Matematika A - muny.czecon.muny.cz/data/PMMATI/KMMATI_dso.pdf · 2007-04-06 · Tento projekt byl...

Masarykova univerzitaEkonomicko–spravnı fakulta

Matematika A

distancnı studijnı opora

Miloslav Mikulık

Lubos Bauer

Brno 2005

Tento projekt byl realizovan za financnı podpory Evropske unie v ramci programu SOCRATES — Grundtvig.

Za obsah produktu odpovıda vylucne autor, produkt nereprezentuje nazory Evropske komise a Evropska komiseneodpovıda za pouzitı informacı, jez jsou obsahem produktu.

This project was realized with financial support of European Union in terms of program SOCRATES — Grundtvig.

Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of European Unionand European Commission is not responsible for any uses of informations, which are content of product

Recenzoval: Doc. RNDr. Jindrich Klapka, CSc.

Matematika A

Vydala Masarykova univerzita

Ekonomicko–spravnı fakulta

Vydanı druhe – pozmenene

Brno, 2005

c© Miloslav Mikulık, 2004

ISBN 80-210-3494-7

Identifikace modulu

ZnakKMMATA

NazevMatematika A

Urcenıkombinovane bakalarske studium

Garant/autordoc. RNDr. Miloslav Mikulık, CSc.

SpoluautorRNDr. Lubos Bauer, CSc.

CılVymezenı cıle

V ucebnım textu”Matematika A“ jsou sledovany tyto cıle:

1. Strucne pripomenout ctenari nektera dulezita temata”stredoskolske ma-

tematiky“, jejichz znalost je predpokladem uspesnemu porozumenı novychpojmu a jejich vzajemnych vztahu.

2. Podat uceleny vyklad linearnı algebry v rozsahu potrebnem pri resenızakladnıch uloh ve statistice a v rade ekonomickych disciplın. Duraz je kladenna vyklad zavadenych pojmu, na popis vypoctovych metod a na jejich ohod-nocovanı predevsım s ohledem na vypocetnı techniku. Bez pouzitı vypocetnıtechniky nelze totiz ani rozsahlejsı a komplikovanejsı ulohy praxe resit.

3. Pomahat pri rozvoji logickeho myslenı. Ctenar je napr. veden k tomu, abykazdy pojem, s nımz se pracuje, byl pred pouzitım plne vymezen a aby bylyvzdy uvedeny podmınky, za nichz uvadena tvrzenı platı.

Dovednosti a znalosti zıskane po studiu textu

Absolvent tohoto predmetu by mel zıskat dostatecnou orientaci v linearnıalgebre pro praci v ekonomickych aplikacıch, v nichz se linearnı algebrapouzıva. Mel by mıt schopnost se brzy zorientovat v programech na resenıruznych aplikacnıch uloh na pocıtacıch a naucit se vysledky vyhodnocovat.Absolvovanı tohoto predmetu je dobrym zakladem pro prıpadne navazujıcıstudium ekonometrie a statistickych metod.

Znalost pojmu stredoskolske matematiky, uvedenych v prvnıch dvou ka-pitolach, je nutna pro studium

”Matematiky B“, kterou budete studovat

v druhem semestru.

Casovy planprezencnı cast 12 hodinsamostudium 78 hodinelaboraty 12 hodin

Celkovy studijnı cas: 102 hodin

Zpusob studia

Studijnı pomucky

doporucena literatura:

Josef Polak: Prehled stredoskolske matematiky . ISBN 80-85849-78-XJan Coufal, Jindrich Klufa, Milos Kanka, Jirı Henzler:Ucebnice Matematiky pro ekonomicke fakulty . ISBN 80-7187-1484

Vybavenı

– internet

Navod prace se studijnımi texty

Text je rozdelen do sesti kapitol. Kazda kapitola je rozdelena do nekolikasekcı. Nektere z nich jsou dale rozdeleny do podsekcı. Rozdelenı kazde ka-pitoly do sekcı, resp. i do podsekcı, je uvedeno na zacatku kazde kapitoly arovnez v obsahu tohoto studijnıho textu.

Prvnı dve kapitoly jsou venovany opakovanı”stredoskolske matematiky“.

Ne kazdy z Vas probıral stredoskolskou matematiku do hloubky, ktera jev predlozenem textu uvedena. Je tomu obzvlaste u absolventu ruznych od-bornych skol, na nichz byl kladen duraz na jine – nematematicke predmety.Mnozı z Vas se sice s latkou uvedenou v prvnıch dvou kapitolach setkali,avsak s ohledem na vetsı odstup od maturity ji jiz neznajı. Ti pak musıtuto latku nastudovat a to bud’ z tohoto textu, anebo z jinych studijnıchpomucek, napr. z [1], nebo z ucebnic, ktere jste pouzıvali na strednı skole.Krome latky uvedene v techto dvou kapitolach si prostudujte zaklady ana-lyticke geometrie v rovine a v prostoru. Na soustredenıch stredoskolska latkanebude soustavne probırana, jejı prostudovanı zavisı jen na Vası iniciative.Jde o porozumenı zde zavedenych pojmu a o seznamenı se se zakladnımivztahy mezi nimi. Naucte se dobre rozlisovat mezi definicı, jız se novy po-jem zavadı, a vetou, ktera vypovıda o vztahu mezi zavedenymi pojmy. Dukazyjednotlivych vet se nezkousejı. Tyto dve kapitoly byste meli samostatne na-studovat do konce semestru a prubezne studovat probırane partie linearnıalgebry obsazene v dalsıch ctyrech kapitolach. Plna znalost teto latky je totizbezpodmınecne nutna pro studium

”Matematiky B“.

V kapitolach 3 — 6 se probırajı zaklady linearnı algebry. Nejdulezitejsı in-formace, uvedene v jednotlivych kapitolach, jsou uvedeny vetsım pısmemv rameccıch. Nektere informace, ktere jsou uvedeny jako rozsirujıcı, jsou uve-deny malym pısmem. Tyto casti nenı bezpodmınecne nutno studovat.

Kazda kapitola zacına s uvedenım znalostı, ktere byste meli nabyt studiemkapitoly. Kazdou kapitolu, resp. podkapitolu, si napred informative prectetetak, abyste nabyli alespon

”mlhavy prehled“ o v nı uvedene latce. Teprve

potom zacnete s podrobnym studiem. Venujte pozornost pochopenı zavadenınovych pojmu. V textu, kde to je potrebne, jsou uvedeny prıklady. Ty sipozorne projdete. Poslednı sekce kazde kapitoly obsahuje souhrn nejdulezi-tejsıch poznatku formou vyctu bodu. Dale jsou uvedeny prıklady. Upozornuji,ze dukazy vet nejsou predmetem zkousky.

Nekolik poznamek ke studiu.

Bylo by idealnı, abyste na kazde soustredenı byli pripraveni, to znamena,abyste studovali latku dopredu. Na soustredenıch byste se mohli pak zameritna cast nepochopeneho textu.

Behem semestru musıte vypracovat tri eleboraty, jejichz zadanı dostanete odsveho tutora s termınem odevzdanı. Tutor ma pravo tento termın posunout.Elaborat se stredoskolskou latkou muze byt odevzdan az koncem semestru.

Dovoluji si Vas upozornit, ze tato forma studia vyzaduje pravidelnost a sou-stavnost. Bylo by vıtane, kdyby Vasi blızcı Vam mohli pomoc k vytvorenıcasoveho prostoru pro studium. Bud’te si vedomi, ze studium vyzaduje i odnich velkou davku obeti. Konecne bych Vas rad ujistil, ze kdo skutecne chcea ma alespon trochu snesitelne podmınky ke studiu, muze studium zdarne do-koncit.

Informace o zkousce. Kazdy musı slozit zkousku v termınu, ktery je sta-noven studijnım radem. Zkouska sestava ze dvou castı: z pısemne a z ustnı.Pısemna zkouska obsahuje 4–6 otazek, vypocet prıkladu a prıpadne teoretickeotazky. Obtıznost prıkladu je stejna jako u prıkladu na konci kazde kapitoly,resp. u prıkladu v textu. U zkousky muzete pouzıvat kalkulacku a seznamvzorcu, ktere si vlastnorucne napısete.

Ustnı zkouska je zamerena prevazne na teorii. Upozornuji, ze dukazy vet senezkousejı. Definice a vety se neucte doslova. Uvadejte je vlastnımi slovy.

Obsah

Obsah

Strucny obsah

Kapitola 1Pripomenutı zakladnıch znalostı z matematikyKapitola se zameruje na opakovanı nekterych partiı stredoskolske latky z matematiky a to z ob-lasti mnozin, vyrokoveho poctu, zavadenı matematickych pojmu a strukture matematickych vet azavedenı realnych a komplexnıch cısel.

Kapitola 2Funkce a jejich vlastnostiOpakuje se pojem zobrazenı, pojem funkce. Zavadı se i pojem funkce inverznı a funkce slozene. Jezaveden pojem spojitosti funkce. Zavadejı se elementarnı funkce.

Kapitola 3Zakladnı pojmy linearnı algebryV kapitole se zavadejı pojmy linearnı algebry jako je matice, operace s maticemi, zapis systemulinearnıch rovnic v maticove notaci a pojem matice inverznı.

Kapitola 4Linearnı prostorV teto kapitole se zavadı pojem vektoroveho prostoru, linearnı nezavislosti a linearnı zavislostivektoru, pojem hodnosti skupiny vektoru, baze vektoroveho prostoru, skalarnıho soucinu a normyve vektorovem prostoru.

Kapitola 5DeterminantyV teto kapitole se zavadı pojem determinantu ctvercove matice a zpusoby jeho vycıslenı. Odvozujese Cramerovo pravidlo na resenı systemu linearnıch rovnic pomocı determinantu a prımy vypocetinverznı matice.

Kapitola 6Metody resenı systemu linearnıch algebraickych rovnicTato kapitola je venovana problematice existence a metod resenı systemu linearnıch rovnic. Vy-svetluje se i podstata resenı systemu linearnıch algebraickych rovnic metodou nejmensıch ctvercu.

Uplny obsah

1. Pripomenutı zakladnıch znalostı z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1. Mnozina, konstanta, promenna 14

1.2. Vyrokovy pocet 16

1.3. Zavadenı pojmu v matematice, matematicke vety 21

1.4. Mnozinove operace 30

1.5. Cısla 33

Realna cısla 34

Zapis realnych cısel v nekterych cıselnych soustavach 42

Mnoziny realnych cısel 46

Komplexnı cısla 51

2. Funkce a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1. Zavedenı pojmu zobrazenı a pojmu funkce 60

2.2. Realna funkce realne promenne 69

2.3. Spojitost funkce 75

2.4. Polynom a racionalnı lomena funkce 83

2.5. Funkce slozena a funkce inverznı. Elementarnı funkce 98

3. Zakladnı pojmy linearnı algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.1. Uvod do maticoveho poctu 126

Relace mezi maticemi 129

Zakladnı operace s maticemi 130

Specialnı matice a pravidla pro pocıtanı s maticemi 139

3.2. Systemy linearnıch algebraickych rovnic, uvod 141

3.3. Zavedenı pojmu inverznı matice 145

3.4. Zakladnı poznatky z kapitoly 3 a ulohy k procvicenı 149

4. Linearnı prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.1. Linearnı prostor, zavedenı pojmu 154

Prıklady linearnıch prostoru 155

4.2. Linearnı kombinace vektoru 163

4.3. Elementarnı transformace 166

4.4. Symbolika pouzita pro popis nekterych vypoctovych postupu 177

4.5. Urcenı hodnosti matice 178

4.6. Baze vektoroveho prostoru 184

4.7. Skalarnı soucin, norma a vzdalenost ve vektorovem prostoru 189

4.8. Uvod do analyticke geometrie v n-rozmernem prostoru En 200


Obsah

5. Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.1. Zavedenı pojmu determinantu matice 210

5.2. Vlastnosti determinantu 225

5.3. Pouzitı determinantu 243

Cramerovo pravidlo 243

5.4. Prımy vypocet inverznı matice pomocı determinantu 246


6. Metody resenı systemu linearnıch algebraickych rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.1. Ekvivalentnı systemy rovnic 252

Prevod systemu linearnıch rovnic na system linearnıch rovnic s hornı schodovitou maticı soustavy 253

6.2. Metody resenı systemu linearnıch rovnic uzitım rozkladu matice soustavy, qr–rozklad 273

6.3. Resenı systemu linearnıch rovnic metodou nejmensıch ctvercu 277

Resenı systemu Ap = y metodou nejmensıch ctvercu – uzitım systemu normalnıch rovnic 280

qr–metoda na resenı systemu linearnıch rovnic metodou nejmensıch ctvercu 283

6.4. Vlastnı cısla matice 286

6.5. Normy matic 289

6.6. Iteracnı metody resenı systemu linearnıch rovnic 292


Uvod

Uvod

Linearnı algebra je jednou z nejdulezitejsıch matematickych disciplın. Je take dulezitym nastrojempri resenı ekonomickych problemu. Jejı velky rozmach je ovlivnen bourlivym vyvojem vypocetnıtechniky. V dnesnı dobe jsou k dispozici velmi dobre softwarove produkty, jimiz lze resit nejenulohy linearnı algebry, ale i mnoho aplikacnıch uloh, vyuzıvajıcıch linearnı algebru. K vyuzıvanıtechto produktu je zapotrebı byt dobre seznamen se zaklady linearnı algebry. Skutecne problemypraxe je mozno resit jen s pouzitım vypocetnı techniky.

Tento studijnı text je rozdelen do sesti kapitol. Prvnı dve kapitoly jsou venovany opakovanıstredoskolske matematiky. Dalsı ctyri kapitoly pojednavajı o linearnı algebre.

Ukazuje se, ze stredoskolska matematika je u rady studentu velkym problemem – zrejme vzhledemk vetsımu odstupu od maturity. Venujte teto problematice dostatecnou pozornost. Pojmum zdezavedenym musıte rozumet, neucte se definice a vety zpameti bez porozumenı. Je dulezite, abystedovedli rozeznavat mezi definicı, kterou se pojem zavadı, a vetou, ktera vypovıda o vzajemnychvztazıch mezi jiz zavedenymi pojmy. Naucte se v matematickych vetach dobre rozpoznavat mezipredpoklady vety a tvrzenım vety. Doporucuji, abyste si prvnı dve kapitoly dobre prostudovalibehem celeho semestru. Tuto latku budete nutne potrebovat predevsım v Matematice B ve druhemsemestru.

Ve tretı az v seste kapitole se probırajı zaklady linearnı algebry. Vety zde uvadene jsou vetsinoudokazovane. Dukaz slouzı k jejich lepsımu porozumenı. Latce zde uvedene musıte dobre porozumet.Dobre porozumenı je dulezitejsı nez vypoctarska zrucnost, obzvlaste proto, ze prakticke vypoctyje nutno v aplikacıch resit pomocı vypocetnı techniky. Upozornuji vsak, ze znalost dukazu se prizkousce nevyzaduje. Na konci seste kapitoly se pojednava o resenı systemu linearnıch algebraickychrovnic uzitım qr–rozkladu matice soustavy a o iteracnı metode resenı systemu linearnıch rovnic.Tyto metody se nezkousejı.

Tento ucebnı text vychazı ve druhem vydanı jako Matematika A. Od prvnıho vydanı se jennepatrne odlisuje. Nektere pasaze z pilotnı verze byly prepracovane. Doufam, ze to prispelo kezvysenı srozumitelnosti vykladu. Presto se muze stat, ze pri studiu narazıte na preklep. Predemse za kazdy prıpadny preklep omlouvam. Prosım, abyste mne informovali o Vasich potızıch pristudiu tohoto textu. (Tel. 601 305677).

Rad bych podekoval panu Mgr. Davidu Holcovi, ktery text nejen peclive vysazel, ale i vytvorilvsechny obrazky uvedene v textu. Jimi prispel nemalou mırou k jeho citelnosti. Zaroven mu dekujiza tvurcı prıstup pri psanı textu.

Autor

Mnozina, konstanta, promenna

Vyrokovy pocet

Zavadenı pojmu v matematice, matematickevety

Mnozinove operace

Cısla

Pripomenutı zakladnıchznalostı z matematiky

1

1. Pripomenutı zakladnıch znalostı z matematiky

Cıl kapitoly

Zopakovat si pojem mnoziny, konstanty a promenne.Zopakovat si zaklady vyrokoveho poctu s cılem seznamit se s pojmyaxiom, definice a veta.Zopakovat si mnozinove operace ∪, ∩, −, komplement. Zopakovat sipojem kartezskeho soucinu mnozin.Zopakovat si rozdelenı cısel a pravidel pro pocıtanı s nimi.Zopakovat si pojem absolutnı hodnoty realneho i komplexnıho cısla.Zopakovat si pravidla pro praci s nerovnicemi realnych cısel.Seznamit se s problematikou aproximace cısel, s relativnı a s abso-lutnı chybou. Uvedomit si vliv zaokrouhlovanı cısel pri vypoctech napocıtaci.Zopakovat pojem maxima a minima cıselne mnoziny a zavedenı pojmusuprema a infima cıselne mnoziny.

Casova zatez

Silne zavisı na znalostech s nimiz prichazıte na skolu. Pri prumernych zna-lostech do 10 hodin.

Uvod. Tato kapitola je venovana opakovanı nekterych temat stredoskolskehostudia. Kapitola je rozdelena do 6 podkapitol. Vyrokovy pocet se opakujes cılem abyste dovedli rozeznat definici od matematicke vety. V kazde ma-tematicke vete musıte umet rozlisit mezi predpoklady vety a tvrzenım. Caspotrebny k prostudovanı teto kapitoly zavisı na znalostech, s kterymi pricha-zıte na vysokou skolu. Kdo ma vetsı mezery, at’ si prıslusna temata zopakujeze svych stredoskolskych ucebnic.

1.1 Mnozina, konstanta, promenna

V matematice se pracuje s ruznymi objekty. Temto objektum se vedle nazvuprirazuje take symbol.

Zavedenı

pojmu

mnozina

Mnozina. Jednım ze zakladnıch objektu, s nimiz se v matematice pracuje,je mnozina.

Mnozinou rozumıme soubor nejakych presne vymezenych objektu, kterymrıkame prvky, nebo elementy mnoziny. Pri tom o kazdem objektu se musıdat rozhodnout, zda patrı nebo nepatrı do tohoto souboru. Mezi mnozinypocıtame i soubor, ktery neobsahuje zadny prvek – teto mnozine budemerıkat prazdna mnozina a budeme ji znacit ∅. Jako prıklad mnoziny je moznouvest mnozinu prirozenych cısel. Do teto mnoziny patrı napr. cıslo 2. Nepatrıdo nı napr. komplexnı cıslo i.

Vsimneme si, ze zde pojem mnozina nebyl plne vymezen. K jeho vysvetlenıjsme pouzili prıbuzny pojem soubor. O zavadenı pojmu v matematice po-jedname podrobneji pozdeji.

14

Oznacıme-li uvazovanou mnozinu napr. A, potom okolnost, ze objekt x patrıdo mnoziny A, budeme znacit x ∈ A a okolnost, ze objekt y nepatrı domnoziny A, budeme znacit y �∈ A.

Mnoziny muzeme zadavat ruznym zpusobem. Je-li konecna, to jest ma-likonecny pocet prvku, lze ji zadat vyctem. Tak naprıklad, jestlize mnozina Aobsahuje prvky a, b, c a zadne jine, byva zvykem ji zapisovat takto

A = {a, b, c}.

Zadne dva prvky mnoziny se sobe nerovnajı.

Prıklad 1.1. Necht’ M je mnozina pısmen obsazenych ve slove PRAHA.Zrejme

M = {P, R, A, H}.

Potom napr. R ∈ M, u �∈ M .

Zavedenı

pojmu

podmnozina

Podmnozina. Necht’ M, N jsou dane mnoziny. Jestlize kazdy prvek mnozi-ny M je i prvkem mnoziny N , potom rıkame, ze mnozina M je podmnozinoumnoziny N , nebo ze mnozina N je nadmnozinou mnoziny M . Pıseme pakM ⊆ N , resp. N ⊇ M . Jestlize zaroven platı M ⊆ N a M ⊇ N , potomrıkame, ze mnoziny M, N se sobe rovnajı a pıseme M = N . Jestlize M ⊆ Na jestlize mnozina N obsahuje prvky, ktere do mnoziny M nepatrı, rıkame,ze mnozina M je vlastnı podmnozinou mnoziny N a pıseme M ⊂ N , resp.N je vlastnı nadmnozinou M a pıseme N ⊃ M . Je-li tedy M ⊂ N , je tezM ⊆ N , avsak je-li M ⊆ N nemusı byt M ⊂ N .

Prıklad 1.2. Necht’ M = {1, 4, 3, 9}. Potom {1, 3} ⊂ M , avsak {3, 7}nenı podmnozinou mnoziny M , nebot’ prvek 7 nenı prvkem M .

Vsimneme si dvou vyznamove i formalne odlisnych zapisu. Uved’me prıklad.Necht’ M = {1, 4, 3, 9}. Potom zapis 8 ∈ M znamena, ze 8 je prvkemmnoziny M , a zapis {8} ⊂ M znamena, ze mnozina, obsahujıcı jediny prvek8, je vlastnı podmnozinou mnoziny M .

Zavedenı

pojmu

konstanta,

promenna

Konstanta, promenna. Rekli jsme si, ze objekty oznacujeme symboly. Tojednak zjednodusuje vyjadrovanı, jednak umoznuje strucny zapis nekterychvypovedı o objektech mnoziny.

Jestlize symbol oznacuje jeden konkretnı prvek mnoziny, nazyvame jej kon-stantou. Prıkladem je napr. symbol π, kterym oznacujeme konkretnı realnecıslo – Ludolfovo cıslo.

Oznacuje-li symbol kterykoliv prvek z dane mnoziny, nazyvame jej promen-nou. Mnozinu konstant, kterych muze tato promenna nabyvat, nazyvameoborem promenne. Jestlize tedy oznacıme symbolem x promennou s oboremM , potom vse, co se rekne o x, vztahuje se na kazdy prvek mnoziny, ktera jejejım oborem.

Uved’me si tento prıklad. Oznacme M mnozinu vsech kladnych realnych cıselmensıch nez 8. Mohu vyslovit tvrzenı:

”Jestli x ∈ M , potom x2 < 64“.

15


Kontrolnı otazky

1. Co je to mnozina?

2. Napiste mnozinu A, jejız prvky jsou pısmena obsazena ve slove”ma-

tematika“. a) Pro kazde z pısmen”a, b, c, i, j“ zapiste, zda patrı nebo

nepatrı do mnoziny A. b) Napiste podmnozinu B mnoziny A, obsahujıcıvsechny samohlasky mnoziny A. c) Co znamenajı zapisy B ⊂ A, B ⊆ A.[ a) A = {m, a, t, e, i, k }, a ∈ A, b �∈ A, c �∈ A, i ∈ A, j �∈ A;b) B = {a, e, i}; c) B je vlastnı podmnozinou mnoziny A; B je podmnozinoumnoziny A.]

3. Vysvetlete rozdıl mezi konstantou a promennou. Uved’te prıklady.

4. Co je to obor promenne?

1.2 Vyrokovy pocet

Zavedenı

pojmu

vyrok

Vyrokem rozumıme kazdou vypoved’, o nız ma smysl rıci, ze je pravdiva nebonepravdiva. Pri tom nenı rozhodujıcı, zda dovedeme o pravdivosti rozhodnoutnebo ne. Uved’me si nekolik prıkladu.

”Cıslo 4 je sude.“ [Pravdivy vyrok.]

”Cıslo π (Ludolfovo cıslo) je iracionalnı.“ [Pravdivy vyrok.]

”Cıslo 6 je liche.“ [Nepravdivy vyrok.]

”Kazda prımka ma s kruhovym ctvercem prave jeden spolecny bod.“

[Nenı vyrok, kruhovy ctverec nenı zavedeny pojem.]

Abstrahujeme-li od obsahu jednotlivych vyroku, zavadıme mısto jednotlivychvyroku symboly, napr. p, q, . . . . Jsou to vyrokove promenne, kratce vyroky.Pravdivemu vyroku prirazujeme cıslo 1, nepravdivemu vyroku prirazujemecıslo 0. Je-li tedy p vyrok pravdivy a q vyrok nepravdivy, pıseme p ≡ 1, q ≡ 0.

Slozene vyroky. Z danych vyroku muzeme vytvaret nove vyroky negacı aspojovanım. K vytvarenı slozenych vyroku se pouzıvajı tzv. logicke spojky.Logickym spojkam se prirazujı dale uvedene symboly.

Zavedenı

pojmu

negace

vyroku

Negace vyroku. Necht’ p je vyrok. Oznacme ¬p vyrok, ktery je pravdivytehdy, jestlize vyrok p je nepravdivy, a je nepravdivy tehdy, jestlize p jepravdivy. Pro zapis negace vyroku uzıvame symbol ¬ . Vyrok ¬p cteme

”nenı pravda, ze (platı) p“, nebo analogicky.

Prıklad 1.3.Vyrok p . . .

”Cıslo 3 je sude.“ [Nepravdivy vyrok]

Vyrok ¬p . . .”Cıslo 3 nenı sude.“ [Pravdivy vyrok]

Tedy p ≡ 0, ¬p ≡ 1.

Zavedenı

pojmu

konjukce

vyroku

Konjukce vyroku. Necht’ p, q jsou vyroky. Oznacme p ∧ q slozeny vyrok,ktery je pravdivy tehdy, jsou-li oba vyroky pravdive, a nepravdivy, je-li ale-spon jeden z nich nepravdivy. Slozeny vyrok p ∧ q cteme

”p a q“. Zavislost

pravdivosti vyroku p∧q na pravdivosti vyroku p, q je uvedena v tabulce 1.1.

16

Jako prıklad uved’me

Vyrok p . . .”Cıslo 4 je sude.“ [Pravdivy vyrok]

Vyrok q . . .”Cıslo 4 je mensı nez 10.“ [Pravdivy vyrok]

Vyrok p ∧ q . . .”Cıslo 4 je sude a je mensı nez 10.“ [Pravdivy

vyrok]

Zavedenı

pojmu

disjunkce

vyroku

Disjunkce vyroku. Necht’ p, q jsou vyroky. Oznacme p ∨ q slozeny vyrok,ktery je pravdivy, je-li alespon jeden z vyroku p, q pravdivy, a je nepravdivy,jsou-li oba vyroky p, q nepravdive. Vyrok p ∨ q cteme

”p nebo q“. Slovo

”nebo“, ktere zde pouzıvame, nema vylucovacı vyznam; mısto neho bychom

mohli rıci”nebo tez“. Pro disjunkci vyroku pouzıvame spojku ∨. Zavislost

pravdivosti vyroku p ∨ q na pravdivosti vyroku p, q je dana v tabulce 1.1.

Prıklad 1.4. Jako prıklad uved’me

Vyrok p . . .”Grafem funkce y = x+2 je prımka.“ [Pravdivy vyrok]

Vyrok q . . .”Grafem funkce y = x + 2 je parabola.“ [Nepravdivy

vyrok]Vyrok p ∨ q . . .

”Grafem funkce y = x + 2 je prımka nebo jejım

grafem je parabola.“ [Pravdivy vyrok]

Zavedenı

pojmu

implikace

Implikace. Necht’ p, q jsou vyroky. Slozeny vyrok p ⇒ q je vyrok, kteryje nepravdivy tehdy, jestlize je vyrok p pravdivy a vyrok q je nepravdivy,jinak je pravdivy. Vyrok p ⇒ q cteme

”z p vyplyva q“, nebo

”p implikuje q“,

nebo”jestlize p, potom q“ a podobne. Pro implikace pouzıvame symbol ⇒.

Pravdivost vyroku p ⇒ q v zavislosti na pravdivosti vyroku p, q je uvedenav tabulce 1.1.

Prıklad 1.5.

Vyrok p . . .”Prımka y = 0 je tecnou ke kruznici x2 +(y− 1)2 = 1“

[Pravdivy vyrok]Vyrok q . . .

”Prımka y = 0 ma s kruznicı x2 +(y−1)2 = 1 spolecny

prave jeden bod.“ [Pravdivy vyrok]Vyrok . . .

”Jestlize prımka y = 0 je tecnou ke kruznici x2 + (y −

1)2 = 1, potom ma s nı spolecny prave jeden bod.“ [Pravdivy vyrok]

Zavedenı

pojmu

ekvivalence

Ekvivalence. Necht’ p, q jsou vyroky. Potom slozeny vyrok p ⇔ q je prav-divym vyrokem prave tehdy, jsou-li soucasne oba vyroky p ⇒ q, q ⇒ ppravdive. Slozeny vyrok p ⇔ q cteme

”p platı, kdyz a jenom kdyz platı q“,

nebo cteme”p (platı) tehdy a jenom tehdy, kdyz (platı) q“, nebo

”p je ekviva-

lentnı s q“ a podobne. Pro ekvivalenci uzıvame symbol ⇔. Pravdivost vyrokup ⇔ q v zavislosti na pravdivosti vyroku p, q je uvedena v tabulce 1.1.

Prıklad 1.6.

Vyrok p . . .”Prımka y = 0 je tecnou ke kruznici x2 +(y−1)2 = 1.“

[Pravdivy vyrok]Vyrok q . . .

”Prımka y = 0 ma s kruznicı x2 +(y−1)2 = 1 spolecny

prave jeden bod.“ [Pravdivy vyrok]Vyrok p ⇔ q . . .

”Prımka y = 0 ma s kruznicı x2 + (y − 1)2 = 1

spolecny prave jeden bod, kdyz a jenom kdyz prımka y = 0 je tecnoukruznice x2 + (y − 1)2 = 1.“ [Pravdivy vyrok]

17


p q ¬p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 00 1 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1 1

Tabulka 1.1: Zakladnı vyroky

Vyroky, vytvorene z konecneho poctu vyrokovych promennych, logickychspojek a prıpadne zavorek, se nazyvajı vyrokove formule. Prıkladem je (1.1),resp. (1.2). Rozhodneme o jejich pravdivosti.

Prıklad 1.7. Necht’ p, q jsou dva vyroky. Dokazme, ze platı

¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q. (1.1)

Abychom dokazali toto tvrzenı, utvorme nasledujıcı tabulku 1.2.

p q p ⇒ q ¬(p ⇒ q) ¬ q p ∧ ¬ q1 1 1 0 0 01 0 0 1 1 10 1 1 0 0 00 0 1 0 1 0

Tabulka 1.2: Dukaz vztahu (1.1)

Z tabulky je patrno, ze vyroky ¬(p ⇒ q), p∧¬ q jsou soucasne pravdive nebonepravdive pro vsechny mozne kombinace pravdivosti vyroku p, q. Platı tedy

¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬ q.

Prıklad 1.8. Necht’ p, q jsou vyroky. Potom platı

(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p). (1.2)

Abychom tuto ekvivalenci dokazali, utvorme nasledujıcı tabulku 1.3.

p q ¬p ¬ q p ⇒ q ¬ q ⇒ ¬p1 1 0 0 1 11 0 0 1 0 00 1 1 0 1 10 0 1 1 1 1

Tabulka 1.3: Dukaz vztahu (1.2)

Z teto tabulky je patrno, ze vyroky p ⇒ q a ¬ q ⇒¬p jsou soucasne pravdive,resp. nepravdive pro vsechny mozne kombinace pravdivosti a nepravdivostivyroku p, q. Je tedy vyrok (1.2) pravdivym vyrokem.

18

Zavednı

pojmu

vyrokova

forma

Vyrokove formy. Sdelenı, ktere obsahuje jednu nebo vıce promennych, senazyva vyrokovou formou, jestlize z nı dostaneme vyrok– dosazenım prıpustnych konstant z oboru promennych za tyto promenne– kvantifikacı, to jest doplnenım o udaj o poctu, resp. o odhad poctu kon-stant, jejichz dosazenım za promenne vznikne vyrok.

Z vyrokovych forem vytvaret slozene vyrokove formy.

Prıklad 1.9. Sdelenı”realne cıslo x > 2“ nenı vyrokem. Nelze rozhodnout,

zda je pravdou nebo nenı pravdou ze x > 2. Rekneme-li, ze x je promennas oborem hodnot realnych cısel R, a dosadıme-li za x konstantu, to jestjakekoliv realne cıslo, dostavame vyrok. Napr. pro cıslo 3 dostavame 3 > 2,coz je pravdivy vyrok. Zde se sdelenı stava vyrokem dosazenım libovolnekonstanty (tj. realneho cısla) za promennou x z jejıho oboru. Je tedy

”realne

cıslo x > 2“ vyrokovou formou.

Vyrokovou formu zavislou na promenne x lze zapsat obecne napr. jako V (x).Podobne pro vıce promennych.

Zavedenı

pojmu

kvantifikator

Kvantifikatory. Necht’ vyrokova forma V (x) zavisı na promenne x a necht’

mnozina M je jejım oborem. Okolnost, ze vyrokova forma V (x) je pravdivapro vsechna x ∈ M , zapıseme takto

∀ x ∈ M : V (x) (1.3)

a cteme pro vsechna x ∈ M platı V(x).

Vyrokovou formu jsme v (1.3) doplnili udajem o poctu konstant (pro vsechnykonstanty z oboru promenne x), pro nez je V (x) pravdivym vyrokem. Je tedy(1.3) vyrokem.

Oznacenı. Symbol”∀ “ nazyvame obecnym kvantifikatorem.

Prıklad 1.10. Necht’ M = {2, 3, 4, 8}, x je promenna s oborem M .Oznacme V (x) vyrokovou formu

”x ≥ 2“. Potom

∀ x ∈ M : x ≥ 2

je pravdivy vyrok.

Podobne∀ x ∈ M : x < 4

je nepravdivy vyrok, nebot’ pro x = 8 je vyrok x < 4 nepravdivy.

Kvantifikacı jsme dostali v obou prıpadech z V (x) vyrok.

Oznacenı. Necht’ vyrokova forma V (x) zavisı na promenne x a necht’ mnozi-na M je jejım oborem. Okolnost, ze vyrokova forma V (x) je pravdiva alesponpro jednu konstantu x ∈ M , zapıseme takto

∃ x ∈ M : V (x) (1.4)

a cteme”existuje x ∈ M , pro nez platı V (x)“.

19


Oznacenı. Symbol”∃“ se nazyva existencnım kvantifikatorem.

Negace vyroku (1.3), (1.4). Negacı vyroku (1.3), (1.4) dostavame tytoekvivalentnı vyroky:

¬(∀ x ∈ M : V (x)) ⇔ ∃ x ∈ M : ¬V (x), (1.5)

¬(∃ x ∈ M : V (x)) ⇔ ∀ x ∈ M : ¬V (x). (1.6)

Prıklad 1.11. Necht’ R je mnozina realnych cısel. Potom

∃ x ∈ R : x2 = −1 (1.7)

je vyrok. Cteme jej:”Existuje alespon jedno realne cıslo x, pro ktere platı

x2 = −1“. Tento vyrok je nepravdivy. Negacı tohoto vyroku podle vztahu(1.6) dostavame

∀ x ∈ R : ¬ (x2 = −1), (1.8)

to jest∀ x ∈ R : x2 �= −1. (1.9)

Zrejme (1.9) je pravdivy vyrok.

Kontrolnı otazky

1. Co je to vyrok a co je to vyrokova forma?

2. Prımka 2x + 3y = 1 rozdeluje rovinu (x, y) na dve poloroviny. Vyznacte,ktery z nasledujıcıch vyroku je pravdivy a ktery je nepravdivy.

a) Body [1, 3], [5,−2] lezı v teze polorovine.b) Body [0, 2], [3,−5] lezı v teze polorovine.

[a) pravdivy, b) nepravdivy]

3. Oznacme p, q tyto vyrokyvyrok p . . .

”cıslo π je realne“

vyrok q . . .”cıslo 2 je prirozene cıslo“.

Vyslovte vyroky : a) ¬ p, b) ¬ q, c) p∨q, d) p∧q a uved’te jejich pravdivost.[a)

”Cıslo π nenı realne“ (≡ 0), b)

”Cıslo 2 nenı prirozene“ (≡ 0), c)

”Cıslo

π je realne nebo cıslo 2 je prirozene“ (≡ 1), d)”Cıslo π je realne a cıslo 2

je prirozene“ (≡ 1)]

4. Necht’ n je promenna s oborem prirozenych cısel. Je vypoved’”n2 > 4“

vyrokem? [Nenı, jde o vyrokovou formu.]

5. Oznacme N mnozinu vsech prirozenych cısel. Vyslovte nasledujıcı vyrokya uved’te jejich pravdivost.a) ∀n ∈ N : n2 > 1b) ∃n ∈ N : n2 > 1[Vyrok a) je nepravdivy – pro n = 1 neplatı n2 > 1. Vyrok b) je pravdivy –pro n = 2 platı n2 > 1.]

6. Necht’ p, q jsou vyroky. Dokazte, ze platıa) ¬ (¬ p) ≡ p

20

b) ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨¬ qc) ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧¬ qd) ¬(p ⇔ q) ≡ (p ∧¬ q) ∨ (¬ p ∧ q).(Navod: vytvorte tabulku pravdivosti pro vyroky na obou stranach.)

7. Necht’ x je promenna s oborem vsech realnych cısel R a V (x) je vyrokovaforma

”x2 = −1“. Negujte vyrok

∃ x ∈ R : x2 �= −1.[∀ x ∈ R : x2 = −1.]

1.3 Zavadenı pojmu v matematice, matematicke vety

Nejdrıve si pripomenme, ze mnozinu M nazyvame linearne usporadanou,jestlize je na nı zavedena relace

”≤“ (cti mensı nebo rovno) s temito vlast-

nostmi

jestlize x, y ∈ M , potom je bud’ x ≤ y nebo y ≤ x,jestlize x ∈ M , potom x ≤ x,jestlize x ≤ y, y ≤ z, potom x ≤ z,jestlize x ≤ y a y ≤ x, potom x = y.

Pri budovanı jednotlivych matematickych disciplin se vychazı z postulatu(axiomu). Jsou to vychozı matematicke vyroky, ktere obsahujı zakladnı poj-my, ktere se jiz dale nedefinujı a povazujı se danou soustavou axiomu zazavedene. Kazde tvrzenı v dane discipline je dano soustavou axiomu. Tvrzenıse odvozujı logickymi uvahami prave z techto axiomu. Axiomy musı mıt tytovlastnosti:

Musı byt bezesporne. To znamena, ze z nich nelze odvodit zadna tvr-zenı, ktera by nemohla soucasne platit.Musı byt na sobe navzajem nezavisle, to znamena, ze zadny axiom nelzeodvodit z ostatnıch.Kazde tvrzenı v uvazovane discipline se musı dat odvodit z dane sou-stavy axiomu.

Pouze pro informaci si uved’me soustavu axiomu pro zavedenı priro-zenych cısel.

axiomy pro

zavedenı

prirozenych

cısel –

rozsirujıcı

informace

Bud’ N0 mnozina, ktera ma tyto vlastnosti:

(i) Existuje prvek 0 tak, ze 0 ∈ N0.(ii) Ke kazdemu prvku a ∈ N0 existuje prvek a+ ∈ N0, zvany naslednık prvku a.(iii) Pro kazde a je a+ �= 0.(iv) Je-li a+ = b+ je a = b.(v) Je-li M ⊆ N0 a M je takova mnozina, ze 0 ∈ M a ze z podmınky a ∈ M plyne

a+ ∈ M , pak M = N0.

Potom N0 nazyvame mnozinou prirozenych cısel.

Pomocı operace nasledovnıka definujeme cıslo 1 rovnicı 1 = 0+. Secıtanı a nasobenıprirozenych cısel si zavedeme nasledovne.

Pro kazde a ∈ N0 je a + 0 = a. Je-li definovano a + b pro a ∈ N0, b ∈ N0, potom a + b+

definujeme rovnicı a + b+ = (a + b)+.

Pro kazde a ∈ N0 je a ·0 = 0. Je-li definovano a ·b pro a ∈ N0, b ∈ N0, pak a ·b+ definujemerovnicı a · b+ = a · b + a.

21


Doplnıme jeste definici umocnovanı. Bud’ a ∈ N0, a �= 0. Definujme a0 = 1. Je-li definovanoab pro b ∈ N0, pak ab+ definujeme rovnicı ab+ = ab · a.

Lze ukazat, ze temito podmınkami jsou operace scıtanı, nasobenı i umocnovanı definovany,a to jednoznacne.

Pro a ∈ N0, b ∈ N0 klademe a ≤ b, kdyz existuje c ∈ N0 tak, ze a + c = b.

Vsechny operace i relace ≤ majı zname vlastnosti.

Tımto zpusobem zavedena mnozina prirozenych cısel je mnozina cısel 0, 1, 2,3, . . . . V tomto ucebnım textu ji budeme znacit N0. Nekdy se pod mnozinouprirozenych cısel rozumı jen mnozina cısel 1, 2, . . . . V tomto ucebnım textuji budeme znacit N.

Se zavadenım pojmu pomocı axiomu se v tomto materialu nesetkame. To bypresahovalo studijnı cıle. Jste zvyklı pracovat s radou zakladnıch pojmu jakos realnymi cısly, s bodem v prostoru, s prımkami atd., aniz byste meli tytopojmy presne zavedeny. My budeme rovnez pouzıvat nadale tyto zakladnıpojmy, aniz bychom je presne zavadeli. Presne axiomaticke zavadenı pojmuby presahlo sledovane cıle a casove moznosti ke studiu. Upoustıme proto odaxiomaticke vystavby. V tomto ucebnım textu, bude-li to ucelne, si nekterez techto pojmu pouze osvetlıme, a to do te mıry, abychom mohli s nimi pra-covat. Kazdemu pojmu, mame-li s nım pracovat, musıme dobre porozumet.Jine pojmy si budeme zavadet definicemi.

Zavedenı

pojmu

definice

Pojem”definice“. Definicı se uvadı jednak nazev zavadeneho pojmu, jednak

se zavadeny pojem blıze specifikuje pomocı jiz zavedenych pojmu.

Prıklad 1.12. Jako ukazku definice si zaved’me pojem rovnostranny troj-uhelnık.

Definice. Rekneme, ze trojuhelnık je rovnostranny, jestlize vsechny jehostrany jsou stejne velke.

Zde je zaveden novy pojem – rovnostranny trojuhelnık, a to pomocı dvoupojmu: trojuhelnık a velikost stran. Aby toto byla definice, musı byt oba tytopojmy jiz drıve zavedeny.

Zavedenı

pojmu

matematicka

veta

Pojem matematicka veta. Strucne budeme rıkat pouze veta. Matematickaveta je pravdivy vyrok, ktery se da odvodit pomocı logiky uzitım axiomu,definic a jiz dokazanych vet.

Prıklad 1.13. Kazdy vnitrnı uhel rovnostranneho trojuhelnıka je roven 60◦.

Jde skutecne o vetu. Je to pravdivy vyrok, ktery lze dokazat1. Pojmy, kterese zde vyskytujı musely byt jiz drıve zavedeny.

Bylo by mozno definovat rovnosranny trojuhelnık takto:”Trojuhelnık, jehoz

vsechny vnitrnı uhly jsou rovny 60◦, se nazyva rovnostrannym.“ Potombychom mohli vyslovit vetu :

”Vsechny strany rovnostranneho trojuhelnıka

jsou stejne velke.“

1Je zde ticha domluva, ze pracujeme v tak zvane euklidovske geometrii.

22

Tedy definicı se zavadı novy pojem, kdezto matematickaveta vypovıda o vzajemnych vztazıch mezi jiz zavedenymipojmy.

Ukazky

typu vet

Ukazme si nekolik casto se vyskytujıcıch tvaru matematickych vet. Zacnemes vetou ve tvaru, kterou oznacme jako veta A.

Veta ANecht’ V (x) je vyrokova forma promenne x s oborem D.Potom platı

∀x ∈ D : V (x), (1.10)

Slovy:”Pro vsechna x ∈ D platı V (x)“.

Prıklad 1.14. Jako prıklad ued’me vetu

Veta. Pro kazde prirozene cıslo n ≥ 1 platı

1

1 · 2 +1

2 · 3 + . . .1

n · (n + 1)= 1 − 1

n + 1. (1.11)

Zapisme tuto vetu ve tvaru (1.10), tedy jako vetu A.

Veta. (Prepis na tvar Veta A).

Necht’

V (n) ≡ 1

1 · 2 +1

2 · 3 + . . .1

n · (n + 1)= 1 − 1

n + 1(1.12)

je vyrokova forma promenne n s oborem N. Potom platı

∀n ∈ N : V (n).

Abychom mohli tento vyrok prohlasit za vetu, je nutno jeste dokazat, ze jepravdivym vyrokem. K dukazu pravdivosti pouzijeme metodu, zvanou ma-tematicka indukce. Drıve nez prikrocıme k vlastnımu dukazu, popisme tutometodu obecne.

Matematicka

indukce

Matematicka indukce. Matematicka indukce se pouzıva na dukaz pravdi-vosti vyroku tvaru

∀n ∈ N : V (n), (1.13)

kde V (n) je vyrokova forma a n je promenna s oborem N prirozenych cısel.Dukaz (1.13) lze rozdelit do trı kroku.

1. Dokazeme, ze vyrok V (1) je pravdivy.

23


2. Predpokladame, ze vyrok V (n) je pravdivy pro nejake k, tedy ze vyrokV (k) je pravdivy.

3. Dokazeme, ze potom vyrok V (n) je pravdivy pro n = k + 1, tedy zeV (k + 1) je pravdivy.

Potom V (n) platı pro vsechna n ∈ N.

Skutecne. V (1) je pravdivy. Podle bodu 3 platı tedy i pro n = 2. Ponevadzplatı V (2), platı V (n) podle bodu 3 i pro n = 3 , atd.

Proved’me nynı dukaz tvrzenı (1.11) uzitım matematicke indukce.1. Dokazme, ze vyrok V (1) je pravdivy. To je zrejme, nebot’

V (1) znamena1

1 · 2 = 1 − 1

2.

2. Predpokladejme , ze V (n) platı pro nejake n = k, to jest, ze pro nejake kplatı

1

1 · 2 +1

2 · 3 + . . .1

k · (k + 1)= 1 − 1

k + 1. (1.14)

3. Dokazme, ze z pravdivosti (1.14) vyplyva pravdivost V (k + 1). To jest, zeplatı

1

1 · 2 +1

2 · 3 + . . . +1

k · (k + 1)+

1

(k + 1) · (k + 2)= 1 − 1

k + 2. (1.15)

Dokazme to. Levou stranu (1.15) lze uzitım (1.14) prepsat takto

1 − 1

k + 1+

1

(k + 1) · (k + 2),

coz po uprave dava pravou stranu (1.15), to jest

1 − 1

k + 2.

Platı tedy V (k + 1).

Odtud vyplyva platnost (1.11) pro vsechna n.

Zabyvejme se nynı vetami A (1.10) v nichz vyrokova forma V (x) ma specialnıtvar

A(x) ⇒ B(x), (1.16)

kde A(x), B(x) jsou vyrokove formy promenne x s oborem D. Budeme tedyuvazovat o vetach, jejichz obecny tvar oznacıme jako Veta B.

Veta BNecht’ A(x), B(x) jsou vyrokove formy promenne x s oboremD. Potom platı

∀x ∈ D : A(x) ⇒ B(x). (1.17)

24

V teto vete se A(x) nazyva predpokladem vety a B(x) se nazyva tvr-zenım vety.

Veta vypovıda o tom, ze platı-li A(x) pro vsechna x ∈ D, potom platı i B(x)pro vsechna x ∈ D.

A(x) ⇒ B(x) cteme napr. jednım z techto zpusobu :

”Jestlize A(x), potom B(x).“

”Kdyz A(x), potom B(x).“

”Z A(x) vyplyva

B(x).“”A(x) implikuje B(x).“

”Necht’ platı A(x), potom platı B(x) “.

Z (1.2) vyplyva, ze ekvivalentem (1.17) je veta, kterou oznacıme jakoVeta C a nazveme obmenou vety B.

Veta C (Obmena Vety B)

Necht’ A(x), B(x) jsou vyrokove formy promenne x s oboremD. Potom platı

∀x ∈ D : ¬B(x) ⇒ ¬A(x). (1.18)

Struktura Vety C je stejna jako struktura Vety B, avsak tyto vety majıodlisne vyrokove formy.

K dukazu Vety B (1.17) a jejı obmeny Vety C (1.18) popisme dve metody –metodu prımou a metodu neprımou.

Prıma

metoda

dukazu

a) Prıma metoda dukazu Vety B (1.17). Vychazı se z predpokladu prav-divosti vyroku A(x) pro kazde x ∈ D a pouzitım jiz drıve dokazanych vet,axiomu a zavedenych pojmu se logickymi uvahami dospeje k zaveru, ze B(x)je pro tato x rovnez pravdive.

b) Prıma metoda dukazu Vety C (1.18). Tuto vetu tedy dokazujeme tak,ze predpokladame pravdivost vyroku ¬B(x) pro ∀ x ∈ D a pouzitım jiz drıvedokazanych vet, axiomu a zavedenych pojmu dospejeme logickymi uvahamik zaveru, ze i ¬A(x) platı pro ∀ x ∈ D.

Neprıma

metoda

dukazu

α) Neprıma metoda dukazu (dukaz sporem) Vety B (1.17) vychazız predpokladu, ze veta neplatı a uzitım drıve dokazanych vet, axiomu as pouzitım jiz zavedenych pojmu dospejeme k rozporu. Tento rozpor vsakvznikl z nespravneho predpokladu, ze veta neplatı. Veta tedy platı.

Vyjadreme predpoklad, ze veta tvaru B neplatı. Negacı (1.17) dostavame

∃x ∈ D : ¬ (A(x) ⇒ B(x)). (1.19)

Odtud dostavame (viz (1.1))

∃ x ∈ D : A(x) ∧ ¬B(x). (1.20)

25


Vetu B tedy dokazujeme tak, ze predpokladame, ze existuje x ∈ D pro nezsoucasne platı A(x) a ¬B(x). Jestlize uzitım tohoto predpokladu, axiomua jiz dokazanych vet dojdeme logickymi uvahami ke sporu, znamena to, zepredpoklad o nespravnosti Vety A byl chybny, takze tato veta je spravna.

β) Neprıma metoda dukazu (dukaz sporem) Vety C (1.18) vychazız predpokladu, ze veta neplatı a uzitım drıve dokazanych vet, axiomu as pouzitım jiz zavedenych pojmu dospejeme k rozporu. Tento rozpor vsakvznikl z nespravneho predpokladu, ze veta neplatı. Veta tedy platı.

Vyjadreme predpoklad, ze Veta C neplatı. Negacı (1.18) dostavame

∃x ∈ D : ¬ (¬B(x) ⇒ ¬A(x)). (1.21)

Odtud dostavame∃ x ∈ D : ¬B(x) ∧ A(x). (1.22)

Neprımy dukaz Vety C provedeme tedy tak, ze predpokladame, ze existujetakove x ∈ D, pro nez soucasne platı ¬B(x) a A(x). Jestlize uzitım tohotopredpokladu, axiomu a jiz dokazanych vet dojdeme logickymi uvahami kesporu, znamena to, ze predpoklad o nespravnosti Vety B byl chybny, takzeVeta B je spravna.

Prıklad 1.15. Uved’me si dukazy nasledujıcı vety.

Veta 1.1.

Jestlize kvadrat prirozeneho cısla n je sude cıslo, je i cıslo n

sude.

Jde o vetu, kterou jsme oznacili jako Veta B, v nız D,A(x), B(x) majınasledujıcı vyznam :

D . . . NA(n) . . .

”n2 je sude cıslo.“

B(n) . . .”n je sude cıslo.“

Tuto vetu lze tedy pri zavedenem oznacenı zapsat jako

Veta. (Prepis (1.1) do tvaru vety B)

∀n ∈ N : A(n) ⇒ B(n). (1.23)

Slovy vyjadreno:”Pro kazde prirozene cıslo n platı: Jestlize

n2 je sude cıslo, potom i n je sude cıslo.“

26

Obmenou teto vety pri nahore uvedenem vyznamu D,A(x), B(x) je veta

Obmena vety (1.1)

∀n ∈ N : ¬B(n) ⇒ ¬A(n). (1.24)

Slovy vyjadreno :”Pro kazde prirozenı cıslo n platı: Jestlize

n nenı sude cıslo, potom ani n2 nenı sude cıslo.“

Abychom ukazali, ze se jedna skutecne o vetu, je nutno dokazat, ze (1.23),resp. (1.24) je pravdivy vyrok. Dokazme to. Dukaz provedeme metodou prı-mou i metodou neprımou.

Dukaz – metoda prıma.

Pouzijeme dukaz prımy na obmenu vety (1.24), to jest na vetu:”Jestlize n

nenı sude cıslo, potom ani n2 nenı sude cıslo.“

Predpokladejme tedy, ze n nenı sude cıslo, jinymi slovy receno, ze n je liche.Dokazme, ze je-li n liche, je i n2 liche. Liche cıslo n se da napsat ve tvaru

n = 2k − 1, kde k ∈ N.

Potom n2 = (2k − 1)2. Upravou dostavame n2 = 4k2 − 4k + 1, coz je cısloliche, tedy nenı sude. Tedy veta platı.

Proved’me nynı dukaz uvedene vety neprımou metodou (metodou sporu).

Dukaz – metoda neprıma. Negacı dokazovane vety (1.23) dostavame

∃n ∈ N : A(n) ∧ ¬B(n). (1.25)

Tuto negaci lze slovne vyjadrit takto. Existuje takove prirozene cıslo n, zen2 je sude a zaroven n je liche.

Veta bude dokazana, dokazeme-li, ze vyrok (1.25) je nepravdivy. Skutecne,predpokladejme, ze takove cıslo n existuje. Toto liche cıslo n muzeme vyjadritve tvaru n = 2k−1, kde k je prirozene cıslo. Jeho kvadrat je n2 = 4k2−4k+1,takze n2 je liche cıslo. To je spor s predpokladem, ze n je liche a n2 je sude.Dospeli jsme tedy ke sporu. Ten vznikl nespravnym predpokladem (1.25), zedokazovana veta neplatı. Tedy veta platı.

Zabyvejme se nynı Vetami A (1.10), v nichz vyrokova forma V (x) ma speci-alnı tvar

A(x) ⇔ B(x), (1.26)

kde A(x), B(x) jsou vyrokove formy promenne x s oborem D. Budeme tedyuvazovat o vetach, ktere oznacıme jako vety tvaru D. Jde tedy o vetu

27


Veta DNecht’ A(x), B(x) jsou vyrokove formy promenne x s oboremD. Potom platı

∀x ∈ D : A(x) ⇔ B(x). (1.27)

A(x) ⇔ B(x) muzeme cıst napr. jednım z techto zpusobu:Pro vsechna x ∈ D : A(x) platı, kdyz a jenom kdyz platı B(x).Pro vsechna x ∈ D : A(x) platı tehdy a jenom tehdy, kdyz platı B(x).Pro vsechna x ∈ D : A(x) platı prave tehdy, kdyz platı B(x).

Veta tohoto typu je vlastne slozenı dvou vet a to:a) vety ∀x ∈ D : A(x) ⇒ B(x).V teto vete je A(x) predpokladem a B(x) je tvrzenım.b) a vety ∀x ∈ D : B(x) ⇒ A(x).V teto vete je B(x) predpokladem a A(x) je tvrzenım. O vetach tohoto tvarujsme jiz pojednali.

Jako prıklad uved’me nasledujıcı znamou vetu.

Veta. Kvadraticka rovnice ma dvojnasobny koren prave tehdy, jestlize jejıdiskriminant je roven 0.

Tuto vetu zapisme ve vyse zavedene symbolice.

Budeme uvazovat kvadratickou rovnici ve tvaru ax2 + bx + c = 0, kde a, b, cjsou cısla, a �= 0. Pripomenme, ze diskriminantem teto rovnice je cıslo Δ =b2 − 4ac.

OznacmeD . . . mnozina usporadanach trojic cısel (a, b, c), a �= 0A(a, b, c) . . . vyrokova forma

”rovnice ax2 + bx + c = 0 ma dvojnasobny

koren“B(a, b, c) . . . vyrokova forma

”b2 − 4ac = 0“

Potom uvedenou vetu lze zapsat takto

Veta.∀(a, b, c) ∈ D : A(a, b, c) ⇔ B(a, b, c).

Jako dalsı typ vet si uved’me vety, ktere oznacıme jako Vety E nasledujıcıhotvaru

Veta E

∃x ∈ D : A(x), (1.28)

kde A(x) je vyrokova forma s promennou x s oborem D.

28

Tuto vetu muzeme cıst takto:”existuje x ∈ D, pro nez platı A(x).“

Prıklad 1.16.

Veta. Existuje prvocıslo vetsı nez 15.

Napisme tuto vetu ve tvaru (1.28). Platı

Veta. Necht’ D je mnozinu vsech prirozenych cısel > 15 a V (n) je vyrokovouformu

”n je prvocıslo“. Potom platı

∃n ∈ D : V (n).

Tato veta je pravdiva. Hledanym cıslem je napr. n = 17.

Jinym prıkladem je veta

Prıklad 1.17.

Veta. Necht’ n ∈ N, an, an−1, . . . , a0 jsou komplexnı cısla, an �= 0. Potomrovnice

anxn + an−1xn−1 + . . . , a1x + a0 = 0

ma v oboru komplexnıch cısel C alespon jeden koren.

Prepisme tuto rovnici do tvaru (1.28). Dostavame

Veta. Necht’ n ∈ N, an, an−1, . . . , a0 jsou komplexnı cısla, an �= 0. Potom

∃x ∈ C : anxn + an−1x

n−1 + . . . , a1x + a0 = 0.

Vety tvaru E se nazyvajı v literature jako vety existencnı.Jejich dukaz byva vetsinou obtızny. Veta (1.28) nevypovıdanic o tom, jak se nalezne toto x . Pouze rıka, ze existujetakove x, pro nez je A(x) pravdivym vyrokem.

Kontrolnı otazky

1. Vysvetlete pojmy : axiom, definice, matematicka veta.

2. Uved’te typy vet, ktere znate, a vysvetlete je na prıklade.

3. Definujte sude a liche prirozene cıslo.[Prirozene cıslo n nazveme sudym (lichym), jestlize existuje takove prirozenecıslo k, ze n = 2k (n = 2k − 1)].

4. Vyslovte formou vety vztah mezi dvema vypoved’mi:a)

”Trojuhelnık �(ABC) je pravouhly.“

29


b)”Je-li v trojuhelnıku �(ABC) delka strany AB nejvetsı, potom|AB|2 = |AC|2 + |BC|2.“

1.4 Mnozinove operace

V casti 1.1 jsme si zavedli pojem mnozina. Ukazali jsme si zapis mnozinys konecnym poctem prvku – definovali jsme mnozinu vyctem. Nynı si ukazmedefinovanı podmnoziny K mnoziny M pomocı vyrokove formy.

Zpusob

zavedenı

mnoziny

Necht’ V (x) je vyrokova forma promenne x s oborem M . Potom zapisem

K = {x ∈ M : V (x)} (1.29)

definujeme mnozinu K jako mnozinu vsech tech prvku x ∈ M , pro nez jevyrok V (x) pravdivy.

Prıklad 1.18. Necht’ M je je mnozina prirozenych cısel vetsıch nez 2 amensıch nez 40. Oznacme V (x) vyrokovou formu:

”x je delitelne 5“, kde x je

promenna s oborem hodnot M . Potom

K = {x ∈ M : V (x)}

je mnozina vsech prirozenych cısel z intervalu 〈3, 39〉, ktera jsou delitelna 5,to jest K = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}.Pracuje-li se jen s prvky mnoziny Ω a s jejımi podmnozinami, nazvemeΩ zakladnım prostorem. K usnadnenı vykladu byva zvykem pouzıvat gra-fickeho znazornenı mnozin. Zakladnı prostor budeme oznacovat obdelnıkem.Podmnoziny mnoziny Ω budeme znazornovat rovinnymi obrazci, napr. kruhy,ovaly, obdelnıky lezıcımi v obdelnıku Ω, znazornujıcıho zakladnı prostor.Rovinnym obrazcem muzeme znazornit i mnozinu, ktera obsahuje jenomkonecny pocet prvku. Kazdy bod obrazce nemusı byt prvkem mnoziny, kterourovinny obrazec reprezentuje. Elementy mnoziny muzeme v prıpade potrebyznazornit nejakym symbolem, napr. symbolem

”+“. Do obrazce, znazornu-

jıcıho nejakou mnozinu muzeme zapsat i nejake udaje, napr. cıslo, udavajıcıpocet prvku mnoziny. Pro zjednodusenı muzeme vynechat zakladnı prostor,pokud nenı nebezpecı omylu.

Prıklad 1.19. Uvazujme zakladnı prostor Ω a jeho podmnozinuM = {a, b, c, d}. Na obr.1.1 je znazornen zakladnı prostor Ω a mnozinaM bez udaju.

Ω

M

Obrazek 1.1: Znazornenı mnoziny M

30

Ω

M4

Obrazek 1.2: Znazornenı mnoziny M s poctem jejıch prvku

Na obr.1.2 je znazornen zakladnı prostor Ω a mnozina M s udajem, ze tatomnozina obsahuje 4 prvky.

Na obr.1.3 je znazornen zakladnı prostor Ω a mnozina M s vyznacenım jejıchctyr prvku a, b, c, d.

Ω

M

+a

+b

+c+

d

Obrazek 1.3: Znazornenı mnoziny M a jejıch prvku

Zavedenı

pojmu

komplement

mnoziny

Komplement mnoziny. Necht’ Ω je zakladnı prostor a A ⊆ Ω. Potommnozinu

A′ = {x ∈ Ω : x �∈ A}nazyvame komplementem mnoziny A. Je to mnozina tech prvku zakladnıhoprostoru, ktere nepatrı do mnoziny A. Na obrazku obr.1.4 je vyznacena jakmnozina A, tak i mnozina A′. Mnozina A′ je seda.

A

ΩA′

Obrazek 1.4: Znazornenı komplementu mnoziny A

Prıklad 1.20. Necht’ zakladnım prostorem je mnozina prirozenych cısel anecht’ A je jejı podmnozina – mnozina sudych cısel. Potom komplementemmnoziny A je mnozina A′ lichych cısel.

Zavedenı

pojmu

rodıl

mnozin

Rozdıl dvou mnozin Necht’ A, B jsou dane mnoziny. Potom mnozina

C = {x ∈ A : x �∈ B}

se nazyva rozdılem mnozin A, B a pıseme A−B. Slovne vyjadreno : MnozinaA−B je mnozina tech prvku z mnoziny A, ktere nepatrı do mnoziny B. Naobr.1.5 je znazornen rozdıl A − B. Tato mnozina je seda.

31


B

A

A − B

Obrazek 1.5: Znazornenı mnoziny A − B

Zavedenı

pojmu

sjednocenı

mnozin

Sjednocenı dvou mnozin Necht’ A, B jsou dve mnoziny. Potom mnozinuC tech prvku, ktere patrı do mnoziny A nebo do mnoziny B, nazyvamesjednocenım mnozin A,B. Je tedy

C = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Pıseme pakC = A ∪ B.

Na obr.1.6 je mnozina A ∪ B seda.

A

A ∪ BB

Obrazek 1.6: Znazornenı sjednocenı A ∪ B

Zavedenı

pojmu

prunik

dvou

mnozin

Prunik dvou mnozin Necht’ A, B jsou dve mnoziny. Potom mnozinu Ctech prvku, ktere patrı jak do mnoziny A, tak i do mnoziny B, nazyvameprunikem mnozin A,B. Je tedy

C = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Pıseme pakC = A ∩ B.

Na obr.1.7 je mnozina A ∩ B seda.

A

A ∩ BB

Obrazek 1.7: Znazornenı pruniku A ∩ B

Prıklad 1.21. Necht’ A = {a, b, c, d}, B = {a, c, e, f, g}. Potom

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}, A ∩ B = {a, c }.

32

Zavedenı

pojmu

kartezsky

soucin

Kartezsky soucin dvou mnozin Necht’ A, B jsou dve mnoziny. Kartez-skym soucinem A × B (v tomto poradı) rozumıme mnozinu C vytvorenouvsemi usporadanymi dvojicemi [x, y], kde x ∈ A ∧ y ∈ B. Tedy

A × B = {[x, y] : x ∈ A ∧ y ∈ B}. (1.30)

Oznacenı. Necht’ A je mnozina. Potom A2 = A × A je mnozina vsechusporadanych dvojic [x, y], kde x, y ∈ A.

Kartezsky soucin dvou mnozin lze zobecnit na kartezsky soucin n mnozinA1, A2, . . . , An. Zapisujeme jej jako

A1 × A2 × . . . × An (1.31)

a definujeme jej jako mnozinu vsech usporadanych skupin n prvku

[a1, a2, . . . , an], kde ai ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , n.

Oznacenı. Necht’ A je mnozina. Potom

An = A × A × . . . × A︸︷︷︸n

(1.32)

oznacıme mnozinu vsech usporadanych skupin o n prvcıch z mnoziny A.

Kontrolnı otazky

1. Necht’ R je mnozina vsech realnych cısel a A je interval 〈1, 2〉.a) Vyjadrete mnozinu A = R − 〈1, 2〉 jako sjednocenı dvou intervalu a

graficky ji znazornete na cıselne ose.b) Necht’ R je zakladnı prostor, urcete A′.c) Necht’ R je zakladnı prostor, urcete R′.

2. Necht’ A = {a, b, c}, B = {a, e}. Urcete nasledujıcı mnoziny a grafickyje znazornete.a) A ∪ B, b) A ∩ B, c) A − B.

[a) {a, b, c, e}, b) {a}, c) {b, c}].3. Necht’ R je mnozina vsech realnych cısel a A je interval 〈1, 2〉. V kartezskesouradnicove soustave vyznacte mnozinua) A × A, b) R2 − A × A.

1.5 Cısla

Kazdy ctenar tohoto textu pracuje s cısly. Prace s cısly je mu samozrejmostı,avsak malokdo si uvedomuje, jak je pojem cısla obtızny. Presne zavedenıpojmu cısla se vymyka nasim moznostem. Tuto kapitolu je proto moznechapat jen jako pripomenutı vlastnostı cısel a jako pokus o vytvorenı nahledu

33


na jeden zpusob zavedenı pojmu cısla. V teto kapitole uvedeme tez nekolikpripomınek k numerickym vypoctum a zopakujeme si nektere ukony s real-nymi cısly. Zopakujeme si tez zavedenı komplexnıch cısel. Soucastı vykladuje nekolik prıkladu. Pokud nekdo bude mıt potıze s jejich resenım, doporucujisbırky prıkladu ze stredoskolske matematiky.

1.5.1 Realna cısla

Realna cısla je mozno zavest axiomaticky. O axiomatickem zavedenı pojmurealneho cısla se sice zmınıme, ale tento zpusob zevedenı nebudeme hloubejirozebırat. V textu jsou axiomy uvedeny, ale budeme se na ne odvolavat jenjako na zakladnı vlastnosti realnych cısel. Pujde zde tedy v podstate jen onekolik poznamek k realnym cıslum a o zopakovanı nekolika pravidel propocıtanı s nimi.

Historicky zacali lide pouzıvat napred prirozena cısla. Vyjadruje se jimi pocetprvku konecne mnoziny i poradı odpocıtavanych objektu. V matematickeliterature nenı pojem

”mnozina prirozenych cısel“ chapan jednotne. Nekterı

autori zarazujı do mnoziny prirozenych cısel i nulu. V dalsım budeme podmnozinou prirozenych cısel rozumet jen mnozinu cısel 1, 2, 3, . . .; budeme jiznacit N.

Na mnozine N je zavedena relace”≤“ (mensı nebo rovno) a jsou zavedeny

operace secıtanı, oznacena”+“, a nasobenı, oznacena

”·“. Jestlize a, b ∈ N a

existuje takove cıslo c ∈ N, pro nez platı a = b+c, oznacıme c = a−b. Je tedymezi nekterymi prvky z N definovana operace

”−“, nazveme ji odecıtanım.

Pozadavek proveditelnosti teto operace pro vsechna a, b ∈ N vede k zavedenı0 a celych zapornych cısel −1,−2,−3, . . . . Mnozina N sjednocena s mnozinou{0} a mnozinou celych zapornych cısel se znacı Z a nazyva mnozinou celychcısel. Operace

”+,−“ a usporadanı

”<“ definovane na mnozine prirozenych

cısel se rozsirujı na celou mnozinu Z. Na mnozine Z je pak definovana operace

”−“. (Zavedenı celych cısel umoznuje pracovat nejenom s hotovostı, ale i s

dluhy.)

Necht’ p, q ∈ Z, q �= 0. Jestlize existuje x ∈ Z tak, ze p = q · x, pısemex = p

q, resp. x = p : q. Operaci

”:“ nazyvame delenım. Aby delenı cısla p

cıslem q, q �= 0, bylo vzdy proveditelne, rozsiruje se mnozina Z na mnozinuQ, zvanou mnozina racionalnıch cısel. Operace

”+,−, ·“ a usporadanı, de-

finovane na mnozine Z, rozsirujeme na celou mnozinu Q. Na mnozine Q jepak definovano i delenı cısla p cıslem q pro vsechna p, q ∈ Q, q �= 0. MnozinuQ nazyvame mnozinou racionalnıch cısel a operace

”+,−, ·, :“ nazyvame ra-

cionalnımi operacemi. Racionalnım cıslem je tedy kazde cıslo tvaru p

q, kde

p, q ∈ Z, q �= 0.

Jestlize p

q, r

s∈ Q, potom p

q= r

s, jestlize ps = rq. Napr. 6

4= 3

2. Kazde cele cıslo

a ∈ Z lze zapsat ve tvaru a1. (Zavedenı racionalnıch cısel umoznuje pocıtat i

s castmi celku.)

Zaved’me si nynı cıselnou osu.

34

Cıselna osa. Uvazujme prımku s danym bodem 0, nazveme jej pocatkem.Jisty smysl prımky zvolıme jako kladny. Zvolme dale usecku, jejı delkuoznacıme jako jednotku. V textu budeme tuto prımku kreslit ve vodorovnepoloze a za jejı kladny smysl volıme smer zleva doprava. Ke kazdemu ra-cionalnımu cıslu priradıme na teto prımce bod takto: ke kazdemu prirozenemucıslu n priradıme bod, oznacme jej n, a to tak, ze zvolenou jednotku nane-seme od pocatku n-krat v kladnem smyslu, to jest doprava. Ke kazdemucelemu zapornemu cıslu m priradıme bod, oznacme jej m, a to tak, ze zvo-lenou jednotku naneseme od pocatku (−m)-krat v zapornem smyslu, to jestdoleva. Cıslu 0 priradıme pocatek. Necht’ p

qje racionalnı cıslo, ktere nenı

celym cıslem. Bez ujmy na obecnosti lze predpokladat, ze p ∈ Z, q ∈ N,q �= 0. Usecku, jejız delku jsme zvolili za jednotku, rozdelme na q stejnychdılku. Je-li p > 0, naneseme p techto dılku doprava, je-li p < 0, naneseme(−p) techto dılku doleva. Obdrzeny bod oznacıme p

q. Jsou-li p

q, r

stakova ra-

cionalnı cısla, ze ps = rq, potom je jim prirazen tentyz bod. Cısla p

q, r

sjsou

zapisy tehoz racionalnıho cısla, napr. zapisy 23, 4

6predstavujı totez racionalnı

cıslo. Oznacme Q mnozinu vsech bodu prirazenych naznacenym zpusobemk racionalnım cıslum. Uvedenou prımku nazveme cıselnou osou. Nenı pod-statny rozdıl mezi bodem z mnoziny Q a racionalnım cıslem, k nemuz bylbod prirazen. Budeme tedy pouzıvat pojem bod p

qa racionalnı cıslo p

qve

stejnem vyznamu. Na obr. 1.8 jsou vyznacena cısla −2,−1, 0, 1, 2 a cıslo 72.

−2 −1 0 1 2 3 47

2

1 u

u

Obrazek 1.8: Cıselna osa.

Jestlize k cıslu p je prirazen bod na cıselne ose nalevo od bodu prirazenemuk cıslu q, je p < q, resp. q > p. Budeme pak rıkat, ze cıslo p je mensı nez cısloq, resp. ze cıslo q je vetsı nez cıslo p. Rekneme, ze p ≤ q, je-li p < q nebop = q. Mnozina Q je vzhledem k operaci ≤ linearne usporadanou.

Lze ukazat, ze operace”+“,

”·“ a ralace

”≤“ definovane na mnozine Q majı

tyto vlastnosti:

(Q1) (x + y) + z = x + (y + z) pro x, y, z ∈ Q.

(Q2) x + y = y + x pro x, y ∈ Q.

(Q3) Existuje prvek 0 ∈ Q tak, ze pro x ∈ Q platı x + 0 = x.

(Q4) Ke kazdemu x ∈ Q existuje prvek −x ∈ Q tak, ze x + (−x) = 0.

(Q5) (x · y) · z = x · (y · z) pro kazde x, y, z ∈ Q.

(Q6) x · y = y · x pro x, y ∈ Q.

(Q7) Existuje prvek 1 ∈ Q tak, ze pro x ∈ Q platı x · 1 = x.

(Q8) Ke kazdemu x ∈ Q, x �= 0 existuje prvek x−1 ∈ Q tak, ze x · x−1 = 1.

(Q9) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) pro x, y, z ∈ Q.

(Q10) Usporadanı ≤ je linearnı.

(Q11) Je-li x, y, z ∈ Q, x < y, pak x + z < y + z.

(Q12) Je-li x, y, z ∈ Q, x < y, z > 0, pak x · z < y · z.

35


Z uvedenych vlastnostı vyplyva, ze mezi kazdymi dvema racionalnımi cıslylezı racionalnı cıslo. Jsou-li totiz r, s racionalnı cısla, je (r + s)/2 racionalnıcıslo, ktere lezı mezi temito cısly r, s. Odtud vyplyva, ze mezi kazdymi dvemaracionalnımi cısly lezı nekonecne mnoho racionalnıch cısel.

V oboru racionalnıch cısel nelze resit radu dulezitych uloh. Prıkladem jevypocet delky kruznice o polomeru 1, vypocet delky uhloprıcky ctverce ostrane 1, atd. Ukazme to na nasledujıcım prıklade.

Prıklad 1.22. Ukazme, ze delka uhloprıcky ctverce o strane rovne 1 se nedavyjadrit jako racionalnı cıslo.

Resenı. Oznacme u hledanou delku uvedeneho ctverce. Zrejme u2 = 2.Kdyby bylo mozno vyjadrit delku u jako racionalnı cıslo, bylo by moznozapsat u ve tvaru

u =p

q, (1.33)

kde p, q ∈ N a p, q jsou nesoudelna. Z (1.33) dostavame u2 = p2

q2 . Ponevadz

u2 = 2, dostavame

p2 = 2q2. (1.34)

Je tedy p2 cıslo sude a tedy i p je sude. Tedy p lze zapsat ve tvaru p = 2r,kde r ∈ N. Dosazenım do (1.34) dostavame

4r2 = 2q2. (1.35)

Odtud

q2 = 2r2, (1.36)

takze q2 je sude. Je tedy i q sude cıslo. Jsou tedy cısla p, q cısla suda, a tedynejsou nesoudelna. To je spor s predpokladem. Tedy u nenı racionalnı cısloa tedy k u dosud nenı na cıselne ose prirazen bod z Q.

Delku u uhloprıcky ctverce o strane 1 naneseme na cıselnou osu s racionalnımibody a dostaneme tak bod, ktery oznacıme u.

Ke kazdem bodu na cıselne ose, ktery nenı prirazen racionalnımu cıslu, pri-radıme podobne objekt, ktery nazveme iracionalnım cıslem. Potom je kekazdemu bodu na cıselne ose prirazeno cıslo. Na tuto mnozinu cısel se rozsirujıoperace secıtanı a nasobenı a relace linearnıho usporadanı, definovane najejı podmnozine Q. Mnozinu vsech racionalnıch a iracionalnıch cısel na-zveme spolecnym nazvem cısla realna a budeme ji znacit R. Konstrukce ira-cionalnıch cısel pomocı cısel racionalnıch a rozsırenı linearnıho usporadanımnoziny Q a operacı

”+“ a

”·“ na mnozinu R je pomerne narocna. Jednu

z takovychto konstrukcı v dalsım textu nastınıme pro vytvorenı nahledu nauvedenou problematiku.

Uved’me vsak napred zakladnı vlastnosti takto zavedenych realnych cısel.Dale uvedene vlastnosti je mozno pouzıt k axiomatickemu zavedenı realnych

36

cısel takto. Mnozinu R, na nız jsou zavedeny operace”+, ·“ a usporadanı ≤

s nasledujıcımi vlastnostmi, nazyvame mnozinou realnych cısel.

Vlastnosti

realnych

cısel

Zakladnı vlastnosti realnych cısel

(R1) (x + y) + z = x + (y + z) pro vsechna x, y, z ∈ R.(R2) x + y = y + x pro kazde x, y ∈ R.(R3) Existuje prvek 0 ∈ R tak, ze pro kazde x ∈ R platı

x + 0 = x.(R4) Ke kazdemu x ∈ R existuje prvek −x ∈ R tak, ze

x + (−x) = 0.(R5) (x · y) · z = x · (y · z) pro vsechna x, y, z ∈ R.(R6) x · y = y · x pro kazde x, y ∈ R.(R7) Existuje prvek 1 ∈ R tak, ze pro kazde x ∈ R platı

x · 1 = x.(R8) Ke kazdemu x ∈ R, x �= 0 existuje prvek x−1 ∈ R tak,

ze x · x−1 = 1.(R9) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) pro vsechna x, y, z ∈ R.

(R10) Usporadanı ≤ je linearnı.(R11) Je-li x, y, z ∈ R, x < y, pak x + z < y + z.(R12) Je-li x, y, z ∈ R, x < y, z > 0, pak x · z < y · z.(R13) Jsou-li X ⊆ R, Y ⊆ R neprazdne mnoziny a platı-li

x ≤ y pro kazde x ∈ X a kazde y ∈ Y , pak existujea ∈ R tak, ze x ≤ a ≤ y pro kazde x ∈ X a kazdey ∈ Y .

Vrat’me se k cıslu u, ktere reprezentuje delku uhloprıcky ctverce o strane rovne zvolenejednotkove delky, k nemu prirad’me bod u na cıselne ose tak, ze jeho vzdalenost od bodu0 je rovna u. Oznacme X mnozinu vsech tech racionalnıch cısel, k nımz jsou na cıselneose prirazeny body lezıcı vlevo od bodu u, to jest racionalnıch cısel x, pro nez je x2 < 2nebo x < 0, a Y mnozinu tech racionalnıch cısel, k nımz jsou na cıselne ose prirazenybody lezıcı vpravo od bodu u, to jest racionalnıch cısel y, pro nez je y > 0 a y2 > 2. Prokazde x ∈ X a kazde y ∈ Y platı tedy vztah x < y. Dale platı X ∪ Y = Q. Naprıklad cısla1; 1,4; 1,41; 1,414 ∈ X a cısla 1,5; 1,42; 1,425 ∈ Y . Cıslo u je urceno mnozinami X, Y .Cıslo u nenı racionalnı. Nazveme jej cıslem iracionalnım. Budeme pak psat u = (X,Y ).

Podobne oznacme R mnozinu vsech tech usporadanych dvojic mnozin A1, A2 ⊂ Q, ze

pro kazde x ∈ A1 a kazde y ∈ A2 platı x < y,A1 ∪ A2 = Q.

Necht’ (A1, A2) ∈ R. Jestlize existuje takove h ∈ A1, ze pro vsechna x ∈ A1 je x ≤ hpolozıme h = (A1, A2). Usporadana dvojice (A1, A2) reprezentuje pak racionalnı cısloh. Podobne, jestlize existuje takove d ∈ A2, ze pro vsechna y ∈ A2 je y ≥ d polozımed = (A1, A2). Usporadana dvojice (A1, A2) reprezentuje pak racionalnı cıslo d. V prıpade,ze neexistuje takove h ∈ A1, ze pro vsechna x ∈ A1 je x ≤ h a ze neexistuje ani takoved ∈ A2, ze pro vsechna y ∈ A2 je y ≥ d, nazveme usporadanou dvojici (A1, A2) iracionalnım

37


cıslem. Pomocı operacı”+“ a

”·“ a relace

”≤“ na mnozine Q se definujı operace secıtanı a

nasobenı a linearnı usporadanı na R. Napr. Jestlize a = (A1, A2), b = (B1, B2) ∈ R, a �= b,rekneme, ze a < b prave kdyz existuje y ∈ A2 tak, ze y ∈ B1. Jestlize a = (A1, A2), b =(B1, B2) ∈ R, a �= b, polozıme c = a + b, kde c = (C1, C2), jestlize

C1 = {x + y : x ∈ A1 ∧ y ∈ B1},C2 = {x + y : x ∈ A2 ∧ y ∈ B2}.

Vsimnete si, ze jestlize A1, A2 jsou takove podmnoziny mnoziny Q racionalnıch cısel, ze

A1 ∪ A2 = Q a pro x ∈ A1 a y ∈ A2 je x < y, potom podle (R13) existuje a ∈ R tak, ze

pro vsechna a1 ∈ A1, a2 ∈ A2 platı a1 ≤ a ≤ a2.

Vlastnosti linearnıho usporadanı realnych cısel. Ze”zakladnıch vlast-

nostı realnych cısel“ dostavame tuto vetu.

Veta 1.2. (Nerovnice)

Pro libovolna cısla x, y, z, u platı(1.37) Je-li x ≤ y, z ≤ u, potom x + z ≤ y + u.

Slovy: Leve i prave strany souhlasnych nerovnicmuzeme secıst.

(1.38) Je-li x ≤ y, z > 0, pak x · z ≤ y · z.Slovy: Nasobıme-li obe strany nerovnice tymz kladnymcıslem, smysl nerovnice se nezmenı.

(1.39) Je-li 0 < x ≤ y, 0 < z ≤ u, platı 0 < x · z ≤ y · u.(1.40) Je-li x ≤ y, z < 0, potom x · z ≥ y · z.

Slovy: Nasobıme-li obe strany nerovnice tymzzapornym cıslem, zmenı se smysl nerovnice.

(1.41) Je-li 0 < x ≤ y, platı 0 < 1y ≤ 1

x .Slovy: Jestlize v nerovnici mezi kladnymi cıslyprejdeme k reciprokym hodnotam, zmenı se smysl ne-rovnice.

Dukaz: Dokazeme jen (1.40). Dukazy ostatnıch tvrzenı prenechavam ctenari.Necht’ tedy

x ≤ y, z < 0.

Pricteme-li na obe strany vztahu z < 0 cıslo −z, dostavame podle (R11)

0 < −z.

Nasobenım vztahu x ≤ y cıslem −z dostavame podle (1.39)

−xz ≤ −yz.

Prictenım xz + yz na obe strany teto nerovnice dostavame

yz ≤ xz, to jest xz ≥ yz.

38

Prıklad 1.23. V R reste nerovnici

2x + 1 < 5x − 2. (1.42)

Resenı. Na obe strany (1.42) pripocıtejme −2x+2. Uzitım (R11) dostavame

3 < 3x. (1.43)

Nasobenım (1.43) cıslem 13

dostavame

x > 1.

Tedy nerovnici (1.42) vyhovujı vsechna cısla x > 1.

Zavedenı absolutnı hodnoty realneho cısla.

Zaved’me pojem absolutnı hodnota realneho cısla touto definicı.

Absolutnı

hodnota

realneho

cısla

Definice 1.1. (Absolutnı hodnota realneho cısla)

Necht’ x ∈ R. Polozme

|x| =

{x, je-li x ≥ 0,

−x, je-li x ≤ 0.

Cıslo |x| nazveme absolutnı hodnotou cısla x.

Na obr. 1.9 je vyznacen graf funkce y = |x|.

y

x0

y = |x|

Obrazek 1.9: Graf funkce absolutnı hodnota (y = |x|).

Prıklad 1.24. a) | − 4| = 4. Polozıme-li x = −4, je x < 0, takze podledefinice je | − 4| = |x| = −(−x) = −(−4) = 4.

b) |x − 2|, kde x je realne se urcı takto: Je-li x − 2 ≥ 0, to jest, jestlizex ≥ 2, je |x − 2| = x − 2. V prıpade, ze x − 2 ≤ 0, to jest, jestlize x ≤ 2, je|x − 2| = −(x − 2) = 2 − x. Tedy

|x − 2| =

{x − 2 pro x ≥ 2,2 − x pro x < 2.

39


Pro absolutnı hodnotu realnych cısel platı vztahy uvedene v nasledujıcı vete.Jejich dukazy prenechavame ctenari.

Absolutnı

hodnota –

pravidla

Veta 1.3. (Pravidla pro absolutnı hodnoty)

Necht’ x, y, a, ε ∈ R, ε > 0. Potom platı

|x| ≥ 0 (1.44)

x ≤ |x|,−x ≤ |x| (1.45)

|x| = | − x| (1.46)

|x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| (1.47)

|x · y| = |x| · |y| (1.48)

|xy | = |x||y| pro y �= 0 (1.49)

|x − a| < ε ⇐⇒ a − ε < x < a + ε (1.50)

Poznamka 1. jestlize pro vsechna x, y ∈ R polozıme

ρ(x, y) = |x − y|

je ρ(x, y) vzdalenost bodu x, y.

Poznamka 2. Jsou-li a, ε, kde ε > 0, pevna cısla, potom |x − a| v (1.50)znamena, ze x je od bodu a vzdaleno o mene nez ε. Ponevadz body a − ε,a + ε jsou od bodu a vzdaleny prave o ε, lezı x mezi body a− ε, a + ε, tedyplatı a − ε < x < a + ε (viz obr. 1.10).

a − ε a + εa x

Obrazek 1.10: K poznamce 2.

Prıklad 1.25. V R reste nerovnici

2x − 1 < |x − 2| < 3x + 2. (1.51)

Resenı. Resenı rozdelme do dvou castı

α) Necht’ x − 2 ≥ 0. Potom |x − 2| = x − 2. Dale je

x ≥ 2. (1.52)

Ze vztahu2x − 1 < x − 2

dostavame

x < −1. (1.53)

40

Ze vztahux − 2 < 3x + 2

dostavame2x > −4,

tedyx > −2. (1.54)

Vztahy (1.52), (1.53), (1.54) vyznacıme na cıselne ose.

−3 −2 −1 0 1 2 3

Vidıme, ze pro x ≥ 2 nema rovnice resenı.

β) Necht’ x − 2 < 0. Potom |x − 2| = −x + 2. Podle predpokladu je

x < 2. (1.55)

Ze vztahu (1.51) pro tato x dostavame

2x − 1 < −x + 2.

Odtud dostavame3x < 3,

tj.x < 1. (1.56)

Ze vztahu−(x − 2) < 3x + 2

dostavame4x > 0,

tj.x > 0. (1.57)

Ze vztahu (1.55), (1.56), (1.57) dostavame

0 < x < 1.

Dane uloze tedy vyhovujı vsechna cısla, pro nez platı

0 < x < 1.

41


1.5.1.1 Zapis realnych cısel v nekterych cıselnych soustavach

K zapisu cısel v desıtkove soustave pouzıvame deset symbolu (cifer) 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 a prıpadne desetinnou carku (v zahranicnım textu a pri pracina pocıtaci casto desetinnou tecku). Tak napr. zapisem

305,21 (1.58)

zapisujeme cıslo 3 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100 + 2 · 10−1 + 1 · 10−2. Ke zduraznenı,ze (1.58) je zapis cısla v desıtkove soustave, lze (1.58) zapsat ve tvaru

(305,21)10. (1.59)

Podobne k zapisu cısla v osmickove soustave pouzıvame osm symbolu (cifer)0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a prıpadne carku, resp. tecku. Potom napr. zapis cısla 305,21v osmickove soustave, tj. cısla (305,21)8 je zkraceny zapis cısla

3 · 82 + 0 · 81 + 5 · 80 + 2 · 8−1 + 1 · 8−2,

tj. cısla, jehoz ekvivalentem v desıtkove soustave je cıslo

196,375,

takze

(305,21)8 = (196,375)10.

Na pocıtacıch se vetsinou pracuje s cısly zapsanymi ve dvojkove soustave.K jejich zapisu se pouzıva dvou symbolu 0, 1 a prıpadne carky, resp. tecky.Potom napr. zapis

(1011,1)2

je zapis cısla ve dvojkove soustave, jehoz ekvivalentem v desıtkove soustaveje cıslo

1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 + 1 · 2−1,

tedy

(1011,1)2 = (11,5)10.

Nebude-li receno jinak, budeme cısla zapisovat v desıtkove soustave.

Zapis

racionalnıho

cısla

Zapis racionalnıho cısla.

Kazde nenulove racionalnı cıslo lze zapsat ve tvaru +p

qnebo −p

q, kde p, q ∈ N,

q �= 0. Delenım cısla p cıslem q dostaneme bud’to cıslo v desıtkove cıselnesoustave s konecnym poctem cifer ruznych od 0, anebo cıslo, ktere ma zadesetinnou carkou sice nekonecne mnoho cifer ruznych od 0, avsak v zapisecısla existuje takova usporadana skupina cısel, ze za kazdou takovou skupi-nou cısel bezprostredne nasleduje opet tato skupina cısel. Takovato cısla senazyvajı periodicka. Zapis je mozne provest tak, ze nad prvnım vyskytemopakujıcı se skupiny se da pruh a dalsı navazujıcı skupiny se nepısı. Napr.mısto 0,323232 . . . napıseme 0,32, nebo mısto 0,333 . . . se napıse 0,3.

42

Zapis

iracionalnıho

cısla

Zapis iracionalnıho cısla v desıtkove soustave by vyzadoval zapsat ne-konecne mnoho cifer za desetinnou carkou. To vsak nenı realne mozne. V kon-kretnım prıpade bychom mohli uvest pravidlo, jak urcit cifru cısla na jehozvolene pozici.

Prıkladem iracionalnıho cısla je napr. cıslo√

2, o kterem jsme pojednali, neboLudolfovo cıslo, ktere se znacı symbolem π. Cıslo π je dulezite v rade aplikacı,napr. pri vypoctu delky kruhoveho oblouku, pri vypoctu objemu rotacnıhokuzele s danym polomerem zakladny a danou vyskou.

Zavedenı

pojmu

absolutnı

chyba

Aproximace cısel. Uved’me si nekolik poznamek k aproximaci cısla x cıslemx. Rozdıl x−x nazyvame absolutnı chybou aproximace x. V realnych situacıchtuto chybu nezname, ale casto ji muzeme odhadnout. Odhadem absolutnıchyby rozumıme cıslo δ ≥ 0, pro nez platı |x − x| ≤ δ.

Jestlize x je iracionalnı cıslo v desıtkove soustave a v jeho zapise ponechamejen prvnıch n cifer za desetinnou carkou, dostaneme racionalnı cıslo x, pronez platı |x − x| < 10−n.

Predpokladejme, ze pri merenı vzdalenosti dvou mıst A,B, kde A je mıstov Praze a B je mısto v Brne, se dopustıme chyby nejvyse 1 m. Podobnepredpokladejme, ze pri merenı delky obdelnıkove mıstnosti se dopustımerovnez chyby nejvyse 1 m. Je zrejme, ze stejny odhad chyby merenı nelzepouzıt ke srovnanı presnosti metody merenı.

Zavedenı

pojmu

relativnı

chyba

K posouzenı”kvality“ aproximace se pro x �= 0 pouzıva casto tzv. relativnı

chyba, definovana vztahemx − x

x.

Cıslo δ ≥ 0, pro nez platı ∣∣∣∣x − x

x

∣∣∣∣ ≤ δ,

nazyvame odhadem relativnı chyby.

Pri numerickych vypoctech jsme v jistem okamziku nuceni cısla iracionalnı,s nimiz se pracuje, aproximovat cısly racionalnımi. Provadıme-li vypoctyna kalkulacce, nebo na pocıtaci, nemame k dispozici ani mnozinu vsech ra-cionalnıch cısel. Pracuje se jen s cısly dane reprezentace v danem rozsahu.Vysledek racionalnı operace (+,−, ·, :) s temito cısly se aproximuje podle za-budovaneho kriteria opet cıslem dane reprezentace.

Uvazujme nynı mnozinu vsech cısel ve tvaru

±t0, t−1t−2 . . . t−n · 10k, (1.60)

kde n je dane prirozene cıslo, k je libovolne cele cıslo, pro nez platı −m ≤k ≤ m, kde m je dane prirozene cıslo, a t0, t−1, . . . , t−n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, je-li v (1.60) t0 = 0, je t0 = t−1 = . . . = t−n = 0. Jako konkretnıprıklad uved’me (1.60) pro n = 3, m = 10, tj. mnozinu vsech cısel tvaru

±t0, t−1t−2t−3 · 10k, −10 ≤ k ≤ 10, (1.61)

43


kde t0, t−1, t−2 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, pricemz je-li t0 = 0, je t−1 = t−2 =t−3 = 0. Napr. cısla

2,132 · 103, −5,701 · 10−2

patrı do mnoziny tvaru (1.61).

Vliv

zaokrouhlovanı

cısel na

vysledek

Necht’ a, b jsou cısla tvaru (1.60). Necht’”op“ znacı kteroukoli z racionalnıch

operacı”+,−, ·, :“. Polozme

c = a op b.

Cıslo c nemusı patrit do mnoziny cısel (1.60). Oznacme nynı c takove cısloz (1.60), ze

|c − c| ≤ 5 · 10−n+k−1.

Polozmec = a op b.

Pokud existujı dve takova cısla c, necht’ je dano pravidlo k urcenı jednohoz nich. Operaci

”op “ nazveme aproximacnı operacı

”op“, to jest aproximacnı

secıtanı”

+ “, aproximacnı odecıtanı”− “, aproximacnı delenı

”: “ a apro-

ximacnı nasobenı”

· “.

Uved’me prıklad pro aproximacnı nasobenı cısel z (1.61). Necht’

a = 2,130 · 103, b = 3, 152 · 101.

Potom, oznacıme-li c = a · b, dostavame

c = 6,71376 · 104.

Polozıme-lic = 6,714 · 104,

je c cıslo z (1.61), pro nez platı

|c − c| < 5 · 10−3+4−1 = 5.

Polozıme tedyc = a · b.

Je evidentnı, ze pro aproximacnı racionalnı operace neplatı stejne zakonyjako pro operace racionalnı. Napr. pocıtame-li s cısly (1.61), dostavame

(9,853 · 103 + 1,000 · 10−2) − 9,853 · 103 = 0,

avsak zmenou poradı operacı dostavame

(9,853 · 103 − 9,853 · 103) + 1,000 · 10−2) = 1,000 · 10−2.

Nahradıme-li pri vycıslovanı nejakeho vyrazu racionalnıoperace odpovıdajıcımi aproximacnımi operacemi, muzemedostat vysledek naprosto vzdaleny od spravne hodnoty.

44

Je tomu tak proto, ze se omezujeme jen na pevne danykonecny pocet cifer a ponevadz pri aproximacnıch ra-cionalnıch operacıch neplatı stejna pravidla jako pro operaceracionalnı.

Uved’me nynı prıklad, na nemz ukazeme, ze matematicky ekvivalentnı vypoc-tove postupy mohou vest k odlisnym vysledkum pri pouzitı aproximacnıchoperacı mısto presnych operacı.

Ve statistice se setkate s touto ulohou.

Uloha. Jsou dana cısla x1, x2, . . . , xp, p > 1. Vypocıtejte σ2 podle vzorce

σ2 =1

p − 1

p∑i=1

(xi − x)2, (1.62)

kde

x =1

p

p∑i=1

xi. (1.63)

Ukazuje se, ze σ2 lze vypocıst matematicky ekvivalentnım zpusobem podlevzorce

σ2 =1

p − 1

⎛⎝ p∑i=1

x2i −

1

p

(p∑

i=1

xi

)2⎞⎠ . (1.64)

Vypocet podle (1.62), (1.63) nazyvame dvoupruchodovym, napred je nutnovypocıst x podle (1.63) a teprve potom σ2 podle (1.62). Vypocet podle (1.64)se nazyva jednopruchodovym.

Prıklad 1.26. Porovnejte vypocet σ2 dvoupruchodovou metodou (vztahy(1.62), (1.63)) a jednopruchodovou metodou (vztah (1.64)) pro data

x1 = 10000, x2 = 10001, x3 = 10002,

pri reprezentaci cısel ve tvaru (1.60) pro n = 7, m = 10 uzitım aproximacnıchoperacı + , − , · , : .

Resenı. Cısla x1, x2, x3 zapisme v dane reprezentaci. Dostavame

x1 = 1,0000000 · 104, x2 = 1,0001000 · 104, x3 = 1,0002000 · 104.

Dvoupruchodova metoda.

x = (1,0000000 · 104 + 1,0001000 · 104 + 1,0002000 · 104) : 3,0000000 · 100.

Lehce nahledneme, ze

x = 1,0001000 · 104.

45


Dosazenım tohoto x do (1.62) dostavame uzitım aproximacnıch racionalnıchoperacı

σ2 = 1,0000000 · 100,

tj.σ2 = 1.

Jednopruchodova metoda. Uzitım aproximacnıch racionalnıch operacı dosta-vame

x21 = x1 · x1 = 1,0000000 · 108,

x22 = x2 · x2 = 1,0002000 · 108,

x23 = x3 · x3 = 1,0004000 · 108,

x21 + x2

2 + x23 = 3,0006000 · 108.

Podobne

x1 + x2 + x3 = 3,0003000 · 104,

(x1 + x2 + x3)2 = 9,0018001 · 108.

(x1 + x2 + x3)2 : 3 = 3,0006000 · 108.

Uzitım techto mezivysledku dostavame z (1.64) σ2 = 0, tedy odlisny vysledeknez pouzitım dvoupruchodove metody.

Poznamka. Pri praktickych numerickych vypoctech ovsem nepouzıvame o-znacenı

”op “ pro provadenı operacı, mlcky pouzıvame oznacenı odpovıdajıcı

operacım mezi realnymi cısly, tedy opreacı”+, −, ·, :“.

1.5.1.2 Mnoziny realnych cısel

Zaved’me si nekolik pojmu spojenych s mnozinami realnych cısel.

Ohranicenı

cıselne

mnoziny

Ohranicene mnoziny. Necht’ M ⊆ R. Rekneme, ze mnozina M je shoraohranicena, jestlize existuje takove cıslo h, ze

x ∈ M ⇒ x ≤ h.

Cıslo h nazyvame hornım ohranicenım mnoziny M .

Podobne rekneme, ze mnozina M je zdola ohranicena, jestlize existuje takoverealne cıslo d, ze

x ∈ M ⇒ x ≥ d.

Cıslo d nazyvame dolnım ohranicenım mnoziny M .

Jestlize mnozina M je shora i zdola ohranicena, rıkame, ze je ohranicena.

Jako prıklad uved’me mnozinu

M = {x ∈ R : x =1

n, kde n ∈ N}.

46

Zrejme hornım ohranicenım mnoziny M je kazde realne cıslo h ≥ 1 a dolnımohranicenım mnoziny M je kazde cıslo ≤ 0.

Zaved’me si dale pojmy maximum, minimum a pojmy supremum a infimummnoziny realnych cısel.

Maximum

cıselne

mnoziny

Maximum cıselne mnoziny

Rekneme, ze cıslo xmax je maximum cıselne mnoziny M ,jestlize

1. xmax ∈ M ,2. jestlize x ∈ M , potom x ≤ xmax.

Pıseme xmax = maxx∈M

x, resp. xmax = maxM . Jestlize takove

cıslo neexistuje, rıkame, ze mnozina M nema maximum.

To znamena, ze xmax je hornım ohranicenım mnoziny M , ktere do do Mpatrı.

Minimum

cıselne

mnoziny

Minimum cıselne mnoziny

Rekneme, ze cıslo xmin je minimum cıselne mnoziny M ,jestlize

1. xmin ∈ M ,2. jestlize x ∈ M , potom x ≥ xmin.

Pıseme xmin = minx∈M

x, resp. xmin = minM . Jestlize takove

cıslo neexistuje, rıkame, ze mnozina M nema minimum.

To znamena, ze xmin je dolnım ohranicenım mnoziny M , ktere do do M patrı.

Jako prıklad uved’me dve mnoziny U, V realnych cısel

U = {x ∈ R : x =1

n2, kde n ∈ N}, (1.65)

V = {x ∈ R : x ≤ 2 ∧ x ≥ 0}. (1.66)

Zrejme maxx∈U

x = 1, minx∈U

x neexistuje, maxx∈V

x = 2, minx∈V

x = 0.

Vsimneme si, ze podle definice je maximum (minimum) cıselne mnoziny Mjejım prvkem.

Uved’me si dva podobne pojmy: supremum a infimum cıselne mnoziny. Tytopojmy posluchaci nekdy mylne zamenujı s pojmy maxima a minima cıselnemnoziny.

47


Supremum

cıselne

mnoziny

Supremum cıselne mnoziny

Necht’ M je mnozina realnych cısel. Rekneme, ze cıslo G jesupremem mnoziny M a pıseme G = sup

x∈Mx, ci G = sup M ,

jestlize platı1. Je-li x ∈ M , potom x ≤ G,2. je-li G′ < G, potom existuje takove x′ ∈ M , ze G′ ≤ x′.

Je tedy G nejmensı hornı ohranicenı mnoziny M .

Infimum

cıselne

mnoziny

Infimum cıselne mnoziny

Rekneme, ze cıslo g je infimem mnoziny M realnych cısel apıseme g = inf

x∈Mx, resp. g = inf M , jestlize platı

1. Je-li x ∈ M , potom x ≥ g,2. je-li g′ > g, potom existuje takove x′′ ∈ M , ze x′′ ≤ g′.

Je tedy g nejvetsı dolnı ohranicenı mnoziny M .

Na obr. 1.11 ilustrujeme infimum a supremum mnoziny M .

g = inf M G = supM

M

x′′ g′ x′G′

Obrazek 1.11: Infimum a supremum mnoziny M .

Vsimneme si, ze supM a inf M nemusı byt prvky mnoziny M . Jestlize platıG = supM ∈ M , potom G je maximem mnoziny M . Podobne, platı-lig = inf M ∈ M , potom g je minimem mnoziny M .

Jako bezprostrednı dusledek vlastnosti (R13) realnych cısel dostavame tototvrzenı.

Jestlize M ⊂ R je shora (zdola) ohranicena, potom existujesup(M) (inf(M)).

Jako prıklad uved’me mnozinu U definovanou vztahem (1.65). Zrejme

g = inf U = 0.

Ponevadz g /∈ U , g je sice infimem mnoziny U , ale U nema minimum. Naprotitomu

G = supU = 1, G ∈ U,

48

takze G je zaroven maximem mnoziny U .

Mnozina

R∗ = R ∪ {−∞,∞}Rozsırenı mnoziny realnych cısel. Mnozinu realnych cısel R nynı rozsırı-me o dva symboly ∞,−∞, (mısto ∞ lze psat i +∞) (cteme (plus) nekonecnoa minus nekonecno). Mnozinu R ∪ {−∞,∞} budeme znacit R∗. Symboly−∞,∞ nazyvame nevlastnımi cısly. (Nekdy z duvodu strucnosti pouze cısly.)Stejne jako mısto termınu realne cıslo lze pouzıt termın bod x, lze mluvit obodech ∞, resp. −∞.

Polozme x < ∞ pro vsechna x ∈ R. Jestlize mnozina M ⊆ R nenı shoraohranicena, polozıme

sup M = ∞.

Nevlastnı cıslo ∞ je nejmensı hornı ohranicenı mnoziny realnych cısel.

Polozme x > −∞ pro vsechna x ∈ R. Jestlize mnozina M ⊆ R nenı zdolaohranicena, polozıme

inf M = −∞.

Nevlastnı cıslo −∞ je nejvetsım dolnım ohranicenım mnoziny prirozenychcısel.

Nektere racionalnı operace rozsırıme i na nevlastnı cısla −∞,∞ a to takto.

Definice 1.2.

Necht’ a ∈ R, potom definujeme

a + ∞ = ∞, ∞ + a = ∞∞ + ∞ = ∞a −∞ = −∞, −∞ + a = −∞−∞−∞ = −∞

a

±∞ = 0

∞ ·∞ = ∞∞ · (−∞) = −∞−∞ ·∞ = −∞−∞ · (−∞) = ∞

a · ∞ =

{∞, je-li a > 0

−∞, je-li a < 0

a · (−∞) =

{−∞, je-li a > 0∞, je-li a < 0

49


Poznamka. Vsimneme si, ze nektere operace, naprıklad

∞−∞, −∞ + ∞,±∞±∞, 0 · ∞, 0 · (−∞),

jsou nadale nedefinovane.

Zavedenı

pojmu

interval

Intervaly. Necht’ a, b ∈ R, a < b. Mnozinu vsech x ∈ R, pro nez platıa ≤ x ≤ b, budeme zapisovat jako 〈a, b〉 a nazyvat uzavrenym intervalemo koncovych bodech a, b. Cıslo a (b) nazyvame levym (pravym) koncovymbodem intervalu 〈a, b〉.Mnozinu vsech x ∈ R, pro nez platı a < x < b, budeme zapisovat jako (a, b) anazyvat otevrenym intervalem o koncovych bodech a, b. Cıslo a (b) nazyvamelevym (pravym) koncovym bodem intervalu (a, b).

Mnozinu vsech x ∈ R, pro nez platı a ≤ x < b (a < x ≤ b), budeme zapisovatjako 〈a, b) ((a, b〉) a nazyvat zleva uzavrenym (otevrenym) a zprava otevrenym(uzavrenym) intervalem o koncovych bodech a, b. Cıslo a nazyvame levym acıslo b nazyvame pravym koncovym bodem intervalu 〈a, b) ((a, b〉).Mnozinu vsech cısel x ∈ R, pro nez platı a ≤ x < ∞ (a < x < ∞), budemezapisovat jako 〈a,∞) ((a,∞)) a nazyvat zleva uzavrenym (otevrenym) inter-valem o koncovych bodech a,∞. Bod a budeme nazyvat levym a bod ∞ jehopravym koncovym bodem.

Mnozinu vsech cısel x ∈ R, pro nez platı −∞ < x ≤ a (−∞ < x <a), budeme zapisovat jako (−∞, a〉 ((−∞, a)) a nazyvat zprava uzavrenym(otevrenym) intervalem o koncovych bodech −∞, a. Bod −∞ budeme nazy-vat levym a bod a jeho pravym koncovym bodem.

Mnozinu vsech realnych cısel x muzeme zapsat jako (−∞,∞) a nazyvatintervalem o koncovych bodeh −∞,∞.

a b〈a, b〉

a b(a, b)

a b(a, b〉

a b〈a, b)

a〈a,∞)

a(a,∞)

a(−∞, a〉

a(−∞, a)

(−∞,∞)

Obrazek 1.12: Intervaly.

50

Vsimneme si, ze levy koncovy bod kazdeho intervalu je mensı nez jeho pravykoncovy bod. Kdybychom v definici intervalu 〈a, b〉 nahradili pozadavek a < bpozadavkem a ≤ b, zahrnuli bychom pod pojem intervalu tez jednobodovoumnozinu, obsahujıcı jediny prvek a, kterou bychom mohli zapsat jako 〈a, a〉.Na obr. 1.12 jsou vyznaceny uvedene intervaly.

Zavedenı

pojmu

okolı bodu

Okolı bodu. Zaved’me si jeste pojem okolı bodu a ∈ R. Necht’ a ∈ R, δ ∈ R,δ > 0. Potom interval 〈a, a + δ) budeme nazyvat pravym δ–okolım bodu a abudeme jej vetsinou znacit U+

δ (a). Tedy U+δ (a) = 〈a, a + δ). Kvuli zkracenı

zapisu jej lze nekdy oznacit strucne U+(a).

Necht’ a ∈ R, δ ∈ R, δ > 0. Potom interval (a − δ, a〉 budeme nazyvat levymδ–okolım bodu a a budeme jej vetsinou znacit U−

δ (a). Tedy U−δ (a) = (a−δ, a〉.

Kvuli zkracenı zapisu jej lze nekdy oznacit strucne U−(a).

Necht’ a ∈ R, δ ∈ R, δ > 0. Potom interval (a − δ, a + δ) budeme nazyvat δ–okolım bodu a a budeme jej vetsinou znacit Uδ(a). Tedy Uδ(a) = (a−δ, a+δ).Kvuli zkracenı zapisu jej lze nekdy oznacit strucne U(a).

Necht’ k ∈ R. Potom mnozinu (k,∞) nazyvame k-okolım bodu ∞ a znacımeUk(∞), nebo strucne U(∞). Podobne mnozinu (−∞, k) nazyvame k-okolımbodu −∞ a znacıme Uk(−∞), nebo strucne U(−∞).

1.5.2 Komplexnı cısla

Rada matematickych uloh nenı resitelna v oboru realnych cısel. Napr. ne-existuje realne cıslo x, pro nez je x2 = −1. To znamena, ze rovnice x2 +1 = 0nema v oboru realnych cısel resenı. Tato a cela rada jinych uloh nas inspirujek zavedenı komlexnıch cısel.

Definice 1.3.

Oznacme C mnozinu usporadanych dvojic realnych cısel(x, y), na nız jsou zavedeny operace secıtanı

”+“ a nasobenı

”·“ s temito vlastnostmi: Pro a1, a2, b1, b2 ∈ R polozıme

(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2), (1.67)

(a1, a2) · (b1, b2) = (a1b1 − a2b2, a1b2 + a2b1). (1.68)

Mnozinu C nazveme mnozinou komplexnıch cısel, jejı prvkynazyvame komplexnımi cısly.

Je-li z = (a, b) ∈ C, lze psat

z = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) (1.69)

Cıslo (c, 0) lze zkracene oznacit jako c pro kazde c ∈ R. Symbol (c, 0) oznacujetedy realne cıslo. Cıslo (0, 1) oznacıme symbolem i a nazveme imaginarnıjednotkou.

51


Potom (1.69) lze zapsat jako

z = a + ib. (1.70)

Jestlize z = a+ ib ∈ C, potom cıslo a nazyvame jeho realnou castı a znacımeji Re(z), b nazyvame imaginarnı castı a znacıme Im(z). Je tedy

Re(a + ib) = a, Im(a + ib) = b.

Necht’ z = a + ib ∈ C. Potom cıslo a − ib nazyvame cıslem komplexnesdruzenym k cıslu z. Budeme jej znacit z. Tedy z = a − ib.

Vzhledem k definovanı souctu a soucinu cısel (a1, b1), (a2, b2) dostavame

(a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2),

(a1 + ib1) · (a2 + ib2) = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1).

Prıklad 1.27. (2 + 3i) + (4 − i) = 6 + 2i

(2 + 3i) · (4 − i) = 11 + 10i

Secıtanı

a nasobenı

komplexnıch

cısel

Lze ukazat, ze operace scıtanı a nasobenı komplexnıch cısel majı tyto vlast-nosti

(1) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) pro kazde z1, z2, z3 ∈ C,

(2) z1 + z2 = z2 + z1 pro kazde z1, z2 ∈ C,

(3) Pro 0 = (0, 0) ∈ C platı z + 0 = z pro vsechna z ∈ C,

(4) Ke kazdemu z ∈ C existuje −z ∈ C tak, ze z + (−z) = 0,

(5) (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) pro kazde z1, z2, z3 ∈ C,

(6) z1 · z2 = z2 · z1 pro kazde z1,2 ∈ C,

(7) Pro 1 = (1, 0) ∈ C a pro kazde z ∈ C platı 1 · z = z,

(8) Ke kazdemu z ∈ C, z �= 0 existuje z−1 ∈ C tak, ze z · z−1 = 1,

(9) z1 · (z2 + z3) = (z1 · z2) + (z1 · z3) pro kazde z1, z2, z3 ∈ C.

Vidıme, ze operace secıtanı a nasobenı komplexnıch cısel majı vlastnosti,ktere jsme uvedli u realnych cısel na strane 37. Komplexnı cısla vsak nejsoulinearne usporadana.

Komplexnı cısla se znazornujı jako body v rovine, ve ktere je zavedenakartezska soustava souradnic, nazyva se Gaussovou rovinou. Kazde kom-plexnı cıslo z = x + iy se v nı znazornuje jako bod o souradnicıch x, y,tedy jako [x, y].

Na obr. 1.13 je graficky znazornen soucet dvou komlexnıch cısel.

Na obr. 1.14 je vyznaceno komplexnı cıslo z a k nemu komplexne sdruzenecıslo z.

Absolutnı hodnota komplexnıho cısla. Necht’ z = a + ib ∈ C. Potomcıslo

√a2 + b2 nazyvame absolutnı hodnotou komplexnıho cısla z a znacıme

ji |z|. Je tedy |a + ib| =√

a2 + b2. Je to vzdalenost bodu [0, 0], [a, b].

52

z2 = (b1, b2)

z1 = (a1, a2)

z = z1 + z2

b1a1 a1 + b1

a2

b2

a2 + b2

x

y

Obrazek 1.13: Soucet dvou komplexnıch cısel.

|z|=|a +

ib| z = a + ib

z = a − ib

0 x

y

Obrazek 1.14: Komplexne sdruzena cısla.

Prıklad 1.28. Urcete realnou a imaginarnı cast komplexnıho cısla

z =1 + 2i

3 − 4i.

Resenı. Zlomek, jımz je komplexnı cıslo z definovano, rozsırıme cıslem kom-plexne sdruzenym k cıslu ve jmenovateli, to jest cıslem 3 + 4i. Dostaneme

z =(1 + 2i) · (3 + 4i)

(3 − 4i) · (3 + 4i), to jest z =

−5 + 10i

25.

Je tedy Re(z) = −15, Im z = 2

5.

Z vykladu je zrejme, ze realna cısla jsou podmnozinou komplexnıch cısel,tedy R ⊂ C. Komplexnı cısla, ktera nejsou realna, nazyvame imaginarnımi.Rozdelenı komplexnıch cısel lze schematicky znazornit takto:

53


Prirozenacısla

NNula

0Cela zapornacısla

Cela cısla ZNecela racionalnıcısla

Racionalnıcısla

QIracionalnıcısla

Realnacısla

RImaginarnıcısla

Komplexnıcısla

C

Zaved’me si jeste celocıselne mocniny komplexnıch cısel nasledovne.

Necht’ a ∈ C, n ∈ N. Polozme

an = a · a · · · · · a · a︸︷︷︸n

, (1.71)

a−n =1

an, pro a �= 0, (1.72)

a0 = 1, pro a �= 0, (1.73)

0n = 0. (1.74)

Pro celocıselne mocniny komplexnıch cısel platı tato pravidla.

Necht’ a, b ∈ C, r, s ∈ Z. Potom platı

ar · as = ar+s (1.75)

ar : as = ar−s (1.76)

(ar)s = ars (1.77)

(a · b)r = ar · br (1.78)(a

b

)r

=ar

br(1.79)

pokud ma leva strana vyznam.

54

Pripomenutı dulezitych vzorcu pro pocıtanı s cısly.

n–faktorial. Cıslo n! (cteme”n faktorial“) definujeme takto:

0! = 1,

n! = 1 · 2 · · · · · n pro n ∈ N.

Kombinacnı cıslo. Necht’ n ∈ N, k ∈ {0} ∪ N. Definujeme(n

k

)=

n!

(n − k)!k!.

Dulezite vzorce

Necht’ a, b ∈ C, n ∈ N. Potom platı

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1.80)

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (1.81)

(a − b)(a + b) = a2 − b2 (1.82)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (1.83)

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 (1.84)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) (1.85)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) (1.86)

Binomicka veta

(a+b)n =

(n

0

)an+

(n

1

)an−1b+· · ·+

(n

k

)an−kbk+· · ·+

(n

n

)bn

Ulohy k procvicenı

1. V jakem vzajemnem vztahu jsou tyto cıselne mnoziny: mnozina C kom-plexnıch cısel, mnozina R realnych cısel, mnozina Q racionalnıch cısel, mno-zina Z celych cısel, mnozina N prirozenych cısel. [N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C]

2. Rozhodnente o spravnosti vyroku: Jestlize x, y ∈ R, 2x + 1 < 0, potomy(2x + 1) < 0. [Ne, platı jen pro y > 0.]

3. Rozhodnete o spravnosti vyroku: Jestlize x, y ∈ R, 0 < x < y, potom1x

< 1y. [Ne, 1

x> 1

y.]

4. Co vıte o dekadickem zapisu iracionalnıho cısla a racionalnıho cısla?

5. Urcete vzdalenost bodu x, y na cıselne ose pomocı absolutnı hodnoty.[|x − y|]

55


6. Co je to relativnı a co je absolutnı chyba realneho cısla?

7. Co vıte o presnosti vypoctu na pocıtaci (otazka zaokrouhlovanı cısel)?

8. Co je to maximum, supremum, minimum a infimum cıselne mnoziny?Uved’te prıklady.

9. Co vıte o existenci suprema (infima) cıselne mnoziny?

10. Co vıte o racionalnıch operacıch v mnozine R∗?

11. Cemu je rovno ∞−∞?

12. Co jsou to intervaly?

13. Je interval a) (2, 3), b) 〈2, 3) pravym okolım bodu 2 ve smyslu v textuzavedene definice? [a) nenı, b) je]

14. Co jsou to komplexnı cısla?

15. Co je to absolutnı hodnota komplexnıho cısla? Co je to cıslo komplexnesdruzene k cıslu a + ib, b �= 0?

16. Vypocıtejte

a)

(13− 2

7

)· 1

5− 1(

23

+ 17

)− 2

3

[− 104

1051

7

= −10415

]

b)

12+ 1

3

− 11− 1

3

2 − 12+3

[− 15

49

5

= −2542

]

17. Necht’ a, b ∈ R. Vypocıtejte ba−a

. [Nenı definovano, nulou nelze delit.]

18. Naleznete chybu v nasledujıcım vypoctu:Necht’ a, b ∈ R, a �= b. Polozme

c = a − b. (1.87)

Vynasobenım rovnice (1.87) vyrazem (a − b) dostavame

ac − bc = a2 − ab − ab + b2.

Upravou dostavame

a2 − ab − ac = ab − b2 − bc,

tedy

a(a − b − c) = b(a − b − c). (1.88)

Delıme-li (1.88) vyrazem (a− b− c), dostavame a = b. Avsak predpoklad je,ze a �= b. Kde je chyba? [a − b − c = 0, nulou nelze delit.]

19. Upravte

a)

(a−2b2(a − 2)−2

a0b−8

)−2

:a2(a − 2)3

a−4b7[ a−2a2b13

; a �= 0 ∧ b �= 0 ∧ a �= 2]

56

b)

(1 +

a2

1 − a2

)(1 + a2

1 − a2

)−1

[ 11+a2 ; a �= −1 ∧ a �= 1]

c) (a3 + b3)(a − b)(a2 + ab + b2) [a6 − b6]

d)1+a

1+a+a2 − 1−a1−a+a2

1−a1−a+a2 + 1+a

1+a+a2

[a3, a ∈ R]

20. Uzitım binomicke vety vypocıtejte (x − 2y)4.

[x4 − 8x3y + 24x2y2 − 32y3x + 16y4]

21. Nacrtnete grafy funkcı

a) y = |x − 2| + 2

b) y = |2x + 1| − x + 1

22. Reste nerovnici |3x − 1| + x < 1. [(0, 12)]

23. Uzitım absolutnı hodnoty realneho cısla vyjadrete, ze

a) x ∈ (2, 7) [|x − 92| < 5

2]

b) x ∈ (−1, 3) [|x − 1| < 2]

24. Necht’ z1 = 1 + 2i, z2 = 3 − i jsou komplexnı cısla. Urcete

a) z1 + z2 [4 + i]

b) z1 − z2 [−2 + 3i]

c) z1 · z2 [5 + 5i]

d) z1

z2[ 110

+ 710

i]

e) |z1| [√

5]

f) |z2| [√

10]

g) z1 [1 − 2i]

h) z2 [3 + i]

25. V R∗ proved’te tyto vypocty

a) ∞ + 3 [∞]

b) ∞ ·∞ [∞]

c) ∞−∞ [nenı definovano]

d) 2 · ∞ −∞ [nenı definovano]

e) 30

[nenı definovano]

f) 3−∞ [0]

57


58

Zavedenı pojmu zobrazenı a pojmu funkce

Realna funkce realne promenne

Spojitost funkce

Polynom a racionalnı lomena funkce

Funkce slozena a funkce inverznı. Elementarnıfunkce

Funkce a jejich vlastnosti

2

2. Funkce a jejich vlastnosti

Cıl kapitoly

Zopakovat si pojem zobrazenı, pojem funkce.Zopakovat si pojem spojitosti funkce.Zopakovat si vlastnosti funkce spojite na intervalu.Zopakovat pojem polynomu a rozklad realneho polynomu.Podrobneji se seznamit s pojmem slozene funkce a s pojmem funkceinverznı.Zopakovat si elementarnı funkce: n

√x, mocniny s racionalnım exponen-

tem, funkce exponencialnı, logaritmicke a obecnou mocninu.

Casova zatez

10 hodin samostudia. Casova zatez silne zavisı na znalostech s nimiz pricha-zıte studovat.

2.1 Zavedenı pojmu zobrazenı a pojmu funkce

Pojem

zobrazenı

Zopakujme si dulezity pojem”zobrazenı“. S tımto pojmem se v dennım

zivote neustale”setkavame“, aniz bychom jej vyslovovali. Uved’me prıklad

”prirazenı“ – prirazenı se specifickymi vlastnostmi se pak nazyva zobrazenım.

Zvlastnım prıpadem zobrazenı je pak realna funkce realne promenne.

Datum narozenı zijıcıho cloveka lze vyjadrit jako usporadanou trojici real-nych cısel, oznacme ji (r, m, d), kde r znacı rok, m mesıc a d den narozenı.

Oznacme B mnozinu vsech dat narozenı pro r > 1800 do dnesnıho dne.Oznacme y promennou s oborem B. (Tedy y zastupuje kterekoliv datumz B.)

Dale oznacme A mnozinu jistych zijıcıch lidı. Oznacme x symbol, ktery za-stupuje kterehokoliv cloveka z uvedene mnoziny A lidı. (Tedy x je promennas oborem A).

Oznacme dale D pravidlo, jimz ke kazdemu cloveku x z mnoziny A priradımeusporadanou trojici y realnych cısel z mnoziny B podle data jeho narozenı.Budeme psat

y = D(x) pro x ∈ A.

Tento zapis vyjadruje okolnost, ze ke kazdemu x ∈ A se pravidlem D (tj.podle data narozenı cloveka x), prirazuje usporadana trojice cısel z B.)

Uvedene prirazenı ma dulezitou vlastnost – ke kazdemu x ∈ A je prirazenoprave jedno y ∈ B. Takoveto prirazenı nazyvame zobrazenım.

Uved’me si nynı definici zobrazenı.

Definice 2.1.

Necht’ A, B jsou neprazdne mnoziny. Pravidlo F , jimz kekazdemu prvku x ∈ A je prirazen prave jeden prvek y ∈ B,

60

nazyvame zobrazenım mnoziny A do mnoziny B. Oznacıme-li x promennou s oborem A a y promennou s oborem B,pıseme

y = F (x).

O prvku y prirazenemu k prvku x rıkame, ze je obrazem prvku x, a o prvkux rıkame, ze je vzorem prvku y.

Mnozinu A (to jest mnozinu prvku, k nimz v zobrazenı F prirazujeme prvkyz B), nazyvame definicnım oborem nebo tez neodvislym oborem zobrazenı F .Znacıme jej casto DF , resp. D(F ) a mnozinu B nazyvame odvislym oboremzobrazenı F .

Podmnozinu mnoziny B, ktera obsahuje vsechny ty prvky y ∈ B, ktera jsouv zobrazenı F prirazana k prvkum x z mnozin A, nazyvame oborem zobrazenıF . Znacıme ji H(F ), resp. HF .

Jestlize HF ⊆ B, potom rıkame, ze zobrazenı F je zobrazenım mnoziny A doB.

Jestlize HF = B, potom rıkame, ze zobrazenı F je zobrazenım mnoziny A naB.

Jestlize B ⊆ A, potom rıkame, ze zobrazenı F je zobrazenım mnoziny A dosebe.

Jestlize HF = A, rıkame, ze zobrazenı F je zobrazenım na sebe.

Promennou s oborem hodnot A nazyvame neodvisle promennou a promennous oborem hodnot B nazyvame zavisle promennou. V teto definici jsme pouzilisymbol x pro neodvisle promennou a symbol y pro odvisle promennou.

Na obrazku 2.1 je znazorneno zobrazenı F mnoziny A do mnoziny B, rovnezje znazornen obor zobrazenı F , to jest mnozina H(F ). Je zde znazornen tezprvek u ∈ B, ktery nepatrı do H(F ). Nenı tedy obrazem zadneho prvkux ∈ A.

A BH(F )

xy

u

F

Obrazek 2.1: Zobrazenı A do B

V nekterych prıpadech je mozno prirazenı G, v nemz je ke kazdemu prvkuz mnoziny A prirazen prvek z mnoziny B, popsat tabulkou utvorenou takto:V prvnım radku tabulky se uvadejı prvky z mnoziny A a v druhem radku jsoupod nimi uvedeny k nim prirazene prvky z mnoziny B . Ne kazde pravidlo,jimz je ke kazdemu prvku x ∈ A prirazen prvek z B, je zobrazenım. Totoprirazenı je zobrazenım A do B pouze tehdy, jestlize ke kazdemu x ∈ A jeprirazen prave jeden prvek y ∈ B.

61


Prıklad 2.1. Necht’ A je mnozina urcite skupiny studentu, B mnozinarealnych nezapornych cısel. Oznacme x promennou mnoziny A, (to jest xje symbol, ktery zastupuje kterehokoliv studenta ze skupiny A). Oznacmenynı y promennou s oborem hodnot B. Ke kazdemu x ∈ A (to jest, kekazdemu studentovi z A), prirad’me jeho aktualnı telesnou vysku v centi-metrech, tedy cıslo y z mnoziny B. (Tedy prave jedno cıslo.) Toto pravidloprirazenı oznacıme V . Ke kazdemu x ∈ A jsme tedy priradili prave jedno cısloy z mnoziny B. Je tedy V zobrazenım mnoziny A do mnoziny B podle nahoreuvedene definice. Zobrazenı V nenı zobrazenım mnoziny A na mnozinu B,ponevadz existujı cısla v B, ktera nejsou prirazena v zobrazenı V k zadnemuprvku x z mnoziny A. (To vyplyva napr. z toho, ze A je konecna mnozina aB obsahuje nekonecne mnoho cısel.)

Jako konkretnı prirazenı uved’me toto. Predpokladejme, ze A je skupinastudentu, ktere si pro nas ucel oznacıme a, b, c . Ke kazdemu studentoviprirad’me jeho telesnou vysku. Toto prirazenı oznacme V . Necht’ je V (a) =175, V (b) = 175, V (c) = 180. Toto prirazenı lze znazornit nasledujıcı tabul-kou.

x a b cy 175 175 180

Uvedene prirazenı V je zobrazenım mnoziny A do mnoziny R, ponevadzke kazdemu prvku x ∈ A je prirazen prave jeden prvek y z mnoziny R.Toto zobrazenı vsak nenı zobrazenım mnoziny A na mnozinu R, ponevadznapr. cıslo 190 nenı prirazeno zadnemu prvku z A. (V uvazovane skupine trıstudentu nenı zadny student s telesnou vyskou 190 cm.) Toto zobrazenı jevsak zobrazenım mnoziny A na mnozinu C = {175, 180 }. Zrejme C = HV .

Prıklad 2.2. Uvazujme tri matky, oznacme je a, b, c. Necht’ matka a masyna, oznacme ho s1, matka b ma syna, oznacme ho s2 a matka c ma dvasyny, oznacme je s3 a s4. Oznacme A mnozinu matek, tedy A = { a, b, c } a Bmnozinu synu, tedy B = {s1, s2, s3, s4 }. Oznacme nynı D prirazenı, kterymke kazde matce priradıme kazdeho z jejich synu. Tedy necht’

D(a) = s1, D(b) = s2, D(c) = s3, D(c) = s4. Toto prirazenı D znazornemetabulkou

x a b c cy s1 s2 s3 s4

Toto prirazenı nenı zobrazenım mnoziny A do mnoziny B, nebot’ k prvku cz mnoziny A jsou prirazeny dva prvky z mnoziny B, totiz prvky s3, s4.

Zaved’me si nekolik pojmu souvisejıcıch se zobrazenım.Zobrazenı

prosteZobrazenı proste. Necht’ F je zobrazenı mnoziny A domnoziny B. Toto zobrazenı nazyvame prostym, jestlizema tuto vlastnost: Jestlize x, y ∈ A a x �= y, potomF (x) �= F (y).

62

Prıklad 2.3. Necht’ A = {a, b, c} a B = {α, β, γ}. Zobrazenı F dane nasle-dujıcı tabulkou je prostym zobrazenım A na B.

x a b cy α β γ

Inverznı

zobrazenı

Inverznı zobrazenı. Necht’ F je proste zobrazenı mnozinyA na mnozinu B. Potom existuje zobrazenı, nazveme ho in-verznım zobrazenım mnoziny B na mnozinu A a oznacımeje F−1, kterym ke kazdemu y ∈ B priradıme ten prvekx ∈ A, pro nejz platı F (x) = y. (Viz obr.2.2)

Oznacenı. Symbolem F−1 jsme oznacili inverznı zobrazenı k zobrazenı F ,nejedna se o umocnenı zobrazenı F na cıslo (−1).

A

B

x

yF

F−1

Obrazek 2.2: Inverznı zobrazenı

Prıklad 2.4. Necht’ zobrazenı F mnoziny A = {1, 2, 3, 4} na mnozinuB = {φ, ϕ, χ, ψ} je dano tabulkou :

x 1 2 3 4y φ ϕ χ ψ

Tedy F (1) = φ, F (2) = ϕ, F (3) = χ, F (4) = ψ. Toto zobrazenı je prostezobrazenı mnoziny A na mnozinu B. Existuje proto k nemu inverznı zob-razenı, oznacme je F−1. V tomto zobrazenı platı F−1(φ) = 1, F−1(ϕ) =2, F−1(χ) = 3, F−1(ψ) = 4. Toto inverznı zobrazenı lze popsat tabulkou.

y φ ϕ χ ψx 1 2 3 4

V inverznım zobrazenı je mnozina B neodvislym oborem a mnozina A jeodvislym oborem.

Vsimnete si, ze v tabulce popisujıcı inverznı zobrazenı, je neodvisle promennaoznacena y (zastupuje kterykoliv prvek z B) a zavisle promenna je oznacenax (zastupuje kterykoliv prvek mnoziny A). Ponevadz jsme zvyklı oznacovatsymbolem x neodvisle promennou a y odvisle promennou, muzeme pro in-verznı zobrazenı zavest

63


symbol x pro neodvisle promennou (symbol x muze zastupovat ktery-koliv prvek neodvisleho oboru, to jest mnoziny B)symbol y pro odvisle promennou (symbol y muze zastupovat kterykolivprvek odvisleho oboru, to jest mnoziny A)

Tabulka pro toto inverznı zobrazenı ma pak tvar

x φ ϕ χ ψy 1 2 3 4

Slozene

zobrazenı

Slozene zobrazenı. Necht’ ϕ je zobrazenı mnoziny A do mnoziny B. Necht’

funkce f zobrazuje mnozinu Hϕ do mnoziny C. Potom zobrazenı, oznacujemeje F , kterym ke kazdemu x ∈ A je prirazen prvek z = f(ϕ(x)) ∈ C, nazyvameslozenym zobrazenım. Zobrazenı ϕ nazyvame jeho vnitrnı slozkou a zobrazenıf nazyvame jeho vnejsı slozkou. Pıseme y = F (x). Viz obr. 2.3.

x ϕ(x) f(ϕ(x))A

B

HϕCϕ f

F

Obrazek 2.3: Slozene zobrazenı

Prıklad 2.5. Necht’ A = {a, b, c}, B = {α, β, γ}, C = {1, 2, 3}. Necht’

zobrazenı ϕ mnoziny A do mnoziny B je dano tabulkou

x a b cu = ϕ(x) α β α

zobrazenı f mnoziny Hϕ do mnoziny C je dano tabulkou

u α βy = f(u) 1 2

Zrejme Hϕ = {α, β}.Potom slozene zobrazenı F = f(ϕ(x)) zobrazuje A do C takto :

F (a) = f(ϕ(a)) = f(α) = 1, (2.1)

F (b) = f(ϕ(b)) = f(β) = 2, (2.2)

F (c) = f(ϕ(c)) = f(α) = 1. (2.3)

Toto slozene zobrazenı F muzeme popsat nasledujıcı tabulkou:

x a b cy 1 2 1

Poznamenejme, ze ϕ je vnitrnı slozkou a f je vnejsı slozkou zobrazenı F .

64

Pojem

funkce

Pojem funkce. Uved’me si nynı nektere specialnı pojmy zobrazenı.

V prıpade, ze v drıve uvedene definici zobrazenı F je mnozina B mnozinacısel, budeme vetsinou mısto pojmu zobrazenı pouzıvat pojem funkce. Radapojmu svazanych s pojmem zobrazenı se prenası na pojem funkce. Napr.mısto obor hodnot zobrazenı se pouzıva obor hodnot funkce, nebo mıstopojmu proste zobrazenı se pouzıva pojem prosta funkce.

Je-li v definici zobrazenı F mnozina B mnozina realnych cısel, mluvıme orealne funkci, je-li mnozina B mnozina komplexnıch cısel, mluvıme o kom-plexnı funkci.

Prıklad 2.6. Jako prıklad si uved’me funkci, ktera vyjadruje vysledky vo-leb do poslanecke snemovny. Necht’ ctyri politicka seskupenı, oznacme jea, b, c, d, zıskala kresla v poslanecke snemovne, a to postupne v poctech 70,50, 60, 20. Potom prirazenı, oznacme je f , kterym ke kazdemu z politickychseskupenı a, b, c, d priradıme pocet kresel, ktera ve volbach zıskalo, je realnoufunkcı. Je tedy f(a) = 70, f(b) = 50, f(c) = 60, f(d) = 20. Oznacıme-liA = {a, b, c, d }, B = {20, 50, 60, 70}, potom A je neodvisly obor funkce f aB je odvisly obor funkce f . Funkce f zobrazuje A na B. Funkce je prosta.

Jestlize v definici zobrazenı jsou mnoziny A, B mnoziny realnych cısel, mlu-vıme o realne funkci realne promenne. Jestlize v definici zobrazenı jemnozina A mnozinou usporadanach skupin o n-realnych cıslech (tedy A ⊆Rn), B je mnozina realnych cısel, potom zobrazenı F mnoziny A do Bnazyvame realnou funkcı n-promennych.

Tato zavislost muze byt dana nejruznejsım zpusobem. Nejjednodussı zpusobjejıho zadanı je zadanı vyrazem. Prıkladem je funkce y = x2 + 1, pro x ∈(−∞, ∞).

Jako dalsı prıklad realne funkce realne promenne uved’me ulohu, s kterou sesetkavame v bankovnictvı. Jde o spojite urocenı. Pri tomto urocenı vzrostezakladnı kapital, oznacme jej P , (P ≥ 0) za dobu t, pocıtanou v rocıch, prinominalnı urokove mıre j (rocnı urokova mıra, j ≥ 0) na splatnou castku Spodle vztahu

S = P · ej·t. (2.4)

Zde t znacı neodvisle promennou a podle jejıho vyznamu je t ∈ 〈0, ∞) aS ∈ 〈0, ∞). Na vztah (2.4) se lze dıvat tez jako na funkci promennychP, j, t. Pri sledovanı zavislosti splatne castky na case t povazujeme velicinyP, j za parametry a funkci S povazujeme pro kazde dva parametry jako funkcipromenne t.

V nekterych prıpadech je funkce f zadana pouze predpisemy = f(x) bez udanı definicnıho oboru. V takovemto prıpadese jım rozumı mnozina vsech tech x, pro nez ma predpis fsmysl.

65


Napr., je-li realna funkce zadana predpisem y =√

1 − x2, rozumı se de-finicnım oborem teto funkce interval 〈−1, 1〉, nebot’ druha odmocnina je de-finovana jen z nezapornych cısel a 1 − x2 je nezaporne cıslo jen pro cıslax ∈ 〈−1, 1〉. Pro jina x nema vyraz

√1 − x2 v realnem oboru smysl.

Graf realne funkce realne promenne. Predstavu o realne funkci realnepromenne a o jejich vlastnostech nam casto dobre poskytne jejı grafickeznazornenı, neboli graf funkce. V rovine zvolıme napr. pravouhly souradnysystem Oxy, kde O je pocatkem a x, y jsou souradne osy (oznacenı nenızavazne). Jsou to dve navzajem kolme cıselne osy se spolecnym bodem O,ktery nazyvame pocatkem. Osu x budeme volit v horizontalnı poloze a osuy ve vertikalnı poloze. (Dohoda.) Kladnou orientaci osy x budeme volitzleva doprava, kladnou orientaci osy y budeme volit zdola nahoru. Merıtkana souradnych osach mohou byt obecne odlisna. Jsou-li stejna, mluvımeo kartezskem souradnem systemu. Kazdemu bodu v rovine odpovıdausporadana dvojice realnych cısel. Prvnımu z nich rıkame x-ova souradnicea druhemu rıkame y-ova souradnice a naopak, kazde usporadane dvojicirealnych cısel odpovıda bod v rovine v danem souradnem systemu. (obr.2.4).

y

x

y0

x0O

P [x0, y0]

Obrazek 2.4: Souradnice bodu

Na nasledujıcım obr.2.5 je znazornen graf funkce y = x2 definovane na inter-valu 〈−2, 2〉.

0−2 −1 1 2

1

2

3

4

y

x

Obrazek 2.5: Graf paraboly y = x2

Je-li mnozina B mnozina komplexnıch cısel, mluvıme o komplexnı funkci.

66

Jestlize v definici zobrazenı jsou mnoziny A, B mnoziny komplexnıch cısel,mluvıme o komplexnı funkci komplexnı promenne. Jako prıklad uved’-me funkci

ω = z2 − z + 1,

kde z, ω ∈ C, (C je mnozina komplexnıch cısel).

Cıselna

posloupnost

Posloupnost realnych cısel. Realnou funkci f , jejız ne-odvisly obor je mnozina prirozenych cısel, nazyvame po-sloupnostı. Je tedy posloupnost pravidlo, jimz je ke kazemuprirozenemu cıslu n prirazen prvek z nejeke mnoziny B. Je-liB mnozina realnych cısel, mluvıme o posloupnosti realnychcısel.

V teto casti budeme mluvit jen o posloupnostech realnych cısel. Cıslu n jeprirazeno cıslo f(n), n = 1, 2, . . .. Mısto f(n) je u posloupnostı zvykem psatfn. Cıslo fn nazyvame n-tym clenem posloupnosti. Tuto posloupnost byvazvykem zapisovat tez symbolem {fn}∞n=1, nebo strucneji {fn}∞1 , resp.

f1, f2, . . . (2.5)

Prıklad 2.7. Jako prıklad si uved’me posloupnost {1/n}∞1 . Tedy napr. 5.clen teto posloupnosti je roven 1/5. Na nasledujıcım obrazku obr.2.6 je zna-zorneno prvnıch pet clenu posloupnosti {1/n}∞1 .

y

x

1

1 2 3 4 5

Obrazek 2.6: Posloupnost {1/n}∞1

Casto se znazornujı pouze hodnoty f1, f2, f3, . . . na cıselne ose, ktera sekreslı ve vodorovne poloze. Napr. na obr.2.7 je znazorneno nekolik clenuposloupnosti {fn}∞1 .

f5f4f3f2f1

Obrazek 2.7: Posloupnost {1/n}∞1

Jestlize mnozina A je mnozina usporadanych dvojic realnych cısel a B jemnozina realnych cısel, potom zobrazenı f mnoziny A do mnoziny B na-zyvame realnou funkcı dvou realnych promennych. Oznacıme-li tyto

67


promenne symboly x, y, potom usporadana dvojice symbolu [x, y] je symbolpro oznacenı promenne definicnıho oboru A funkce f .

Jako prıklad uved’me realnou funkci f dvou realnych promennych x, y defi-novanou vztahem

z =√

1 − x2 − y2.

Ponevadz definicnı obor teto funkce nenı uveden, rozumıme jim mnozinuvsech tech usporadanych dvojic realnych cısel [x, y], pro nez ma predpis,jimz je funkce definovana, smysl. Zrejme 1 − x2 − y2 ma smysl pro vsechnybody [x, y] ∈ R2. Avsak druha odmocnina je v realnem oboru definovana jenz nezapornych cısel, proto

√1 − x2 − y2 ma v realnem oboru smysl pouze

pro ty body [x, y], pro nez je vyraz pod odmocninou nezaporny, to znamenapro ty body, pro nez je 1 − x2 − y2 ≥ 0. Rovnice 1 − x2 − y2 = 0 je rovnicekruznice se stredem v pocatku o polomeru 1. Tato kruznice rozdeluje rovinuxy na dve casti. Body v jedne casti vyhovujı nerovnici 1−x2−y2 > 0 a bodyv druhe casti vyhovujı nerovnici 1 − x2 − y2 < 0. Ponevadz pro bod [0, 0]platı 1−x2 −y2 > 0, vyhovujı nerovnici 1−x2 −y2 ≥ 0 vsechny body uvnitrkruhu se stredem v pocatku o polomeru 1 a na jeho obvodu a body vnetohoto kruhu nerovnici nevyhovujı. Na obr.2.8 je znazornen definicnı obordiskutovane funkce

z =√

1 − x2 − y2.

y

xO

Obrazek 2.8: Definicnı obor funkce z =√

1 − x2 − y2

Kontrolnı otazky

1. Co je to zobrazenı F mnoziny A do mnoziny B? Co je to definicnı oborzobrazenı, co je to obor zobrazenı?

2. Vysvetlete, co je to proste zobrazenı A na B.

3. Co je to inverznı zobrazenı?

4. Co je to funkce jedne promenne? Co je to funkce vıce promennych?

68

2.2 Realna funkce realne promenne Pojem

realne

funkcePredpokladejme, ze A,B jsou neprazdne mnoziny realnych cısel. Potom pred-pis f , jimz ke kazdemu prvku x ∈ A je prirazen prave jeden prvek y ∈ B,nazyvame realnou funkcı realne promenne. Pokud nemuze dojıt k omylu,budeme v dalsım zkracene mluvit jen o funkci . Tuto funkci budeme vetsinouzapisovat takto

y = f(x), x ∈ A. (2.6)

Mnozinu A nazyvame neodvislym oborem, promennou x s oborem hodnotA nazyvame neodvisle promennou. Mnozinu B nazyvame odvislym oborem.Je nutno si uvedomit, ze v B mohou existovat cısla, ktera nejsou prirazenazadnemu cıslu x ∈ A. Mnozinu vsech tech cısel y ∈ B, ktera jsou prirazenake vsem cıslum x ∈ A, nazyvame oborem funkce f . Neodvisly obor funkcef nazyvame tez definicnım oborem, budeme jej znacit D(f), resp. Df . Oborfunkce budeme znacit H(f), resp. Hf . Zrejme Hf ⊆ B. Bude-li funkce fzadana predpisem bez udanı definicnıho oboru, rozumı se jım mnozina vsechtech cısel, pro nez ma predpis prirazenı vyznam. Jestlize M ⊆ Df , potommnozinu {f(x) : x ∈ M} lze oznacit jako f(M).

Uved’me si nekolik prıkladu.

Prıklad 2.8. Polozme

y = 2x + 1, x ∈ 〈1, 4〉. (2.7)

Ke kazdemu cıslu x ∈ 〈1, 4〉 se prirazuje vztahem (2.7) prave jedno cıslo,totiz cıslo 2x + 1. Je tedy 2x + 1 funkce definovana na intervalu 〈1, 4〉. Propohodlnejsı zapis si naprıklad oznacme tuto funkci jako g(x), takze

g(x) = 2x + 1.

Napr. k cıslu 3 je touto funkcı prirazeno cıslo 2·3+1, to jest cıslo 7. Mısto rcenı

”k cıslu 3 je prirazeno cıslo 7“ muzeme tez rıci, ze funkce g nabyva v bode

(cısle) 3 hodnotu 7. Pıseme pak g(3) = 7. Podobne g(1,5) = 2 ·1, 5+1, to jestg(1,5) = 4. Lehce nahledneme, ze oborem funkce g je interval 〈3, 9〉. Pısemetez g(〈1, 4〉) = 〈3, 9〉Prıklad 2.9. Polozme

y =√

2x + 1. (2.8)

Predpisem (2.8) je definovana funkce. Ponevadz nenı uveden jejı definicnıobor, rozumı se jım mnozina vsech tech cısel x, pro nez ma predpis

√2x + 1

vyznam. Tedy D(f) = {x ∈ R : 2x + 1 ≥ 0}. Tedy

D(f) =

⟨−1

2,∞)

.

Prıklad 2.10. Oznacme h funkci

h(x) =√

x2 − 1

69


s definicnım oborem A = (−∞,−1〉∪〈1,∞). Tuto funkci lze zapsat tez takto

h : (−∞,−1〉 ∪ 〈1,∞) → R,

x →√

x2 − 1.

Grafem funkce f : A → B, A ⊂ R, B ⊂ R v pravouhlemsouradnem systemu 0xy rozumıme mnozinu vsech bodu[x, f(x)], x ∈ A.

Grafy vetsiny funkcı, ktere se vyskytujı v ekonomickych aplikacıch, odpovı-dajı intuitivnımu chapanı krivky v rovine. Jako prıklad si uved’me graf funkce

y = x2, x ∈ 〈−2, 2〉uvedeny na obr. 2.9

x

y

−2 −1 1 2

1

2

3

4

0

y = x2

Obrazek 2.9: Graf funkce y = x2.

Grafy nekterych funkcı si nedovedeme vykreslit. Prıkladem je funkce

f : R → {− 1, 1}

x →{

1, je-li x racionalnı,−1, je-li x iracionalnı.

K vytvorenı si hrube predstavy o grafu vysetrovane funkce f : A → Bsi v mnozine A muzeme zvolit body x0 < x1 < x2 < · · · < xn a v nichvypocıtat funkcnı hodnoty f(x0), f(x1), f(x2), . . . , f(xn). Jestlize pro nejakei je 〈xi, xi+1〉 ⊂ A, spojıme body [xi, f(xi)], [xi+1, f(xi+1)] useckou. Pro

”slusne“ funkce, nejsou-li vzdalebosti bodu xi, xi+1 velke, nam tyto usecky

dajı dobrou predstavu o grafu funkce. Tımto zpusobem se provadı i vykres-lovanı grafu funkcı uzitım pocıtace pro jemne delenı intervalu, v nemz grafvysetrujeme. Na obr. 2.10 je schematicky nacrtek grafu funkce

y =

{tg x, pro x ∈

⟨0, π

2

)∪(

π2, π⟩,

0, pro x = π2.

(2.9)

70

x0 ππ2

Obrazek 2.10: Graf funkce definovane vztahem (2.9).

x0 π

π2

Obrazek 2.11: Pokus o vykreslenı funkce y = tg(x)

Na obr. 2.11 je graficky”znazornena“ funkce (2.9) propojenım bodu

[xk, tg(xk)], kde xk = k · 0, 2, k = 0, · · · , 31.

Porovnanım obr. 2.11 s obr. 2.10 vidıme, ze doslo ke znacnemu zkreslenı.Dana funkce nenı

”slusna“. Je v bode π

2nespojita. Pojem nespojitosti funkce

si vysvetlıme pozdeji, zatım poznamenejme alespon to, ze hodnoty tetofunkce se v bodech blızkych k cıslu π

2znacne lisı od hodnoty teto funkce

v bode 0, tj. od cısla 0.

71


Obdrzeny vysledek ukazuje, ze vyse uvedeny postup”znazornenı funkce“ nenı

postacujıcı, je nutno jej kombinovat s vysetrenım nekterych vlastnostı funkce.

V ekonomickych rozvahach se bez pojmu funkce neobejdeme. Jako prıkladfunkce, ktera se v ekonomickych aplikacıch vysetruje, je funkce C(x), kteravyjadruje vztah mezi vyrobou x jednotek produkce a celkovymi naklady najejich vyrobu. Tyto vyrobnı naklady jsou souctem fixnıch nakladu a nakladuvariabilnıch, zavislych na poctu x jednotek produkce. Funkce C(x)

xse pak

nazyva funkcı prumernych nakladu. Uved’me si tento prıklad.

Prıklad. Pri kalkulaci nakladu se odhadnou fixnı naklady na 300 p.j. (penez-nıch jednotek). Jsou to naklady, ktere vznikajı, at’ se vyrabı nebo ne. Krometoho se zjistı, ze na vyrobu x jednotek je zapotrebı 4x p.j. Tedy variabilnınaklady jsou 4x. Celkove naklady jsou tedy

C(x) = 300 + 4x.

Tuto funkci lze pak pouzıt k dalsım uvaham, napr. ke stanovenı prumernychnakladu AC

AC = 4 +300

x.

Funkce C(x) ovsem nemusı byt linearnı. Dale v praktickych ulohach nemuzex presahnout jistou hodnotu K. Tedy 1 ≤ x ≤ K.

Poznamenejme, ze x v uvedenem prıklade znacı pocet jednotek produkce.Tedy x muze byt v konretnım prıpade jen prirozene cıslo. Kvuli zjednodusenızkoumane ekonomicke problematiky se casto pouzıva model s promenou x,ktera nabyva vsech hodnot jisteho intervalu realnych cısel. Tım muzeme do-stat zkreslene vysledky.

Funkce monotonnı, funkce suda a funkce lichaFunkce

rostoucı,

funkce

klesajıcıUved’me si nynı nektere vyznacne trıdy funkcı, to jest funkcı s nekterymitrıde charakteristickymi vlastnostmi. Zacneme s monotonnımi funkcemi.

Definice 2.2.

Necht’ f : A ⊆ R → R. Rekneme, ze f je na mnozine A

rostoucı (neklesajıcı), jestlize

∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), (f(x1) ≤ f(x2)).(2.10)

Definice 2.3.

Necht’ f : A ⊆ R → R. Rekneme, ze f je na mnozine A

klesajıcı (nerostoucı), jestlize

72

∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2), (f(x1) ≥ f(x2)).(2.11)

Na obr. 2.12 je uveden prıklad grafu funkce rostoucı a na obr. 2.13 je uvedenprıklad grafu funkce neklesajıcı na intervalu I .

x

y

f(x1)

f(x2)

x2x1 I0

Obrazek 2.12: Graf rostoucı funkce.

x

y

f(x1) = f(x2)

x2x1 I0

Obrazek 2.13: Graf neklesajıcı funkce.

Funkce na obr. 2.10 je na intervalu⟨0, π

2

)rostoucı, je rovnez rostoucı na

intervalu(

π2, π⟩. Nenı rostoucı ani na intervalu

⟨0, π

2

⟩ani na intervalu

⟨π2, π⟩.

Nenı ani rostoucı na intervalu (0, π). Zduvodnete!

Poznamka. Uved’me si, kdy funkce f nenı na mnozine A, na nız je defino-vana, rostoucı. Negujme tedy (2.10) v definici 2.2. Dostavame:

Funkce f : A ⊆ R → R nenı na A rostoucı, jestlize existujı takova cıslax1, x2 ∈ A, ze x1 < x2 a f(x1) ≥ f(x2).

Podobne vyjadrete, ze f nenı na mnozine A neklesajıcı, resp. klesajıcı, resp.nerostoucı. Funkce nerostoucı a funkce neklesajıcı na dane mnozine nazyvamespolecnym nazvem funkce monotonnı. Funkce rostoucı a funkce klesajıcı nadane mnozine nazyvame spolecnym nazvem funkce ryze monotonnı. Je-lifunkce ryze monotonnı, je i monotonnı. Opak nemusı platit.

Funkce

prosta

Funkce prosta. Dalsım dulezitym pojmem je funkceprosta. Necht’ f : A ⊆ R → R. Funkci f nazveme pros-tou na A, jestlize f ma tuto vlastnost

∀x1, x2 ∈ A, x1 �= x2 je f(x1) �= f(x2). (2.12)

Prıklad 2.11. Necht’ funkce y = f(x) je dana tabulkou

x 1 3 3,5 4 5y 3 1 0 2 4

Tedy napr. f(3) = 1, f(4) = 2 atd. Tato funkce je prosta. Nenı vsak anirostoucı ani klesajıcı.

73


Prıklad 2.12. Funkce y = x2 nenı na intervalu 〈−2, 2〉 prosta. Oznacmef(x) = x2. Zvolme napr. x1 = −1, x2 = 1. Je tedy x1 �= x2, avsakf(x1) = f(x2) = 1. Viz obr. 2.14.

x

y

−2 −1 1 2

1

2

3

4

0

y = x2

Obrazek 2.14: Funkce y = x2 definovana na intervalu 〈−2, 2〉.Funkce y = x2 je na intervalu 〈0, 2〉 prosta. Viz obr. 2.15

x

y

20 x1 x2 2

f(x1)

f(x2)

Obrazek 2.15: Funkce y = x2 je na intervalu 〈0, 2〉 prosta.

Porovnanım definicı rostoucı funkce, klesajıcı funkce a proste funkce dospe-jeme k tomuto zaveru:

Funkce ryze monotonnı na A ⊆ R je na A tez prosta.

Existuje vsak funkce prosta, ktera nenı ryze monotonnı (vizprıklad 2.11).

Funkce suda,

funkce lichaDefinice 2.4.

Rekneme, ze funkce y = f(x) je suda (licha), ma-li tutovlastnost: Je-li definovana v bode x, je definovana i v bode(−x) a platı f(−x) = f(x), (f(−x) = −f(x)).

74

Z definice je tedy patrno, ze graf sude funkce je symetricky vzhledem k osey a graf liche funkce je symetricky vzhledem k pocatku.

Prıkladem sude funkce je funkce y = x2. Skutecne, tato funkce je definovanapro vsechna x a platı (−x)2 = x2. Prıkladem liche funkce je funkce y = x3.Skutecne, tato funkce je definovana pro vsechna x a platı (−x)3 = −x3.

Kontrolnı otazky

1. Necht’ f(x) = 3x+1x−1

. Vypocıtejte

a) f(2) [7]

b) f(〈0, 3〉) [nelze, v bode 1 ∈ 〈0, 3〉 nenı f(x) definovano]

c) f(〈5, 6〉) [〈 175, 4〉]

2. Urcete definicnı obor funkce f(x) = 3x+1x2−1

.[Df = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,∞)]

3. Zjistete, zda funkce jsou sude, resp. liche:

a) f(x) = x2

x4−1[suda]

b) g(x) = xx3+2

[nenı ani suda, ani licha]

c) h(x) = xx2+1

[licha]

d) u(x) = x2+1x

[licha]

4. Co je to funkce rostoucı, klesajıcı, monotonnı?

5. Nacrtnete grafy funkcı

a) y = 2x − 1

b) y = x3 + 1

c) y = 3x+1x−2

2.3 Spojitost funkce Spojitost

funkce

v bodeZacneme s grafem funkce f : A ⊆ R → R (obr. 2.16) a s grafem funkce g :A ⊆ R → R (obr. 2.17) a vsimneme si, jak se tyto funkce chovajı v

”blızkosti“

bodu x = a ∈ A.

Funkce f se v cıslech x blızkych k cıslu a malo lisı od hodnoty f(a). Naprotitomu funkce g se v cıslech x blızkych k cıslu a hodne lisı od hodnoty g(a).Tuto charakteristickou vlastnost funkce f lze volne popsat tak, ze rekneme, zegraf funkce f je v bode a

”nepretrzity“. Podobne uvedenou charakteristickou

vlastnost funkce g lze volne popsat tak, ze rekneme, ze graf funkce g je v bodea

”pretrzity“.

Pouzita rcenı”x je blızko k cıslu a“,

”f(x) se malo lisı od f(a)“ a

”g(x)

se hodne lisı od g(a)“, graf je”pretrzity“ je nutno upresnit. Upresnıme je

v nasledujıcı definici.

Definice 2.5. (Spojitost funkce.)

Necht’ funkce f(x) je definovana na intervalu I. Necht’ a

je vnitrnım bodem intervalu I. Rekneme, ze funkce f(x) je

75


v bode a spojita, jestlize k libovolnemu cıslu ε > 0 existujetakove δ > 0, ze

1. Uδ(a) ⊂ I,

2. |f(x) − f(a)| < ε pro x ∈ Uδ(a).

x

y

0

f(a)

a

f(x)

Obrazek 2.16:Funkce spojita v bode x = a.

x

y

0 aA

g(x)g(a)

Obrazek 2.17:Funkce nespojita v bode x = a.

Vztah |f(x) − f(a)| < ε v definici vyjadruje, ze hodnota funkce f v bode xse lisı od f(a) o mene nez ε. Cıslo ε muze znamenat libovolne kladne cıslo.Okolnost, ze x ∈ Uδ(a) znamena, ze

a − δ < x < a + δ, (2.13)

tedy, ze bod x je od bodu a vzdalen o mene nez δ. Funkce f(x) znazornena

x

y

0 a − δ a a + δ

f(a)

f(a) + ε

f(a) − ε

f(x)

I

Obrazek 2.18: Funkce spojita v bode a.

na obrazku 2.18 je v bode a spojita. K libovolne zvolenemu cıslu ε existujetakove cıslo δ > 0, ze pro x ∈ (a− δ, a+ δ) lezı graf funkce v pasu omezenemprımkami y = f(a)− ε, y = f(a)+ ε. Cıslo ε je zvoleno libovolne, cıslo δ > 0se urcuje k zvolenemu ε > 0.

Vyznam definice 2.5 je graficky znazornen na obr. 2.19 pro funkci g, kteranenı v bode a spojita.

76

x

y

0 aI

g

g(a)

g(a) − ε

g(a) + ε

Obrazek 2.19: Graf nespojite funkce.

Na grafu 2.19 je patrno, ze lze zvolit takove cıslo ε > 0, ze k nemu neexistujecıslo δ > 0 tak, aby graf funkce g probıhal v intervalu (a − δ, a + δ) ⊂ Iv pasu omezenem prımkami y = g(a) − ε, y = g(a) + ε. Tedy funkce g nenıspojita v bode a.

Prıklad 2.13. Funkce f(x) = c, x ∈ R je spojita v kazdem bode a ∈ R.

Skutecne. Zvolme ε > 0. Potom pro kazde δ > 0 platı

Uδ(a) ⊂ R,

|f(x) − f(a)| = |c − c| = 0 < ε, x ∈ Uδ(a).

Je tedy funkce f(x) spojita v kazdem bode a ∈ R.

Prıklad 2.14. Funkce f(x) = x, x ∈ R je spojita v kazdem bode a ∈ R.

Skutecne. Zvolme ε > 0. Polozme δ = ε. Pak

Uδ(a) = Uε(a) = {x : a − ε < x < a + ε} ⊂ R

|f(x) − f(a)| = |x − a| < ε, x ∈ Uδ(a).

Je tedy funkce f(x) spojita v kazdem bode a ∈ R.

Podobne definujeme spojitost zprava a spojitost zleva funkce f(x).

Definice 2.6. (Spojitost funkce zleva a zprava.)

Necht’ funkce f(x) je definovana na intervalu I. Necht’ a ∈ I

je levym (pravym) koncovym bodem intervalu I. Rekneme,ze funkce f(x) je v bode a spojita zprava (zleva), jestlizek libovolnemu cıslu ε > 0 existuje takove δ > 0, ze

1. U+δ (a) ⊂ I (U−

δ (a) ⊂ I),2. |f(x) − f(a)| < ε pro x ∈ U+

δ (a) (x ∈ U−δ (a)).

Poznamka. Z definic 2.5, 2.6 vyplyva toto tvrzenı:

77


Necht’ funkce f(x) je definovana na intervalu I a necht’ a jejeho vnitrnım bodem. Potom funkce f(x) je spojita v bodea prave tehdy, kdyz je v bode a spojita zprava i zleva.

Zodpovezme si nynı otazku, zda funkce F (x), ktera vznikne z funkcı f(x),g(x) spojitych v bode a sectenım, resp. odectenım, resp. nasobenım, resp.delenım, je rovnez v bode a spojita. Platı tato veta. (Analogicka veta platıpro spojitost zleva (zprava) a v bode a.)

Veta 2.1.

Necht’ funkce f(x), g(x) jsou definovany v intervalu I anecht’ jsou spojite v jeho vnitrnım bode a. Potom i funkcef(x) ± g(x), f(x) · g(x) jsou spojite v bode a. Je-li navıc

g(a) �= 0, je i funkce f(x)g(x) spojita v bode a.

Dukaz:

a) Necht’ ε > 0 je libovolne cıslo. Ponevadz f(x) je spojita v bode a,existuje δ1 > 0 tak, ze Uδ1(a) ⊂ I a pro x ∈ Uδ1(a) platı

|f(x) − f(a)| <ε

2. (2.14)

Podobne, ponevadz g(x) je spojita v bode a, existuje δ2 > 0 tak, zeUδ2(a) ⊂ I a pro x ∈ Uδ2(a) platı

|g(x) − g(a)| <ε

2. (2.15)

Polozme δ = min(δ1, δ2). Potom pro x ∈ Uδ(a) dostavame

|(f(x)±g(x))−(f(a)±g(a))| ≤ |f(x)−f(a)|+|g(x)−g(a)| <ε

2+

ε

2= ε.

(2.16)Jsou tedy funkce f(x) ± g(x) spojite v bode a.

b) Necht’ ε > 0 je libovolne cıslo. Polozme

ε1 =ε

|f(a)| + |g(a)| + 1,

takze ε1 > 0. Existuje tedy δ1 > 0 tak, ze funkce f(x), g(x) jsoudefinovany v Uδ1(a) a pro x ∈ Uδ1(a) platı

|f(x) − f(a)| < ε1, |g(x) − g(a)| < ε1. (2.17)

Dale existuje takove δ2 > 0 tak, ze pro x ∈ Uδ2(a) platı |f(x)− f(a)| <1. Je tedy

|f(x)| = |f(a) + (f(x) − f(a))| ≤ |f(a)| + |f(x) − f(a)| < |f(a)| + 1.(2.18)

78

Polozmeδ = min(δ1, δ2).

Potom pro x ∈ Uδ(a) ⊂ I platı

|f(x)g(x) − f(a)g(a)| = |f(x)(g(x) − g(a)) + g(a)(f(x) − f(a))|,

to jest

|f(x)g(x) − f(a)g(a)| ≤ |f(x)| · |g(x) − g(a)| + |g(a)| · |f(x) − f(a)|.

Upravou s ohledem na (2.17), (2.18)

|f(x)g(x) − f(a)g(a)| ≤ (|f(a)| + 1)ε1 + |g(a)|ε1 = ε. (2.19)

Je tedy funkce f(x)g(x) spojita v bode a.

c) Dukaz poslednıho vztahu pro spojitost funkce f(x)g(x)

v bode a se provadıpodobne. Prenechavam jej ctenari.

Dusledek 1. Ponevadz funkce g(x) = c pro x ∈ R je spojita, dostavamez vety 2.1 tento zaver:

Necht’ funkce f(x) je definovana na intervalu I a necht’ a je jeho vnitrnı bod.Potom funkce cf(x) je spojita v a.

Toto tvrzenı lze zobecnit:

Necht’ funkce f1(x), f2(x), . . . , fn(x) jsou definovane na in-tervalu I a jsou spojite v jeho vnitrnım bode a. Necht’

c1, c2, . . . , cn ∈ R. Potom funkce

c1f1(x) + c2f2(x) + · · · + cnfn(x) (2.20)

f1(x)f2(x) . . . fn(x) (2.21)

jsou spojite v bode a. (Dokazte!)Slovy: Linearnı kombinace funkcı spojitych v bode a je opet spojitav bode a.

Dusledek 2.

Necht’ funkce f(x) je definovana na intervalu I a je spojitav jeho vnitrnım bode a. Potom pro kazde n ∈ N je funkce

fn(x) (2.22)

spojita v bode a. (Dokazte!)

79


Spojitost realneho polynomu.

Necht’

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0, x ∈ R, an �= 0,(2.23)

kde a0, a1, . . . , an ∈ R. Potom funkce (2.23), zvana realnypolynom stupne n, je spojita v kazdem bode a ∈ R.

Dukaz: Podle prıkladu 2.14 je funkce y = x spojita v bode a a podle prıkladu2.13 je funkce y = c spojita v bode x = a. Podle dusledku 2 jsou spojite ifunkce xm pro m = 1, 2, . . . , n. Podle dusledku 1 je v bode a spojita i funkce(2.23).

Prıklad 2.15. Funkce f(x) = x + 1, g(x) = x2 + 1 jsou spojite v kazdembode. Podle vety 2.1 je i funkce x+1

x2+1jakozto podıl dvou spojitych funkcı

spojita v bodech, v nichz je x2 + 1 �= 0. Ponevadz x2 + 1 �= 0 pro vsechnax ∈ R, je dana funkce spojita v kazdem bode x ∈ I .

Prıklad 2.16. Funkce y = x−1x2−1

nenı v bode 1 spojita, ponevadz v nem nenıani definovana.

Prıklad 2.17. Funkce

F (x) =

{ x−1x2−1

pro x �= 1, x �= −112

pro x = 1(2.24)

je spojita v bode x = 1.

Skutecne. Pro x �= 1 jex − 1

x2 − 1=

1

x + 1. (2.25)

Polozme g(x) = 11+x

pro x ∈ R, x �= −1. Funkce g(x) je v bode 1 spojita

podle vety 2.1, nebot’ g(x) je podıl dvou funkcı spojitych v bode 1. Tedy prolibovolne ε > 0 existuje δ > tak, ze Uδ(a) ⊂ Dg a platı∣∣∣∣g(x) − 1

2

∣∣∣∣ < ε pro x ∈ Uδ(a). (2.26)

Tedy

F (x) = g(x) pro x ∈ Uδ(a), (2.27)

F (1) = g(1) =1

2.

Je tedy funkce F (x) rovna spojite funkci g(x), x ∈ Uδ(a). Je tedy funkceF (x) v bode a spojita.

Funkce spojite na intervalu. Vrat’me se znovu k pojmu spojitosti funkce.Nektere funkce, napr. funkce y = x2 + 3x + 1, jsou spojite v kazdem bodex ∈ (−∞,∞). Zavedeme si nynı pojem spojitosti funkce na intervalu. Pri-pomenme si napred, ze bod a ∈ I je vnitrnım bodem intervalu I , nenı-li jehokrajnım bodem.

80

Funkce

spojita na

intervalu

– vlastnosti

Definice 2.7. (Funkce spojita na intervalu)

Budeme rıkat, ze funkce f(x) je spojita na intervalu I,jestlize

i) je spojita v kazdem vnitrnım bode intervalu I,ii) je-li a levym (pravym) koncovym bodem intervalu I, a

a ∈ I, potom f(x) je v bode a spojita zprava (zleva).

Prıklad 2.18. Funkce F (x) = 1x

je spojita na intervalu 〈2, 3〉.Skutecne. Funkce f(x) = 1, g(x) = x jsou spojite na intervalu (−∞,∞) a

g(x) �= 0 pro x �= 0. Podle vety 2.1 je funkce F (x) = f(x)g(x)

spojita v kazdem

bode intervalu (2, 3). Dale f(x) je spojita tez zprava (zleva) v bode a = 2(b = 3). Odtud dostavame, ze F (x) je spojita na 〈2, 3〉.

Uved’me si nekolik dulezitych vlastnostı funkcı spojitych na intervalu I .

Veta 2.2. (Zobrazenı intervalu)

Necht’ funkce f(x) je spojita na intervalu I. Potom zobra-zuje interval I bud’to na jednobodovou mnozinu, nebo nainterval.

Dukaz: Bez dukazu.

Prıklad 2.19. Funkce f(x) = 3, x ∈ 〈1, 2〉 zobrazuje interval 〈1, 2〉 namnozinu {3}. Funkce g(x) = 3x + 2 zobrazuje interval 〈5, 7) na interval〈17, 23). Nacrtnete grafy obou funkcı a na obrazku zduvodnete toto tvrzenı.

Veta 2.3. (Existence maxima a minima funkce)

Necht’ funkce f(x) je spojita na uzavrenem intervalu 〈a, b〉.Potom v nem nabyva sve maximalnı i minimalnı hodnotyalespon v jednom bode.

Dukaz: Bez dukazu.

Prıklad 2.20. Funkce f(x) = x2, x ∈ 〈−1, 3〉 nabyva sve minimalnı hodnotyv bode x = 0 a maximalnı hodnoty v bode x = 3.

Prıklad 2.21. Funkce f(x) = 1x, x ∈ (0, 3〉 nabyva v intervalu (0, 3〉 sve

minimalnı hodnoty v bode 3, maximalnı hodnoty nenabyva. Funkce F (x) jespojita na intervalu (0, 3〉, v bode 0 nenı definovana. Viz obr. 2.20.

Znamenı spojite funkce Znamenı

funkce

Nulovy bod funkce. Cıslo α nazyvame nulovym bodem funkce f , jestlizef(α) = 0.

81


x

y

1 2 30

y = 1

x

Obrazek 2.20: Funkce y = 1x

definovana na intervalu (0, 3〉

co je to

znamenı

funkce

Necht’ funkce f(x) je spojita na intervalu I. Urcit znamenıfunkce f(x) znamena urcit jejı nulove body a intervaly,v nichz funkce f nabyva jen kladne hodnoty a intervaly,v nichz nabyva jen zaporne hodnoty.

Necht’ funkce f(x) je spojita na intervalu I , jehoz levy (pravy) koncovy bodje a ∈ R∗ (b ∈ R∗). Necht’ x1, . . . , xn jsou nulove body funkce f(x), ktere jsouvnitrnımi body intervalu I . Polozme x0 = a, xn+1 = b. Potom funkce f(x) jena kazdem intervalu (xi, xi+1), i = 0, 1, . . . , n kladna nebo zaporna.

Prıklad 2.22. Urcete znamenı funkce f(x) = 2x − 1.

Resenı. Funkce f(x) je spojita na intervalu (−∞,∞). Ma jediny koren x =12, ktery dostaneme resenım rovnice f(x) = 0, tj. rovnice 2x−1 = 0. Polozme

x1 = 12. Ponevadz napr. pro x = 0 ∈ (−∞, 1

2) je f(0) = −1 < 0, je f(x) < 0

na intervalu (−∞, 12). Podobne, ponevadz napr. pro x = 1 je f(1) = 1 > 0,

je f(x) > 0 na intervalu (12,∞). Graficky znazornıme znamenı teto funkce

takto:+−

1

2

Kontrolnı otazky

1. Vysvetlete pojem spojitosti funkce v bode.

2. Uved’te, zda funkce je spojita v danem bode a.

a) y = x2 + 1, a = 2 [je spojita]

b) y = 1x−1

, a = 1 [nenı spojita]

3. Necht’ f(x) = −x + 2. Urcete f(〈0, 2〉). [〈0, 2〉]4. Urcete znamenı funkcı

a) y = 4x + 1 [+−

− 1

4

]

b) y = 1x−1

[+−

1]

82

2.4 Polynom a racionalnı lomena funkcePolynom

Prıkladem komplexnı funkce komplexnı promenne je polynom.

Necht’ an, an−1, . . . , a1, a0 jsou komplexnı cısla. Jestlize kekazdemu komplexnımu cıslu x ∈ C priradıme cıslo f(x)vztahem

f(x) = anxn + · · · + a1x + a0, (2.28)

je jım definovana komplexnı funkce na mnozine vsech kom-plexnıch cısel C. Tato funkce se nazyva polynom. Cıslaan, . . . , a0 nazyvame koeficienty polynomu f(x). Cıslo a0

nazyvame absolutnım clenem polynomu f(x). Jestlize an �=0, polynom f(x) nazyvame polynomem n-teho stupne.

Napr. f(x) = x2 + 1 je polynom 2. stupne. Podle definice stupne nenı poly-nomu f(x) = 0 prirazen zadny stupen. Nazyvame jej nulovym polynomem.

Cıslo α nazyvame korenem (nulovym bodem) polynomuf(x), jestlize

f(α) = 0.

Napr. polynomP (x) = x3 + x (2.29)

ma koreny 0, i,−i, nebot’ P (0) = 0, P (i) = i3 + i = 0. Podobne P (−i) =(−i)3 + (−i) = 0.

Jestlize P (x) je polynom a α je jeho koren, potom polynom prvnıho stupnex − α se nazyva korenovym cinitelem odpovıdajıcımu korenu α.

O polynomu platı tyto vety:

Veta 2.4.

Necht’ α je korenem polynomu f(x) stupne n ≥ 1. Potomexistuje takovy polynom g(x) stupne n − 1, ze pro kazdekomplexnı cıslo x platı

f(x) = (x − α) · g(x).

x − α nazyvame korenovym cinitelem polynomu f(x).

83


Dukaz: Ponevadz f(α) = 0 lze polynom f(x) zapsat jako

f(x) = f(x) − f(α) = (anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0) −−(anαn + an−1α

n−1 + · · · + a1α + a0).

Upravou dostavame

f(x) = an(xn − αn) + an−1(xn−1 − α−1) + · · · + a1(x − α).

Ponevadz

xk − αk = (x − α)(xk−1 + αxk−2 + · · · + αk−1), pro k = 1, 2, . . . , n,

lze psatf(x) = (x − α) · [an(xn−1 + · · · + αn−1) + · · · + a1],

to jestf(x) = (x − α)g(x),

coz jsme chteli dokazat.

Prıkladem je polynomf(x) = x2 − x − 2,

ktery ma cıslo 2 za svuj koren, nebot’ f(2) = 0. Existuje tedy polynom g(x)stupne 2 tak, ze

f(x) = (x − 2)g(x).

Delenım polynomu f(x) korenovym cinitelem x − 2 dostavame

( x2 − x− 2 ) : (x − 2) = x + 1±x2 ∓ 2x

x− 2± x∓ 2

0

tj.(x2 − x − 2) : (x − 2) = x + 1,

takzef(x) = (x − 2)(x + 1).

Zatım jsme pouze zavedli pojem korene polynomu, ale nezabyvali jsme seproblemem existence korene polynomu. O tom vypovıda nasledujıcı veta:Koreny

polynomu

Veta 2.5. (Fundamentalnı veta algebry)

Kazdy polynom stupne n ≥ 1 ma v oboru komplexnıch cıselkoren.

84

Dukaz: Bez dukazu.

Definice 2.8.

Rıkame, ze cıslo α je k–nasobnym korenem polynomu f(x),jestlize pro kazde komplexnı cıslo x platı

f(x) = (x − α)kg(x),

kde g(x) je takovy polynom, ze g(α) �= 0.

Prıklad 2.23. Polynom x3 − 3x2 + 4 lze zapsat ve tvaru

x3 − 3x2 + 4 = (x − 2)2(x + 1).

Je tedy x = 2 dvojnasobnym a x = −1 jednoduchym korenem polynomux3 − 3x2 + 4.

Dusledek. Polynom n–teho stupne, n ≥ 1,


n−1 + · · · + a1x + a0, an �= 0

ma prave n korenu, pocıtame-li k–nasobny koren za k korenu.

Dukaz: Jestlize n = 0, a0 �= 0, je tvrzenı zrejme. Necht’ tedy f(x) je polynomstupne 1. Potom f(x) = a1x + a0, kde a1 �= 0. Potom f(x) = a1(x + a0

a1),

takze f(x) = (x − α)a1, kde α = −a0

a1.

Predpokladejme, ze veta platı pro polynomy stupne n− 1 a dokazme, ze pakveta platı take pro polynomy stupne n. Necht’ tedy


n−1 + · · · + a1x + a0, an �= 0.

Podle fundamentalnı vety algebry ma polynom f(x) koren v oboru kom-plexnıch cısel, oznacme jej α. Tedy

f(x) = (x − α)g(x),

kde g(x) je polynom stupne n−1, ktery ma podle predpokladu n−1 korenu.Ponevadz α je korenem polynomu f(x), ma f(x) prave n korenu.

Prıklad 2.24. Ponevadz

x4 + 4x3 − 16x − 16 = (x + 2)3(x − 2),

je x = 2 jednoduchym a x = −2 trojnasobnym korenem tohoto polynomu.Ma tedy dany polynom 4 koreny.

Dusledek. Jestlize polynom f(x) je roven nule v nekonecne mnoha cıslech,pak je to polynom nulovy.

85


Dukaz: Kdyby polynom byl stupne n ≥ 1, byl by roven nule nejvyse v nnavzajem ruznych cıslech. To je spor, takze polynom ma vsechny koeficientynulove. Pro n = 0 je veta zrejma.

Dusledek. Jestlize dva polynomy f(x), g(x) nabyvajı stejne hodnoty v ne-konecne mnoha cıslech, pak majı stejne koeficienty u stejnych mocnin x.

Dukaz: Oznacmeh(x) = f(x) − g(x).

Polynom h(x) ma nulovou hodnotu v nekonecne mnoha cıslech, takze vsechnyjeho koeficienty jsou nulove. Odtud snadno plyne tvrzenı.

Realny polynom

Polynom s realnymi koeficienty budeme nazyvat realnympolynomem.

Veta 2.6.

Je-li α + iβ, β �= 0 jednoduchym korenem realneho poly-nomu


n+1 + · · · + a1x + a0, an �= 0, (2.30)

je tez cıslo α − iβ jeho korenem.

Dukaz: Dosazenım x = α + iβ do (2.30) dostavame

f(α + iβ) = an(α + iβ)n + an−1(α + iβ)n−1 + · · · + a1(α + iβ) + a0

= A + iB,

kde A = Re(f(α+iβ)), B = Im(f(α+iβ)). Ponevadz f(α+iβ) = A+iB = 0,je A = 0, B = 0. Ponevadz (α − iβ)r je cıslo komplexne sdruzene k cıslu(α + iβ)r pro r = 1, 2, . . . , n, platı

f(α − iβ) = an(α − iβ)n + an−1(α − iβ)n−1 + · · · + a1(α − iβ) + a0

= A − iB.

Ponevadz A = B = 0, je f(α − iβ) = 0, takze α − iβ je korenem polynomu(2.30).

Je tedy polynom (2.30) delitelny soucinem korenovych cinitelu

(x − (α + iβ)) · (x − (α − iβ)) = (x − α)2 + β2,

tedy realnym polynomem druheho stupne. Je tedy

f(x) = [(x − α)2 + β2]f1(x), (2.31)

86

kde f1(x) je realny polynom stupne n − 2. Kdyby α + iβ byl dvojnasobnymkorenem realneho polynomu f(x), byl by α + iβ jednoduchym korenemrealneho polynomu f1(x), urceneho vztahem (2.31). Tedy α− iβ by byl podlevety 2.6 tez jeho korenem. Bylo by tedy mozne psat

f1(x) = [(x − α)2 + β2]f2(x), (2.32)

kde f2(x) je realny polynom stupne n − 4. Tedy

f(x) = [(x − α)2 + β2]2f2(x).

Tımto jsme dospeli k tomuto zaveru

Je-li α+iβ, β �= 0, k–nasobnym korenem realneho polynomuf(x), je i α − iβ k–nasobnym korenem polynomu f(x).

Poznamka. Jestlize polynom nenı realny, tvrzenı vety nemusı byt splneno.Napr. polynom f(x) = x2 + x(1 − i) − i ma cıslo i za svuj koren, avsak −inenı jeho korenem.

Z toho, co jsme o korenech polynomu uvedli, lze dospet k tomuto tvrzenı.

Rozklad

realneho

polynomu

Necht’ f(x) je realny polynom. Necht’ α, β, . . . , γ jsouvsechny jeho navzajem ruzne realne koreny a to α

k–nasobny, β l–nasobny, . . . , γ m–nasobny. Necht’

a ± ib, . . . , c ± id jsou vsechny jeho navzajem ruzne dvo-jice nerealnych komplexne sdruzenych korenu. Necht’ a + ib

je p–nasobny,. . . , c + id je q–nasobny koren. Potom platı

f(x) = an · (x − α)k · (x − β)l · · · · · (x − γ)m ··[(x − a)2 + b2]p · · · · · [(x − c)2 + d2]q. (2.33)

pro kazde komplexnı cıslo x.Polynom f(x) zapsany ve tvaru (2.33) nazyvame rozklademrealneho polynomu v realnem oboru.

Hledanı

korenu

polynomu

Hledanı korenu polynomu. Vyslovili jsme sice vetu o existenci korenupolynomu, avsak neuvedli jsme zatım nic o zpusobu jejich hledanı. Tato pro-blematika je znacne rozsahla a jejı vyklad v plnem rozsahu je nad ramectohoto textu. Uvedeme zde alespon nekolik uvodnıch poznamek k teto pro-blematice.

Hledanı korenu polynomu 1. a 2. stupne by Vam melo byt vsem dobre znamo.Nekterym z Vas mozna nenı znam prıpad, kdy koreny kvadraticke rovnice

87


jsou komplexnı. Proto si uvedeme i prıpad hledanı korenu polynomu 1. a2. stupne. Zde nenı uvedeno podrobne odvozovanı. Vyklad tykajıcı se poly-nomu 2. stupne je nutno chapat jen jako pripomenutı poznatku z matematikyv drıvejsım studiu. Ukazeme si i metody na hledanı korenu polynomu 3. a 4.stupne, jimz tyto koreny urcıme z jejich koeficientu konecnym poctem arit-metickych operacı a odmocnovanım. Je dokazano, ze neexistuje vypoctovy po-stup, kterym by bylo mozno v obecnem prıpade urcit koreny kazdeho polynomustupne vetsıho nez 4 z jeho koeficientu provedenım konecneho poctu aritme-tickych operacı a odmocnovanı. Vypoctove postupy, kterymi by bylo mozneurcit koreny kazdeho polynomu 3. a 4. stupne z jeho koeficientu konecnympoctem aritmetickych operacı a odmocnovanı, ktere uvedeme, davajı nekdyvysledky v neprehlednem tvaru, takze se dava casto prednost numerickympostupum, ktere jsou pouzitelne pro hledanı korenu polynomu stupnu vetsıchnez 2.

Hledanı korenu polynomu

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0, (2.34)

kde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ C, an �= 0, vede na resenı algebraicke rovnice

anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0 = 0. (2.35)

Cıslo α je korenem polynomu (2.34), kdyz a jenom kdyz je resenım rovnice(2.35).

Koreny polynomu 1. stupne. Pro n = 1 dostavame z (2.34) polynom

P1(x) = a1x + a0, a1 �= 0. (2.36)

Prıslusnou algebraickou rovnici

a1x + a0 = 0, a1 �= 0, (2.37)

nazyvame linearnı rovnicı. Ma jediny koren, oznacıme jej x1, kde

x1 = −a0

a1

. (2.38)

Polynom P1(x) = a1x + a0, a1 �= 0, ma jediny koren x1 =−a0

a1. Grafem realneho polynomu 1. stupne (2.36) je prımka

y = a1x + a0, (2.39)

ktera protına osu x v bode x1 = −a0

a1. (Viz obr. 2.21.)

88

xx1

y = a1x + a0

Obrazek 2.21: Graf linearnı funkce (2.39).

Prıklad 2.25. Napr. polynom

P1(x) = 2x + 3 (2.40)

ma prave jeden koren x1, ktery je korenem rovnice

2x + 3 = 0.

Tımto korenem je cıslo x1 = −32. (Nakreslete si jeho graf.)


P2(x) = a2x2 + a1x + a0, a2 �= 0. (2.41)

Koreny tohoto polynomu jsou resenım kvadraticke rovnice

a2x2 + a1x + a0 = 0, a2 �= 0. (2.42)

Resenı

kvadraticke

rovnice

Koreny x1, x2 (ve strucnem zapisu x1,2) polynomu (2.41),tedy resenı kvadraticke rovnice (2.42), lze urcit podle vztahu

x1,2 =−a1 ±

√a2

1 − 4a2a0

2a2. (2.43)

(Vztah (2.43) platı i pro polynomy, ktere nejsou realne.)

CısloD = a2

1 − 4a2a0 (2.44)

se nazyva diskriminant kvadraticke rovnice (2.42).

Diskuze – realny polynom 2. stupne. Necht’

P2(x) = a2x2 + a1x + a0, (2.45)

kde a2, a1, a0 ∈ R, a2 �= 0, je realny polynom 2. stupne. Mohou nastat tytoprıpady.

a) D = 0. V tomto prıpade dostavame z (2.43)

x1,2 = − a1

2a2

. (2.46)

b) D > 0. V tomto prıpade je√

D realne cıslo a z (2.43) dostavame

x1 =−a1 −

√D

2a2

, x2 =−a1 +

√D

2a2

. (2.47)

89


c) D < 0. V tomto prıpade dostavame z (2.43)

x1 =−a1 − i

√|D|

2a2

, x2 =−a1 + i

√|D|

2a2

. (2.48)

Prıklad 2.26. Urcete koreny polynomu

a) f(x) = 2x2 − 3x,b) g(x) = x2 − 5x + 6,c) h(x) = x2 + x + 1.

Resenı.

a) Koreny polynomu f(x) jsou koreny rovnice

2x2 − 3x = 0. (2.49)

Ponevadz rovnice nema absolutnı clen, nenı nutno k jejımu resenı pouzıtvztah (2.43). Rovnici (2.49) prepıseme na tvar

x(2x − 3) = 0. (2.50)

Ponevadz soucin dvou vyrazu je roven 0, kdyz alespon jeden z nich jeroven 0, z (2.50) vyplyva x = 0 nebo 2x − 3 = 0. Odtud

x1 = 0, x2 =3

2.

b) Koreny polynomu g(x) dostaneme resenım kvadraticke rovnice

x2 − 5x + 6 = 0.

Diskriminant D teto rovnice pocıtame podle (2.44). Dostavame D =52 − 4 · 1 · 6, tedy D = 1. Podle (2.47) dostavame

x1 =5 −

√1

2, x2 =

5 +√

1

2,

tedyx1 = 2, x2 = 3.

c) Koreny polynomu h(x) dostaneme resenım kvadraticke rovnice

x2 + x + 1 = 0.

Diskriminant teto rovnice pocıtame podle (2.44). Dostavame

D = 1 − 4 · 1 · 1, takze D = −3.

Podle (2.48) dostavame

x1 =−1 − i

√3

2, x2 =

−1 + i√

3

2.

90

Graf

polynomu

2. stupne

Grafem realneho polynomu 2. stupne (2.41)

y = a2x2 + a1x + a0, a2 �= 0,

je parabola, ktera je pro a2 > 0 otevrena ve smeru kladneosy y a pro a2 < 0 je otevrena ve smeru zaporne osy y.

Oznacıme D = a21−4a2a0. Je-li D > 0, parabola protına osu

x ve dvou ruznych bodech x1, x2 danych vztahem (2.47). Je-li D = 0, parabola se dotyka osy x v bode x1 = x2 danemvztahem (2.46). Je-li D < 0, parabola neprotına osu x. Vizobr. 2.22—2.27.

xx1 x2

Obrazek 2.22:a2 > 0, D > 0

xx1,2

Obrazek 2.23:a2 > 0, D = 0

x

Obrazek 2.24:a2 > 0, D < 0

xx1 x2

Obrazek 2.25:a2 < 0, D > 0

xx1,2

Obrazek 2.26:a2 < 0, D = 0

x

Obrazek 2.27:a2 < 0, D < 0

Resenı

rovnice

3. stupne –

informativne


P3(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x + a0, (2.51)

kde a3, a2, a1, a0 ∈ C, a3 �= 0. Tento polynom ma podle dusledku vety 2.5 prave tri koreny,pocıtame-li k–nasobny koren za k korenu. Tyto koreny nalezneme resenım kubicke rovnice

a3x3 + a2x

2 + a1x + a0 = 0, a3 �= 0.

Nasledujıcı vyklad je strucny, je uveden pro Vasi predstavu o postupu resenı. Delenım tetorovnice cıslem a3 dostavame rovnici, kterou zapisme jako

x3 + b2x2 + b1x + b0 = 0. (2.52)

Existuje rada metod na resenı rovnice (2.52). Naznacme strucne jednu z nich. Mıstopromenne x zaved’me promennou y vztahem

x = y − 1

3b2. (2.53)

91


Jejım dosazenım do (2.52) dostavame(y − 1

3b2

)3

+ b2

(y − 1

3b2

)2

+ b1

(y − 1

3b2

)+ b0 = 0.

Upravou teto rovnice obdrzımey3 + py + q = 0, (2.54)

kde jsme polozili

p = b1 −1

3b22, q = b0 −

1

3b2b1 +

2

27b32.

Pro p = 0 by rovnice (2.54) presla ve tvar

y3 + q = 0.

Jejım resenım jey1,2,3 = 3

√−q.

Zde chapeme 3√· v komplexnım oboru jako trojznacnou.

Necht’ p �= 0. Mısto nezname y zavedeme dve nezname vztahem

y = u + v (2.55)

a zvolıme mezi nimi takovy vztah, ze cely problem se zjednodusı. Dosazenım (2.55) do(2.54) dostavame

(u + v)3 + p(u + v) + q = 0. (2.56)

Upravou (2.56) obdrzıme

u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0. (2.57)

Zmıneny vztah mezi u, v zvolme takto:

3uv = −p. (2.58)

Tım se rovnice (2.57) prevede na tvar

u3 + v3 = −q. (2.59)

Z rovnic (2.58) a (2.59) obdrzıme

u3 = −1

2q −√

q2

4+

p3

27, v3 = −1

2q +

√q2

4+

p3

27.

Odtud dostavame

u =3

√−1

2q −√

q2

4+

p3

27, v =

3

√−1

2q +

√q2

4+

p3

27, (2.60)

kde kazda velicina u, v je trojznacna. Mame tedy celkem 9 jejich kombinacı. Uvazujmeta u, v, ktera vyhovujı rovnicım (2.58), (2.59). Jejich vyberem a dosazenım do (2.55)dostavame

y1 =3

√−1

2q −√

q2

4+

p3

27+

3

√−1

2q +

√q2

4+

p3

27,

y2 = ε3

√−1

2q −√

q2

4+

p3

27+ ε2

3

√−1

2q +

√q2

4+

p3

27, (2.61)

y3 = ε23

√−1

2q −√

q2

4+

p3

27+ ε

3

√−1

2q +

√q2

4+

p3

27,

92

kde

ε =−1 + i

√3

2, ε2 =

−1 − i√

3

2.

Zaver: Postup hledanı korenu polynomu

P3(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x + a0,

kde a3, a2, a1, a0 ∈ C, a3 �= 0, urcıme v techto krocıch:

a) Polozme

b2 =a2

a3

, b1 =a1

a3

, b0 =a0

a3

. (2.62)

b) Polozme

p = b1 −1

3b22, q = b0 −

1

3b2b1 +

2

27b32. (2.63)

c) Vypocıtejme y1, y2, y3 podle (2.61).d) Polozme

xi = yi −1

3b2, i = 1, 2, 3. (2.64)

Prıklad 2.27. Naleznete koreny polynomu

P3(y) = y3 − 9y − 28. (2.65)

Resenı. V nasem prıpade je

b2 = 0, b1 = −1, b0 = −28.

Podle (2.63) dostavamep = −9, q = −28.

Dosazenım do (2.61) dostavame

y1 =3

√−1

2(−28) +

√282

4− 93

27+

3

√−1

2(−28) −

√282

4− 93

27.

Upravouy1 = 3 + 1, tedy y1 = 4.

Dale

y2 =−1 + i

√3

2· 3 +

−1 − i√

3

2· 1,

y3 =−1− i

√3

2· 3 +

−1 + i√

3

2· 1.

Upravouy2 = −2 + i

√3, y3 = −2 − i

√3.

Prıklad 2.28. Naleznete koreny polynomu

P3 = y3 − 5y + 4. (2.66)

Resenı. Je zrejme, ze y1 = 1 je korenem P3(y). (Presvedcıme se dosazenım.) Delenımy3 − 5y + 4 korenovym cinitelem y − 1 dostavame

y3 − 5y + 4 = (y − 1) · (y2 + y − 4).

93


Resenım rovnicey2 + y − 4 = 0

dostavame dalsı koreny

y2,3 =−1 ±

√17

2.

Tedy

y1 = 1, y2 =−1−

√17

2, y3 =

−1 +√

17

2

jsou koreny polynomu P3(x).

Hledejme koreny daneho polnomu P3(x) vyse uvedenym postupem. V tomto prıpade je

b2 = 0, b1 = −5, b0 = 4.


p = −5− 1

3· 0, q = 4 − 1

3· 0 · (−5) +

2

27· 03.

Upravoup = −5, q = 4.


y1 =3

√−1

2· 4 +

√16

4+

(−5)3

27+

3

√−1

2· 4 −

√16

4+

(−5)3

27.

Upravou

y1 =3

√−2 +

1

3

√−17

3+

3

√−2 − 1

3

√−17

3,

y2 =−1 + i

√3

2

3

√−2 +

1

3

√−17

3+

−1− i√

3

2

3

√−2 − 1

3

√−17

3,

y3 =−1 − i

√3

2

3

√−2 +

1

3

√−17

3+

−1 + i√

3

2

3

√−2 − 1

3

√−17

3.

Resenı

rovnice

4. stupne –

informativne


P4(x) = a4x4 + a3x

3 + a2x2 + a1x + a0, (2.67)

kde a4, a3, a2, a1, a0 ∈ C, a4 �= 0. Tento polynom ma podle dusledku vety 2.5 prave ctyrikoreny. Tyto koreny nalezneme resenım algebraicke rovnice 4. stupne

a4x4 + a3x

3 + a2x2 + a1x + a0 = 0, a4 �= 0. (2.68)

K resenı teto rovnice je znama rada metod. Uvedeme jeden ze znamych vypoctovychpostupu.

Postup hledanı korenu polynomu

a4x4 + a3x

3 + a2x2 + a1x + a0 = 0, a4 �= 0.

a) Polozme

b3 =a3

a4

, b2 =a2

a4

, b1 =a1

a4

, b0 =a0

a4

.

94

Tım rovnici (2.68) prevedeme na rovnici

x4 + b3x3 + b2x

2 + b1x + b0 = 0. (2.69)

Substitucı

x = y − b3

4(2.70)

do rovnice (2.69) dostaneme rovnici

y4 + py2 + qy + r = 0, (2.71)

kdep = b2 − 3

8b3,

q = b1 − 1

2b3b2 + 1

8b33,

r = b0 − 1

4b3b1 + 1

16b23b2 − 3

256b43.

(2.72)

b) Resme kubickou rovnici

t3 + 2pt2 + (p2 − 4r)t − q2 = 0. (2.73)

Oznacme t1, t2, t3 jejı koreny.c) Urceme koreny y1, y2, y3, y4 rovnice (2.71) podle vztahu

2y1 =√

t1 +√

t2 +√

t3,2y2 =

√t1 −

√t2 −

√t3,

2y3 = −√

t1 +√

t2 −√

t3,2y4 = −

√t1 −

√t2 +

√t3.

(2.74)

d) Koreny x1, x2, x3, x4 polynomu P4(x) urcıme ze vztahu

xi = yi −b3

4, i = 1, 2, 3, 4. (2.75)

Urcenı korenu polynomu 4. stupne je tedy prevedeno na resenı kubicke rovnice.

Shrnme si nynı dosazene poznatky o hledanı korenu polynomu.

Koreny polynomu 1. a 2. stupne se hledajı vyse uve-denym zpusobem. Koreny polynomu 3. a 4. stupne lze siceresit vyse uvedenymi postupy, resp. jinymi algoritmy, avsakvysledky byvajı vyjadreny casto v komplikovanem tvaru.Pro obecne polynomy stupnu vetsıch nez 4 je dokazano,ze nelze nalezt postupy, jimiz by z jejich koeficientu bylomozno v obecnem prıpade nalezt koreny konecnym poctemaritmetickych operacı a odmocnovanı. To ovsem nezna-mena, ze koreny nekterych specialnıch polynomu nelze urcitkonecnym poctem zmınenych operacı. Je tomu napr. propolynomy Pn(x) = xn − a0. K urcenı korenu polynomustupnu vetsıch nez 2 se pouzıvajı numericke metody. Uce-leny vyklad techto metod presahuje ramec tohoto studijnıhotextu. V dalsım pojednanı se k teto problematice vratıme.V prıpade potreby je mozno urcit koreny na pocıtaci, pokudjsou na nem zabudovane vhodne programy.

95


Racionalnı lomena funkce

Racionalnı lomenou funkcı nazyvame kazdou funkci tvaru

F (x) =f(x)

g(x), g(x) �≡ 0,

kde f(x) a g(x) jsou polynomy. Ponevadz polynom je de-finovan v kazdem komplexnım cısle, je racionalnı lomenafunkce definovana ve vsech komplexnıch cıslech v nichz jeg(x) �= 0, tj. ve vsech cıslech x, ktera nejsou koreny funkceg(x).


F (x) =2x + 3

x3 + x

je racionalnı lomena funkce. Jmenovatel, funkce g(x) = x3 + x, lze psat vetvaru g(x) = x(x + i)(x − i). Je tedy F (x) definovana ve vsech komplexnıchcıslech ruznych od 0,−i, i.

Necht’ citatel i jmenovatel racionalnı lomene funkce F (x) majı spolecnehokorenoveho cinitel x−α. Zkratıme-li tımto spolecnym korenovym cinitelem,dostaneme novou racionalnı lomenou funkce, oznacme ji G(x). Funkce F (x),G(x) majı stejne hodnoty pro x �= α. Muze se ale stat, ze funkce G(x) jev α definovana, zatımco F (x) nenı v cısle α definovana. V dalsım budemepredpokladat, ze citatel a jmenovatel racionalnı lomene funkce nemajı zadnystejny koren.

Necht’ n je stupen polynomu citatele a m je stupen polynomu jmenovateleracionalnı lomene funkce F (x). Jestlize je n < m, funkci F (x) nazyvame ryzelomenou, jestlize n ≥ m, nazyvame funkci F (x) neryze lomenou.

Necht’

F (x) =f(x)

g(x)

je neryze lomena funkce. Delenım funkce f(x) funkcı g(x) dostaneme

f(x) = P (x) · g(x) + Q(x),

kde P (x), Q(x) jsou polynomy. Polynom Q(x) je zbytek po delenı, jehostupen je mensı nez stupen polynomu g(x). Je tedy

F (x) = P (x) +Q(x)

g(x).

Funkce Q(x)g(x)

je ryze lomena racionalnı funkce.

Slovy: Neryze lomenou racionalnı funkci lze napsat jakosoucet polynomu a ryze lomene racionalnı funkce.

96


R(x) =3x4 − 2x3 + 1

x2 + 1

je neryze lomena. V citateli je polynom stupne 4, ve jmenovateli je polynomstupne 2. Delenım dostavame

(3x4 −2x3 +1 ) : (x2 + 1) = 3x2 − 2x − 3 + 2x+4x2+1

±3x4 ±3x2

−2x3 −3x2 +1∓2x3 ∓2x

−3x2 +2x +1∓3x2 ∓3

2x +4

Kontrolnı ulohy

1. V kterych bodech je funkce f(x) = 3x−2x2−4

spojita? Zduvodnete.[ve vsech bodech ruznych od ±2]

2. Urcete koreny polynomu

a) x2 − 7x + 12 [3, 4]

b) x2 + x + 1 [−12± i

√3

2]

c) x3 + 1 [−1, 1±i√

32

]3. Rozlozte na korenove cinitele polynom

x4 − x3 + 12x2 − 13x + 45

vıte-li, ze ma koren 1+2i. [(x−1+2i)(x−1−2i)(x− −1+i√

352

)(x− −1−i√

352

)]

4. Dokazte, ze polynom

x4 − 5x3 + 6x2 − 9x + 27

ma dvojnasobny koren 3.

5. Reste rovnici

x5 − 7x4 + 9x3 − x2 + 7x − 9 = 0

vıte-li, ze ma za koreny vsechny tretı odmocniny z jedne. [1, −1±i√

32

, 7±√

132

]

6. Rozlozte v realnem oboru polynom x4 + 1.[Navod: x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − 2x2, x4 + 1 = (x2 + 1)2 − 2x2. Odtud(x2 + x

√2 + 1)(x2 − x

√2 + 1).]

7. Rozlozte na soucet polynomu a ryze lomenne racionalnı funkce:

x4 + 6x2 + x − 2

x4 − 2x3[1 + 2x3+6x2+x−2

x4−2x3 ]

97


8. Urcete znamenı funkcı

a) (x3 + 27)3(x − 5)2 [−3 5

− + +]

b)(x2 − 1)2

x + 3[

−3 −1 1

− + + +]

c)(2x + 1)3(x2 − 3)3

x(x − 2)[

−√

3 − 1

20

√3 2

− + − + − +]

2.5 Funkce slozena a funkce inverznı. Elementarnı fun-kce

Slozena

funkce

Slozena funkce. Necht’ A je neodvisly obor funkce u =ϕ(x). Oznacme B = ϕ(A) odvisly obor funkce ϕ. Necht’

f(u) je funkce definovana na mnozine B. Ke kazdemu cıslux ∈ A prirad’me cıslo F (x) vztahem

F (x) = f(ϕ(x)), (2.76)

to jest hodnotu funkce f v cısle u = ϕ(x) ∈ B. Funkci f

nazyvame vnejsı slozkou a funkci ϕ vnitrnı slozkou funkceF .

Prıklad 2.31. Funkci

y = (x2 + 1)7, x ∈ (−∞,∞)

muzeme chapat jako slozenou funkci. Polozme

A = (−∞,∞),

u = ϕ(x), kde ϕ(x) = x2 + 1, x ∈ A.

OznacmeB = ϕ(A), tedy B = 〈1,∞).

Polozmey = f(u), kde f(u) = u7, u ∈ B.

Potom ke kazdemu x ∈ A je funkcı ϕ prirazeno u = ϕ(x) ∈ B. K tomutocıslu u je funkcı f prirazeno cıslo y = f(u). Tedy y = f(ϕ(x)).

Je tedy f(u) = u7 vnejsı a u = x2 + 1 vnitrnı slozkou funkce y = (x2 + 1)7.

Poznamka. Slozena funkce muze byt vıcenasobne slozena. Napr. jestlize fje jejı vnejsı slozkou a ϕ je jejı vnitrnı slozkou, potom vnitrnı slozka ϕ muzebyt opet slozenou.

O spojitosi slozene funkce platı tato veta.

98

Veta 2.7. (Spojitost slozene funkce)

Necht’ funkce ϕ(x) je spojita na intervalu I. Necht’ ϕ(I)je interval J , na nemz je funkce y = f(u) spojita. Potomslozena funkce f(ϕ(x)) je spojita na intervalu I.

Dukaz: Je nutno dokazat, ze veta o spojitosti platı v libovolnem bode a ∈ I .Omezıme se na prıpad, ze a je vnitrnı bod intervalu I a α = ϕ(a) je vnitrnıbod intervalu J . Sami si promyslete jine prıpady.

Necht’ tedy a je vnitrnım bodem intervalu I a α = ϕ(a) je vnitrnım bodemintervalu J . Necht’ ε > 0 je libovolne cıslo. Ponevadz f(u) je funkce spojitav bode α, existuje κ > 0 tak, ze pro u ∈ (α−κ, α+κ) je f definovana a platızde

|f(u) − f(α)| < ε. (2.77)

Ponevadz ϕ(x) je funkce spojita v bode a, k cıslu κ existuje takove cısloδ > 0, ze pro x ∈ (a − δ, a + δ) je funkce ϕ definovana a platı zde

|ϕ(x) − ϕ(a)| < κ, tj. |ϕ(x) − α| < κ.

Tedy pro x ∈ (a − δ, a + δ) je funkce f(ϕ(x)) definovana a platı zde podle(2.77)

|f(ϕ(x)) − f(ϕ(a))| < ε.

Prıklad 2.32. Funkce u = ϕ(x) = x2 + 1 je spojita na intervalu I =(−∞,∞). Funkce y = f(u) = u7 je spojita na intervalu K = (−∞,∞). DaleJ = ϕ(I) = 〈1,∞) ⊂ K, takze funkce f je spojita na intervalu J . Je tedyslozena funkce y = (x2 + 1)7 spojita na intervalu I .

Inverznı funkce.

Zavedenı

inverznı

funkce

Necht’ funkce y = f(x) je definovana na mnozine A a je nanı prosta. To znamena, ze pro kazda dve cısla x1, x2 ∈ A,x1 �= x2 je f(x1) �= f(x2). Oznacme B = f(A). Ke kazdemuy ∈ B prirad’me to cıslo x ∈ A, pro nejz je f(x) = y. Tımjsme zavedli pravidlo, jimz ke kazdemu y ∈ B je prirazenox ∈ A. Je tak definovana nova funkce, oznacme ji f−1,jejımz neodvislym oborem je mnozina B a odvislym obo-rem je mnozina A. Ponechame-li oznacenı y pro promennous oborem B a x pro promennou s oborem A, pıseme

x = f−1(y), y ∈ B, x ∈ A.

V definici inverznı funkce je podstatny predpoklad, ze f je na svem definicnımoboru prosta. Takovymi funkcemi jsou napr. funkce ryze monotonnı na svem

99


definicnı oboru.

Na obr. 2.28 je znazornen graf funkce y = f(x) rostoucı na intervalu A =D(f), tedy graf funkce proste. Graf funkce x = f−1(y) je totozny s grafemfunkce y = f(x), pokud bychom proti zvyklostem znazornili neodvisly oborna ose y a odvisly obor na ose x.

x

y

A

B

0

y = f(x), x = f−1(y)

Obrazek 2.28: Graf funkcı y = f(x), x = f−1(y).

Z definice inverznı funkce vyplyva

je-li a ∈ D(f), potom a = f−1(f(a)), (2.78)

je-li α ∈ D(f−1), potom α = f(f−1(α)). (2.79)

Oznacıme-li x neodvisle promennou jak pro funkci f , tak i pro funkci f−1,zapıseme obe funkce takto

y = f(x), x ∈ A, y ∈ B, y = f−1(x), x ∈ B, y ∈ A. (2.80)

Jestlize jejich neodvisle obory vyznacıme na vodorovne ose, jsou grafy funkcı(2.80) symetricke s osou symetrie y = x, viz. obr. 2.29. Graf inverznı funkcef−1(x) jsme dostali preklopenım grafu f(x) kolem prımky y = x.

x

y

A

B

B

A

0

y = f(x)

y = f−1(x)

Obrazek 2.29: Graf funkcı y = f(x), y = f−1(x).

Poznamka. Je-li prosta funkce dana rovnicı

y = f(x), (2.81)

dostaneme k nı funkci inverznı tak, ze z rovnice (2.81) vypocıtame x pomocıy. Pojem inverznı funkce vede k zavedenı novych funkcı, jak pozdeji uvidıme.

100

Prıklad 2.33. K funkci y = 2x + 1, x ∈ 〈1, 3〉 urcete funkci inverznı.

Resenı. Oznacme f(x) = 2x + 1, I = 〈1, 3〉. Oznacme J = f(I). DostavameJ = 〈3, 7〉. Z rovnice y = 2x + 1 vypocıtame x. Dostavame x = 1

2y − 1

2. Tedy

funkce x = 12y − 1

2je inverznı k zadane funkci f , je definovana na intervalu

J . Zmenou oznacenı pro neodvisle a odvisle promennou dostavame hledanouinverznı funkci

y =1

2x − 1

2, x ∈ J, y ∈ I.

Grafy zadane funkce a funkce k nı inverznı jsou na obrazku 2.30.

x

y

1 3 7

1

3

7

0

y = 2x + 1

y = 1

2x − 1

2

Obrazek 2.30: Graf funkcı z prıkladu 2.33.

Nasledujıcı veta vypovıda o vzajemnem vztahu mezi spojitosti funkce f(x)a k nı inverznı funkce f−1(x).

Veta 2.8. (Inverznı funkce)

Necht’ funkce f(x) je spojita a rostoucı (klesajıcı) na inter-valu I = D(f). Oznacme jejı odvisly obor (je jım interval)J = f(I). K funkci f existuje funkce inverznı f−1, jejımneodvislym oborem je interval J a odvislym oborem je in-terval I. Funkce f−1 je na svem definicnım oboru J spojitaa rostoucı (klesajıcı).

Dukaz: Dukaz provedeme pro funkce f rostoucı na inervalu I . Pro funkceklesajıcı je dukaz analogicky. Predpokladejme tedy, ze f(x) je na intervalu Ispojita a rostoucı.

Dokazme, ze funkce f−1(x) je rostoucı na intervalu J . Necht’ x1, x2 ∈ J ,

101


x1 < x2. Kdyby bylo f−1(x1) ≥ f−1(x2), platilo by

f(f−1(x1)) ≥ f(f−1(x2)), (2.82)

nebot’ f je rostoucı na I . Podle (2.79) dostavame z (2.82) x1 ≥ x2, coz jespor s predpokladem, ze x1 < x2. Je tedy funkce f−1(x) rostoucı na intervaluJ .

Dokazme dale, ze funkce f−1(x) je spojita na J . Necht’ a ∈ J je libovolnybod, ktery nenı jeho pravym koncovym bodem. Necht’ ε > 0 je libovolnecıslo. Potom f−1(a) ∈ I a nenı to pravy koncovy bod intervalu I . Jestlizef−1(a) + ε /∈ I , oznacme b libovolny bod z J , pro nejz je b > a. Jestlizef−1(a) + ε ∈ I , polozme b = f(f−1(a) + ε) ∈ J . Pak pro vsechna x ∈ 〈a, b)je f−1(x) definovana. Zaroven z monotonie teto funkce plyne

f−1(a) ≤ f−1(x) < f−1(a) + ε,

to jest|f−1(x) − f−1(a)| < ε.

Tedy f−1(x) je v bode a spojita zprava. Podobne se dokaze, ze funkce f−1(x)je spojita zleva v kazdem bode a ∈ J , ktery nenı levym koncovym bodemintervalu J . Je tedy f−1(x) funkce spojita v J .

Funkce n√

x

Uvazujme funkci y = xn, kde n je prirozene. Tato funkce jezrejme definovana na intervalu (−∞,∞).Pro n liche je tato funkce na svem definicnım oboruI = (−∞,∞) spojita a rostoucı. Oznacme J = (−∞,∞)obor hodnot teto funkce. Proto k nı existuje funkce inverznına intervalu J . Podle vety 2.8 je tato inverznı funkce ros-toucı a spojita na J . Oznacıme ji n

√x. Funkce n

√x pro n

liche je licha.Pro n sude je sice funkce xn rovnez definovana na intervalu(−∞,∞), avsak nenı na nem prosta. Napr. (−2)n = 2n prokazde sude n. Budeme proto uvazovat jejı zuzenı na intervalI = 〈0,∞) na nemz je tato zuzena funkce y = xn rostoucıa spojita, tedy prosta. Obor hodnot teto zuzene funkce jeinterval J = 〈0,∞). Proto k nı existuje funkce inverznı,definovana na intervalu J . Podle vety 2.8 je tato inverznıfunkce rostoucı a spojita. Oznacıme ji n

√x.

Na obr. 2.31 jsou narysovany grafy funkcı y = x2 a y =√

x, x ∈ 〈0,∞) a naobr. 2.32 jsou narysovany grafy funkcı y = x3, y = 3

√x.

102

x

y

1

1

y =√

x

y = x2

Obrazek 2.31: Grafy funkcı x2 a√

x.

x

y

1

1

−1

−1

y =√

x3

y = x3

Obrazek 2.32: Grafy funkcı x3 a 3√

x.

Poznamka. Uvazme dva prıpady.a) n sude. Potom n

√x je definovana jen pro x ≥ 0. Je tedy

n√

an = |a|, n sude, a ∈ R.

Napr.√

(−2)2 = | − 2| = 2.b) n liche. Potom n

√x je definovana pro vsechna x ∈ R a

platıje-li x < 0, potom n

√x = − n

√−x.

Pravidla pro pocıtanı s odmocninami. Vzhledem k uvedene poznamcestacı se omezit na odmocniny s nezapornymi argumenty.

Veta 2.9. (Odmocniny – pravidla)

Necht’ x, y ∈ R, x ≥ 0, y ≥ 0, m, n ∈ N. Potom platı

( n√

x)m = n√

xm (2.83)n√

x · n√

y = n√

x · y (2.84)n√

xn√

y= n

√x

y, pokud y �= 0. (2.85)

m

√n√

x = mn√

x (2.86)

n√

x = nm√

xm (2.87)

Dukaz: Dokazme jen vztah (2.83). Uvedomte si, ze z existence n√

x vyplyva

103


existence n√

xm. Polozme

n√

x = y, n√

xm = u (2.88)

kde y a u jsou takova realna cısla, ze

yn = x un = xm (2.89)

Ze vztahu (2.89) vyplyvaynm = xm = un.

To znamena, ze(ym)n = un.

Odtudym = u.

Vzhledem k (2.88) dostavame dokazovany vztah

( n√

x)m = n√

xm.

Dokazte dalsı pravidla!

Prıklady na procvicenı odmocnin

a)√

125 ·√

5 =√

125 · 5 =√

54 = 52 = 25

b)

√125√5

=

√125

5=

√25 = 5

c) 3

√−81

3= 3

√−27 = − 3

√27 = −3

d)3√

32√

2 =3√√

322 · 2 =3√√

210 · 2 =3√√

211 = 26√

25

e)(

3√−8)2

= (− 3√

8)2 = ( 3√

8)2 = 22 = 4

f)(√

9)4

=(√

32)4

= 34 = 81

g)3√

4√

27 =12√

33 = 4√

3

h) 3√√

−4 neexistuje v R

i)√

8 +√

72 =√

22 · 2 +√

62 · 2 = 2√

2 + 6√

2 = 8√

2.

j)

(√x +

1√x

)2

=

(x + 1√

x

)2

=x2 + 2x + 1

xpro x > 0

k)

(√x − 1

3√

x

)2

=

(√x 3√

x − 13√

x

)2

=

(6√

x3 6√

x2 − 13√

x

)2

=

=

(6√

x5 − 13√

x

)2

=3√

x5 − 26√

x5 + 13√

x2=

3√

x3−2 6√

x+1

3√

x2=

= x−2 6√

x+1

3√

x2= x−2 6

√x+

3√

x

xpro x > 0

104

nebo(√x − 1

3√

x

)2

= x−2√

x13√

x+

13√

x2= x−2

6√

x31

6√

x2+

3√

x3√

x2 3√

x=

x−2 6√

x+3√

x

xpro x > 0

Mocniny s racionalnım exponentem

V kapitole 1 byly zavedeny celocıselne mocniny realnych cısel a zavedenyoperace jejich nasobenı a umocnovanı. Byly prezentovany Vam dobre znamejejich vlastnosti. Mocniny realnych cısel nynı rozsırıme i pro racionalnı moc-nitele, a to tak, ze zachovame zakladnı vlastnosti mocnin s celocıselnym moc-nitelem. Vlastnosti odmocnin realnych cısel uvedene ve vete 2.9 nas vedouk rozsırenı celocıselnych mocnin realnych cısel na mocniny realnych cısel s ra-cionalnım exponentem.

Definice 2.9.

Necht’ p ∈ Z, q ∈ N a necht’ x je kladne realne cıslo. Defi-nujme x

pq vztahem

xpq = q

√xp. (2.90)

Pro x = 0, p, q ∈ N polozme xpq = 0.

Pro x > 0 je pri teto definici splnen nezbytny pozadavek platnosti vztahu

xr = xs,

kde r, s jsou odlisne zapisy tehoz racionalnıho cısla. Necht’ tedy r = pk

qk, pro

k ∈ N, je odlisne vyjadrenı tehoz racionalnıho cısla p

q. Potom podle (2.90) je

xpk

qk =qk√

xpk.

Avsakqk√

xpk = qk√

(xp)k a podle (2.83) je qk√

(xp)k = q√

xp. Je tedy

xp

q = xpk

qk pro k ∈ N. (2.91)

Odvozenı

vztahu –

informativne

Ukazme si nynı nasledujıcı vlastnosti takto zavedenych mocnin realnych cısels racionalnım exponentem. Predevsım si vsimneme, ze pro q = 1 je x

p

q =xp, tedy mocnina s celocıselnym exponentem. Kazde pravidlo pro pocıtanıs mocninami s racionalnım exponentem platı tedy i pro celocıselne mocniny.

1) Necht’ x > 0, r = p

q, s = u

v, kde p, u ∈ Z, q, v ∈ N. Potom platı

xr · xs = xr+s,xr

xs= xr−s.

105


Skutecne, postupne dostavame

xr · xs = xp

q · xuv = x

pv

qv · xqu

qv = qv√

xpv · qv√

xqu

Podle (2.84) je tedyxr · xs = qv

√xpv · xqu.

Ponevadz pv, uq ∈ Z, lze psat

xr · xs =qv√

xpv+qu.

Uzitım (2.90) je tedy

xr · xs = xpv+qu

qv ,

tj.xr · xs = x

pv

qv+ qu

qv .

Dospeli jsme ke vztahuxr · xs = xr+s.

Vztah xr

xs = xr−s se dokazuje obdobne.

2) Necht’ x > 0, r = p

q, s = u

v, kde p, u ∈ Z, q, v ∈ N. Potom platı

(xr)s = xrs.

Skutecne. postupne dostavame

(xr)s = (xp

q )uv = v

√(x

p

q

)u

= v

√(q√

xp

)u

.

Podle (2.83) dostavame odtud

(xr)s =v

√q√

xpu.

Podle (2.86) dostavame odtud

(xr)s = vq√

xpu,

takze uzitım (2.90)

(xr)s = xpu

vq = xp

q·uv = xr·s.

3) Necht’ r, s ∈ Q, r < s. Necht’ x > 1. Ukazme, ze

xr < xs.

Necht’ r = p

q, s = u

v, kde p, u ∈ Z, q, v ∈ N. Potom

xr = q√

xp, xs = v√

xu.

Podle (2.91) lze zapsat xr, xs ve tvaru

xr = qv√

xpv, xs = qv√

xqu.

106

Ponevadz r < s, tj. p

q< u

v, je

pv < qu.

ponevadz x > 1, je xpv < xqu. Ponevadz qv–ta odmocnina je funkcerostoucı, je

xr = qv√

xpv < qv√

xqu = xs.

Podobne platı: Necht’ r, s ∈ Q, r < s, 0 < x < 1, potom

xr > xs.

Obdrzene vysledky shrneme do nasledujıcı vety.

Veta 2.10. Mocninami s racionalnım exponentem

Necht’ r, s ∈ Q, x > 0. Potom platı

xr · xs = xr+s,

xr

xs= xr−s,

(xr)s = xrs,

Je-li x > 1 a r < s je xr < xs.

Je-li 0 < x < 1 a r < s je xr > xs.

Poznamka. Rozvazte prıpad x = 0.

Mocniny s realnym exponentem

Zavedeme si nynı mocniny kladnych realnych cısel s realnym exponentem jakorozsırenı mocnin kladnych realnych cısel s racionalnım exponentem. Jedenz moznych zpusobu tohoto rozsırenı je uveden v nasledujıcı definici.

Definice 2.10. (Zavedenı xγ, γ ∈ R)

Necht’ x > 0. Oznacme

D = {xα : α ∈ Q, α ≤ γ}.

a) Necht’ x > 1. Polozme

xγ = supD.

b) Necht’ 0 < x < 1. Polozme

107


xγ = inf D.

c) Necht’ x = 1. Polozme

xγ = 1.

d) Necht’ x = 0, γ > 0. Polozme 0γ = 0.e) 00 nenı definovano.

Odvozenı

vlastnostı –

informativne

Ukazme, ze takto zavedene cıslo xγ ma tuto vlastnost.

Necht’ x > 0, γ ∈ R. Oznacme

H = {xβ : β ∈ Q, β > γ}.

Potom platıa) Necht’ x > 1. Potom platı

xγ = inf H.

b) Necht’ 0 < x < 1. Potom platı

xγ = sup H.

Dokazme a).

Zvolme libovolne ε > 0 a k nemu urceme n ∈ N tak, ze

n >xγ(x − 1)

ε.

Zvolme α, β tak, ze α < γ < β, 0 < β − α < 1n. Potom platı

1 < xβ−α < x1

n = 1 + δ. (2.92)

Tedyxβ−α − 1 < δ.

Z (2.92) dostavame x = (1 + δ)n > 1 + nδ. Odtud

δ <x − 1

n.

Ukazme nynı, ze xβ − xα < ε.

xβ − xα = xα(xβ−α − 1) < xα · δ < xα x − 1

n< xγ x − 1

n< ε.

Ponevadz xβ − xγ < xβ − xα pro vsechna α, dostavame

xβ − xγ < ε.

108

K libovolnemu ε > 0 lze tedy nalezt β tak, ze xβ−xγ < ε. Je tedy inf H = xγ.

Poznamka. Dulaz b) je analogicky.

Pro mocniny realnych cısel s realnym exponentem se definujı aritmetickeoperace a operace umocnovanı pomocı mocnin s racionalnım exponentem.Tuto konstrukci zde nebudeme uvadet. Uvedeme si pouze vlastnosti mocninrealnych cısel s realnym exponentem.

Na mnozine mocnin realnych cısel lze zavest aritmeticke operace a jejichumocnovanı realnymi cısly rozsırenım odpovıdajıcıch operacı zavedenych proracionalnı cısla. Pro tyto mocniny platı tato pravidla.

Veta 2.11. Mocniny s realnym exponentem

Necht’ r, s ∈ R, x > 0. Potom platı

xr · xs = xr+s,

xr

xs= xr−s,

(xr)s = xrs,

Je-li x > 1 a r < s, je xr < xs.

Je-li 0 < x < 1 a r < s, je xr > xs.

Exponencialnı funkce a logaritmus

Necht’ a > 0, a �= 1. Definicı 2.10 jsme zavedli ax pro kazde x ∈ R. Vztahem

y = ax, x ∈ R

je tedy pro a > 0, a �= 1 definovana funkce. Nazyvame ji exponencialnı funkcıo zakladu a. Oborem jejich funkcnıch hodnot je interval (0,∞).

Pozadavek a > 0 je nutny, nebot’ ax je pro vsechna x ∈ R definovana jen proa > 0. Pro a = 1 je sice ax definovano pro vsechna x, ale v tomto prıpade je1x = 1 pro vsechna x ∈ R, tuto funkci neradıme mezi exponencialnı funkce.

Exponencialnı funkci o zakladu a = 10 nazyvame dekadickou exponencialnıfunkcı.

Z definice mocniny ax lehce vyplyva jejı spojitost v kazdembode.Pro a > 1 je funkce y = ax rostoucı, pro 0 < a < 1 jefunkce y = ax klesajıcı. Existuje proto k nı funkce inverznı.Oznacıme ji y = loga x. Je tedy loga x pro x ∈ (0,∞) tocıslo y ∈ (−∞,∞), pro nez ay = x.

109


Prıklad 2.34. log10 100 = 2, nebot’ 102 = 100, log10 0,01 = −2, nebot’

10−2 = 0,01.

Ukazme si nektere vlastnosti funkce y = logax.

Necht’ a > 0, a �= 1. Dale necht’ x1, x2 > 0, s ∈ R. Potom platı

loga(x1x2) = loga x1 + loga x2, (2.93)

loga

x1

x2= loga x1 − loga x2, (2.94)

loga xs1 = s loga x1. (2.95)

Dokazme napr. (2.93). Polozme

loga x1 = y1, loga x2 = y2, loga(x1x2) = y. (2.96)

Potomx1 = ay1, x2 = ay2, x1x2 = ay. (2.97)

Odtud dostavamex1x2 = ay1 · ay2 = ay1+y2 = ay.

Tedyy = y1 + y2.

Vzhledem k (2.96) dostavame

loga(x1x2) = loga x1 + loga x2.

Vztahy (2.94), (2.95) se dokazujı analogicky.

Ukazme jeste jednu vlastnost.

Necht’ a > 0, a �= 1, x > 0. Potom

x = aloga x.

Skutecne. Polozmeloga x = y. (2.98)

Je tedy x = ay. Dosadıme-li sem za y (2.98), dostavame

x = aloga x.

Dosazene vysledky muzeme shrnout do nasledujıcı vety.

Veta 2.12.

Funkce y = ax, kde a je kladna realna konstanta ruzna odjedne, je spojita. Pro a > 1 je rostoucı na intervalu (−∞,∞)

110

a pro 0 < a < 1 je klesajıcı na intervalu (−∞,∞). Oboremjejich hodnot je v obou prıpadech interval (0,∞). Nazyvase exponencialnı funkcı se zakladem a. Specialnım prıpademje funkce y = ax pro a = 10, tedy funkce y = 10x. Nazyvase dekadicka exponencialnı funkcı.

K funkci ax existuje funkce inverznı, znacıme ji loga x (ctemelogaritmus x pri zaklade a). Je definovana na intervalu(0,∞). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucı a pro 0 < a < 1klesajıcı na intervalu (0,∞). Je v nem spojita.Jsou-li x1, x2 ∈ (0,∞), s ∈ R potom platı

loga(x1 · x2) = loga x1 + loga x2, (2.99)

loga

x1

x2= loga x1 − loga x2, (2.100)

loga xs = s · loga x. (2.101)

Je-li b kladne realne cıslo ruzne od 1 platı

logb x = loga x · logb a.

Funkci y = log10 x nazyvame dekadickym logaritmem avetsinou ji zkracene zapisujeme jako y = log x.

Na obr. 2.33 jsou grafy funkcı y = ax, y = loga x pro a > 1. Na obr. 2.34 jsougrafy funkcı y = ax, y = loga x pro 0 < a < 1.

Zavedenı

Eulerova

cısla

Eulerovo cıslo. Velky vyznam ma exponencialnı funkce se zakladem ira-cionalnıho cısla, zvaneho Eulerovo cıslo. Znacı se e. Toto cıslo lze definovatjako

e = sup A, kde A =

{(1 +

1

n

)n

, n ∈ N

}.

Oznacıme-li B = {(1 + 1n−1

)n, n ∈ N}, platı inf B = e. Dale platı

(1 +

1

n

)n

< e <

(1 +

1

n − 1

)n

, n = 2, 3, . . .

Lze ukazat, ze

e.= 2,7182818284590452354 . . .

111


y

x1

1

y = ax

y = loga x

Obrazek 2.33: Graf funkce ax a loga x pro a > 1.

y

x1

1y = ax

y = loga x

Obrazek 2.34: Graf obecne exponencialnı a logaritmicke funkce, 0 < a < 1.

112

Funkcey = ex, (−∞,∞),

je tedy specialnım prıpadem funkce y = ax pro a > 1. Jejımdefinicnım oborem je (−∞,∞). Oborem jejıch funkcnıchhodnot je interval (0,∞). Nazyva se prirozenou expo-nencialnı funkcı.K funkci y = ex existuje funkce inverznı. Mısto y = loge x

se vetsinou pıse

y = lnx, x ∈ (0,∞).

Nazyva se prirozenou logaritmickou funkcı.

Obecna mocnina. Funkci

y = xs, s ∈ R

definujeme vztahemxs =

(eln x)s

= es lnx.

Odtud je videt, ze je to funkce spojita na intervalu (0,∞).

Trigonometricke funkce

Drıve nez zacneme s vlastnım vykladem, zopakujme si nektere Vam dobrezname pojmy.

periodicka

funkceFunkci f(x) nazyvame periodickou, jestlize ma tuto vlast-nost: Existuje takove cıslo ω, zvane perioda funkce f(x), zeplatı: Je-li funkce f(x) definovana v cısle x, je definovana vevsech cıslech x + kω, k ∈ Z a platı

f(x + kω) = f(x), k ∈ Z. (2.102)

Nejmensı cıslo ω pro nez platı (2.102) se nazyva zakladnıperiodou.

Uhly merıme jak ve stupnıch tak i v mıre obloukove. Necht’ AV B je libovolnyuhel.

Obloukova mıra uhlu. Sestrojme v rovine AV B jedotkovou kruznici (tojest kruznici o polomeru 1 ) se stredem v bode V , viz obr. 2.35. OznacmeA1 (B1) jejı prusecık s prımkou V A (V B). Potom velikostı uhlu AV B v ob-loukove mıre rozumıme delku x kruhoveho oblouku A1B1 vyznaceneho na

113


obrazku (2.35). Jedotkovy uhel obloukove mıry se nazyva radian. Oznacujese rad. Je tedy 1 rad velikost uhlu, ktery na jednotkove kruznici se stredem vevrcholu uhlu vytına oblouk jednotkove delky. Pri oznacovanı velikosti uhluse vetsinou vynechava oznacenı rad. Tedy napr. pravy uhel v obloukove mıreje roven π

2rad, zkracene zapsano π

2.

V

B1

A1

B

A

x

Obrazek 2.35: Uhel v obloukove mıre.

Stupnova velikost uhlu. Jednotkovy stupen uhlove mıry, zvany (uhlovy)stupen je roven 1

90praveho uhlu. Jako mensı jednotky stupnove velikosti uhlu

se pouzıvajı minuty a vteriny. Stupne, minuty a vteriny vyznacujeme jako

”◦, ′, ′′“. Platı 1◦ = 60′, 1′ = 60′′. Je tedy

1◦ = 60′ = 3600′′.

Velikost uhlu AV B ve stupnove mıre nazyvame nezaporne cıslo, ktere vy-jadruje kolikrat je uhel AV B vetsı (mensı) nez jeden stupen (mıneno uhlovystupen).

Vztah mezi velikosti uhlu v obloukove mıre a velikosti uhlu v mırestupnove. Uhlu 360◦ ve stupnove mıre odpovıda uhel 2π v obloukove mıre.Tedy mezi velikosti uhlu α ve stupnove mıre a velikosti x tehoz uhlu v ob-loukove mıre platı vztah

α : x = 180 : π.

(Viz obr. 2.36.) Odtud dostavame napr. x = π180

α. Napr. pro uhel α = 90◦

dostavame x = π2.

α

V

B1

A1

B

A

x

r = 1

Obrazek 2.36: Vztah mezi velikosti uhlu ve stupnıch a v obloukove mıre.

114

uhelve stupnıch

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

uhelv radianech

0π

6

π

4

π

3

π

2π

3

2π 2π

Tabulka 2.1: Vztah mezi velikostmi uhlu ve stupnıch a v radianech.

V nasledujıcı tabulce 2.1 je vyznacen vztah mezi velikosti uhlu v mıre stup-nove a v mıre obloukove pro nektere vyznacne uhly.

Orientovany uhel. Orientovanym uhlem v rovine rozumıme usporadanoudvojici poloprımek se spolecnym pocatkem. V teto dvojici prvnı poloprımkunazyvame pocatecnım ramenem a druhou koncovym ramenem orientovanehouhlu. Spolecny pocatek techto poloprımek nazyvame vrcholem uhlu. Orien-tovany uhel s pocatecnım ramenem V A a koncovym ramenem V B budeme

oznacovat AV B.

Uvazujme orientovany uhel AV B. Jeho velikostı v obloukove mıre rozumımekazde cıslo tvaru (viz.(2.36))

α + 2kπ (2.103)

kde k ∈ Z a α urcıme takto:

a) Jestlize V A = V B, je α = 0.

b) Jestlize V A �= V B je α velikost neorientovaneho uhlu, ktery vznikneotocenım pocatecnıho ramene V A do polohy koncoveho ramene V B v klad-nem smyslu, to jest proti pohybu hodinovych rucicek. Je tedy 0 ≤ α < 2π.Takto definovane cıslo α se nazyva zakladnı velikostı orientovaneho uhlu.

Soucet a rozdıl orientovanych uhlu. Necht’ AV B, BV C jsou orientovaneuhly. Koncove rameno prvnıho z nich je pocatecnım ramenem druheho z nich.

Jejich souctem se nazyva orientovany uhel AV C. Jestlize velikost prvnıhoz nich je α+2k1π a velikost druheho je β +2k2π, kde k1, k2 ∈ Z, potom jejich

suctem je uhel α + β + 2kπ, kde k = k1 + k2. Jestlize uhel AV C je souctem

uhlu AV B a BV C, pak uhel BV C nazyvame rozdılem uhlu AV C a AV B.

αβ

α + β

V

B

A

C

r = 1

Obrazek 2.37: Soucet uhlu AV B a BV C.

115


Zavedenı funkcı sinx, cos x, tg x, cotg x

Zabyvejme se nynı trigonometrickymi funkcemi, zvanymi nekdy tez funkcegoniometricke. Omezıme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravouhlemsouradnem systemu sestrojme kruznici o jednotkovem polomeru se stredemv pocatku. Zvolme libovolne x a sestrojme polopaprsek vychazejıcı z pocatku,ktery svıra s kladnou osou uhel x. Tento polopaprsek protne kruznici v jed-nom bode. Jeho souradnice oznacme cos x, sin x (viz obr. 2.38). Tyto sourad-nice zavisı na x, takze cos x a sin x jsou funkce definovane pro kazde realnex.

Pomocı funkcı sin x a cosx definujeme dalsı trigonometricke funkce

tg x =sin x

cos x, cotg x =

cos x

sin x

pro ty uhly x, pro nez je jmenovatel ruzny od 0.

x

−x

r =1

[cos x, sin x]

0cos x =

= cos(−x)

sin

xsi

n(−

x)

1

A

Dcotg x

tgx

cotg (−x)

tg(−

x)

C

B

Obrazek 2.38: Zavedenı funkcı sin x, cos x, tg x a cotg x.

Trigonometricke funkce jsou dostatecne znamy ze strednı skoly a proto zdejen zopakujeme jejich zakladnı vlastnosti.

Z definice a z konstrukce je videt, ze sin 0 = 0, sin π2

= 1, sin π = 0,sin 3π

2= −1, sin 2π = 0, cos 0 = 1, cos π

2= 0, cos π = −1, cos 3π

2= 0,

cos(−2π) = 1. Z definice je videt, ze obe funkce jsou periodicke s periodou2π a ze sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x. Pro x ∈ 〈π

2, π〉 nabude sin x

vsech hodnot z intervalu 〈0, 1〉 a cos x vsech hodnot z intervalu 〈−1, 0〉. Prox ∈ 〈π, 3π

2〉 nabude sin x vsech hodnot z intervalu 〈−1, 0〉, cos x vsech hod-

not z intervalu 〈−1, 0〉; konecne pro x ∈ 〈 3π2

, 2π〉 nabude sin x vsech hodnotz intervalu 〈−1, 0〉 a cos x vsech hodnot z intervalu 〈0, 1〉.

116

Funkce sinx je kladna pro uhly v prvnım a ve druhem kvad-rantu a zaporna pro uhly ve tretım a ve ctvrtem kvadrantu.Funkce cos x je kladna pro uhly v prvnım a ve ctvrtem kvad-rantu a je zaporna pro uhly ve druhem a ve tretım kvad-rantu. Obe tyto funkce jsou periodicke s periodou 2π.

Funkce tg x je definovana pro vsechna x ruzna od lichychnasobku π

2 , funkce cotg x je definovana pro x ruzna odnasobku π. Funkce tg x a cotg x jsou kladne pro uhly pro x

v prvnım a ve tretım kvadrantu v nemz jsou definovany azaporne pro uhly ve druhem a ve tretım kvadrantu v nemzjsou definovany. Tyto funkce jsou periodicke s periodou π.

Ze strednı skoly jsou znamy souctove vzorce:

sin(x1 ± x2) = sinx1 · cos x2 ± sinx2 · cos x1, (2.104)

cos(x1 ± x2) = cosx1 · cos x2 ∓ sinx1 · sinx2. (2.105)

Z techto vzorcu lze lehce odvodit radu dalsıch velice uzitecnıch vztahu.

Klademe-li v techto vzorcıch x1 = x2 = x, dostaneme z (2.104)

sin 2x = 2 · sinx · cos x, cos 2x = cos2 x − sin2 x.

Dosadıme-li x1 = x2 = x do vzorce pro kosinus rozdılu do (2.105), dostavame

sin2 x + cos2 x = 1.

Tento vzorec se vzorcem pro cos 2x dava:

cos2 x =1 + cos 2x

2, sin2 x =

1 − cos 2x

2.

Ze vzorcu pro sin(x1 ± x2) a cos(x1 ± x2) snadno dostaneme:

sin x1 + sin x2 = 2 · sin x1 + x2

2· cos

x1 − x2

2,

sin x1 − sin x2 = 2 · cosx1 + x2

2· sin x1 − x2

2,

117


cos x1 + cos x2 = 2 · cosx1 + x2

2· cos

x1 − x2

2,

cos x1 − cos x2 = −2 · sin x1 + x2

2· sin x1 − x2

2.

1

−1

01

2π π 3

2π 2π

y = sin x

x

y

Obrazek 2.39: Graf funkce sin x.

Pro x1, x2 ∈ 〈−π2, π

2〉, je (x1 +x2)/2 ∈ 〈−π

2, π

2〉; je-li x1 > x2, je 0 < x1 −x2 <

π2

+ π2

= π, takze (x1 − x2)/2 ∈ 〈0, π2〉. Z periodicnosti funkce cos x plyne,

ze pro x ∈ 〈−π2, 0〉 ma kosinus takove hodnoty, jako v intervalu 〈 3π

2, 2π〉,

tj. ≥ 0. Je tedy za danych predpokladu cos[(x1 + x2)/2] > 0 a podobnesin[(x1 − x2)/2] > 0. Je tedy sin x1 − sin x2 > 0, sin x1 > sin x2, takze funkcesin x v intervalu 〈−π

2, π

2〉 roste. Podobne lze ukazat, ze sin x v intervalu 〈π

2, 3π

2〉

klesa, cos x v intervalu 〈0, π〉 klesa a v intervalu 〈π, 2π〉 roste. Na zakladetechto uvah lze narysovat grafy funkcı sin x (viz obr. 2.39) a cos x (viz obr.2.40).

1

−1

01

2π π 3

2π 2π

y = cos x1

x

y

Obrazek 2.40: Graf funkce cos x.

Podobnym zpusobem jako u funkcı sin x a cos x lze ukazat, ze funkce tg x staleroste v intervalu (−π

2, π

2) a nabude vsech realnych hodnot. Podobne funkce

cotg x stale klesa v intervalu (0, π) a nabyva zde vsech realnych hodnot.

Grafy funkcı sin x, cos x, tg x, cotg x jsou na obrazcıch 2.39 az 2.42.

118

1

2π π− 1

2π

− π

y = tg x

0x

y

Obrazek 2.41: Graf funkce tg x.

1

2π π

− 1

2π

−π

y = cotg x

0 x

y

Obrazek 2.42: Graf funkce cotg x.

Spojitost funkcı sin x a cos x.

Veta 2.13. Funkce sin x je v cısle 0 spojita.

Dukaz: (Sleduj obr. 2.38.) Bud’ x ∈ (0, π2). Z definice a konstrukce je patrno,

ze zde platı 0 < sin x < x. Zvolme 0 < ε < π2

libovolne a polozme δ = ε.V U+

δ (0) je funkce sin x definovana a platı | sin x− 0| = | sin x| = sin x < x <ε, takze funkce sin x je v 0 zprava spojita. Ponevadz funkce sin x je licha,lehce nahledneme, ze funkce sin x je v cısle 0 take zleva spojita a proto jev cısle 0 spojita.

Veta 2.14. Funkce cos x je v cısle 0 spojita.

Dukaz: Bud’ ε > 0. Zvolme cıslo δ =√

2ε > 0. Pak v okolı U+δ (0) je funkce

cos x definovana a je v tomto okolı

| cosx − 1| = |1 − cos x| = 2 · sin2 x

2< 2 ·

(x

2

)2

=x2

2<

δ2

2= ε.

Je tedy funkce cos x v cısle 0 zprava spojita. Ponevadz

cos(x) = cos(−x),

je funkce cos x i zleva spojita a proto je i spojita v bode 0.

Veta 2.15. Funkce sin x je spojita ve vsech bodech.

Dukaz: Necht’ a je libovolne cıslo. Dokazme, ze je v nem funkce sin x spojita.Z definice spojitosti funkce vyplyva, ze funkce sin x je spojita v bode a kdyz ajenom kdyz funkce sin(a+h) je spojita v bode h = 0. Podle (2.104) dostavame

sin(a + h) = sin a cosh + cos a sin h. (2.106)

Ponevadz funkce sin h, cos h jsou funkce spojite v bode h = 0, dostavameodtud, ze prava strana v (2.106) je spojita v bode h = 0, takze funkce sin xje spojita v bode a.

119


Veta 2.16. Funkce cos x je spojita ve vsech bodech.

Dukaz: Skutecne. Spojitost funkci cos x vyplyva ze vztahu cos x = sin(π2−x)

a z vety o spojitosti slozene funkce.

Veta 2.17. Trigonometricke funkce jsou spojite ve vsech cıslech, ve kterychjsou definovany.

Dukaz: Dukaz vychazı z vety o spojitosti podılu a z vet predchazejıcıch.

Funkce cyklometricke

V predchazejıcım vykladu jsme zjistili, ze funkce sin x je v intervalu 〈−π2, π

2〉

spojita a rostoucı a nabyva vsech hodnot z intervalu 〈−1, 1〉. Tedy k nı exis-tuje funkce inverznı, definovana v intervalu 〈−1, 1〉. Tuto funkci oznacujemearcsin x. Podle vety 2.8 je tato funkce spojita v intervalu 〈−1, 1〉 a je v nemrostoucı. Nabyva vsech hodnot z intervalu 〈−π

2, π

2〉. Jejı graf se dostane

preklopenım grafu funkce

f(x) = sin x, x ∈⟨−π

2,π

2

⟩okolo prımky y = x (viz obr. 2.43). Geometricky vyznam funkce arcsin jetento:

”arcsin x je ten uhel z intervalu 〈−π

2, π

2〉, jehoz sinus ma hodnotu x.“

1

-1

π2

−π2

x

y

y = arcsinx

Obrazek 2.43: Graf funkce arcsin x.

1-1

π2

π

x

y

y = arccosx

Obrazek 2.44: Graf funkce arccos x.

Funkce cos x je v intervalu 〈0, π〉 spojita a klesajıcı a nabyva vsech hodnotz intervalu 〈−1, 1〉. Tedy k nı existuje funkce inverznı definovana v intervalu〈−1, 1〉. Tuto funkci oznacujeme arccos x. Podle vety 2.8 je to funkce spojitav intervalu 〈−1, 1〉 a je v nem klesajıcı. Nabyva vsech hodnot z intervalu〈0, π〉. Jejı graf se dostane preklopenım grafu funkce f(x) = cos x, x ∈ 〈0, π〉okolo prımky y = x (viz obr. 2.44). Geometricky vyznam funkce arccos x je

120

tento:

”arccos x je ten uhel z intervalu 〈0, π〉, jehoz kosinus ma hodnotu x.“

Funkce tg x je v intervalu (−π2, π

2) spojita a rostoucı a nabyva zde vsech

hodnot z intervalu (−∞,∞). Tedy k nı existuje funkce inverznı definovanana intervalu (−∞,∞). Tuto funkci oznacujeme arctg x. Podle vety 2.8 jeto funkce spojita v intervalu (−∞,∞) a je v nem rostoucı. Nabyva vsechhodnot z intervalu (−π

2, π

2). Jejı graf se dostane preklopenım grafu funkce

f(x) = tg x, x ∈ (−π2, π

2) okolo prımky y = x (viz obr. 2.45). Geometricky

vyznam funkce arctg x je tento:

”arctg x je ten uhel z intervalu (−π

2, π

2), jehoz tangens ma hodnotu x.“

x

y

−π2

π2

0

y = arctg x

Obrazek 2.45: Graf funkce arctg x.

Funkce cotg x je v intervalu (0, π) spojita a klesajıcı a nabyva v nem vsechhodnot z intervalu (−∞,∞). Tedy k nı existuje funkce inverznı definovanav intervalu (−∞,∞). Tuto funkci oznacujeme arccotg x. Podle vety 2.8 je tofunkce spojita v intervalu (−∞,∞) a je v nem klesajıcı. Nabyva vsech hodnotz intervalu (0, π). Jejı graf se dostane preklopenım grafu funkce f(x) = cotg x,x ∈ (0, π) okolo prımky y = x (viz obr. 2.46). Geometricky vyznam funkcearccotg x je tento:

”arccotg x je ten uhel z intervalu (0, π), jehoz kotangens ma hodnotu x.“

Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x se nazyvajı funkce cyklometricke.Dosavadnı vysledky o spojitosti lze shrnout takto:

Veta 2.18. Funkce cyklometricke jsou spojite na svem definicnım oboru.

121


x

y

π

π2

0

y = arccotg x

Obrazek 2.46: Graf funkce arccotg x.

Kontrolnı ulohy

1. Necht’ f(x) = (x3 + 2x + 1)2. Urcete jejı vnitrnı a vnejsı slozku.[vnitrnı slozka u = x3 + 2x + 1, vnejsı slozka y = u2.]

2. K funkci y = 3x − 1 urcete funkci inverznı a nakreslete jejich grafy.

3. Urcete funkci inverznı k danym funkcım a nakreslete jejich grafy.

a) y = x4

b) y = x5

c) y = x2 + 1

d) y = x3 − 1

e) y = 3x+1x−2

[e) Polozme f(x) = 3x+1x−2

. Funkce f je prosta na Df = (−∞, 2) ∪ (2,∞).

Hf = (−∞, 3) ∪ (3,∞), f−1(x) = 1+2xx−3

, x ∈ Hf .]

4. Nakreslete grafy funkcı

a) log(x − 2)

b) log0,1(3x + 2)

5. Reste rovnice

a) log x = −12

[x = 1√10

]

b) ln x = 32

[x = e3

2 ]

6. Reste nerovnice

a) log x < 3 [x ∈ (0, 103)]

b) log0,1 x < 2 [x ∈ (0,01,∞)]

7. Urcete nejmensı periodu funkce y = sin 2x.

8. Vyjadrete nasledujıcı uhly v obloukove mıre

122

a) α = 30◦

b) β = 120◦

c) γ = −315◦

9. Vyjadrete nasledujıcı uhly ve stupnıch (pouzijte kalkulacku)

a) α = 3

b) β = −2

c) γ = 2,3

10. Nakreslete grafy funkcı

a) y = sin(x + π4)

b) y = tg(x − π4)

c) y = cos 2x

d) y = cotg(x − π3)

123


124

Uvod do maticoveho poctu

Systemy linearnıch algebraickych rovnic, uvod

Zavedenı pojmu inverznı matice

Zakladnı poznatky z kapitoly 3 a ulohyk procvicenı

Zakladnı pojmy linearnıalgebry

3

3. Zakladnı pojmy linearnı algebry

Cıl kapitoly

Cılem studia teto kapitoly je

osvojit si provadenı techto operacı s maticemi: nasobenı matice cıslem,secıtanı dvou matic, nasobenı dvou maticosvojit si pojmy: relace

”≤,≥, <,>,=“ mezi maticemi

osvojit si pojmy: jednotkova matice, nulova matice, diagonalnı matice,hornı a dolnı trojuhelnıkova matice, hornı schodovita maticenaucit se zapsat system linearnıch rovnic uzitım maticove notace a umetrozhodnout, zda nejaky vektor je nebo nenı resenım daneho systemulinearnıch algebraickych rovnic

Casova zatez15 hodin

3.1 Uvod do maticoveho poctu

Pojem

matice

V dennım zivote se casto setkavame s ruznymi tabulkami cısel. Jedna sevlastne o skupinu cısel zapsanych do nekolika radku a nekolika (treba jinehopoctu) sloupcu.

Prıkladem je napr. tabulka, v nız je uvedena spotreba surovin, oznacme je S1,. . . , Sm, potrebna pri vyrobe vyrobku, ktere oznacıme V1, . . . , Vn. Spotrebaje uvedena v nejakych v uloze specifikovanych jednotkach.

Nasledujıcı tabulka charakterizuje vyrobu v cokoladovne pri vyrobe 5 druhuvyrobku, oznacenych jako V1, V2, V3, V4, V5. V nasem prıklade se uvadı spotre-ba surovin S1, S2, S3, to jest po rade tuku, kakaa a cukru v kg na 1 kg kazdehoz vyrobku V1, . . . , V5. Napr. pri vyrobe 1 kg vyrobku V2 spotrebujeme 0, 4 kgtuku.

V1 V2 V3 V4 V5

tuk 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6kakao 0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0cukr 0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2

Tabulka 3.1: Tabulka pro vyrobu v cokoladovne

Vynechame-li zahlavı v tabulce, jedna se o usporadanou skupinu 15 cısel,zapsanych do trı radku a peti sloupcu. Pro takove usporadane skupiny cıselsi zavedeme nasledujıcı definicı pojem matice.

Definice 3.1.

Maticı typu (m, n) budeme rozumet kazdou usporadanouskupinu m · n realnych cısel zapsanych do m radku a n

sloupcu. Kazde z techto cısel budeme nazyvat prvkem ma-

126

tice. Abychom vyznacili, ze tato cısla vytvarejı matici, bu-deme tuto skupinu cısel davat do kulatych zavorek.Matice typu (m, 1) je tedy usporadana skupina m realnychcısel zapsanych do jednoho sloupce. Budeme ji nazyvatsloupcovym vektorem. Prvky teto matice nazyvame tezslozkami vektoru.Matice typu (1, n) je tedy usporadana skupina n realnychcısel zapsanych do jednoho radku. Budeme ji nazyvatradkovym vektorem. Prvky teto matice nazyvame tezslozkami vektoru.Radky matice typu (m, n) jsou radkovymi vektory a sloupcematice jsou sloupcovymi vektory.

Oznacovanı. Matice budeme oznacovat vetsinou velkymi tucne vytistenymipısmeny, napr. A. Prvek matice , umısteny v jejım i–tem radku a v j–tem sloupci, budeme vetsinou oznacovat malym pısmenem, odpovıdajıcımuoznacenı matice, s indexy i, j, umıstenymi u jeho dolnıho praveho rohu. Tedyai,j bude znacit prvek matice A v jejım i–tem radku a v j–tem sloupci. Pokudnemuze dojıt k chybe, lze carku mezi indexy vynechat.

Prıklad 3.1. Vyse uvedenou tabulku vyznacıme tedy jako matici typu (3, 5)nasledovne:

A =

⎛⎜⎜⎝0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6

0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0

0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2

⎞⎟⎟⎠ . (3.1)

Prıklad 3.2. V nasledujıcım prıklade je A maticı typu (2, 3), vektor b jeradkovy vektor se 4 slozkami, c je sloupcovy vektor se 4 slozkami.

A =

(1 5 3

4 5 7

), b =

(1 6 5 4

), c =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1

−2

3

5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Je tedy napr. a2,3 = 7.

Oznacovanı. Matici A typu (m,n) muzeme tedy zapsat takto

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1,1 a1,2 . . . a1,j . . . a1,n−1 a1,n

......

......

...

ai,1 ai,2 . . . ai,j . . . ai,n−1 ai,n

......

......

...

am,1 am,2 . . . am,j . . . am,n−1 am,n

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. (3.2)

127


Jestlize matice A je typu (1, n) , to jest, jestlize

A = (a1,1 a1,2 . . . a1,n), (3.3)

potom ji nazyvame tez radkovym vektorem, jak bylo jiz uvedeno. Budemejej vetsinou oznacovat tucne vytistenym malym pısmenem. Ponevadz u vsechprvku je prvnı index stejny, roven 1, lze jej vetsinou vypoustet. Mısto nahoreuvedene matice (3.3) muzeme tedy psat

a = (a1 a2 . . . an).

Podobne, jestlize matice A je typu (m, 1) , to jest, jestlize

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1,1

a2,1

...

am,1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, (3.4)

potom ji muzeme nazyvat tez sloupcovym vektorem, jak jiz bylo uvedeno. Bu-deme jej vetsinou oznacovat tucne vytistenym malym pısmenem. Ponevadzu vsech prvku je druhy index stejny, roven 1, budeme jej vetsinou vypoustet.Mısto (3.4), muzeme tedy psat

a =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1

a2

...

am

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. (3.5)

Prıklad 3.3. Matice

A =

⎛⎜⎜⎝10 4 23 16 6

5 7 19 3 0

2 20 22 14 18

⎞⎟⎟⎠ (3.6)

je typu (3, 5)

Prıklad 3.4. Oznacme D1,D2 mısta, z nichz se provadı rozvoz do mıstZ1, Z2, Z3. Oznacme cij naklady v Kc na dopravu 1 tuny zbozı z mısta Di domısta Zj pro i = 1, 2; j = 1, 2, 3. Z cısel cij utvorıme matici, napr.

C =

(2000 1500 1800

800 50000 1000

). (3.7)

Jde o matici typu (2, 3). V teto matici je napr. c13 = 1800, to znamena, zenaklady na dopravu jedne tuny zbozı z mısta D1 do mısta Z3 jsou 1800 Kc.

128

Prıklad 3.5. Uved’me matici popisujıcı cenu v $ trı druhu zbozı V1, V2, V3

ve ctyrech ruznych zemıch Z1, Z2, Z3, Z4.

C =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝230 450 100

200 420 90

210 430 80

235 435 95

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (3.8)

Zde cij znacı cenu zbozı Vj v $ v zemi Zi. Ponevadz c23 = 90, je cena zbozıV3 v zemi Z2 rovna 90 $.

Uved’me jeste prıklady matic, ktere obsahujı jenom jeden radek, tedy prıkladyradkovych vektoru.

Prıklad 3.6. Uvazujme vyrobnı zavod, v jehoz dvou provozovnach sevyrabejı stejne ctyri ruzne vyrobky, oznacme je V1, V2, V3, V4. Oznacme ai

pocet vyrobku Vi, ktere se majı denne vyrobit v prvnı provozovne a bi pocetvyrobku Vi, ktere se majı denne vyrobit v druhe provozovne. Potom vektora = (a1 a2 a3 a4) charakterizuje dennı vyrobnı plan prvnı provozovny avektor b = (b1 b2 b3 b4) charakterizuje dennı vyrobnı plan druhe provozovny.Je-li tedy napr.

a = (1 5 8 6), b = (4 6 1 2), (3.9)

potom napr. a2 = 5 znamena, ze prvnı provozovna ma denne vyrobit podleplanu 5 vyrobku V2. Druha provozovna ma podle planu vyrobit techto vy-robku b2 = 6.

Zatım jsme pouze uvedli zpusob zapisu usporadane skupiny cısel, se kterymije vhodne v dalsım pracovat jako s celkem. V dalsım budeme vetsinou odhlızetod vecneho vyznamu jednotlivych prvku matic a ukazeme moznosti, jak lzes maticemi pracovat.

3.1.1 Relace mezi maticemi

Mezi maticemi tehoz typu si zavedeme nasledujıcı relace. Necht’ A, B jsoumatice tehoz typu (m,n).

Rekneme, ze matice A je mensı nebo rovna matici B, a pıseme A ≤ B,jestlize aij ≤ bij pro vsechna i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.

Rekneme, ze matice A je mensı nez matici B, a pıseme A < B, jestlizeaij < bij pro vsechna i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.

Rekneme, ze matice A je vetsı nebo rovna matici B, a pıseme A ≥ B,jestlize aij ≥ bij pro vsechna i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.

Rekneme, ze matice A je vetsı nez matice B, a pıseme A > B, jestlizeaij > bij pro vsechna i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.

Rekneme, ze matice A je rovna matici B, a pıseme A = B, jestlize aij = bij

pro vsechna i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.

129


Prıklad 3.7. Necht’

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 −3

2 0 3

2 2 −5

⎞⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎝8 2 −2

3 0 3

2 2 0

⎞⎟⎟⎠ .

Presvedcte se, ze A ≤ B.

Prıklad 3.8. Presvedcte se, ze mezi maticemi A, B , kde

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 −3

2 0 3

2 2 −5

⎞⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎝2 0 −3

2 8 3

0 0 0

⎞⎟⎟⎠neplatı zadna z relacı <,≤, >,≥,=.

3.1.2 Zakladnı operace s maticemi

Zaved’me si tyto operace s maticemi.

Soucet

matic

Secıtanı dvou matic. Zacneme s nekolika motivacnımi prıklady. Nahorev prıklade 3.6 jsme uvazovali vektory a a b, dane vztahy (3.9). Vektora predstavuje dennı vyrobnı plan prvnı provozovny a b predstavuje dennıvyrobnı plan druhe provozovny. Jestlize se ve vyrobnım zavode vyrabejı uve-dene vyrobky pouze v techto dvou provozovnach, pak dennı plan vyrobyvyrobku V1, V2, V3, V4 celeho zavodu je zrejme

c = (5 11 9 8),

kde ci = ai + bi, pro i = 1, 2, 3, 4. Jevı se proto uzitecnym oznacit vektor c

jako soucet vektoru a a b.

Prıklad 3.9. Necht’ podnik vyrabı vyrobky V1, V2, V3 ve dvou provozovnach.Plan vyroby vyrobku V1, V2, V3 v prvnı provozovne podniku je pro jednotlivekvartaly charakterizovan maticı A a vyroba ve druhe provozovne je pro jed-notlive kvartaly charakterizovana maticı B. Obe matice jsou typu (4, 3).Necht’ prvek ai,j matice A udava planovany pocet vyrobku Vj v i–tem kvar-talu v prvnı provozovne. Analogicky vyznam ma prvek bi,j matice B. Tedy

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝a1,1 a1,2 a1,3

a2,1 a2,2 a2,3

a3,1 a3,2 a3,3

a4,1 a4,2 a4,3

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝b1,1 b1,2 b1,3

b2,1 b2,2 b2,3

b3,1 b3,2 b3,3

b4,1 b4,2 b4,3

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Pokud zavod vyrabı uvedene vyrobky pouze v techto dvou provozovnach, lzecharakterizovat plan vyroby vyrobku V1, V2, V3 celeho podniku pro jednotlive

130

kvartaly maticı C, jejız prvek ci,j = ai,j+bi,j predstavuje plan vyroby vyrobkuVj v i–tem kvartalu celeho podniku. Tedy

C =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2 a1,3 + b1,3

a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2 a2,3 + b2,3

a3,1 + b3,1 a3,2 + b3,2 a3,3 + b3,3

a4,1 + b4,1 a4,2 + b4,2 a4,3 + b4,3

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Z techto prıkladu je patrno, ze ma smysl definovat soucet dvou matic A, B

tehoz typu podle nasledujıcı definice.

Definice 3.2. (Soucet dvou matic)

Necht’ matice A, B jsou tehoz typu (m, n). Souctem maticA a B budeme rozumet matici C typu (m, n), pro jejızprvky ci,j, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, platı

ci,j = ai,j + bi,j.

Pro operaci secıtanı matic budeme pouzıvat symbolu”+“.

Pıseme pak C = A + B.

Prıklad 3.10. Necht’ A, B jsou matice typu (3, 3)

A =

⎛⎜⎜⎝1 0 −3

6 1 3

−2 0 −3

⎞⎟⎟⎠ B =

⎛⎜⎜⎝7 2 −1

3 5 0

1 5 2

⎞⎟⎟⎠ .

Potom matice C = A + B je

C =

⎛⎜⎜⎝1 0 −3

6 1 3

−2 0 −3

⎞⎟⎟⎠+

⎛⎜⎜⎝7 2 −1

3 5 0

1 5 2

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝8 2 −4

9 6 3

−1 5 −1

⎞⎟⎟⎠ .

Nasobenı

matice

cıslem

Nasobenı matice cıslem. V prıklade 3.5 jsme uvedli matici C. Cıslo ci,j

v nı znacı cenu v $ vyrobku Vj v zemi Zi. Chceme-li vyjadrit cenu jed-notlivych vyrobku v uvazovanych zemıch v Kc, stacı nasobit kazdy prvekmatice C stejnym cıslem, danym kurzem dolaru. Vzniklou matici oznacımeD. Pocıtame-li 35 Kc za jeden $, dostavame matici

D =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝8050 15750 3500

7000 14700 3150

7350 15050 2800

8225 15225 3325

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ (3.10)

131


udavajıcı cenu jednotlivych vyrobku v uvazovanych zemıch v Kc.

To nas motivuje k zavedenı definice soucinu cısla a matice takto:

Matice

nasobena

cıslem

Definice 3.3. (Soucin cısla a matice)

Necht’ A je matice typu (m, n) a α je realne cıslo. Potomsoucinem matice A a cısla α rozumıme matici C, pro jejızprvky ci,j platı

ci,j = α · ai,j pro i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Pro nasobenı matice cıslem budeme pouzıvat symbol”·“.

Pıseme pak C = α · A. Symbol”·“ lze vynechat.

Prıklad 3.11. Necht’ α = 3 a necht’ A je matice typu (3, 3)

A =

⎛⎜⎜⎝1 0 −3

6 1 3

−2 0 −3

⎞⎟⎟⎠ .

Potom

C = α · A = 3 ·

⎛⎜⎜⎝1 0 −3

6 1 3

−2 0 −3

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝3 0 −9

18 3 9

−6 0 −9

⎞⎟⎟⎠ .

Definice 3.4.

Necht’ A, B jsou matice tehoz typu. Potom definujme A−B

jako matici A + (−1) · B.

Soucin

dvou matic

– motivace

Soucin dvou matic. Zaved’me si jeste definici soucinu dvou matic. Zacnemes prıkladem. Uvazujme matici

A =

⎛⎜⎜⎝0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6

0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0

0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2

⎞⎟⎟⎠ . (3.11)

V nı ai,j znacı spotrebu v kg i−te suroviny Si na vyrobu jednoho kilogramuj−teho vyrobku Vj , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, 5. Zapisme tuto maticiobecne.

132

A =

⎛⎜⎜⎝a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a1,5

a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5

a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5

⎞⎟⎟⎠ . (3.12)

Ma-li se vyrobit xj kg vyrobku Vj, spotrebuje se pri jeho vyrobe ai,j · xj kgsuroviny Si. Uvazujme prıpad, ze chceme vyrobit vyrobky V1, V2, V3, V4, V5

v mnozstvıch x1, x2, x3, x4, x5 v kg a ze chceme urcit spotrebu suroviny Si

pro nektere i = 1, 2, 3. Oznacme ji yi. Potom yi je souctem cısel ai,j · xj,j = 1, 2, 3, 4, 5. Tedy

yi = ai,1 · x1 + ai,2 · x2 + ai,3 · x3 + ai,4 · x4 + ai,5 · x5.

Oznacme tedy x sloupcovy vektor o peti slozkach, v nemz xj udava pozadova-ne mnozstvı vyrobku Vj v kg. Budeme jej nazyvat vektorem vyroby. Oznacmey sloupcovy vektor o trech slozkach, v nemz yi vyjadruje mnozstvı suro-viny Si v kg potrebne k vyrobe vyrobku Vj , j = 1, 2, 3, 4, 5 v pozadovanychmnozstvıch xj . Nazveme jej vektorem spotreby. Tedy

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

x4

x5

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, y =

⎛⎜⎜⎝y1

y2

y3

⎞⎟⎟⎠ . (3.13)

Oznacme

yi = ai,1 · x1 + ai,2 · x2 + ai,3 · x3 + ai,4 · x4 + ai,5 · x5, i = 1, 2, 3. (3.14)

Budeme rıkat, ze vektor y je soucinem matice A a vektoru x a budeme psat

y = A · x.

Pro vektor vyroby

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

250

120

150

85

80

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠a matici

A =

⎛⎜⎜⎝0, 00 0, 40 0, 3 0, 6 0, 60

0, 05 0, 20 0, 10 0, 10 0, 00

0, 10 0, 20 0, 20 0, 10 0, 20

⎞⎟⎟⎠dostavame

133


y1 = 0, 00 · 250 + 0, 4 · 120 + 0, 3 · 150 + 0, 6 · 85 + 0, 6 · 80,y2 = 0, 05 · 250 + 0, 2 · 120 + 0, 1 · 150 + 0, 1 · 85 + 0, 0 · 80,y3 = 0, 10 · 250 + 0, 2 · 120 + 0, 2 · 150 + 0, 1 · 85 + 0, 2 · 80.

Vycıslenım obdrzıme y1 = 192, y2 = 60, y3 = 103. Tedy

y =

⎛⎜⎜⎝192.0

60.0

103.5

⎞⎟⎟⎠ .

Uvazujme nynı obecnejsı prıpad. Hledejme vektory spotreby pro m ruznychvektoru vyroby. Oznacme X matici typu (5,m), jejız kazdy sloupec je vek-torem vyroby. Necht’ matice X ma tento tvar:

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x1,1 x2,1 . . . xm,1

x1,2 x2,2 . . . xm,2

x1,3 x2,3 . . . xm,3

x1,4 x2,4 . . . xm,4

x1,5 x2,5 . . . xm,5

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. (3.15)

(Vsimnete si, jak jsou oznaceny indexy prvku matice X.)

Oznacme Y matici, jejız j–ty sloupec je vektor rovny soucinu matice A a j–teho sloupce matice vyroby X, j = 1, 2, . . . m. Je tedy j–ty sloupec maticeY vektorem spotreby pro vektor vyroby umısteny v j–tem sloupci maticeX. Pıseme pak

Y = A · X .

Matice Y je pak typu (3,m).

Tento prıklad nas inspiruje k zavedenı pojmu soucinu dvou matic A, B toutodefinicı.

Soucin matic

– definice

Definice 3.5. (Soucin matic)

Necht’ A je matice typu (m, k) a B je matice typu (k, n).Potom soucinem matic A a B v tomto poradı je matice C

typu (m, n) pro jejız prvky cij, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n,platı

cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j . . . + aik · bkj. (3.16)

Pıseme pakC = A · B.

134

Poznamka 1. Ze vztahu (3.16) je patrno, ze pro vypocet prvku cij matice C

(tj. prvku v i–tem radku a v j–tem sloupci matice C pouzıvame i–ty radek

(ai,1 ai,2 . . . ai,k) (3.17)

matice A a j–ty sloupec matice B⎛⎜⎜⎜⎜⎝b1,j

b2,j

. . .

bk,j

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (3.18)

Rıkame, ze ci,j je skalarnım soucinem radkoveho vektoru (3.17) a sloupcovehovektoru (3.18).

Poznamka 2. Vztah (3.16) lze zapsat takto

ci,j =

k∑r=1

ai,r · br,j .

Zde symbol∑k

r=1 znamena, ze se provadı secıtanı clenu, ktere dostanemetak, ze do vyrazu za symbolem

∑dosazujeme postupne r = 1, . . . , k.

Poznamka 3. Pro soucin dvou matic budeme pouzıvat opet symbolu”·“.

To nenı na zavadu, nebot’ ze souvislostı je vzdy patrno o jake nasobenı sejedna. Budeme tedy psat

C = A · B.

Poznamka 4. Vsimneme si, ze pocet sloupcu v matici A je stejny jako jepocet radku v matici B. Kdyby tomu tak nebylo, nebylo by mozno aplikovatvzorec (3.16).

Prıklad 3.12. Urcete matici C = A · B, jestlize

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4

0 7 8 5

4 3 2 9

⎞⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 −3

2 −5

8 3

−1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Ponevadz A je matice typu (3, 4) a B je matice typu (4, 2), lze vypocıstsoucin C = A · B. Podle (3.16) dostavame

C =

⎛⎜⎜⎝25 0

73 −6

17 −12

⎞⎟⎟⎠ .

Napr. prvek c2,1 dostaneme jako skalarnı soucin druheho radku matice A, tojest radkoveho vektoru

( 0 7 8 5 )

135


a prvnıho sloupce matice B, to jest sloupcoveho vektoru⎛⎜⎜⎜⎜⎝1

2

8

−1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Vypoctem dostavame

c2,1 = 0 · 1 + 7 · 2 + 8 · 8 + 5 · (−1) = 73.

Poznamka 5. Obecne matice A·B nenı rovna matici B·A.Dokonce muze nastat prıpad, ze A ·B existuje, avsak B ·Aneexistuje. Jestlize pro nejake matice A, B platı

A · B = B · A,

potom matice A, B se nazyvajı zamenitelne.

Prıklad 3.13. Je-li napr. matice A typu (3, 4) a matice B je typu (4, 3),potom A · B je matice typu (3, 3). Avsak B · A je matice typu (4, 4). Jsoutedy matice A · B, B · A ruznych typu a tedy, aniz bychom jejich soucinypocıtali, vidıme, ze jsou navzajem ruzne. Matice A, B nejsou tedy v tomtoprıpade zamenitelne.


A =

(1 2

3 4

)B =

(−1 3

1 0

).

Potom

A · B =

(1 3

1 9

), B · A =

(8 10

1 2

).

Vidıme, ze A · B �= B · A, takze tyto matice A, B nejsou zamenitelne.


A =

(8 10

1 2

)B =

(1/3 −5/3

−1/6 4/3

).

Pro tyto matice platı

A · B = B · A =

(1 0

0 1

).

136

Dane matice A, B jsou tedy zamenitelne.

Matice transponovana.

Definice 3.6. (Matice transponovana)

Necht’ A je matice typu (m, n). Potom matici, jejız i–tyradek je roven i–temu sloupci matice A, i = 1, 2, . . . , m,nazyvame maticı transponovanou k matici A a budeme jiznacit AT . Matice AT je tedy typu (n, m).


A =

(1 2 3

4 5 6

).

Potom

AT =

⎛⎜⎜⎝1 4

2 5

3 6

⎞⎟⎟⎠ .

O transponovane matici soucinu dvou matic platı tato veta.

Veta 3.1. (Transponovana matice soucinu matic)

Necht’ A, B jsou takove matice, ze existuje A · B. Potomplatı

(A · B)T = BT · AT .

Dukaz: Dukaz prenechavam ctenari.

Submatice. Zaved’me si pojem submatice nasledujıcı definicı.

Submatice

Definice 3.7. (Submatice)

Necht’ A je matice typu (m, n) a necht’ u = (i1, . . . , ip) jetakovy vektor, ze 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ip ≤ m. Dale necht’

v = (j1, . . . , jr) je takovy vektor, ze 1 ≤ j1 < j2 < · · · <

jq ≤ n. Potom matici, ktera vznikne z matice A vypustenımradku s radkovymi indexy, ktere jsou slozkami vektoru u avypustenım sloupcu matice A se sloupcovymi indexy, kterejsou slozkami vektoru v, nazyvame submaticı matice A aznacıme ji A(u,v), resp. Au,v. Jestlize nektery z vektoru u, v

ma jenom jednu slozku, stacı uvest tuto slozku bez zavorek.

137


Naprıklad, jestlize u = (i) a v = (j), lze zavorky vypustit apsat pouze Ai,j. (Tedy Ai,j znacı submatici, ktera vzniknez matice A vypustenım i–teho radku a j–teho sloupce.)

Matice, ktera vznikne z matice A tak, ze z nı ponechame jenradky s radkovymi indexy uvedenymi jako slozky vektoruu a ponechame sloupce se sloupcovymi indexy uvedenymijako slozky vektoru v, je submaticı matice A. Znacıme jiA(u, v). Jestlize u = (1, 2, . . . , m), muzeme mısto u psat

”:“. Podobne, jestlize v = (1, 2, . . . , n), muzeme mısto v

psat”:“. Je tedy napr. A(2, :) submatice obsahujıcı druhy

radek matice A a vsechny jejı sloupce, tedy druhy radekmatice A.

Poznamka. Je nutno si uvedomit rozdılnost zapisu Au,v aA(u, v). Prvnı z techto submatic vznika vypustenım spe-cifikovanych radku a specifikovanych sloupcu z matice A,druha submatice vznika vytvorenım submatice ze specifiko-vanych radku a sloupcu matice A.


A =

⎛⎜⎜⎝1 2 4 5

5 7 2 −1

4 1 0 2

⎞⎟⎟⎠ .

Polozme u = (2), v = (2, 4). Potom vypustenım druheho radku a druheho actvrteho sloupce matice A dostaneme submatici B = A2,(2, 4). Je tedy

B =

(1 4

4 0

).

Submatici C, ktera obsahuje druhy radek a druhy a ctvrty sloupec maticeA, lze uzitım zavedeneho oznacenı zapsat jako C = A(2, (2, 4)). Je tedy

C = (7, −1).

138

3.1.3 Specialnı matice a pravidla pro pocıtanı s maticemi

Ctvercova matice. Matici A typu (n, n) budeme nazyvat ctvercovou maticıradu n. Mısto ctvercova matice radu n stacı rıkat matice radu n, ponevadzo radu matice mluvıme jen u ctvercovych matic.

Napr. matice

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3

4 5 6

7 8 9

⎞⎟⎟⎠je ctvercova matice radu 3.

Nulova matice. Matici typu (m,n) budeme nazyvat nulovou maticı typu(m,n), jestlize vsechny jejı prvky jsou rovny nule. Budeme ji znacit 0.


0 =

⎛⎜⎜⎝0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎞⎟⎟⎠je nulova matice typu (3, 4).

Hlavnı a vedlejsı diagonala v matici. Necht’ A je matice typu (m,n).Budeme rıkat, ze jejı prvky aii lezı na hlavnı diagonale a jejı prvky aij , pronez je i + j = n + 1, lezı na vedlejsı diagonale.


A =

⎛⎜⎜⎝1 −2 3 1

0 −3 8 5

−5 0 4 2

⎞⎟⎟⎠ .

Potom prvky (1,−3, 4) lezı na hlavnı diagonale a prvky (1, 8, 0) lezı na ved-lejsı diagonale.

Jednotkova matice. Rekneme, ze ctvercova matice E radu n je jednotkova,jestlize vsechny prvky na hlavnı diagonale jsou rovny cıslu 1 a vsechny ostatnıjejı prvky jsou rovny 0. Chceme-li zduraznit jejı rad n, oznacıme ji En.

Prıklad 3.20. Matice ⎛⎜⎜⎝1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎠je jednotkova matice radu 3.

Diagonalnı matice. Rekneme, ze ctvercova matice A je diagonalnı, jestlizevsechny jejı nenulove prvky lezı na hlavnı diagonale.

139



A =

⎛⎜⎜⎝1 0 0

0 2 0

0 0 3

⎞⎟⎟⎠je diagonalnı maticı.

Hornı trojuhelnıkova matice. Rekneme, ze ctverova matice A radu nje hornı trojuhelnıkovou maticı, jestlize vsechny jejı prvky pod hlavnı dia-gonalou jsou rovny 0.

Dolnı trojuhelnıkova matice. Rekneme, ze ctvercova matice A radu nje dolnı trojuhelnıkovou maticı, jestlize vsechny jejı prvky nad hlavnı dia-gonalou jsou rovny 0.

Hornı schodovita matice. Necht’ A je matice typu (m,n). Rekneme, zematice A je hornı schodovita matice, jestlize existuje takove prirozene cısloh ≤ n, ze ke kazdemu i, i = 1, 2, . . . , h, existuje nejmensı si tak, ze ai,si

�= 0a s1 < s2 < . . . < sh a zbyvajıcı radky h + 1, . . . ,m jsou nulove.


A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 9

⎞⎟⎟⎠je hornı schodovitou maticı. V tomto prıklade je zrejme s1 = 1, s2 = 3, s3 =7.

Poznamka. Schodovitou matici muzeme definovat ekvivalentne takto. Ma-tice A typu (m,n) je hornı schodovita matice, jestlize pro kazde dva radkoveindexy p, q matice A platı:

Necht’ p–ty radek matice A je nenulovy a q–ty radek matice A je nu-lovy, potom p < q.Necht’ p–ty a q–ty radek matice A jsou nenulove a necht’ ap,sp

je prvnınenulovy prvek matice A v p–tem radku a aq,sq

je prvnı nenulovy prvekv q–tem radku matice A. Jestlize p < q, potom je sp < sq.Ponevadz budeme mluvit jen o hornıch schodovitych maticıch, muzemeslovo

”hornı“ vynechavat.

Pravidla pro pocıtanı s maticemi. Pro zavedene operace s maticemi platıvztahy uvedene v nasledujıcı vete.

Veta 3.2. (Pocıtanı s maticemi)

Necht’ A, B, C,0 jsou matice tehoz typu, kde 0 je maticenulova, a necht’ α, β ∈ R. Potom platı

A + B = B + A, (3.19)

(A + B) + C = A + (B + C), (3.20)

140

A + 0 = A, (3.21)

A − A = 0, (3.22)

1 · A = A, (3.23)

α · (β · A) = (α · β) · A, (3.24)

(α + β) · A = α · A + β · A, (3.25)

α · (A + B) = α · A + α · B. (3.26)

Dukaz: Provedeme pouze dukaz vztahu (3.19). Ostatnı vztahy se dokazujıanalogicky.

Prvek v i–tem radku a j–tem sloupci matice na leve strane vztahu (3.19) jeroven aij + bij a prvek v i–tem radku a j–tem sloupci matice na prave stranevztahu (3.19) je roven bij + aij pro vsechna i, j. Platı tedy (3.19).

Veta 3.3. (Pocıtanı s maticemi)

Necht’ typy matic A, B, C, 0 (nulova matice), E (jednot-kova ctvercova matice) jsou takove, ze operace ve vztazıch(3.27)—(3.32) majı vyznam. Potom platı

0 · A = 0, A · 0 = 0, (3.27)

E · A = A, (3.28)

A · E = A, (3.29)

(A · B) · C = A · (B · C), (3.30)

(A + B) · C = A · C + B · C, (3.31)

C · (A + B) = C · A + C · B. (3.32)

Poznamka. Jestlize pro matice A, B platı A · B = 0, nemusı byt zadnaz matic A, B nulovou maticı. Napr.(

1 0

0 0

).

(0 0

3 2

)=

(0 0

0 0

).

3.2 Systemy linearnıch algebraickych rovnic, uvod

Uvazujme vyrobu ctyr vyrobku V1, V2, V3, V4. K jejich vyrobe jsou potrebnesuroviny S1, S2, S3. Jejich mnozstvı v kg potrebne pri vyrobe jednoho ki-logramu kazdeho z vyrobku V1, V2, V3, V4 je uvedeno v nasledujıcı tabulce.Ve sloupci oznacenem pısmenem Z jsou uvedena mnozstvı Z1, Z2, Z3 jed-notlivych surovin S1, S2, S3, ktera se majı spotrebovat. Budeme se zabyvat

141


ulohou urcit mnozstvı jednotlivych vyrobku V1, V2, V3, V4 v kg tak, abychomzcela spotrebovali suroviny S1, S2, S3, jejichz mnozstvı jsou uvedena v tabulceve sloupci Z.

V1 V2 V3 V4 Z

S1 0, 0 0, 4 0, 3 0, 6 5S2 0, 2 0, 2 0, 1 0, 1 2S3 0, 1 0, 2 0, 2 0, 1 3

Oznacme postupne x1, x2, x3, x4 hledana mnozstvı v kg vyrobku V1, V2, V3, V4.K jejich vyrobe by se potrebovalo

0, 4x2 + 0, 3x3 + 0, 6x4

kg surovin S1,0, 2x1 + 0, 2x2 + 0, 1x3 + 0, 1x4

kg surovin S2 a0, 1x1 + 0, 2x2 + 0, 2x3 + 0, 1x4

kg surovin S3.

Jestli se majı suroviny S1, S2, S3 plne spotrebovat, musı se vyrobky V1, V2, V3,V4 vyrabet v mnozstvıch x1, x2, x3, x4, ktera splnujı tyto podmınky:

0, 4x2 + 0, 3x3 + 0, 6x4 = 5

0, 2x1 + 0, 2x2 + 0, 1x3 + 0, 1x4 = 2 (3.33)

0, 1x1 + 0, 2x2 + 0, 2x3 + 0, 1x4 = 3.

Kazda z techto podmınek predstavuje rovnici pro nezname veliciny x1, x2, x3,x4. Kazda z nich je tvaru

a1 · x1 + a2 · x2 + . . . + an · xn = b. (3.34)

V rovnici (3.34) x1, x2, . . . , xn jsou nezname a a1, a2, . . . , an jsou (vetsinou)znama cısla, nazyvame je koeficienty rovnice. Koeficient ai je koeficient u ne-zname xi. Cıslo b nazyvame pravou stranou. Rovnici (3.34) nazyvame linearnıalgebraickou rovnicı o neznamych x1, . . . , xn. Ponevadz v linearnı algebre,kterou probırame, pojednavame jenom o algebraickych rovnicıch, budemeuzıvat zkraceneho pojmenovanı

”linearnı rovnice“.

Pri resenı uloh vetsinou se pracuje s vıce rovnicemi. Jestlize koeficientyv techto rovnicıch jsou obecna cısla, muzeme je odlisit od sebe tak, ze v i–terovnici oznacıme koeficient u xj napr. ai,j.

Potom system (mısto system muzeme rıkat tez soustava) m linearnıch alge-braickych rovnic o n neznamych x1, x2, . . . , xn lze zapsat takto:

a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,nxn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · · + a2,nxn = b2...

......

am,1x1 + am,2x2 + · · · + am,nxn = bm.

(3.35)

142

Zde ai,j, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, znacı koeficient u nezname xj v i–te rovnici (prvnı index i tedy znacı poradove cıslo rovnice, druhy index joznacuje slozku neznameho vektoru x). Cıslo bi nazyvame pravou stranoui–te rovnice.

Oznacme A matici

A =

⎛⎜⎜⎜⎝a1,1 a1,2 · · · a1,n

a2,1 a2,2 · · · a2,n

......

am,1 am,2 · · · am,n

⎞⎟⎟⎟⎠ . (3.36)

Nazyvame ji maticı soustavy systemu (3.35). Vektor

x =

⎛⎜⎜⎜⎝x1

x2...

xn

⎞⎟⎟⎟⎠nazyvame vektorem neznamych a vektor

b =

⎛⎜⎜⎜⎝b1

b2...

bm

⎞⎟⎟⎟⎠nazyvame vektorem pravych stran.

Lehce nahledneme, ze system linearnıch algebraickych rov-nic (3.35) lze zapsat uzitım tohoto oznacenı jako

A · x = b. (3.37)

Skutecne, matice A je typu (m,n), x je typu (n, 1), takze A · x je ma-tice typu (m, 1). Rovnice (3.37) znamena, ze kazda slozka vektoru A · x jerovna odpovıdajıcı slozce vektoru b. Porovnanım i–tych slozek techto vektorudostavame i–tou rovnici systemu (3.35).

Matice, ktera vznikne z matice A pridanım vektoru b jako dalsıho sloupce,se nazyva rozsırenou matici systemu rovnic (3.35). Znacıme ji (A|b). Je tedy

(A|b) =

⎛⎜⎜⎜⎝a1,1 a1,2 · · · a1,n | b1

a2,1 a2,2 · · · a2,n | b2...

...am,1 am,2 · · · am,n | bm

⎞⎟⎟⎟⎠ .

143


Prıklad 3.23. Uvazujme system linearnıch algebraickych rovnic

x1 + 3x2 − 3x3 = −12,4x1 + 5x2 + 2x3 = −6.

(3.38)

Oznacme-li A matici soustavy tohoto systemu rovnic, b vektor pravych strana x vektor neznamych tohoto systemu rovnic, je

A =

(1 3 −3

4 5 2

), b =

(−12

−6

), x =

⎛⎜⎜⎝x1

x2

x3

⎞⎟⎟⎠ .

Matice rozsırena je rovna

(A|b) =

(1 3 −3 | −12

4 5 2 | −6

).

Dany system rovnic lze tedy zapsat jako

A · x = b.

Zaved’me si nynı pojem resenı systemu linearnıch rovnic.

Definice 3.8.

Vektor 0x nazveme resenım systemu linearnıch rovnic

A · x = b,

jestlize A·0x = b. (To jest, jestlize vektor 0x vyhovuje rovniciA · x = b).

Vrat’me se k prıkladu 3.23. Oznacme

1x =

⎛⎜⎜⎝3

−4

1

⎞⎟⎟⎠ , 2x =

⎛⎜⎜⎝0

−2

2

⎞⎟⎟⎠ , 3x =

⎛⎜⎜⎝3

0

1

⎞⎟⎟⎠ .

Zrejme

A · 1x = b, A · 2x = b, A · 3x =

(0

14

)�= b.

Jsou tedy vektory 1x, 2x resenım uvazovaneho systemu (3.38), avsak 3x nenıjeho resenım.

144

Lehce se presvedcıme, ze vektor

x =

⎛⎜⎜⎝6 − 3 · c

−6 + 2 · cc

⎞⎟⎟⎠je resenım uvazovaneho systemu rovnic (3.38) pro kazde realne c.

Prıklad 3.24. Uvazujme system linearnıch rovnic

x1 − 2x2 = 3, (3.39)

2x1 − 4x2 = 5. (3.40)

Tento system rovnic nema resenı. Skutecne, predpokladejme, ze α, β jsoutakova cısla, ze x1 = α, x2 = β vyhovovujı prvnı rovnici, tedy, ze platı

α − 2 · β = 3.

Potom by bylo2 · α − 4 · β = 6

a ne 2 · α − 4 · β = 5, takze x1 = α, x2 = β nevyhovuje druhe rovnici.

Poznamka. Pozdeji budeme resit obecne otazku, kdy system linearnıch rov-nic ma jedno resenı, kdy ma nekonecne mnoho resenı a kdy nema vubeczadne resenı.

3.3 Zavedenı pojmu inverznı matice

V linearnı algebre ma velky vyznam pojem inverznı matice k dane matici.Tento pojem si nynı zavedeme nasledujıcı definicı. Pozdeji si rekneme necoo existenci inverznı matice k dane matici a seznamıme se s radou vlastnostıinverznıch matic a naucıme se nalezt k dane matici matici inverznı.

Definice 3.9. (Inverznı matice)

Matice B se nazyva inverznı k matici A, jestlize

B · A = A · B = E. (3.41)

Matici inverznı k matici A budeme znacit A−1.

Veta 3.4. (Vlastnosti inverznı matice)

Necht’ je dana matice A a necht’ k nı existuje matice inverznıA−1. Potom platı

145


a) Matice A a matice A−1 jsou ctvercove matice tehozradu.

b) Inverznı matice A−1 je jednoznacne urcena.c) K matici A−1 existuje matice inverznı a platı

(A−1)−1 = A.d) Jestlize A, B jsou ctvercove matice tehoz radu n a

jestli k nim existujı matice inverznı A−1, B−1, potom kmatici A·B existuje matice inverznı a platı (A·B)−1 =B−1 · A−1.

Inverznı

matice a jejı

vlastnosti

Dukaz:

a) Toto tvrzenı je bezprostrednım dusledkem (3.41).b) Necht’ B, C jsou inverznı k A. Potom

A · B = B · A = E, A · C = C · A = E.

Odtud

C = E · C = (B · A) · C = B · (A · C) = B · E = B.

Tedy B=C.c) Toto tvrzenı je bezprostrednım dusledkem definice inverznı matice.d) Podle vet 3.2, 3.3 platı

(B−1A−1) · (AB) = B−1(A−1A)B.

Ponevadz A−1A = E, dostavame odtud

(B−1A−1) · (AB) = B−1 · E · B = B−1B = E.

Podobne dokazeme, ze

(AB) · (B−1A−1) = E.

Je tedy B−1A−1 inverznı maticı k matici AB.

Uved’me si zde vetu o resitelnosti a jednoznacnosti resenı systemu linearnıchrovnic, za predpokladu, ze k matici soustavy existuje matice inverznı.

Veta 3.5. (Resenı systemu A · x = b)

Necht’

A · x = b (3.42)

je system n linearnıch rovnic o n neznamych, kde A jectvercova matice soustavy radu n a b je vektor pravychstran typu (n, 1). Necht’ k matici A existuje matice inverznıA−1. Potom system rovnic (3.42) ma prave jedno resenı x

dane vztahemx = A−1 · b. (3.43)

146

Dukaz: Jak jiz bylo drıve dokazano, inverznı matice A je urcena jedno-znacne. Vynasobıme-li (3.42) maticı A−1 zleva, dostavame

A−1 · (A · x) = A−1 · b (3.44)

Vzhledem k vete 3.3 platı

(A−1 · A) · x = A−1 · b.

Ponevadz (A−1 · A) = E a E · x = x, dostavame odtud (3.43).

Dokazme jeste jednoznacnost resenı. Predpokladejme, ze existujı dve resenı1x,2 x systemu (3.42). Potom

A · 1x = b, A · 2x = b.

Odectenım techto vztahu dostavame

A · (1x − 2x) = 0.

Vynasobenım tohoto vztahu maticı A−1 zleva dostavame

1x − 2x = 0,

takze1x = 2x.

Ma tedy system A · x = b prave jedno resenı.

Prıklad 3.25. Naleznete resenı systemu linearnıch rovnic

A · x = b, (3.45)

jestlize

A =

⎛⎜⎜⎝1 5 2

3 4 1

0 1 4

⎞⎟⎟⎠ , b =

⎛⎜⎜⎝26

39

78

⎞⎟⎟⎠a znate-li k matici A matici inverznı

A−1 =

⎛⎜⎜⎝− 5

13613

113

413

− 439

− 539

− 113

139

1139

⎞⎟⎟⎠ .

Resenı. Podle predchazejıcı vety ma dany system prave jedno resenı a to

x =

⎛⎜⎜⎝− 5

13613

113

413

− 439

− 539

− 113

139

1139

⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝

26

39

78

⎞⎟⎟⎠ .

147


Vypoctem dostavame

x =

⎛⎜⎜⎝14

−6

21

⎞⎟⎟⎠ .

V teto kapitole popsany aparat maticoveho poctu pouzijeme nynı k mate-maticke formulaci nasledujıcı ulohy, ktera patrı do uloh linearnıho progra-movanı. Tyto ulohy jsou velice vyznamnou aplikacı linearnı algebry. Ulohytohoto typu se resı vetsinou pomocı pocıtacu a k jejich resenı jsou vypra-covany specialnı programy. My se nebudeme zde zabyvat otazkou jak se resı,ale jenom otazkou, jak se da uloha matematicky formulovat a jak se pripravıdata pro vstupnı hodnoty techto programu.

Prıklad 3.26. Cokoladovna vyrabı 5 druhu vyrobku. Jsou to vyrobky,ktere oznacıme V1, V2, V3, V4, V5. K vyrobe potrebujeme suroviny tuk, kakaoa cukr. Tyto suroviny jsou k dispozici v omezenych mnozstvıch, v uvednemporadı 1500 kg, 300 kg, 450 kg na jeden den. Spotreba surovin v kilogramechna 1 kg vyrobku je dana tabulkou 3.1 na strane 126. Odbytove ceny jed-notlivych vyrobku v uvednem poradı jsou 20 Kc, 120 Kc, 100 Kc, 140 Kc,40 Kc. Ukolem je stanovit takovy dennı vyrobnı plan, aby hodnota vyrobybyla maximalnı. Vyrobky jsou vyrabeny technologicky nezavisle na sobenavzajem. Vyroba se tedy uskutecnuje ve forme peti vyrobnıch procesu, kterevsak nejsou navzajem zcela izolovane, nebot’ spolecne spotrebovavajı vyrobnızdroje, jeden proces na ukor druheho.

Matematicka formulace ulohy. Pro ucely matematicke formulace za-ved’me 5 nezavisle promennych: xj necht’ oznacuje mnozstvı vyrobku Vj

v kg, jez bude vyrabeno za den, kde j = 1, 2, 3, 4, 5. Hledame tedy hodnotyxj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, vyhovujıcı nerovnostem

0, 4x2 + 0, 3x3 + 0, 6x4 + 0, 6x5 ≤ 15000, 05x1 + 0, 2x2 + 0, 1x3 + 0, 1x4 ≤ 3000, 10x1 + 0, 2x2 + 0, 2x3 + 0, 1x4 + 0, 2x5 ≤ 450

(3.46)Vıme, ze pri vyrobe xj vyrobku Vj, j = 1, 2, 3, 4, 5, bude odbytova cenavyroby rovna

z = 20x1 + 120x2 + 100x3 + 140x4 + 40x5. (3.47)

Nası ulohu muzeme tedy formulovat takto : Naleznete takova nezaporna cıslaxj, j = 1, 2, 3, 4, 5, ktera vyhovujı nerovnostem (3.46) a pro nez funkce (3.47)nabyva sveho maxima.

Tato uloha je tedy popsana maticı A, vektorem m mnozstvı surovin a vek-torem b odbytovych cen vyrobku a vektorem x poctu vyrobku

148

A =

⎛⎜⎜⎝0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6

0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0

0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2

⎞⎟⎟⎠ , m =

⎛⎝ 1500300450

⎞⎠ , bT =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝20

12010014040

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ,

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝x1

x2

x3

x4

x5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Potom (3.46) lze zapsat jako jako

Ax ≤ m (3.48)

a funkce (3.47) lze zapsat jako

z = b · x. (3.49)

Nasi ulohu muzeme vyslovit takto: Naleznete vektor x ≥ 0 vyhovujıcı (3.48),ktery minimalizuje funkci (3.49).

Matice A, vektory m, b a pozadavek, ze vektor

xT = (x1, x2, x3, x4, x5) ≥ 0,

jsou vstupnımi udaji programu, kterym se vypocet realizuje. Dostavame

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1000, x4 = 2000, x5 = 0.

3.4 Zakladnı poznatky z kapitoly 3 a ulohy k procvicenı

Zavedenı pojmu matice, typ matice, znacenı prvku matic, prvky nahlavnı a na vedlejsı diagonale.Relace <,≤, >,≥,= mezi maticemi.Operace s maticem : secıtanı matic, nasobenı matice realnym cıslem.Soucin dvou matic.Zamenitelne matice.Matice transponovana. Matice transponovana soucinu dvou matic.Submatice. Vytvarenı submatic. Oznacovanı submatic.Specialnı matice. Matice ctvercova, matice nulova, matice jednotkova,hornı a dolnı trojuhelnıkova matice, hornı schodovita matice.Pravidla pro pocıtanı s maticemi.Zapis systemu linearnıch rovnic v maticove notaci. Co je to maticesoustavy, co je to matice rozsırena, co je to vektor pravych stran. Cose rozumı pod pojmem resenı systemu linearnıch rovnic? Prıklady, kdysystem ma jedno resenı, kdy nema zadne resenı, kdy ma vıce resenı.

149


Co je to inverznı matice? Vlastnosti inverznıch matic.Resenı systemu linearnıch rovnic, jestlize zname matici inverznı k ma-tici soustavy.

Ulohy.

1. Necht’ A je matice

A =

⎛⎜⎜⎝1 −3 2 4

1 0 7 −2

0 1 −2 5

⎞⎟⎟⎠ .

Urcete a) jejı typ, b) matici k nı transponovanou AT , urcete maticeF = A ·AT , D = AT ·A, c) zjistete, zda matice A,AT jsou zamenitelne.

[a) typ (3, 4), b) AT =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 1 0

−3 0 1

2 7 −2

4 −2 5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠, D =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝2 −3 9 2

−3 10 −8 −7

9 −8 57 −16

2 −7 −16 45

⎞⎟⎟⎟⎟⎠,

F =

⎛⎜⎜⎝30 7 13

7 54 −24

13 −24 30

⎞⎟⎟⎠, c) nejsou zamenitelne.]

2. Zapiste v maticove notaci system linearnıch rovnic

2x1 + 3x2 − x3 = 4,

3x1 − 5x2 + x3 = −1,

x1 − 3x2 + x3 = −1.

Napiste matici soustavy a matici rozsırenou.[Oznacme

A =

⎛⎜⎜⎝2 3 −1

3 −5 1

1 −3 1

⎞⎟⎟⎠ , b =

⎛⎜⎜⎝4

−1

−1

⎞⎟⎟⎠ ,

(A|b) =

⎛⎜⎜⎝2 3 −1 | 4

3 −5 1 | −1

1 −3 1 | −1

⎞⎟⎟⎠ , x =

⎛⎜⎜⎝x1

x2

x3

⎞⎟⎟⎠ .

Potom dany system rovnic lze psat v maticove notaci takto: A ·x = b, A jematice soustavy a (A|b) je matice rozsırena.]

3. Necht’

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3

4 5 6

7 8 9

⎞⎟⎟⎠

150

a necht’ E3 je jednotkova matice a λ je promenna. Napiste matici

B = A − λE3.

[B =

⎛⎜⎜⎝1 − λ 2 3

4 5 − λ 6

7 8 9 − λ

⎞⎟⎟⎠.]

4. Zjistete, zda vektory

1x =

⎛⎜⎜⎝1

1

1

⎞⎟⎟⎠ , 2x =

⎛⎜⎜⎝0

1

2

⎞⎟⎟⎠jsou resenım systemu linearnıch rovnic z ulohy 2.

[A · 1x =

⎛⎜⎜⎝4

−1

−1

⎞⎟⎟⎠ , A · 2x =

⎛⎜⎜⎝1

−3

−1

⎞⎟⎟⎠, tedy 1x je a 2x nenı resenım

uvazovaneho systemu linearnıch rovnic.]

5. Necht’

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3

4 1 0

−2 0 1

⎞⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎝−1 2 3

4 −7 −12

−2 4 7

⎞⎟⎟⎠ , b =

⎛⎜⎜⎝0

1

2

⎞⎟⎟⎠a) Dokazte, ze B · A = E, A · B = E. Jak nazyvame matici B?b) Naleznete resenı rovnice A ·x = b uzitım matice B. (Obe strany danehosystemu rovnic nasobte zleva maticı B.)[a) B je inverznı k matici A, b) B ·(A·x) = B ·b, (B·A)·x = B ·b, E ·x =

B · b, takze x = B · b =(

8 −31 18)T

.]

6. Zapiste nasledujıcı system nerovnic uzitım maticove notace

x1 + x2 ≤ 3,

−x1 + x2 ≤ 0,

x2 ≥ 0.

Znazornete graficky mnozinu bodu [x1, x2], ktere temto nerovnicım vyhovujı.[Polozme

A =

⎛⎜⎜⎝1 1

−1 1

0 −1

⎞⎟⎟⎠ , b =

⎛⎜⎜⎝3

0

0

⎞⎟⎟⎠ , x =

(x1

x2

).

Potom dany system nerovnic lze zapsat takto: A · x ≤ b. Hledana mnozinaje seda oblast na obr.3.1.]

151


3

3

0x1

x2

Obrazek 3.1: Hledana mnozina bodu

7. Urcete vektory f , x tak, aby funkce

y = 2x1 + 3x2 + 4x3 + x4

se dala pomocı nich zapsat ve tvaru

fT · x.

[f = (2, 3, 4, 1)T ,x = (x1, x2, x3, x4)T ]

152

Linearnı prostor, zavedenı pojmu

Linearnı kombinace vektoru

Elementarnı transformace

Symbolika pouzita pro popis nekterychvypoctovych postupu

Urcenı hodnosti matice

Baze vektoroveho prostoru

Skalarnı soucin, norma a vzdalenost vevektorovem prostoru

Uvod do analyticke geometrie v n-rozmernemprostoru En


Linearnı prostor

4

4. Linearnı prostor

Cıl kapitoly


osvojit si pojem linearnıho (vektoroveho) prostoru, zejmena pak pojemaritmetickeho vektoroveho prostoru Vn

porozumet pojmum: linearnı kombinace vektoru, linearnı nezavislostvektoruzvladnout pojmy: hodnost matice, baze vektoroveho prostoru, gene-rovanı vektoroveho prostoruzvladnout pojmy: skalarnı soucin dvou vektoru, norma vektoru, vzda-lenostumet vyhodnotit pribliznost resenı systemu linearnıch rovnicseznamit se se zaklady analyticke geometrie v prostoru En

Casova zatez

15 hodin

4.1 Linearnı prostor, zavedenı pojmu

V uvode do maticoveho poctu jsme se seznamili s pojmem matice a zavedlijsme si operace s maticemi – secıtanı dvou matic a nasobenı matic realnymicısly. Ukazuje se ucelnym uvazovat obecnou mnozinu P , na nız jsou zave-deny dve operace, ktere nazveme rovnez secıtanım prvku z P a nasobenımprvku z P realnymi cısly. Budeme pozadovat, aby tyto dve operace mely jistevlastnosti (ktere budeme dale specifikovat). Jsou to vlastnosti (4.1)—(4.8),ktere na mnozine P matic tehoz typu splnujı operace secıtanı dvou matic anasobenı matic cısly.

Definice 4.1. (Definice vektoroveho prostoru)

Necht’ P je mnozina. Oznacme symbolem”+“operaci, na-

zveme ji secıtanım, kterou ke kazdym dvema prvkum a, b ∈P je prirazen prvek a+b ∈ P . Dale oznacme symbolem

”·“

operaci, nazveme ji nasobenım, kterou ke kazdemu prvkua ∈ P a ke kazdemu realnemu cıslu α ∈ R je prirazen prvekα · a ∈ P . Necht’ tyto operace majı nasledujıcı vlastnosti:Jestlize a, b, c ∈ P , potom

a + b = b + a, (4.1)

a + (b + c) = (a + b) + c. (4.2)

Existuje prvek 0 ∈ P tak, ze pro vsechna x ∈ P platı

x + 0 = x. (4.3)

154

Ke kazdemu x ∈ P existuje (−x) ∈ P tak

x + (−x) = 0. (4.4)

Pro vsechna x, y ∈ P a pro vsechna α, β ∈ R platı

1.x = x, (4.5)

α · (β · x) = (αβ) · x, (4.6)

(α + β) · x = α · x + β · x, (4.7)

α · (x + y) = α · x + α · y. (4.8)

Potom mnozinu P s temito operacemi”+“ a

”·“ nazyvame

linearnım, nebo tez vektorovym prostorem. Budeme jejznacit P. Prvek 0 nazyvame jeho nulovym prvkem.

Poznamka. Symbol”·“ pro nasobenı lze vynechat.

Oznacenı. Mısto a ∈ P lze psat a ∈ P. Mısto a + (−b) lze psat a − b.

Dusledek 1. Ze vztahu (4.1), (4.2) vyplyva, ze

a + (b + c) = a + (c + b) = b + (a + c) = b + (c + a) =

= c + (a + b) = c + (b + a) = (a + b) + c = (b + a) + c =

= (a + c) + b = (c + a) + b = (b + c) + a = (c + b) + a

Nenı proto nutno psat zavorky a stacı psat a + b + c.

Dokazme napr., ze a + (b + c) = (b + a) + c. Podle (4.2) je a + (b + c) =(a + b) + c. Podle (4.1) je a + b = b + a, takze (a + b) + c = (b + a) + c.Je tedy a + (b + c) = (b + a) + c.

Podobne budeme psat c1 · 1x + . . . + cn · nx , kde 1x, . . . , nx ∈ P a c1, . . . , cn

jsou libovolne konstanty, aniz bychom psali zavorky.

4.1.1 Prıklady linearnıch prostoru

Linearnı prostor Mm,n. Oznacme Mm,n mnozinu vsech matic typu (m,n).Symbolem

”+“ oznacme soucet dvou prvku (matic) z Mm,n definovany v de-

finici 3.2 a symbolem”·“ oznacme soucin prvku (matice) z Mm,n realnym

cıslem, definovany v definici 3.3. Potom mnozina Mm,n s temito operacemitvorı linearnı prostor (vektorovy prostor). Budeme jej znacit Mm,n.

Dukaz: Dukaz je snadny, prenechavam jej ctenari. Stacı proverit, ze jsousplneny vztahy (4.1)—(4.8).

Poznamka. Prostor Mn,1 je definovan na mnozine usporadanych n–tic re-alnych cısel, zapsanych do sloupcu a prostor M1,n je definovan na mnozineusporadanych n–tic realnych cısel, zapsanych do radku.

155


Prıklad

vektoroveho

prostoru

Veta 4.1. (Aritmeticky vektorovy prostor Vn)

Necht’ n ∈ N a necht’ Rn je mnozina usporadanych n–tic realnych cısel (nezalezı na tom jak jsou zapsany, zdado radku nebo do sloupcu), na nız jsou zavedeny operacesecıtanı

”+“ a nasobenı

”.“ takto:

Necht’ a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) ∈ Rn . Polozme

a + b = c,

kde c = (c1, . . . , cn) je takova usporadana skupina realnychcısel, ze

ci = ai + bi pro i = 1, . . . n.

Necht’ a = (a1, . . . , an) ∈ Rn a α je realne cıslo. Potom

α · a = d,

kde d = (d1, . . . , dn) je takova usporadana skupina realnychcısel, ze

di = αai pro i = 1, . . . , n.

Potom mnozina Rn s temito operacemi secıtanı”+“ a

nasobenı”·“ je vektorovym prostorem. Budeme jej nazyvat

aritmetickym vektorovym prostorem a znacit Vn.

Dukaz: Dukaz si proved’te jako cvicenı. Stacı proverit splnenı vlastnostioperacı secıtanı a nasobenı uvedene v definici (4.1).

Poznamka 1. Prvky tohoto prostoru budeme nazyvat aritmeticke vektory,strucne jen vektory a vetsinou je budeme oznacovat malymi tucne zapsanymipısmeny. Nulovy prvek prostoru Vn budeme nazyvat nulovym vektorem. Je-lia = (a1, . . . , an) ∈ Vn, budeme cısla a1, . . . , an nazyvat jeho slozkami. Vektora ∈ Vn budeme tez nazyvat n–rozmernym vektorem a.

Poznamka 2.Jestlize chceme zduraznit zpusob zapisu slozek vektoru doradku (sloupce), budeme mluvit o radkovem (sloupcovem) vektoru.

Poznamka 3. Je-li a = (a1, a2, . . . , an), potom cıslo√

a21 + a2

2 + . . . + a2n

budeme nazyvat velikostı vektoru a a znacit |a|

Poznamka 4. Kdybychom v definici prostoru Vn uvazovali mısto mnozinyRn mnozinu usporadanych n–tic realnych cısel, zapsanych do sloupcu, do-stali bychom prostor Mn,1. Kdybychom v definici Vn uvazovali mısto uspo-radanych n–tic realnych cısel mnozinu usporadanych n–tic realnych cısel,

156

zapsanych do radku, dostali bychom prostor M1,n.

Poznamka 5. Komu obecna definice vektoroveho prostoru dela velke potıze,at’ si pod pojmem vektoroveho prostoru P predstavı vzdy aritmeticky vekto-rovy prostor Vn.

Vektorovy prostor volnych vektoru. V predchazejıcım studiu na gym-naziu jste pracovali s volnymi vektory. Zopakujme si napred ve strucnostipojem volneho vektoru a operace s volnymi vektory a to tak, jak se tytopojmy zavadejı na gymnaziıch.

Definice 4.2. (Volne vektory)

Mnozinu vsech nenulovych orientovanych usecek, ktere majıstejny smer a stejnou velikost, nazveme nenulovym volnymvektorem a mnozinu vsech nulovych orientovanych useceknulovym volnym vektorem. Kazda orientovana usecka jepak umıstenım prıslusneho volneho vektoru a reprezentujejej. Volne vektory budeme oznacovat pısmenem se sipkounahore, napr. −→a . Nulovy volny vektor budeme oznacovatsymbolem

−→0 . Delku kazde orientovane usecky, ktera repre-

zentuje volny vektor −→a , budeme nazyvat velikostı volnehovektoru −→a a budeme ji znacit |−→a |.

Prıklad

vektoroveho

prostoru

Veta 4.2. (Vektorovy prostor volnych vektoru)

Necht’ U je mnozina volnych vektoru. Oznacme symbo-lem

”+“ operaci, nazveme ji secıtanım, kterou ke kazdym

dvema volnym vektorum −→a ,−→b je prirazen volny vektor,

oznacme jej −→c , ktery dostaneme takto: Zvolme libovolnybod A. Necht’

−→AB je orientovana usecka, ktera reprezentuje

volny vektor −→a . Necht’ orientovana usecka−−→BC reprezentuje

volny vektor−→b , potom orientovana usecka

−→AC reprezentuje

volny vektor −→c . Pıseme pak −→a +−→b = −→c .

Oznacme dale symbolem”·“ operaci, nazveme ji nasobenım,

kterou ke kazdemu volnemu vektoru −→a ∈ U a libovolnemurealnemu cıslu α ∈ R je prirazen volny vektor, oznacme jej−→d , ktery dostaneme takto: Necht’ orientovana usecka

−→AB

reprezentuje volny vektor −→a . Oznacme D takovy bod na

prımce urcene body A, B , ze velikost∣∣∣−−→AD

∣∣∣ orientovane

157


usecky−−→AD je

|α| ·∣∣∣−→AB

∣∣∣a smer

−−→AD je stejny jako smer −→a , je-li α ≥ 0 a opacny, je-li

α < 0.Potom mnozina U s takto zavedenymi operacemi

”+“ a

”·“

tvorı vektorovy prostor ve smyslu definice 4.1, to znamena,ze jsou splneny vztahy (4.1)—(4.8). Budeme jej znacit U.

Dukaz: teto vety nebudeme uvadet.

Na obr. 4.1 je znazorneno secıtanı dvou volnych vektoru −→a ,−→b . Vektor −→a

je reprezentovany orientovanou useckou−→PQ a volny vektor

−→b je reprezento-

vany orientovanou useckou−→RS. Jejich souctem je volny vektor −→c = −→a +

−→b

reprezentovany orientovanou useckou−→AC.

R S

P

Q

A B

C

Obrazek 4.1: Secıtanı volnych vektoru

Na obr. 4.2 je znazorneno nasobenı volneho vektoru −→a realnym cıslem.

Volny vektor −→a je reprezentovan orientovanou useckou−→PQ. Volny vektor−→

d = 2, 5 · −→a je reprezentovan orientovanou useckou−→AB a volny vektor

−→e = −2, 5 · −→a je reprezentovan orientovanou useckou−−→CD.

P Q

A B

CD

Obrazek 4.2: Nasobenı volneho vektoru cıslem

Volne vektory v kartezskem souradnem systemu v rovine. V predcha-zejıcı definici jsme uvazovali volne vektory nezavisle na souradnem systemu,byly uvazovany v tzv. invariantnım tvaru.

Pojednejme nynı o prostoru U2 volnych vektoru v rovine, v nız je zave-den kartezsky souradny system. Oznacme x1, x2 souradne osy kartezskehosouradneho systemuv rovine.

158

Jak je dobre znamo, ke kazdemu bodu P v kartezskem souradnem systemu ro-viny je prirazena usporadana dvojice realnych cısel [p1, p2]. Cıslo p1 nazyvamejeho prvnı souradnicı a cıslo p2 nazyvame jeho druhou souradnicı. Naopak,kazdou usporadanou dvojici realnych cısel [p1, p2] lze povazovat za souradniceprave jednoho bodu P v rovine. Nenı tedy nutno striktne rozlisovat mezi bo-dem v rovine a usporadanou dvojicı realnych cısel. Oznacme U2 mnozinuvsech volnych vektoru v teto rovine s uvedenymi operacemi secıtanı volnychvektoru v rovine a nasobenı volnych vektoru v rovine realnymi cısly.

Uvazujme dve orientovane usecky−→PQ,

−→RU (viz. obr. 4.3), kde

P = P [p1, p2], Q = Q[q1, q2], R = R[r1, r2], U = U [u1, u2].

Kazda z techto orientovanych usecek reprezentuje tentyz volny vektor−→a ∈ U2, kdyz a jenom kdyz

q1 − p1 = u1 − r1 ∧ q2 − p2 = u2 − r2. (4.9)

x1

x2

P

Q

R

U

p1 q1 r1 u1

r2

u2

p2

q2

a1 a1

a2

a2

Obrazek 4.3: Zobrazenı V2 do R2

Vztah mezi prostorem V2 a prostorem volnych vektoru v rovine.Zaved’me si nynı zobrazenı T prostoru U2 do prostoru V2 takto: Necht’ volny

vektor −→a ∈ V2 je reprezentovan orientovanou useckou−→PQ, kde

P = P [p1, p2], Q = Q[q1, q2].

Oznacmea1 = q1 − p1, a2 = q2 − p2.

Potom definujmeT (−→a ) = a, kde a = (a1, a2).

Toto zobrazenı nezavisı na volbe orientovane usecky, kterou je volny vektorreprezentovan.

159


Zobrazenım T se ke dvema ruznym volnym vektorum z U2 priradı dva ruznevektory z prostoru V2. Kazdy vektor z V2 je prirazen k prave jednomuvolnemu vektoru z U2. Zobrazenı T je proste zobrazenı vektoroveho prostoruU2 na vektorovy prostor V2. K zobrazenı T existuje tedy inverznı zobrazenıT −1. Tımto zobrazenım T −1 se k vektoru a = (a1, a2) ∈ V2 priradı vek-tor −→a ∈ U2, pıseme T −1a = −→a , pricemz vektor −→a je reprezentovan napr.

orientovanou useckou−→OA, kde A = A[a1, a2], O = O[0, 0].

Dokazeme, ze takto zavedene zobrazenı T prostoru U2 do prostoru V2 za-chovava operace

”+“ a

”·“.

Dokazme napred, ze zobrazenı T zachovava secıtanı. Necht’ tedy −→x ,−→y ∈U2. Necht’ volny vektor −→x je reprezentovan orientovanou useckou

−−→OX a

volny vektor −→y je reprezentovan orientovanou useckou−−→OY , kde O = [0, 0],

X = [x1, x2], Y = [y1, y2]. Potom volny vektor −→x + −→y je reprezentovan

orientovanou useckou−→OZ, kde Z = [x1 + y1, x2 + y2]. Viz obr. 4.4.

O

Y

X

Z

y1 x1 x1 + y1

x2

y2

x2 + y2

Obrazek 4.4: Zobrazenı zachovava secıtanı

Je tedy

T (−→x ) = x, kde x = (x1, x2) ∈ V2,

T (−→y ) = y, kde y = (y1, y2) ∈ V2,

T (−→x + −→y ) = (x1 + y1, x2 + y2).

Ponevadz

x + y = (x1 + y1, x2 + y2),

platı

T (−→x + −→y ) = x + y,

takze skutecne zobrazenı T zachovava secıtanı.

Dokazme nynı, ze zobrazenı T zachovava nasobenı. Necht’ −→x ∈ U2 a necht’ αje libovolne realne cıslo. Necht’ volny vektor −→x je reprezentovan orientovanou

useckou−−→OX, kde O = [0, 0], X = [x1, x2] a necht’ volny vektor α · −→x je

160

X

U

O x1 αx1

x2

αx2

Obrazek 4.5: Zobrazenı zachovava nasobenı

reprezentovan orientovanou useckou−→OU , kde U = U [α · x1, α · x2]. Viz obr.

4.5.

Je tedy

T (−→x ) = x, x = (x1, x2),

T (α · −→x ) = (α · x1, α · x2).

Ponevadz(α · x1, α · x2) = α · (x1, x2) = α · x,

jeT (α−→x ) = α · x.

Tedy skutecne zobrazenı T zachovava nasobenı.

Vzhledem k vlastnostem zobrazenı T nenı tedy nutno delatstriktnı rozdıl mezi vektorovym prostorem V2 a vektorovymprostorem U2.

Vektor a = (a1, a2) si muzete predstavit jako mnozinu

vsech takovych orientovanych usecek−→PQ, P = [p1, p2],

Q = [q1, q2], v kartezskem souradnem systemu v rovine, ze

q1 − p1 = a1 ∧ q2 − p2 = a2.

Volne vektory v kartezskem souradnem systemu v trırozmernemprostoru. Uvazujme nynı prostor volnych vektoru U3 ve trırozmernem pro-storu, v nemz je zaveden kartezsky souradny system. Jak je dobre znamo, kekazdemu bodu P je prirazena usporadana trojice realnych cısel [p1, p2, p3].Cıslo p1 nazyvame jeho prvnı souradnicı, cıslo p2 nazyvame jeho druhousouradnicı a cıslo p3 nazyvame jeho tretı souradnicı. Naopak, kazdou uspora-danou trojici realnych cısel [p1, p2, p3] lze povazovat za bod P o souradnicıch[p1, p2, p3] v nasem souradnem systemu. Nenı tedy nutno delat striktnı rozdılmezi pojmem bod v prostoru a usporadanou trojicı realnych cısel. Uvazujme

dve orientovane usecky−→PQ,

−→UR, kde

161


P = P [p1, p2, p3], Q = Q[q1, q2, q3],

U = U [u1, u2, u3], R = R[r1, r2, r3].

Kazda z techto dvou orientovanych usecek reprezentuje tentyz volny vektor−→a ∈ U3, kdyz a jenom kdyz

q1 − p1 = r1 − u1 ∧ q2 − p2 = r2 − u2 ∧ q3 − p3 = r3 − u3. (4.10)

Vztah mezi prostorem V3 a prostorem volnych vektoru v trıroz-mernem prostoru. Zaved’me si nynı zobrazenı T prostoru U3 do prostoruV3 takto: Necht’ volny vektor −→a ∈ U3 je reprezentovan orientovanou useckou−→PQ, kde P = P [p1, p2, p3], Q = Q[q1, q2, q3]. Oznacme

a1 = q1 − p1, a2 = q2 − p2, a3 = q3 − p3.

Polozmea = (a1, a2, a3) ∈ V3.

DefinujmeT (−→a ) = a. (4.11)

Toto zobrazenı nezavisı na volbe orientovane usecky, kterou je volny vektorreprezentovan. Existuje k nemu inverznı zobrazenı. Analogicky jako pro ro-vinny prıpad se da dokazat, ze toto zobrazenı T zachovava secıtanı vektorua nasobenı vektoru realnymi cısly.

Nenı proto nutno striktne rozlisovat mezi prostorem U3 aV3.

Vektor a = (a1, a2, a3) si muzete tedy predstavit jako

mnozinu vsech takovych orientovanych usecek−→PQ, kde

P = [p1, p2, p3], Q = [q1, q2, q3] v kartezskem souradnemsystemu v prostoru, ze

q1 − p1 = a1 ∧ q2 − p2 = a2 ∧ q3 − p3 = a3.

S pojmem vektoroveho prostoru uzce souvisı pojem vektoroveho podpro-storu. Uved’me si jeho definici.

Co je to

vektorovy

prostor

Definice 4.3. (Vektorovy podprostor)

Necht’ P je vektorovy prostor definovany na mnozineP spolecne s operacemi secıtanı

”+“ dvou prvku z P a

nasobenı”·“ prvku z P realnymi cısly. Necht’ M ⊆ P a

162

necht’ mnozina M spolecne s temito operacemi”+, ·“ tvorı

vektorovy prostor M. Potom vektorovy prostor M nazyvamevektorovym podprostorem vektoroveho prostoru P.

Prıklad 4.1. Necht’ M je takova mnozina usporadanych ctveric realnychcısel a = (a1, a2, a3, a4), ze a2 = a4. Zrejme M ⊆ R4. Necht’ a = (a1, c, a3, c),b = (b1, d, b3, d), kde c, d ∈ R jsou pevne zvolena cısla a necht’ α ∈ R. Potoma, b ∈ M. Polozme x = a + b = (a1 + b1, c + d, a3 + b3, c + d), y = α · a =(α ·a1, α ·c, α ·a3, α ·c). Zde operace

”+“ ,

”·“ jsou operace secıtanı a nasobenı

v prostoru V4. Je zrejme, ze x, y patrı do mnoziny M . Proto mnozina Ms temito operacemi

”+“ ,

”·“ tvorı vektorovy prostor M, ktery je vektorovym

podprostorem prostoru V4.

Poznamka. Nase uvahy o volnych vektorech byly zalozeny na vıce-meneintuitivne chapanem pojmu orientovane usecky. Cılem pojednanı nebyl ovsemprostor volnych vektoru. Cılem bylo pouze ukazat souvislosti mezi pojmemvolneho vektoru, se kterym jste se seznamili na gymnaziu a pojmem vektoruz vektoroveho prostoru Vn pro n = 2, resp. n = 3.

4.2 Linearnı kombinace vektoru

Uvazujme system linearnıch algebraickych rovnic

ai,1x1 + . . . + ai,nxn = bi, i = 1, . . . , n. (4.12)

Pri jeho analyze je zapotrebı zjist’ovat, zda

nektera z rovnic systemu nenı v rozporu s jinymi rovnicemi tohotosystemuzda kazda z rovnic dava nove pozadavky na hledany vektor x1, . . . , xn,zda pozadavek, nekterou rovnici vyjadreny, je nebo nenı jiz obsazenv jinych rovnicıch systemu.

Tuto problematiku budeme resit podrobne v kapitole 6.

Kazde rovnici systemu (4.12) priradıme vektor (ai,1, . . . , ai,n, bi). K resenınahore uvedeneho problemu pouzijeme dale zavadene pojmy: linearnı kom-binace vektoru, linearnı nezavislost a linearnı zavislost vektoru. S temitopojmy se setkame i v jinych uvahach.

Linearnı

kombinace

vektoru

Definice 4.4. (Linearnı kombinace vektoru)

Necht’ 1x, . . . , nx jsou vektory z vektoroveho prostoru P ac1, . . . , cn jsou realna cısla. Potom vektor

x = c11x + . . . + cn

nx

nazveme linearnı kombinacı vektoru 1x, . . . , nx.

163



1x = (2, 3,−1), 2x = (5, 2, 6), 3x = (9, 8, 4)

jsou vektory z prostoru V3. Ukazme, ze vektor 3x je linearnı kombinacı vek-toru 1x, 2x.

Ponevadz

2 · 1x + 2x = 2 · (2, 3,−1) + (5, 2, 6) = (4, 6,−2) + (5, 2, 6) = (9, 8, 4) = 3x,

je vektor 3x skutecne linearnı kombinacı vektoru 1x, 2x.

Linearnı

nezavislost

vektoru

Definice 4.5. (Lin. nezavislost a zavislost vektoru)

Necht’ 1x, . . . , nx jsou vektory z vektorovem prostoru P.Rekneme, ze tyto vektory jsou linearne nezavisle, jestlize

c11x + . . . + cn

nx = 0 ⇐⇒ c1 = c2 = . . . = cn = 0. (4.13)

Jestlize vektory 1x, . . . , nx nejsou linearne nezavisle, jsoulinearne zavisle.

Linearnı zavislost vektoru lze vyjadrit tez takto.

Poznamka. Vektory 1x, . . . , nx z vektorovem prostoru P jsou linearne zavis-le, jestlize existujı takova cısla c1, c2, . . . , cn, z nichz alespon jedno je ruzneod 0, ze c1

1x + . . . + cnnx = 0.

Prıklad 4.3. Ukazme, ze vektory 1x = (1, 4,−4), 2x = (1, 2, 0),3x = (1, 5,−2) z prostoru V3 jsou linearne nezavisle. Skutecne, ze vztahu

c1 · 1x + c2 · 2x + c3 · 3x = 0

dostavame

c1 · (1, 4,−4) + c2 · (1, 2, 0) + c3 · (1, 5,−2) = (0, 0, 0),

to jest

(c1 + c2 + c3, 4c1 + 2c2 + 5c3,−4c1 + 0c2 − 2c3) = (0, 0, 0).

Aby rovnost mezi temito vektory platila, musı koeficienty c1, c2, c3 vyhovovatsystemu linearnıch rovnic

c1 + c2 + c3 = 0, (4.14)

4c1 + 2c2 + 5c3 = 0, (4.15)

−4c1 + 0c2 − 2c3 = 0. (4.16)

Jak se lehce presvedcıme, ma system rovnic (4.14)—(4.16) jedine resenı c1 =c2 = c3 = 0. Jsou tedy dane vektory linearne nezavisle.

164

Poznamka. a) Vektor 0 je linearne zavisly, nebot’ α0 = 0 pro kazdeα ∈ R.

b) Vektory 1x, . . . , nx, n > 1, jsou linearne zavisle, kdyz a jenom kdyzalespon jeden z nich lze vyjadrit jako linearnı kombinaci ostatnıch z nich.(Dokazte!)

Prıklad 4.4. Vektory

(1, 2, 3), (−1, 2, 0), (1, 6, 6)

jsou linearne zavisle. Lehce nahledneme, ze

2 · (1, 2, 3) + (−1, 2, 0) = (1, 6, 6).

Vektor (1, 6, 6) jsme vyjadrili jako linearnı kombinaci zbyvajıcıch dvou vek-toru.

Zaved’me si nynı pojem hodnosti skupiny n vektoru nasledujıcı definicı. Hod-nost skupiny vektoru ma zasadnı vyznam pri vysetrovanı resitelnosti systemulinearnıch rovnic.

Hodnost

skupiny

vektoru

Definice 4.6. (Hodnost skupiny vektoru)

Necht’ X = (1x, . . . , nx), je skupina n vektoru z prostoruP. Maximalnı pocet linearne nezavislych vektoru ve skupineX nazveme hodnostı skupiny vektoru X. Budeme ji znacith(X).

Hodnost

matice

Poznamka. Necht’ A je matice typu (m,n). Na matici A se muzeme dıvatjako na usporadanou m–tici radkovych vektoru z vektoroveho prostoru Vn,resp. jako na usporadanou n–tici sloupcovych vektoru z vektoroveho prostoruVm. Aplikovanım definice hodnosti na radky matice dostavame radkovouhodnost matice a aplikovanım definice hodnosti na sloupce matice dostavamesloupcovou hodnost matice. Pozdeji ukazeme, ze pro kazdou matici je sloup-cova hodnost rovna jejı radkove hodnosti. Pokud to nedokazeme a vyslovnenerekneme o jakou hodnost se jedna, budeme mıt na mysli radkovou hodnost.

Prıklad 4.5. Urcete radkovou hodnost matice

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4

5 6 7 8

6 8 10 12

⎞⎟⎟⎠ .

Oznacme 1x, 2x, 3x postupne prvnı, druhy a tretı radek matice A. Tedy

1x =(

1 2 3 4), (4.17)

2x =(

5 6 7 8), (4.18)

3x =(

6 8 10 12). (4.19)

165


Zrejme vektor 3x je linearne zavisly na vektorech 1x, 2x, nebot’

3x = 1x + 2x

a vektory 1x, 2x jsou linearne nezavisle. Skutecne, kdyby tyto vektory bylylinearne zavisle, byl by jeden z nich nasobkem druheho. To znamena, existo-valo by takove cıslo α, ze by 2x = α1x to jest, platilo by(

5 6 7 8)

= α(

1 2 3 4).

Takove cıslo α vsak evidentne neexistuje. Vektory 1x, 2x jsou tedy linearnenezavisle. Tedy mezi vektory 1x, 2x, 3x jsou prave dva linearne nezavislevektory. Radkova hodnost matice A je tedy rovna 2.

Ukol. Dokazte si, ze hornı schodovita matice ma radkovouhodnost rovnu poctu jejich nenulovych radku.

Poznamka. Hodnost matice budeme hledat pozdeji jejım prevodem na hornıschodovitou matici o stejne hodnosti pomocı elementarnıch transformacı,o kterych ted’ pojedname.

4.3 Elementarnı transformace

Uvodem zacneme s nekolika prıklady. Uvazujme mnozinu vsech matic typu(3, 4). Na kazdou matici z teto mnoziny muzeme nahlızet jako na mnozinuusporadanych vektoru – radku. Necht’ napr.

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

⎞⎟⎟⎠ . (4.20)

Utvorme nynı matici B typu (3, 4) tak, ze jejı druhy radek je roven druhemuradku matice A nasobenemu cıslem (−3) a ostatnı radky matice B jsourovny odpovıdajıcım radkum matice A. Takto vznikla matice je matice

B =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4

−15 −18 −21 −24

9 10 11 12

⎞⎟⎟⎠ .

Budeme rıkat, ze matice B vznikla z matice A transformacı H1(2,−3). Bu-deme psat B = H1(2,−3)A.

Obecne, necht’ matice A je typu (m,n) a α je libovolne realne cıslo, i jelibovolne prirozene cıslo 1 ≤ i ≤ m. Oznacme B tu matici typu (m,n), jejızi–ty radek je roven α–nasobku i–teho radku matice A a jejı ostatnı radkyjsou stejne jako odpovıdajıcı radky matice A. Potom rekneme, ze matice B

166

vznikla z matice A transformacı H1(i, α). Pıseme pak

B = H1(i, α)A.

Necht’ tedy

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1,1 . . . a1,n

......

ai−1,1 . . . ai−1,n

ai,1 . . . ai,n

ai+1,1 . . . ai+1,n

......

am,1 . . . am,n

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Potom B = H1(i, α)A je matice

B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1,1 . . . a1,n

......

ai−1,1 . . . ai−1,n

α · ai,1 . . . α · ai,n

ai+1,1 . . . ai+1,n

......

am,1 . . . am,n

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Popisme nynı dalsı transformaci matice A typu (m,n). Vrat’me se opet k ma-tici (4.20). Necht’ tedy

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

⎞⎟⎟⎠ . (4.21)

Utvorme nynı matici C typu (3, 4) tak, ze jejı tretı radek je roven souctuprvnıho a tretıho radku matice A a ostatnı radky matice C jsou rovny od-povıdajıcım radkum matice A. O takto vznikle matici C rekneme, ze vzniklatransformacı H2(1,3) matice A. Budeme psat C = H2(1,3)A. Dostavame

C =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4

5 6 7 8

10 12 14 16

⎞⎟⎟⎠ .

Obecne, necht’ matice A je typu (m,n) a i, j, i �= j, jsou libovolna prirozenacısla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m. Oznacme C tu matici typu (m,n), jejızj–ty radek je roven souctu i–teho a j–teho radku matice A a ostatnı radkyjsou stejne jako odpovıdajıcı radky matice A. Potom rekneme, ze matice C

vznikla z matice A transformacı H2(i, j). Pıseme pak

C = H2(i, j)A.

167


Necht’ tedy

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1,1 . . . a1,n

......

ai,1 . . . ai,n

......

aj,1 . . . aj,n

......

am,1 . . . am,n

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Potom C = H2(i, j)A je matice

C =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1,1 . . . a1,n

......

ai,1 . . . ai,n

......

aj,1 + ai,1 . . . aj,n + ai,n

......

am,1 . . . am,n

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Vrat’me se opet k matici (4.20) a vytvorme z nı matici transformacı slozenou

ze dvou transformacı H2(1, 2), H1(2,−3). Necht’ tedy

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

⎞⎟⎟⎠ .

Oznacme F = H2(1, 2)A. Dostavame

F =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4

6 8 10 12

9 10 11 12

⎞⎟⎟⎠ .

Na takto vzniklou matici F aplikujme transformaci H1(2,−3). Polozme G =H1(2,−3)F . Dostavame

G =

⎛⎜⎜⎝1 2 3 4

−18 −24 −30 −36

9 10 11 12

⎞⎟⎟⎠ .

O matici G rekneme, ze vznikla postupnym aplikovanım transformacıH2(1, 2), H1(2,−3). (Jde o slozene zobrazenı).

Na matici typu (n, k) se muzeme dıvat jako na usporadanou skupinu n radku– vektoru. V dalsım budeme uvazovat o usporadanych skupinach n vektoruvektorovem prostoru P, ktery blıze nespecifikujeme.

Zavedeme si transformace H1,H2 techto usporadanch skupin vektoru ana-logickym zpusobem, jak jsme to zavedli pro matice – usporadane skupinyradku matic daneho typu.

168

Poznamka. Komu dela potıze tato abstrakce, at’ uvazuje radky matic danehotypu.

Pozdeji si ukazeme jak vyuzıt tyto transformace napr. pri resenı techto uloh:

Urcit hodnost matice.Vypocıtat hodnotu determinantu matice.Resit systemy linearnıch algebraickych rovnic.

Napred definujme zakladnı elementarnı transformace H1, H2. TransformaceH1, H2 a vsechny z nich slozene transformace budeme nazyvat elementarnı-mi.

Zavedenı

pojmu

elementarnı

transformace

Definice 4.7. (Zakladnı elementarnı transformace)

Necht’ P je vektorovy prostor. Necht’ X = (1x, . . . , nx) jeusporadana skupina n vektoru z P. Definujme transformace(zobrazenı) H1(i, α), H2(i, j) takto:Transformace H1(i, α). Transformacı

Y = H1(i, α)X (4.22)

se k usporadane skupine vektoru X = (1x, . . . , nx) z Ppriradı usporadana skupina vektoru Y = (1y, . . . , ny) z Ptakto:

ky := kx pro k �= i a iy := α · ix. (4.23)

(To znamena, ze vektor ix nasobıme cıslem α a ostatnı vek-tory ponechame bez zmeny.)Transformace H2(i, j). Transformacı

Y = H2(i, j)X (4.24)

se k usporadane skupine vektoru X = (1x, . . . , nx) z Ppriradı usporadana skupina vektoru Y = (1y, . . . , ny) z Ptakto:

ky := kx pro k �= j a jy := jx + ix.

(To znamena, ze k j–temu vektoru jx se pricte i–ty vektorix a ostatnı vektory se ponechajı bez zmeny.)

169


Veta 4.3. (Odvozenı elementarnı transformace)

Necht’ P je vektorovy prostor. Necht’ X = (1x, . . . , nx)je usporadna skupina n vektoru z P. Definujme transfor-mace (zobrazenı) H3(i, j), H3(i, j), H4(i, α, j, β), i �= j,α �= 0, β �= 0 takto:

Transformace H3(i, j). Transformacı

Y = H3(i, j)X, i �= j, (4.25)

se k usporadane skupine vektoru X = (1x, . . . , nx) z Ppriradı takova usporadana skupina vektoru Y = (1y, . . . , ny)z P, ze

iy := jx, jy := −ix, ky := kx pro k �= i, j. (4.26)

(To znamena, ze skupina vektoru Y vznikne ze skupiny vek-toru X vynasobenım i–teho vektoru cıslem (-1) a naslednouvymenou i–teho a j–teho vektoru.)

Transformace H3(i, j). Transformacı

Y = H3(i, j)X, i �= j, (4.27)


iy := jx, jy := ix, ky := kx pro k �= i, j. (4.28)

(To znamena, ze skupina vektoru Y vznikne ze skupiny vek-toru X vymenou i–teho a j–teho vektoru.)

Transformace H4(i, α, j, β), i �= j, α �= 0, β �= 0. Trans-formacı

Y = H4(i, α, j, β)X , i �= j, β �= 0 (4.29)


170

jy := α ix + β jx, a ky = kx, k �= j.

(To znamena, ze skupina vektoru Y vznikne ze skupiny vek-toru X tak, ze k β–nasobku j–teho vektoru se pripocte α–nasobek i–teho vektoru a ostatnı vektory se ponechajı bezzmeny.)

Potom transformace H3(i, j), H3(i, j), H4(i, α, j, β),i �= j, α �= 0, β �= 0 jsou elementarnı.

Dukaz: Dokazme, ze transformace H3(i, j) je elementarnı, to znamena, zeje vytvorena postupnym aplikovanım elementarnıch transformacı H1(i, α),H2(i, j).

V popisu budeme sledovat jenom vektory na i–te a na j–te pozici v uspora-dane skupine vektoru. Schematicky lze tento postup znazornit takto⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

...

ix

...

jx

...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−−−−−→H2(j, i)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

...

ix + jx

...

jx

...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−−−−−−→H1(j,−1)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

...

ix + jx

...

−jx

...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−−−−−→H2(i, j)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

...

ix + jx

...

ix

...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−−−−−−→H1(j,−1)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

...

ix + jx

...

−ix

...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−−−−−→H2(j, i)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

...

jx

...

−ix

...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Je tedy skutecne transformace H3(i, j)X elementarnı.

Transformace H3(i, j) vznikne postupnym aplikovanım transformacı H3(i, j)a H1(j,−1). Je tedy elementarnı.

Ukazme, ze transformace H4(i, α, j, β) je elementarnı, to znamena, ze se davytvorit postupnym aplikovanım transformacı H1(i, α),H2(i, j). Skutecne,polozme Y = H4(i, α, j, β)X . Skupina Y vznikne ze skupiny vektoru X

provedenım techto postupnych elementarnıch transformacı:

1Y = H1(i, α)X, 2Y = H1(j, β) 1Y ,

3Y = H2(i, j) 2Y , Y = H1(i, 1/α) 3Y .

171


Hodnost

skupiny

vektoru

Zabyvejme nynı se otazkou porovnanı hodnosti skupiny vektoru X z P ahodnosti skupiny vektoru Y z P, ktera vznikla ze skupiny vektoru X ele-mentarnımi transformacemi. Ukazeme, ze tyto hodnosti jsou stejne.

Veta 4.4. Necht’ P je vektorovy prostor a X je usporadana skupina mvektoru z P

X = (1x, . . . , mx).

Oznacme Y usporadanou skupinu m vektoru z P, definovanou vztahem

Y = H1(i, α)X, kde α ∈ R, α �= 0, 1 ≤ i ≤ m .

Potom usporadane skupiny vektoru X, Y majı stejnou hodnost.

Dukaz: Oznacme h = h(X) hodnost usporadane skupiny vektoru X. Do-kazme napred, ze h(Y ) ≥ h. Bez ujmy na obecnosti muzeme predpokladat,ze ve skupine X jsou vektory

(1x, . . . , hx) (4.30)

linearne nezavisle a ostatnı vektory (h+1x, . . . , mx) jsou jejich linearnımi kom-binacemi. Predpokladejme, ze

1 ≤ i ≤ h.

Transformacı Y = H1(i, α)X se vektor kx transformuje na vektor ky, kde

ky = kx pro kazde k �= i, iy = α · ix. (4.31)

Polozmec1 · 1y + . . . + ci · iy + . . . + ch · hy = 0. (4.32)

Vzhledem k (4.31) lze tento vztah prepsat na tvar

c1 · 1x + . . . + ciα · ix + . . . + ch · hx = 0. (4.33)

Ponevadz vektory (4.30) jsou linearne nezavisle, je

c1 = 0, . . . , ciα = 0, . . . , ch = 0.

Ponevadz α �= 0, dostavame odtud

ck = 0 pro k = 1, 2, . . . , h,

takze vektory1y, 2y, . . . , hy

jsou linearne nezavisle. Je tedy hodnost h(Y ) ≥ h. Dospeli jsme k zaveru,ze pro 1 ≤ i ≤ h je

h(X) ≤ h(H1(i, α)X) = h(Y ). (4.34)

172

Predpokladejme nynı, zeh < i ≤ m.

Transformacı Y = H1(i, α)X se vektory (4.30) nemenı, takze

h(Y ) ≥ h(X).

Dospeli tedy k dılcımu vysledku, ze

h(X) ≤ h(Y ) = h(H1(i, α)X, pro vsechna i, α �= 0. (4.35)

PonevadzX = H1(i, 1/α)Y ,

je podle (4.35)h(Y ) ≤ h(H1(i, 1/α)Y = h(X). (4.36)

Ze vztahu (4.35),(4.36) dostavame, ze

h(X) = h(Y ).

Veta 4.5. Necht’ P je vektorovy prostor a X je usporadana skupina mvektoru z P

X = (1x, . . . , mx).

Oznacme Z usporadanou skupinu vektoru z P definovanou vztahem

Z = H2(i, j)X ,

kdei, j ∈ {1, . . . ,m}, i �= j.

Potom X, Z majı stejnou hodnost.

Dukaz: Oznacme h hodnost X, tedy h = h(X). Ponevadz hodnost X nenızavisla na poradı vektoru, bez ujmy na obecnosti budeme predpokladat, zeve skupine X je prvnıch h vektoru linearne nezavislych a zbyvajıcı vektoryjsou jejich linearnımi kombinacemi. Predpokladame tedy, ze vektory

1x, . . . , hx (4.37)

jsou linearne nezavisle a vektory

h+1x, . . . , mx (4.38)

jsou jejich linearnımi kombinacemi.Napred dokazeme, ze platı nerovnost

h(X) ≤ h(Z). (4.39)

Ponevadz h(X) = h, nerovnost (4.39) bude dokazana, nalezneme-li v Z hlinearne nezavislych vektoru. Budeme je hledat v nasledujıcıch prıpadech proruzna umıstenı vektoru ix, jx v usporadane skupine X.

173


1◦ Predpokladejme, zei ≤ h, j ≤ h. (4.40)

Bez ujmy na obecnosti muzeme predpokladat, ze i < j. Potom

X = (1x, . . . , ix, . . . , jx, . . . , hx, . . . , mx). (4.41)

Transformacı H2(i, j)X se vektory (4.41) transformujı na vektory

Z = (1x, . . . , ix, . . . , (ix + jx), . . . , hx, . . . , mx). (4.42)

Dokazme, ze prvnıch h vektoru v Z je linearne nezavislych. Polozme

c1 · 1x + . . . + . . . + ci · ix + . . . + cj · (ix + jx) + . . . + ch · hx = 0. (4.43)

Upravou dostavame

c1 · 1x + . . . + (cj + ci) · ix + . . . + cj · jx + . . . + ch · hx = 0. (4.44)

Vzhledem k linearnı nezavislosti vektoru (4.37) dostavame odtud sys-tem rovnic

cj + ci = 0, ck = 0 pro k = 1, . . . h, k �= i. (4.45)

Odtud plyne zejmena cj = 0. Ponevadz ci + cj = 0 je i ci = 0. Jetedy c1 = 0, . . . , ch = 0, takze prvnıch k vektoru v (4.42) je linearnenezavislych.

2◦ Predpokladejme, ze1 ≤ j ≤ h < i.

V tomto prıpade je

X = (1x, . . . , jx, . . . , hx, . . . , ix, . . . , mx).

Tyto vektory se transformujı transformacı H2(i, j)X na system vektoru

Z = (1x, . . . , (jx + ix), . . . , hx, . . . , ix, . . . , mx). (4.46)

Polozme

c1 · 1x + . . . + cj · (jx + ix) + . . . + ch · hx = 0. (4.47)

Vektor ix je dle predpokladu linearnı kombinacı vektoru 1x, . . . , hx,takze existujı takova cısla β1, . . . βh, ze

ix = β1 · 1x + . . . + βj · jx + . . . + βh · hx. (4.48)

Dosad’me za ix do (4.47). Dostavame

c1 ·1x+ . . .+cj ·(jx+β1 ·1x+ . . .+βj · jx+ . . .+βh ·hx) + . . .+ch ·hx = 0.

Po uprave dostavame

(c1 +cj ·β1) ·1x+ . . .+cj ·(1+βj) · jx+ . . .+(ch +cj ·βh) ·hx = 0. (4.49)

174

Vzhledem k linearnı nezavislosti vektoru 1x, . . . , hx je

c1 + cjβ1 = 0, . . . , cj · (1 + βj) = 0, . . . , (ch + cj · βh) = 0. (4.50)

Mohou nastat dva prıpady: a) βj �= −1, b) βj = −1.a) to jest βj �= −1. Ze vztahu cj · (1 + βj) = 0 vyplyva, ze cj=0.Z (4.50) tedy dostavame ck = 0 pro k = 1, . . . h. Jsou tedy vektory(4.47) linearne nezavisle, takze h(X) ≤ h(Y ).b) Necht’ βj = −1. V tomto prıpade ze vztahu cj ·(1+βj) = 0 vyplyva,ze cj muze byt libovolne cıslo. Vektory (4.47) jsou tedy v tomto prıpadelinearne zavisle. Ukazeme, ze v tomto prıpade jsou vsak vektory

1x, . . . , j−1x, j+1x, . . . , . . . , hx, ix. (4.51)

linearne nezavisle. Polozme

c1 · 1x + . . . + cj−1 · j−1x + cj+1 · j+1x + . . . + ch · hx + ci · ix = 0. (4.52)

Dosadıme-li sem za ix vztah (4.48) pro βj = −1, dostavame po uprave

(c1 + ci · β1) · 1x + . . . + (cj−1 + ci · βj−1) · j−1x +

+(cj+1 + ci · βj+1) · j+1x + . . .

. . . + (ch + ci · βh) · hx + . . . − ci · jx = 0. (4.53)

Ponevadz vektory (4.37) jsou linearne nezavisle, dostavame z (4.53)tento system rovnic:

ci = 0, ck + ci · βk = 0 (4.54)

pro k = 1, 2, . . . , j − 1, j + 1, . . . , h. Odtud dostavame, ze

c1, c2, . . . , cj−1, cj+1, . . . , ch, ci

jsou rovny nule. Jsou tedy vektory (4.51) skutecne linearne nezavisle.

3◦ Necht’ j > h. V tomto prıpade se vektory (4.37) transformacı Z =H2(i, j)X nezmenily, jsou tedy linearne nezavislymi. Je tedy i v tomtoprıpade h(Z) ≥ h(X).Zatım jsme dospeli k tomuto vysledku. Necht’ X je usporadana skupinam vektoru. Potom usporadana skupina m vektoru Y

Y = H1(i, α)X, 1 ≤ i ≤ m, α �= 0

ma stejnou hodnost jako X a usporadana skupina vektoru Z

Z = H2(i, j)X

ma hodnost, pro nız platı h(Z) ≥ h(X). Je-li tedy U usporadanaskupina vektoru, vytvorena postupnym aplikovanım techto dvou tran-formacı (elementarnıch transformacı), ma hodnost h(U ) pro nız platı

h(X) ≤ h(U ). (4.55)

175


Tohoto poznatku vyuzijeme k dukazu, ze h(Z) ≥ h(U). Necht’ tedyZ = H2(i, j)X . Polozme

A = H1(i, −1)Z, B = H2(i, j)A, U = H1(i, −1)B.

Potom U = X . Tedy X jsme zıskali z Z elementarnı transformacı,takze podle toho co jsme uvedli, je

h(X) ≥ h(Z). (4.56)

Odtud a ze vztahu h(X) ≤ h(Z) dostavame, ze

h(X) = h(Z),

coz je vztah, ktery jsme chteli dokazat.

Veta 4.6.

Necht’ P je vektorovy prostor a X je usporadana skupinam vektoru z P

X = (1x, . . . , mx).

Oznacme Y usporadanou skupinu m vektoru z P, kteravznikla z X elementarnı transformacı. Potom skupiny vek-toru X, Y majı stejnou hodnost.

Dukaz: Ponevadz kazda elementarnı transformace vznika postupnym apli-kovanım zakladnıch elementarnıch transformacı, je tvrzenı vety bezprostred-nım dusledkem vet (4.4), (4.6).

Na zaklade techto vysledku muzeme vyslovit nasledujıcı vetu.

Elementarnı

transformace

matic

Veta 4.7. (O hodnosti matice)

Necht’ A je matice typu (m, n). PotomMatice H1(i, α)A, kde α �= 0 je matice, ktera vzniknez matice A tak, ze jejı i–ty radek vynasobıme cıslem α

a ostatnı radky ponechame beze zmenyMatice H2(i, j)A je matice, ktera vznikne z matice A

tak, ze k jejımu j–temu radku pricteme jejı i–ty radeka ostatnı radky ponechame beze zmeny.

176

Matice H3(i, j)A je matice, ktera vznikne z matice A

tak, ze vzajemne vymenıme jejı i–ty a j–ty radek apo provedenı teto vymeny nasobıme j–ty radek cıslem(−1) a ostatnı radky ponechame beze zmeny.

Matice H3(i, j)A je matice, ktera vznikne z matice A

tak, ze vzajemne vymenıme jejı i–ty a j–ty radek aostatnı radky ponechame beze zmeny.Matice H4(i, α, j, β)A, kde β �= 0 je matice, kteravznikne z matice A tak, ze jejı j–ty radek nahradımesouctem β− nasobku jejıho j−teho radku a α−nasobkujejıho i−teho radku a ostatnı radky ponechame bezzmeny.

Postupnym aplikovanım techto transformacı na matici A

dostaneme matici, ktera ma stejnou radkovou hodnost jakomatice A.

Sloupcovou hodnost matice urcıme podle analogicke vety, ktera vznikne z ve-ty 4.7 tak, ze v nı slova

”radek“ nahradıme slovy

”sloupec“.

4.4 Symbolika pouzita pro popis nekterych vypoctovychpostupu

V popisu vypoctovych postupu budeme pouzıvat jen konstant, nebudemepouzıvat symbolu promennych, jimz jeste nebyla prirazena hodnota z jejichoboru.

Pro prirazenı budeme pouzıvat symbol”:=“. Jestlize tedy napr. x je promen-

na s oborem realnych cısel, pak zapisem

x := 5

prirazujeme promenne x hodnotu”5“. V dalsım oznacuje x cıslo 5 az do

doby, kdy teto promenne x nepriradıme jinou hodnotu. Chceme-li hodnotupromenne x zmenit, napr. zvetsit o cıslo 8, pouzijeme zapisu

x := x + 8. (4.57)

Tento zapis muzeme cıst napr. takto: K aktualnı hodnote promenne x pri-cteme cıslo 8 a tuto hodnotu priradıme promenne x. V nasem prıpade budemıt potom promenna x hodnotu

”5+8“, to jest hodnotu 13. Na vztah (4.57)

se nenı mozno dıvat jako na rovnici. Napr. nenı mozno na jeho obe stranypricıst

”−x“ a tak obdrzet

”0 := 8“. Promenne, napr. promenne x, jız jiz

byla prirazena hodnota, muzeme priradit novou hodnotu. Tım jejı puvodnıhodnota zanikne.

177


Uzitım promennych, kterym jiz byly prirazeny hodnoty z jejıch oboru, mu-zeme vytvaret vyrazy. Prıkladem vyrazu je napr. prava strana v (4.57).Uved’me si jeste jiny prıklad vyrazu. Oznacme A,B,C promenne s oboremhodnot vsech matic daneho (stejneho) typu a predpokladejme, ze promennymA,B byly jiz prirazeny konkretnı matice. Potom prirazenım

C := 2 · A + 3 · B (4.58)

je promenne C prirazena matice rovna souctu aktualnı hodnoty matice A

vynasobene cıslem 2 a aktualnı hodnoty matice B vynasobene cıslem 3. Zde2 · A + 3 · B je vyraz.

Byla-li jiz matici A prirazena hodnota z jejıho oboru, predpokladame, zetımto prirazenım je prirazena i hodnota symbolum oznacujıcım jejı prvky ai,j ,resp. symbolum pro vektory A(i, :),A(:, j) pro aktualnı hodnoty promennychi, j. (Pripomenme si, ze symbolem A(i, :) rozumıme i–ty radek matice A asymbolem A(:, j) rozumıme j–ty sloupec matice A.) Napr., jestlize se nekdev popisu vyskytne a2,1, jedna se o aktualnı hodnotu prvku matice A v jejımdruhem radku a prvnım sloupci. Podobne, jestlize se v popisu pouzije symbolA(2, :), rozumı se jım aktualnı hodnota druheho radku matice A. Jako dalsıprıklad prirazenı si uved’me prirazenı

A(3, :) := A(1, :). (4.59)

Tımto prirazenım byla zmenena matice A tak, ze jejı tretı radek byl nahrazenaktualnı hodnotou prvnıho radku matice A, aniz by se prvnı radek maticeA nejak zmenil.

Poznamka. V popisu vypoctoveho postupu delame tedy rozdıl mezi symbo-lem

”:=“ a symbolem

”=“. Napr. promenne x prirazujeme cıslo 5 prıkazem

x := 5, a zapisem y = 3 vyjadrujeme, ze promenna y ma hodnotu 3.

Mimo popis vypoctoveho postupu nebudeme cinit rozdıl mezi temito dvemaruznymi symboly a budeme pouzıvat jen symbolu

”=“. Ze souvislostı je pa-

trny vyznam pouziteho symbolu”=“.

4.5 Urcenı hodnosti matice

Hodnost

schodovite

matice

Zrejme platı

Necht’ X je nenulova schodovita matice. Potom jejı hodnostje rovna poctu jejich nenulovych radku.

Uvedli jsme si, ze matice Y , ktera vznikne z matice X elementarnımi trans-formacemi, ma stejnou hodnost jako matice X. Popisme tedy vypoctovy po-stup jak elementarnımi transformacemi transformovat danou matici X �= 0na hornı schodovitou matici.

178

Transformace matice X na hornı schodovitou matici

Necht’ X je nenulova matice typu (m,n), ktera nenı ve schodovitem tvaru.Jejı transformaci na matici schodoviteho tvaru , oznacıme ji opet X, prove-dem takto.

ZacatekPolozme i := 1

B1. Budeme vytvaret i-ty radek hledane matice schodoviteho tvaru.B2. K cıslu i urcıme nejmensı poradove cıslo sloupce matice X, v jehoz

radcıch i, i + 1, . . . ,m je alespon jeden nenulovy prvek. Toto poradovecıslo sloupce oznacme si.

B3. Zvolme p ∈ {i, . . . ,m}, pro nez je xp,si�= 0. (je-li takovych p vıce,

zvolıme jedno z nich). p-ty radek matice X nazveme hlavnım radkem.B4. Je-li p �= i, vymenıme navzajem p-ty a i-ty radek metice X. Po teto

vymene je i-ty radek hlavnım radkem. Je-li p = i, je jiz i-ty radekhlavnım radkem.

B5. Provedeme nynı takove elementarnı ´transformace, aby po jejich rea-lizaci byly prvky xi+1,si

, . . . , xm,sirovny 0. Toho dosahneme napr. ele-

mentarnımi transformacemi

X := H4(i,−xj,si, j, xi,si

)X

pro ty indexy j = i + 1, . . . ,m pro nez xj,sj�= 0.

B6. Jestlize matice X nenı jeste ve schodovitem tvaru, polozme

i := i + 1

a prejdeme zpet na B1.Je-li X ve schodovitem tvaru, je transformace ukoncena. Hodnost danematice je pak rovna poctu nenulovych radku schodovite matice.

Prıklad 4.6. Urcete radkovou hodnost matice

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 1 3 2 3

0 2 6 4 1

0 0 0 1 2

0 1 3 2 4

⎞⎟⎟⎟⎟⎠uzitım jejı transformace na hornı schodovitou matici.

Resenı. Polozme

X :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 1 3 2 3

0 2 6 4 1

0 0 0 1 2

0 1 3 2 4

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , m := 4, n := 5.

V nasledujıcım popisu vypoctoveho postupu bude oznacenı B1-i,. . . ,B6-iznamenat ukony B1–B6 pro dane i.

179


Zacateki := 1

B1-1 Budeme vytvaret i-ty (prvnı) radek hledane schodovite matice.B2-1 K cıslu i (to jest k cıslu i = 1) urcıme nejmensı poradove cıslo sloupce,

v jehoz radcıch i, . . . ,m (to jest v jehoz radcıch 1, 2, 3, 4) je nenulovyprvek. Je to druhy sloupec. Polozıme tedy si := 2 (s1 = 2).

B3-1 Zvolıme hlavnı radek. V si–tem sloupci (to jest ve 2. sloupci) jsounenulove prvky v radcıch 1, 2, 4. Z nich zvolıme jeden. Jeho poradovecıslo oznacıme p. Rozhodneme se pro radek p = 1, ktery zvolıme jakohlavnı.

B4-1 Ponevadz jsme zvolili za hlavnı radek p–ty radek, kde p = i, ne-provadıme vymenu radku p s radkem i.

B5-1 Provedeme nynı takove elementarnı tranformace matice X, aby po je-jich realizaci byly v si-tem sloupci (to jest ve druhem sloupci) v radcıchi+1, . . . ,m (to jest v radcıch 2, 3, 4) nulove prvky. (Prvky x2,2, x3,2, x4,2

eliminujeme). Toho dosahneme napr. elementarnımi transformacemi

X := H4(i,−xj,si, j, xi,si

)X, pro j = i + 1, . . . ,m, je-li xj,sj�= 0.

Ponevadz i = 1, si = 2, m = 4, eliminaci provedeme elementarnımitransformacemi

X := H4(1,−xj,2, j, x1,2)X, pro j = 2, 3, 4.

To znamena, ze prvek xj,2 pro kazde j ∈ {2, 3, 4} eliminujeme tak, zehlavnı radek (to jest prvnı radek) vynasobıme cıslem (−xj,2) a prictemejej k j-temu radku vynasobeneho cıslem x1,2.

• Polozme j := i + 1 (tedy pro j = 2) dostavame

X := H4(1,−a2,2, 2, a1,2)X.

Po teto transformaci je druhy radek matice X roven

X(2, :) = −2 · (0 1 3 2 3) + 1 · (0 2 6 4 1) = (0 0 0 0 − 5)

a ostatnı radky matice X se nemenı.• Polozme j := j + 1. Je tedy j = 3. Ponevadz xj,si

= 0, (to jestx3,2 = 0), eliminaci nenı treba provadet a prejdeme k dalsımuradku.

• Polozme j := j + 1. Je tedy j = 4. Ponevadz xj,si= 1 �= 0, (to

jest x4,2 �= 0,) provedeme elementarnı transformaci

X := H4(1,−a4,2, 4, a1,2)X.

Po teto transformaci je ctvrty radek matice X roven

X(4, :) = −1 · (0 1 3 2 3) + 1 · (0 1 3 2 4) = (0 0 0 0 1).

180

Ostatnı radky matice X se nemenı.

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 1 3 2 3

0 0 0 0 −5

0 0 0 1 2

0 0 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

B6-1 Ponevadz obdrzena matice X jeste nenı hornı schodovitou maticı, po-lozıme

i := i + 1

a prejdeme na bod B1.B1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvaret druhy radek hornı schodovite matice.B2-2 K cıslu i (to jest k cıslu i = 2) urcıme nejmensı poradove cıslo si (to

jest s2) sloupce, v jehoz radcıch i, . . . ,m (to jest v jehoz radcıch 2, 3, 4)je nenulovy prvek. Je to ctvrty sloupec. Polozıme tedy si := 4 (s2 = 4).

B3-2 Zvolıme hlavnı radek. V si-tem sloupci (to jest ve 4. sloupci) je v rad-cıch 2, 3, 4 nenulovy prvek jen v radku 3. Jeho poradove cıslo oznacımep. Tento radek zvolıme za hlavnı radek. Je tedy p := 3.

B4-2 Ponevadz jsme zvolili za hlavnı radek radek p, kde p �= i, provedemev matici X vymenu radku p s radkem i. (Tedy vymenu druheho atretıho radku.) Dostavame tak matici

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 1 3 2 3

0 0 0 1 2

0 0 0 0 −5

0 0 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

B5-2 Provedeme nynı takove elementarnı transformace matice X, aby po je-jich realizaci byly v si-tem sloupci (to jest ve ctvrtem sloupci) v radcıchi + 1, . . . ,m (to jest v radcıch 3, 4) nulove prvky. (Prvky x3,4, x4,4 eli-minujeme.) Avsak v tomto prıpade jsou prvky x3,4, x4,4 rovny 0, takzeeliminaci nenı treba provadet. Je tedy vysledna matice v tomto kroku

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 1 3 2 3

0 0 0 1 2

0 0 0 0 −5

0 0 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

B6-2 Obdrzena matice X jeste nenı hornı schodovitou maticı, proto polozıme

i := i + 1

a prejdeme na bod B1.B1-3 Je tedy i = 3. To znamene, ze budeme vytvaret tretı radek hledane

schodovite matice.

181


B2-3 K cıslu i (to jest k cıslu i = 3) urcıme nejmensı poradove cıslo si (to jests3), v jehoz radcıch i, . . . ,m (to jest v jehoz radcıch 3, 4) je nenulovyprvek. Je to paty sloupec. Polozme tedy si := 5 (s3 = 5).

B3-3 Zvolıme hlavnı radek. V si-tem sloupci (to jest v 5. sloupci) jsou ne-nulove prvky v radcıch 3, 4. Z nich zvolıme jeden. Jeho poradove cıslooznacıme p. Rozhodneme se pro radek p = 4, ktery zvolıme jako hlavnı.

B4-3 Ponevadz jsme zvolili za hlavnı radek p-ty radek, kde p �= i, provadımevymenu radku p s radkem i. Po teto vymene je

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 1 3 2 3

0 0 0 1 2

0 0 0 0 1

0 0 0 0 −5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

B5-3 Provedeme nynı takove elementarnı transformace matice X, aby pojejich realizaci byly v si-tem sloupci (to jest v patem sloupci) v radcıchi+1, . . . ,m (to jest v radku 4) nulove prvky. (Prvek x4,5 eliminujeme.)Toho lze dosahnout napr. elementarnı transformacı

X := H4(3,−x4,5, 4, x3,5)X.

Vypoctem dostavame

X(4, :) = 5 · (0 0 0 0 1) + 1 · (0 0 0 0 − 5) = (0 0 0 0 0).

Je tedy

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 1 3 2 3

0 0 0 1 2

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

B6-3 Ponevadz obdrzena matice je jiz hornı schodovitou maticı, je transfor-mace dane matice na hornı schodovitou matici jiz ukoncen.

Ponevadz obdrzena schodovita matice ma celkem tri nenulove radky, je jejıhodnost a tedy i hodnost zadane matice rovna 3. Tedy h(X) = 3.

Prıklad 4.7. Urcete hodnost skupiny vektoru

1a = (1 0 − 1 2), 2a = (0 1 2 − 1), 3a = (0 1 3 − 6).

Resenı. Uloha je ekvivalentnı s ulohou nalezenı radkove hodnosti matice

A =

⎛⎜⎜⎝1 0 −1 2

0 1 2 −1

0 1 3 −6

⎞⎟⎟⎠ .

Tuto hodnost hledejme transformacı matice A elementarnımi ransformacemina hornı schodovitou matici postupem popsanym na str. 179.

182

Polozmei := 1

B1-1 Budeme vytvaret i-ty radek (1. radek) schodovite matice.B2-1 K cıslu i = 1 urcıme nejmensı poradove cıslo sloupce matice A, v jehoz

radcıch 1, 2, 3 je alespon jeden prvek ruzny od 0. Je to v prvnım sloupci.Pokladame tedy s1 := 1.

B3-1 Hledame nynı radek matice A, v jehoz sloupci s poradovym cıslems1 = 1 je nenulovy prvek. To jest, hledame p ∈ {1, 2, 3}, pro nez jeap,s1

�= 0. Je to pro p = 1. Polozme tedy p := 1. Radek p = 1 volıme zahlavnı.

B4-1 Ponevadz p = i, neprovadıme vymenu p-teho a i-teho radku. Prvnıradek je hlavnım.

B5-1 Ponevadz vsechny prvky v prvnım sloupci pocınaje druhym radkem,jsou nulove (tj. prvky aj,1 = 0 pro j = 2, 3), prejdeme k B6-1.

B6-1 Matice A nenı hornı schodovitou maticı, proto polozımei := i + 1

a jdeme zpet k bodu B1.B1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvaret 2. radek schodovite matice.B2-2 K cıslu i (tj. k cıslu i = 2) urcıme nejmensı poradove cıslo sloupce si

(to jest s2), v jehoz radcıch 2, 3 je nenulovy prvek. Je to druhy sloupec.Polozıme tedy s2 := 2.

B3-2 Zvolıme hlavnı radek. Ve sloupci s poradovym cıslem s2 (tj. ve druhemsloupci) hledame index j, j ≥ i, tak, aby aj,s2

�= 0. Je to pro j = 2 apro j = 3. Zvolme jedno z nich. Rozhodneme se pro j = 2. Polozımep := 2. Bude tedy p-ty radek hlavnım radkem.

B4-2 Ponevadz jsme zvolili za hlavnı radek p-ty radek, kde p = i, nepro-vadıme vzajemnou vymenu p-teho a i-teho radku. Je tedy i-ty radekhlavnım radkem.

B5-2 Provedeme nynı takove elementarnı transformace, aby po jejich reali-zaci byly v si-tem sloupci (ve druhem sloupci) v radcıch i + 1, . . . ,m(to jest v radku 3) nulove prvky. Toho dosahneme napr. elementarnıtransformacı

A := H4(2,−a3,2, 3, a2,2)A.

Vypoctem dostavame

A(3, :) = −1(0 1 2 − 1) + 1(0 1 3 − 6) = (0 0 1 − 5).

Celkem dostavame

A =

⎛⎜⎜⎝1 0 −1 2

0 1 2 −1

0 0 1 −5

⎞⎟⎟⎠ .

B6-2 Dosazena matice A je hornı schodovita matice. Ponevadz ma tri nenu-love radky, je jejı hodnost rovna 3, je tedy h(A) = 3.

Dane vektory 1a, 2a, 3a jsou linearne nezavisle.

183


Prıklad 4.8. Urcete hodnost matice

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 0 1 2 3

0 2 2 4 3

0 2 4 8 9

0 0 2 4 6

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Resenı. V tomto prıklade naznacıme pouze vysledky jednotlivych uprav bezkomentare.

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 2 2 4 3

0 0 1 2 3

0 2 4 8 9

0 0 2 4 6

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ∼

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 2 2 4 3

0 0 1 2 3

0 0 2 4 6

0 0 2 4 6

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ∼(

0 2 2 4 3

0 0 1 2 3

).

Ma tedy matice X hodnost 2.

4.6 Baze vektoroveho prostoru

Zaved’me si nynı pojem baze. V nekterych vektorovych prostorech existujıvektory, ktere majı tu vlastnost, ze kazdy vektor tohoto prostoru lze vyjadritjako jejich vhodnou linearnı kombinaci. To nas vede k teto definici.

Definice

baze Definice 4.8. (Baze vektoroveho prostoru)

Necht’ P je vektorovy prostor. 1e, . . . , ne jsou vektory z Ps temito vlastnostmi:

1. jsou linearne nezavisle2. kazdy vektor prostoru P se da vyjadrit jako jejich

linearnı kombinace, to jest, ke kazdemu vektoru a ∈ Pexistujı takova cısla c1, . . . , cn, ze

a = c11e + . . . + cn

ne.

Potom rıkame, ze vektory 1e, . . . , ne z P tvorı jeho bazi.

Prıklad 4.9. Dokazte ze vektory

1e = (1, 0, 0), 2e = (0, 1, 0), 3e = (0, 0, 1)

tvorı bazi vektoroveho prostoru V3.

Dukaz. Dokazme predevsım, ze vektory

1e, 2e, 3e

184

jsou linearne nezavisle. Abychom to dokazali, hledejme koeficienty c1, c2, c3,pro nez je

c11e + c2

2e + c33e = 0,

to jest, pro nez je

c1 · (1, 0, 0) + c2 · (0, 1, 0) + c3 · (0, 0, 1) = (0, 0, 0).

To zrejme platı kdyz a jenom kdyz c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedy vektory1e = (1, 0, 0), 2e = (0, 1, 0), 3e = (0, 0, 1) skutecne linearne nezavisle.

Necht’ nynı a = (a1, a2, a3) je libovolny vektor z V3 a hledejme koeficientyc1, c2, c3, pro nez je

c11e + c2

2e + c33e = a,

to jest, pro nez platı

c1 · (1, 0, 0) + c2 · (0, 1, 0) + c3 · (0, 0, 1) = (a1, a2, a3).

Odtud dostavame c1 = a1, c2 = a2, c3 = a3. Vektory

1e = (1, 0, 0), 2e = (0, 1, 0), 3e = (0, 0, 1)

majı vlastnosti uvedene v definici 4.8, takze tvorı bazi vektoroveho prostoruV3.

Prıklad 4.10. Dokazte, ze vektory

1f = (1, 1, 0), 2f = (0, 1, 0), 3f = (1, 1, 1)


Budeme postupovat podobne jako v minulem prıklade. Napred dokazeme, zevektory

1f , 2f , 3f

jsou linearne nezavisle. Hledejme koeficienty c1, c2, c3, pro nez je

c11f + c2

2f + c33f = 0,

to jest, pro nez je

c1 · (1, 1, 0) + c2 · (0, 1, 0) + c3 · (1, 1, 1) = (0, 0, 0).

To zrejme platı kdyz a jenom kdyz

c1 + 0 · c2 + c3 = 0, (4.60)

c1 + c2 + c3 = 0, (4.61)

0 · c1 + 0 · c2 + c3 = 0. (4.62)

Tento system rovnic ma prave jedno resenı a to c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedyvektory 1f = (1, 1, 0), 2f = (0, 1, 0), 3f = (1, 1, 1) linearne nezavisle.

Abychom dokazali, ze tyto vektory tvorı bazi vektoroveho prostoru V3, mu-sıme jeste dokazat, ze kazdy vektor a ∈ V3 se da vyjadrit jako linearnı

185


kombinace vektoru 1f , 2f , 3f . Necht’ tedy a ∈ P. Hledejme nynı koeficientyc1, c2, c3, pro nez je c1

1f + c22f + c3

3f = a, to jest, ze

c1 · (1, 1, 0) + c2 · (0, 1, 0) + c3 · (1, 1, 1) = (a1, a2, a3).

To zrejme platı kdyz a jenom kdyz

c1 + 0 · c2 + c3 = a1, (4.63)

c1 + c2 + c3 = a2, (4.64)

0 · c1 + 0 · c2 + c3 = a3. (4.65)

Odtud dostavame c1 = a1 − a3, c2 = a2 − a1, c3 = a3. Vektory

1f = (1, 1, 0), 2f = (0, 1, 0), 3f = (1, 1, 1)

majı vlastnosti uvedene v definici 4.8, takze tvorı bazi vektoroveho prostoruV3.

Vsimneme si blıze obou techto prıkladu. V obou prıkladech jsme uvazovalitentyz vektorovy prostor. Ukazali jsme, ze jak vektory

1e = (1, 0, 0), 2e = (0, 1, 0), 3e = (0, 0, 1)

tvorı bazi vektoroveho prostoru V3, tak i vektory

1f = (1, 1, 0), 2f = (0, 1, 0), 3f = (1, 1, 1)


Baze vektoroveho prostoru V3 nenı tedy urcena jednoznacne. V nahore uve-denem prıklade byl pocet vektoru tvorıcıch bazi tehoz vektoroveho prostoruV3 v obou prıpadech stejny. Naskyta se otazka, zda se jedna o nahodilost,anebo zda se jedna o nejakou zakonitost. V prıpade, ze pocet vektoru tvorıcıchbazi by byl stejny pro kazdou bazi, potom tento pocet by charakterizovalprıslusny vektorovy prostor. Uved’me si tedy nasledujıcı vetu, ktera odpovıdana tuto otazku.

Veta 4.8. Necht’ P je vektorovy prostor a 1e, . . . , ne je jeho baze, tvorena nvektory. Potom platı:

Jestlize 1f , . . . , mf je skupina m vektoru z P, kde m ≥ n, potom v nı jenejvyse n linearne nezavislych vektoru.Kazda skupina n linearne nezavislych vektoru z P je jeho baze.Cıslo n nyzyvame dimenzı vektoroveho prostoru P. Pıseme dimP = n.

Dukaz: Bez dukazu.

Dokazte si platnost tohoto tvrzenı

Aritmeticky vektorovy prostor Vn ma dimenzi rovnu n, tj.dimVn = n. Jedna z jeho bazı je tvorena vektory

1e = (1, 0, . . . , 0), 2e = (0, 1, . . . , 0), . . . , ne = (0, 0, . . . , 1).

186

Uved’me si nynı pojem vektoroveho podprostoru vektoroveho prostoru P.

Vektorovy

podprostor

Definice 4.9. (Vektorovy podprostor)

Necht’ P je vektorovy prostor. Necht’ Q ⊆ P a necht’ prokazde dva prvky x, y ∈ Q je x + y ∈ Q a pro kazde x ∈ Q

a kazde α ∈ R je α · x ∈ Q. Zde symboly”+“ a

”·“ jsou

operace secıtanı a nasobenı v prostoru P. Potom mnozinaQ spolecne s uvedenymi operacemi

”+“ a

”·“ je vektorovym

podprostorem vektoroveho prostoru P, znacıme jej Q.

Uved’me si jeste pojem vektoroveho prostoru generovaneho systemem vektoru.

Definice 4.10. (Linearnı obal mnoziny)

Necht’ P je vektorovy prostor a necht’ M ⊆ P. Po-tom mnozinu Q vsech linearnıch kombinacı vektoru z Mnazyvame linearnım obalem mnoziny M. Mnozina Q s ope-racemi

”+“ a

”·“ tvorı vektorovy podprostor Q prostoru P.

Rıkame, ze prostor Q je generovan mnozinou M.Jestlize U je vektorovy podprostor prostoru P obsahujıcı M,potom Q ⊆ U.

Prıklad 4.11. Necht’ Q je mnozina tech vektoru z V5, jejichz prvnı a tretıslozka je stejna. Potom mnozina Q s operacemi

”+“ a

”·“, definovanymi

v prostoru V5, je vektorovym podprostorem Q prostoru V5. Vektory

(1, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1) (4.66)

tvorı jeho bazi.

Skutecne. Necht’

a = (s, a2, s, a4, a5), b = (r, b2, r, b4, b5)

a α, r, s jsou libovolna cısla. Potom

a + b = (s + r, a2 + b2, s + r, a4 + b4, a5 + b5),

takze prvnı a tretı slozka tohoto souctu je stejna, takze tento soucet patrı domnoziny Q. Podobne

α · a = (α · s, α · a2, α · s, α · a4, α · a5),

takze prvnı a tretı slozka tohoto soucinu je stejna, takze soucin α · a patrıdo mnoziny Q. Tato mnozina Q s operacemi

”+“ a

”·“, definovanymi v V5,

je vektorovym podprostorem Q prostoru V5.

187


Ukazme jeste, ze vektory (4.66) tvorı jeho bazi. Dokazme napred, ze jsoulinearne nezavisle. Skutecne, hledejme takova c1, c2, c3, c4 pro nez je

c1·(1, 0, 1, 0, 0)+c2·(0, 1, 0, 0, 0)+c3·(0, 0, 0, 1, 0)+c4·(0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0, 0).

Odtud dostavame

(c1, c2, c3, c4) = (0, 0, 0, 0).

Tento vztah je splnen zrejme jenom v prıpade, ze

c1 = c2 = c3 = c4 = 0.

Jsou tedy vektory (4.66) linearne nezavisle.

Necht’ nynı

a = (s, a2, s, a4, a5)

je libovolny vektor z Q. Potom

s · (1, 0, 1, 0, 0) + a2 · (0, 1, 0, 0, 0) + a4 · (0, 0, 0, 1, 0) + a5 · (0, 0, 0, 0, 1) == (s, a2, s, a4, a5)

Lze tedy vektor a = (s, a2, s, a4, a5) vyjadrit jako linearnı kombinaci vektoru(4.66). Tım je dukaz proveden.

Zaroven lze konstatovat, ze vektorovy prostor Q je generovan vektory (4.66).

Vrat’me se k systemu rovnic (3.35)

Ax = b, (4.67)

kde A je matice typu (m,n), b je vektor (m, 1) a neznamy vektor x je typu(n, 1).

Oznacme

1a =

⎛⎜⎜⎜⎝a1,1

a2,1...

am,1

⎞⎟⎟⎟⎠ , 2a =

⎛⎜⎜⎜⎝a1,2

a2,2...

am,2

⎞⎟⎟⎟⎠ , . . . , na =

⎛⎜⎜⎜⎝a1,n

a2,n

...am,n

⎞⎟⎟⎟⎠ ,

b =

⎛⎜⎜⎜⎝b1

b2...

bm

⎞⎟⎟⎟⎠ .

Potom system (3.35) lze zapsat jako

x1

⎛⎜⎜⎜⎝a1,1

a2,1...

am,1

⎞⎟⎟⎟⎠+ x2

⎛⎜⎜⎜⎝a1,2

a2,2...

am,2

⎞⎟⎟⎟⎠+ · · · + xn

⎛⎜⎜⎜⎝a1,n

a2,n

...am,n

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝b1

b2...

bm

⎞⎟⎟⎟⎠ ,

188

tj.x1

1a + x22a + · · · + xn

na = b. (4.68)

Prıklad 4.12. System linearnıch rovnic

x1 + 3x1 − 3x3 = −12

4x1 + 5x2 + 2x3 = 6

lze zapsat jako

x1

(14

)+ x2

(35

)+ x3

(−32

)=

(−126

)

Poznamka. Pro kazdou usporadanou n-tici realnych cısel je leva strana(4.68), tj. vektor

x11a + x2

2a + · · · + xnna

vektorem z vektoroveho prostoru G generovaneho sloupcovymi vektory ma-tice A, tj. vektory 1a, 2a, . . . , na. System rovnic Ax = b ma resenı kdyz ajenom kdyz b ∈ G.

4.7 Skalarnı soucin, norma a vzdalenost ve vektorovemprostoru

Na gymnaziu se zavadı pojem skalarnıho soucinu dvou volnych vektoru. Totozavedenı se motivovalo potrebami fyziky. Skalarnı soucin jste vyuzıvali nejenve fyzice, ale i v analyticke geometrii a to jak v ulohach s prımkami, taki v ulohach s rovinami. Pojem skalarnıho soucinu dvou volnych vektoru avypocet uhlu dvou nenulovych volnych vektoru nas bude motivovat k zave-denı skalarnıho soucinu a uhlu dvou vektoru v obecnych vektorovych pro-storech. S temito pojmy se pak muzete setkat pri resenı ruznych aplikacnıchuloh. Zacneme tedy s volnymi vektory.

Definice 4.11. Uhlem volnych vektoru −→a ,−→b rozumıme uhel

ϕ ∈ 〈0, π〉,

o ktery je nutno otocit orientovanou usecku−→AB, reprezentujıcı −→a , kolem

bodu A v rovine urcene body (A,B,C) do smeru orientovane usecky−→AC,

reprezentujıcı−→b , kde A je libovolny bod (viz obr 4.6).

Skalarnı

soucinSkalarnı soucin dvou volnych vektoru. Necht’ −→a ,

−→b jsou dva volne

nenulove vektory. Potom jejich skalarnım soucinem rozumıme cıslo (skalar),

oznacme je (−→a ,−→b ), definovane vztahem

(−→a ,−→b ) = |−→a | ·

∣∣∣−→b ∣∣∣ · cos(ϕ), (4.69)

kde ϕ je uhel,ktery svırajı vektory −→a ,−→b . Jestlize alespon jeden z vektoru a,

b je nulovy vektor, definujeme

(−→a ,−→b ) = 0.

189


ϕ

A

C

B

Obrazek 4.6: Uhel dvou vektoru

Podıvejme se nynı na pojem skalarnıho soucinu dvou volnych vektoru v kar-tezskem souradnem systemu ve trırozmernem prostoru. (Analogicke uvahy jemozno provest ve dvojrozmernem prostoru.) Uvazujme dva nenulove volne

vektory −→a ,−→b . Necht’ volny vektor −→a je reprezentovan orientovanou useckou−→

OA a volny vektor−→b je reprezentovan orientovanou useckou

−−→OB, kde O =

[0, 0, 0], A = [a1, a2, a3], B = [b1, b2, b3]. Oznacme ϕ uhel, ktery svırajı orien-

tovane usecky−→OA,

−−→OB. Na trojuhelnık �(OAB) aplikujme kosinovou vetu.

Dostavame (viz obr.4.7)

O x2

x3

x1

ϕA

B

Obrazek 4.7: Odvozenı skalarnıho soucinu dvou vektoru

∣∣∣−→AB∣∣∣2 =

∣∣∣−→OA∣∣∣2 +

∣∣∣−−→OB∣∣∣2 − 2

∣∣∣−→OA∣∣∣ · ∣∣∣−−→OB

∣∣∣ cos (ϕ)

Do tohoto vztahu dosad’me∣∣∣−→AB∣∣∣ =√(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2,∣∣∣−→OA∣∣∣ =√a2

1 + a22 + a2

3,∣∣∣−−→OB

∣∣∣ =√b21 + b2

2 + b23.

Upravou dostaneme∣∣∣−→OA∣∣∣ · ∣∣∣−−→OB

∣∣∣ · cos(ϕ) = a1b1 + a2b2 + a3b3. (4.70)

Ponevadz∣∣∣−→OA

∣∣∣ = |−→a | a∣∣∣−−→OB

∣∣∣ = ∣∣∣−→b ∣∣∣, dostavame odtud a z (4.69)

(−→a ,−→b ) = a1b1 + a2b2 + a3b3 (4.71)

190

Jsou-li volne vektory −→a ,−→b nenulove, lze uzitım vztahu (4.69), (4.70) urcit

cos(ϕ) vztahem

cos(ϕ) =(−→a ,

−→b )

|−→a | · |−→b |. (4.72)

Uzitım (4.71) pak dostavame

cos(ϕ) =a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a2

2 + a23 ·√

b21 + b2

2 + b23

. (4.73)

Uvazujme nynı zobrazenı T prostoru U3 na prostor V3 (bylo jiz zavedenodrıve), definovane vztahem

T (−→a ) = (a1 a2 a3) = a, T (−→b ) = (b1 b2 b3) = b.

Vzhledem k vlastnostem zobrazenı T a vzhledem k (4.71) definujeme skalarnısoucin vektoru a, b v prostoru V3 vztahem (pozdeji definici skalarnıho sou-cinu zobecnıme)

(a, b) = ((a1, a2, a3), (b1, b2, b3)) = a1b1 + a2b2 + a3b3 (4.74)

a uhel ϕ, ktery svırajı dva nenulove vektory a, b, vztahem

cos(ϕ) =a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a2

2 + a23 ·√

b21 + b2

2 + b23

. (4.75)

Uvazıme-li, ze |a| =√

a21 + a2

2 + a23, |b| =

√b21 + b2

2 + b23, lze (4.75) prepsat

takto

cos(ϕ) =(a, b)

|a| · |b| . (4.76)

Takto zavedeny pojem skalarnıho soucinu vektoru z V3 a pojem uhlu dvounenulovych vektoru z V3 rozsırıme i pro vektory z Vn. (Tyto pojmy v dalsımjeste vıce zobecnıme.)

191


Definice 4.12.

Necht’ a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) jsou vektory z vek-toroveho prostoru Vn. Potom cıslo, oznacme je (a, b), defi-novane vztahem

(a, b) = a1b1 + . . . + anbn (4.77)

nazveme skalarnım soucinem vektoru a, b.

Poznamka. Necht’ a, b ∈ Vn jsou sloupcove vektory. Potomskalarnı soucin (a, b) definovany vztahem (4.77) lze zapsatjako

(a, b) = aT · b.

Lze dokazat, ze v prostoru Vn ma skalarnı soucin vektoru, definovany vzta-hem (4.77), nasledujıcı vlastnosti:

Veta 4.9.

Necht’ Vn je vektorovy prostor. Potom skalarnı soucinv tomto prostoru, definovany vztahem (4.77), ma tyto vlast-nosti:

(a, b) = (b, a), (4.78)

(a + b, c) = (a, c) + (b, c), (4.79)

(α · a, b) = α · (a, b), (4.80)

(a, a) ≥ 0, (a, a) = 0 ⇒ a = 0. (4.81)

Dukaz: Omezıme se na dukaz vztahu (4.79), ostatnı vztahy se dokazuji ana-logicky, jejich dukaz prenechavam ctenari. Aplikacı vztahu (4.77) na levoustranu (4.79) dostavame

(a + b, c) = (a1 + b1) · c1 + . . . + (an + bn) · cn,

coz po uprave dava

a1 · c1 + b1 · c1 + . . . + an · cn + bn · cn = (a, c) + (b, c).

Pojem skalarnıho soucinu dvou vektoru rozsırıme nynı i na vektorove prostoryP, definovane na obecne mnozine P . Uvazujme nynı vektorovy prostor P,definovany na nejake neprazdne mnozine P . V tomto vektorovem prostorubudeme definovat skalarnı soucin takto.

192

Definice 4.13. (Skalarnı soucin dvou vektoru)

Necht’ P je dany linearnı prostor. Ke kazdym jeho dvemavektorum a, b ∈ P je prirazeno realne cıslo (a, b) tak, ze provektory a, b, c ∈ P a pro kazde realne cıslo α platı

(a, b) = (b, a), (4.82)

(a + b, c) = (a, c) + (b, c), (4.83)

(αa, b) = α(a, b), (4.84)

(a, a) ≥ 0, (a, a) = 0 ⇒ a = 0. (4.85)

Potom cıslo (a, b) nazyvame skalarnım soucinem prvkua, b ∈ P.

Obecna

definice

skalarnıho

soucinu

Skalarnı soucin definovany v prostoru Vn vztahem (4.77)je jednım z moznychzpusobu definovanı skalarnıho soucinu v prostoru Vn. V nasledujıcım prıkladesi uvedeme jiny, rovnez casto pouzıvany skalarnı soucin v prostoru Vn.

Prıklad 4.13. Necht’ ω1, . . . , ωn jsou kladna cısla. Ke kazdym dvema vek-torum x,y ∈ Vn prirad’me realne cıslo (x,y)ω vztahem

(x,y)ω = ω1x1y1 + . . . + ωnxnyn. (4.86)

Potom (x,y)ω definuje skalarnı soucin na Vn.

Dukaz: Dukaz je snadny. Stacı proverit, ze (x,y)ω splnuje vztahy (4.82—4.85). Prenechavam jej ctenari.

Veta 4.10. Necht’ P je linearnı prostor se skalarnım soucinem (x,y) prox,y ∈ P. Potom pro libovolna x,y ∈ P platı

|(x,y)| ≤√

(x,x) ·√

(y,y). (4.87)

Dukaz: Necht’ y = 0. Potom pro vsechna x,z ∈ P platı

(x,y) = (x,0) = (x, 0 · z) = 0 · (x,z) = 0,

takze platı (4.87). Necht’ y �= 0. Potom vzhledem k (4.85) je (y,y) > 0.Polozme

F (α) = (x + α · y,x + α · y), (4.88)

kde α je realny parametr. Potom podle (4.85) je F (α) ≥ 0 pro vsechna α ∈ R.

Dosadıme-li do (4.88) α = − (x,y)

(y,y)dostavame z (4.88)

(x,x) − 2 · (x,y)

(y,y)· (x,y) +

(x,y)2

(y,y)2· (y,y) ≥ 0. (4.89)

Upravou dostavame

(x,x) − (x,y)2

(y,y)≥ 0.

193


Odtud(x,x) · (y,y) ≥ (x,y)2,

takze

|(x,y)| ≤√

(x,x) ·√

(y,y).

Jako dalsı dulezity pojem, ktery si zavedeme, je pojem normy v linearnım pro-

storu−→P . Normu pouzijeme pak k definovanı vzdalenosti dvou prvku v tomto

prostoru.

Normovany

vektorovy

prostor

Definice 4.14. (Norma)

Linearnı prostor P nazyvame normovanym linearnım pro-storem, jestlize ke kazdemu x ∈ P je prirazeno takovenezaporne realne cıslo, oznacme je ||x||, ze pro vsechnax, y ∈ P a kazde realne cıslo α platı

||x|| = 0 ⇒ x = 0, (4.90)

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| , (4.91)

||α.x|| = |α| . ||x|| . (4.92)

V normovanem linearnım prostoru P platı nasledujıcı veta.

Veta 4.11. Necht’ P je normovany linearnı prostor. Je-li a �= 0, potom platı||a|| > 0.

Dukaz: Podle definice normy pro kazde a ∈ P je ||a|| ≥ 0. Necht’ existujetakove a �= 0, ze ||a|| = 0. Podle (4.90) by bylo a = 0, coz by byl spors predpokladem. Je tedy ||a|| > 0 pro kazde a �= 0.

Uved’me si nynı nasledujıcı normy ve vektorovych prostorech Vn.

Veta 4.12. (Normy v prostoru Vn)

α) Jestlize ke kazdemu vektoru x ∈ Vn priradıme cıslo||x||1 vztahem

||x||1 = |x1| + |x2| + . . . + |xn| , (4.93)

potom ||x||1 je tzv. oktaedricka norma ve vektorovem pro-storu Vn.β) Jestlize ke kazdemu vektoru x ∈ Vn priradıme cıslo ||x||2vztahem

||x||2 =√

x21 + x2

2 + . . . + x2n, (4.94)

potom ||x||2 je tzv. euklidovska norma ve vektorovem pro-storu Vn.

194

γ) Jestlize ke kazdemu vektoru x ∈ Vn priradıme cıslo ||x||3vztahem

||x||3 = max |xi| pro i = 1, . . . , n, (4.95)

potom ||x||3 je tzv.max–norma ve vektorovem prostoru Vn.(V literature se mısto ||.||3 pıse tez ||.||max.)

Dukaz: α) Dokazme, ze ||x||1 je normou.a) Necht’ x ∈ Vn je takovy vektor, ze ||x||1 = 0. Pro tento vektor tedy platı|x1| + |x2| + . . . + |xn| = 0. To je mozne jen v tom prıpade, ze x1 = x2 =. . . = xn = 0. Platı tedy (4.90).b) Necht’ x,y ∈ Vn. Potom

||x + y||1 = |x1 + y1| + |x2 + y2| + . . . + |xn + yn| ,

takze

||x + y||1 ≤ |x1| + |x2| + . . . + |xn| + |y1| + |y2| + . . . + |yn| = ||x||1 + ||y||1 .

Platı tedy (4.91).c) Necht’ α ∈ R,x ∈ Vn. Potom

||x||1 = |α · x1|+|α · x2|+. . .+|α · xn| = |α|·(|x1|+|x2|+. . .+|xn|) = |α|·||x||1 .

Platı tedy (4.92).

β) Dukaz, ze ||x||2 je normou v prostoru Vn dokazeme pozdeji (str. 197)pomocı skalarnıho soucinu definovaneho vztahem (4.77).

γ) Dokazme, ze ||x||3 je normou ve vektorovem prostoru Vn.a) Necht’ pro x ∈ Vn je ||x||3 = 0. Potom max |xi| = 0, pro i = 1, . . . , n,takze xi = 0, i = 1, . . . , n. Platı tedy (4.90).b) Necht’ x,y ∈ Vn. Potom podle definice normy (4.95) je

||x + y||3 = max |xi + yi| pro i = 1, . . . , n .

Odtud dostavame

||x + y||3 = max(|xi + yi|) ≤ max(|xi|) + max(|yi|) pro i = 1, 2, ..., n.

Tedy

||x + y||3 ≤ ||x||3 + ||y||3 .

Platı tedy (4.91).c) Necht’ x ∈ Vn a necht’ α ∈ R. Podle definice normy je ||α.x||3 = max |α.xi|pro i = 1, 2, . . . , n. Odtud ||α · x||3 = |α|max |xi| pro i = 1, 2, . . . , n. Je tedy||α · x||3 = |α| ||x||3. Platı tedy (4.92).

195


Veta 4.13. (Norma urcena ze skalarnıho soucinu)

Necht’ P je vektorovy prostor se skalarnım soucinem (x, y)pro x, y ∈ P. Potom vztahem (4.96)

||x|| =√

(x, x) pro x ∈ P (4.96)

je definovana norma na P.Dukaz: a) Dokazme (4.90). Podle (4.85) je (x,x) ≥ 0, takze ||x|| ≥ 0. Necht’

||x|| = 0. Potom podle (4.85) je (x,x) = 0, takze x = 0.b) Dokazme (4.91). Podle (4.96) je

||x + y||2 = (x + y,x + y).

Odtud dostavame uzitım (4.83)

||x + y||2 = (x,x) + 2 · (x,y) + (y,y).

Odtud plyne||x + y||2 ≤ (x,x) + 2. |(x,y)| + (y,y).

Uzitım (4.87) dostavame

||x + y||2 ≤ ||x||2 + 2 · ||x|| · ||y|| + ||y||2 .

Odtud vyplyva||x + y||2 ≤ (||x|| + ||y||)2,

to jest||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| .

c) Dokazme nynı (4.92). Necht’ α ∈ R,x ∈ P. Potom podle (4.96) je

||α · x|| =√

(α · x, α · x).

Podle (4.84) je

||α · x|| =√

α2 · (x,x),

takze||α · x|| = |α | · ||x|| .

S ohledem na definici normy je tedy vztahem (4.96) skutecne definovananorma na P.

Uvazujme nynı linearnı prostor P se skalarnım soucinem (x,y), kde x,y ∈ P.

Jestlize x �= 0, y �= 0, potom ze vztahu (4.87) dostavame

|(x,y)|√(x,x) ·

√(y,y)

≤ 1. (4.97)

Existuje tedy takovy uhel ϕ ∈ 〈0, π〉 , ze

cos(ϕ) =(x,y)√

(x,x) ·√

(y,y). (4.98)

Takto definovany uhel ϕ nazyvame uhlem vektoru x, y.

196

Uhel

dvou

vektoru

Definice 4.15. (Uhel dvou vektoru)

Necht’ P je linearnı prostor se skalarnım soucinem (x, y),kde x, y ∈ P. Oznacme

||x|| =√

(x, x).

Potom pro nenulove vektory x , y nazyvame uhel ϕ, defi-novany vztahem

cos(ϕ) =(x, y)

||x|| · ||y|| , (4.99)

uhlem vektoru x, y. Dva vektory x, y nazyvame navzajemkolmymi, jestlize

(x, y) = 0. (4.100)

Poznamka. Jestlize vektory x, y jsou nenulove, potom z (4.98) pro pravyuhel vyplyva (4.100).

Uved’me si dve normy ve vektorovych prostorech Vn, definovane pomocıskalarnıho soucinu uzitım vztahu(4.96).

Prıklad 4.14. Necht’ ve vektorovem prostoru Vn je zaveden skalarnı soucinvztahem

(x,y) = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn.

Potom

||x||2 =√

(x,x) =√

x21 + . . . + x2

n (4.101)

je normou (euklidovskou) ve vektorovem prostoru Vn. Je tedy takto defino-vana norma ||x||2 vektoru x rovna velikostı |x| vektoru x, jak byla zavedena

v definici vektoroveho prostoru Vn. Uhel ϕ nenulovych vektoru x,y ∈ Vn jepak definovan vztahem (4.102)

cos(ϕ) =(x,y)

||x||2 · ||y||2, (4.102)

resp. po rozepsanı

cos(ϕ) =x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn√

x21 + x2

2 + . . . + x2n ·√

y21 + y2

2 + . . . + y2n

. (4.103)

Prıklad 4.15. Necht’ ω1, ω2, . . . , ωn jsou dana kladna realna cısla, x, y ∈ Vn.Necht’ ve vektorovem prostoru Vn je zaveden skalarnı soucin vztahem

(x,y)ω = ω1x1y1 + ω2x2y2 + . . . + ωnxnyn.

197


Potom

||x||ω =√

(x,x)ω =√

ω1x21 + . . . + ωnx2

n (4.104)

je k nemu odpovıdajıcı normou ve vektorovem prostoru Vn. Uhel ϕ nenu-lovych vektoru x, y je urcen vztahem

cos(ϕ) =(x,y)ω

||x||ω · ||y||ω. (4.105)

Po rozepsanı dostavame

cos(ϕ) =ω1x1y1 + . . . + ωnxnyn√

ω1x21 + . . . + ωnx2

n ·√

ω1y21 + . . . + ωny2

n

. (4.106)

Metricky prostor. Drıve nez zavedeme pojem metrickeho prostoru, uved’-me si tento prıklad. Predpokladejme, ze podnik vyrabı vyrobky V1, . . . , Vn .Necht’ pi znacı plan vyroby vyrobku Vi, i = 1, . . . , n. Necht’ vyrobnı plan jepopsan vektorem p = (p1, . . . , pn). Predpokladejme, ze podnik se odklonil odplanovane vyroby jednotlivych vyrobku. Necht’ realizovana vyroba je popsanavektorem r = (r1, . . . , rn), kde ri znacı zrealizovanou vyrobu vyrobku Vi, i =1, . . . , n. Je otazkou, jak ohodnotit odchylku realizace cele vyroby od planuvyroby, to jest odchylky vektoru p, r. K tomu si zavedeme pojem vzdalenostidvou vektoru.

Pojem vzdalenosti zavedeme napred pro prvky libovolne mnoziny. Vzdalenostdvou bodu jsme zvyklı chapat jaksi intuitivne, bez jeho precizovanı. Ozna-cıme-li M mnozinu bodu, potom v nasem intuitivnım pojetı ma vzdalenosttyto vlastnosti:M1. Vzdalenost dvou ruznych bodu je kladna, vzdalenost kazdeho bodu od

sama sebe je nulova.M2. Vzdalenost bodu, oznacme jej a ∈ M , je od druheho bodu, oznacme

jej b ∈ M , stejna, jako je vzdalenost bodu b od bodu a.M3. Jsou-li a, b, c tri body mnoziny M , potom vzdalenost bodu a, b je mensı

nebo rovna souctu vzdalenosti bodu a, c, a vzdalenosti bodu b, c. Tetovlastnosti rıkame trojuhelnıkova nerovnost. Je znazornena na obr.4.8.

a

b

c

Obrazek 4.8: Trojuhelnıkova nerovnost

Toto intuitivnı chapanı vzdalenosti nas inspiruje k zavedenı pojmu vzdalenostna libovolne mnozine M takto.

198

VzdalenostDefinice 4.16. (Definice vzdalenosti)

Necht’ M je dana neprazdna mnozina a necht’ � je zobrazenı,kterym ke kazdym dvema prvkum a, b ∈ M je prirazenonezaporne cıslo, oznacme je �(a, b), tak, ze pro a, b, c ∈ M

platı

�(a, b) ≥ 0, pricemz �(a, b) = 0 ⇔ a = b,(4.107)

�(a, b) = �(b, a), (4.108)

�(a, b) ≤ �(a, c) + �(b, c). (4.109)

Potom �(a, b) nazyvame vzdalenostı prvku a, b a mnozinuM s takto zavedenou vzdalenostı � nazyvame metrickymprostorem.

Na jedne a teze mnozine lze definovat vzdalenost ruznymi zpusoby. Jednouz moznostı jejıho definovanı ve vektorovem prostoru je pouzitı normy.

Veta 4.14. (Vzdalenost urcena normou.)

Necht’ P je normovany vektorovy prostor. Necht’ x, y ∈ P.Potom vztahem

ρ(x, y) = ||x − y|| pro x, y ∈ P

je definovana vzdalenost v P.

Dukaz: a) Dokazme (4.107). Podle definice normy je �(x,y) = ||x − y|| ≥ 0,pro vsechna x,y ∈ P, pricemz z (4.90) vyplyva

||x − y|| = 0 ⇔ x = y.

b) Vlastnost (4.108) vyplyva bezprostredne z (4.82).c) Dokazme (4.109).Podle definice je �(x,y) = ||x − y||. Upravou dostavame�(x,y) = ||(x − z) + (z − y)||. Uzitım (4.91) dostavame

�(x,y) ≤ ||(x − z)|| + ||(z − y)|| = �(x,z) + �(z,y).

Veta 4.15. (Euklidovska vzdalenost)

Ve vektorovem prostoru Vn je vztahem

�(x, y) =√

(x1 − y1)2 + . . . + (xn − yn)2

definovana (euklidovska) vzdalenost vektoru x, y.

199


Dukaz: Veta je bezprostrednım dusledkem vety 4.14 uzitım euklidovskenormy.

Posouzenı priblizneho resenı systemu rovnic A · x = b.

Uvazujme system linearnıch rovnic

A · x = b.

Oznacme x∗ jeho presne resenı a x jeho priblizne resenı (resenı obdrzenenapr. vypoctem na pocıtaci). Zaved’me si dva vektory δ a r vztahy

δ = x∗ − x, r = b − A · x. (4.110)

Norma vektoru δ vyjadruje vzdalenost priblizneho resenı od presnehoresenı. Tento vektor vsak vetsinou v realnach situacıch nemuzeme urcit,nebot’ nezname presne resenı. Existujı metody na odhad normy tohotovektoru. Vychazejı vsak velice pesimisticky.Vektor r se nazyva rezidualnım vektorem. Vyjadruje, jak dobre pribliz-ne resenı vyhovuje danemu systemu rovnic.

Ukazme si dva prıklady.


2, 5x1 − 3, 1x2 − x3 = 7, 31,−0, 5x1 + 2, 0x2 − 1, 5x3 = −0, 25,

7, 2x1 − 3, 1x2 + 4, 1x3 = 9, 18.(4.111)

Presne resenı tohoto systemu je

x∗1 = 1, 7, x∗2 = −0, 6, x∗3 = −1, 2.

Vypoctem jsme obdrzeli jeho priblizne resenı

x1 = 1, 683, x2 = −0, 571, x3 = −1, 219.

V tomto prıpade je

δ =

⎛⎜⎜⎝0, 017

−0, 029

0, 019

⎞⎟⎟⎠ , r =

⎛⎜⎜⎝−2, 5514

0, 0950

−0, 2902

⎞⎟⎟⎠ . (4.112)

Vypoctem dostavame

||δ||1 = max(|0, 017|, | − 0, 029|, |0, 019|)||r||1 = max(| − 2, 5514|, |0, 0950|, | − 0, 2902|),

to jest||δ||1 = 0, 017, ||r||1 = 2, 5514.

200

4.8 Uvod do analyticke geometrie v n-rozmernem pro-storu En

Zavedenı n-rozmerneho euklidovskeho prostoru

Necht’ n je libovolne prirozene cıslo. Oznacme Rn mnozinu usporadanychn−tic realnych cısel. Dale oznacme Vn aritmeticky vektorovy prostor defino-vany na mnozine Rn. Budeme predpoladat, ze na vektorovem prostoru Vn jedefinovan skalarnı soucin takto: Jestlize a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn)jsou vektory z prostoru Vn, potom jejich skalarnı soucin je (a, b) = a1b1 +. . . + anbn. Pomocı tohoto skalarnıho soucinu je pak definovana euklidovskanorma, totiz ||a|| =

√(a,a).

Oznacme En mnozinu Rn, jejız kazdy prvek ma dvojı vyznam.Vyznam bodu. V toto prıpade usporadanou n−tici realnychcısel dame do hranatych zavorek a prıpadne oznacıme symbo-lem, vetsinou velkym pısmenem, napr. A = [a1, . . . , an]. Cıslaai, i = 1, . . . , n, se nazyvajı souradnicemi bodu A.Vyznam aritmetickeho vektoru z prostoru Vn, takze usporadanan−tice realnych cısel predstavuje aritmeticky vektor. V tomtoprıpade ji davame do kulatych zavorek a prıpadne oznacıme sym-bolem, vetsinou malym tucne napsanym pısmenem, napr. a =(a1, . . . , an). Cısla ai, i = 1, . . . , n, nazyvame slozkami vektorua.

Vztah mezi body z En a vektory z Vn je definovan nasledujıcımzpusobem.Necht’ P = [p1, . . . , pn] ∈ En, s = (s1, . . . , sn) ∈ Vn. OznacmeX = [x1, . . . , xn] ∈ En, pro nejz platı

xi = pi + si, kde i = 1, . . . , n. (4.113)

Tento vztah budeme zapisovat tez jako

X = P + s. (4.114)

Tento prostor En nazveme n−rozmernym euklidovskym prostorem.

Poznamka 1. Zapis (4.114) vyjadruje operace, ktere se majı provest sesouradnicmi bodu a se slozkami vektoru.

Poznamka 2. Z rovnice (4.114) lze vypocıst jednoznacne kterykoliv clenpomocı zbyvajıcıch dvou clenu. Napr.

s = X − P. (4.115)

Tento vztah zapıseme tez takto

s = X − P =−−→XP.

201


Budeme rıkat, ze usporadana dvojice bodu P,X tvorı umıstenı vektoru s.Bod P nazyvame pocatecnım a bod X nazyvame koncovym bodem umıstenıvektoru s.

Poznamka 3. Prostory E1, E2, E3, jste probırali na gymnaziıch a dovedtesi je predstavit. Smyslova predstava prostoru En pro n > 3 koncı amusıme tyto prostory uvazovat jen ve smyslu definice.

Prıklad 4.17. Necht’ A = [1,−2, 3, 0], B = [7, 1, 2, 3]. Potom

s =−→AB = [7, 1, 2, 3] − [1,−2, 3, 0] = (6, 3,−1, 3).

Definice 4.17.

Necht’ P ∈ En a necht’ 1s, . . . , ds jsou linearne nezavisle vek-tory z prostoru Vn. Potom mnozina bodu X z En

X = P + 1t 1s + . . . +dt ds, (4.116)

kde 1t, . . . ,dt jsou parametry (libovolna cısla), se nazyva pod-prostorem dimenze d vnorenym do prostoru En (pro d < n).

Prımka

Linearnı podprostor dimenze 1 vnoreny do prostoru En

nazyvame prımkou.

Prımku, urcenou bodem P a vektorem s lze tedy zapsat ve tvaru

X = P + ts, kde t ∈ (−∞,∞) je parametr, (4.117)

X je obecny bod prımky. Vektor s nazyvame smerovym vektorem prımky.

Prıklad 4.18. Napisme v E3 rovnici prımky danou bodem A = [2,−1, 3] asmerovym vektorem s = (2,−3, 0).

Resenı. Podle (4.117) dostavame

[x1, x2, x3] = [2,−1, 3] + t(2,−3, 0),

takze obecnym bodem prımky je bod o souradnicıch

x1 = 2 + 2t, x2 = −1 − 3t, x3 = 3, kde t ∈ (−∞,∞).

Prıklad 4.19. Napisme v E4 rovnici prımky danou body A = [2,−1, 3, 2],B = [1, 0,−5, 2].

202

Resenı. Za smerovy vektor hledane prımky lze zvolit vektor s = B − A. Jetedy s = B − A. Vypoctem pak dostavame

(s1, s2, s3, s4) = [1, 0,−5, 2] − [2,−1, 3, 2],

takzes = (−1, 1,−8, 0).

Podle (4.117) je tedyX = A + ts,

takze dosazenım dostavame

[x1, x2, x3, x4] = [2,−1, 3, 2] + t(−1, 1,−8, 0), kde t ∈ (−∞,∞).

Prımka, urcena body A, B, ma tedy rovnici

X = A + t(B − A), t ∈ (−∞,∞) (4.118)

Useckou AB rozumıme body prımky (4.118), pro nez platı

X = A + t(B − A), t ∈ 〈0, 1〉. (4.119)

Vsimnete si, ze parametru t = 0 odpovıda bod A a parametru t = 1 odpovıdabod B.

Vzdalenost dvou bodu v En

Necht’ A = [a1, . . . , an], B = [b1, . . . , bn] jsou dva body z prostoru En.Potom d = ||B − A|| nazyvame vzdalenostı bodu A,B. Je tedy

d =√

(b1 − a1)2 + . . . + (bn − an)2.

Rovina

Linearnı podprostor dimenze 2, vnoreny do prostoru En,n > 2, nazyvame rovinou.

Rovinu, urcenou bodem P a nezavislymi vektory r, s lze tedy zapsat podle(4.116) ve tvaru

X = P + u r + v s, kde u ∈ (−∞,∞), v ∈ (−∞,∞) jsou parametry.(4.120)

(Zde X je obecny bod prımky.)

Prıklad 4.20. Napiste rovnici roviny v E4, ktera prochazı body P =[1, 0, 2,−5], Q = [4, 2,−7, 0], R = [0, 4, 2, 6].

203


Resenı. Polozmer =

−→PQ, s =

−→PR

Dostavamer = (3, 2,−9, 5), s = (−1, 4, 0, 11).

Dosazenım do (4.120) dostavame hledanou rovnici roviny

[x1, x2, x3, x4] = [1, 0, 2,−5] + u (3, 2,−9, 5) + v (−1, 4, 0, 11),

kde u, v ∈ (−∞,∞).

Nadrovina v prostoru En

Podprostor dimenze n − 1, vnoreny do prostoru En, n > 3,nazyvame nadrovinou.Necht’ P ∈ En a necht’ 1s, . . . , (n−1)s jsou linearne nezavislevektory z prostoru Vn. Potom mnozina bodu X z En,urcenych vztahem

X =1 t 1s + . . . +(n−1)t (n−1)s, (4.121)

kde 1t, . . . , (n−1)t jsou parametry, je nadrovinou v prostoruEn. Lze dokazat, ze kazdou nadrovinu v prostoru En danouvztahem (4.121) lze vyjadrit ve tvaru

a1 x1 + . . . + an xn = b, (4.122)

kde a1 . . . , an , b jsou realna cısla. Vektor n = (a1, . . . an)je kolmy na vektory 1s, . . . , (n−1)s.

Necht’

a1 x1 + . . . + an xn = b, (4.123)

je nadrovinou v prostoru En. Tato nadrovina urcuje v pro-storu En dva poloprostory, urcene nerovnicemi

a1 x1 + . . . + an xn > b, a1 x1 + . . . + an xn < b.


1. Zavedenı pojmu linearnıho (vektoroveho prostoru). Soustred’te se naprostor Vn. Vysvetlete pojem vektoroveho podprostoru.

2. Vysvetlete pojem prostor volnych vektoru.

204

3. Vztah mezi prostorem V2 a prostorem volnych vektoru U2. Vztah meziprostorem V3 a prostorem volnych vektoru U3.

4. Linearnı kombinace vektoru.5. Linearnı zavislost a linearnı nezavislost vektoru.6. Hodnost skupiny vektoru. Soustred’te se na radkovou a na sloupcovou

hodnost matice.7. Elementarnı transformace. Specialne elementarnı transformace matic.8. Urcenı hodnosti matice uzitım elementarnıch transformacı.9. Skalarnı soucin vektoru. Stacı znat v ucebnım textu uvedene dva typy

skalarnıch soucinu v prostoru Vn.10. Kolmost vektoru.11. Pojem normy ve vektorovem prostoru. Znat normy ||.||1, ||.||2, ||.||3

v prostoru Vn.12. Co je to baze vektoroveho prostoru, co je to dimenze vektoroveho pro-

storu.13. Zavedenı pojmu vzdalenosti dvou prvku v dane mnozine. Urcenı vzda-

lenosti ve vektorovem prostoru Vn pomocı normy.14. Metricky prostor.15. Prostor En.16. Co je to prımka, rovina, nadrovina v En.

Ulohy

1. Urcete vektor

2 · (2,−1, 6) + 3 · (4, 2,−5) − (4, 2, 4).

[(12, 2, -7)]

2. Na mnozine usporadanych trojic realnych cısel R3 definujme operacisecıtanı takto: necht’ (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) ∈ R3, potom definujme jejichsoucet vztahem

(a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (max(a1, b1),max(a2, b2),max(a3, b3))

a soucin realneho cısla α a usporadane trojice realnych cısel (x1, x2, x3) ∈ R3

vztahemα · (x1, x2, x3) = (αx1, αx2, αx3).

Zjistete, zda mnozina R3 spolecne s takto definovanym souctem dvou prvkuz R3 a nasobenım prvku z R3 realnymi cısly je vektorovym prostorem.[Nenı, nebot’ neplatı napr. (c + d) · x = c · x + d · x pro x = (1, 2, 3) a proc = 2, d = −3.]

3. Zjistete, zda v prostoru V4 vektora) (2, 3, 4, 1) je linearnı kombinacı vektoru (1, 2, 0, 5), (1, 1, 4, 0),b) (4,−1, 0, 2) je linearnı kombinacı vektoru

(1, 2, 5, 7), (2,−5,−10,−12), (0, 0, 0, 0).

205


[a) nenı, b) je.]

4. Urcete nejvetsı pocet linearne nezavislych vektoru v systemu vektoru:

(0, 1, 2, 3, 4, 6), (1, 2,−1, 4, 2, 0), (2, 4,−2, 1, 0, 8), (2, 6, 2, 7, 8, 20).

[3]

5. Dokazte, ze pro hodnosti matic A, B platı h(A) = 4 a h(B) = 3, je-li

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 3 4 2

4 6 1 4 1

0 0 2 1 1

0 0 0 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 3

4 5 6

8 2 0

1 2 5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

6. Zjistete hodnosti matic

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 −2 1

0 1 2 5

2 5 −2 7

⎞⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2

3 4

5 6

7 8

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

[h(A) = 2, h(B) = 2.]

7. a) Uved’te nejakou bazi ve vektorovem prostoru V5.b) Uved’te nejakou bazi vektoroveho prostoru Vn.[a) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1),b) (1, 0, 0, . . . , 0, 0), (0, 1, 0, . . . , 0, 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 0, 1).]

8. Tvorı mnozina P ⊂ V3, jejız kazdy prvek ma na druhem mıste sude cıslo,s operacemi secıtanı a nasobenı prvku zavedenymi stejne jako ve vektorovemprostoru R3 vektorovy podprostor prostoru V3?[Ne, naprıklad pro (0, 2, 3) ∈ V3, a pro realne cıslo 0, 3 nepatrı 0, 3 · (0, 2, 3)do P .]

9. Necht’ M = {(1, 0, 2), (2, 1, 0), (4, 1, 4)}. Oznacme M vektorovy podpro-stor prostoru V3, generovany mnozinou M ⊆ V3. Patrı vektor (3, 1, 1) dotohoto podprostoru? Urcete nejakou jeho bazi.

[Nepatrı. Bazi tvorı napr. vektory (1, 0, 2), (2, 1, 0).]

10. Urcete bazi ve vektorovem prostoru generovanem vektory

(1, 2, 3, 4), (0, 5, 2, 1), (2, 9, 8, 9), (3, 16, 13, 14).

[Napr. (1, 2, 3, 4), (0, 5, 2, 1).]

11. Necht’ a = (1, 5,−3), b = (−4, 2, 4) ∈ V3. Urcete jejich skalarnı souciny(ktere znate) a vypocıtejte odpovıdajıcı normy techto vektoru. Dale urcete

206

jejich vzdalenost pomocı metriky urcene touto normou. Urcete tez velikostuhlu, ktery tyto vektory svırajı.

[Napr. (a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 = −6, ||a|| =√

35, ‖a − b‖ =√

83.]

12. Necht’ V3 je vektorovy prostor se skalarnım soucinem definovanym vzta-hem (a, b)= a1b1 + a2b2 + a3b3.a) Zjistete, zda jsou vektory a = (1,−2, 3), b = (2, 3, 5) navzajem kolme.

[(a, b) = 11; vektory nejsou na sebe kolme.]b) Zjistete, zda jsou vektory c = (0,−2, 3),d = (2, 3, 2) ∈ V3 na sebekolme.

[(c,d) = 0; vektory c, d jsou na sebe kolme.]c) Urcete realne cıslo p tak, aby vektory e = (2, p, 1), f = (−1, 2, 3p) ∈ V3

byly na sebe kolme.[(e,f ) = −2 + 5p; vektory e, f jsou na sebe kolme pro p = 2

5.]

13. Ve vektorovem prostoru V3 urcete vzdalenosti vektoru a = (1,−2, 3),b = (2, 3,−3) pomocı norem ||x||1 , ||x||2 , ||x||3.[α) �1(a, b) = ||b − a||1 = |b1 − a1| + |b2 − a2| + |b3 − a3| = 1 + 5 + 6 = 12;

β) �2(a, b) =√

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2 =√

12 + 52 + 62 =√

62;γ) �3(a, b) = max(|b1 − a1| , |b2 − a2| , |b3 − a3|) = max(1, 5, 6) = 6)]

14. Necht’ P je vektorovy prostor a x ∈ P,x �= 0 je zvoleny vektor. Oznacme

M = {u ∈ P : u = c · x, c ∈ R}.

a) Dokazte, ze operace”+, ·“, ktere na mnozine P urcujı vektorovy prostor

P, urcujı na M vektorovy podprostor prostoru P.b) Necht’ y ∈ P,y �= 0. Vektor p ∈ M , pro ktery je vektor y−p ortogonalnına M (to jest je kolmy na kazdy vektor z M), nazyvame projekcı vektoru y

na M. Dokazte, ze

p =(x,y)

(x,x)· x.

c) Oznacme

||v|| =√

(v,v).

Dokazte, ze

||p − y|| ≤ ||v − y|| pro vsechna v ∈ M.

Jinymi slovy receno, ||p − y|| je vzdalenost vektoru y od podprostoru M.

[b) Polozme p = c · x. Ze vztahu (x,y − p) = 0, vypocıtame c = (x,y)(x,x)

.]

p

y

PM

207


208

Zavedenı pojmu determinantu matice

Vlastnosti determinantu

Pouzitı determinantu

Prımy vypocet inverznı matice pomocıdeterminantu


Determinanty

5

5. Determinanty

Cıl kapitoly


zavest pojem determinantu,ukazat postup vypoctu determinantu matice druheho a tretıho radu,ukazat ruzne vlastnosti determinantu matice,ukazat vypocet determinantu matice rozvojem podle libovolneho radku(sloupce),poukazat na narocnost vypoctu determinantu matic vyssıch radu roz-vojem podle libovolneho radku nebo sloupce,naucit se elementarnımi transformacemi transformovat matici A nahornı trojuhelnıkovou matici B a jejım uzitım vypocıtat hodnotu de-terminantu matice A,seznamit se s metodou resenı systemu n linearnıch rovnic o n nezna-mych s regularnı maticı soustavy uzitım determinantu (Cramerovo pra-vidlo),ukazat prımou metodu nalezenı inverznı matice k dane regularnı matici,zavest pojem regularnosti matice pro ctvercove matice,ukazat metodu nalezenı inverznı matice uzitım determinantu,ukazat, ze radkova hodnost matice je rovna jejı sloupcove hodnosti.

Casova zatez

15 hodin

5.1 Zavedenı pojmu determinantu matice

Zavedenı

pojmu

determinant

Nekolik uvodnıch slov. Uvazujme system dvou linearnıch rovnic o dvouneznamych x1, x2

a1,1 · x1 + a1,2 · x2 = b1,a2,1 · x1 + a2,2 · x2 = b2.

(5.1)

Jestlize a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1 �= 0, potom

x1 =b1 · a2,2 − b2 · a1,2

a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1, x2 =

b2 · a1,1 − b1 · a2,1

a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1(5.2)

je resenım systemu (5.1), jak se lze presvedcit dosazenım techto hodnot zax1, x2 do rovnic (5.1).

Zaved’me si toto oznacenı. Oznacme C matici

C =

(c1,1 c1,2

c2,1 c2,2

).

Potom cısloc1,1 · c2,2 − c1,2 · c2,1

nazveme determinantem matice C. Oznacıme jej det(C), resp. |C|. Tedy

det(C) = det

(c1,1 c1,2

c2,1 c2,2

)=

∣∣∣∣∣ c1,1 c1,2

c2,1 c2,2

∣∣∣∣∣ = c1,1 · c2,2 − c1,2 · c2,1.

210

Resenı (5.2) systemu (5.1) lze pak pomocı determinantu zapsat takto

x1 =

∣∣∣∣∣ b1 a1,2

b2 a2,2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

∣∣∣∣∣, x2 =

∣∣∣∣∣ a1,1 b1

a2,1 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

∣∣∣∣∣. (5.3)

V techto vzorcıch je jmenovatel determinantem matice soustavy

A =

(a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

),

ktery je dle predpokladu �= 0. Citatel ve vyjadrenı pro x1 je determinantemmatice, ktera vznikne z matice A nahradou jejıho prvnıho sloupce vektorempravych stran

b =

(b1

b2

).

Podobne citatel ve vyjadrenı x2 je determinantem matice, ktera vzniknez matice A nahradou jejıho druheho sloupce vektorem pravych stran b.

V dalsım si zavedeme pojem determinantu i pro ctvercove matice A libo-volneho radu n. Budeme jej znacit shodne jako determinanty matic radu 2.Determinanty vyuzijeme pri resenı systemu n linearnıch rovnic o n nezna-mych. Pojem determinantu se vyuzıva i pri resenı rady jinych ekonomickychuloh.

Zaved’me si nynı pojem determinantu matice.

Definice 5.1. (Determinant matice)

Necht’ A je ctvercova matice. Determinantem matice A ro-zumıme cıslo, oznacme je |A| nebo det(A), definovane takto:Je-li n = 1, to jest, jestlize A = (a11), potom |A| = a11.Jestlize je jiz definovan determinant matice radu n− 1, po-tom determinant matice radu n definujeme takto:

|A| = (−1)1+1a1,1 · |A1,1| + . . . +

+(−1)1+ka1,k · |A1,k| + . . . + (−1)1+na1,n · |A1,n| , (5.4)

kde Ai,j je matice (jak jsme si to jiz drıve zavedli), kteravznikne z matice A vypustenım jejıho i–teho radku a j–teho sloupce.

211

5. Determinanty

Poznamka. Je tedy determinant matice funkce definovana na mnozine vsechctvercovych matic.

Prıklad 5.1. Napr. je-li A = (−2), potom |A| = −2.


A =

(a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

). (5.5)

Dokazte, ze|A| = a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1. (5.6)

Skutecne, podle (5.4) je

|A| = (−1)1+1 · a1,1 · |A1,1| + (−1)1+2 · a1,2. |A1,2| . (5.7)

Zde A1,1 je matice, ktera vznikne z matice A vypustenım 1. radku a 1.sloupce. Je tedy A1,1 = (a2,2), |A1,1| = a2,2. Podobne A1,2 je matice vzniklaz matice A vypustenım jejıho prvnıho radku a 2. sloupce. Je tedy A1,2 =(a2,1), |A1,2| = a2,1. Dosazenım do (5.7) dostavame

|A| =

∣∣∣∣∣ a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · a1,1 · a2,2 + (−1)1+2 · a1,2 · a2,1.

Po uprave dostaneme∣∣∣∣∣ a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

∣∣∣∣∣ = a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1.

Poznamka. Determinant matice 2. radu lze tedy vypocıtattakto: Od soucinu prvku na hlavnı diagonale odectemesoucin prvku na vedlejsı diagonale.

Prıklad 5.3. Vypocıtejte hodnotu determinantu matice

A =

(3 −2

5 4

).

Resenı. Jedna se o vypocet determinantu matice 2. radu. Podle (5.6) je

|A| =”soucin prvku na hlavnı diagonale − soucin prvku

na vedlejsı diagonale”.

Tedy|A| = 3 · 4 − (−2) · 5, |A| = 22.

212

Prıklad 5.4. Necht’ A je matice radu 3

A =

⎛⎜⎜⎝a1,1 a1,2 a1,3

a2,1 a2,2 a2,3

a3,1 a3,2 a3,3

⎞⎟⎟⎠ . (5.8)

Potom

|A| = (a1,1 · a2,2 · a3,3 + a2,1 · a3,2 · a1,3 + a3,1 · a1,2 · a2,3)−− (a3,1 · a2,2 · a1,3 + a1,1 · a3,2 · a2,3 + a2,1 · a1,2 · a3,3). (5.9)

Skutecne, podle definice 5.1 je

|A| = (−1)1+1 ·a1,1 ·|A1,1|+(−1)1+2 ·a1,2 ·|A1,2|+(−1)1+3 ·a1,3 ·|A1,3| . (5.10)

Zde A1,1 je matice, ktera vznikne z matice A vypustenım 1. radku a 1.sloupce.Je tedy

A1,1 =

(a2,2 a2,3

a3,2 a3,3

),

takze podle (5.6) je

|A1,1| = a2,2 · a3,3 − a2,3 · a3,2. (5.11)

Matice A1,2 vznikne z matice A vypustenım 1. radku a 2. sloupce. Je tedy

A1,2 =

(a2,1 a2,3

a3,1 a3,3

),


|A1,2| = a2,1 · a3,3 − a2,3 · a3,1. (5.12)

Matice A1,3 vznikne z matice A vypustenım 1. radku a 3. sloupce. Je tedy

A1,3 =

(a2,1 a2,2

a3,1 a3,2

),


|A1,3| = a2,1 · a3,2 − a2,2 · a3,1. (5.13)

Dosadıme-li do (5.10) za |A1,1|, |A1,2|, |A1,3| vypocıtane hodnoty (5.11),(5.12), (5.13), dostavame

|A| = a1,1 · (a2,2 · a3,3 − a2,3 · a3,2) − a1,2 · (a2,1 · a3,3 − a2,3 · a3,1)+

+ a1,3 · (a2,1 · a3,2 − a2,2 · a3,1). (5.14)

Odtud dostavame po uprave hledany vztah (5.9).

213

5. Determinanty

Sarusovo pravidlo

Podle prıkladu 5.4 se vypocıta hodnota determinantu maticeA radu n = 3 vztahem

|A| = S1 − S2, (5.15)

kde

S1 = a1,1 · a2,2 · a3,3 + a2,1 · a3,2 · a1,3 + a3,1 · a1,2 · a2,3,

S2 = a3,1 · a2,2 · a1,3 + a1,1 · a3,2 · a2,3 + a2,1 · a1,2 · a3,3.

Vidıme, ze S1 je souctem trı clenu, kazdy z nich je soucinemtrı prvku matice A. Na nasledujıcım obrazku 5.1 jsou prvkymatice vyznaceny krouzky a kazda trojice prvku, jejichzsoucin je clenem v S1, je propojena carou.S2 je souctem trı clenu, kazdy z nich je soucinem trı prvkumatice A. Na nasledujıcım obrazku 5.2 jsou prvky maticevyznaceny krouzky a kazda trojice prvku, jejichz soucin jeclenem v S2, je propojena carou.

Obrazek 5.1: Vypocet S1. Obrazek 5.2: Vypocet S2.


A =

⎛⎜⎜⎝5 −2 3

2 4 −2

−3 6 7

⎞⎟⎟⎠

214

uzitım Sarusova pravidla.

Resenı. Hledejme tedy hodnotu determinantu

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 −2 3

2 4 −2

−3 6 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Podle Sarusova pravidla dostavame

|A| = [5 ·4 ·7+(−2) ·(−2) ·(−3)+2 ·6 ·3]− [3 ·4 ·(−3)+(−2) ·6 ·5+(−2) ·2 ·7].

Upravou dostavame

|A| = [140 − 12 + 36] − [−36 − 60 − 28],

takze |A| = 288.


A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 −1 3

2 3 4 1

0 1 2 3

1 4 −3 −2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠Resenı. Podle (5.4) dostavame

|A| = 1 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣3 4 1

1 2 3

4 −3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣− 2 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣2 4 1

0 2 3

1 −3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣−

− 1 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣2 3 1

0 1 3

1 4 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣− 3 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣2 3 4

0 1 2

1 4 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣ . (5.16)

Hodnotu kazdeho z techto determinantu matic radu 3 urcıme uzitım Sarusovapravidla. Dostavame

|A| = 1 · 60 − 2 · 20 − 1 · (−20) − 3 · (−20),

takze |A| = 100.

Poznamka. Je nutno si uvedomit, ze Sarusovo pravidlobylo odvozeno pro determinanty matic 3. radu. Pro maticevyssıch radu nenı obdoba Sarusova pravidla.

215

5. Determinanty

V definici 5.1 determinantu matice ma jejı prvnı radek vyjimecne postavenı.Ve vzorci (5.4) vystupujı prvky prvnıho radku matice explicitne. Zabyvejmese otazkou, zda existuje analogicky vzorec pro vypocet hodnoty determi-nantu, ve kterem by explicitne vystupovaly prvky jineho radku nez prvnıho.K odvozenı takovehoto vzorce, uvedeneho ve vete 5.6, pouzijeme nekolik po-mocnych vet.

Pomocne

vety

Veta 5.1. (Pomocna.) Necht’ A je ctvercova matice radu n ≥ 3 a A jematice, ktera vznikne z A vzajemnou vymenou jejıho k–teho a (k + 1)–tehoradku, kde k ∈ {2, 3, . . . , n − 1}. Potom

detA = − det A.

Dukaz: K dukazu pouzijeme matematickou indukci. Necht’ n = 3, k = 2.Potom

A =

⎛⎝ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⎞⎠ , A =

⎛⎝ a11 a12 a13

a31 a32 a33

a21 a22 a23

⎞⎠ .

Podle Sarusova pravidla je

detA = (a1,1 · a2,2 · a3,3 + a2,1 · a3,2 · a1,3 + a3,1 · a1,2 · a2,3)−− (a3,1 · a1,3 · a2,2 + a1,1 · a2,3 · a3,2 + a2,1 · a1,2 · a3,3). (5.17)

a

detA = (a3,1 · a1,3 · a2,2 + a1,1 · a2,3 · a3,2 + a2,1 · a1,2 · a3,3)−− (a1,1 · a2,2 · a3,3 + a2,1 · a3,2 · a1,3 + a3,1 · a1,2 · a2,3), (5.18)

takze pro n = 3, k = 2 je detA = −detA a tedy veta platı pro n = 3.

Predpokladejme nynı, ze veta platı pro matice radu n a dokazme, ze potomplatı i pro matice radu n+1. Necht’ tedy A je matice radu n+1 a necht’ A jematice, ktera vznikne z A vzajemnou vymenou jejıho k−teho a (k + 1)–tehoradku, kde k ∈ {2, 3, . . . , n}. (Poznamenejme, ze matice A a A majı stejnyprvnı radek.) Podle definice determinantu je

detA =

n+1∑j=1

(−1)1+ja1 j|A1 j| (5.19)

detA =n+1∑j=1

(−1)1+ja1 j|A1 j |. (5.20)

Matice A1 j vznikla z matice A1 j vzajemnou vymenou dvou radku. Obe jsouradu n. Podle indukcnıho predpokladu je

|A1 j | = −|A1 j|, j = 1, 2, . . . , n + 1. (5.21)

216

Ze vztahu (5.20) dostavame uzitım (5.21)

detA =

n+1∑j=1

(−1)1+ja1 j|A1 j| =

n+1∑j=1

(−1)1+ja1 j(−|A1 j |).

Odtud a z (5.19) dostavame

detA = −detA,

takze veta platı.

Veta 5.2. (Pomocna.) Necht’ A je ctvercova matice radu n ≥ 2 a necht’

matice A vznikne z matice A vzajemnou vymenou jejıho prvnıho a druhehoradku. Potom platı

det(A) = − detA.

Dukaz: K dukazu pouzijeme matematickou indukci. Pro n = 2 je platnostvety evidentnı. V tomto prıpade je totiz

A =

(a11 a12

a21 a22

), A =

(a21 a22

a11 a12

).

Vypoctem dostavame

|A| = a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1, |A| = a2,1 · a1,2 − a2,2 · a1,1, (5.22)

takzedetA = −detA.

Predpokladejme, ze veta platı pro determinanty matic radu n− 1. Dokazme,ze pak platı pro determinanty matic radu n. Polozme tedy

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

a31 a32 . . . a3n

......

......

an1 an2 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝a21 a22 . . . a2n

a11 a12 . . . a1n

a31 a32 . . . a3n

......

......

an1 an2 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

Podle definice determinantu platı

det(A) =

n∑j=1

(−1)1+ja1 j|A1 j|, (5.23)

kde matice A1 j vznikla z matice A vypustenım prvnıho radku a j–tehosloupce. Je tedy

|A1j| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a21 . . . a2 j−1 a2 j+1 . . . a2n

a31 . . . a3, j−1 a3 j+1 . . . a3n

......

......

......

an1 . . . an, j−1 an j+1 . . . an n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

217

5. Determinanty

Jeho vypoctem obdrzıme

|A1j| =

j−1∑k=1

(−1)1+ka2 k|A(1,2),(j,k)|+n∑

k=j+1

(−1)1+(k−1)a2,k|A(1,2),(j,k)|. (5.24)

Dosadıme-li tuto hodnotu do (5.23), dostavame

|A| =

n∑j=1

(−1)1+ja1,j

(j−1∑k=1

(−1)1+ka2 k|A(1,2),(j,k)|+

+

n∑k=j+1

(−1)1+(k−1)a2 k|A(1,2),(j,k)|))

. (5.25)

Po uprave odtud dostavame

|A| =n∑

j=1

n∑k=1,k �=j

(−1)sj,k a1,j a2,k|A(1,2),(j,k)|, (5.26)

kde

sj,k =

{j + k pro k < jj + k + 1 pro k > j.

(5.27)

Podobne obdrzıme

|A| =

n∑k=1

n∑j=1,j �=k

(−1)esk,ja2,k a1,k |A(1,2),(k,j)|, (5.28)

kde

sk,j =

{j + k pro j < kj + k + 1 pro j > k.

(5.29)

Porovnanım (5.26),(5.27) se vztahy (5.28), (5.29) odtud vyplyva, ze

|A| = −|A|.Dusledkem vet 5.1, 5.2 je tato veta.

Veta 5.3. (Pomocna.) Necht’ A je ctvercova matice radu n ≥ 2. OznacmeA matici, ktera z nı vznikne vzajemnou vymenou dvou jejich po sobe jdoucıchradku, to jest k–teho radku s radkem (k+1)–tym, kde 1 ≤ k ≤ (n−1). Potom

|A| = −|A|.

Ukazali jsme si, ze vymenou dvou po sobe jdoucıch radku ve ctvercove ma-tici A hodnota determinantu zmenı sve znamenko. Ukazme nynı, ze toto maplatnost obecnejsı – hodnota determinantu matice zmenı znamenko vymenoudvou libovolnych jejich radku. Abychom to dokazali, zjisteme si napred, ko-lika vymenami dvou po sobe jdoucıch radku matice A dospejeme k maticiA, ktera vznikla z matice A vymenou dvou libovolnych radku.

218

Veta 5.4. (Pomocna.) Necht’ A je matice typu (m,n) a necht’

1 ≤ p < q ≤ m.

Oznacme A matici vzniklou z matice A vzajemnou vymenou jejıho p–tehoa q–teho radku. Potom matici A lze vytvorit z matice A vzajemnymi vyme-nami dvou po sobe jdoucıch radku v poctu (2(p + q) − 1).

Dukaz: Necht’ A je matice typu (m,n). Oznacme ri i-ty radek matice A, tj.

ri = A(i, :).

Zvolme

p, q ∈ {1, 2, . . . , m}, p < q.

Vzajemnou vymenu radku rp s radkem rq provedeme ve dvou nasledujıcıchetapach.

1. Provedeme vzajemne vymeny dvou po sobe jdoucıch radku tak, ze radekrp bude na q–te pozici a poradı ostatnıch radku se zachova (to tedyznamena poradı, nikoliv jejich umıstenı). Tato vymena se da postupnerealizovat takto. Vymenou {p, p + 1} se radek rp dostava na pozicip + 1. Naslednou vymenou {p + 1, p + 2} se radek rp dostava na pozicip + 2. Tedy vymenami v poctu 2 se radek rp dostava na pozici o 2vetsı, nez byla jeho vychozı pozice. Tımto zpusobem pokracujeme azpo q− p vymenach se dostane radek rp z pozice p na pozici p+(q− p),t.j. na pozici q. Tato postupna vymena dvou po sobe jdoucıch radku jeznazornena v nasledujıcı tabulce. Po realizaci techto q − p vzajemnychdvou po sobe jdoucıch radku je radek rp na pozici q a radek rq je napozici q − 1.

pozice 1 . . . r1 r1 r1...

......

pozice p . . . rp rp+1 rp+1

pozice p + 1 . . . rp+1 rp rp+2

pozice p + 2 . . . rp+2 rp+2 rp

...−−−−−−→{p, p + 1} ...

−−−−−−−−−→{p + 1, p + 2} ... . . .

pozice q − 2 . . . rq−2 rq−2 rq−2

pozice q − 1 . . . rq−1 rq−1 rq−1

pozice q . . . rq rq rq

......

...pozice m . . . rm rm rm

219

5. Determinanty

r1 r1 r1 . . . pozice 1...

......

rp+1 rp+1 rp+1 . . . pozice prp+2 rp+2 rp+2 . . . pozice p + 1rp+3 rp+3 rp+3 . . . pozice p + 2

. . ....

−−−−−−−−−→{q − 2, q − 1} ...

−−−−−−→{q − 1, q} ...

rp rq−1 rq−1 . . . pozice q − 2rq−1 rp rq . . . pozice q − 1rq rq rp . . . pozice q...

......

rm rm rm . . . pozice m

2. Ve druhe etape presuneme radek rq z pozice q − 1 na pozici p. Prove-deme to temito postupnymi vymenami dvou po sobe ulozenych radku.Vymenou {q − 1, q − 2} se radek rq z pozice q − 1 dostane na poziciq − 2. Naslednou vymenou {q − 2, q − 3} se radek rq posune z poziceq − 1 na pozici q − 3, tedy o dve pozice zpet proti pozici q − 1. Tımtozpusobem dale pokracujeme, az po q − p − 1 vzajemnych vymenachdvou po sobe jdoucıch radku se radek rq posune z pozice q − 1 napozici q − 1 − (q − p − 1) to jest na pozici p.

Z uvah v techto dvou etapach vyplyva, ze po techto (q − p) + (q − p− 1), tojest po 2(q − p) − 1 vzajemnych vymenach dvou po sobe umıstenych radkudospejeme z matice A k matici A, to jest k matici, ktera vznikla z matice A

vzajemnou vymenou p–teho a q–teho radku.

Tohoto poznatku vyuzijeme k dukazu nasledujıcı vety.

Veta 5.5. Necht’ A je ctvercova matice radu n ≥ 2. Oznacme B matici,ktera vznikne z matice A vzajemnou vymenou jejıho p–teho a q–teho radku.Potom platı

detA = −detB. (5.30)

Dukaz: Bez ujmy na obecnosti budeme predpokladat, ze p < q. Podlepredesle vety vznikne matice B z matice A celkem 2(q − p)− 1 vzajemnymivymenami dvou po sobe jdoucıch radku. Podle vety 5.3 je

det(B) = (−1)2(q−p)−1det(A).

Platı tedy (5.30).

V nasledujıcı vete si ukazeme vypocet hodnoty determinantu matice podlevzorce, ktery je analogickym vztahu (5.4). Mısto prvku v prvnım radku v nemvystupujı explicitne prvky libovolne zvoleneho radku.

220

Vypocet

determinantu

Veta 5.6. (Vypocet determinantu)

Necht’ A je libovolna matice radu n ≥ 0. Potom

|A| =n∑

k=1

(−1)s+k · as,k · |As,k| (5.31)

pro kazde s ∈ {1, . . . n}. Vypocet pomocı tohoto vzorcenazyvame vypoctem determinantu matice A rozvojempodle s–teho radku.

Dukaz: Oznacme ri i–ty radek matice A, i = 1, . . . , n. Tedy

ri = A(i, :), i = 1, . . . , n.

Potom matici A lze zapsat strucne takto

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

r1

r2

r3

...

rs−1

rs

rs+1

...

rn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Z teto matice obdrzıme postupnymi vymenami dvou po sobe jdoucıch radkumatici B

B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

rs

r1

r2

...

rs−2

rs−1

rs+1

...

rn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Matici B jsme obdrzeli z matice A podle vety 5.4 postupne celkem (s − 1)vzajemnymi vymenami dvou po sobe jdoucımi radku. Kazda vymena poradı

221

5. Determinanty

dvou radku ma za nasledek zmenu znamenı determinantu. Ponevadz techtovymen bylo celkem s − 1, platı

|A| = (−1)s−1 |B| . (5.32)

Podle definice hodnoty determinantu matice B dostavame

|B| =

n∑k=1

(−1)1+k · b1,k · |B1,k| .

Ponevadz b1,k = as,k a B1,k = As,k, dostavame s ohledem na (5.32) vztah

|A| = (−1)s−1 ·n∑

k=1

(−1)1+k · as,k · |As,k|.

Tedy skutecne platı vztah (5.31), to jest

|A| =

n∑k=1

(−1)s+k · as,k · |As,k| .


A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 0 −1

0 0 3 0

4 0 1 2

5 1 0 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Resenı. Ponevadz ve druhem radku ma matice A tri nulove prvky a jenomjeden nenulovy prvek, provedeme vypocet determinatu dane matice rozvojempodle druheho radku. Podle predchazejıcı vety obdrzıme

|A| = −0 · |A2,1| + 0 · |A2,2| + 3 · (−1)2+3 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1

4 0 2

5 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣+ 0 · |A2,4| =

= −3 · (−2) = 6.

Vztah mezi determinantem matice A a determinantem matice AT .

Zabyvejme se nynı vztahem mezi hodnotou determinantu matice A a maticek nı transponovane AT .

Pripomenme si, ze matice AT je transponovana k matici A, jestlize kazdyi–ty radek matice A je i–tym sloupcem matice AT .

Lehce nahledneme, ze platı vztah

(Ai,j)T = (AT )j,i. (5.33)

Doporucuji, aby jste si tento vztah sami dokazali. Abychom demonstrovalipravdivost tohoto vztahu, uved’me nasledujıcı prıklad.

222

Prıklad 5.8. Necht’ A je matice

A =

⎛⎝ 1 2 34 5 67 8 9

⎞⎠ .

Vidıme, ze napr.

(AT )2,3 =

(1 43 6

)= (A3,2)

T .

Dokazme nynı, platnost teto vety.

Veta 5.7.

Necht’ A je ctvercova matice radu n. Potom

det(A) = det(AT ). (5.34)

Dukaz: Vetu dokazeme uzitım matematicke indukce. Veta je evidentnespravna pro matice radu n = 1. Predpokladejme nynı, ze veta je spravnapro matice radu n a dokazme, ze je pak spravna i pro matice radu n + 1.Necht’ tedy A je matice

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝a1,1 a1,2 . . . a1,n+1...

......

ai,1 ai,2 . . . ai,n+1...

......

an+1,1 an+1,2 . . . an+1,n+1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

Oznacme A = AT , takze

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝a11 a12 . . . a1,n+1...

......

ak,n+1 ak,n+2 . . . ak,n+1...

......

an+1,1 an+1,2 . . . an+1,n+1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , kde ai,j = aj,i

Rozvojem podle i–teho radku matice A dostavame

|A| =

n+1∑k=1

(−1)i+kai,k|Ai,k|. (5.35)

Rozvojem podle k–teho radku matice A dostavame

|A| =n+1∑i=1

(−1)k+iak,i|Ak,i|. (5.36)

223

5. Determinanty

Vzhledem k tomu, ze ak,i = ai,k a ponevadz podle (5.33) je (Ai,j)T = (AT )j,i

= Aj,i, lze tento vztah prepsat na tvar

|A| =

n+1∑i=1

(−1)k+iai,k|(Ai,k)T |. (5.37)

Ponevadz podle indukcnıho predpokladu je veta spravna pro matice radu n,je |(Ai,k)

T | = |Ai,k|, takze

|A| =

n+1∑i=1

(−1)k+iai,k|Ai,k|. (5.38)

Provedeme-li vypocet |A| podle (5.35) pro i = 1, 2, . . . , n+1 a tyto obdrzenevysledky secteme, dostavame

(n + 1)|A| =

n+1∑i=1

(−1)i+k

n+1∑k=1

ai,k|Ai,k|. (5.39)

Podobne, provedeme-li vypocet |A| podle (5.37) pro k = 1, 2, . . . , n + 1 atyto obdrzene vysledky secteme, dostavame

(n + 1)|A| =

n+1∑i=1

(−1)i+k

n+1∑k=1

ai,k|Ai,k|. (5.40)

Porovnanım (5.39) a (5.40), dostavame, ze

detA = detAT .

Bezprostrednım dusledkem teto vety je nasledujıcı veta, ktera ukazuje zpusobvycıslenı determinantu matice rozvojem podle libovolneho sloupce matice.

Vypocet

determinantu

Veta 5.8. (Vypocet determinantu)

Necht’ A je matice n–teho radu

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝a1,1 . . . a1,j . . . a1,n

a2,1 . . . a2,j . . . a2,n... . . .

... . . ....

an−1,1 . . . an−1,j . . . an−1,n

an,1 . . . an,j . . . an,n

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

Necht’ j je libovolny index jejıho sloupce. Potom

|A| =n∑

k=1

(−1)k+j ak,j |Ak,j|. (5.41)

224

Dukaz: Vzorec (5.41) je vypocet determinantu matice AT podle jejıho j-tehoradku.


A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3

4 5 6

7 8 9

⎞⎟⎟⎠rozvojem podle druheho sloupce.

Resenı. Dostavame

|A| = 2 · (−1)1+2 ·∣∣∣∣∣ 4 6

7 9

∣∣∣∣∣+ 5 · (−1)2+2 ·∣∣∣∣∣ 1 3

7 9

∣∣∣∣∣+ 8 · (−1)3+2

∣∣∣∣∣ 1 3

4 6

∣∣∣∣∣ .Po vycıslenı obdrzıme |A| = 0.

5.2 Vlastnosti determinantu

V minule casti jsme zavedli pojem determinantu matice radu n a ukazalijsme zpusob jeho vypoctu rozvojem podle jejıho libovolneho radku, resp.jejıho libovolneho sloupce. Tento zpusob vypoctu je pro matice vyssıho raduznacne narocny na pocet provadenych aritmetickych operacı.

Ukol. Odhadnete pocet operacı secıtanı a nasobenı pro vycıslenı deter-minantu matice radu n = 100.

Proto si ukazeme jinou metodu, ktera vychazı z nekterych vlastnostı deter-minantu matic.

Zacneme s nekolika vetami, ktere nam pomohou pri vypoctu hodnoty deter-minantu matice A. Zejmena sledujme vztah mezi determinantem matice A adeterminantem matice B, ktera vznikla z A elementarnımi transformacemi.

Veta 5.9.

Necht’ A je matice radu n ≥ 1. Necht’ vsechny prvkyv nekterem jejım radku (resp. sloupci) jsou rovny 0. Potom|A| = 0.

Dukaz: Tvrzenı vychazı z vypoctu determinantu matice rozvojem podleradku (sloupce), jehoz vsechny prvky jsou rovny 0.

225

5. Determinanty

Veta 5.10. (Vypocet |H1(i, α)A|)Necht’ A je ctvercova matice radu n. Necht’ matice B

vznikla z matice A vynasobenım libovolneho jejıho radkucıslem α �= 0. (Poznamenejme, ze B = H1(i, α)A.) Potomplatı

|B| = α · |A| ,tedy

|A| =1

αdet(H1(i, α))A, 1 ≤ i ≤ m.

Vypocet

|H1(i, α)A|

Dukaz: Dukaz vyplyva bezprostredne z vypoctu determinantu matice B

rozvojem podle i-teho radku.

Uved’me si nynı pomocnou vetu, kterou pozdeji vyuzijeme pri dukazechnekolika vet.

Veta 5.11. (Pomocna.) Necht’ A je matice radu n. Potom

n∑k=1

(−1)j+k · aj,k · |Ai,k| =

{|A| pro j = i0 pro j �= i

(5.42)

Dukaz: Oznacme C matici, ktera vznikne z matice A tak, ze jejı i–ty radeknahradıme vektorem c = (c1, . . . , cn). Potom platı |C| =

∑n

k=1(−1)i+k ·ck · |Ai,k|. Je-li c = (ai,1, . . . , ai,n), potom C = A, takze |C| = |A|. Je-lic = (aj,1, . . . , aj,n), kde i �= j, ma matice C dva stejne radky (i–ty radek jeroven j–temu radku). V tomto prıpade je |C| = 0. Platı tedy (5.42).

Analogicka veta platı pro sloupce. Uved’me si ji:

Veta 5.12. (Pomocna.) Necht’ A je matice radu n. Potom

n∑k=1

(−1)j+k · ak,j · |Ak,i| =

{|A| pro j = i0 pro j �= i

(5.43)

Vypocet

|H2(i, j)A|

Veta 5.13. (Vypocet |H2(i, j)A|)Necht’ A je matice radu n. Necht’ B je matice, ktera vzniknez matice A tak, ze k jejımu j–temu radku pripocteme jejıi–ty radek, kde i �= j. Potom |A| = |B|. (Poznamenejme,ze B = H2(i, j)A.) Tedy

|A| = det(H2(i, j)A).

226

Dukaz: Rozvojem podle j– teho radku dostavame

|B| =

n∑k=1

(−1)j+k · (aj,k + ai,k) · |Aj,k|.

Odtud dostavame

|B| =

n∑k=1

(−1)j+k · aj,k · |Aj,k| +n∑

k=1

(−1)j+k · ai,k · |Aj,k| .

Podle (5.42) dostavame odtud |A| = |B|.

Vypocet

|H3(r, s)A|

Veta 5.14. (Vypocet |H3(r, s)A|)Necht’ A je matice radu n. Necht’ B je matice, ktera vzniknez matice A vymenou jejıho r–teho a s–teho radku (sloupce).(Poznamenejme, ze B = H3(r, s)A). Potom

|A| = − |B| ,

tedy|A| = −det(H3(r, s)A).

Dukaz: Veta je pro radky citacı jiz drıve uvedene vety 5.5 a pro sloupcevychazı z vety 5.7.

Vypocet

|H3(r, s)A|

Veta 5.15. (Vypocet |H3(r, s)A|)Necht’ A je matice radu n a necht’ r �= s jsou dva jejı radkove(sloupcove) indexy. Necht’ B je matice, ktera vznikne z ma-tice A vymenou jejıho r–teho a s–teho radku (sloupce) avynasobenım jejıho s–teho radku v takto vznikle maticicıslem (−1). (Poznamenejme, ze B = H3(r, s)A). Potom

|A| = |B| ,

tj.|A| = det(H3(r, s)A).

Dukaz: Veta je dusledkem vet 5.14 a vety 5.10.

Veta 5.16.

Necht’ A je ctvercova matice radu n, jejız dva radky jsoustejne. Potom |A| = 0.

227

5. Determinanty

Dukaz: Oznacme B matici, ktera vznikla z matice A vzajemnou vymenouobou stejnych radku. Podle vety 5.14 je |A| = − |B|. Ponevadz vsak A = B

(vymenili jsme vzajemne dva stejne radky), je |A| = |B|. Tedy

|A| = |B| = − |A| .

To je mozno jen v prıpade, ze |A| = 0.


A =

⎛⎜⎜⎝1 6 3

0 6 3

1 6 3

⎞⎟⎟⎠ .

Prvnı a tretı radek teto matice jsou stejne. Vypoctem se presvecte, ze |A| =0.

Veta 5.17. Necht’ A je matice radu n > 1. Necht’ B je matice, ktera vzniknez matice A tak, ze k jejımu j–temu radku pricteme α–nasobek jejıho i–tehoradku, kde i �= j. Potom |A| = |B|. (Pripomenme, ze B = H4(i, α, j, 1)A).

Dukaz: Matice B vznikla po sobe nasledujıcımi elementarnımi transforma-cemi matice A

C = H1(i, α)A, D = H2(i, j)C , B = H1(i, 1/α)D.

Podle predchazejıcıch vet je

|C| = α · |A| , |D| = |C| , |B| =1

α|D| .

Odtud |B| = |A|.

Vypocet

|H4(i, α, j, β)A|

Veta 5.18. (Vypocet |H4(i, α, j, β)A|)Necht’ A je matice radu n > 1. Necht’ α, β jsou realna cısla,β �= 0. Dale necht’ i, j jsou radkove indexy matice A. Necht’

B je matice, jejız j–ty radek je roven souctu α–nasobku i–teho radku matice A a β–nasobku j–teho radku matice A

a ostatnı radky matice B se rovnajı odpovıdajıcım radkummatice A. Potom

|A| =1

β|B| ,

tj.

|A| =1

β|H4(i, α, j, β)A|.

(Poznamenejme, ze B = H4(i, α, j, β)A).

228

Dukaz: Matice B vznikla z matice A postupne temito upravami.

C = H1(i, α)A, D = H1(β, j)C , F = H2(i, j)D, B = H1(i, 1/α)F .

Potom s ohledem na vety 5.13, 5.10 dostavame |A| = 1/β · |B|.Dusledek. Necht’ X je matice typu (n, n). Necht’ Y = H1(i, α)X, kdeα �= 0, Z = H2(i, j)X . Potom s ohledem na vety 5.10, 5.13 platı

det(X) = 0 ⇔ det(Y ) = 0, det(X) = 0 ⇔ det(Z) = 0.

Vypocet determinantu matice jejım prevodem na hornı trojuhel-nıkovou matici

Napred si ukazme zpusob vypoctu determinantu hornı trojuhelnıkove ma-tice. V dalsıch uvahach si ukazeme dva postupy vypoctu, ktere se opırajıo transformaci matice na hornı trojuhelnıkovou matici.

Determinant

trojuhelnıkove

matice

Veta 5.19. (Determinant trojuhelnıkove matice)

Necht’ B je hornı trojuhelnıkova matice n−teho radu:

B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

b1,1 b1,2 b1,3 . . . b1,n−1 b1,n

0 b2,2 b2,3 . . . b2,n−1 b2,n

0 0 b3,3 . . . b3,n−1 b3,n

. . . . . .

. . . . . .

0 0 . . . 0 bn−1,n−1 bn−1,n

0 0 . . . 0 0 bn,n

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. (5.44)

Potom|B| = b1,1 · b2,2 · . . . · bn,n. (5.45)

Dukaz: Proved’me vypocet hodnoty determinantu teto matice rozvojem pod-le jejıho prvnıho sloupce. Dostavame

|B| = (−1)1+1 · b1,1 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b2,2 b2,3 . . . b2,n−1 b2,n

0 b3,3 . . . b3,n−1 b3,n

. . . . .

. . . . .

0 0 . . . bn−1,n−1 bn−1,n

0 0 . . . 0 bn,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

229

5. Determinanty

Hodnotu determinantu takto vznikle matice urcıme opet rozvojem podleprvnıho sloupce. Dostavame

|B| = b1,1 · (−1)1+1 · (−1)1+1 · b2,2 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b3,3 . . . b3,n−1 b3,n

. . . .

. . . .

0 . . . bn−1,n−1 bn−1,n

0 . . . 0 bn,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Tımto zpusobem pokracujeme, az po n krocıch obdrzıme hledany vzorec(5.45)

|B| = b1,1 · b2,2 · . . . · bn,n.


A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝5 2 4 5

0 4 3 4

0 0 8 4

0 0 0 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (5.46)

Resenı. Podle vzorce (5.45) dostavame

|A| = 5 · 4 · 8 · 2 = 320.

Algoritmy vypoctu determinantu matice A

Ukazme si nynı dva algoritmy na vypocet determinantu matice A zalozenena elementarnıch transformacıch, jimiz se matice A transformuje na hornıtrojuhelnıkovou matici.

Prvnı algoritmus pouzıva jen transformace H3(i, j)A, H4(i, α, j, 1)A, jimizse nemenı hodnota determinantu matice A, viz vety 5.15 a 5.17.

Druhy algoritmus pouzıva transformace H3(i, j)A, H4(i, α, j, β)A, kdeβ �= 0. Temito tranformacemi se hodnota determinantu menı, viz vety 5.14a 5.18.

Vypocet

determinantuAlgoritmus 1.

Predpokladejme, ze promenne A je prirazena ctvercova matice a promennen je prirazen jejı rad. Ve vykladu pouzıvame toto oznacenı:D = det(A) . . .A je vychozı matice,j . . . poradove cıslo sloupce, se kterym pracujeme,i, p . . . cısla radku.

Zacatek

230

B1 Zacneme s upravou prvnıho sloupce. Polozıme

j := 1.

B2 Jestlizeai,j = 0 pro i = j, j + 1, . . . , n, (5.47)

(to jest jestli prvky v j-tem sloupci v radcıch i = j, . . . , n jsou nulove),polozıme

D := 0

a vypocet je ukoncen.Jestlize alespon jeden z prvku ai,j, i = j, . . . , n, je nenulovy, jdemek bodu B3.

B3 Zvolme p ∈ {j, j + 1, . . . , n}, pro nez je

ap,j �= 0.

Touto volbou zvolıme p-ty radek jako hlavnı pro nasledne eliminace.Jdeme k B4.

B4 Jestlize p = j, je j-ty radek hlavnı. Jdeme k B6. Je-li p �= j, jdemek B5.

B5 Ponevadz p �= j, vymenıme navzajem p-ty a j-ty radek matice A a povymene nasobıme j-ty radek cıslem −1. Tento ukon jsme oznacili jakoelementarnı transformaci H3. Je tedy

A := H3(j, p)A. (5.48)

Po teto transformaci je j-ty radek hlavnım radkem. Zrejme je aj,j �= 0.Pro matici A urcenou vztahem (5.48) platı

D = det(A).

Jdeme k B6.B6 V j-tem sloupci provedeme eliminaci prvku

aj+1,j, . . . , an,j

takto:b1. Polozme

i := j + 1.

Jdeme k b2.b2. Jestlize

ai,j = 0

jdeme k b4. Jestlize ai,j �= 0, jdeme k b3.b3. Hlavnı radek, to jest j-ty radek, nasobeny cıslem −ai,j

aj,jpricteme

k i-temu radku. (Hlavnı radek byl zvolen tak, ze aj,j �= 0.) Tentoukon odpovıda elementarnı transformaci

A = H4

(j,−ai,j

aj,j

, i, 1

)A. (5.49)

231

5. Determinanty

V takto vznikle matici A je ai,j = 0. Pro vzniklou matici v (5.49)platı

D = det(A).

Jdeme k b4.b4. Polozme

i := i + 1.

Jestlize i ≤ n, jdeme k b2. Je-li i = n + 1, jdeme k B7.

B7 Prejdeme k dalsımu sloupci. Polozme

j := j + 1.

Je-li j ≤ n − 1, jdeme k B2. Je-li j = n, jdeme k B8.B8 Matice A je jiz hornı trojuhelnıkovou maticı. Je tedy

D := a1,1a2,2 . . . an,n.

Vypocet je ukoncen.

Algoritmus 2.

Predpokladejme, ze promenne A je prirazena cvercova matice a promenne nje prirazen jejı rad. Ve vykladu pouzıvame toto oznacenı:D = det(A) . . .A je vychozı matice,γ. . . promenna pro sledovanı hodnoty D. Na zacatku vypoctu polozımeγ := 1, takze D = γ · detA.j . . . poradove cıslo sloupce, se kterym pracujeme,i, p . . . poradova cısla radku.

Zacatek

B1 Polozmeγ := 1, j := 1.

Zacneme s upravou prvnıho sloupce.B2 Jestlize

ai,j = 0 pro i = j, j + 1, . . . , n, (5.50)

(to jest jestli prvky v j-tem sloupci v radcıch i = j, . . . , n jsou nulove),polozıme

D := 0

a vypocet je ukoncen.Jestlize alespon jeden z prvku ai,j , i = j, . . . , n, je nenulovy, jdemek bodu B3.


ap,j �= 0.

Touto volbou zvolıme p-ty radek jako hlavnı pro nasledne eliminace.Jdeme k B4.

232

B4 Jestlize p = j, je j-ty radek hlavnı. Jdeme k B6. Je-li p �= j, jdemek B5.

B5 Ponevadz p �= j, vymenıme navzajem p-ty radek a j-ty radek maticeA. Tento ukon jsme oznacili jako elementarnı transformaci H3. Je tedy

A := H3(j, p)A. (5.51)

Po teto transformaci je p-ty radek hlavnım radkem. Zrejme jeaj,j �= 0. Ponevadz podle vety 5.14 se vymennou dvou radku maticezmenı znamenko hodnoty determinantu, polozıme γ := −γ. Je tedy

D = γ · det(A),

kde A je matice vznikla transformacı (5.51).B6 V j-tem sloupci provedeme eliminaci prvku

aj+1,j, . . . , an,j

takto:b1. Polozme

i := j + 1.

Jdeme k b2.b2. Jestlize

ai,j = 0

jdeme k b4. Jestlize ai,j �= 0, jdeme k b3.b3. Hlavnı radek, to jest j-ty radek, nasobeny cıslem −ai,j pricteme

k nasobku i-teho radku cıslem aj,j. Tento ukon odpovıda ele-mentarnı transformaci

A := H4 (j,−ai,j , i, aj,j) A. (5.52)

V takto vznikle matici A je ai,j = 0. S ohledem na vetu 5.18polozme

γ :=1

aj,j

γ.

Pro matici A vzniklou transformacı (5.52) platı

D = γ · detA.

Jdeme k b4.b4. Polozme

i := i + 1.

Jestlize i ≤ n, jdeme k b2. Je-li i = n + 1, jdeme k B7.

B7 Prejdeme k dalsımu sloupci. Polozme

j := j + 1.

Je-li j ≤ n − 1, jdeme k B2. Je-li j = n, jdeme k B8.

233

5. Determinanty

B8 Matice A je jiz hornı trojuhelnıkovou maticı. Polozme

D := γa1,1a2,2 . . . an,n.

Vypocet je ukoncen. D je hledana hodnota determinantu.

Poznamky k popisu pri resenı uloh.

Pri popisu resenı prıkladu je znacenı B1 – B7 z popisu algoritmu doplnenoudajem o cıslu sloupce, s nımz se pracuje. Napr.

B1-2, B2-2,. . . , B7-2

znacı, ze se provadejı ukony popsane v B1, B2,. . . , B7 pro j = 2.

Oznacenı b1, b2, b3, b4 v popisu algoritmu je doplneno udajem o cıslu sloupcea o cıslu radku, s nimiz se pracuje, a to takto:

b1-j.i, b2-j.i, b3-j.i, b4-j.i,

coz je aplikovanı ukonu v popsanych v b1, b2, b3, b4 v pro sloupec j a radeki. Napr.

b2-3.4

je oznacenı ukonu uvedenych v b2 pro tretı sloupec a ctvrty radek.

Prıklad 5.12. Vypocıtejte hodnotu determinantu matice⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 4 0

2 1 4 5

8 2 4 3

1 2 0 4

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ (5.53)

pomocı jejı transformace na hornı trojuhelnıkovou matici.

Resenı. Pouzijme algoritmus 1.

Promenne A prirad’me danou matici a promenne n jejı rad, takze

n := 4.

B1-1 Zacneme s 1. sloupcem. Polozme

j := 1.

B2-1 Vsechny prvky matice A v prvnım sloupci, to jest prvky

a1,1, a2,1, a3,1, a4,1

jsou nenulove. Jdeme k B3-1.B3-1 Zvolıme p ∈ {1, 2, 3, 4} tak, aby ap,1 �= 0. Polozme p := 1, takze prvnı

radek volıme jako hlavnı. Jdeme k B4-1.

234

B4-1 Ponevadz p = j(= 1), je jiz hlavnı radek v prvnım radku (j-tem radku).Neprovadıme tedy vymenu radku a jdeme k B6-1.

B6-1 Provedeme eliminaci prvku

a2,1, a3,1, a4,1

v prvnım sloupci a to takto:

b1-1.2 Polozme i := 2. Postoupıme k b2-1.2.b2-1.2 Ponevadz ai,1, to jest a2,1 = 2 �= 0, jdeme k b3-1.2.b3-1.2 Pouzijeme transformaci

A := H4(1,−a2,1

a1,1, 2, 1)A. (5.54)

Po teto transformaci bude druhy radek roven

A(2, :) = −2

1(1, 2, 4, 0) + (2, 1, 4, 5) = (0,−3,−4,−5).

Ostatnı radky se transformacı nemenı. Transformacı (5.54) tedydostavame

A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 4 0

0 −3 −4 5

8 2 4 3

1 2 0 4

⎞⎟⎟⎟⎟⎠Determinant teto matice je roven determinantu zadane matice(5.53). Jdeme k b4-1.2.

b4-1.2 Polozmei := i + 1, takze i = 3.

Ponevadz i < n, tj. 3 < 4, jdeme k b2-1.3.b2-1.3 Ponevadz ai,1, to jest a3,1 = 8 �= 0, jdeme k b3-1.3.b3-1.3 Pouzijeme transformaci

A := H4(1,−a3,1

a1,1

, 3, 1)A. (5.55)

Po teto transformaci bude tretı radek roven

A(3, :) = −8

1(1, 2, 4, 0) + (8, 2, 4, 3) = (0,−14,−28, 3).


A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 4 0

0 −3 −4 5

0 −14 −28 3

1 2 0 4


235

5. Determinanty

b4-1.3 Polozme

i := i + 1, takze i = 4.

Ponevadz i = n, tj. 4 = 4, jdeme k b2-1.4.b2-1.4 Ponevadz ai,1, to jest a4,1 = 1 �= 0, jdeme k b3-1.4.b3-1.4 Pouzijeme transformaci

A := H4(1,−a4,1

a1,1

, 4, 1)A. (5.56)

Po teto transformaci bude ctvrty radek roven

A(4, :) = −1

1(1, 2, 4, 0) + (1, 2, 0, 4) = (0, 0,−4, 4).


A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 4 0

0 −3 −4 5

0 −14 −28 3

0 0 −4 4


b4-1.4 Polozme

i := i + 1, takze i = 5.

Ponevadz i > n, tj. 5 > 4, je prvnı sloupec v pozadovanem tvaru.

Pujdeme tedy k dalsımu sloupci. Polozme tedy

j := j + 1, takze j = 2.

Jdeme k bodu B2-2.B2-2 Prvky

a2,2, a3,2

ve druhem sloupci jsou od nuly ruzne. Jdeme k B3-2.B3-2 Zvolme p ∈ {2, 3}. Zvolme p := 2, takze 2. radek volıme jako hlavnı.

Jdeme k B4-2.B4-2 Ponevadz p = j(= 2), je jiz hlavnı radek v 2. radku (j-tem radku).

Neprovadıme tedy vymenu radku a jdeme k B6-2.B6-2 Provedeme eliminaci prvku

a3,2, a4,2

ve 2. sloupci a to takto:

b1-2.3 Polozme i := 3 (to jest i := j + 1). Postoupıme k b2-2.3.b2-2.3 Ponevadz ai,2, to jest a3,2 �= 0, jdeme k b3-2.3.

236

b3-2.3 Pouzijeme transformaci

A := H4(2,−a3,2

a2,2

, 3, 1)A. (5.57)

Po teto transformaci bude 3. radek roven

A(3, :) = −14

3(0,−3,−4, 5)+ (0,−14,−28, 3) = (0, 0,−28

3,−61

3).

Ostatnı radky se transformacı nemenı. Transformacı (5.57) tedydostavame matici

A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 4 0

0 −3 −4 5

0 0 −283

−613

0 0 −4 4


b4-2.3 Polozme

i := i + 1, je tedy i = 4.

Ponevadz i = n, jdeme k b2-2.4b2-2.4 Ponevadz a4,2 = 0, to jest ai,j = 0, jdeme k b4-2.4.b4-2.4 Polozme

i := i + 1, tedy i = 5.

Ponevadz i = 5 > n, jdeme k B7-2.

B7-2 Prejdeme k dalsımu sloupci. Polozme j := j +1, takze j = 3. Ponevadzj = 3 ≤ n − 1 (3 = 3), jdeme k B2-3.

B2-3 Prvky

a3,3, a4,3

ve tretım sloupci jsou nenulove. Jdeme k bodu B3-3.B3-3 Zvolme p ∈ {3, 4}. Polozmeme p := 3, takze 3. radek zvolıme jako

hlavnı. Jdeme k B4-3.B4-3 Ponevadz p = j(= 3), je jiz hlavnı radek v 3. radku (j-tem radku).

Neprovadıme tedy vymenu radku a jdeme k B6-3.B6-3 Provedeme eliminaci prvku ve tretım sloupci a to takto:

b1-3.4 Polozme i := 4 (to jest i := j + 1). Postoupıme k bodu b2-3.4.b2-3.4 Ponevadz ai,j �= 0, to jest a4,3 �= 0, jdeme k b3-3.4.b3-3.4 Pouzijeme transformaci

A := H4(3,−a4,3

a3,3, 4, 1)A. (5.58)

Po teto transformaci bude 4. radek roven

A(4, :) = −3

7(0, 0,−28

3,−61

3) + (0, 0,−4, 4) = (0, 0, 0,

89

7).

237

5. Determinanty

Ostatnı radky se transformacı nemenı. Transformacı (5.58) tedydostavame matici

A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 4 0

0 −3 −4 5

0 0 −283

−613

0 0 0 897

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Determinant teto matice je roven determinantu zadane matice.Jdeme k bodu b4-3.4.

b4-3.4 Polozme

i := i + 1.

Je tedy i = 5. Ponevadz i = n + 1, jdeme k B7-3.

B7-3 Polozme j := j + 1. Je tedy j = 4. Ponevadz j = n, jdeme k B8.B8

D := 1 · (−3) ·(−28

3

)· 89

7, tedy D = 356,

kde D je determinant dane matice (5.53).

238

Prıklad 5.13. Vypocıtejte hodnotu determinantu matice⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 1 1 2

1 2 3 0

2 4 0 0

0 3 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Resenı. K vypoctu pouzijeme algoritmus 1, avsak popis resenı budestrucny.Promenne A prirad’me danou matici a promenne n priradıme rad matice,tedy n := 4. Oznacme D = det(A).

Polozme j := 1. Upravy budeme provadet v 1. sloupci. Za hlavnı radekzvolıme radek 2. Transformacı

A := H3(1, 2)A

dostaneme matici

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 3 0

0 −1 −1 −2

2 4 0 0

0 3 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Pro ni platıdet(A) = D.

TransformacıA = H4(1,−2, 2, 1)A

dostaneme matici

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 3 0

0 −1 −1 −2

0 0 −6 0

0 3 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Pro tuto matici je |A| = D.

Polozme j := 2. Upravy budeme provadet v 2. sloupci. Za hlavnı radekzvolme 2. radek matice A. Transformacı

A := H4(2, 3, 4, 1)A

dostaneme matici

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 3 0

0 −1 −1 −2

0 0 −6 0

0 0 −3 −5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

239

5. Determinanty

Pro ni platı det(A) = D.

Polozme j := 3. Upravy budeme provadet v 3. sloupci. Za hlavnı radekzvolme 3. radek. Transformacı

A := H4(3,−1

2, 4, 1)A

dostaneme matici

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 3 0

0 −1 −1 −2

0 0 −6 0

0 0 0 −5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Pro ni platı det(A) = D. Obdrzena matice je hornı trojuhelnıkova matice.Je tedy

D = 1 · (−1) · (−6) · (−5), tedy D = −30.

Prıklad 5.14. Vypocıtejte determinant matice

A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 2 1 0

2 1 0 −2

−3 3 2 1

0 3 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

K vypoctu pouzijte algoritmus 2.

Resenı. Oznacme D = det(A), Polozme γ := 1, takze D = γ · det(A).

Polozme j := 1. Ponevadz a11 = 0, proved’me transformaci

A := H3(1, 3)A

a polozme γ := −γ. Dostavame

A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−3 3 2 1

2 1 0 −2

0 2 1 0

0 3 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (5.59)

Potom platı D = γ · det(A), kde A je matice (5.59). Za hlavnı radek zvolme1. radek. Transformacı

A := H4(1, 2, 2, 3)A

dostavame matici

A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−3 3 2 1

0 9 4 −4

0 2 1 0

0 3 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

240

Polozme γ := 13γ. Potom D = γ · det(A).

Polozme j := 2. Za hlavnı radek zvolıme 2. radek. Transformacı

A = H4(2,−2, 3, 9)A

dostaneme

A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−3 3 2 1

0 9 4 −4

0 0 1 8

0 3 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Polozıme-li γ := 19γ, platı

D = γ · det(A).

Transformacı

A := H4(2,−3, 4, 9)A

dostavame

A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−3 3 2 1

0 9 4 −4

0 0 1 8

0 0 −3 12

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Polozıme-li γ := 19γ, potom

D = γ.det(A).

Polozme j := 3. Za hlavnı radek zvolme 3. radek. Transformacı

A := H4(3, 3, 4, 1)A

dostavame

A :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−3 3 2 1

0 9 4 −4

0 0 1 8

0 0 0 36

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Polozıme-li γ := 1 · γ, platı

D = γ · det(A).

Ponevadz A je hornı trojuhelnıkova matice, dostavame

D = −1

3· 1

9· 1

9· (−3) · 9 · 1 · 36, takze D = 4.

241

5. Determinanty

Poznamka k hodnosti matice

Singularnı

a regularnı

matice

Definice 5.2. Rekneme ze ctvercova matice A je regularnı, jestlize |A| �= 0.Je-li |A| = 0, rıkame, ze matice A je singularnı.

Veta 5.20. Necht’ A je dana ctvercova matice radu n. Potom matice A jeregularnı, kdyz a jenom kdyz ma hodnost n.

Dukaz: Matici A preved’me elementarnımi transformacemi na hornı scho-dovitou matici B. Evidentne tato matice nema nulovy radek, to jest mahodnost n, kdyz a jenom kdyz je hornı trojuhelnıkovou maticı s nenulovymidiagonalnımi prvky, to jest, jestlize je regularnı.

Veta 5.21. (Veta o hodnosti matice)

Necht’ X je nenulova matice typu (m, n). Potom matice X

ma radkovou hodnost h, kdyz a jenom kdyz existuje takovasubmatice A matice X radu h ≤ m, ze det(A) �= 0 a zedeterminant kazde submatice matice X radu vetsıho nez h,pokud existuje, ma hodnotu rovnu 0.

Dukaz:

a) Dokazme: Jestlize matice X ma radkovou hodnost h, existuje takovasubmatice A matice X radu h ≤ m, ze det(A) �= 0 a ze determinantkazde submatice matice X radu > h, pokud existuje, ma hodnoturovnu 0.Oznacme Y hornı schodovitou matici, ktera vznikla z matice X ele-mentarnımi transformacemi. Ponevadz matice X ma hodnost h, mamatice Y prave h nenulovych radku. Oznacme si nejmensı index, pronejz je prvek yi, si

�= 0 pro i = 1, 2, . . . , h. Oznacme B submatici ma-tice Y vytvorenou z radku 1, 2, . . . , h a sloupcu s1, s2, . . . sh. MaticeB je hornı trojuhelnıkova matice radu h s nenulovymi diagonalnımiprvky. Tedy hodnota determinantu teto matice je �= 0. Determinantkazde submatice matice Y radu > h, pokud takova submatice existuje,ma poslednı radek nulovy a tedy jeho hodnota je rovna 0. Ponevadzkazda submatice matice Y vznikla z matice X elementarnımi transfor-macemi, je prvnı cast vety dokazana.

b) Necht’ existuje ctvercova submatice C matice X radu h, jejız deter-minant je nenulovy a determinant kazde submatice radu > h, pokudtakove submatice existujı, majı nulovou hodnotu. Podle vety 5.20 jsouradky matice C linearne nezavisle, takze alespon h radku matice X jelinearne nezavislych. Ma tedy matice X hodnost ≥ h. Kdyby hodnostmatice X byla > h, existovala by podle a) ctvercova submatice X radu> h, jejız determinant je �= 0. To by bylo v rozporu s predpokladem.Tım je druha cast vety dokazana.

242

Vztah mezi radkovou a sloupcovou hodnostı matice.

Rovnost

radkove a

sloupcove

hodnosti

Veta 5.22. (Radkova a sloupcova hodnost)

Necht’ A je matice typu (m, n). Potom jejı sloupcova hod-nost je rovna jejı radkove hodnosti.

Dukaz: Pripomenme si, ze radkova hodnost matice A je nejvetsı pocet je-jich linearne nezavıslych radku a sloupcova hodnost je nejvetsı pocet jejichlinearne nezavislych sloupcu. Oznacme h radkovou hodnost matice A a hsloupcovou hodnost matice A. Predpokladejme, ze h �= h. Je uvidentnı, zesloupcova hodnost matice A je rovna radkove hodnosti matice AT . Budemetedy srovnavat radkove hodnosti matic A a AT . Ponevadz podle predpokladuje radkova hodnost matice A rovna h, existuje takova submatice B maticeA radu h, ze det(B) �= 0 a determinant kazde submatice F matice A radu> h je roven 0. Ponevadz podle vety 5.7 je determinant kazde matice rovendeterinantu z matice k nı transponovane, je det(BT ) �= 0 a det(F T ) = 0.Tedy existuje podmatice matice AT radu h, jejız determinat je ruzny od0 a vsechny submatice radu > h majı determinant roven 0. Tedy radkovahodnost matic AT je rovna h. Je tedy h = h.

5.3 Pouzitı determinantu

Prıma metoda resenı systemu linearnıch rovnic.

Jiz drıve jsme se seznamili s pojmem systemu m linearnıch algebraickychrovnic o n neznamych

A · x = b (5.60)

a s pojmem jeho resenı. Ukazeme si nynı, jak se toto resenı da nalezt v prı-pade, ze A je ctvercova regularnı matice. V dalsı kapitole se budeme zabyvats pojmem resenı obecneji a uvedeme si nekolik metod vhodnych k jeho na-lezenı. V teto casti uvedeme pouze nalezenı resenı pomocı determinantu.Tato metoda ma sice velky vyznam z teoretickeho hlediska, avsak numerickyje pouzitelna pouze pro resenı systemu rovnic o relativne malem poctu nezna-mych.

5.3.1 Cramerovo pravidlo

Resenı

systemu nrovnic o nneznamych

Veta 5.23. (Cramerovo pravidlo)

Necht’ A je regularnı ctvercova matice radu n, b je n–rozmerny sloupcovy vektor a x je hledany n–rozmerny vek-tor. Oznacme

Bi, i = 1, . . . , n,

243

5. Determinanty

matici, ktera vznikne z matice A tak, ze jejı i–ty sloupec na-hradıme vektorem pravych stran b. Potom system linearnıchrovnic

Ax = b (5.61)

ma prave jedno resenı x, pro nez platı

xi =|Bi||A| , i = 1, . . . , n. (5.62)

Dukaz: Dokazme predevsım, ze je-li vektor x resenım systemu (5.61), potomplatı (5.62). Ponevadz vektor x je resenım (5.61), platı

ak,1x1 +ak,2x2 + . . .+ak,jxj + . . .+ak,nxn = bk, pro k = 1, 2, . . . , n. (5.63)

Zvolme i, 1 ≤ i ≤ n. Dokazeme, ze pro xi platı (5.62). Vynasobenım (5.63)vyrazem (−1)k+i · |Ak,i| pro k = 1, 2, . . . , n dostavame

n∑j=1

(−1)k+i · ak,j · |Ak,i| · xj = bk · (−1)k+i|Ak,i|. (5.64)

Sectenım rovnic (5.64) pro k = 1, . . . , n, dostavame

n∑j=1

xj

n∑k=1

ak,j(−1)k+i|Ak,i| =

n∑k=1

bk(−1)k+i|Ak,i|. (5.65)

Pouzitım vety 5.42 odtud dostavame

xi · |A| = |Bi|,

odkud plyne (5.62).Dokazme nynı, ze jestlize x je vektor o slozkach

xk =|Bk||A| , k = 1, . . . , n, (5.66)

potom x je resenım systemu (5.61). Necht’ j je jedno z cısel 1, . . . , n. Dosa-zenım techto hodnot xk do leve strany j–te rovnice obdrzıme velicinu, kterouoznacıme L. Dostavame

L =

n∑k=1

aj,kxk =

n∑k=1

aj,k

|Bk||A| .

Rozvojem determinantu |Bk| podle k–teho sloupce dostavame odtud

L =1

|A|

n∑k=1

aj,k

n∑i=1

(−1)i+kbi|Ai,k|.

244

Provedenım upravy pak dostavame

L =1

|A|

n∑i=1

(−1)i−jbi

n∑k=1

(−1)j+kaj,k|Ai,k|.

S ohledem na (5.42) odtud vyplyva

n∑k=1

aj,kxk = bj ,

takze vektor x vyhovuje j–te rovnici (j = 1, . . . , n.)

Prıklad 5.15. Uzitım Cramerova pravidla reste nasledujıcı system linear-nıch rovnic

x1 + 2x2 −x3 = −12x1 + 7x2 −x3 = 33x1 + 6x2 −x3 = 1

(5.67)

Resenı. Oznacıme-li A matici soustavy tohoto systemu, b vektor pravychstran a x vektor neznamych, je

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 −1

2 7 −1

3 6 −1

⎞⎟⎟⎠ , b =

⎛⎜⎜⎝−1

3

1

⎞⎟⎟⎠ , x =

⎛⎜⎜⎝x1

x2

x3

⎞⎟⎟⎠ . (5.68)

Vypoctem zjistıme, ze |A| = 6. Je tedy matice A regularnı a dany systemlze resit Cramerovym pravidlem.Matici B1 dostaneme tak, ze prvnı sloupec matice A nahradıme vektoremb. Dostavame tak matici

B1 =

⎛⎜⎜⎝−1 2 −1

3 7 −1

1 6 −1

⎞⎟⎟⎠ a determinant |B1| = −6.

Matici B2 dostaneme tak, ze druhy sloupec matice A nahradıme vektoremb. Dostavame tak matici

B2 =

⎛⎜⎜⎝1 −1 −1

2 3 −1

3 1 −1

⎞⎟⎟⎠ a determinant |B2| = 6.

Matici B3 dostaneme z matice A tak, ze jejı tretı sloupec nahradıme vekto-rem b. Dostaneme tak matici

B3 =

⎛⎜⎜⎝1 2 −1

2 7 3

3 6 1

⎞⎟⎟⎠ a determinant |B3| = 12.

245

5. Determinanty

Resenım systemu (5.67) je tedy

x1 =|B1|

6=

−6

6= −1,

x2 =|B2|

6=

6

6= 1,

x3 =|B3|

6=

12

6= 2.

5.4 Prımy vypocet inverznı matice pomocı determinantu

Vypocet

inverznı

matice

V drıvejsım pojednanı jsme si zavedli pojem inverznı matice k dane maticiA. Rekli jsme, ze matice B je inverznı k matici A, jestlize

A · B = B · A = E.

Da se dokazat, ze matice B je inverznı k regularnı ctvercove matici A, jestlizeplatı

A · B = E.

V tomto prıpade nenı tedy nutno pozadovat splnenı pozadavku

B · A = E.

Necht’ tedy matice A je regularnı ctvercova matice radu n. Hledejme ctver-covou matici B tak, ze

A · B = E. (5.69)

Zvolme i ∈ {1, . . . , n}. Uvazujme i–ty sloupec B(:, i) matice B a i–ty slou-pec E(:, i) matice E, to jest sloupcove vektory

B(:, i) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

b1,i

b2,i

...

bi−1,i

bi,i

bi+1,i

...

bn,i

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, E(:, i) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0

0

...

0

1

0

...

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. . . i–ty radek

Ze vztahu (5.69) vyplyva

A · B(:, i) = E(:, i). (5.70)

246

Tento system rovnic resme uzitım Cramerova pravidla. Dostavame

bj, i :=|Cj ||A| , j = 1, . . . , n, (5.71)

kde Cj je matice, ktera vznikla z matice A nahrazenım jejıho j–teho sloupcevektorem E(:, i). Determinant |Cj| vycıslıme rozvojem podle j–teho sloupce.Jediny nenulovy prvek v tomto sloupci je cıslo 1 v i–tem radku.Tedy

|Cj| = (−1)i+j · |Ai,j | . (5.72)

Z (5.71), (5.72) vyplyva

bj, i := (−1)i+j · |Ai,j||A| . (5.73)

Z (5.73) pro i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n dostavame matici B. Vypocıtejmenynı BA. Uzitım (5.43) dostavame

BA = E.

Je tedy matice B maticı inverznı k matici A.

Dosazeny vysledek muzeme shrnout do nasledujıcı vety.

Veta 5.24. (Vypocet inverznı matice)

Necht’ A je regularnı ctvercova matice radu n. Potom k ma-tici A existuje prave jedna matice inverznı, oznacme ji B.Jejı prvek bi,j se vypocıta podle vztahu

bi,j = (−1)i+j |Aj,i||A| pro i, j = 1, . . . n. (5.74)

Poznamka. Vsimnete si poradı indexu i, j u bi,j , Aj,i v (5.74)!

Prıklad 5.16. K matici A urcete matici inverznı.

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 4

−2 1 2

4 3 5

⎞⎟⎟⎠Resenı. Vypoctem dostavame

|A| = −5

|A1,1| =

∣∣∣∣∣ 1 2

3 5

∣∣∣∣∣ = −1, |A1,2| =

∣∣∣∣∣ −2 2

4 5

∣∣∣∣∣ = −18,

247

5. Determinanty

|A1,3| =

∣∣∣∣∣ −2 1

4 3

∣∣∣∣∣ = −10, |A2,1| =

∣∣∣∣∣ 2 4

3 5

∣∣∣∣∣ = −2,

|A2,2| =

∣∣∣∣∣ 1 4

4 5

∣∣∣∣∣ = −11, |A2,3| =

∣∣∣∣∣ 1 2

4 3

∣∣∣∣∣− 5,

|A1,3| =

∣∣∣∣∣ 2 4

1 2

∣∣∣∣∣ = 0, |A2,3| =

∣∣∣∣∣ 1 4

−2 2

∣∣∣∣∣ = 10,

|A3,3| =

∣∣∣∣∣ 1 2

−2 1

∣∣∣∣∣ = 5.

Tedy podle vety 5.24 dostavame

B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

|A1,1||A|

−|A2,1||A|

|A3,1||A|

−|A1,2||A|

|A2,2||A|

−|A3,2||A|

|A1,3||A|

−|A2,3||A|

|A3,3||A|

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

Dosazenım vypocıtanych hodnot za jednotlive determinanty dostavame

A−1 = B =

⎛⎜⎜⎝1/5 −2/5 0

−18/5 11/5 2

2 −1 −1

⎞⎟⎟⎠ .

Zkousku spravnost vypoctu provedeme vypoctem A · B, B · A. Zjistıme, zeoba tyto souciny jsou rovny matici E.


1. Definice determinantu matice.2. Pravidla pro vypocet determinantu matic radu 2, 3.3. Veta o vypoctu determinantu rozvojem podle libovolneho radku, resp.

libovolneho sloupce matice.4. Vztah mezi hodnostı matice A a matice B, ktera z nı vznikla ele-

mentarnımi transformacemi.5. Vypocet hodnoty determinantu matice jejı transformacı na hornı troj-

uhelnıkovou matici.6. Vztah mezi hodnotami determinantu z matic A a AT .7. Cramerovo pravidlo na resenı systemu linearnıch rovnic.8. Hledanı inverznı matice.9. Vztah mezi hodnostı matic a determinanty jejich submatic.

248

Ulohy

1. Vypocıtejte hodnoty determinantu nasledujıcıch matic

A =

(2 −1

0 3

), B =

(1 2

3 4

), C =

(2 3

4 6

).

[|A| = 6, |B| = −2, |C| = 0.]

2. Vypocıtejte hodnoty determinantu nasledujıcıch matic uzitım Sarusovapravidla.

A =

⎛⎜⎜⎝1 −2 4

7 3 −2

1 4 0

⎞⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎝2 0 1

3 −2 4

2 1 4

⎞⎟⎟⎠ , C =

⎛⎜⎜⎝2 3 1

1 0 2

5 6 4

⎞⎟⎟⎠ .

[|A| = 112, |B| = −17, |C| = 0.]

3. Urcete vztah mezi hodnotami determinantu matic A, B, aniz bystepocıtali jejich hodnoty. Proved’te zduvodnenı.

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 −2 3

4 1 0 2

1 2 3 4

0 −2 1 3

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 3 4

1 0 −2 3

0 −2 1 3

4 1 0 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

[|A| = − |B|. Matice B vznikla z matice A postupnymi vymenami techtoradku: radek 1 a radek 3; radek 2 a radek 3; radek 3 a radek 4. Celkem tremivymenami dvojic radku. Je tedy |B| = (−1)3 · |A|, takze |A| = − |B|.]4. Vypocıtejte hodnoty determinantu nasledujıcıch matic transformacı nahornı trojuhelnıkovou matici.

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 −2 3 1

1 2 3 −1

0 2 6 4

0 2 4 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 5 2

3 5 1 2

5 3 4 2

5 6 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

[|A| = −8, |B| = 178.]

5. Uzitım Cramerova pravidla reste nasledujıcı systemy linearnıch rovnic

a) ⎛⎜⎜⎝1 2 3

−1 0 4

2 1 0

⎞⎟⎟⎠ ·

⎛⎜⎜⎝x1

x2

x3

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝−7

−17

4

⎞⎟⎟⎠ ,

249

5. Determinanty

b) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 −2 3 4

3 2 4 3

6 1 0 2

4 −2 −1 3

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎝x1

x2

x3

x4

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝17

1

1

12

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

[a) x =

⎛⎜⎜⎝1

2

−4

⎞⎟⎟⎠, b) x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1

−5

2

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠.]

6. K dane matici A naleznete matici inverznı a proved’te zkousku spravnostivypoctu.

a) A =

⎛⎜⎜⎝1 2 3

0 2 −1

0 6 4

⎞⎟⎟⎠ , b) A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 2 3

4 0 2 1

3 1 0 5

2 3 1 4

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

[a)

⎛⎜⎜⎝1 5

7−4

7

0 27

114

0 −37

17

⎞⎟⎟⎠, b)

⎛⎜⎜⎜⎜⎝− 23

105521

435

− 4105

−15

0 −15

25

37105

221

−1135

11105

635

−17

635

− 235

⎞⎟⎟⎟⎟⎠.]

250

Ekvivalentnı systemy rovnic

Metody resenı systemu linearnıch rovnic uzitımrozkladu matice soustavy, qr–rozklad

Resenı systemu linearnıch rovnic metodounejmensıch ctvercu

Vlastnı cısla matice

Normy matic

Iteracnı metody resenı systemu linearnıchrovnic


Metody resenı systemulinearnıch algebraickychrovnic

6

6. Metody resenı systemu linearnıch algebraickych rovnic

Cıl kapitoly

Cılem teto casti je

zvladnout problematiku resitelnosti systemu linearnıch algebraickychrovnicnaucit se resit system linearnıch rovnic jeho prevedenım na systemekvivalentnı s hornı schodovitou maticı soustavyseznamit se s Gaussovou a s Jordanovou eliminacnı metodouseznamit se s metodou qr–rozkladu matice soustavyseznamit se s pojmem norma maticeseznamit se s iteracnımi metodami resenı systemu linearnıch rovnicseznamit se s resenım systemu linearnıch rovnic metodou nejmensıchctvercu

Casova zatez

20 hodin

6.1 Ekvivalentnı systemy rovnic

Nekolik uvodnıch slov. Drıve nez prikrocıte ke studiu teto kapitoly jenutne, abyste meli dokonale zvladnute zakladnı pojmy z linearnıch rovnicuvedene v kapitole 3.

V teto kapitole se budeme zabyvat predevsım problematikou existence a jed-noznacnosti resenı systemu m linearnıch rovnic o n neznamych a popisunekterych metod na jejich resenı.

Seznamili jsme se jiz s Cramerovym pravidlem (veta 5.23) na resenısystemu linearnıch rovnic Ax = b, ktere lze pouzıt v prıpade, ze jeho ma-tice soustavy A je regularnı ctvercova matice. V tomto prıpade ma systemprave jedno resenı. Urcı se pomocı determinantu. Tato metoda se vsak nehodık resenı systemu linearnıch rovnic pro vetsı pocet neznamych, nebot’ k jehoresenı je nutno provest velky pocet aritmetickych operacı.

Dale jsme se seznamili s resenım systemu linearnıch rovnic Ax = b s regularnıctvercovou maticı soustavy uzitım inverznı matice A−1. Vypocet inverznımatice je na pocet operacı narocnejsı, nez je resenı jednoho systemu rovnic.Pouzıvame ji jenom tehdy, jestlize inverznı matici zname, nebo ji potrebujemei k jinym ucelum.

Popıseme predevsım metodu, zalozenou na pojmu ekvivalentnosti dvousystemu linearnıch rovnic. Tato metoda se da pouzıt i v prıpade, ze maticesoustavy A nenı regularnı ctvercovou maticı. Uvedena metoda nam pomuzetez vyslovit vetu o resitelnosti a jednoznacnosti resenı systemu linearnıchrovnic.

252

Dva systemy linearnıch rovnic

Ax = b, C x = d

nazveme ekvivalentnımi, jestlize kazdy vektor, ktery jeresenım systemu rovnic Ax = b, je i resenım systemuC x = d a naopak, kazde resenı systemu rovnic C x = d jei resenım systemu rovnic Ax = b.

Pri resenı systemu rovnic Ax = b pujde o nalezenı takoveho ekvivalentnıhosystemu rovnic, ktery je mozno snadno posoudit. To znamena urcit, zdatento ekvivalentnı system ma nebo nema resenı a v prıpade, ze ma resenı,toto resenı nalezt. Takovym vhodnym ekvivalentnım systemem je system,jehoz matice soustavy je hornı schodovita matice.

6.1.1 Prevod systemu linearnıch rovnic na system linearnıch rovnics hornı schodovitou maticı soustavy

Uvazujme system linearnıch rovnic

A · x = b (6.1)

Ukazme si platnost nasledujıcıch pravidel P1, P2, P3, P4.

P1. Necht’ α je libovolne realne cıslo �= 0. Uvazujme libovolne zvolenou i–tourovnici systemu (6.1)

ai,1 · x1 + . . . + ai,n · xn = bi. (6.2)

Je evidentnı, ze vektor x vyhovuje rovnici (6.2), kdyz a jenom kdyz vyhovujerovnici

α · (ai,1 · x1 + . . . ai,n · xn) = α · bi, α �= 0. (6.3)

Nahradıme-li tedy v systemu (6.1) nekterou rovnici jejım nasobkem cıslem α,α �= 0, je vznikly system ekvivalentnı s danym systemem.

P2. Necht’

ai,1 · x1 + . . . + ai,n · xn = bi, (6.4)

aj,1 · x1 + . . . + aj,n · xn = bj , (6.5)

jsou dve libovolne rovnice systemu rovnic (6.1). Je opet evidenetnı, ze kazdyvektor x vyhovuje obema temto rovnicım, kdyz a jenom kdyz vyhovuje rov-nicım

ai,1 · x1 + . . . + ai,n · xn = bi, (6.6)

(aj,1 + αai,1) · x1 + . . . + (aj,n + αai,n) · xn = bj + αbi, (6.7)

kde α je libovolne realne cıslo.

253


Pricteme-li tedy k nektere rovnici systemu (6.1) α-nasobek jine rovnice,α ∈ R, vznikne system ekvivalentnı se systemem (6.1).

P3. Vypustıme-li ze systemu rovnic (6.1) rovnici tvaru

0 · x1 + 0 · x2 + . . . + 0 · xn = 0,

obdrzıme system rovnic, ktery je ekvivalentnı se systemem rovnic (6.1), nebot’

kazdy vektor x ∈ Vn teto rovnici vyhovuje. Tato rovnice tedy nedava zadneomezenı pro resenı systemu rovnic (6.1).

P4. Jestlize v systemu rovnic (6.1) je nektera rovnice tvaru

0 · x1 + 0 · x2 + . . . + 0 · xn = c, c �= 0,

nema uvazovany system zadne resenı, nebot’ teto rovnici nevyhovuje zadnyvektor.

Tyto uvahy muzeme shrnout nasledovne.

Veta 6.1.

Necht’ jsou dany dva systemy linearnıch rovnic

A x = b, C x = d

o neznamych x1, x2, . . . , xn. Necht’ system C x = d vzniklze systemu A x = b temito ukony:H1. Libovolnou rovnici systemu jsme nasobili cıslem

ruznym od nuly.H2. K libovolne rovnici jsme pricetli jinou rovnici systemu.H3. Vymenili jsme navzajem dve rovnice systemu.H4. K nenulovemu nasobku jedne rovnice jsme pripocetli

libovolny nasobek jine rovnice.

Potom systemy Ax = b, C x = d jsou navzajem ekviva-lentnı.

Poznamka.1. Jestlize v systemu rovnic Ax = b vypustıme rovnice

tvaru0 · x1 + · · · + 0 · xn = 0,

obdrzıme system rovnic s nım ekvivalentnı.

254

2. System rovnic, v nemz je rovnice tvaru

0 · x1 + · · · + 0 · xn = konst, kde konst �= 0,

nema resenı.

Abychom si usnadnili zapis pri operacıch s rovnicemi, budeme pracovat je-nom s koeficienty rovnic a s jejich pravymi stranami. Abychom to precizo-vali, zaved’me si zobrazenı T , jımz se ke kazdemu systemu linearnıch rovnicAx = b priradı rozsırena matice tohoto systemu rovnic (A|b), to jest

T (Ax = b) = (A|b).

Linearnı rovnici daneho systemu

ai,1 · x1 + . . . + ai,n · xn = bi

odpovıda v tomto zobrazenı i-ty radek rozsırene matice (A|b), to jest vektor

(ai,1, . . . , ai,n|bi).

Lehce nahledneme, ze zobrazenı T je proste zobrazenı mnoziny systemu mlinearnıch rovnic Ax = b o neznamych x1, . . . , xn na prostor matic (A|b).Existuje tedy k nemu inverznı zobrazenı T −1.

Ukazme dale, ze zobrazenı T zachovava jak secıtanı dvou rovnic, tak i naso-benı rovnice cıslem.

Uvazujme dve rovnice

ai,1 · x1 + . . . + ai,n · xn = bi,

aj,1 · x1 + . . . + aj,n · xn = bj ,

a realne cıslo α �= 0. Potom podle definice v zobrazenı T odpovıda rovnici

ai,1 · x1 + . . . + ai,n · xn = bi (6.8)

vektor(ai,1, . . . , ai,n|bi) (6.9)

a rovniciaj,1 · x1 + . . . + aj,n · xn = bj (6.10)

odpovıda vektor(aj,1, . . . , aj,n | bj). (6.11)

Sectenım uvazovanych rovnic dostavame rovnici

(ai,1 + aj,1)x1 + · · · + (ai,n + aj,n)xn = bi + bj. (6.12)

Podle definice zobrazenı T odpovıda teto rovnici vektor

((ai,1 + aj,1), . . . , (ai,n + aj,n)|(bi + bj)). (6.13)

255


Je zrejme, ze v inverznım zobrazeni T −1 odpovıda vektoru (6.13) rovnice(6.12).

Dale rovnici

α · (ai,1 · x1 + . . . + ai,n · xn) = α · bi, α �= 0 (6.14)

odpovıda v zobrazenı T vektor

(α · ai,1, . . . , α · ai,n |α · bi). (6.15)

Je zrejme, ze v inverznım zobrazeni T −1 odpovıda vektoru (6.15) rovnice(6.14).

Predpokladejme, ze jsme k systemu linearnıch rovnic

Ax = b

v zobrazenı T priradili rozsırenou matici soustavy tohotosystemu rovnic

(A|b).

Potom ukonum H1, H2, H3, H4 s rovnicemi systemuAx = b, uvedenych ve vete 6.1, odpovıdajı elementarnıtransformace H1(i, α), H2(i, j), H3(i, j), H4(i, α, j, β) apli-kovane na matici (A|b).

Vetu 6.1 muzeme tedy preformulovat takto.

Veta 6.2.

Necht’ matice(A|b) (6.16)

je rozsırenou maticı soustavy linearnıch rovnic

Ax = b. (6.17)

Necht’ matice(C|d)

vznikla z matice (6.16) elementarnımi transformacemi. Po-tom system linearnıch rovnic

Cx = d

je ekvivalentnı k systemu rovnic (6.17).

256

Vhodnymi elementarnımi transformacemi lze z matice (A|b) dospet ke scho-dovite matici (C|d), ktera odpovıda systemu Cx = d, ekvivalentnımu k sys-temu linearnıch rovnic Ax = b. V kapitole 4 jsme uvedli postup prevodumatice na schodovity tvar uzitım elementarnıch transformacı.

Resenı systemu linearnıch rovnic Ax = b lze tımto zpusobem prevest naresenı systemu linearnıch rovnic se schodovitou maticı soustavy.

Postup resenı systemu linearnıch rovnic

Jak resit

system

Ax = b

Necht’ je dan system linearnıch rovnic

Ax = b (6.18)

o n neznamych x1, . . . , xn. Tento system linearnıch rovnicmuzeme resit v techto krocıch

1. K danem systemu rovnic priradıme matici rozsırenou(A|b).

2. Uzitım vhodnych elementarnıch transformacı

H1(i, α), α �= 0, H2(i, j), H3(i, j), H4(i, α, j, β), β �= 0

postupne aplikovanych na matici (A|b), vytvorımehornı schodovitou matici (F |g).

3. Vypustıme nulove radky matice (F |g). Takto vznikloumatici oznacme (C|d). Teto matici odpovıda systemrovnic

Cx = d. (6.19)

4. Necht’ system (6.19) ma tvar

c1,s1xs1

+ . . . + c1,s2xs2

+ . . . + c1,sh−1xsh−1

+ . . . + c1,nxn = d1

c2,s2xs2

+ . . . + c2,sh−1xsh−1

+ . . . + c2,nxn = d2

... (6.20)

ch−1,sh−1xsh−1

+ . . . + ch−1,nxn = dh−1

0 · xn = dh,

v nemz cısla c1,s1, c2,s2

, . . . , ch−1,sh−1, dh jsou ruzna od

0, nebo tvar

257


c1,s1xs1

+ . . . + c1,s2xs2

+ . . . + c1,shxsh

+ . . . + c1,nxn = b1

c2,s2xs2

+ . . . + c2,shxsh

+ . . . + c2,nxn = d2

... (6.21)

ch,shxsh

+ . . . + ch,nxn = dh

v nemz c1,s1, c2,s2

, . . . , ch,shjsou ruzna od 0.

System (6.20) nema resenı, nebot’ jeho poslednı rovniceje tvaru

0 · x1 + . . . + 0 · xn = konst, kde konst �= 0. (6.22)

Teto rovnici nevyhovuje zadny vektor x. System rov-nic (6.20) obsahuje rovnici tvaru (6.22), kdyz a jenomkdyz matice soustavy C a matice rozsırena (C |d) majıruzne hodnosti. Ponevadz jsme k systemu rovnic Cx =d dospeli elementarnımi transformacemi ze systemuAx = b, muzeme vyslovit tento prozatımnı zaver.Jestlize hodnost matice soustavy A je mensı nezhodnost matice rozsırene (A|b), nema systemrovnic Ax = b resenı.Matice soustavy systemu rovnic (6.21) je hornı scho-dovitou maticı. O jeho resenı pojedname pozdeji (str.260).

Trojuhelnıkova

matice

soustavy

Resenı systemu linearnıch rovnic s regularnı hornı trojuhelnıkovoumaticı soustavy

Resme system rovnicCx = d, (6.23)

kde C je hornı regularnı trojuhelnıkova matice radu n, d je n–rozmernysloupcovy vektor a x je n–rozmerny sloupcovy vektor neznamych. Rozepsa-nım tohoto systemu dostavame⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

c1,1 c1,2 . . . c1,n−1 c1,n

0 c2,2 . . . c2,n−1 c2,n

...... . . .

......

0 0 0 cn−1,n−1 cn−1,n

0 0 0 0 cn,n

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x1

x2

...

xn−1

xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

d1

d2

...

dn−1

dn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(6.24)

258

Zpetna

substituce

Ponevadz dle predpokladu je matice C regularnı, jsou jejı prvky na hlavnıdiagonale ruzne od nuly. Tento system rovnic lze resit metodou, zvanou me-toda zpetne substituce.

Z poslednı rovnice vypocıtame xn. Dostavame

xn = dn/cn,n. (6.25)

Dosadıme-li do predposlednı rovnice za xn vypocıtanou hodnotu (6.25), do-stavame

cn−1,n−1 · xn−1 + cn−1,n · dn/cn,n = dn−1. (6.26)

Odtudxn−1 = 1/cn−1,n−1 · (dn−1 − cn−1,n · dn/cn,n). (6.27)

Kdyz jsme jiz vypocıtali xn, xn−1, dosadıme tyto hodnoty do (n− 2)–te rov-nice a vypocıtame xn−2. Tımto zpusobem dale pokracujeme. Kdyz jsmejiz vypocıtali xn, xn−1, . . . , x2, dosadıme tyto hodnoty do prvnı rovnice avypocıtame zbyvajıcı hodnotu x1.

Prıklad 6.1. Naleznete resenı systemu linearnıch rovnic (jehoz matice sou-stavy je hornı trojuhelnıkova matice).

2x1 + 3x2 + x3 = 11x2 + 2x3 = 9

2x3 = 8.(6.28)

Z poslednı rovnice vypocıtame x3. Dostavame x3 = 4. Dosazenım teto hod-noty do druhe rovnice dostavame

x2 + 8 = 9.

Odtud dostavame x2 = 1. Dosad’me za x2, x3 tyto vypocıtane hodnoty doprvnı rovnice systemu. Dostavame

2x1 + 3 + 4 = 11.

Odtud dostavame x1 = 2.

Resenım zadaneho systemu rovnic (6.28) jsme tedy obdrzeli

x1 = 2, x2 = 1, x3 = 4.

Resenı systemu linearnıch rovnic s regularnı diagonalnı matici sou-stavy.

Resme system rovnicCx = d,

kde matice C je regularnı diagonalnı matice.

259


Rozepsanım lze tento system zapsat takto

c1,1x1 = d1

c2,2x2 = d2

...

cn−1,n−1xn−1 = dn−1

cn,nxn = dn.

(6.29)

Resenım tohoto systemu rovnic je zrejme vektor x = C−1d, to jest

xi = di/ci,i, i = 1, 2, . . . , n.

Prıklad 6.2. Naleznete resenı systemu rovnic s diagonalnı matici soustavy

2x1 = 6,3x2 = 1,

−2x3 = 5.

Resenı. Z prvnı rovnice vypocıtame x1. Dostavame x1 = 3. Z druhe rov-nice vypocıtame x2. Dostavame x2 = 1/3. Z tretı rovnice vypocıtame x3.Dostavame x3 = −5/2.

Resenı systemu linearnıch rovnic s hornı schodovitou maticı sou-stavy (6.30) typu (h, n), s hodnostı h ≤ n.

Tento system lze rozepsat takto

c1,s1xs1

+ . . . + c1,s2xs2

+ . . . + c1,shxsh

+ . . . + c1,nxn = d1

c2,s2xs2

+ . . . + c2,shxsh

+ . . . + c2,nxn = d2

......

... (6.30)

ch,shxsh

+ . . . + ch,nxn = dh.

V nem jsou prvky c1,s1, c2,s2

, . . . , ch,shruzne od nuly.

Pri jeho resenı postupujeme takto. Vsechny cleny tohoto systemu rovnic,ktere obsahujı nezname xj, kde j ∈ {{1, 2, . . . , n} −{s1, s2, . . . , sh}}, prevede-me na pravou stranu systemu rovnic. V dalsım je budeme povazovat za para-metry; je jich celkem d = n−h. Obdrzıme tak system h rovnic o h neznamychxs1

, xs2, . . . , xsh

s hornı regularnı trojuhelnıkovou maticı soustavy, jehoz pravastrana zavisı na d parametrech. Jeho resenım zpetnou substitucı dostaneme hslozek resenı zavislych na uvedenych d parametrech. (Zpusob resenı systemulinearnıch rovnic s trojuhelnıkovou maticı soustavy; byla nahore popsana.)Resenı daneho systemu rovnic je pak vektor x, jehoz slozky jsou zavedeneparametry v poctu d a vypocıtane slozky xs1

, xs2, . . . , xsh

.

260


x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 + 2x6 + 7x7 = 40

− 2x3 + x5 − x7 = −8

x6 − 3x7 = −15

(6.31)

o neznamych xi, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Resenı. Maticı soustavy je hornı schodovita matice

A =

⎛⎜⎜⎝1 2 1 4 1 2 7

0 0 −2 0 1 0 −1

0 0 0 0 0 1 −3

⎞⎟⎟⎠ .

Oznacme b vektor pravych stran a x vektor neznamych. Potom je

b =

⎛⎜⎜⎝40

−8

−15

⎞⎟⎟⎠ , x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Zadany system (6.31) rovnic lze pak zapsat v maticove notaci jako

A · x = b.

Matice soustavy i matice rozsırena majı stejnou hodnost h = 3. Ma tedysystem resenı.

Zadany system rovnic prepıseme tak, ze na pravou stranu prevedeme vsechnycleny rovnic obsahujıcı nezname x2, x4, x5, x7. Dostavame tak system rovnic

x1 + x3 + 2x6 = 40 − 2x2 − 4x4 − x5 − 7x7

− 2x3 = −8 − x5 + x7

x6 = −15 + 3x7

(6.32)

Dosadıme-li za nezname x2, x4, x5, x7 do (6.32) jakakoliv cısla, je pravou stra-nou takto vznikleho systemu konstantnı vektor a system prechazı na system3 rovnic o trech neznamych x1, x3, x6. Matice soustavy tohoto systemu je re-gularnı hornı trojuhelnıkova matice radu 3. Jeho vyresenım dostavame hod-noty neznamych x1, x3, x6, ktere spolu se zvolenymi hodnotami x2, x4, x5, x7

davajı resenı zadaneho systemu linearnıch rovnic.

261


Na nezname x2, x4, x5, x7 se budeme tedy dıvat jako na parametry. Kvulizvysenı prehlednosti zavedeme toto oznacenı parametru:

x2 = c1, x4 = c2, x5 = c3, x7 = c4. (6.33)

Dosazenım techto parametru do (6.32), dostavame

x1 + x3 + 2x6 = 40 − 2c1 − 4c2 − c3 − c4

− 2x3 = −8 − c3 + c4

x6 = −15 + 3c4

(6.34)

Z poslednı rovnice vypocıtame x6. Dostavame

x6 = −15 + 3c4.

Do druhe rovnice dosadıme vypocıtanou hodnotu x6 a vypocıtame x3. (Do-sazenı za x6 se neprojevı, nebot’ koeficient u x6 je v teto rovnici roven 0.)Dostavame

x3 = 4 + 1/2c3 − 1/2c4.

Dosadıme tyto vypocıtane hodnoty za x3, x6 do prvnı rovnice systemu (6.34)a vypocıtame x1. Dostavame

x1 = 66 − 2c1 + 4c2 + 1/2c3 − 25/2c4.

Vsechna resenı zadaneho systemu rovnic (6.32) lze zapsat takto

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

66 − 2c1 + 4c2 + 1/2c3 − 25/2c4

c1

4 + 1/2c3 − 1/2c4

c2

c3

−15 + 3c4

c4

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

kde c1, c2, c3, c4 ∈ R jsou parametry.

Toto resenı lze zapsat takto

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

66

0

4

0

0

−15

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠︸︷︷︸Partikularnı

resenı systemuAx = b

+ c1 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−2

1

0

0

0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+ c2 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

4

0

0

1

0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+ c3 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1/2

0

1/2

0

1

0

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+ c4 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−25/2

0

−1/2

0

0

3

1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠︸︷︷︸

Obecne resenı homogennıho systemu Ax = 0

.

262

Poznamka 1. Mnozinu vsech resenı systemu linearnıch rovnic A · x = b

nazyvame obecnym resenım. Lze ukazat, ze toto obecne resenı je souctemobecneho resenı prıslusneho homogennıho systemu rovnic A · x = 0 a parti-kularnıho, to jest libovolne zvoleneho jednoho resenı systemu rovnic A ·x =b, b �= 0.

Poznamka 2. V nasem prıpade obdrzene obecne resenı zavisı na 4 paramet-rech. Znamena to, ze kazdou volbou parametru dostavame resenı uvedenehosystemu linearnıch rovnic a naopak, kazde resenı daneho systemu rovnic do-staneme specialnı volbou parametru.

V tomto obecnem resenı je vektor

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

66

0

4

0

0

−15

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

jednım z resenı daneho systemu rovnic. Nazyvame je partikularnım resenım.Mnozina resenı

c1 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−2

1

0

0

0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+ c2 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

4

0

0

1

0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+ c3 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1/2

0

1/2

0

1

0

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+ c4 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−25/2

0

−1/2

0

0

3

1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

kde c1, c2, c3, c4 ∈ R jsou parametry, je obecnym resenım systemu A · x = 0,ktery se nazyva homogennım systemem rovnic, prıslusnym k danemu systemurovnic A · x = b.

Poznamka 3. Vyjadrenı obecneho resenı systemu rovnic nenı jednoznacne(kazde vyjadrenı ovsem obsahuje tataz resenı), da se vyjadrit v ruznych tva-rech.

Dosavadnı uvahy shrneme v nasledujıcı vete.

263


Veta 6.3. (Frobeniova veta.)

Necht’

Ax = b (6.35)

je system m linearnıch rovnic o n neznamych. Potom platı:Jestlize matice soustavy A ma mensı hodnost nez maticerozsırena (A|b), potom system rovnic (6.35) nema resenı.Jestlize matice soustavy A ma stejnou hodnost jako ma-tice rozsırena (A|b), potom system rovnic (6.35) ma resenı.Jestlize tato spolecna hodnost je rovna poctu neznamych n,potom ma prave jedno resenı. Jestlize tato spolecna hodnostje h < n, potom ma nekonecne mnoho resenı, zavislych nan − h parametrech.

Uved’me ukazky resenı nekolika uloh, v nichz matice soustavy nenı schodo-vita.

Prıklad 6.4. Reste system linearnıch rovnic

x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1,2x1 − x2 + x3 − x4 = 1,4x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = 3.

(6.36)

Resenı. K danemu systemu rovnic napıseme odpovıdajıcı rozsırenou maticisoustavy

(A|b) =

⎛⎝ 1 2 −3 1 12 −1 1 −1 14 3 −5 1 3

⎞⎠ . (6.37)

Tuto matici transformujeme elementarnımi transformacemi na hornı scho-dovitou matici. Prvnı radek nasobıme cıslem (−2) a pricteme ke druhemuradku. Dostaneme

(A|b) ∼

⎛⎝ 1 2 −3 1 10 −5 7 −3 −14 3 −5 1 3

⎞⎠ .

Prvnı radek nasobıme (−4) a pripocteme ke ctvrtemu radku. Dostaneme

(A|b) ∼

⎛⎝ 1 2 −3 1 10 −5 7 −3 −10 −5 7 −3 −1

⎞⎠ .

Druhy radek nasobıme cıslem (−1) a pripocteme ke tretımu radku. Dosta-neme hornı schodovitou matici

(A|b) ∼

⎛⎝ 1 2 −3 1 10 −5 7 −3 −10 0 0 0 0

⎞⎠ .

264

V teto matici vypustıme radek obsahujıcı same 0. Dostavame tak matici,oznacme ji (B|c), ktera odpovıda systemu (6.38) Bx = c, ktery je ekviva-lentnı s danym systemem rovnic (6.36).

x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1− 5x2 + 7x3 − 3x4 = −1

(6.38)

Cleny techto rovnic obsahujıcı nezname x3, x4 prevedeme na pravou stranusystemu. Budeme je povazovat za parametry. Zaroven polozıme

c1 = x3, c2 = x4.

Dostavamex1 + 2x2 = 1 + 3c1 − c2,

− 5x2 = −1 − 7c1 + 3c2.

Z poslednı rovnice vypocıtame x2. Dostaneme

x2 = 1/5 · (1 + 7c1 − 3c2).

Dosadıme tuto vypocıtanou hodnotu x2 do prvnı rovnice a vypocıtame z tak-to vznikle rovnice x1. Dostaneme

x1 = 1/5 · (3 + c1 + c2).

Obecnym resenım zadaneho systemu linearnıch rovnic (6.36) je tedy vektor

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝(1/5 · (3 + c1 + c2)

1/5 · (1 + 7c1 − 3c2)

c1

c2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , kde c1, c2 ∈ R.

Toto obecne resenı lze zapsat ve tvaru

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝3/5

1/5

0

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠+ c1 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1/5

7/5

1

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠+ c2 ·

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1/5

−3/5

0

1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , kde c1, c2 ∈ R.


x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 12x1 − x2 + x3 − x4 = 14x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = 4

(6.39)

Resenı. K danemu systemu rovnic napıseme odpovıdajıcı rozsırenou maticisoustavy.

(A|b) =

⎛⎝ 1 2 −3 +1 12 −1 1 −1 14 3 −5 1 4

⎞⎠ .

265


Tuto matici soustavy transformujme elementarnımi transformacemi na hornıschodovitou matici.

Prvnı radek nasobıme cıslem (−2) a pricteme ke druhemu radku. Dostaneme

(A|b) ∼

⎛⎝ 1 2 −3 1 10 −5 7 −3 −14 3 −5 1 4

⎞⎠ .

Prvnı radek nasobıme (−4) a pripocteme k tretımu radku. Dostaneme

(A|b) ∼

⎛⎝ 1 2 −3 1 10 −5 7 −3 −10 −5 7 −3 0

⎞⎠ .

Druhy radek nasobıme cıslem (−1) a pripocteme ke tretımu radku. Dosta-neme hornı schodovitou matici

(A|b) ∼

⎛⎝ 1 2 −3 1 10 −5 7 −3 −10 0 0 0 1

⎞⎠ .

Prvnı ctyri sloupce predstavujı matici, kterou jsme obdrzeli elementarnımitransformacemi matice soustavy daneho systemu rovnic. Tato matice mahodnost 2. Cela matice predstavuje matici, ktera vznikla elementarnımitransformacemi rozsırene matice soustavy daneho systemu rovnic. Ma hod-nost 3. To znamena, ze matice soustavy daneho systemu rovnic ma hodnost2 a matice rozsırena daneho systemu rovnic ma hodnost 3, tedy odlisnou odhodnosti matice soustavy. Dany system rovnic tedy nema resenı.

Neexistence resenı daneho systemu rovnic vyplyva i z teto uvahy. Tato vysled-na matice reprezentuje system linearnıch rovnic

x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1,− 5x2 + 7x3 − 3x4 = −1,

0 · x1 + 0 · x2 + 0 · x3 + 0 · x4 = 1.(6.40)

Vzhledem k poslednı rovnici je patrno, ze system nema resenı.

Gaussova eleminacnı metoda.

V nasledujıcım vykladu nejde o nic noveho. Jde o zavedenı nazvu pro metodu,o ktere jsme jiz obecneji pojednali. Specialnı prıpad uvadıme proto, ze ses tımto nazvem muzete setkat.

Necht’ A je regularnı ctvercova matice radu n, b je n–rozmerny sloupcovyvektor a x je neznamy n–rozmerny sloupcovy vektor. Uvazujme system nlinearnıch rovnic

Ax = b. (6.41)

Tento system rovnic (6.41) resme takto:

266

1. Matici (A|b) transformujeme elementarnımi transformacemi na matici

(T |c), (6.42)

kde T je hornı trojuhelnıkova matice. (Je to schodovita matice.)2. Resıme obdrzeny system rovnic Tx = c s hornı trojuhelnıkovou maticı

metodou zpetne substituce.

Tento zpusob vypoctu se nazyva Gaussova eleminacnı metoda. Tato me-toda ma mnoho variant, spocıvajıcıch jak ve vyberu hlavnıch radku (pritransformaci rozsırene matice soustavy na hornı schodovitou matici), taki pri provadenı jednotlivych kroku v elementarnıch transformacıch, jimiz sesystem rovnic (6.41) prevadı na system rovnic (6.42).

Prıklad 6.6. Gaussovou eliminacnı metodou reste system linearnıch rovnic

Ax = b,

kde

A =

⎛⎝ 1 −3 20 5 −2

−2 4 1

⎞⎠ , b =

⎛⎝ 149

⎞⎠ .

K systemu rovnic priradıme rozsırenou matici soustavy

(A|b) =

⎛⎝ 1 −3 2 10 5 −2 4

−2 4 1 9

⎞⎠ .

Tuto matici prevedeme elementarnımi transformacemi na matici

(B|c),

kde matice B je hornı trojuhelnıkova matice. Postupne dostavame

(A|b) =

⎛⎝ 1 −3 2 10 5 −2 4

−2 4 1 9

⎞⎠ ∼

⎛⎝ 1 −3 2 10 5 −2 40 −2 5 11

⎞⎠ ∼

∼

⎛⎝ 1 −3 2 10 5 −2 40 0 21 63

⎞⎠ .

Poslednı matici odpovıda system linearnıch rovnic

x1 −3x2 +2x3 = 1,5x2 −2x3 = 4,

21x3 = 63.

Tento system resıme metodou zpetne substituce. Z poslednı rovnice vypocı-tame x3. Dostavame x3 = 3. Dosadıme-li tuto hodnotu do druhe rovnicea vypocıtame x2, dostavame x2 = 2. Dosadıme-li nynı do prvnı rovnice

267


vypocıtane hodnoty x3, x2, dostavame z nı x1 = 1. Je tedy hledanym resenımvektor

x =

⎛⎝ 123

⎞⎠ .

Jordanova eliminacnı metoda.

V nasledujıcım vykladu pojedname o metode zalozene na specialne cılenouelementarnı tranformaci rozsırene matice soustavy. (Popis algoritmu je nastr. 270.)

Necht’ A je regularnı ctvercova matice radu n, b je n–rozmerny sloupcovyvektor a x je neznamy n–rozmerny sloupcovy vektor. Uvazujme systemlinearnıch rovnic

Ax = b. (6.43)

System rovnic (6.43) resme takto:

1. Matici (A|b) transformujeme elementarnımi trasformacemi na matici(C|d), kde C je regularnı diagonalnı matice radu n.

2. Resıme system rovnic s diagonalnı maticı

Cx = d. (6.44)

Tento zpusob vypoctu se nazyva Jordanova eleminacnı metoda. Tatometoda ma mnoho variant, spocıvajıcıch jak ve vyberu hlavnıch radku taki pri provadenı jednotlivych kroku v elementarnıch transformacıch, jimiz sesystem rovnic (6.41) prevadı na system rovnic (6.44).

Prıklad 6.7. Jordanovou eliminacnı metodou reste system linearnıch rovnic

Ax = b,

kde

A =

⎛⎝ 1 −3 20 5 −2

−2 4 1

⎞⎠ , b =

⎛⎝ 149

⎞⎠ .

K systemu rovnic priradıme rozsırenou matici soustavy

(A|b) =

⎛⎝ 1 −3 2 10 5 −2 4

−2 4 1 9

⎞⎠ .

Tuto matici prevedeme elementarnımi transformacemi na matici

(C|d),

268

kde matice C je diagonalnı matice, (to lze, jestlize matice A je regularnı).Postupne dostavame

(A|b) =

⎛⎝ 1 −3 2 10 5 −2 4

−2 4 1 9

⎞⎠ ∼

⎛⎝ 1 −3 2 10 5 −2 40 −2 5 11

⎞⎠ ∼

∼

⎛⎝ 1 −3 2 10 5 −2 40 0 21 63

⎞⎠ ∼

⎛⎝ 5 0 4 170 5 −2 40 0 21 63

⎞⎠ ∼

⎛⎝ 105 0 0 1050 105 0 2100 0 21 63

⎞⎠ .

Poslednı matici odpovıda system rovnic

105x1 = 105,105x2 = 210,

21x3 = 63.

Jeho resenım dostavame hledany vektor

x =

⎛⎝ 123

⎞⎠ .

Jordanova metoda na resenı maticove rovnice AX = B

Uvazujme system rovnicA X = B, (6.45)

kde A je dana regularnı matice radu n, B je dana matice typu (n,m) a X

je neznama matice typu (n,m).

Kazdy sloupec X(:, j), j = 1, . . . ,m, matice X je resenım systemu rovnic

AX(:, j) = B(:, j), j = 1, . . . ,m. (6.46)

Mame tedy resit m systemu rovnic (6.46) se stejnou maticı soustavy A. Tytosystemy muzeme resit najednou. K systemu rovnic (6.45) prirad’me maticirozsırenou

F = (A |B). (6.47)

Uzitım elementarnıch transformacı prevedeme matici F na tvar

F = (D |C), (6.48)

kde D je diagonalnı matice. Polozme

G := D−1 F .

Matice G ma tedy tvarG = (E |R).

269


Tato matice odpovıda systemu rovnic

E X = R, (6.49)

ktery je ekvivalentnı se systemem (6.45). Ponevadz E .X = X, dostavameze systemu (6.49)

X = R, (6.50)

takze matice R je resenım systemu (6.45).

Vypocet inverznı matice k regularnı matici radu n

V podkapitole 5.4 jsme ukazali, ze v prıpade, ze matice A je regularnı, potominverznı matici, oznacme ji X, nalezneme resenım systemu rovnic

A X = E.

Jde tedy o resenı systemu, ktery je specialnım prıpadem systemu rovnic(6.45).

Prevod matice F elementarnımi transformacemi na matici G.

Algoritmus. Predpokladejme, ze promenne F je prirazena matice (A |B)a promenne n je prirazen rad matice A a promenne m je prirazen pocetsloupcu matice B.

Zacatek

B1 Zacneme s upravou prvnıho sloupce matice F . Polozıme

j := 1.


fp,j �= 0.

(Takove p existuje vzhledem k regularnosti matice A.) Touto volbouzvolıme p-ty radek matice F jako hlavnı pro nasledne eliminace. Jestlizep = j, je j-ty radek hlavnı a jdeme k B3. Jestlize p �= j, vymenımenavzajem p−ty a j−ty radek matice F a jdeme k B3.

B3 Pro i = 1, . . . , n, i �= j, provedeme tyto ukonyb1 Polozme i := 1, jdeme k b2.b2 Jestlize i = j jdeme k b4, jinak k b3.b3 Je-li fi,j = 0, jdeme k b4, jinak polozıme

F = H4(j,−fi,j/fj,j, i, 1)F .

(Po teto transformacı bude fi,j = 0.) Jdeme k b4.b4 polozme i := i + 1. Je-li i ≤ n jdeme k bodu b2, jinak jdeme k

bodu B4.

270

B4 Polozme j := j + 1. Jestlize j ≤ n, jdeme k B2. Jinak jdeme k boduB5.

B5 Puvodnı matice F se transformovala na matici

F = (D |C) kde matice D je diagonalnı.

Potom hledana matice G je

G := D−1 F = (E|R).

Prıklad 6.8. Naleznete inverznı matici k matici

A =

⎛⎝ 1 2 4−2 1 2

4 3 5

⎞⎠ . (6.51)

Resenı. Oznacme X matici inverznı k matici A. Predpokladame-li, ze ma-tice A je regularnı, je hledana matice X resenım systemu linearnıch rovnic

AX = E.

Teto rovnici odpovıda matice F = (A|E), to jest matice

F =

⎛⎝ 1 2 4 1 0 0−2 1 2 0 1 0

4 3 5 0 0 1

⎞⎠ . (6.52)

Na matici F budeme postupne aplikovat elementarnı tranasformace podlenahore popsaneho algoritmu.

Polozme j := 1. Zacneme s upravami prvnıho sloupce matice F .

Za hlavnı radek zvolıme radek 1.(Prvek f1,1 �= 0.) Elementarnımi transfor-macemi typu H4 dosahneme toho, aby ve vznikle matici byly prvky f2,1, f3,1

rovny nule. Provedenım transformace F := H4(1,−f2,1/f1,1, 2, 1)F , to jesttransformacı F := H4(1, 2, 2, 1)F dostavame

F =

⎛⎝ 1 2 4 1 0 00 5 10 2 1 04 3 5 0 0 1

⎞⎠ .

Provedenım transformace F := H4(1,−f3,1/f1,1, 3, 1)F to jest provedenımtransformace F := H4(1,−4, 3, 1)F dostavame

F :=

⎛⎝ 1 2 4 1 0 00 5 10 2 1 00 −5 −11 −4 0 1

⎞⎠ .

Polozme j := 2. Zacneme s upravami druheho sloupce matice F .

271


Za hlavnı radek zvolıme radek 2.(Prvek f2,2 �= 0.) Elementarnımi transfor-macemi typu H4 dosahneme toho, aby ve vznikle matici byly prvky f1,2, f3,2

rovny nule. Provedenım transformace F := H4(2,−f1,2/f2,2, 1, 1)F , to jestprovedenım transformace F := H4(2,−2/5, 1, 1)F dostavame

F :=

⎛⎝ 1 0 0 1/5 −2/5 00 5 10 2 1 00 −5 −11 −4 0 1

⎞⎠Provedenım transformace F := H4(2,−f3,2/f2,2, 3, 1)F , to jest provedenımtransformace F := H4(2, 5/5, 3, 1)F , dostavame⎛⎝ 1 0 0 1/5 −2/5 0

0 5 10 2 1 00 0 −1 −2 1 1

⎞⎠

Polozme j := 3. Zacneme s upravami tretıho sloupce matice F .

Za hlavnı radek zvolıme radek 3.(Prvek f3,3 �= 0.) Ponevadz f1,3 = 0, pro-vedeme jenom takovou elementarnı transformaci typu H4, aby ve vzniklematici byl prvek f2,3 roven nule.

Provedenım transformace F := H4(3,−f2,3/f3,3, 2, 1)F , to jest transformacıF := H4(3, 10, 2, 1)F dostavame

F :=

⎛⎝ 1 0 0 1/5 −2/5 00 5 0 −18 11 100 0 −1 −2 1 1

⎞⎠ .

Oznacme obdrzenou matici F jako

F = (D |C).

Je tedy

D =

⎛⎝ 1 0 00 5 00 0 −1

⎞⎠ .

K nı inverznı maticı je matice

D−1 =

⎛⎝ 1 0 00 1/5 00 0 −1

⎞⎠ .

PolozmeG := D−1 F .

Dostavame

G =

⎛⎝ 1 0 0 1/5 −2/5 00 1 0 −18

5115

20 0 1 2 −1 −1

⎞⎠ .

272

Matici G lze zapsat jakoG = (E |R).

Teto maticı odpovıda system rovnic

E X = R

ekvivalentnı s danym systemem rovnic AX = E. Je tedy hledanou inverznımaticı matice

X = R =

⎛⎜⎜⎝1/5 −2/5 0

−185

115

2

2 −1 −1

⎞⎟⎟⎠ .

Studovat

informativne6.2 Metody resenı systemu linearnıch rovnic uzitım roz-kladu matice soustavy, qr–rozklad

Zabyvejme se opet resenım systemu m linearnıch rovnic o n neznamych

Ax = b, (6.53)

kde A je matice soustavy typu (m,n), b je vektor pravych stran typu (m, 1) a x je vektorneznamych typu (n, 1). Predpokladejme, ze matice A se da napsat jako soucin dvou maticU , V , to jest, ze A = U · V . Potom vysetrovany system rovnic se da napsat ve tvaru

(UV )x = b, (6.54)

nebo po upraveU (V x) = b.

Zaved’me si pomocny vektor u vztahem

u = V x.

Z (6.54) vyplyva, ze pro nej platı vztah

Uu = b. (6.55)

Jestlize u je resenım tohoto systemu, potom hledany vektor x je resenım systemu rovnic

V x = u. (6.56)

Resenı systemu rovnic (6.53) je tak prevedeno na resenı dvou systemu rovnic (6.55), (6.56).Tento zpusob je vhodny jen v tom prıpade, ze oba systemy rovnic (6.55), (6.56) lze snadnoresit, resp. ze tento rozklad ma nejake dalsı vyhody. Je znama cela rada uzitecnych rozkladumatic.

Zavedeme si nynı pojem ortogonalnı matice a ukazeme si nektere jejı vlastnosti. Dale siuvedeme tak zvany qr–rozklad matice A, v nemz jednou maticı je matice ortogonalnı.

Definice 6.1. Ctvercovou matici Q radu n nazyvame ortogonalnı, jestlize

QT Q = E. (6.57)

Poznamka 1. Z definice inverznı matice a ze vztahu (6.57) vyplyva, ze matice QT jeinverznı k matici Q.

273


Poznamka 2. Necht’ U , V jsou ortogonalnı matice tehoz radu. Potom i U · V je orto-gonalnı matice. Skutecne,

(U · V )T · (U · V ) = (V T · UT ) · (U · V ) = V T · E · V = V T · V = E.

Odvozenı qr–rozkladu matice. Ukazme si nynı podstatu qr–rozkladu matice A. Uva-zujme matici A typu (m,n), m ≥ n. Necht’ i, j jsou takove indexy, ze 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤n, i < j. Oznacme nynı i,jQ ctvercovou matici radu m, ktera se od jednotkove matice lisıjen v prvcıch qii, qij , qji, qjj , ktere jsou definovany vztahy

qi,i = cos(ϕ), qj,j = cos(ϕ), qi,j = sin(ϕ), qj,i = − sin(ϕ)

Je tedy

i,jQ(ϕ) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 . . . 0..

.i-

tysl

oupec

0 0 . . . 0

...

j-ty

slou

pec

0 0 . . . 0...

. . ....

...... · · ·

......

... · · ·...

0 · · · 1 0 0 . . . 0 0 0 · · · 00 . . . 0 cos(ϕ) 0 · · · 0 sin(ϕ) 0 . . . 0 · · · i-ty radek0 . . . 0 0 1 · · · 0 0 0 . . . 0... · · ·

......

.... . .

......

... · · ·...

0 · · · 0 0 0 · · · 1 0 0 . . . 00 . . . 0 − sin(ϕ) 0 · · · 0 cos(ϕ) 0 . . . 0 · · · j-ty radek0 . . . 0 0 0 · · · 0 0 1 . . . 0... · · ·

......

... · · ·...

......

. . ....

0 . . . 0 0 0 · · · 0 0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. (6.58)

Vypoctem zjistıme, ze i,jQT · i,jQ = E, takze matice i,jQ je ortogonalnı. Jednotkovamatice E radu m je jejım zvlastnım prıpadem pro ϕ = 0.

Uvazujme nynı m–rozmerny sloupcovy vektor c. Necht’ cj �= 0. Oznacme d = i,jQc. Potom

di = cos(ϕ)ci + sin(ϕ)cj , (6.59)

dj = − sin(ϕ)ci + cos(ϕ)cj , (6.60)

dk = ck, k = 1, 2, . . . ,m, k �= i, k �= j. (6.61)

Urceme nynı uhel ϕ tak, aby dj = 0. Resme proto system rovnic

− sin(ϕ)ci + cos(ϕ)cj = 0, sin2(ϕ) + cos2(ϕ) = 1.

Uhel ϕ nepotrebujeme znat explicitne, stacı znat sin(ϕ), cos(ϕ). Vypoctem dostavame

cos(ϕ) =ci

α, sin(ϕ) =

cj

α, kde α =

√c2i + c2

j .

Je-li cj = 0, polozme i,jQ := E. Oznacme d = i,jQ · c. Potom dj = cj pro vsechnaj = 1, 2, . . . ,m. Zejmena dj = 0. Je tedy v obou prıpadech j–ta slozka vektoru i,jQ · c

rovna nule. Vektor i,jQ · c se lisı od vektoru c nejvyse v i–te a v j–te slozce.

Uvazujme nynı matici A typu (m,n). Pro kazde dva indexy, i = 1, 2, . . . , n, j = i+1, . . . ,mdefinujme matici i,jQ(ϕ), takto:Je-li aj,i = 0, polozme i,jQ(ϕ) = E.Je-li aj,i �= 0, polozme i,jQ(ϕ) rovno matici urcene vztahem (6.58), kde

cos(ϕ) =ai,i

α, sin(ϕ) =

aj,i

α, α =

√a2

i,i + a2j,i.

274

Potom v matici A := i,jQ(ϕ)A bude aj,i = 0. V matici A se zmenily pouze prvky v jejımi–tem a v j–tem radku.

Polozme nynıA := 1,2Q · A.

V prvnım sloupci nove vznikle matice A je a21 = 0. Polozme nynı

A := 1,3Q · A.

V prvnım sloupci nove vznikle matice A je a3,1 = 0 a prvek a2,1 se nezmenı, to jest jea2,1 = 0. Polozme nynı

A := 1,4Q · A.

V prvnım sloupci nove vznikle matice A je a4,1 = 0 a prvky a2,1, a3,1 se nezmenı, to jestje a2,1 = 0, a3,1 = 0.

Tımto zpusobem dale pokracujeme, az polozıme

A := 1,mQ · A.

V takto vznikle matice A jsou vsechny prvky v prvnım sloupci, pocınaje druhym prvkem,rovny 0. Prvek a1,1 �= 0 v prıpade, ze prvnı sloupec puvodnı matice A byl nenulovy. (Vizpoznamka 3.)

Matici A dale analogicky postupne nasobme maticemi

2,3Q, . . . , 2,mQ, . . . , n,n+1Q, . . . , n,mQ. (6.62)

Vznikne tak matice (T

O

)kde T je hornı trojuhelnıkova matice typu (n, n) a O je nulova matice typu (m − n, n).Polozme

QT = 1,2Q · 1,3Q · . . . · 1,mQ · 2,3Q · . . . · 2,mQ · . . . · n,n+1Q · . . . n,mQ.

Potom matici A lze psat ve tvaru

A = Q

(T

O

).

Ponevadz soucin dvou ortogonalnıch matic je opet matice ortogonalnı, je matice Q orto-gonalnı, takze lze na zaklade nahore uvedeneho vypoctoveho postupu vyslovit nasledujıcıvetu.

Veta 6.4. Necht’ A je matice typu (m,n), kde m ≥ n. Potom existuje takova ortogonalnımatice Q radu m, ze

A = Q

(T

O

), (6.63)

kde T je hornı trojuhelnıkova matice radu n a O je nulova matice typu (m−n, n). Budemerıkat, ze (6.63) je qr–rozkladem matice A.

Poznamka 3. Nektere prvky na diagonale matice T mohou byt nulove. Jestlize matice A

je typu (m,n), kde m > n a hodnost matice A je rovna n, potom matice T je regularnı.

Ukazeme pouzitı qr–rozkladu matice A ve dvou prıpadech.

Uloha. Uzitım qr–rozkladu matice A popiste postup pri resenı nasledujıcıho systemu mlinearnıch rovnic o n neznamych.

Ax = b, (6.64)

kde A je matice typu (m,n), b je m–rozmerny sloupcovy vektor a x je neznamy n–rozmerny vektor.

275


Postup vypoctu. Aplikujeme-li na matici A vetu 6.4 o qr–rozkladu, lze system rovnic(6.64) zapsat ve tvaru

Q

(T

O

)· x = b, (6.65)

kde T je hornı trojuhelnıkova matice radu n. Nasobıme-li rovnici (6.65) maticı QT zleva,dostavame s ohledem na vztah QT Q = E system rovnic(

T

O

)· x = QT b, (6.66)

Polozıme-li b = QT b, lze system (6.66) zapsat takto(T

O

)· x = b. (6.67)

coz je system linearnıch rovnic ekvivalentnı se zadanym systemem rovnic. (Nasobenı maticıQT zleva predstavuje provedenı elementarnı transformace.) U vznikleho systemu rovniclze lehce stanovit, zda ma resenı nebo ne.

Je-li napr. matice A regularnı ctvercova matice radu n, je system (6.66) tvaru

T · x = QT b (6.68)

s regularnı hornı trojuhelnıkovou maticı T , jehoz resenı (zpetnou substitucı) jsme jiz drıvepopsali.

Jako prıklad si uved’me nasledujıcı ulohu, v nız predpokladame, ze rozklad matice A jsmezıskali na pocıtaci.


Ax = b, (6.69)

kde

A =

⎛⎝ 4 1 22 5 12 3 6

⎞⎠ , b =

⎛⎝ 121526

⎞⎠ . (6.70)

Resenı. Na pocıtaci jsme zıskali qr–rozklad matice A. Dostali jsme A = QT , kde

Q =

⎛⎝ −0,8164965809 0,5449492609 −0,1906925178−0,4082482904 −0,7784989441 −0,4767312946−0,4082482904 −0,3113995776 0,8581163303

⎞⎠ ,

T =

⎛⎝ −4,8989794855 −4,0824829046 −4,49073119510,0000000000 −4,2817441928 −1,55699788830,0000000000 0,0000000000 4,2905816516

⎞⎠ .

Polozıme-li v (6.69) A = QR a vynasobıme-li takto vzniklou rovnici maticı QT zleva,dostavame system rovnic

T x = c, (6.71)

kde c = QT b. Vypoctem dostavame⎛⎝ −4,8989794855 −4,0824829046 −4,49073119510,0000000000 −4,2817441928 −1,55699788830,0000000000 0, 4,2905816516

⎞⎠ ·

⎛⎝ x1

x2

x3

⎞⎠ =

=

⎛⎝ −26,5361388801510928−13,2344820507458874

12,8717449548154974

⎞⎠ . (6.72)

276

Jeho resenım obdrzıme x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

6.3 Resenı systemu linearnıch rovnic metodou nejmen-sıch ctvercu

Aproxinace funkce. Casto se setkavame s potrebou nalezenı, resp. verifi-kacı, vzajemnych vztahu mezi ruznymi velicinami. Je tomu jak v ekonomii,tak i v rade jinych disciplın. Ke konkretnım studiım jsou k tomu vyuzıvanavetsinou realna data. Pri tom se setkavame s dulezitym pojmem modelu.Model je zjednodusenym zobrazenım skutecnosti. Objektivnı realitu, kte-rou zobrazujeme, nazyvame predmetem modelovanı. Modelem byvajı zachy-ceny vetsinou jenom urcite vlastnosti. Je tomu tak bud’ proto, ze jine vlast-nosti nejsou predmetem zkoumanı, anebo ze je nezname. V modelu musı bytzobrazeny vsechny vlastnosti jevu dulezite z hlediska ucelu modelu.

V teto casti vykladu se budeme zabyvat modelovanım nejake zavislosti.Predpokladejme, ze tato zavislost je tvaru

y = f(x), pro x ∈ 〈a, b〉, (6.73)

kde funkci f(x) sice nezname, ale nejakym rozumnym zpusobem jsme zjistilipriblizne nekolik, rekneme m bodu, teto funkce

[xi, yi], i = 1, 2, . . . , m.

Budeme predpokladat, ze hodnoty xi jsou presne a yi jsou priblizne hodnotyteto funkce v bodech xi. Predpoklada se, ze chyba f(xi)−yi, i = 1, . . . , n, manejake predpokladane pravdepodobnostnı rozlozenı1. Zde si ukazeme jednumetodu, jak lze neznamou funkci f(x) aproximovat (priblizne nahradit) za

jistych predpokladu funkcı, oznacme ji f(x), ze trıdy F funkcı ve tvaru

g(x, p1, . . . , pn) = p1 · ϕ1(x) + p2 · ϕ2(x) + . . . + pn · ϕn(x), (6.74)

kde ϕ1(x), . . . , ϕn(x) jsou zname funkce a p1, . . . , pn jsou nezname parame-try.

Samozrejme je nutno proverit, zda pouzitı aproximace hledanezavislosti funkcı ze zvolene trıdy F je v resene uloze opravneno.K tomu slouzı aparat statistiky.

Budeme se tedy snazit urcit takove parametry p1, . . . , pn, aby pro funkcig(xi, p1, p2, ..., pn) ∈ F s temito parametry platilo (alespon priblizne)

g(xi, p1, p2, ..., pn) = yi, i = 1, 2, . . . , n. (6.75)

Vztah (6.75) predstavuje m rovnic o n neznamych. Tento vztah lze prepsatna tvar

ϕ1(x1)p1 + ϕ2(x1)p2 + · · · + ϕn(x1) = y1

ϕ1(x2)p1 + ϕ2(x2)p2 + · · · + ϕn(x2) = y2...

......

ϕ1(xm)p1 + ϕ2(xm)p2 + · · · + ϕn(xm) = ym

(6.76)

1Tento pojem Vam bude zaveden ve statistice.

277


Oznacme A matici

A =

⎛⎜⎜⎜⎝ϕ1(x1) ϕ2(x1) · · · ϕn(x1)ϕ1(x2) ϕ2(x2) · · · ϕn(x2)

......

ϕ1(xm) ϕ2(xm) · · · ϕn(xm)

⎞⎟⎟⎟⎠ . (6.77)

Dale oznacme y vektor pravych stran (to jest y-ovych souradnic danychbodu) a p vektor parametru (ktere chceme urcit). Tedy

y =

⎛⎜⎜⎜⎝y1

y2...

ym,

⎞⎟⎟⎟⎠ , p =

⎛⎜⎜⎜⎝p1

p2...

pn

⎞⎟⎟⎟⎠ . (6.78)

System rovnic (6.76) lze v maticove notaci zapsat takto

A · p = y. (6.79)

Matice A zavisı na volbe trıdy F. Je typu (m,n). V praktickych ulohach byvam > n. To znamena, ze podmınek pro parametry je vıce nez je pocet para-metru. Z predchazejıcıho vykladu je znamo, ze tento system ma resenı, kdyza jenom kdyz matice soustavy A a matice rozsırena (A|y) majı stejnou hod-nost. Kdyby tento system mel resenı, to jest, kdyby existoval vektor, oznacmejej p, ktery by vyhovoval systemu rovnic (6.79), prochazela by funkce

y = p1 · ϕ1(x) + . . . + pn · ϕn(x)

(z prostoru F) uvazovanymi body [xi, yi]. (O takto vytvorene funkci se rıka, zedane body interpoluje.) Tuto funkci bychom mohli povazovat za aproximacihledane funkce. Avsak vetsinou v praktickych ulohach nema system rovnic(6.79) pro m > n resenı. V tomto prıpade je na mıste hledat takovou funkciz prostoru funkcı F, ktera sice danymi body neprochazı, ale je od nich

”malo“

vzdalena. Slovo”malo“ je nutno precizovat. Na obr. 6.1 je znazornen graf

jedne zvolene funkce

y = g(x, p1, p2, ..., pn)

z prostoru F a dva zadane body, oznacene [xi, yi], [xj, yj ]. Pozadavek, zetato funkce je pro nejake parametry

”malo“ vzdalena od techto bodu [xi, yi],

[xj , yj ] budeme chapat tak, ze absolutnı hodnoty cısel

ri = g(xi, p1, p2, ..., pn) − yi, rj = g(xj , p1, p2, ..., pn) − yj

jsou male.

Velicinu rk pro nejake k lze chapat tak, ze jejı absolutnı hodnota |rk| jevzdalenost bodu [xk, yk] od funkce g ve smeru osy y. Je-li tento bod podgrafem funkce, je rk < 0, je-li tento bod nad grafem funkce, je rk > 0.

278

Na obr. 6.1 je patrny vyznam cısel ri, rj . K posouzenı blızkosti vsech bodu[xi, yi], i = 1, 2, . . . , m, k funkci g pro nejake parametry p pouzijeme napr.hodnotu

S(p1, . . . , pn) =

m∑i=1

(g(xi, p1, p2, ..., pn) − yi )2, (6.80)

to jest hodnotu

S(p1, . . . , pn) =

m∑i=1

r2i . (6.81)

Prava strana rovnice (6.81) je kvadrat euklidovske normy vektoru r, to jest||r||22. Mısto teto normy bychom mohli pouzıt jinou vektorovou normu.

O x

y

ri

rj

yi yj

xi xj

g(x, p1, . . . , pn)

Obrazek 6.1: Vyklad k metode nejmensıch ctvercu.

Poznamenejme, ze kdybychom ve vzorci (6.80) pouzili mısto

r2i = (g(xi, p1, p2, ..., pn) − yi )

2

pouze ri = (g(xi, p1, p2, ..., pn) − yi ), mohl by byt soucet reziduı ri maly,dokonce i nulovy, i kdyz by absolutnı hodnoty cısel ri byly velke. Nekterez techto hodnot mohou byt totiz kladne a jine zaporne.

K aproximaci funkce f pouzijeme tu funkci g(x, p1, . . . , pn) z trıdy funkcı F,jejız parametry p1, . . . , pn minimalizujı S(p1, . . . , pn), dane vztahem (6.80).

Nasi ulohu muzeme preformulovat takto. Zaved’me si vektor r

r =

⎛⎜⎜⎜⎝r1

r2...rn

⎞⎟⎟⎟⎠ (6.82)

vztahem (6.82) v zavislosti na vektoru p. Nazyvame jej vektorem reziduı.Mısto resenı systemu (6.79) hledejme takovy vektor p, pro nejz je nekteranorma vektoru r

A · p − y = r (6.83)

279


minimalnı.

Zde se zmınıme pouze o hledanı p, pro nejz je euklidovska norma vektoru r

minimalnı, tedy o takovem vektoru p, pro nez je

S = r21 + r2

2 + . . . + r2n (6.84)

minimalnı. Takto urceny vektor p muzeme nazvat zobecnenym resenımsystemu linearnıch rovnic (6.79), to jest systemu Ap = y. Budeme rıkat,ze vektor p je resenım systemu (6.79) metodou nejmensıch ctvercu.

6.3.1 Resenı systemu Ap = y metodou nejmensıch ctvercu – uzitımsystemu normalnıch rovnic

Vztah (6.84) upravme. Zrejme

rT · r = r21 + r2

2 + . . . + r2n.

Dosadıme-li sem za r vztah (6.83), to jest r = A · p − y, dostavame

rT · r = (A · p − y)T · (A · p − y).

Upravou dostavame

rT · r = pT ATAp − 2pTAT y + yT y.

Hledame tedy p, pro nejz je

pT ATAp − 2pTATy + yT y (6.85)

minimalnı. Ponevadz yTy je konstanta, lze ji ve vztahu (6.85) pro hledanıminima vynechat. Hledame tedy p pro nejz je

S(p) = pT ATAp − 2pTATy (6.86)

minimalnı.

Uved’me bez dukazu vetu uvadejıcı jeden zpusob nalezenı p, ktery minima-lizuje funkci S(p).

280

Veta 6.5.

Necht’ A je matice typu (m, n), kde m > n, hodnosti n.Necht’ y je znamy vektor delky m a p je neznamy vektordelky n. Polozme

r = A · p − y. (6.87)

Potom existuje prave jeden vektor x, pro nejz je rT · r

minimalnı. Tento vektor x je resenım systemu linearnıchrovnic, zvaneho systemem normalnıch rovnic, (jeho maticesoustavy ATA je regularnı)

ATA · p = AT · y. (6.88)

Poznamka. Regularnost matice ATA se da odvoditz predpokladu, uvedenych ve vete, ze A je typu (m, n),m > n a ze hodnost matice A je rovna n. Resenı (6.88)lze pak vyjadrit ve tvaru

p = (ATA)−1ATy.

Prakticky vypocet podle tohoto vztahu je vsak nevhodny pro rozsahlejsıproblemy. Jak jiz bylo receno, vypocet inverznı matice je sam o sobe velicenarocny. Krome toho se ukazuje, ze resenı problemu nalezenı resenı systemulinearnıch rovnic Ap = y metodou nejmensıch ctvercu uzitım normalnıhosystemu linearnıch rovnic byva nestabilnı. Existujı jine metody na resenı,ktere vychazejı prımo ze systemu rovnic Ap = y. Je to napr. metoda zalozenana qr–rozkladu matice A. V nekterych aplikacıch nenı splnena podmınka, zehodnost matice A je rovna n. V takovemto prıpade ma uloha vıcero resenı.Tımto prıpadem se zde nebudeme zabyvat.

Prıklad 6.10. Metodou nejmensıch ctvercu naleznete polynom prvnıhostupne, to jest polynom ve tvaru

y = p1x + p2,

pro body zadane v nasledujıcı tabulce. V jejım prvnım sloupci jsou uvedenyx–ove souradnice a ve druhem sloupci jsou uvedeny jejich y–ove souradnice.

281


xi yi

1,0 3,24212,0 3,74713,0 4,08604,0 5,69015,0 6,36116,0 7,09727,0 7,90128,0 8,29629,0 9,4278

10,0 10,3011

Resenı. Ponevadz se ma aproximovat neznama funkce f polynomem prvnı-ho stupne, hledame aproximaci nezname funkce f funkcı f(x) ze trıdy funkcıF tvaru p1ϕ1(x) + p2ϕ2(x), kde ϕ1(x) = x, ϕ2(x) = 1 a p1, p2 ∈ R jsouparametry, to jest tvaru p1x + p2.

Podmınkou pro to, aby funkce p1x + p2 prochazela zadanymi body [xi, yi], jesplnenı systemu rovnic

p1xi + p2 = yi, kde i = 1, . . . , 10.

Oznacme A matici soustavy tohoto systemu rovnic, p vektor neznamychparametru a y vektor y–ovych souradnic zadanych bodu. Potom tento systemrovnic lze zapsat ve tvaru

Ap = y, (6.89)

kde

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 12 13 14 15 16 17 18 19 110 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, p =

(p1

p2

), y =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

3,24213,74714,08605,69016,36117,09727,90128,29629,4278

10,3011

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. (6.90)

Hodnost matice A soustavy tohoto systemu rovnic je rovna 2 a hodnostmatice rozsırene (A|y) je rovna 3. Tento system rovnic nema tedy resenı.Mısto neho budeme hledat takove parametry p, pro nez (Ap−y)T (Ap−y)nabyva sveho minima. Jak vyplyva z vety 6.5, je hledany vektor p resenımnormalnıho systemu linearnıch rovnic

ATAp = ATy.

OznacmeB = ATA, z = ATy.

282

Vypoctem dostavame

B =

(385,0 55,055,0 10,0

), z =

(429,685066,1507

).

Vektor p je tedy resenım systemu dvou rovnic o dvou neznamych

Bp = z.

Resenım dostavame

p =

(0,79832,2247

).

Hledanym polynomem je tedy funkce

f(x) = 0,7983x + 2,2247.

Na obr. 6.2 jsou hvezdickami znazorneny zadane body [xi, yi], i = 1, . . . , 10a plnou carou graf nalezeneho polynomu prvnıho stupne, to jest odhad ne-zname funkce.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 103

4

5

6

7

8

9

10

11

Obrazek 6.2: Metoda nejmensıch ctvercu, prıklad

Studovat

informativne6.3.2 qr–metoda na resenı systemu linearnıch rovnic metodou nej-mensıch ctvercu

Necht’ A je matice typu (m,n), kde m > n, a necht’ jejı hodnost je h = n. Necht’ b je vektortypu (m, 1) a x je neznamy vektor. Metodou nejmensıch ctvercu resme system linearnıchrovnic

Ax = b. (6.91)

Zaved’me si vektor reziduı r vztahem

Ax − b = r. (6.92)

283


Hledejme vektor x pro nejz je ||r||2 v (6.92) minimalnı, to znamena, pro nez je

r21 + r2

2 + . . . + r2m (6.93)

minimalnı.

Rovnici 6.92 pouzitım rokladu matice A podle vety (6.4) lze prepsat na tvar

Q

(T

O

)x − b = r. (6.94)

Vynasobenım teto rovnice zleva maticı QT dostavame

QT Q

(T

O

)x − QT b = QT r. (6.95)

Oznacmeb = QT b, r = QT r. (6.96)

Ponevadz QT Q = E, lze (6.95) prepsat s ohledem na (6.96) na rovnici(T

O

)x − b = r. (6.97)

Ponevadz matice Q je ortogonalnı matice radu m, platı pro m–rozmerny sloupcovy vektorr vztah

||r||2 = ||r||2. (6.98)

Skutecne,

||r||2 = ||QT r||2 =

√(QT r,QT r) =

√(QT r)T (QT r) =

=

√(rT Q) (QT r) =

√rT (QQT )r =

√rT r = ||r||2.

Ponevadz matice Q je regularnı a platı (6.98), kazdy vektor x, ktery v (6.92) minimalizuje||r||2, minimalizuje v (6.97) ||r||2 a naopak, kazdy vektor x, ktery v (6.97) minimalizuje||r||2, minimalizuje ||r||2 v (6.98).

Hledejme tedy takovy vektor x, ktery minimalizuje ||r||2. Rovnici (6.97) lze rozepsat takto

t1 1x1 + t1 2x2 + . . . + t1 nxn − b1 = r1,

t2 2x2 + . . . + t2 nxn − b2 = r2,...

tn nxn − bn = rn,

− bn+1 = rn+1,...

− bm = rm.

(6.99)

Z tohoto systemu je patrno, ze hodnoty rn+1, . . . , rm nelze zmenit. Soucet

r21 + . . . + r2

n + r2n+1 + . . . + r2

m

bude minimalnı, jestlize v (6.99) polozıme

r1 = 0, . . . , rn = 0.

Dostavamet1 1x1 + t1 2x2 + . . . + t1 nxn − b1 = 0,

t2 2x2 + . . . + t2 nxn − b2 = 0,...

tn nxn − bn = 0.

(6.100)

284

Je to system s regularnı hornı trojuhelnıkovou maticı. Lze jej resit drıve popsanou metodouzpetne substituce.

Poznamka. Kdyby hodnost matice A byla mensı nez n, trojuhelnıkova matice T bynebyla regularnı, takze system (6.100) by mel vıce resenı. Norma vektoru reziduı by bylapro vsechna resenı stejna.

Jako prıklad budeme resit stejnou ulohu, jako jsme jiz resili pomocı systemu normalnıchrovnic.

Prıklad 6.11. Metodou nejmensıch ctvercu naleznete polynom prvnıho stupne, to jestpolynom ve tvaru

y = p1x + p2,

pro body zadane v nasledujıcı tabulce. V jejım prvnım sloupci jsou uvedeny x–ove sou-radnice a ve druhem sloupci jsou uvedeny jejich y–ove souradnice.

xi yi

1,0 3,24212,0 3,74713,0 4,08604,0 5,69015,0 6,36116,0 7,09727,0 7,90128,0 8,29629,0 9,4278

10,0 10,3011

Resenı. Ponevadz se ma aproximovat neznama funkce f polynomem prvnıho stupne,hledame aproximaci nezname funkce f funkcı f(x) ze trıdy funkcı F tvaru p1ϕ1(x) +p2ϕ2(x), kde ϕ1(x) = x, ϕ2(x) = 1 a p1, p2 ∈ R jsou parametry, to jest funkcı tvarup1x + p2.

Podmınkou pro to, aby funkce p1x + p2 prochazela zadanymi body [xi, yi], je splnenısystemu rovnic

p1xi + p2 = yi, kde i = 1, . . . , 10.

Oznacme A matici soustavy tohoto systemu rovnic, p vektor neznamych parametru a y

vektor y–ovych souradnic zadanych bodu. Potom tento system rovnic lze zapsat ve tvaru

Ap = y, (6.101)

kde

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 12 13 14 15 16 17 18 19 110 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, p =

(p1

p2

), y =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

3,24213,74714,08605,69016,36117,09727,90128,29629,4278

10,3011

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. (6.102)

Hodnost matice soustavy tohoto systemu rovnic je rovna 2, tedy poctu neznamych koefi-cientu a hodnost matice rozsırene (A|y) je rovna 3. Tento system rovnic nema tedy resenıv klasickem slova smyslu. Budeme jej resit metodou nejmensıch ctvercu.

Zaved’me si vektor reziduı r vztahem

Ap − y = r. (6.103)

285


Hledejme vektor p pro nejz je ||r||2 v (6.103) minimalnı, to znamena, pro nejz je

r21 + r2

2 + . . . + r2m (6.104)

minimalnı. Rovnici (6.103) pouzitım rokladu matice A podle vety 6.4 lze prepsat na tvar

Q

(T

O

)p − y = r. (6.105)

Vynasobıme tuto rovnice zleva maticı QT . Oznacme

r = QT r. (6.106)

Vypoctem na pocıtaci dostavame⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−19,6214 −2,80310 −1,46390 00 00 00 00 00 00 00 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(p1

p2

)−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−21,8987−3,2563−0,5449

0,24190,09560,01440,0011

−0,4212−0,1069−0,0509

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

r1

r2

r3

r4

r5

r6

r7

r8

r9

r10

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(6.107)

V tomto systemu rovnic urcıme

ri, i = 1, 2, . . . , 10

tak, aby soucet jejich kvadratu byl minimalnı. Hodnoty ri, i = 3, 4, . . . , 10 nemuzemenijak ovlivnit, jejich hodnoty jsou jednoznacne urceny rovnicemi 3—10 systemu rovnic(6.107). Muzeme vsak zvolit r1 = 0, r2 = 0. Pri teto volbe bude ||r||2 minimalnı. Prvnıdve rovnice tohoto systemu jsou pak(

−19,6214 −2,80310 −1,4639

)(p1

p2

)−(

−21,8987−3,2563

)=

(00

).

Resenım pak dostanemep1 = 0,7983, p2 = 2,2244.

Hledanym polynomem je tedy funkce

f (x) = 0,7983x + 2,2247.

Vidıme, ze vysledky obdrzene obema metodami se od sebe lisı velice malo.

Vyzaduje se

orientacnı

znalost

6.4 Vlastnı cısla matice

Pri resenı rady uloh linearnı algebry se pracuje s pojmem vlastnıho cıslaa s pojmem vlastnıho vektoru ctvercove matice. I kdyz majı tyto pojmyzakladnı vyznam v linearnı algebre, my se zde s nım nebudeme zabyvat dohloubky. Cılem tohoto odstavce je pouze seznamit se s nimi tak, abychom jemohli pouzıt v souvislosti s normou matice.

Uvazujme ctvercovou matici A radu n. Necht’ Mn je mnozina vsech sloup-covych vektoru typu (n, 1). Jestlize ke kazdemu x ∈ Mn priradıme vektor

y = A · x ∈ Mn,

286

je toto prirazenı zobrazenım mnoziny Mn do sebe. Zabyvejme se otazkou, zdaexistuje takove λ a k nemu nenulovy vektor x ∈ Mn, ze

A · x = λ · x. (6.108)

Cıslo λ vyhovujıcı teto podmınce se nazyva vlastnım cıslem matice A a vektorx, pro nejz platı

A · x = λx,

vlastnım vektorem, prıslusnym k vlastnımu cıslu λ.

Uved’me si tento prıklad.

Necht’

A =

(1 22 4

), a =

(12

).

Potom

Aa =

(1 22 4

)(12

)=

(510

).

Je tedyAa = 5a.

Cıslo λ = 5 je tedy vlastnım cıslem matice A a vektor a =

(12

)je vlastnım

vektorem matice A prıslusnym k vlastnımu cıslu λ = 5.

Uved’me si vetu pro urcenı vlastnıch cısel a vlastnıch vektoru matice.

Veta 6.6.

Necht’ A je ctvercova matice radu n. Potom rovnice

det(A − λ · E) = 0, (6.109)

v nız λ je obecne komplexnı promenna, se nazyva charakte-ristickou rovnicı matice A.Cıslo λ je vlastnım cıslem matice A, kdyz a jenom kdyz jekorenem charakteristicke rovnice matice A. Kazdy vektor x

vyhovujıcı systemu linearnıch rovnic

(A − λ · E) · x = 0

je pak vlastnım vektorem, prıslusnym k vlatnımu cıslu λ.

Dukaz: Necht’ A je ctvercova matice radu n. Rovnici (6.108) lze prepsat natvar

(A − λ · E) · x = 0. (6.110)

Jde o system n linearnıch rovnic o n neznamych a jednom parametru λ.Ponevadz vektor na prave strane tohoto systemu rovnic je nulovy, ma tento

287


system nenulove resenı jenom tehdy, je-li determinant soustavy roven 0, tojest, je-li det(A − λ · E) = 0. To znamena, ze podmınkou existence nenu-loveho resenı x systemu (6.110) je, ze cıslo λ je korenem charakteristickerovnice (6.109), neboli, ze je vlastnım cıslem matice A. Ke kazdemu charak-teristickemu cıslu jsou odpovıdajıcı vlastnı vektory resenım systemu rovnic(6.110) s hodnotou λ rovnou tomuto vlastnımu cıslu.

Prıklad 6.12. Naleznete vlastnı cısla a vlastnı vektory matice

A =

⎛⎝ 1 2 31 2 31 5 6

⎞⎠ .

Resenı. Napisme charakteristickou rovnici

det(A − λ · E) = 0.

Dosasazenım za A a E dostavame

det

⎛⎝ 1 − λ 2 31 2 − λ 31 5 6 − λ

⎞⎠ = 0.

Po vycıslenı dostavame9λ2 − λ3 = 0.

Tato charakteristicka rovnice ma koreny

0, 0, 9.

Tedy ma dvojnasobne vlastnı cıslo 0 a jednoduche vlastnı cıslo 9.

Hledejme nynı vlastnı vektory.

a) Pro vlastnı cıslo λ = 0 dostavame ze vztahu (6.110) system linearnıchrovnic

x1 + 2x2 +3x3 = 0,x1 + 2x2 +3x3 = 0,x1 + 5x2 +6x3 = 0.

(6.111)

Jeho resenım dostavame mnozinu vsech vlastnıch vektoru matice A

prıslusnych k vlastnımu cıslu λ = 0. Jsou to vektory

c1 ·

⎛⎝ −1−1

1

⎞⎠zavisle na jednom parametrru c1.

b) Pro vlastnı cıslo λ = 9 dostavame ze vztahu (6.110) system linearnıchrovnic

−8x1 + 2x2 +3x3 = 0,x1 − 7x2 +3x3 = 0,x1 + 5x2 −3x3 = 0.

(6.112)

288

Jeho resenım dostavame mnozinu vsech vlastnıch vektoru prıslusnychk vlastnımu cıslu λ = 9. Jsou to vektory

c2 ·

⎛⎝ 112

⎞⎠zavisle na pametru c2.

Spektrum matice

Mnozinu vsech vlastnıch cısel matice A budeme nazyvatspektrem matice a znacit σ(A). Zavedeme si jeste pojemspektralnıho polomeru �(A) ctvercove matice A jako

�(A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)}.

Poznamka. Urcenı spektra matice A je pro matice vyssıch radu velice na-rocne. Pro vypocet vlastnıch cısel matic jsou vyvinuty metody, ktere nejsouzalozeny na resenı charakteristickeho polynomu. Spektrum hraje vyznamnouroli v rade aplikacnıch uloh. Napr. pomocı spektralnıho polomeru se stanovınutne a postacujıcı podmınky konvergence dale popsane iteracnı metody naresenı systemu linearnıch rovnic. Na zaklade teto vety se podarı pak stanovitpostacujıcı podmımky konvergence, jejichz splnenı se da snadno overit.

Pri vysetrovanı iteracnıch metod na resenı systemu linearnıch rovnic budemepotrebovat jeste pojem normy matice.

6.5 Normy matic

Oznacme M (m,n) mnozinu vsech matic typu (m,n), kde m,n ∈ N. Tatomnozina spolecne s drıve zavedenou operacı

”+“ secıtanı dvou matic a s ope-

racı”·“ nasobenı matice cıslem, tvorı linearnı prostor. Budeme jej znacit

M(m,n). Je tedy definicı 4.14 normy v linearnım prostoru zavedena tez normamatic na prostoru M(m,n).

Uved’me si jeste jednou pojem normy specialne pro matice.

Definice 6.2. (Norma matice)

Necht’ M(m,n) je linearnı prostor matic typu (m, n). Jestlizeke kazde matici A ∈ M(m,n) priradıme takove nezapornecıslo, oznacme je ||A||, ze pro A, B ∈ M(m,n), λ ∈ R platı

||A|| = 0 ⇒ A = 0, (6.113)

||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| , (6.114)

289


||λ · A|| = |λ| · ||A|| pro libovolne cıslo λ, (6.115)

potom ||A|| nazyvame normou matice A v prostoru M(m,n).

V dalsım si uved’me nekolik casto pouzıvanych maticovych norem.

Veta 6.7. (Specialnı normy matic)

Ke kazde matici A ∈ M(n,n) prirad’me cısla ‖A‖1, ‖A‖2,‖A‖3, ‖A‖F takto

‖A‖1 = maxk

∑i

|aik|, (6.116)

‖A‖2 =

√�(ATA), (6.117)

‖A‖F =

√√√√ n∑i=1

n∑k=1

|aik|2, (6.118)

‖A‖3 = maxi

∑k

|aik|. (6.119)

Potom ‖A‖1, ‖A‖2, ‖A‖3, ‖A‖F jsou maticove normy naMn,n. Majı tyto specialnı nazvy:‖A‖1 se nazyva oktaedrickou normou,‖A‖2 se nazyva euklidovskou normou,‖A‖3 se nazyva max-normou,‖A‖F se nazyva Frobeniovou normou.

Jestlize x ∈ Vn, potom platı tyto vztahy:

‖Ax‖1 ≤ ‖A‖1‖x‖1, (6.120)

‖Ax‖2 ≤ ‖A‖2‖x‖2, (6.121)

‖Ax‖2 ≤ ‖A‖F‖x‖2, (6.122)

‖Ax‖3 ≤ ‖A‖3‖x‖3. (6.123)

(6.124)

Mezi normami ‖ · ‖2, ‖ · ‖F platı vztah

‖A‖2 ≤ ‖A‖F . (6.125)

Dukaz: Provedeme jenom castecny dukaz.

290

1. Dokazme, ze ‖ · ‖1 splnuje pozadavky (6.113)–(6.115).

a) Dokazme, ze ‖ · ‖1 splnuje (6.113). Necht’ A ∈ Mn je takova matice,ze ‖A‖1 = 0. To znamena, ze max

k(∑i

|aik|) = 0. To je mozno jenom tehdy,

jsou-li vsechna cısla aik = 0, to jest, je-li A = 0. Platı tedy (6.113).

b) Dokazme, ze ‖ · ‖1 splnuje (6.114). Necht’ A,B ∈ Mn. Potom platı‖A + B‖ = max

k(∑i

|aik + bik|) ≤ maxk

(∑i

(|aik| + |bik|) ≤ maxk

(∑i

|aik|) +

maxk

(∑i

|bik|) = ‖A‖1 + ‖B‖1. Platı tedy (6.114).

c) Dokazme, ze ‖ · ‖1 splnuje (6.115). Necht’ A ∈ Mn a necht’ λ je realnecıslo. Potom platı ‖λA‖1 = max

k(∑i

(|λaik|) ≤ |λ|maxk

(∑i

|aik|) = |λ|‖A‖1.

2. Necht’ x ∈ Vn, A ∈ Mn. Dokazme, ze ‖Ax‖1 ≤ ‖A‖1‖x‖1. Platı‖Ax‖1 = max

k(∑i

|aikxi|) ≤ maxk

(∑i

|aik| · maxi

|xi| = ‖A‖1 · ‖x‖1.

Prıklad 6.13. Necht’ A je matice

A =

⎛⎝ 2 1 31 3 23 2 1

⎞⎠ .

Abychom urcili ||A||1, vypocıtejme soucet absolutnıch hodnot prvku maticev jednotlivych jejich sloupcıch. Dostavame postupne tato cısla

6, 6, 6.

Nejvetsı z nich je cıslo 6, takze

||A||1 = 6.

Podobne, abychom vypocıtali ||A||3, vypocıtame soucty absolutnıch hodnotprvku v jednotlivych radcıch. Dostavame postupne cısla

6, 6, 6

Nejvetsım z nich je cıslo 6, takze

||A||3 = 6.

Abychom urcili ||A||2, vypocıtame matici

B = AT A =

⎛⎝ 14 11 1111 14 1111 11 14

⎞⎠ .

Charakteristicka rovnice teto matice

det(B − λE) = 0

ma koreny (jak se muzete vypoctem presvedcit) rovny cıslum

36, 3, 3.

Nejvetsım z nich je cıslo 36. Je tedy

||A||2 =√

36 = 6.

291


Prostudovat

informativne6.6 Iteracnı metody resenı systemu linearnıch rovnic

Predpokladejme, ze A je regularnı ctvercova matice radu n a b je vektor typu (n, 1). Zauvedenych predpokladu ma system

Ax = b (6.126)

rovnic prave jedno resenı, oznacme je x∗.

Uved’me si podstatu iteracnıch metod k jeho pribliznemu urcenı. Necht’

x = Bx + c (6.127)

je system linearnıch rovnic ekvivalentnı se systemem (6.126). Poznamenejme,ze vytvorenı ekvivalentnıho systemu uvedeneho tvaru nenı jednoznacne.Zvolme libovolny sloupcovy vektor 1x ∈ Vn jako pocatecnı aproximaci vek-toru x∗ a vytvorme posloupnost vektoru

k+1x = Bkx + c, pro k = 0, 1, 2, . . . (6.128)

Ukazeme, ze za jistych predpokladu o matici B tato posloupnost vektorukonverguje po slozkach k vektoru x∗.

Drıve nez prikrocıme k vyslovenı podmınek, za nichz tato posloupnost konverguje k resenızadaneho systemu rovnic, uved’me si tento prıklad.


Ax = b, (6.129)

kde

A =

⎛⎝ 4 1 22 5 12 3 6

⎞⎠ , b =

⎛⎝ 121526

⎞⎠ . (6.130)

Lehce se presvedcıme dosazenım, ze vektor

x∗ =

⎛⎝ 123

⎞⎠ (6.131)

je jeho resenım. K zadanemu systemu rovnic vytvorme system rovnic k nemu ekvivalentnıa to tak, ze z prvnı rovnice vypocıtame x1, z druhe rovnice vypocıtame x2 a ze tretı rovnicevypocıtame x3. Dostaneme tak system rovnic

x = Bx + c, (6.132)

kde

B = −

⎛⎝ 0 1/4 1/22/5 0 1/51/3 1/2 0

⎞⎠ , c =

⎛⎝ 33

13/3

⎞⎠ . (6.133)

Zvolme vychozı vektor

0x =

⎛⎝ 000

⎞⎠

292

a utvorme posloupnost vektoru kx podle rovnice

k+1x = B kx + c, pro k = 0, 1, 2, . . . .

Vypoctem dostavame posloupnost vektoru kx pro k = 0, 1, 2, . . .. Uved’me tyto z nich

9x =

⎛⎝ 1,1165685192,0979185193,120979115

⎞⎠ , 10x =

⎛⎝ 0,91503081281,9291767702,912184568

⎞⎠ , (6.134)

19x =

⎛⎝ 1,0047657532,0039829293,004930063

⎞⎠ , 20x =

⎛⎝ 0,99653923641,9971076862,996419951

⎞⎠ . (6.135)

Tento vypocet byl proveden na pocıtaci. Samotny vypocet se da velice snadno naprogra-movat. V iteracnıch metodach jsou vsak tyto problemy:

1. Zjistit konvergenci iteracnıho procesu.2. Kolik clenu posloupnosti je nutno spocıtat, abychom obdrzeli vysledek s potrebnou

presnostı.Uved’me si nasledujıcı vetu, ktera uvadı podmınky pro konvergenci iteracnı metody aodhad odchylky vektoru kx z iteracnıho vypoctu a presneho resenı.

Veta 6.8.

Necht’ je dana soustava linearnıch rovnic

x = Bx + c, (6.136)

kde B je ctvercova matice radu n a c je sloupcovy vektor z prostoru Vn. Oznacme(B) spektralnı polomer matice B a necht’

(B) < 1. (6.137)

Necht’ 0x je libovolny sloupcovy vektor z prostoru Vn. Polozme

k+1x = Bkx + c pro k = 0, 1, 2, . . . (6.138)

Potom posloupnost vektoru {kx} konverguje a jejı limitou je presne resenı systemu(6.136), oznacme je x∗.Postacujıcı podmınkou pro splnenı (6.137) je, aby nektere z cısel

||B||1, ||B||3, ||B||F bylo mensı nez 1.

V nasledujıcıch odhadech znacı || · ||m zvolenou maticovou normu z norem

|| · ||1, || · ||2, || · ||3, || · ||F

splnujıcıch podmınku ||B||m < 1 a || · ||v znacı tu vektorovou normu, ktera vzhledemke zvolene maticove norme || · ||m splnuje podmınku

||A · x||v ≤ ||A||m · ||x||v .

Platı tyto odhady

||x∗ − kx||v ≤ ||B||km||0x||v + ||B||km · (1 − ||B||m)−1 · ||c||v (6.139)

||x∗ − kx||v ≤ ||B||m(1 − ||B||m)−1||kx − k−1x||v . (6.140)

Dukaz: Bez dukazu.

Vrat’me se k resenı nahore uvedeneho prıkladu iteracnı metodou. Ponevadz ||B||1 = 5

6< 1,

je podmınka (6.137) splnena. Tedy posloupnost vektoru {kx}∞k=0 konverguje k presnemu

293


resenı daneho systemu rovnic. Proved’me odhad napr. vektoru 10x, 20x od presneho resenıx∗. (Jak vıme, presnym resenım systemu je vektor x = (1, 2, 3)T .) K odhadu pouzijemeoba vzorce vzorce (6.139), (6.140). K vypoctu potrebujeme znat tyto hodnoty.

||B||1 =5

6, ||0x||1 = 0, ||c||1 =

13

3,

||10x −9 x||1 = 0,2087945473, ||20x −19 x||1 = 0,008510111636.

Dosazenım do vzorcu (6.139), (6.140) dostavame nasledujıcı odhady pro aproximaci||kx − x∗||1

k podle (6.139) podle (6.140)10 4,199145155 0,678185385920 1,043972736 0,042550558

Vidıme, ze tyto odhady jsou znacne hrube. K dosazenı vetsı presnosti by bylo zapotrebıprovest vetsı pocet iteracı.

Proved’te si tyto odhady pro jine normy a vysledky porovnejte.


Vysvetlit pojem ekvivalentnosti dvou systemu linearnıch rovnic.Prevod systemu linearnıch rovnic na system rovnic s hornı schodovitoumaticı.Veta Frobeniova o resitelnosti systemu linearnıch rovnic a o jedno-znacnosti resenı.Resenı systemu linearnıch rovnic prevodem na system s hornı schodo-vitou maticı.Metoda Gaussova a metoda Jordanova. Prakticke resenı.Normy matic, zamerte se na normy || · ||1, || · ||F , || · ||3.Popis metody nejmensıch ctvercu na resenı systemu rovnic. Systemnormalnıch rovnic.Orientacne se seznamit s iteracnımi metodami na resenı systemu line-arnıch rovnic.V textu je pojednano o metode resenı systemu linearnıch rovnic zaloze-ne na qr-rozkladu matice soustavy. Tato metoda je vysoce stabilnı. Jejıstrucny vyklad v tomto textu je jen pro orientaci. Je soucastı lepsıchprogramovych systemu. Jejı znalost se pri zkousce nevyzaduje.

Ulohy

1. Gaussovou a Jordanovou metodou reste system linearnıch rovnicA · x = b, kde

A =

⎛⎜⎜⎝1,0 2,0 5,0 −3,03,0 0,0 2,0 −22 1 3 55 9 3 −1

⎞⎟⎟⎠ , b =

⎛⎜⎜⎝813328

⎞⎟⎟⎠ .

294

[x =

⎛⎜⎜⎝1234

⎞⎟⎟⎠.]

2. Napiste resenı systemu linearnıch rovnic A · x = b, kde

A =

⎛⎝ 1 3 −2 00 −2 3 12 4 −1 1

⎞⎠ , b =

⎛⎝ 14−10

18

⎞⎠ , kde c1, c2 ∈ R.

[x =

⎛⎜⎜⎝−1 − 5/2c1 − 3/2c2

5 + 3/2c1 + 1/2c2

c1

c2

⎞⎟⎟⎠.]

3. Naleznete vlastnı cısla matice A a k nim odpovıdajıcı vlastnı vektory,je-li

A =

(1 22 3

).

[Vlastnı cıslo 2 +√

5, k nemu prıslusı vlastnı vektor c1 ·(

1

1/2 + 1/2 ·√

5

),

vlastnı cıslo 2−√

5, k nemu prıslusı vlastnı vektor c2 ·(

1

−1/2 − 1/2 ·√

5

),

c1, c2 jsou parametry.]

295


296

Rejstrık

Rejstrık

,A,

absolutnı hodnotakomplexnıho cısla, 52realneho cısla, 39

aproximacecısel, 43operacı, 44

aritmeticky vektorovy prostorprostor Vn, 156

axiomy, 21

,B,

baze vektoroveho prostoru, 184

,C,

Cramerovo pravidlo, 243

,C,

cıselna soustavairacionalnı cıslo, 43racionalnı cıslo, 42

cıslacela, 34iracionalnı, 36komplexnı

Gaussova rovina, 52pravidla, 52zavedenı, 51

prirozena, 34racionalnı, 34

vlastnosti, 35realna, 36

rozsırenı, 49vlastnosti, 36

,D,

determinantdefinice, 211elementarnı transformace, 225matice transponovana, 223rozvoj podle radku, 221rozvoj podle sloupce, 224Sarusovo pravidlo, 214trojuhelnıkova matice., 229vymena dvou radku, 220

,E,

elementarnı transformace, 166

,F,

Frobeniova veta, 264funkce

arccos x, 121arccotg x, 121arcsin x, 120arctg x, 121cos x, 116cotg x, 116loga x, 110sin x, 116n

√x, 102

tg x, 116ax, 110cyklometricke, 120inverznı, 99

spojitost, 101

licha, 75monotonnı, 73perioda, 113pojem, 69prosta, 73racionalnı lomena, 96slozena, 98

spojitost, 99spojitost, 75

na intervalu, 81spojitost zleva, 77spojitost zprava, 77suda, 75

,G,

graf, 70

,H,

hodnostmatice, 165matice schodovite, 166skupiny vektoru, 165

,Ch,

chybaabsolutnı, 43relativnı, 43

,I,infimum, 48interval, 50inverznı matice

prımy vypocet, 246

,J,

jednotka imaginarnı, 51

,K,

korenvıcenasobny, 85

,L,

linearnı prostordefinice, 154prostor M

m,n, 155

,M,

maticectvercova, 139diagonala, 139diagonalnı, 139hodnost, 165inverznı

prımy vypocet, 246inverznı definice, 145jednotkova, 139nasobenı cıslem, 132norma

typy , 289nulova, 139pravidla pocıtanı, 140regularnı, 242relace, 129rad, 139schodovita, 140secıtanı matic, 131soucin matic, 134

spektrum, 289transponovana, 137trojuhelnıkova, 140typ, 126vlastnı cısla , 287vlastnı vektory, 287zamenitelne, 136

maximum, 47metoda nejmensıch ctvercu

qr–metoda, 283normalnı rovnice, 281

metricky prostor, 198minimum, 47mnozina, 14

linearne usporadana, 21nadmnozina

vlasnı nadmnozina, 15ohranicena, 46podmnozina

vlastnı podmnozina, 15prazdna, 14prvek mnoziny, 14rovnost dvou mnozin, 15

mocninyexponent

racionalnı, 105realny, 107

vlastnosti, 109

,N,

normamatice, 289

typy norem, 290vektoru, 194

euklidovska, 194max–norma, 195oktaedricka, 194

,O,

okolı bodu, 51operace racionalnı, 34ortogonalnı matice, 273osa cıselna, 35

,P,

podprostor vektorovy, 162polynom

koren, 83korenovy cinitel, 83rozklad, 87

prostor metricky, 198

,Q,

qr–rozklad matice, 274, 275

,R,

realna cıslarozsırenı, 49

operace, 49rovnice linearnı, 141rovnice linearnı

resenı, 144matice rozsırena, 143matice soustavy, 143vektor pravych stran, 143

,S,

Sarusovo pravidlo, 214

skalarnı soucin vektoru, 192, 193spektralnı polomer, 289submatice, 137supremum, 48system rovnic

linearnıchdiagonalnı matice soustavy, 259

matice soustavy schodovita, 260obecne resenı, 263rozklad matice soustavy, 273resitelnost, 264trojuhelnıkova matice soustavy

zpetna substituce, 259systemy rovnic

Cramerovo pravidlo, 243ekvivalentnı systemy, 253, 256ekvivalentnı systemy

pravidla prevodu, 254Gaussova metoda, 267iteracnı metody

konvergence, 293Jordanova metoda, 268metoda nejmensıch ctvercu, 277

zavedenı pojmu , 277postup resenı

ekvivalentnı systemy, 257qr–metoda, 275trojuhelnıkova matic soustavy., 258

,T,

transformace H4(i, α, j, β), 170transformace H2(i, j), 169transformace eH3(i, j), 170transformace H1(i, α), 169transformace H3(i, j) , 170transformace elementarnı, 166

,U,

uhelmıra, 113, 114orientovany, 115

,V,

vektorradkovy, 127linearnı kombinace , 163volny vektor

secıtanı, 157linearnı nezavislost, 164linearnı zavislost, 164sloupcovy, 127vektor volny, 157volny vektor

nasobenı cıslem, 157vektorovy prostor

vektor, 155definice, 154

vetaFrobeniova, 264fundamentalnı, 84

vyrok, 16vzdalenost v prostoru, 199znamenı funkce, 82

Rejstrık

Literatura

Literatura

[1] Jan Coufal, Jindrich Klufa, Milos Kanka, Jirı Henzler:Ucebnice matematiky pro ekonomicke fakulty . ISBN 80-7187-1484

[2] Prof. RNDr. Miloslav Fiedler, DrSc: Specialnı matice a jejichpouzitı v numericke matematice. SNTL – Nakladatelstvı technicke litera-tury, Praha 1981

[3] Frantisek Sik: Linearnı algebra zamerena na numerickou analyzu. Vy-dala MU Brno, 1998, ISBN 80–210–1966

[4] RNDr. Jirı Kopacek, CSc: Matematika pro fyziky II . (skriptum), UKPraha

[5] Josef Polak: Prehled stredoskolske matematiky . ISBN 80-85849-78-X

Masarykova univerzita

Ekonomicko-správní fakulta

Centrum distančního a celoživotního vzdělávání

Matematika A

Distanční studijní opora

Doc. RNDr. Miloslav Mikulík, CSc.

RNDr. Luboš Bauer, CSc.

Vydala Masarykova univerzita roku 2004

Technický redaktor: Martin Vlasák

Metodická spolupráce: Mgr. Jiří Špalek Ph.D.

1. vydání, 2004 náklad 1000 výtisků

AA – 15,00 VA – 15,15 302 stran

Tisk: T.D.V., Vídeňská 80, 639 00 Brno

Pořadové číslo 3997/ESF-32/04-17/99

ISBN 80-210-3494-7

Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou

v redakci vydavatele.

Date post:	19-Jun-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Matematika A - muny.czecon.muny.cz/data/PMMATI/KMMATI_dso.pdf · 2007-04-06 · Tento projekt byl...

Documents