Matematika 3/1

8/9/2019 Matematika 3/1

1/154

O G L E D N I

P R I M J E R

A KBranimir Daki´cNeven Elezovi´c

MATEMATIKA 3ud

ˇ

zbenik i zbirka zadatakaza 3. razred prirodoslovno--matemati

ˇ

cke gimnazije1. dio


2/154

O G L E D N I

P R I M J E R

A K

Intelektualno je vlasniˇ

stvo, poput svakog drugog vlasniˇ

stva, neotu -divo, zakonomza

ˇ

stićeno i mora se poˇ

stivati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati nitiumna

ˇ

zati na bilo koji naˇ

cin, bez pismenog dopuˇ

stenja nakladnika.

ISBN 978-953-197-839-2 (cjelina)ISBN 978-953-197-840-8 (Dio 1)


3/154

O G L E D N I

P R I M J E R

A KBranimir Daki´ cNeven Elezovi´ c

MATEMATIKA 3

ud

ˇ

zbenik i zbirka zadatakaza 3. razred prirodoslovno-matemati

ˇ

cke gimnazije

1. dio

1. izdanje

Zagreb, 2013.


4/154

O G L E D N I

P R I M J E R

A Kc Branimir Daki´ c, prof.

prof. dr. sc. Neven Elezovi´ c, 2013.

UrednicaSandra Gra

ˇ

can, dipl. ing.

Recenzentiˇ

Zeljka Frkovi´c, prof.prof. dr. sc. Ljubo Maranguni´ c

LektoricaDunja Apostolovski, prof.

Crte ˇ zi, slog i prijelom

Element d.o.o., Zagreb

Dizajn

Edo Kadi ć

Nakladnik Element d.o.o., Zagreb, Men

ˇ

ceti ćeva 2tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701

faks 01/ 6008-799www.element.hr

[email protected]

Tisak Element d.o.o., Zagreb


5/154

O G L E D N I

P R I M J E R

A KSadr ˇ zaj

1. Kut i brojevna kru ˇznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Radijanska mjera kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Brojevna kru

ˇ

znica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1. Definicije trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Odre -divanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Odre -divanje vrijednosti kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Osnovni trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5. Svojstva trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1. Adicijski teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2. Trigonometrijske funkcije dvostrukog i polovi

ˇ

cnog kuta . . . . . . . . . . . 683.3. Formule pretvorbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4. Grafovi trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1. Grafovi funkcija sinus i kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2. Grafovi funkcija tangens i kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3. Primjeri primjene trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5. Trigonometrijske jednad ˇzbe i nejednad ˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1. Trigonometrijske jednad

ˇ

zbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2. Trigonometrijske nejednad

ˇ

zbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6. Pou ˇcci o trokutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.1. Pou

ˇ

cak o sinusima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2. Pou

ˇ

cak o kosinusu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3. Trigonometrija trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.4.

ˇ

Cetverokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.5. Primjene trigonometrije u stereometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Rje

ˇ

senja i upute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Odgovori na zadatke unutar gradiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641. Kut i brojevna kru

ˇ

znica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692. Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713. Trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744. Grafovi trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775. Trigonometrijske jednad

ˇ

zbe i nejednad ˇ

zbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786. Pou

ˇ

cci o trokutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Rje

ˇ

senja toˇ

cno-netoˇ

cno pitalica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Kazalo pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189


6/154

O G L E D N I

P R I M J E R

A K


7/154

O G L E D N I

P R I M J E R

A K


8/154

1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA

O G L E D N I

P R I M J E R

A K1.1. Kut

Ivana Brkljaˇ

ci´ c i Sandra Perkovi´ c pripadaju skupini najuspjeˇ

snijih hrvatskih at-leti

ˇ

carki. Ivana se bavila bacanjem kladiva, a Sandra baca disk i kuglu. Sigurnoste primijetili kako se atleti

ˇ

carke prije nego ˇ

sto izbace kladivo, disk ili kuglu zavrte oko svoje osi. Koliki kut pritom opi

ˇ

su? Ima li smisla ovo pitanje? Da,ima, i upravo o tome ´ ce biti govora u ovom odjeljku.

Denicija kuta

U dosadaˇ

snjem smo ˇ

skolovanju kut definirali kao dio ravnine odre -den dvjemazrakama (polupravcima) sa zajedni

ˇ

ckim poˇ

cetkom. Oznaˇ

cavali smo ga simbo-lom


9/154


10/154


O G L E D N I

P R I M J E R

A K60

390

360V p

Neka se vrtnja u kutu odvija u pozitiv-

nom smjeru. Puni kut ima mjeru 360 ◦ .Kod njega se zraka q nakon jednog pu-nog okreta podudara sa zrakom p . Nas-tavi li se zraka q vrtjeti u istom smje-ru, dobit ćemo kut s mjerom ve´ com od360◦ .

Zadatak 1. Na slici lijevo nacrtana je kruˇ

znica i istaknute toˇ

cke A, B , C , D , E . Ako je mjera kuta


11/154

KUT 1.1

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Odre d̄ivanje mjere kuta. Glavna mjera

Nacrtajmo sad po volji odabrani kut


12/154


O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Formulu za raˇ

cunanje glavne mjere napisat ´ cemo rabeći funkciju najve ći cjelo-brojni dio .

Za svaki realni broj x s x oznaˇ

cavamo najveći cijeli broj manji ili jednak broju x . Funkciju f ( x ) = x nazivamo najveći cjelobrojni dio.Za pozitivne brojeve x vrijedi primjerice 2.3403 = 2 , = 3.1415 . . . =3 , 4 = 4 . Dakle, najveći cjelobrojni dio pozitivnog broja dobijemo tako dazanemarimo decimalni dio broja.Ako je argument ove funkcije negativan, onda je primjerice −3.232 = −4 ,−√ 5 = −2.236 . . . = −3 , ali −5 = −5 .

Glavna mjera kuta

Glavna mjera kuta odre -duje se formulom = −k ·360◦,

gdje je k = 360

.

Primjer 2. Odredimo glavnu mjeru kuta za koji je = 1276◦ .

Imamo 360

= 1276

360 = 3.54 . . . pa je k =

360

= 3.54 . . . = 3 i = 1276◦ −3 ·360◦ = 196◦.

Primjer 3. Odredimo glavnu mjeru kuta za koji je = −5320 ◦ .

Sad je k =

360 = −5320

360 = −14

.77

. . . = −15

pa dobivamo = −5320 ◦ −(−15) ·360◦ = 80◦.

Zadatak 2. Odredi glavnu mjeru kuta ako je:

1) = 788◦ ; 2) = −2310 ◦ ; 3) = 3000◦20 ;4) = −3450 ◦40 ; 5) = 1390◦15 35 ; 6) = −2820 ◦35 20 .

6


13/154

KUT 1.1

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Zadatci 1.1.1. Dva kuta, i , 0◦ < , < 90◦ kom- plementarna su ako je + = 90◦ . Odredi

komplement kuta ako je:

1) = 38◦ ; 2) = 47◦15 ;3) = 82◦49 33 ; 4) = 11 ◦11 11 ;5) = 75◦43 45 ; 6) = 10◦59 01 .

2. Dva kuta, i , 0◦ < , < 180 ◦ suplemen-tarna suako je

+ =

180◦

. Odredisuplementkuta ako je:

1) = 33◦ ; 2) = 48◦25 ;3) = 121 ◦44 33 ; 4) = 111 ◦11 11 ;5) = 79◦59 59 ; 6) = 100 ◦01 01 .

3. Koliki su vanjski kutovi trokuta ako su dva unu-tarnja kuta 112 ◦44 38 i 28◦52 13 ?

4. Odredi kut za koji je + = 360 ◦ ako je:1) = 220 ◦35 ; 2) = 115 ◦47 ;3) = 299 ◦40 55 ; 4) = 11 ◦22 33 ;5) = 89◦59 59 .

5. Mjere unutarnjih kutova trokuta u omjeru su4 : 5 : 6 . Koliki su ti kutovi? Odredi mjerevanjskih kutova tog trokuta.

6. Omjer veliˇ

cina unutarnjih kutova trokuta je3 : 4 : 5. Koliki su ti kutovi?

7. Omjer veli ˇcina vanjskih kutova trokuta je4 : 5 : 6. Koliki su unutarnji kutovi tog trokuta?

8. Mjere unutarnjih kutova konveksnog ˇcetverokutau omjeru su 5 : 7 : 8 : 12 . Koliki su ti kutovi?

9. Ako je mjera kuta , izrazi tu mjeru u stupnje-

vima, minutama i sekundama:1) = 13 .715 ◦ ; 2) = 73 .87◦ ;3) = 44 .3358 ◦ ; 4) = −122 .4445 ;5) = 133 .2345 ◦ ; 6) = −47 .6534 ◦ .

10. Zapi ˇsi u decimalnom obliku mjeru kuta:1) 45◦15 33 ; 2) 95◦27 18 ;3) 75◦24 48 ; 4) 101◦11 10 .

11. Koliki kut opiˇ

se velika kazaljka sata u vremenuod 7 h 10 min do 13 h 45 min?

12. Odredi mjeru i glavnu mjeru kuta ˇsto ga opi ˇsevelika kazaljka sata u vremenu od 8 h 52 do15 h 13 .

13. Odredi mjeru i glavnu mjeru kuta ˇsto ga opi ˇsevelika kazaljka sata u vremenu od 19 h 31 do6 h 56 sljedećeg dana.

14. Odredi mjeru i glavnumjeru kuta ˇsto gaopi ˇsema-la kazaljka sata u vremenu od 9 h 15 u utorakdo 23 h 37 sljede će subote.

15. Odredi najmanju pozitivnu mjeru kuta :1) = −825 ◦ ; 2) = −477 ◦ .

16. Odredi glavnu mjeru kuta ako je:

1) = 555 ◦ ; 2) = 2000 ◦ ;3) = 7770 ◦ ; 4) = 678 ◦ ;5) = 1987 ◦ ; 6) = 3600 ◦ .

17. Odredi glavnu mjeru kuta ako je:1) = −414 ◦ ; 2) = −990 ◦ ;3) = −3130 ◦ ; 4) = −678 ◦55 32 ;5) = −1987 ◦12 56 .

18. Odredi glavnu mjeru kuta ako je:1) = 555 ◦ ; 2) = −1210 ◦ ;3) = 2000 ◦ ; 4) = 7770 ◦ ;5) = −990 ◦45 15 ; 6) = −2121 ◦21 21 .

19. CD se u ure -daju okre´ce 480 puta u jednoj minuti.Koliki kut opi

ˇ

se neka toˇ

cka na CD-u u 1 sekundi?

20. Koliki kut opi ˇse minutna kazaljka za vrijeme od10 h 15 42 ?

21. Koliki kut opi ˇse to ˇcka na vrhu elise helikopterau 1/2 sekunde ako se elisa okre´ ce 1000 puta uminuti?

22. Ako baca ˇcica kladiva na ˇcini 4 .5 okretaja prijenego

ˇ

sto ga ispusti, koliki kut pritom opiˇ

se kladi-vo?

7


14/154


O G L E D N

I P R I M

J E R A K

1.2. Radijanska mjera kuta

ˇ Sto je radijan?

Mjere kutova dosad smo izraˇ

zavali u stupnjevima. Me -dutim, osim stupnjevamo

ˇ

zemo odabrati i drugu jedinicu za mjerenje. Uobiˇ

cajena je druga jedinicaradijan 1 .

Nacrtajmo kruˇ

znicu polumjera r sa srediˇ

stem u vrhu kuta. Izdvojimo luk l tekru

ˇ

znice ˇ

cija je duljina r . Taj luk odre -duje kut za koji kaˇ

zemo da ima mjeru 1radijan. Pi

ˇ

semo = 1 rad , ili kratko, = 1 .

= 1 rad

r

r l r =

Ako je duljina l luka kru ˇ znice jednaka polumjeru r , tada sredi ˇ snji kut ima mjeru 1 radijan. Njegova mjera u stupnjevima je pribli ˇ zno 57◦ .

r P

l

r

Op ćenito, radijanska mjera kuta odre--duje se kao omjer duljine luka prema

polumjeru luka:

rad = lr

.

Tako primjerice, pravom kutu odgovara mjera od

14 ·2r

r =

2

= 1.5707 . . .radijana, ispru

ˇ

zenom = 3.14159 . . . radijana, dok punom kutu odgovara mjera

od 2r

r = 2 = 6.2831 . . . radijana.

Ako je mjera kuta izraˇ

zena u radijanima, tada je duljina l kruˇ

znog luka nakruˇ

znicipolumjera r jednaka ·r .1 U uporabi je (sve rje -de) i tre ća jedinica grad ; puni kut ima 400 grada.

8


15/154

1


16/154


O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Napiˇ

simo te vrijednosti u tablicu:

stupnjevi 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦

radijani

6 4

3

2

2 3

3 4

5 6

stupnjevi 210◦ 225◦ 240◦ 270◦ 300◦ 315◦ 330◦ 360◦

radijani 7

65 4

4 3

3 2

5 3

7 4

11 6

2

Primjer 2. Kutu mjere = 20◦ odgovara radijanska mjera

= 20180 · =

9

= 0.34906 . . . rad.

Kutu mjere 45◦

odgovara radijanska mjera

= 45180 · =

4

= 0.78539 . . . rad.

Kutu mjere = 201◦ odgovara radijanska mjera

= 201180 · = 3.50811 . . . rad.

Zadatak 1. Prepi ˇsi u bilje ˇznicu i popuni sljede´cu tablicu:

stupnjevi 15 ◦ 22.5◦ 157.5◦ 97.5◦ 198◦radijani

Primjer 3. Pretvorimo u stupnjeve sljede´ ce kutove:

5◦8 26 = 5 + 860

+ 263600

= 5.14056 ◦

29◦0 12 = 29 + 123600

= 29 .00333 ◦

47◦14 2 = 47 + 1460

+ 23600

= 47 .23389 ◦.

10

1 2


17/154

RADIJANSKA MJERA KUTA 1.2

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Zadatak 2. Odredi radijanske mjere kutova u tablici

10◦

38◦

12 34 423◦

12 33

33◦ −78◦4 21 1220◦124◦ −245◦13 2 1◦

Na ve ćini dˇ

zepnih raˇ

cunala postupak pretvorbe stupnjeva u radijane je programi-ran. Prou

ˇ

cite stoga upute koje ste dobili uz svoje raˇ

cunalo.

Pretvorba radijana u stupnjeve

Ako je zadana mjera kuta u radijanima, tada se mjera u stupnjevima raˇ

cuna nana

ˇ

cin

◦ = rad ·180◦.

Primjer 4. Odredimo mjeru u stupnjevima ako je = 8

te = 7

3.

Iz navedene formule slijedi:

=

8 ·180◦ =

180◦8

= 22 .5◦ = 22◦30 ,

=7 3 ·180 ◦ =

7 ·180◦3

= 420◦.

Primjer 5. Odredimo mjeru u stupnjevima kuta mjere 1 rad.

Sad je

1 rad = 1 ·180◦ = 57 .295779 . . . ◦.

Decimalni dio stupnja pretvaramo u minute i sekunde. To radimo nauobi

ˇ

cajeni naˇ

cin: mnoˇ

zeći decimalni dio sa 60 dobit ´ cemo broj minuta, adecimalni dio minuta ´ cemo na isti na

ˇ

cin pretvoriti u sekunde:0.295779 ◦ = ( 0.295779 ·60) = 17 .74670.7467 = ( 0.7467 ·60) = 44 .80Dakle, 1 rad = 57◦17 45 .

11

1


18/154


O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Zadatak 3. Prepi ˇsi u bilje ˇznicu i popuni sljede´cu tablicu:

radijani 1.5

−2 3.14

7

7

10

stupnjevi

Zadatak 4. Ako vrh minutne kazaljke sata duge 8 cm, prije -de put od 12 cm, koliko je pritompro

ˇ

slo vremena?

Primjer 6. Manji zup ˇcanik ima polumjer r = 0.2 m ,veći R = 0.5 m .

1) Ako se ve ći kotaˇ

c zakrene za 135 ◦ , zakoliko se stupnjeva zakrene manji?

2) Ako se manji kotaˇ

c zakrene za 135 ◦ ,za koliko se zakrene ve´ ci?

1) Kadseve ći kotaˇ

c zakrene za 135 ◦ , to ˇc-ka na njegovom rubu prije -de put od l =r · = 0.5 ·135 ·

180 ≈ 1.178 metara.

Isti put prije -de i toˇ

cka na rubu manjeg kotaˇ

ca pa iz r · = 1.178dobijemo = 337 .5◦ .Kad se ve ći kota

ˇ

c zakrene za 135 ◦ , manji se zakrene za = 337 .5◦ .

2) Oznaˇ

cimo sada = 135◦ pa iz · 0.5 = 135◦ · 0.2 dobijemo = 54◦ .

Zadatak 5. Najpoznatijaanalogna urana svijetu zasigurno je londonski BigBen. Njegovamanjakazaljkadu-ga je 2 .7 metara, a duljina ve´ ceiznosi 4 .3 metra.

1) Koliki put opiˇ

se vrh ve će ka-zaljke tijekom 24 sata?

2) Koliko vremena treba manjojkazaljci da njezin vrh prije -deput od 10 metara?

12

1 2


19/154


O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Primjer 7. Najsjevernija to ˇcka Hrvatske je mjesto ˇ

Zabnik kod Sv. Martina na Muriu Me -dimurju. Njegova je geografska du

ˇ

zina 46 ◦33 . Najju ˇznija je to ˇc-ka Hrvatske na oto

ˇ

ciću Galijula blizu Palagruˇ

ze s geografskom duˇ

zinom42◦23 . Oba mjesta imaju istu geografsku

ˇ

sirinu 16 ◦22 . Koliko je ˇ

sirokaHrvatska?

r

d

ˇ

Zabnik i Galijula imaju istu geograf-sku

ˇ

sirinu, ta su dva mjesta na istommeridijanu. Uzmemo li da je polu-mjer Zemlje R = 6378 km , tada jeˇ

sirina Hrvatske jednaka duljini luka

kruˇ

znice ovog polumjera sa srediˇ

s-njim kutom = 46◦33 −42◦23 = 4◦10

= 4.1˙

6 · 180 ≈ 0.072722 rad .

ˇ

Sirina Hrvatske iznosi: d 1 = R ·0.072722 ≈ 464 km.A koliko je duga Hrvatska?

Kolika je udaljenost Iloka, njene najistoˇ

cnije toˇ

cke i rta Lako kod Savudrijekoji je najzapadnija to

ˇ

cka Hrvatske? Ilok i Savudrija imaju istu sjevernugeografsku

ˇ

sirinu ( ≈ 45◦20 ) , na istoj su paraleli. No geografskadu ˇzina Iloka je 1 = 19◦27 , a Savudrije 2 = 13◦30 .

Dok meridijani imaju jednaku duljinu, s paralelama to nije sluˇ

caj. Zbogtoga najprije valja izra

ˇ

cunati polumjer 45. paralele.r = R cos 45 ◦ = 4510 km .

I sada raˇ

cunamo duljinu luka kruˇ

znice sa srediˇ

snjim kutom 1

− 2 = 19◦27

−13◦30 = 5◦57 = 5.95◦

≈ 0.103847 rad .

Duljina Hrvatske je d 2 = 4510 ·0.103847 ≈ 468 km.

13



20/154

1 KUT I BROJEVNA KRU ZNICA

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Primjer 8. Pri kru ˇznom gibanju kutna brzina je omjer prirasta kuta i prirastavremena: =

t

. Pritom se izra ˇzava u radijanima.

Koja je veza izme -du kutne ( ) i linearne (v) brzine? Pogledajmo:

v = st =

r · t

= r ·

t = r .

Rijeˇ

simo sljede´ci zadatak.

Na visini 1500 km iznad Zemlje kruˇ

zi satelit. Za jedan njegov pun obilazakpotrebno je 2.5 sata. Polumjer Zemlje iznosi oko 6400 km .

1) Kolika je kutna brzina satelita?2) Kolika je linearna brzina satelita?

1) Iz =

t slijedi =

2 2.5

= 0.8 ≈ 2.513 rad/h . Primijetimo kakokutu od 2.513 radijana odgovara kut od 144 ◦ .

2) Polumjer r kruˇ

zne putanje satelita iznosi r = 1500 + 6400 =7900 km. Iz v = r

· dobijemo v = 7900

·2.513 = 19 853 km/h .

Kutak plus

NAUTI ˇ

CKA MILJA

U mjerenju udaljenosti izme -du dviju toˇ

caka tijekom vremena pojavljivale su se razne mjerne jedinice. Sve od starog

pa do novijeg doba bile su utemeljene na prosjeˇ

cnim duljinama dijelova ljudskog tijela (palac, stopa, lakat). Danas je osnovna mjera za duljinu metar. Uvedena je 1791., a bila je vezana uz duljinu meridijana koji prolazi kroz Pariz.Godine 1960. prihva´ cena je nova definicija metra preko valne duljine naran

ˇ

casto-crvene zrake u spektru Kriptona-86,a od 1983. definicija metra vezana je uz laser.

U zrakoplovstvu i pomorstvu i danas je ustaljena mjera nauti ˇ cka milja .Kako je ta mjera bila neusugla

ˇ

sena, a zbog njezine vaˇ

znosti, 1929. go-dine velik je broj zemalja prihvatio dogovor po kojem jedna nauti

ˇ

ckamilja iznosi 1852 m . Dogovor nisu prihvatile velike dr

ˇ

zave kao ˇ

sto suVelika Britanija, Sovjetski Savez i SAD, no ova posljednja ipak ga jeusvojila 1954. godine.

Nautiˇ

cka milja se definira kao luk na glavnoj kruˇ

znici Zemlje kojempripada sredi

ˇ

snji kut od 1 minute.

Kako Zemljina kugla nije idealna sfera, srediˇ

snjem kutu od 1 odgo-varaju razli

ˇ

citi lukovi na njezinoj povrˇ

sini. Njihova duljina varira od1843 na polu do 1862 metra na ekvatoru. Duljina tog luka u Doverskomkanalu je otprilike 1853 metra. Zato Englezi definiraju nauti

ˇ

cku miljukao iznos od (to

ˇ

cno) 6080 stopa, odnosno 1853.184 metra.

Kako se dobivaju ove veliˇ

cine? Spomenuti meridijan koji prolazi kroz Pariz ima duljinu od toˇ

cno 20 000 000 metara.

Taj okrugli broj je posljedica definicije metra, a ne ˇ

cudne podudarnosti.Da dobijemo nauti

ˇ

cku milju, duljinu meridijana moramo podijeliti sa 180 ×60 . Dobiva se broj 1851.85. Zato jeme -dunarodnim dogovorom uzeto da nauti ˇcka milja iznosi (to ˇcno) 1852 metra.

14

RADIJANSKA MJERA KUTA 1 2


21/154


O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Zadatci 1.2.

1. Odrediglavnu mjeru kuta ako je njegova mjerau radijanima jednaka:

1) 55

8 ; 2) −

113 12

; 3) 1234

3 ;

4) −33 ; 5) 531

4 ; 6) 1000 .

2. Odredi u radijanima mjeru komplementa kuta ako je:

1) = 3

; 2) = 5 12

;

3) = 3

8 ; 4)

4 9

.

3. Odredi u radijanima mjeru kuta od:1) 30◦ , 45◦ , 75◦ , 120 ◦ , 135 ◦ ;2) 210◦ , 225 ◦ , 300 ◦ , 330 ◦ , 360 ◦ ;3) 7◦30 , 15◦ , 20◦ , 22◦30 , 25◦ ;4) 220◦ , 400 ◦ , 480 ◦ , 570 ◦ , 720 ◦ .

4. Prepi ˇsi u bilje ˇznicu i popuni tablicu:

stupnjevi 22◦30 187◦30 108◦45 192◦ 316◦15 270◦

radijani

5. Odredi u stupnjevima mjeru kuta zadanu u radijanima:

1)

4 ,

5

, 3

7 ,

5 8

, 2

9 ;

2) 4

3 ,

7 3

, 11

3 ,

14 3

, 22

3 ;

3) , 5 , 3 , 0.35, 4 .28 .

6. Prepi ˇsi u bilje ˇznicu i popuni tablicu:

radijani 3 2.22 5.62 11 0.7

stupnjevi

7. Duljina tetive dane kruˇ

znice jednaka je duljinipolumjera kru

ˇ

znice. Izrazi u radijanima mjerusredi

ˇ

snjeg kuta koji pripada toj tetivi.

8. Na danoj kruˇ

znici istaknut je luk ˇ

cija je dulji-na jednaka duljini promjera kru

ˇ

znice. Izrazi ustupnjevima sredi

ˇ

snji kut koji pripada tom luku.

9. To ˇckama A, B , C i D kru ˇznica je podijeljenana lukove

ˇ

cije su duljine u omjeru 6 : 3 : 4 : 5 .Izrazi u radijanima glavne mjere sredi

ˇ

snjih kuto-va koji pripadaju lukovima

ˇ

sto su odre -deni toˇ

c-kama A, B , C i D .

Izrazi u radijanima glavne mjere unutarnjih ku-tova ˇ

cetverokuta ABCD .

10. Duljina polumjera kru ˇznice je 5 cm. Izrazi u ra-dijanima i stupnjevima glavne mjere sredi

ˇ

snjihkutova koji pripadaju lukovima te kru

ˇ

znice akosu duljine lukova 12 cm, 18 cm i 31 cm.

11. Polumjer kru ˇznice iznosi 25 cm. Odredi duljinukru

ˇ

znog lukate kruˇ

znice akomu pripada srediˇ

snji

kut od 1 .25 radijana.

12. Kolika je zra ˇcna udaljenost Osijeka i Budimpe ˇs-te ako je geografska duljina Osijeka i Budimpe

ˇ

s-te pribli

ˇ

zno jednaka (oko 19 ◦ isto ˇcne duljine) iako je geografska

ˇ

sirina Osijeka 45 ◦33 , a Bu-dimpe

ˇ

ste 47 ◦30 ? Uzmi da je polumjer Zemljer = 6380 km.

13. Split i i Be ˇc imaju pribli ˇzno istu geografskudulji-nu (Split 16 ◦28 , Be

ˇ

c 16◦22 ). Ako je geograf-ska ˇsirina Splita 43 ◦31 , a Be ˇca 48 ◦12 , kolika je zra

ˇ

cna udaljenost Splita i Beˇ

ca?

15


22/154


23/154



24/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Primjer 2. U kojem se kvadrantu nalazi to ˇcka pridru ˇzena broju t = 100?

Neka je T = E (t ) . Mjera kuta


25/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Kutak plus

DU ˇ

ZINA DULJINE π

Pri crtanju grafa funkcije f ( x ) = sin x , ali i mnogih drugih trigonometrijskih funkcija, na brojevni pravac (os apscisa)potrebno je smjestiti broj . Kako to u ˇciniti?

Zadatak nije nov, on je vezan uz rjeˇ

senje i nekih drugih problema od kojih je svakako najpoznatiji kvadratura kruga ,konstrukcija kvadrata

ˇ

cija je povrˇ

sina jednaka povrˇ

sini danoga kruga. Upravo ovaj problem doveo je do spoznaje kakouz danu jedini

ˇ

cnu duˇ

zinu nije mogu´ce konstruirati duˇ

zinu duljine jedinica. A kad ka ˇzemo konstruirati, onda se mislina konstrukciju pri kojoj mo

ˇ

zemo rabiti samo ravnalo i ˇ

sestar.

Matematiˇ

cari su tijekom godina nastojali prona´ ci ˇ

sto bolju pribli ˇ znu konstrukciju duˇ

zine duljine . Neke su uistinuvrlo dojmljive jer su jednostavne, a to

ˇ

cnost im je priliˇ

cno velika.

1. Adam A. Kochansky (1685.): 2. Jacob de Gelder (1849.):

| DE | = 3.141533 ≈ | AB| = 16113

= 0.14159292 . . . ≈ −3

Toˇ

cno-netoˇ

cno pitalice

1. Glavna mjera kuta = 1395 ◦ je 4

.

2. Ako je 17

6 < < 19

6 , onda je 5

6 < < 7

6 .

3. Na kru ˇznici polumjera 10 cm sredi ˇsnjem kutu od 1 rad pripada lukduljine 10 cm.

4. Mjera kuta ˇsto ga velika kazaljka sata prije -de za jednu minutu pribli ˇzno je jednaka 0.1 rad.

5. Glavna mjera kuta od 99 rad je 272 ◦16 56 .6. To ˇcka T = E (

−25 ) smje ˇstena je na brojevnoj kru ˇznici u IV. kvadrantu.

7. To ˇcka E (88 ) smje ˇstena je na brojevnoj kru ˇznici izme -du to ˇcaka E (0) iE (0.1) .

19



26/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Zadatci 1.3.

1. Odredi na brojevnoj kruˇ

znici toˇ

cke E (t ) pridru-ˇzene realnim brojevima t :3 , −6 , 11 , −13 , 22 , 100 .

2. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcke E (t ) pridru-ˇ

zene realnim brojevima t :

− 2

, 5

2 , −

11 2

, 17

2 ,

101 2

, −45

2 .

3. Odredi na brojevnoj kruˇ

znici to

ˇ

cke:E (15 ) , E −

9 2

, E (−12 ) , E 33

2,

E (−43 ) .4. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcke:

E 5 6

, E 3 4

, E 4 3

, E 11

6,

E 7 4 , E

2 3 .

5. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcke E (t ) pridru-ˇ

zene realnim brojevima t :7 3

, −5 6

, −3 4

, 9

2 , −

11 3

, 17

4 , −

17 6

,

119 3

, 99

4 , −

119 3

.

6. Smjesti na brojevnu kru ˇznicu to ˇcke:E (−1), E (4), E (6.5), E (−12 ), E (5), E (−44 ).

7. Odredi cijeli broj k tako da je k · 2

< t <

(k + 1) · 2

, za sljede će toˇ

cke E (t ) : E (10 ) ,

E (8) , E (2) , E (3.3) , E (√ 33) . Smjesti sve teto

ˇ

cke na brojevnu kruˇ

znicu.

8. Nacrtaj pravilni ˇsesterokut upisan brojevnoj kru-ˇ

znici i s vrhovima u toˇ

ckama Ak = E k · 3

,

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Na kojem luku ˇsto je odre -dendvama susjednim vrhovima tog

ˇ

sesterokuta leˇ

ze

toˇ

cke: E (3√ 3) , E (−15 ) , E 23

4, E (−313 ) ,

E (17 .2) ?

9. Nacrtaj pravilni osmerokut upisan brojevnoj kru-ˇ

znici i s vrhovima u toˇ

ckama Ak = E k · 4

,k = 0, 1, 2, . . . , 7 . Na kojem luku ˇsto je odre -dendvama susjednim vrhovima tog osmerokuta le-ˇ

ze toˇ

cke: E (1) , E (−2) , E 33

4, E (−√ 22) ,

E (111 ) , E (−10 .22 )?10. Ozna ˇci na brojevnoj kru ˇznici sljede´ce intervale

realnih brojeva:

1) 3

, 3

4; 2)

5 6

, 5

3;

3) − 2

, 6

; 4) −2 3

, 6

;

5) −13

3 ,−

19 6

.

11. Odredi na brojevnoj kru ˇznici sve to ˇcke E (t ) zakoje je:

1) t = (−1)n · 6

+ n , n Z ;2) t = (−1)n+ 1

3

+ n , n Z ;3) t = (−1)k ·

12

+ k · 2

, k Z ;4) t = (−1)k + 1 12 + k · 3 , k Z .

12. Odredi na brojevnoj kru ˇznici sljede´ce intervalerealnih brojeva:

1) k , 2

+ k , k Z ;2) (2k −1)

4

, (4k −1) 8

, k Z ;3) (4k −1) 8 , k 2 , k Z ;4) k

2

, (4k + 1) 8

, k Z .

20


27/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE


28/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

U drugom smo razredu definirali trigonometrijske funkcije ˇ

siljastog kuta pravo-kutnog trokuta kao omjere duljina stranica trokuta. Prikazali smo i primjenetih funkcija, prije svega u geometriji ravnine, ali i pri rje

ˇ

savanju brojnih drugih problema. No time nisu ni izbliza prikazane sve mogu´ cnosti koje nam u primjeni pru

ˇ

zaju trigonometrijske funkcije.

Kako bismo barem djelomice ukazali na veliku ulogu ovih funkcija u matemati-ci, ali i izvan nje, najprije ´ cemo trigonometrijske funkcije definirati kao realne funkcije i time pro

ˇ

siriti njihove definicije iz drugog razreda. Za taj “skok”matemati

ˇ

carima je trebalo viˇ

se od dva tisu´ clje´ ca.

2.1. Denicije trigonometrijskih funkcija

Definirat ćemo sada ˇ

cetiri osnovne trigonometrijske funkcije; sinus, kosinus, tan-gens i kotangens. Pri definiciji koristit ´ cemo se brojevnom kru

ˇ

znicom na kojusmo smjestili sve realne brojeve.

Sinus i kosinus

Neka je t po volji odabran realan broj i T = E (t ) tom broju pridru ˇzena to ˇcka nabrojevnoj kru

ˇ

znici. Na slici je odabrana toˇ

cka T u prvom kvadrantu.

1

cos t

sin t

T E = ( )t

Toˇ

cki E (t ) pridru ˇzen je ure -deni par ( x , y) realnih brojeva. Kosinus broja t jebroj x , apscisa to

ˇ

cke E (t ) . Ordinata y to ˇcke E (t ) je sinus broja t .

Sinus i kosinus po volji odabranog kuta

Neka je t po volji odabran realni broj, T = E (t ) njemu odgovaraju´ca

toˇ

cka na brojevnoj kruˇ

znici. Tada je T = ( cos t , sin t ) . Dakle, vrijednost funkcije kosinus: cos t je apscisa , a vrijednost funkcije sinus:sin t je ordinata to

ˇ

cke T = E (t ) .

22

DEFINICIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.1


29/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Primjer 1. Razmotrimo pozorno sljede´ ce tri slike. Na njima su redom prikazani sinusi kosinus brojeva koji su na brojevnoj kru

ˇ

znici smjeˇ

steni u II., III. i IV.kvadrantu. Pritom je sinus nazna

ˇ

cen crvenom, a kosinus plavom bojom.

E t ( )

E t ( )

E t ( )

Najve ću vrijednost, koja je 1, funkcija sinus prima za t = 2

te za sve brojevekoji su smje

ˇ

steni u istoj toj toˇ

cki. Najmanja vrijednost sinusa je −1 . Ona seposti

ˇ

ze za t = 3

2 i za sve brojeve koji su smje

ˇ

steni u toˇ

cku E 3 2

.

Najve ća vrijednost kosinusa tako -der je 1, a najmanja

−1 . Za koje se brojeve

postiˇ

zu te vrijednosti?

Ome -denost sinusa i kosinusa

Za svaki realni broj t vrijedi:

|sin t | 1, |cos t | 1.Ka

ˇ

zemo da su funkcije sinus i kosinus ome -dene .

Zadatak 1. Koje od sljede´cih jednakosti nisu to ˇcne ni za koji realni broj t :

1) sin t = 0.715; 2) cos t = 0 ; 3) sin t = −1 ;4) cos t =

1√ 3 ; 5) sin t =

2

; 6) cos t = 1 −√ 2 ?

Primjer 2. Za koji realni broj m postoji realni broj t za koji je sin t = 1m −1 ?

Kako je |sin t | 1 za svaki realni broj t , mora biti1

m −1=

1

|m −1| 1.

Slijedi |m − 1| 1 . Dakle, m − 1 −1 ili m − 1 1 . Konaˇ

c-

no, jednakost sin t = 1m −1 ima smisla za svaki realni broj m 0 ilim 2 .

23


30/154


31/154



32/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Predznaci trigonometrijskih funkcija

Koordinate toˇ

caka na brojevnoj kruˇ

znici mijenjaju predznak pri prijelazu u novikvadrant. Zato ´ce i sinus i kosinus mijenjati svoj predznak kada to

ˇ

cka T obi--de brojevnu kruˇ

znicu. Korisno je zapamtiti kakvi su predznaci tih funkcija upojedinom kvadrantu.

+ + + + +

+++

sinus kosinus tangens kotangens

Prikazani su predznaci trigonometrijskih funkcija. Sinus je pozitivan u prvom i drugom,kosinus u prvom i ˇ cetvrtom kvadrantu, a tangens i kotangens u prvom i tre´ cem kvadrantu.

I II III IV

sin + +

− −cos + − − +tg + − + −ctg + − + −

Povijesni kutak

O IMENIMA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Naziv sinus u europske je jezike stigao tehnikom ‘pokvarenog telefona’. Prvi naziv za sinus i kosinus, jiva i kotijiva ,dali su stari Indijci. Jiva na sanskrtu zna

ˇ

ci ‘tetiva’ (zato se najprije rabi naziv ordhajiva , ‘polovica tetive’) i to je imeu skladu sa zna

ˇ

cenjem sinusa. Arapi tu rijeˇ

c prenose kao jiba , ˇ

sto na arapskom nema znaˇ

cenja pa je zamjenjuju sistozvu

ˇ

cnicom d ˇ zaib (ˇ

sto se piˇ

se kao i d ˇ ziba ), a znaˇ

ci ‘zaljev, pazuh’. Europski srednjovjekovni prevoditelj ( Robert izChestera ) tu rije

ˇ

c doslovno prevodi latinskom rijeˇ

ci sinus (zaljev).

Naziv tangens (zbog veze s tangentom) uvodi 1583. Fincke.

Naziv kosinus nastao je poˇ

cetkom 17. st. ( E. Gunter 1620.) kao kratica od complementi sinus . Kosinus prema tome uprijevodu zna

ˇ

ci: sinus komplementarnog kuta. Iz istog su razloga imena dobili kotangens i kosekans.

Naziv trigonometrijske funkcije stvorio je Kl ügel 1770. Oznake za trigonometrijske funkcije uvodi u 17. st. J. Bernoulli.Otada se rabe razli

ˇ

cite oznake, a najˇ

ceˇ

sće su s, sc, t, tc. Danaˇ

snje oznake potjeˇ

cu od Eulera (sin, cos, tan, cot). Oznakeza stupnjeve, minute i sekunde uvodi Pitiscus krajem 16. st.

Dodajmo na kraju kako su u nekim zemljama, primjerice SAD-u, u uporabi joˇ

s dvije funkcije. To su funkcije sekans ,

sec x = 1cos x te funkcija kosekans , csc x =

1sin x .

26

DEFINICIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.1


33/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Zadatci 2.1.

1. Opiˇ

si tijek funkcija sinus i kosinus pri jednomprolasku intervalom [0, 2 ] , odnosno pri jednomobilasku brojevne kru

ˇ

znice.

2. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcku E (t ) ako je:

1) sin t = −12

, cos t < 0 ;

2) cos t = 23

, sin t < 0 ;

3) sin t = 34

, cos t > 0 ;

4) cos t = −14

, sin t > 0 ;

5) cos t = −34

, sin t < 0 ;

6) sin t = −√ 32

, cos t > 0 .

3. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcku E (t ) ako je:1) tg t = −2, cos t > 0 ;2) ctg t =

34

, cos t < 0 ;

3) tg t = −32

, sin t < 0 ;

4) ctg t = −3, sin t > 0 ;5) tg t = 1

2 , sin t < 0 ;

6) ctg t = 1, cos t > 0 .

4. Koliko je:

sin0 , cos − 2

, sin −9 2

,

cos 11 , sin 5

2 , cos(−11 )?

5. Bez uporabe d ˇzepnog ra ˇcunala odgovori koji jebroj ve ći:

1) sin1 ili sin2; 2) cos1 ili cos2?

6. Za koji realni broj m postoji realni broj t za koji je sin t =

11 −m

?

7. Za koje realne brojeve m postoji realan broj x takav da je cos x =

2m −1m + 2

?

8. Za sve realne brojeve x je cos(sin x ) > 0. Do-ka

ˇ

zi!Vrijedi li za sve realne brojeve x i sin(cos x )> 0 ?Za

ˇ

sto?

9. Nazna ˇci na brojevnoj kru ˇznici skup svih rje ˇsenjanejednad

ˇ

zbe:

1) |sin t |12

; 2) |cos x |12

;

3) |tg x | < 1 ; 4) |ctg x |32

.

10. Prika ˇzi na brojevnoj kru ˇznici skup rje ˇsenja sus-tava nejednad

ˇ

zbi:

1) 2sin x −1 0,2cos x + 1 0; .2) 3sin x + 2 0,4cos x −3 0.

11. Za koje realne brojeve t [0, 2 ] vrijedi sin t =cos t ?12. Za koji je x , x [0, 2 ] , sin x < cos x ?13. Na intervalu [0, 2 ] rije ˇsi nejednad ˇzbu

sin x + cos x < 0.

14. Odredi predznak umno ˇska:1) sin 1 ·cos1 ·tg 1 ·ctg1;2) sin 1

·cos2

·tg 3

·ctg4.

15. Rije ˇsi na intervalu [0, 2 ] nejednad ˇzbusin x + √ 3cos x > 0.

16. Prika ˇzi na brojevnoj kru ˇznici skup to ˇcaka E (t ) ,t [0, 2 ] za koje je:1) sin x > cos x ; 2) sin x > |cos x |;3) |sin x | > cos x ; 4) |sin x | > |cos x | .

27



34/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

2.2. Odre d̄ivanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Kao i kod ostalih realnih funkcija, tako je i kod trigonometrijskih potrebno od-re -divati njihove vrijednosti. Za neke posebne realne brojeve to mo

ˇ

zemo uˇ

ciniti jednostavno i potpuno to

ˇ

cno. Pa pogledajmo neke najjednostavnije primjere.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke posebne brojeve

U drugom smo razredu raˇ

cunali vrijednosti trigonometrijskih funkcija za kutoveod 30◦ , 45◦ i 60◦ promatraju´ci jednakostrani ˇcan i jednakokra ˇcan pravokutnitrokut. Ovim kutovima odgovaraju radijanske mjere od

6

, 4

i 3

.

30

P

1

O

E 6( )

Odredimo na brojevnoj kruˇ

znici toˇ

cku E 6

.

Pritom je trokut OPE polovina jednakostraniˇ

cnog

trokuta,


35/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Primjer 1. Promotri pozorno sljede´ cu tablicu. U nju su unesene vrijednosti trigo-nometrijskih funkcija koje se mogu izra

ˇ

cunati iz podataka za prethodnoobra -dena tri slu

ˇ

caja.

t 0

6 4

3

2

2 3

3 4

5 6

sin t 0 1

2

√ 22

√ 32

1√ 32

√ 22

12

0

cos t 1√ 32

√ 22

12

0 −12 −

√ 22 −

√ 32 −1

t 7

65 4

4 3

3 2

5 3

7 4

11 6

2

sin t 0 −12 −

√ 22 −

√ 32 −1 −

√ 32 −

√ 22 −

12

0

cos t −1 −√ 32 −

√ 22 −

12

0 1

2

√ 22

√ 32

1

Uoˇ

cimo u ovoj tablici da sinus i kosinus funkcija za svaki od ovih brojeva

t prima samo pet razliˇ

citih vrijednosti: 0 , 12

,√ 22

,√ 32

i 1 , kojima se

mijenjaju poredak i predznaci.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija realnog broja

Vrijednostneke trigonometrijske funkcije za dani realnibrojodre -duje se znanstve-nim d

ˇ

zepnim raˇ

cunalom . To je isto ono raˇ

cunalo kojim smo se koristili u drugomrazredu.

Joˇ

s ne tako davno u uporabi su bile tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija.Povijest tih tablica u dobroj je mjeri i povijest razvitka trigonometrije, pa

ˇ

cak inekih primijenjenih znanosti kao

ˇ

sto je astronomija.

Postoji mnoˇ

stvo raznovrsnih dˇ

zepnih raˇ

cunala. Stoga je vaˇ

zno pozorno prouˇ

citiupute koje se dobiju uz ra

ˇ

cunalo. No ipak navedimo neke vaˇ

zne napomene.

1. Pri odre -divanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija provjeri u kojem je mo-du ra

ˇ

cunalo. Naime, kut kojem odre -dujeˇ

s vrijednost funkcije moˇ

ze biti zadan ustupnjevima, radijanima ili ( rijetko) u gradima. Obrati na to pozornost i postavira

ˇ

cunalo u odgovaraju´ ce stanje.

2. Na većini dˇ

zepnih raˇ

cunala za odre -divanje tangensa broja rabi se tipka na kojojpi

ˇ

se tan , a ne tg , kako se najˇ

ceˇ

sće zapisuje oznaka za ovu funkciju.

29



36/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

3. Na raˇ

cunalima nema posebne tipke za kotangens. To je zbog toga ˇ

sto je

ctg t = 1tg t

, pa se za dani broj t odredi tangens i potom pritiskom na tipku 1 / x

odredi kotangens broja t .

Povijesni kutak

O TRIGONOMETRIJSKIM TABLICAMA

Ne baˇ

s tako davno u srednjim su se ˇ

skolama pri izuˇ

cavanjutrigonometrijskih funkcija i njihovih primjena rabile tablicevrijednosti tih funkcija. No te je tablice pregazilo vrijemepa su ih zamijenila prakti

ˇ

cnija i toˇ

cnija dˇ

zepna raˇ

cunala.Ipak nije naodmet baciti pogled i na ve´ c pomalo zaborav-ljene tablice,

ˇ

ciju jednu stranicu vidimo na slici. Iz ovogsvojevrsnog (tabli

ˇ

cnog) prikaza trigonometrijskih funkcijaˇ

stoˇ

sta se moˇ

ze iˇ

sˇ

citati. Primjerice:

Tablicesu naˇ

cinjene za I. kvadrant (za kutove od 0 ◦ do 90◦i daju vrijednosti svih

ˇ

cetiriju trigonometrijskih funkcija.To je dostatno za odre -divanje vrijednosti trigonometrijskihfunkcija bilo kojega kuta.

U prvom stupcu su vrijednosti sinusa i one rastu s porastomveli

ˇ

cina kuta. Kako se odvijaju promjene ostalih trigono-metrijskih funkcija? Obrazlo

ˇ

zite!

Nadalje, uz lijevi rub tablice zapisani su stupnjevi, do njihsu navedene minute u intervalima po deset. Spu

ˇ

staju ći sepo lijevom rubu, dolazimo do posljednjeg broja 45 ◦ pa sepo desnom rubu vra´ camo prema gore za kutove od 45 ◦ do90◦ . Primijetimo kako je pritom zbroj dvaju kutova slijevai zdesna u istom retku jednak 90 ◦ . Na vrhu prvog stupcastoji sin , a na dnu istog stupca zapisano je cos .

ˇ

Sto toznaˇ

ci?Kako je s ostalim stupcima?

Brojevi u uˇ

zim stupcima naslovljeni s D.1’ sluˇ

ze za inter-polaciju vrijednosti pojedine funkcije za 1 . Razmislite i otoj interpolaciji.

Moˇ

zete li izvesti joˇ

s koji zanimljiv zakljuˇ

cak?

30

ODRE D̄IVANJE VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.2


37/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Zadatci 2.2.

1. Koriste ći se tablicom provjeri sljede´ ce jednakos-

ti:

1) sin 6 ·cos

6

= 12

sin 3

;

2) cos2 3 −sin

2 3

= −cos 2

3 ;

3) sin 2

3 ·cos 5

6 + cos

2 3 ·sin

5 6

= −1 ;4) cos

2

3 ·cos

5

6 −sin

2

3 ·sin

5

6 = 0 .

5)1 + sin

3 −cos

3

1 + sin 3

+ cos 3

= tg 6

.

2. Izra ˇcunajvrijednostbrojevnogizraza sin x −sin ycos x + cos y

ako je x = 3

4 , y =

5

4 .

3. Doka ˇzi:

1) sin 3

+ sin 6

> 1 ; 2) cos 7

4 + cos

11 6

> 1 .

Prepiˇ

si u biljeˇ

znicu i popuni sljede´ ce tablice:

4. sin cos tg ctg

1.50.23

−3.8610 .2

5. sin cos tg ctg

44◦1578◦4531◦25 48

13◦52 36

6. sin cos tg ctg

105 ◦35188 ◦9

−21◦55 12−112 ◦2 23

7. Ako se vrijednost kuta promijeni za 1 , za koli-ko će se promijeniti vrijednost trigonometrijskihfunkcija? Izra

ˇ

cunaj za sluˇ

caj kada je kut 0 ◦ ,30◦ i 60◦ . (Uputa: izra ˇcunaj sin 1 − sin 0◦ ,sin 30 ◦1 −sin 30 ◦ , sin 60 ◦1 −sin 60 ◦ i sli

ˇ

cnoza druge funkcije.)

8. Koordinate to ˇcke na brojevnoj kru ˇznici su kosi-nus i sinusbroja koji je smje

ˇ

stenututoˇ

cku. Obi -disve to

ˇ

cke i upiˇ

si nepoznate koordinate.

31



38/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

2.3. Odre d̄ivanje vrijednosti kuta

Opisali smo kako se za zadani realni broj odre -duje vrijednost neke trigonomet-rijske funkcije.

ˇ

Cesto moramo rjeˇ

savati obrnut zadatak: ako je dana vrijednosttrigonometrijske funkcije za neki broj, odnosno kut, kako odrediti taj broj, od-nosno kut?

Taj je zadatak ve´ c malo sloˇ

zeniji.

Primjer 1. Neka je sin = 12

. Koliki je kut ?

Nacrtajmo brojevnu kruˇ

znicu. Jednadˇ

zbu sin = 12

zadovoljavat će sve

toˇ

cke brojevne kruˇ

znice ˇ

cija je ordinata 12

. Povucimo pravac y = 12

. On

sijeˇ

ce brojevnu kruˇ

znicu u dvije toˇ

cke T 1 i T 2 . Odgovarajući kutovi su

1 = 6 i 2 = 5 6

. Prema tome, dobili smo dvije vrijednosti za kut .Jesu li to jedine dvije vrijednosti?

x

y

T 2 T 1

1

2

O

y = 12

Odgovor je dakako: ne. Za sve

kutove 1 + 2k = 6

+ 2k i

2 + 2k = 5

6 + 2k , k Zsinus će tako -der imati vrijednost12

, jer tim brojevima odgova-

ra ista toˇ

cka brojevne kruˇ

znice.Dakle, sve moguće vrijednosti

ˇ

cine skup

6 + 2k ,

5

6 + 2k , k

Z .

Ovaj primjer pokazuje kako odre -divanje vrijednosti kuta iz poznate vrijednostisinusa nije potpuno jednostavan posao. Poka

ˇ

zimo sad detaljno koje postupketrebamo u

ˇ

ciniti u tom raˇ

cunu.

32

ODRE D̄IVANJE VRIJEDNOSTI KUTA 2.3

A k i


39/154

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Arkus sinus

Ako je zadana vrijednost y sinus funkcije, onda se kut za koji je sin = y

odre -duje ovako.Nacrtajmo brojevnu kru

ˇ

znicu. Traˇ

zimo one toˇ

cke na brojevnoj kruˇ

znici ˇ

cija jeordinata jednaka broju y . Nacrtajmo horizontalni pravac

ˇ

ciji je odsjeˇ

cak na osiordinata jednak y . On sije

ˇ

ce brojevnu kruˇ

znicu op ćenito u dvjema toˇ

ckama,od kojih se jedna nalazi na lijevoj, a jedna na desnoj polukru

ˇ

znici. Te se dvijeto

ˇ

cke podudaraju samo ako je y = −1 ili y = 1 . Izabrat ´ cemo onu toˇ

cku T koja le

ˇ

zi na desnoj polukruˇ

znici . Mjera pripadnog kuta nalazi se u granicama

−

2

2.

Prikazano je raˇ

cunanje kuta iz poz-nate vrijednosti sinusa. Ako je za-dana vrijednost y sinusa, tada pos-toji samo jedna to ˇ cka T = T ( )na desnoj polukru ˇ znici za koju jesin = y . Vrijednost kuta oz-na ˇ cava se s arcsin y .

y

T

T

O

y

y

= arcsin y

( > 0) y

( < 0) y

x

Zakljuˇ

cujemo:

Arkus sinus

Za svaki broj y iz intervala [−1, 1] postoji samo jedan kut za kojivrijedi sin = y i −

2

2

. Taj se kut oznaˇ

cava s

= arcsin y.(

ˇ

Citaj: arkus sinus ipsilon.) Vrijednost arkus sinusa dobivamo uz

pomo ć raˇ

cunala pritiskom na tipku oznaˇ

cenu s SIN −1 ili ASIN .

Primjer 2. Neka je sin = −0.4371. Koliki je kut , − 2

2

?

Unesimovrijednost u raˇ

cunalo: 0.4371 ± . Pritisnimo tipku SIN −1 .na zaslonu ćemo dobiti broj −0.452371 . . . To je vrijednost tra

ˇ

zenog kuta(u radijanima).

33


40/154



41/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

Primjer 3. Odredi kut u drugom kvadrantu za koji vrijedi sin = 0.8 .

Postavimo raˇ

cunalo za raˇ

cunanje u stupnjevima. Unesimo vrijednost si-nusa u ra

ˇ

cunalo: 0.8 . Pritisnimo tipku SIN −1 . Na zaslonu ćemodobiti broj 53 .130102354 . To je vrijednost kuta (u stupnjevima), koji le ˇziu prvom kvadrantu .

Kut u drugom kvadrantu, koji ima isti sinus, raˇ

cunamo ovako: = 180◦ −53 .130102354 ◦ = 126 .869897646 ◦ = 126 ◦52 12 .

Izvedi ovaj raˇ

cun tako da bez potrebe ne unosiˇ

s me -durezultate u raˇ

cunalo!(To uno

ˇ

senje je najˇ

ceˇ

sći uzrok pogreˇ

skama u raˇ

cunu.)

Zadatak 1. 1) Odredi broj t u drugom kvadrantu za koji vrijedi sin t = 0.1125.

2) Odredi broj t u trećem kvadrantu ako je sin t = −0.9758.

Sve ostale vrijednosti kuta , za koji je sin = y , dobiju se dodavanjem vi ˇse-kratnika broja 2 na neku od ovih dviju izra ˇcunanih vrijednosti. Prema tome,skup svih vrijednosti je

{ + 2k ,

− + 2k , k

Z

},

pri ˇ

cemu je = arcsin y .

Ra ˇ

cunanje kuta iz zadane vrijednosti sinusa

Iz zadane vrijednosti y sinusa raˇ

cunamo kut za koji je sin = yovako:

1. Ako je y = 1 , onda je =

2 + 2k , k

Z .

2. Ako je y = −1 , onda je = − 2

+ 2k , k Z .3. Ako je −1 < y < 1, onda izra

ˇ

cunamo vrijednost = arcsin y iz

intervala − 2

, 2

, a potom izraˇ

cunamo − . Sve vrijednostikuta su

{ + 2k ,

− + 2k , k

Z

}.

35


i j

ˇ


42/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

Primjer 4. Odredi najmanji realni broj x za koji vrijedi sin x = 0.4 ako je jo s k tome x > 8 .

Postavimo raˇ

cunalo za rad u radijanima.

Unesemo vrijednost sinusa: 0.4 . Izra ˇcunamo odgovaraju´ ci kut0.411516846 i ozna ˇcimo taj broj s x 1 . Na trigonometrijskoj kru

ˇ

zniciovaj broj le

ˇ

zi u prvom kvadrantu.

Isti sinus ima i kut iz drugog kvadranta kojem je mjera u radijanima: x 2 =

− x 1 = 2.730075808 .

Svi brojevi za koje je sinus 0.4 dobivaju se sad ovako:0.411516846 + 2k , 2.730075808 + 2k , k Z .

Najmanji me -du njima, a ve ći od 8, je broj2.730075808 + 2 ·1 · = 9.01326115 .

Rjeˇ

senje zadatka je broj x = 9.01326115.

Zadatak 2. Odredi:

1) arc sin 0 .5 ; 2) arcsin (−1) ; 3) arc sin 4 .55 ; 4) arcsin (−0.429 ) .

Zadatak 3. 1) Odredi najmanji pozitivan broj t veći od 10 ako je sin t = −0.7568.2) Odredi najve´ci negativan broj t za koji je sin t = −0.35 .

Napomena. Za neke istaknute vrijednosti t rjeˇ

senje jednadˇ

zbe sin = t pi-ˇ

semo u drugom obliku. Tako na primjer, ako je sin = 0.5, tada umjesto = arc sin 0 .5 = 0.523598 . . . pisat ćemo radije =

6

.

Zato, ako odre -dujemo iz uvjeta

sin = ±12

, sin = ±√ 22

, sin = ±√ 32

, sin = ±1pi

ˇ

semo toˇ

cne vrijednosti arkus sinusa:

= ± 6

, = ± 4

, = ± 3

, = ± 2

.

36


Arkus kosinus


43/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

Ako je zadana vrijednost x kosinus funkcije, onda se kut za koji je cos = x

raˇ

cuna na sljede´ci naˇ

cin.Nacrtajmo brojevnu kru

ˇ

znicu. Na brojevnoj kruˇ

znici traˇ

zimo one toˇ

cke ˇ

cija jeapscisa jednaka broju x . Nacrtajmo vertikalni pravac

ˇ

ciji je odsjeˇ

cak na osiapscisa jednak x . On sije

ˇ

ce brojevnu kruˇ

znicu op ćenito u dvjema toˇ

ckama, odkojih je jedna na donjoj, a jedna na gornjoj polukru

ˇ

znici. Izabrat ´ cemo onu toˇ

ckuT koja le

ˇ

zi na gornjoj polukruˇ

znici . Za pripadni kut vrijedi 0 .

Ra ˇ cunamo kut iz poznatevrijednosti kosinusa. Ako je zadana vrijednost x ko-sinusa, tada postoji samo jedna to ˇ cka T = T ( ) nagornjoj polukru

ˇ

znici za koju je cos = x. Vrijed-nost kuta ozna ˇ cava se sarccos x .

= arccos x

( > 0) x( < 0) x

x x x

T T

O

y

Arkus kosinus

Za svaki broj x iz intervala [−1, 1] postoji samo jedan kut za koji je cos = x i 0 . Taj se kut ozna ˇcava s = arc cos x .

(ˇ

citaj: arkus kosinus iks.) Vrijednost arkus kosinusa dobivamo uzpomo ć ra

ˇ

cunala pritiskom na tipku oznaˇ

cenu s COS −1 ili ACOS .

Zadatak 4. Bez uporabe ra ˇcunala izra ˇcunaj:arc cos1 + arc cos0 + arc cos (−1).

Primjer 5. Neka je cos = 0.23714 . Koliki je kut , 0 ?

Postavimo raˇ

cunalo za rad u stupnjevima. U raˇ

cunalo unesimo vrijed-nost 0.23684 . Pritisnimo tipku COS −1 . Na zaslonu ćemo dobiti broj76 .282197903 . To je vrijednost tra ˇzenog kuta (u stupnjevima). Pretvori-

mo dijelove stupnja u minute i sekunde pritiskom na D.MS

: 76◦16 56

37


Primjer 6

Neka je cos t = 0 3 Koliki je broj t ako je 0 t ?


44/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

Primjer 6. Neka je cos t = −0.3 . Koliki je broj t ako je 0 t ?

Sada ćemo raˇ

cunati kut u radijanima, pa provjerimo stanje raˇ

cunala iliodmah pritisnimo RAD . U ra

ˇ

cunalo unesimo vrijednost .3 ± . Pri-tisnimo tipku COS −1 . Na zaslonu ćemo dobiti broj 1 .875488981 . . .Rezultat ćemo zapisati na pet decimala 3 , t = 1.87549 . To je vrijednosttra

ˇ

zenog kuta (u radijanima).

Zadatak 5. Odredi:

1) arc cos (−0.5) ; 2) arc cos0 .3324; 3) arc cos (−1.255 ) .

Sve vrijednosti kuta za koji je cos = x nalazimo sli ˇcno kao i za funkcijusinus.

1. Ako je x = 1, onda je = 2k , k Z .2. Ako je x = −1, onda je = + 2k , k Z .3. Neka je sad −1 < x < 1 . Nacrtajmo brojevnu kru

ˇ

znicu. Povucimo vertikalnipravac

ˇ

ciji je odsjeˇ

cak na osi apscisa jednak x . On sijeˇ

ce brojevnu kruˇ

znicu uto

ˇ

cki T 1 u gornjoj poluravnini, kojoj odgovara kut 1 = , te u toˇ

cki T 2 udonjoj poluravnini, kojoj odgovara kut 2 .

O x x

y

T 1

T 2

Rje ˇ savamo jednad ˇ zbu cos = x . Ako je x razli ˇ cit od 1 ili

−1 , tada

vertikalni pravac sijeˇ

ce brojevnu kru-ˇ znicu u dvjema to ˇ ckama, T 1 i T 2 ,koje su simetri ˇ cne s obzirom na osapscisa. Za pripadne kutove 1 i 2vrijedi 2 = − 1 .

Toˇ

cka T 2 simetriˇ

cna je toˇ

cki T 1 s obzirom na os apscisa. Zato za 1 i 2 vrijedi 2 = − 1 .

3 Broj decimala nije unaprijed odre -den, ovisi o ostalim podatcima u zadatku.

38


Sva ostala rjeˇ

senja jednadˇ

zbe cos = x dobiju se dodavanjem vi ˇsekratnika brojaˇ ˇ


45/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

2 na neku od ovih dviju izra cunanih vrijednosti. Prema tome, skup svih rje senjapromatrane jednad

ˇ

zbe je

{ + 2k ,

− + 2k , k

Z

},

pri ˇ

cemu je = arc cos x .

Ra ˇ

cunanje kuta iz zadane vrijednosti kosinusa

Iz zadane vrijednosti x kosinusa raˇ

cunamo kut za koji je cos = x ovako:

1. Ako je x = 1, onda je = 2k , k Z .2. Ako je x = −1 , onda je = ( 2k + 1) , k Z .3. Ako je −1 < x < 1 , onda izra

ˇ

cunamo vrijednost = arc cos x izintervala 0, . Sve vrijednosti kuta su

{ + 2k , − + 2k , k Z}.

Primjer 7. Za koji kut vrijedi cos = −0.8 ?

Raˇ

cunamo u radijanima. Unesemo vrijednost kosinusa: .8 ± . Od-redimo kut pritiskom na COS −1 . Dobivamo rezultat 2 .49809 . Svevrijednosti kuta (u radijanima) su

{2.49809 + 2k , −2.49809 + 2k , k Z}.

Zadatak 6. Odredi kut u stupnjevima ako je:

1) cos = 0.44678; 2) cos = −3.14159; 3) cos = −0.8957.

Arkus tangens i arkus kotangens

Sliˇ

cnu situaciju imamo pri odre -divanju kuta iz poznate vrijednosti tangensa ilikotangensa.

Dovoljno je nauˇ

citi kako se odre -duje kut ako je tg = y . Naime, ako je zadanavrijednost kotangensa, tada je recipro

ˇ

cni broj vrijednost tangensa.

Tangens poprima sve realne vrijednosti. Zato ´ ce za svaki realni broj y postojatikut za koji je tg = y .

39


Nacrtajmo brojevnu kruˇ

znicu i prislonimo tangentu u toˇ

cki (1, 0) . Vrijednosttangensa je ordinata to

ˇ

cke na tom pravcu Zato odredimo toˇ

cku T s ordinatom


46/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

tangensa je ordinata to cke na tom pravcu. Zato odredimo to cku T s ordinatom y . Zraka OT sije

ˇ

ce desnu polukruˇ

znicu u jednoj toˇ

cki, T .

Arkus tangens

Za svaki realni broj y postoji samo jedan kut za koji je tg = y i

− 2

< < 2

. Taj se kut oznaˇ

cava s

= arc tg y.(

ˇ

citaj: arkus tangens ipsilon.) Arkus tangens dobivamo na raˇ

cunalu

pritiskom na tipku oznaˇ

cenu s TAN −1 ili pak s ATAN .

Ra ˇ cunamo kut iz poznate vrijednosti tan-gensa. Ako je zadana vrijednost y tangen-sa, tada postoji samo jedna to ˇ cka T nadesnoj polukru ˇ znici za koju je tg = x .Vrijednost kuta ozna ˇ cava se s arc tg y .

x

y

T , y(1 )T'

y

1O

= arctg y

Primjer 8. Odredimo kut za koji je tg = 2.35113.

Unesimo broj u raˇ

cunalo i odredimo vrijednost arkus tangensa:

2.35113 TAN −1 (= 1.168648 . . .)Dobili smo vrijednost u radijanima. Pretvorimo ga u stupnjeve:

× 180 : = (= 66 .95862 . . . ◦)

→D.MS (= 66◦57 31 .03 )Dakle, = 66◦57 31 .

Na ovaj smo naˇ

cin dobili jednu vrijednost 1 = za koju je tg = y . Isto ćevrijediti za svaki iz skupa

+ k , k

Z .

40


Ra ˇ

cunanje kuta iz zadane vrijednosti tangensa


47/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

Iz zadane vrijednosti y tangens raˇ

cunamo kut za koji je tg = yovako:

1. Izraˇ

cunamo vrijednost = arc tg y iz intervala − 2

, 2

.

2. Sve vrijednosti kuta su { + k , k Z}.

Zadatak 7. Izra ˇcunaj kut ako je:

1) tg = −0.1156; 2) tg = −1 ; 3) tg = 99 .5498.Ra

ˇ

cunanje kuta iz zadane vrijednosti kotangensa

Iz zadane vrijednosti y kotangens raˇ

cunamo kut za koji jectg = y ovako:

1. Izraˇ

cunamo reciproˇ

cnu vrijednost x = 1 y

.

2. Izraˇ

cunamo vrijednost = arc tg x iz intervala − 2

, 2

.

3. Sve vrijednosti kuta su

{ + k , k Z}.

Primjer 9. Izra ˇcunajmo sve kutove za koje je ctg = −2.36 .

Najprije odredimo vrijednost tangensa:

tg = 1ctg

= − 12.36

= −0.42372 . . .(rezultat zapisujemo s pet decimala, a to

ˇ

cniji broj pamtimo u raˇ

cunalu).

Sad odre -dujemo vrijednost arkus tangensa:

−0.42372 . . . TAN −1 (= −0.40079 . . .)Prema tome, sva su rje

ˇ

senja jednadˇ

zbe ctg = −2.36{−0.40079 ±k , k Z}.

Zadatak 8. Odredi broj t ako je:

1) ctg t = −4.1338; 2) ctg t = 1 ; 3) ctg t = 7.1528.

41


Zadatci 2.3.


48/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

adatc .3.1. Odredi arkus sinus iz zadane vrijednosti sinusa.

Rezultate zapiˇ

si u stupnjevima.1) sin = 0.19118 ; 2) sin = 0.87451;3) sin = 0.55 ; 4) sin = 0.33126;5) sin = −0.45245; 6) sin = −0.9987.

2. Odredi arkus sinus iz zadane vrijednosti sinusa.Rezultate zapi

ˇ

si u radijanima.

1) sin = 0.19118 ; 2) sin = 0.87451;3) sin = 0.55 ; 4) sin = 0.33126;5) sin = −0.45245; 6) sin = −0.9987.

3. Odredi arkus kosinus iz zadane vrijednosti kosi-nusa. Rezultate zapi

ˇ

si u stupnjevima.

1) cos = 0.23974; 2) cos = 0.55245 ;3) cos = 0.03355; 4) cos = 0.89547 ;5) cos = −0.25252 ; 6) cos = −0.987.

4. Odredi arkus kosinus iz zadane vrijednosti kosi-nusa. Rezultate zapi

ˇ

si u radijanima.

1) cos = 0.23974; 2) cos = 0.55245 ;3) cos = 0.03355; 4) cos = 0.89547 ;5) cos = −0.25252 ; 6) cos = −0.987.

5. Konstruiraj sljede´ ce kutove:

1) arc sin 3

5 ; 2) arc cos

−1

2; 3) arc tg

5

6 .

6. Izra ˇcunaj:

1) arc sin −12

+ arc sin√ 22

;

2) arc sin −√ 22 −arc sin

√ 32

;

3) arc sin 1

2 + arc cos

√ 32

+ arctg√ 33

;

4) arc sin √ 32

+ arc cos −√ 32

+ arctg −√ 33

.

7. Koliko je:

1) cos arc cos −12

+ 3

;

2) tg 2 arc tg − 1√

3

+ 3

;

3) tg 2 −arc sin√ 32

;

4) ctg3 2 −arc cos

√ 22 ?

8. Koliko je:

1) tg arcsin −12

+ arc sin (−1) ;2) ctg arc sin

√ 32

+ arccos√ 32

?

9. Odredi sve realne brojeve t ako je poznato:1) sin t = 0.2 ; 2) sin t = 0.3 ;3) sin t = 0.4 ; 4) sin t = 0.9 ;5) sin t = −0.6 ; 6) sin t = −0.7 .

10. Odredi sve realne brojeve t ako je poznato:1) cos t = 0.12 ; 2) cos t = 0.37 ;3) cos t = 0.54 ; 4) cos t = 0.71 ;

5) cos t = −0.37 ; 6) cos t = −0.75 .11. Odredi arkus tangensiz zadane vrijednosti tagen-sa:1) tg = 0.53554 ; 2) tg = 1.25222;3) tg = 0.09 ; 4) tg = 3.89334;5) tg = −1.35353 ; 6) tg = −10 .987.

12. Odredi arkus kotangens iz zadane vrijednosti ko-tagensa:

1) ctg = 3.51551; 2) ctg = 0.11226 ;3) ctg = 0.097; 4) ctg = 1.38934 ;5) ctg = −0.75353; 6) ctg = −13 .3567 .

13. Odredi sve vrijednosti realnog broja t ako je za-dano:1) tg t = 0.25 ; 2) tg t = 0.75 ;3) tg t = 3.60 ; 4) tg t = 15 .2 ;5) tg t = −2.5 ; 6) tg t = −7.5 .

14. Odredi sve vrijednosti realnog broja t ako je za-dano:1) ctg t = 0.25 ; 2) ctg t = 1.55 ;3) ctg t = 10 .24 ; 4) ctg t = −0.1 ;5) ctg t = −1.25 ; 6) ctg t = −25 .6 .

15. Izrazi u radijanima:1) arcsin0 .33 ; 2) arccos (−0.412 ) ;3) arc tg(−3.14 ) ; 4) arcctg1 .193.

42


49/154


PAko je T = E (t ) u prvom kvadrantu, onda


50/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A KO B At

T

P j ( ) p ,

vrijedi tg t = | AP| . Iz sliˇ

cnih trokuta OAPi OBT (slika desno) vidimo da je

| AP||OA|

= | BT ||OB|

i odavde, jer je |OA| = 1, slijeditg t = | AP| = |

BT ||OB|

= sin t cos t

.

Ako je T = E (t ) u nekom od triju ostalihkvadranata, dokaz se provodi na isti na

ˇ

cin.

Potpuno na isti naˇ

cin kao i za funkciju tangens moˇ

zemo pokazati da za ovakodefiniranu funkciju kotangens vrijedi temeljna veza

ctg t = cos t sin t

za svaki t takav da je ovaj koliˇ

cnik definiran.

Dakle, vrijedi

ctg t = 1tg t

za svaki t za koji su obje funkcije definirane.

Zadatak 2. Koriste ći se identitetima tg t = sin t cos t

, tg t ·ctg t = 1 i tablicom na str. 29 proˇ

siri

istu tablicu vrijednostima tangensa i kotangensa.

Temeljne veze izme d̄u trigonometrijskih funkcija

Ako znamo vrijednost jedne trigonometrijske funkcije za neki broj t , onda izosnovnih identiteta mo

ˇ

zemo odrediti vrijednost bilo koje druge funkcije istog togbroja. Poka

ˇ

zimo najprije kako se iz poznatog sinusa raˇ

cuna kosinus i obratno. Iztemeljnog identiteta slijedi

sin t = ±

1 −cos 2 t ,

cos t = ± 1 −sin2 t ,

Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi toˇ

cka E (t ) .

44

OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI 2.4

Primjer 2.

Odredi vrijednost sin t ako je cos t = 45

, a kut t se nalazi u ˇ

cetvrtom


51/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

5kvadrantu.

0 1

cos t

sin t

E t ( )

Za kutove u ˇ

cetvrtom kvadrantu sinus jenegativan. Zato je

sin t = − 1 −cos 2 t = − 1 − 45 2=

−3

5.

Pokaˇ

zimo sada kako se s pomo´ cu vrijednosti jedne od ˇ

cetiriju trigonometrijskihfunkcija mo

ˇ

ze izraziti vrijednost bilo koje druge funkcije.

1. Poznat je sin t .

cos t = ± 1 −sin 2 t ,tg t = sin t cos t

= sin t

±√ 1 −sin 2 t ,

ctg t = cos t sin t

= ±√ 1 −sin 2 t sin t

.

2. Poznat je cos t .

sin t = ± 1 −cos 2 t ,tg t =

sin t cos t

= ±√ 1 −cos 2 t cos t

,

ctg t = cos t sin t

= cos t

±√ 1 −cos 2 t .

3. Poznat je tg t . Iz sin 2 t + cos2 t = 1 dijeljenjem s cos 2 t dobivamo

tg2 t + 1 = 1cos 2 t

= cos2 t = 1

1 + tg2 t te je

cos t = 1

±

1 + tg2 t

,

sin t = tg t ·cos t = tg t

± 1 + tg2 t .

Sliˇ

cno se izvode veze i ako je poznat ctg t .

45


Dobivene identitete navest ´ cemo u sljede´coj tablici:


52/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

sin t cos t tg t ctg t

sin t − ±√ 1 −cos 2 t tg t ± 1 + tg2 t 1

± 1 + ctg2 t cos t ±√ 1 −sin 2 t −

1

± 1 + tg2 t ctg t

± 1 + ctg2 t tg t

sin t

±√ 1

−sin 2 t

±√ 1 −cos 2 t cos t −

1ctg t

ctg t ±√ 1 −sin 2 t sin t

cos t

±√ 1 −cos 2 t 1

tg t −

Primjer 3. Odredi vrijednost cos t ako je tg t = 13

, a kut t se nalazi u tre ćem

kvadrantu.

Za kutove u tre ćem kvadrantu kosinus je negativan. Zato je

cos t = 1

− 1 + tg2 t = −

1

1 + 19= −

3√ 10 .

Zadatak 3. Ako je ctg t = −1.875 i cos t > 0, izraˇ

cunaj sin t .

Primjer 4. Za kut iz prvog kvadranta sinus je utvr -den u granicama 0 .15 < sin t <0.16 . U kojim se granicama nalazi tangens tog kuta?

Tangens kuta je pozitivan. Moˇ

zemo koristiti formulu

tg t = sin t

√ 1 −sin 2 t .

Uvrˇ

stavaju ći graniˇ

cne vrijednosti za sinus, dobit ´ cemo ove ograde za tan-gens:

0.15√ 1 −0.152

< tg t < 0.16

√ 1 −0.162,

0.152 < tg t < 162 .

46

OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI 2.4

Zadatci 2.4.


53/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

1. Pojednostavni:1) 1 −cos 2 x ; 2) sin2 x −1 ;3) (1 −sin x )(1 + sin x ) ;4) (1 −cos x )(1 + cos x ) ;5) 1 + sin2 x + cos 2 x ;6) 1 −sin 2 x −cos 2 x ;7) sin4 x −cos 4 x + sin2 x ;8) cos4 x

−sin 4 x

−cos 2 x ;

9) (1 + tg2 x ) ·cos 2 x ;10) (1 + ctg2 x ) ·sin 2 x .

2. Pojednostavni:

1) 1 −sin 2 x cos 2 x −1

; 2) sin2 x sin 2 x −1 ·

ctg 2 x ;

3) cos2 x

1 −cos 2 x ·tg2 x ; 4)

sin3 x + cos 3 x 1 −sin x ·cos x

;

5) sin3 x −cos 3 x 1 + sin x ·cos x

; 6) 1 −sin 4 x −cos 4 x

cos 4 x ;

Dokaˇ

zi sljede će identitete:

3. 1) (sin x + cos x )2 + ( sin x −cos x )2 = 2 ;2) 1 −sin

2

x cos x = cos x ;

3) cos2 x 1 −sin x

= 1 + sin x ;

4) 1 + cos x

sin x =

sin x 1 −cos x

;

5) cos x sin x ·ctg x

= 1 ;

6) sin x cos x ·tg x = 1 ;

7) sin x + tg x

tg x = 1 + cos x ;

8) tg x

tg x + ctg x = sin 2 x ;

9) ctg x tg x + ctg x

= cos 2 x ;

10) cos2 x −sin 2 x sin x ·cos x = ctg x −tg x .

4. 1) sin x + tg x

cos x + 1 = tg x ;

2) cos x + ctg x

1 + sin x = ctg x ;

3) 1 + tg x 1 + ctg x

= tg x ;

4) 1

1 + cos x +

11 −cos x

= 2sin 2 x

;

5) tg x 1 + tg x =

sin x sin x + cos x ;

6) 1 − 1

1 + tg2 x =

11 + ctg2 x

.

5. 1) tg2 x −sin 2 x = tg2 x ·sin 2 x ;2) ctg2 x −cos 2 x = ctg 2 x ·cos 2 x ;3) (tg2 x

−sin 2 x )

·ctg 2 x = sin 2 x ;

4) (1 + ctg2 x )(1 −sin 2 x ) = ctg 2 x ;5) sin4 x + cos 4 x = 1 −2cos 2 x + 2 cos 4 x .

6. 1) tg x 1 −tg2 x ·

ctg2 x −1ctg x

= 1 ;

2) 1

sin 2 x −cos 2 x =

1 + ctg 2 x 1 −ctg 2 x

;

3) tg x 1 −tg2 x ·

ctg2 x −1ctg x = 1 ;4)

sin x 1 + ctg x

+ cos x 1 + tg x

= 1

sin x + cos x ;

5) sin x ·tg x sin x + tg x

= tg x −sin x

sin x ·tg x .

7. 1) 1 + cos x

sin x

2+ 1 :

1 + cos x

sin 2 x = 2 ,

x = k , k Z ;2)

(1 −sin x −cos x )(1 −sin x + cos x )sin x (1 −sin x )

= −2 , x = k , x =

2

+ k ·2 , k Z .

8. 1)

1 + sin x 1

−sin x

= 1 + sin x

|cos x

| ;

2) 1 −cos x 1 + cos x = 1 −cos x |sin x | .47


54/154

SVOJSTVA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.5

2.5. Svojstva trigonometrijskih funkcija


55/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

Parnost i neparnost

Pri izuˇ

cavanju svojstava neke realne funkcije izme -du ostalog se ispituje je lifunkcija parna ili neparna.

Funkcija f je parna ako za svaki t za koji je funkcija definirana vrijedi: f (−t )postoji i pritom je f (−t ) = f (t ) . Ona je neparna ako za svaki t za koji jefunkcija definirana vrijedi: f (−

t ) postoji i pri tom je f (

−t ) =

− f (t ) .

Primijetimo da funkcija ne mora biti niti parna niti neparna.

Jesu li moˇ

zda trigonometrijske funkcije parne ili neparne funkcije?

O x

E t t t ( )= (cos , sin )

E t (- )= (cos , sin )(- ) (- )t t

t -t

Toˇ

cke T 1 = E (t ) i T 2 = E (−t )simetri ˇcne su s obzirom na os Ox .Zato se njihove apscise podudaraju,a ordinate razlikuju u predznaku. To

znaˇ

ci da je cos (− x ) = cos x , te jekosinus parna funkcija, a sin (− x ) =−sin x te je sinus neparna funkcija.Je li tangens parna ili neparna funk-cija? Mo

ˇ

zemo to provjeriti na sli-ci, sli

ˇ

cno kao ˇ

sto smo radili za sinusi kosinus, a mo

ˇ

zemo postupiti i naovaj na

ˇ

cin:

tg(−t ) = sin(−t )cos (−t )

= −sin t cos t

= −sin t cos t

= −tg t .

Kako je ctg t = 1tg t

, funkcije tg t i ctg t iste su parnosti. A kako je tangens

neparan, neparan je i kotangens.

Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija

Sinus je neparna , a kosinus parna funkcija :cos (−t ) = cos t , sin(−t ) = −sin t ,

za svaki realni broj t .

Tangens i kotangens neparne su funkcije i vrijedi:tg(

−t ) =

−tg t , ctg(

−t ) =

−ctg t

za svaki realni broj t za koji su funkcije definirane.

49


Zadatak 1. Naslikama su redom grafovi funkcija f ( x ) = x 4− x 2−1 , f ( x ) = ||| x −1|−1|−1|, f ( x ) = −0.5 x 3 + x i f ( x ) = − x 2 + x + 1 . Ima li me -du njima koja parna i kojaneparna?


56/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

neparna?

1) 2)

1

1

2

20

1

1

2

2 x

y

1

1

2

2 3

3

40

1

12 x

y

3) 4)

1

1

2

20

1

1

2

2 x

y

1

1 20

1

1

2

3

x

y

Primjer 1. Funkcije f ( x ) = sin | x | i g( x ) = |sin x | su parne. Provjerimo to! Vrijedili sin | x | = |sin x | za svaki realni broj x ?

Provjerimo najprije je li sin | x | = sin | − x |. Kako suprotni brojevi imaju jednake apsolutne vrijednosti ( | x | = |− x |), odgovor je potvrdan. Funkcija f parna je funkcija.Ajeli g parna, tj. vrijedi li

|sin x

| =

|sin(

− x )

| za svaki realanbroj x ? Ka-

ko je sin (− x ) = −sin x , onda je to zapravo pitanje je li |sin x | = |−sin x |.Odgovor je potvrdan, razlog je i opet taj ˇsto suprotni brojevi imaju jednakeapsolutne vrijednosti. Dakle, i g je parna funkcija.

Jednakost sin | x | = |sin x | općenito ne vrijedi za svaki realni broj x , od-nosno funkcije f i g nisu jednake funkcije. To je lako obrazlo ˇziti: svevrijednosti od g su u intervalu [0, 1] , dok su vrijednosti od f u intervalu[−1, 1] .

Zadatak 2. Vrijedi li jednakost cos | x | = |cos x | za svaki realni broj x ?50


Periodi ˇ cnost trigonometrijskih funkcija

ˇ ˇ


57/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

Periodi cnost je pojava s kojom se

cesto susre´cemo. Promotri primjerice sljede´ cu

sliku.

2700

2200

0 5 10 15vrijeme (s)

o b u j a m

( m l )

Na njoj je dijagram koji prikazujekako se tijekom vremena mijenja ko-li

ˇ

cina zraka u ˇ

covjekovim plu´cima.ˇ

Sto primje ćujemo?

Pluća nikada nisu bez zraka i tije-kom jednog udisaja, koji traje otpri-like dvije sekunde, koli

ˇ

cina zraka se

penje od najmanje do najve´ ce vrijed-nosti, a potom opada.

Disanje je periodiˇ

cna pojava.

Premda je intuitivno jasno ˇ

sto to znaˇ

ci, opiˇ

simo ipak periodiˇ

cnost matematiˇ

cki.

Periodi ˇ

cne funkcije

Za funkciju f kaˇ

zemo da je periodi ˇ

cna ako postoji realni broj P > 0

takav da za svaki t za koji je funkcija definirana, ona je definirana i ut + P i vrijedi f (t ) = f (t + P). (1)

Broj P zove se period funkcije f . Najmanji takav pozitivni broj zovese temeljni period funkcije f .

Zadatak 3. Na crte ˇzima su prikazani grafovi ˇcetiriju funkcija. Ima li me -du njima periodi ˇcnih?Ako ima, koliki je temeljni period?

1) y

x

2

1

01

2

1 55

2) y

x

2

1

0

2

1

3) y

x

2

1

0

2

1 5

4) y

x

2

1

0

2

1 5

51


58/154


Primjer 4.

Dokaˇ

zimo da je funkcija f ( x ) = sin( x + ) periodi ˇcna i da je njezin

temeljni period 2

.


59/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

Pri dokazu tvrdnje primijenit ´ cemo definiciju periodiˇ

cnosti funkcije. Pi-tamo se, dakle, postoji li takav pozitivan broj P da je jednakost

sin ( ( x + P) + ) = sin ( x + )ispunjena za svaki x .

Onda je ona ispunjena i za x = −

pa nakon uvrˇ

stavanja dobijemo:

sin ( P ) = 0.Period P valja tra

ˇ

ziti me -du brojevima P = k ·

, k Z .

Pokazuje se da za k = 1 broj P =

nije period funkcije f . Za k = 2

provjera pokazuje da P = 2

jest period funkcije f . To je onda i njezin

temeljni period.

Zadatak 5. Pozorno prou ˇci sljede će slike. ˇ

Sto zakljuˇ

cujeˇ

s?

1

1

2

y x=sin y x=sin 2

1

1

y= xsin y=sin x2

2 3 4

1

1

2

y= xcos y= xcos 3

23

1

1

y= xcos

2 3 4

y=cos x3

Zadatak 6. Odredi temeljne periode sljede´ cih funkcija:

1) f ( x ) = 2 sin 4 x ; 2) f ( x ) = cos 23 x ;

3) f ( x ) = −cos 5 x ; 4) f ( x ) = 12

sin ( x −3) .

53


Periodi ˇ

cnost funkcija sinus i kosinus

Funkcije sinus i kosinus su periodiˇ

cne funkcije s temeljnim periodomP = 2 :


60/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

P 2 :

sin (t + 2 ) = sin t , cos(t + 2 ) = cos t .

I funkcije f (t ) = sin( t + ) i f (t ) = cos( t + ) , za svaki i

> 0 su tako -der periodi ˇcne, a njihov je temeljni period 2

.

Zadatak 7. Na slikama su dani grafovi nekih trigonometrijskih funkcija. Za svaku od njihodredi period.

1) 2)

x2

22

2

x2

2

4 4

2

4

3) 4)

x2

22

2

x2 22

2

Periodi ˇ cnost funkcija tangens i kotangens

Toˇ

cke T 1 = E (t ) i T 2 = E (t + ) simetriˇ

cne su s obzirom na ishodiˇ

ste O .Zato T 1 , O i T 2 le

ˇ

ze na istom pravcu. Drugim rijeˇ

cima, pravci OT 1 i OT 2 sepodudaraju, pa se podudara i vrijednost tangensa: tg t = tg(t + ) . Isto vrijedi iza funkciju kotangens. Zato je:

tg(t + ) = tg t , ctg(t + ) = ctg t

za svaki t za koji su funkcije definirane.

Dakle, tangens i kotangens su periodiˇ

cne funkcije s temeljnim periodom .

54


Q


61/154

O G L E D N

I P R I M J

E R A K

Na slici je prikazana pe-riodi ˇ cnost tangensa i ko-tangensa. To ˇ cke E (t ) iE (t + ) simetri ˇ cne su sobzirom na ishodi ˇ ste, pa suvrijednosti tangensa za t i t + jednake. Isto vrijedi i za kotangens. Zato je temeljni period ovih funkcija.

P

xt

t +

O

Općenitije, za svaki cjelobrojni k i za svaki t , za koji su funkcije definirane,vrijedi:

tg(t + k ) = tg t , ctg(t + k ) = ctg t .

Kao i za funkcije sinus i kosinus, moˇ

zemo pokazati sljede´ ce svojstvo funkcijatangens i kotangens:

Periodi ˇ

cnost funkcija tangens i kotangens

Neka su i > 0 po volji odabrani realni brojevi. Funkcijet → tg( t + ) i t → ctg ( t + ) su periodi

ˇ

cne, s temeljnim periodom

.

Kutak plus

FUNKCIJE SEKANS I KOSEKANS

U zapadnom svijetu uz funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens ˇ

cesto se uvode joˇ

s dvije funkcije, sekans i kose-

kans . Njihove su definicije: sec x = 1cos x

; cosec x = 1sin x

. Na dvjema slikama prikazani su grafoviovih funkcija: sekans je slika lijevo, kosekans je slika desno.

x

y

1

23

-3-2

-4

4

-10

2 2-

2-

2- - x

y

1

23

-3-2

-4

4

-10

2 2-

2-

2- -

1) Za koje su realne brojeve x definirane funkcije sec x i cosec x ? 2) Jesu li ove funkcije parne? Jesu li neparne?

3) Jesu li ove funkcije periodiˇ

cne? 4) Obrazloˇ

zi: sec x = cosec

„

2 − x

«.

55


Zadatci 2.5.1 Pozorno promotri dane grafove Jesu li funkci- 7


62/154

Date post:	01-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	alen-alic
View:	242 times
Download:	1 times

Matematika 3/1

Documents