38
Doctrina - Podještědské gymnázium, s.r.o. Oddíl E – učební osnovy VII.1.A MATEMATIKA
Doctrina - Podještědské gymnázium, s.r.o.
Oddíl E – učební osnovy VII.1.A
MATEMATIKA
VII.1.A – Matematika
1
Charakteristika předmětu: MATEMATIKA v nižším stupni osmiletého studia Obsah předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu matematika pro nižší stupeň víceletého gymnázia vychází z oboru Matematika a její aplikace Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. V matematice je realizováno PT Osobnostní a sociální výchova, která prolíná všemi předměty na nižším stupni gymnázia. Časové vymezení předmětu
vyučovací hodina cvičení prima 4 X sekunda 4 X tercie 4 X kvarta 4 X
Organizace výuky Výuka probíhá většinou frontálně, ale s aktivním zapojením studentů jak při odvozování nových poznatků, tak při upevňování učiva. Podle přání vyučujícího se většinou zařazuje do rozvrhu jedna hodina matematiky týdně rozdělená, kdy se výuka uskutečňuje vždy jen s polovinou studentů, a tato hodina je věnována buď procvičování učiva zábavnou formou, využití skupinového a problémového vyučování nebo výuce v počítačové učebně. Výchovné a vzdělávací strategie Matematickým vzděláním v průběhu nižšího stupně gymnaziálního vzdělání významně přispíváme k utváření a rozvoji klíčových kompetencí žáků. Matematika názorně demonstruje přechod od konkrétního k abstraktnímu, vyžaduje tvůrčí přístup a různorodé metody práce, podporuje samostatnost i nutnost spolupráce při řešení problémů. Při hledání řešení musí umět student vyjádřit své myšlenky a obhájit své postupy, přijmout a pochopit i jiný myšlenkový postup, který vede ke stejnému cíli. Výuka matematiky je doplňována účastí všech studentů primy, sekundy a tercie ve školním kole Pythagoriády, odkud nejlepší postupují do okresního kola. Všichni studenti nižšího gymnázia se také účastní mezinárodní matematické soutěže Matematický klokan v příslušných kategoriích. Podporujeme účast studentů v matematické olympiádě a korespondenčních soutěžích. Snažíme se tak vypěstovat u všech studentů trvalý zájem o matematiku a podchytit a rozvíjet matematický talent u nadaných studentů.
VII.1.A – Matematika
2
Získané matematické poznatky a dovednosti žáci uplatní nejen při řešení matematických úloh a v běžné praxi, ale také v ostatních přírodovědných oborech (např. fyzika, chemie, zeměpis). Naším cílem je, aby každý student dosáhl v matematické gramotnosti takové úrovně, aby splnil požadavky přijímacího řízení na vyšší stupeň víceletého gymnázia nebo jinou střední školu. Kompetence k učení
• umožňujeme studentovi vyzkoušet různé metody a formy činností: práce ve dvojicích nebo ve skupinách, soutěže v rámci třídy, práce s textem – důraz na pochopení matematického textu nebo naopak schopnost matematizace reálné situace, využívání konzultací, rozbor testů,
• podporujeme zapojování do matematických soutěží a olympiád • zařazujeme problémové úlohy, zejména na odvození nových poznatků nebo
na řešení praktických úloh z běžného života Kompetence k řešení problémů
• přecházíme důsledně od jednoduššího problému ke složitějšímu (princip postupnosti)
• zařazujeme problémové úlohy z praktického života (rozbor úlohy, matematizace, zvolení vhodného postupu, odhad výsledku, ověření správnosti řešení)
• podporujeme řešení jedné úlohy různými postupy (porovnání efektivity, přesnosti výsledku, využití různých znalostí, ověření výsledku jiným postupem)
• vedeme studenty k účasti v matematických soutěžích, kde si ověří a prohloubí své vědomosti a schopnosti
Kompetence komunikativní
• vyžadujeme používání odborné terminologie • podporujeme komunikaci studentů při řešení problému: porozumění zadání,
vyhodnocení informací, zformulování problému, zdůvodnění postupu řešení, formulace výsledků
• využíváme práci ve skupinách nebo ve dvojicích pro důslednější komunikaci, diskuzi řešení, obhajování postupů
• zařazujeme práci s odborným textem pro nácvik porozumění, vyhledání podstatných informací, zhodnocení
• vedeme studenty k dovednosti „číst“ grafy, diagramy a tabulky a vyhodnotit z nich informace
Kompetence sociální a personální
• vytváříme přátelskou a kolegiální atmosféru při hodinách, kdy se student nebojí říci svůj názor před ostatními studenty ani před pedagogem – nevhodná řešení se rozeberou a opraví, ale nezesměšní
• podporujeme práci ve skupinách, schopnost zapojit se do společné činnosti, uplatnit své individuální schopnosti, ale respektovat názory druhých
• vedeme studenty ke spolupráci a pomoci – vytváření „doučovacích skupinek“ během výuky s cílem dosáhnout co nejlepší výkon každého člena
VII.1.A – Matematika
3
Kompetence občanské • seznamujeme studenty s historií a vývojem matematiky od úplných počátků a
vedeme je k respektu ke schopnostem a dovednostem našich předků • zařazujeme úlohy týkající se aktuálních společenských témat a diskutujeme o
nich • vytváříme přátelskou atmosféru ve třídě, kdy oceňujeme i výkony slabších
studentů Kompetence pracovní
• rozvíjíme jemnou motoriku ruky při práci s rýsovacími pomůckami • vedeme studenty k efektivnímu využívání výpočetních přístrojů (kalkulačky,
PC) • zařazujeme úlohy na konkrétní praktickou situaci (obklad bazénu, …) a na
finanční problematiku (úlohy na spoření, úrokování, splácení úvěru …) • motivujeme svou důsledností studenty k zodpovědnému plnění uložených
úkolů
VII.1.A – Matematika
4
Rozpracování vzdělávacího obsahu vyučovacího předmětu P R I M A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Přirozená čísla
• číslice, číslo, číselná osa • rozvinutý a zkrácený zápis čísla • početní operace s přirozenými čísly
– sčítání, odčítání, násobení, dělení se zbytkem
• vlastnosti početních operací • římské číslice
o student chápe rozdíl mezi pojmy číslice a číslo
o správně přečte a zapíše přirozené číslo i vyšších řádů
o provádí početní operace v oboru přirozených čísel, využívá zkoušky
o zaokrouhluje a provádí odhady výpočtů s danou přesností
o analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru přirozených čísel
o správně využívá pravidla pro zápis přirozených čísel pomocí římských číslic, čte čísla zapsaná římskými číslicemi
Téma je pouze opakovací, studenti znají látku z 1.stupně ZŠ
Desetinná čísla • zavedení desetinného čísla a jeho
umístění na číselné ose • zaokrouhlování desetinných čísel • početní operace s desetinnými čísly • číselné výrazy
o student ovládá čtení, psaní a porovnávání desetinných čísel
o provádí početní operace s desetinnými čísly včetně násobení a dělení desetinných čísel deseti, stem, tisícem
o zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností
o v jednoduchých případech efektivně počítá zpaměti
o analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru desetinných čísel
o při řešení číselných výrazů rozlišuje pořadí početních operací
Řešení slovních úloh s desetinnými čísly
Převody jednotek • jednotky měření času • jednotky měření úhlu • jednotky měření hmotnosti • jednotky měření délky, plochy a
objemu
o student se orientuje v používání správných jednotek při měření konkrétních veličin
o převádí jednotlivé jednotky v rámci jedné veličiny
o řeší úlohy z praxe s použitím převodů jednotek
Nácvik dovednosti v používání měřících nástrojů a přístrojů
Celá čísla • zavedení celého čísla a jeho
umístění na číselné ose • početní operace s desetinnými čísly • číselné výrazy s celými čísly • absolutní hodnota čísla
o student chápe pojem záporného čísla a jeho použití v běžném životě, umí porovnávat celá čísla a znázornit je na číselné ose
o provádí početní operace s celými čísly
o zná znaménková pravidla a využívá je při řešení elementárních příkladů i číselných výrazů s celými čísly
o umí pracovat s absolutní hodnotou čísla
Dělitelnost přirozených čísel o student chápe pojem násobek a Slovní úlohy na
VII.1.A – Matematika
5
• násobek, dělitel • dělitelnost součtu, rozdílu a součinu • znaky dělitelnosti • prvočísla a čísla složená • rozklad složených čísel na
prvočinitele • (největší) společný dělitel • (nejmenší) společný násobek • čísla soudělná a nesoudělná
dělitel a umí je vysvětlit o na základě vlastního pozorování
odvodí vlastnosti dělitelnosti součtu, rozdílu a součinu
o využívá znaky dělitelnosti při řešení úloh s přirozenými čísly
o zná rozdíl mezi prvočíslem a číslem složeným, umí efektivně rozložit složené číslo na součin prvočísel
o rozlišuje a správně využívá v úlohách pojmy (největší) společný dělitel a (nejmenší) společný násobek
o samostatně řeší základní úlohy na dělitelnost
dělitelnost
Množiny • pojem množina, určení množiny,
být prvkem množiny • znázornění množin • průnik a sjednocení množin
o student zná pojmy množina, prvek, dovede zadat množinu výčtem prvků nebo vlastností
o umí rozhodnout, zda objekt je nebo není prvkem dané množiny
o na základě jednoduchých příkladů z praxe použije pojmy průnik a sjednocení množin
o dovede znázornit množiny pomocí Vennových diagramů
Úvod do geometrie • bod, přímka, úsečka, střed úsečky,
osa úsečky • polopřímka, rovnoběžné,
různoběžné, kolmé přímky • kružnice • úhel, osa úhlu, přenášení a grafické
sčítání a odčítání úhlů, sestrojení základních úhlů, rozdělení úhlů, dvojice úhlů
• početní operace s úhly
o student charakterizuje a třídí základní rovinné útvary a jejich vzájemnou polohu
o sestrojí základní rovinné útvary, čistě a přesně rýsuje, útvary popisuje
o používá množinovou symboliku k zápisu postupu konstrukce
o klasifikuje úhly i dvojice úhlů, provádí početní operace s úhly, využívá získané vědomosti při řešení úloh
o provádí základní konstrukce týkající se úhlů
Používání rýsovacích pomůcek, nácvik přesného a čistého rýsování.
Osová a středová souměrnost
• osová souměrnost • středová souměrnost
o student sestrojí obraz libovolného útvaru v osové a středové souměrnosti, zná a používá pojem samodružné body
o rozpozná osově a středově souměrný útvar, umí takový útvar načrtnout
Trojúhelník, čtyřúhelník, krychle, kvádr • čtyřúhelník – klasifikace, sestrojení,
výpočet obvodu a obsahu • trojúhelník – základní pojmy,
klasifikace • sestrojení trojúhelníku • kružnice vepsaná a opsaná
trojúhelníku • výpočet obvodu a obsahu
pravoúhlého a obecného trojúhelníku
• krychle a kvádr – objem a povrch,
o student sestrojí čtverec, obdélník, rovnoběžník, kosočtverec a lichoběžník ze základních zadání
o rozlišuje pojmy výška, těžnice, těžiště, osa úhlu a osa strany a umí je v daném trojúhelníku sestrojit
o sestrojí trojúhelník ze základních zadání, nacvičuje množinový zápis konstrukce
o sestrojí kružnici opsanou i vepsanou libovolnému trojúhelníku
o vypočítá obsah a obvod čtverce,
VII.1.A – Matematika
6
síť
obdélníku a trojúhelníku na základě vlastních měření
o sestrojí síť krychle a kvádru, vypočítá jejich povrch a objem
o na základě matematizace reálné situace využívá své znalosti o geometrických útvarech k řešení úloh z běžné praxe
S E K U N D A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Zlomky
• zlomek a jeho velikost, rozšiřování a krácení zlomků, porovnávání zlomků
• desetinné zlomky, převod zlomků na desetinná čísla
• početní operace se zlomky
o student chápe zlomek jako část celku, která se dá vyjádřit různými způsoby (krácení, rozšiřování, převod na desetinné číslo)a umí ho zakreslit na číselné ose a znázornit jako část obrazce
o umí porovnávat zlomky o řeší jednoduché slovní úlohy se
zlomky o ovládá početní operace se zlomky
včetně úpravy složeného zlomku a výsledek zapíše jako smíšené číslo
Procenta
• zavedení základních pojmů • určování procentové části • určování základu • určování počtu procent • slovní úlohy s procenty
o student chápe pojem procento a jeho výhodnost pro charakteristiku určitých hodnot
o na základě rozboru úlohy určí správně základ, vypočítá jedno procento a následně dořeší úlohu
o řeší základní úlohy s procenty z běžného života
Slovní úlohy z nejrůznějších oblastí běžného života – vyžití denního tisku, reklamních tiskovin apod.
Mocniny • mocniny s přirozeným exponentem • 2.a 3. odmocnina • pravidla pro počítání s mocninami,
zavedení mocnin se záporným exponentem
• zápis velkých a malých čísel a početní operace s nimi
• mocniny v geometrii
o student určí přirozené mocniny celých i desetinných čísel, zlomků i smíšených čísel
o chápe pojem odmocnina a dokáže odhadnout výsledek 2. odmocniny
o využívá vzorce pro práci s mocninami
o umí převést číslo na zápis a .10n a s takovými čísly dále pracovat
o používá mocniny a odmocniny při výpočtu obsahů a objemů těles
Výrazy, mnohočleny
• číselné výrazy – opakování • výrazy s proměnnými, mnohočleny • sčítání a odčítání mnohočlenů • násobení mnohočlenů • dělení mnohočlenu jednočlenem
o v číselných výrazech respektuje pořadí početních operací, určí hodnotu libovolného číselného výrazu
o chápe pojem výraz s proměnnými a určí hodnotu výrazu s proměnnými pro libovolné přípustné hodnoty
o rozlišuje mnohočleny podle počtu členů
o provádí základní početní operace s mnohočleny (kromě dělení mnohočlenu mnohočlenem)
Pythagorova věta o student si uvědomuje souvislost
VII.1.A – Matematika
7
• odvození Pythagorovy věty • využití Pythagorovy věty
mezi pravoúhlým trojúhelníkem a Pythagorovou větou
o na základě rozboru úlohy umí správně použít Pythagorovu větu k řešení pravoúhlého trojúhelníku i v úlohách z praxe
Hranoly
• klasifikace hranolů, krychle, kvádr • zobrazení hranolu ve volném
rovnoběžném promítání • síť hranolu • povrch a objem hranolu
o student rozlišuje hranoly podle pravidelnosti, kolmosti a počtu hran podstavy, umí pojmenovat části hranolu
o načrtne a zobrazí hranol ve volném rovnoběžném promítání, umí sestrojit síť kolmého hranolu
o vypočítá povrch a objem pravidelného hranolu a umí poznatky využít při řešení praktických úloh
Lineární rovnice
• ekvivalentní úpravy rovnic • řešení rovnic • vyjádření neznámé ze vzorce • slovní úlohy řešené pomocí rovnic
o student rozlišuje mezi pojmy rovnost a rovnice, uvědomuje si pozici neznámé
o zná ekvivalentní úpravy rovnice a dovede je používat
o ovládá postupy vedoucí k nalezení řešení libovolné lineární rovnice
o je si vědom, že rovnice může nemít nebo mít nekonečně mnoho řešení
o uvědomuje si smysl a důležitost zkoušky a umí zkoušku provádět
o analyzuje a řeší reálné situace s využitím jednoduchých rovnic
o ve slovní úloze určí neznámou, vyřeší rovnici a ověří správnost řešení
Slovní úlohy na rovnice
Intervaly, nerovnice
• množiny • intervaly • nerovnice
o student chápe interval jako spojitou množinu reálných čísel, umí zobrazit intervaly na číselné ose a provádět s nimi množinové operace, umí zapsat interval jiným způsobem (pomocí nerovností)
o uvědomuje si podobnosti i odlišnosti mezi řešením rovnic a nerovnic, umí je vysvětlit
o umí zapsat řešení nerovnice pomocí intervalu
Úlohy o pohybu
• základní vztahy pro výpočet dráhy, rychlosti a času pohybu
• složitější úlohy řešené pomocí rovnic
o student převádí správně jednotky času, dráhy i rychlosti
o umí odvodit a používat základní vztah s = v . t
o řeší složitější úlohy o pohybu převedením na rovnice
T E R C I E Učivo Očekávané výstupy Poznámky Úměrnosti
• poměr, postupný poměr • úměra • závislost veličin • přímá a nepřímá úměrnost
o student umí rozdělit celek v daném poměru, řeší úlohy na poměr a postupný poměr
o krátí a rozšiřuje poměr o vypočítá neznámý člen úměry
Využití map a výkresů
VII.1.A – Matematika
8
• trojčlenka • měřítko • úlohy o společné práci
o chápe závislost jedné veličiny na druhé a umí ji znázornit na grafu
o rozlišuje mezi přímou a nepřímou úměrností a využívá toho při řešení trojčlenky
o řeší aplikační úlohy s využitím poměru a trojčlenky
o umí pracovat s měřítkem mapy Práce s daty • aritmetický průměr • diagramy
o student je schopen provést základní statistické zpracování dat
o ke znázornění výsledků používá sloupcové a kruhové diagramy
Konstrukční úlohy • základní konstrukce • množiny bodů • konstrukce trojúhelníku • konstrukce čtyřúhelníku
o student ovládá konstrukce úhlů (30o,45o,60o), rovnoběžek, kolmic
o umí sestrojit množiny všech bodů daných vlastností
o provádí rozbor konstrukční úlohy a náčrtek
o při sestrojování útvarů využívá průniky množin bodů daných vlastností
o zapíše správně postup konstrukce o provede diskuzi o počtu řešení
Navázání na dovednosti z primy
Thaletova kružnice • zavedení pojmu, vlastnosti • tečna z bodu ke kružnici • konstrukční úlohy
o student zná vlastnosti Thaletovy kružnice a využívá je při konstrukčních úlohách
o sestrojí tečnu ke kružnici z bodu vně kružnice
Plynulé rozšíření konstrukcí
Mocniny • opakování přirozeného mocnitele • mocnitel nula • celý záporný mocnitel • výrazy s mocninami
o student umí vypočítat mocniny s přirozeným i celým mocnitelem
o využívá pravidla pro počítání s mocninami
o upravuje číselné výrazy s mocninami i výrazy s proměnnými
Navázání na znalosti ze sekundy
Algebraické výrazy • násobení, dělení a umocňování
mnohočlenů • rozklad výrazů na součin • úpravy lomených výrazů • operace s lomenými výrazy
o student ovládá početní operace s mnohočleny včetně dělení mnohočlenu mnohočlenem
o správně používá vzorce na umocňování dvojčlenu a rozdíl čtverců
o rozkládá výrazy na součin pomocí vytýkání, postupného vytýkání a vzorců
o určí definiční obor výrazu o krátí a rozšiřuje lomené výrazy o provádí početní operace
s lomenými výrazy
Úvod do funkcí • zavedení pojmů funkce, graf
funkce, definiční obor a obor hodnot funkce
• lineární funkce • kvadratická funkce • funkce nepřímá úměra
o student rozhodne, zda je daná závislost mezi dvěma veličinami funkce, určí definiční obor, obor hodnot, funkční hodnoty
o využívá tabulku k odvození grafu funkce
o rozlišuje mezi danými funkcemi, určí typ funkce a její graf
o sestrojí grafy daných funkcí o odhalí funkční vztah v textu slovní
úlohy a graficky jej znázorní
Kružnice, kruh o student rozlišuje kružnici a kruh Využití kalkulačky
VII.1.A – Matematika
9
• definice kružnice, kruhu • délka kružnice, obsah kruhu • části kružnice, kruhu • vzájemné polohy útvarů
o zná Ludolfovo číslo a vzorce na výpočty a správně je používá
o řeší praktické úlohy, ve kterých se vyskytují kružnice, kruh a jejich části
Válec, kužel • objem a povrch válce, síť • objem a povrch kužele
o student řeší slovní úlohy na objemy a povrchy válce a kužele
o matematizuje praktické úlohy ze života
Využití kalkulačky
K V A R T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Shodná zobrazení • definice shodného zobrazení a
shodnost trojúhelníků • identita • osová a středová souměrnost • posunutí • otáčení
o student správně zobrazí běžné geometrické útvary ve všech typech zobrazení
o využívá věty o shodnosti trojúhelníků
o rozezná přímou a nepřímou shodnost
Osová a středová souměrnost – opakování z nižších ročníků Nácvik přesného rýsování
Podobnost • podobnost trojúhelníků • koeficient podobnosti • redukční úhel a poměry • stejnolehlost
o student zmenší (zvětší) útvar v daném poměru, určí poměr podobnosti mezi dvěma útvary
o zdůvodní podobnost trojúhelníků o zobrazuje útvary ve stejnolehlosti o využívá stejnolehlost při dělení,
zvětšování, zmenšování úseček o řeší slovní úlohy využívající
podobnost
Zobrazení a konstrukční úlohy
o student vyhodnotí vhodnost shodného nebo podobného zobrazení při konstrukční úloze
o provede správnou konstrukci včetně všech řešení
o zapíše zdůvodnění postupu
Goniometrické funkce
• jednotky úhlu - stupně, minuty, vteřiny
• zavedení goniometrických funkcí sinus, kosinus, tangens kotangens v pravoúhlém trojúhelníku
• řešení úloh s využitím goniometrických funkcí
o student správně využívá jednotlivé goniometrické funkce v konkrétních příkladech
o ovládá goniometrické výpočty na kalkulačce
o při řešení slovních úloh vytvoří náčrtek a uvědomuje si, že musí vycházet jen z pravoúhlých trojúhelníků
o používá intuitivně i inverzní funkce
Využití kalkulačky
Výroková a predikátová logika, Vennovy diagramy • výrok – jednoduchý, složený,
logické spojky • negace výroků • tabulky pravdivostních hodnot • Vennovy diagramy
o student rozpozná, kdy je a kdy není sdělení výrok
o správně používá logické spojky, znázorní složený výrok pomocí schématu
o vytváří správné negace jednoduchých i složených výroků, využívá kvantifikátory
o používá tabulku pravdivostních hodnot při určování tautologií, při rozhodování o pravdivosti výroku a při řešení slovních úloh
o na řešení úloh s množinovou
VII.1.A – Matematika
10
tématikou využívá Vennovy diagramy
Důkazy matematických vět • důkaz přímý • důkaz nepřímý • důkazy dělitelnosti
o student rozlišuje mezi pojmy definice a matematická věta
o správně zapíše matematickou větu pomocí kvantifikátorů a logických spojek
o podle typu matematické věty zvolí vhodný typ důkazu a provede jej
• Kvadratická rovnice o student umí řešit neúplnou i úplnou kvadratickou rovnici
o při řešení využívá diskriminant a rozklad na součinový tvar
o je schopen vyvodit počet řešení
Soustavy rovnic • dvě rovnice o dvou neznámých • grafické řešení soustavy • sčítací a dosazovací metoda • soustavy o více neznámých • slovní úlohy řešené soustavami
rovnic
o student řeší soustavy dvou rovnic pomocí sčítací a dosazovací metody, eventuelně graficky
o aplikuje postup na soustavy o více neznámých
o zapíše množinu všech řešení i v případě, že je těchto řešení nekonečně mnoho
o využívá soustav rovnic k řešení slovních úloh, po vyřešení ověří správnost výsledků
Euklidovy věty • odvození Euklidových vět • konstrukce odmocnin • útvary o stejném obsahu
o student řeší úlohy v pravoúhlém trojúhelníku zadané pomocí výšky nebo úseků na přeponě
o ovládá konstrukce odmocnin s využitím Euklidových vět
o převede libovolný trojúhelník resp. čtyřúhelník na čtverec
Středový a obvodový úhel • definice, odvození vztahů • geometrické úlohy využívající
vztahu mezi středovým a obvodovým úhel
• využití v konstrukčních úlohách
o student chápe vztah mezi středovým a obvodovým úhlem a umí jej využít při řešení geometrických úloh
o sestrojí množinu bodů, ze kterých je vidět úsečka pod daným úhlem, a používá ji v konstrukčních úlohách
Základní finanční gramotnost o student se orientuje v přibližných nákladech na domácnost, cenách základních potravin a spotřebního zboží
o rozlišuje pojmy spoření, půjčka, úrok, pojištění
o chápe princip složeného úrokování o uvědomuje si důležitost
zodpovědného přístupu k zacházení s financemi
Doctrina - Podještědské gymnázium, s.r.o.
Oddíl E – učební osnovy VII.1.B
MATEMATIKA
platné pro školní rok 2017/2018 pro ročníky
sexta, septima, oktáva
VII.1.B – Matematika
1
Charakteristika předmětu: MATEMATIKA ve vyšším stupni osmiletého studia Obsah předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu matematika pro vyšší stupeň víceletého gymnázia vychází ze vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace (RVP G). V matematice budeme realizovat průřezové téma Osobnostní a sociální výchovu, která prolíná všemi předměty na vyšším stupni gymnázia. Časové vymezení předmětu
vyučovací hodina cvičení kvinta 3 X sexta 4 X septima 3 X oktáva (4) X
Organizace výuky Předmět matematika je povinný pro všechny studenty kvinty až septimy. V oktávě je tento předmět volitelný a je určen zejména pro studenty, kteří z tohoto předmětu chtějí skládat maturitní zkoušku nebo předpokládají využití matematiky ve svém dalším vysokoškolském studiu. Výuka matematiky je uskutečňována převážně frontálním vyučováním s co největším zapojením studentů do společného odvozování poznatků, využívají se ale často i prvky problémového a skupinového vyučování. Výchovné a vzdělávací strategie Matematickým vzděláním v průběhu vyššího stupně gymnaziálního vzdělání významně přispíváme k utváření a rozvoji klíčových kompetencí žáků. Matematika výrazně rozvíjí logické uvažování, abstraktní a analytické myšlení, učí srozumitelné a věcné argumentaci, formulaci problémů a jejich řešení, vyžaduje tvůrčí přístup a různorodé metody práce, podporuje samostatnost i nutnost spolupráce při řešení problémů. Významným aspektem je i rozvíjení geometrické představivosti, a to jak v rovině, tak v prostoru. Těžiště výuky spočívá v aktivním osvojení strategie řešení úloh a problémů, v ovládnutí nástrojů potřebných pro vysokoškolské studium i pro běžný život, v pěstování schopnosti aplikace. Během studia si studenti uvědomují, že matematika nachází uplatnění ve většině oborů lidské činnosti, zejména v informatice, technice a ekonomii. Podporujeme účast studentů v matematických soutěžích, jako je Matematický klokan, matematická olympiáda, a v korespondenčních soutěžích. Snažíme se tak
VII.1.B – Matematika
2
vypěstovat u studentů trvalý zájem o matematiku, podchytit a rozvíjet matematický talent u nadaných studentů a připravovat studenty na úspěšné vysokoškolské studium. Kompetence k učení
• umožňujeme studentům vyzkoušet různé metody a formy činností: práce ve dvojicích nebo ve skupinách, soutěže v rámci třídy, práce s textem – důraz je kladen na pochopení matematického textu nebo naopak schopnost matematizace reálné situace, využívání konzultací, rozbor testů
• zařazujeme problémové úlohy, zejména na odvození nových poznatků nebo na řešení praktických úloh z běžného života
• průběžným hodnocením výsledků jejich práce studentům umožňujeme posoudit vlastní pokrok při učení, uvědomit si případné nedostatky a hledat cesty k jejich odstraňování
• modelováním situací, kreslením náčrtků v geometrii rozvíjíme u studentů prostorovou představivost
Kompetence k řešení problémů
• přecházíme důsledně od jednoduššího problému ke složitějšímu (princip postupnosti)
• zařazujeme problémové úlohy z praktického života (rozbor úlohy, matematizace, zvolení vhodného postupu, odhad výsledku, ověření správnosti řešení)
• podporujeme řešení jedné úlohy více možnými postupy (porovnání efektivity, přesnosti výsledku, využití různých znalostí, ověření výsledku jiným postupem)
• vedeme studenty k účasti v matematických soutěžích, kde si ověří a prohloubí své vědomosti a schopnosti
Kompetence komunikativní
• vyžadujeme používání odborné terminologie • podporujeme komunikaci studentů při řešení problému: porozumění zadání,
vyhodnocení informací, zformulování problému, zdůvodnění postupu řešení, formulace výsledků
• využíváme práci ve skupinách nebo ve dvojicích pro důslednější komunikaci, diskuzi řešení, obhajování postupů
• zařazujeme práci s odborným textem pro nácvik porozumění, vyhledání podstatných informací, zhodnocení
• vedeme studenty k dovednosti „číst“ grafy, diagramy a tabulky a vyhodnotit z nich informace
Kompetence sociální a personální
• vytváříme přátelskou a kolegiální atmosféru při hodinách, kdy se student nebojí říci svůj názor před ostatními studenty ani před pedagogem – nevhodná řešení se rozeberou a opraví, ale nezesměšní
• rozebíráme při hodinách se studenty jejich výkony a pokroky a vedeme je ke schopnosti objektivně zhodnotit vědomosti a dovednosti své i svých spolužáků
• podporujeme práci ve skupinách, schopnost zapojit se do společné činnosti, uplatnit své individuální schopnosti, ale respektovat názory druhých
VII.1.B – Matematika
3
• vedeme studenty ke spolupráci a pomoci – vytváření „doučovacích skupinek“ během výuky s cílem o co nejlepší výkon každého člena
Kompetence občanské
• seznamujeme studenty s historií a vývojem matematiky od úplných počátků a vedeme je k respektu ke schopnostem a dovednostem našich předků
• zařazujeme úlohy týkající se ekologie, odpadů, jiných národností, zdravého životního stylu apod. a diskutujeme o nich
• vytváříme přátelskou atmosféru ve třídě, kdy oceňujeme výkony i slabších studentů
Kompetence k podnikavosti
• podporujeme u studentů samostatnou aktivitu, oceňujeme jejich vlastní přínos do výuky
• zařazujeme do výuky úlohy zabývající se například výpočtem nákladů na různé stavební či opravárenské práce, úlohy na porovnávání výhodnosti té které nabídky po zvážení všech faktorů
• posilujeme sebevědomí studentů vhodně volenými úkoly a následným zhodnocením
VII.1.B – Matematika
4
Rozpracovánívzdělávacíhoobsahuvyučovacíhopředmětu K V I N T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Nelineární rovnice a nerovnice • kvadratické rovnice a nerovnice • nerovnice v součinovém a
podílovém tvaru • rovnice a nerovnice s absolutní
hodnotou • iracionální rovnice • rovnice s neznámou ve jmenovateli • soustavy s kvadratickou rovnicí
o student používá vhodné metody řešení jednotlivých typů rovnic a nerovnic
o přihlíží ke specifikům jednotlivých typů rovnic (jako jsou podmínky řešitelnosti, nutnost zkoušky jako součást řešení a pod.)
o zná a využívá princip nulových bodů
o vychází z definice absolutní hodnoty
Funkce • definice, graf, základní vlastnosti
funkcí • lineární funkce • kvadratická funkce • lineární lomená funkce • funkce s absolutní hodnotou • mocninné funkce • inverzní funkce • n-tá odmocnina, počítání s
mocninami • exponenciální funkce, rovnice • logaritmická funkce, logaritmus,
logaritmická rovnice
o student chápe funkci jako závislost veličin, chápe pojmy definiční obor, obor hodnot, vztah mezi funkcí a jejím grafem
o podle zadání rozpozná typ funkce, určí její definiční obor, průsečíky s osami, načrtne graf funkce a na základě grafu určí monotonii, paritu, omezenost a obor hodnot funkce
o využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic
o k dané funkci najde funkci inverzní a sestrojí její graf
o převede odmocniny na mocniny a využívá vzorce pro práci s mocninami
o porovnává hodnoty exponenciálních a logaritmických funkcí na základě jejich grafů
o řeší základní typy exponenciálních a logaritmických rovnic, využívá substituce
o chápe pojem logaritmus, využívá věty o logaritmech při úpravách výrazů a při řešení logaritmických rovnic
o řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích
Stereometrie • polohové vlastnosti základních
geometrických útvarů • řezy na tělesech • průsečíky přímky s tělesem a s
rovinou • metrické vlastnosti – odchylky,
vzdálenosti, kolmost • shodná a podobná zobrazení
v prostoru • tělesa – objem a povrch
o student užívá správně geometrické pojmy
o určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů v prostoru, jejich odchylky a vzdálenosti
o užívá volného rovnoběžného promítání ke znázornění geometrických útvarů
o využívá svých znalostí a prostorové představivosti k řešení úloh na tělesech
o převádí své poznatky o shodných a podobných zobrazeních do prostoru a využívá jich k řešení
Rozvíjení prostorové představivosti Zdokonalování práce s rýsovacími potřebami, nácvik přesného a čistého rýsování
VII.1.B – Matematika
5
úloh o spočítá povrch a objem základních
geometrických těles S E X T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Goniometrie a trigonometrie
• orientovaný úhel • funkce sinus, kosinus, tangens a
kotangens obecného úhlu • výrazy a rovnice s goniometrickými
funkcemi • sinová a kosinová věta, řešení
obecného trojúhelníku
o student chápe pojem orientovaný úhel a přiřadí mu správnou velikost ve stupních nebo v radiánech
o rozšíří své znalosti o goniometrických funkcích v pravoúhlém trojúhelníku na goniometrické funkce libovolného orientovaného úhlu, uvědomuje si periodičnost funkcí
o odvodí vlastnosti a grafy goniometrických funkcí z jednotkové kružnice
o na základě svých předešlých znalostí práce s grafy načrtne grafy i složitějších goniometrických funkcí
o využívá goniometrické vzorce při úpravách výrazů a při řešení rovnic
o s ohledem na periodičnost goniometrických funkcí určuje správně množinu všech řešení goniometrických rovnic
o používá sinovou a kosinovou větu k řešení obecného trojúhelníku a je schopen aplikovat znalosti na úlohy z praxe
Práce s kalkulátorem - určování hodnot goniometrických funkcí
Kombinatorika • základní kombinatorická pravidla • variace, permutace a kombinace
bez i s opakováním • vlastnosti kombinačních čísel,
Pascalův trojúhelník • binomická věta
o student využívá kombinatorická pravidla součinu a součtu pro řešení jednoduchých kombinatorických úloh
o chápe rozdíl mezi uspořádanými a neuspořádanými k-ticemi a správně volí v úlohách použití variací nebo kombinací
o je schopen podle zadání konkrétní úlohy volit vhodný postup a řešit kombinatorické úlohy bez i s opakováním prvků
o využívá vlastností kombinačních čísel pro úpravy výrazů a řešení rovnic s těmito čísly
o odvodí binomickou větu s využitím Pascalova trojúhelníku a používá ji pro umocnění dvojčlenu
Pravděpodobnost • náhodné pokusy • pravděpodobnost jevů • pravděpodobnost sjednocení jevů • nezávislé jevy • binomické rozdělení • podmíněné pravděpodobnosti
o student ovládá základní pojmy pravděpodobnosti
o rozlišuje mezi množinou možných a množinou příznivých výsledků a s využitím kombinatoriky určí a spočítá pravděpodobnost jevu
o využívá svých znalostí o množinách k určení
VII.1.B – Matematika
6
pravděpodobnosti sjednocení jevů o početně rozhodne o závislosti či
nezávislosti jevů o rozhodne o vhodnosti použití
binomického rozdělení k výpočtu pravděpodobnosti a určí výsledek
o řeší jednoduché úlohy na podmíněné pravděpodobnosti
Statistika • statistický soubor, jednotka znak • tabulka četností, relativní četnost • aritmetický průměr, modus, medián • směrodatná a mezikvartilová
odchylka
o student správně používá základní pojmy statistiky, uvědomuje si souvislost mezi velikostí statistického souboru a objektivitou výsledku
o na základě získaných dat sestaví tabulku četností a určí relativní četnosti
o u statistického souboru rozhodne, kterou charakteristiku polohy (aritmetický průměr, modus, medián)a variability (směrodatná nebo mezikvartilová odchylka) zvolit a tu potom spočítá
o znázorní získané statistické výsledky pomocí vhodného grafu
Analytická geometrie • souřadnice bodu • vektory, operace s vektory, skalární
a vektorový součin • geometrie v rovině • lineární geometrie v prostoru
o student si představí a znázorní bod zadaný pomocí souřadnic v rovině i v prostoru
o spočítá střed a délku úsečky z jejích krajních bodů
o chápe vektor jako množinu orientovaných úseček, vektory graficky i početně sčítá, odčítá, násobí reálným číslem
o určí skalární a vektorový součin vektorů, chápe jejich rozdíl, geometrický význam a použití
o určí přímku v rovině pomocí parametrického vyjádření, obecnou rovnicí i směrnicovým tvarem
o řeší polohové a metrické úlohy v rovině (vzájemná poloha a průsečík přímek, kolmost, odchylky, vzdálenost bodu od přímky)
o vyjádří přímku a rovinu v prostoru o řeší polohové a metrické úlohy
v prostoru (vzájemná poloha bodů, přímek a rovin, jejich průniky, kolmost, odchylky, vzdálenosti)
S E P T I M A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Analytická geometrie kuželoseček
• kružnice, kružnice a přímka • elipsa, elipsa a přímka • parabola, parabola a přímka • hyperbola, hyperbola a přímka
o student si uvědomuje vznik kuželosečky jako průniku roviny a kužele a souvislost typu kuželosečky s nakloněním roviny
o u jednotlivých kuželoseček vysloví přesnou geometrickou definici
o podle zadání napíše středovou
VII.1.B – Matematika
7
nebo vrcholovou rovnici kuželosečky, z obecné rovnice určí typ kuželosečky, střed, vrcholy, ohniska
o určí vzájemnou polohu přímky a kuželosečky, napíše rovnice všech přímek majících s kuželosečkou společný právě jeden bod
Posloupnosti a řady • posloupnost, určení posloupnost • vlastnosti posloupností • matematická indukce • aritmetická posloupnost • geometrická posloupnost • limita posloupnosti • nekonečná geometrická řada
o student chápe posloupnost jako typ funkce se specifickým definičním oborem
o pracuje s posloupnostmi zadanými pomocí vzorce pro n-tý člen i rekurentně
o vysloví hypotézu a dokáže monotonii a omezenost posloupnosti
o využívá matematickou indukci pro důkazy matematických tvrzení
o vysloví definici aritmetické a geometrické posloupnost, zná jejich vlastnosti a umí jich využít při řešení úloh
o používá geometrickou posloupnost při řešení úloh o úrokování
o chápe pojem limita posloupnosti a spočítá jednoduché limity
o chápe pojem nekonečná geometrická řada a řeší úlohy na její součet
Komplexní čísla – část 1. • zavedení komplexních čísel a
početních operací s nimi • Gaussova rovina • absolutní hodnota komplexního čísla
• goniometrický tvar komplexního čísla
• řešení kvadratických rovnic s reálnými koeficienty v oboru komplexních čísel
o student chápe zavedení imaginární jednotky a komplexních čísel
o provádí základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru
o znázorní komplexní čísla jako body v Gaussově rovině
o odvodí absolutní hodnotu komplexního čísla jako jeho vzdálenost od počátku v Gaussově rovině
o uvědomuje si možnost zápisu komplexních čísel v goniometrickém tvaru
o převádí komplexní čísla v algebraickém tvaru na goniometrický a naopak
o řeší kvadratické rovnice s reálnými koeficienty a provádí diskusi řešení v oboru komplexních čísel
Rovnice s parametrem
• lineární rovnice s parametrem • kvadratické rovnice s parametrem
o student chápe rozdíl mezi neznámou a parametrem v rovnici
o provádí diskuzi řešení rovnice vzhledem k parametru v oboru reálných i komplexních čísel a získané výsledky správně interpretuje
VII.1.B – Matematika
8
O K T Á V A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Komplexní čísla – část 2.
• součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru
• komplexní čísla jako vektory v Gaussově rovině
• Moivreova věta • binomické rovnice • kvadratické rovnice s komplexními
koeficienty
o student vypočítá součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru
o graficky provádí součet, rozdíl, součin i podíl komplexních čísel
o odvodí z předchozích znalostí Moivreovu větu a používá ji pro umocňování komplexních čísel a při řešení binomických rovnic
o řeší kvadratické rovnice s komplexními koeficienty
Na úvod opakování komplexních čísel – část 1.
Diferenciální počet • spojitost funkce • limita funkce • derivace funkce • průběh funkce
o student na základě pochopení pojmu okolí bodu definuje spojitost funkce v bodě a v intervalu
o chápe pojmy vlastní a nevlastní limita a limita ve vlastním a nevlastním bodě a spočítá základní limity
o uvědomuje si odvození a geometrický význam 1. derivace a spočítá derivaci jednoduché i složené funkce
o využívá 1. derivaci k určení monotonie funkce a 2. derivaci k určení extrémů, konvexnosti a konkávnosti funkce
o vyšetří průběh funkce a načrtne graf funkce
o řeší úlohy na extrém funkce
Integrální počet • primitivní funkce • integrační metody • určitý integrál • užití integrálního počtu
o student chápe vztah funkce a k ní primitivní funkce
o určí primitivní funkci k základním funkcím, využívá metodu per partes a větu o substituci
o uvědomuje si rozdíl mezi primitivní funkcí a určitým integrálem, vypočítá hodnotu určitého integrálu
o využívá určitý integrál k výpočtu obsahu plochu a objemu rotačního tělesa
Opakování učiva
o prohlubováním, upevňováním a procvičováním učiva se student připravuje na maturitní zkoušku
Doctrina - Podještědské gymnázium, s.r.o.
Oddíl E – učební osnovy VII.1.B
MATEMATIKA
platné pro školní rok 2017/2018 pro ročník kvinta
VII.1.B – Matematika
1
Charakteristika předmětu: MATEMATIKA ve vyšším stupni osmiletého studia Obsah předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu matematika pro vyšší stupeň víceletého gymnázia vychází ze vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace (RVP G). V matematice budeme realizovat průřezové téma Osobnostní a sociální výchovu, která prolíná všemi předměty na vyšším stupni gymnázia. Časové vymezení předmětu
vyučovací hodina cvičení kvinta 3 X sexta 3 X septima 3 X oktáva 3 X
Organizace výuky Vzhledem k zavedení povinné státní maturitní zkoušky z matematiky je předmět matematika povinný pro studenty kvinty až oktávy a objemem učiva reflektuje požadavky na tuto maturitní zkoušku. Protože ale připravujeme studenty také na studium matematiky na vysoké škole, jsou jednotlivá témata probírána více do hloubky oproti daným požadavkům a studentům je podle zájmu a možností nabízen volitelný rozšiřující předmět Matematické cvičení. Výuka matematiky je uskutečňována převážně frontálním vyučováním s co největším zapojením studentů do společného odvozování poznatků, využívají se ale často i prvky problémového a skupinového vyučování. Výchovné a vzdělávací strategie Matematickým vzděláním v průběhu vyššího stupně gymnaziálního vzdělání významně přispíváme k utváření a rozvoji klíčových kompetencí žáků. Matematika výrazně rozvíjí logické uvažování, abstraktní a analytické myšlení, učí srozumitelné a věcné argumentaci, formulaci problémů a jejich řešení, vyžaduje tvůrčí přístup a různorodé metody práce, podporuje samostatnost i nutnost spolupráce při řešení problémů. Významným aspektem je i rozvíjení geometrické představivosti, a to jak v rovině, tak v prostoru. Těžiště výuky spočívá v aktivním osvojení strategie řešení úloh a problémů, v ovládnutí nástrojů potřebných pro vysokoškolské studium i pro běžný život, v pěstování schopnosti aplikace. Během studia si studenti uvědomují, že matematika nachází uplatnění ve většině oborů lidské činnosti, zejména v informatice, technice a ekonomii.
VII.1.B – Matematika
2
Podporujeme účast studentů v matematických soutěžích, jako je Matematický klokan, matematická olympiáda, a v korespondenčních soutěžích. Snažíme se tak vypěstovat u studentů trvalý zájem o matematiku, podchytit a rozvíjet matematický talent u nadaných studentů a připravovat studenty na úspěšné vysokoškolské studium. Kompetence k učení
• umožňujeme studentům vyzkoušet různé metody a formy činností: práce ve dvojicích nebo ve skupinách, soutěže v rámci třídy, práce s textem – důraz je kladen na pochopení matematického textu nebo naopak schopnost matematizace reálné situace, využívání konzultací, rozbor testů
• zařazujeme problémové úlohy, zejména na odvození nových poznatků nebo na řešení praktických úloh z běžného života
• průběžným hodnocením výsledků jejich práce studentům umožňujeme posoudit vlastní pokrok při učení, uvědomit si případné nedostatky a hledat cesty k jejich odstraňování
• modelováním situací, kreslením náčrtků v geometrii rozvíjíme u studentů prostorovou představivost
Kompetence k řešení problémů
• přecházíme důsledně od jednoduššího problému ke složitějšímu (princip postupnosti)
• zařazujeme problémové úlohy z praktického života (rozbor úlohy, matematizace, zvolení vhodného postupu, odhad výsledku, ověření správnosti řešení)
• podporujeme řešení jedné úlohy více možnými postupy (porovnání efektivity, přesnosti výsledku, využití různých znalostí, ověření výsledku jiným postupem)
• vedeme studenty k účasti v matematických soutěžích, kde si ověří a prohloubí své vědomosti a schopnosti
Kompetence komunikativní
• vyžadujeme používání odborné terminologie • podporujeme komunikaci studentů při řešení problému: porozumění zadání,
vyhodnocení informací, zformulování problému, zdůvodnění postupu řešení, formulace výsledků
• využíváme práci ve skupinách nebo ve dvojicích pro důslednější komunikaci, diskuzi řešení, obhajování postupů
• zařazujeme práci s odborným textem pro nácvik porozumění, vyhledání podstatných informací, zhodnocení
• vedeme studenty k dovednosti „číst“ grafy, diagramy a tabulky a vyhodnotit z nich informace
Kompetence sociální a personální
• vytváříme přátelskou a kolegiální atmosféru při hodinách, kdy se student nebojí říci svůj názor před ostatními studenty ani před pedagogem – nevhodná řešení se rozeberou a opraví, ale nezesměšní
• rozebíráme při hodinách se studenty jejich výkony a pokroky a vedeme je ke schopnosti objektivně zhodnotit vědomosti a dovednosti své i svých spolužáků
VII.1.B – Matematika
3
• podporujeme práci ve skupinách, schopnost zapojit se do společné činnosti, uplatnit své individuální schopnosti, ale respektovat názory druhých
• vedeme studenty ke spolupráci a pomoci – vytváření „doučovacích skupinek“ během výuky s cílem o co nejlepší výkon každého člena
Kompetence občanské
• seznamujeme studenty s historií a vývojem matematiky od úplných počátků a vedeme je k respektu ke schopnostem a dovednostem našich předků
• zařazujeme úlohy týkající se ekologie, odpadů, jiných národností, zdravého životního stylu apod. a diskutujeme o nich
• vytváříme přátelskou atmosféru ve třídě, kdy oceňujeme výkony i slabších studentů
Kompetence k podnikavosti
• podporujeme u studentů samostatnou aktivitu, oceňujeme jejich vlastní přínos do výuky
• zařazujeme do výuky úlohy zabývající se například výpočtem nákladů na různé stavební či opravárenské práce, úlohy na porovnávání výhodnosti té které nabídky po zvážení všech faktorů
• posilujeme sebevědomí studentů vhodně volenými úkoly a následným zhodnocením
VII.1.B – Matematika
4
Rozpracovánívzdělávacíhoobsahuvyučovacíhopředmětu K V I N T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Nelineární rovnice a nerovnice • kvadratické rovnice a nerovnice • nerovnice v součinovém a
podílovém tvaru • rovnice a nerovnice s absolutní
hodnotou • iracionální rovnice • rovnice s neznámou ve jmenovateli • soustavy s kvadratickou rovnicí
o student používá vhodné metody řešení jednotlivých typů rovnic a nerovnic
o přihlíží ke specifikům jednotlivých typů rovnic (jako jsou podmínky řešitelnosti, nutnost zkoušky jako součást řešení a pod.)
o zná a využívá princip nulových bodů
o vychází z definice absolutní hodnoty
Funkce • definice, graf, základní vlastnosti
funkcí • lineární funkce • kvadratická funkce • lineární lomená funkce • funkce s absolutní hodnotou • mocninné funkce • inverzní funkce • n-tá odmocnina, počítání s
mocninami • exponenciální funkce, rovnice • logaritmická funkce, logaritmus,
logaritmická rovnice
o student chápe funkci jako závislost veličin, chápe pojmy definiční obor, obor hodnot, vztah mezi funkcí a jejím grafem
o podle zadání rozpozná typ funkce, určí její definiční obor, průsečíky s osami, načrtne graf funkce a na základě grafu určí monotonii, paritu, omezenost a obor hodnot funkce
o využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic
o k dané funkci najde funkci inverzní a sestrojí její graf
o převede odmocniny na mocniny a využívá vzorce pro práci s mocninami
o porovnává hodnoty exponenciálních a logaritmických funkcí na základě jejich grafů
o řeší základní typy exponenciálních a logaritmických rovnic, využívá substituce
o chápe pojem logaritmus, využívá věty o logaritmech při úpravách výrazů a při řešení logaritmických rovnic
o řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích
Stereometrie • polohové vlastnosti základních
geometrických útvarů • řezy na tělesech • průsečíky přímky s tělesem a s
rovinou • metrické vlastnosti – odchylky,
vzdálenosti, kolmost • shodná a podobná zobrazení
v prostoru • tělesa – objem a povrch
o student užívá správně geometrické pojmy
o určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů v prostoru, jejich odchylky a vzdálenosti
o užívá volného rovnoběžného promítání ke znázornění geometrických útvarů
o využívá svých znalostí a prostorové představivosti k řešení úloh na tělesech
o převádí své poznatky o shodných a podobných zobrazeních do prostoru a využívá jich k řešení
Rozvíjení prostorové představivosti Zdokonalování práce s rýsovacími potřebami, nácvik přesného a čistého rýsování
VII.1.B – Matematika
5
úloh o spočítá povrch a objem základních
geometrických těles S E X T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Goniometrie a trigonometrie
• orientovaný úhel • funkce sinus, kosinus, tangens a
kotangens obecného úhlu • výrazy a rovnice s goniometrickými
funkcemi • sinová a kosinová věta, řešení
obecného trojúhelníku
o student chápe pojem orientovaný úhel a přiřadí mu správnou velikost ve stupních nebo v radiánech
o rozšíří své znalosti o goniometrických funkcích v pravoúhlém trojúhelníku na goniometrické funkce libovolného orientovaného úhlu, uvědomuje si periodičnost funkcí
o odvodí vlastnosti a grafy goniometrických funkcí z jednotkové kružnice
o na základě svých předešlých znalostí práce s grafy načrtne grafy i složitějších goniometrických funkcí
o využívá goniometrické vzorce při úpravách výrazů a při řešení rovnic
o s ohledem na periodičnost goniometrických funkcí určuje správně množinu všech řešení goniometrických rovnic
o používá sinovou a kosinovou větu k řešení obecného trojúhelníku a je schopen aplikovat znalosti na úlohy z praxe
Práce s kalkulátorem - určování hodnot goniometrických funkcí
Kombinatorika • základní kombinatorická pravidla • variace, permutace a kombinace
bez i s opakováním • vlastnosti kombinačních čísel,
Pascalův trojúhelník • binomická věta
o student využívá kombinatorická pravidla součinu a součtu pro řešení jednoduchých kombinatorických úloh
o chápe rozdíl mezi uspořádanými a neuspořádanými k-ticemi a správně volí v úlohách použití variací nebo kombinací
o je schopen podle zadání konkrétní úlohy volit vhodný postup a řešit kombinatorické úlohy bez i s opakováním prvků
o využívá vlastností kombinačních čísel pro úpravy výrazů a řešení rovnic s těmito čísly
o odvodí binomickou větu s využitím Pascalova trojúhelníku a používá ji pro umocnění dvojčlenu
Pravděpodobnost • náhodné pokusy • pravděpodobnost jevů • pravděpodobnost sjednocení jevů • nezávislé jevy • binomické rozdělení • podmíněné pravděpodobnosti
o student ovládá základní pojmy pravděpodobnosti
o rozlišuje mezi množinou možných a množinou příznivých výsledků a s využitím kombinatoriky určí a spočítá pravděpodobnost jevu
o využívá svých znalostí o množinách k určení
VII.1.B – Matematika
6
pravděpodobnosti sjednocení jevů o početně rozhodne o závislosti či
nezávislosti jevů o rozhodne o vhodnosti použití
binomického rozdělení k výpočtu pravděpodobnosti a určí výsledek
o řeší jednoduché úlohy na podmíněné pravděpodobnosti
S E P T I M A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Statistika • statistický soubor, jednotka znak • tabulka četností, relativní četnost • aritmetický průměr, modus, medián • směrodatná a mezikvartilová
odchylka
o student správně používá základní pojmy statistiky, uvědomuje si souvislost mezi velikostí statistického souboru a objektivitou výsledku
o na základě získaných dat sestaví tabulku četností a určí relativní četnosti
o u statistického souboru rozhodne, kterou charakteristiku polohy (aritmetický průměr, modus, medián)a variability (směrodatná nebo mezikvartilová odchylka) zvolit a tu potom spočítá
o znázorní získané statistické výsledky pomocí vhodného grafu
Analytická geometrie • souřadnice bodu • vektory, operace s vektory, skalární
a vektorový součin • geometrie v rovině • lineární geometrie v prostoru
o student si představí a znázorní bod zadaný pomocí souřadnic v rovině i v prostoru
o spočítá střed a délku úsečky z jejích krajních bodů
o chápe vektor jako množinu orientovaných úseček, vektory graficky i početně sčítá, odčítá, násobí reálným číslem
o určí skalární a vektorový součin vektorů, chápe jejich rozdíl, geometrický význam a použití
o určí přímku v rovině pomocí parametrického vyjádření, obecnou rovnicí i směrnicovým tvarem
o řeší polohové a metrické úlohy v rovině (vzájemná poloha a průsečík přímek, kolmost, odchylky, vzdálenost bodu od přímky)
o vyjádří přímku a rovinu v prostoru o řeší polohové a metrické úlohy
v prostoru (vzájemná poloha bodů, přímek a rovin, jejich průniky, kolmost, odchylky, vzdálenosti)
Analytická geometrie kuželoseček
• kružnice, kružnice a přímka • elipsa, elipsa a přímka • parabola, parabola a přímka • hyperbola, hyperbola a přímka
o student si uvědomuje vznik kuželosečky jako průniku roviny a kužele a souvislost typu kuželosečky s nakloněním roviny
o u jednotlivých kuželoseček vysloví přesnou geometrickou definici
o podle zadání napíše středovou
VII.1.B – Matematika
7
nebo vrcholovou rovnici kuželosečky, z obecné rovnice určí typ kuželosečky, střed, vrcholy, ohniska
o určí vzájemnou polohu přímky a kuželosečky, napíše rovnice všech přímek majících s kuželosečkou společný právě jeden bod
Komplexní čísla – část 1. • zavedení komplexních čísel a
početních operací s nimi • Gaussova rovina • absolutní hodnota komplexního čísla
• goniometrický tvar komplexního čísla
• řešení kvadratických rovnic s reálnými koeficienty v oboru komplexních čísel
o student chápe zavedení imaginární jednotky a komplexních čísel
o provádí základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru
o znázorní komplexní čísla jako body v Gaussově rovině
o odvodí absolutní hodnotu komplexního čísla jako jeho vzdálenost od počátku v Gaussově rovině
o uvědomuje si možnost zápisu komplexních čísel v goniometrickém tvaru
o převádí komplexní čísla v algebraickém tvaru na goniometrický a naopak
o řeší kvadratické rovnice s reálnými koeficienty a provádí diskusi řešení v oboru komplexních čísel
O K T Á V A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Rovnice s parametrem
• lineární rovnice s parametrem • kvadratické rovnice s parametrem
o student chápe rozdíl mezi neznámou a parametrem v rovnici
o provádí diskuzi řešení rovnice vzhledem k parametru v oboru reálných i komplexních čísel a získané výsledky správně interpretuje
Posloupnosti a řady • posloupnost, určení posloupnost • vlastnosti posloupností • matematická indukce • aritmetická posloupnost • geometrická posloupnost • limita posloupnosti • nekonečná geometrická řada
o student chápe posloupnost jako typ funkce se specifickým definičním oborem
o pracuje s posloupnostmi zadanými pomocí vzorce pro n-tý člen i rekurentně
o vysloví hypotézu a dokáže monotonii a omezenost posloupnosti
o využívá matematickou indukci pro důkazy matematických tvrzení
o vysloví definici aritmetické a geometrické posloupnost, zná jejich vlastnosti a umí jich využít při řešení úloh
o používá geometrickou posloupnost při řešení úloh o úrokování
o chápe pojem limita posloupnosti a spočítá jednoduché limity
o chápe pojem nekonečná
VII.1.B – Matematika
8
geometrická řada a řeší úlohy na její součet
Opakování učiva
o prohlubováním, upevňováním a procvičováním učiva se student připravuje na maturitní zkoušku
Doctrina - Podještědské gymnázium, s.r.o.
Oddíl E – učební osnovy VII.2.B
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
VII.2.B – Deskriptivní geometrie
1
Charakteristika předmětu: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ve vyšším stupni osmiletého studia Obsah předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu deskriptivní geometrie pro vyšší stupeň víceletého gymnázia nevychází ze žádné vzdělávací oblasti Rámcového vzdělávacího programu pro gymnaziální vzděláván, ale je stanoven podle očekávaných požadavků na znalosti z tohoto oboru na vysokých školách technického směru. V deskriptivní geometrii je realizováno průřezové téma Osobnostní a sociální výchova. Časové vymezení předmětu
vyučovací hodina cvičení kvinta X X sexta X X septima (2) X oktáva (2) X
Organizace výuky Předmět deskriptivní geometrie je volitelným předmětem pro studenty septimy a oktávy. Vzhledem k volitelnosti předmětu probíhá výuka v menší skupině studentů (obvykle 4 – 8), čímž je zajištěn individuální přístup ke studentům a možnost úzké spolupráce studentů a vyučujícího při řešení úloh. Pokud student absolvuje oba ročníky s dvouhodinovou dotací, může z předmětu deskriptivní geometrie skládat maturitní zkoušku. Výchovné a vzdělávací strategie Deskriptivní geometrie seznamuje studenty se způsoby zobrazování trojrozměrných útvarů na dvojrozměrnou nákresnu. Vyžaduje od studentů určitou míru prostorové představivosti, kterou v průběhu výuky dále výrazně rozvíjí. Vede studenty k aktivní účasti na řešení problémů, k diskusím o možných postupech, vyžaduje od studentů schopnost vyjádřit, popsat a obhájit své prostorové nebo konstrukční řešení. Dalším cílem tohoto předmětu je vést studenty k pečlivé, precizní a čisté práci s rýsovacími pomůckami a vědomí nutnosti odevzdávat formálně dokonalou práci. Studenti se seznamují s využitím deskriptivní geometrie v mnoha oborech lidské činnosti. Kompetence k učení
• vedeme studenty důsledně k využívání vlastní prostorové představivosti, k nepřejímání naučených postupů, ale k samostatné tvorbě řešení
VII.2.B – Deskriptivní geometrie
2
• podporujeme samostatnou zodpovědnou přípravu z hodiny na hodinu, upevnění si získaných poznatků
• zařazujeme problémové úlohy, zejména na odvození nových poznatků nebo na řešení praktických úloh z běžného života
• průběžným hodnocením výsledků práce studentů jim umožňujeme posoudit jejich pokroky při učení, ujasnit si rezervy jejich přípravy
Kompetence k řešení problémů
• přecházíme důsledně od jednoduššího problému ke složitějšímu (princip postupnosti)
• vedeme studenty k samostatnému řešení úloh pomocí prvotního vymodelování si situace, zvážení vhodného postupu a precizního provedení konstrukce
• zařazujeme úlohy z praktického života (rozbor úlohy, vymodelování, zvolení vhodné konstrukce, provedení)
• podporujeme řešení jedné úlohy více možnými postupy (porovnání efektivity, přesnosti výsledku, využití různých znalostí, ověření výsledku jiným postupem)
Kompetence komunikativní
• vyžadujeme používání odborné terminologie • podporujeme komunikaci studentů při řešení problému: porozumění zadání,
vyhodnocení informací, schopnost popsat prostorové i konstrukční řešení, zdůvodnění postupu řešení, formulace výsledků
• zařazujeme práci s odborným textem pro nácvik porozumění, vyhledání podstatných informací, zhodnocení
• vedeme studenty k dovednosti „číst“ rysy, výkresy a technickou dokumentaci a vyhodnotit z nich informace
Kompetence sociální a personální
• vytváříme přátelskou a kolegiální atmosféru při hodinách, kdy se student nebojí říci svůj názor před ostatními studenty ani před pedagogem – nevhodná řešení se rozeberou a opraví, ale nezesměšní
• podporujeme práci v kolektivu, schopnost zapojit se do společné činnosti, uplatnit své individuální schopnosti, ale respektovat názory druhých
Kompetence občanské
• seznamujeme studenty s historií a vývojem deskriptivní geometrie, s jejím využitím v současné i minulé architektuře a vedeme je k respektu ke schopnostem a dovednostem tvůrců
• vytváříme přátelskou atmosféru ve třídě, kdy oceňujeme i výkony slabších studentů
Kompetence k podnikavosti
• rozvíjíme technické myšlení studentů a nadané studenty směřujeme ke správné volbě dalšího studia technického směru
• vytváříme správné pracovní návyky při vyžadování pečlivého, přesného a čistého rýsování
VII.2.B – Deskriptivní geometrie
3
• vedeme studenty k uvědomování si spojitostí mezi teoretickými úlohami a jejich uplatněním v technické praxi
Rozpracování vzdělávacího obsahu vyučovacího předmětu S E P T I M A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Úvod do předmětu
• rozměry výkresů, druhy čar • druhy promítání • souřadnicový systém
o student používá správné druhy čar pro různé konstrukce a různou viditelnost útvarů
o zná přesný rozměr výkresu A4 a z něj odvodí rozměry větších výkresů
o uvědomuje si rozdílné vlastnosti a použití středového a rovnoběžného, kolmého a kosého promítání
o správně umístí útvary do souřadnicového systému
Studenti jsou vedeni nejen k pochopení učiva a správným konstrukcím, ale i k čistému a přesnému rýsování
Kótované promítání • úsečka, přímka, vzájemná poloha
přímek • rovina • útvar v rovině • rovina a přímka • tělesa
o student chápe princip zobrazování při kótovaném promítání a s využitím získaných poznatků a vlastní představivosti je schopen prostorově vyřešit a následně konstrukčně provést a narýsovat základní polohové a metrické úlohy: skutečná velikost úsečky, stopník přímky, odchylka přímky od průmětny, bod na přímce, stopa roviny, přímka a rovina daného spádu, průsečnice rovin, průnik mnohoúhelníků, útvar v rovině včetně kružnice, rovina a přímka, sestrojení tělesa
o využívá získaných vědomostí k řešení jednoduchých topografických úloh z praxe
Ukázka využití kótovaného promítání na zjednodušených topografických úlohách
Mongeovo promítání • úsečka, přímka, vzájemná poloha
přímek • rovina • útvar v rovině • rovina a přímka • tělesa
o student chápe princip zobrazování na dvě navzájem kolmé průmětny a s využitím získaných poznatků a vlastní představivosti je schopen prostorově vyřešit a následně konstrukčně provést a narýsovat základní polohové a metrické úlohy: skutečná velikost úsečky, stopníky přímky, odchylky přímky od průměten, bod na přímce, vzájemná poloha 2 přímek, sestrojení stop rovin, průsečnice rovin, průnik mnohoúhelníků, útvar v rovině včetně kružnice, průsečík přímky s rovinou, přímka kolmá k rovině, sestrojení tělesa z různých zadání, řez tělesa rovinou a sestrojení sítě seříznuté části tělesa
VII.2.B – Deskriptivní geometrie
4
Kosoúhlé promítání • princip promítání, vynesení bodů • útvar v půdorysně • těleso v základní pozici
o student chápe princip kosoúhlého zobrazování na jednu průmětnu s nutností dourčení tohoto promítání a seznámí se se základy tohoto promítání
o sestrojí mnohoúhelník a kružnici v půdorysně
o sestrojí těleso s podstavou v půdorysně nebo v rovině rovnoběžné s půdorysnou
o zná pravidla dalších typů kosoúhlého promítání (vojenská perspektiva, kavalírní perspektiva) a sestrojí pomocí nich jednoduchá tělesa
O K T Á VA Učivo Očekávané výstupy Poznámky Průsečík přímky s tělesem
• průsečík přímky s hranolem a jehlanem
• průsečík přímky s válcem, kuželem a kulovou plochou
o student zvolí vhodnou pomocnou rovinu, sestrojí průsečík přímky s tělesem a vyznačí viditelnost přímky, a to v Mongeově i kosoúhlém promítání
Průnik těles • průnik hranolů a jehlanů • průnik těles s válcem, kuželem a
kulovou plochou
o student samostatně řeší úlohy na průnik těles v Mongeově i kosoúhlém promítání – tělesa mají podstavy v jedné průmětně nebo v rovinách navzájem kolmých
Řez kužele rovinou • klasifikace kuželoseček • ohniskové vlastnosti kuželoseček • řezy kužele
o student na základě vzájemné polohy roviny a kužele rozhodne o typu kuželosečky
o sestrojí elipsu, parabolu, hyperbolu z různých zadání (ohnisko, vrchol, bod kuželosečky, tečna,…)
o sestrojí řez kužele rovinou a skutečnou velikost řezu v Mongeově promítání
Řešení střech a dvorů • řešení střech bez zastavěné části • řešení střech se zastavěnou částí • řez střechy rovinou a skutečná
velikost střešních rovin • řešení dvorů
o student řeší střechy bez i se zastavěnými částmi nad libovolným půdorysem, sestrojí skutečnou velikost řezu střechy i střešní roviny
o řeší dvory nad libovolným půdorysem
Konstrukční úlohy o student s využitím získaných znalostí a své prostorové představivosti nejprve prostorově a pak konstrukčně řeší různé prostorové úlohy a čistě a přesně je sestrojí
Doctrina - Podještědské gymnázium, s.r.o.
Oddíl E – učební osnovy VII.3.B
MATEMATICKÉ CVIČENÍ
VII.3.B – Matematické cvičení
1
Charakteristika předmětu: MATEMATICKÉ CVIČENÍ ve vyšším stupni osmiletého studia Obsah předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu matematické cvičení pro vyšší stupeň osmiletého gymnázia vychází ze vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace Rámcového vzdělávacího programu pro gymnázia, navazuje na již získané znalosti studentů z matematiky a tyto upevňuje a rozšiřuje. Dotýká se již probraných oblastí matematiky, ukazuje na souvislosti mezi nimi, vede studenty k řešení komplexních či netradičních úloh. V matematickém cvičení je realizováno průřezové téma Osobnostní a sociální výchova, které prolíná všemi předměty na vyšším stupni gymnázia. Časové vymezení předmětu
vyučovací hodina cvičení kvinta (1) X sexta X X septima X X oktáva X X
Organizace výuky Předmět matematické cvičení je zařazován do nabídky volitelných předmětů pro studenty kvinty. Výuka probíhá s podstatnou spoluprací studentů, kteří většinu nových informací sami odvozují a všechny úlohy řeší samostatně pouze s dohledem vyučujícího. V některých hodinách se využívají prvky skupinového nebo problémového vyučování. Výchovné a vzdělávací strategie Zařazením předmětu matematické cvičení do výuky v průběhu vyššího stupně gymnaziálního vzdělání vedeme studenty k většímu zájmu o matematiku, zvyšujeme jejich matematickou gramotnost a v souvislosti s tím je připravujeme na studium technických oborů na vysokých školách. Významně je podporován rozvoj logického uvažování, schopnost matematizace reálných situací a následné využití matematického aparátu pro řešení praktických úloh, na druhou stranu schopnost abstrakce a řešení úloh čistě matematických. Cílem je, aby žák pracoval s porozuměním, byl schopen posoudit správnost svého postupu a reálnost dosaženého výsledku.
VII.3.B – Matematické cvičení
2
Kompetence k učení • vedeme studenty k práci s matematickým textem, důraz klademe na správné
pochopení zadání úloh, ale také na formální přesnost matematického zápisu • logické a praktické uvažování rozvíjíme zařazováním úloh vyplývajících
z běžných životních situací, kde si studenti také zkouší odhad možných výsledků a ověřují je výpočtem
• řešením stereometrických úloh rozvíjíme prostorovou představivost, schopnost zakreslit 3D objekty, ale také pečlivost a přesnost při rýsování
Kompetence k řešení problémů
• prakticky veškeré nové učivo je odvozováno za pomoci studentů, na základě již známých faktů jsou vyvozovány nové informace
• zařazujeme problémové komplexní úlohy, které studenti řeší od počátečního rozboru situace, přes odhad možného výsledku a volbu vhodného postupu až k ověření správnosti daného řešení
• podporujeme řešení jedné úlohy více možnými způsoby • vedeme studenty k účasti v matematických soutěžích a olympiádách,
k vlastnímu rozšiřování matematických dovedností Kompetence komunikativní
• vyžadujeme od studentů, aby uměli vysvětlit postup řešení, používali správnou terminologii, zformulovali odpověď
• vedeme je k tomu, aby jejich zápisy řešení byly kompletní, logicky správné a přehledné a aby je studenti mohli dále využívat pro vlastní studium
• využíváme práci ve skupinách, kde musí před ostatními obhájit svůj postup či své řešení
Kompetence sociální a personální
• výuka probíhá v přátelské atmosféře, kdy se student neobává říci svůj názor, popř. se zeptat na nejasnosti, a ostatní studenti názor zhodnotí nebo pomohou s vysvětlením
• se studenty diskutujeme nad možnými postupy řešení, oceňujeme každý vlastní přínos studenta, podporujeme sebevědomí studenta
Kompetence občanské
• zařazováním vhodných slovních úloh vedeme studenty ke zdravému životnímu stylu a správnému postoji k přírodě
• vedeme studenty k zodpovědnosti důslednou kontrolou zadaných úkolů a dodržením termínů
• podporujeme u studentů včasnou volbu budoucího studia, zdůrazňujeme vzrůstající potřebu technicky vzdělaných osob
Kompetence k podnikavosti
• podporujeme u studentů samostatnou aktivitu • zařazujeme do výuky úlohy zabývající se například výpočtem nákladů na
různé stavební či opravárenské práce, úlohy na porovnávání výhodnosti té které nabídky po zvážení všech faktorů
• posilujeme sebevědomí studentů vhodně volenými úkoly a následným zhodnocením
VII.3.B – Matematické cvičení
3
Rozpracování vzdělávacího obsahu vyučovacího předmětu K V I N T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Úpravy výrazů • práce se zlomky a proměnnou • základní vzorce na rozklad
o student správně pracuje s jakýmikoliv výrazy, rozkládá na součin, krátí
o po úpravě výrazu vždy uvádí i definiční obor výrazu
Rovnice, nerovnice • lineární, kvadratické • soustavy o více neznámých • v součinovém a podílovém tvaru
o student volí vhodnou metodu postupu
o správně zapisuje množinu řešení o je schopen alespoň částečně
ověřit správnost svého výsledku o určí podmínky řešitelnosti
Funkce • definice, graf, základní vlastnosti
funkcí • lineární funkce • kvadratická funkce • lineární lomená funkce • funkce s absolutní hodnotou • mocninné funkce • exponenciální funkce, rovnice • logaritmická funkce, logaritmus,
logaritmická rovnice
o student je schopen načrtnout graf příslušné fce
o chápe pojmy definiční obor, obor hodnot, vztah mezi funkcí a jejím grafem
o podle zadání rozpozná typ funkce, určí její definiční obor, průsečíky s osami, načrtne graf funkce a na základě grafu určí monotonii, pa-ritu, omezenost a obor hodnot fce
o využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic
o k dané funkci najde funkci inverzní a sestrojit její graf
o porovnává hodnoty exponenciálních a logaritmických funkcí na základě jejich grafů
o řeší základní typy exponenciálních a logaritmických rovnic, využívá substituce
o chápe pojem logaritmus, využívá věty o logaritmech při úpravách výrazů a při řešení logarit. rovnic
Geometrické úlohy • polohové vlastnosti základních
geometrických útvarů • základní konstrukce • tělesa – objem a povrch
o student užívá správně geometrické pojmy
o zvládne načrtnout situaci a navrhnout řešení
o dokáže zapsat matematicky přesně konstrukci
o využívá svých znalostí a prostorové představivosti k řešení úloh na tělesech
o správně používá jednotky o spočítá povrch a objem základních
geometrických těles
Rozvíjení prostorové představivosti Zdokonalování práce s rýsovacími potřebami, nácvik přesného a čistého rýsování
Komplexní úlohy
o student se umí zorientovat v zadání, matematizuje situaci
o pojmenuje neznámé o vybere metody výpočtu o správně interpretuje výsledek
