Matematika (Kate Morris) - POMN ENKA · 2015. 8. 9. · 14.3 Memo pomøcka . . . . . . . . . . . ....

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA

PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

∫POMNENKA

2

prase

Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku ,MSc. Catherine Morris

POMNĚNKA

Verze ze dne:

9. srpna 2015

Materiál je v aktuální verzi ke stažení na:

<www.matematika-lucerna.cz/pomnenka.pdf>

www.matematika-lucerna.cz/pomnenka.pdf

3

Poděkování

Na tomto místě děkuji panu doc. RNDr. Petru Gurkovi, CSc. za ochotu a veškerou poskytnutou

pomoc nejen při psaní tohoto dokumentu, ale i při mnohých konzultacích.

Děkuji panu Ing. Pavlu Střížovi, Ph.D. za technicko-uměleckou pomoc při zpracovávání tohoto

materiálu, za trpělivost a ochotu, s jakou se Pomněnce i mně věnoval.

Také děkuji Ivanu Johansenovi, tvůrci programu Graph. Tento šikovný program mi mockráte

pomohl s grafickou představou příkladů a za jeho pomoci je nakresleno mnoho obrázků v této

knize.

4

Citátky a postřehy od učitelů z České zemědělské univerzity:

Informace je cokoli, co snižuje neurčitost našeho poznání o realitě. elektronický testinformatika

Mít štěstí znamená, že jsme neudělali chybu. Petr Gurkamatematická analýza

Když si to vyzkoušíte, tak se s tím zkamarádíte a bude vše v pořádku. Eva Kaňkovámakroekonomie

Dobrý student má právo být dobře zkoušen. Helena Nešetřiloválineární algebra

Kdo chce dostřelit, musí přestřelit. Karel Hauzerfilosofie

Kdo společnosti přispívá ve vědách ale ne v mravech, ten společnosti spíše nepřispívá. Miroslav Svatošagrární ekonomie

Hlavně vědět PROČ, JAK už se najde.

účetnictví

Slovo úvodem

Milí čtenáři,

tento soubor je vytvořen převážně z materiálů zveřejněných na stránkách <www.matematika-lucerna.cz>.

Jsou zde uvedeny příklady jednodušší i složitější pro přípravu na zkoušku z matematiky na úrovni České zemědělské

univerzity (ČZU), ale také různé poznámky, rady a návody k výpočtům.

Vzhledem k tomu, že je tento materiál šířený v elektronické podobě, může být v průběhu času měněn. Proto je na

stránce 2 uvedeno vždy aktuální datum souboru. Tento materiál vzniká od roku 2009.

Doporučuji soubor tisknout barevně, neboť je v něm spoustu barevných odkazů a oboustranně, nejlépe samozřejmě

na recyklovaný papír. Oboustranný tisk je OPRAVDU velice důležitý, už proto, že pak budete mít vytištěný stoh

o polovinu lehčí ,.

Btw. věděli jste že . . . „na jednoho obyvatele v České republice připadlo v roce 2009 krásných 150 kg papíru?ÿ

Obrázek 1: Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany

Zdroj: <http://www.2strany.cz/>

Přeji vám mnoho úspěchů ve studiu a doufám, že vám tato kniha v některých věcech usnadní cestu a pomůže k úspěš-

nému složení zkoušek.

Katka V

5

www.matematika-lucerna.cz

http://www.2strany.cz/

Obsah

I Matematická analýza 18

1 Než začneme počítat 19

1.1 Vymezení náročnosti ČZU příkladů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Vzorečky v knize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Značení v Pomněnce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Obecné předpisy a grafy elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Vzorečky pro algebraické úpravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1 Mnohočleny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.2 Kvadratická rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.3 Mocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.4 Odmocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.5 Některé úpravy zlomků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7 Logaritmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.1 Vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.2 Hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7.3 Odlogaritmování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8 Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8.1 Vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8.2 Hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Definiční obor jedné proměnné 34

2.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Definiční obor dvou proměnných 41


6

OBSAH 7

4 Limity 45

4.1 Vzorce a vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Klasické příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Derivace funkcí jedné proměnné 48

5.1 Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Úprava funkcí před derivováním . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 Vzorce pro derivování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49



6 Limity – l´Hospitalovo pravidlo 53

6.1 Předpoklady užití l´Hospitalova pravidla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53



7 Parciální derivace 55

7.1 Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


8 Inverzní funkce 56

8.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


9 Tečna a normála v bodě T 59

9.1 Vzorce tečny a normály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9.2 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9.3 Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60



10 Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p 66

10.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8 OBSAH



11 Tečná rovina a normála 70

11.1 Vzorce tečné roviny a normály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


12 Jak čteme z derivací průběh původních funkcí? 71

12.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12.2 Monotonie a zakřivenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

13 Monotonie 81

13.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81




14 Konvexita a konkávita 86

14.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86


14.3 Memo pomůcka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

14.4 Ukázkový příklad zkouškové úrovně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89



15 Souhrnný příklad 94

16 Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné 95

16.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

16.2 Extrémy – možné intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96




OBSAH 9

17 Lokální extrémy dvou proměnných 104

17.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104



18 Vázané extrémy 107


19 Asymptoty 108

19.1 Vzorce asymptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108



20 Taylorův polynom 111

20.1 Vzorce Taylorova polynomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

20.2 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


20.3.1 Ukázkový příklad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

20.3.2 Ukázkový příklad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112



21 Neurčitý integrál 116

21.1 Vzorce pro integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

21.2 Ukázkové jednoduché příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

21.3 Ukázkový příklad zkouškové úrovně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


22 Určitý integrál 121

22.1 Návod na výpočet určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121



10 OBSAH

23 Aplikace určitého integrálu 129

23.1 Vzorce aplikovaného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

23.2 Návod na výpočet plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami P . . . . . . . . . . . . 130

23.3 Návod na výpočet délky křivky l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

23.4 Obecné znázornění pláště a objemu rotačních těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


24 Diferenciální rovnice I. řádu 141



25 Diferenciální rovnice II. řádu 144



II Lineární algebra 146

26 Základní pojmy z lineární algebry 147

26.1 Skalární součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

27 Lineární rovnice 151


28 Inverzní matice 153

28.1 Jordanova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

28.2 Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

29 Matice 157

29.1 Sčítání matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

29.1.1 Obecný návod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

29.1.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

29.2 Násobení matic reálným číslem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

29.2.1 Obecný návod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

OBSAH 11

29.2.2 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

29.3 Násobení matic maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

29.3.1 Obecný návod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

29.3.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

29.4 Rovnice s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

29.5 Matice s parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

30 Determinanty 161

30.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

30.1.1 Determinant matice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

30.1.2 Determinant matice 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

30.1.3 Determinant matice 3. řádu – Sarrusovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

30.1.3.1 Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

30.1.4 Determinant matice řádu > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162


30.2.1 Výpočet determinantů matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

30.2.2 Rovnice s determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

30.2.3 Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

III Přílohy 166

A Vzorce povolené ke zkoušce 167

A.1 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A.2 Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A.3 Vzorce pro integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A.4 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B Návod k programu Graph 4.3 170

B.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

B.2 Popis pracovní lišty a nápovědy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

12 OBSAH

B.2.1 Nastavení os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

B.2.2 Nápověda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

B.3 Jak zadávat funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

B.3.1 Předpisy funkcí a jak je zadávat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.3.2 Konkrétní příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

B.4 Další funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

B.4.1 Ohraničení funkce, šrafování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

B.4.2 Tečna a normála . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

B.4.3 Řada bodů / souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

B.4.4 Text, popisky a legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

B.4.5 Výpočty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

B.4.6 Ostatní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

B.5 Užitečné odkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

C Lineární algebra 180

C.1 Definice z lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

C.2 Věty z lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

D Řecká abeceda 190

Seznam obrázků

1 Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Označení kvadrantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Průběh funkce y = log2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Průběh funkce y = lnx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 Průběh funkce y = log5 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Průběh funkce y = log x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Průběh funkcí y = log2 x, y = lnx, y = log5 x, y = log x, y = log100 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8 Jednotková kružnice – hodnoty úhlů ve stupních . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9 Jednotková kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 Průběh funkce y = log(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Průběh funkce y = 2 + 2√x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Průběh funkce y = 3 +√2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.1 Grafické znázornění: Tečna – zadaná funkce a tečné body T a S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.2 Tečna a normála v bodě T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.3 Tečna a normála v bodě S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

10.1 Průběh funkce f(x) = 6x− 10− x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.2 Průběh funkce p : y = −2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.3 Očekávaný průběh hledané tečny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.4 Derivace zadané přímky p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.5 Derivace zadané funkce f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.1 Průběh funkce y = sinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12.2 Rostoucí interval funkce y = sinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

12.3 Průběh funkce y = sinx a funkce y′ = cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

12.4 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

12.5 Rostoucí interval funkce y = ln(16 + 9x2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13

14 SEZNAM OBRÁZKŮ

12.6 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2) a funkce y′ =18x

16 + 9x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

12.7 Konvexní průběh funkce y = ln(16 + 9x2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

12.8 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2) a funkce y′′ = 18(16−9x2)(16+9x2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

13.1 Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

13.2 Průběh funkce y′ = 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

14.1 Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

14.2 Průběh funkce y′′ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

14.3 Průběh ryze konvexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

14.4 Průběh ryze konvexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

14.5 Číselná osa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

14.6 Průběh funkce y = e−2x2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

16.1 Dva globální extrémy na hranicích intervalu 〈0; 1〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

16.2 Dva globální extrémy na hranicích intervalu 〈−3;−1〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

16.3 Globální neostré extrémy jsou na hranicích 〈−2; 2〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

16.4 Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici 〈−1; 3〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

16.5 Průběh funkce y = −x2

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

20.1 Průběh funkce y = (x− 1) · lnx+ 1 a Taylorův polynom v bodě a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

20.2 Průběh funkce y = x52 −√2− x a Taylorův polynom v bodě a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

21.1 Průběh funkcí y′ = 3x2

49+25x2 a y = 31250

[(49 + 25x2)− 49 ln(49 + 25x2)

]+ C . . . . . . . . . . . . . . . 118

22.1 Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 6〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

22.2 Průběh funkce y = −5 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 6〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

22.3 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 〈0, 5〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

22.4 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 〈−5, 0〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124


23.1 Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 5〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

23.2 Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 〈−1, 5〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

SEZNAM OBRÁZKŮ 15

23.3 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 〈0, 5〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


23.5 Průběh funkce y = 5− x a vymezení plochy v hranicích 〈0, 5〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

23.6 Průběh funkce y = x+ 2 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 5〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

23.7 Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 2〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

23.8 Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích 〈−2, 0〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

23.9 Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích 〈−2, 2〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

23.10Průběh funkce y = 2 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 3〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

23.11Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 〈−2, 2〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

23.12Obecné znázornění pláště rotačního tělesa (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

23.13Obecné znázornění objemu rotačního tělesa (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

26.1 Lineární obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

29.1 Násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

30.1 Sarrusovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

B.1 Základní pracovní plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

B.2 Základní nastavení os a barev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

B.3 Slovník – seznam funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

B.4 Vložení nové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

B.5 Konkrétní příklad – funkce f(x) = x+ e(1−x2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

B.6 Šrafování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

B.7 Vložení tečny a normály k vybrané funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

B.8 Řada bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

B.9 Vložení textu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

D.1 Cyklus učení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Seznam tabulek

1.1 Značení grafů funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Obecné předpisy vybraných elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Grafy elementarních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Důležité hodnoty goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7 Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí . . . . . . . . . . . . 32

2.1 Značení výsledků u definičních oborů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Vybrané funkční hodnoty funkce y = 2 + 2√x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Vybrané funkční hodnoty funkce y = 3 +

√2

x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Vybrané funkční hodnoty funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8.1 Funkční hodnoty funkce f : y = 2x a její inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.2 Inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

12.1 Jak čteme z derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

12.2 Rostoucí intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

12.3 Klesající intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

12.4 Intervaly konvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

12.5 Intervaly konvexity a konkávity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

12.6 Různé funkce a řada jejich derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

16.1 Určení kvality extrémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

16.2 Extrémy – body z případu 16.1 na intervalu 〈0; 1〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

16.3 Extrémy – body z případu 16.2 na intervalu 〈−3;−1〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

16.4 Extrémy – body z případu 16.3 na intervalu 〈−2; 2〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

16.5 Extrémy – body z případu 16.4 na intervalu 〈−1; 3〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

16.6 Vybrané funkční hodnoty funkce y =−x2

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

16

16.7 Porovnání funkčních hodnot funkce y =−x2

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

20.1 Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 1 . . . . . . . . . . . . 112

20.2 Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 2 . . . . . . . . . . . . 114

26.1 Vektorové prostory a podprostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

28.1 Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.1 Důležité hodnoty goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.1 Slovník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.2 Konkrétní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Část I

Matematická analýza

18

Kapitola 1

Než začneme počítat

1.1 Vymezení náročnosti ČZU příkladů

Návody na řešení příkladů jsou určeny především pro zkouškové úlohy na úrovni ČZU, tj.:

funkce jsou spojité, jejich definiční obory jsou konečným sjednocením intervalů,

derivace se počítá dle vzorců a pravidel.

1.2 Vzorečky v knize

V knize jsou vzorce uvedeny na několika místech. V této kapitole jsou obecné vzorce pro algebraické úpravy apod.

Vzorce pro výpočty jednotlivých typů příkladů jsou vždy uvedeny u patřičné kapitoly. V Příloze A jsou pak uvedené

vzorečky, které jsou na ČZU povolené ke zkoušce. Ke zkoušce je však potřeba si i některé vzorečky pamatovat, a to

konkrétně vzorce pro tyto typy příkladů:

Tečna a normála,

Asymptoty a

Taylorův polynom.

1.3 Značení v Pomněnce

Obrázek 1.1 zobrazuje používané označení kvadrantů.

Obrázek 1.1: Označení kvadrantů

III

III IV

Tabulka 1.1 zobrazuje typy značení křivek na obrázcích v knize. Ve většině příkladů je zadáním nultá derivace.

U integrálů je však zadání, tedy funkce která se má integrovat, první derivací a výsledkem je derivace nultá.

19

20 KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT

Tabulka 1.1: Značení grafů funkcíNultá derivace

První derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Druhá derivace −−−−−−−−−−Taylorův polynom − · − · − · − · − · − ·Asymptota − · · − · · − · · − · ·

1.4. ČÍSELNÉ OBORY 21

1.4 Číselné obory

Tabulka 1.2: Číselné obory

Označení Název skupiny Příklad čísel

N Přirozená čísla 1, 2, 3, 4, . . .

N0 Celá nezáporná čísla 0, 1, 2, 3, . . .

Z Celá čísla . . .−2,−1, 0, 1, 2, . . .

Q Racionální čísla

17

19,332

15, . . .

IQ Iracionální čísla π, e, . . .

R Reálná čísla

17

19, π, e,

332

15, . . .

C Komplexní čísla x2 + 1⇒ výsledky jsou i a −i

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q a IQ ⊂ R ⊂ C (1.4.1)

Obrázek 1.2: Číselné obory

C

R

IQ QZ

N0N


1.5 Obecné předpisy a grafy elementárních funkcí

Tabulka 1.3 představuje souhrn obecných předpisů vybraných elementárních funkcí.

Tabulka 1.3: Obecné předpisy vybraných elementárních funkcí

Obrázek Název Obecný předpis Obrázek Název Obecný předpis

Přímka y = ax+ b Parabola y = ax2 + bx+ c

Hyperboly y =c

xHyberboly

x2

a2− y2

b2= 1

Logaritmus y = log x Odmocnina y = a√x+ b

Kde a, b, c jsou R.

1.5. OBECNÉ PŘEDPISY A GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ 23

Tabulka 1.4: Grafy elementarních funkcí

x

y

−2 −1 1 2

1

2

3

x

y

−2 −1 1 2

1

2

3

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

y = x2 y =√x y = x3

y = 1x y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1

y = loga x, a > 1 y = loga x, 0 < a < 1 y = sinx

y = cosx y = tg x y = cotg x


y = arcsinx y = arccosx y = arctg x

y = arctg x

1.6. VZOREČKY PRO ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY 25

1.6 Vzorečky pro algebraické úpravy

1.6.1 Mnohočleny

Pro a, b ∈ R platí:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2, (1.6.1)

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2, (1.6.2)

a2 − b2 = (a+ b) · (a− b). (1.6.3)

1.6.2 Kvadratická rovnice

Jedná se o rovnici

ax2 + bx+ c = 0, (1.6.4)

kde a, b, c ∈ R, a 6= 0, s neznámou x. Kořeny (neznámé) x1, x2 vypočítáme podle vzorce

x1,2 =−b±

√D

2a, jestliže D = b2 − 4ac ≥ 0 (diskriminant). (1.6.5)

Pokud D = 0, je x1 = x2 = −b2a dvojnásobným kořenem.

Platí rovnost ax2+bx+c = a(x−x1)·(x−x2). Pokud a = 1, máme x2+bx+c = (x−x1)·(x−x2) = x2−x(x1+x2)+x1·x2,

tedy b = −(x1 + x2), c = x1 · x2.

Poznámka 1. Pokud D < 0, kvadratická rovnice (1.6.4) nemá reálné kořeny. Má však dva komplexně sdružené

komplexní kořeny x1 =−b+i√|D|

2a , x2 =−b−i√|D|

2a , kde i je imaginární jednotka, tj. i2 = −1.

Zjednodušeně řečeno, je-li

diskriminant D > 0, pak řešením rovnice jsou dva různé reálné kořeny,

diskriminant D = 0, pak řešením rovnice je jeden dvojnásobný reálný kořen,

diskriminant D < 0, pak řešením rovnice dva komplexně sdružené kořeny.


1.6.3 Mocniny

Jsou-li r, s ∈ R, pak platí následující rovnosti pro všechna x, y ∈ R, pro která mají obě strany smysl:

xr · xs = xr+s, xr : xs =xr

xs= xr−s, x−r =

1

xr, x0 = 1, (1.6.6)

speciálně: x−1 =1

x, x−r · xr = x0 = 1,

xr · yr = (x · y)r, xr

yr=(xy

)r,

1

xr=( 1x

)r, (1.6.7)

(xr)s = xr·s. (1.6.8)

Příklady 2. Pro x 6= 0 máme:

1

x23

= x−23 ,

x−1

−x=

1

−x · x=

1

−x2(dle (1.6.6)).

1.6.4 Odmocniny

Pro m,n ∈ N, r ∈ R a x, y ∈ (0,∞) platí:

n√x = x

1n , (1.6.9)

n√x · y = n

√x n√y, n

√x

y=

n√x

n√y, (1.6.10)

n√xr =

(n√x)r

= xrn ,

n

√m√x =

m

√n√x = n·m

√x, (1.6.11)

speciálně: n√xn = x.

1.6.5 Některé úpravy zlomků

složený zlomek:xywz

=x

y· zw

=xz

yw(y, z, w 6= 0), (1.6.12)

usměrňování zlomků – příklad:1√x

√x√x=1

=1√x·√x√x=

√x

x(x > 0), (1.6.13)

rozložení zlomků:a+ b

c=a

c+b

c× a

b+ c. (1.6.14)

1.7 Logaritmy

1.7.1 Vzorce

Předpokládejme, že

a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞).

1.7. LOGARITMY 27

Platí

ay = x ⇔ y = loga x pro x > 0, y ∈ R, (1.7.1)

speciálně: 10y = x ⇔ x = log y (pro x > 0, y ∈ R),

speciálně: ey = x ⇔ x = ln y (pro x > 0, y ∈ R, e = 2, 71 . . . je Eulerovo číslo),

aloga b = b pro b > 0, (např. eln 3 = 3), (1.7.2)

Pro u, v > 0, s ∈ R a n ∈ N platí:

loga(u · v) = loga u+ loga v, loga

(uv

)= loga u− loga v, (1.7.3)

loga (us) = s · loga u, loga

(n√u)= loga (u)

1n =

1

n· loga u, (1.7.4)

loga 1 = 0, loga a = 1, (1.7.5)

speciálně z (1.7.4), (1.7.5) plyne: s = loga(as). (1.7.6)

loga b =log10 b

log10 a(1.7.7)

1.7.2 Hodnoty

Tabulka 1.5: Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot

loga 1 = 0 loga a = 1

barva křivky x (−∞; 0〉 0, 5 1 2 e 5 10 100 456

♥ log2 x ? −1 0 1 1, 43829 2, 32193 3, 32193 6, 64386 8, 83289

♥ lnx ? −0, 69315 0 0, 69315 1 1, 60944 2, 30259 4, 60517 6, 12249

♥ log5 x ? −0, 43068 0 0, 43068 0, 61944 1 1, 43068 2, 86135 3, 80412

♥ log x ? −0, 30103 0 0, 30103 0, 43297 0, 69897 1 2 2, 65896

♥ log100 x ? −0, 15051 0 0, 15052 0, 21649 0, 34949 0, 5 1 1, 32948

Obrázek 1.3: Průběh funkce y = log2 x

Zdroj: program Graph


Obrázek 1.4: Průběh funkce y = lnx


Obrázek 1.5: Průběh funkce y = log5 x


Obrázek 1.6: Průběh funkce y = log x


1.7. LOGARITMY 29

Obrázek 1.7: Průběh funkcí y = log2 x, y = lnx, y = log5 x, y = log x, y = log100 x



1.7.3 Odlogaritmování

Např. při výpočtu definičních oborů se občas setkáváme s nutností odlogaritmovat určitý výraz, níže jsou příklady,

jak takovou úpravu provést.

Pro a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞), A > 0 a y > 0 platí:

x = loga y ⇔ y = ax (1.7.8)

aB loga A = aloga AB

= AB (1.7.9)

aloga A = A (1.7.10)

loga aB = B (1.7.11)

V následujících příkladech ukážeme několik možností s logaritmy o různých základech.

1) Dekadický logaritmus (základ 10)

1− log(8− x) = 0

log(8− x) = 1 (podle vzorce (1.7.8))

8− x = 101

x = −2

2) Přirozený logaritmus (základ e)

2− ln 6x = 0

ln 6x = 2

ln 6x = ln e2 (podle vzorce (1.7.11))

6x = e2 (neboť logaritmus je prostá funkce)

x = e2

6

3) Logaritmus o základu 6

log6(8x2 − 12)− 5 = 2

log6(8x2 − 12) = 7

log6(8x2 − 12) = log6 6

7 (podle vzorce (1.7.11))

6log6(8x2−12) = 6log6 67

8x2 − 12 = 67 (podle vzorce (1.7.10))

8x2 = 67 + 12

x2 = 67+128

x = ±√

67+128

x = ±√

279936+128

x = ±√

2799488

1.8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE 31

1.8 Goniometrické funkce

1.8.1 Vzorce

1. sin (x± 2kπ) = sinx 8. sin (−x) = − sinx 15. sin2 x+ cos2 x = 1

2. cos (x± 2kπ) = cosx 9. cos (−x) = − cosx 16. tg x =sinx

cosx

3. tg (x± kπ) = tg x 10. tg (−x) = − tg x 17. tg x · cotg x = 1

4. cotg (x± kπ) = cotg x 11. cotg (−x) = − cotg x 18. cotg x =cosx

sinx

5. sin(α± β) = sinα · cosβ ± sinβ · cosα 12. tg(α± β) = tgα± tg β

1∓ tgα · tg β19. tg 2α =

2 · tgα1− tg2 α

6. cos(α± β) = cosα · cosβ ∓ sinα · sinβ 13. sin 2α =1− 2 cos 2α

220. cos 2α =

1 + 2 cos 2α

2

7. cotg2 α =cotg2 α− 1

2 · cotgα14. cos 2α = cos2 α− sin2 α 21. sin 2α = sinα · cosα

22. cotg(α± β) = cotgα · cotg β ∓ 1

cotg β ± cotgα

1.8.2 Hodnoty

Tabulka 1.6: Důležité hodnoty goniometrických funkcí

x −π2 −π3 −π4 −π6 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π 7π

65π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

sinx −1 −√32 −

√22 − 1

2 0 12

√22

√32 1

√32

√22

12 0 − 1

2 −√22 −

√32 −1 −

√32 −

√22 − 1

2

cosx 0 12

√22

√32 1

√32

√22

12 0 − 1

2 −√22 −

√32 −1 −

√32 −

√22 − 1

2 0 12

√22

√32

tg x ? −√3 −1 −

√33 0

√33 1

√3 ? −

√3 −1 −

√33 0

√33 1

√3 ? −

√3 −1 −

√33

cotg x 0 −√33 −1 −

√3 ?

√3 1

√33 0 −

√33 −1 −

√3 ?

√3 1

√33 0 −

√33 −1 −

√3


Tabulka 1.7: Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí

arcsinx:x ∈ 〈−1; 1〉 sin

(−π2

)= −1 ⇒ arcsin(−1) = −π

2

arcsinx ∈⟨−π

2;π

2

⟩sin

(7π

6

)=

−12

ALE arcsin

(−12

)= −π

6

arccosx:x ∈ 〈−1; 1〉 cos(0) = 1 ⇒ arccos(1) = 0

arccosx ∈ 〈0;π〉 cos

(−π3

)=

1

2ALE arccos

(1

2

)=

π

3

arctg x:

x ∈ (−∞;∞) tg

(−π3

)= −

√3 ⇒ arctg

(−√3)

=

(−π3

)

arctg x ∈(−π2

;π

2

)tg

(2π

3

)= −

√3 ALE arctg

(−√3)

=

(−π3

)

tg(5π

3

)= −

√3 ALE arctg

(−√3)

=

(−π3

)

arccotg x:x ∈ (−∞;∞) cotg

(π4

)= 1 ⇒ arccotg(1) =

π

4

arccotg x ∈ (0;π) cotg

(5π

4

)= 1 ALE arccotg(1) =

π

4

1.8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE 33

Obrázek 1.8: Jednotková kružnice – hodnoty úhlů ve stupních

x

y

0

30

6090

120

150

180

210

240

270300

330

360

π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

(√32 ,

12

)

(√22 ,√22

)

(12 ,√32

)

(−√32 ,

12

)

(−√22 ,√22

)

(− 1

2 ,√32

)

(−√32 ,−

12

)

(−√22 ,−

√22

)

(− 1

2 ,−√32

)

(√32 ,−

12

)

(√22 ,−

√22

)

(12 ,−

√32

)

(−1, 0) (1, 0)

(0,−1)

(0, 1)

Obrázek 1.9: Jednotková kružnice

10 x

y

α

x

y

sinα = y cosα = x

tgα =y

xcotgα =

x

y

secα =1

xcscα =

1

y

Kapitola 2

Definiční obor jedné proměnné

2.1 Návody k výpočtu

Činitelé, kteří kladou podmínky jsou:

1. JMENOVATEL. Musí být nenulový.1

x; x 6= 0

2. ODMOCNINA. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Může se rovnat nule (√0 = 0). Nula je nejmenší

číslo, které může být „podÿ sudou odmocninou.

√x; x ≥ 0

3. LOGARITMUS. Logaritmovaný výraz (argument) musí být větší než nula, ať je základem logaritmu jakékoli

číslo.

lnx; x > 0

log x; x > 0

4. DVĚ CYKLOMETRICKÉ FUNKCE. Argument, ze kterého se počítá arcsin a arccos (nikoli arctg a arccotg)

musí být na intervalu 〈−1; 1〉

ArcSin arcsinx; −1 ≤ x ≤ 1

ArcCos arccosx; −1 ≤ x ≤ 1

Tabulka 2.1: Značení výsledků u definičních oborů

Značení na číselné ose otevírací závorka uzavírací závorka znaménka podmínky

( ) > 6= <

• 〈〉 ≥ ≤

2.2 Ukázkové příklady

(1) y = log(x)

Z Obrázku 2.1 je vidět, že x může být jakkoli veliké v kvadrantu I a IV, tedy kladné. Nikdy se však nerovná nule ani

není záporné (x roste od nuly, nezačíná na ní), x > 0.

Definiční obor je tedy x ∈ (0;∞)

(2) y = 2 + 2√x

34

2.2. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY 35

Obrázek 2.1: Průběh funkce y = log(x)


Tabulka 2.2: Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x)

x −4 −0.5 0 1 5 10 100

y × × × 0 0.698 1 2

Obrázek 2.2: Průběh funkce y = 2 + 2√x


Je evidentní, že nejmenší možná hodnota x je 0. Podmínky ze sudé odmocniny jsou x ≥ 0.

Tabulka 2.3 ukazuje vybrané hodnoty, které tvoří zadanou funkci.

Definiční obor je tedy x ∈ (0;∞)

36 KAPITOLA 2. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ

Tabulka 2.3: Vybrané funkční hodnoty funkce y = 2 + 2√x

x −4 −0.5 0 1 5 10 100

y × × 0 1 6.472 8.325 22

(3) y = 3 +

√2

x

Obrázek 2.3: Průběh funkce y = 3 +√2x


Tabulka 2.4: Vybrané funkční hodnoty funkce y = 3 +

√2

x

x −4 −0.5 0 1 5 10 100

y 2.646 0.172 × 4.414 3.283 3.141 3.014

Definiční obor je tedy x ∈ (−∞; 0) ∪ (0;+∞) nebo lze tuto skutečnost zapsat jako x ∈ R\0.

(4) y = x2

Z této funkce žádné podmínky neplynou.

Definiční obor je tedy x ∈ R.

2.3 Jednoduché příklady ze skript

Zadání Výsledky

1) f(x) =

√1− x1 + x

1X D(f) = (−1; 1〉

2) f(x) =√2 + x− x2 + 4

√6x− 8− x2 2X D(f) = 2

3) f(x) = log (x3 − 5x2 + 6x) 3X D(f) = (0; 2) ∪ (3;∞)

4) f(x) =√x2 − 4 + 3

√2− x+

√3x2 + 4 4X D(f) = (−∞;−2〉 ∪ 2

2.3. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 37

Zadání Výsledky

5) f(x) =√3x − 9 5X D(f) = 〈2;∞)

6) f(x) = e√

1−log (x+3) 6X D(f) = (−3; 7〉

7) f(x) =2x + 1

2x − 1+

5√8− 2x

7X D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; 3)

8) f(x) =√4x − 3 · 2x − 4 8X D(f) = 〈2;∞)

9) f(x) = arccos

(1− 2x

3

)9X D(f) = 〈−1; 2〉

10) f(x) =5 arctg x

4− x2+ arcsin (x− 2) 10X D(f) = 〈1; 2) ∪ (2; 3〉

11) f(x) = arccos

√2x+ 1

211X D(f) =

⟨−1

2;1

2

⟩

12) f(x) = sin(arcsinx) 12X D(f) = 〈−1; 1〉

13) f(x) = arcsin(sinx) 13X D(f) = (−∞;∞)

14) f(x) = log (4x2 − 1) 14X D(f) =

(−∞;−1

2

)∪(1

2;∞)

15) f(x) =ln(x− 1)

x2 − x− 215X D(f) = (1; 2) ∪ (2;∞)

16) f(x) =√16− x2 + log (6x+ x2) 16X D(f) = (0; 4〉

17) f(x) = log (x3 + x) + 4

√2− x2 + x

17X D(f) = (0; 2〉

18) f(x) =log(12 + 4x− x2

)√x2 − x− 2

18X D(f) = (−2;−1) ∪ (2; 6)

19) f(x) =√

log(log x+ 8) 19X D(f) = 〈2;∞)

20) f(x) = log(1− log(x2 − 5x+ 16)

)20X D(f) = (2; 3)


Obrázek 2.4: Průběh funkce y = x2

x

y

−2 −1 1 2

1

2

3

Tabulka 2.5: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x2

x −4 −0.5 0 1 5 10 100

y 16 0.25 0 1 25 100 10 000

2.4 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let

Zadání Výsledky

1) f(x) =1

1− log (8− x)+

√9x2 − 1

x2 − 10x+ 211X D : x ∈ (−∞;−2) ∪

(−2;−1

3

⟩∪⟨1

3; 3

)∪ (7; 8)

2) f(x) = ln

(x3 − 16x

x− 5

)+√36− x2 2X D : x ∈ 〈−6;−4) ∪ (0; 4) ∪ (5; 6〉

3) f(x) =

√2x2 + 9x− 5

x4 − 3x5+

2

x− 53X D : x ∈ (−∞,−5〉 ∪

(1

3,1

2

⟩

4) f(x) = ln

(x2 + 2x− 15

x− 1

)+ e√2x−16 4X D : x ∈ 〈8;∞)

5) f(x) =

√5− 3x

x+ 3+ 1 + ln(x2 − 1) 5X D : x ∈ (−3;−1) ∪ (1; 4〉

6) f(x) =1

x− 2+ arcsin

(2x− 5

5

)+ ln(x2 − 1) 6X D : x ∈ (1; 2) ∪ (2; 5〉

7) f(x) = log

(4x − 16

x2 + 2x− 3

)+ e√25−4x2

7X D : x ∈⟨−5

2; 1

)∪(2;

5

2

⟩

8) f(x) =

√x2 − 3x− 10

log(x+ 4)− 1+ log(8− x) 8X D : x ∈ (−4;−2〉 ∪ 〈5; 6) ∪ (6; 8)

9) f(x) =√ln(5− x) +

√x2 + 2x− 3

2x − 49X D : x ∈ 〈−3; 1〉 ∪ (2; 4〉

10) f(x) =

√2x − 8

x3 − 3x2 − 10x+ log(100− x2) 10X D : x ∈ (−10;−2) ∪ (0; 3〉 ∪ (5; 10)

11) f(x) =√25− x2 + ln

x3 + 4x2 − 21x

4− x11X D : x ∈ 〈−5; 0) ∪ (3; 4)

12) f(x) = ln

(x2 − 3x+ 2

x+ 4

)+ arcsin

(2x− 1

7

)12X D : x ∈ 〈−3; 1) ∪ (2; 4〉

13) f(x) = log(x2 − 4) +

√x2 − 9

x2 − x− 2013X D : x ∈ (−∞;−4) ∪ 〈−3;−2) ∪ (2; 3〉 ∪ (5;∞)

14) f(x) =√25− x2 + ln

(x2 + 2x− 3

x2 + 2x− 8

)14X D : x ∈ 〈−5; 4) ∪ (−3; 1) ∪ (2; 5〉

2.4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 39

Zadání Výsledky

15) f(x) = ln

√2− e4x

2 + e4x15X D : x ∈

(−∞;

ln 2

4

)

16) f(x) =

√2x − 8

x2 + 4x− 5+ ln(x2 + 3x) 16X D : x ∈ (−5;−3) ∪ (0; 1) ∪ 〈3;∞)

17) f(x) =

√x2 − 9x+ 20

x− 3+ log (log(10− x)) 17X D : x ∈ (3; 4〉 ∪ 〈5; 9)

18) f(x) =

√5x − 25

x2 − x− 12+ log(x2 − 1) 18X D : x ∈ (−3;−1) ∪ (1; 2〉 ∪ (4;∞)

19) f(x) =√x2 − 4x+ 3 +

√ln(5− x) 19X D : x ∈ 〈−∞; 1〉 ∪ 〈3; 4〉

20) f(x) =√

log (log(x+ 8)) 20X D : x ∈ 〈2;∞)

21) f(x) =2x + 1

2x − 1+

5√8− 2x

21X D : x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 3)

22) f(x) = e√

1−log(x+3) 22X D : x ∈ (−3; 7〉

23) f(x) =√64− x2 − ln

(x− 3

x2 − 4x− 5

)23X D : x ∈ (−1; 3) ∪ (5; 8〉

24) f(x) = ln

(x2 − 2x− 15

x− 1

)+ e√x2−16 24X D : x ∈ (5;∞)

25) f(x) =

√x2 − 4

log(x+ 4)− 125X D : x ∈ (−4;−2〉 ∪ 〈2; 6) ∪ (6;∞)

26) f(x) =

√x+ 6

x2 − 6x+ 8+ log(x2 − 9) 26X D : x ∈ 〈−6;−3) ∪ (4;∞)

27) f(x) =

√x2 + 3x− 4

x2 − 9+ log (log(2x+ 15)) 27X D : x ∈ (−7;−4〉 ∪ (−3; 1〉 ∪ (3;∞)

28) f(x) =√x2 − 9 + log

(x2 − 2x− 35

x2 − 16

)28X D : x ∈ (−∞;−5) ∪ (−4;−3〉 ∪ 〈3; 4) ∪ (7;∞)

29) f(x) = e√49−x2

+ ln

(x2 − 4x− 12

x+ 10

)29X D : x ∈ 〈−7;−2) ∪ (6; 7〉

30) f(x) =

√x2 + 2x− 15

4x − 16+ ln(16− x2) 30X D : x ∈ (−4; 2) ∪ 〈3; 4)

31) f(x) =√x2 − x− 2− ln (5− x) 31X (−∞;−1〉 ∪ 〈2; 5)

32) f(x) =

√x+ 3

x− 3− x− 3

x+ 3+ ln (x2 − 4) 32X (−3;−2) ∪ (3;∞)

33) f(x) = ln

(3x − 3

x2 + 2x− 15

)+√16− x2 33X 〈−4; 1) ∪ (3; 4〉

34) f(x) =√x2 − 1− arctg

√x2 − 1 34X (−∞;−1〉 ∪ 〈1;∞)

35) f(x) =

√x2 − 6x+ 8

x+ 8+ ln (x2 − 36) 35X (−8;−6) ∪ (6;∞)

36) f(x) =

√x2 + 7x− 8

9− x2+ log (log(x+ 7)) 36X (−6;−3) ∪ 〈1; 3)

37) f(x) = ln(x2 − 4) +

√x2 + 2x− 24

x2 + 4x37X (−∞;−6〉 ∪ (−4;−2) ∪ 〈4;∞)

38) f(x) =

√x2 + x− 2

16− x2+ log (9− x2) 38X 〈−3;−2〉 ∪ 〈1; 3〉

39) f(x) = ln

(x3 − 8

x2 + 5x− 6

)+ e√25−x2

39X 〈−5; 1) ∪ 〈2; 5〉


Zadání Výsledky

40) f(x) =√x2 − 1 + log

(x3 − 25x

x− 3

)40X (−∞;−5〉 ∪ 〈1; 3〉 ∪ 〈5;∞)

41) f(x) =

√x3 − 9x

log(x+ 5)− 1+ ln(12− x) 41X 〈−5;−3〉 ∪ 〈0; 3〉 ∪ (5; 12〉

42) f(x) = ln

(x2 − 4x− 5

8− 2x

)+√16− x2 42X 〈−4;−1) ∪ (3; 4〉

43) f(x) = ln

(2x − 16

x2 + 2x− 15

)+√x2 − 1 43X (−5;−1〉 ∪ 〈1; 3) ∪ (4;∞)

44) f(x) =

√x2 − 3x− 10

x2 − 7x+ 12+ log(log(x+ 5)) 44X (−4;−2〉 ∪ (3; 4) ∪ (5;∞)

Kapitola 3

Definiční obor dvou proměnných


Zadání Výsledek

1) f(x, y) = ln

(√x2 + y2 − 9

2x+ y + 3

)

2) f(x, y) = ln

(x2 + y2 − 9

3

)

3) f(x, y) =√

16− y2 + ln

(x2 + y2 − 4

2x+ y + 2

)

4) f(x, y) =

√x2 − 1

x2 + y2 − 4+ ln(9− y2)

5) f(x, y) =arccos y√y − ln(x+ 1)

41

42 KAPITOLA 3. DEFINIČNÍ OBOR DVOU PROMĚNNÝCH

6) f(x, y) =

√lnx− yy2 − 1

7) f(x, y) = ln

(4x2 + 9y2 − 36

lnx− y

)

8) f(x, y) =√

1− y2 +

√lnx+ y

lnx− y

9) f(x, y) =

√1 + x− ylnx− y

10) f(x, y) = ln

(2− x− yy − log x

)

11) f(x, y) = arcsin

(2x+ 3y

x− 1

)


12) f(x, y) = log

(36− 4x2 − 9y2

x2 + y − 4

)

13) f(x, y) =

√4x− y2

ln(1− x2 − y2)

14) f(x, y) = ln

(x2 + y + 1

1− x2

)

15) f(x, y) = arcsin(y − x2) + arcsin(y − x− 1)

16) f(x, y) = log

(4x2 + y2 − 4

y2 − 1

)

17) f(x, y) = ln

(4− x2

x2 + 4y2 − 16

)

44 KAPITOLA 3. DEFINIČNÍ OBOR DVOU PROMĚNNÝCH

18) f(x, y) = ln

(4x2 + 9y2 − 24x− 36y + 36

4x2 − y2 − 24x+ 4y + 28

)

Kapitola 4

Limity

4.1 Vzorce a vztahy

Níže jsou uvedeny vzorce pro oboustranné limity ve vlastním bodě.

Analogické vzorce platí i pro limity v ±∞ a také pro limity jednostranné, není-li řečeno jinak může být A také ±∞.

1) Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu, tj. je-li limx→a

f(x) = A a limx→a

f(x) = B, pak je A = B;

2) je-li limx→a

f(x) = A ∈ R a limx→a

g(x) = B ∈ R, potom je:

limx→a

(f(x) + g(x)) = A+B;

limx→a

(f(x)− g(x)) = A−B;

limx→a

(f(x) · g(x)) = A ·B;

limx→a

(f(x)

g(x)

)=A

B, samozřejmě za předpokladu, že B 6= 0;

3) je-li f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) v nějakém okolí bodu a (s vyjímkou tohoto bodu a) a limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = A, potom

je také limx→a

h(x) = A;

4) limx→a

g(x) = b, limx→b

h(x) = A a je-li pro každé x ∈ D(g), x 6= a splněna nerovnost g(x) 6= b, pak je limx→a

h(g(x)) = A.

Poznámka. Důsledkem právě uvedených vlastností limit jsou i následující dvě vlastnosti:

5) je-li limx→a

f(x) = A ∈ R, potom je limx→a

(k · f(x)) = k ·A pro libovolné k ∈ R;

6) je-li limx→a

f(x) = 0 a je-li funkce g(x) omezená v nějakém okolí bodu a (tj. | g(x) |≤ K, pro nějaké K ∈ R, potom

je limx→a

(f(x) · g(x)) = 0.

45

46 KAPITOLA 4. LIMITY

4.2 Klasické příklady

Určete limity funkcí:

Zadání Výsledky Zadání Výsledky

1) limx→1

x2 + 5

x3 + 11X 3 2) lim

x→0

2x− 3

log(x+ 10)2X −3

3) limx→−1

x3 + 1

x2 − 13X −3

24) lim

x→1

x3 + 1

x2 − 14X Neexistuje

5) limx→2

x2 − 5x+ 6

x2 − 95X 0 6) lim

x→3

x2 − 5x+ 6

x2 − 96X

1

6

7) limx→∞

x2 − 5x+ 6

x2 − 97X 1 8) lim

x→2

(x2 − x− 2)20

(x3 − 12x+ 16)108X

(3

2

)10

9) limx→1

(2

1− x− 6

1− x3

)9X −2 10) lim

x→2

(8

x2 − 4− 2

x− 2

)10X −1

2

11) limx→∞

3x+ 1

x+ 411X 3 12) lim

x→∞

x4 + 1

(x2 + 2)212X 1

13) limx→∞

(x4

x3 + 1− x)

13X 0 14) limx→∞

x2 + 3x− 1

3x3 + 2x+ 414X 0

15) limx→∞

5 + x2 − x3

7− x+ 2x315X −1

216) lim

x→−∞

2x2 + 1

x2 − x+ 316X 2

17) limx→∞

3x3 − 2x+ 1

x2 + x− 117X ∞ 18) lim

x→−∞

3x3 − 2x+ 1

x2 − 3x+ 418X −∞

19) limx→−∞

x4 + x+ 5

2x2 + 3x+ 419X ∞ 20) lim

x→∞

(2x+ 1)10 · (3x− 2)20

(2x− 3)3020X

(3

2

)20

21) limx→1

(x− 1) ·√2− x

x2 − 121X

1

222) lim

x→4

x− 4

2−√x

22X −4

23) limx→3

√3x− 3

x2 − 923X

1

1224) lim

x→2

x−√3x− 2

x2 − 424X

1

16

25) limx→0

√3 + x−

√3

x25X

1

2√3

26) limx→−3

√x+ 4− 1

2(x+ 3)26X

1

4

27) limx→−2

3√x− 6 + 2

x+ 227X

1

1228) lim

x→16

4√x− 2√x− 4

28X1

4

29) limx→2

ln

(√x+ 2− 2

x− 2

)29X − ln 4 30) lim

x→−2

3√x− 6 + 2

x3 + 830X

1

144

31) limx→∞

√x4 + 3− 2x

x2 + 5x31X 1 32) lim

x→−∞

√(1− x)3

x3√x2

32X 0

33) limx→∞

√x+√x− 1

3√x−√x

33X −1 34) limx→∞

(√x− 3−

√x) 34X 0

35) limx→∞

√x ·(√x− 3−

√x)

35X −3

236) lim

x→∞

ex

2 + sinx36X ∞

37) limx→π+

2

tg x 37X −∞ 38) limx→0

cosx · x−6 38X ∞

39) limx→π

2

2 cos2 x+ 5 cosx

2 cos2−9 cosx39X − 5

9 40) limx→1

log

(x2 + 8x− 9

x2 − x

)40X 1

41) limx→0

sinx

sin 2x41X

1

242) lim

x→π4

2 tg2 x+ tg x− 3

2 tg2 x− 3 tg x+ 142X 5

43) limx→π

4

sin 2x− cos 2x− 1

cosx− sinx43X −

√2 44) lim

x→0

(2

sin 2x · sinx− 1

sin2 x

)44X

1

2

4.2. KLASICKÉ PŘÍKLADY 47

45) limx→π

sin 2x

tg x45X 2 46) lim

x→π+

1 + cosx

sinx46X 0

47) limx→π

4

sinx− cosx

cos 2x47X −

√2

248) lim

x→∞(x5 + sin 2x) 48X ∞

49) limx→∞

x+ sinx

x− cosx49X 1 50) lim

x→∞(2 arccotg x+ 3) 50X 3

51) limx→−∞

arctg x

x51X 0 52) lim

x→∞

1

1 + e1x

52X1

2

53) Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru

f(x) =1

x− 2D(f) = (−∞; 2) ∪ (2;∞) lim

x→−∞f(x) = 0 lim

x→2−f(x) = −∞

limx→∞

f(x) = 0 limx→2+

f(x) =∞

54) Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru

f(x) =1− x

x2 + 2x− 3

D(f) = R\−3; 1 limx→−∞

f(x) = 0 limx→1−

f(x) = −1

4lim

x→−3−f(x) =∞

limx→∞

f(x) = 0 limx→1+

f(x) = −1

4limx→3+

f(x) = −∞

Kapitola 5

Derivace funkcí jedné proměnné

5.1 Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)h

v bodě a (5.1.1)

5.2 Úprava funkcí před derivováním

Pakliže je naším úkolem zderivovat nějakou funkci, je často vhodnější si tuto funkci nejprve nějak příhodně upravit –

viz příklad (modře je vyznačena samotná derivace) a teprve po úpravě ji zderivovat. Výsledky však musí být stejné

ať už zadání upravíme, nebo ne.

Naším úkolem je zderivovat funkci:

y =1√

3 + 2x

Mohu ji derivovat:

a) Neupravenou

y =1√

3 + 2x

y′=0 ·√3 + 2x− 1 · 1

2√3 + 2x

· 2

3 + 2x= −

1√3 + 2x3 + 2x

1

= − 1√3 + 2x

· 1

3 + 2x= − 1√

(3 + 2x)3

b) Upravenou

y = (3 + 2x)−12

y′= − 12 · (√3 + 2x)−

32 · 2 = −(

√3 + 2x)−

32 = − 1√

(3 + 2x)3

48

5.3. VZORCE PRO DERIVOVÁNÍ 49

5.3 Vzorce pro derivování

Pokud aplikujeme vzorec Equation 5.1.1 v každém bodě a, dostaneme následující vzorce.

Níže jsou uvedeny všechny vzorce z tabulky z technické fakulty.

Ani na zmíněné tabulce nejsou všechny vzorce Diferenciálního počtu. Některé vzorce jsou zde (i v tabulce) odvozené

od ostatních, například: vzorce č. 2, 4, 5 jsou odvozeny od vzorce č. 3; vzorec č. 7 odvozen od vzorce č. 6; vzorec č. 9

odvozen od vzorce č. 10.

Funkce a exponenty Pravidla pro derivování

1. (konstanta)′ = 0 Pravidla pro sčítání

2. (x)′ = 1 19. (u± v)′ = u′ ± v′

3. (xa)′ = axa−1 Pravidla pro násobení

4.

(1

x

)′= − 1

x220. (u · v)′ = u′ · v + u · v′

5. (√x)′ =

1

2√x

Speciální případ s konstantou

Logaritmy a exponenciála 20.a (k · f(x))′ = k · (f(x))′

6. (loga x)′ =

1

x ln aNásobení více funkcí

7. (log x)′ =1

x ln 1021. (u · v · w)′ = u′ · v · w + u · v′ · w + u · v · w′

8. (lnx)′ =1

xnebo též ((u · v) · w)′ = (u · v)′ · w + (u · v) · w′

9. (ex)′ = ex Pravidla pro podíl

10. (ax)′ = ax · ln a 22.(uv

)′=u′ · v − u · v′

v2

Goniometrické funkce Speciální případ s konstantou

11. (sinx)′ = cosx 22.a

(f(x)

k

)′=f ′(x)

k

12. (cosx)′ = − sinx Pravidla pro složené funkce

13. (tg x)′ =1

cos2(x)23. [f (g(x))]

′= f ′ (g(x)) · g′(x)

14. (cotg x)′ = − 1

sin2(x)

Cyklometrické funkce

15. (arcsinx)′ =1√

1− x2

16. (arccosx)′ = − 1√1− x2

17. (arctg x)′ =1

1 + x2

18. (arccotg x)′ = − 1

1 + x2

Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici obecné mocniny(f(x)g(x)

)= eg(x)·ln f(x)


Zadání Výsledky

1) y = 7√x+ 5

√2 1 X y′ =

7

2√x

2) y =12√x3√x

53√x4

2 X y′ =1

12√x7

50 KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ

Zadání Výsledky

3) y =(√x− 1)2

x3X y′ =

√x− 1

x2

4) y =x

2x− 14X y′ = − 1

(2x− 1)2

5) y = x2 · 3x 5X y′ = x · 3x · (2 + x · ln 3)

6) y = x · lnx− x 6X y′ = lnx

7) y = (2− x2) · cosx+ 2x · sinx 7X y′ = x2 · sinx

8) y = (x− 1) · log3 x 8 X y′ = log3 x+1

ln 3·(1− 1

x

)

9) y =tg x

ex9X y′ =

1− sinx · cosxex · cos2 x

10) y =4x+ 6

9− 4x210 X y′ =

4

(3− 2x)2

11) y =cosx

1− sinx11X y′ =

1

1− sinx

12) y =1 + lnx

x12X y′ = − lnx

x2

13) y = ln

(x+ 3

x− 3

)13 X y′ =

6

9− x2

14) y = arctg

(1

x

)14X y′ = − 1

1 + x2

15) y = arccotg

(x+ 1

x− 1

)15X y′ =

1

1 + x2

16) y = e√x+1 +

√x+ 1 16 X y′ =

e√x+1 +1

2√x+ 1

17) y = arcsin√x2 − 1 17 X y′ =

x√(2− x2)(x2 − 1)

18) y = tg4 x− 2 · tg2 x− 4 · ln(cos(x)) 18 X y′ = 4 · tg5 x

19) y = ln(tg(x2

))19 X y′ =

1

sinx

20) y = 2x− (1− x2) · ln(1 + x

1− x

)20 X y′ = 2x · ln

(1 + x

1− x

)

21) y =

(√x+

1√x

)5

21 X y′ =5(x+ 1)4 · (x− 1)

2x3 ·√x

22) y = x · arctg x− 1

2· ln(1 + x2) 22 X y′ = arctg x

23) y = ln(tg(π4+x

2

))23 X y′ =

1

cosx

24) y =x

8·√16− x2 + 2 · arcsin x

424 X y′ =

√16− x24

25) y =√16x− x2 + 4 · arcsin

√x

425 X y′ =

10− x√16x− x2

26) y =1√3· arctg

(x ·√3

1− x2

)26 X y′ =

x2 + 1

x4 + x2 + 1

27) y = x · arcsin(1

x

)+ ln

(x+

√x2 − 1

)27 X y′ = arcsin

(1

x

)

28) y =1

2· ln(tg(x2

))− cosx

2 sin2 x28 X y′ =

1

sin3 x


Zadání Výsledky

29) y =x

(x2 + 1)2+

3x

2(x2 + 1) + 32 arctg x

29 X y′ =4

(x2 + 1)3

30) y = ln

(1−√1− x2x

− arcsinx

x

)30 X y′ =

arcsinx

x2

31) y =1

2· ln(

x2

x2 + 1

)− arctg x

x31 X y′ =

arctg x

x2

Vypočtěte druhé derivace funkcí:

32) y = x · tg+ ln(cosx) 32 X y′ =2x · tg x+ 1

x2

33) y = ln(x+

√x2 + 1

)33 X y′ =

−x√(x2 + 1)3

34) y =2x ·√x

3·(lnx− 2

3

)34 X y′ =

lnx+ 2

2 ·√x

35) y = ln

(x+ 3√x2 + 4

)35 X y′ =

6x3 − 3x2 − 24x− 52

((x+ 3) · (x2 + 4))2

36) y = arctg

(1− x3

1 + x3

)36 X y′ =

6x · (2x6 − 1)

(1 + x6)2

37) y = ln

√1− x1 + x

+ arctg

(1− x1 + x

)37 X y′ =

−8x3

(x4 − 1)2

38) y =3 + e2x

4− e2x38 X y′ =

28 e2x ·(4 + e2x)

(4− e2x)3

39) y = ln

√1 + e2x

1− e2x39 X y′ =

4 e2x ·(1 + e4x)

(1− e4x)2

Vypočtěte f ′(4) pro funkci

40) f(x) =

√x

1 + 2 ·√x

40 X f ′(4) = 0, 01

Vypočtěte f ′(0) a f ′′(0) pro funkci

41) f(x) =x

2·√

9− x2 ·(9

2

)· arcsin x

341 X f ′(0) = 3, f ′′(0) = 0

Vypočtěte f ′(5) a f ′′(5) pro funkci

42) f(x) = x2 − x ·√x2 − 9 + ln

(x+

√x2 − 9

)42 X f ′(5) = 0, f ′′(5) =

1

8

Ve kterých intervalech je derivace zadané funkce kladná?

43) y = tg2 x+ 2 · ln(tg x) 43 X x ∈(2k · π

2, (2k + 1) · π

2

)

Pro které x je derivace zadané funkce rovna nule?

44) y = (4x− 1) · e 1x 44 X x =

1

2

Pro která x je derivace zadané funkce rovna nule?

45) y = sin3 x− 3 · sin2 x+ 3 · sinx 45 X x =π

2+ kπ, k ∈ Z

Pro která x platí f ′(x) = 4 u zadané funkce?

46) y =4 · sinx1 + cosx

46 X x =π

2+ kπ, k ∈ Z

52 KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ


Zadání Výsledky

1) f(x) = ln(sin 3x+

√2− cos2 3x

)1X f(x)′ =

3 · cos 3x√2− cos2 3x

2) f(x) = ln

(x√

1− x2

)2X f(x)′ =

1

x− x3

3) f(x) = ln

√2 + sin2 5x

2− sin2 5x3X f(x)′ =

20 · sin 5x · cos 5x4− sin4 5x

4) f(x) = x ·√3− x2 + 3 · arccos x

√3

34X f(x)′ =

−2x2√3− x2

5) f(x) = ln

(1 +√x4 + 1

x2

)5X f(x)′ =

−2x√x4 + 1

6) f(x) =x

2·√x2 − 9− 9

2· ln(x+

√x2 − 9

)6X f(x)′ =

√x2 − 9

7) f(x) =√9− x2 + x · arcsin x

3+ arcsin

1

27X f(x)′ = arcsin

(x3

)

8) f(x) =√16x− x2 + 4 · arcsin

√x

48X f(x)′ =

10− x√16x− x2

9) f(x) = ln

√2− e4x

2 + e4x9X f(x)′ =

8 · e4x

e8x−4

10) f(x) = ln(ln2 x+

√4 + ln4 x

)10X f(x)′ =

2 · lnxx√4 + ln4 x

Nepočítáno:

11) f(x) = ln(√

x4 + 2 + x2)− ln

(√x4 + 2− x2

)

12) f(x) = ln(sin2 3x+

√1 + sin4 3x

)

13) f(x) =√x2 − 1− arctg

√x2 − 1

14) f(x) = ln

(x2√1− x4

)

15) f(x) = ln

(√1 + e2x − 1√1 + e2x + 1

)

16) f(x) = eπ2

√1− ex + arcsin

(ex2

)

17) f(x) = 4 · arcsin(√

x

2

)+√4x− x2

18) f(x) =√x · arcsin

(√x)+√1− x

Kapitola 6

Limity – l´Hospitalovo pravidlo

6.1 Předpoklady užití l´Hospitalova pravidla

Chceme-li počítat limity limf(x)

g(x)l´Hospitalovým pravidlem, musí dané funkce splňovat následující předpoklady:

1.něco∞

2.0

0

3. limity z derivace limf ′(x)

g′(x)existuje.

Potom limf(x)

g(x)= lim

f ′(x)

g′(x)


Užitím l’Hospitalova pravidla vypočtěte následující limity:


1) limx→3

x2 − 2x− 3

x3 + x− 301X

1

72) lim

x→0+

e3x−2x− 1

sin2 2x2X ∞

3) limx→0

ex2 −1

cosx− 13X −2 4) lim

x→∞

ln 2x√x

4X 0

5) limx→0+

lnx

cotg x5X 0 6) lim

x→0

ex2 −1

x2 + x6X

1

2

7) limx→∞

1− xe−x+1

7X 0 8) limx→0

sin 3x

sin 5x8X

3

5

9) limx→0

sin3 3x

x39X 27 10) lim

x→π

cos 2x− 1

tg x10X 0

11) limx→0+

3√x · lnx 11X 0 12) lim

x→1−ln(1− x) · lnx 12X 0

13) limx→0+

(ex−1) · cotg x 13X 1 14) limx→0+

(cotg x− 1

x

)14X 0

15) limx→π

2

(x

cotg x− π

2 cosx

)15X −1 16) lim

x→π2

(tg x+

2

2x− π

)16X 0

17) limx→1

(x50 − 50x+ 49

x100 − 100x+ 99

)17X

49

19818) lim

x→π4

(3√tg x− 1

2 sin2 x− 1

)18X

1

3

Následující limity počítejte oběma způsoby, tj. úpravami bez použijí l’Hospitalova pravidla a s ním:


19) limx→3

√x+ 13− 2

√x+ 1

x2 − 919X − 1

1620) lim

x→−8

√1− x− 3

2 + 3√x

20X −2

21) limx→0

√1 + tg x−

√1− tg x

sinx21X 1 22) lim

x→0

√2−√1 + cosx

sinx22X 0

53

54 KAPITOLA 6. LIMITY – L´HOSPITALOVO PRAVIDLO

23) limx→0

tg x− sinx

sin3 x23X

1

224) lim

x→0

(1 + x)5 − (1 + 5x)

x2 + x524X 10

V dalších dvou příkladech vypočtěte limity dané funkce v hraničních bodech definičního oboru

a nakreslete graf libovolné jiné funkce, která má ve stejných bodech stejné limity:

Zadání Výsledky

25) y =2x2 + 5x− 3

8x2 − 2x− 125X lim

x→− 14+f(x) =∞ lim

x→− 14−f(x) = −∞

limx→±∞

f(x) =1

4limx→ 1

2

f(x) =7

6

26) y =x3 + 4x

x2 − 3x26X lim

x→0f(x) = −4

3lim

x→−∞f(x) = lim

x→3−f(x) = −∞

limx→3+

f(x) = limx→∞

f(x) =∞


ZadáníNepočítáno:

1) limx→0

ln (1− x)√2 + sin 3x−

√2− sin 5x

2) limx→1

e1−x3 −1√

5x2 − 1− 2

3) limx→π

2

√2− 2 cos 3x

1− tg2 3x

4) limx→π

8

1− tg 2x

cos 4x

5) limx→∞

1− 10x

1 + 10x−1

6) limx→0

tg 3x√2 + sin 2x−

√2

7) limx→π

8

cotg 2x− 1

1− cos2 2x

8) limx→0

x+ sin 5x

x · cos 3x

9) limx→0

1−√1 + sin 2x

tg 2x

10) limx→0

√3x+ 4− 2

3x− sin 2x

Kapitola 7

Parciální derivace

7.1 Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě

∂f

∂x(a, b) = lim

h→0

f(a+ h, b)− (a, b)

h(7.1.1)

∂f

∂y(a, b) = lim

h→0

f(a, b+ h)− (a, b)

h(7.1.2)


Zadáná funkce Výsledek∂f

∂x

Výsledek∂f

∂yVýsledek

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x

1) f(x, y) = xy · ln(2x+ 3y)− ln 5 1) y · ln(2x+ 3y) +2xy

2x+ 3y

1) x · ln(2x+ 3y) +3xy

2x+ 3y1) ln(2x+ 3y) +

4x2 + 6xy + 9y2

(2x+ 3y)2

2) f(x, y) = ln(x2 + 3x√y)− y · sin(2) 2)

2x+ 3√y

x2 + 3x√y

2)3x · 1

2√y

(x2 + 3x√y)

2)3x2y − x

(x2 + 3x√y)2

Nepočítáno:

3) f(x, y) = sin(x2 − y4) + ye y3x2

+ 1

4) f(x, y) = ln(sin

y

x

)+ ln

(π6

)

5) f(x, y) =√

arctg (y − x) + 3x2y +√π

6) f(x, y) = sin(x2 + y3) + y · ex2y3 +1

7) f(x, y) = arctg(x2y)− arctg 1

8) f(x, y) = sin(x3y + y2)− sinπ

9) f(x, y) = arccotg(x− y)− arccotg(−3)

10) f(x, y) = cos(2x− xy) + cos(π4

)

11) f(x, y) = e√xy−x3y +x3y + e

√2

55

Kapitola 8

Inverzní funkce


Co je naším úkolem při výpočtu inverzních funkcí? Co je to vlastně inverzní funkce? Laicky řečeno, inverzní funkce

zobrazuje hodnoty „opačným směremÿ než původní funkce, jak je zřejmé z Tabulky 8.1. Z toho také vyplývá, že funkce

f : y = x je inverzní sama k sobě.

Právě ke každé prosté funkci lze nalézt inverzní funkci. To znamená, že ne ke každé funkci jsme schopni inverzní funkci

sestrojit. Např. funkce f : y = x2 definovaná na celém R není prostá, a proto k ní nejsme schopni sestrojit na tomto

definičním oboru inverzní funkci. Lze ji však nalézt k její vhodně zvolené části – viz Tabulka 8.2 třetí příklad. To samé

se týká funkce f : y = sinx v posledních dvou příkladech zmíněné tabulky.

Tabulka 8.1: Funkční hodnoty funkce f : y = 2x a její inverzní funkce

f : y = 2x ⇒ f−1 : y = x2

f(1) = 2 f−1(2) = 1

f(2) = 4 f−1(4) = 2

f(3) = 6 ⇒ f−1(6) = 3

f(4) = 8 f−1(8) = 4

f(5) = 10 f−1(10) = 5

Příklad

f : y =x+ 1

3x− 4/ · (3x− 4)

y · (3x− 4) = x+ 1

3xy − 4y = x+ 1 /roznásobení levé strany

3xy − x = 1 + 4y /−x /+4y

x(3y − 1) = 4y + 1 /vytčení x

x =4y + 1

3y − 1inverzní funkce (k y nalezneme x)

y =4x+ 1

3x− 1/přeznačení proměnné

Tabulka 8.2 ukazuje celkem pět příkladů funkcí a jejich inverzních funkcí. V každém řádku je uveden jeden příklad,

na obrázcích jsou celkem 3 křivky:

petrolejová = zadaná funkce

• plná = část zadané funkce k níž JE sestrojena inverzní funkce

• tečkovaná = část zadané funkce k níž NENÍ sestrojena inverzní funkce

56


růžová (plná) = inverzní funkce

fialová (tečkovaná) = osa, podle níž je původní funkce „překlopenaÿ


Zadání1) f : y = 4−

√log(x+ 1)

2) f : y = 3− 3√x+1

3) f : y = 2− 4√x−3

58 KAPITOLA 8. INVERZNÍ FUNKCE

Tabulka 8.2: Inverzní funkce

Zadaná funkce ⇒ Inverzní funkce

f : y = 2x ⇒ f−1 : y = x2

f : y = ex ⇒ f−1 : y = log x

f : y = x2 x ∈ 〈0;∞) ⇒ f−1 : y =√x

f : y = sinx〈−π2 ;π2 〉 ⇒ f−1 : y = arcsinx

f : y = sinx〈−π2 ;π2 〉 ⇒ f−1 : y = arcsinx


Kapitola 9

Tečna a normála v bodě T

9.1 Vzorce tečny a normály

Tečna

t : y − yT = f ′(xT) · (x− xT) (9.1.1)

Normála

n : y − yT =−1

f ′(xT)· (x− xT) když f ′(xT) 6= 0 (9.1.2)

Normála v extrémním případě, kdy se první derivace v bodě rovná v daném bodě nule

f ′(xT) = 0 (9.1.3)

n : x = xT (9.1.4)

Všimněte si, že v případě, kdy se první derivace v bodě rovná nule v zadaném bodě, pak:

t : y − yT = 0 (9.1.5)

n : x = xT (9.1.6)

a předpisy tečny a normály neobsahují proměnnou x nebo y. Jedná se tedy o přímky, kdy:

t ‖ osa x (tečna je rovnoběžná s osou x)

n ‖ osa y (normála je rovnoběžná s osou y)


Obecný předpis tečny a normály:

59

60 KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T

t : y − yT = f ′(xT) · (x− xT) n : y − yT =−1

f ′(xT)· (x− xT)

1. Máme zadaný předpis konkrétní funkce a bod o souřadnicích T = [xT; yT]. Nemusíme se zabývat definičním

oborem – máme zadaný konkrétní bod a ten určitě na křivce leží = v tom místě funkce existuje. Více řešit nemu-

síme. Zpravidla známe jen x-ovou souřadnici bodu. y-novou souřadnici dopočteme dosazením x-ové souřadnice

do zadaného předpisu.

2. Vidíme, že pro dosazení do vzorce nepotřebujeme jen x-ovou a y-ovou souřadnici, ale i první derivaci. Vypočteme

tedy 1. derivaci zadané funkce.

3. V případě, že se v 1. derivaci vyskytne proměnná x, dopočteme 1. derivaci v bodě. Vyjde-li např. y′ = 2x a máme

zadaný bod T = [3; 6], tak derivace v bodě je y′ = 2 · 3, tedy y′ = 6. (y-nová souřadnice se v derivaci v bodě

nijak nepromítne).

4. Dosazení do vzorce:

t : y − yT = f ′(xT) · (x− xT)

n : y − yT = − 1

f ′(xT)· (x− xT)

• Toto jsou proměnné, části vzorce, za které se nic nedosazuje a pouze se „opisují.ÿ

• Za tyto části vzorce se dosazují souřadnice zadaného bodu T.

• Derivace v bodě (jedná se vždy o konkrétní číslo).

Poznámka.

Normála je kolmice na tečnu – tyto dvě přímky tedy nikdy nemohou mít stejný předpis. Podívejme se však, co se

stane, když vyjde první derivace v daném bodě nula f ′(x) = 0, a my bezmyšlenkovitě dosadíme do vzorců tečny a

normály:

t : y − yT = 0 · (x− xT) n : y − yT = ××× · (x− xT)

××× – pro normálu nám vychází dělení nulou, což je operace vyhrazená pouze Chucku Norrisovi. Pakliže vyjde

pro tečnu předpis y = yT, jedná se o nějakou konstantní funkci rovnoběžnou s osou x. Má-li být normála kolmá na

tečnu a procházet zadaným bodem, musíme vycházet ze seciálního vzorečku pro tento případ, který říká:

n : x = xT

9.3 Ukázkový příklad

Máme zadanou funkci y = lnx

Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech:

• T = [1; ?]

9.3. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD 61

1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce

• y = ln 1⇒ y = 0

Plné souřadnice bodů jsou tedy:

• T = [1; 0]

2) Vypočteme 1. derivaci funkce y = lnx

• y′ =1

x

3) Vypočítáme 1. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body – tedy pro každý zvlášť)

• y′T =1

1= 1

4) Dosazení do vzorce

• t : y − 0 = 1 · (x− 1)

0 = x− y − 1

y = x− 1

• n : y − 0 = −1

1· (x− 1)

0 = y + x− 1

y = 1− x

Máme zadanou funkci y = lnx

Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech:

• S = [e; ?]

1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce

• y = ln e⇒ y = 1

Plné souřadnice bodů jsou tedy:

• S = [e; 1]

2) Vypočteme 1. derivaci funkce y = lnx

• y′ =1

x


3) Vypočítáme 1. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body – tedy pro každý zvlášť)

• y′S =1

e

4) Dosazení do vzorce

• t : y − 1 =1

e· (x− e)

0 = x− e y

• n : y − 1 = − e ·(x− e)

0 = y + ex− e2−1

Obrázek 9.1: Grafické znázornění: Tečna – zadaná funkce a tečné body T a S



Obrázek 9.2: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě T = [1; 0]


Obrázek 9.3: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě S = [e; 1]




Zadání Výsledky

1) y = x2 1X tečna t : 0 = 6x− y + 9

tečný bod T = [3; ?] 1X normála n : 0 = x+ 6y − 57

2) y = x+√1− x 2X tečna t : 0 = x− 2y + 2

tečný bod T = [0; ?] 2X normála n : 0 = 2x+ y − 1

3) y =2x− 1

3x− 53X tečna t : 0 = 7x+ y − 17

tečný bod T = [2; ?] 3X normála n : 0 = x− 7y + 19

4) y = x · lnx 4X tečna t : 0 = x− y − 1

tečný bod T = [1; ?] 4X normála n : 0 = x+ y − 1

5) y = ln (x+ 1) 5X tečna t : 0 = x− ytečný bod T = [0; ?] 5X normála n : 0 = x+ y

6) y = 3 e2x+4x2 + 6 6X tečna t : 0 = 6x− y + 9


7) y = e−x · sin 3x 7X tečna t : 0 = 3x− ytečný bod T = [0; ?] 7X normála n : 0 = x+ 3y

8) y = x2 ·√x3 − 4 8X tečna t : 0 = 20x− y − 32


9) y = x2 · ln(2x− 1) 9X tečna t : 0 = 2x− y − 2


10) y = arctg

(2x− 3

3x+ 2

)10X tečna t : 0 = 4x− 13y − 6

tečný bod T =[32 ; ?]

10X normála n : 0 = 26x+ 8y − 39


Zadání Výsledky

1) y =

√3x2 + 4x+ 2

x1X tečna t : 0 = 4x+ 3y − 13

tečný bod T = [1; ?] 1X normála n : 0 = 3x− 4y + 9

2) y = 3 +x+ 1

(2x+ 1)22X tečna t : 0 = x− y + 4

tečný bod T = [−1; ?] 2X normála n : 0 = x+ y − 2

3) y =π

4+ 3 arctg

√2− e2x 3X tečna t : 0 = 3x+ 2y − 2π

tečný bod T = [0; ?] 3X normála n : 0 = 2x− 3y + 3π

4) y = 3− ln

√3− xx+ 3

4X tečna t : 0 = x− 3y + 9

tečný bod T = [0; ?] 4X normála n : 0 = 3x+ y − 3

5) y = 3 + ln

√2x− 3

3x− 55X tečna t : 0 = x+ 2y − 8

tečný bod T = [2; ?] 5X normála n : 0 = 2x− y − 1


6) y =(4− x)2

x+ 26X tečna t : 0 = 5x+ 4y − 14

tečný bod T = [2; ?] 6X normála n : 0 = 4x− 5y − 3

7) y = ex3−8

3x−x2 7X tečna t : 0 = 6x− y − 11


8) y =1 + cosx

1 + sinx8X tečna t : y − 1 =

−2√2− 2

2√2 + 3

·(x− π

4

)

tečný bod T =[π4; ?]

8X normála n : y − 1 =2√2 + 3

2√2 + 1

·(x− π

4

)

9) y = 2 + x · e1−2x 9X tečna t : 0 = ex− y + 2

tečný bod T = [0; ?] 9X normála n : 0 =−xe− y + 2

10) y = 3− 2 · ln√

4−xx+2 10X tečna t : 0 =

2x

3− y + 7

3

tečný bod T = [1; ?] 10X normála n : 0 =−3x2− y + 9

2

11) y = 5 + ln√

x2+1x+1 11X tečna t : 0 =

−x2− y + 5

tečný bod T = [0; ?] 11X normála n : 0 = 2x− y + 5

Nepočítáno:

12) y = ln

(sin 2x

1− cos 2x

)

tečný bod T =[π4 ; ?]

13) y = 4 · arctg(3x− 1

2x+ 1

)

tečný bod T = [2; ?]

Kapitola 10

Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p


Při výpočtu tečen a normál rovnoběžných se zadanou přímkou p musíme nejdříve zjistit bod dotyku T, a dále budeme

postupovat stejně, jako u úloh, pro nalezení rovnice tečny nebo normály, kde je zadán bod dotyku T. V zadání je

předpis funkce, k níž tečnu hledáme, a předpis přímky, s níž je tečna rovnoběžná.

1. Máme zadanou funkci f(x) = 6x− 10− x2

Obrázek 10.1: Průběh funkce f(x) = 6x− 10− x2


a máme zadanou přímku p : y = −2x (ve směrnicovém tvaru), se kterou má být hledaná tečna rovnoběžná.

Obrázek 10.2: Průběh funkce p : y = −2x


2. Očekáváme, že je-li tečna rovnoběžná s přímkou p, bude vypadat následovně – viz Obrázek 10.3, čerchovaná

přímka.

Zadaná přímka p a hledaná tečna musí mít stejný sklon (směrnici), který je v našem případě:

kt = −2 (viz Obrázek 10.4)

(pro normálu je směrnice převrácená hodnota s opačným znaménkem – víme, že normála je kolmá na tečnu)

kn =1

2.

3. Dále spočteme derivaci zadané funkce (což je směrnice tečny v bodě dotyku)

f ′(x) = 6− 2x

66

10.1. NÁVODY K VÝPOČTU 67

Obrázek 10.3: Očekávaný průběh hledané tečny


Obrázek 10.4: Derivace zadané přímky p


Obrázek 10.5: Derivace zadané funkce f(x)


4. Položíme do rovnosti směrnici zadané přímky p a derivaci zadané funkce f(x)

6− 2x = −2

8 = 2x

x = 4

y = −16 + 6 · 4− 10 = −2

T = [4; −2]

Dosadíme do vzorců

t : y + 2 = −2(x− 4)

68 KAPITOLA 10. TEČNA A NORMÁLA ROVNOBĚŽNÁ S PŘÍMKOU P

n : y + 2 =1

2(x− 4)

Poznámka 3. Směrnici přímky p : y = −2x lze získat jako derivaci této funkce.

Poznámka 4. V zadání úlohy může být přímka zadaná v jiném než směrnicovém tvaru. Například přímka zadaná

směrnicovou rovnicí:

p : y = −2x

může být zadaná různými obecnými rovnicemi:

p : 4x+ 2y = 0

p : −2x− y = 0


Zadání Výsledky

1) y = arcsin√4x 1X tečný bod T =

[1

8;π

4

]

přímka p: 4x− y = 5 1X tečna t : 16x− 4y − 2 + π = 0

2) y = ln(x3 + x2) 2X tečný bod T =

[−1

2;− ln 8

]

přímka p: y = 1− 2x 2X tečna t : 2x+ y + ln 8 + 1 = 0

3) y = sin 2x na⟨0;π

2

⟩3X tečný bod T =

[π

6;

√3

2

]

přímka p: y = x 3X tečna t : 6x− 6y + 3√3− π = 0

4) y = 2x3 + 2x2 4X tečný bod (1) T = [−1; 0]přímka p: y = x2 + 4x 4X tečna (1) t : 2x− y + 2 = 0

4X tečný bod (2) T =

[1

3;8

27

]

4X tečna (2) t : 54x− 27y − 10 = 0

5) y =3x+ 2

5x+ 6Spočtěte normálu 5X tečný bod (1) T =

[−2

5;1

5

]

přímka p: 2x+ y + 1 = 0 5X normála (1) n : 10x+ 5y + 3 = 0

5X tečný bod (2) T = [−2; 1]5X normála (2) n : 2x+ y + 3 = 0


Zadání Výsledky1) y = −x2 + 8x− 3 1X tečna t : 0 = 12x− y + 1

přímka p: −60x+ 5y − 9 = 0 1X normála n : 0 = x+ 12y + 278

2) y = −x2 − x− 6 2X tečna t : 0 = x− y − 5

přímka p: 3x− 3y − 7 = 0 2X normála n : 0 = x+ y + 7

3) y = −4x2 + 11x+ 2 3X tečna t : 0 = 3x− y + 6


přímka p: −9x+ 3y + 2 = 0 3X normála n : 0 = x+ 3y − 22

Kapitola 11

Tečná rovina a normála

11.1 Vzorce tečné roviny a normály

Tečná rovina

τ : 0 = (x− xT) ·∂z

∂x(x, y, z) + (y − yT) ·

∂z

∂y(x, y, z)− (z − zT) (11.1.1)

Normála

n : 0 = (x− xT) ·∂F

∂x(x, y, z) + (y − yT) ·

∂F

∂y(x, y, z) + (z − zT) ·

∂F

∂z(x, y, z) (11.1.2)


Zadání Výsledky

1) f(x, y) = (x− y) · ex2+y2 1X tečna t : 0 = 3 ex− e y − z − 2 e

tečný bod T = [1; 0; ?] 1X normála n : x = 1 + 3 e t

y = 0− e t

z = e−t

2) f(x, y) = y + x · eyx 2X tečna t : 0 = x+ 2y − z

tečný bod T = [1; 0; ?] 2X normála n : x = 1 + t

y = 0 + 2t

z = 1− t

3) f(x, y) = y · ln (3x− y) 3X tečna t : 0 = 6x− 2y − z − 2

tečný bod T = [1; 2; ?] 3X normála n : x = 1 + 6t

y = 2− 2t

z = 0− t

70

Kapitola 12

Jak čteme z derivací průběh původních funkcí?

Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci.

12.1 Monotonie

1. Dostaneme zadanou např. funkci y = sinx.

2. Když si funkci nakleslíme (nějakým programem, přes tabulku funkčních hodnot či si graf funkce pamatujeme),

bez počítání vidíme, že na určitých intervalech tato funkce roste a na jiných klesá. Právě to, kde roste a kde

klesá zjišťujeme při výpočtech monotonií. My si ale běžně funkce nekreslíme, navíc v testech dostáváme funkce

tak složité, že pro nás není možné si funkci načrtnout. Musíme postupovat analyticky, matematickým aparátem,

kterým jsou derivace.

Obrázek 12.1: Průběh funkce y = sinx


3. Jaký je vztah mezi funkcí a její derivací? Podívejme se lépe na místo, kde funkce roste (na druhém obrázku je

zvýrazněn jen jeden interval, kde funkce y = sinx roste).

4. Soustřeďme se na chování derivace zadané funkce, což je y′ = cosx, v místech, které jsme si vyznačili.

5. Nutně dospějeme k závěru, že v místech, kde původní, testovaná funkce f roste, je její první derivace f ′ nad

osou x. Všechny body ležící v intervalu, kde zadaná funkce f roste mají na křivce první derivace f ′ kladnou

funkční hodnotu (y-novou souřadnici).

6. Analogicky pro intervaly, kde funkce f klesá, jsou funkční hodnoty první derivace f ′ záporné.

7. Co se týče extrémů, tak v místech, kde je na funkci y = sinx (plné křivce) extrém (ať už se jedná o maximum

či minimum) je funkční hodnota derivace, tedy funkce y = cosx (tečkovaná křivka) rovna nule (tedy leží přímo

na ose x).

71

72 KAPITOLA 12. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ?

Obrázek 12.2: Rostoucí interval funkce y = sinx (vybrán jen jeden)


Obrázek 12.3: Průběh funkce y = sinx (plná) a funkce y′ = cosx (tečkovaná)


12.2 Monotonie a zakřivenost (= konvexita a konkávita)

1. Dostaneme zadanou např. funkci y = ln(16+9x2). Při výpočtu zakřivenosti funkce potřebujeme spočítat druhou

derivaci, abychom z ní vyčetli chování funkce na daných intervalech podobně jako u výpočtu monotonií, kde

pracujeme s první derivací. Nyní pro zadanou funkci zjistíme jak monotonii, tak zakřivenost. Z obrázku krásně

vidíme, kde funkce roste a kde klesá. Zároveň vidíme, kde je konvexní a konkávní. Místům, kde se růst mění v

pokles a naopak se říká extrémy, kde se mění konvexita v konkávitu a obráceně pak inflexní (inflexe = ohyb)

body (za předpokladu, že v tomto bodě má graf funkce tečnu, což je v našich příkladech splněno).

2. Přestože nás zajímá více konvexita a konkávita, prohlédneme si tuto funkci i z pohledu monotonie. Opět tu je

12.2. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 73

Obrázek 12.4: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2)


zvýrazněná část rostoucí (klidně by to mohla být část klesající). Nyní čekáme, že derivace této funce, bude v

místech růstu zadané funkce nad osou x. Je tomu skutečně tak?

Obrázek 12.5: Rostoucí interval funkce y = ln(16 + 9x2)


3. Derivace funkce y = ln(16+9x2) je funkce y =18x

16 + 9x2. Pokud si tuto funkci nakreslíme, zjistíme, že její průběh

je následující (viz Obrázek 12.6 – tečkovaná křivka):

Skutečně je v místech růstu první funkce nad osou x a tu protíná právě v místě, kde má funkce y = ln(16 + 9x2)

extrém.

4. Podíváme se na tu samou funkci z pohledu konvexity a konkávity. Na obrázku je zvýrazněna konvexní část

křivky. Body, kde se průběh mění jsou tzv. inflexní (zároveň v nich má daná funkce tečnu, tedy vlastní derivaci).


Obrázek 12.6: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2) (plná) a funkce y′ = 18x16+9x2 (tečkovaná)


Zatímco má křivka y = ln(16 + 9x2) jen jeden extrém, má dva inflexní body (extrém a inflexní bod nikdy

nemohou být ve stejném místě).

Obrázek 12.7: Konvexní průběh funkce y = ln(16 + 9x2)


5. Nyní se podíváme, jak vypadá druhá derivace funkce y = ln(16+ 9x2). Je to y =18(16− 9x2)

(16 + 9x2)2a po nakreslení

je průběh druhé derivace takový (viz Obrázek 12.8 – čárkovaná křivka):

6. V místech, kde je funkce konkávní jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) druhé derivace záporné, intervaly

konvexní mají druhou derivaci kladnou.


Obrázek 12.8: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2) (plná) a funkce y′′ = 18(16−9x2)(16+9x2)2 (čárkovaná)


Tabulka 12.1: Jak čteme z derivací

Průběh funkce Průběh druhé derivace Znaménko druhé derivace Tvar křivky

Konvexní rostoucí +⋃

Konkávní klesající −⋂

Tabulka 12.2 ukazuje rostoucí funkce, popř. jsou zvýrazněny intervaly, na kterých je průběh dané funkce rostoucí. Jak

se na intervalech, kde je původní funkce rostoucí, chová první derivace? Funkční hodnoty jsou kladné – tj. nad osou

x. U klesajících intervalů je tomu naopak, jak ukazuje Tabulka 12.3.

V Tabulce 12.4 je znázorněno, kde se nachází druhá derivace na intervalu, na kterém je zadaná funkce konvexní – je

kladná. A kde se nachází na intervalech, kde je původní funkce konkávní? Viz Tabulka 12.5 – funkční hodnoty jsou

záporné.

V Tabulce 12.6 lze spatřit nejen vztah mezi původní funkcí a její derivací, ale i vztah mezi derivacemi. Např. z třetí

derivace můžeme vyčíst monotonii druhé derivace, zrovna tak, jako ze čtvrté derivace můžeme vyčíst konvexnost či

konkávnost druhé derivace.


Tabulka 12.2: Rostoucí intervaly

Zadaná funkce ⇒ První derivace

y = x ⇒ y′ = 1

y = lnx ⇒ y′ = 1x

y = x2 ⇒ y′ = 2x

y = ex ⇒ y′ = ex



Tabulka 12.3: Klesající intervaly

Zadaná funkce ⇒ První derivace

y = x4 ⇒ y′ = 4x3

y = −x2 + 3 ⇒ y′ = −2x

y = sinx ⇒ y′ = cosx

y = cosx ⇒ y′ = − sinx



Tabulka 12.4: Intervaly konvexity

Zadaná funkce ⇒ První derivace ⇒ Druhá derivace

y = x2 ⇒ y′ = 2x ⇒ y′′ = 2

y = x3 + 3 ⇒ y′ = 3x2 ⇒ y′′ = 6x

y = ex ⇒ y′ = ex ⇒ y′′ = ex

y = sinx ⇒ y′ = cosx ⇒ y′′ = − sinx



Tabulka 12.5: Intervaly konvexity a konkávity

Zadaná funkce ⇒ První derivace ⇒ Druhá derivace

y = lnx ⇒ y′ = 1x ⇒ y′′ = − 1

x2

y = −x2 + 2 ⇒ y′ = −2x ⇒ y′′ = −2

y = 1x ⇒ y′ = − 1

x2 ⇒ y′′ = 2x3

y = sinx ⇒ y′ = cosx ⇒ y′′ = − sinx



Tabulka 12.6: Různé funkce a řada jejich derivací

Zadaná funkce První derivace Druhá derivace Třetí derivace Čtvrtá derivace

y = 2 y′ = 0 y′′ = 0 y′′′ = 0 y′′′′ = 0

y = 2x y′ = 2 y′′ = 0 y′′′ = 0 y′′′′ = 0

y = 2x2 y′ = 4x y′′ = 4 y′′′ = 0 y′′′′ = 0

y = 2x3 y′ = 6x2 y′′ = 12x y′′′ = 12 y′′′′ = 0

y = 2x4 y′ = 8x3 y′′ = 24x2 y′′′ = 48x y′′′′ = 48


Kapitola 13

Monotonie


1. Nalezneme definiční obor – na každém intervalu definičního oboru funkce existuje a zde se tedy „nějak chováÿ

(může být konstantní, rostoucí či klesající, konvexní či konkávní). Nutno podotknout, že však nemusí být ani

rostoucí ani klesající a naopak může být chvíli rostoucí a chvíli klesající apod. Když nebude funkce ani růst ani

klesat, pak se bude jednat o nějakou konstantní funkci (přímku rovnoběžnou s osou x).

2. Vypočteme 1. derivaci a upravíme ji. (Pozn.: V případě, že vyjde derivace rovna nule, pak se jedná o konstantní

funkci, která není ani konvexní ani konkávní.)

3. Najdeme body, ve kterých je funkční hodnota derivace rovna nule či ve kterých derivace neexistuje (nulové body

ze jmenovatele).

4. Z předchozího bodu nám vyjdou tzv. „podezřelé body.ÿ Klidně se může stát, že nevyjde žádný nulový bod

(v takovém případě je funkce ryze rostoucí nebo ryze klesající), nebo se může objevit bod jeden či více (třeba

5). Tyto body (jedná se o konkrétní čísla) naneseme na osu.

5. Na osu nejprve zaneseme definiční obor, pak „podezřelé body.ÿ Nyní je potřeba zjistit znaménka funkčníchhodnot první derivace. Vybereme z každého vzniklého intervalu číslo, to dosadíme do první derivace (za x).

Vyjde-li + je funkce na daném intervalu rostoucí, vyjde-li znaménko − je klesající na daném intervalu.


Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet monotonií 3 způsoby na jedné funkci.

1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x2. Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit.

Z nákresu je zřejmé, kde funkce roste a kde klesá.


x

y

−2 −1 1 2

1

2

3

• funkce y = x2 klesá na intervalu (∞; 0〉

• funkce y = x2 roste na intervalu 〈0;∞)

2. Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme monotonii přes derivace, nikoli z ob-

rázku.

81

82 KAPITOLA 13. MONOTONIE

(a) Definiční obor x ∈ R

(b) Derivace zadané funkce je y′ = 2x, což je nová funkce. My si ji nyní opět nakreslíme.

Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme:

Obrázek 13.2: Průběh funkce y′ = 2x

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

Derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu monotonií využívat. Když

je na daném intervalu funkce rostoucí, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní

funkce klesá, jsou funkční hodnoty první derivace záporné.



3. Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na

matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující:


(b) Derivace zadané funkce je y′ = 2x

(c) Zjištění nulových bodů – položíme první derivaci do rovnosti s nulou

2x = 0

x = 0

(d) Zjištění znamének na intervalech, které vzniknou rozdělením číselné osy nulovými body. Nulový bod v na-

šem případě vyšel jen jeden, x = 0.

Máme tedy dva intervaly, (∞; 0〉 a 〈0;∞). Jde tedy jen o to, zjistit průběh zadané funkce. Dosadíme vždy

libovolně zvolené číslo z intervalu. + znamená, že funkce roste a − značí, že je funkce na daném intervalu

klesající.(∞; 0〉 např. číslo −3 dosadíme číslo za x do první derivace y′ = 2 · (−3); y′ = −6 −〈0;∞) např. číslo 5 dosadíme číslo za x do první derivace y′ = 2 · (5); y′ = 10 +



Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!


Zadání Výsledky1) f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x 1X roste (−∞;−3〉 a 〈2;∞)


Zadání Výsledky

1X klesá 〈−3; 2〉

2) f(x) = x4 − 2x2 + 5 2X roste 〈−1; 0〉 a 〈1;∞)

2X klesá (−∞;−1〉 a 〈0; 1〉

3) f(x) = x2 · ex 3X roste (−∞;−2〉 a 〈0;∞)

3X klesá 〈−2; 0〉

4) f(x) = x3 · e−x 4X roste (−∞; 3〉4X klesá 〈3;∞)

5) f(x) = x+x

x2 − 15X roste

(−∞;−

√3⟩

a⟨√

3;∞)

5X klesá⟨−√3;−1

)a (−1; 1) a

(1;√3⟩

6) f(x) = 2x+2

x6X roste (−∞;−1〉 a 〈1;∞)

6X klesá 〈−1; 0) a (0; 1〉

7) f(x) =x3

x2 − 127X roste (−∞;−6〉 a 〈6;∞)

7X klesá⟨−6;−2

√3)

a(−2√3; 2√3)

a(2√3; 6⟩

8) f(x) =(x− 2) · (8− x)

x28X roste

(0;

16

5

⟩

8X klesá (−∞; 0) a

⟨16

5;∞)

9) f(x) = x+ ln (1− 4x) 9X roste

(−∞;−3

4

⟩

9X klesá

⟨−3

4;1

4

)

10) f(x) = x2 − lnx2 10X roste 〈−1; 0) a 〈1;∞)

10X klesá (−∞;−1〉 a (0; 1〉

11) f(x) =1 + lnx

x11X roste (0; 1〉11X klesá 〈1;∞)

12) f(x) =√3x− x2 12X roste

⟨0;

3

2

⟩

12X klesá

⟨3

2; 3

⟩

13) f(x) = arctg x− x 13X klesá (−∞;∞)

14) f(x) = (x− 3)4 · (3x+ 1)5 14X roste

(−∞;

41

27

⟩a 〈3;∞)

14X klesá

⟨41

27; 3

⟩

15) f(x) = x+ arccotg 2x 15X roste

(−∞;−1

2

⟩a

⟨1

2;∞)

15X klesá

⟨−1

2;1

2

⟩

16) f(x) =3x2 + 4x+ 4

x2 + x+ 116X roste 〈−2; 0〉

16X klesá (−∞;−2〉 a 〈0;∞)

17) f(x) = 2x−√4x+ 8 17X roste

⟨−7

4;∞)

17X klesá

⟨−2;−7

4

⟩

84 KAPITOLA 13. MONOTONIE

Zadání Výsledky

18) f(x) = arcsin

(2x

1 + x2

)18X roste 〈−1; 1〉

18X klesá (−∞;−1〉 a 〈1;∞)

19) f(x) = 3x · ex2−4x+3 19X roste

(−∞; 1−

√2

2

⟩a

⟨1 +

√2

2;∞

)

19X klesá

⟨1−√2

2; 1 +

√2

2

⟩

20) f(x) =1

24· ln(x2 − 9

x2 − 1

)20X roste 〈0; 1) a (3;∞)

20X klesá (−∞;−3) a (−1; 0〉

21) f(x) = arccos

(1− x1− 2x

)21X roste (−∞; 0〉

21X klesá

⟨2

3;∞)

22) f(x) =x2

lnx22X roste 〈

√e;∞)

22X klesá (0; 1)a (1;√e〉

23) f(x) = ln

(2x

16− x4

)23X roste (−∞;−2)

23X klesá (0; 2)

24) f(x) = arctg(x− 1)2 24X roste 〈1;∞)

24X klesá (−∞; 1〉


Zadání Výsledky – funkce na intervalu:

1) f(x) = 3x · e(x2−4x+3) 1X roste

(−∞; 1−

√2

2

⟩a

⟨1 +

√2

2;∞

)

1X klesá

⟨1−√2

2; 1 +

√2

2

⟩

2) f(x) =2− 9x2

1− 9x22X roste

⟨0;

1

3

)a

(1

3;∞)

2X klesá

(−∞;−1

3

)a

(−1

3; 0

⟩

3) f(x) = (x− 2) ·√5− x 3X roste (−∞; 4〉

3X klesá 〈4; 5〉

4) f(x) =√x · e−3x 4X roste

⟨0;

1

6

⟩

4X klesá

⟨1

6;∞)

5) f(x) = 5 + 3 · ln√4− x2 5X roste(−2; 0〉

5X klesá 〈0; 2)

6) f(x) = 3− ln (2− x− x2) 6X roste

⟨−1

2; 1

)


6X klesá

(−2;−1

2

⟩

7) f(x) =x2

2x− 17X roste (−∞; 0〉 a 〈1;∞)

7X klesá

⟨0;

1

2

)a

(1

2; 1

⟩

8) f(x) = ln

(2x+ 3

3x− 1

)8X klesá

(−∞;−3

2

)a

(1

3;∞)

9) f(x) =x3

3− x29X roste

⟨−3;−

√3)

a(−√3;√3)

a(√

3; 3⟩

9X klesá(−∞;−3〉 a 〈3;∞)

10) f(x) =√

24− 2x− x2 10X roste 〈−6; 1〉10X klesá 〈−1; 4〉

11) f(x) = 1 + ln (6− x− x2) 11X roste

(−3;−1

2

⟩

11X klesá

⟨−1

2; 2

)

12) f(x) =2− 4x2

1− 4x212X roste

⟨0;

1

2

)a

(1

2;∞)

12X klesá

(−∞;−1

2

)a

(−1

2; 0

⟩

13) f(x) =x

x2 − 10x+ 913X roste 〈−3; 1) a (1; 3)

13X klesá (−∞;−3〉 a 〈3; 9) a (9;∞)

14) f(x) =(3x+ 2)2

1− x14X roste

⟨−2

3; 1

)a

(1;

8

3

⟩

14X klesá

(−∞;−2

3

⟩a

⟨8

3;∞)

15) f(x) =(4− x)2

2 + x15X roste (−∞;−8〉 a 〈4;∞)

15X klesá 〈−8;−2) a (−2; 4〉

16) f(x) = 4 +√12− 4x− x2 16X roste 〈−6;−2〉

16X klesá 〈−2; 2〉

17) f(x) = 2 + 3 · ln(4x2 − 1) 17X roste

(1

2;∞)

17X klesá

(−∞;−1

2

)

18) f(x) =x

x2 − 5x+ 418X roste (−∞; 1) a (1; 2〉

18X klesá 〈2; 4) (4;∞)

19) f(x) = 2− 3 · ln√

25− 9x2 19X roste 〈0;∞)

19X klesá (−∞; 0〉

20) f(x) = (x− 3) ·√x 20X roste 〈1;∞)

20X klesá 〈0; 1〉

21) f(x) = 1−√10x− x2 − 21 21X roste 〈5; 7〉

21X klesá 〈3; 5〉

22) f(x) = 3 + 2 · ln (9x2 − 1) 22X roste

(1

3;∞)

22X klesá

(−∞;−1

3

)

23) f(x) =3x2 + 1

x2 − 123X roste (−∞;−1) a (−1; 0〉

23X klesá 〈0; 1) a (1;∞)

Kapitola 14

Konvexita a konkávita


Tyto návody nemusí platit úplně obecně, jsou uzpůsobeny požadavkům technické fakulty a příkladům, které se objevují

v testech.

Předpokladem použití tohoto návodu je, že funkce f má spojitou druhou derivaci na vnitřku definičního oboru (všechny

funkce z písemek tuto vlastnost mají).

Funkce na určitých intervalech mohou být

lineární druhá derivace je na daném intervalu rovna 0

konvexní znaménko druhé derivace je na daném intervalu +

konkávní znaménko druhé derivace je na daném intervalu −

1. Zjistíme definiční obor – na tomto intervalu funkce existuje a zde se tedy může „nějak chovat,ÿ může být např.

konvexní či konkávní. Nutno podotknout, že však nemusí být ani konvexní ani konkávní. Pak bude jejím grafem

na tomto intervalu přímka. .

2. Vypočteme 1. derivace a upravíme ji tak, aby se nám dobře derivovala podruhé.

3. Vypočteme 2. derivace (tj. opětovně zderivujeme 1. derivaci) a upravíme ji pro potřeby následujících výpočtů.

Budeme zjišťovat „nulové body z 2. derivaceÿ, upravíme tedy funkci tak, aby se nám s ní dobře počítalo. Vyjde-

li 2. derivace nenulová konstanta (neobsahuje proměnnou, zpravidla značenou x), pak je funkce konvexní nebo

konkávní na celém definičním oboru. Vyjde-li 2. derivace 0 , pak je funkce lineární (tedy není ani konvexní ani

konkávní).

4. Budeme zjišťovat znaménko druhé derivace, pak mohou nastat 2 situace:

z 2. derivace nevyjde žádný podezřelý bod V tomto případě je druhá derivace stále + nebo stále − , z

čehož vyplývá, že je funkce buď ryze konvexní nebo ryze konkávní.

z 2. derivace vyjde jeden či více podezřelých bodů např. ve chvíli, kdy je 2. derivace rovna nějaké nenu-

lové konstantě. Funkce je buď konvexní nebo konkávní na celém R, záleží na znaménku. „Podezřelé bodyÿ

se v případě, že se kolem nich mění konvexita v konkávitu nazývají „inflexní bodyÿ.

5. Získané údaje zakreslíme na číselnou osu, nejprve na osu zaneseme definiční obor a označíme, zda krajní body

patří či nikoli do definičního oboru, tedy patří • a nepatří . Pak zaneseme na číselnou osu nulové body z čitatele

a ze jmenovatele.

6. Nyní je třeba zjistit „znaménka funkčních hodnot 2. derivace.ÿ Zjišťujeme znaménka tak, že vezmeme nějaké

libovolné číslo z intervalu vymezeného nulovými body (v rámci definičního oboru!), který vznikl zanesením

nulových bodů na číselnou osu, vybereme číslo z tohoto intervalu a dosazujeme jej do druhé derivace. Vyjde-li

+ je funkce konvexní, vyjde-li − je konkávní. Jak si snadno zapamatovat, jaké znaménko se vztahuje k jakému

typu průběhu funkce je uvedeno na 3. záložce v souboru „Konvexita.ÿ


Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet konvexity 3 způsoby na jedné funkci.

86


1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x2. Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit.

Z nákresu je zřejmé, zda a kde je funkce konvexní či konkávní.


x

y

−2 −1 1 2

1

2

3

• funkce y = x2 je konvexní na celém intervalu (−∞;∞)

2. Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme konvexitu přes derivace. Postup je:


(b) 1. derivace zadané funkce je y′ = 2x, což je nová funkce. Z ní čteme a ji si kreslíme při výpočtu monotonií.

(c) 2. derivace zadané funkce je y′′ = 2, je již 3. funkce. Tu si nyní nakreslíme.

Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme:

Obrázek 14.2: Průběh funkce y′′ = 2

x

y

−2 −1 1 2

1

3

I druhá derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu konvexit využívat. Když

je na daném intervalu funkce konvexní, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní

funkce konkávní, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. (zároveň, když se nad celou věcí zamyslíme, lze

z druhé derivace vyčíst monotonii první derivace ,).


3. Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na

matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující:


(b) 1. derivace zadané funkce je y′ = 2x

(c) 2. derivace zadané funkce je y′′ = 2

(d) Zjištění nulových bodů – v tomto případě se v druhé derivace nevyskytuje žádné x, odpadá dopočet nulových

bodů (nemá smysl pokládat např. v našem případě dvojku rovnou nule, z toho nic nevzejde), v takovém

případě, nevyskytuje-li se v druhé derivace proměnná, můžeme očekávat 3 situace:

88 KAPITOLA 14. KONVEXITA A KONKÁVITA

i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní

ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní

iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní

V tomto případě se jedná o situaci (i), neboť funkční hodnota druhé derivace je rovna pro kterékoli libovolné

x je kladná (rovna +2).

Kdy nastává jaká situace?

i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní (y′′ = kladná konstanta)

ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní (y′′ = záporná konstanta)

iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní (y′′= nula), nule se

rovná buď na celém definičním oboru nebo v místech nulových bodů (tzv. inflexních bodů)


Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!

14.3 Memo pomůcka

Jak si zapamatovat, jaké znaménko přísluší jakému typu průběhu funkce a jak taková funkce vypadá? Při vyšetřování,

zda je funkce na daném intervalu konvexní či konkávní se opíráme o funkční hodnoty druhé derivace na daném

intervalu. Co znamená, když jsou funkční hodnoty kladné a co když jsou záporné?

KONVEXITA +

Jak si jednoduše zapamatovat, že zrovna znaménko plus (v druhé derivaci!) odpovídá konvexnímu

průběhu dané funkce? Plus je v podstatě křížek a ve slově konveXita také jeden je ,. I průběh funkce

je schovaný již v názvu konvexita. Všimněte si, že průběh se velice podobá písmenku U nebo V, což

je opět obsaženo přímo ve slově konVexita.

Obrázek 14.3: Průběh ryze konvexní funkce

x

y

−2 −1 1 2

1

2

3

14.4. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ 89

KONKÁVITA —

Jak je to u konkávity? Krom vylučovací metody, že to musí být „ta druháÿ, tu jsou následující

pomůcky. Průběh se podobá písmenku A. KonkÁita. I zde lze tedy odvozovat od názvu typu průběhu.

A znaménko mínus? Průběh fce by nám mohl připomenout převrácenou misku. Je otočená dnem

vzhůru, co v ní bylo se vysypalo a proto smutné znaménko mínus /, či oblíbené „do konkávní kávu

nenaliješÿ.

Obrázek 14.4: Průběh ryze konvexní funkce

x

y

−1−2 21

−1

−2

−3

14.4 Ukázkový příklad zkouškové úrovně

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 11. příklad.

y = e−2x2

1. Spočítáme definiční obor x ∈ R

2. Spočítáme první derivaci a upravíme

y′ = e−2x2(−4x) = −4x · e−2x2

3. Spočítáme druhou derivaci a upravíme

y′′ = −4 · e−2x2+(−4x) · e−2x2

(−4x) = (vytýkáme. . . )= −4 e−2x2(−1 + 4x2)

4. Položíme druhou derivaci rovnu nule a spočítáme nulové body

−4 e−2x2

(−1 + 4x2) = 0

−1 + 4x2 = 0

4x2 = 1

x2 =1

4

x = ±1

2(máme 2 „podezřeléÿ body)

5. Tyto nulové body zaneseme na osu a budeme zjišťovat znaménka funkčních hodnot druhé deri-

vace.



Obrázek 14.5: Číselná osa

−1

2+1

2

+ − +y′′

Funkce je konvexní na intervalech

(−∞;−1

2

⟩a

⟨+

1

2;∞)

Funkce je konkávní na intervalu

⟨−1

2; +

1

2

⟩

Obrázek 14.6: Průběh funkce y = e−2x2


růžová (plná) = zadání

petrolejová (tečkovaná) = první derivace – z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení monotonie funkce

zelená (čárkovaná) = druhá derivace – z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení zakřivenosti funkce


Zadání Výsledky

1) f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x 1X konvexní

⟨−1

2;∞)

1X konkávní

(−∞;−1

2

⟩

2) f(x) = 3x4 + 8x3 − 24x2 2X konvexní (−∞;−2〉 a

⟨2

3;∞)


Zadání Výsledky

2X konkávní

⟨−2;

2

3

⟩

3) f(x) = x+3√x5 3X konvexní 〈0;∞)

3X konkávní 〈−∞; 0〉

4) f(x) = x · (1− x)2 4X konvexní

(−∞;

2

3

⟩

4X konkávní

⟨2

3;∞)

5) f(x) = 2 + 3√x− 2 5X konvexní (−∞; 2)

5X konkávní 〈2;∞)

6) f(x) = x ·√

1 + x 6X konvexní 〈−1;∞)

7) f(x) = e1x 7X konvexní

⟨− 1

2, 0⟩

a (0;∞)

7X konkávní(−∞;−1

2

⟩

Nepočítáno:

8) f(x) = (x− 1) · e3x

9) f(x) = 2x+ e−x2

10) f(x) = e2x−2x2

11) f(x) = (x2 − 4x+ 5) · e−x

12) f(x) = arcsin(

1− x

2

)

13) f(x) = x2 · lnx

14) f(x) = 1− ln(x2 − 9)

15) f(x) =1 + ln x

x

16) f(x) = ln

(x− 1

x+ 2

)

17) f(x) = 2x2 + sinx+ 1

18) f(x) =sinx

2 + cos x

19) f(x) = sin2 x

20) f(x) = 4 sinx+3

8sin 2x

21) f(x) = cos x− ln(cosx)

22) f(x) = arctg x− x

23) f(x) = x arccotg x

24) f(x) = x+ 2 arccotg x

25) f(x) = arccos(1− x)


Zadání Výsledky

26) f(x) = arcsin√

1− 2x


Zadání Výsledky1) f(x) = x e−x 1X konvexní 〈2;∞)

1X konkávní (−∞; 2〉

2) f(x) = ln (1 + x2) 2X konvexní 〈−1; 1〉2X konkávní (−∞;−1〉 a 〈1;∞)

3) f(x) = x+ e1−x2

3X konvexní

⟨−∞;−

√1

2

⟩a

⟨√1

2;∞

)

3X konkávní

⟨−√

1

2;

√1

2

⟩

4) f(x) = ln(16 + 9x2

)4X konvexní

⟨−4

3;4

3

⟩

4X konkávní

(−∞;−4

3

⟩a

⟨4

3;∞)

5) f(x) =lnx

x5X konvexní

(e

32 ;∞

)

5X konkávní⟨

0; e32

)

6) f(x) = e1x 6X konvexní

⟨−1

2; 0

)a (0;∞)

6X konkávní

(−∞;−1

2

⟩

7) f(x) = x+ arctg (2x+ 3) 7X konvexní

(−∞;−3

2

⟩

7X konkávní

⟨−3

2;∞)

8) f(x) = x− 2 · arctg x 8X konvexní 〈0;∞)

8X konkávní (−∞; 0〉

9) f(x) = x4 ·(

lnx− 7

12

)9X konvexní 〈1;∞〉

9X konkávní (0; 1〉

10) f(x) = 2x · arctg x 10X konvexní (−∞;∞)

11) f(x) = 2x+ e−x2

2 11X konvexní (−∞;−1〉 a 〈1;∞)

11X konkávní 〈−1; 1〉


12) f(x) = e−2x2

12X konvexní

(−∞;−1

2

⟩a

⟨+

1

2;∞)

12X konkávní

⟨−1

2; +

1

2

⟩

13) f(x) =x

x2 − 113X konvexní (−1; 0〉 a (1;∞)

13X konkávní (−∞;−1) a 〈0; 1)

Kapitola 15

Souhrnný příklad

Ukážeme si nyní výpočet všech základních charakteristik funkcí na dvou příkladech. Zároveň si je

nakreslíme a tak z obrázku snadno poznáme, kde křivky rostou, kde klesají, zda a kde mají maxima

či inflexní body. Uvidíme tak souvislost mezi obrázky a výpočty. Porovnávejte průběžně výsledky

výpočtu s realitou na obrázku.

První příklad Druhý příklad

Předpis: f : y = −x2 + 8x− 12 g : y = 2x3 − 7

Tabulka funkč-

ních hodnot:

x 1 2 3 4 5 6

y −5 0 3 4 3 0

x 0 1 2 1,5

y −7 −5 9 0

Definiční obor: D: x ∈ R D: x ∈ R

První derivace: y′ = −2x+ 8 y′ = 6x2

Nulové body z

první derivace:

−2x+ 8 = 0 6x2 = 0

x = 4 x = 0

Číselná osa: +4

+ −y′

0

+ +y′

Monotonie: funkce roste na intervalu (−∞; 4〉 funkce roste na intervalu (−∞; +∞)

funkce klesá na intervalu 〈4; +∞)

Extrémy: E1=[4; 4] je maximum žádný extrém

Druhá derivace: y′′ = −2 y′′ = 12x

Nulové body z

druhé derivace:

−2 = 0 12x = 0

−2 6= 0⇒ žádné nulové body x = 0

Číselná osa: −∞ +∞

−y′′

0

− +y′′

Zakřivenost: funkce je konkávní na intervalu (−∞; +∞) funkce je konkávní na intervalu (−∞; 0〉

funkce je konvexní na intervalu 〈0,+∞)

Inflexní body: žádný inflexní bod I2=[0;−7]

Obrázek:

94

Kapitola 16

Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné


1. Zadání se sestává z předpisu funkce a uzavřeného intervalu. V případě, že není interval zadán,

shoduje se s definičním oborem funkce a v tomto případě je třeba definiční obor vypočítat.

Naším úkolem je nalézt globální maxima a minima, tj. největší a nejmenší hodnoty funkce na

daném intervalu (nebo na definičním oboru), a dále lokální maxima a minima (extrémy) funkce.

Jedná se o konkrétní body na grafu a my hledáme jejich souřadnice. Maxima jsou body na grafu

s nejvyšší funkční hodnotou (y-novou souřadnicí) a minima s nejnižší funkční hodnotou.

2. Lokální extrémy

• Zderivujeme zadanou funkci.

• Najdeme tzv. „podezřelé bodyÿ – body, v nichž je derivace rovna nule nebo neexistuje.

• Pro „podezřelé body,ÿ musíme zjistit, zda se jedná o lokální extrémy a když ano, tak jaké

jsou kvality (zda se jedná o maximum či minimum, zda je ostré či neostré).

Tabulka 16.1: Určení kvality extrémů

Dle pozice y-nové souřadnice Umístění v intervalu Unikátnost souřadnice

maximum lokální (neboli relativní) ostré

minimum globální (neboli absolutní) neostré

• Naneseme na číselnou osu zadaný interval, dále „podezřelé bodyÿ body z první derivace.

Může se stát, že některé body vyjdou mimo zadaný interval, pak si jich vůbec nevšímáme.

• Zjišťujeme znaménka v intervalech rozdělených těmito body – postupujeme nyní obdobně

jako u výpočtu monotonií – vybereme si číslo z každého intervalu, dosadíme vždy do první

derivace a zapíšeme k danému intervalu znaménko, které nám vyšlo. + znamená rostoucí,

− klesající průběh funkce. Jestliže funkce nejprve roste a potom klesá, jedná se o lokální

maximum (čteme zleva), jestliže je nejprve klesající a potom rostoucí, vyhodnotíme kvalitu

extrému jako lokální minimum. Může se stát, že nám vyjdou stejná znaménka vedle sebe. V

tom případě v daném bodě není lokální extrém (proto se bodům říká „podezřelé,ÿ nemáme

jistotu, že v nich nějaký lokální extrém najdeme).

3. Globální extrémy

• Spočteme funkční hodnoty v krajních bodech zadaného intervalu (v krajních bodech nemůže

být lokální extrém, pouze globální) a v „podezřelých bodechÿ.

• Porovnáme funkční hodnoty (tedy y-nové souřadnice) a jednoduše vidíme, kde je číslo

nejvyšší a kde nejnižší (! záleží na souřadnici y nikoli x). V případě, že nejmenší nebo

největší hodnota leží uvnitř intervalu, jedná se o globální a zároveň lokální extrém. Je-li

největší/nejmenší hodnota v bodě na hranici intervalu, jedná se pouze o extrém globální.

95

96 KAPITOLA 16. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

16.2 Extrémy – možné intervaly

Při výpočtu extrémů mohou nastat různé situace. U zápisu výsledků se musíme vyjádřit k tomu,

o jaký typ extrému se jedná, zda jde o:

lokální × globální,

maximum × minimum,

ostré × neostré.

Zda se jedná o maximum či minimum zjistíme z y-nové souřadnice. Je rozdíl, v tom, jestli se jedná

o lokální nebo globální extrém.

Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze maximum. Extrém je lokálním maximem jestliže funkce

v něm nabývá maximální y-nové hodnoty na jeho bezprostředním okolí (oboustranném). Jestliže se

největší hodnota nabývá pouze v tomto jediném bodě, jedná se o extrém ostrý.

U globálního extrému funkce záleží na intervalu, na kterém danou funkci uvažujeme. Funkce může

mít globální maximum v bodě, ve kterém má lokální maximum, nebo v krajním bodě (případně obou

krajních bodech) příslušného intervalu. Globální maximum je ostré, pokud se na daném intervalu

nabývá pouze v jednom bodě, jinak je neostré.

Vše si ukážeme na konkrétním příkladě. Máme zadanou funkci

y = 2− x2,

která má na celém svém definičním oboru jen jeden extrém a tím je ostré lokální maximum se

souřadnicemi [0; 2]. Tento bod je neměnný, nicméně významnost a pojmenování se budou lišit s

každou změnou intervalů.

Nyní si ukážeme příklad na čtyřech vybraných intervalech:

〈0; 1〉〈−3;−1〉〈−2; 2〉〈−1; 3〉

Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.1)

Zadaný interval 〈0; 1〉

Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.2)

Zadaný interval 〈−3;−1〉

16.2. EXTRÉMY – MOŽNÉ INTERVALY 97

Obrázek 16.1: Dva globální extrémy na hranicích intervalu 〈0; 1〉


Tabulka 16.2: Extrémy – body z případu 16.1 na intervalu 〈0; 1〉

Extrém, který vyjde z derivace:

[0; 2] ostré globální maximum

Body na hranicích intervalů:

[0; 2] ostré globální maximum

[1; 1] ostré globální minimum

Obrázek 16.2: Dva globální extrémy na hranicích intervalu 〈−3;−1〉


Neostré globální extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.3)

Zadaný interval 〈−2; 2〉


Tabulka 16.3: Extrémy – body z případu 16.2 na intervalu 〈−3;−1〉


[0; 2] bod je mimo interval, takže nás nezajímá


[−3; −7] ostré globální minimum

[−1; 1] ostré globální maximum

Obrázek 16.3: Globální neostré extrémy jsou na hranicích 〈−2; 2〉


Ostré lokální maximum uvnitř intervalu a ostré globální minimum na hranici (0brázek16.4)

Zadaný interval 〈−1; 3〉

Obrázek 16.4: Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici 〈−1; 3〉



Tabulka 16.4: Extrémy – body z případu 16.3 na intervalu 〈−2; 2〉


[0; 2] ostré lokální a zároveň globální maximum


[−2; −2] neosté globální minimum

[2; −2] neosté globální minimum

Tabulka 16.5: Extrémy – body z případu 16.4 na intervalu 〈−1; 3〉


[0; 2] ostré lokální a zároveň globální maximum


[−1; 1] není na zadaném intervalu ani max ani min

[3; −7] ostré globální minimum


Např. máme zadaný předpis funkce y =−x2

4a interval x ∈ 〈−5; 3〉

1. Tento předpis je tak jednoduchý, že není problém jej nakreslit okamžitě.

Obrázek 16.5: Průběh funkce y =−x2

4

x

y

−1−2 21

−1

−2

Hodnoty grafu zjistíme nalezením funkčních hodnot – zjistíme konkrétní souřadnice bodů. Do-

sazujeme libovolná čísla z definičního oboru za x a dopočítáváme hodnoty y.

Z obrázku je zřejmé, že nejnižším bodem této funkce na zadaném intervalu x ∈ 〈−5; 3〉 je bod

o souřadnicích

[−5;−25

4

]a nejvyšší je v bodě [0; 0], tedy

• maximum je v bodě

[−5;−25

4

]

• minimum je v bodě [0; 0]

2. Ve zkouškových testech ale jak známo nejsou funkce tak jednoduché, abychom si je mohli takto

nakreslit a proto musíme použít matematický aparát. V tomto případě příkladů se počítá ve dvou

krocích. Počítájí se lokální a globální extrémy. Budeme hledat extrémy na zadaném intervalu


Tabulka 16.6: Vybrané funkční hodnoty funkce y =−x2

4

x −5 −2 0 1 2 3 5

y − 254 −1 0 − 1

4 1 − 94 − 25

4

a následně budeme zjišťovat jejich kvalitu – zda se jedná o maximum či minimum. Tuto informaci

můžeme zjistit 2 způsoby:

• průběhem funkce, když funkce kolem bodu

– nejdříve klesá a potom roste, jedná se o MINIMUM

– nejdříve roste a potom klesá, jedná se o MAXIMUM

• znaménkem 2. derivace, je-li:

– kladné v daném bodě, jedná se o MINIMUM

– záporné v daném bodě, jedná se o MAXIMUM

(a) Lokální extrémy

Spočteme první derivaci y′ = −1

4· 2x = −x

2Z této derivace zjistíme nulové body

−x2

= 0⇒ x = 0⇒ y = 0 Jedná se o jediný bod o souřadnicích [0;0]

Kvalitu nyní zjistíme oběma možnými způsoby:

• Průběhem funkce. Spočteme monotonii funkce. Protože počítáme lokální extrémy, počí-

táme s ∞, nicméně v závěru se budeme soustředit pouze na zadaný interval.

Na intervalu od (−∞; 0〉 funkce y =−x2

4roste.

Na intervalu od 〈0;∞) funkce y =−x2

4klesá.

• Znaménko 2. derivace v daném bodě, spočteme tedy 2. derivaci

y′′ = −1

2ani nemusíme nic dosazovat, vyšla hned záporná konstanta, záporné znaménko

indikuje MAXIMUM.

(b) Hranice intervalu

pro spodní hranici x = −5⇒ y = −25

4

pro horní hranici x = 3⇒ y = −9

4

Tabulka 16.7: Porovnání funkčních hodnot funkce y =−x2

4

x −5 0 3

y − 254 0 − 9

4

A opět při použití různých postupů docházíme ke stejnému závěru, tedy že:


• maximum je v bodě

[−5;−25

4

]

• minimum je v bodě [0; 0]



Zadání Výsledky

1) f(x) =√

9− x2 1X ostré globální a zároveň lokální maximum f(0) = 3

na intervalu 〈−3; 3〉 1X neostré globální minimum v bodě f(−3) = 0

1X neostré globální minimum v bodě f(3) = 0

2) f(x) = x√

4− x 2X ostré lokální a zároveň globální maximum v bodě f

(8

3

)=

8

3

√4

3na intervalu 〈−2; 4〉 2X ostré globální minimum v bodě f(−2) = −2

√6

3) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 5 3X ostré lokální a zároveň globální maximum f(−1) = 12

na intervalu 〈−2; 3〉 3X ostré lokální a zároveň globální minimum f(2) = −15

4) f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x+ 9

na 1. intervalu 〈−4; 4〉 4aX ostré globální a zároveň lokální maximum v bodě f(−3) = 90

4aX ostré globální a zároveň lokální minimum v bodě f(2) = −35

na 2. intervalu 〈−1; 1〉 4bX ostré globální maximum v bodě f(−1) = 46

4bX ostré globální minimum f(1) = −22

na 3. intervalu 〈−5; 5〉 4cX ostré globální maximum f(5) = 154

4cX ostré globální a zároveň lokální minimum f(2) = −35


Zadání Výsledky

1) f(x) = −2 · 105−20x−2x2

+ log 4 1X ostré globální maximum v bodě [3;−2 · 10−73 + log 4]

na intervalu 〈1; 3〉 1X ostré globální minimum v bodě [1;−2 · 10−17 + log 4]

2) f(x) = −x · lnx+ 2x 2X ostré lokální maximum v bodě [e; e]

na intervalu 〈1; e2〉 2X ostré globální minimum v bodě [e2; 0]

3) f(x) = −4 · e3x2−12x+5 + ln 4 3X ostré globální maximum v bodě [2;−4 · e−7 + ln 4]

na intervalu 〈0; 3〉 3X ostré globální minimum v bodě [0;−4 · e5 + ln 4]

4) f(x) = 10 · arctg (x2 − 2x+ 2) + arctg 2 4X ostré globální maximum v bodě [−1; 10 · arctg 1 + arctg 2]

na intervalu 〈−1; 2〉 4X ostré globální minimum v bodě [1; 11 · arctg 2]

5) f(x) = 5 ·√

4x2 + 4x+ 3 + 10 5X ostré globální maximum v bodě[1; 5√

11 + 10]

na intervalu 〈−1; 1〉 5X ostré globální minimum v bodě

[−1

2; 5√

2 + 10

]

6) f(x) = −12 ·√x2 + 6x+ 11− 5 6X ostré globální a lokální maximum v bodě

[−3;−12

√2− 5

]

na intervalu 〈−10; 0〉 6X ostré lokální minimum v bodě[−10;−12

√51− 5

]


7) f(x) = 4 e−x2+12 + log 10 7X ostré globální a lokální maximum v bodě [0; 4 e12 + log 10]

na intervalu 〈0; 10〉 7X ostré globální minimum v bodě [10; 4 e−88 + log 10]

8) f(x) = −10 · log (4x2 − 20x+ 27) + 5 8X ostré globální maximum v bodě

[5

2;−10 · log 2 + 5

]

na intervalu 〈−3; 3〉 8X ostré globální minimum v bodě [−3;−10 · log 123 + 5]

9) f(x) = 7 ·√

4x2 + 20x+ 26− 6 9X ostré globální maximum v bodě

[−5

2; 1

]

na intervalu 〈−3; 0〉 9X ostré globální minimum v bodě[0; 7√

26− 6]

10) f(x) = −6 arctg (2x2 + 20x+ 5) + arctg 5 10X ostré globální maximum v bodě [−5;−6 · arctg−45 + arctg 5]

na intervalu 〈−6; 0〉 10X ostré globální minimum v bodě [0;−6 · arctg 5 + arctg 5]

Nepočítáno:

11) f(x) =1

3x3 − x2 + 2

na intervalu 〈−2; 1〉

12) f(x) =2x2 − 1

x4

na intervalu

⟨1

2; 2

⟩

13) f(x) =1

4x2 + 4x+ 3+ 2


14) f(x) =1

3x3 +

1

2x2 − 2x


15) f(x) = −2 · ln (x2 + 4x+ 7) + 3


16) f(x) = −2 · arctg(x2 + 2x+ 2)− tg( π

12

)


17) f(x) = 7 ·√

4x2 − 4x+ 3 + 2

na intervalu 〈0; 2〉

18) f(x) = 4 · log (4x2 − 12x+ 12) + 5


Kapitola 17

Lokální extrémy dvou proměnných


Potřebujeme sestavit matici:

∂2z

∂x2

∂2z

∂x∂y∂2z

∂x∂y

∂2z

∂y2

1. Definiční obor, u našich příkladů většinou R× R

2. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle x⇒ ∂z

∂x

3. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle x⇒ ∂2z

∂x2

4. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle y ⇒ ∂z

∂y

5. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle y ⇒ ∂2z

∂y2

6. Spočteme smíšenou parciální derivaci – derivace (2) dle y nebo derivaci (4) dle x⇒ ∂2z

∂x∂y

7. Spočteme souřadnice „podezřelého boduÿ – vyřešíme soustavu rovnic∂z

∂x= 0

∂z

∂y= 0

8. Kontrola, že podezřelý bod leží uvnitř definičního oboru, tzn. spočteme z-ovou souřadnici

9. Spočteme determinant matice, která nám vznikla

10. Mohou nastat tři situace:

(a) det = 0 ⇒ nelze zjistit kvalitu extrému touto metodou

(b) det < 0 ⇒ sedlový bod

(c) det > 0 ⇒ rozhodneme o kvalitě extrému na základě prvního prvku v matici∂2z

∂x2

11. V případě (c) mohou nastat dvě situace:

(a)∂2z

∂x2> 0 ⇒ v nalezeném bodě je MINIMUM

(b)∂2z

∂x2< 0 ⇒ v nalezeném bodě je MAXIMUM

(c)∂2z

∂x2= 0 nemůže nastat

104




f(x, y) = 3− x2

y− y2

2− 2x

Potřebujeme sestavit matici:

∂2z

∂x2∂2z

∂x∂y∂2z

∂x∂y

∂2z

∂y2

1∂z

∂x= −2 · x

y− 2 = −2x

y− 2

2∂2z

∂x2= −2

y

3∂2z

∂x∂y=

2x

y2

4∂z

∂y= −x2 ·

(− 1

y2

)− 1

2· 2y =

x2

y2− y

5∂2z

∂y2= x2 ·

(−2 · 1

y3

)− 1 = −2x2

y3− 1

6∂2z

∂y∂x=

2x

y2(kontrolní výpočet, musí se rovnat

∂2z

∂x∂y– bod 3)

Soustava rovnic – nalezení podezřelého bodu

7 −2 · 2xy− 2 = 0 ⇒ x = −y

8x2

y2− y = 0 ⇒ x2

y2− y =

(−z)2

y2− y y = 1; x = −1

Podezřelý bod má souřadnice

[−1; 1;

7

2

],

Poslední z-ovou souřadnici7

2jsme získali tak, že jsme konkrétní hodnoty x a y dosadili do zadání.

−2

y

2x

y2

2x

y2−2x2

y3− 1

Nyní dosadíme x = −1 a y = 1:

(−2 −2−2 −3

)

det

(−2 −2−2 −3

)= −2 · −3 − (−2) · (−2) = 6 − 4 = 2 det > 0 ⇒ v bodě je extrém. O jeho kvalitě rozhodneme na

základě velikosti∂2z

∂x2, což je −2 tedy se jedná o maximum.

v bodě

[−1; 1;

7

2

]je ostré lokální maximum


106 KAPITOLA 17. LOKÁLNÍ EXTRÉMY DVOU PROMĚNNÝCH


Zadání Výsledky

1) f(x, y) = 3− x2

y− y2

2− 2x 1X

[−1; 1;

7

2

]ostré lokální MAX

2) f(x, y) = 3− 6x2 + 5xy − 2y2 − 8x+ 11y 2X [1; 4; 21] ostré lokální MAX

3) f(x, y) = 3− 2x2 − y2 + xy − 9x+ 4y 3X [−2; 1; 14] ostré lokální MAX

4) f(x, y) = x2 + 3y2 − 3xy − 9x+ 15y + 5 4X [3; −1; −14] ostré lokální MIN

5) f(x, y) = 7 + x2 + xy − y2 + 6x− 9y 5X

[−3

5; −24

5; −30

]sedlový bod, det < 0

6) f(x, y) = −x2 − 6y2 + xy + 8x− 19y + 1 6X

[78

23; −28

23;

615

23

]ostré lokální MAX

Nepočítáno:

7) f(x, y) = x2 + 3y2 − 2xy − 4x+ 4y + 9

Kapitola 18

Vázané extrémy


Zadání Výsledky

1) f(x, y) = 2x− 3 e y + 3 M : 3y − 2 lnx+ 3 = 0 1X ostré lokální vázané MIN

[e; −1

3; 3 e+3

]

2) f(x, y) =x+ 3√y + 3

M : y − x2 − 3 = 0 2X ostré lokální vázané MAX

[2; 7;

5√10

]

3) f(x, y) = y + arctg(x+ 2) M : y · (x+ 1)− 1 = 0 3X ostré lokální vázané MAX [−2; −1; −1]

4) f(x, y) = ex− y − 2 M : y − lnx− 3 = 0 4X ostré lokální vázané MIN

[1

e; 2; −3

]

5) f(x, y) = x+ y − ey

e+ 1 M : x− y + 1 = 0 5X ostré lokální vázané MIN [1; 2; 4− e]

6) f(x, y) =x− 3√y + 2

M : y − x2 − 4 = 0 6X ostré lokální vázané MIN

[−2; 8; − 1√

10

]

7) f(x, y) = 3y + e−3x−2 M : y − 2x = 0 7X ostré lokální vázané MIN[ln 0, 5

3;2 ln 0, 5

3;.= −2, 44

]

107

Kapitola 19

Asymptoty

19.1 Vzorce asymptot

Asymptoty grafů funkcí rozlišujeme na:

• svislé asymptoty (asymptoty bez směrnice),

• šikmé asymptoty (asymptoty se směrnicí).

Svislá asymptota

Je-li funkce y = f(x) definovaná pro x 6= a, a ∈ R, potom přímka o rovnici x = a je svislou asyptotu grafu funkce

f právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita funkce f v bodě a.

Šikmé asymptoty

Přímky o rovnicích y = kix+ qi, i = 1, 2, jsou šikmými asymtotami grafu funkce y = f(x) právě tehdy, jestliže

limx→±∞

(f(x)− kix− qi) = 0, (19.1.1)

tj.

ki : limx→±∞

f(x)

x, (19.1.2)

qi : limx→±∞

[f(x)− kx] (19.1.3)

(poznamenejme, že graf funkce může mít dvě šikmé asymptoty, jednu v −∞ a jednu v +∞).


Najděte rovnice všech asymptot grafů následujících funkcí:

Zadání Výsledky

1) f(x) =1

4− x21X x = 2 x = −2 y = 0

2) f(x) =x3 + 3

x2 − 92X x = 3 x = −3 y = x

3) f(x) = 2x− 1

x− 23X x = 2 y = 2x

4) f(x) =x2 + 3x+ 7

x+ 14X x = 3 x = −3 y = x

108


Zadání Výsledky

5) f(x) =2x2

x2 − 15X x = 1 x = −1 y = 2

6) f(x) =1

x+ 2+

1

x+

1

x− 26X x = −2 x = 0 x = 2 y = 0

7) f(x) =lnx

x− x 7X y = −x x = 0

8) f(x) = 3x− cosx

x8X y = 3x x = 0

9) f(x) =x

3√x2 − 1

9X x = 1 x = −1

10) f(x) = x2 · 2−x 10X y = 0

11) f(x) =x ·√x2 − 1

2x2 − 111X y =

1

2y = −1

2

12) f(x) =x · ex

ex−112X y = x y = 0

13) f(x) = arccos

(2x

1 + x2

)13X y =

π

2

14) f(x) = x · e1x2 14X x = 0 y = x

15) f(x) =x2 + 5x

√x+ 2

2x+ 415X Nemá asymptoty

16) f(x) =x2 + x · arctg x

x− 116X x = 1 y = x+

1

2π + 1 y = x− 1

2π + 1

17) f(x) = x+ arccos

(1

x

)17X y = x+

π

2

18) f(x) = 2x+ arctg(x2

)18X y = 2x+

π

2y = 2x− π

2

19) f(x) = x+lnx

x19X x = 0 y = x

20) f(x) =lnx√x

20X x = 0 y = 0

21) f(x) = 1 + e−x · sin 2x 21X y = 1


Zadání Výsledky

1) y =5− 2x− 11x2

4 + x1X rovná: x = −4

1X šikmá: y = −11x+ 42

2) y =x3 − 3x2

(2− x)22X rovná: x = 2

2X šikmá: y = x+ 1

3) y =1− 6x− x2

x+ 33X rovná: x = −3

3X šikmá: y = −x− 3

4) y =3− 5x2 − 9x3

(2− x)24X rovná: x = 2

4X šikmá: y = −9x− 41

110 KAPITOLA 19. ASYMPTOTY

Nepočítáno:

5) y = 5x− 1

2x− 16) y =

7x3 − 5x2 + 2

(x− 3)2

7) y =4x2 + 8x+ 1

2x− 18) y =

4x2 − 3x− 2

1− x

9) y =2x3 + 3x2 − 1

x310) y =

3x2 + 10x+ 5

x+ 2

11) y =7 + 5x− x2

x− 412) y =

2x2 + x− 4

2− x

13) y =3x6 + 2x5 + 5

x514) y =

(x− 2)2

3− x

15) y =x2 − 3x+ 5

x+ 216) y =

2x2 − x− 5

x+ 2

17) y = x− arctg(x+ 1) +1

x18) y =

4− 5x+ x2

2− x

Kapitola 20

Taylorův polynom

20.1 Vzorce Taylorova polynomu

Tn(x) = f(xa) +f ′(xa)

1!(x− xa)1 +

f ′′(xa)

2!(x− xa)2 +

f ′′′(xa)

3!(x− xa)3 + · · ·+ fn(xa)

n!(x− xa)n

(20.1.1)

Kde:

n – stupeň polynomu

x – proměnná, za kterou se nic nedosazuje

xa – x-ová souřadnice zadaného bodu

f(xa) – y-ová souřadnice zadaného bodu (tzv. funkční hodnota)

fn(xa) – je n-tá derivace v bodě xa


• Dostaneme zadanou funkci f(x)

• Dostaneme zadanou x-ovou souřadnici bodu A = [a, f(a)]. Jedná se o bod dotyku zadané funkce a hledaného

Taylorova polynomu

1. Dopočítání y-nové souřadnice (f(a))

2. Budeme potřebovat všechny derivace až do řádu jako je stupeň zadaného Taylorova polynomu

3. Spočítáme všechny derivace v bodě – vezmeme vždy x-ovou souřadnici zadaného bodu A a dosadíme ji do každé

derivace. Vyjdou konstantní hodnoty (konkrétní čísla), které budeme dosazovat do vzorce.

4. Dosazení do vzorce


20.3.1 Ukázkový příklad 1


y = (x− 1) · lnx+ 1, bod x = 1

Pohybujeme se v prostoru s jednou proměnnou – máme proměnnou volitelnou a závislou a tedy každý bod má dvě

souřadnice, x a y (někdy též značená f(x)). My známe pouze souřadnici x bodu a, nicméně počítáme Taylorův polynom

a vzoreček pro něj, který je uveden dole, říká, že budeme na konci potřebovat obě. Nejprve tedy spočítáme druhou

souřadnici zadaného bodu a. Tuto souřadnici zjistíme dosazením známé souřadnice do zadáné funkce.

Dopočítání druhé souřadnice

111


112 KAPITOLA 20. TAYLORŮV POLYNOM

y0 = (1− 1) · ln 1 + 1 = 1

NÁHODOU! vyšly obě souřadnice stejné. Počítáme tedy Taylorův polynom 3. stupně pro bod [1; 1]. Do vzorečku

dosazujeme obě hodnoty, [x0; y0].

1. derivace

y′ = (1− 0) · lnx+ (x− 1) · 1x+ 0 = lnx+

x− 1

x

1. derivace v bodě x

y′(a) = ln 1 +1− 1

1= 0 + 0 = 0

2. derivace

y′′ =1

x+

(1− 0) · x− (x− 1) · 1x2

=1

x+x− x+ 1

x2=

1

x+

1

x2=x+ 1

x2


y′′(a) =1 + 1

12=

2

1= 2

3. derivace

y′′′ =(1 + 0) · x2 − (x+ 1) · 2x

x4=x2 − 2x2 − 2x

x4=−x2 − 2x

x4=x · (−x− 2)

x4=−x− 2

x3


y′′′(a) =−1− 2

13=−31

= −3

Tabulka 20.1: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 1

Stupeň derivace Derivace v bodě Koeficienty Taylorova polynomu

1. 0 01! = 0

2. 2 22! = 1

3. −3 −33! = −3

6 = − 12

T3 = 1 + (x− 1)2 − 1

2(x− 1)3

Za samotné x se v tomto vzorečku NIC nedosazuje. Pouze se do výsledku opisuje (podobně jako u výpočtu tečen a

normál). Kdybychom dosazovali jak za x tak za x0, tak by bylo výsledkem jedno číslo. Taylorův polynom je ale nová

funkce, ve které se samozřejmě musí objevit proměnná.

20.3.2 Ukázkový příklad 2




Obrázek 20.1: Průběh funkce y = (x− 1) · lnx+ 1 (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná)


y = x52 −√2− x, bod a = 1

1. Dopočítání druhé souřadnice

y0 = 152 −√2− 1 = 1− 1 = 0

[xa; f(xa)] vyšly [1; 0]

1. derivace

y′ =5

2x

32 − 1

2√2− x

· (−1) = 5

2x

32 +

1

2√2− x

1. derivace v bodě x = 1

y′(x) =5

21

32 +

1

2√2− 1

=5

2+

1

2=

6

2= 3

2. derivace

y′′ =5

2· 32x

12 +−2 1

2√2−x · (−1)

(2√2− x)2

=15

4x

12 +

1√2− x

· 1

(2√2− x)2

=15

4

√x+

1√2− x

· 1

4(2− x)=

15

4

√x+

1

4(2− x) 32


y′′(x) =15

4

√1 +

1

4(2− 1)32

=15

4+

1

4=

16

4= 4

3. derivace

y′′′ =15

4· 1

2√x+−4 · 32 (2− x) · (−1)(

4(2− x) 32

)2 =15

8√x+

2 · 3(2− x)16(2− x)3

=15

8√x+

6(2− x)16(2− x)3

=

=15

8√x+

3(2− x)8(2− x)3

=15

8√x+

3

8(2− x)2


y′′′(a) =15

8√1+

3

8(2− 1)2=

15

8+

3

8=

18

8=

9

4

114 KAPITOLA 20. TAYLORŮV POLYNOM

Tabulka 20.2: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 2

Stupeň derivace Derivace v bodě Koeficienty Taylorova polynomu

1. 3 31! = 3

2. 4 42! = 2

3. 94

94

3! =94

6 = 38

T3 = 0 + 3 · (x− 1) + 2 · (x− 1)2 +3

8· (x− 1)3

Obrázek 20.2: Průběh funkce y = x52 −√2− x (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná)



Počítejte Taylorův polynom 3. stupně v zadaném bodě a.

Zadání Výsledky

1) f(x) =√x a = 1 1X T3(x) = 1 +

1

2· (x− 1)− 1

8· (x− 1)2 +

1

16· (x− 1)3

2) f(x) = x3 + 3x2 − x− 3 a = −2 2X T3(x) = 3− (x+ 2)− 3 · (x+ 2)2 + (x+ 2)3

3) f(x) = x10 − x6 + x4 a = 1 3X T3(x) = 1 + 8 · (x− 1) + 36 · (x− 1)2 + 104 · (x− 1)3


Zadání Výsledky

1) f(x) = x2 + 2−√1− x a = 0 1X T3(x) = 1 +

1

2x+

9

8x2 +

1

16x3

2) f(x) = (x− 1) · lnx+ 1 a = 1 2X T3 = 1 + (x− 1)2 − 1

2· (x− 1)3

3) f(x) = (x− 2) · ln(x− 3) + 1 a = 4 3X T3(x) = 1 + 2 · (x− 4) +1

6· (x− 4)3

4) f(x) = x2 − ln(2x− 1) a = 1 4X T3(x) = 1 + 3 · (x− 1)2 − 8

3· (x− 1)3

5) f(x) = (x+ 2) · ln(x− 3)− 1 a = 4 5X T3(x) = −1 + 6(x− 4)− 2 · (x− 4)2 +3

2· (x− 4)3

6) f(x) = x32 −√3− 2x a = 1 6X T3(x) =

5

2· (x− 1) +

7

8· (x− 1)2 +

7

16· (x− 1)3

7) f(x) = x2 −√2− x a = 1 7X T3(x) =

5

2· (x− 1) +

9

8· (x− 1)2 +

1

16· (x− 1)3

8) f(x) = x2 − x+ 2 e2x+1 a = −1

28X T3(x) =

11

4+ 2 ·

(x+

1

2

)+ 5 ·

(x+

1

2

)2

+

+8

3·(x+

1

2

)3


9) f(x) = x2 − 2x+ 1 + cos(3x) a = 0 9X T3(x) = 2− 2x− 7

2x2

10) f(x) = x · e−2x a = 0 10X T3(x) = x · (1− 2x+ 2x2)

11) f(x) = x52 −√2− x a = 1 11X T3(x) = 3 · (x− 1) + 2 · (x− 1)2 +

27

2· (x− 1)3

12) f(x) = x2 + x+ 3− e2x+1 a =1

212X T3(x) =

1

4· (15− 4 e2) + (2− 2 e2) ·

(x− 1

2

)+

+(1− 2 e2) ·(x− 1

2

)2

− 4

3e2 ·(x− 1

2

)3

13) f(x) =1

x+√3 + 2x a = −1 13X T3(x) = −

3

2· (x+ 1)2 − 1

2· (x+ 1)3

14) f(x) = x2 + 3 + e2x−1 a =1

214X T3(x) =

17

4+ 3 ·

(x− 1

2

)+ 3 ·

(x− 1

2

)2

+

+4

3·(x− 1

2

)3

Nepočítáno:

15) f(x) = cos 2x+√x · sin x

2a =

π

2

16) f(x) =1

2· sin 2x+ cosx a =

π

4

17) f(x) = sinx+ 2 · cos 2x a =π

4

18) f(x) =√2 · x 3

2 − ln(x2

)a = 2

19) f(x) = 3 + 2 ln(9x2 − 1) a = 0

20) f(x) = sin(x+

π

3

)+ cos

(2x− π

6

)a = 0

21) f(x) =8

x+ ln

(x2

)a = 2

Kapitola 21

Neurčitý integrál

21.1 Vzorce pro integrování

Pravidla pro integrování

1.∫k · f(x) dx = k ·

∫f(x) dx 2.

∫(f(x)± g(x)) dx =

∫f(x) dx±

∫g(x) dx

Funkce a exponenty Funkce vedoucí na goniometrické funkce

3.∫

0 dx = C 9.∫

cosx dx = sinx+ C

4.∫

1 dx = x+ C 10.∫

sinx dx = − cosx+ C

5.∫xα dx =

xα+1

α+ 1+ C, α 6= −1 11.

∫dx

cos2 x= tg x+ C

6.∫ax dx =

ax

ln a+ C 12.

∫dx

sin2 x= − cotg x+ C

Logaritmy a exponenciála Funkce vedoucí na cyklometrické funkce

7.∫

1

xdx = ln |x|+ C 13.

∫dx√

1− x2= arcsinx+ C

8.∫

ex dx = ex+C 14.∫

dx

1 + x2= arctg x+ C

Vzorce pro použití metod

Metoda per partes

Neurčitý integrál Určitý integrál

15.∫u′ · v = u · v −

∫u · v′ 16.

b∫

a

u′ · v = [u · v]ba −b∫

a

u · v′

Metoda substituce


17.∫f (g(x)) · g′(x) dx =

∣∣∣∣∣g(x) = t

g′(x) dx = dt

∣∣∣∣∣ =∫f(t) dt = · · · = F (t) = F (g(x)) + C

Určitý integrál

18.

g(b)∫

g(a)

f(g(x)) · g′(x) dx =

∣∣∣∣∣g(x) = t a→ g(a)

g′(x) dx = dt b→ g(b)

∣∣∣∣∣ =g(b)∫

g(a)

f(t) dt = [F (t)]g(b)g(a) = F (g(b))− F (g(a))

Speciální možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru:

19.∫f(ax+ b) dx =

1

a· F (ax+ b) + C pro (F ′(x) = f(x)) 20.

∫g′(x)

g(x)dx = ln |g(x)|+ C

21.2 Ukázkové jednoduché příklady (substituční metoda)

1)∫

1

4 + x2dx =

∣∣∣∣∣∣∣

x2 = 4t2

x = 2t

dx = 2 dt

∣∣∣∣∣∣∣=

∫1

4 + 4t2· 2 dt =

∫1

4 · (1 + t2)· 2 dt =

1

2·∫

1

1 + t2dt =

1

2· arctg t + C =

1

2· arctg

(x2

)+ C

substituce zpět:1

2· arctg

(x2

)+ C

116

21.3. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ 117

2)∫

cosx

4 + sin2 xdx =

∣∣∣∣∣∣∣

(sinx)2 = 4t2

sinx = 2t

cos dx = 2 dt

∣∣∣∣∣∣∣=

∫2 dt

4 + 4t2=

∫2 dt

4 · (1 + t2)=

1

2·∫

dt

1 + t2=

1

2· arctg t+ C

substituce zpět:1

2· arctg

(sinx

2

)+ C

3)∫

e2x√ex−1

dx =

∫ex · ex√ex−1

dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

√ex−1 = t

ex−1 = t2

ex = t2 + 1

ex dx = 2t dt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∫t2 + 1

t· 2t dt = 2 ·

∫(t2 + 1) dt = 2 ·

(t3

3+ t

)+ C

= 2 ·((√ex−1)3

3+√ex−1

)+ C

substituce zpět: 2 ·(√

ex−1 · (ex−1)3

+√ex−1

)+ C = 2 ·

√ex−1 ·

(ex−13

+ 1

)+ C

4)∫

lnx

x ·√1 + lnx

dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣

√1 + lnx = t

1 + lnx = t2

1

xdx = 2t dt

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∫t2 − 1

t· 2t dt = 2 ·

∫(t2 − 1) dt = 2 ·

(t3

3− t)+ C

substituce zpět: 2 ·((1 + lnx) ·

√1 + lnx

3−√1 + lnx

)+ C = 2 ·

√1 + lnx ·

(1 + lnx

3− 1

)+ C =

2 ·√1 + lnx ·

(lnx− 2

3

)+ C

21.3 Ukázkový příklad zkouškové úrovně


∫3x2

49 + 25x2dx

řešíme metodou substituce, záleží nyní na volbě, co budeme substituovat

49 + 25x2 = t → volba substituce

50x dx = dt → derivace zvolené substituce – zvlášť levá a zvlášť pravá strana

x dx =dt

50→ z druhého řádku si vyjádříme zvlášť x dx, protože jej potřebujeme pro dosazení do zadání

x2 =t− 49

25→ vyjádříme si x2 pro substituci (vyjádříme jej z výrazu PŘED derivací)

Po samotné subtituci se nesmí v příkladu vyskytovat původní proměnná!!

=

∫3 · t−4925

t· dt

50=

3

1250

∫t− 49

tdt =

3

1250

∫ (1− 49

t

)dt =

3

1250

∫dt− 3

1250· 49

∫1

tdt =

3t

1250− 3 · 49

1250ln |t|+ C


118 KAPITOLA 21. NEURČITÝ INTEGRÁL

Substituce zpět

3

1250

[(49 + 25x2)− 49 ln(49 + 25x2)

]+ C

Obrázek 21.1: Průběh funkcí y′ =3x2

49 + 25x2a y =

3

1250

[(49 + 25x2)− 49 ln(49 + 25x2)

]+ C



Zadání Výsledky

1)∫x · (lnx+ x) dx 1X

x2

2·(lnx− 1

2

)+x3

3+ C

2)∫

ln(sinx)

sin2 xdx 2X − cotg x · [ln(sinx) + 1]− x+ C

3)∫x ·(sinx+

sin4 x · cosxx

)dx 3X sinx− x · cosx+

sin5 x

5+ C

4)∫

3x2 · lnx dx 4X x3 · lnx− x3

3+ C

5)∫

arcsin√x√

xdx 5X 2

√x · arcsin

√x+ 2

√1− x+ C

6)∫

ln(cosx)

cos2 xdx 6X tg x · ln (cosx) + tg x− x+ C


7)∫

dx

sin2 x · (81 + 49 cotg2 x)7X − 1

63· arctg

(7

9· cotg x

)+ C

8)∫x3 ·

(lnx+

cosx

2x3 · 3√3 · sinx− 1

)dx 8X

x4

4·(lnx− 1

4

)+

1

3· 3√

(3 · sin(x)− 1) + C

9)∫

arctg√8x− 1 dx 9X x · arctg

√8x− 1− 1

8·√8x− 1 + C

10)∫

e−√4x−5 dx 10X

1

2· (−√4x− 5− 1) · e−

√4x−5 +C

11)∫

dx√3− 5x2

11X1√5· arcsin

(√5x√3

)+ C

12)∫

7 dx

cos2 x ·√9− 4 · tg2 x

12X7

2· arcsin

(2

3· tg x

)+ C

13)∫

3x2

49 + 25x2dx 13X

3

1250·[(49 + 25x2)− 49 · ln(49 + 25x2)

]+ C

14)∫

2x

1 + x4dx 14X arctg x2 + C

15)∫x · arctg

√2x2 − 1 dx 15X

x2

2· arctg

√2x2 − 1−

√2x2 − 1

4+ C

16)∫

2 + lnx

xdx 16X 2 · ln |x|+ ln2 x

2+ C

17)∫

cos√2− x dx 17X −2 ·

√2− x · sin

√2− x− 2 · cos

√2− x+ C

18)∫

2x3 · ex2

dx 18 X ex2

· (x2 − 1) + C

19)∫

arcsinx dx 19 X x · arcsinx+√1− x2 + C

20)∫

7 · sinx√36 + 25 · cos2 x

dx 20 X −7

5· arcsin

(5

6· cosx

)+ C

21)∫

(3x+ 6) · cosx√4 + sinx · (x+ 2)

dx 21 X 6 ·√4 + sinx+ C

22)∫

e2x

121 + 4 · e4xdx 22 X

1

44· arctg 2 · e2x

11+ C

23)∫

x√x2 + 1

dx 23 X√x2 + 1 + C

24)∫

sin√2x− 1 dx 24 X −

√2x− 1 · cos

√2x− 1 + sin

√2x− 1 + C

Nepočítáno:

25)∫

3x2 + 22x+ 37

x2 + 7x+ 12dx 26)

∫cosx ·

(x+

1

sin3 x

)dx

27)∫

cosx · (x+√1 + 4 · sinx) dx 28)

∫x2

x2 − 3x+ 2dx

29)∫

arcsin3 x− 3x√1− x2

dx 30)∫

2x3 + 6x2 + 7x+ 8

x2 + 3x+ 2dx

31)∫x3 + 3x2 − 5x+ 4

x2 + 3x− 10dx 32)

∫sinx ·

(1− 9x+

√2− cotg x

sin3 x

)dx

33)∫

3 dx

x · (25 + 64 · ln2 x)34)

∫−x3 − x2 + 23x− 3

x2 + x− 20dx

35)∫x2 + 8x+ 6

x2 + 3x− 4dx 36)

∫3x2 − 19x+ 36

x2 − 7x+ 12dx

120 KAPITOLA 21. NEURČITÝ INTEGRÁL

37)∫

2x2 − 5x− 13

x2 − 4x− 5dx 38)

∫arcsin 2x dx

39)∫−x2 + 7x− 17

x2 + 5x+ 6dx 40)

∫arctg 2x dx

41)∫

x2

x2 − 5x+ 6dx 42)

∫2x2 + 8x− 2

x2 + 2x− 15dx

43)∫

arccos 5x dx 44)∫x3 − 2x2 − 23x− 14

x2 + 2x− 24dx

45)∫

e√2−x dx 46)

∫3x3 + 15x2 + 14x+ 11

x2 + 5x+ 4dx

47)∫

cosx

9 + 49 · sin2 xdx 48)

∫−x2 + 7x− 17

x2 − 5x+ 6dx

49)∫

cosx√16− 36 · sin2 x

dx 50)∫x2 + 6x− 2

x2 + 3x− 4dx

51)∫x ·(

1√1− x2

+√x · lnx

)dx 52)

∫sin√3x+ 5 dx

53)∫

2x3 − 4x2 − 4x+ 1

x2 − x+ 2dx 54)

∫e√2x dx

55)∫

10x− 2

x2 − 4x+ 13dx 56)

∫arcsin

(x2

)dx

57)∫−x3 − 8x2 − 11x+ 3

x2 + 5x+ 14dx 58)

∫e√2+3x dx

59)∫

8x+ 4

x2 − 2x+ 5dx 60)

∫(2x+ 3) ·

(3x +

13√x2 + 3x

)dx

61)∫

arctg√x dx 62)

∫x3 · arctg x dx

63)∫

ex√64− 49 · e2x

dx 64)∫

x3√1− x4

dx

65)∫

e−√2x dx 66)

∫sinx ·

(1 + 9x+

√2 + cotg x

sin3 3x

)dx

67)∫(2x+ 3) · lnx dx 68)

∫arccos 4x dx

69)∫ √

4x− 1 dx

Kapitola 22

Určitý integrál

22.1 Návod na výpočet určitého integrálu

Určitý integrál má narozdíl od neurčitého vymezené hranice. Vychází konkrétní čísla, k výsledkům se tedy již nepři-

pisuje „ +C ÿ. Určitý integrál vyjadřuje hodnotu mezi osou x a zadanou přímkou.

Příklady s konstantou

Zadání: y = 5 Výpočet z Obrázku 22.1: Jedná se v podstatě o obdélník, výsledek do-

staneme výpočtem strana krát strana. 5 · 6 = 30. Nebo můžeme jednoduše

spočítat počet dílčích čtverečků.

Hranice: 〈0, 6〉 Výpočet integrálem:∫ 6

0

5 dx = [5x]60 = [5 · 6− 5 · 0] = 30− 0 = 30

Zadání: y = −5 Výpočet z Obrázku 22.2: Jde o stejný obrazec, ovšem pod osou x. Výsledek

je tedy stejný, jen s opačným znaménkem.

Hranice: 〈0, 6〉 Výpočet integrálem:∫ 6

0

−5 dx = [5x]60 = [(−5) · 6− (−5) · 0] = −30− 0 = −30

Obrázek 22.1: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 6〉


Příklady s přímkou

Zadání: y = x Výpočet z Obrázku 22.3: Zaprvé lze spočítat jednotlivé čtverečky. Ob-

rázek obsahuje 10 celých čtverců a 5 malých trojúhelníků (polovičních

čtverců). Očekávaný výsledek je tedy 12,5 p. j. Nebo můžeme celý trojúhel-

ník chápat jako polovinu velkého čtverce a dopočítat se výsledku dle vzorcestrana krát strana

2=

5 · 52

=25

2= 12,5 p. j.

121

122 KAPITOLA 22. URČITÝ INTEGRÁL

Hranice: 〈0, 5〉 Výpočet integrálem:

5∫

0

x dx =[x22

]50=[522− 02

2

]=

25

2− 0 = 12, 5

Zadání: y = x Výpočet z Obrázku 22.4: Plochy po obou stranách osy y jsou stejné a tedy

se navzájem odečtou.

Hranice: 〈−5, 0〉 Výpočet integrálem:

5∫

−5

x dx =[x22

]5−5

=[522− (−5)2

2

]=

25

2− 25

2= 0

Zadání: y = x Výpočet z Obrázku 22.5: Jde o stejný trojúhelník jako na Obrázku 22.3,

výsledek má ovšem opět opačné znaménko.


0∫

−5

x dx =[x22

]0−5

=[022− (−5)2

2

]= 0− 25

2= −12, 5

22.1. NÁVOD NA VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU 123

Obrázek 22.2: Průběh funkce y = −5 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 6〉


Obrázek 22.3: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 〈0, 5〉



Obrázek 22.4: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 〈−5, 0〉






Zadání Výsledky

1)

1∫

0

e3x+2

exdx 1X

e3 +3 e−42 e

2)

π4∫

0

cos2 x dx 2Xπ

8+

1

4

3)

e∫

1

x+ 2

2xdx 3X

e+1

2

4)

12∫

− 12

arctg 2x dx 4X 0

5)

π2∫

0

3x · sinx dx 5X 3

6)

2∫

1

x+ 1

x2 − 3xdx 6X −5

3· ln 2

7)

x∫

0

arcsin(x3

)dx 7X

3

2π − 3

8)

8∫

2

e√2x dx 8X 3 e4− e2

9)

0∫

−1

dx

4x2 − 99X − ln 5

12

10)

π2∫

0

sin4 x · cosx dx 10X1

5

11)

e2∫

e

ln3 x

xdx 11X

3

8

12)

π∫

0

cos2 x · sin3 x dx 12X4

15

13)

0∫

−π2

2x · cos 3x dx 13X3π + 2

9

14)

2∫

1

x2 · ln(1 + x3) dx 14X 3 · ln(9)− 2

3· ln(2)− 7

3

15)

3π2∫

π2

cosx

4− sin2 xdx 15X −1

2· ln 3


16)

ln 3∫

ln√3

ex+9 e−x

xdx 16X

π

36

17)

π2∫

π6

cosx

sin5 xdx 17X

15

4

18)

π2∫

0

√2 + cosx · sinx dx 18X 2

√3− 4

3·√2

19)

√8∫

√3

2x3√x2 + 1

dx 19X32

3

20)

π∫

0

(1− x2) · x dx 20X 2π

21)

π2∫

0

e2x · cosx dx 21Xeπ −25

22)

√3∫

0

x4

3 + x2dx 22X

3√3π

4− 2√3

23)

3∫

2

2x2 + 3x− 2

xdx 23X

1

5· ln(4

3

)

24)

0∫

−1

(2x+ 3) · e−x dx 24X 3 e−5

25)

2∫

1

x√x− 1

dx 25X8

3

26)

1∫

0

x+ 33√x

dx 26X51

10

27)

∞∫

1

3x2 − 2x

xdx 27X ln

√3

28)

0∫

−∞

4 + x2

xdx 28X

π

4

29)

∞∫

−∞

2x

x2 + 1dx 29X Diverguje

30)

2∫

−∞

x

3x− 2dx 30X Diverguje

31)

1∫

0

arcsinx√1− x2

dx 31Xπ2

8

32)

e∫

1

x ·√lnx

xdx 32X 2


33)

∞∫

0

sin 2x dx 33X Diverguje

34)

32∫

0

√9− 4x2

xdx 34X

π

4

35)

∞∫

0

e−x dx 35X 1

36)

∞∫

−∞

x2 + 2x+ 2

xdx 36X π

37)

1∫

0

(2− x) ·√1− x

xdx 37X

π

2

38)

1∫

0

lnx dx 38X −1

39)

π2∫

0

tg x dx 39X Diverguje

40)

∞∫

−∞

4x2 + 1

xdx 40X

π

2

41)

1∫

0

dx3√1− x

41X3

2

42)

∞∫

0

2−x dx 42X1

ln 2

43)

∞∫

1

x · ln2 x dx 43X Diverguje

44)

2∫

−2

x√2− x

dx 44X8

3

45)

∞∫

0

ex

9 + exdx 45X Diverguje

46)

1∫

0

ln2 x dx 46X 2

47)

∞∫

1

x · e−2x dx 47X3

4· e−2

48)

∞∫

0

x · cosx dx 48X Diverguje

49)

3∫

1

1√(x− 1)3

dx 49X Diverguje


50)

∞∫

0

arctg3 x

1 + x2dx 50X

π4

64

51)

∞∫

1

x · arctg x dx 51X Diverguje


Zadání Výsledky

1)

1∫

0

(2x+ 3) ·(3x +

13√x2 + 3x

)dx 1 X

.= 11,38849207043

Nepočítáno:

2)

23

√3−1∫

−1

10 dx

x2 + 2x+ 5

Kapitola 23

Aplikace určitého integrálu

23.1 Vzorce aplikovaného integrálu

Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami

P =

b∫

a

f(x) dx, pro f(x) ≥ 0 na 〈a, b〉 (23.1.1)

P =

b∫

a

(f(x)− g(x)) dx, pro f(x) ≥ g(x) na 〈a, b〉 (23.1.2)

Délka křivky

l =

b∫

a

√1 + (f ′(x))2 dx (23.1.3)

Plášť rotačního tělesa

S = 2π ·b∫

a

f(x) ·√

1 + (f ′(x))2 dx (23.1.4)

Objem rotačního tělesa

V = π ·b∫

a

f2(x) dx (23.1.5)

129

130 KAPITOLA 23. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

23.2 Návod na výpočet plochy rovinného obrazce ohraničeného zada-

nými křivkami P

Co je kýženým výsledkem je zřejmé ze zadání – obsah, respektive obsah jistého obrazce omezeného zadanými křivkami

který je samozřejmě možno graficky znázornit. Výsledná čísla vychází v plošných jednotkách (p. j.). U aplikace vychází

konkrétní nezáporná čísla, k výsledkům se tedy již nepřipisuje „ +C ÿ.

V tomto souboru jsou ukázány příklady vždy pouze s jednou křivkou. Počítáme tedy obrazec mezi křivku a osou x.


Zadání: y = 5 Výpočet z Obrázku 23.1: Jedná se v podstatě o čtverec takže klasické strana

krát strana. 5 · 5 = 25 p. j.


5∫

0

5 dx = [5x]50 = [5 · 5− 5 · 0] = 25− 0 = 25 p. j., což

mimochodem odpovídá počtu jednotlivých čtverečků ve vymezené ploše (adi-

tivita integrálů).

Zadání: y = 5 Výpočet z Obrázku 23.2: Jde o obdélník o stranách 5 a 6, výsledek je tedy

30 p. j.


5∫

−1

5 dx = [5x]5−1 = [5 · 5− 5 · (−1)] = 25 + 5 = 30 p. j.




23.2. NÁVOD NA VÝPOČET PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI P131

Obrázek 23.2: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 〈−1, 5〉


Zadání: y = x Výpočet z Obrázku 23.3: Zaprvé lze prostě spočítat jednotlivé čtverečky.

Obrázek obsahuje 10 celých čtverců a 5 malých trojúhelníků (polovičních

čtverců). Očekávaný výsledek je tedy 12,5 p. j. Nebo můžeme celý trojúhel-

ník chápat jako polovinu velkého čtverce a dopočítat se výsledku dle vzorcestrana krát strana

2=

5 · 52

=25

2= 12,5 p. j.


5∫

0

x dx =[x22

]50=[522− 02

2

]=

25

2− 0= 12,5 p. j.

Zadání: y = x Výpočet z Obrázku 23.4: Vidíme že se v podstatě jedná o dva totožné

trojúhelníky kdy už jsme v předešlém příkladě spočítali obsah jednoho z nich,

takže můžeme jen předchozí výsledek vynásobit dvěma. Nebo si v hlavě spojíme

trojúhelníky do čtverce.

Hranice: 〈−5, 5〉 Výpočet integrálem: Tento příklad je trochu odlišný od ostatních, neb se

část křivky na zadaném intervalu dostává pod osu x. Musíme tedy výpočet

rozdělit a spočítat dané plochy zvlášť, neboť se VŽDY musí odečítat spodní

křivka od horní.

Výpočet první části obsahu. Obsah plochy nemůže být záporný.0∫

−5

x dx =[x22

]0−5

=[022− (−5)2

2

]= 0− 25

2⇒ 25

2

Výpočet druhé části obsahu.5∫

0

x dx =[x22

]50=[522− (0)2

2

]=

25

2

Sečteme obě plochy.25

2+

25

2= 25 p. j.

Ve zkouškových příkladech se nestane, že bychom museli příklad takto rozdělo-

vat. Máme vždy zadané alespoň dvě funkce a vždy je jasné která je horní a

která spodní.

Zadání: y = 5− x Výpočet z Obrázku 23.5: A náš oblíbený5 · 52

=25

2trojúhelník potřetí

a naposledy.



5∫

0

(5− x) dx =

5∫

0

5 dx−5∫

0

x dx = [5x]50 −[x22

]50=

[5 · 5− 5 · 0]−[522− 02

2

]= (25− 0)−

(252− 0)= 25− 12, 5 = 12,5 p. j.

Obrázek 23.3: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 〈0, 5〉




Příklady s posunutou přímkou


Obrázek 23.5: Průběh funkce y = 5− x a vymezení plochy v hranicích 〈0, 5〉


Zadání: y = x+ 2 Výpočet z Obrázku 23.6: Obrazec si rozdělíme na spodní obdelník a vrchní

trojúhelník. Opět můžeme jednoduše spočítat malé čtverce, obdelník se skládá

z 10 čtverců a trojúheník jich obsahuje 12,5. Výsledná plocha obrazce je

22,5 p. j. Nebo lze spočítat obsah obdelníku 2 · 5 = 10 a trojúhelníku, který je

12,5 a opět dílčí obsahy sečíst.


5∫

0

(x+ 2) dx =

5∫

0

x dx+

5∫

0

2 dx =[x22

]50+ [2x]50 =

[522− 02

2

]+ [2 · 5− 2 · 0] =

(252− 0)+ (10− 0) = 12, 5 + 10 = 22,5 p. j.

Obrázek 23.6: Průběh funkce y = x+ 2 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 5〉



Příklady s parabolou

Zadání: y = x2 Výpočet z Obrázku 23.7: Nyní začneme mít problémy s přesným určováním

výsledků z obrázku. Každopádně stále dokážeme výsledek alespoň přibližně

odhadnout. V tomto případě máme jeden celý čtverec a pak čtyři částečné.

Výsledek je necelých 3 p. j.


2∫

0

x2 dx =[x33

]20=[233− 03

3

]=

8

3− 0 = 2,67 p. j.

Zadání: y = x2 Výpočet z Obrázku 23.8: Zadaná funkce je osově souměrná, vyznačená

plocha je identická s předchozí.


0∫

−2

x2 dx =[x33

]0−2

=[033− (−2)3

3

]=

0

3− (−8)

3=

8

3=

2,67 p. j.

Zadání: y = x2 Výpočet z Obrázku 23.9:


2∫

−2

x2 dx =

[x3

3

]2

−2=

23

3− (−2)3

3=

8

3− −8

3=

8

3+

8

3=

16

3= 5, 34

Obrázek 23.7: Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích 〈0, 2〉



Obrázek 23.8: Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích 〈−2, 0〉


Obrázek 23.9: Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích 〈−2, 2〉



23.3 Návod na výpočet délky křivky l

Kýženým výsledkem je délka křivky na vymezeném intervalu, která samozřejmě vychází v délkových jednotkách (d.

j.).


Zadání: y = 2 Výpočet z Obrázku 23.10: Zde snad ani není co dodávat.


3∫

0

√1 + ((2)′)2 dx =

3∫

0

√1 + (0)2 dx =

3∫

0

√1 dx =

3∫

0

1 dx = [x]30 = 3− 0 = 3 d. j.




Zadání: y = x Výpočet z Obrázku 23.11: Úhlopříčka čtverce o stranách rovných jedné je

rovna√2. Čtverce jsou čtyři a tedy čtyřikrát

√2.


2∫

−2

√1 + ((x)′)2 dx =

2∫

−2

√1 + (1)2 dx =

2∫

−2

√2 dx = [x

√2]2−2 =

[2√2−√2(−2)] = 2

√2 + 2

√2 = 4

√2 d. j.

23.3. NÁVOD NA VÝPOČET DÉLKY KŘIVKY L 137




23.4 Obecné znázornění pláště a objemu rotačních těles

Obrázek 23.12: Obecné znázornění pláště rotačního tělesa (S)

Obrázek 23.13: Obecné znázornění objemu rotačního tělesa (V)


1. Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami:

Zadání Výsledky

1) y1 = x2 − 3x y2 = 2x− 4 1X27

6(= 4, 5) plošných jednotek

2) y1 = 0 y2 = x+ 2 y3 = 4− x2 2X37

6plošných jednotek

3) y1 = 2− x2 y32 = x2 3X32


4) y1 = 0 y2 = lnx y3 = 1 x =1

24X 0,15 plošných jednotek

5) y1 = 4x− x2 y2 = 3x− 6 5X125


6) y1 = x2 − 2 y2 = x+ 4 6X125


7) x = 2 y1 = ex y2 = 1− x 7X e2−1 plošných jednotek

Nepočítáno:

8) y1 = 0 y2 =√2− x y3 =

√2x+ 8

9) y1 = e y2 = e3x x = 1


10) y1 = 2x3 y2 = 4x2

11) y1 = x2 − 4x y2 = 3− 2x

12) y1 = ex y2 = e−x x = 1

13) y1 = e y2 = e3x x1 =4

3x2 = 0

14) y1 = x2 − 12 y2 = 2x− 12

15) y1 = −x2 − 3x y2 = x+ 3

16) y1 = −2x2 − 3x− 3 y2 = x2 − 3

17) y1 = −x2 − x− 2 y2 = −x3 + 2

18) y1 = 3− x2 y2 = 1− x

19) y1 = −x2 − 2x y2 = 2x− 12

20) y1 = x2 + 4x+ 4 y2 = 4

21) y1 = x2 − 2x y2 = 2x− 3

22) y1 = x2 − 3x y2 = 2− 2x

23) y1 =√x− 1 y2 =

√8− 2x

24) y1 =√2x+ 8 y2 =

√2− x

25) y1 = −x2 − 2x y2 = 2x− 12

25) y1 = 4x− x2 y2 = 4− x

26) y1 = 5x− x2 y2 = 2x− 4

27) y1 = 5x− x2 y2 = 2x− 4

2. Délka křivky:

Zadání Výsledky

1) y1 =√9− x2 x ∈

⟨0;π

2

⟩1X 3 arcsin

(π6

)délkových jednotek

2) y1 =x2

4− lnx

2x ∈ 〈1; e〉 2X

e2 +1

4délkových jednotek

3) y1 =√1− x2 x ∈

⟨0;

1

2

⟩3X

π


4) y1 =√4− x2 x ∈ 〈0; 1〉 4X

π


5) y =

√1− x

3

3x ∈ 〈−10;−1〉 5X

π


3. Povrch / Plášť rotačního tělesa:

Zadání Výsledky

1) y =√3 + x x ∈ 〈−1; 3〉 1X

48π



Nepočítáno:

2) y =√9− x2 x ∈ 〈0; 2〉

3) y =√16− x2 x ∈ 〈0; 1〉

4. Objem rotačního tělesa:

Zadání Výsledky

1) y1 =

√x− 2

2x+ 1x ∈ 〈2; 3〉 1X

π

2

(1− 3 ln

7

5

)objemových jednotek

2) y1 =

√2− x3 + 2x

x ∈ 〈1; 2〉 2Xπ

4

(7 ln

7

5− 2

)objemových jednotek

Nepočítáno:

3) y1 =√x · e x3 y2 = 0 x ∈ 〈0; 1〉

4) y1 = 4− x2 y2 = x+ 2

5) y1 =√2x y2 = 0 y3 = 3− x

2

6) y1 =√x

(x2

3− 1

)y2 = 0 x ∈ 〈2; 3〉

Kapitola 24

Diferenciální rovnice I. řádu


Zadání Výsledky1) y′ = 3 ·

√x− e−x 1X y = 2x ·

√x+ e−x+C

2) y′ =y

x2X y = C · x

3) y′ =y

tg x3X y = C · sinx

4) (x+ 1) · y′ = y − 2 4X 4y = 2 + C · (x+ 1)4

5) x · y′ − 3y = 0 5X y = C · x3

6) x · y · y′ = y2 + 1 6X y2 = C · x2 − 1

7) y′ = ex−y 7X y = ln(ex+C)

8)y′√y+

1√x= 0 8X y = (C −

√x)

2

9) x · y′ − y′ = 2y 9X y = C · (x− 1)

10) xy′ = (1 + y2) · arctg y 10X y = tg(C · x)

11) y′ = y · ln2 y 11X y = e1

C−x

12)y

x· y′ = 1 + y2

1 + x212X y2 = C · (1 + x2)

13) xy′ = 4y, y(1) = 2 13X y = 2x4

14) xy′ = 1 + y2, y(1) = 0 14X y = tg(ln |x|)

15) (x+ 1) · y′ + xy = 0, y(0) = 1 15X y = (x+ 1) e−x

16) y′ = − x

y + 1, y(0) = 0 16X (y + 1)2 = 1− x2

17) y′ = y · cosx, y(π) = 1 17X y = esin x

18) (1 + ex) · y · y′ = ex, y(0) = 1 18X y2 = 1− ln 4 + 2 · ln(1 + ex)

19) y′ =2x+ y

x19X y = x · ln(C · x2)

20) x · y′ = x+ 2y 20X y = x · (C · x− 1)

21) x+ x · y′ = y 21X y = x · ln∣∣∣∣C

x

∣∣∣∣

22) x2y′ = y2 + x · y 22X y =x

C − ln |x|

23) y′ = e−yx +

y

x23X y = x · ln (ln |C · x|)

24) y′ − y

x=(yx

)24X y = x · arcsin(C · x)

25) y′ =x

y+y

x25X y = x2 · ln(C · x2)

26) x · y′ = y · ln(yx

)26X y = x · e1+Cx

27) y′ =x+ y

x− y27X y = x · tg

(ln√C(x2 + y2)

)

141

142 KAPITOLA 24. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I. ŘÁDU

Zadání Výsledky

28) y′ − y = ex 28X y = (x+ C) · ex

29) x · y′ − 3y = x2 29X y = C · x3 − x2

30) y′ + 2y = e−2x · cosx 30X y = (C + sinx) · e−2x

31) y′ + 2x · y = x3 31X y =x2

2− 1

2+ C · e−x2

32) (2x+ 1) · y′ + y = x 32X y =x− 1

3+

C√|2x+ 1|

33) y′ − 2

x· y = x2 · sinx 33X y = x2 · (C − cosx)

34) y′ + y · cosx = sin 2x 34X y = C e− sin x+2 · sinx− 2

35) x · y′ − 2y = x · lnx 35X y = C · x2 − x · (lnx+ 1)

36) (x+ 1) · y′ − 2y = (x+ 1)4 36X y = C · (x+ 1)2 +1

2· (x+ 1)4

37) y′ − y = 4x · e−x 37X y = C · ex−x · (lnx+ 1)

38) y′ − y · tg x = 2 sinx 38X y =C

cosx− cosx

39) x · y′ + y = (2− lnx) · x 39X y =C

x+

5x

4− x

2· lnx

40) (1− x2) · y′ + x · y = 3x 40X y = C ·√1− x2 + 3

41) y′ + y · cotg x =1

sinx41X y =

C

sinx+

x

sinx

42) y′ +x · y1− x2

= arcsinx 42X y = C ·√1− x2 + 1

2·√1− x2 · arcsin2 x

43) y′ − y = e2x, y(0) = 4 43X y = e2x+3 ex

44) y′ + 3y = x, y(13

)= 1 44X y = e1−3x+

3x− 1

9

45) y′ +3y

x=

2

x3, y(1) = 1 45X y =

2

x2− 1

x3

46) y′ + x2 · y = x2, y(2) = 1 46X y = 1


Zadání Výsledky

1) (1 + x2) · y′ = −x · (1 + 2y) 1X y =C

x2 + 1− 1

2

2) y′ = 3 · x2y 2X y = C · ex3

3) 2y′ ·√x = 1 + x2 3X y = tg ·(

√x+ C)

4) xy′ + y = y2 − x2y′ 4X y =x+ 1

x+ 1− Cx5) y′ − 3y = (4x+ 3x2) · e3x 5X y = C · e3x+x2 · (2 + x) · e3x

6) y′ +y√

1− x2=

1√1− x2

6X y = C · e− arcsin x+1


7) xy′ + y = sinx 7X y =C

x− cosx

x

8) y′ − y · tg x =x+ 3

cosx8X y =

C

cosx+

(x2

2+ 3x

)· 1

cosx

9) y′ − 2xy = (sinx+ 1) · ex2

9X y = ex2

· (C + x− cosx)

10) y′ − y · sinx =√x · e− cos x 10X y = e− cos x ·

(C +

2x

3·√x

)

11) (x2 + 1) · y′ = 2

y11X y =

√4 arctg x+ C

12) y′ + x = xy 12X y = C · e x2

2 +1

13) y′ + 4y = (10x+ 1) · e−x 13X y = C · e−4x+e−x

9· (30x− 7)

14) y′ + 2y · tg x = sinx 14X y = cos ·(C · cosx+ 1)

Nepočítáno:

15) y′ + 2xy = 2x

16) y′ · y · tg x = cos2 x

17) y′ + 3y =x2 + 5x+ 1

e3x

18) xy′ − 3y = x12

19) y′ − 3x2 =√x− 1 ex

3

20) y′ · sinx− y · cosx = 1

21) xy′ + y = x3 + 3x

22) y′ + y · cosx = e− sin x

23) 2y′ + 6y = −9 e8x

24) −7y′ − 35y = 8 · e−6x

25) 5 + y′ + 5y = 9x · ex

26) 5xy′ − 10y = −8x4 · cosx

27) y′ + 2y = 3x4 · e−2x

28) y′ +y

x2 + 1=

1

x2 + 1

29) sin2(7x+ 4) · y′ − y2 = 0

30) y′ · sinx+ y · cosx =1

sin2 x

31) −3y′ + 15y = 7 e4x

32) y′ + y · cotg x = cos2 x

33) y′ + y · sinx =4x2 − 1

x2· ecos x

34) y′ · cosx+ y · sinx = 0

35) xy′ + 2y =4

2x2 + 1

36) xy′ + y = 3 e3x

Kapitola 25

Diferenciální rovnice II. řádu


Zadání Výsledky

1) y′′ + 3y′ − 10y = 0 1X y = C1 e2x+C2 e

−5x

2) y′′ − 4y′ = 0 2X y = C1 + C2 e4x

3) 3y′′ + 2y′ − y = 0 3X y = C1 ex2 +C2 · x e

x2

4) y′′ − 4y′ + 4y = 0 4X y = C1 e2x+C2x e

2x

5) 4y′′ − 4y′ + y = 0 5X y = C1 ex2 +C2 · x e

x2

6) y′′ − 4y′ + 13y = 0 6X y = ex · (C1 cos 3x+ C2 sin 3x)

7) y′′ + y = 0 7X y = C1 ex2 +C2x · e

x2

8) y′′ − 4y′ + y = 0 8X y = e−x ·(C1 cos√2x+ C2 sin

√2x)

9) 9y′′ + y = 0 9X y = C1 · cos(x3

)+ C2 · sin

(x3

)

10) y′′ − 3y′ + 2y = 3 · e−x 10X y = C1 ex+C2 e

2x+1

2e−x

11) y′′ − 3y′ + 2y = ex 11X y = C1 e2x+C2 e

x−x ex

12) y′′ − 2y′ + 5y = (4x+ 3) · ex 12X y = (C1 cos 2x+ C2 sin 2x) ex+

(3

4+ x

)ex

13) y′′ + y′ − 2y = (2x+ 1) · 3x e 13X y = C1 ex+C2 e

−2x+

(1

5x− 1

25

)e3x

14) y′′ − 7y′ + 10y = (6x+ 7) · e2x 14X y = C1 e5x+C2 e

2x−(x2 + 3x) e2x

15) y′′ + 4y′ − 5y = 1 15X y = C1 ex+C2 e

−5x−1

5

16) y′′ − 5y′ + 6y = x+ 1 16X y = C1 e2x+C2 e

3x+x

6+

11

36

17) y′′ − y′ − 6y = 3x2 + 2x 17X y = C1 e3x+C2 e

−2x−x2

2− x

6− 5

36

18) y′′ + y = x2 18X y = C1 sinx+ C2 cosx+ x2 − 2

19) y′′ + 3y′ = 9x 19X y = C1 e2x+C2 e

−2x−2x3 − 3x

20) y′′ − 2y′ = x2 − x 20X y = C1 + C2 e2x−x

3

6

21) y′′ − 4y = 8x3 21X y = C1 e2x+C2 e

−2x−2x3 − 3x

22) y′′ − 3y′ + 2y = 9 · sinx+ 3 · cosx 22X y = C1 ex+C2 e

2x+3 cosx

23) y′′ − 7y′ + 6y = sinx 23X y = C1 ex+C2 e

6x+1

74· (7 cosx+ 5 sinx)

24) 9y′′ − 6y′ + y = sin(x3

)24X y = C1 e

x3 +C2x e

x3 +

1

2cos

x

3

25) y′′ + 2y′ + 5y = −17

2· cos 2x 25X y = C1 e

−x cos 2x+ C2 e−x sin 2x− 1

2cos 2x− 2 sin 2x

26) y′′ + 2y′ − 3y = x2 · ex 26X y = C1 e−3x+C2 e

x+

(x3

12− x2

16+

x

32

)

144

27) y′′ − 2y′ + 2y = ex · cosx 27X y = C1 ex sinx+ C2 e

x cosx+1

2ex x sinx

28) y′′ − y =1

x− 2

x328X y = C1 e

x+C2 e−x− 1

x

29) y′′ − 2y′ =1 + 2x

x229X y = C1 + C2 e

2x− ln |x|

30) y′′ − 4y′ + 4y =e2x

x230X y = C1 e

2x+C2x e2x− e2x ln |x|

31) 2y′′ + 8y =1

sin3 2x31X y = C1 sin 2x+ C2 cos 2x+

2 cos2 2x− 1

16 sin 2x

32) y′′ − 3y′ + 2y = e5x 32X y = C1 ex+C2 e

2x+1

12e5x

33) y′′ − 4y′ + 4y = x2 33X y = C1 e2x+C2x e

2x+1

4x2 +

1

2x+

3

8

34) y′′ − 2y′ + 2y = x · ex 34X y = C1 ex sinx+ C2 e

x cosx+ x ex


Zadání Výsledky1) y′′ + 4y = 8 · cos 2x 1X y = C1 · cos 2x+ C2 · sin 2x+ 2x · sin 2x

2) y′′ − 12y′ + 36y = (6x− 4) · e6x 2X y = C1 · e6x+C2 · x e6x+x2(x− 2) · e6x

3) y′′ − 2y′ = (9x2 + 9x− 2) · e−x 3X y = C1 + C2 · e2x+(3x2 + 11x+ 12) e−x

4) y′′ − 5y′ − 6y = 14 e6x 4X y = C1 · e6x+C2 · e−x+2x · e6x

5) y′′ − 6y′ + 9y = 5 e3x 5X y = C1 · e3x+C2 · x e3x+5

2x2 · e3x

6) y′′ + 2y′ + y = 4 e−x 6X y = C1 · e−x+C2 · x e−x+2x2 · e−x

7) y′′ − 4y′ + 3y = 3x2 − 8x+ 5 7X y = C1 · ex+C2 · e3x+x2 + 1

8) 2y′′ + y′ − y = 6 e−x 8X y = C1 · ex2 +C2 · e−x−2x · e−x

9) y′′ − y = 4 e−x 9X y = C1 · ex+C2 · e−x−2x e−x

10) y′′ − 4y′ + 4y = 4x2 + 2x+ 2 10X y = C1 · x e2x+C2 · e2x+x2 +5x

2+ 3

Nepočítáno:

11) y′′ − 6y′ + 9y = 2x 12) y′′ + y = 2 cosx

13) y′′ + y = cos 2x 14) y′′ + 4y′ + 13y = 16 · cos 3x+ sin 3x

15) y′′ + 4y′ + 3y = 7 · cos 3x+ 4 · sin 3x 16) y′′ + 3y′ = 9 · x e3x

17) y′′ − 16y = 6 · x e−2x 18) y′′ − 3y′ + 2y = e−2x

19) y′′ + 16 = 8 · cos 4x+ 2 · sin 4x 20) y′′ + 3y′ + 2y = 6 e−2x

21) y′′ + 2y′ − 8y = 16x2 + 2 22) y′′ + 9y = 15 · sin 2x+ 65 · cos 2x

23) y′′ − 6y′ + 18y = −9x2 − 15x− 15x− 9 24) y′′ − 10y′ + 25 = 9x− e−x

25) y′′ − 3y′ + 2y = (6x+ 5) · e2x

Část II

Lineární algebra

146

Kapitola 26

Základní pojmy z lineární algebry

Uvažujeme pouze vektorové konečně generované podprostory.

Co je to vektor

V aritmetických vektorových prostorech se jedná o objekt zadaný souřadnicemi, např. (2; 5). Z fyzikálního hlediska

jej lze interpretovat jako orientovanou úsečku, vycházející z počátku soustavy souřadnic a končící v bodě zadaném

příslušnými souřadnicemi.

Co je to aritmetický vektorový prostor

Je to množina vektorů, které můžeme spolu sčítat a násobit reálnými čísly. Operace jsou definovány takto:

dva vektory sečteme tak, že sečteme souřadnice na stejných pozicích, např.

(2; 5) + (3; 6) = (2 + 3; 5 + 6) = (5; 11),

vektor vynásobíme reálným číslem tak, že vynásobíme všechny jeho souřadnice tímto číslem, např.

4 · (2; 5) = (8; 20).

Každý vektorový prostor má právě dva triviální podprosotry. Prvním je případ, kdy se podprostor rovná vektorovému

prostoru. Druhým případem je podprostor obsahující pouze nulový vektor.

Co je to lineární kombinace

Řekneme, že vektor je lineární kombinací jiných vektorů, lze-li jej vyjádřit jako součet násobků těchto vektorů. Např.

2 · (1; 0) + 4 · (0; 1) = (2; 4), což znamená, že vektor (2;4) je lineární kombinací vektorů (1; 0) a (0; 1).

Co je to lineární závislost a nezávislost vektorů

Pokud pro danou skupinu vektorů platí, že žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních, řekneme,

že vektory jsou lineárně nezávislé. Skupina vektorů, z nichž alespoň jeden je lineární kombinací ostatních je lineárně

závislá, také říkáme, že vektory tvořící tuto skupinu jsou lineárně závislé.

Co je to vektorový podprostor

Je taková podmnožina vektorového prostoru, která je uzavřená k operacím součet vektorů a násobení vektoru reálným

číslem v daném vektorovém prostoru. Dimenze vektorového podprostoru může být stejně velká, jako dim daného

vektorového prostoru, nebo menší. Vektorový podprostor může být stejně velký, jako vektorový prostor – viz

dále v Tabulce 26.1.

147

148 KAPITOLA 26. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Tabulka 26.1: Vektorové prostory a podprostoryVektorový prostor (vp) Vektorový podprostor (vpp) – jednotlivé případy

Dimenze Obrázek Dim vpp = Dim vp Dim vpp < Dim vp Dim vpp Dim vp Dim vpp ≪ Dim vp

Dim 0? • •

Dim 1 −5 0 6 −5 0 6 •

Dim 2

y

x

y

x −5 0 6 •

Dim 3

yz

x

yz

x

y

x −5 0 6 •

? Je to vektorový prostor, který je jednobodovou množinou obsahující pouze nulový vektor o.

V případě, že má prostor více podprostorů, je v tabulce uveden jen jeden příklad.

Co je to báze (M) a dimenze podprostoru

Báze je množina generátorů podprostoru, která neobsahuje „zbytečnéÿ vektory, tj. je lineárně nezávislá. Platí, že

všechny báze daného podprostoru mají stejný počet prvků. Počet prvků báze podprostoru se nazývá dimenze podpro-

storu.

Dim 4 se špatně kreslí, ještě si lze představit, že čtvrtý parametr je např. čas t, to by šlo znázornit na krátkém videu

popř. na obrázku typu *.gif.

Co je to lineární obal L(A) množiny A

Je vše, co je vygenerováno vektory z dané množiny. To znamená obsahuje vektory z dané množiny + všechny jejich

lineární kombinace. Lineární obal je vždy podprostorem. Lineární obal obsahuje automaticky i vektory z původní

množiny A.

Co jsou generátory podprostoru

Jsou to vektory, pomocí kterých dokážeme „generovatÿ všechny vektory podprostoru, a to pomocí operací součtu

vektorů a násobení vektorů reálným číslem. Toto znamená, že každý vektor podprostoru je lineární kombinací jeho

generátorů.

26.1. SKALÁRNÍ SOUČIN 149

Obrázek 26.1: Lineární obal

lineární obal

generátory, vektory báze

lineární kombinace generátorů

Co je to matice

Tabulka čísel typu (m,n) má m řádků a n sloupců. Může sloužit např. jako jiný způsob zápisu soustavy rovnic. Máme

řešit soustavu dvou rovnic o dvou nezámých x a y.

I. 2x + 3y = 40

II. x − 2y = −15

Při výpočtu soustav rovnic můžeme postupovat třemi způsoby:

1. dosazovací metoda

2. sčítací metoda

3. matice a její úpravy (Gaussova metoda řešení soustav)

Mezi jednotlivými úpravami matic se používá znaménko shodnosti ∼ .

Chceme-li z rovnice 3~v=(3,6,9) vypočítat vektor ~v, vynásobíme celou rovnici převrácenou hodnotou k 3, tj. ~v =1

3(3,6,9)=(1,2,3), což při řešení rovnice s čísly místo vektorů odpovídá dělení číslem 3. Dělení vektoru číslem nezavádíme.

26.1 Skalární součin

Náhodně vybrané vektory

1. příklad

~u = (5, 6)

~v = (3, 2)

Skalární součin

~z = 5 · 3 + 6 · 2 = 15 + 12 = 27

2. příklad

~u = (5, 3, 4)

~v = (4, 2, 6)

~w = (1, 12, 4)

150 KAPITOLA 26. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Skalární součin

5 · 4 · 1 + 3 · 2 · 12 + 4 · 6 · 4 = 20 + 72 + 96 = 188

Kolmé vektory

3. příklad

~u = (1, 1)

~v = (2, −2)

Skalární součin

1 · 2 + 1 · (−2) = −2 + 2 = 0

4. příklad

~u = (3, −5)

~v = (5, 3)

Skalární součin

3 · 5 + (−5) · 3 = −15 + 15 = 0

5. příklad

~u = (−9, 3, 17)

~v = ( 9, 10, 3)

Skalární součin

(−9) · 9 + 3 · 10 + 17 · 3 = −81 + 30 + 51 = 0

Ta nula není náhoda ,!

Kapitola 27

Lineární rovnice


1.

− x + 3y − 2z − 23t = − 2

x − y + 2z + t = 0 ~v = (2t− 3; t− 1; 1− t; t)

3x + 2y − z − 9t = − 12

− 2x − 2y + z + 7t = 9

2.

− x − y + 3z − 12t = 1

y − 2z + t = − 11 ~v = (0; −7; 0; 6)

3x + y − z + 2t = 5

3x + 2y − 2z + 3t = 4

3.

− x + 2y + 3z − 22t = 16

− 3x − y + z − 7t = − 5 ~v = (2− 3t; t+ 1; 2− t; t)

− 2x + 2y − 8t = − 2

x − y + 2z + 6t = 5

4.

x + y + z − 4t = 1

2x − y + 3z − 13t = 1 ~v = (3t− 2; 1− t; 2 + 2t; t)

− 2x + 2y + z + 6t = 8

3x − 2z − 5t = − 10

5.

x + 2z − t = − 4

2x + y − z − 23t = − 2 ~v = (t− 2; t+ 1; −1; t)

− x + 2y + 3z − t = 11

2x + 3y + 4z − 5t = − 5

6.

− x + y + z − 12t = 10

x + 2y − z + t = 4 ~v = (20− 3z; 2z − 12; z; 8)

y − 2z + t = − 4

2x + 4y − 2z + t = 0

7.

− 3x + 5y + t = − 10

2x + 3y − z + 12t = 0 ~v = (5z − 7t; 4t− 3z; z; t)

x + 2y + z − t = 0

4x + 5y − 5z + 8t = 0

8.

− x − y + 2z − t = 15

2x − 3y + z − 7t = − 1 ~v = (t+ 1; 2− 2t; 3− t; t)

3x − y − 2z − 17t = − 5

4x + 2y − z − t = 5

Nepočítáno:

151

152 KAPITOLA 27. LINEÁRNÍ ROVNICE

9.

x + 3y − 2z + 18t = − 7

− x − 2y + z − 8t = − 6 ~v =

(175

19;

274

57; −135

19; −142

57

)

3y − 4z + 18t = − 2

3x − y − z + 8t = 10

10.

x + y − z + t = − 4

3x + 2y − 4z + 4t = 13 ~v = (1− 2t; t+ 1; −2; t)

3y − 2z − 3t = 7

− 4x + 6y − z − 14t = 4

11.

x − y − 2z − 13t = − 15

− x + 2z + 3t = 3 ~v =

(1

35; 2; −16

35;

46

35

)

2x + y + 3t = 6

2x + 2y + 3z + t = 4

12.

x + y − z + t = − 4

3x + 2y − 4z + 4t = 13

3y − 2z − 13t = 7

− 4x + 6y − z + 14t = 4

13.

x + z − t = − 13

− 4x + 1y − 2z + 3t = 4

− 3x + y + 3z = 1

− x + 7z − 13t = 3

14.

x − 2y + z − 12t = − 7

2x − 3y + 2z − 4t = − 11

− 2x + y − z + 3t = 6

3x + 2y − 2z − t = − 2

15.

x − y − t = − 3

− 2x + 3y + z + 2t = 10

3x + z − t = − 3

7x − 3y − 13t = − 17

16.

3x − y = 0

3x + 2y + 1z = − 5

− 3x + y − 2z = 5

17.

2x − y + 3z = − 9

4x + 2y + 3z = 0

− x + 4y + 6z = 0

Kapitola 28

Inverzní matice

28.1 Jordanova metoda

Zadaná matice A

A =

1 1 − 1

1 − 4 2

1 − 1 1

Jordanova metoda:

1 1 − 1 1 0 0

1 − 4 2 0 1 0

1 − 1 1 0 0 1

∼

1 1 − 1 1 0 0

− 1 4 − 2 0 − 1 0

− 1 1 − 1 0 0 − 1

∼

1 1 − 1 1 0 0

0 5 − 3 1 − 1 0

0 2 − 2 1 0 − 1

∼

1 1 − 1 1 0 0

0 10 − 6 2 − 2 0

0 − 10 10 − 5 0 5

∼

1 1 − 1 1 0 0

0 5 − 3 1 − 1 0

0 0 4 − 3 − 2 5

∼

1 1 − 1 1 0 0

0 20 − 12 4 − 4 0

0 0 12 − 9 − 6 15

∼

1 1 − 1 1 0 0

0 20 0 − 5 − 10 15

0 0 4 − 3 − 2 5

∼

1 1 − 1 1 0 0

0 20 0 − 5 − 10 15

0 0 4 − 3 − 2 5

∼

4 4 − 4 4 0 0

0 20 0 − 5 − 10 15

0 0 4 − 3 − 2 5

∼

4 4 0 1 − 2 5

0 − 20 0 5 10 − 15

0 0 4 − 3 − 2 5

∼

20 20 0 5 − 10 25

0 − 20 0 5 10 − 15

0 0 1 − 34 − 2

454

∼

20 0 0 10 0 10

0 1 0 − 520 − 10

201520

0 0 1 − 34 − 1

254

∼

1 0 0 12 0 1

2

0 1 0 − 14 − 1

234

0 0 1 − 34 − 1

254

Inverzní matice je tedy:

A−1 =

12 0 1

2

− 14 − 1

234

− 34 − 1

254

153

154 KAPITOLA 28. INVERZNÍ MATICE

Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou:

A−1 · A = A · A−1 = E

12 0 1

2

− 14 − 1

234

− 34 − 1

254

·

1 1 − 1

1 − 4 2

1 − 1 1

=

1 1 − 1

1 − 4 2

1 − 1 1

·

12 0 1

2

− 14 − 1

234

− 34 − 1

254

=

1 0 0

0 1 0

0 0 0

28.2 Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic

Zadaná matice A

A =

1 1 −11 −4 2

1 −1 1

32. věta – inverzní matice pomocí determinantůNechť A = (aij) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat

A−1 =1

detA

D11 D21 . . . Dn1D21 D22 . . . Dn2

......

. . ....

D1n D2n . . . Dnn

=1

detA(Dij)

T,

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n.

1) Spočítáme determinant zadané matice A (tučně vyznačena) Sarrusovým pravidlem

1 1 −11 −4 21 −1 1

1 1 −11 −4 2

= −4− 1 + 2− 4 + 2− 1 = −4

2) Potřebujeme algebraické doplňky submatic1 pro dosazení do vzorce zmíněného výše. Algebraické doplňky zjistíme

na základě determinantů submatic:

algebraický doplněk = (−1)i+j · determinant submatice

kde i = sloupec, j = řádek

1Matice vytvořená z dané matice vynecháním některých sloupců a řádků.

28.2. METODA VÝPOČTU PŘES ALGEBRAICKÉ DOPLŇKY SUBMATIC 155

Tabulka 28.1: Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků

Zvýrazněný prvek (v rámečku) Submatice Výpočet determinantu submatice algebraický doplněk

D11 =

1 1 −1

1 −4 2

1 −1 1

(−4 2

−1 1

)−4 · 1− 2 · (−1) = −4 + 2 = −2 (−1)1+1 · (−2) = −2

D12 =

1 1 −1

1 −4 2

1 −1 1

(1 2

1 1

)1 · 1− 2 · 1 = −1 (−1)1+2 · (−1) = 1

D13 =

1 1 −1

1 −4 2

1 −1 1

(1 −41 −1

)1 · (−1)− (−4) · 1 = −1 + 4 = 3 (−1)1+3 · 3 = 3

D21 =

1 1 −11 −4 2

1 −1 1

(1 −1−1 1

)1 · 1− (−1) · (−1) = 1− 1 = 0 (−1)2+1 · 0 = 0

D22 =

1 1 −11 −4 2

1 −1 1

(1 −11 1

)1 · 1− (−1) · 1 = 1 + 1 = 2 (−1)2+2 · 2 = 2

D23 =

1 1 −1

1 −4 2

1 −1 1

(1 1

1 −1

)1 · (−1)− 1 · 1 = −1− 1 = −2 (−1)2+3 · (−2) = 2

D31 =

1 1 −11 −4 2

1 −1 1

(1 −1−4 2

)1 · 2− (−1) · (−4) = 2− 4 = −2 (−1)3+1 · (−2) = −2

D32 =

1 1 −11 −4 2

1 −1 1

(1 −11 2

)1 · 2− (−1) · 1 = 2 + 1 = 3 (−1)3+2 · 3 = −3

D33 =

1 1 −1

1 −4 2

1 −1 1

(1 1

1 −4

)1 · (−4)− 1 · 1 = −4− 1 = −5 (−1)3+3 · (−5) = −5

156 KAPITOLA 28. INVERZNÍ MATICE

Vzhledem k tomu, že musíme používat matici algebraických doplňků transponovanou, budeme nyní chápat značení

transponovaně:

Dsloupec, řádek

a dosadíme do matice

A−1 =1

−4

−2 0 −21 2 −33 2 −5

=

12 0 1

2

− 14 − 1

234

− 34 − 1

254

Výsledná matice je inverzní k zadané matici A.

Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou:

A−1 =

12 0 1

2

− 14 − 1

234

− 34 − 1

254

·

1 1 −11 −4 2

1 −1 1

=

1 1 −11 −4 2

1 −1 1

·

12 0 1

2

− 14 − 1

234

− 34 − 1

254

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Kapitola 29

Matice

29.1 Sčítání matic

29.1.1 Obecný návod

Nechť A, B jsou matice typu (m,n), potom A + B je opět matice typu (m,n) taková, že

A + B =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

am1 am2 . . . amn

+

b11 b12 . . . b1n

b21 b22 . . . b2n...

.... . .

...

bm1 bm2 . . . bmn

=

=

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n...

.... . .

...

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

29.1.2 Příklady

A + B =

(1 2

3 4

)+

(4 3

2 1

)(1 + 4 2 + 3

3 + 2 4 + 1

)=

(5 5

5 5

)

29.2 Násobení matic reálným číslem


Platí, že pakliže násobíme matici A typu (m, n) nějakým číslem c, pak se výsledek rovná c · A.

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

am1 am2 . . . amn

c · A =

c · a11 c · a12 . . . c · a1nc · a21 c · a22 . . . c · a2n

......

. . ....

c · am1 c · am2 . . . c · amn

29.2.2 Příklad

Vynásobte matici K číslem 5:

K =

0 0 −1 3

0 1 3 5

−1 3 −5 0

3 5 0 0

5 · K =

5 · 0 5 · 0 5 · (−1) 5 · 35 · 0 5 · 1 5 · 3 5 · 55 · (−1) 5 · 3 5 · (−5) 5 · 05 · 3 5 · 5 5 · 0 5 · 0

=

0 0 −5 15

0 5 15 25

−5 15 −25 0

15 25 0 0

157

158 KAPITOLA 29. MATICE

29.3 Násobení matic maticemi


Při výpočtu násobku dvou matic musíme v první řadě ověřit řešitelnost, v případě, že chceme k výpočtu použít Excel,

musíme znát i velikost výsledné matice.

Řešitelnost a velikost zjistíme následujícím způsobem:

• Matice má rozměr A m× n (m = počet řádků, n = počet sloupců)

• Matice má rozměr B n× o (n = počet řádků, o = počet sloupců)

m × n · n × o

• Matice lze vynásobit v pořadí A · B, pakliže má první matice tolik slouců, kolik má druhá matice řádků

• Velikost výsledné matice bude m× o, tedy bude mít tolik řádků, kolik má první matice řádků a bude mít tolik

sloupců jako má druhá matice sloupků

Násobení matic není komutativní, což znamená, že A · B 6= B · A, pakliže není jedna (nebo obě) z daných matic

jednotková.

Obecně se dá násobení matic znázornit následovně:

A · B =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

·

(b11 b12 b13

b21 b22 b23

)=

(a11 · b11) + (a12 · b21) (a11 · b12) + (a12 · b22) (a11 · b13) + (a12 · b23)(a21 · b11) + (a22 · b21) (a21 · b12) + (a22 · b22) (a21 · b13) + (a22 · b23)(a31 · b11) + (a32 · b21) (a31 · b12) + (a32 · b22) (a31 · b13) + (a32 · b23)

Obrázek 29.1 snad ještě lépe dokresluje způsob, jakým se dvě matice násobí mezi sebou.

Obrázek 29.1: Násobení matic

a11 a12

a21 a22

a31 a32

a41 a42

b11 b12 b13

b21 b22 b23

A

B

29.4. ROVNICE S MATICEMI 159

Návod na výpočet v Excelu:

1. zapíšeme hodnoty první matice

2. zapíšeme hodnoty druhé matice

3. zjistíme rozměr výsledné matice (sama se zamyslím)

4. kurzorem označíme rozsah polí výsledné matice (kde všude se objeví výsledek)

5. s označeným polem se do F(x) napíše

”= soucin.matic(ozačení polí s hodnotami první matice; označení polí s hodnotami druhé matice)”

6. pro zobrazení stiskneme ctrl+shift+enter, samotný enter nestačí, neboť v takovém případě se vypíše pouze

jedna hodnota (vyplní se jedna buňka)

29.3.2 Příklady

1. Zjistíme řešitelnost úlohy: matice A má rozměr 3 × 2 a matice B má rozměr 2 × 3.

3 × 2 · 2 × 3 Řešitelná tedy je.

2. Výsledná matice bude o rozměru 3 × 3.

3. Výpočet úlohy B · A není možný.

A ·B =

1 2

3 4

5 6

·

(1 3 5

2 4 6

)=

1 · 1 + 2 · 2 1 · 3 + 2 · 4 1 · 5 + 2 · 63 · 1 + 4 · 2 3 · 3 + 4 · 4 3 · 5 + 4 · 65 · 1 + 6 · 2 5 · 3 + 6 · 4 5 · 5 + 6 · 6

=

1 + 4 3 + 8 5 + 12

3 + 8 9 + 16 15 + 24

5 + 12 15 + 24 25 + 36

=

5 11 17

11 25 39

17 39 61

Násobení matic jednotkovou maticí zleva a zprava

C · E =

(2 3

4 5

)·

(1 0

0 1

)=

(2 · 1 + 3 · 0 2 · 0 + 3 · 14 · 1 + 5 · 0 4 · 0 + 5 · 1

)=

(2 + 0 0 + 3

4 + 0 0 + 5

)=

(2 3

4 5

)

E · C =

(1 0

0 1

)·

(2 3

4 5

)=

(1 · 2 + 0 · 3 1 · 3 + 0 · 50 · 2 + 1 · 4 0 · 3 + 1 · 5

)=

(2 + 0 3 + 0

0 + 4 0 + 5

)=

(2 3

4 5

)

Násobení matic zleva a zprava

D · F =

(1 2

3 4

)·

(5 6

7 8

)=

(1 · 5 + 2 · 7 1 · 6 + 2 · 83 · 5 + 4 · 7 3 · 6 + 4 · 8

)=

(5 + 14 6 + 16

15 + 28 18 + 32

)=

(19 22

43 50

)

F · D =

(5 6

7 8

)·

(1 2

3 4

)=

(5 · 1 + 6 · 3 5 · 2 + 6 · 47 · 1 + 8 · 3 7 · 2 + 8 · 4

)=

(5 + 18 10 + 24

7 + 24 14 + 32

)=

(23 34

31 46

)

29.4 Rovnice s maticemi

160 KAPITOLA 29. MATICE

1. 3X − 2A=B X − A ⇒ X=(3E-B)−1 · A

A =

(5 4

7 9

)B =

(4 −21 0

)

2. 2X+3B=4B−AX

A =

(−1 −1−3 2

)B =

(−2 3

5 −4

)

3. 3X−B=B−X · A

A =

(1 9

1 2

)B =

(−1 −2−1 0

)

4. A · X = B

A =

−2 −1 −7−3 −1 −21 0 −4

B =

5 1

3 1

0 1

5. 2X+3B=4B−AX

A =

(−1 −1−3 2

)B =

(−2 3

5 −4

)

29.5 Matice s parametrem

Vypočítejte hodnotu parametru k tak, aby byli řádky matice lineárně závislé.

1.

1 −1 1 1

2 −3 0 2

3 1 1 1

2 3 2 k

2.

2 1 2 0 −3−4 5 0 1 −k0 7 k 1 −10

Kapitola 30

Determinanty


30.1.1 Determinant matice 1. řádu

Nechť A je čtvercová matice řádu n = 1. A = (a11). Pak z definice 28 uvedené v Přílohách III , v sekci Definice z

lineární algebry C.1:

detA =∑

(π)

(−1)r a1k1 · a2k2 , . . . , a2nkn ,

dostáváme:

detA = a11

Př:

Matice A = (5) det = 5

Matice B =

(1

2

)det =

1

2

Matice C = (−3) det = −3

Matice D = (1) det = 1

30.1.2 Determinant matice 2. řádu

Je-li A čtvercová matice n = 2

A =

(a11 a12

a21 a22

)

Z definice vychází následující:

det A = a11 · a22 − a12 · a21

Př.:

Matice A =

(3 6

4 5

)= det A = 3 · 5− 6 · 4 = 15− 24 = −9

Matice B =

(7 9

8 4

)= det B = 7 · 4− 9 · 8 = 28− 72 = −44

30.1.3 Determinant matice 3. řádu – Sarrusovo pravidlo

Předpokládejme, že A je čtvercová matice řádu n = 3.

161

162 KAPITOLA 30. DETERMINANTY

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

V tomto případě je det A součtem šesti členů, protože existuje 3! = 3 · 2 · 1 = 6 různých permutací. První tři jsou

sudé a odpovídající členy determinantu budou mít znaménko + . Zbývající tři permutace jsou liché a příslušné členy

budou mít znaménko – . Podle definice determinantu tedy dostáváme:

det A = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 – a11 · a23 · a32 – a12 · a21 · a33 – a13 · a22 · a31

Při řešení se můžeme řídit tzv. Sarrusovým pravidlem

Obrázek 30.1: Sarrusovo pravidlo

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a31 a31

+ −+ −+ −

Sarrusovo pravidlo lze použít pouze pro matice 3. řádu. U matic vyššího řádu NELZE! Sarrusovo pravidlo použít.

30.1.3.1 Ukázkový příklad

Zadaná matice (tučně vyznačena) je matice řádu 3, použijeme tedy pro výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo.

1 2 33 4 32 4 5

1 2 3

3 4 3

= 1 · 4 · 5 + 3 · 4 · 3 + 2 · 2 · 3− 3 · 4 · 2− 3 · 4 · 1 · −5 · 2 · 3 = 20 + 36 = 12− 24− 24− 30 = 32− 30 = 2

30.1.4 Determinant matice řádu > 3

Při hledání determinantů matic řádu vyššího než 3. se řídíme větou 29. uvedenou v Přílohách III, v sekci Věty

z lineární algebry C.2, nelze použít Sarrusovo pravidlo. Lze postupovat tak, že z matice řádkovými a sloupcovými

úpravami dostaneme horní či dolní trojúhelníkovou matici. Determinant této matice se pak rovná součinu prvků na

hlavní diagonále.



30.2.1 Výpočet determinantů matic

Vypočítejte determinanty daných matic

Zadání Výsledky

1) A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 −1 3

0 1 3 5

−1 3 −5 0

3 5 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1X Determinant A = 241

2) B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 1 0 1

2 −1 1 2

−1 1 2 1

1 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2X Determinant B = −10

3) C =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2 3 −1 1

0 −2 0 1 2

−3 1 0 2 −10 2 0 3 −23 1 0 −2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3X Determinant C = −144

4) D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 0 0

1 2 3 0

0 1 2 3

0 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣4X Determinant D = −11

5) E =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 5 0 0

3 1 5 0

0 3 1 5

0 0 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣5X Determinant E = 181

6) F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 5 0 0

1 3 −5 0

0 −1 3 5

0 0 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

30.2.2 Rovnice s determinanty

1.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 −3 1

0 x 1 2

−2 −1 3 1

0 2 −1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 3x+ 1

2.

∣∣∣∣∣∣∣

2 −1 1

4 x 2

x+ 2 3 1

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣x 1

−4 −x

∣∣∣∣∣

164 KAPITOLA 30. DETERMINANTY

3.

∣∣∣∣∣∣∣

7 −3 1

1 x −2−2 5 −1

∣∣∣∣∣∣∣= 3x

4.

∣∣∣∣∣∣∣

3 x −20 2 3

1 x 1

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣x 2

5 x

∣∣∣∣∣+ 25

30.2.3 Cramerovo pravidlo

1.

+ 3x + 4z = 1 0

x + 2y − z = 7

5y − 3z = − 4

2.

2x − y + 3z = − 9

4x + 2y + 3z = 1 0

− x + 4y + 6z = 0

3.

− 2x + y + 3z = 1 0

− x + 3y + 2z = 0

4x − y − z = − 12

4.

+ y − 3z = 1 0

4x + 2y − z = 3

3x − y + 3z = − 3

Literatura

Tištěné zdroje

[1] Dvořáková, Š.: Řešené příklady k matematice I, Praha 2004, ISBN 80-213-1215-7

[2] Dvořáková, Š., Slavík, V.: Integrální počet, ISBN 978-80-213-1625-6

[3] Dvořáková, Š., Wohlmuthová M.: Řešené příklady k Matematice II, Praha 2006, ISBN 80-213-1469-9 (ČZU)

[4] Nešetřilová, H., Šařecová, P.: Matematické metody pro statistiku a operační výzkum, Praha 2009, ISBN 978-80-

213-0757-5

[5] Slavík, V., Hrubá, J.: Matematika: Diferenciální počet, Praha 1993, ISBN 80-213-0159-7

[6] Slavík, V., Wolhmuthová, M.: Matematika I, Praha 2004, ISBN 80-213-1214-9

Elektronické zdroje

[7] Gurka, P.: Dostupné na World Wide Web: <http://www.petrg.wz.cz/>

[8] Mašková, K.: Dostupné na World Wide Web: <http://matematika-lucerna.cz/>

[9] Wikipedia: Dostupné na World Wide Web: <http://www.wikipedia.org/>

[10] Greenpeace, kampaň Papír má dvě strany: Dostupné na World Wide Web: <http://www.2strany.cz/>

Programy, za jejichž pomoci byl soubor vytvořen

[11] Text a obrázky – LATEX 2ε

[12] Obrázky – Graph (ke stažení <http://www.padowan.dk/graph/Download.php>)

[13] Obrázky – GeoGebra (ke stažení <http://www.geogebra.org/cms/>)

[14] Obrázky – Google <https://www.google.co.uk/>

Online kalkulátory

[15] Online kalkulátor (český) <http://wood.mendelu.cz/math/maw-html/?>

[16] Webová verze programu Mathematica <http://www.wolframalpha.com/>

[17] Sčítání a násobení matic (lineární algebra) <http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/algebra_matic/

index_male.php>

Zajímavé odkazy

[18] Stránky katedry matematiky ČZU TF <http://katmat.tf.czu.cz>

[19] Masarykova univerzita (Brno) <http://is.muni.cz/elportal/studovna.pl>

[20] ČVUT <http://math.feld.cvut.cz/mt/indexc.htm>

165

http://www.petrg.wz.cz/

http://matematika-lucerna.cz/

http://www.wikipedia.org/

http://www.2strany.cz/

http://www.padowan.dk/graph/Download.php

http://www.geogebra.org/cms/

https://www.google.co.uk/

http://wood.mendelu.cz/math/maw-html/?

http://www.wolframalpha.com/

http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/algebra_matic/index_male.php

http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/algebra_matic/index_male.php

http://katmat.tf.czu.cz

http://is.muni.cz/elportal/studovna.pl

http://math.feld.cvut.cz/mt/indexc.htm

Část III

Přílohy

166

Příloha A

Vzorce povolené ke zkoušce

A.1 Derivace

Funkce a exponenty Pravidla pro derivování

1. (konstanta)′ = 0 Pravidla pro sčítání

2. (x)′ = 1 19. (u± v)′ = u′ ± v′

3. (xa)′ = axa−1 Pravidla pro násobení

4.

(1

x

)′= − 1

x220. (u · v)′ = u′ · v + u · v′

5. (√x)′ =

1

2√x

Speciální případ s konstantou

Logaritmy a exponenciála 20.a (k · f(x))′ = k · (f(x))′

6. (loga x)′ =

1

x ln aNásobení více funkcí

7. (log x)′ =1

x ln 1021. (u · v · w)′ = u′ · v · w + u · v′ · w + u · v · w′

8. (lnx)′ =1

xnebo též ((u · v) · w)′ = (u · v)′ · w + (u · v) · w′

9. (ex)′ = ex Pravidla pro podíl

10. (ax)′ = ax · ln a 22.(uv

)′=u′ · v − u · v′

v2

Goniometrické funkce Speciální případ s konstantou

11. (sinx)′ = cosx 22.a

(f(x)

k

)′=f ′(x)

k

12. (cosx)′ = − sinx Pravidla pro složené funkce

13. (tg x)′ =1

cos2(x)23. [f (g(x))]

′= f ′ (g(x)) · g′(x)

14. (cotg x)′ = − 1

sin2(x)

Cyklometrické funkce Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici

15. (arcsinx)′ =1√

1− x2obecné mocniny

16. (arccosx)′ = − 1√1− x2

24.(f(x)g(x)

)= eg(x)·ln f(x)

17. (arctg x)′ =1

1 + x2

18. (arccotg x)′ = − 1

1 + x2

A.2 Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí

167

168 PŘÍLOHA A. VZORCE POVOLENÉ KE ZKOUŠCE

Tabulka A.1: Důležité hodnoty goniometrických funkcí

x −π2 −π3 −π4 −π6 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π 7π

65π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

sinx −1 −√32 −

√22 − 1

2 0 12

√22

√32 1

√32

√22

12 0 − 1

2 −√22 −

√32 −1 −

√32 −

√22 − 1

2

cosx 0 12

√22

√32 1

√32

√22

12 0 − 1

2 −√22 −

√32 −1 −

√32 −

√22 − 1

2 0 12

√22

√32

tg x ? −√3 −1 −

√33 0

√33 1

√3 ? −

√3 −1 −

√33 0

√33 1

√3 ? −

√3 −1 −

√33

cotg x 0 −√33 −1 −

√3 ?

√3 1

√33 0 −

√33 −1 −

√3 ?

√3 1

√33 0 −

√33 −1 −

√3

A.3 Vzorce pro integrování

Pravidla pro integrování

1.∫k · f(x) dx = k ·

∫f(x) dx 2.

∫(f(x)± g(x)) dx =

∫f(x) dx±

∫g(x) dx

Funkce a exponenty Funkce vedoucí na goniometrické funkce

3.∫

0 dx = C 9.∫

cosx dx = sinx+ C

4.∫

1 dx = x+ C 10.∫

sinx dx = − cosx+ C

5.∫xα dx =

xα+1

α+ 1+ C, α 6= −1 11.

∫dx

cos2 x= tg x+ C

6.∫ax dx =

ax

ln a+ C 12.

∫dx

sin2 x= − cotg x+ C

Logaritmy a exponenciála Funkce vedoucí na cyklometrické funkce

7.∫

1

xdx = ln |x|+ C 13.

∫dx√

1− x2= arcsinx+ C

8.∫

ex dx = ex+C 14.∫

dx

1 + x2= arctg x+ C

Vzorce pro použití metod

Metoda per partes

Neurčitý integrál Určitý integrál

15.∫u′ · v = u · v −

∫u · v′ 16.

b∫

a

u′ · v = [u · v]ba −b∫

a

u · v′

Metoda substituce


17.∫f (g(x)) · g′(x) dx =

∣∣∣∣∣g(x) = t

g′(x) dx = dt

∣∣∣∣∣ =∫f(t) dt = · · · = F (t) = F (g(x)) + C

Určitý integrál

18.

g(b)∫

g(a)

f(g(x)) · g′(x) dx =

∣∣∣∣∣g(x) = t a→ g(a)

g′(x) dx = dt b→ g(b)

∣∣∣∣∣ =g(b)∫

g(a)

f(t) dt = [F (t)]g(b)g(a) = F (g(b))− F (g(a))

Speciální možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru:

19.∫f(ax+ b) dx =

1

a· F (ax+ b) + C pro (F ′(x) = f(x)) 20.

∫g′(x)

g(x)dx = ln |g(x)|+ C

A.4. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 169

A.4 Aplikace určitého integrálu

1. Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami:

P =

b∫

a

f(x) dx pro f(x) ≥ 0 na 〈a, b〉, P =

b∫

a

(f(x)− g(x)) dx pro f(x) ≥ g(x) na 〈a, b〉

2. Délka křivky: l =

b∫

a

√1 + (f ′(x))2 dx

3. Plášť rotačního tělesa: S = 2π ·b∫

a

f(x) ·√1 + (f ′(x))2 dx

4. Objem rotačního tělesa: V = π ·b∫

a

f2(x) dx

Příloha B

Návod k programu Graph 4.3

B.1 Úvod

Tento jednoduchý ale šikovný open source program umožňuje nakreslit funkce, řady bodů, provádět základní výpočty

apod. a tak nám může usnadnit orientaci při výpočtu příkladů a zároveň nám nabízí grafické řešení a ověření výsledků.

Často se počítá definiční obor, monotonie, konvexita a konkávita. To jsou charakteristiky funkcí, které lze snadno

vyčíst z obrázku. Bohužel zkouškové předpisy jsou tak složité, že není možné si je v hlavě představit, proto musíme

použít matematický aparát ke zjištění, kde funkce roste a klesá či kde je konkávní a konkávní.

V rámci domácí přípravy však použití tohoto programu může přinést lepší představu o počítaných příkladech.

Verze 4.3, která je dostupná od 26. srpna 2007, je již 28. verzí v pořadí. První verze byla uvedena v březnu 2001. Do

novějších verzí se mimo nových funkcí a případných oprav zapracovávají i nové jazyky, verze 4.3 je dostupná ve 23

jazycích včetně srbštiny a mongolštiny a k šesti z nich je dostupná nápověda. Autorem je Ivan Johansen, který na

programu stále pracuje.

Program byl napsán pro práci pod operačním systémem Windows, dle zpráv od ostatních uživatelů jej však možné

spustit jej i pod Linuxem a Macintoshem.

Výstupy z grafu lze uložit pod koncovkou *.grf, nebo je též možné vyexportovat je jako obrázcek (nabízí se běžné

druhy obrázků: *.jpg, *.png, *.bmp, *.emf a *.pdf) pod Soubor ⇒ Uložit jako obrázek.

V následujících kapitolkách si ukážeme nejdůležitější funkce, které Graph 4.3 nabízí.

B.2 Popis pracovní lišty a nápovědy

Obrázek B.1 ukazuje základní pracovní plochu programu s lištou nástrojů. Na následujících obrázcích jsou vysvětleny

jednotlivé funkce a způsob ovládání.

B.2.1 Nastavení os

Pod růžově zvýrazněným symbolem os se skrývá tabulka, kde je možné zaškrtnout zda se má zobrazovat mřížka,

legenda, jak budou pojmenovány jednotlivé osy a nakonec i změna nastavení barev na Obrázek B.2.

170

B.2. POPIS PRACOVNÍ LIŠTY A NÁPOVĚDY 171

Obrázek B.1: Základní pracovní plocha

Zdroj: program Malování – print screen programu Graph

Obrázek B.2: Základní nastavení os a barev


B.2.2 Nápověda

Samotný program nabízí ve své nápovědě kompletní „slovníkÿ pro překlad požadavků do jazyka Graphu. Je pod

záložkou Nápověda ⇒ Seznam funkcí jak je ukázáno na Obrázku B.3.

172 PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4.3

Obrázek B.3: Slovník – seznam funkcí


B.3 Jak zadávat funkce

Nejdůležitějším nástojem je samozřejmě samotné zadávání předpisů. Lze si buď vybrat z horní lišty Funkce⇒ Vložitfunkci, nebo použít ikonu znázorňující osy s červenou křivkou, jak je znázorněno na Obrázku B.4.

V tabulce Vložit funkci na Obrázku B.4 lze také nastavit ohraničení zobrazení křivky, tloušťku, styl čáry a její barvu

pro lepší orientaci.

Obrázek B.4: Vložení nové funkce


B.3. JAK ZADÁVAT FUNKCE 173

B.3.1 Předpisy funkcí a jak je zadávat

Zde jsou vypsané zjednodušeně pokyny z této nápovědy:

Tabulka B.1: Slovník

typ funkce jak se zapisuje jak poprosit Graph

mocnina x2 x∧2

druhá odmocnina√x sqrt (x)

n-tá odmocnina n√x root(n, x)

logaritmus (přirozený) lnx ln (x)

logaritmus (o základu n) log2 10x logb(10x, 2)

logaritmus (dekadický) log x log (x)

sinus sinx sin (x)

cosinus cosx cos (x)

tangens tg x tan (x)

arcus sinus arcsinx asin (x)

arcus cosinus arccosx acos (x)

arcus tangens arctg x atan (x)

Eulerovo číslo e e

Ludolfovo číslo π pi

∧ Ctrl + Alt + tlačítko 3š stříška

sqrt square root anglicky „odmocninaÿ


Tabulka B.2: Konkrétní funkce

Funkce Jak mluvit na Graph

1 f(x) = (x+ 2) · ln(x− 3)− 1 (x + 2) ∗ ln(x− 3)− 1

2 f(x) = 3− 2 ln

√4− xx+ 2

3− 2 ln(sqrt((4− x)/(x + 2)))

3 f(x) = lnx2 + 2x− 15

x− 1+ ex

2−16 ln((x∧2 + 2x− 15)/(x− 1)) + e∧(sqrt(x∧2− 16))

4 f(x) = lnx3 − 16x

x− 5+√36− x2 ln((x∧3− 16x)/(x− 5)) + sqrt(36− x∧2)

5 f(x) =√25− x2 + ln

x3 + 4x2 − 21x

4− xsqrt(25− x∧2) + ln((x∧3 + 4x∧2− 21x)/(4− x))

6 f(x) =√25x− x3 + ln

x2 + 3x− 3

x2 + 2x− 8sqrt(25x− x∧3) + ln((x∧2 + 3x− 3)/(x∧2 + 2x− 8))

7 f(x) = e√

1−log (x+3) e∧(sqrt(1− log(x + 4)))

8 f(x) =1

log (8− x)+

√9x2 − 1

x2 − 10x+ 211/(log(8− x)) + sqrt((9x∧2− 1)/(x∧2− 10x + 21))

9 f(x) = ln

√2− e4x

2 + e4xln(sqrt((2− e∧(4x))/(2 + e∧(4x))))

10 f(x) =3√x2 − 3x− 10

log (x+ 4)− 1+ log (8− x) ((x∧2− 3x− 10)∧(1/3))/(log(x + 4)− 1) + log(8− x)

! NEŠETŘETE ZÁVORKAMI

! Program pracuje s desetinnou tečkou.

B.3. JAK ZADÁVAT FUNKCE 175

Není-li výraz v argumentu (to, co je „logaritmovánoÿ, „sínusovánoÿ atd.) v závorce, může se stát, že program nakreslí

jinou funkci; dále viz příklad rozdílné interpretace jedné funkce.

Zadáme-li do Graphu funkci ne zcela jednoznačným způsobem, může dojít k následujícímu:

log 8− x

log (8)− x log (8− x)

x

y

−2 −1 1 2

−1

1

2

Toto bude nakresleno. Otázkou je, jakou funkci jsme měli na mysli.

B.3.2 Konkrétní příklad

Předpis křivky: f(x) = x+ e(1−x2) je tedy x+e∧(1-x∧2)

Tento předpis je nutné vložit do „Vložit funkciÿ. Z Obrázku B.5 je vidět, kde funkce roste a kde klesá.

Funkce roste na intervalech 〈−∞; 0〉 a 〈1, 5;∞)

Funkce klesá na intervalu 〈0; 1, 5〉

Lze tedy očekávat, že funkční hodnoty derivace budou v místech poklesu záporné a v místech růstu funkce kladné.

Obrázek B.5: Konkrétní příklad – funkce f(x) = x+ e(1−x2)



B.4 Další funkce

B.4.1 Ohraničení funkce, šrafování

Šrafováním se dá znázornit např. interval pro výpočet lokálních extrémů, plocha při výpočtu určitého integrálu apod.

Kliknutím na růžově zvýrazněný symbol vyšrafované křivky na Obrázku B.6 se nám otevře dialogové okno se třemi

záložkami:

Šrafování zde zvolíme druh šrafování a směr od funkce a horizontální osy

Možnosti nabízí se nám zobrazit šrafování od – do, typ šrafování (čtverečky, šikmé čáry. . . )

Druhá funkce pro případ, že chceme zvýraznit plochu mezi dvěma funkcemi, je tu třetí záložka, kde určíme jaké

funkce se mají na požadované ploše podílet

Obrázek B.6: Šrafování


B.4. DALŠÍ FUNKCE 177

B.4.2 Tečna a normála

Jak nakreslit tečnu a normálu? Musí být označena funkce, ke které mají být požadované přímky sestrojeny. Symbol je

označen v růžovém rámečku na liště na Obrázku B.7. Pak je nutné zadat x-ovou souřadnici do horního pole dialogového

okna. V případě, že má být nakreslena normála, pak je třeba zaškrtnout příkaz „Kolmiceÿ (jiný název pro normálu,

neboť normála je kolmá na tečnu).

Obrázek B.7: Vložení tečny a normály k vybrané funkci


B.4.3 Řada bodů / souřadnic

Kromě funkcí je možno zadat i řadu bodů. To je vhodná jak pro znázornění konkrétních souřadnic, vývoj sledovaných

veličin, tak ke zvýraznění určitých bodů – např. maxim a minim, inflexních bodů, hraničních bodů a podobně.

B.4.4 Text, popisky a legenda

Kromě funkcí je možné na plochu vložit i text a další symboly. Je možné pohrát si s barvami textu a pořadí či velikostí

písma.

B.4.5 Výpočty

Mezi další funkce patří například výpočet určitého integrálu (délka, obsah). Všechny ikonky nástrojů mají bubli-

novou nápovědu, takže kdo si chce s funkcemi pohrát více – má šanci.

K zadané již nakreslené funkci Graph hravě dopočítá a ihned nakreslí derivaci přos Funkce⇒ Vložit f ′(x),nezobrazí

však její maximální algebraickou úpravu.


Obrázek B.8: Řada bodů


Obrázek B.9: Vložení textu


B.4.6 Ostatní

Na nástrojové liště jsou další ikonky, např. ikonka černých os a červené křivky slouží k dopočítání a zvýraznění

souřadnic na vybrané funkci, obrázky lupy či ručky, díky které lze s obrazem libovolně hýbat a posouvat osu, stačí

B.5. UŽITEČNÉ ODKAZY 179

prostě obrázek „čapnoutÿ a posunout kam je libo.

B.5 Užitečné odkazy

Program ke stažení (aktuální verze k datu 9. srpna 2015 je 4.4.2):

• <http://www.padowan.dk/graph/Beta.php>

Oficiální stránky a dokumentace k programu Graph:

• <http://www.padowan.dk/graph/>

Tento soubor je v aktuální verzi ke stažení na:

• <www.matematika-lucerna.cz/obrazky/navod-graph.pdf>

http://www.padowan.dk/graph/Beta.php

http://www.padowan.dk/graph/

www.matematika-lucerna.cz/obrazky/navod-graph.pdf

Příloha C

Lineární algebra

Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009).

C.1 Definice z lineární algebry

1. definiceVektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které jsou definovány dvě operace: sčítáníprvků množiny V (každé dvojici prvků x, y ∈ V je jednoznačně přiřazen prvek x+y ∈ V) a násobení prvků množiny

V reálným číslem (každému prvku x ∈ V a každému reálnému číslu r ∈ R je jednoznačně přiřazen prvek r · x ∈ V).

Obě operace musí navíc (pro všechny prvky x, y, z ∈ V a všechna reálná čísla r, s ∈ R) splňovat následující axiomy:

A1 : x+ y = y + x,

A2 : x+ (y + z) = (x+ y) + z,

A3 : existuje prvek o ∈ Vtakový, že x+ o = x,

A4 : r · (x+ y) = r · x+ r · y,A5 : (r + s) · x = r · x+ s · x,A6 : r · (s · x) = (r · s) · x,A7 : 1 · x = x,

0 · x = o.

Prvky vektorového prostoru nazveme vektory. Prvek o nazveme nulovým vektorem vektorového prostoru V.

2. definiceNeprázdná podmnožina Svektorového prostoru V se nazývá podprostor vektorového prostoru V, jestliže platí

1. pro všechna x, y ∈ S je x+ y ∈ S(S je uzavřená vzhledek ke sčítání),

2. pro každé x ∈ S a každé reálné číslo r ∈ R je r · x ∈ S (S je uzavřená vzhledem k násobení reálným číslem).

3. definiceNechť x1, x2, . . . , xk jsou vektory z vektorového prostoru V. Řekneme, že vektor x je lineární kombinací vektorů

x1, x2, . . . , xk, je-li

x = c1 · x1 + c2 · x2 + . . .+ ck · xk

kde c1, c2, . . . , ck jsou nějaká reálná čísla. Čísla c1, c2, . . . , ck se nazývají koeficienty lineární kombinace.

4. definiceNechť M je libovolná množina vektorů vektorového prostoru V, lineárním obalem množiny M (ve V) nazveme

množinu všech lineárních kombinací vektorů z M, označíme ji L(M).

180

C.1. DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY 181

5. definiceVektory x1, x2, . . . , xk ∈ V nazýváme lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla c1, c2, . . . , ck, z nichž alespoň

jedno je nenulové, taková, že

x = c1 · x1 + c2 · x2 + . . .+ ck · xk = o

Nejsou-li vektory x1, x2, . . . , xk lineárně závislé, říkáme, že jsou lineárně nezávislé.

6. definiceNechť M ⊆ V je taková množina vektorů z V, že L(M) = V. Pak řekneme, že M generuje celý vektorový prostor

V. Je-li množina M konečná, M = x1, x2, . . . , xk, pak říkáme, že vektorový prostor V je konečně generovanýa vektory x1, x2, . . . , xk nazýváme generátory tohoto prostoru.

7. definiceNechť M je lineárně nezávislá množina generátorů vektorového prostoru V. Pak říkáme, že množina M je bází vekto-

rového prostoru V.

8. definicePočet vektorů v bázi vektorového prostoru V nazveme dimenzí tohoto prostoru a značíme dim V. Dále definujeme

dim o = 0.

9. definiceNechť n ∈ N. Označme Rn množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Tedy Rn = (x1, x2, . . . , xn); kde

x1, x2, . . . , xn ∈ R. Řekneme, že dvě uspořádané n-tic (x1, x2, . . . , xn) a (y1, y2, . . . , yn) z Rn jsou si rovny právě

když

x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn

10. definiceNechť x = (x1, x2, . . . , xn) a y = (y1, y2, . . . , yn) jsou dva vektory z Rn. Skalárním součinem x · y nazveme reálné

číslo

x · y = x1y1 + x2y2, . . . , xnyn,

nebo stručněji

x · y =

n∑

i=1

xiyi.

11. definiceNechť x ∈ Rn. Reálné číslo

|x| =√x · x

182 PŘÍLOHA C. LINEÁRNÍ ALGEBRA

nazveme velikostí (normou) vektoru x. Vektor x se nazývá jednotkový (normovaný) vektor, jestliže |x| = 1.

12. definiceVektory x, y z vektorového prostoru Rn se nazývají vzájemně ortogolální (kolmé), jestliže x · y = 0.

13. definiceBáze x1, x2, . . . , xm podprostoru S vektorového prostoru Rn, m ≤ n, se nazývá ortogonální, jestliže vektory

x1, x2, . . . , xm tvoří ortogonální skupinu vektorů. Jsou-li navíc x1, x2, . . . , xm jednotkové vektory, nazýváme tuto

bázi ortonormální bází S.

14. definiceNechť S je podmnožina Rn. Ortogonálním doplňkem množiny S v Rn nazveme množinu v ∈ Rn; v · x = 0 pro

všechny vektory x ∈ S, označíme ji S⊥.

15. definiceMatice A typu (m,n) ∈ N, je tabulka reálných čísel uspořádaná do m řádků a n sloupců

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

am1 am2 . . . amn

16. definiceŘekneme, že matice A a B jsou si rovny (A = B), jsou-li to matice stejného typu (m,n), pro jejichž prvky platí

aij = bij i = 1, 2, . . . ,m

j = 1, 2, . . . , n

17. definiceNechť A a B jsou matice stejného typu (m,n),

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

am1 am2 . . . amn

, B =

b11 b12 . . . b1n

b21 b22 . . . b2n...

.... . .

...

bm1 bm2 . . . bmn

Součtem matic A + B nazveme matici

A + B =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n...

.... . .

...

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

18. definiceHodností matice A typu (m,n) rozumíme dimenzí podprostoru Rn generovaného řádkovými vektory matice A.

Hodnost matice A označíme hA.

19. definiceŘekneme, že matice T typu (m,n) je trojúhelníková matice, jestliže m ≤ n a pro prvky matice T platí

tij = 0 pro j < i a tii 6= 0 pro i = 1, . . . ,m.

C.1. DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY 183

20. definiceNechť A je matice typu (m,n). Transponovanou maticí k matici A nazveme matici AT typu (m,n) pro kterou

platí, že i-tý řádek matice A je i-tým sloupcem matice AT.

M =

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

MT =

1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

Transponace

NNT

21. definiceŘekneme, že matice A je Gaussova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádků je zároveň posledním

nenulovým prvkem příslušného sloupce a matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek.

22. definiceŘekneme, že matice A je Jordanova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádku je roven jedné a je to

také jediný nenulový prvek v příslušném slupci. Matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek.

23. definiceNechť A je matice typu (m, p), B je typu (p, n). Součinem matic A a B nazveme matici C typu (m,n), pro jejíž

prvky platí

cij =

p∑

k=1

aik · bkj , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Součin matic A a B označíme A · B (resp. AB).

24. definiceNechť A je čtvercová matice řádu n, n ∈ N. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže hA = n. Matici A, která

není regulární, nazveme singulární maticí.

25. definiceNechť A je čtvercová matice řádu n, n ∈ N. Jestliže existuje čtvercová matice A−1 řádu n, pro kterou platí

A ·A−1 = A−1 ·A = E

pak říkáme, že matice A−1 je inverzní maticí k matici A.

26. definiceDvojici (ki, kj) nazýváme inverzní v permutaci π = (k1, k2, . . . , kn), jestliže platí i < j a současně ki < kj .

27. definicePermutace π se nazývá sudá, jestliže celkový počet inverzí r v této permutaci je sudé číslo. Permutace π se nazývá

lichá, jestliže počet inverzí r je liché číslo.


28. definiceNechť A je čtvercová matice řádu n,

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

,

Determinantem matice A nazveme reáln číslo

detA =∑

(π)

(−1)r a1k1 · a2k2 , . . . , a2nkn ,

kde∑

(π) znamená součet přes všchny permutace π = (k1, k2, . . . , kn) sloupcových indexů (1, 2,. . . , n) a r je celkový

počet inverzní v permutaci π.

29. definiceNechť A = (aij) je čtvercová matice řádu n, n > 1. Submaticí Aij matice A nazveme čtvercovou matici řádu n–1,

která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Algebraickým doplňkem Dij prvku aij matice

A nazveme číslo

Dij = (−1)i+j detAij .

30. definiceNechť A je čtvercová matice řádu n. Jestliže pro nenulový vektor x ∈ Rn a komplexni číslo λ platí

A(x)T = λ(x)T ,

pak číslo λ (lambda) nazveme vlastní číslo matice A a vektor x nazveme vlastní vektor matice A příslušející

vlastnímu číslu λ.

C.2 Věty z lineární algebry

1. větaNechť M = x1, x2, . . . , xk je množina vektorů z vektorového prostoru V a nechť

L(M) =

k∑

i=1

ci · xi; ∀ixi ∈ M, ci ∈ R

.

Pak lineární obal L(M) množiny M je podprostor V.

2. větaNechť x1, x2, . . . , xk jsou vektory z vektorového prostoru V, k ≥ 2, k ∈ N. Vektory x1, x2, . . . , xk jsou lineárně závislé

právě tehdy, je-li možné alespoň jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinací ostatních vektorů.

3. větaNechť x1, x2, . . . , xk jsou lineárně nezávislé vektory z V a nechť vektor y ∈V je lineární kombinací vektorů x1, x2, . . . , xk,

C.2. VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY 185

y = c1 · x1 + c2 · x2 + . . .+ ck · xk.

Pak koeficienty, c1, c2, . . . , ck této lineární kombinace jsou určeny jednoznačně.

4. větaPodmnožina M vektorového prostoru V je množinou generátorů V právě tehdy, když každý vektor y ∈ V lze vyjádřit

jako lineární kombinací vektorů z M.

5. větaNechť x1, x2, . . . , xk jsou generátory vektorovéo prostoru V a nechť y1, y2, . . . , ym jsou vektory, které vznikly z vektorů

x1, x2, . . . , xk některou z následujících ekvivalentních úprav:

1. změnou pořadí vektorů ve skupině;

2. násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem;

3. tak, že k libovolnému vektoru přičteme lineární kombinaci ostatních vektorů;

4. vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů (specielně lze vynechat nulový vektor, není-li

to jediný vektor, který skupinu obsahuje);

5. přidáním vektoru, který je lineární kombinací vektorů x1, x2, . . . , xk.

Pak vektory y1, y2, . . . , ym generují stejný vektorový prostor V jako vektory x1, x2, . . . , xk.

6. věta – Steinitzova větaNechť x1, x2, . . . , xm jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V; nechť y1, y2, . . . , yn jsou další vektory

z V takové, že každý vektor xi je lineární kombinací vektorů y1, y2, . . . , yn, tj. xi ∈ L(y1, y2, . . . , yn), i = 1, 2, . . . ,m.

Potom platí

m ≤ n.

7. větaLibovolné dvě báze (konečně generovaného) vektorového prostoru V mají stejný počet vektorů.

8. větaNechť V je vektorový prostor dimenze n a nechť x1, x2, . . . , xm jsou vektory z V. Je-li m > n, pak jsou vektory

x1, x2, . . . , xm lineárně závislé.

9. větaNechť V je vektorový prostor dimenze n, pak každá skupina n lineárně nezávislých vektorů x1, x2, . . . , xn z V tvoří

bázi vektorového prostoru V.

10. větaNechť V je vektorový prostor dimenze n, x1, x2, . . . , xm lineárně nezávislé vektory z V. Je-li m < n, pak lze vektory

x1, x2, . . . , xm doplnit na bázi V; to znamená, že existují vektory xm+1, . . . , xn ∈ V takové, že x1, x2, . . . , xm, xm+1,

. . . , xn je báze vektorového prostoru V.

11. větaNechť S je podprostor vektorového prostoru V. Potom platí


dim S ≤ dimV,

přičemž rovnost m ≤ n ve Steinitzově větě platí právě když S = V.

12. větaNechť x, y, z jsou libovolné vektory z Rn, r ∈ R libovolné reálné číslo. Pak platí:

1. x · y = y · x

2. (x+ y) · z = x · z + y · z

3. r · (x · y) = (r · x) · y

4. x · x ≥ 0, přitom x · x = 0 právě tehdy, je-li x = 0.

13. větaSkupina nenulových vzájemně ortogonálních vektorů x1, x2, . . . , xk je vždy lineárně nezávislá.

14. větaKaždý netriviální podprostor S vektorového prostoru Rn má ortogonální bázi.

15. větaNechť S je podmnožina Rn. Pak platí

(§⊥)⊥ = L(S).

Je-li S podprostor Rn, lze s použitím Gramm-Schmidtovi ortogonalizující konstrukce dokázat následující důležitou

větu, kterou použijeme při řešení soustav lineárních rovnic.

16. větaNechť S je podprostor Rn. Potom platí

dimS⊥ = dimRn − dimS

17. větaNechť A, B a C jsou matice typu (m,n), r, s ∈ R. Pak platí

1. A + B = B + A,

2. A + (B + C) = (A + B)+ C,

3. r · (A+ B)= r · A + r · B,

4. (r + s) · A = r · A + s · A,

5. r · (sA) = (r · s) · A.


18. větaMnožina Rm·n všech matic typu (m,n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří

vektorový prostor dimenze m · n.

19. větaJe-li matice T typu (m,n) trojúhelníková matice, pak

h(T) = m.

20. větaNechť AT je transponovaná matice k matici A, pak platí

h(A) = h(AT).

21. větaNechť je dána homogenní soustava m lineárních rovnic o n neznámých a nechť A je matice této soustavy. Vektor x ∈Rn je řešením této soustavy právě když x ∈ R (A)⊥ v Rn.

22. věta – Frobeniova větaSoustava lineárních rovnic je řešitelná právě když hodnost matice soustavy A a hodnost rozšířené matice soustavy AR

jsou stejné.

23. větaKaždé řešení x nehomogenní soustavy lineárních rovnic lze zapsat jako součet

x = y + z

kde y je libovolné (pevné) řešení nehomogenní soustavy a z je nějaké řešení homogenní soustavy se stejnou maticí A.

Poznámka: z této věty vyplývá, že množinu M všech řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic lze symbolicky

zapsat jako

M = y + R(A)⊥ = y + z; z ∈ R(A)⊥.

24. větaJsou-li A, B a C matice a r ∈ R libovolné reálné číslo, pak platí

1. A · (B · C) = (A · B) · C, (asociativní zákon)

2. A · (B + C) = A · B + A · C, (distributivní zákon)

3. (B + C) · A = B · A + C · A, (distributivní zákon)

4. r · (AB) = (rA) · B = A · (rB).


mají-li uvedené výrazy smysl.

25. větaNechť A je čtvercová matice. Pak inverzní matice A−1 k matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární.

26. větaNechť A, B jsou regulární matice stejného řádu. Potom matice nechť AB je také regulární a platí

(AB)−1 = B−1 ·A−1.

Je-li r ∈ R nenulové reálné číslo, pak

(rA−1) =(1

r

)·A−1.

27. větaNechť A · x = b je soustava n lineárních rovnic o n neznámých. Je-li matice soustavy A regulární, pak má soustava

jediné řešení

x = A−1 · b.

28. větaNechť A = (aij) je trojúhelníková matice řádu n. Pak platí

detA = a11a22 . . . ann.

29. větaNechť A je libovolná čtvercová matice řádu n. Pak platí:

1.

detAT = detA,

2. jestliže matice B vznikla z matice A přehozením dvou řádků (resp. sloupců), pak

detB = −detA,

3. jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku (resp. sloupce) reálným číslem r ∈ R, pak

detB = r · detA,

4. jestliže matice B vznikla z matice A tak, že k jednomu řádku matice A byla přičtena lineární kombinace ostatních

řádků, pak

detB = detA,

5. jestliže také matice B a C jsou čtvercové matice řádu n takové, že k-tý řádek matice C, k = 1, 2,. . . , n, je

součtem k-tých řádků matic A a B a ostatní řádky mají všechny tři matice stejné, pak

detC = detA + detB,


6. jestliže B je čtvercová matice řádu n, pak

det (AB) = detA · det B,

7. jestliže A je regulární matice, pak

detA−1 =1

detA.

30. větaNechť A je čtvercová matice. Matice A je regulární právě tehdy, je-li det A 6= 0.

31. větaNechť A = (aij) je čtvercová matice řádu n. Pak pro každé přirozené číslo i, 1 ≤ i ≤ n, platí

detA =

n∑

j=1

aij ·Dij ,

a pro každé přirozené číslo j, 1 ≤ j ≤ n, platí

detA =

n∑

i=1

aij ·Dij ,

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A.

32. věta – Inverzní matice pomocí determinantůNechť A = (aij) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat

A−1 =1

detA

D11 D21 . . . Dn1D21 D22 . . . Dn2

......

. . ....

D1n D2n . . . Dnn

=1

detA(Dij)

T,

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n.

33. věta – Cramerovo pravidloNechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

· · · · · · · · ·an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn.

Je-li matice soustavy A = (aij) regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

xi =detAi

detA,pro i = 1, 2, . . . , n,

kde Ai je matice, která vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy (b1, b2, . . . , bn)T.

Příloha D

Řecká abeceda

transliterace moderní velké znaky moderní malé znaky název výslovnost

a A α alpha [alfa]

b B β beta [beta]

g Γ γ gamma [gama]

d ∆ δ delta [delta]

e E ε, ε epsilon [epsilon]

z Z ζ zeta [zéta]

e, H H η eta [éta]

th Θ θ, ϑ theta [théta]

i I ι iota [ióta]

k K κ,κ kappa [kapa]

l Λ λ lambda [lambda]

m M µ mu [mí]

n N ν nu [ný]

x Ξ ξ xi [ksí]

o O o omicron [omikrón]

p Π π,$ pi [pí]

r P ρ, % rho [ró]

s Σ σ, ς sigma [sigma]

t T τ tau [tau]

u Υ υ upsilon [ypsilon]

f, ph Φ φ, ϕ phi [fí]

ch X χ chi [chí]

ps Ψ ψ psi [psí]

o, O Ω ω omega [omega]

190

Hurá konec, všechno umím. . .

Obrázek D.1: Cyklus učení

Aplikace

Nov

ýpr

oblém

Zkoumání

Řešen

í

Challenge

. . . tak to asi ne, jen hezky pokračujte. . . ,

Název . POMNĚNKA .Verze 9. srpna 2015Autorka MSc. Catherine MorrisKontakt na autorku [email protected]čeno studenti ČZU, PaA, PaE a všem ostatním

kdo mají pocit, že je pro ně soubor užitečný ,Počet stran 191

Date post:	28-Mar-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

Matematika (Kate Morris) - POMN ENKA · 2015. 8. 9. · 14.3 Memo pomøcka . . . . . . . . . . . ....

Documents