1

Gymnázium Jana Nerudy

Závěrečná práce studentského projektu

Matematika ve starověkém Řecku

Evropský sociální fond

Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti

Tamara Fořtová

Nicole Urban

Jan Borz

Abaseen Amiri

2014 Filip Zahradil

2

PROHLÁŠENÍ

Prohlašujeme, ţe jsme níţe uvedený text vypracovali samostatně a výhradně s pouţitím uvedeným

zdrojů a literatury. Zároveň chceme poděkovat profesoru Mgr. Jiřímu Burešovi za odborné konzultace

a trpělivost s námi při vypracovávání projektu.

Podepsáni:

Tamara Fořtová Jan Borz Abaseen Amiri

Filip Zahradil Nicole Urban

ANOTACE

Matematikové starověkého Řecka poloţili základ evropské matematické kultury. Pythagorovu větu

zná téměř kaţdý. Euklidovy Základy byly po dlouhou dobu nejdůleţitější učebnicí geometrie. Cílem

práce bylo zpracovat ţivot a dílo nejdůleţitějších řeckých matematiků, zasadit je do historického

kontextu a přidat ukázky dobových úloh a jejich řešení.

3

OBSAH

1. Úvod

2. Stručný vývoj matematiky do doby antiky

3. Charakteristika antické matematiky

4. Ţivoty a díla matematiků antického Řecka

4.1. Thales z Mílétu

4.2. Pythagoras ze Samu

4.3. Euklides z Alexandrie

4.4. Archimédes ze Syrakus

4.5. Apollonios z Pergy

5. Příklady z této doby a jejich řešení

5.1. Thaletova věta a její důkazy

5.2. Interpretace Thaletovy věty ve Francii

5.2.1. Euklidův důkaz Thaletovy věty (teorému) o stejnolehlosti

5.3. Pythagoras a hudba

5.4. Euklidova axiomatická výstavba matematiky

5.5. Archimédův postup k určení přibliţné hodnoty π

5.6. Apolloniovy úlohy a jejich konstrukce

5.6.1. Apolloniova úloha typu ppp

5.7. Proslulé problémy antické matematiky

5.7.1. Kvadratura kruhu

5.7.2. Zdvojení krychle

5.7.3. Trisekce úhlu

6. Závěr aneb co nám matematika antického Řecka přinesla

7. Zdroje

8. Rejstřík osobností zmíněných v práci

4

1. Úvod Účelem této seminární práce je seznámit vás s některými matematiky starověkého Řecka a jejich

prací. Z velkého mnoţství vědců této doby jsme se blíţe zaměřili na pět z nich. Konkrétně (seřazeno

dle časové posloupnosti) na Thaleta z Mílétu a jeho větu, včetně důkazů a její odlišné interpretace ve

Francii. Dále jsme zpracovali Pythagora ze Samu a jeho zkoumání matematiky v oblasti hudby,

Pythagorova věta je snad všeobecně známá. Pokračovali jsme Euklidem a axiomatickou výstavbou

matematiky, poté Archimédem ze Syrakus a jeho postupem k určení přibliţné hodnoty π. A nakonec

jsme zpracovali Apollonia z Pergy a stejnojmenné Apolloniovy úlohy a konstrukce některých z nich.

Tuto pětici jsme se rozhodli zpracovat hlavně díky jejich obecné známosti mezi lidmi. Zároveň nám

jejich práce přišla zajímavá nejen pro matematiky, a to o jejich výběru rozhodlo definitivně.

2. Stručný vývoj matematiky do doby antiky V prehistorii se po dlouho dobu počítalo jen do pěti, čili na prstech jedné ruky. I Homér,

Aischyllos a Plútarchos pouţívali výraz pempazein (doslova „do pěti“).1

Kdyţ doba bronzová

vystřídala dobu kamennou, začala se společnost rozvíjet. Kromě zavedení raţených mincí a pouţívání

abecedy se samozřejmě vyvíjela i matematika. V Řecku vznikaly městské státy (jinak zvané „polis“) –

například Mílét, Korinth, Athény a další. Díky stěhování národů se mísila kultura a vědomosti hlavně

mezi Řeckem, Egyptem a Babylonem.

Jako první se v této oblasti objevila jónská přírodní filosofie představující kosmologický výklad

vzniku světa. Za základ byl pak vţdy povaţován hybný princip a daná pralátka. Matematika se začala

zakládat na logických větách vycházejících jedna z druhé, čímţ vznikla rozsáhlá soustava vzájemně

propojených tvrzení.

S Pythagorejci přišla první krize matematiky, kdyţ objevili nesouměřitelnost čísel, tj. úsečky, jeţ

nemají společnou míru. Toto poprvé dokázal Hippasus, který byl následně svrţen z lodě a utopen.

Dodnes nevíme, zda proto, aby objev zůstal utajen, nebo prostě proto, ţe objev vyzradil.2 To vedlo

ke studiu iracionalit – zejména Eudoxem, Archytasem a mnoha dalšími.

Tehdy matematici přešli ke geometrickému chápání matematiky, čímţ vznikla řecká geometrická

algebra stavěná na principu homogenity (práce s veličinami stejného řádu).3 Postupně se ustálila

Euklidova pravidla, resp. způsob rýsování – pouze za pomoci idealizovaného pravítka (má jen jednu

stranu, nemá míru a je nekonečně dlouhé) a kruţítka (lze s ním nakreslit neomezeně velkou kruţnici,

ale nelze s ním přenášet vzdálenosti) a za provedení konečného počtu kroků.

Tehdy se také objevily takzvané „proslulé problémy antické matematiky“, které jsou euklidovsky

neřešitelné. Dnes uţ jsou samozřejmě vyřešeny mnoha způsoby, ţádný však nedodrţuje výše zmíněná

pravidla. Patří mezi ně kvadratura kruhu, zdvojení krychle, trisekce úhlu a někdy se také přidává

rektifikace kruţnice a konstrukce některých pravidelných n-úhelníků.4 Více jsou proslulé problémy

rozvedeny v kapitole 5.7.

V roce 334 př. n. l., po zániku Alexandrovy říše, se začala mísit řecká matematika s matematikou

orientální, čímţ se řeckým matematikům výrazně rozšiřovaly znalosti. V období římské nadvlády bylo

centrum veškeré kultury i vědy situováno v Alexandrii. Mnoho matematiků se také začalo věnovat

shromaţďování a komentování děl svých předchůdců. Za zmínku stojí například Pappos z Alexandrie

1 FOLTA, Jaroslav. Dějiny matematiky I. Praha: *Společnost pro dějiny věd a techniky+, 2004, s. 46. Práce z dějin techniky a přírodních věd. ISBN 80-239-4031-7. 2 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČB, Katedra Matematiky. Dějiny matematiky *online+. 20 0 *cit. 20 4-05-05+. ost pn z: h ps: .p .jc .cz str katedry knihy ejiny .pd 3 ta t ž,

4 ta t ž.

5

(asi 209-350 n. l.), známý hlavně svým sborníkem Synagogé a komentáři

k Euklidovým a Ptolemaiovým dřívějším dílům.

Konec období rozvoje řecké matematiky nastal při zrušení athénské akademie východořímským

císařem Justiniánem (v 6. století př. n. l.). Do právního kodexu byl tehdy zařazen zákon De maleficiis,

mathematicis et caeteris similibus neboli „O zločincích, matematicích a jim podobných“, v němţ je

výslovně řečeno, ţe „zavrţeníhodné umění matematické je zakázáno především.“5

1. Mapa významných míst pro rozvoj matematiky

5 FOLTA, Jaroslav. Dějiny matematiky I. Praha: *Společnost pro dějiny věd a techniky+, 2004, s. 89. Práce z dějin techniky a přírodních věd. ISBN 80-239-4031-7.

6

3. Charakteristika antické matematiky Od předchozích historických etap matematiky má řecká antická matematika několik odlišností:

a) Setkáváme se zde poprvé s neanonymní matematikou a poznáváme mnoţství tvůrců a jejich dělení

do určitých škol,

b) Matematika vytváří logicky budované teorie sjednocující dosaţené výsledky a vlastní metodiku

ověřování správnosti těchto tvrzení,

c) Vytvářejí se různé koncepce matematiky a vyjasňují se jejich hranice,

d) Jsou formulovány matematické problémy podnětné pro další rozvoj tím, ţe ověřují moţnosti

vymezených konvenčních systémů matematických teorií – přinášejí nekonvenční řešení,

e) Období mezi 4. a 2. st. př. n. l. tvoří časové jádro, kdy se utváří nejvýznamnější výsledky,

f) Matematika se poprvé člení do přirozených, předmětem vymezených disciplín se vzájemně volnou

(ale přece jen určenou) stavbou. To nahrazuje řazení matematických problémů dle oblastí aplikace.6

Pythagorejci se domnívali, ţe vše lze vyjádřit přirozeným číslem, vytvořili na tomto základě

logickou teorii o sudých a lichých číslech, kterou Euklides více rozvedl ve své 9. knize Základů, kde

jsou formulována různá tvrzení. Tehdy Pythagorejci začali zkoumat další problémy dělitelnosti

čísel a vztahy čísel. Mezi nimi například:

1) Součet několika sudých čísel je sudý.

2) Sudý součet lichých čísel je sudý (a zároveň lichý součet lichých čísel je lichý).

3) Rozdíl dvou sudých (lichých) čísel je sudý.

4) Rozdíl sudého a lichého čísla je lichý.

5) Součet sudého se sudým (lichým) je sudý (lichý).

6) Dělí-li liché číslo sudé, tak dělí i jeho polovinu.7

Pro vytvoření větších přirozených čísel byl sestaven systém skládání číselných symbolů

v herodiánském nebo iónském zápisu, které končily u myriád (104), respektive myriády myriád (10

8).

2. Číslice herodiánské z 2. stol. př. n. l.

3. Číslice iónské využívající alfabetu

Archimédes poloţil před matematiky dva problémy, na které záhy našel odpověď ve svém spisu

„O počítání písku“:

1) Kolik je přirozených čísel ve srovnání s jinou představou velmi velkých mnoţství?

6 ta t ž, s 92.

7 ta t ž, s 94.

7

2) Provedení algoritmizace matematické konstrukce stále větších přirozených čísel –

poukázání na to, ţe mnoţina všech přirozených čísel je potencionálně nekonečná. 8

Zde vytváří geometrický důkaz o tom, ţe mnoţství písku není nekonečné (jak se domníval jistý král

Gelon), nýbrţ se ještě nenašlo dostatečně velké číslo, které by tento stav popsalo. Archimédes si

představil celou zeměkouli naplněnou pískem a poté i celý vesmír naplněný pískem.

Nejprve ukázal, jak lze přirozená čísla iónským zápisem vyjádřit aţ do myriády myriád (108). Tuto

mnoţinu čísel nazval oktádou prvých čísel. Tím získal základ pro oktádu druhých čísel

( ), stejným stylem oktádu čísel třetích a dál, aţ se dostal k oktádě oktádních čísel

(

). Tím uzavřel první periodu přirozených čísel. Číslo je základem

pro druhou periodu. Takto se dostal aţ k oktádě čísel oktádních oktádní periody

.9

Tento postup lze do nekonečna opakovat a čísla prodluţovat, zvládl tak matematicky vyjádřit

potenciální nekonečno.

8 ta t ž, s. 94.

9 ta t ž, s 95.

8

4. Ţivoty a díla matematiků antického Řecka

4.1 Thales z Mílétu (Θαλης ὁ Μιλήζιος) „To Thales . . . the primary question was not What do we know but How do we know

it,“ said Aristotle. [„Pro Thaleta nebyla nejdůleţitější otázka CO víme, ale JAK to víme,“ řekl

Aristoteles]10

Thales z Milétu ţil přibliţně v letech 624-545 př. n. l., byl Féničan, velmi zdatný obchodník a politik,

snaţil se například prosadit spojování osad. Traduje se, ţe ovládl obchod s olejem nejen v Milétu,

ale také na ostrově Chiu. Se svými obchody navštívil Egypt, Krétu a snad i Asii. Zároveň je také

nejstarším známým předsokratovským filosofem a zakladatelem Mílétské přírodní školy filosofické.

Údajů o jeho ţivotě máme naneštěstí málo a často si také protiřečí. Někteří se například domnívají,

ţe byl Pythagorovým učitelem, jiní to ale zamítají. Většina se však shoduje, ţe mezi jeho nástupce

patří Anaximandros a Anaximedes.11

Jeho filosofické dílo „Peri Fyseos“ povaţuje vodu za pralátku všeho, protoţe se vyskytuje ve všech

skupenstvích a je biogenní. Hybným principem je tedy zhušťování a zřeďování. Tato základní

myšlenka je však někdy přiřazována spíše jeho následníkovi Anaximandrovi.

Jako první z Řeků byl obeznámen s orientálním věděním v oboru astronomie. Díky tomu dokázal

roku 585 př. n. l. předpovědět zatmění Slunce, čímţ údajně pomohl lýdskému králi Kroisovi vyhrát

bitvu.12

Jednu dobu pobýval v Egyptě, kde přišel do styku s kněţskou kastou, která velmi ovlivnila jeho

matematické znalosti. Také začal pracovat například s podobnostmi a shodnostmi vrcholových

úhlů a pouţíval výhradně kruţítko a úhloměr.

Připisuje se mu mnoho matematických vět (planimetrických pouček), například:

- Kruh je průměrem dělen na dvě shodné poloviny

- Úhly u základny rovnoramenného trojúhelníka jsou stejné

- Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou úhlech a straně

- Protnou-li se dvě přímky, pak jsou jejich protilehlé vrcholové úhly shodné13

Zároveň byl prý první, kdo tyto jednoduché věty dokázal a tím do geometrie zavedl logický důkaz.

Nejznámější je tzv. Thaletova věta, která nám říká, ţe všechny obvodové úhly nad průměrem

kruţnice jsou pravé. To se později vyuţívalo třeba k určení vzdálenosti lodi na moři, určení výšky

pyramidy atd. Část historiků však zpochybňuje, zda tuto větu skutečně zformuloval, připisována mu

začala být aţ od prvního století našeho letopočtu, poprvé historičkou Pamfiliou.14

10

MERZBACH, Uta C a Carl B BOYER. A history of mathematics. 3rd ed. Hoboken, N.J.: John Wiley, c2011, xx, p 40. ISBN 978-047-0525-487. 11

Thal s z il t : První řecký ilozo ?. In: ŽivotopisyOnline.cz [online]. [cit. 2014-05-06+. ost pn z: http://zivotopisyonline.cz/thales-z-miletu-624-pr-n-l-543-pr-n-l-prvni-recky-filozof/ 12

Tháles z il t . In: HRÁBEK, artin. Geneze.info [online]. [cit. 2014-05-06+. ost pn z:http://www.geneze.info/jmena/osobnosti/thales_z_miletu.htm 13

FOLTA, Jaroslav. Dějiny matematiky I. Praha: *Společnost pro dějiny věd a techniky+, 2004, s. 73. Práce z dějin techniky a přírodních věd. ISBN 80-239-4031-7. 14

ta t ž.

9

4.2 Pythagoras ze Samu (Πσθαγόρας ο Σάμιος) Pythagoras ze Samu, přezdívaný otec čísel, se narodil okolo 570 př. n. l. na ostrově Samos a zemřel

okolo roku 510 př. n. l. v jiţní Itálii. Byl filosof, matematik a astronom. Údaje o jeho ţivotě i práci

se často rozcházejí. Ţádné z jemu připisovaných děl se nedochovalo, Pythagorovy původní myšlenky

částečně překryla díla jeho následovníků, často absolventů jeho školy.

Jeho otcem byl Mnesarchus, kupec s obilím z Tyre, který prý zachránil Samos v době hladomoru.

Jeho matka Pythais ze Samu pocházela. Také měl pravděpodobně dva aţ tři bratry, zdroje se na počtu

rozcházejí. 15

Pythagoras uţ od mala často cestoval. V dospělosti se nejprve vydal do Egypta, poté

do Babylonie, odkud se nakonec vrátil zpět na Samos. Dlouho zde ale nevydrţel a vydal se do jiţní

Itálie. V městě Krotone zaloţil filozofickou a náboţenskou školu. Podporoval rodovou

aristokracii a dostal se do sporu s nastupujícími demokratickými politiky z kupeckých vrstev. 16

Kvůli tomu musel odejít z města a usadit se severněji v Metapontu u Tarenta, kde také zemřel. Škola

přesto pokračovala a měla velký vliv na klasickou řeckou filosofii, zejména

na platonismus a novoplatonismus.17

Pythagorejská společnost byla z části náboţenská a z části vědecká. Členy společenství se mohli stát

muţi i ţeny. Zapřísáhli se ke slibu mlčení, učení se předávalo jen ústně, coţ je také důvod

k nedostatku informací o něm. Pythagoras tuto společnost vedl, nejuţší kruh jeho učenců se nazýval

mathematikoi.18

Ti ţili v jedné budově, jedli vegetariánsky a neměli ţádné osobní vlastnictví. Podřídili

se přísným pravidlům, aby mohli studovat přímo pod vedením Pythagora. Proto je také těţké rozeznat,

co bylo dílem Pythagorovým a co jeho učenců. Zbytek společenství se nazýval akousmatikoi19

, kteří

ţili ve svých vlastních obydlích, měli vlastní vlastnictví a nemuseli být vegetariáni. Školu navštěvovali

jen přes den.

Pythagorejci věřili, ţe základem všeho je číslo. Nestudovali ale matematiku jako dnešní vědci –

nezkoumali určité problémy a nehledali k nim řešení. Naopak se zajímali o celkovou teorii čísel,

mystiku čísel, abstraktní důkazy, koncept trojúhelníku a dalších matematických obrazců.

Pro Pythagora bylo také zřejmě důleţité učení o poměru nesmrtelné duše a ji věznící tělo.

Připisuje se mu také zavedení pojmu filosof (resp. filosofie – filein = „milovat“ a sofos = „moudrý“),

v doslovném překladu „milovník moudrosti“, jak mu měli říkat jeho následovníci. Také mu

přiřazujeme výraz kosmos („kosmeó“ = zdobit“). Prý obdivoval úţasný řád vesmíru. Další

z pythagorejských pojmů je tetraktys (čtveřina), totiţ posloupnost čísel 1, 2, 3 a 4 – jejich součet je

dokonalé číslo 10. Celková koncepce pythagorejského světa se opírá o přirozená čísla. To ale narušil

jejich vlastní objev nesouměřitelnosti.20

Neméně významný Pythagorův objev je Pythagorova věta.

Některé zdroje však tvrdí, ţe ji Babyloňané objevili jiţ 1000 let před ním, on ji ale jako první dokázal.

Pythagoras se také zabýval hudbou ve vztahu s matematikou. Objevil vztah mezi délkou

struny a tóny stupnice, na čemţ zaloţil diatonickou stupnici, pythagorejské ladění a harmonii sfér.

15

Pythagoras of Samos. In: The MacTutor History of Mathematics archive [online]. 1999 [cit. 2014-05-08]. ost pn z:http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Printonly/Pythagoras.html 16

FOLTA, Jaroslav. Dějiny matematiky I. Praha: *Společnost pro dějiny věd a techniky+, 2004. Práce z dějin techniky a přírodních věd. ISBN 80-239-4031-7. 17

Pythagoras. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-08+. ost pn z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Pythagoras 18

ta t ž jako ( 5 – MacTutor). 19

ta t ž jako ( 5 – MacTutor). 20

ta t ž jako ( 6 – Folta)

10

Pravidelný pohyb vesmírných sfér dle něj vydává dokonalou, avšak neslyšitelnou, hudbu.21

Více

o Pythagorovi a hudbě v kapitole 5.3.

Ani po jeho smrti Pythagorejské učení nezmizelo, pouze se Pythagorejci začali více politicky

angaţovat a rozdělili se do několika frakcí.

4.3 Euklides z Alexandrie (Εὐκλείδης) Euklides z Alexandrie (pozn.: téţ Eukleidés nebo Euklid, často zaměňován s Euklidem z Megary) ţil

přibliţně v letech 325 př. n. l. aţ 260 př. n. l. Narodil se v Řecku a studoval v Athénách na Platónově

Akademii, kde se geometrii učil od Eudoxa a Theaitéta. Další část svého ţivota strávil v Alexandrii,

kam ho povolal král Ptolemaios I., aby pracoval a učil v nově zaloţené Alexandrijské knihovně.22

Mezi jeho ţáky patřil také třeba Archimédes ze Syrakus.

Vedle shromaţďování a formulování základů geometrie se věnoval teorii čísel, perspektivě, sférické

geometrii a kuţelosečkám. Jeho Conica se stala základem slavného Apolloniova spisu

o kuţelosečkách. Mimo jiné se také zabýval optikou, astronomií a muzikou, o tom se však příliš

materiálů nedochovalo.

Hlavním Euklidovým dílem jsou Základy (řecky Stoicheia, latinsky Elementa) ve třinácti knihách,

jeţ začínají základními axiomy, postuláty a definicemi a dál postupují systémem „věta-důkaz“ ke stále

sloţitějším konstrukcím aţ po tzv. Platónská tělesa. Základy shrnují práci mnoha dřívějších

matematiků a filosofů a jsou zdaleka nejúspěšnější matematickou knihou všech dob, která se uţívala

více neţ 2000 let. Například ve středověku se jednalo o důleţitou učebnici pro tehdejší

intelektuály a architekty. Originál díla se nedochoval, nejstarší opis máme z 9. století ve Vatikánské

knihovně.23

Od Pythagorejců převzal například Pythagorovu větu, Kosinovou větu, poznatky o zlatém řezu,

středových a obvodových úhlech a mnoho dalšího. Od Eudoxa zde máme teorii proporcí a práci

s obsahy a objemy těles. Dále se Euklides věnuje studiu kvadratických iracionalit, základům

stereometrie a také oněm Platónským tělesům.24

Více se Euklidovými Základy a axiomatickou

výstavbou matematiky zabýváme v kapitole 5.4 – Euklidova axiomatická výstavba matematiky.

4.4 Archimédes ze Syrakus (Αρτιμήδης) Byl řecký matematik, fyzik, vynálezce a astronom. Ţil v letech 287 – 212 př. n. l, převáţně

v sicilských Syrakusách. O jeho otci víme, ţe se jmenoval Phidias a byl astronom – tolik nám

Archimédes odhalil v jednom ze svých děl.25

V mládí často cestoval do Egypta, kde strávil několik let studiem v Alexandrii, tehdejším centru

vzdělanosti. Seznámil se tam s dalšími významnými matematiky, Euklidovými pokračovateli –

například Konónem ze Samu, který se stal jeho blízkým přítelem, a Erastothenem. Ve svém díle

O spirálách zmiňuje Konónovu smrt a také jak si rád utahoval z ostatních matematiků v Alexandrii –

21

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČB, Katedra Matematiky. Dějiny matematiky *online+. 20 0, s 56. *cit. 20 4-05-05+. ost pn z: h ps: .p .jc .cz str katedry knihy ejiny .pd 22

OLŠIAKOVÁ, Viera. Euclides z Alexandrie *online+. R žo berk, 2008 2009 *cit. 20 4-05-08+. ost pn z:http://math.ku.sk/tkacik/predmety/download/hm/prace/olsiakova.pdf. Se estrálna práca. Katolícka niverzita, Pedagogická ak lta. 23

FOLTA, Jaroslav. Dějiny matematiky I. Praha: [Společnost pro dějiny věd a techniky+, 2004, s. . Práce z dějin techniky a přírodních věd. ISBN 80-239-4031-7. 24

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČB, Katedra ate atiky. Dějiny matematiky [online]. 2010, s 56. [cit. 2014-05-05]. ost pn z: https: .p .jc .cz str katedry knihy ejiny .pd 25

Archimedes of Syracuse. In: The MacTutor History of Mathematics archive [online]. 1999 [cit. 2014-05-13]. ost pn z:http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Archimedes.html

11

často jim posílal zprávy o svých posledních teorémech, ale neposkytoval jim k nim důkazy. Někteří se

pokusili přivlastnit si jeho výsledky, nevěděli však, ţe některé z teorémů byly naprosto smyšlené.26

Věnoval se spíše fyzice, neţ matematice, za zmínění stojí základ hydrostatiky (slavný objev

v lázních, při kterém vykřikoval „Heureka!“, coţ se dodnes pouţívá jako zvolání

při náhlém a nečekaném objevu)27

, Archimédův šroub (vynalezl ho na svých cestách po Egyptě, uţívá

se dodnes), zapalování lodí na dálku, zavedení pojmu těžiště a jeho výpočet pro rotační

plochy a stavba válečných strojů. Přesto holdoval spíše vědění, neţ praktickému uţití. Snad

nejznámější je však Archimédův zákon, který nám říká, ţe těleso ponořené do kapaliny je

nadlehčováno silou, která se rovná váze kapaliny tělesem vytlačené.

V matematickém odvětví je znám především díky Archimédovským tělesům, výpočtem přibliţné

hodnoty čísla π, výpočty obsahů rovinných geometrických obrazců a objemů geometrických

těles či výpočtu segmentu paraboly.

Je ale moţné, ţe neznáme celou jeho práci – své zápisky psal v dórském dialektu řečtiny, mnoho

z nich se ani nezachovalo – známe je jen díky citacím z prací jiných matematiků. Jeho spisy sepsal

řecký architekt Isidor z Milétu. Poté k nim matematik Eutokios dopsal v šestém století našeho

letopočtu své poznámky.28

Byly také mnohokrát přeloţeny, ať uţ do arabštiny či latiny. 29

Jeho smrt si většina z nás spojí hlavně se slavným citátem „Žádám tě, neruš mé kruhy.“ („Noli

turbare circulos meos.“) 30

To údajně řekl Archimédes jednomu z římských vojáků během druhé

punské války, který neuposlechl svého generála a pětasedmdesátiletého Archiméda zabil.31

Archimédem se pravděpodobně inspiroval Galileo Galilei, kdyţ objevil hydrostatické váhy.

Jako zajímavost stojí za zmínění, ţe po Archimédovi byl pojmenován kráter na Měsíci a pohoří

Montes Archimedes. Jeho jméno nese i asteroid 3600 Archimédes.32

4.5 Apollonios z Pergy (Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος) Jeden z největších matematiků a geometrů helénistického období, Apollonios z Pergy, ţil

cca v období okolo 200 př.n.l.. Pochází z Pergy v Pamfýlii, většinu ţivota však působil v egyptské

Alexandrii a později i v Pergamu. Základy matematiky se učil se od nástupců Euklidových.33

Jeho nejvýznamnějším dílem je osmisvazková Kónika pojednávající o kuţelosečkách (definuje je

jako řezy kuţelové plochy s rovinou), z nichţ se zachovalo pouze prvních sedm svazků. Odsud známe

Apolloniovy věty, jejichţ princip a uţití vedly k dnešní analytické geometrii. Jako příklad můţeme

uvést:

- Součet čtverců sdruţených průměru je konstantní

- Plocha rovnoběţníku ze sdruţených průměrů je konstantní

Dále v knihách zavedl pojmy jako třeba ohnisko, elipsa a parabola. Také definoval

asymptoty a některé další vlastnosti hyperbol.34

26

ta t ž jako (25 – The MacTutor) 27

Archimedes. In: Techmania - edutorium [online]. 2008 [cit. 2014-05-06+. ost pn z:http://www.techmania.cz/edutorium/art_vedci.php?key=48 28

ta t ž jako (25 – MacTutor). 29

Archi d s. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-06+. ost pn z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Archim%C3%A9d%C3%A9s 30

Archimedes. In: Archimedes [online]. [cit. 2014-05- 3+. ost pn z: https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html 31

MERZBACH, Uta C a Carl B BOYER. A history of mathematics. 3rd ed. Hoboken, N.J.: John Wiley, c2011, xx, 668 p. ISBN 978-047-0525-487. 32

ta t ž jako (29 – Wikipedia) 33

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČB, Katedra ate atiky. Dějiny matematiky [online]. 2010, s 56. [cit. 2014-05-05]. ost pn z: https: .p .jc .cz str katedry knihy ejiny .pd

12

Z Apolloniovy práce je dnes nejznámější takzvaná Apolloniova úloha, jejíţ originál „O dotycích“ se

nedochoval, znění známe z pozdějších citací a zdrojů – nejdůleţitějším zdrojem je „Mathématikai

synagogai“ od Pappa z Alexandrie, který také uvádí Apolloniův poţadavek řešit úlohy pouze

kruţítkem a pravítkem, takţe klasickým euklidovským způsobem.35

Dále se řešení této úlohy věnuje

také Euklides ve své čtvrté knize Základů.

Apollonios úlohu formuloval nejdříve pro tři kruţnice, které byly postupně nahrazeny bodem

(kruţnice o nulovém poloměru) nebo přímkou (kruţnice o nekonečně velkém poloměru). Tak vzniklo

10 schémat s cílem sestrojit kruţnici dotýkající se tří vybraných prvků, přičemţ obecná úloha má

nejvýše 8 řešení.36

(Schémata37

: BBB, BBP, BBK, BPP, BPK, BKK, PPP, PPK, PKK, KKK.)

34

Appolónios z Pergy. In: Leccos.com [online]. [cit. 2014-05-06+. ost pn z: http://leccos.com/index.php/clanky/apollonios-z-pergy 35

Appolonius z Pergy. In: REICHL, Jaroslav. Multimediální encyklopedie fyziky [online]. 2006-2014 [cit. 2014-05-06+. ost pn z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1430-apollonius-z-pergy 36

Apolloniovy úlohy. In: PATÁKOVÁ, Eva. Geometrie.kma.zcu.cz [online]. 2005 [cit. 2014-05-06+. ost pn z:http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/apoll/apoll.html 37

B = bod, P = pří ka, K = kr žnice

13

5. Příklady z této doby a jejich řešení

5.1 Thaletova věta a její důkazy Teorii Thaletovy věty znali uţ dříve Indové a Babyloňané, avšak jen pro speciální případy, ne jako

pravidlo. Je pravděpodobné, ţe se jí Thales začal zabývat právě díky svým cestám do Babylónie.

Tento teorém je pojmenován po něm, protoţe jako první uvedl platný matematický důkaz. První

z historiků, kteří mu větu odkazují, byl Proclus. Později Diogenes Laertius uţitím Pamphilina výroku:

„Thales was the first to ascribe a right-angle triangle within a circle“ (Thales byl první,

kdo do kružnice vepsal pravoúhlý trojúhelník.)38

Tato věta je také zmíněna v Euklidových Základech, knize třetí, problém 33. Dnes ji nejčastěji

uţíváme ke konstrukci trojúhelníků, případně jiných mnohoúhelníků, a k sestrojení tečny z bodu

ke kruţnici. Kruţnice pouţitá v těchto konstrukcích se taktéţ nazývá Thaletova.

4. Thaletova kružnice a konstrukce tečen

Znění Thaletovy věty: Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé.

Jiné znění: Všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu,

jsou pravoúhlé.

Nebo jinak: Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru

označíme A a B a zvolíme libovolný bod C na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je

pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C.

Původní znění: "Středový úhel je dvojnásobek obvodového" Z toho vyplývají předešlá znění.

(Při středovém úhlu 180° - přímka je obvodový úhel pravý - 90°).39

První důkaz (algebraický):

Vycházíme z toho, ţe součet velikostí úhlů v trojúhelníku dá

dohromady 180° a úhly při přeponě rovnoramenného

trojúhelníka jsou shodné.

Víme, ţe trojúhelníky ASC a SBC jsou rovnoramenné, takţe

.

Vnitřní úhly trojúhelníku ABC mají tedy velikosti α, β, α+β, to dá

dohromady 180°.

38

Prof.T.Patronis & D.Patsopoulos The Theorem of Thales: A Study of the naming of theorems in school Geometry textbooks.Patras University. Retrieved 2012-02-12.) 39

Thaletova věta. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-10]. Dost pn z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Thaletova_v%C4%9Bta

5. Thaletova kružnice (důkaz)

14

Druhý důkaz (pomocí trigonometrie):

V soustavě 0xy si určíme O = (0;0), A = (-1;0) a C = (1;0). Bodu B, který dotváří trojúhelník,

přiřadíme souřadnice (cosθ;sinθ). Dokazujeme, ţe úhel ABC je pravý, takţe násobek směrnic přímek

AB a BC se musí rovnat -1. Číselné hodnoty směrnic vyčteme z grafu (viz výše – dané body v soustavě

0xy) a vynásobíme.

Při úpravách jsme použili Pythagorejský součtový vzorec sin2θ + cos

2θ = 1. 40

5.2 Interpretace Thaletovy věty ve Francii Francouzi si pod pojmem Thaletova věta primárně představí jinou větu neţ my. Jejich théorème

de Thalès neboli théorème d'intersection je matematická věta o stejnolehlosti. Za touto větou stojí

legenda, podle níţ Thales objevil onu stejnolehlost na svých cestách do Egypta, kdyţ obdivoval

pyramidy. Na základě podobnosti trojúhelníků a jejich vzájemných proporcí spočítal, ţe poměr délky

stínu člověka (či třeba lodi) k jeho výšce je roven poměru délky stínu pyramidy k její výšce. Při svých

výpočtech nezapomněl k délce stínu pyramidy přičíst polovinu délky její základny – tak vytvořil

pomyslný pravoúhlý trojúhelník, podobný trojúhelníku vytvořenému člověkem a jeho stínem. Takto

spočítal výšku pyramidy (viz obr. 6).41

6. Thaletovo určení výšky pyramidy

Toto znění Thaletovy věty tedy pracuje s poměry a stejnolehlostí za předpokladu rovnoběţnosti. Její

znění:

Budiž trojúhelník ABC a dva body D a E procházející úsečkami AB a AC, tvořící rovnoběžku

DE k úsečce BC.42

40

výpočty z kapitoly 5. převzaty z: Thales' theorem. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05- 0+. ost pn z: http://en.wikipedia.org/wiki/Thales'_theorem 41

Th orè e de Thalès. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05- 7+. ost pn z: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Thal%C3%A8s 42

ta t ž jako (4 – fr.wikipedia.org).

15

Z toho vyplývají vztahy:

Zároveň rovnoběţky vytvoří dva podobné trojúhelníky. Existují dvě moţnosti umístění přímek (resp.

úseček):

7. umístění A 8. umístění B

5.2.1 Euklidův důkaz Thaletovy věty (teorému) o stejnolehlosti:

9. Euklidův důkaz Thaletovy věty

Eukleides z Alexandrie ve své druhé větě šesté knihy Základů také dokazoval tento teorém. Tvrzení

naformuloval následovně:

Když se v trojúhelníku zřídí k jedné straně rovnoběžka, protne strany (druhé) trojúhelníku

úměrně; a když se strany trojúhelníku protnou úměrně, spojnice průsečíků bude rovnoběžkou

(třetí) strany trojúhelníku.43

Z Thaletova teorému tedy víme, ţe trojúhelník je určen třemi spojenými úsečkami AB, BC a CA.

Úsečka DE je rovnoběţná s úsečkou BC a protíná AB v bodě D a AC v bodě E. Z toho vyplývá:

Euklides při dokazování pracoval se shodností trojúhelníků. Výšky trojúhelníků DEB a DEC jsou

stejné dlouhé, takţe plochy těchto trojúhelníků jsou také shodně velké. Poměr plochy libovolného

z nich k ploše jiného libovolného trojúhelníka (třeba DEA) bude tedy roven poměru ploše druhého

z trojúhelníků k onomu zvolenému libovolnému trojúhelníku. Jinými slovy:

44

Trojúhelníky DEB a DEA mají totiţ z bodu E společnou výšku h a trojúhelníky DEC a DEA

společnou výšku h´ z bodu D. Zároveň mají trojúhelníky DEB a DEC společnou odvěsnu DE – jejich

vrcholy B a C pak společně tvoří rovnoběţku BC k úsečku DE.

43

SERVÍT, František. E kleidovy základy (ele enta) *online+. . vyd. Praha: Jednota českých athe atiků, 907, 314 s. [cit. 2014-05-09+. ost pn z: http: .karlin. .c ni.cz ~halas E kleides.pd 44

všechny ate atick vztahy v kapitole 5.2 převzaty z: Th orè e de Thalès. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05- 7+. ost pn z: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Thal%C3%A8s

16

5.3 Pythagoras a hudba Pythagorejské studium se nazývalo Kvadrivia a skládalo se z geometrie, aritmetiky,

astronomie a hudby. Pythagorejci mezi všemi těmito sloţkami vnímali silné spojitosti. Proto dokázali

definovat zákon o úměrnosti výšky tónu na délce struny nebo výšce vzduchového sloupce. Dále

vyslovili zákon harmonie. Ta záleţí například u strun na jejich délce.

K danému tónu získáme ladící tón, jestliţe strunu seškrtíme tak, aby poměr délek vzniklého

úseku a původní struny byl vyjádřen v malých přirozených číslech. Oktávě odpovídá poměr 1:2,

kvintě 2:3 a kvartě 3:4. Definovaný vztah mezi těmito poměry je

.45

Dle Pythagora platí, ţe „věci jsou čísla“, jednička je číslo od Boha, tudíţ základní kámen aritmetiky,

10 je číslo dokonalé, protoţe je součtem prvních čtyř číslic (1 + 2 + 3 + 4 = 10), sudá čísla mají ţenský

princip a lichá muţský.

Jedna z dalších zajímavostí okolo hudby a Pythagorejců je hudební úměra. V té hrají hlavní roli čísla

6, 8, 9, 12. Poměry 6:12, 8:12 a 9:12 dávají popořadě oktávu, kvintu a kvartu. A navíc, číslo 9 je

aritmetický průměr čísel 6 a 12 a číslo 8 je harmonický průměr (

) čísel 6 a 12. Tato čísla nejsou

propojena jen aritmeticky, ale i geometricky. Naše čísla mají úzký vztah ke krychli, která má 6 stran, 8

vrcholů, 12 hran a 9 rovin souměrnosti.46

To souvisí s takzvanými figurálními čísly, které propojují aritmetiku s geometrií. Jednička mezi tyto

čísla nepatří, má speciální postavení – bod je vlastně jednička s vlastí polohou. Figurální čísla vznikla,

kdyţ začali Pythagorejci třídit přirozená čísla do útvarů. Pouţívali metodu pséfofórie, skládali

kamínky do matematických tvarů. Tak přišli s čísly:

1. trojúhelníková

2. čtvercová

3. pětiúhelníková

4. čtyřstěnová

5. krychlová

6. obdélníková

a mnoho dalších47

Za uţití těchto čísel dokázali věty jako „součet sudého a lichého čísla je číslo liché“ a jiné. Navíc

s jejich pomocí rozšířili své znalosti o dělitelnosti.

Pythagoras se také velmi zajímal o harmonii sfér (resp. hudbu sfér).

Koncept hudby sfér odhaluje, ţe kaţdá planeta, hvězda, rostlina, moře nebo skála se

pohybuje ve specifickém rytmu a rezonuje specifickou vibrací. Spousta vibrací je studnicí

starodávné moudrosti, která je zapečetěna v mantrách a mandalách. Kaţdá věc ve vesmíru,

dokonce i celý vesmír neustále vibrují v určitém rytmu. 48

45

BEČVÁŘ, Jindřich. Hrdinský věk řecké matematiky [online]. Jevíčko, 1993[cit. 2014-05-07]. Dostupné

z:http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/400590/DejinyMat_01-1994-1_3.pdf 46

ta t ž. 47

ZHOUF, Jaroslav. Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů [online]. Praha,

2004 [cit. 2014-05-11]. Dostupné z: http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Download/Volne/SUMA_42.pdf.

Příspěvek pro grant. PedF UK. 48

Země zpívá: poslechněte si hlas její magnetosféry. Je to hudba sfér?. In: National geographic: Česko [online].

Praha: National Geographic ČR, 2012 [cit. 2014-05-11]. Dostupné z: http://www.national-

geographic.cz/detail/zeme-zpiva-poslechnete-si-hlas-jeji-magnetosfery-je-to-hudba-sfer-30831/

17

Tento rytmus Pythagoras nazval hudbou sfér a její sloţky vyjádřil čísly. Celý vesmír povaţoval

za matematicky uspořádaný celek. Zároveň jako první pro pojmenování vesmíru pouţil pojem kosmos

neboli „souhrn všeho“, případně „systém mající řád“.49

Pythagorovo pojetí hudebních sfér souviselo také s numerologií. Číslo sedm povaţoval za spojení

boţské trojice a čtyř základních elementů (ţivlů) – spojení ducha s matérií. Proto v sedmi stupních

hudební stupnice viděl celý svět.50

Pythagorova numerologie se zakládala na dvou prastarých

principech:

1. Čísla jsou stopy vedoucí ke skutečné struktuře vesmíru, která je Základem všeho.

2. Jména, která lze převést do čísel, obsahují podstatu svého bytí.51

Zároveň tvrdil, ţe hudba můţe být zredukována na matematické symboly. Hudba sfér se zakládá

na harmonii nebeských těles, které okolo sebe neustále krouţí. Jejich kmitání vydává nadpozemský

zvuk. Pro obyčejného člověka zajímajícího se pouze o materiálno není hudba slyšitelná – Pythagoras ji

slyšet mohl. Na základě toho odhalil léčebné účinky „pozemské hudby“ pro některé nemoci.52

Také naše smysly fungují na základě přijímání různě frekvenčních vibrací vyjádřitelných číselně.

Struktura DNA i hudební kompozice, dle vědců navazujících na Pythagorovu práci, fungují podle

obdobného algoritmu – můţeme tedy část DNA převést na melodii.53

5.4 Euklidova axiomatická výstavba matematiky Axiomatickou výstavbu matematiky (resp. geometrie) Euklides rozvádí v Základech (řecky

Stoicheia, latinsky Elementa). Autorem těchto 13 knih je Euklides z Alexandrie, nikoli Euklides

z Megar, jak je občas chybně uváděno.54

Euklidovy učebnice, případně pouze výňatky z nich, byly aţ

do 19. století pouţívány na základních i středních školách (dnes uţ pouze za účelem zpestření výuky),

jsou přeloţeny snad do všech světových jazyků a staly se druhou nejprodávanější knihou (sbírkou)

světa. První je samozřejmě stále Bible.

První aţ čtvrtá kniha jsou věnovány planimetrii. Pátá kniha Eudoxově teorii proporcí a šestá kniha

podobnosti trojúhelníků. Sedmá aţ devátá kniha pojednávají o teorii čísel, obsahují například

algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele. Devátá kniha se zabývá teorií kvadratických

iracionalit a jejich druhých odmocnin. Poslední tři knihy jsou věnovány stereometrii.55

V Euklidovo axiomatickém systému jde o vyvozování vět ze soustavy definic, axiomů (zásad) a

postulátů (úkolů prvotních). V úvodu k první knize, který je zároveň úvodem k celému dílu, uvádí 5

základních postulátů, 9 axiomů a 23 definic. Jejich správnost vychází z vlastní zkušenosti a praxe,

tudíţ se nedokazují. Uvedeme příklady.

Euklidovy základní postuláty (úkoly prvotné):

1) Dva dané body lze spojit úsečkou, jejíţ koncové body jsou totoţné s těmito stanovenými

body.

49 GROLLOVÁ, Helena. Pythagoras ze Samu (asi 570 - 500 př. n. l.). In: Semestrální práce [online].

[cit. 2014-05-11]. Dostupné z: http://home.zcu.cz/~grollova/1/odkaz1.html 50

Hudba sfér. In: Atlantská škola [online]. 2011 [cit. 2014-05-11]. Dostupné

z: http://www.atlantskaskola.cz/clanky/hudba-sf-r.htm 51

ta t ž jako (49 – Grollová). 52

ta t ž jako (49 – Grollová). 53

ta t ž jako (50 – Atlantská škola). 54

MLODINOW, Leonard. Eukleidovo okno: příběh geometrie od rovnoběžek k hyperprostoru. V Praze: Slovart, 2007. ISBN 978-80-7209-900-9. 55

LÁVIČKA, iroslav. Geometrie 1: Základy geometrie v rovině. . vyd. V Plzni: Západočeská niverzita v Plzni, 2002, 189 s. ISBN 80-708-2861-7.

18

2) Kaţdou úsečku je moţné prodlouţit do nekonečna v obou směrech.

3) K danému bodu lze nakreslit kruţnici s libovolným poloměrem, jejíţ střed leţí v daném bodě.

4) Všechny pravé úhly jsou si rovny.

5) Kdyţ úsečka protíná dvě přímky tak, ţe součet vnitřních úhlů na stejné straně je menší neţ

dva pravé úhly, pak se tyto dvě přímky – prodlouţíme-li je na dané straně – sbíhají.56

Pátý postulát (o rovnoběžkách) byl na formulaci nejsložitější, dokonce sám Euklides se mu dlouhou

dobu vyhýbal. Prvních 28 příkladů ze Základů se existencí postulátu o rovnoběžkách vůbec

nezabývá.57

Euklidovy základní axiomy (zásady):

1) Co se navzájem kryje, navzájem rovno jest.

2) Dvě samotné úsečky ţádné místo neohraničují.

3) Celek je větší neţ díl.

4) Veličiny témuţ rovné i navzájem rovny jsou.

5) Kdyţ se přidají veličiny rovné k rovným, i celky jsou rovny.

6) Odejmou-li se od rovných rovné, zbývající části jsou rovny.

7) Kdyţ se přidají k nerovným rovné, celky jsou nerovny.

8) Dvojnásobky téhoţ vespolek rovny jsou.

9) Polovičky téhoţ vespolek rovny jsou.58

Některé z Euklidových definic:

A) Bod jest, co nemá dílu.

B) Čára je délka bez šířky. Hranicemi čáry jsou body. Úsečka je čára, která se svými body táhne

rovně.

D) Meze jest, co jest něčeho hranicí. Útvar jest, co nějaké nebo nějaké meze objímají.

G) Rovnoběţky jsou takové úsečky, které leţí v téţe rovině a jejichţ jakákoliv prodlouţení se

neprotínají.59

Další věty a poučky uvedené v třinácti oddílech Základů vţdy vycházejí z těchto axiomů, postulátů

a definic. Nejdříve jsou formulovány, pak konstatujeme, co je dáno, a co je třeba zjistit (respektive

dokázat). Na závěr přichází samotný důkaz s odkazy na původní věty. Takto je tvořen jednotný systém

465 vzájemně dokázaných pouček.

Přestoţe mají Euklidovy Základy mnoho nedostatků, nejvíce v oblasti definic (hlavně uţití příliš

abstraktních pojmů bez bliţšího matematického určení), dodnes se k nim při výuce vracíme. Největší

problémy dělali matematikům pojmy jako „část“, „to, co nemá části“, „šířka“, „konec čáry“ a další jim

podobné.60

Jediné, co jim zbývá, je povaţovat tyto pojmy za pojmy základní a dále se jimi nezabývat.

56

ta t ž, 57

LIVIO, Mario. The equation that couldn't be solved: how mathematical genius discovered the language of symmetry. 1st pbk. ed. New York: Simon, 2006. ISBN 978-074-3258-210. 58

EUKLEI ES a Ko entovan Petre VOPĚNKOU. Základy. . vyd. Ny b rk: Otevřeně prospěšná společnost, 2007, s 43. ISBN 80-903-7736-X. 59

ta t ž, 60

UHROVÁ, Helena. Axiomatická výstavba geometrie [online]. Brno, 2008 [cit. 2014-05-07+. ost pn z:http://is.muni.cz/th/104757/pedf_m/axiomaticka_vystavba_geometrie.pdf. iplo ová práce. asarykova niverzita v Brně, Pedagogická ak lta. Vedo cí práce RN r. Květoslava ato šková, CSc.

19

5.5 Archimédův postup k určení přibliţné hodnoty π Číslo π je matematická konstanta, která udává poměr obvodu k průměru jakéhokoliv kruhu

(v euklidovské rovině). Jinak se nazývá Ludolfovo číslo po Ludolphovi van Ceulenovi, případně

Archimédova konstanta po Archimédovi ze Syrakus.61

V době antiky byl Archimédes první, kdo

hodnotu této konstanty určil důsledně a poměrně přesně. Mnoho babylonských, egyptských i čínských

matematiků provedlo vlastní aproximaci, ţádný se však nedostal k tak

důvěryhodnému a odpovídajícímu výsledku. Dřívějším pokusům však chyběl zásadní aspekt –

opakování postupu a zpřesňování výsledku.62

Stejnou metodou postupoval později i Ptolemaios (85-165), Al-Kashi ze Samarkandu (cca 1430),

který spočítal π na 14 desetinných míst, Francois Viéte (1540-1603), který se dostal k 9 desetinným

místům, Adrien van Roomen (1561-1615) – 17 desetinných míst – a nakonec i jiţ zmiňovaný Ludolph

van Ceulen (1540-1610) s 35 desetinnými místy.63

Archimédes tuto hodnotu určil za pouţití vyčerpávací metody – danému kruhu vepsal i opsal

mnohoúhelník. Začal u mnohoúhelníku s šesti stranami, pokračoval na 12, pak 24, 48 a nakonec došel

aţ k 96 stranám.64

Nejunikátnější na jeho metodě je omezení se téměř jenom na aritmetický proces

počítání, v té době v Řecku velmi neobvyklý jev.65

Archimédes ke svým výpočtům pouţil třetí větu

z šesté knihy Euklidových Základů:

Když se úhel trojúhelníku (na temeni) rozpůlí a přímka úhel rozpolující seče též základnu,

úsečky základny budou míti týž poměr jako zbývající strany trojúhelníku; a mají-li úsečky

základny týž poměr jako zbývající strany trojúhelníku, přímka vedená od vrcholu k průsečíku

bude úhel trojúhelníku rozpolovati.66

Stačilo mu tedy soustředit se na délku jedné strany a pozorovat, co se děje s její délkou, kdyţ onu

stranu N-úhelníku rozpůlí, aby vznikl mnohoúhelník s 2N počtem stran. Jak uţ jsme zmínili, počty

začal u šestiúhelníku.

Pro vnější hexagon si vytvořil pomocný trojúhelník AOC (viz obrázek 10) – spojil střed O s dotykem

kolmé tečny, bodem A. Bod A spojil s vrcholem hexagonu C a dokončil trojúhelník opětovným

spojením se středem O. Úhel AOC je 30°.

10. Práce s vnějšími mnohoúhelníky

61

Pí (číslo). In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-09+. ost pn z: http://cs.wikipedia.org/wiki/P%C3%AD_(%C4%8D%C3%ADslo) 62

Archimedes' Approximation of Pi. In: DR. L [online]. 1997 [cit. 2014-05-09+. ost pn z:http://itech.fgcu.edu/faculty/clindsey/mhf4404/archimedes/archimedes.html 63

L dol ovo číslo. In: Cifrikova matematika [online]. 2001-2014 [cit. 2014-05-09+. ost pn z:http://www.matematika.webz.cz/ostatni/ludolfovo/ 64

ta t ž jako (62 – Archi edes‘ Approxi ation o Pi). 65

ta t ž jako (62 – Archi edes‘ Approxi ation o Pi). 66

SERVÍT, František. Eukleidovy základy (elementa) *online+. . vyd. Praha: Jednota českých athe atiků, 907, 314 s. [cit. 2014-05-09+. ost pn z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~halas/Eukleides.pdf

20

Archimédes dále vyvodil následující:

1)

2)

Z tohoto můţeme vyvodit první přibliţnou hodnotu π, vydělíme-li obvod hexagonu průměrem

kruţnice (Archimédes neznal desetinný zápis, pouţíval tedy zlomky.):

Pak pokračoval při dalším určování u dvanáctiúhelníku. Tehdy přišlo na řadu půlení úhlu – vytvořil

tak stranu AD o délce půlky strany pravidelného dvanáctiúhelníku.

Detailnější postup:

Z toho vyplývá

. Pro dvanáctiúhelník by přibliţná hodnota π byla

.

Za uţití Pythagorovy věty a dalšího půlení úhlu Archimédes pokračuje aţ k finálnímu mnohoúhelníku

s 96 stranami. Finální hodnota čísla π je rovna přibliţně 3,1428, coţ Archimédes vyjádřil jako

.

Práce s vnitřním hexagonem se zdála sloţitější. Začal opět vytvořením pomocného trojúhelníku CAB,

kde jednu stranu tvoří průměr AB, druhou stranu spojnice A s vrcholem hexagonu C a poslední stranu

spojnice bodů C a B. Úhel CAB je opět 30°. Archimédes vyvozoval:

11. Práce s vnitřními mnohoúhelníky

Z tohoto trojúhelníku můţeme jako první odhad π odvodit 3,00 – víme, ţe poměr průměru

AB ke straně hexagonu CB se rovná jedné polovině.

Další určování začal půlením úhlu CAB, za přidání bodu D a d. Víme, ţe a

úhly u bodů D a C jsou oba pravé. Trojúhelníky ADB (resp. ACd) a BDd jsou si podobné. Z toho

vyplývá následující:

21

Díky Pythagorovo větě zjistíme, ţe:

Přibliţná hodnota π je rovna 3,1057. Archimédes stejným způsobem pokračuje v půlení úhlů, aţ se

dostane k výsledku:

67

Konečné Archimédovo určení hodnoty π je následovné:

68

5.6 Některé Apolloniovy úlohy a jejich konstrukce Apollonios z Pergy úlohu formuloval a řešil ve svém dvousvazkovém díle O dotycích

(De Tactionibus), které se nedochovalo a známe jej jen z citací z děl Pappa Alexandrijského. Neznáme

tedy přesné znění, pouze Pappovu interpretaci, která zněla přibliţně takto:

Nechť jsou dány tři prvky, z nichž každý může být bodem, přímkou nebo kruhem; má

se narýsovat kruh, který prochází každým z daných bodů a dotýká se daných přímek či kruhů.69

Rozebereme-li Apolloniovu úlohu detailně, vznikne deset samostatných schémat. Obecně mají

schémata nejvýše osm (a nejméně ţádné) řešení:

1. BBB tedy bod, bod, bod

2. BBP tedy bod, bod, přímka

3. BBK tedy bod, bod, kruţnice

4. BPP tedy bod, přímka, přímka

5. BPK tedy bod, přímka, kruţnice

6. BKK tedy bod, kruţnice, kruţnice

7. PPP tedy přímka, přímka, přímka

8. PPK tedy přímka, přímka, kruţnice

9. PKK tedy přímka, kruţnice, kruţnice

10. KKK tedy kruţnice, kruţnice, kruţnice

Úlohou se zabývalo mnoho významných matematiků, včetně Euklida, který ve své čtvrté knize

Základů věnuje hned dvěma typům této úlohy. Tehdy ještě nemohl vědět, ţe bude existovat pro tyto

67

výpočty z kapitoly 5.5 převzaty z: Archimedes Estimate of Pi. In: DelphiForFun [online]. 2010 [cit. 2014-05-09]. ost pn z:http://delphiforfun.org/programs/Math_Topics/Archimedes_PI.htm 68

L dol ovo číslo. In: Cifrikova matematika [online]. 2001-2014 [cit. 2014-05-09+. ost pn z:http://www.matematika.webz.cz/ostatni/ludolfovo/ 69

LIŠKA, Petr. Apolloniova úloha [online]. Brno, 2007 [cit. 2014-05- 8+. ost pn z:http://is.muni.cz/th/150476/prif_b/Bakalarska_prace.pdf. Bakalářská práce. asarykova niverzita.

22

úlohy souhrnný název, v Základech se jedná o konstrukce opsaných či vepsaných kruţnic trojúhelníku

– tudíţ kruţnice procházející třemi body nebo dotýkající se třech přímek.

Další významní matematici, kteří se úlohami zabývali, jsou například Adrian van Roomen, Viétův

vrstevník, který se do řešení pustil pomocí kuţeloseček. Dále Fermat, Newton, Euler a další, kteří uţ

při řešení pouţívali syntetickou i analytickou matematiku. Francouzští matematici Gergonne, Gaultier

a Fouché přišli s dalšími jednoduchými řešeními. Německý matematik Fiedler k řešení vyuţil

cyklografy. Z českých matematiků můţeme uvést J. Sobotku, F. Machovce a V. Jarolímka, kteří

se k řešení dostali přes projektivní geometrii – kolineaci.70

Zvláštním případem Apolloniových úloh jsou takzvané úlohy Pappovy, formulované Pappem

z Alexandrie (3. stol. n. l.), který se jimi zabýval ve svém díle Mathématikai synagogai. Odlišnost

od Apolloniových úloh je v tom, ţe je pevně daný bod dotyku.

Obecné zadání Pappovy úlohy: Jsou dány tři různé prvky (kružnice, přímky, body), z nichž

alespoň jeden je kruhová křivka a alespoň jeden je bod, přičemž tento bod leží na dané

kruhové křivce. Sestrojte kružnici, která se dotýká zadané kruhové křivky v daném bodě a dále

se dotýká další kruhové křivky nebo prochází dalším zadaným bodem.71

Při vytvoření různých kombinací zadaných útvarů vznikne 6 schémat:

1. B(pB) tedy bod a přímka, na níţ leţí bod dotyku

2. B(kB) tedy bod a kruţnice, na níţ leţí bod dotyku

3. p(pB) tedy přímka a přímka, na níţ leţí bod dotyku

4. p(kB) tedy přímka a kruţnice, na níţ leţí bod dotyku

5. k(pB) tedy kruţnice a přímka, na níţ leţí bod dotyku

6. k(kB) tedy kruţnice a kruţnice, na níţ leţí bod dotyku72

Pozn.: v zápisu závorka vždy udává, na kterém geometrickém útvaru se nachází požadovaný bod

dotyku – v některých materiálech vyjádřeno dolním indexem B.

5.6.1 Apolloniova úloha typu ppp (přímka, přímka, přímka)

a) Jsou-li tři dané přímky a, b, c rovnoběţné, pak nemá úloha ţádné řešení.

b) Jsou-li přímky a, b, c různoběţné a protínají se v jednom bodě, pak nemá úloha ţádné řešení.

c) Jsou-li dvě z přímek rovnoběţné a třetí různoběţná, pak úlohu řešíme metodou mnoţiny bodů

daných vlastností.

70

LUTZOVÁ, iroslava. Konstrukční úlohy řešené pomocí Cabri geometrie [online]. Most, 2004 [cit. 2014-05-18]. ost pn z:http://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/MRG/apollo.pdf. Bakalářská práce. Jihočeská niverzita v ČB. 71

Pappovy úlohy. In: PATÁKOVÁ, Eva. Geo etrie.k a.zc .cz *online+. 2005 *cit. 20 4-05-06]. Dostupn z:http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp.html 72

Pappovy úlohy. In: Planimetrie kvalitně [online]. [cit. 2014-05- 8+. ost pn z:http://planimetrie.kvalitne.cz/hledani_pappovyu.html

23

Přímky a||b, přímka c je k nim různoběţná. Hledaná kruţnice leţí na průniku osy pásu tvořeného

přímkami a a b a přímky p, která je rovnoběţná s c a je od c ve vzdálenosti poloměru dané kruţnice

(čili polovinu šířky pásu tvořeného přímkami a, b).

Postup konstrukce:

1. o, oa = ob=r

2. p, p||c, oa=ob=pc=r

3. S, S ∈o ∩ p

4. k, k (S, r)

Diskuse: Úloha má dvě řešení – ve dvou polorovinách

určených přímkou c můţeme sestrojit dvě přímky p, tudíţ

i najít dva středy S.

d) Protínají-li se přímky a, b, c ve třech různých bodech, pak úlohu řešíme metodou mnoţiny bodů

daných vlastností.

Jde vlastně a konstrukci kruţnice trojúhelníku vepsané a tří kruţnic trojúhelníku připsaných. Středy

všech těchto kruţnic leţí na průsečících os úhlů trojúhelníku tvořeného danými přímkami a, b, c.

Úloha má tedy čtyři řešení.73

13. Apolloniova úloha typu ppp 2

73

všechny výpočty a ate atick vztahy v kapitole 5.6. převzaty z: LIŠKA, Petr. Apolloniova úloha [online]. Brno, 2007 [cit. 2014-05- 8+. ost pn z:http://is.muni.cz/th/150476/prif_b/Bakalarska_prace.pdf. Bakalářská práce. asarykova niverzita.

12. Apolloniova úloha typu ppp 1

24

5.7 Proslulé problémy antické matematiky Jedná se o úlohy neřešitelné euklidovskými konstrukcemi, tj. s přesným výsledkem, konečným

počtem kroků a pouze za pouţití kruţítka a pravítka bez stupnice, které byly formulovány v 5. století

př. n. l. Jejich řešení umoţnil aţ rozvoj analytické geometrie před několika stoletími, coţ zároveň

dokázalo neřešitelnost těchto úloh antickým způsobem. Tři základní problémy se nazývají

„Kvadratura kruhu“, „Zdvojení krychle“ (případně „Duplikace krychle“ nebo „Délský

problém“) a „Trisekce úhlu“. K nim se někdy přiřazuje i čtvrtá a pátá úloha – „Rektifikace

kruţnice“ (tím myslíme nalezení úsečky stejné délky jako daná kruţnice) a „Konstrukce některých

pravidelných n-úhelníků“, těmi se ale blíţe zabývat nebudeme.

5.7.1 Kvadratura kruhu

Zadání: K danému kruhu sestrojte čtverec stejného obsahu.

Neřešitelnost této úlohy byla řádně dokázána aţ roku 1882 Ferdinandem von Lindemannem,

který dokázal, ţe číslo je nejen číslo iracionální, ale také transcendentní74

, tedy není

kořenem ţádné algebraické rovnice s koeficienty z oboru racionálních čísel (pozn.: opakem jsou

čísla algebraická). Pouţila-li by se přibliţná hodnota π, pak je moţná i přibliţná hodnota kvadratury

kruhu, to však nesplňuje zadání úlohy. Kdyby se zadání úlohy pozměnilo a povolil by se ke

konstrukci nekonečný počet kroků, pak by kvadratura byla moţná.

Jedním z matematiků, kteří se úlohu snaţili vyřešit, byl Hippokrates z Chiu (5. stol. př. n. l.).

Při svém řešení pracoval s křivočarými útvary, takzvanými menisky (měsíčky), ke kterým sestrojil

s nimi rovnoploché útvary za uţití své věty o „úměrnosti ploch kruhů a čtverců jejich průměrů“.75

14. Hippokratovy menisky

Platí, ţe .

Další z antických matematiků zabývajících se kvadraturou kruhu byl Antifon z Athén.

Ten pracoval pouze teoreticky a to s principem vyčerpání, který zní:

Jestliţe je do kruhu vepsán čtverec a další pravidelné mnohoúhelníky, kaţdý s dvojnásobným

počtem stran (tj. osmiúhelník, šestnáctiúhelník atd.), aţ je kruh vyčerpán, pak se dosáhne

mnohoúhelníku, jehoţ strany budou tak krátké, ţe se ztotoţní s kruhem. Plocha

„případného“ mnohoúhelníku můţe být určena a je ekvivalentní kruhu.76

74

Kvadratura kruhu. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-06+. ost pn z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Kvadratura_kruhu 75

HRUBEŠ, Jaro ír. Historie matematiky v příkladech: 4. Díl. Ostrava: Ateli r ilata, 996, s 4. Scholaforum. ISBN 80-860-5814-X. 76

DONEVSKA, Regina. Ludolfovo číslo [online]. Olomouc, 2009 [cit. 2014-05-07+. ost pn z:http://mant.upol.cz/soubory/OdevzdanePrace/B09/b09-18-rd.pdf. Bakalářská práce. Univerzita Palack ho v Olomouci, Přírodovědecká ak lta. Vedo cí práce gr. Pavla Ko řilová, Ph. .

25

5.7.2 Zdvojení krychle (Délský problém)

Zadání: K dané krychli sestrojte krychli dvojnásobného objemu.

Původně úlohu vyřešil Hippokrates úvahou, ţe ze vztahu

vyplývá vztah

.77

K tomuto závěr pravděpodobně došel podobností řešení o zdvojení čtverce.

Jako zajímavost si můţeme uvést stručný historický kontext této úlohy, jinak nazývané Délský

problém. Kdyţ se v roce 430 př. n. l. rozmohl v Athénách mor, vydali se lidé na ostrov Délos

v Egejském moři, kde se údajně narodil bůh Apollón, pro radu od místních věštců. Řešením jejich

problémů měla být stavba nového oltáře v jejich chrámu, který měl mít dvojnásobný objem toho

současného. Oltář měl tvar krychle, z matematického hlediska měli tedy reduplikovat dvojnásobek

dané krychle – oltáře.78

To bylo za uţití euklidovských konstrukcí nemoţné, jak uvádíme výše.

5.7.3 Trisekce úhlu

Zadání: Daný úhel rozdělte na tři shodné úhly.

Jedno řešení, bohuţel nepřípustné, je metoda vkládání. Vedeme přímku kolmou na jednou z ramen

úhlu, z průsečíku s ramenem druhým pak rovnoběţku s ramenem prvním. Vyznačíme si body

D a E, které jsou od A vzdáleny dvojnásobek vzdálenosti AB. Následně otáčíme a posunujeme

pravítko kolem bodu B, dokud E neleţí na rovnoběţce. Takto jsme vloţili úsečku DE. Její střed si

označíme F – ve vzniklém pravoúhlém trojúhelníku ADE platí

Takţe trojúhelník ABF je rovnoramenný a velikost úhlů ABF a AFB se rovnají. Úhly AEF a FAE

jsou taktéţ shodné. Z toho vyplývá, ţe

79

Další z metod řešení je Archimédova trisekce úhlu. Viz obrázek níţe.

15. Archimédova trisekce úhlu

Při trisekci úhlu AED vycházel Archimédes z následujícího:

Jestliže |AE| = |BC|, pak | BEC / AED 80

77

ta t ž jako (75 – Hr beš, Jaro ír), 78

ROKYTA, Mirko. Trisekce úhlu, kvadratura kruhu a podobné "nemožné úlohy" [online]. 2014 [cit. 2014-05-06]. ost pn z:http://www.talnet.cz/documents/18/39cdd2ad-93d3-4dca-afb4-97796ebeaed8 79

ta t ž jako (75 – Hr beš, Jaro ír). 80

C2' 6 Archi dova trisekce úhl . In: Cabri geometrie [online]. 2004 [cit. 2014-05-13]. Dost pn z:http://cabri.ost.cz/index.php?bunka=bunka_priklad&soubor=_c2&radek=6&obsah2=10

26

Hippias Elidský (cca 5. stol. př. n. l.) studoval křivky, přičemţ objevil křivku kvadratrix, dnes

také nazývanou Hippiova křivka. Je to mnoţina bodů P definována takto:

Budiž ABCD čtverec o straně jednotkové délky a nechť úsečka AB rotuje konstantní úhlovou

rychlostí až do splynutí s AD a úsečka BC se posouvá konstantní rychlostí až do současného

splynutí s AD; průsečík úseček AB a BC označme P.81

Rovnice této křivky je

. Hippiova kvadratrix je pouze její část (resp. větev).

16. Kvadratrix 17. Hippiova kvadratrix (červeně)

Chceme-li rozdělit úhel POA na tři stejné díly, začneme

spuštěním kolmice PP´ na OA z průsečíku P. Dále sestrojíme

bod Q´, kde |AQ´| = 1/3 |AP´|. Sestrojíme k PP´ rovnoběţku

QQ´. Úhel QOA tvoří třetinu úhlu POA.82

18. Trisekce úhlu

81

Křivky. In: Geneze.info [online]. [cit. 2014-05- 3+. ost pn z: http://www.geneze.info/pojmy/subdir/krivky.htm 82

HREŠKOVÁ, Anna. Hippiasová kvadratrix *online+. 2006, R žo berk *cit. 20 4-05- 3+. ost pn z:http://math.ku.sk/tkacik/predmety/download/hm/prace/hreskova.pdf. Se estrálna práca. Katolícka niverzita v R žo berk .

27

6. Závěr aneb co nám matematika antického Řecka přinesla V této projektové práci jsme vybrali dle nás nejvýznamnější matematiky z doby antického Řecka a

další zajímavosti z dané oblasti matematického vědění. Práce nám rozšířila obzory a dala náhled i na

historický a společenský kontext vybraných matematiků. Myslíme si, ţe osvěţení klasických hodin

matematiky ve školách takovými informacemi by zlepšilo vztah mnoha studentů k tomuto předmětu.

Matematika antického Řecka lidstvu přinesla mnoho poznatků, které jsou dodnes stavebním

kamenem k řešení mnoha úloh. Vývojově se matematika v této době posunula o značný kus, přestala

se zakládat pouze na empirickém pozorování a stala se z ní plnohodnotná deduktivní věda. Výsledky

se začaly zakládat na důkazech, které se staly základním poţadavkem řešení kaţdé úlohy.

Pole znalostí a zkoumání se v Řecku rozšiřovalo a matematika se dělila do disciplín předmětem

vymezených, s poměrně volnou stavbou. Euklides nám předloţil své geometrické Základy, jejichţ

název je poměrně trefný. Dodnes se v mnoha zemích pouţívají ke studiu, ať uţ jako hlavní

učebnice či vedlejší materiál. Jeho axiomatický systém výstavby matematiky také neupadl zcela do

zapomnění a v hodinách matematiky se setkáme s jeho důkazy a úlohami pro zpestření výuky.

Od Pythagorejců nám zůstaly mnohé poznatky z aritmetiky. Díky figurálním číslům získali mnoho

základních poznatků o dělení a dalších vzájemných vztazích čísel. Nicméně nejvýznamnějším

pythagorejským objevem zůstává Pythagorova věta. Vzhledem k sektovnímu charakteru pythagorejské

školy máme také poznatky z numerologie a propojení matematiky a hudby. Jak řekl sám

Pythagoras: ,,Čísla jsou základem všeho dění.“83

83

Citáty z kategorie: Věda. In: Poeta.cz [online]. 2000-2014 [cit. 2014-05- 8+. ost pn z:http://www.poeta.cz/citaty/kategorie/veda

28

7. Zdroje

7.1 Literatura: 1. FOLTA, Jaroslav. Dějiny matematiky I. Praha: [Společnost pro dějiny věd a techniky], 2004.

Práce z dějin techniky a přírodních věd. ISBN 80-239-4031-7.

2. JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČB, Katedra Matematiky. Dějiny matematiky [online]. 2010

[cit. 2014-05-05]. Dostupné z: https: www.pf.jcu.cz stru katedry m knihy DejinyM.pdf

3. T. Walter Wallbank, Alastair M. Taylor, Nels M. Bailkey, George F. Jewsbury: Civilization

Past & Present (Single volume, 5th edition)

4. HRUBEŠ, Jaromír. Historie matematiky v příkladech: 4. Díl. Ostrava: Ateliér Milata, 1996,

32 s. Scholaforum. ISBN 80-860-5814-X.

5. LIVIO, Mario. The equation that couldn't be solved: how mathematical genius discovered the

language of symmetry. 1st pbk. ed. New York: Simon, 2006. ISBN 978-074-3258-210.

6. UHROVÁ, Helena. Axiomatická výstavba geometrie [online]. Brno, 2008 [cit. 2014-05-07].

Dostupné z:http://is.muni.cz/th/104757/pedf_m/axiomaticka_vystavba_geometrie.pdf.

Diplomová práce. Masarykova univerzita v Brně, Pedagogická fakulta. Vedoucí práce RNDr.

Květoslava Matoušková, CSc.

7. EUKLEIDES a Komentované Petrem VOPĚNKOU. Základy. 1. vyd. Nymburk: Otevřeně

prospěšná společnost, 2007. ISBN 80-903-7736-X.

8. LÁVIČKA, Miroslav. Geometrie 1: Základy geometrie v rovině. 1. vyd. V Plzni: Západočeská

univerzita v Plzni, 2002, 189 s. ISBN 80-708-2861-7.

9. MLODINOW, Leonard. Eukleidovo okno: příběh geometrie od rovnoběžek k hyperprostoru.

V Praze: Slovart, 2007, 259 s. ISBN 978-80-7209-900-9.

10. ROKYTA, Mirko. Trisekce úhlu, kvadratura kruhu a podobné "nemožné úlohy" [online].

2014 [cit. 2014-05-06]. Dostupné z:http://www.talnet.cz/documents/18/39cdd2ad-93d3-4dca-

afb4-97796ebeaed8

11. MERZBACH, Uta C a Carl B BOYER. A history of mathematics. 3rd ed. Hoboken, N.J.: John

Wiley, c2011, xx, 668 p. ISBN 978-047-0525-487.

12. DONEVSKA, Regina. Ludolfovo číslo [online]. Olomouc, 2009 [cit. 2014-05-07]. Dostupné

z:http://mant.upol.cz/soubory/OdevzdanePrace/B09/b09-18-rd.pdf. Bakalářská práce.

Univerzita Palackého v Olomouci, Přírodovědecká fakulta. Vedoucí práce Mgr. Pavla

Kouřilová, Ph.D.

13. SERVÍT, František. Eukleidovy základy (elementa) [online]. 1. vyd. Praha: Jednota českých

mathematiků, 1907, 314 s. [cit. 2014-05-09]. Dostupné

z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~halas/Eukleides.pdf

7.2 Internet: 1. Apolloniovy úlohy. In: PATÁKOVÁ, Eva. Geometrie.kma.zcu.cz [online]. 2005 [cit. 2014-

05-06]. Dostupné z:http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/apoll/apoll.html

2. Appolonius z Pergy. In: REICHL, Jaroslav. Multimediální encyklopedie fyziky [online]. 2006-

2014 [cit. 2014-05-06+. ost pn z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1430-

apollonius-z-pergy

3. Apollonios z Pergy. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA):

Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-07]. Dostupné z: 1.

http://cs.wikipedia.org/wiki/Apoll%C3%B3nios_z_Pergy

4. Appolónios z Pergy. In: Leccos.com [online]. [cit. 2014-05-06+. ost pn

z: http://leccos.com/index.php/clanky/apollonios-z-pergy

29

5. Thalés z Milétu. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA):

Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-07]. Dostupné z: 5.

http://cs.wikipedia.org/wiki/Thal%C3%A9s_z_Mil%C3%A9tu

6. Tháles z Milétu. In: HRÁBEK, Martin. Geneze.info [online]. [cit. 2014-05-06]. Dostupné

z:http://www.geneze.info/jmena/osobnosti/thales_z_miletu.htm

7. Thales z il t : První řecký ilozo ?. In: ŽivotopisyOnline.cz [online]. [cit. 2014-05-06].

ost pn z: Thal s z il t : První řecký ilozo ?. In: *online]. [cit. 2014-05-06+. ost pn z:

http://zivotopisyonline.cz/thales-z-miletu-624-pr-n-l-543-pr-n-l-prvni-recky-filozof/

8. Archimedes. In: Techmania [online]. 2008 [cit. 2014-05-06+. ost pn

z: http://www.techmania.cz/info.php?inf=339

9. Archimédés. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia

Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-06]. Dostupné

z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Archim%C3%A9d%C3%A9s

10. BUREŠ, Jiří. Archi edes ze Syrak s. In: Converter [online]. 2002 [cit. 2014-05-06+. ost pn

z:http://www.converter.cz/fyzici/archimedes.htm

11. Neřešitelné matematické úlohy. In: REICHL, Jaroslav. Multimediální encyklopedie

matematiky [online]. 2006-2014 [cit. 2014-05-07]. Dostupné

z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1438-neresitelne-matematicke-ulohy

12. Kvadratura kruhu. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA):

Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-06+. ost pn

z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Kvadratura_kruhu

13. Perličky o čísle Pí a kvadrat ře kr h . In: Scienceworld [online]. 2011 [cit. 2014-05-07].

ost pn z:http://www.scienceworld.cz/neziva-priroda/perlicky-o-cisle-pi-a-kvadrature-

kruhu-1921/

14. OLŠIAKOVÁ, Viera. Euclides z Alexandrie [online]. Ruţomberk, 2008 2009 [cit. 2014-05-

08]. Dostupné z:http://math.ku.sk/tkacik/predmety/download/hm/prace/olsiakova.pdf.

Semestrálna práca. Katolícka univerzita, Pedagogická fakulta.

15. Pythagoras of Samos. In: The MacTutor History of Mathematics archive [online]. 1999 [cit.

2014-05-08]. Dostupné z:http://www-history.mcs.st-

and.ac.uk/history/Printonly/Pythagoras.html

16. Pythagoras. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia

Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-08]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Pythagoras

17. Pí (číslo). In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia

Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-09]. Dostupné

z: http://cs.wikipedia.org/wiki/P%C3%AD_(%C4%8D%C3%ADslo)

18. Archimedes Estimate of Pi. In: DelphiForFun [online]. 2010 [cit. 2014-05-09]. Dostupné

z:http://delphiforfun.org/programs/Math_Topics/Archimedes_PI.htm

19. Archimedes' Approximation of Pi. In: DR. L [online]. 1997 [cit. 2014-05-09]. Dostupné

z:http://itech.fgcu.edu/faculty/clindsey/mhf4404/archimedes/archimedes.html

20. Ludolfovo číslo. In: Cifrikova matematika [online]. 2001-2014 [cit. 2014-05-09]. Dostupné

z:http://www.matematika.webz.cz/ostatni/ludolfovo/

21. Thaletova věta. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia

Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-10]. Dostupné

z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Thaletova_v%C4%9Bta

22. Prof.T.Patronis & D.Patsopoulos The Theorem of Thales: A Study of the naming of theorems

in school Geometry textbooks.Patras University. Retrieved 2012-02-12.)

30

23. Thales' theorem. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA):

Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-10]. Dostupné

z: http://en.wikipedia.org/wiki/Thales'_theorem

24. ZHOUF, Jaroslav. Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších

řádů [online]. Praha, 2004 [cit. 2014-05-11]. Dostupné

z: http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Download/Volne/SUMA_42.pdf. Příspěvek pro grant.

PedF UK.

25. GROLLOVÁ, Helena. Pythagoras ze Samu (asi 570 - 500 př. n. l.). In: Semestrální

práce [online]. [cit. 2014-05-11]. Dostupné z: http://home.zcu.cz/~grollova/1/odkaz1.html

26. Hudba sfér. In: Atlantská škola [online]. 2011 [cit. 2014-05-11]. Dostupné

z: http://www.atlantskaskola.cz/clanky/hudba-sf-r.htm

27. Země zpívá: poslechněte si hlas její magnetosféry. Je to hudba sfér?. In: National geographic:

Česko [online]. Praha: National Geographic ČR, 2012 [cit. 2014-05-11]. Dostupné

z: http://www.national-geographic.cz/detail/zeme-zpiva-poslechnete-si-hlas-jeji-

magnetosfery-je-to-hudba-sfer-30831/

28. C2' 6 Archimédova trisekce úhlu. In: Cabri geometrie [online]. 2004 [cit. 2014-05-13].

Dostupné

z:http://cabri.ost.cz/index.php?bunka=bunka_priklad&soubor=_c2&radek=6&obsah2=10

29. Křivky. In: Geneze.info [online]. [cit. 2014-05-13]. Dostupné

z: http://www.geneze.info/pojmy/subdir/krivky.htm

30. HREŠKOVÁ, Anna. Hippiasová kvadratrix [online]. 2006, Ruţomberk [cit. 2014-05-13].

Dostupné z:http://math.ku.sk/tkacik/predmety/download/hm/prace/hreskova.pdf. Semestrálna

práca. Katolícka univerzita v Ruţomberku.

31. Archimedes of Syracuse. In: The MacTutor History of Mathematics archive [online]. 1999 [cit.

2014-05-13]. Dostupné z:http://www-history.mcs.st-

and.ac.uk/history/Biographies/Archimedes.html

32. Archimedes. In: Archimedes [online]. [cit. 2014-05-13]. Dostupné z:

https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html

33. Théorème de Thalès. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA):

Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-17]. Dostupné

z: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Thal%C3%A8s

34. LIŠKA, Petr. Apolloniova úloha [online]. Brno, 2007 [cit. 2014-05-18]. Dostupné

z:http://is.muni.cz/th/150476/prif_b/Bakalarska_prace.pdf. Bakalářská práce. Masarykova

univerzita.

35. LUTZOVÁ, Miroslava. Konstrukční úlohy řešené pomocí Cabri geometrie [online]. Most,

2004 [cit. 2014-05-18]. Dostupné z:http://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/MRG/apollo.pdf.

Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v ČB.

36. Pappovy úlohy. In: Planimetrie kvalitně [online]. [cit. 2014-05-18]. Dostupné

z:http://planimetrie.kvalitne.cz/hledani_pappovyu.html

7.3 Obrázky (dle pořadí v práci): Mapa významných míst pro rozvoj matematiky: JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČB, Katedra

Matematiky. Dějiny matematiky [online]. 2010 [cit. 2014-05-05]. Dostupné z:

https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/knihy/DejinyM.pdf

Číslice herodiánské z 2. stol. př. n. l., Číslice iónské vyuţívající alfabetu: FOLTA, Jaroslav. Dějiny

matematiky I. Praha: [Společnost pro dějiny věd a techniky], 2004, s. 89. Práce z dějin techniky a

přírodních věd. ISBN 80-239-4031-7.

31

Thaletova kruţnice a konstrukce tečen, Thaletova kruţnice (důkaz): Thaletova věta. In: Wikipedia: the

free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-10].

Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Thaletova_v%C4%9Bta

Thaletovo určení výšky pyramidy: Theoreme de Thales. In: SUQUET, Emilien. Automaths [online].

[cit. 2014-05-17]. Dostupné z:http://www.automaths.com/3/cours/3_Thales_C.pdf (+ vlastní úpravy)

Umístění A, Umístění B, Euklidův důkaz Thaletovy věty: Théorème de Thalès. In: Wikipedia: the free

encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2014 [cit. 2014-05-17].

Dostupné z: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Thal%C3%A8s

Práce s vnějšími mnohoúhelníky, Práce s vnitřními mnohoúhelníky: Archimedes Estimate of Pi.

In: DelphiForFun [online]. 2010 [cit. 2014-05-09]. Dostupné

z:http://delphiforfun.org/programs/Math_Topics/Archimedes_PI.htm

Apolloniova úloha typu ppp 1, Apolloniova úloha typu ppp 2: LIŠKA, Petr. Apolloniova

úloha [online]. Brno, 2007 [cit. 2014-05-18]. Dostupné

z:http://is.muni.cz/th/150476/prif_b/Bakalarska_prace.pdf. Bakalářská práce. Masarykova univerzita.

Hippokratovy menisky: BEČVÁŘ, Jindřich. Hrdinský věk řecké matematiky [online]. Jevíčko, 1993,

s 80.[cit. 2014-05-07]. Dostupné

z:http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/400590/DejinyMat_01-1994-1_3.pdf (+ vlastní úpravy –

přidání popisných písmen)

Archimédova trisekce úhlu: C2' 6 Archimédova trisekce úhlu. In: Cabri geometrie [online]. 2004 [cit.

2014-05-13]. Dostupné

z:http://cabri.ost.cz/index.php?bunka=bunka_priklad&soubor=_c2&radek=6&obsah2=10

Kvadratrix: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Quadratrix.gif

Hippiova kvadratrix (červeně): Dinostratus quadratrix. In: Encyclopedia of Mathematics [online].

2014 [cit. 2014-05-13]. Dostupné

z:http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Dinostratus_quadratrix

8. Rejstřík osobností zmíněných v práci (abecedně)

Aischylos (525 – 456 př. n. l.) – řecký dramatik píšící tragedie, např. Peršané, Spoutaný Prométheus.

Anaximandros (610-546 př. n. l.), Anaximenés – filosofové, představitelé mílétské školy, žáci Thaleta.

Archytas (428-347 př. n. l.) – matematik, astronom, filozof a politik, pythagorejec, definoval

harmonický průměr, zabýval se duplikací krychle.

Erastothenes (274-194 př. n. l.) – matematik, astronom a největší geograf antického Řecka, také

správce alexandrijské knihovny. Položil základy geografie jako samostatné vědy.

Eudoxos (408-355 př. n. l.) – astronom, matematik a filozof, ve svých vědeckých úvahách vycházel

výhradně z pozorování.

Eukleides z Megary (450-370 př. n. l.) – filosof, žák Sokratův, zakladatel megarské školy.

Eutokios (480-540) – matematik známý díky svým komentářům k dílům Archiméda a Apollónia.

Francois Viéte (1540-1603) – francouzský matematik a advokát, vymyslel nekonečný součin pro

vyjádření čísla π.

32

Hippasus (5. stol. př. n. l.) – předsokratovský filozof a matematik, považován za objevitele

iracionálních čísel.

Hippokrates z Chiu (5. stol. př. n. l.) – řecký filozof a matematik, Euklidův předchůdce, snažil se

shrnout geometrické poznatky, zachoval se však jen zlomek věnovaný meniskům (měsíčkům).

Homér – nejstarší známý řecký básník, autor epických básní Ilias a Odyssea.

Isaac Newton (1643-1727) – anglický fyzik, matematik a astronom, přírodní filosof a teolog. Položil

základy mechaniky se zákony o gravitaci a pohybu.

Klaudios Ptolemaios (85-165 n. l.) – řecký matematik, geograf a astronom žijící v Alexandrii.

Leonhard Euler (1707-1783) – švýcarský matematik a fyzik, věnoval se diferenciálním počtům a teorii

grafů. Proslul také v mechanické analýze, optice a astronomii.

Ludolph van Ceulen (1540-1610) – německý matematik, proslavil se výpočtem číselného hodnoty π.

Pappos z Alexandrie (cca 290-350 n. l.) – matematik a astronom, známý hlavně svou sbírkou

Synagogé a Pappovou geometrickou větou.

Pierre de Fermat (1601-1665) – francouzský matematik, zabýval se teorií čísel a pravděpodobnosti,

matematickou analýzou a analytickou geometrií.

Plútarchos (46-127 n. l.) – řecký spisovatel, historik a filozof, autor mnoha životopisů antických Řeků i

Římanů.

Theaitétos (5. 4. stol. př. n. l.) – řecký matematik, Platón dle něj pojmenoval jeden svůj spis.