Matematické modelování transportu neutronů

Milan Hanuš

Konference komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ

16. – 18. 6. 2010

Matematické modelování neutronového pole

1. Proč se jím zabývat

2. Co modelovat?• Jaká jaderná zařízení se modelují?• Jaké veličiny nás zajímají?• Jaké úlohy se řeší?

3. Jak modelovat?• Jaký použít fyzikální model?• Jaký použít matematický model?• Jaký použít numerický model?• Jak prakticky použít zvolené modely?

Proč modelovat?

• výběr nejvhodnější konfigurace jaderných zařízení

simulace šíření neutronů v daném prostředí a zkoumání jeho důsledků

Proč modelovat?

• simulace havarijních stavů

Proč modelovat?

• návrh radiačního stínění

Proč modelovat?

• plánování radiačních terapií

Proč modelovat?

• prozkoumávání ropných nalezišť

Důležité veličiny

• skalární neutronový tok:– vyjadřuje hustotu neutronů

• koeficient násobení:– poměr počtu neutronů ve dvou po sobě jdoucích fázích štěpné

řetězové reakce– popisuje vývoj neutronového toku

• Aktivní zóna klasického jaderného reaktoru – snaha o rovnoměrné rozložení neutronového toku

– kritický stav:

• Aktivní zóna v urychlovačem řízených systémech– specifický neutronový tok v oblastech určených pro transmutaci MA

– podkritický stav:

Typické úlohy

• stacionární – úloha na vlastní čísla

• určení koeficientu násobení a asymptotického rozložení toku• úlohy na kritické rozměry či složení štěpné soustavy

– úloha s pevnými zdroji• asymptotické rozložení toku v podkritických systémech • návrh úložiště použitého paliva• radiační zátěž strukturálních prvků

• kvazi-stacionární– sled stacionárních úloh v daných okamžicích

pozvolného přechodového děje• kinetika Xe-135, I-135

Typické úlohy

• kinetika– rychlé přechodové děje

(nehody, ...)

• dynamika– termodynamické zpětné vazby– změna koncentrace nuklidů

• vyhořívání paliva, transmutace, ...

TMI-1: prasknutí hl. parovodu + zaseknutá regulační tyč

Skalární neutronový tok

• Boltzmannova rovnice transportu neutronů

popisuje rozložení směrového neutronového toku

v prostoru, energetickém spektru, směrové sféře a čase

• L ... operátor přenosu ( ) – změna polohy• H ... operátor rozptylu ( ) – změna energie a směru• F … operátor štěpen ( ) – implicitní zdroj neutronů• Q ... vnější neutronový zdroj (explicitní)

Matematicko-fyzikální model

í

( + O.P., P.P. )

Matematicko-fyzikální model

Ustálený stav – vnější zdroje

Ustálený stav – bez vnějších zdrojů, homogenní O. P.

• dominatní vlastní číslo: • příslušná vlastní funkce:

Výpočetní metody

• Deterministické– přímé řešení rovnice transportu neutronů

– diskretizace nezávisle proměnných

– přibližné metody pro vyčíslení integrálů, derivací

• Statistické (Monte Carlo)– simulace pohybu jednotlivých svazků neutronů prostředím

– pravděpodobnostní popis drah neutronů i jejich interakcí

– statistické metody pro získání požadovaných informací

– v porovnání s deterministickými metodami:• přesnější, snazší modelování komplexních geometrií• vyšší výpočetní náročnost, ztráta informací o některých veličinách

Mnohagrupová aproximace

Aproximace energetické závislosti

s

Deterministické numerické metody

• rozvoj směrové závislosti do (konečné) řady podle bázových funkcí (sférické harmonické fce)

• řešení transportní rovnice v konečném počtu směrů (diskrétní ordináty)

• předpoklad izotropního pohybu neutronů(difúzní aproximace)

PDR v prostorových proměnných– diskretizace standardními numerickými metodami

(FDM, FVM, FEM)

• metody založené na integrální formulaci rovnice(metoda srážkových pravděpodobností, charakteristik)

operátory + funkce matice + vektory

Nároky heterogenního 3D výpočtu zóny

• 163 kazet x 331 proutků • FVM: 40 axiálních x 6 radiálních podoblastí

Celkový počet výpočetních oblastí: 54000 x 240 ~

• Směr: 250 směrů (diskrétní ordináty 8. řádu)• Energie: 100 grup

Celkově neznámých

Paměťové nároky jen na uchování neznámých: 1 TB (double precision)

~ 54000 elementárních oblastí~ 240 podoblastí na každou

Optimalizace nároků

• Urychlení transportního výpočtu pomocí fyzikálních aproximací nižšího řádu (např. difúze)

• Homogenizace + nodální metody (FDM, FVM)– řešení na hrubé síti zachycující všechny podstatné efekty mikroškál

Optimalizace nároků

• Různé druhy adaptivní FEM aproximace – a posteriorní odhady chyb

– adaptivita cílená na zpřesnění specifických veličin

VHTR reaktorvýpočetní síť ve dvou fázích zpřesnění

2-grupový UOX/MOX benchmark (NEACRP-L-336)

rozložení termálního toku

Přímé a inverzní úlohypřímé úlohy

• dány– geometrie– materiálové vlastnosti– okrajové podmínky

• neznámý– neutronový tok

inverzní úlohy

• dány– geometrie– neutronový tok– okrajové podmínky

• neznámé– materiálové vlastnosti

detektor

Inverzní úlohy

• postupné upravování materiálových parametrů v transportní rovnici tak, aby rozdíl jejího řešení a naměřených toků byl minimální

• použití:– hraniční kontroly (pašování jaderných materiálů)– materiálový výzkum (neutronová CT)

neutrony 14 MeV RTG 250 keV

Shrnutí – úlohy transportu neutronů

• stacionární• kvazi-stacionární• kinetické• dynamické• s pevnými zdroji• na vlastní čísla• přímé• inverzní

Shrnutí – metody řešení

• stochastické– metoda Monte Carlo

• deterministické– aproximace směrové závislosti

• metoda sférických harmonických funkcí, diskrétních ordinát• metoda srážek, charakteristik• difúzní aproximace

– aproximace prostorové závislosti• FDM, FEM, FVM• nodální metody

– aproximace energetické závislosti• mnohagrupová aproximace

Použité zdroje• http://www.ornl.gov/sci/ees/nstd/index.shtml

– radiační stínění• https://engineering.purdue.edu/PARCS

– simulace přechodového děje• http://neutra.web.psi.ch

– inverzní úlohy• http://nuclear.tamu.edu/

http://hpfem.org – adaptivita pro FEM

Děkuji za pozornostDěkuji za pozornost