie

Prozatím jsme se zabývali entropií jako pouze fenomenologickou veličinou charakterizující makroskopický stav soustavy. Entropii však můžeme definovat i statistickým způsobem. Ludwig Boltzmann (1844-1906) navrhnul vztah, který vyjadřuje souvislost mezi mikroskopickým stavem a entropií:

kde kB = 1,381.10-23 J.K-1 je Boltzmannova konstanta (pozn. Rm = kBNA, NA je Avogadrovo číslo) a W je tzv. termodynamická pravděpodobnost. Tato veličina je definována jako počet mikroskopických stavů stavebních jednotek (atomy, molekuly, elektrony, atd.) systému (hmoty), kterými je možné uskutečnit jeden konkrétní makroskopický stav. Následující příklad ukáže blíže, co termodynamická pravděpodobnost znamená. Představme si krabici obsahující plyn s určitým počtem molekul N1 v její levé polovině a N2 v pravé polovině (viz obr. 9.5.1). Celkový počet molekul (jsou nerozlišitelné) v celé krabici je tedy N = N1 + N2. V každém okamžiku se bude určitá molekula nacházet buď v levé nebo v pravé části krabice, protože obě části krabice jsme obrazně rozdělili tak, že mají stejný objem.

Obr. 8.4.1: Izolovaná krabice obsahující N = N1 + N2 molekul

Na obrázku 9.5.1 je znázorněn jeden z možných makrostavů, které jsou rozlišitelné, tzn., že máme určitý počet molekul N1 a N2. Nejsme už ale schopni rozlišit, jestli se určitá molekula nachází v N1 nebo N2. Tuto situaci nazveme mikrostavem, který je tedy nerozlišitelný. A je jisté, že každý mikrostav má v daném makrostavu stejnou pravděpodobnost.

Termodynamická pravděpodobnost nám říká, kolik mikrostavů může nastat v daném makrostavu, matematicky vyjádřeno:

Platí-li N1 = N2 (neuspořádaný systém), je zřejmé, že termodynamická pravděpodobnost dosáhne maximální možné hodnoty a tudíž i entropie bude maximální. Tento závěr je zcela v souladu s tvrzením, že spěje-li systém samovolně do rovnováhy, pak entropie vzrůstá až dosáhne za daných podmínek maximální hodnoty. Mám-li rovnoměrně rozložené molekuly v celé krabici (N1 = N2), jedná se o rovnovážný stav a taky o nejpravděpodobnější situaci.

Uveďme si ještě konkrétní výpočet pro izolovanou krabici, kterou znovu rozdělíme na levou a pravou polovinu, a která bude obsahovat 6 molekul (viz tabulka 9.1). Z tabulky je zřejmé, že

Fyzika II


čtvrtý makrostav má největší počet mikrostavů, a tudíž největší entropii. Jedná se totiž o rovnovážný stav, kdy jsou molekuly plynu rovnoměrně rozloženy v celé krabici.

Tabulka 9.1

9.6 Entropie a informace

Z předchozích úvah lze entropii také interpretovat jako veličinu vyjadřující míru chaosu. Termodynamickou pravděpodobnost a entropii lze použít i ke stanovení míry informace soustavy.

Vezměme si text napsaný na této stránce, který je vytvořen jedinou kombinací písmen. (Je nyní otázkou jakou informaci bude obsahovat text pro člověka, který jej bude číst. To je dost subjektivní záležitost. Pro člověka, který neumí číst, je informace na této stránce nulová. Nyní doufejme, že člověk s technickým vzděláním, který umí číst, si z tohoto textu odnese informaci o vyšší hodnotě:-).) Kromě této jediné kombinace písmen lze dosáhnout zcela náhodného rozdělení jednotlivých písmen, jestliže necháme počítač dostatečným počtem kroků rozházet písmena na této stránce. Při každém kroku, kdy necháme náhodně vybrané písmeno přesunout na zcela náhodně vybrané místo, dosahujeme stále nižší informační hodnoty. Je velmi málo pravděpodobné, že se nám podaří i při velkém počtu pokusů alespoň jednou sestavit text ,či alespoň některá slova, do původní podoby. Existuje samozřejmě větší pravděpodobnost tvorby slabik, menší pravděpodobnost vzniku delších slov či vět a prakticky zanedbatelná je pravděpodobnost tvorby vět či odstavců.

Takto zpřeházený text může představovat systém a jednotlivá písmenka částice (např. molekuly), z nichž se systém skládá. Jak plyne z našich úvah, udává pravděpodobnost stavu systému četnost výskytu daného rozložení částic při mnohokrát opakovaných pokusech, resp. počet způsobů, kterými lze dané rozložení částic uskutečnit. Vidíme, že existuje úplný vztah mezi pravděpodobností systému a stupněm jeho neuspořádanosti. Stavy s pravidelným uspořádáním (maximální uspořádání soustavy) mají na rozdíl od stavů s nahodilým uspořádáním velmi malou pravděpodobnost výskytu.

Pokud jde o stupeň informace, pak nám stránka uspořádaná do slov a vět dává určitou informaci. Rozházením textu poklesne uspořádanost a také stupeň informace. Protože podle

Fyzika II


Boltzmannovy rovnice 9.57 existuje úměrnost mezi entropií a pravděpodobností, nabízí se možnost stanovit pomocí entropie i míru informace soustavy. Vztah mezi entropií a informací byl odvozen a publikován v roce 1877 Ludwigem Boltzmannem (1844-1946) a stal se jedním ze základů teorie informace. Podle této teorie je informace obsažená v nějakém textu či zprávě obecně dána poklesem entropie čtenáře či příjemce zprávy a naopak. Systém o entropii S1 přijetím zprávy obsahující informaci I sníží svou entropii na S2. Lze tedy vyjádřit vzat mezi entropií a informací:

Hodnotu konstanty ve vztahu 9.59 stanovíme následujícím způsobem. Množství informace obsažené v nějaké zprávě je dáno logaritmem podílu pravděpodobnosti jevu po získání informace W1 a pravděpodobností jevu před ziskem informace W:

Změna entropie odpovídající změně pravděpodobnosti z W na W1 je

Jednotkou informace je 1 bit, což je množství informace obsažené v odpovídající zprávě o jevu, jehož pravděpodobnost W je rovna 1/2 (zápis zprávy v binárním kódu).

Ze vztahů 9.60 a 9.61 je zřejmé, že k převedení množství informace, vyjádřeného v bitech, na změnu entropie, je třeba převést logaritmus při základu 2 na přirozený logaritmus a vynásobit Boltzmannovou konstantou. Ze vztahu 9.59 plyne

Pro hodnotu konstanty ze vztahu 9.59 tedy dostaneme

kde -ΔS [J.K-1] je úbytek entropie soustavy a I [bit] je informace. Entropie může být také chápána jako střední hodnota informace na jeden symbol zprávy. Tato myšlenka byla poprvé vyslovena a vzorec odvozen a publikován v roce 1956 Claudem Elwoodem Shannonem (1916-2001):

kde Pi je pravděpodobnost jevu a konstantu K lze odvodit stejně jako v případě Boltzmannovy entropie. Takto vyjádřená informace má samozřejmě jiné jednotky [bit] než Boltzmannova.

Fyzika II


9.7 Termodynamická funkce - entalpie

V předchozích odstavcích jsme si vysvětlili pojem entropie, která je kritériem rovnováhy. Entropii však můžeme jednoduše použít pro izolované systémy (nevyměňuje si s okolím hmotu ani energii), kterých je v reálném světě opravdu málo. Kdybychom entropii chtěli použít pro popis procesů v uzavřených systémech (vyměňuje si s okolím pouze energii) nebo dokonce v otevřených systémech (vyměňuje si s okolím jak energii tak i hmotu), museli bychom začít studovat nerovnovážnou termodynamiku a to je vpravdě dosti náročná oblast fyziky a chemie. Kritérium rovnováhy na základě entropie je příliš obecné. V praxi konáme obvykle měření, při němž soustava s okolím interaguje. Pokud chceme tyto experimenty i nadále popisovat pomocí rovnovážné termodynamiky, je nutné definovat rovnováhu i v případě, že systém interaguje s okolím. Budeme tedy hledat vhodnější termodynamickou funkci, než je entropie. Tato funkce by měla být nezávislá na okolních systémech. Pomocí první věty termodynamické můžeme vyjádřit molární tepelnou kapacitu jako:

Z rovnice 9.65 je zřejmé, že při izochorickém ději (dV = 0) dostaneme pro molární tepelnou kapacitu za konstantního objemu vztah:

Podobně si zde bez odvození uveďme i vztah pro molární tepelnou kapacitu za konstantního tlaku:

kde (Evnitřní + pV) je nová stavová funkce, kterou nazýváme tepelný obsah soustavy neboli entalpii H. Jedná se o termodynamickou funkci, která má pro izobarické děje podobný význam jako vnitřní energie. Tedy:

Pro molární tepelnou kapacitu za konstantního tlaku můžeme napsat:

Fyzikální interpretaci entalpie můžeme provést následující úvahou. Má-li být parametrem soustavy tlak, nesmí jeho hodnota záviset na vlastnostech plynu. Toho lze dosáhnout tak, že soustavu vytvoříme pomocí nádoby uzavřené pístem, na který položíme závaží o hmotnosti m. Tlak plynu v nádobě p = mg/S potom závisí jen na vnějších podmínkách, tzn. na hmotnosti závaží m, ploše pístu S a na tíhovém zrychlení. Entalpie plynu v nádobě je potom:

Fyzika II


kde h je výška sloupce plynu pod pístem. Entalpie plynu v nádobě se skládá z vnitřní energie plynu a z potenciální energie závaží. Energii, kterou plyn získá tepelným přenosem z okolí, zde spotřebuje nejen na zvětšení vnitřní energie plynu, ale také na zvětšení potenciální energie závaží (plyn koná práci). Připomeňme si teď první větu termodynamiky dQ = dEvnitřní + dW, kterou ale lze vyjádřit i pomocí entalpie Evnitřní = H – pV (viz rovnice 9.68). Pokud rovnici 9.68 zdiferencujeme a dosadíme ji do první věty termodynamiky:

dostaneme pro teplo vztah:

Jinak řečeno, při izobarickém ději se všechna energie dodaná tepelným přenosem spotřebuje na zvýšení entalpie soustavy.

9.8 Fázové přechody a Clausius-Clapeyronova rovnice

V kapitole 8.5 jsme narazili na pojem latentní teplo (skupenské teplo), což je energie (teplo), kterou je nutné dodat látce, aby změnila svou fázi (skupenství). Při změně skupenství nedochází k zvyšování nebo snižování teploty. Obecně platí pro libovolnou změnu skupenství (fázový přechod prvního druhu) jakékoliv látky Clausius-Clapeyronova rovnice, ze které lze zjistit, za jakých podmínek k fázovému přechodu dojde. Pro její odvození použijeme Carnotův ideální kruhový děj, který provedeme například s 1 kg kapaliny. Kapalinu necháme vypařit při konstantní teplotě. Proběhne izotermický děj, při kterém je potřeba dodat kapalině měrné skupenské teplo lV (vypařování), a objem kapaliny V1 se změní na V2, kde V2 je objem syté páry (rovnováha mezi kapalinou a jejími parami). Následně proběhne děj, kdy se sytá pára adiabaticky rozepne, což je doprovázeno poklesem teploty na hodnotu T – dT a tlaku na hodnotu p – dp. Při této teplotě a tlaku páru zkapalníme a adiabatickou kompresí pak uvedeme kapalinu do původního stavu. Práce vykonaná při kruhovém ději a při velmi malé změně tlaku je dána dW = (V2 – V1)dp. Dodané teplo je měrné skupenské teplo, takže pro účinnost Carnotova cyklu dostaneme:

Také ale víme, že účinnost Carnotova cyklu je dána také vztahem:

kde T a T - dT jsou teploty mezi nimiž cyklus probíhá. Sloučením vztahů 9.72 a 9.73 dostaneme Clausius-Clapeyronovu rovnici:

Fyzika II


Ačkoliv byla tato rovnice odvozena pro vypařování, platí samozřejmě i pro tání nebo sublimaci. Využít ji můžeme například pro vysvětlení jevu, kdy při dostatečně nízkém tlaku (nižší než atmosférický) může voda vřít i při pokojové teplotě.

Fyzika II


10. Fyzika v kuchyni

10.1 Úvod

V této kapitole budeme aplikovat některé fyzikální zákony, se kterými se bezprostředně v životě setkáváme. Vzhledem k tomu, že jídlo a jeho příprava je asi většině z nás nejbližší, budeme se tedy zabývat ději, které s vařením a s jídlem přímo souvisí.

10.2 Princip ledničky

Mnoho ingrediencí, které potřebujeme k přípravě pokrmů, je zapotřebí uchovávat v chladu. Dříve než se začaly používat ledničky, bylo jídlo skladováno ve sklepech, kam se pro udržení ještě většího chladu přidával led. Led se musel dovážet, zatímco lednička si jej dovede sama vyrobit. Tedy pokud ji zapojíme do sítě :-), nebo-li dodáme energii). Nevěřili byste, ale existují lidé, kteří si myslí, že při velkých vedrech ochladí svůj byt otevřením ledničky dokořán. Nyní si vysvětlíme princip chlazení v ledničce a zjistíme, jak moc se tito pošetilci mýlí.

Fyzika II


11. Záření absolutně černého tělesa

11.1 Teplotní záření

Všechny látky libovolného skupenství vydávají elektromagnetické záření, které je způsobeno termickým pohybem jejich nabitých částic. Toto záření se nazývá teplotní záření. Při teplotách menších než 530oC tělesa vyzařují pouze v infračervené oblasti a jejich záření není viditelné. Při teplotách nad 530oC se ve spektru objevují i viditelné vlnové délky a s rostoucí teplotou roste intenzita tohoto záření a těleso září na stále kratších vlnových délkách.

11.2 Definice veličin

Energii, kterou povrch tělesa vyzáří do prostoru za jednotku času, nazýváme zářivý tok Ф a měříme ji ve wattech. Zářivý tok samozřejmě závisí na velikosti povrchu tělesa, a proto zavádíme veličinu intenzita vyzařování H, která je definována jako zářivý tok Ф z nějaké plošky S, vydělený touto ploškou

Intenzita vyzařování se měří ve W.m-2.

Intenzita vyzařování sice popisuje celkové množství energie vyzářené z jednotky plochy za jednotku času, ale nepodává žádnou informaci, jak je tato energie rozdělena mezi vlnové délky. Proto se zavádí spektrální hustota intenzity vyzařování Hλ

Spektrální hustota vyzařování udává podíl energie, která se vyzáří z jednotky plochy za jednotku času na intervalu vlnových délek od λ do λ+dλ a šířky tohoto intervalu dλ.

11.3 Pohltivost

Těleso záření nejen vyzařuje, ale může i dopadající záření pohlcovat. Poměr energie tělesem pohlcené k energii na těleso dopadající nazýváme pohltivost a značíme α. Těleso s nulovou pohltivostí 0 nepohltí žádné dopadající záření (vše projde nebo se odrazí) a těleso s pohltivostí 0,2 pohltí 20 % dopadajícího záření. Těleso s pohltivostí 1 pohltí veškeré dopadající záření a nazývá se proto absolutně černé těleso.

Abychom objasnili, proč v kapitole o záření těles najednou mluvíme o pohltivosti, pokusme se odvodit, zda souvisí pohltivost s vyzařováním. Předpokládejme, dvě tělesa o stejné teplotě, která si mohou vyměňovat energii pouze zářením (obr. 11.3.1). Těleso A má velkou pohltivost a těleso B malou. Těleso A pohltí velkou část energie vyzářenou tělesem B, zatímco těleso B většinu energie, která na něj dopadá z tělesa A odrazí zpět na A. Podle druhého zákona termodynamiky nemůže teplo samovolně přecházet z chladnějšího tělesa na teplejší. Tělesa A a B jsou v tepelné rovnováze a musí v ní setrvat. To znamená, že těleso A, které hodně energie pohltí, jí musí mnoho i vyzářit, zatímco těleso B musí vyzařovat málo, protože málo energie přijímá.

Fyzika II


Obr. 11.3.1: Pohltivost

Platí tedy závěr, že čím větší má těleso pohltivost, tím víc vyzařuje. Absolutně černé těleso má největší intenzitu vyzařování ze všech těles o stejné teplotě. Těleso o pohltivosti α má intenzitu vyzařování Hα, která je jen α ve srovnání s intenzitou vyzařování absolutně černého tělesa Hač,

Absolutně černé těleso přesně vzato neexistuje, protože každý povrch aspoň malou část dopadajícího záření odrazí. Absolutně černé těleso lze aproximovat malým otvorem do dutiny se začerněnými vnitřními stěnami (obr. 11.3.2). Záření, které projde otvorem dovnitř, se po několika odrazech na stěnách dutiny zeslabí natolik, že se z dutiny prakticky žádné nedostane ven.

Obr. 11.3.2: Realizace absolutně černého tělesa.

Vzhledem k tomu. že existují pigmenty, které některé vlnové délky pohlcují a jiné odráží, je zřejmé, že pohltivost α závisí na vlnové délce. Tělesa, u kterých lze pohltivost na dostatečně širokém intervalu vlnových délek považovat za konstantní, nazýváme šedé zářiče.

11.4 Stefanův-Boltzmannův zákon

Slovinský matematik, fyzik a básník Jožef Stefan (1835-1893) zjistil v roce 1979 měřením intenzity vyzařování kuželové dutiny, že intenzita vyzařování je úměrná čtvrté mocnině

Fyzika II


absolutní teploty. Jeho žák, Ludwig Boltzmann (1844-1906), odvodil na základě představy, že se záření uvnitř dutiny chová jako ideální plyn, teoreticky tuto závislost v roce 1884. Pro absolutně černé těleso platí

Kde σ= 5,67.10-8 W.m-2.K-4 je Stefanova–Boltzmannova konstanta. Vztah 11.4 umožňuje vypočítat celkovou energii vyzářenou libovolným tělesem o teplotě T z jednotky plochy za jednotku času. Nic ale neříká o rozdělení této energie mezi různé vlnové délky.

Ze solární konstanty (množství energie, která dopadá za sekundu ze Slunce na 1 m2 Země kolmý k dopadajícímu záření) 1350 W.m-2, vzdálenosti Země od Slunce a poloměru Slunce lze odhadnout povrchovou teplotu Slunce na 5900 K.

11.5 Wienův zákon

Na základě termodynamických úvah odvodil Wilhelm Wien (1864-1928) v roce 1896 Wienův posunovací zákon pro vlnovou délku λmax, na které je spektrální hustota intenzity vyzařování Hλ maximální.

kde b = 2,898.10-3 m.K. S rostoucí teplotou zářiče se maximum spektrální hustoty intenzity vyzařování přesouvá ke kratším vlnovým délkám. Při teplotě 300 K (27 oC) je maximum Hλ na vlnové délce přibližně 10 μm, při zvýšení teploty na 800 K (528 oC) se maximum posune na 3,6 μm a ve spektru začne být pozorovatelný podíl vlnových délek z viditelné oblasti spektra. Při dalším zvyšování teploty se vlnová délka maxima stále zkracuje a ve spektru záření je stále větší podíl vlnových délek z viditelné oblasti. Slunce při teplotě 5700 K má maximum na vlnové délce 500 nm, která odpovídá přibližně středu viditelné oblasti světla. Můžete přemýšlet, proč se teploty Slunce v této a předchozí kapitole liší o 200 K.

11.6 Planckův zákon

Odvození závislosti Hλ na vlnové délce dlouho naráželo na konci 19. století na nepřekonatelné problémy. Správný matematický tvar závislosti uhodl v srpnu 1900 Max Planck (1858-1947) a v následujícím roce se mu ji podařilo i odvodit. Při odvození opustil tehdy platný předpoklad, že energie je libovolně dělitelná, a použil Planckovu kvantovou hypotézu:

kde h = 6,626.10-34 J.s je Planckova konstanta a f vlastní frekvence oscilátoru.

Spektrální hustota intenzity vyzařování je pak dána vztahem

Fyzika II


kde h = 6,626.10-34 J.s je Planckova konstanta, c = 3.108 m.s-1 rychlost světla, k = 1,38.10-23 J.K-1 je Boltzmannova konstanta, T je absolutní teplota a λ vlnová délka záření. Planck svou kvantovou hypotézu považoval spíše za matematický trik vedoucí ke správnému řešení než za fyzikální princip. Albert Einstein (1879-1955) však dokázal svým vysvětlením fotoelektrického jevu, že energie světla je skutečně kvantována podle Planckovy kvantové hypotézy. Tato kvanta elektromagnetického záření se nazývají fotony. Grafické znázornění Planckova zákona pro čtyři různé teploty je na obrázku 11.6.1.

Obr. 11.6.1: Závislost spektrální hustoty intenzity vyzařování na vlnové délce pro čtyři různé teploty.

Dále si ukážeme některé souvislosti Planckova zákona.

Stefanův-Boltzmannův zákon

Podle vztahu 11.2 je intenzita vyzařování H integrálem Hλ, tedy plochou pod křivkou v grafu 11.6.1. Tato plocha je podle 11.4 úměrná čtvrté mocnině teploty. Například poměr dvou nejvyšších teplot v grafu 11.6.1 je 5000/4000 = 1,25. Poměr ploch pod červenou a zelenou křivkou je 1,254 = 2,44.

Wienův zákon

Wienův zákon (vztah 11.5) určuje polohu maxima na křivce spektrální hustoty intenzity vyzařování. Na obrázku 11.6.1 je dobře patrné, jak se maximum Hλ s rostoucí teplotou posouvá k nižším vlnovým délkám.

Slunce a oko

Slunce má povrchovou teplotu asi 5700 K. Závislost Hλ(λ) pro tuto teplotu je vynesena na obrázku 11.6.2 s vyznačením viditelné oblasti spektra. Na ultrafialové (UV) záření připadá pouze 12 %, na viditelné (VIS) 41 % a na infračervené (IR) zbylých 47 % energie. Maximum energie vyzářené Sluncem připadá na vlnovou délku asi 500 nm, kde je také lidské oko nejcitlivější. Při pohledu na úzký interval viditelného záření v elektromagnetickém spektru (obr. 5.3.3) každého napadne, proč není tento interval širší. Rozšířením do ultrafialové oblasti bychom nic nezískali, na UV záření připadá jen 12 % energie vyzářené Sluncem a navíc je

Fyzika II


toto záření silně pohlcováno v atmosféře.

Obr. 11.6.2:Závislost spektrální hustoty intenzity vyzařování na vlnové délce pro Slunce.

Šedý pás znázorňuje viditelnou oblast.

Prostudujme nyní důsledky změny rozsahu viditelného záření do infračervené oblasti. Teplota lidského těla je 310 K. Intenzita vyzařování při této teplotě je 523 W.m-2. Z toho na oblast vlnových délek kratších než 750 nm připadá 2,7.10-20 W.m-2. Energie fotonu pro λ = 750 nm je 2,6.10-19 J. To znamená, že člověk vyzáří z 1 m2 asi jeden foton z viditelné oblasti za 10 s, tedy prakticky nic. Na oblast vlnových délek kratších než 1000 nm připadá 6,3.10-14 W.m-2 a tomu odpovídá asi 200 000 fotonů. To znamená, že na vlnových délkách 750 – 1000 nm člověk začíná zářit (maximum je až na 10000 nm). Nemá-li tedy vnímat záření, které sám vydává nelze rozšířit viditelnou oblast ani do infračervené.

Žárovka

Světlo klasické žárovky vzniká na rozžhaveném vlákně. Aby se účinnost (množství světla na watt příkonu) žárovky co nejvíc blížilo účinnosti Slunce, je třeba dosáhnout co nejvyšší teploty vlákna. První prakticky použitelnou žárovku zkonstruoval Thomas Alva Edison (1847–1931) v roce 1879, její vlákno bylo tvořeno zuhelnatělým kouskem bambusu a bylo umístěno ve skleněné baňce ze které byl vyčerpán vzduch. Později byl uhlík nahrazen wolframem. Wolfram patří k nejhůře tavitelným kovům, jeho teplota tání je 3695 K. Teplota dvojitě vinutého vlákna žárovky je asi 3100 K a teplota vlákna halogenové žárovky může dosáhnout až 3300 K. Halogenová žárovka je totiž plněna plynem s příměsí halogenu, (např. methylenbromid), který vrací odpařený wolfram zpět na vlákno. Navíc má wolfram výhodu, že nezáří jako absolutně černé těleso, ale v jeho spektru je více krátkých vlnových délek jako by teplota vlákna byla vyšší. Planckův zákon pro standardní a halogenovou žárovku je na obrázku 11.6.3. Je patrné, že obě žárovky září zejména v infračervené oblasti a na viditelnou oblast připadá pouze 12 % vyzářeného výkonu u standardní žárovky a 15 % u halogenové (teď neuvažujeme, že citlivost lidského oka k okrajům viditelné oblasti klesá). Účinnost halogenové žárovky je o něco vyšší. Přesto je účinnost žárovek poměrně nízká a probíhá jejich nahrazování zářivkami, které potřebují k dosažení stejného osvětlení pětinu energie. Hitem poslední doby jsou světelné diody, jejichž účinnost je až desetinásobkem účinnosti žárovky a dvojnásobkem zářivky.

Fyzika II


Obr. 11.6.3: Závislost spektrální hustoty intenzity vyzařování na vlnové délce pro standardní žárovku

(3100 K) a halogenovou žárovku (3300 K) . Šedý pás znázorňuje viditelnou oblast.

V dubnu 2007 kanadská vláda oznámila, že do roku 2012 hodlá zakázat klasické žárovky a tím přispět k obrovskému snížení emisí oxidu uhličitého. V souvislosti s tím, co jsme uvedli o účinnosti žárovky výše to vypadá jako rozumný krok. Je třeba si však uvědomit, že zářivky špatně snášejí časté zapínání a například na schodiště jsou zpravidla špatnou volbou. Žárovky také na rozdíl od zářivek neobsahují škodlivé kovy a nepřinášejí takové problémy s likvidací. Navíc se uvádí, že na osvětlení se používá asi 5 % vyrobené elektrické energie a tedy s obrovským snížením emisí to také nebude úplně pravda. Nejsem nekritickým přítelem žárovek a doma máme klasické žárovky jen v koupelně a na WC, ale myslím si, že co předvedli v Kanadě je klasickým příkladem toho, co dokáže ekologista, když dosáhne moci vydávat zákony.

11.7 Skleníkový jev

V poslední době často diskutovaný skleníkový jev úzce souvisí se zářením černého tělesa. Atmosféra je (podobně jako sklo ve skleníku) dobře propustná pro viditelné záření, ale některé plyny v atmosféře obsažené (zejména vodní pára, kysličník uhličitý, metan) pohlcují a odráží infračervené záření. Slunce má povrchovou teplotu kolem 5700 K a září především ve viditelné oblasti. Sluneční záření tedy snadno prochází atmosférou. Dopadá na povrch Země a velká část záření se pohltí. Povrch Země má teplotu kolem 300 K a září především v infračervené oblasti, pro kterou je atmosféra špatně propustná. Viditelné světlo tak prochází na povrch Země velmi snadno, ale infračervené pak nemůže unikat zpět do Vesmíru. Povrch Země a atmosféra se proto otepluje. Skleníkový jev způsobuje, že je na Zemi asi o 33 oC tepleji, než odpovídá množství energie dopadající ze Slunce.

Fyzika II


12. Kvantová fyzika

12.1 Úvod

Klasická mechanika (Isaac Newton, 1643-1727) a termodynamika se zabývají především pohybem částic, který se řídí Newtonovými zákony. Klasická teorie elektromagnetického pole a optika popisují pole a vlny, které jsou definovány Maxwellovými rovnicemi (James Clerk Maxwell, 1831-1879). Při studiu těchto fyzikálních teorií se můžeme opírat o řadu zkušeností z běžného života. Hod kriketovým míčkem v gravitačním poli lze skutečně bezchybně popsat a pochopit pomocí Newtonovské kinematiky a dynamiky. Stejně tak analogie vlnové optiky (Huygensův princip, interference) můžeme najít například při pozorování vodoměrek na hladině vody. Avšak kvantově-mechanické jevy se projevují až na atomární a subatomární úrovni, a tak s nimi těžko můžeme udělat nějakou zkušenost v běžném životě.

Na konci 19. století se vědci domnívali, že fyzika je jako věda už prakticky završená. Newtonova teorie gravitace a Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole dokázaly vysvětlit téměř všechny fyzikální jevy, a tak vznikl dojem, že budoucí generace fyziků už nebudou mít co objevovat. Snad proto tehdy mladého nadaného vědce Maxe Plancka (1858-1947) jeho profesor zrazoval, aby dál pokračoval ve studiu fyziky a raději si našel jiný vědní obor. Max Planck se však nedal odradit a začal hlouběji studovat termodynamiku a právě tady se vynořil nový fyzikální problém. Jeans a Rayleigh v té době studovali tepelné záření těles a přitom dospěli k nečekanému zjištění, že jejich výpočty provedené podle zákonů klasické fyziky neodpovídají experimentálně zjištěným faktům. Dokonalá klasická fyzika najednou přestávala fungovat. Planck se zaměřil právě na tento problém a došel k revoluční myšlence, že elektromagnetické záření se skládá z malých kvant energie. Planckova kvantová hypotéza o energii, která může nabývat pouze diskrétních hodnot, je příkladem geniální intuice. Svůj vzorec vystihující spektrum tepelného záření (viz kapitola 11.) uveřejnil 14. prosince 1900. Podle tohoto objevu, kdy energie oscilátoru s frekvencí υ je kvantovaná, což znamená, že energie emitovaná nebo absorbovaná může nabývat pouze celočíselných násobků můžeme napsat vztah pro Planckovo kvantum energie:

kde h = 6,626.10-34 J.s je Planckova konstanta, která hraje v kvantové fyzice klíčovou roli. Často se setkáme i s vyjádřením energie pomocí úhlové frekvence oscilátoru ω = 2πυ:

Planckova konstanta má velmi malou hodnotu a právě z tohoto důvodu se kvantování nedá pozorovat v makroskopických systémech.

V roce 1905 dospěl Albert Einstein na základě objevu fotoelektrického jevu (Heinrich Hertz, 1887) k závěru, že Planckovo kvantum elektromagnetické energie je ve skutečnosti částice neboli foton. V roce 1913 Niels Bohr použil kvantovou hypotézu pro vysvětlení stabilních elektronových drah v atomu a ve 20. letech se zrodila „moderní“ fyzika – kvantová mechanika. Ačkoliv Albert Einstein (Nobelova cena za vysvětlení fotoelektrického jevu) i Max Planck (Nobelova cena za objev kvantování energie) stáli u zrodu této „nové fyziky“,

Fyzika II


nedokázali se nikdy smířit s převratnými důsledky svých objevů v oblasti kvantové mechaniky.

Kvantová mechanika jako fyzikální teorie je velmi složitá a dokonce i skvělý fyzik R. P. Feymann (1918-1988), který vytvořil tzv. kvantovou elektrodynamiku, tvrdil, že kvantové teorii nerozumí ani sami její autoři. Proto v této kapitole není cílem, aby čtenář pochopil kvantovou fyziku, ale aby se seznámil se základními experimenty a myšlenkami, které k této teorii vedly.

12.2 Fotoelektrický jev

Ačkoliv fotoelektrický jev jako první objevil Heinrich Hertz (1857-1894), budeme se zde zabývat kvantitativním experimentem, který vykonal Robert Andrews Millikan (1868-1953) v roce 1916 a teoreticky objasnil Albert Einstein. Jeho zařízení je znázorněné na obrázku 12.2.1. Monochromatické světlo s měnitelnou frekvencí dopadá na fotoelektrodu ve vyvakuované trubici a proti ní je elektroda ze stejného materiálu, která má záporný potenciál. Vzniklé elektrické pole pak způsobí, že emitované elektrony e- (e = 1,602.10-19) jsou brzděny. Když elektron dosáhne anody, vrací se zpět na fotokatodu přes vnější obvod, přičemž vytvářejí proud. Pokud bychom měnili napětí mezi elektrodami lze určit kinetickou energii elektronů.

Obr. 12.2.1: Fotoelektrický jev. (a) Milikanovo zařízení na měření fotoefektu. monochromatické světlo s

frekvencí ν ozařuje elektrodu a uvolňuje elektrony, které dopadají na protější elektrodu a vytváří tak proud I ve vnějším obvodu, ale tok elektronů v trubici je brzděn vnějším napětím U. Proud zanikne až

napětí dosáhne hodnoty mezní hodnoty Us. (b) Závislost napětí Us na frekvenci záření ν.

Fyzika II


Tento experiment nám poskytuje následující výsledky:

(a) Proud elektronů se objeví nezávisle na napětí při frekvenci ν0, která je charakteristická pro materiál katody. Proud v obvodu prochází pouze tehdy , jestliže ν > ν0.

(b) Napětí Us, při kterém proud přestane procházet je lineárně závislý na frekvenci světla (viz obr. 12.2.1b). Kinetická energie Ek elektronů se potom rovná potenciální energii eUs elektronů v elektrostatickém poli mezi katodou a anodou:

Podíl h/e je směrnicí přímky popisující vztah mezi frekvencí světla a napětím:

Světlo s frekvencí υ odevzdává kinetickou energii eUs elektronům. Pokud je frekvence menší než υ0, elektrony se z elektrody neuvolňují:

Jestliže nazveme hυ0 ionizační energií potřebnou k vyražení elektronu z materiálu je jasné, že světlo s frekvencí υ má energii

Fyzika II


13. Kvantová kryptografie, kvantové počítače

13.1 Úvod

Kvantová fyzika není jen velmi složitou teorií, která by tu byla pouze sama pro sebe a pro teoretické fyziky, ale má i své praktické aplikace. Jedná se především o kvantovou kryptografii, kvantové počítače a kvantovou teleportaci. Je však pravdou, že tato praktická uplatnění kvantové podstaty nanosvěta mají ještě relativně daleko ke komerčnímu využití.

13.2 Kvantová kryptografie

Slovo kryptografie je původem řecké přibližně znamená "psaní tajným písmem" a je součástí širšího oboru zvaném kryptologie, což je věda o šifrování a luštění šifer bez klíče (kryptoanalýza). Dnes se s tajnými hesly setkáváme denně (PIN, heslo při přihlášení do počítačové sítě, atd.) a jistě nikdo z nás nechceme, aby někdo naše hesla znal. Nicméně šifrování a hesla nejsou nic nového a z historických pramenů jsou známy šifry z Mezopotámie, ze Sparty nebo starověkého Říma. Je samozřejmě jasné, že díky trvalé potřebě chránit informace před "nepřítelem" se šifrovací metody i schopnosti nenechavých luštitelů zkvalitňovali. Jedním z luštitelů, který však luštil šifry a kódy pouze pro zábavu, byl geniální fyzik Richard Philips Feynman (1918-1988). Ten doháněl k šílenství své nadřízené, když pracoval za války v Los Alamos na vývoji jaderné bomby, tím, že z legrace otevíral sejfy, ve kterých byly uchovávány zprávy o vývoji bomby (R. P. Feynman: To snad nemyslíte vážně, pane Feynmane!).

Dnes existuje mnoho téměř dokonalých a matematických postupů, kterak šifrovat zprávy. Bohužel však ke každé zašifrované zprávě je zapotřebí k jejímu rozluštění klíč. Tento klíč si musí spiklenci mezi sebou nějak sdělit. A zde právě nastává problém. Pokud si budete předávat klíč prostřednictvím mobilního telefonu nebo požijete nějaké jiné elektromagnetické frekvence k předání klíče, můžete být odposloucháváni a špion obvykle s úspěchem klíč zachytí. Pak už stačí ukrást kurýrovi zprávu a pokud by se bránil, tak ho bohužel budete muset zastřelit, což ovšem pro gangstery nepředstavuje větší morální problém. Klíč samozřejmě můžete také poslat po kurýrovi, ovšem tam nastává právě výše uvedené nebezpečí nebo lze samozřejmě kurýra uplatit, což zase záleží většinou jen na výši úplatku.

Bezpečnost při předávání klíče je dnes tedy hlavním problémem. Řešení však nabízí právě kvantová kryptografie, kdy při předávání klíče je využito kvantových vlastností světla, přesněji řečeno vlastností fotonů. Ne že by při tomto způsobu přenosu nemohlo dojít k odposlouchávání, jde ale spolehlivě zjistit, zda jsme odposloucháváni byli nebo ne. V prvním případě pak pouze předaný klíč nepoužijeme, čímž znemožníme třetí osobě, aby zprávu dekódovala.

Vernamova šifra

Ještě než se dostaneme k samotnému pokusu o vysvětlení principu kvantovému přenosu informace. Bude záhodno, rozepsat se trochu o jedné, poměrně jednoduché, avšak velmi bezpečné šifrovací metodě (používá se prý dnes na telefonní lince mezi Bílým domem a

Fyzika II


Kremlem:-)) Poprvé ji v roce 1918 popsal Gilbert S. Vernam (1890-1960). Princip této šifrovací metody, že zpráva je kódována pomocí stejně dlouhého klíče (náhodná posloupnost), což znamená, že dostaneme zcela náhodný sled znaků. Díky tomuto způsobu kódování je jasné, že každá zpráva musí mít svůj originální klíč, jenž musí být opravdu zcela náhodný. Pokud tomu tak je, pak zpráva je nerozluštitelná, protože pravděpodobnosti všech možných výsledků jsou stejné. Jinak řečeno, luštitel může dekódováním získat jak zprávu o globálním oteplování, tak i zprávu o rostoucí ekonomice v ČR. Princip tohoto šifrování si ukážeme na následujícím příkladu (viz obr. 13. 2. 1).

Obr. 13.2.1: Příklad šifrování podle Vernama.

Na obrázku 13. 2. 1 bylo použita abeceda o 26 písmenech. Proto je zapotřebí klíč, který je složen ze sekvence náhodných čísel v intervalu 0-25. Je jasné, že příjemce zprávy i její odesílatel musí mít stejný klíč, přičemž šifrování probíhá posunutím v abecedě doprava a logicky dešifrování doleva.

Princip kvantové kryptografie

Kvantový princip přenosu klíče neprobíhá klasickým způsobem, využívá se zde kvantových stavů jedné částice (nejčastěji fotonu). Jak jsme se dozvěděli v předchozí kapitole, pokud provedeme měření (nebo-li dojde mezi odesílatelem a příjemcem k odposlechu) na částici, výrazně ovlivníme kvantový stav částice. Tímto lze téměř spolehlivě zjistit, zda někdo spojení odposlouchává. Jinak řečeno, kvantová kryptografie sice nedokáže zabránit odposlechu, avšak díky ní lze špiona odhalit. To ovšem stačí, protože klíč který byl odposloucháván zahodíme a můžeme si pomocí Vernamova šifrování vygenerovat klíč nový. Potom si můžeme počkat, až špion usne, a zkusíme klíč poslat znovu.

V současných odborných publikacích se odesílatel označuje jako ALICE, příjemce jako BOB a ten, kdo tajně poslouchá, jako EVA. Budeme se tedy nyní držet těchto jmen. Aby bylo následující vysvětlení co nejjednodušší, bude náš klíč reprezentován náhodnou posloupností nul a jedniček a kvantový kryptografický systém bude model využívající lineárně polarizované fotony.

Fyzika II


14. Teorie relativity

14.1 Úvod

agdsak

Fyzika II


Seznam literatury 1.

Seznam správných odpovědí na autotesty

Seznam obrázků Obrázek 17.1.1.: Kmity tělesa na pružině. (A) Těleso je v rovnovážné poloze.(B), resp. (C) .. 8

Obrázek 18.1.2.: Postupná vlna řady bodů............................................................................... 11

Obrázek 38.1.1 Postupná vlna řady bodů................................................................................. 13

Seznam tabulek Chyba! Nenalezena položka seznamu obrázků.

Seznam algoritmů Chyba! Nenalezena položka seznamu obrázků.

Rejstřík Chyba! Nebyly nalezeny položky rejstříku.

Date post:	27-Apr-2015
Category:	Documents
Upload:	sudac
View:	1,576 times
Download:	2 times

M0122 Fyzika 2 Distancni Text

Documents