Matematika I

Zobrazení

RNDr. Renata Klufová, Ph. D.

Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích

EF Katedra aplikované matematiky a informatiky

Zobrazení

Def. Nech» X,Y jsou neprázdné mno¾iny.

Relaci f : X → Y nazveme zobrazením, jestli¾e ke ka¾dému

x ∈ X existuje právì jedno y ∈ Y tak, ¾e [x, y] ∈ f .

Je-li [x, y] ∈ f , pak slo¾ku x nazýváme vzorem a slo¾ku y

obrazem a u¾íváme zápis y = f(x), který èteme:

þy je obrazem x pøi zobrazení fÿ.

de�nièní obor zobrazení f . . . D(f)

obor hodnot . . . H(f)

X1 ⊂ X . . . . obrazem X1 . . . mno¾ina obrazù v¹ech prvkù z X1

f(X1) = {y : [x, y] ∈ f, ∀x ∈ X1}c© Klufová 2011

Poèet zobrazení

Vìta o poètu zobrazení.

Jsou-li X,Y koneèné neprázdné mno¾iny, které mají p, q prvkù,

potom poèet v¹ech zobrazení z X do Y je qp.

Dùkaz:

Zvolme pevnì zadání mno¾iny X výètem prvkù.

Libovolné zobrazení lze popsat výètem obrazù tìchto prvkù.

Potøebujeme urèit poèet v¹ech mo¾ných uspoøádaných p-tic

majících na ka¾dém místì libovolný prvek mno¾iny Y . . . .

kartézský souèin:

Y × Y × ...× Y︸ ︷︷ ︸p−krát

= qp

c© Klufová 2011

Poèet zobrazení

Urèete poèet v¹ech zobrazení z mno¾iny A = {1,2,3} do mno¾iny

B = {v, w} a pak je znázornìte gra�cky.

uzlový graf zobrazení - z ka¾dého prvku de�nièního oboru musí

vést právì jedna ¹ipka

c© Klufová 2011

Rùzné zápisy zobrazení

U nekoneèných de�nièních oborù se pou¾ívají zápisy:

• explicitní - návod k získání obrazu - napø. f : y = x3 nebo

f : x→ x3

• implicitní - podmínka pro vzory a obrazy - napø.

G(x, y) = 2x+5y − 7

c© Klufová 2011

Speciální druhy zobrazení

Def. Zobrazení f : X → Y nazýváme

• injekcí (prostým zobrazením) ⇔ þka¾dý prvek oboru hodnot

má nejvý¹e jeden vzorÿ

• surjekcí (zobrazením na) ⇔ þka¾dý prvek oboru hodnot má

alespoò jeden vzorÿ, tj. f(X) = Y

• bijekcí (vzájemnì jednoznaèným zobrazením) ⇔ þka¾dý

prvek de�nièního oboru má právì jeden obraz a ka¾dý prvek

oboru hodnot má právì jeden vzorÿ - zobrazení je zároveò

injekcí a surjekcí

• konstantou ⇔ f(X) je jednoprvková mno¾ina

c© Klufová 2011

Speciální druhy zobrazení - uzlové grafy

• injekce (prosté zobrazení) - ¾ádné dvì ¹ipky se þnesejdouÿ

ve stejném obrazu

• surjekce (zobrazení na) - ¹ipky vedou ke v¹em prvkùm oboru

hodnot

• bijekce (vzájemnì jednoznaèné zobrazení) - z ka¾dého vzoru

vede právì jedna ¹ipka, v ka¾dém obraze konèí právì jedna

¹ipka

• konstanta - v¹echny ¹ipky konèí ve stejném bodì.

c© Klufová 2011

Poèty jednotlivých typù zobrazení

Vìta o poètech dle typù zobrazení.

Pro neprázdné mno¾iny X,Y mající p, q prvkù je poèet

• injekcí z X do Y : I =

{0 p > q

q!(q−p)! p < q

• surjekcí z X do Y :

S =

{0 p < q(qq

)· qp −

(q

q−1)· (q − 1)p +

(q

q−2)· (q − 2)p − . . .+ (−1)q−1

(q1

)· 1p p > q

• bijekcí z X do Y : B =

{0 p 6= qp! p = q

• konstant z X do Y : K = q

c© Klufová 2011

Poèty jednotlivých typù zobrazení -

pøíklad

Jsou dány mno¾iny T = {a, b, c, d, e}, Q = {♣,♥,♠}.

(a) Zjistìte poèet v¹ech zobrazení, injekcí, surjekcí, bijekcí a konstant z T doQ.

(b) Vyjádøete v %, jakou èást v¹ech zobrazení z T do Q tvoøí injekce, surjekce,bijekce a konstanty.

(c) Vyjádøete v %, jakou èást v¹ech zobrazení z Q do T tvoøí injekce, surjekce,bijekce a konstanty.

c© Klufová 2011

Speci�cké vlastnosti operací se

zobrazeními

Vìta (o operacích). Jsou dána zobrazení f : A→ B, g : B → C.

Potom platí

• Ka¾dá restrikce de�nièního oboru zobrazení f na neprázdnou

podmno¾inu je opìt zobrazení.

• Inverzní relace f−1 je zobrazením právì tehdy, kdy¾ f je

bijekce (f−1 je pak také bijekcí).

• Slo¾ená relace g ◦ f je také zobrazení (g ◦ f : A→ C) a platí:

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

c© Klufová 2011

Pøíklad 1

Je relace σ daná kartézským grafem zobrazením?

c© Klufová 2011

Pøíklad 2

Jsou dána dvì zobrazení f1 : x→ 3x+2, f2 : x→ 3− 2x.

Proveïte jejich: (a) inverzi, (b) slo¾ení.

c© Klufová 2011

Aplikace

• evidence obyvatel

• kuleèník

• kartogra�e, geodézie

• ¹ifrování zpráv

c© Klufová 2011