Zadání V. sérievyfuk.mff.cuni.cz/_media/ulohy/r7/s5/serie5.pdf · 2019. 11. 9. · byla ve...

Korespondenční seminář MFF UK pro základní školy ročník VII číslo 5/7

Milí kamarádi,

do rukou se vám dostala již pátá brožurka letošního ročníku. V ní čeká tradičně 7 úloh a Vý-fučtení tentokrát zaměřené na elektrické obvody. Mnozí z vás také spolu s brožurkou dostanoupozvánku na tábor, který se letos bude konat od 19. 8. do 1. 9. v Pelhřimově. Tradičně budepřipraveno spousta her, fyziky a skvělých zážitků.

Před letním táborem nás však ještě čeká ještě Jarní setkání, jež se bude konat v termínu27.–29. 4. v Českých Budějovicích. Opět se můžete těšit na mnoho zajímavých aktivit a víkendstrávený s ostatními řešiteli a organizátory. Na obě akce se můžete přihlašovat v naší databázi.

Organizátoř[email protected]

Zadání V. série

Termín uploadu: 9. 4. 2018 20.00Termín odeslání: N/A

Úloha V.1 . . . Platón » ¼ 5 bodůLidé byli již od starověku fascinováni geometrií a souměrností. Jedním ze symbolů dokonalostibyla ve starověkém Řecku takzvaná platónská tělesa. To jsou tělesa, jejichž stěny jsou shodnépravidelné mnohoúhelníky a existuje jich celkem pět – čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěna dvacetistěn. V antice jim byla přiřazována symbolika pěti prvků. Ovšem i ze současnéhopohledu mají tato tělesa některé zajímavé vlastnosti, například se velmi často objevují ve tvarechkrystalů.

Na našem webu1 můžete najít sítě těchto těles. Vaším úkolem bude nejprve vystřihnout sítěa slepit z nich tělesa (nezapomeňte poslat fotku) a poté u každého spočítat všechny vrcholy,hrany a stěny a zapsat tyto počty do tabulky. Souvisí spolu nějak tato čísla pro každé těleso?Zkuste najít jednoduchý vzorec, který je vždy spojuje.

1http://vyfuk.mff.cuni.cz/_media/ulohy/r7/s5/platon.pdf

mailto:[email protected]

http://vyfuk.mff.cuni.cz/_media/ulohy/r7/s5/platon.pdf


Úloha V.2 . . . Babylonská » ¼ ½ ¾ 6 bodůChceme-li vyjádřit některá čísla dostatečně přesně, musíme využít v desítkové soustavě mnohocifer. Hodně jich ale ušetříme, použijeme-li šedesátkovou soustavu. V této soustavě počítalinapříklad staří Babyloňané. Zapište na tři „šedesátinná“ místa čísla

√2 a π a zjistěte, na kolik

desetinných míst v desítkové soustavě jsou takto zapsaná čísla přesná.Nápověda: Šedesátková soustava používá místo přechodu přes desítku přechod až přes še-

desátku. Správně bychom potřebovali šedesát různých číslic, avšak pokud si uvědomíme, žedesetinná čísla můžeme zapsat i ve formě zlomků, na příklad 2,34 = 2 + 3/10 + 4/102, můžemeobdobným způsobem zapisovat čísla v šedesátkové soustavě s využitím klasických číslic – vejmenovatelích zlomků se budou vyskytovat mocniny 60 udávající „šedesátinná“ místa a čitatelébudou moci nabývat šedesáti různých „čísel“ v rozsahu 0–59. Můžete si například ověřit, žedesítkové číslo 3,56 se dá zapsat 3;33,36 jako šedesátkové, kde čárkou oddělujeme šedesátkovéčíslice a středníkem nahrazujeme „šedesátinnou čárku“.

Úloha V.3 . . . Kapesné » ¼ ½ ¾ 6 bodůPavla zjistila, že jí stávající výše jejího kapesného nestačí. Rozhodla se, že každý rok na Silvestra(31. 12.) projde Prahou a sesbírá peníze, které lidé poztráceli. Podle jejího odhadu každý denupustí na zem jednu korunu 0,1 % (tzn. jedno promile) obyvatel Prahy, v níž žije konstantnípočet 1 milion lidí. Pavla sbírá ztracené koruny pouze jediný den v roce, a proto dokáže sesbíratpouze 5% z celkového obnosu peněz, který leží na zemi. Předpokládejme, že na chodnících nazačátku roku 2018 neležela jediná ztracená mince. Pavla šla poprvé sbírat ztracené mince nakonci roku 2018, tedy 31. 12. 2018, a nikdo jiný než ona peníze ze země nesbírá. Kolik penězPavla nasbírá za 5 let? Uvažujte, že jsou všechny roky dlouhé 365 dní.

Úloha V.4 . . . Vyhlídkový let » ¼ ½ ¾ 6 bodůOrganizátoři Výfuku se rozhodli pro víkendový výlet v horkovzdušném balónu. Jako fyzicivěří, že ho zvládnou uřídit sami, jenže právě teď nechtěně zrychleně klesají. Nenafouknutýbalón i s nákladem váží mB = 400 kg, nafouknutý má tvar koule s poloměrem R = 8 m. Jdeo typický balón s hořákem, který může vyměňovat vzduch s okolím (okolní vzduch má tlakp = 105 Pa a hustotu ϱvz = 1,2 kg·m−3). Na jakou teplotu T musí organizátoři hořákem zahřátvzduch v balónu, aby zastavili zrychlování směrem dolů? Mezi hustotou vzduchu v balónu a jehoteplotou platí vztah ϱ = k · p/T , kde k

.= 3,37 · 10−3 kg·K·m−3·Pa−1 a T je teplota v kelvinech.

Úloha V.5 . . . Družice » ¼ ½ ¾ H 7 bodůVýfučí Kosmická Agentura (VKA) se rozhodla vyslat do vesmíru svoji první sondu, která máověřit nové technologie k návrhu druhé sondy. Mise druhé sondy už má směřovat k Marsus cílem prozkoumat zde možnosti založení prvního trvale osídleného města. Při výzkumu zaúčelem splnění tohoto cíle se ukázalo, že největší problém dělá napájení družic.

1. Astronomové zjistili, že výkon Slunce je 3,8·1026 W a že je vyzařován rovnoměrně do všechsměrů.2 Jaký je výkon slunečního záření na metr čtvereční v blízkosti Země? VzdálenostZemě–Slunce je 150 · 106 km.

2Tento děj si můžeme představit jako děj velmi podobný tomu, kdy je vyzařováno světlo z žárovky.

2


2. Konstruktéři z VKA se rozhodli první sondu Výfučkomut 1 napájet pomocí solárníchpanelů. Ty jsou obdélníkového tvaru o rozměrech 5 m × 1 m a mohou se natáčet podleosy rovnoběžné se svojí delší stranou, viz obrázek ??. Jaký výkon budou panely dodávatVýfučkomutovi 1, bude-li na ně sluneční záření dopadat po úhlem 90, 60, 30 a 0,a jejich účinnost je η = 20 %?

3. Z mise Výfučkomuta 1 se konstruktéři poučili, a proto pro misi k Marsu postavili Výfuč-komut 2 – sondu ve tvaru pravidelného trojbokého hranolu o hraně 1 m a výšce 2 m, vizobrázek ??. Na rozdíl od první má tato solární panely (stejné účinnosti) na všech třechbočních stěnách, přičemž bude udržovat osu (tu, která prochází podstavami) kolmou narovinu oběhu kolem Slunce. Při jakém natočení vůči Slunci má tehdy sonda nejmenšípříkon?Konstruktéři chtěli zjistit, jestli i při tomto minimálním výkonu sonda může přežít, než seze Země dostane na Mars. Pomozte jim a spočítejte, v jaké vzdálenosti od Slunce můžesonda nejdále pracovat, pokud k fungování potřebuje stálý příkon 200 W? Zvládne tedycestu na Mars z energetického hlediska? Mars je od Slunce vzdálen zhruba 228 · 106 km.

Úloha V.E . . . Sextant » ¼ ½ ¾ 7 bodůV minulém Výfučtení jsme se bavili o různých způsobech, jak v astronomii stanovit polohutělesa. Představili jsme si nebeský souřadnicový systém. Pro astronomii však nestačí jen popisoblohy – musíme být schopni ještě polohu těles na obloze změřit. Toto se dneska provádí pomocívšemožných komplikovaných dalekohledů a teleskopů, nicméně zvládnout doma to může alespoňna základní úrovni každý! Podle následujícího návodu si proto zkuste postavit vlastní sextant,zařízení na měření úhlů vzdálených objektů, jako například hvězd.

Ačkoliv se sextantem dokážeme naměřit docela dost věcí, k jeho výrobě potřebujeme jen párlehce dostupných předmětů – úhloměr, provázek, nějaký středně těžký předmět, který posloužíjako závaží, a brčko. Na úhloměr do středu vodorovné části připojte provázek dlouhý alespoň30 cm, na kterém je na konci zavěšeno malé závaží. Podél pravítka na úhloměru přilepte lepicípáskou brčko – to bude sloužit jako teleskop. Výsledek by měl potom vypadat podobně jako naobrázku vpravo. Odečet úhlové výšky provádějte tak, že namíříte brčkem na objekt, provázek

Zde odečteš úhel

volně visí k zemi (viz odkaz pod čarou). Úhel je vyznačen na(používejte hodnoty od 0 do 90) stupnici úhloměru. Úhlovávýška nad obzorem je hodnota po odečtení naměřeného úhlu φod 90.

Postavený sextant využijte k tomu, abyste zjistili, v jakévýšce nad obzorem se nachází Polárka. Dále kompasem změř-te azimut hvězdy Castor ze souhvězdí Blíženci3 (tj. úhlovouvzdálenost od severu) a zaznamenejte si čas měření. Změře-nou hodnotu úhlů a další potřebné údaje zadejte do připravenékalkulačky na stránkách Výfuku.4 Obdobně zkuste určit svojipozici pomocí hvězdy Regulus ze souhvězdí Lva. Na závěr sezkuste zamyslet nad všemi možnými chybami, které do měřenípřispívají.

3Mapu hvězdné oblohy můžete nalézt například na http://bit.ly/2DyuL6S.4Dostupné na adrese http://vyfuk.mff.cuni.cz/ulohy/r7/s5.

3

http://bit.ly/2DyuL6S

http://vyfuk.mff.cuni.cz/ulohy/r7/s5


Úloha V.C . . . Bezejmenná » ¼ ½ ¾ 7 bodůVýfuček chce tentokrát vánoční světélka s dostatečným předstihem. Ví se, že je od přírodyvelmi šikovný, a proto se rozhodl si svá světélka svépomocí vyrobit. Nyní se nachází ve fázi,kdy má světélka už sice vyrobená, ale přemýšlí, jak je má vlastně zapojit všechny dohromady.Rozhodně nechce, aby mu z nich začaly létat jiskry a zkratem mu zapálily třeba stromeček!Ví, že každou jeho žárovičkou má procházet proud v rozmezí 0,1–3 A a na každé z nich nesmínapětí přesáhnout hodnotu 10 V. Jeho žárovičky mají odpor 10 Ω a k jejich napájení Výfučekpoužívá ideální zdroj napětí U = 25 V.

1. Výfuček přemýšlí, jestli zapojit všechny žárovičky paralelně, nebo sériově. Jaké bude na-pětí na jednotlivých žárovičkách a jaký jimi bude procházet proud v obou zapojeních,použije-li Výfuček pouze 5 žároviček? Budou při některém z těchto zapojení žárovičkysvítit?

2. Výfuček však má žároviček mnohem více, a tak přemýšlí o tom, kolik nejvíce a koliknejméně jich může zapojit sériově. Pomozte mu a spočítejte proud a napětí pro n sériovězapojených žároviček a určete, pro jaká n žárovičky svítí.

3. Nakonec se ale rozhodl, že nejlepší bude žárovičky zapojit do tzv. R-2R sítě, jejíž schémavidíte na obrázku ??. Jaký je odpor této sítě, jestliže je nekonečná?

4. Výfuček s překvapením zjistil, že zapomněl na odpor drátů. Jaký je odpor celé nekonečnésítě, pokud dráty mají mezi každými dvěma uzly odpor 0,5 Ω?

Výfučtení: Elektrické obvody

V tomto Výfučtení netradičně opustíme část fyziky nám důkladně známou a podíváme se na fy-zikální oblast, která se zabývá elektřinou a elektrickými obvody. Řekneme si něco málo o základ-ních veličinách a součástkách, jejich nejčastějším zapojení a nakonec si povíme i o nekonečnýchobvodech.

ÚvodemNejdříve si však připomeňme, co to vlastně je elektrický proud. S elektrickým proudem sekaždý v 21. století setkal, ať chce, nebo ne. Pomocí tohoto jevu poháníme mobilní telefony,počítače, některá auta a mnoho dalších zařízení. Chápání tohoto fenoménu se proto můžehodit ať už se jím budeme zabývat blíže, či ne. Ve skutečnosti za během elektroniky stojí proudelektronů – částic, které se za běžných okolností nachází v atomech.5 Někdy se však kvůli vnějšímpodmínkám vydají na cestu mezi jednotlivými atomy a takovému pohybu více elektronů říkámeelektrický proud.

K tomuto jevu však nemůže dojít v každé látce. Rozlišujeme vodiče, ve kterých k němudojít může (vedou proud), nevodiče (izolanty), které proud nevedou, a polovodiče, které proud

5Pokud se o vnitřní struktuře atomů chcete dozvědět víc, doporučujeme Výfučtení 3. série 6. ročníku.

4


vedou za určitých podmínek. Typickým příkladem vodiče je měď, velmi dobrým vodičem je izlato.6 Asi nejběžnější izolant je plast a polovodič křemík.

Proud a napětíNejdříve si představíme dvě zcela základní elektrické veličiny, pomocí kterých můžeme popsatpohyb elektronů vodičem – elektrický proud a napětí.

Proudem myslíme v elektrických obvodech množství náboje (počet elektronů), který protečevodičem (o daném průřezu) za určitý čas. Velikost procházejícího proudu se běžně značí písme-nem I s jednotkou ampér, značka A. Proud definujeme jako I = ∆Q/∆t (coulomb / sekunda),což vyjadřuje, jak velký náboj proteče vodičem za daný časový interval. Pro snazší pochopeníproudu a dalších elektrických veličin si můžete představit uspořádaný pohyb nesčetně maličkýchelektronů, které dohromady tvoří elektrický proud, podobně jako uspořádaný pohyb nesčetněkapek vody (popř. molekul vody), které dohromady tvoří např. vodopád. Tato analogie, kdy sielektrický proud představíme jako tok vody, dokáže poměrně špatně představitelnou veličinuproměnit v něco, s čím máme každodenní zkušenost, a překvapivě pravdivě a dobře funguje.

Elektrické napětí představuje sílu, která tlačí náboje z jednoho bodu do druhého. Značímeho U a má jednotku V (volt). Elektrické napětí vždy určujeme mezi dvěma body. V naší vodníanalogii připodobníme elektrické napětí k výšce vodního spádu, čímž myslíme rozdíl výšek mezidvěma body. Čím vyšší je spád, tím rychleji proudí voda, resp. tím je větší elektrický proud.

V elektrotechnice se pro zjednodušení nezabýváme všemi místy na obvodu, nýbrž jen tzv. uz-ly – místy, kde se vodič větví. Jedná se o významná místa, které nám obvod rozdělují do úseků,v nichž má zapojení stejné vlastnosti. O uzlech mluvíme také jako o místech s různým poten-ciálem. Potenciál je další elektrická veličina φ, kterou zde jen letmo zmíníme a v naší analogiiji připodobníme k výšce kopce v uzlu. Elektrické napětí mezi dvěma uzly se rovná rozdílu po-tenciálů v těchto bodech, stejně jako pomocí rozdílu dvou výšek můžeme určit spád kopce, zekterého naše pomyslná voda teče. Proto je napětí mezi dvěma uzly o stejném potenciálu rovnonule a žádný proud mezi nimi neteče. Tuto poučku je dobré si zapamatovat, protože se častovyužívá pro zjednodušení složitějších obvodů. Další velmi důležitou poučkou je fakt, že proudse nikde v obvodu neztrácí ani nehromadí. To také znamená, že veškerý proud, který vteče donějakého uzlu, z něj taky musí vytéct.

Existují dva základní typy proudu a napětí – stejnosměrné a střídavé. Stejnosměrné mámenapříklad v mobilních telefonech a v bateriích, zatímco střídavé v zásuvce.7 Střídavé veličiny, narozdíl od stejnosměrných, svoji velikost periodicky (tedy střídavě) mění v čase a stejnosměrnézůstávají konstantní. My se zatím pro jednoduchost budeme zabývat pouze stejnosměrnýmproudem.

Ohmův zákon a odpor vodičeKaždý materiál je charakterizován elektrickým odporem, odvozenou fyzikální veličinou popisu-jící schopnost vodiče vést elektrický proud, která se značí R a má jednotku ohm Ω. Jedná seo vlastnost materiálu, která závisí na mnoha faktorech, např. na teplotě. Nicméně tyto změny

6Zlato má navíc značnou chemickou odolnost a prakticky nekoroduje, proto se z něj např. vyrábí lepšíkonektory na počítače.

7Těmto proudům vděčí za název také skupina ACDC (z anglických zkratek pro tzv. „Alternating Current“a „Direct Current“).

5


-200

-100

0

100

200

0 2 4 6 8 10 12

Nap

ětí [V

]

Čas [s]

Stejnosměrné napětíStřídavé napětí

Obr. 1: Příklad střídavého a stejnosměrného napětí

jsou velmi malé, takže pokud se pohybujeme „v rozumných mezích“, můžeme odpor považo-vat za konstantní. Většinou se určuje experimentálně, a to z tzv. Ohmova zákona, který námsvazuje dohromady právě elektrický odpor R, napětí U a proud I:

U = IR . (1)

Jak můžeme vidět, tak čím větší má materiál odpor, tím méně „ochotně“ vede proud.Jedna z mála výjimek, kdy umíme odpor spočítat teoreticky, je odpor geometrického vodiče,

tedy drátu. Jeho odpor je přímo úměrný jeho délce, nepřímo úměrný jeho průřezu a samozřejměje ovlivněn nějakou materiálovou konstantou, zapsáno rovnicí:

R = ϱl

S,

kde ϱ je tzv. měrný elektrický odpor, l je délka vodiče a S je jeho průřez. Pokud si spočte-me odpor nějakého vodiče, zjistíme, že bývá typicky velmi malý, a proto ve většině případůpovažujeme vodiče v obvodu za ideální, tedy s nulovým odporem.

Základní elektrické součástkyElektrické obvody se skládají z mnoha různých součástek, které mají různé vlastnosti. Ty jedobré znát, abychom mohli jednak spočítat například proudy tekoucí naším obvodem, ale hlavněbychom bez jejich znalosti nezvládli žádný obvod navrhnout.

Rezistor Rezistor je nejzákladnější elektrická součástka reprezentující odpor. Pomocí ní do-kážeme regulovat protékající proud obvodem, získat různé napětí atp. Pokud máme v obvoduvodiče, které nejsou ideální, ale mají odpor Rv, můžeme je pro výpočty považovat za ideálnívodiče bez odporu, na nichž je zapojen rezistor se stejným odporem jako původní drát, tedy Rv.

6


zdroje napětí zdroj proudu

Ideální zdroje Celou dobu se bavíme o napětí a proudu, ale ty se samozřejmě nevezmou„odnikud“. Aby v obvodu tekl nějaký proud, musíme v něm mít zdroj energie. Pro naše potřebyuvažujeme dva druhy takových zdrojů – ideální zdroj napětí a ideální zdroj proudu.

Ten první, jak název napovídá, dodává do obvodu napětí, a to nehledě na to, jaký proudz něj budeme odebírat. V ideálním případě má nulový vnitřní odpor a můžeme si ho představitjako baterku. Pokud máme reálný zdroj napětí, můžeme si ho pro jednodušší počítání opětpřekreslit jako ideální zdroj napětí sériově spojený s odporem.

Ideální zdroj proudu se chová velice podobně, akorát do obvodu dodává konstantní proud.V ideálním případě má nekonečný vnitřní odpor. Reálné proudové zdroje mají tedy velký vnitřníodpor. Protože se s nimi ale běžně nesetkáme, dál se zdroji proudu nebudeme zabývat.

voltmetr

ampérmetr

V

A

Voltmetr a ampérmetr Je dobré teoretické výsledky podrobit experimentálnímu ověření.K tomu využíváme voltmetr a ampérmetr. Voltmetr je zařízení určené k měření napětí. V ide-álním případě má nekonečný odpor a neteče jím žádný proud, připojuje se proto paralelněk měřenému prvku a obvod nijak neovlivňuje.

Oproti tomu ampérmetr, sloužící k měření protékajícího proudu, se připojuje sériově. V ide-álním případě má nulový vnitřní odpor, a tedy z Ohmova zákona je zřejmé, že na něm nedocházík úbytku napětí. To také znamená, že nijak neovlivňuje měřený obvod.

kondenzátor cívka

Další součástky Dalšími velmi důležitými součástkami jsou kondenzátor a cívka. Ideálnícívka je stočený ideální vodič, v němž se ukládá „energie protékajícího proudu“. Její stěžejnívlastnost je, že se snaží udržet konstantní proud, který jí prochází. Kondenzátor se naopakskládá v nejjednodušším případě ze dvou vodivě nespojených desek, v nichž se ukládá náboj,a snaží se na svých svorkách („vývodech“) udržet konstantní napětí.

Obě dvě součástky mají velmi zajímavé vlastnosti, a to hlavně v případě střídavého proudua napětí. V našem případě stejnosměrných veličin můžeme cívku nahradit ideálním vodičema naopak kondenzátor rozpojenými vodiči. Je však dobré vědět, že takové součástky existují,a až se s nimi jednou potkáme blíže, nebudou pro nás takovým překvapením.

7


Spojování rezistorůV elektrotechnice rozeznáváme dva typy zapojení – sériové, kdy součástky zapojujeme za sebena jednom vodiči a všemi protéká stejný proud, a paralelní, u kterého se součástky zapojujívedle sebe mezi stejné uzly (součástky sdílejí stejné napětí). Obvody většinou chceme co nejvícezjednodušit, a proto tato zapojení můžeme nahradit jediným odporem, který ale bude mítekvivalentní hodnotu. Navíc můžeme tato zapojení mezi sebou libovolně kombinovat.

8

Korespondenční seminář MFF UK pro základní školy ročník VII číslo 5/7R1 R2 R3R1 R2 R3

Obr. 2: Sériové zapojení

Sériové zapojení Jak jsme si již řekli, v sériovém zapojeníspojujeme součástky za sebe. Díky tomu všemi součástkami te-če stejný proud. Z Ohmova zákona dokážeme spočítat výslednénapětí jako

U = U1 + U2 + · · · = IR1 + IR2 + · · · ,

U

I= R1 + R2 + · · · ,

R = R1 + R2 + · · · .

Pokud takové zapojení více odporů chceme nahradit jediným, aniž by se odpor změnil, prostěsečteme odpory jednotlivých součástek.

R1 R2 R3

Obr. 3: Paralelní zapojení

Paralelní zapojení U paralelního zapojení naměříme na všechsoučástkách vždy stejné napětí, neboť jsou všechny zapojeny me-zi dvěma stejnými uzly. Jednotlivé součástky se však liší velikost-mi proudů jimi protékajícími. Pokud tedy chceme takové zapo-jení zjednodušit, potřebujeme spočítat celkový proud protékajícímezi krajními uzly tohoto zapojení:

I = I1 + I2 + · · · = U

R1+ U

R2+ · · · ,

I

U= 1

R1+ 1

R2+ · · · ,

1R

= 1R1

+ 1R2

+ · · · .

Paralelní spojení rezistorů můžeme nahradit jediným rezistorem, jehož převrácená hodnotaodporu je rovna součtu převrácených hodnot jednotlivých odporů původního zapojení.

Obě tyto úlohy můžeme otočit a ptát se, jaké dva rezistory potřebujeme vzít, abychom najednom z nich dostali nějaké napětí, resp. proud, pokud známe celkové napětí a vstupní proud,resp. vstupní napětí a celkový proud.

Nekonečné obvodyObčas se setkáme i s obvody, ve kterých se opakuje stejná část obvodu nekonečněkrát. Jakopříklad tady máme následující síť odporů.

Rs Rs Rs

Rp Rp Rp ...

Zajímavé na nekonečných odporových sítích je, že ačkoliv jsou opravdu nekonečné, majíkonečný odpor. Občas je potřeba zjistit, jaký tento výsledný odpor je. Řešením je takový malýfyzikální trik – celý nekonečný obvod chceme nahradit jediným odporem R∞, ale jelikož tento

9


Rs

Rp R∞

Obr. 4: Náhradní zapojení nekonečné odporové sítě

odpor reprezentuje celou nekonečnou síť, jeho hodnota se nijak nezmění, přidáme-li na začátekještě jednu opakující se buňku.

Tímto krokem ale dostáváme zapojení tří odporů, o nichž víme, že jejich celkový odpor jestále R∞. Aplikací výše popsaných pravidel pro nahrazování paralelních a sériových zapojeníodporů dostáváme rovnici

R∞ = Rs + RpR∞

Rp + R∞,

což je kvadratická rovnice o jedné neznámé (při řešení se v ní vyskytne R2∞). Proto si z ní

můžeme po troše úprav vyjádřit hledaný celkový odpor:

R∞ =Rs +

√R2

s + 4RsRp

2 .

ZávěrTímto je Výfučtení páté série u konce. Představili jsme si základní veličiny a prvky elektrickýchobvodů, ukázali jsme si, jak vypočítat odpor sériově či paralelně spojených rezistorů a také jsmesi připomněli jeden ze základních vzorců a zákonů elektrických obvodů, Ohmův zákon, kterýnám vzájemně svazuje veličiny proud I, napětí U a elektrický odpor R. Společně jsme si takévysvětlili funkci známých zapojení, která nám kolikrát mohou usnadnit práci a pomoci i snadnějipochopit funkci zkoumaného obvodu. Ke konci Výfučtení jsme se podívali i na nekonečnourezistorovou síť, která má překvapivě konečný odpor.

Josef Krška Lubor Č[email protected]

10



Řešení III. série

Úloha III.1 . . . Jablečný mošt 5 bodů; průměr 4,43; řešilo 7 studentůRadka si jednoho dne vzpomněla, že když byla malá, celá její rodina připravovala na podzimjablečný mošt. Když už byl všechen mošt hotov, bylo potřeba jej přelít z obrovských demižonůdo zavařovacích láhví. To se dělalo pomocí hadičky, která měla jeden konec ponořený do moštuv demižonu a druhý konec ústil v láhvi. Celé toto důmyslné zařízení nemělo žádný pohon. Přesto, pokud se láhev umístila níže než demižon a celý proces se vhodně nastartoval, se láhev počase naplnila. Pokuste se vysvětlit, proč kapalina přetekla z jedné nádoby do druhé, když v prvnípůli cesty jde kapalina hadičkou „do kopce“, aniž bychom jí viditelně dodávali energii?

Vysáním vzduchu z hadice v ní snížíme tlak na menší hodnotu, než je atmosferický tlak v okolí.Jinými slovy vytvoříme v hadici podtlak. Okolní (atmosférický) tlak nažene mošt do hadičky,což odpovídá onomu nastartování procesu.8 Nyní si představme, že už jsme celou hadici naplnilimoštem. Na mošt v obou částech hadice (myšleno část, kde mošt stoupá, a část, kde klesá)působí tíha jako na všechny předměty na Zemi. Pro přehlednost řekněme, že mošt stoupáv levé části a klesá v té pravé. V zadání je ale řečeno, že zavařovací lahev je položena níže neždemižon. Proto má i pravá část hadice větší délku a nachází se v ní více moštu, tudíž ten jev ní těžší. Logicky na něj působí větší tíhová síla než na mošt v levé části hadice, a tak tečev pravé části hadice dolů. Proč se ale proud nerozdělí na dvě části a nesteče doleva a doprava?Kdyby se tak stalo, vytvořilo by se v ohybu hadice docela dobré vakuum a asi tušíte, že to sev přírodě jen tak nestává. Vznikl by tak bez jakékoli příčiny prostor nižšího tlaku, do kteréhoby okolní atmosférický tlak stejně mošt vracel.

Na mošt, který teče v hadici dolů, působí větší tíhová síla než na mošt, který teče nahoru.Aby v hadici byl pořád stejný tlak, je vtahován z nádoby do hadice, odkud vytéká do demižonu.

Za jakých podmínek bude tento „stroj“ fungovat? Tušíme, že mošt se bude přelévat do tédoby, dokud se hladina moštu v demižonu nevyrovná na úroveň hladiny v nádobě. Tehdy totižmá levá i pravá část hadice stejnou délku a hmotnost a působící tíhová síla na mošt je v jejíchobou dvou částech stejná. Výsledná síla je tedy nulová a mošt se přestane přelévat.

Pavla Rudolfová[email protected]

Úloha III.2 . . . Po stěně krychle 5 bodů; průměr 3,69; řešilo 45 studentůPepa si koupil krychli o délce hrany 2 cm a chtěl spojit její dva protilehlé vrcholy co nejkratšíčárou, která vede po jejím plášti. Pomozte Pepovi zjistit, kudy má čáru vést a jak dlouhábude.

Naším úkolem je zjistit, kudy povede nejkratší spojnice dvou protilehlých vrcholů krychle. Celýproblém se zdá jako třírozměrný, ale všimněme si, že plášť krychle je ve skutečnosti plocha,

8Tohle vysvětlení možná zní složitě, ale jedná se o stejný jev, jako když pijeme nápoj brčkem.

11



která je akorát v prostoru zohýbaná. Můžeme si ji tedy „rozbalit“ do roviny, a to jako tzv. „síťkrychle“. Podívejme se tedy, jak taková síť vypadá.

Vidíme, že naším úkolem se stalo najít co nejkratší spojnici dvou bodů v rovině. Jak jistěvíme, nejkratší spojnice dvou bodů v rovině je úsečka.

Nejprve si tedy načrtneme síť krychle, na které najdeme dva protilehlé vrcholy a spojíme jeúsečkou.

ca

b

Nyní nám stačí spočítat délku této úsečky, kterou si nazvěme pro přehlednost c.Z náčrtu je patrné, že naše hledaná spojnice vrcholů (v náčrtu čárkovaně) spolu se stranami

krychle tvoří pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b a c. Tím pádem délku c můžeme snadnovypočítat pomocí Pythagorovy věty:

c2 = a2 + b2 .

Naší neznámou je přepona c, délky odvěsen (v náčrtu tečkovaně) jsou nám známé. Z náčrtkuvidíme, že strana a má délku jedné hrany krychle, b má délku dvou hran krychle. Jak se dočtemev zadání, strana krychle, kterou si označíme l, měří 2 cm. Tedy a = l a b = 2l. Nyní pouze dorovnice dosadíme:

c2 = a2 + (2a)2 ,

c =√

5a2 ,

c =√

5 · 4 cm2 ,

c.= 4,47 cm .

12


Nejkratší možná čára, kterou bude Pepa moct nakreslit, měří tedy 4,47 cm. Na síti má tvarúsečky mezi dvěma protilehlými vrcholy krychle.

Eva Vochozková[email protected]

Úloha III.3 . . . Hladový lis 6 bodů; průměr 3,52; řešilo 23 studentůNa šrotišti si naštvaný jeřábník pohazuje s auty. Někdy je vláčí po zemi, jindy je zase vytahujedo výšky. Jednou mu odbrzděné auto o hmotnosti 1 234 kg ujelo a převrátilo se, takže jej muselvytahovat zpět pod úhlem 45 vůči zemi. Jakou minimální tažnou sílu musel jeřáb vyvinout narozpohybování auta, jestliže koeficient tření mezi autem a zemí činí f = 0,2? Odlepí se přitomauto od země?

Pro zdárné vyřešení této úlohy je nejdříve potřeba se zamyslet nad tím, jaké síly na naše autopůsobí. Největší síla je samozřejmě tažná síla T , kterou působí jeřáb na auto pod úhlem 45

vůči zemi a jejíž velikost máme za úkol vypočítat. Tato síla také dává auto do pohybu. Protipohybu působí třecí síla, kterou vypočítáme jako

Ft = Fnf ,

kde Fn je normálová (tj. kolmá) síla, která tlačí auto k povrchu, na němž dochází ke tření, a fje koeficient tření, který známe ze zadání. Nakonec na auto, stejně jako na každé jiné těleso naZemi, působí tíhová síla FG.

T

T1

T2

Fg

Ft

Každá z těchto sil ale působí jiným směrem. Tíhová síla působí dolů, třecí proti směrupohybu vozidla a tažná síla na naše auto působí pod úhlem 45. Jelikož je síla vektorováveličina, tedy má kromě velikosti i směr, můžeme využít principu superpozice9 a síly rozložittakovým způsobem, že budeme moci počítat jen s jejich velikostmi.

Tažnou sílu můžeme rozložit na dvě k sobě kolmé složky – na sílu T1, která působí přesněopačným směrem než třecí síla, a na sílu T2, která působí přesně opačným směrem než sílatíhová. Obě dvě složky jsou navzájem kolmé a s původní silou T svírají úhel 45. Aby jejich

9Princip superpozice nám říká, že pokud rozložíme sílu na více jiných sil/složek tak, že původní síla je jejichvýslednicí neboli součtem těchto sil, bude výsledný účinek totožný.

13



složením vznikla původní síla T , je zřejmé, že síly T1 a T2 musí být stranami čtverce, kde síla Tje úhlopříčkou.

V jakémkoliv čtverci se stranou a platí, že jeho úhlopříčka má délku a ·√

2. Proto provelikosti sil T1 i T2 platí, že:

T1 ·√

2 = T ⇒ T1 = T2 = T√2

.

K výpočtu třecí síly potřebujeme znát sílu, kterou je auto tlačeno do země, tedy normálovousílu. Intuitivně předpokládáme, že se auto nenadzvedne, a proto můžeme normálovou sílu určitjako výslednici všech svisle působících sil, tedy

Fn = FG − T2 .

Pokud by náš předpoklad byl špatný a auto se ve skutečnosti nadzvedlo, což ověříme ve druhéotázce ze zadání, tak by nedocházelo ke tření a museli bychom počítat, že Fn = 0 N. My aledopředu prozradíme, že se auto skutečně nenadzvedne a tato rovnice platí. Minimální síla,kterou musí jeřáb působit, je taková síla, jejíž vodorovná složka překoná třecí sílu. Můžemetedy psát

T1 = Ft ,

T√2

= Fnf ,

T√2

= (FG − T2) f ,

T√2

=(

mg − T√2

)f ⇒ T = mgf

√2

1 + f.

Nyní pouze dosadíme do rovnice číselné hodnoty ze zadání:

T =√

2 ·(1 234 kg · 10 m·s−2)

· 0,21 + 0,2

.= 2 909 N .

Už stačí jen ověřit, že auto se doopravdy neodlepí od země a že náš výpočet je platný. Tozjistíme velmi jednoduše, a to tak, že působí-li výslednice svislých sil do země, tak se autoneodlepí, neboť je přitlačováno k zemi. Zapsáno rovnicí, potřebujeme ověřit platnost

FG − T2 ≥ 0 .

Do tohoto vztahu můžeme dosadit již několikrát výše zmiňované vztahy, čímž dostáváme

mg − T√2

= 1 234 kg · 10 m·s−2 − 2 909 N√2

.= 10 283 N ≥ 0 .

Vidíme tedy, že auto se od povrchu určitě neodlepí. Naše úvahy byly tedy správné a můžemekonstatovat, že k rozpohybování auta musí jeřáb působit silou alespoň 2 909 N.

Karolína Letochová

14


Úloha III.4 . . . Míč pod vodou 6 bodů; průměr 3,62; řešilo 21 studentůKuba během hodiny dějepisu vzpomínal na léto, kdy trávil hodně času v bazénu. Vzpomněl

si, jak si hrál s nafukovacím míčem o poloměru 10 cm, který nořil pod vodu, kde ho po chvilcepustil a sledoval, jak míč vyplouval a vyskakoval nad hladinu. Jelikož je Kuba zvídavý, začalpočítat. Pomůžete mu spočítat odpovědi na následující otázky?

1. Jakou silou musel působit na míč, aby zůstal ponořený 1 metr pod vodní hladinou?

2. Jaká maximální odporová síla na míč působila, když se přibližoval k hladině? Víte, žeodpor je přímo úměrný rychlosti.

3. Jakou maximální rychlostí se míč pohyboval, jestliže si Kuba našel, že pro velikost odpo-rové síly platí vztah Fo = 0,5CϱSv2, kde ϱ je hustota prostředí, S je průřez tělesa, v jejeho rychlost a C je odporový koeficient, který je pro míč C = 0,5?

Deformaci míče v důsledku působících sil a změnu jeho objemu z důvodu změn okolníhotlaku zanedbejte.

1. Na míč působí 3 síly – ve směru dolů tíhová síla FG, námi hledaná a Kubou vyvinutá síla Fa proti nim působí vztlaková síla Fvz. Jelikož se míč nepohybuje, všechny tři síly musíbýt v rovnováze. V zadání není uvedena hmotnost míče, kterou nutně potřebujeme znátpro výpočet tíhové síly. Pokud se zamyslíme, dojdeme k závěru, že tíhovou sílu můžemezanedbat, neboť hmotnost míče je méně než 100 g a tíhová síla v porovnání se vztlakovousilou je řádově menší. Jejím zanedbáním ovlivníme výsledek minimálně.10 Hledaná síla Fje tedy

F = Fvz .

O vztlakové síle z Archimédova zákona víme, že je rovna tíze vytlačené kapaliny, tedy

Fvz = Vϱg ,

kde V je objem míče, ϱ hustota vody a g tíhové zrychlení. Vzpomeneme-li si na to, jak sepočítá objem koule a hmotnost z hustoty, můžeme přímo určit:

F = Fvz = Vϱg = 43πr

3ϱg ,

což po dosazení přibližně dá:

F = Fvz = 43π(0,1 m)3 · 1 000 kg·m−3 · 9,81 m·s−2 .= 41,1 N .

Aby míč zůstal ponořený pod vodní hladinou, musí Kuba působit silou F.= 41,1 N.

2. Druhý úkol je spíše o rozvaze fyzikálně významných jevů a jeho řešení je obecné. Na míčopět působí pouze tři síly – tíhová, odporová a již spočítaná vztlaková. Podotkněme, žeodporová síla působí proti směru pohybu, takže v případě, kdy se míč vynořuje, působíve stejném směru jako síla tíhová.

10Pokud si najdeme hmotnost míče a ve výpočtech budeme dále uvažovat i tíhovou sílu, nejedná se rozhodněo chybu.

15


Nyní se zamysleme nad tím, co se během vzestupu míče děje. Míč nejdříve zrychluje, aždosáhne nějaké rychlosti, kde se zastaví jeho zrychlování a již putuje konstantní rychlostí.V momentě zastavení zrychlování musely podle Newtonových zákonů být síly v rovnováze,a můžeme si tedy sestavit rovnici

FG + Fo = Fvz .

Platnost této rovnice je odůvodněna 1. Newtonovým zákonem – stoupající míč vlivemvztlakové síly zrychluje, přičemž na něj působí stále větší odpor kapaliny11 a navíc jecelou dobu stahován dolů silou tíhovou. Odpor se zvětšuje, až dokud není dosažena v tétorovnici zachycená rovnováha. Ta nemůže být překročena, protože by jinak míč znenadánízačal zpomalovat.Jak jsme zmiňovali v předchozím bodě, tíhovou sílu je možno zanedbat. Rovnice se námtedy zjednoduší na vztah:

Fo = Fvz .

Jelikož se odporová síla po vyrovnání vztlakové už nezvětšovala, můžeme říci, že maximálníodporová síla je rovna vztlakové síle.

3. Nakonec ve třetím úkolu dosadíme za odporovou sílu nám dodaný vztah

Fo = 0,5CϱSv2 ,

a pouze si v něm vyjádříme obsah kruhu S = πr2 jakožto průřez míče. Dostáváme vztah

Fo = 0,5Cϱπr2v2 .

Nyní jej můžeme dosadit do zmíněné rovnosti mezi odporovou a vztlakovou silou z před-chozího bodu:

0,5Cϱπr2v2 = Fvz ⇒ v =√

Fvz

0,5Cϱπr2 ,

z něhož po číselném dosazení dostáváme výslednou maximální rychlost míče:

v =√

41,1 N0,5 · 0,5 · 1 000 kg·m−3 · π(0,1 m)2

.= 2,3 m·s−1 .

Míč se vynořoval maximálně rychlostí v.= 2,3 m·s−1.

Daniel Slezá[email protected]

11 Jak víme ze zadání, odporová síla je přímo úměrná rychlosti, tj. s rostoucí rychlostí roste i odporová síla.

16



Úloha III.5 . . . Věž kostela 6 bodů; průměr 4,30; řešilo 37 studentůNa věž kostela Sv. Jakuba je vytahován nový zvon o hmotnosti 2,5 t. Zvon je vytahován stře-dověkou metodou – pomocí rumpálu, lidskou silou přes soustavu pevných a jedné volné kladky.Rumpál je válec o poloměru 40 cm, na nějž se namotává lano. Otáčí jím čtyři statní muži, kteřípůsobí silou na konce držadel ve vzdálenosti 2,5 m od osy otáčení rumpálu. Zvon je na lanozavěšen pomocí volné kladky.

1. Jakou nejmenší silou musí každý statný muž působit na konec držadla, aby se jim povedlozvon vytáhnout na vrchol věže?

2. Kolikrát se otočí rumpál kolem své osy, je-li zvon vytahován do výšky 30 m?

1. Zvon má hmotnost m, tedy na něj působí tíhová síla o velikosti

F = mg .

Jelikož je zvon zavěšen na volné kladce, stačí ho vytahovat poloviční silou, než je jehotíha. Zapsáno rovnicí

F1 = mg

2 .

Touto silou12 také působí provaz na válec rumpálu ve vzdálenosti r1 od osy otáčení, tedymomentem

M = F1 · r1 = 12mgr1 .

Aby statní muži zvon vytáhli, musí na rumpál působit momentem síly o stejné velikosti.Jelikož působí ve vzdálenosti r2 od osy otáčení, musí dohromady působit silou

F2 = M

r2= 1

2mgr1

r2.

12Resp. podle Newtonových zákonů silou stejné velikosti, ale opačného směru.

17


Na rumpál působí každý ze čtyř mužů stejně velkou silou F . Každý z nich tedy působíčtvrtinovou silou v porovnání s celkovou potřebnou silou F2:

F = F2

4 = 18mg

r1

r2.

Číselným dosazením hodnot ze zadání do této rovnice dostáváme

F = 182 500 kg · 9,81 m·s−2 · 0,4 m

2,5 m ,

F.= 490,5 N .

Aby zvon vytáhli, každý z mužů musí působit silou F = 490,5 N. Pro představu, každýmusí působit takovou silou, jako kdyby zdvihal padesátilitrový barel vody, což je rozhodněv lidských možnostech.

2. Když vytahujeme závaží pomocí volné kladky, působíme pouze poloviční silou, ale zatomusíme působit na dvojnásobné dráze, tedy musíme přitáhnout dvojnásobnou délku lana.Vyplývá to buď z geometrie soustavy nebo z vykonané práce, která je součinem působícísíly a dráhy. Práce potřebná k vytažení zvonu je stále stejná W = F s = mgh, tudíž kdyžpůsobíme poloviční silou F = mg/2, potřebujeme provaz o dvojnásobku výšky 2h. Narumpál tedy musíme namotat 2 · 30 m = 60 m lana. Obvod rumpálu je

o = 2πr1.= 2,51 m .

Abychom na něj namotali 60 m lana, musíme ho tedy otočit

n = l

o= 2h

2πr = 60 m2,51 m

.= 23,9krát .

Ve skutečnosti by se, dokud by to rumpál umožňoval, lano namotávalo tak, aby se nepře-krývalo – tedy do spirály. Tyto výpočty by však už byly složitější a záležely by na průměrulana. Nicméně můžeme předpokládat, že průměr lana je v porovnání s průměrem rumpáluzanedbatelný a tento výsledek je tak srovnatelný s tím, který bychom dostali, kdybychomuvažovali namotávání lana po spirále.

Kateřina Rosická[email protected]

Úloha III.E . . . Tuha mikrotužky 8 bodů; průměr 5,20; řešilo 25 studentůAndřejka byla jednou v galerii, kde měli obraz různě tlustých čar. Tento obraz ji uchvátil natolik,že začala přemýšlet, jaká může být jejich průměrná výška.13 Pomozte Andřejce v jejích úvahácha změřte, jak vysoká je čára, kterou kreslí tuha do mikrotužky. Předpokládejte, že nakreslenáčára má tvar kvádru a že objem tuhy se nemění. Měření zkuste provést alespoň 5krát a spočtětechybu měření. Nezapomeňte uvést, jaký typ a tloušťku tuhy jste použili.

Celý experiment provedeme tak, že narýsujeme čáru o známé délce a zjistíme, kolik tuhy námubude. V našem případě jsme použili čáru o délce l = 1 m, přičemž byla rozdělena na pět

13Výškou myslíme doopravdy výšku, tedy směr kolmý k rovině papíru.

18



úseků po 20 cm tak, aby se vešla na papír. Délku tuhy mikrotužky jsme změřili pomocí přes-ného posuvného měřidla, slangově šuplery, před a po narýsování této čáry. Úbytek mikrotuhyoznačme h. Část tuhy, která nám po narýsování čáry ubyla, můžeme považovat za malý válec,jehož objem je

Vt = πr2h .

Zde platí, že r = d/2, kde d = 0,5 mm je průměr náplně uvedený výrobcem. Úpravou dostáváme

Vt = πr2h = πd2

4 h .

Předpokládáme, že narýsovaná čára má tvar velmi dlouhého kvádru, jehož objem vypočítámeze vzorce:

Vk = ldx ,

kde l je délka kvádru (čáry), d je jeho šířka a x je námi hledaná výška kvádru. Všimněme si, žešířka čáry d odpovídá průměru náplně do mikrotužky, který známe od výrobce. Za předpokladu,že se při rýsování žádná hmota náplně neztrácí (zanedbáme to, že při rýsování podle pravítkase kus tuhy přenese na pravítko) ani žádná nepřibývá a že její objem je konstantní, musí platit:

Vt = Vk ⇒ πd2

4 h = ldx .

Odtud již snadno vyjádříme námi hledanou výšku čáry:

x = πdh

4l. (2)

Nyní nám zbývá provést samotné měření a určit odchylku měření, viz níže.

Naměřené hodnotyProvedeme pět měření náplní do mikrotužky typu HB o průměru d = 0,5 mm. Délku čáry vždyzvolíme l = 1 m.

Tab. 1: Naměřené hodnoty úbytku tuhy h s dopočtenými x

hmm

x10−8 m

0,100 3,930,125 4,910,150 5,890,140 5,500,100 3,93

Hodnoty zprůměrujeme a dostaneme tak průměrnou výšku spotřebované tuhy h.= 0,123 mm

a průměrnou vypočítanou výšku narýsované čáry x.= 4,83 · 10−8 m.

19


Nepřesnost měřeníBěhem experimentu jsme měřili jen dvě délky. Jako první metrovou čáru rozdělenou na pět dílkůpomocí pravítka. Odchylku měření každé části odhadujeme na velikost poloviny nejmenšíhoměřitelného dílku, tedy 0,5 mm. Protože jsme však měřili délku čáry na pětkrát, může býtcelková odchylka naměřené délky čáry nejvýše pětkrát větší, tedy ∆l = 2,5 mm. Můžeme tedybezpečně říct, že měřená délka čáry byla 1 m s relativní chybou nejvýše 0,25 %.

Oproti tomu úbytek tuhy jsme měřili posuvným měřítkem, jehož nepřesnost byla 0,025 mm.Tato malá nepřesnost je ale v porovnání s naměřenými hodnotami úbytku tuhy podstatná. Toznamená, že relativní (procentuální) nepřesnost odhadu výšky narýsované čáry, kterou vypočí-táme jako podíl absolutní nepřesnosti měření14 ku naměřené hodnotě, bude již podstatně velká.V praxi pomocí relativní nepřesnosti15 dokážeme zohlednit, jestli jsme na měřenou veličinu po-užili dostatečně přesné měřidlo. Pokud například stůl měříme svinovacím metrem, máme menšírelativní nepřesnost, než když jím měříme zrnko prachu, a můžeme tedy lépe ohodnotit přesnostměření. Vidíme, že relativní nepřesnost měření narýsované čáry metrem dosahuje hodnoty

δl = ∆l

l= 0,25 cm

100 cm = 0,25 % ,

což je málo, a to i když jsme uvažovali maximální možnou nepřesnost. Průměr náplně d námudal výrobce a budeme ji považovat za přesnou. Zbývá tedy nepřesnost měření úbytku tuhy h.Tu můžeme opět vypočítat z absolutní chyby, kterou jsme určili dříve jako nepřesnost posuvnéhoměřidla. Musíme si však uvědomit rozdíl mezi veličinou h a l. Celková délka čáry l byla spočtenajako součet délek z několika měření a mělo tedy smysl nepřesnosti každého měření sčítat. Naprotitomu výšku tuhy h jsme dostali jako průměr z několika hodnot tabulky, a každá hodnota bylaobdržena se stejnou nepřesností 0,025 mm. Průměrně se tedy nepřesnost výsledku ∆h rovnánepřesnosti jedné hodnoty. Pro relativní chybu tedy dostáváme

δh = ∆h

h= 0,025 mm

0,123 mm.= 20 % .

Jak si můžeme všimnout, relativní chyba určení délky narýsované čáry je zanedbatelná v po-rovnání s relativní chybou určeného úbytku náplně. Můžeme ji tedy zanedbat, čímž dostávámevýslednou výšku čáry jako funkci jediné proměnné zatížené chybou, a to právě úbytku náplně.Procentuální chyba určené výšky čáry se tedy shoduje s chybou určeného úbytku náplně, pro-tože x závisí na h skrze vztah (2), ve kterém se h pouze násobí konstantami, které bereme jakopřesné. Pokud je tedy chyba h určena jako ∆h procent ze své hodnoty, musí být procentuálníchyba x rovněž ∆h procent ze své hodnoty.

Zapsáno rovnicí:δx = δh .

Z vypočtených nepřesností vidíme, že metrová čára je ve skutečnosti málo a pro přesnější měřeníby bylo vhodné udělat delší čáru, čímž by se zvětšilo množství vypotřebované náplně a tedyvýška vypsané tuhy, která by se nám měřila lépe.

14Značí se tak, že před měřenou veličinu napíšeme ∆ (velká delta).15Značí se tak, že před měřenou veličinu napíšeme písmeno δ (malá delta).

20


ZávěrZ experimentů jsme určili výšku měřené čáry jako x = (4,8 ± 1,0) · 10−8 m a s relativní chybouδx = 20 % (což odpovídá právě napsané absolutní chybě 1,0 · 10−8 m).

Je však ještě nutné zmínit, že náš výsledek bychom měli interpretovat spíše jako řádovýodhad, protože se skutečná výška bude od našeho výsledku znatelně lišit. Tuha si při přenesenína papír nebude zachovávat svůj objem v důsledku porušení vazeb mezi jednotlivými vrstva-mi uhlíku, dále čára nebude ideální kvádr, ale lze předpokládat, že na okrajích bude nižší nežve svém středu, povrch papíru není na mikroskopické úrovni vůbec rovný atp. Pochopitelněv přesnosti výsledku hraje velkou roli i výše vypočítaná relativní chyba při měření výšky vy-potřebované tuhy. Ta by se dala zmenšit již zmíněným měřením delší čáry s větším úbytkemnáplně, případně jinou pokročilejší metodou měření délky tuhy, které bychom ale mohli vyu-žít pouze v laboratoři se sofistikovaným vybavením. Nakonec, pro přesnější reprodukci tohotoexperimentu můžeme doporučit také zaznamenat druh papíru, na kterém čáru zanecháváme.Přilnavost tuhy se může značně lišit v závislosti na zvoleném materiálu.

Marek Božoň[email protected]

Úloha III.C . . . Pro rybáře pružné 6 bodů; průměr 4,32; řešilo 28 studentůKáťa si koupila dva vlasce z neznámých materiálů. První má délku l1 = 1 m a průměr d == 0,5 mm, druhý má délku l2 = 2 m a průměr d2 = 0,4 mm. Aby Káťa zjistila, z jakýchmateriálů vlasce jsou, rozhodla se změřit jejich Youngův modul pružnosti v tahu. K tomu siobstarala dvě závaží o shodné hmotnosti m = 1 kg.

a) První vlasec se po zavěšení závaží prodloužil o ∆l1 = 6 cm, druhý o ∆l2 = 5 cm. Vypočtětemoduly pružnosti v tahu prvního i druhého vlasce.

b) S pomocí tabulek či internetu16 pomozte Kátě určit, o jaké materiály se jedná. Napovíme,že moderní vlasce se vyrábějí především z polymerů.

Začneme se vzorcem Hookova zákona, který byl zmíněn v seriálu, a vyjádříme si z něj modulpružnosti E

E = σn

ε.

Pro normálové napětí σn máme z Výfučtení vzorec

σn = Fp

S

a pro relativní prodloužení ε mámeε = ∆l

l0.

Dosazením těchto dvou vztahů do prvního a jejich úpravou dostáváme výsledný vztah

E = σn

ε= Fp/S

∆l/l0= Fpl0

S∆l.

16Nezapomeňte uvést zdroj.

21



Reakční síla Fp se rovná tíhové síle a průřez S se rovná průřezu vlasce, tedy S = πd2/4.Dosazením tedy dostáváme

E = 4mgl0

πd2∆l.

Nyní nám jen stačí dosadit hodnoty a vypočítat moduly pružnosti. Pro první vlasec je roven:

E1 = 4mgl1

πd21∆l1

= 4 · 1 kg · 9,81 m·s−2 · 1 mπ · (5 · 10−4 m)2 · 6 · 10−2 m

.= 0,83 GPa .

Stejným způsobem budeme počítat i u druhého vlasce:

E2 = 4mgl2

πd22∆l2

= 4 · 1 kg · 9,81 m·s−2 · 2 mπ · (4 · 10−4 m)2 · 5 · 10−2 m

.= 3,12 GPa .

V tabulkách nebo na internetu17 můžeme dohledat, že první vlasec bude vyrobený z poly-ethylenu s vysokou hustotou, který má modul pružnosti E = 0,8 GPa, a druhý vlasec budepravděpodobně z nylonu,18 který má E = 2 − 4 GPa.

Miroslav Jarý[email protected]

Pořadí řešitelů po III. sérii

Kategorie šestých ročníkůjméno škola 1 2 3 4 5 E C III ΣStudent Pilný MFF UK 5 5 6 6 6 8 6 42 127

1. Pavel Šimůnek G, SOŠ, SOU a VOŠ, Hořice 4 5 3 – 4 8 – 24 732. Patrik Rosenberg G Brno, tř. Kpt. Jaroše 3 4 – – 1 – – 8 323. Daniel Rýpar ZŠ K. Pokorného, Ostrava-Poruba 5 2 – – – – – 7 174. Jakub Bouberle ZŠ Bavorovská, Vodňany 5 4 – – – 5 – 14 145. Kateřina Stefanová BG B. Balbína, Hradec Králové – 3 – – – – – 3 126. Marie Hebertová ZŠ a MŠ Křídlovická, Brno – – – – – – – – 57. Václav Prachař ZŠ V Rybníčkách, Praha 10 – – – – – – – – 4

Kategorie sedmých ročníkůjméno škola 1 2 3 4 5 E C III ΣStudent Pilný MFF UK 5 5 6 6 6 8 6 42 127

1. Anežka Čechová G, Mikulov 5 5 3 5 6 6 6 36 1122. Richard Materna G Brno, tř. Kpt. Jaroše 5 4 – – 6 3 4 22 683. Johana Vaníčková G, Českolipská, Praha 4 4 3 1 3 6 5 26 674. Zuzana Weisová ZŠ Židlochovice – 4 – – 6 – 3 13 295. Šimon Dalecký ZŠ a MŠ Klíč s.r.o. Česká Lípa – – – – – – – – 146. Martin Ondruška ZŠ Valašská Polanka – – – – – – – – 137. Barbora Tuháčková G Františka Křižíka, Plzeň – – – – – – – – 1017https://en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_modulus#Approximate_values18Samozřejmě, podle údajů by to spíš mohl být např. polystyren, nicméně vlasce z polystyrenu nejsou běžné

a nylon se pro tyto účely hodí více.

22


https://en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_modulus#Approximate_values


Kategorie osmých ročníkůjméno škola 1 2 3 4 5 E C III ΣStudent Pilný MFF UK 5 6 6 6 8 6 37 112

1. Pavel Provazník ZŠ Štefánikova, Pardubice – 4 6 6 6 7 6 35 1062. Jakub Ježek G B. Němcové, HK – 5 3 6 3 8 4 29 973. Martin Kysela G, Český Krumlov – 4 3 6 6 4 6 29 934. Jiří Antoňů G, Špitálská, Praha – 5 – 6 6 6 6 29 925. Zuzana Lisztwanová ZŠ a MŠ Třinec - Staré Město – 4 6 6 4 6 5 31 856. Anna Hronová G Brno, tř. Kpt. Jaroše – 4 6 6 6 5 5 32 757. František Račický ZŠ Jemnice – 2 3 1 3 8 5 22 738. Dominik Blaha G, Uherské Hradiště – 3 3 2 3 7 – 18 589. Martin Švanda Arcibiskupské G, Praha – – – – – – – – 49

10. Tereza Dvořáková ZŠ Sokolovská, Velké Meziříčí – 4 – – 6 – – 10 4811. Veronika Nečadová ZŠ Jemnice – 2 3 1 4 3 3 16 46

12.–13. Martin Haikl G Týn nad Vltavou – 3 – – 3 6 1 13 3312.–13. Tomáš Veselý ZŠ a MŠ Myslibořice – 4 – 2 4 – 5 15 33

14. Aleš Chaloupka G J. Blahoslava, Ivančice – 3 – – 5 – – 8 2215. Anna Gryčová ZŠ Husova, Liberec 5 – – – – – – – – 2116. Barbora Šišáková ZŠ T. G. Masaryka Vracov – – – – – – – – 517. Jolana Chylíková ZŠ Strakonice, Dukelská – – – – – – – – 4

23


Kategorie devátých ročníkůjméno škola 1 2 3 4 5 E C III ΣStudent Pilný MFF UK 5 6 6 6 8 6 37 112

1. Eva Feldbabelová ZŠ Jemnice – 5 6 6 6 7 6 36 1092. Jiří Kohl Biskupské G, Brno – 5 3 6 6 6 5 31 1063. Adam Šebesta Masarykovo G, Plzeň – 4 3 4 6 – 6 23 934. Kateřina Zavadilová ZŠ Jílovská, Praha – 4 3 2 6 5 6 26 865. Adam Krška G, Mikulov – 5 – – 4 6 5 20 856. Filip Brázda ZŠ a MŠ Kameničky – 3 6 – 5 5 5 24 837. Aleš Opl Gymnázium Praha 3 – 5 – – 5 – – 10 718. Adam Mára ZŠ Jiráskovy sady, Příbram II – 2 2 3 4 0 2 13 59

9.–10. Jan Hyžák ZŠ Valašská Polanka – 4 6 – 3 6 1 20 569.–10. Tereza Preclíková G Dobruška – 2 – – 5 – – 7 56

11. Ondřej Valášek G, Nový Bydžov – 2 1 1 2 1 4 11 5512. Jakub Pelc G, Benešov – 3 2 2 5 1 4 17 5313. Sára Byšková ZŠ nám.Jiřího z Poděbrad, Praha – – – – – – – – 4914. Adam Korbel ZŠ J. A. Komenského Blatná – 2 – – – – – 2 4415. Natálie Křivancová G, Český Krumlov – 4 2 – 4 – 6 16 40

16.–17. Luboš Petráň Biskupské G, České Budějovice – 4 3 – 4 – – 11 3516.–17. Filip Temiak G, Český Krumlov – 4 – 2 – 5 – 11 35

18. Lukáš Tomoszek G, Třinec – 4 – – 3 – 3 10 3319. Klára Barnatová Klasické a španělské G, Brno – – – – – – – – 2920. Alex Rosenbergová ZŠ a MŠ, Březová – 4 – – 2 – – 6 2721. Kryštof Rakovský ZŠ Jiráskovy sady, Příbram II – – – – – – – – 2222. Vojtěch Stránský ZŠ a MŠ Osová Bítýška – – – – – – – – 2023. Aleš Manuel Papáček G, Třeboň – 4 – – 2 – – 6 1924. Kryštof Pravda G Mensa, Praha – – – – – – – – 1725. Markéta Bečvářová G, Písek – 4 – – – – – 4 1626. Jakub Dorňák ZŠ Valašská Polanka – 3 – – – – 2 5 1427. Adam Baroš ZŠ Valašská Polanka – 4 – – – – – 4 1328. Martin Klučka ZŠ a MŠ Pastviny, Brno – 3 2 2 2 – 2 11 11

24


Korespondenční seminář VýfukUK, Matematicko-fyzikální fakultaV Holešovičkách 2180 00 Praha 8

www: http://vyfuk.mff.cuni.cze-mail: [email protected]

Výfuk je také na Facebookuhttp://www.facebook.com/ksvyfuk

Korespondenční seminář Výfuk je organizován studenty a přáteli MFF UK. Je zastřešenOddělením propagace a mediální komunikace MFF UK a podporován Katedrou didaktiky

fyziky MFF UK, jejími zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fyziků.Toto dílo je šířeno pod licencí Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

Pro zobrazení kopie této licence navštivte http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/.

25

http://vyfuk.mff.cuni.cz


http://www.facebook.com/ksvyfuk

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Date post:	14-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Zadání V. sérievyfuk.mff.cuni.cz/_media/ulohy/r7/s5/serie5.pdf · 2019. 11. 9. · byla ve...

Documents