Materialy k prednasce z M1E

Obsah

1 Mnoziny a polynomy 21.1 Mnoziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Maticovy pocet 52.1 Vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Gaussova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Analyticka geometrie v prostoru 15

4 Posloupnosti 174.1 Supremum a infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Rady 26

6 Funkce 286.1 Limity funkcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Spojite funkce na mnozine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7 Derivace 397.1 Zakladnı vety diferencialnıho poctu . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 Vyssı derivace a Taylorova formule . . . . . . . . . . . . . . . 487.3 Prubeh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8 Integraly 598.1 Neurcite integraly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.2 Urcite integraly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.3 Aplikace v geometrii a fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2 M1E

1 Mnoziny a polynomy

1.1 Mnoziny

Definice 1.1 : Mnozina je soubor objektu, ktere nazyvameprvky mnoziny. Pıseme x∈A a cteme x je prvkem mno-ziny A, popr. y 6∈ B a cteme y nenı prvkem (nepatrı do)mnoziny B.

Rekneme, ze mnozina A je podmnozinou mnoziny B,pıseme A ⊂ B, kdyz platı:Jestlize x je prvkem mnoziny A, pak x je take prvkemmnoziny B. Zkracene A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A⇒ x ∈ B.

Definice 1.2 : Rovnost dvou mnozin je definovana vzta-hem : A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A.

Rekneme, ze A je vlastnı podmnozina B, jestlizeA ⊂ B ∧ A 6= B.

Sjednocenı mnozin A,B znacıme A ∪B a.platıA ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.Prunik mnozin A,B : A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.Doplnek mnoziny A : A′ = {x : x 6∈ A}.Rozdıl mnozin A,B : A\B = {x : x ∈ A ∧ x 6∈ B}.Prazdna mnozina se znacı ∅ a neobsahuje zadny prvek.

� ������

� ������

���

�

� �

�����

Definice 1.3 : Kartezskym soucinem mnozin X, Ynazveme mnozinu

X × Y = {(x, y) ; x ∈ X, y ∈ Y } ,

dvojice (x, y) se nazyva usporadana dvojice prvku mnozinX, Y . Libovolna podmnozina kartezskeho soucinu se nazyvarelace.

Podmnozina f ⊂ X × Y se nazyva zobrazenı z mnoziny Xdo mnoziny Y , jestlize platı

(x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2 .

(Ke kazdemu x ∈ X existuje nejvyse jedno y ∈ Y takove, ze(x, y) ∈ f).Pıseme : f : X → Y nebo y = f(x) .

M1E 3

Definice 1.4 : Zakladnı mnoziny cısel tvorı cısla:

Prirozena N = {1, 2, 3, . . .}Cela Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}Racionalnı Q = {pq ; p ∈ Z , q ∈ N}Realna R = {±a,a1a2 . . . , a∈N∪{0}, ai∈{0, 1, . . . , 9}}Komplexnı C = {a+ ib ; a, b ∈ R , i2 = −1}

Realna cısla, ktera ne-jsou racionalnı, nazy-vame iracionalnı cıs-la.Iracionalnı cısla jsounaprıklad

√7, π, e.

Prıklad 1.1 : Preved’te komplexnı cıslo z =√

3 − i dogoniometrickeho tvaru.

Goniometricky tvar komplexnıho cısla z je dan rovnostız = |z|(cosϕ+ i sinϕ), kde pro absolutnı hodnotu |z| kom-

plexnıho cısla platı |z| =√a2 + b2 =

√(√

3)2 + 12 = 2 .

Uhel ϕ, ktery svıra pruvodic komplexnıho cısla z s kladnymsmerem osy x splnuje vztahy cosϕ = a

|z| =√

32 a sinϕ =

b|z| = −1

2 , neboli ϕ = −π6 . Cıslo z ma tedy goniometricky

tvar z = 2(cos(−π6 + 2kπ) + i sin(−π

6 + 2kπ)), kde k ∈ Z.

1.2 Polynomy

Definice 1.5 : (polynom)Zobrazenı P : C 7→ C tvaru

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 =n∑k=0

akxk,

kde ak ∈ C, an 6= 0 se nazyva polynom stupne n.Cıslo n = st(P ) nazyvame stupen polynomu a cısla ak,k = 0, 1, . . . n se nazyvajı koeficienty polynomu.

Postupne vytykamepromennou x a upra-vıme polynomP (x)=3x3−2x2−3x+2=((3x−2)x−3)x+2.Vypocet hodnoty po-lynomu P v bode x=2lze pak znazornit po-mocı

Hornerova schematu

x 3 -2 -3 2

2 3 4 5 12

kde 4 = 2 · 3 − 2, 5 =2 · 4− 3, 12 = 2 · 5 + 2.

Definice 1.6 : (algebraicka rovnice)Cıslo P (ξ) = anξ

n + an−1ξn−1 + . . . + a1ξ + a0, ξ ∈ C se

nazyva hodnota polynomu v bode ξ. Jestlize P (x0) = 0,pak se cıslo x0 nazyva koren polynomu. Polynom x−x0 senazyva korenovy cinitel a platı P (x) = (x− x0)Q(x) , kdeQ(x) je polynom stupne n− 1 . Rovnice P (x) = 0 se nazyvaalgebraicka rovnice n-teho stupne.

4 M1E

Prıklad 1.2 : Vyreste algebraickou rovnici P (x) = 0, kdeP (x)=3x3−2x2−3x+2. Vyjadrete polynom P jako soucinkorenovych cinitelu.

Platı P (1) = 0, tedy cıslo x0 = 1 je korenem polynomuP a P (x) = (x − 1)(3x2 +x−2). Dalsımi koreny jsou cısla−1, 3

2 . Rozklad polynomu P na korenove cinitele ma tvarP (x)=3(x− 1)(x+ 1)(x− 3

2).

Hodnotu P (1) spocı-tame pomocı Hornero-va schematu

x 3 -2 -3 2

1 3 1 -2 0

Veta 1.1 : (zakladnı veta algebry)Kazda algebraicka rovnice stupne alespon jedna ma v oborukomplexnıch cısel alespon jeden koren.

Veta 1.2 : (dusledek zakladnı vety algebry)Kazda algebraicka rovnice stupne n ma v oboru komplexnıchcısel prave n korenu ξ1, . . . , ξn a platı

P (x) = an(x− ξ1) · . . . · (x− ξn).

Hovorıme o rozkladu polynomu na soucin korenovych cini-telu.

Prıklad 1.3 : Polynom P (x) = x3 + 1 rozlozıme do soucinu

P (x) = (x+ 1)(x− −1+i√

32 )(x− −1−i

√3

2 ) .

Definice 1.7 : (algebraicke operace s polynomy)Mame dva polynomy P (x) = anx

n+an−1xn−1 + . . .+a1x+a0,

Q(x) = bmxm + bm−1x

m−1 + . . . + b1x + b0, n ≥ m a c ∈ C.Potom polynom

i) c ·P (x) = canxn+can−1x

n−1 + . . .+ca1x+ca0 se nazyvanasobek polynomu P (x),

ii) P (x) +Q(x) = anxn+ . . .+ (am+ bm)xm+ . . .+ (a0 + b0)

se nazyva soucet polynomu P (x), Q(x),

iii) P (x)−Q(x) = anxn+ . . .+ (am− bm)xm+ . . .+ (a0− b0)

se nazyva rozdıl polynomu P (x), Q(x),

iv) P (x) · Q(x) = (anbm)xn+m + . . . + (a1b0 + a0b1)x + a0b0

se nazyva soucin polynomu P (x), Q(x).

v) Podıl polynomu P (x)Q(x) se nazyva racionalnı lomena

funkce.

Vsimneme si, ze priscıtanı polynomu scı-tame pouze koefici-enty (prıslusne stejnemocnine x).Pri delenı polynomupolynomem nevzniknevzdy polynom.

M1E 5

Prıklad 1.4 : (delenı polynomu polynomem)

(2x3 − 3x2 +5) : (x− 2) = 2x2 + x+ 2 + 9x+2

−(2x3 − 4x2)

0 + 1x2 +5−(1x2−2x)

0 +2x+ 5−(2x− 4)

9

Hornerovo schema

x 2 -3 0 5

2 2 1 2 9

2 Maticovy pocet

2.1 Vektory

Definice 2.1 : (linearnı prostor)Mame mnozinu V s operacı + (tj. se zobrazenım z V × V doV), zkracene (V,+), a platı:

i) ∀u, v, w ∈ V : (u+ v) + w = u+ (v + w) , (asociativita)

ii) ∃ o ∈ V ∀u ∈ V : u+ o = o+ u = u , (neutralnı prvek)

iii) ∀u ∈ V ∃ u ∈ V : u+ u = u+ u = o . (inverznı prvek)

iv) ∀u, v ∈ V : u+ v = v + u , (komutativita)

Necht’ dale operace ”· ” z T (= R,C)×V do V : (a, u)→ a ·usplnuje:

v) ∀ a, b ∈ T ∀u ∈ V : a · (b · u) = (a · b) · u (asociativita)

vi) ∀ a, b ∈ T ∀u ∈ V : (a+ b) · u = a · u+ b · u,

∀ a ∈ T ∀u, v ∈ V : a · (u+ v) = a · u+ a · v(distributivita)

iii) ∀u ∈ V , 1 ∈ T : 1 · u = u (absorpce jednotky).

Potom mnozina V s operacemi +, · se nazyva linearnı(vektorovy)prostor nad telesem T . Prvky mnoziny V senazyvajı vektory. Vektory budeme znacit ~u.

K nejznamejsım prı-kladum vektoru patrıvektory sıly, rychlosti,zrychlenı nebo hyb-nosti.

(1, 2) + (0, 0) = (1, 2)

(1, 2)+(−1,−2)=(0, 0)

(1, 2)+(0, 2)=(0, 2)+(1, 2)

3 · (2 · (1, 2))=(3 · 2) · (1, 2)=(6, 12)

(1 + 3)·(0, 2)=(0, 2)+(0, 6)

3((1, 2)+(0, 2))=(3, 6)+(0, 6)

Prıklad 2.1 : Mnozina vsech usporadanych dvojic realnychcısel tvorı vektorovy prostor.

Mnozina vsech polynomu tvorı vektorovy prostor.

6 M1E

Definice 2.2 : (linearnı zavislost a nezavislost)Necht’ V je linearnı prostor nad telesem T . Necht’ vektory~u1, ~u2, . . . , ~un ∈ V , konstanty a1, a2, . . . , an ∈ T , n ∈ N, paklinearnı kombinacı vektoru ~u1, ~u2, . . . , ~un nazyvame vektor

a1~u1 + a2~u2 + . . .+ an~un .

Jestlize

a1~u1 + a2~u2 + . . .+ an~un = ~o⇔ a1 = a2 = . . . = an = 0 ,

(~o je nulovy vektor) pak rıkame, ze vektory ~u1, ~u2, . . . , ~unjsou linearne nezavisle, v opacnem prıpade jsou linearnezavisle.

Linearnı kombinacıvektoru ~u1 = (2, 3),~u2 =(2, 5) je naprıkladvektor ~u3 =3~u1−2~u2.Vektory ~u1, ~u2, ~u3 jsoulinearne zavisle.

Prıklad 2.2 :Vektory ~u = (1, 1), ~v = (2, 1) z prostoru vsech usporadanychdvojic jsou linearne nezavisle.

Tri vektory lezıcı vrovine jsou jiz nutnelinearne zavisle.

Cvicenı 2.1 :Dokazte, ze vektory ~u = (1, 0), ~v = (2, 3), ~w = (1,−1) jsoulinearne zavisle.

Definice 2.3 : (baze a dimenze prostoru)Vektory ~e1, ~e2, . . . , ~en ∈ V , n ∈ N, tvorı bazi linearnıho pros-toru V nad telesem T , jestlize

i) vektory ~e1, ~e2, . . . , ~en jsou linearne nezavisle,

ii) ∀u ∈ V jsou vektory ~u,~e1, ~e2, . . . , ~en linearne zavisle,

tj. existujı a1, a2, . . . , an ∈ T : ~u = a1~e1 + a2~e2 + . . . + an~en.Cısla a1, a2, . . . , an nazyvame souradnice vektoru ~u vzhle-dem k bazi ~e1, ~e2, . . . , ~en. Pıseme ~u = (a1, a2, . . . , an).Cıslo n ∈ N, neboli pocet prvku baze, nazyvame dimenzeprostoru V . Pıseme dimV = n. Pokud neexistuje konecnabaze prostoru V , pak pıseme dimV =∞.

Existence baze vek-toroveho prostoru jedusledkem axiomuvyberu:JestlizeM je mnozinaneprazdnych mnozin,potom existuje zobra-zenı f s definicnım o-boremM, ktere kazdemnozine A∈M prira-dı jisty prvek mnozinyA, tedy f(A)∈A.Axiom vyberu zfor-muloval v roce 1904nemecky matematikErnst Friedrich Ferdi-nand Zermelo (1871-1953). Prıklad 2.3 :

Prostor (R3,+, ·) vsech usporadanych trojic realnych cıselje vektorovy prostor dimenze 3.

Cvicenı 2.2 :Dokazte, ze prostor (C([0, 1]),+, ·) vsech spojitych funkcına intervalu [0, 1] s operacemi scıtanı funkcı a nasobenıfunkcı realnym cıslem je vektorovy prostor s nekonecnoudimenzı.

M1E 7

Definice 2.4 : (norma, skalarnı soucin)Necht’ V je vektorovy prostor dimenze n nad telesem Ra ~u = (a1, a2, . . . , an) ∈ V , potom cıslo

‖~u‖ =√a2

1 + a22 + . . .+ a2

n (1)

nazveme normou vektoru ~u.Necht’ ~v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ V , potom cıslo

~u · ~v = a1b1 + a2b2 + . . .+ anbn (2)

nazveme skalarnı soucin vektoru ~u, ~v.Cıslo ϕ ∈ [0, π] nazveme uhlem dvou vektoru ~u,~v ∈ V ,jestlize platı

cosϕ =(~u,~v)

‖~u‖ · ‖~v‖. (3)

Jestlize ϕ = π2 (tj. (~u,~v) = 0), pak rıkame, ze vektory ~u,~v

jsou ortogonalnı, znacıme ~u⊥~v. Pokud navıc ‖~u‖=‖~v‖=1,pak rıkame, ze vektory ~u,~v jsou ortonormalnı.

Pro normu vektoru~u = (1,−1, 3) platı‖~u‖ =

√11.

Jestlize ~v = (−2, 1, 1),pak skalarnı soucinvektoru ~u · ~v = 0.

2.2 Matice

Chceme vyjadrit vektor ~u = (1, 3) v bazi ~v1 = (1, 1), ~v2 = (2, 0).Hledame x1, x2 tak, aby ~u = x1~v1 +x2~v2, tedy (1, 3) = x1(1, 1)+x2(2, 0) = (1x1, 1x1) + (2x2, 0x2).

Uvedenou rovnost prepıseme do tvaru

1x1 + 2x2 = 1 (1, 2)(x1, x2) = 11x1 + 0x2 = 3 (1, 0)(x1, x2) = 3

(1 21 0

) (x1

x2

)=

(13

)Definice 2.5 : (soustava linearnıch rovnic)System rovnic

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm,

(4)

kde aij, bi ∈ C, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n se nazyvasoustava linearnıch rovnic, take hovorıme o systemu mlinearnıch rovnic o n neznamych.

Do nakupnı tasky semi vejde 5 kg ovoce.Na nakup x1 kg jablekpo 20 Kc za 1 kg ax2 kg hrusek po 30 Kcza 1 kg mam 120 Kc.Kolik mohu nakoupitjablek a hrusek?

1x1 + 1x2 = 520x1 + 30x2 = 120.

8 M1E

Definice 2.6 : (matice)Oznacıme

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

, ~b =

b1

b2...bm

, ~x =

x1

x2...xn

.

Objekt A nazyvame matice, vektor ~b se nazyva vektorpravych stran. Je-li ~b= ~o, potom se soustava (4) nazyvahomogennı. Vektor ~x se nazyva vektor neznamych.Hodnoty aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n se nazyvajı prvkymatice, cıslo m udava pocet radku matice, cıslo n udavapocet sloupcu matice. Hovorıme o matici typu m × n apıseme A = (aij) = Amn = (aij)mn .

Matice A je zarovenmatice soustavy.

Definice 2.7 : (vyznamne matice)Matice typu n×n (take radu n) se nazyva ctvercova, jinakhovorıme o obdelnıkove matici.Ctvercova matice

I =

1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . .0 0 . . . 1

se nazyva jednotkova matice, neboli aii = 1, i = 1, . . . , n,aij = 0, i 6= j .Jestlize aii 6= 0 , i = 1, . . . , n a aij = 0 , i 6= j , pak sectvercova matice A = (aij) nazyva diagonalnı matice.Prvky aii , i = 1, . . . , n tvorı diagonalu matice A .Jestlize aij = 0, i > j, i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,m , pak sematice A nazyva hornı trojuhelnıkova matice. Analo-gicky definujeme dolnı trojuhelnıkovou matici.Matice AT = (aji) i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,m se nazyvatransponovana matice.

Matice

A=

1 0 01 4 02 3 0

je dolnı trojuhelnıkovamatice. Jejı diagonalutvorı prvkya11 =1, a22 =4, a33 =0.

Zamenıme-li radky asloupce puvodnı mati-ce, dostaneme trans-ponovanou matici.

Necht’ A =

1 31 42 6

,

pak transponovanoumaticı k matici A jematice

AT =

(1 1 23 4 6

).

Cvicenı 2.3 : Najdete transponovanou matici k matici

A=

1 0 01 4 02 3 2

. Resenı AT =

1 1 20 4 30 0 2

.

M1E 9

Definice 2.8 : (operace s maticemi, inverznı matice)Necht’ A, B jsou matice stejneho typu, soucet matic je danvztahem A + B = (aij + bij), rozdıl matic je dan vztahemA− B = (aij − bij) .Nasobek matice A cıslem c∈C je dan vztahem cA=(c aij).Necht’ A je matice typu m×n a B je matice typu n×k, potomsoucinem matic A · B je matice C = (cij) typu m× k, pro

kterou platı cij = ai1b1j + ai1b1j + . . .+ ainbnj =n∑l=1

ailblj .

Necht’ A je ctvercova matice, pak matice A−1, pro kterouplatı

A−1 · A = A · A−1 = I

se nazyva inverznı matice.

U nasobenı matic ne-platı nektera pravid-la, ktera platı pro na-sobenı cısel. Naprı-klad soucinem dvounenulovych matic mu-ze byt matice nulova.

Necht’ A=

(−1 2−2 4

)a B=

(4 22 1

), pak

AB =

(0 00 0

).

K matici A existujenejvyse jedna inverznımatice.

Cvicenı 2.4 : Dokazte tvrzenı:

Necht’ existujı A−1, B−1, pak (AB)−1 = B−1A−1 .

Definice 2.9 : (evivalentnı upravy soustavy rovnic)K ekvivalentnım upravam soustavy rovnic patrı

a) vymena (prohozenı) dvou rovnic

b) vynasobenı rovnice nenulovym cıslem

c) prictenı nasobku jedne rovnice k jine rovnici

V bodech b), c) sevlastne jedna o linear-nı kombinaci rovnic.

Ekvivalentnı upravymatic lze nahraditnasobenım specialnımaticı:- vymena radku(

0 11 0

)(a bc d

)=

(c da b

)- vynasobenı radku(1 00 2

)(a bc d

)=

(a b2c 2d

)- prictenı nasobkuradku k jinemu radku(

1 02 1

)(a bc d

)=(

a b2a+ c 2b+ d

).

2.3 Gaussova eliminacnı metoda

Definice 2.10 : (rozsırena matice soustavy)Necht’ A ~x = ~b je maticovy zapis soustavy linearnıch rovnic.Pak matice (A |~b) se nazyva rozsırena matice soustavy.

Gaussova eliminacnı metoda

Cılem Gaussovy eliminacnı metody je pomocı ekvivalentnıchuprav prevest rozsırenou matici soustavy na tzv. stupnovitytvar. Postup si ukazeme na prıkladu.

Prıklad 2.4 : Resıme soustavu

1x1 + 3x2 = 02x1 − 2x2 = 8 .

10 M1E

Rozsırena matice soustavy ma tvar

(1 32 −2

∣∣∣∣ 08

).

Od druheho radku odecteme dvojnasobek prvnıho radku,

zkracene 2.r.-2 · 1.r. . Dostaneme matici

(1 30 −8

∣∣∣∣ 08

).

Z druhe rovnice vyplyva, ze −8x2 =8, tedy x2 =1, po dos-azenı do prvnı rovnice dostaneme 1x1 + 3 · (−1)=0, odtudx1 =3. Resenım soustavy je vektor (x1, x2) = (3, 1).

Prıklad 2.5 : 1 3 12 1 11 1 5

∣∣∣∣∣∣52−7

∼ 1 3 1

0 −5 −10 −2 4

∣∣∣∣∣∣5−8−12

∼ 1 3 1

0 5 10 1 −2

∣∣∣∣∣∣586

∼

1 3 10 1 −20 5 1

∣∣∣∣∣∣568

∼ 1 3 1

0 1 −20 0 11

∣∣∣∣∣∣56

−22

∼ 1 3 1

0 1 −20 0 1

∣∣∣∣∣∣56−2

∼

1 3 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣72−2

∼ 1 0 0

0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣12−2

Maximalnı pocet line-arne nezavislych rad-ku v matici se ekviva-lentnımi upravami ne-menı.

Prıklad 2.6 : (soustava nema resenı) 1 3 12 1 11 −2 0

∣∣∣∣∣∣527

∼ 1 3 1

0 −5 −10 −5 −1

∣∣∣∣∣∣5−8

2

∼ 1 3 1

0 −5 −10 0 0

∣∣∣∣∣∣5−810

Prıklad 2.7 : (soustava ma nekonecne mnoho resenı) 1 3 1

2 1 11 −2 0

∣∣∣∣∣∣52−3

∼ 1 3 1

0 −5 −10 −5 −1

∣∣∣∣∣∣5−8−8

∼ 1 3 1

0 −5 −10 0 0

∣∣∣∣∣∣5−8

0

Definice 2.11 : (stupnovity tvar, hodnost matice)Rekneme, ze matice A, je ve stupnovitem tvaru, jestlizeplatı: Je-li v nekterem radku prvnı nenulovy prvek na i-temmıste, potom ve vsech dalsıch radcıch jsou vsechny prvky azdo i-teho vcetne rovny nule.Pomoci Gaussovy eliminace upravıme matici A na stupnovitytvar. Pocet nenulovych radku v takto upravene matici senazyva hodnost matice A. Znacıme hod (A) .

Matice ve stupnovi-tem tvaru1 2 0

0 1 30 0 1

,

1 2 00 1 30 0 0

,(

1 2 00 0 0

),

(1 2 00 5 3

).

M1E 11

Veta 2.1 : (hodnost matice)Maximalnı pocet linearne nezavislych radku (sloupcu) maticeA se rovna hodnosti matice A.

Veta 2.2 : (Frobeniova veta, podmınky resitelnosti sous-tavy linearnıch rovnic)Necht’ A = (aij)nn je ctvercova matice. Pak soustava A ~x = ~bma prave jedno resenı, prave tehdy kdyz

hod (A) = hod (A|~b) = n ,

ma nekonecne mnoho resenı, prave tehdy kdyz

hod (A) = hod (A|~b) < n ,

nema resenı, prave tehdy kdyz

hod (A) < hod (A|~b) .

Pri hledanı resenısoustavy A~x = ~b, bybylo uzitecne, kdyby-chom znali inverznımatici A−1 k maticiA = (aij)nn, pak

I~x = A−1A~x = A−1~b,tedy ~x = A−1~b .Pokud zname inverznımatici, pak jsemschopni najıt resenısoustavy A~x = ~bpro libovolny vektorpravych stran ~b .

Podle definice inverznı matice hledame takovou matici X, zeplatı AX = I. Oznacımeli i-ty sloupec matice X jako ~xTi , potomplatı A~xTi = ~eTi , kde ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) a cıslo 1 je na i-tem mıste vektoru ~ei , i = 1, . . . , n. Problem nalezenı vektoru ~xTiresıme tak, ze si vedle matice A napıseme jednotkovou matici I.Vsechny ekvivalentnı upravy, ktere provadıme na matici A pro-vadıme zaroven na jednotkovou matici I. Postupujeme nejdrıvejako u Gaussovy metody. Prevedeme matici A na hornı trojuhel-nıkovy tvar a pak pokracujeme a prevedeme ji na jednotkovoumatici. Mısto jednotkove matice vpravo vznikne matice inverznıA−1 . Hovorıme o Gaussove-Jordanove metode.

Po Gaussove-Jordano-ve eliminaci se mıstoprave strany objevı re-senı soustavy.Nalezenı inverznı matice si ukazeme na prıkladu. 1 3 1

2 1 11 1 5

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∼ 1 3 1

0 −5 −10 −2 4

∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−1 0 1

∼ 1 3 1

0 5 10 1 −2

∣∣∣∣∣∣1 0 02 −1 012 0 −1

2

∼ 1 3 1

0 1 −2

0 5 1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 012 0 −1

2

2 −1 0

∼ 1 3 1

0 1 −2

0 0 11

∣∣∣∣∣∣∣1 0 012 0 −1

2

−12 −1 5

2

∼ 1 3 1

0 1 −2

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 012 0 −1

2

− 122 −

111

522

∼ 1 3 0

0 1 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣2322

111 −

522

922 −

211 −

122

− 122 −

111

522

∼ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣− 4

22711 −

222

922 −

211 −

122

− 122 −

111

522

, A−1 =1

22

−4 14 −2

9 −4 −1

−1 −2 5

12 M1E

~x = A−1 ·~b = 122

−4 14 −29 −4 −1−1 −2 5

· 5

2−7

=

12−2

.

2.4 Determinanty

Pokud pouzijeme Gaussovu-Jordanovu metodu na obecnou ma-

tici A =

(a11 a12

a21 a22

)a hledame inverznı matici, pak dostaneme

A−1 =1

a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

)Definice 2.12 : (determinant)

Necht’ A =

(a11 a12

a21 a22

), potom cıslo

a11a22 − a12a21 =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = detA

se nazyva determinant matice A typu 2× 2 .

Necht’ A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, potom cıslo

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

(-1)1+1a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣+(-1)1+2a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+(-1)1+3a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣se nazyva determinant matice A typu 3 × 3 . Hovorıme orozvoji determinantu podle prvnıho radku. Analogicky defi-nujeme rozvojem determinant matice typu n× n .

Rozvoj determinantulze provadet podle li-bovolneho radku nebosloupce.Pro deteminant 3× 3platı Sarrusovo pravi-dlo∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

a11a22a33 +a12a23a31 +a21a32a13−a13a22a31−a12a21a33 − a11a32a23 .

Prıklad 2.8 : Rozvojem podle druheho sloupce vypocıtamedeterminant∣∣∣∣∣∣∣∣−3 7 1 −2

2 0 −1 2−3 1 3 0−1 0 1 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+27

∣∣∣∣∣∣2 −1 2−3 3 0−1 1 −4

∣∣∣∣∣∣+

M1E 13

(−1)3+21

∣∣∣∣∣∣−3 1 −2

2 −1 2−1 1 −4

∣∣∣∣∣∣ = −7 · (−12)− 1 · (−2) = 86.

Veta 2.3 : (Vlastnosti determinantu)Necht’ A je ctvercova matice.

1. V matici A vynasobıme nejaky radek cıslem c ∈ C,dostaneme matici Ac. Pak platı detAc = c detA .

2. Prohodıme v matici A libobolne dva radky, dostanemematici Ap. Pak platı detAp = − detA .(Z 1), 2) plyne: Jestlize jsou v matici A dva linearnezavisle radky, pak detA = 0.)

3. V matici A je i-ty radek roven souctu vektoru ~v1 + ~v2 .V matici A nahradıme i-ty radek vektorem ~vi , i= 1, 2 ,dostaneme postupne matice Ai , i = 1, 2 . Pak platıdetA = detA1 + detA2 .

4. Prictenım nasobku nejakeho radku k jinemu radku sehodnota determinantu nemenı.

5. Pokud matice A obsahuje linearne zavisle radky, pakdetA = 0.

6. Determinant hornı (nebo dolnı) trojuhelnıkove maticese rovna soucinu prvku na diagonale.

Tvrzenı vety 2.3 platıi pro sloupce.

∣∣∣∣ 2 41 3

∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣ 1 21 3

∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣ 2 41 3

∣∣∣∣ = −∣∣∣∣ 1 3

2 4

∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣ 2 41 3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 2 40 1

∣∣∣∣+∣∣∣∣ 2 41 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 4

1 3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 2 41+2 3+4

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 4

1 2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 0 01 2

∣∣∣∣ = 0

∣∣∣∣∣∣2 4 30 2 20 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 4

Poznamka 2.1 : Hodnota determinantu matice se Gaussovoueliminacı (pokud neprohazujeme radky) nemenı.

Definice 2.13 : (Regularnı matice)Ctvercova matice A se nazyva regularnı, jestlize detA 6= 0 ,jinak se nazyva singularnı matice.

A=

1 3 22 1 11 0 0

, pak

detA = 1 , tedy A jeregularnı matice.K nı inverznı je matice

A−1 =

∣∣∣∣∣∣0 0 11 −2 3−2 3 −5

∣∣∣∣∣∣a detA−1 = 1 .

Veta 2.4 : (Determinant inverznı matice)Necht’ je matice A regularnı, potom existuje inverznı maticeA−1 a platı

detA−1 =1

detA.

14 M1E

Veta 2.5 : (Cramerovo pravidlo)Necht’ A je regularnı matice a uvazujeme soustavu rovnicA~x = ~b . V matici A nahradıme i-ty sloupec vektorem ~b,dostaneme matici Ai . Potom pro i−ty prvek xi vektoru resenı~x platı

xi =detAi

detA.

Resıme soustavu

a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2 .

V matici soustavy na-hradıme prvnı sloupecsloupcem prave stra-

ny, potom

∣∣∣∣ b1 a12b2 a22

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ a11x1 + a12x2 a12a21x1 + a22x2 a22

∣∣∣∣=(Od prvnıho sloupceodecteme x2 nasobekdruheho sloupce)∣∣∣∣a11x1 a12a21x1 a22

∣∣∣∣=x1

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣,odtud x1 =

∣∣∣∣∣∣ b1 a12b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣∣∣.

Prıklad 2.9 :

Resıme soustavu

1x1 + 3x2 + 1x3 = 52x1 + 1x2 + 1x3 = 23x1 + 1x2 + 5x3 =−5 ,

pak determinant matice soustavy detA =

∣∣∣∣∣∣1 3 12 1 13 1 5

∣∣∣∣∣∣= −18.

Nahradıme-li prvnı sloupec matice soustavy vektorem pra-

vych stran, dostaneme detA1 =

∣∣∣∣∣∣5 3 12 1 1−5 1 5

∣∣∣∣∣∣=−18 . Podobne

detA2 =

∣∣∣∣∣∣1 5 12 2 13 −5 5

∣∣∣∣∣∣ = −36 , detA3 =

∣∣∣∣∣∣1 3 52 1 23 1 −5

∣∣∣∣∣∣ = 36 .

Pro jednotlive prvky vektoru resenı ~x = (x1, x2, x3) platı

x1 = detA1

detA = 1 , x2 = detA2

detA = 2 , x3 = detA3

detA = −2 .

M1E 15

3 Analyticka geometrie v prostoru

Definice 3.1 : (Prımky, roviny)V prostoru usporadanych trojic R3 mame bod A = [a1, a2, a3]a linarne nezavisle vektory ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) .Body X = [x1, x2, x3] splnujıcı parametricke rovnice

X = A+ t ~u , tedyx1 = a1 + t u1

x2 = a2 + t u2

x3 = a3 + t u3

, t ∈ R,

tvorı prımku p, vektor ~u se nazyva smerovy vektorprımky p.Body X = [x1, x2, x3] splnujıcı parametricke rovnice

X = A+ s ~u+ r ~v , tedyx1 = a1 + s u1 + r v1

x2 = a2 + s u2 + r v2

x3 = a3 + s u3 + r v3

, s, r ∈ R,

tvorı rovinu σ, vektory ~u,~v se nazyvajı smerove vektoryroviny σ.Rovinu σ muzeme popsat i pomocı obecne rovnice tvaru

a x+ b y + c z + d = 0 , zde X = [x1, x2, x3] = [x, y, z]

poprıpade v Hessove normalovem tvaru

a (x1 − a1) + b (x2 − a2) + c (x3 − a3) = 0 .

Vektor ~n=(a, b, c) se nazyva normalovy vektor roviny σ.

Bod X take pısemeve tvaru X = [x, y, z],potom parametrickytvar prımky p je

x = −2 + 3 ty = 3− 4 tz = −4 + 6 t

, t∈R.

Podobne rovinu σ za-davame ve tvaru

x = 1 + 1 r + 2 sy = −2 + 6 r − 3 sz = 2− 2 r − 4 s

,

r, s∈R.

Rovina σ ma obecnourovnici

2(x− 1) + z − 2 = 0 .

Jejı normalovy vektorje ~n = (2, 0, 1) .

Definice 3.2 : (Vzajemna poloha dvou prımek)Mejme prımky p : X = A + t ~u , q : X = B + s~v , t, s ∈ Ra oznacıme ~w = B − A.

• Jestlize vektory ~u,~v jsou linearne zavisle, pak rekneme,ze prımky p, q jsou rovnobezne, jsou-li navıc vektory~u, ~w linearne zavisle, pak rekneme, ze prımky p, q jsoushodne.

• Jestlize vektory ~u,~v jsou linearne nezavisle a– vektory ~u,~v, ~w jsou linearne zavisle, pak rekneme,

ze prımky p, q jsou ruznobezne,

– vektory ~u,~v, ~w jsou linearne nezavisle, pak rekneme,ze prımky p, q jsou mimobezne.

Pro prımkyp: [2, 3, 4] + t (3,−4, 6)aq: [0, 2, 0] + s (0,−1, 0)je ~w = (−2,−1,−4).

Vektory ~u= (3,−4, 6)a ~v = (0,−1, 0) jsoulinearne nezavisle avektory ~u , ~v , ~w jsoulinearne zavisle.Tedy prımky p, q jsouruznobezky.

16 M1E

Definice 3.3 : (Vzajemna poloha prımky a roviny, dvourovin)

• Mame parametricky zadane prımku p : X = A + t ~ua rovinu σ : X = B + s~v + r ~w, t, s, r ∈ R.Jestlize vektory ~u,~v, ~w jsou linearne zavisle, pakrekneme, ze prımka p a rovina σ jsou rovnobezne(pokud navıc

−→AB,~v, ~w jsou linearne zavisle, pak p ⊂ σ),

jinak rekneme, ze jsou ruznobezne

• Mame parametricky zadane roviny σ : X = A+t ~u+s~v,a % : X = B + r ~w + τ ~z , t, s, r, τ ∈ R.

Jestlize vektory ~u,~v, ~w jsou linearne zavisle a zaroven~u,~v, ~z jsou linearne zavisle, pak rekneme, ze roviny %, σjsou rovnobezne, jinak rekneme, ze jsou ruznobezne.

Prımkap: [2, 3, 4] + t (3,−4, 6)a rovina σ:

x = 1 + 1 s+ 2 ry = −2 + 6 s− 3 rz = 2− 2 s− 4 r

,

r, s∈R jsou ruznobez-ne, protoze vektory

~w = (3,−4, 6),~u = (1, 6,−2),~v = (2,−3,−4)

jsou linearne nezavis-le.

Prusecık prımky a ro-viny najdeme pomocısoftwaru WolframAlp-ha.

Definice 3.4 : (vektorovy soucin)Mejme dva vektory ~u,~v∈R3, ~u = (u1, u2, u3) a ~v = (v1, v2, v3),potom vektor

~u× ~v =

(∣∣∣∣ u2 u3

v2 v3

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ u3 u1

v3 v1

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ u1 u2

v1 v2

∣∣∣∣)nazyvame vektorovy soucin vektoru ~u,~v .

Take pıseme

~u×~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ ,kde ~i = ~e1 = (1, 0, 0),~j = ~e2 = (0, 1, 0), ~k =~e3 = (0, 0, 1).

Veta 3.1 : (vlastnosti vektoroveho soucinu)Pro vektorovy soucin ~u× ~v platı

i) jestlize ~u,~v jsou linearne zavisle, pak ~u× ~v = ~o ,

ii) ‖~u× ~v‖ = ‖~u‖ ‖~v‖ sinϕ ,

kde ϕ je uhel svırany vektory ~u,~v .

iii) ~u× ~v⊥ ~u , ~u× ~v⊥~v ,

iv) usporadana trojice ~u,~v, ~u×~v je pravotociva (ma kladnouorientaci).

Bod ii) vety 3.1 rı-ka, ze velikost plochyrovnobeznıka urcene-ho vektory ~u,~v serovna velikosti vekto-roveho soucinu ~u× ~v.

O usporadane trojicivektoru (

−→PA,−→PB,−→PC)

rekneme, ze je pravo-tociva, jestlize pri po-hledu z bodu C prejdevektor

−→PA v kladny

nasobek vektoru−−→PB

otocenım v kladnemsmeru (proti smeruhodinovych rucicek)o uhel ϕ < π .

Cvicenı 3.1 : Dokazte, ze platı

i) ~u× ~v = −~v × ~u ,

ii) ‖~u× ~v‖ =√‖~u‖2 ‖~v‖2 − (~u,~v)2 ,

M1E 17

Veta 3.2 : (Vzdalenost bodu od prımky, od roviny)Mame bod B = [b1, b2, b3], prımku p : A + t ~u a rovinuσ : A + s ~u + r ~v, pak vzdalenost dp bodu B od prımky pje dana vztahem

dp =‖(−→AB × ~u)‖‖~u‖

,

a vzdalenost dσ bodu B od roviny σ je dana vztahem

dσ =| (−→AB, ~u× ~v ) |‖~u× ~v‖

.

Necht’ se v magnetic-kem poli s indukcı ~B,pohybuje naboj o ve-likosti Q rychlostı ~v,pak na nej pusobı sıla~F = Q · (~v × ~B) .

Pokud rovina % je za-dana obecnou rovnicıax+ by + cz + d = 0,pak vzdalenost d% bo-du B = [b1, b2, b3] odroviny % je dana vzta-hem

d%=|ab1+bb2+cb3+d|‖(a, b, c)‖

.

Pokud oznacıme ~n = ~v×~w‖~v×~w‖ , pak skalarnı soucin |(−→AB,~n)|

urcuje velikost prumetu vektoru−→AB do vektoru ~n, neboli vzda-

lenost bodu B od roviny %.

4 Posloupnosti

4.1 Supremum a infimum

Definice 4.1 : Rekneme, ze mnozina A ⊂ R jeshora omezena, jestlize ∃K ∈ R∀x ∈ A : x < K,zdola omezena, jestlize ∃L ∈ R ∀x ∈ A : L < x,omezena, jestlize je zaroven shora a zdola omezena,neomezena, jestlize nenı omezena.

( )

A KL

Interval 〈a, b)={x∈R: a ≤ x < b} je omeze-na mnozina.Mnozina prirozenychcısel N je zdola ome-zena a neomezena.

Definice 4.2 : Necht’ ∅ 6= A ⊂ R . Cıslo sup A ∈ Rnazyvame supremem mnoziny A, jestlize platı:

1. ∀x ∈ A : x ≤ supA, (hornı zavora),

2. ∀ ε > 0 ∃x′ ∈ A : supA − ε < x′, (nejmensı hornızavora).

Cıslo inf A ∈ R nazyvame infimem mnoziny A, jestlizeplatı:

1. ∀x ∈ A : inf A ≤ x, (dolnı zavora),

2. ∀ ε > 0 ∃x′ ∈ A : inf A + ε > x′, (nejvetsı dolnızavora).

Je-li supA ∈ A, pak se nazyva maximem mnoziny A a znacıse max A . Je-li inf A ∈ A, pak se nazyva minimem mnozinyA a znacı se min A.

( )

A

supAsupA-ε

x′

18 M1E

Prıklad 4.1 :

Pro A = 〈2, 5) je inf A = minA = 2 a supA = 5 .

Pro A = {1, 12 ,

14 ,

18 , . . .} je inf A = 0 a supA = maxA = 1 .

Pro neomezene mnoziny napr. A = (−∞, 1) dodefinujemeinf A = −∞ , pro A = {1, 2, 3, . . .} je supA =∞ .

Veta 4.1 : (o existenci suprema)Necht’ ∅ 6= A ⊂ R, A je shora omezena. Pak existuje supA.

Dukaz : Protoze mnozina A je shora omezena a neprazdna,tak existuje a0 ∈ Z, ktere splnuje nasledujıcı dve vlastnosti:i) ∀x ∈ A : x < a0 + 1 , ii) ∃x′ ∈ A : x′ ≥ a0 .Dale, existuje a1 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} tak, zei) ∀x ∈ A : x < a0,a1 + 0,1 , ii) ∃x′′ ∈ A : x′′ ≥ a0,a1 .Podobne existuje a2 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} tak, zei) ∀x ∈ A : x < a0,a1a2 + (0,1)2 , ii) ∃x′′′ ∈ A : x′′′ ≥a0,a1a2 a tak dale.O cısle a = a0,a1a2a3 . . . lze dokazat, ze splnuje podmınkysuprema mnoziny A.

( )A

a0 a0+1

Cvicenı 4.1 : Dokoncete dukaz predchozı vety.[ Dukaz povedeme sporem.

1) Nejdrıve dokazeme, ze cıslo a = a0,a1a2a3 . . . je hornı zavora

mnoziny A . Pro spor predpokladame, ze ∃x0 ∈ A ∧ x0 > a⇒ ∃n ∈ N∧ x0 ≥ x0n > an = a0,a1a2 + · · · + an + (0,1)n, coz je spor s prvnı

vlastnostı cısla a . Tedy cıslo a splnuje prvnı vlastnost suprema.

2) Nynı dokazeme, ze a je nejmensı hornı zavora. Opet pro spor predpokladame,

ze ∃ ε > 0 tak, ze ∀x ∈ A platı x ≤ a − ε ⇒ x < a ⇒ ∃n ∈ N : xn <

an = a0,a1a2 + · · · + an, coz je spor s druhou vlastnostı cısla a . Tedy

a splnuje i druhou vlastnost suprema. ]

Definice 4.3 : Zobrazenı f : R → R+0 = {x ∈ R : x ≥ 0}

dane predpisem f(x) = max{x,−x} nazveme absolutnıhodnotou.Absolutnı hodnotu cısla x znacıme |x| .

0 2

|-3| |2|︷ ︸︸ ︷ ︷ ︸︸ ︷−3

Cvicenı 4.2 : Dokazte: |x| ={ x x ≥ 0−x x ≤ 0 .

[x ≥ 0⇒ max{x,−x} = x, x ≤ 0⇒ max{x,−x} = −x . ]

M1E 19

Veta 4.2 : (vlastnosti absolutnı hodnoty)Necht’ a, b ∈ R, pak

i) |a| ≥ 0 , |a · b| = |a| · |b| ,∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

b 6= 0 ,

√a2 = |a| ,

ii) |a+ b| ≤ |a|+ |b| trojuhelnıkova nerovnost,

iii) ||a| − |b|| ≤ |a− b| cıslo |a− b| nazyvame

vzdalenost bodu a,b .

Cvicenı 4.3 :

a) Dokazte trojuhelnıkovou nerovnost.[ Zrejme ±x ≤ |x|, pak pro x+ y ≥ 0 je |x+ y| = x+ y ≤ |x|+ |y|a pro x+ y ≤ 0 je |x+ y| = −x− y ≤ |x|+ |y| . ]

b) Dokazte, ze mnozina A je omezena prave tehdy, kdyz∃ c > 0 ∀x ∈ A : |x| ≤ c .

[ Zrejme |x| ≤ c⇔ −c ≤ x ≤ c⇒ mnozina A

je omezena zdola i shora. Obracene mnozina A je omezena zdola

⇒ L ≤ x, shora ⇒ x ≤ K . Tedy |x| ≤ c = max{|L|, |K|} . ]

Definice 4.4 :Mnozinu U(x0) = {x ∈ R : |x − x0| < ε} nazveme okolımbodu x0. Mnozinu P (x0) = U(x0)\{x0} nazveme prsten-covym okolım bodu x0.

( )x0

U(x0)

Cvicenı 4.4 : Dokazte: (b−ε, b+ε) = {x ∈ R : |x−b| < ε} ,[ |x− b| < ε⇔ −ε < x− b < ε⇔ b− ε < x < b+ ε . ]

Bod a ∈ A ⊂ R se nazyva vnitrnım bodem mnoziny A,jestlize ∃U(a) takove, ze U(a) ⊂ A .

Mnozina vsech vnitrnıch bodu mnoziny A se nazyva vnitrekmnoziny A a znacı se intA .

Mnozina A se nazyva otevrena, jestlize A = intA .

Bod b ∈ R se nazyva hranicnım bodem mnoziny A,jestlize ∀U(b) : U(b) ∩ A 6= ∅ ∧ U(b) ∩ (R\A) 6= ∅ . Mnozinavsech hranicnıch bodu mnoziny A se nazyva hranice mnozinyA a znacı se ∂A .

Mnozina A = A ∪ ∂A se nazyva uzaver mnoziny A .

Mnozina A se nazyva uzavrena , jestlize A = A .

U(b)

U(a)

20 M1E

Bod c ∈ R se nazyva hromadnym bodem mnoziny A,jestlize v kazdem jeho okolı lezı nekonecne mnoho bodu mnozinyA, v opacnem prıpade se nazyva izolovanym bodem mnozinyA.

Mnozina, jejız vsechny body jsou izolovane, se nazyva diskret-nı.

Prıklad 4.2 :

1. Necht’ A = (0, 1) , pak A je otevrena mnozina, ∂A ={0, 1}, A = 〈0, 1〉, kazdy bod uzaveru A je hromadnymbodem mnoziny A.

2. Necht’ A = {1, 12 ,

13 ,

14 . . .} , pak ∂A = A ∪ {0}, A nenı

uzavrena ani otevrena, jedinym hromadnym bodemmnoziny A je bod 0 a A je diskretnı mnozina.

Cvicenı 4.5 :

a) Dokazte: Mnozina A ⊂ R je otevrena⇔mnozina R\Aje uzavrena.

[A je otevrena ⇔ ∀a ∈ A ∃U(a) : U(a) ⊂ A ⇒a 6∈ ∂A = ∂(R\A)⇒ ∂(R\A) ⊂ R\A⇒ R\A = R\A . ]

b) Overte, zda platı: Mnoziny An, n ∈ N jsou otevrene,

pak∞⋃n=1

An je otevrena mnozina,∞⋂n=1

An je otevrena

mnozina.[ a ∈

∞⋃n=1

An ⇒

∃n ∈ N ∧ a ∈ An ⇒ ∃U(a) : U(a) ⊂ An ⊂∞⋃n=1

An ⇒∞⋃n=1

An je

otevrena mnozina. Naopak∞⋂n=1

An nemusı byt otevrena mnozina,

napr. pro An = (− 1n, 1n) je

∞⋂n=1

An = {0} . Jednobodova mnozina

{0} je uzavrena. ]

M1E 21

Definice 4.5 : Zobrazenı f : N → R se nazyva posloup-nost realnych cısel. Mısto f pıseme (an)

∞n=1, zkracene (an)

a cıslo an se nazyva n-ty clen posloupnosti (an).

Vlozıme do bankypocatecnı vklada1. Pri rocnımuroku u mame nauctu na konci rokuzustatek a2 =a1+ua1= a1(1 + u). Po dvouletech je zustatek a3 =a2(1+u) = a1(1+u)2.Po n−letech sporenıje nas zustatek rovenan+1 = a1(1 + u)n .Sporenı je tedypopsano geomet-rickou posloupnostıan s kvocientemq = 1 + u .

Prıklad 4.3 : (specialnı typy posloupnostı)

1) Aritmeticka posloupnost je definovana predpiseman = a1 +(n−1) ·d, a1, d ∈ R , cıslo d se nazyva diference.

2) Geometricka posloupnost je definovana predpisem

an = a1 · q(n−1), a1, q ∈ R, cıslo q se nazyva kvocient.

3) Fibonacciova posloupnost je definovana predpisem

Leonardo Pisano Fi-bonacci (1170-1250)

popsal nasledovneproblemrozmnozovanı kralıku.Do dostatecne velkeklece umıstıme jedenpar mesıc starychkralıku. Ptame se,kolik paru kralıkubude v kleci na koncijednoho roku, kdyzkazdy par ma kazdymesıc opet jeden parpotomku a kralıcimajı prvnı potomkyve dvou mesıcıch?

an+2 = an+1 + an s pocatecnımi hodnotami a1 = 1, a2 =1 . V tomto prıpade, kdy nasledujıcı prvek posloupnosti jedefinovan pomocı nekolika predchozıch prvku, rıkame, zeposloupnost je definovana rekurentne .

Definice 4.6 : (vlastnosti posloupnosti)Posloupnost (an) se nazyvashora omezena, jestlize ∃K ∈ R ∀n ∈ N: an ≤ K,zdola omezena, jestlize ∃K ∈ R ∀n ∈ N: an ≥ K,omezena, jestlize je omezena shora i zdola,neklesajıcı, jestlize ∀n ∈ N: an ≤ an+1,

nerostoucı, jestlize ∀n ∈ N: an ≥ an+1,

monotonnı, jestlize je neklesajıcı nebo nerostoucı,rostoucı, jestlize ∀n ∈ N: an < an+1,

klesajıcı, jestlize ∀n ∈ N: an > an+1,ostre monotonnı, jestlize je rostoucı nebo klesajıcı.

Poznamka 4.1 : (ekvivalentnı definice omezenosti)Z cvicenı (4.3 b)) vyplyva, ze posloupnost (an) je omezenaprave tehdy, kdyz ∃K ∈ R ∀n ∈ N: |an| ≤ K .

Prıklad 4.4 :

1. Harmonicka posloupnost definovana predpisem

an = 1n je omezena a klesajıcı.

2. Geometricka posloupnost {qn} je omezena pro−1 ≤ q ≤ 1 , rostoucı a neomezena pro q > 1 , neomezenapro q < −1 .

22 M1E

4.2 Limita posloupnosti

Definice 4.7 : Rekneme, ze posloupnost (an) je konver-gentnı, jestlize

∃ a ∈ R∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N : n > n0 ⇒ |an − a| < ε .

Rıkame, ze a je limita posloupnosti (an) a pıseme

limn→∞

an = a .

Jestlize posloupnost (an) nenı konvergentnı, pak rıkame, zeje divergentnı. Specialne, jestlize

∀K ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N : n > n0 ⇒ an > K (an < K) ,

pak rekneme, ze posloupnost (an) diverguje k +∞ (−∞) .

Pojmy konvergentnı adivergentnı jako prvnıpouzil v souvislostise scıtanım rad cıselJames Gregory (1638-1675).

-

6

x

y

0 1 2 3 n0 5 6 7

1

ε

rr r r r r r

{ 1n}

Příklady

-

6

x

y

a

a+ εb− ε

b

r rr r r(an)

Prıklad 4.5 :

1. Pro harmonickou posloupnost platı limn→∞

1n = 0 .

K danemu ε > 0 hledame n0 takove, aby pro n > n0

platilo | 1n − 0| < ε. Volıme tedy n0 ≥ 1ε , potom pro

n > n0 ≥ 1ε platı 1

n < ε .

2. Geometricka posloupnost {qn} je konvergentnı k 0 pro−1 < q < 1 , je konvergentnı k 1 pro q = 1 , divergujek +∞ pro q > 1 a diverguje pro q ≤ −1 .

Veta 4.3 : (jednoznacnost limity)Kazda konvergentnı posloupnost ma prave jednu limitu.(Kazda posloupnost ma nejvyse jednu limitu.)

Dukaz : Budeme pro spor predpokladat, ze posloupnost (an)ma alespon dve limity a 6= b . Necht’ a < b , pak volıme ε > 0tak, ze a+ ε ≤ b− ε . Z definice limity dostaneme∃n0 ∈ N ∀n ∈ N : n > n0 ⇒ |an−a| < ε⇔ a−ε < an < a+εa zaroven∃n1 ∈ N ∀n ∈ N : n > n1 ⇒ |an−b| < ε⇔ b−ε < an < b+ε.Tedy pro n ≥ max{n0, n1} je an < a+ ε ≤ b− ε < an , cozje spor.

M1E 23

Definice 4.8 : Necht’ (an) je posloupnost a {kn} ⊂ Nje rostoucı posloupnost prirozenych cısel, potom posloup-nost {akn} nazveme vybranou posloupnostı z posloup-nosti (an) .

-

6

x

y

b r b r b r

1 2 3 4 5 6

123456

-

6

x

y1

-1 br

br

br

1 2 3 4 5 6

Prıklad 4.6 :

Uvazujeme posloupnost {1, 2, 3, 4, . . .}, pak vybranou posloup-nostı je naprıklad posloupnost {2, 4, 6, . . .} .

Veta 4.4 :

i) Kazda konvergetnı posloupnost je omezena.

ii) Monotonnı a omezena posloupnost je konvergentnı.

iii) (Bolzano-Weierstrass) Z kazde omezene posloupnosti lzevybrat alespon jednu konvergentnı posloupnost.

-

6

x

yi)

1 2 n0 4 5

rr

r r ra+ ε

a− εa

-

6

x

yii)

0 1 2 3 4 5 6 7

K

r r r r r r r

-

6

x

yiii)

r r rr r rr

rr

rβ2 = β1

α2

α1

Dukaz : (hlavnı myslenka)

i) Jestlize posloupnost (an) je konvergentnı, potom∃ a ∈ R ∀ ε > 0∃n0 ∀n > n0 : |an − a| < ε ⇒ a − ε <an < a+ ε⇒ |an| < |a|+ ε .

Polozıme-li K = max{|a1|, |a2|, . . . , |an0|, |a| + ε} , pakplatı ∀n ∈ N : −K ≤ an ≤ K . Tedy (an) je omezenaposloupnost.

ii) Napr. pro rostoucı a omezenou posloupnost je limn→∞

an =

sup(an).

iii) Jestlize (an) je omezena posloupnost, potom∃α1 , β1 ∈ R , ∀n ∈ N : α1 ≤ an ≤ β1 . Rozdelımeinterval I1 = 〈α1 , β1〉 na dve poloviny a oznacımeI2 = 〈α2 , β2〉 tu polovinu, ktera obsahuje nekonecnemnoho prvku posloupnosti (an) a opet ji rozdelımena poloviny atd. Dostaneme system do sebe vlozenychuzavrenych intervalu I1 ⊃ I2 ⊃ · · · , pro ktery platıIk = 〈αk , βk〉 ∧ lim

k→∞|βk − αk| = 0 . Odtud vyplyva, ze

∃ a ∈ R :∞⋂k=1

Ik = a . Z kazdeho intervalu Ik vybereme

jeden clen posloupnosti (an) a oznacıme jej {ank} ,potom platı lim

n→∞ank = a .

Na uctu urocenemurokem u spocatecnım vkla-dem a1 mame pok letech zustatekak+1 = a1(1 + u)k.Pokud budeme mıtucet s mesıcnımurocenım, paknas zustatek budeak+1 = a1(1 + u

12)12k.

Podobne pri dennımurocenı dostanemeak+1 = a1(1 + u

365)365k.

V roce 1683 JacobBernoulli zkoumaltento problemslozeneho urocenı ahledal limitu vyrazu(1 + 1

n)n. Cıslo e se

proto take nazyvabankovnı neborustova konstanta.

24 M1E

Prıklad 4.7 : Definice cısla e.

Budeme vysetrovat posloupnost an = (1 + 1n)n.

Dokazeme, ze uvedena posloupnost je neklesajıcı:

an+1

an=

(1+ 1n+1)

n+1

(1+ 1n)

n =(n+2n+1)

n+1

(n+1n )

n+1nn+1

= ( (n+2)n(n+1)(n+1))

n+1n+1n

= (1− 1(n+1)2 )

n+1n+1n ≥ (Podle Bernoulliovy nerovnosti)

(1− (n+ 1) 1(n+1)2 )

n+1n = n+1−1

n+1n+1n = 1 .

Podobne dokazte, ze posloupnost bn = (1 + 1n)n+1

je neros-toucı.

[ bnbn+1

=(1+ 1

n)n+1

(1+ 1n+1

)n+2 =

(n+1n

)n+2

(n+2n+1

)n+2

nn+1

=(

(n+1)(n+1)(n+2)n

)n+2nn+1

=(1 + 1

(n+2)n

)n+2nn+1≥(

1 + (n+ 2) 1n(n+2)

)nn+1

= 1 . ]

Zaroven ∀n ∈ N platı: 2 = a1 ≤ an < bn ≤ b1 = 4.

Posloupnost (an) je tedy i omezena a podle vety (4.3) malimitu. Pıseme

limn→∞

(1 + 1

n

)n= e .

Cıslo e se nazyva Eulerova konstanta.-

6

x

y

2

0 1 2 3 4 5 6

e r r r r r r

Veta 4.5 : (algebra limit)Necht’ lim

n→∞an = a a lim

n→∞bn = b, pak platı:

i) limn→∞

(an + bn) = a+ b ,

ii) limn→∞

(an − bn) = a− b ,

iii) limn→∞

(an · bn) = a · b ,

iv) limn→∞

anbn

= ab bn 6= 0 , b 6= 0 .

M1E 25

Dukaz : Dokazeme bod iv), ostatnı dukazy jsou podobne.Budeme predpokladat, ze b > 0 (pro b < 0 je dukazobdobny). Potom z predpokladu lim

n→∞bn = b vyplyva, ze

∃n0 ∈ N∀n > n0 : bn > b/2 > 0 .

Chceme dokazat, ze limn→∞

anbn− a

b = 0 .

Upravıme proto rozdıl |anbn −ab | = |

anb−abnbnb| = |anb−ab+ab−abnbnb

| =| (an−a)b+a(b−bn)

bnb| ≤ 2

b2 (|an − a| |b|+ |a| |b− bn|) .

Odtud a z konvergence an → a , bn → b vyplyva konver-gence |anbn −

ab | → 0 .

Prıklad 4.8 :

limn→∞

(n−1)(2n−2)3n2+1 = lim

n→∞n2(1− 1

n)(2− 2n)

n2(3+ 1n2

)= (1−0)(2−0)

(3+0) = 23 .

Veta 4.6 : (Veta o sevrenı) Necht’ pro posloupnosti (an),(bn), (cn) platı ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N : n > n0 ⇒ an ≤ bn ≤ cn alimn→∞

an = limn→∞

cn = a , potom i limn→∞

bn = a .

Dukaz : Z predpokladu limn→∞

an = limn→∞

cn = a vyplyva, ze

∀ ε > 0∃n0 ∈ N ∀n ∈ N : n > n0 ⇒ |an − a| < ε ⇒ a − ε < an a∃n1 ∈ N ∀n ∈ N : n > n1 ⇒ |cn − a| < ε⇒ cn < a+ ε .

Odtud dostaneme pro n > max{n0, n1} : a− ε < an ≤ bn ≤cn < a+ ε neboli lim

n→∞bn = a .

Jestlize platıan → ∞, bn → ∞ alimn→∞

anbn

= 0 , pak rı-

kame, ze posloupnostbn roste v nekonecnumnohem rychleji nezposloupnost an a pı-seme an << bn u ∞ .

Tedy

lnn << n << en <<n! << nn.

Prıklad 4.9 : Pomocı vety o sevrenı ukazeme, ze platı:

1. limn→∞

n!nn = 0 ,

nebot’ 0 < n!nn = 1·2· ··· ·n

n·n· ··· ·n <1n → 0 .

2. limn→∞

an

n! = 0 pro a > 1 .

Volıme n0 ∈ N tak, ze n0 ≥ a , potom pron > n0 0 < an

n! = a·a· ··· ·a· ··· ·a1·2· ··· ·n0· ··· ·n ≤

an0n0!

an → 0 .

3. limn→∞

nk

an = 0 pro a > 1 , k ∈ N .

Polozıme a = 1 + h , h > 0 a pouzijemebinomickou vetu, pak pro n > k

0 < nk

an = nk

(1+h)n = nk

1+n·h+···+( nk+1)hk+1+···+hn

<

nkn(n−1) · ··· · (n−k)

(k+1)! hk+1= 1

n ·(k+1)!

(1− 1n ) · ··· · (1− k

n )hk+1 → 0 .

26 M1E

4. limn→∞

loga nnk

= 0 pro a > 1 , k ∈ N .

Substitucı loga n = m dostaneme loga nnk

=mamk

= m(ak)m

. Tvrzenı tedy vyplyva zpredchozıho prıkladu.

5. limn→∞

n√n = 1 .

V prıkladu 3 jsme ukazali, ze pro kazdeh > 0 je lim

n→∞n

(1+h)n = 0 . Odtud vyplyva

∃n0 ∈ N ∀n ∈ N : n > n0 ⇒ n < (1 + h)n

⇒ 1 < n√n < 1 + h⇒ n

√n→ 1 .

Cvicenı 4.6 : Dokazte, ze pro a > 0 je limn→∞

n√a = 1 .

[ Pro a > 1 vyuzijeme nerovnosti 1 < n√a < n√n , pro a < 1

nerovnosti 1 < n

√1a< n√n . ]

5 Rady

Definice 5.1 : Symbol

∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + . . .

se nazyva (nekonecna) rada odpovıdajıcı posloupnosti(an). Cısla an , n ∈ N se nazyvajı cleny rady. Soucet

sn = a1 + a2 + . . .+ an

se nazyva castecny soucet rady∞∑n=1

an .

Jestlize posloupnost {sn} konverguje k cıslu s ∈ R, pak

rıkame, ze rada∞∑n=1

an je konvergentnı a ma soucet s.

Pıseme∞∑n=1

an = s. Rozdıl s−sn =∞∑

k=n+1

ak nazyvame zbytek

rady prıslusny clenu an .

Jestlize posloupnost {sn} diverguje, pak rıkame, ze rada∞∑n=1

an je divergentnı.

Problem scıtanı ne-konecne mnoha klad-nych cısel se objevilnaprıklad v Zenonoveparadoxu o Achilovi azelve.Achiles zavodı se zel-vou a da ji naskok. Po1 hodine, kdy je zelvav bode P1, vybehne zbodu P0. Dobehne dobodu P1, ale mezitımzelva dojde do boduP2, Achiles bezı do P2,ale zelva do P3 a takdale. Tedy Achiles zel-vu nikdy nedobehne.Uvedomıme-li si, ze napohyb mezi body P0 aP1 potrebuje Achilesnaprıklad desetkratmene casu nez zelva,pak lze ukazat, ze kdobehnutı zelvy Achi-les potrebuje dobut = 0,1 + 0,01 + · · · =0,1 = 1

9hodiny.

P0 P1 P2

110

hod 1100

hod Prıklad 5.1 : Geometricka rada∞∑n=1

a1 · qn−1 .

M1E 27

Castecny soucet geometricke rady je sn = a11−qn1−q .

Pro | q | < 1 je soucet rady a11−q (rada konverguje) .

Pro | q | ≥ 1 je geometricka rada divergentnı.

Poznamka 5.1 : Protoze soucty konvergentnıch rad jsou defi-novany pomocı limit castecnych souctu, platı pro ne stejnapravidla jako pro limity posloupnosti ve vete (4.5).

Prıklad 5.2 :∞∑n=1

(3 12n−1 + 4 · (−3)−n) =

∞∑n=1

3 12n−1 +

∞∑n=1

4 · (−3)−n =

= 3 11− 1

2

+ 4 · −13

1+ 13

= 6− 1 = 5 .

Aby soucet nekonecne mnoha cısel byl konecny, tak na ”konciscıtanı” musı byt velmi mala cısla. Spravnost teto uvahy dokazujenasledujıcı veta.

Veta 5.1 : (nutna podmınka konvergence rady)

Jestlize rada∞∑n=1

an je konvergentnı, pak limn→∞

an = 0 .

Harmonicka rada di-verguje k∞ velice po-malu. Secteme-li prv-nı milion clenu dosta-neme soucet asi 14,35,soucet prvnıho bilionuclenu je priblizne 28.

Prıklad 5.3 : (harmonicka rada)

Podmınka limn→∞

an = 0 vsak nenı postacujıcı pro konvergenci

rady.

Naprıklad harmonicka rada∞∑n=1

1n splnuje nutnou pod-

mınku limn→∞

1n = 0 , ale jejı soucet diverguje k +∞ .

Platı totiz∞∑n=1

1n = 1 + 1

2 + (13 + 1

4) + (15 + 1

6 + 17 + 1

8) + · · · ≥

1 + 12 + (1

4 + 14) + (1

8 + 18 + 1

8 + 18) + · · · ≥ 1 + 1

2 + 12 + 1

2 + · · · .

Na nasledujıcım prıkladu si ukazeme, ze se dajı secıst i rady,ktere nejsou geometricke.

Prıklad 5.4 : Najdete soucet rady∞∑n=1

1n(n+1) .

Pouzijeme rovnost 1n(n+1) = 1

n −1

n+1 a pro castecny soucet

teto rady dostaneme sn = 1 − 12 + 1

2 −13 + · · · + 1

n −1

n+1 .

Odtud limn→∞

sn = 1 a∞∑n=1

1n(n+1) = 1 .

28 M1E

6 Funkce

Definice 6.1 : Zobrazenı f z mnoziny R do R se nazyvarealna funkce realne promenne. Pıseme f :x → f(x),f(x) se nazyva funkcnı hodnota funkce f v bode x. Mnozinavsech bodu [x, f(x)] v kartezskem souradnem systemu senazyva graf funkce f .

-

t0

s

s0 ���������

s(t) = v · t+ s0

Tabulka hodnot

x f(x)

1 5

3 -4

4 8

Pojem funkce zavedlnemecky matematikGottfried WilhelmLeibniz (1646-1716)v praci z roku 1673.

Prıklad 6.1 : Popıseme vzdalenost, kterou ujede auto po-hybujıcı se konstantnı rychlostı v. Oznacıme s0 vzdalenost,kterou auto ujelo do pocatku merenı a s(t) vzdalenost uje-tou v case t. Funkce s : t → s(t), potom splnuje rovnosts(t) = v · t+ s0.

Poznamka 6.1 : Pokud je funkce zadana pomocı matematic-ke formule, napr. f(x) = x

x−2 , pak definicnım oborem D(f)funkce f je mnozina vsech realnych cısel, pro ktera ma danaformule smysl, v nasem prıklade D(f) = R\{2}.Funkce muze byt take zadana grafem nebo tabulkou hodnot.

Definice 6.2 : Funkce g : D(g) → R se nazyva restrikcefunkce f : D(f)→ R , jestlize D(g) ⊂ D(f) a ∀x ∈ D(g) :g(x) = f(x) .

Funkce f, g se rovnajı, jestlize D(g) = D(f) a ∀x ∈ D(g) :g(x) = f(x) .

(algebraicke operace s funkcemi) Necht’ D(g) = D(f) , po-tom pomocı nasledujıcıch predpisu definujeme

soucet funkcı f + g : x→ f(x) + g(x) ,

rozdıl funkcı f − g : x→ f(x)− g(x) ,

soucin funkcı f · g : x→ f(x) · g(x) ,

podıl funkcı fg : x→ f(x)

g(x) , g(x) 6= 0 ,

nasobek funkce αf : x→ αf(x) , α ∈ R .

Cvicenı 6.1 : Rozhodnete o rovnosti funkcı f(x) = 2 lnxa g(x) = ln x2 . [ Funkce

f ma definicnı obor D(f) = (0,∞), kdezto funkce g = lnx2 = 2 ln |x|ma definicnı obor D(g) = R \ {0} . Funkce f se tedy nerovna funkci g,

je pouze jejı restrikcı na intervalu (0,∞) . ]

M1E 29

Definice 6.3 : Rekneme, ze funkce f je

licha, jestlize ∀x ∈ D(f) : f(−x) = −f(x), y = x, y = cotg x

suda, jestlize ∀x ∈ D(f) : f(−x) = f(x), y = x2, y = cosx

periodicka, jestlize ∃T > 0∀x∈D(f) : f(x+T )=f(x)= y = sinx, y = tg xf(x−T ), nejmensı takove T se nazyva zakladnı perioda,

shora omezena na mnozine I, jestlize∃K ∈ R ∀x ∈ I : f(x) ≤ K, y = −x2 na R

zdola omezena na mnozine I, jestlize∃L ∈ R ∀x ∈ I : f(x) ≥ L, y = x3 na (1,∞)

omezena na mnozine I, jestlize je shora i zdola omezena, y = 1x2+1 na R

neklesajıcı na mnozine I, jestlize∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2), y = 2 na R

nerostoucı na mnozine I, jestlize∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2) , y = 1

x na (0,∞)

monotonnı na mnozine I, jestlizeje neklesajıcı nebo nerostoucı na mnozine I,

rostoucı na mnozine I, jestlize∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) , y = lnx na (0,∞)

klesajıcı na mnozine I, jestlize∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) , y = e−x na R

ostre monotonnı na mnozine I, jestlizeje rostoucı nebo klesajıcı na mnozine I ,

prosta na mnozine I, jestlize∀x1, x2 ∈ X : x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) ,

konvexnı na mnozine I, jestlize ∀ t ∈ 〈0, 1〉 ∀ x1, x2 ∈ I :f(tx1 + (1− t)x2) ≤ tf(x1) + (1− t)f(x2) ,

ostre konvexnı na I, jestlize ∀ t ∈ (0, 1) ∀x1 6= x2 ∈ I :f(tx1 + (1− t)x2) < tf(x1) + (1− t)f(x2) ,

konkavnı na mnozine I, jestlize ∀t ∈ 〈0, 1〉 ∀ x1, x2 ∈ I :f(tx1 + (1− t)x2) ≥ tf(x1) + (1− t)f(x2) ,

ostre konkavnı na I, jestlize ∀ t ∈ (0, 1) ∀x1 6= x2 ∈ I :

konvexnı

-x

6y

ostre konkavnı

-x

6y

f(tx1 + (1− t)x2) > tf(x1) + (1− t)f(x2) .

Prıklady

Poznamka 6.2 : Graf liche funkce je symetricky podlepocatku. Graf sude funkce je symetricky podle osy y. Funkceje ostre konvexnı, jestlize jejı graf lezı pod libovolnou secnougrafu (usecka spojujıcı dva body grafu). Funkce je ostrekonkavnı, jestlize jejı graf lezı nad libovolnou secnou grafu.

30 M1E

Prıklad 6.2 : Hyperbolicke funkce

1. Funkce sinh x =ex − e−x

2je licha a rostoucı na R .

2. Funkce cosh x =ex + e−x

2je suda a ostre konvexnı

na R .

y

x

sinh x

cosh x

Pruhyb lana mezidvema stozary (tzv.retezovka) lze popsatpomocı funkce coshx.

sin x lichá

cos x sudá

sin x · cosx lichá

Cvicenı 6.2 : Dokazte, ze platı: cosh2 x − sinh2 x = 1 ,cosh2 x+ sinh2 x = cosh 2x , 2 sinhx coshx = sinh 2x .

[ cosh2 x− sinh2 x = e2x+2+e−2x

4− e2x−2+e−2x

4=1 ,

cosh2 x− sinh2 x = e2x+2+e−2x

4+ e2x−2+e−2x

4= e2x+e−2x

2= cosh 2x . ]

Cvicenı 6.3 : Dokazte:

a) Soucin lichych funkcı je funkce suda.

b) Soucin liche a sude funkce je funkce licha.

c) Soucin a soucet T -periodickych funkcı je opet funkceT -periodicka.

[ a) f(−x)g(−x) = −f(x)(−g(x)) = f(x)g(x) ; b) f(−x)g(−x) =

−f(x)g(x) ; c) f(x + T ) + g(x + T ) = f(x) + g(x) , v prıpade soucinu

se muze zakladnı perioda zmensit: 2 sinx cosx = sin 2x , pak T = π . ]

Cvicenı 6.4 : Overte, zda existuje funkce f : R→ R :

a) suda a zaroven prosta; b) suda a monotonnı; c) sudaa licha; d) periodicka a monotonnı; e) periodicka a ostremonotonnı; f) ostre konvexnı a ostre monotonnı?[ a) ne ; b) y = c , c ∈ R ; c) y = 0 ; d) y = c , c ∈ R ; e) ne ; f) y = ex. ]

Prıklad 6.3 : Funkce y = x2 je ostre konvexnı na R .Pojmy konvexnı akonkavnı krivka sepoprve objevily vroce 1571 v praci ”AGeometricall Practisenamed Pantometria”,jejiz autorem bylanglicky matematikThomas Digges(1546-1595).

Tvrzenı plyne z nasledujıcıch nerovnostı

(tx1 + (1− t)x2)2 < t(x1)

2 + (1− t)(x2)2 ⇔

t2x21 + 2t(1− t)x1x2 + (1− t)2x2

2 < t(x1)2 + (1− t)(x2)

2 ⇔2t(1− t)x1x2 < t(x1)

2(1− t) + (1− t)(x2)2(1− (1− t))⇔

2x1x2 < (x1)2 + (x2)

2 ⇔ 0 < (x1 − x2)2 (x1 6= x2) .

Cvicenı 6.5 : Pro t ∈ 〈0, 1〉, x1, x2 ∈ R nakreslete graffunkce y(tx1 + (1− t)x2) = tf(x1) + (1− t)f(x2) .

[ Grafem je usecka spojujıcı

body [x1, f(x1)] a [x2, f(x2)]. Polozıme τ = tx1 + (1 − t)x2, potom

y(τ) = τ−x2x1−x2 (f(x1)−f(x2))+f(x2) = f(x1)−f(x2)

x1−x2 ·τ+ f(x1)(−x2)+f(x2)x1x1−x2 . ]

M1E 31

Definice 6.4 : (Inverznı funkce)Mame funkci f z R do R, jestlize usporadane dvojice (f(x), x)tvorı zobrazenı, pak se nazyva inverznı funkce k funkci f(a naopak) a znacı se f−1.

Funkce k promenne xpriradı promennou y,inverznı funkce pro-vede opacnou opera-ci, promenne y priradıpromennou x.

x

y

x2

√

x

Prıklad 6.4 : Pri popisu rovnomerneho pohybu auta v prı-kladu (6.1) jsme dostali funkci s(t) = v · t + s0. Pokudchceme zjistit cas t1 potrebny k ujetı vzdalenosti s1, pakdostaneme t1 = s1−s0

v . Inverznı funkce s−1 k funkci s matedy tvar t(s) = s−s0

v .Poznamka 6.3 :

a) Inverznı funkce existuje prave tehdy, kdyz puvodnıfunkce je prosta. K funkci f : y = x2 s definicnım obo-rem D(f) = R inverznı funkce neexistuje! Omezıme-lise vsak na interval (0,∞), neboli provedeme restrik-ci funkce f , pak k danemu y najdeme x predpisemx=√y. Pro zakreslenı do stejneho kartezskeho systemu

zamenıme promenne x ↔ y a inverznı funkce ma paktvar f−1 : y =

√x .

b) Pro definicnı obor D(f) a obor hodnot inverznı funkceH(f−1) platı D(f) = H(f−1) a naopak H(f) = D(f−1).

c) Graf inverznı funkce f−1 je symetricky s grafem puvodnıfunkce f podle prımky y = x (osy prvnıho a tretıhokvadrantu).

Cvicenı 6.6 : Dokazte: Jestlize funkce f je klesajıcı naintervalu I, pak funkce f je na I prosta a inverznı funkcef−1 je take klesajıcı.

[ Oznacıme y1 = f(x1), y2 = f(x2). Potom

x1 < x2 ⇒ y1 < y2 ⇒ y1 6= y2 ⇒ funkce f je prosta. Tedy existuje

f−1 a f−1(y1) = x1, f−1(y2) = x2. Necht’ y1 < y2, pokud by x1 ≥ x2,

pak y1 ≥ y2 (f je klesajıcı), to je spor s predpokladem y1 < y2. Tedy

f−1(y1) = x1 < x2 = f−1(y2) a f−1 je klesajıcı. ]

Cvicenı 6.7 : K funkci y = x2 − 2x − 3 najdete inverznıfunkci na mnozine, na ktere je funkce y klesajıcı.[ y = x2−2x−3 = (x−1)2−4⇒ funkce y je klesajıcı pro x ∈ (−∞, 1〉a inverznı funkce ma tvar y = 1−

√x+ 4 pro x ∈ 〈−4,∞). ]

32 M1E

6.1 Limity funkcı

Definice 6.5 : (Heineova definice limity)Necht’ f : D → R a x0 je hromadny bod mnoziny D. Jestlize

∃ a ∈ R ∀ (xn) ⊂ D , xn 6= x0 , xn → x0 ⇒ f(xn)→ a ,

pak rıkame, ze funkce f ma v bode x0 limitu a a pıseme

limx→x0

f(x) = a .

Jestlize xn > x0 , pak a se nazyva limita zprava funkce fv bode x0 a pıseme a = lim

x→x0+f(x) = f(x0+) .

Jestlize xn < x0 , pak a se nazyva limita zleva funkce fv bode x0 a pıseme a = lim

x→x0−f(x) = f(x0−) .

V kazdem prstenco-vem okolı bodu x0 lezıbod definicnıho oboruD funkce f . Proto se kbodu x0 muzeme pri-blızit z mnoziny D azkoumat funkcnı hod-noty dane funkce.

Nemecky matematikHeinrich Eduard Hei-ne (1821-1881) je

znam svymi pracemi vmatematicke analyze.Krome jineho defino-val pojem stejnomernespojitosti funkce.

Poznamka 6.4 : V uvedene definici lze uvazovat i xn → ±∞ .Pokud f(xn) → ±∞ , pak rıkame, ze funkce f divergujek ±∞ .

Cvicenı 6.8 : Dokazte tvrzenılimx→x0

f(x) = a ⇔ limx→x0+

f(x) = a ∧ limx→x0−

f(x) = a .

[ Implikace ”⇒”je zrejma. Pri dukazu

obracene implikace rozdelıme posloupnost (xn) konvergujıcı k bodu x0

na dve casti (xn) = {yn} ∪ {zn}, kde yn < x0, zn > x0 a vyuzijeme

existence jednostrannych limit. ]

Definice 6.6 : (Cauchyova definice limity)Necht’ f : D → R a x0 je hromadny bod mnoziny D. Jestlize

∃ a ∈R∀ ε > 0∃ δ > 0∀x ∈D : 0< |x−x0|<δ ⇒ |f(x)−a|<ε,

pak rıkame, ze funkce f ma v bode x0 limitu a.

Cvicenı 6.9 : Dokazte, ze Heineova a Cauchyova definicelimity jsou ekvivalentnı.

[ Nejdrıve dokazeme implikaci ”Heine ⇒ Cauchy”.

Pro spor predpokladame, ze tvrzenı z definice (6.6) neplatı, tedy

∀ a ∈ R ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃x ∈ D : 0 < |x − x0| < δ ∧ |f(x) − a| ≥ ε .

Volıme δ = 1n

a ∀n ∈ N∃xn : 0 < |xn − x0| < 1n∧ |f(xn) − a| ≥ ε.

Odtud vyplyva, ze xn 6= x0 , xn → x0 ∧ f(xn) 6→ a, coz je spor s

definicı (6.5).

M1E 33

Obracene ”Cauchy ⇒ Heine”.

Dukaz povedeme prımo. Jestlize xn 6= x0 , xn → x0, pak ∃n0 tak, ze

∀n > n0 , n ∈ N je 0 < |xn − x0| < δ a z definice (6.5) vyplyva, ze

∀ ε > 0 je |f(xn)− a| < ε, tedy f(xn)→ a, coz jsme meli dokazat. ]

Definice 6.7 : (spojitost v bode)Jestlize lim

x→x0f(x) = f(x0) , pak rıkame, ze funkce f je

spojita v bode x0 .

Jestlize limx→x0+

f(x) = f(x0) , pak rıkame, ze funkce f je

spojita zprava v bode x0 .Jestlize lim

x→x0−f(x) = f(x0) , pak rıkame, ze funkce f je

spojita zleva v bode x0 .

spojitá funkce

spojitost zprava v x0

x0

•

◦

spojitost zleva v x0

x0

•

◦

Poznamka 6.5 :

1. Z cvicenı (6.8) plyne, ze funkce f je spojita v bode x0

prave tehdy, kdyz je v bode x0 spojita zprava i zleva.

2. Z definice okolı bodu U(x0) = {x ∈ R : |x− x0|<ε}vyplyva, ze Cauchyovska definice spojitosti funkce f

v bode x0 je ekvivalentnı nasledujıcı topologickedefinici:

∀U(f(x0))∃Uδ(x0) : f(Uδ(x0) ∩D(f)) ⊂ U(f(x0)) .

Veta 6.1 : (lokalnı chovanı spojite funkce)

i) (lokalnı omezenost spojite funkce)

Necht’ je funkce f spojita v bode x0 , potom existujeokolı U(x0) takove, ze funkce f je omezena na U(x0) .

ii) (zachovanı znamenka spojite funkce)

Necht’ navıc je f(x0) 6= 0 , potom existuje okolı U1(x0)takove, ze ∀x ∈ U1(x0) : sgn f(x) = sgn f(x0) .

Pro tzv. znamenkovoufunkci sgnx platı

sgnx=

{ 1 x > 00 x = 0−1 x < 0

Dukaz :i) Ze spojitosti funkce f v bode x0 vyplyva, ze k danemuε > 0 existuje U(x0) takove, ze ∀x ∈ U(x0) : f(x0) − ε <f(x) < f(x0) + ε . Funkce f je tedy omezena na U(x0) .

ii) Necht’ f(x0) > 0 (pro f(x0) < 0 je dukaz podobny),potom volıme ε tak, aby 0 < f(x0) − ε < f(x), tedysgn f(x) = sgn f(x0) .

34 M1E

Definice 6.8 : (body nespojitosti)Necht’ f : D → R a P (x0) ⊂ D . Jestlize funkce f nenı spo-jita v bode x0 , pak rıkame, ze bod x0 je bodem nespojitostifunkce f . Pokud navıc

1. f(x0+) = f(x0−) , pak x0 je bodem odstranitelnenespojitosti.

2. f(x0+) 6= f(x0−) , pak x0 je bodem neodstranitelnenespojitosti 1.druhu.

Cıslo f(x0+)− f(x0−) se nazyva skok funkce f .

3. alespon jedna z limit f(x0+), f(x0−) neexistuje nebo jenevlastnı (tj. ±∞), pak x0 je bodem neodstranitelnenespojitosti 2.druhu.

odstranitelná nespojitost

x0

nespojitost 1.druhu

x0

nespojitost 2.druhu

x0

Z Heineho definice limity a algebry limit posloupnostı (veta(4.5)) vyplyvajı nasledujıcı vztahy.

Veta 6.2 : (algebra limit funkcı)Necht’ lim

x→x0f(x) = a , lim

x→x0g(x) = b, a, b ∈ R , pak platı:

i) limx→x0

(f(x)± g(x)) = a± b ,

ii) limx→x0

(f(x) · g(x)) = a · b ,

iii) limx→x0

f(x)g(x) = a

b b 6= 0 .

Poznamka 6.6 : Pokud v predchozı vete (6.2) je a = f(x0)a b = g(x0), pak dostaneme ”algebru spojitych funkcı”.Neboli soucet, rozdıl, soucin a podıl (g(x0) 6= 0) spojitychfunkcı je opet spojita funkce.

Prıklad 6.5 :

1. Dokazte, ze limx→2

x2+2x = 3 .

Necht’ (xn) je libovolna posloupnost s limn→∞

xn = 2, pak

podle vety (6.2) je limxn→2

x2n+2xn

=limxn→2

xn· limxn→2

xn+2

limxn→2

xn= 3 .

Obecne pro racionalnı lomenou funkci P (x)Q(x) (tj.

podıl dvou polynomu P (x), Q(x)) platı

limx→x

P (x)Q(x) = P (x)

Q(x) , Q(x) 6= 0 .

M1E 35

2. Vypocıtejte limitu limx→4

√x .

Necht’ xn → 4, potom ∃n0 ∀n > n0 : xn > 0 a zrovnosti xn−4 = (

√xn−√

4)(√xn+√

4) (tzv. nasobenısdruzenym vyrazem) vyplyva

√xn →

√4. Odtud plyne

limx→4

√x = 2 .

Obecne pouzijeme rovnost (x − x0) = ( n√x − n√x0)·

(( n√x)n−1 +( n

√x)n−2 n

√x0 + · · ·+( n

√x0)

n−1) . Odtud vy-

plyva limx→x0

n√x = n√x0 , pokud majı dane vyrazy smysl

(napr. pro n = 2, x0 = 0 uvazujeme pouze x→ 0+).

Analogiı vety o sevrenı (4.6) pro posloupnosti je nasledujıcı veta.

Veta 6.3 : (veta o sevrenı pro funkce)Necht’ lim

x→x0f(x) = a , lim

x→x0g(x) = a a ∃U(x0)∀x ∈ U(x0) :

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) , potom take limx→x0

h(x) = a .

A

B

C

O

tg x

sin xx

-1

|4OAB| < |výsečOAB|

< |4OAC|

Tedy

| sin x|

2<

|x|

2<

|tg x|

2

Podobnou uvahu lzeudelat pro libovolnouposloupnost xn →∞.

Prıklad 6.6 :

1. Z obrazku vyplyva, ze pro |x| < π2 platı | sinx| < |x| a

z vety o sevrenı dostaneme limx→0

sinx = 0 . Z rovnosti

cos2 x + sin2 x = 1 a podmınky cosx ≥ 0 (|x| < π2 )

plyne limx→0

cosx = 1 .

2. Z obrazku rovnez vyplyva, ze | sinx| < |x| < |tg x| ⇒1 < x

sinx <1

cosx . Z vety o sevrenı dostaneme

limx→0

sinxx = 1 .

3. Necht’ xn → 0, potom ∀ k ∈ N∃n0 ∀n > n0 : −1k <

xn <1k . Zaroven e−

1k < exn < e

1k a lim

k→∞e

1k = 1 . Odtud

vyplyva, ze limx→0

ex = 1 .

Podobne e−1k < 1 + xn < e

1k ⇒ −1

k < ln(1 + xn) <1k .

Odtud plyne limx→1

lnx = 0 .

4. Necht’ (xn) je takova posloupnost, ze n ≤ xn ≤ n + 1,potom (1 + 1

n+1)n< (1 + 1

xn)xn < (1 + 1

n)n+1

. Odtudopet pomocı vety o sevrenı dostaneme

limx→∞

(1 + 1x)x

= e .

36 M1E

Cvicenı 6.10 :

a) Dokazte, ze platı limx→0

1−cosxx2 = 1

2 .

[ limx→0

1−cosxx2

= limx→0

(1−cosx)(1+cosx)x2(1+cosx)

= limx→0

1−cos2 xx2(1+cosx)

=

limx→0

sin2 xx2(1+cosx)

= limx→0

( sinxx

)2 11+cosx

= 12

. ]

b) Dokazte, ze funkce sinx, ex, lnx jsou spojite.[ Necht’ xn → x0, pak xn − x0 → 0

a sin(xn) − sin(x0) = 2 cos xn+x02

sin xn−x02→ 0 ⇒ sin(xn) →

sin(x0) , exn = exn−x0ex0 → 1 · ex0 , lnxn − lnx0 = ln xnx0→ 0 . ]

Veta 6.4 : (veta o limite slozene funkce)Necht’ f : D(f)→ H(f), g: D(g)→ H(g) a H(f) ⊂ D(g) .Dale lim

x→x0f(x) = y0 (i ±∞) , lim

y→y0g(y) = a . Je-li splnena

alespon jedna z nasledujıcıch podmınek:

i) existuje P (x0) takove, ze ∀x ∈ P (x0) : f(x) 6= y0 ,

ii) funkce g je spojita v bode y0 ,

potom take slozena funkce h(x) = g(f(x)) ma limitulimx→x0

h(x) = a .Funkce f(x) = 0 a

g(y) ={ 1 y 6= 0

0 y = 0nesplnujı predpokladyvety o limite slozenefunkce a lim

y→0g(y) = 1

6= limx→0

g(f(x)) = 0 .

Prıklad 6.7 : Dokazeme, ze platı

1. limx→−∞

(1 + 1x)x

= e .

Polozıme y = −x− 1 a vyraz v limite upravıme

(1 + 1x)x

= (−1−y+1−1−y )

−1−y= ( y

1+y)−(1+y)

= (y+1y )

y+1=

(1 + 1y)y(1 + 1

y) .

Dale platı y →∞ a funkce y = −x−1 (= f(x)) splnujepredpoklad i) vety (6.4) (y 6=∞).

Tedy limx→−∞

(1 + 1x)x

= limy→∞

(1 + 1y)y(1 + 1

y) = e · 1 = e .

2. limx→0

(1 + x)1x = e .

Polozıme y = 1x . Pro x > 0 y → ∞, pro x < 0

y → −∞. Tedy limx→0+

(1 + x)1x = lim

y→∞(1 + 1

y)y

= e a

zaroven limx→0−

(1 + x)1x = lim

y→−∞(1 + 1

y)y

= e . Z cvicenı

(6.8) vyplyva, ze i limx→0

(1 + x)1x = e .

M1E 37

3. limx→0

ln(1+x)x = 1 .

Funkce lnx je podle cvicenı (6.10) spojita v kazdembode x > 0. Tedy

limx→0

ln(1+x)x = lim

x→0ln(1 + x)

1x = ln e = 1 .

4. limx→0

ex−1x = 1 .

Pouzijeme substituci y = ex− 1 a predchozı prıklad.Potom lim

x→0

ex−1x = lim

y→0

yln(1+y) = 1 .

Cvicenı 6.11 : Dokazte, ze platı

a) limx→0

sinhxx = 1 .

[ limx→0

sinhxx

= limx→0

ex−e−x

2x= lim

x→0

ex−1+1−e−x

2x= lim

x→0

ex−12x

+ e−x−1−2x =

12

+ 12

= 1 . ]

b) limx→0

1−coshxx2 = −1

2 .

[ limx→0

1−coshxx2

= limx→0

(1−coshx)(1+coshx)x2(1+coshx)

= limx→0

1−cosh2 xx2(1+coshx)

=

limx→0

− sinh2 xx2(1+coshx)

= −12

. ]

c) limx→0+

xx = 1 .

[ limx→0+

xx =(y = 1x)= lim

y→∞

(1y

) 1y

= limy→∞

1y√y

= 1 . ]

Definice 6.9 : Funkce f se nazyva omezena ve srovnanıs funkcı g (nebo g- omezena) pro x→ x0, jestlize

∃P (x0) ∃ c ∈ R ∀x ∈ P (x0) : |f(x)| ≤ c |g(x)| .

Pıseme a cteme f = O(g) . Je-li f = O(g) a g = O(f), pakrıkame, ze funkce f , g jsou stejneho radu v bode x0 .Rıkame, ze funkce f , g jsou si asymptoticky rovny v bodex0, jestlize

limx→0

f(x)

g(x)= 1

a pıseme f ∼ g .Rıkame, ze funkce f je male o funkce g , jestlize

limx→0

f(x)

g(x)= 0

a pıseme f = o(g) .

Pojmy”velke a male o”se pouzıvajı pri hod-nocenı vypocetnı slo-zitosti programu.

38 M1E

6.2 Spojite funkce na mnozine

Definice 6.10 : Funkce f : D → R je spojita na mnozineI, jestlize f je spojita v kazdem bode x ∈ I ⊂ D. Neboli

∀x ∈ I ∀ ε > 0∃ δ > 0∀ x ∈D : |x−x|< δ ⇒|f(x)−f(x)|< ε.

Funkce 1x

je spojita naintervalu (0, 1), nenıspojita na intervalu(−1, 1) .

Veta 6.5 : Necht’ funkce f : 〈a, b〉 → R je spojita nauzavrenem intervalu 〈a, b〉 (v bode a je spojita zprava, v bodeb zleva), potom

i) ∃K ∈ R∀x ∈ 〈a, b〉 : |f(x)| ≤ K(je omezena na 〈a, b〉),

ii) ∃x1, x2 ∈〈a, b〉 : f(x1)= minx∈〈a,b〉

f(x) , f(x2)= maxx∈〈a,b〉

f(x)

(Weierstrassova veta o nabyvanı minima a maxima),

iii) ∀ y ∈ 〈f(a), f(b)〉 ∃x ∈ 〈a, b〉 : f(x) = y

(existence resenı rovnice, nabyvanı vsech mezihodnot).

nabývání mezihodnoty

0 a

f(a)

b

f(b)

x

y

M1E 39

7 Derivace

Prıklad 7.1 : Mame auto, jehoz ujeta draha je popsana V 17.stoletı se mate-matici snazili vyresit”Problem tecny”- na-lezenı tecny ke grafufunkce a ”Problemplochy”- spocıtat ob-sah plochy pod gra-fem funkce. Na uspes-nem vyresenı techtoproblemu se nezavislena sobe podıleli IsaacNewton (1643 - 1727)

a Gottfried Wilhelmvon Leibniz (1646 -1716). Dalsı rozvoj vteto oblasti vedl kzıskanı mnoha mate-matickych poznatku,ktere nynı nazyvame”kalkulus”.

funkcı s(t) . Chceme-li spocıtat jeho prumernou rychlost v

v casovem intervalu 〈t0, t〉, pak v = s(t)−s(t0)t−t0 .

Rozdıl ∆t = t−t0 se nazyva diference argumentu, rozdıl∆s(t0,∆t) = s(t) − s(t0) se nazyva diference funkce s

v bode t0 a podıl s(t)−s(t0)t−t0 se nazyva pomerna diference

funkce s v bode t0 .

K vypoctu okamzite rychlosti v0 auta v case t0 potrebujeme

znat hodnotu limity v0 = limt→t0

s(t)−s(t0)t−t0 .

Definice 7.1 : (derivace) Necht’ funkce f je definovana naokolı bodu U(x0). Jestlize existuje limita

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= f ′(x0) (= f ′|x0) ,

pak se nazyva derivace funkce f v bode x0. (Jestlize

limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0 = ±∞, pak hovorıme o nevlastnı derivaci.)

Jestlize existuje limx→x0+

f(x)−f(x0)x−x0 = f ′+(x0) , pak se nazyva

derivace zprava.

Jestlize existuje limx→x0−

f(x)−f(x0)x−x0 = f ′−(x0) , pak se nazyva

derivace zleva funkce f v bode x0.

Funkce f ′: x→ f ′(x) , x ∈ I se nazyva derivace funkce fna intervalu I.

Poznamka 7.1 : 1. Z cvicenı (6.7) vyplyva, ze funkce f maderivaci f ′(x0) prave tehdy, kdyz existujı obe jednostrannederivace f ′+(x0), f

′−(x0) a tyto derivace se rovnajı.

Funkce f(x) = |x| ma f ′+(0) = limx→0+

|x|−0x−0 = 1 a f ′−(0) = −1 .

Tedy derivace f ′(0) neexistuje.

2. Pokud f ′ je spojita funkce na intervalu 〈a, b〉 (v krajnıchbodech zprava, resp. zleva), pak rıkame, ze funkce f je spo-jite diferencovatelna na 〈a,b〉 a mnozinu vsech spojitediferencovatelnych funkcı na intervalu 〈a,b〉 znacımeC1(〈a,b〉) . Podobne mnozinu vsech spojitych funkcı na〈a,b〉 znacıme C(〈a,b〉) .

-x

6y

�����

@@@

@@

f(x) = |x|

}f(x)− f(x0)︸ ︷︷ ︸

x− x0xx0

f(x)

40 M1E

Prıklad 7.2 : Vypocıtame derivaci funkce f(x)=xn, n∈N,

x ∈ R . Dostaneme f ′(x0) = limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0 = lim

x→x0

xn−xn0x−x0 =

limx→x0

(x−x0)(xn−1+xn−2x0+ ···+xn−10 )x−x0 = nxn−1

0 ⇒ (xn)′ = nxn−1 .

Derivace konstanty jenula. Pro f(x) = c jef ′(x0)= lim

x→x0c−cx−x0 = 0.

Cvicenı 7.1 : Dokazte nasledujıcı tvrzenı.

a) Jestlize funkce f ma derivaci zprava i zleva v bode x0,pak funkce f je spojita v x0.

[ Vyuzijeme predpoklad, ze funkce f ma derivaci zprava v

bode x0 a pıseme limx→x0+

(f(x)−f(x0)) = limx→x0+

f(x)−f(x0)x−x0 (x−x0) =

f ′+(x0) · limx→x0+

(x − x0) = 0 . Odtud plyne limx→x0+

f(x) = f(x0) a

funkce f je spojita zprava v bode x0. Podobne dokazeme spojitost

zleva, tedy podle poznamky (6.6) je funkce f spojita v bode x0 . ]

b) Derivace sude funkce je funkce licha a naopak.[ Necht’ f je suda, tedy f(−x) = f(x). Pro derivaci

v bode −x0, pak platı f ′(−x0) = limx→−x0

f(x)−f(−x0)x−(−x0) = (y = −x) =

limy→x0

f(−y)−f(−x0)−(y−x0) = lim

y→x0−f(y)−f(x0)

y−x0 = −f ′(x0) . ]

Dusledkem bodu a) cvicenı (7.1) je nasledujıcı veta.

Veta 7.1 : Jestlize funkce f je derivovatelna v bode x0, pakfunkce f je spojita v bode x0 .

x

y

funkce f(x) =√

|x|

0

Podle definice (6.9)muzeme psat ω=o(h).

Pro funkci f(x) = x2

dostaneme x2 − x20 =2x0(x−x0)+(x−x0)2 =2x0h+ h2.Tedy A=2x0 a funkceω(h)=h2.

Poznamka 7.2 : Obracene tvrzenı k predchozı vete neplatı.

Funkce f(x) =√|x| je spojita v bode x0 = 0, ale nema

v tomto bode derivaci.Derivace zprava f ′+(0) = lim

x→0+

√x−0x−0 = +∞ a derivace zleva

f ′−(0) = limx→0−

√−x−0x−0 = −∞ jsou nevlastnı.

Definice 7.2 : Necht’ k funkci f : U(x0) → R existujı kon-stanta A a funkce ω : U(x0)→ R takove, ze ∀x ∈ U(x0) :

f(x)− f(x0) = A · (x− x0) + ω(x−x0) ∧ limx→x0

ω(x−x0)x−x0 = 0 ,

pak rekneme, ze funkce f je diferencovatelna v bode x0 .Polozıme h = x− x0 . Funkce

df(x0, h) = A · h

se nazyva diferencial funkce f v bode x0.

M1E 41

Veta 7.2 : Funkce f ma derivaci v bode x0 (je derivovatelnav x0) prave tehdy, kdyz je diferencovatelna v bode x0 . Navıcplatı

df(x0, h) = f ′(x0) · h .

x

y

diferenciál funkce f

0 x0 x

ω(h)

h

f ′(x0)h

Dukaz : ”⇒” Jestlize ∃ f ′(x0) , pak upravıme rozdılf(x)−f(x0) = f ′(x0) (x−x0)+f(x)−f(x0)−f ′(x0)(x−x0)

a polozıme ω(x − x0) = f(x) − f(x0) − f ′(x0)(x − x0) ,A = f ′(x0) .

Tedy f(x)− f(x0) = A (x− x0) + ω(x−x0) a pro funkci ω

dostaneme limx→x0

ω(x−x0)x−x0 = lim

x→x0

f(x)−f(x0)−f ′(x0)·(x−x0)x−x0 =

limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0 − f ′(x0) = 0 .

”⇐” Jestlize f(x)− f(x0) = A · (x− x0) +ω(x− x0) , pak

f ′(x0) = limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0 = A+ lim

x→x0

ω(x−x0)x−x0 = A .

Poznamka 7.3 :

1. Pro funkci f(x) = x je f(x)−f(x0) = 1(x−x0)+0 = h.

Tedy f ′(x) = 1 a df(x0, h) = dx(x0, h) = h , protose pro diferencial funkce f v bode x0 zavadı znacenı

df(x0, h) = f ′(x0) dx .

2. Diferencial funkce f urcuje hlavnı (linearnı) zmenufunkce f v bode x0 a pouzıva se pro vypocet pribliznychhodnot dane funkce na okolı bodu x0 pomocı vztahuf(x)

.= f(x0) + f ′(x0)(x− x0) .

Naprıklad pro funkci f(x) =√x a body x = 4,1 ,

x0 = 4 dostaneme√

4,1.=√

4+ 12√

4·(4,1−4) = 2,025 .

3. Rovnice tecny ke grafu funkce f v bode [x0, f(x0)]ma tvar

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0) .

4. Pokud f ′(x0) 6= 0, pak rovnice normaly ke grafufunkce f v bode [x0, f(x0)] ma tvar

y − f(x0) = − 1

f ′(x0)(x− x0) .

V cvicenı (7.2) do-kazeme (

√x)′ = 1

2√x.

42 M1E

Cvicenı 7.2 : Najdete derivaci a diferencial funkce√x .

[ Platı√x−√x0 =

(√x−√x0)(

√x+√x0)√

x+√x0

= x−x0√x+√x0⇒

limx→x0

√x−√x0x−x0 = 1

2√x0. Tedy pro derivaci platı (

√x)′(x0) = 1

2√x0

a pro

diferencial d√x(x0, h) = 1

2√x0· h , x0 > 0 . ]

x

f(x) = cosx

y

0 π

2

Prıklad 7.3 : Najdeme derivaci a diferencial funkce ex .

Platı limx→x0

ex−ex0x−x0 = lim

x→x0

ex0(ex−x0−1)x−x0 = ex0 ⇒ (ex)′ = ex

a d ex(x0, h) = ex0 · h .

Prıklad 7.4 : Najdeme rovnici tecny ke grafu funkce cos xv bode x0 = π

2 .

Platı cosx−cosx0 = cos(x+x02 + x−x0

2 )−cos(x+x02 −

x−x02 ) =

cos x+x02 cos x−x0

2 − sin x+x02 sin x−x0

2 −cos x+x0

2 cos x−x02 − sin x+x0

2 sin x−x02 = −2 sin x+x0

2 sin x−x02

⇒ limx→x0

cosx−cosx0x−x0 = lim

x→x0

−2 sinx+x0

2 sinx−x0

2

x−x0 = − sinx0 .

Tedy (cosx)′ = − sinx a pro x0 = π2 ma rovnice tecny

tvar y − cos(π2 ) = − sin(π2 ) · (x− π2 )⇒ y = −(x− π

2 ) .

Veta 7.3 : (algebra derivacı)Necht’ existujı derivace f ′(x0) , g′(x0) , pak platı:

i) (a f ± b g)′(x0) = a f ′(x0)± b g′(x0) , a, b ∈ R ,

ii) (f · g)′(x0) = f ′(x0) g(x0) + f(x0) g′(x0) ,

iii)(fg

)′(x0) =

f ′(x0) g(x0)− f(x0) g′(x0)

g2(x0), g(x0) 6= 0 .

Dukaz : Dokazeme vztah iii) pro derivaci podılu dvou funkcı.Ostatnı vztahy se dokazujı podobne.

Platı (fg )′(x0) = lim

x→x0

f(x)g(x)−

f(x0)g(x0)

x−x0 = limx→x0

f(x) g(x0)−f(x0) g(x)g(x) g(x0) (x−x0) =

= limx→x0

f(x) g(x0)−f(x0) g(x0)+f(x0) g(x0)−f(x0) g(x)g(x) g(x0) (x−x0) =

= limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0

g(x0)−f(x0)g(x)−g(x0)x−x0

g(x) g(x0) . Z existence derivace g′(x0)

a vety (7.1) vyplyva, ze funkce g je spojita v bode x0 .

Tedy limx→x0

g(x) = g(x0) a limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0

g(x0)−f(x0)g(x)−g(x0)x−x0

g(x) g(x0) =

f ′(x0) g(x0)−f(x0) g′(x0)g2(x0) .

M1E 43

Prıklad 7.5 :

1. ((2x+ 1) cosx ex)′ = 2 cos x ex + (2x+ 1)(cosx ex)′ =

= 2 cos x ex + (2x+ 1)(− sinx) ex + (2x+ 1) cosx ex .

2. (tg x)′ = ( sinxcosx)

′= cosx cosx−sinx(− sinx)

cos2 x = 1cos2 x ⇒

(tg x)′ = 1cos2 x .

Veta 7.4 : (Derivace slozene a inverznı funkce)Necht’ funkce f je diferencovatelna v bode x0 , y0 = f(x0)a funkce g je diferencovatelna v bode y0 , potom i slozenafunkce h(x) = g(f(x)) je diferencovatelna v bode x0 a platı

(h(x))′(x0) = g′(y0) · f ′(x0) .

Necht’ f ′(x0) 6= 0 , pak pro derivaci inverznı funkce f−1 v bodey0 = f(x0) platı

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0)=

1

f ′(f−1(y0)).

Derivace inverzní funkce

x

f(x)

f−1(x)y

0 x0

y0

Naprıklad 1 = (x)′ =(elnx)′ = elnx ·(lnx)′ =x (lnx)′ ⇒ (lnx)′ =1x.

Dukaz : Polozıme y = f(x) a upravıme zlomek h(x)−h(x0)x−x0 =

= g(f(x))−g(f(x0))x−x0 = g(y)−g(y0)

y−y0 · y−y0x−x0 = g(y)−g(y0)y−y0 · f(x)−f(x0)

x−x0 .

Funkce f je derivovatelna a podle vety (7.1) i spojita vbode x0 . Tedy y → y0 a prechodem k limite ve vyse uve-dene rovnosti dostaneme (h(x))′(x0) = lim

x→x0

h(x)−h(x0)x−x0 =

limy→y0

g(y)−g(y0)y−y0 lim

x→x0y−y0x−x0 = g′(y0) · f ′(x0) .

(Pokud y = y0 na okolı U(x0) , pak funkce f i h jsoukonstantnı, jejich derivace nulove a platı 0 = g′(y0) · 0 .)Prvnı cast vety je tedy dokazana.

Vztah pro derivaci inverznı funkce nynı dostaneme, kdyzpolozıme g = f−1 , pak h(x) = f−1(f(x)) = x ah′(x) = 1 . Tedy 1 = (f−1)′(y) ·f ′(x) . Odtud jiz plyne druhetvrzenı vety.

Prıklad 7.6 :

1. (ax)′ = (ex ln a)′ = (y = x ln a) = (ey)′ · (x ln a)′ =

ex ln a · ln a⇒ (ax)′ = ax ln a .

44 M1E

2. (arctg y)′(y0) = 1(tanx)′(x0) = 1

1cos2 x0

= 1cos2 x0+sin2 x0

cos2 x0

=

11+tan2 x0

= 11+tan2(arctan y0)

= 11+y20⇒ (arctg x)′= 1

1+x2 .

Z vety o derivaci slo-zene funkce naprıkladdostaneme

1 = (sinh(argsinh x))′

= cosh(argsinhx) ·(argsinhx)′ ⇒(argsinhx)′ =

1

cosh(argsinhx)=

1√1 + sinh2(argsinhx)

=1√

1 + x2

Predhled derivacı zakladnıch funkcı

(ex)′ = ex x ∈ R

(ax)′ = ax ln a a > 0, a 6= 1, x ∈ R

(lnx)′ = 1x x ∈ (0,∞)

(loga x)′ = 1x ln a a > 0, a 6= 1, x ∈ (0,∞)

(xα)′ = αxα−1 α ∈ Rx ∈ (0,∞)

(xn)′ = nxn−1 n ∈ N, x ∈ R

(sinx)′ = cosx x ∈ R

(cosx)′ = − sinx x ∈ R

(tg x)′ = 1cos2 x x 6= (2k + 1)π2 , k ∈ Z

(cotg x)′ = − 1sin2 x

x 6= kπ, k ∈ Z

(arcsinx)′ = 1√1−x2 x ∈ (−1, 1)

(arccosx)′ = − 1√1−x2 x ∈ (−1, 1)

(arctg x)′ = 11+x2 x ∈ R

(arccotg x)′ = − 11+x2 x ∈ R

(sinhx)′ = coshx x ∈ R

(coshx)′ = sinhx x ∈ R

(tghx)′ = 1cosh2 x

x ∈ R

(cotghx)′ = − 1sinh2 x

x 6= 0

(argsinhx)′ = 1√x2+1

x ∈ R

(argcoshx)′ = 1√x2−1

x ∈ (1,∞)

(argtghx)′ = 11−x2 x ∈ (−1, 1)

(argcotghx)′ = 11−x2 x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)

M1E 45

7.1 Zakladnı vety diferencialnıho poctu

Definice 7.3 : Funkce f ma v bode x0 (ostre) lokalnımaximum, jestlize existuje prstencove okolı P (x0) takove,ze

∀x ∈ P (x0) : f(x0) (>) ≥ f(x) .

V prıpade opacnych nerovnostı hovorıme o (ostrem) lokalnıminimu funkce f v bode x0 .Spolecne hovorıme o (ostrem) lokalnım extremu funkce fv bode x0 .

ostré lokální maximum

0U(x0)( )

lokální minimum(i maximum)

0U(x0)( )

Veta 7.5 : (nutna podmınka extremu - Fermat)Necht’ bod x0 je bodem lokalnıho extremu funkce f a existujef ′(x0), pak f ′(x0) = 0 .

nutná podmínka

extrému

0

f ′(x0) = 0

Dukaz : Necht’ x0 je bodem lokalnıho maxima funkce f

(pro lokalnı minimum je dukaz podobny), pak existuje okolıU(x0) takove, ze

∀x ∈ U(x0), x < x0 : f(x)−f(x0)x−x0 > 0⇒ f ′−(x0) ≥ 0 . Podobne

∀x ∈ U(x0), x > x0 : f(x)−f(x0)x−x0 < 0⇒ f ′+(x0) ≤ 0 .

Z existence derivace f ′(x0) pak plyne 0 ≤ f ′+(x0) = f ′(x0) =f ′−(x0) ≤ 0 , tedy f ′(x0) = 0 .

Prıklad 7.7 :

1. Podmınka f ′(x0) = 0 nenı postacujıcı podmınkou ex-tremu. Funkce f(x) = x3 ma v bode x0 = 0 derivaci(x3)′|0 = (3x2)|0 = 0 , presto v bode x0 = 0 nemaextrem.

2. Funkce f muze mıt extrem i v bode, ve kterem neexis-tuje derivace. Naprıklad funkce f(x) = |x| ma v bodex0 = 0 minimum, ale derivace (|x|)′ |0 podle poznamky(7.1) neexistuje.

Definice 7.4 : Jestlize f ′(x0) neexistuje nebo f ′(x0) = 0 ,pak rıkame, ze bod x0 je kritickym bodem funkce f (nebobod podezrely z extremu) . Pokud f ′(x0) = 0 , pak bod x0 jenavıc stacionarnım bodem funkce f .

46 M1E

Veta 7.6 : (o strednı hodnote - Rolle)Necht’ funkce f je spojita na uzavrenem intervalu 〈a, b〉 ,diferencovatelna na otevrenem intervalu (a, b) a v krajnıchbodech platı f(a) = f(b) = 0 , potom existuje bod ξ ∈ (a, b)takovy, ze

f ′(ξ) = 0 .

0 a ξ b

f ′(ξ) = 0Dukaz : Podle vety (6.5) nabyva spojita funkce nauzavrenem intervalu sveho minima i maxima. Necht’ xm jebodem minima a xM je bodem maxima funkce f , potomf(xm) ≤ f(a) = f(b) ≤ f(xM) .

Pokud je funkce f konstantnı, pak je tvrzenı vety zrejme.

Pokud funkce f nenı konstantnı, pak nastane alespon jednaz moznostı: f(xm) < f(a) , pak polozıme ξ = xm nebof(b) < f(xM) , pak polozıme ξ = xM . Bod ξ je tedy bodemlokalnıho extremu funkce f a podle vety (7.5) je f ′(ξ) = 0 .

Veta 7.7 : (o strednı hodnote)(Lagrangeova) Necht’ funkce f je spojita na 〈a, b〉 a difer-encovatelna na (a, b) , potom existuje bod ξ ∈ (a, b) takovy,ze

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

b− a.

(Zobecnena) Necht’ take funkce g je spojita na 〈a, b〉 , difer-encovatelna na (a, b) a ∀x ∈ (a, b) je g′(x) 6= 0 , potom exis-tuje bod η ∈ (a, b) takovy, ze

f ′(η)

g′(η)=f(b)− f(a)

g(b)− g(a).

0

b − a

f(b)−f(a)

a ξ b

Dukaz : Zavedeme funkce h1(x), h2(x) predpisem

h1(x) = (f(b)− f(a))b−xb−a − (f(b)− f(x)) ,

h2(x) = (f(b)− f(a))g(b)−g(x)g(b)−g(a) − (f(b)− f(x)) .

Funkce h1 , h2 splnujı predpoklady Rolleovy vety (7.6). Tedyexistujı body ξ, η∈(a, b) takove, ze h′1(ξ)=0 , h′2(η)=0 .

Neboli 0 = (f(b)− f(a)) −1b−a + f ′(ξ)⇒ f ′(ξ) = f(b)−f(a)

b−a

a 0 = (f(b)− f(a)) −g′(η)g(b)−g(a) + f ′(η)⇒ f ′(η)

g′(η) = f(b)−f(a)g(b)−g(a) .

M1E 47

Poznamka 7.4 :

1. Lagrangeova veta o strednı hodnote rıka, ze ke grafudiferencovatelne funkce f existuje tecna se stejnousmernicı, jakou ma secna grafu funkce f prochazejıcıbody [a, f(a)] , [b, f(b)] .

2. Veta (7.7) zustava v platnosti i pro funkce f s nevlastnıderivacı v nekterem bode x0 intervalu (a, b) , napr. profunkci f(x) = 3

√x na intervalu 〈−1, 1〉 , kde f ′(0) =

1

33√x2|0=∞ .

0

3√

x

Dusledek 7.1: (vety (7.7)). Funkce f je na intervalu (a, b)konstantnı prave tehdy, kdyz ∀x ∈ (a, b) : f ′(x) = 0 .

Dukaz :”⇒ ” Pokud f(x) = c , c ∈ R , pak zrejme f ′(x) = 0 .” ⇐ ” Necht’ x1, x2 jsou libovolne dva body z intervalu(a, b) , pak podle vety (7.7) ∃ ξ ∈ (x1, x2) takove, ze f(x1)−f(x2) = f ′(ξ)(x1−x2) . Podle predpokladu je f ′(ξ) = 0 , tedyf(x1) = f(x2) a funkce f je konstantnı.

Cvicenı 7.3 : Pomocı vety (7.7) dokazte nasledujıcı tvrzenı.

Necht’ funkce f je spojita na 〈a, b〉 , diferencovatelna na(a, b) a existuje lim

x→a+f ′(x) , potom existuje f ′+(a) a platı

limx→a+

f ′(x) = f ′+(a) .

[ Z vety (7.6) plyne ∀x ∈ (a, b)∃ ξx ∈ (a, x) : f ′(ξx) = f(x)−f(a)x−a .

Dale f ′+(a) = limx→a+

f(x)−f(a)x−a = lim

x→a+f ′(ξx) = lim

x→a+f ′(x) . ]

Pokud v zobecnene vete o strednı hodnote (7.7) polozımef(a) = g(a) = 0 a uvazujeme b→ a , pak dostaneme nasledujıcıpravidlo.

Veta 7.8 : (l’Hospitalovo pravidlo)Necht’ funkce f, g splnujı predpoklady vety (7.7). Navıcpredpokladame, ze lim

x→x0f(x) = lim

x→x0g(x) = 0 (nebo ±∞)

a existuje limita (i nevlastnı) limx→x0

f ′(x)g′(x) . Pak

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x).

Tvrzenı vety platı i pro x→ x0± , x→ ±∞ .

48 M1E

Prıklad 7.8 :

1. Z existence limity limx→0

(arcsinx)′

(x)′ = limx→0

1√1−x2

1 = 1

vyplyva limx→0

arcsinxx = 1 .

2. Pozor z neexistence limity limx→x0

f ′(x)g′(x) nevyplyva, ze

limx→x0

f(x)g(x) neexistuje.

Limita limx→0

(x2 sin 1x )′

(sinx)′ = limx→0

2x sin 1x−cos 1

x

cosx neexistuje, presto

limx→0

x2 sin 1x

sinx = limx→0

xsinx x sin 1

x = 0 .

3. L’Hospitalovo pravidlo pouzıvame na limity typu ”00”

nebo ”∞∞” .

Limitu limx→0+

x lnx, ktera je typu ”0 · ∞” , muzeme

prevest na typ 00 , tj. x lnx = x

1ln x

nebo ∞∞ , tj.

x lnx = lnx1x

. Potom

(x)′

( 1ln x)

′ = 1− ln−2 x 1

x

= x− ln−2 x

nam sice nepomuze, ale

(lnx)′

( 1x)′ =

1x−1x2

= −x→ 0 . Tedy limx→0+

x lnx = 0 .

7.2 Vyssı derivace a Taylorova formule

Definice 7.5 : Necht’ funkce f je diferencovatelna na U(x0).Jestlize existuje

limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

x− x0= f ′′(x0) ,

pak cıslo f ′′(x0) se nazyva druha derivace funkce fv bode x0 .Tedy f ′′(x0) = (f ′)′(x0) a analogicky pro n-tou derivacifunkce f v bode x0 platı

f (n)(x0) = (f (n−1))′(x0) .

Rıkame, ze funkce f je n-krat diferencovatelna v bode x0 .

Funkce f (n) : x → f (n)(x) , x ∈ I se nazyva n-ta derivacefunkce f na intervalu I .

Funkce dnf(x0, h) = f (n)(x0)·hn se nazyva n-ty diferencialfunkce f v bode x0 .

Z definice prvnıhodiferencialudf=f ′(x0)h plynedf ′ = f ′′(x0)h, tedyd2f = f ′′(x0)h

2 .

M1E 49

Prıklad 7.9 : Spocıtame druhou derivaci a druhy diferencialfunkce f(x) = x3 v bode x0 = 1 .

Platı (x3)′′ = (3x2)′ = 6x .

Tedy (x3)′′(1) = 6 a d2(x3)(1, h) = 6h2 .

Formalne muzeme druhy diferencial pocıtat jako prvnı difer-encial z prvnıho diferencialu funkce f .

Pro f(x) = x3 dostaneme d2(x3) = d(dx3) = d(3x2 · h) == (d(3x2)) · h = (6xh)h = 6x · h2 .

Nynı budeme predpokladat, ze funkce f je dvakrat diferen-covatelna na intervalu I a (a, b) ⊂ I .

Oznacıme-li R1(x) = f(b) − f(x) , pak funkce R1(x) udava

-

6

a x b

rr

r}R1(x)

f(a)

f(x)

f(b)

-

6

a x b

rr

r}R2(x)

#######

y = f(x) + f ′(x)(b− x)f(a)

f(x)

f(b)

chybu, ktere se dopustıme, kdyz hodnotu funkce f(b) nahradımehodnotou f(x) . Z Lagrangeovy vety (7.6) vyplyva, ze ∃ ξ ∈(a, b) takove, ze R1(a) = f(b) − f(a) = f ′(ξ) · (b − a) . Odtudplyne f(b) = f(a) + f ′(ξ) · (b− a) .

V dukazu Lagrangeovy vety jsme zavedli funkci h1(x) =(f(b)−f(a))b−xb−a−(f(b)−f(x)) , jejiz hodnoty udavajı vzdalenost

bodu [x , f(x)] od bodu [x , f(b) + f(b)−f(a)b−a (x− b)] , ktery lezı na

secne spojujıcı body [a , f(a)] a [b , f(b)] .

Nynı uvazujeme funkci R2(x)=f(b)−f(x)−f ′(x)(b−x), kteraudava chybu pri nahrazenı funkce f tecnou ke grafu funkce fv bode x : y = f(x) + f ′(x)(b− x) .

FunkciR2(x) popıseme pomocı druhe derivace funkce f . Protoanalogicky k funkci h1 zavedeme funkci

h2(x)=(f(b)−f(a)−f ′(a)(b−a)) (b−x)2

(b−a)2−(f(b)−f(x)−f ′(x)(b−x)).

Funkce h2(x) splnuje predpoklady Rolleovy vety (7.5), tedy∃ ξ ∈ (a, b) : h′2(ξ) = 0⇒0 = f(b)−f(a)−f ′(a)(b−a)−2(b−ξ)

(b−a)2 +f ′(ξ)−f ′′(ξ)(b−ξ)−f ′(ξ) .

Odtud vyplyva R2(a) = f(b)−f(a)−f ′(a)(b−a) = f ′′(ξ)2 (b−a)2

a

f(b) = f(a) + f ′(a)(b− a) +f ′′(ξ)

2(b− a)2 .

Uvedeny postup zobecnuje nasledujıcı veta.

50 M1E

Veta 7.9 : (Taylorova veta)Necht’ funkce f ma (n + 1) derivacı na intervalu (a, b) , bodx0 ∈ (a, b) . Potom ∀x ∈ (a, b) existuje ξ lezıcı mezi body x0

a x takove, ze platı nasledujıcı Taylorova formule

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + f ′′(x0)2! (x− x0)

2 + · · ·

+ f (n)(x0)n! (x− x0)

n + f (n+1)(ξ)(n+1)! (x− x0)

n+1 .

Polynom

Tn(x0, x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + f ′′(x0)2! (x− x0)

2+

· · ·+ f (n)(x0)n! (x− x0)

n

se nazyva Tayloruv polynom n-teho radu funkce f(x)v bode x0. Vyraz

Rn+1(x0, x) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1

se nazyva zbytek nebo chyba Taylorova polynomu.

Rozvoj funkcev nekonecnou radunasel anglicky matem-atik Brook Taylor(1685-1731).

jiz v roce 1712. Jehoprace jsou zakladempro diferencnı pocet.Psal take o linearnıperspektive, mag-netismu, lomu svetlaa o mechanickychproblemech.

Profesor z univerzityv Edinburghu ColinMaclaurin (1698-1746).

jako prvnı systemat-icky popsal Newtonuvdiferencialnı pocet.

Poznamka 7.5 :

1. Zkracene pıseme f(x) = Tn(x0, x) +Rn+1(x0, x) .

2. Pomocı diferencialu pıseme

f(x0 + h)− f(x0) = df(x0, h) + d2f(x0,h)2! + · · ·

+d(n)f(x0,h)n! +Rn+1(x0, h) .

3. Pro x0 = 0 hovorıme o Maclaurinove formuli.

Prıklad 7.10 : Najdeme Maclaurinovu formuli pro funkcisinx . Platı

sinx=sin 0+cos 0(x−0)+ − sin 02! (x−0)2 + · · ·+ sin(n)(0)

n! (x−0)n

+ sin(n+1)(ξ)(n+1)! (x−0)n+1 ⇒ Tayloruv polynom T2n+1 funkce sinx

v bode 0 ma tvar T2n+1 = x − x3

3! + · · · + (−1)n+1 x2n+1

(2n+1)!

a pro zbytek polynomu platı R2n+2(0, x) = sin(2n+2)(ξ)(2n+2)! x2n+2 .

M1E 51

Poznamka 7.6 : (Tayloruv rozvoj funkce)Funkce f(x) = sin x ma spojite derivace vsech radu(pıseme f ∈ C∞(R)) . Tyto derivace jsou navıc omezene,tj.∃K > 0 ∀n ∈ N ∀x ∈ R : |f (n)(x)| ≤ K . Odtud plyne

|R2n+2(0, x)| ≤ K|x|2n+2

(2n+2)! a limn→∞

R2n+2(0, x) = 0 .

Funkci sinx tedy muzeme vyjadrit ve tvaru Taylorovy

rady sinx =∞∑n=0

(−1)n

(2n+1)! x2n+1 .

Podobne cos x =∞∑n=0

(−1)n

(2n)! x2n a ex =

∞∑n=0

1n! x

n (pro x = 1

dostaneme e =∞∑n=0

1n! ) .

Take platı

sinh x=∞∑n=0

x2n+1

(2n+ 1)!

cosh x =∞∑n=0

x2n

(2n)!

arctg x=∞∑n=0

(−1)nx2n+1

n

Prıklad 7.11 : Pomocı Taylorovy formule lze aproximovathodnoty funkcı s predem zvolenou presnostı.

S presnostı na tri desetinna mısta spocıtame hodnotu ln 1,1 .

Najdeme Tayloruv rozvoj funkce lnx v bode x0 = 1 . Pron-tou derivaci platı ln(n)(x) = (−1)n−1(n− 1)!x−n . Tedy

lnx = ln 1 + 1 (x− 1)− 12(x− 1)2 + · · ·+ (−1)n+1

n (x− 1)n +(−1)nξ−n−1

n+1 (x− 1)n+1 .

Odhadneme chybu Rn+1(x, 1) = (−1)nξ−n−1

n+1 (x − 1)n+1 prox = 1 a ξ ∈ (1; 1,1) .

Dostaneme |Rn+1(1,1; 1)| = | (−1)n

(n+1)ξn+1 (1,1−1)n+1| < (0,1)n+1

n+1 .

Pro n = 2 je |Rn+1(1,1; 1)| < 0,0013 < 0,001 .

Tedy ln 1,1.= 0,1− 1

2(0,1)2 = 0,095 .

7.3 Prubeh funkce

Definice 7.6 : Rekneme, ze funkce f roste (klesa) v bodex0 , kdyz existuje okolı U(x0) = (x0 − δ , x0 + δ) takove, ze

∀x ∈ (x0 − δ , x0) : f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)) ∧∀x ∈ (x0 , x0 + δ) : f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0)) .

V prıpade neostrych nerovnostı rıkame, ze funkce f v bodex0 neklesa (neroste). 0

f roste v x0

f(x0)

x0−δ x0 x0+δ

52 M1E

Cvicenı 7.4 : Dokazte, ze funkce f roste na intervalu Iprave tehdy, kdyz funkce f roste v kazdem bode intervalu I .

[ ”⇒” Podle definice (6.2) funkce f roste na I ⇔∀x1, x2 : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)⇒ ∀x ∈ (x0 − δ , x0) : f(x) < f(x0)

∧ ∀ x ∈ (x0 , x0 + δ) : f(x0) < f(x)⇒ f roste v x0 .

”⇐” Pro spor predpokladame, ze ∃ a1 < b1 ∈ I ∧ f(a1) > f(b1) .

Oznacıme x = a1+b12

. Jestlize f(x) ≥ f(a1) , pak polozıme a2 = x , b2 =

b1 jinak a2 = a1 , b2 = x atd. Pro posloupnosti an , bn platı bn − an →0+ , f(an) > f(bn) a protoze jsou omezene a motonnı, tak podle vety

(4.4) ∃ c ∈ I : an → c− , bn → c+ . Podle predpokladu funkce f roste

v bode c, tedy ∃n0 ∀n > n0 : f(an) < f(c) < f(bn) coz je spor s

vlastnostı f(an) > f(bn) . ]

Veta 7.10 : Jestlize f ′(x0) > 0 (f ′(x0) < 0), pak funkce fv bode x0 roste (klesa).

0

f ′(x0) > 0f

x0

Dukaz : Necht’ f ′(x0) > 0 .

Z definice derivace plyne f ′(x0) = limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0 ⇔ ∀ ε > 0

∃ δ > 0∀x ∈ D(f) : 0 < |x−x0|< δ ⇒∣∣∣f(x)−f(x0)

x−x0 −f ′(x0)∣∣∣<ε

⇒ (volbou ε) 0 < f ′(x0)− ε < f(x)−f(x0)x−x0 ⇒ pro x > x0 je

f(x) > f(x0) , pro x < x0 je f(x) < f(x0) ⇒ funkce f

roste v bode x0 .

Prıklad 7.12 : Funkce f(x) = x2 ma derivaci f ′(x) = 2x,tedy f ′(x) < 0 pro x < 0 a f ′(x) > 0 pro x > 0 . Zvety (7.10) vyplyva, ze funkce f(x) = x2 klesa na inter-valu (−∞, 0) a roste na intervalu (0,∞) .

Veta 7.11 : (postacujıcı podmınky existence lokalnıhoextremu)

i) Necht’ f ∈ C(U(x0)), U(x0) = (x0− δ , x0 + δ) a zarovenfunkce f roste (klesa) na (x0 − δ , x0) , klesa (roste) na(x0 , x0 + δ) , pak bod x0 je bodem lokalnıho maxima(minima) funkce f .

ii) Necht’ funkce f je diferencovatelna na P (x0) a spojita vbode x0 . Necht’ ∀x ∈ (x0−δ , x0) : f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0)a ∀x ∈ (x0 , x0 + δ) : f ′(x) < 0 (f ′(x) > 0) , pak bodx0 je bodem lokalnıho maxima (minima) funkce f .

-x

6y

�����

@@@

@@

f(x) = |x|

f ′ = −1 < 0 f ′ = 1 > 00

M1E 53

Prıklad 7.13 : Funkce f(x) =3√x2 je suda, spojita, kle-

sajıcı na intervalu (−∞ , 0) a rostoucı na (0 ,∞) . Derivacef ′(x) = 2

3 3√x

je zaporna na (−∞ , 0) a kladna na (0 ,∞) .

V bode x0 = 0 nabyva funkce f(x) =3√x2 sveho minima,

i kdyz derivace v tomto bode neexistuje.0

3√

x2

Cvicenı 7.5 :

1. Najdete nejrychlejsı cestu ke zranenemu v lese, kdyz posilnici bezıme rychlosti 5 km/h, v lese 4 km/h. Vzdalenostzraneneho od silnice je 3 km (tj. od paty P kolmicespustene z mısta zranenı na silnici) a vzdalenost mıstavybehu V a bodu P je 15km.

[ Nejdrıve bezıme po silnici a ve vzdalenosti

x km od bodu P odbocıme do lesa. Cas t potrebny k dobehnutı ke

zranenemu je dan funkcı t(x) = 15−x5

+√x2+94

, kde x ∈ 〈0, 15〉 . Pro

derivaci teto funkce platı t′(x) = −15

+ x4√x2+9

. Vyresıme nerovnost−15

+ x4√x2+9

< 0⇔ 5x <4√x2 + 9⇔ 25x2 <16x2+16 ·9⇔ x <4 .

Tedy funkce t(x) klesa pro x ∈ 〈0, 4) a roste pro x ∈ (4, 15〉 .V bode x = 4 nabyva sveho minima. ]

Px

V15

3

Z

a

b

x

2. Z kartonu ve tvaru obdelnıka vyrobte krabici (bez vıka)tak, aby mela maximalnı objem.

[ V kazdem rohu obdelnıka o rozmerech a× b vyrızneme

ctverec o strane x . Objem takto vznikle krabice je popsan funkcı

f(x) = (a− 2x)(b− 2x)x , kde x ∈ (0,min{a, b}) .

Spocıtame derivaci funkce f . Platı f ′(x) = (abx − 2(a + b)x2 −4x3)′ = 12x2 − 4(a+ b)x+ ab = 12(x− 1

6(a+ b−

√a2 − ab+ b2))

(x − 16(a + b +

√a2 − ab+ b2)) ⇒ funkce f nabyva maxima pro

x = 16(a+ b−

√a2 − ab+ b2) . ]

3. Navrhnete plechovku o objemu 1 litr tak, aby mela conejmensı povrch.

[ Necht’ r

je polomer kruhove podstavy valce a v je jeho vyska. Potom pro

objem V valce platı V = πr2v a pro povrch S = 2πr2 + 2πrv . Z

predpokladu, ze objem plechovky je 1 litr dostaneme v = 1πr2

a jejı

povrch vyjadrıme jako funkci promenne r . S(r) = 2πr(r + 1

πr2

).

Pro derivaci platı S ′(r) = 4πr− 2r2

. Minimum funkce f je v bode

r = 13√2π . Odtud v = 2

3√2π a v = 2r . Optimalnı jsou plechovky,

ktere majı prumer podstavy shodny s vyskou. ]

54 M1E

Definice 7.7 : Necht’ f : U(x0)→ R a existuje f ′(x0) .Rekneme, ze funkce f je (ostre) konvexnı v bode x0, jestlize∃ P (x0) takove, ze

∀x ∈ P (x0): f(x)(>) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0) .

Rekneme, ze funkce f je (ostre) konkavnı v bode x0, jestlize∃ P (x0) takove, ze

∀x ∈ P (x0): f(x)(<) ≤ f(x0) + f ′(x0)(x− x0) .

Diferencovatelna funkce f je (ostre) konvexnı (konkavnı)na intervalu I ⊂ D(f), jestlize f je (ostre) konvexnı(konkavnı) v kazdem bode x ∈ I.

Bod x0 se nazyva inflexnı bod funkce f , jestlize existujeokolı P (x0) = (x0 − δ , x0 + δ) takove, ze

∀x ∈ (x0 − δ , x0) : f(x) < (>)f(x0) + f ′(x0)(x− x0) ,

∀x ∈ (x0 , x0 + δ) : f(x) > (<)f(x0) + f ′(x0)(x− x0) .

0

y=f(x0)+f ′(x0)(x−x0)

f

ostře konvexní v x0

x0

inflexní bod x0

0 x0

Poznamka 7.7 : Graf ostre konvexnı (konkavnı) funkce f lezıv prstencovem okolı bodu P (x0) nad (pod) tecnou v bode x0 .

V inflexnım bode prechazı graf funkce f z jedne strany tecnyna druhou.Pokud funkce f nema derivaci v bode x0 , pak v tomto bodenedefinujeme konvexitu (konkavitu) funkce f .

Prıklad 7.14 : Zjistıme, pro ktera x je funkce f(x) = x2

ostre konvexnı.

Platı f ′(x0) = 2x0 a overujeme nerovnost f(x) > f(x0) +f ′(x0)(x− x0) .

Tedy x2 > x20 + 2x0(x − x0) ⇔ x2 > 2xx0 − x2

0 ⇔x2 − 2xx0 + x2

0 > 0⇔ (x2 − x0)2 > 0 . Tato nerovnost platı

pro kazde x 6= x0 .

Funkce f(x) = x2 je tedy ostre konvexnı na R . (Porovnejtes prıkladem (6.3)).

Cvicenı 7.6 : Necht’ funkce f je konvexnı na intervalu I(podle definice (6.3)) a diferencovatelna na I, pak f je kon-vexnı v kazdem bode intervalu I (podle definice (7.7)) .

M1E 55

[ Z konvexity podle definice (6.3) plyne

∀x1, x2 ∈ I ∀ t ∈ 〈0, 1〉: f(tx1 + (1 − t)x2) ≤ tf(x1) + (1 − t)f(x2) ⇔f(x1 + (1− t)(x2 − x1)) ≤ f(x1) + (1− t)(f(x2)− f(x1))⇒limt→1−

f(x1+(1−t)(x2−x1))−f(x1)(1−t)(x2−x1) (x2−x1) ≤ f(x2)−f(x1)⇔ f ′(x1)(x2−x1) ≤

f(x2)− f(x1)⇒ funkce f je konvexnı i podle definice (7.7). ]

Veta 7.12 : Necht’ funkce f je dvakrat diferencovatelna naintervalu I .

i) Jestlize f ′′(x0) > 0 (f ′′(x0) < 0), x0 ∈ I, pak funkce fje ostre konvexnı (ostre konkavnı) v bode x0 .

ii) Funkce f je konvexnı (konkavnı) na I prave tehdy, kdyz∀x ∈ I : f ′′(x) ≥ 0 (f ′′(x) ≤ 0) .

iii) Jestlize x0 ∈ I je inflexnı bod funkce f , pak f ′′(x0) = 0.K bodu iii) neplatıobracena implikace.Napr. funkce f(x)=x4

ma f ′′(0) = 12x2|0 =0, ale bod x0 = 0nenı inflexnım bodem,je bodem ostreho min-ima funkce f(x) = x4.

Dukaz : i) Necht’ f ′′(x0) > 0, pak podle vety (7.10) derivacef ′ v bode x0 roste.Volıme x > x0 (pro x < x0 je dukaz podobny) a chcemedokazat, ze f(x)− f(x0) > f ′(x0)(x− x0).Z vety o strednı hodnote (7.7) vyplyva, ze ∃ ξ ∈ (x0, x) :f(x) − f(x0) = f ′(ξ)(x − x0). Tedy dokazujeme nerovnostf ′(ξ)(x− x0) > f ′(x0)(x− x0)⇔ f ′(ξ) > f ′(x0), coz plyne zrustu derivace f ′ v bode x0 .

ii) K dukazu pouzijeme Taylorovu vetu (7.9). Z nı vyplyva,ze ∀x0 ∈ I ∃P (x0)∀x ∈ P (x0)∃ ξ ∈ (x0, x) (popr. (x, x0)) :

f(x) = f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+ f ′′(ξ)2 (x−x0)

2 . Z predpokladu

f ′′(ξ) ≥ 0 na I dostaneme f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x − x0),tedy funkce f je konvexnı v libovolnem bode x0 ∈ I .

Obracene necht’ funkce f je konvexnı v bode x0 ∈ I, tj.f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0)⇒ (pro x > x0 a z vety (7.7))

∃ ξ∈(x0, x) : f ′(ξ) = f(x)−f(x0)x−x0 ≥ f ′(x0)⇒ 0 ≤ f ′(ξ)−f ′(x0)

a limitnım prechodem pro ξ → x0+ dostaneme nerovnost0 ≤ f ′(ξ)−f ′(x0)

ξ−x0 → f ′′+(x0) = f ′′(x0) .

iii) Poslednı tvrzenı dokazeme sporem.Necht’ f ′′(x0) 6= 0, pak podle bodu i) je funkce f v bode x0

ostre konvexnı nebo konkavnı, tedy∃P (x0)∀x ∈ P (x0) : f(x) > (<)f(x0) + f ′(x0)(x − x0), cozje spor s predpokladem, ze x0 je inflexnı bod funkce f .

Z existence druhe de-rivace funkce f v bo-de x0 plyne rovnostf ′′+(x0)=f ′′(x0)

56 M1E

Prıklad 7.15 :

i) Pokud je funkce f ostre konvexnı v bode x0, pak nemusıf ′′(x0) > 0.

ii) Pokud f ′′(x0) = 0, pak v bode x0 nemusı byt inflexnıbod.

Pro funkci f(x) = x6 je f ′′(x)|0 = 30x4|0 = 0, presto je tatofunkce v bode 0 ostre konvexnı a nema zde inflexnı bod.

Definice 7.8 : Jestlize alespon jedna z limit limx→x0+

f(x) ,

limx→x0−

f(x) je nevlastnı (±∞), pak rıkame, ze prımka x = x0

je asymptotou ve vlastnım bode ke grafu funkce f .

Jestlize existujı limity limx→∞

f(x)x = k , lim

x→∞(f(x)−kx) = q , pak

rıkame, ze prımka y = kx+q je asymptotou v nevlastnımbode ke grafu funkce f . (Podobne definujeme asymptotu prox→ −∞ .)

x

y

−1 0 1

f(x) =|x2 − 1|

xPrıklad 7.16 : Vysetrıme prubeh funkce f(x) = |x2−1|

x .

Funkce f ma definicnı obor D(f) = R \ {0} , je spojita naD(f) a je licha. Stacı tedy, kdyz ji budeme vysetrovat prox ∈ (0,∞) .

Protoze ve funkci f se vyskytuje absolutnı hodnota, rozde-lıme ulohu na dva prıpady:

1) Pro x ∈ (0, 1) je f(x) = −x2+1x = −x + 1

x . Potomf ′(x) = −1 − 1

x2 < 0 ⇒ funkce f klesa na (0, 1) . Dalef ′′(x) = 2

x3 > 0⇒ funkce f je ostre konvexnı na (0, 1) .

2) Pro x ∈ (1,∞) je f(x) = x2−1x = x − 1

x . Potomf ′(x) = 1 + 1

x2 > 0 ⇒ funkce f roste na (1,∞) . Dalef ′′(x) = −2

x3 < 0⇒ funkce f je ostre konkavnı na (1,∞) .

Tedy v bode x = 1 ma funkce f ostre lokalnı minimum.Pozor v bode x = 1 nema funkce f inflexnı bod, i kdyz zdeprechazı z konvexity do konkavity. Podle cvicenı (7.3) jef ′−(1) = lim

x→1−−1 − 1

x2 = −2 a f ′+(1) = limx→1+

1 + 1x2 = 2 .

V bode x = 1 nenı tedy funkce f diferencovatelna.

Dale limx→0±

|x2−1|x = ±∞, tedy prımka x = 0 je asymptotou

funkce f ve vlastnım bode x0 = 0. V nevlastnıch bodechplatı

M1E 57

limx→±∞

x2−1x

x = 1 , limx→±∞

x2−1x − x = lim

x→∞x2−1−x2

x = 0 .

Prımka y = x je asymptotou dane funkce v ±∞ .

Cvicenı 7.7 : Necht’ funkce f je dvakrat diferencovatelnana okolı U(x0) a derivace f ′ ma v bode x0 ostry extrem,pak bod x0 je bodem inflexe funkce f .

[ Polozıme g(x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0),pak g(x0) = 0 , g′(x) = f ′(x) − f ′(x0) a g(x0) = 0 . Necht’ ma funkce

f v bode x0 maximum (pro minimum je dukaz obdobny), pak existuje

okolı Uδ(x0) ⊂ U(x0) takove, ze ∀x ∈ Uδ(x0) : f ′(x)− f ′(x0) < 0, tedy

g′(x) < 0 a funkce g klesa na Uδ(x0). Odtud plyne f(x) > f(x0) −f ′(x0)(x− x0) pro x ∈ (x0 − δ, x0) a f(x) < f(x0)− f ′(x0)(x− x0) pro

x ∈ (x0, x0 + δ) . Tedy x0 je inflexnı bod fukce f . ]

Veta 7.13 : Necht’ funkce f ∈ C(n)(U(x0)) (spojite diferen-covatelna az do radu n na okolı U(x0)) a platı

f ′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 ∧ f (n)(x0) 6= 0 .

i) Jestlize n je sude a f (n)(x0) > 0 (f (n)(x0) < 0) , potomje funkce f v bode x0 ostre konvexnı (konkavnı).

ii) Jestlize n je liche, potom x0 je inflexnı bod funkce f .

Necht’ navıc f ′(x0) = 0 , pak

i) Jestlize n je sude a f (n)(x0) > 0 (f (n)(x0) < 0) , potom vbode x0 je ostre lokalnı minimum (maximum) funkce f .

ii) Jestlize n je liche a f (n)(x0) > 0 (f (n)(x0) < 0) , potombod x0 je bodem rustu (poklesu) funkce f .

x

y

f(x) = x+ x4

f ′′(0) = f ′′′(0) = 0 ,

f (4)(0) = 24 > 0

0 je konvexní bod

0

x

y

f(x) = −x3 + 0.5

f ′(0) = f ′′(0) = 0 ,f ′′′(0) = −6 < 0

0 je bod poklesu

0Dukaz : i) Pouzijeme Tayloruv rozvoj funkce f v bode x0

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + · · ·+ f (n)(ξ)n! (x− x0)

n . Podlepredpokladu tedy platı f(x) − f(x0) + f ′(x0)(x − x0) =f (n)(ξ)n! (x − x0)

n . Ze spojitosti n-te derivace funkce f apredpokladu f (n)(x0) > 0 plyne, ze existuje okolı U(x0)takove, ze ∀x ∈ U(x0) : f (n)(x) > 0 . Pro n sude je tedyf(x) − f(x0) + f ′(x0)(x − x0) > 0 a funkce f je ostrekonvexnı.

Podobne lze dokazat i ostatnı tvrzenı vety.

58 M1E

Prıklad 7.17 : Uvazujeme funkci f(x) = x4 , potomf ′(0) = 4x3|0 = 0 , f ′′(0) = 12x2|0 = 0 , f ′′′(0) = 24x|0 = 0a f (4)(0) = 24 . Funkce f(x) = x4 je tedy v bode x0 = 0ryze konvexnı a nabyva zde sveho minima.

Cvicenı 7.8 : Prıklad funkce se vsemi derivacemi rovnymi

nule v bode extremu f(x) =

{e−1x2 x 6= 0

0 x = 0

[ f ′(0) = limx→0±

e−1x2 −0x−0 = (y = 1

x) = lim

y→±∞y

ey2= 0 , f ′(x) = 2x−3e

−1

x2

⇒ f ′′(0) = limx→0±

2x−3e−1x2 −0

x−0 = (y = 1x) = lim

y→±∞2y4

ey2= 0 atd. ]

x

y

funkce f(x) = e−1

x2

0

M1E 59

8 Integraly

8.1 Neurcite integraly

Uz vıme, ze derivace s′(t) funkce s(t) popisujıcı ujetou vzdalenostauta v zavislosti na case t udava jeho rychlost v(t). V teto kapi-tole budeme resit opacny problem. K dane rychlosti budemehledat ujetou vzdalenost.

Definice 8.1 : Funkce F se nazyva primitivnı funkcek funkci f na mnozine M , jestlize ∀x ∈M : F ′(x) = f(x) .

Necht’ G,F jsou primitivnı funkce k funkci f na intervalu(a, b) , pak ∀x ∈ (a, b) : (G − F )′(x) = f(x) − f(x) = 0 . Z du-sledku (7.1) vety (7.7) vyplyva, ze existuje konstanta C ∈ Rtakova, ze G(x)− F (x) = C , tedy G(x) = F (x) + C .

Definice 8.2 : Mnozina vsech primitivnıch funkcı k funkcif se nazyva neurcity integral funkce f a znacı se∫

f(x) dx = F (x) + C , C ∈ R .

Konstanta C se nazyva integracnı konstanta.

∫f(x) dx

Znak integrálu

Integrand

Integrální proměnná

Prıklad 8.1 :

1. Funkce s(t) popisujıcı drahu auta je primitivnı funkcık funkci v(t) popisujıcı rychlost auta.

2. Funkce x3 + 2 , x3 − 23 jsou primitivnı k funkci3x2 na R a pro neurcity integral k funkci 3x2 platı∫

3x2 dx = x3 + C , C ∈ R .

Uloha najıt primitivnı funkci je obracena k uloze nalezt derivacidane funkce. Z linearity operace derivovanı (veta (7.3) i)) plynei linearita neurciteho integralu.

Veta 8.1 : Necht’ funkce f, g majı primitivnı funkce na in-tervalu I , α, β ∈ R , potom platı∫

[α · f(x)± β · g(x)] dx = α

∫f(x) dx± β

∫g(x) dx .

Prıklad 8.2 :∫

3 ex− 2 sin x dx = 3∫ex dx− 2

∫sinx dx =

3 ex + 2 cosx+ C .

60 M1E

Ze znalosti derivacı zakladnıch funkcı lze odvodit nasledujıcıprimitivnı funkce.

Zakladnı primitivnı funkce∫ex dx = ex + C x ∈ R∫ax dx = ax

ln a + C a > 0, a 6= 1, x ∈ R∫xn dx = xn+1

n+1 + C n ∈ N, x ∈ R∫1x dx = ln | x | +C x ∈ R \ {0}∫xα dx = xα+1

α+1 + C α 6= −1, x ∈ (0,∞)∫sinx dx = − cosx+ C x ∈ R∫cosx dx = sinx+ C x ∈ R∫

1cos2 x dx = tg x+ C x 6= (2k + 1)π2 , k ∈ Z∫

1sin2 x

dx = −cotg x+ C x 6= kπ, k ∈ Z∫1√

1−x2 dx = arcsinx+ C = − arccosx+ C x ∈ (−1, 1)∫1

1+x2 dx = arctg x+ C = −arccotg x+ C x ∈ R∫coshx dx = sinhx+ C x ∈ R∫sinhx dx = coshx+ C x ∈ R∫

1cosh2 x

dx = tghx+ C x ∈ R∫1

sinh2 xdx = −cotghx+ C x 6= 0∫

1√1+x2

dx = argsinhx+ C = ln |x+√

1 + x2 | +C x ∈ R∫1√x2−1

dx = argcosh |x | +C = ln |x+√x2 − 1 | +C |x | ∈ (1,∞)∫

11−x2 dx = argtghx+ C x ∈ (−1, 1)∫

11−x2 dx = argcotghx+ C x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)

M1E 61

Francouzsky matem-atik Jean GastonDarboux (1842-1917).

se ve sve pracivenoval predevsımdiferencialnı geometriia analyze.

Cvicenı 8.1 : (Darbouxovska vlastnost integrovatelnych funkcı)

Dokazte nasledujıcı tvrzenı. Necht’ k funkci f existuje prim-itivnı funkce F na intervalu I a 〈x1, x2〉 ⊂ I . Necht’ f(x1) <0, f(x2) > 0, potom ∃x0 ∈ (x1, x2) : f(x0) = 0 .

[ Funkce F je derivovatelna na I a 〈x1, x2〉 ⊂ I, tedy podle vety (7.1)

je funkce F spojita na uzavrenem intervalu 〈x1, x2〉. Z predpokladu

F ′(x1) = f(x1) < 0, F ′(x2) = f(x2) > 0 vyplyva, ze funkce F nenı na

intervalu 〈x1, x2〉 monotonnı, tudız existuje bod x0 ∈ (x1, x2) takovy,

ze funkce F nabyva extremu v bode x0 ∈ (x1, x2). Z nutne podmınky

extremu (Fermatova veta (7.5)) plyne F ′(x0) = f(x0) = 0 . ]

Obecne pro y0 ∈ (f(x1), f(x2)) (popr. y0 ∈ (f(x2), f(x1)))lze pomocı substituce g(x) = f(x) − y0 snadno dokazat,ze ∃x0 ∈ (x1, x2) : f(x0) = y0 . Odtud vyplyva nasledujıcıtvrzenı.

Jestlize k funkci f existuje primitivnı funkce, pak funkce fnabyva vsech mezihodnot mezi hodnotami (f(x1), f(x2)) .

Z vety (?? iii)) uz vıme, ze take kazda spojita funkce nabyvavsech mezihodnot. Integrovatelna funkce vsak nemusı byt spo-jita !

Napr. funkce F (x) ={ x2 sin 1

x , x 6= 0

0 , x = 0je primitivnı funkce

k funkci f(x) ={ 2x sin 1

x − cos 1x , x 6= 0

0 , x = 0, ktera nenı spojita

v bode x0 = 0 .

F (x) = x2 sin

1

x

Veta 8.2 : (integrace per partes)Necht’ funkce u, v jsou derivovatelne na intervalu I a existujeprimitivnı funkce k soucinu u · v′ na I, pak na I platı∫

u′(x) · v(x) dx = u(x) · v(x)−∫u(x) · v′(x) dx .

Dukaz : Z vety (7.3 ii) dostaneme (u · v)′ = u′ · v + u · v′ ⇒u′ · v = (u · v)′ − u · v′ a podle predpokladu existuje prim-itivnı funkce k prave strane uvedene rovnosti. Tedy exis-tuje i integral

∫u′(x) · v(x) dx a platı

∫u′(x) · v(x) dx =

u(x) · v(x)−∫u(x) · v′(x) dx .

62 M1E

Prıklad 8.3 :

1) Vypoctete integral∫x cosx dx .

∫x cosx dx =

u′ = cosx v = x

u = sinx v′ = 1

= x sinx−∫

sinx dx =

x sinx+ cosx+ C .

Podobne pocıtame integraly funkcı xn cos kx , xn sin kx , xnekx ,k, n ∈ N .

2) Vypoctete integral∫

loga x dx .∫loga x dx =

u′ = 1 v = loga x

u = x v′ = 1x ln a

= x loga x−∫

xx ln a dx =

x loga x− xln a + C .

Podobne pocıtame integraly funkcı arcsin ax , arccos ax ,arctg ax , a ∈ R ap.

3) Vypoctete integral∫

1(1+x2)2 dx .

Obecne oznacıme In =∫

1(1+x2)n dx , n ∈ N a pomocı

metody ”per partes”dostaneme

In =∫

1(1+x2)n dx =

u′ = 1 v = 1(1+x2)n

u = x v′ = −n 2x(1+x2)n+1

= x(1+x2)n −∫ x(−n 2x)

(1+x2)n+1 dx = x(1+x2)n + 2n

∫1+x2−1

(1+x2)n+1 dx = x(1+x2)n +

2n (∫

1(1+x2)n −

1(1+x2)n+1 dx) = x

(1+x2)n + 2n (In − In+1) .

Odtud vyplyva In+1 = 12n

(x

(1+x2)n + (2n− 1)In

).

Nynı vypocıtame∫

1(1+x2)2 dx = (n = 1)

12

(x

(1+x2)1 + (2− 1)∫

11+x2 dx

)= 1

2

(x

1+x2 + arctanx)

+ C .

Veta 8.3 : (integrace substitucı)Necht’ f : D(f) → H(f) , g : D(g) → H(g) a H(f) ⊂ D(g) .Jestlize funkce f je derivovatelna na D(f) a existuje primi-tivnı funkce G k funkci g na D(g) , potom na D(f) platı∫

g(f(x)) · f ′(x) dx =

∫g(y) dy = G(f(x)) + C , C ∈ R .

M1E 63

Dukaz : Funkce G(f(x)) splnuje predpoklady vety (7.4)o derivaci slozene funkce. Odtud vyplyva (G(f(x))′ =g(f(x)) ·f ′(x) a funkce G(f(x)) je primitivnı funkcı k funkcig(f(x)) · f ′(x) na D(f) .

Typickymi integraly,ktere lze spocıtat po-mocı vety o substitucijsou∫

tg x dx ;

∫lnx

xdx ;∫

arcsinx√1− x2

dx ;∫argsinhx√

1 + x2dx ap. .

Prıklad 8.4 : Vetu 8.3 je vhodne pouzıt v prıkladech, kdyse v integralu vyskytuje funkce f a jejı diferencial f ′ dx,pak provedeme substituci za funkci f .∫

cotg x dx =∫

cosxsinx dx =

(y = sinxdy = cosx dx

)=∫

1y dx =

ln |y|+ C = ln | sinx|+ C .

Nekdy vyhodne promennou x nahradit funkcı x(t). V tomtoprıpade vsak musı existovat inverznı funkce x−1(t).∫

1√1−x2 dx =

(x = cos t t ∈ (0, π)

dx = − sin t dt t = arccosx

)=

∫1√

1−cos2 t(− sin t) dt =

∫− sin t| sin t| dt =

(pro t ∈ (0, π)je sin t > 0

)=∫

−1 dt = − t+ C = − arccosx+ C .

Racionalnı lomenefunkce majı tvar

R(x) =P (x)

Q(x),

kde P (x), Q(x) jsoupolynomy.

Integraly typu∫

R(x) dx

Nejdrıve budeme integrovat zakladnı racionalnı funkce typu

1.∫

Ax−x1 dx , kde A, x1 ∈ R .∫ −3x−4 dx =

(u = x− 4du = dx

)= −3

∫1u du = −3 ln |x− 4|+C .

2.∫

A(x−x1)k

dx , kde A, x1 ∈ R, k ∈ N \ {1} .∫2

(1−x)3 dx =(u = 1− xdu = −dx

)= 2

∫1u3 (−du) = −2 u−2

−2 =

1(1−x)2 + C .

3.∫

Ax+Bx2+px+q dx , kde A , B , p , q ∈ R a jmenovatel

zlomku ma komplexnı koreny.∫2x+1

x2+2x+2 dx =∫

2x+2−1x2+2x+2 dx =

(u = x2 + 2x+ 2du = (2x+ 2)dx

)=

∫1u du−

∫1

(x+1)2+1 dx=(v = x+ 1dv = dx

)=ln |u|+C−

∫1

v2+1 dv =

ln |x2 + 2x+ 2| − arctg (x+ 1) + C .

64 M1E

4)∫

Ax+B(x2+px+q)k

dx , kde A, B, p, q ∈ R, k ∈ N \ {1} a jme-novatel zlomku ma komplexnı koreny.∫

6x−3(x2+4)2 dx = 3

∫2x−1

(x2+4)2 dx =(u = x2 + 4

du = 2x dx

)=

3∫

1u2 du− 3

∫1

16((x2 )2+1)2 dx =

(v = x

2

2dv = dx

)=

3 u−1

−1 +C− 38

∫1

(v2+1)2 dv = (viz prıklad (8.1) 3) = −3 1x2+4−

38

(12( vv2+1 + arctg v)

)+ C = −3

x2+4 −316( 2x

x2+4 + arctg x2) + C .

Rozklad na parcialnı zlomkyRozklad na parcialnızlomky je inverznı o-perace k operaci hle-danı spolecneho jme-novatele.

V prıpade, kdy stupenP (x) ≥ stupen Q(x),nejdrıve vydelıme po-lynom P (x) polyno-mem Q(x), a potomprejdeme k parcialnımzlomkum.

Z algebry vıme, ze polynom Q(x) lze rozlozit na soucin poly-nomu nejvyse druheho stupne. Tedy

Q(x) =∏

i=1,...,nj=1,...,m

(x−xi)ki(x2+pjx+qj)rj , ki, rj ∈ N, pj, qj ∈ R .

Racionalnı lomenou funkci R(x) = P (x)Q(x) , kde P (x), Q(x) jsou

polynomy a stupen P (x) < stupen Q(x) rozlozıme na soucetzakladnıch racionalnıch funkcı:

R(x) =n∑i=1

A1i

x−xi+A2i

(x−xi)2+· · ·+ Aki(x−xi)ki

+m∑j=1

B1jx+C1j

x2+pjx+qj+

B2jx+C2j

(x2+pjx+qj)2+

· · ·+ Brjx+Crj(x2+pjx+qj)

rj

a jednotlive zlomky integrujeme zvlast’.

Prıklad:∫2x+2

x4−2x3+2x2−2x+1 dx=∫

2x+2(x−1)2(x2+1) dx=

∫Ax−1 + B

(x−1)2 + Cx+Dx2+1 dx

=∫ A(x−1)(x2+1)+B(x2+1)+(Cx+D)(x−1)2

(x−1)2(x2+1) dx =∫ −1

x−1+ 2(x−1)2+

x−1x2+1 dx =

− ln |x− 1| − 2(x− 1)−1 + 12 ln |x2 + 1| − arctg x+ C .

Konstanty A,B,C,D vypocıtame z rovnosti

2x+ 2 = A(x− 1)(x2 + 1) +B(x2 + 1) + (Cx+D)(x− 1)2 .

Pro x = 1 je 4 = B 2⇒ B = 2 .

Pro x = i je 2i+ 2 = (Ci+D)(i− 1)2 ⇒ 2i+ 2 = 2C − 2iD ⇒C = 1 , D = −1 .

Pro x = 0 je 2 = A(−1) + 2− 1⇒ A = −1 .

M1E 65

Integraly typu∫R(sinx, cosx) dx Resıme prechodem k ra-

cionalnım lomenym funkcım pomocı nasledujıcıch substitucı. Zakladnı vztahy progoniometricke funkcecos2 x+ sin2 x = 1cos 2x = cos2 x−sin2 xcos2 x = 1+cos 2x

2

sin2 x = 1−cos 2x2

sin 2x = 2 sin x cosx .

1. Pokud R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx), pak t = cosx .

Pokud R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx), pak t = sinx .∫sinx cos2 x dx =

(t = cosxdt = − sinx dx

)=∫−t2 dt = − t3

3 +

C = −cos3 x3 + C .∫

1cosx dx =

(t = sinx t ∈ 〈−1, 1〉dt = cosx dx

)=∫

1cosx

dtcosx =∫

dt1−sin2 x

=∫

dt1−t2 = argtgh t+ C = argtgh (sin x) + C .

2. Pokud R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx) , pak t = tg x ,

x 6= (2k+1)π2 , k ∈ Z a platı t=tg x⇒ t2 = sin2 x

cos2 x

⇒ t2 cos2 x= 1−cos2 x⇒cos2 x(t2 + 1)=1⇒cos2 x = 1

1+t2.

x = arctg t , dx = dt1+t2 , sin2 x = t2

1+t2 , cos2 x = 11+t2 .∫

1sin2x+1

dx =∫ 1

1+t2

t2

1+t2+1dt =

∫ 11+t2

t2+1+t2

1+t2

dt =∫

1(√

2t)2+1dt =(

u =√

2 tdu =

√2 dt

)= 1√

2

∫duu2+1 = 1√

2arctg (

√2 tg x) + C.

V nekterych specialnıch prıpadech je vhodne pouzıt zakladnıvztahy pro goniometricke funkce.∫

1sin4 x

dx =∫

sin2 x+cos2 xsin4 x

dx =∫

1sin2 x

+ 1sin2 x

cotg 2x dx =(u = cotg xdu = − 1

sin2 xdx

)= −cotg x−

∫u2 du=−cotg x−cotg 3x

3 +C.

Metoda snizovanı stupne.∫cos2 x dx =

∫1+cos 2x

2 dx = 12

∫[1 + cos 2x] dx

=(u = 2xdu = 2 dx

)= 1

2(x+ 12

∫cosu du) = 1

2x+ 14 sin 2x+C .

3. V obecnem prıpade pouzıvame univerzalnı substituci

t = tg x2 , x 6= (2k + 1)π , k ∈ Z . Potom

x = 2 arctg t , dx = 2 dt1+t2 , sinx = 2t

1+t2 , cosx = 1−t21+t2 .∫

12+sinx dx =

∫ 2 dt1+t2

2+ 2t1+t2

dx =∫

dtt2+t+1 =

∫dt

(t+ 12 )2+ 3

4

=(u = t+ 1

2

du = dt

)=∫

duu2+ 3

4

=∫

du34(( 2√

3u)2+1)

=( v = 2√

3u

dv = 2√3du

)=

43

∫ √32 dv

v2+1 = 2√3arctg v + C = 2√

3arctg ( 2√

3tg x

2 + 1√3) + C .

66 M1E

Zde vyuzıvame sou-ctove vzorce

sin(α± β) =sinα cos β±cosα sin β

cos(α± β) =cosα cos β∓sinα sin β

.

Integraly typu∫R(sinmx, cosnx) dx Pro m,n ∈ Z platı:∫

cosmx cosnx dx = 12

∫[cos(m+ n)x+ cos(m− n)x] dx ,∫

sinmx cosnx dx = 12

∫[sin(m+ n)x+ sin(m− n)x] dx ,∫

sinmx sinnx dx = 12

∫[− cos(m+ n)x+ cos(m− n)x] dx .∫

[cos 2x cos 3x] dx = 12

∫[cos 5x+ cos(−x)] dx =

12(1

5 sin 5x+ sinx) + C .

Integraly typu∫R(√

1− x2) dx Pocıtame pomocı substitucıx = sin t nebo x = cos t .∫ √

1− x2 dx =(

x = sin t t ∈ (−π2 ,π2 )

dx = cos t dt t = arcsinx

)=∫ √

1− sin2 t cos t dt =∫| cos t| cos t dt =

(pro t ∈ (−π2 ,

π2 )

je cos t > 0

)=∫

cos2 t dt = (viz metoda snizovanı stupne) = 12t+

14 sin 2t+C =

12 arcsinx+ 1

4 sin 2(arcsinx) + C .

Integraly typu∫R(√

1 + x2) dx,∫R(√x2 − 1) dx Pocıtame

pomocı substitucı x = sinh t nebo x = cosh t a vzorcu

cosh2 t − sinh2 t = 1 , cosh2 t + sinh2 t = cosh 2t , sinh 2t =2 sinh t cosh t , 2 cosh2 t = cosh 2t+ 1 , 2 sinh2 t = cosh 2t− 1 .∫

1√x2+1

dx =(

x = sinh t t ∈ Rdx = cosh t dt t = argsinhx

)=∫

1√sinh2 t+1

cosh t dt =∫

1| cosh t| cosh t dt =

∫1 dt = argsinhx+C .

8.2 Urcite integraly

Prıklad 8.5 : Pro jednoduchost si nynı predstavıme, zerychlost naseho auta je konstantnı v(t) = c , c ∈ R . Ujetadraha auta s(t) v case t od pocatku merenı v case t0 je pakdana vztahem s(t) − s(t0) = c · (t − t0) . Hodnota rozdılus(t)−s(t0) se zaroven rovna ”plose pod grafem funkce”v(t)na intervalu 〈t0, t〉 .

Pripomenme, ze funkce s(t) je primitivnı k funkci v(t).Pozdeji ukazeme, ze i v obecnejsım prıpade lze primitivnıfunkci vyuzıt k vypoctu plochy pod grafem funkce.

s(t) = c · t

v(t) = c

t0 = 0 t

M1E 67

Definice 8.3 : Necht’ k funkci f : 〈a, b〉 → R existuje primi-tivnı funkce F : 〈a, b〉 → R (v krajnıch bodech uvazujemejednostranne derivace). Pak rozdıl F (b) − F (a) nazyvameNewtonovym urcitym integralem funkce f na intervalu〈a, b〉 a pıseme

F (b)− F (a) =

b∫a

f(x) dx .

Uvedeny vztah se nazyva Newtonova-Leibnizova formule

a take pıseme F (b)− F (a) = [F (x)]ba =b∫a

f .

Cıslo a se nazyva dolnı mez, cıslo b se nazyva hornı mezNewtonova integralu.Mnozinu vsech funkcı, ktere majı Newtonuv integral na in-tervalu 〈a, b〉 znacıme N (〈a, b〉) .

F (b)− F (a)

f(x)

a b

Veta 8.4 : (vlastnosti Newtonova integralu)

1) Newtonuv integral nezavisı na volbe primitivnı funkce.

2) Necht’ f ∈ N (〈a, b〉) , c ∈ 〈a, b〉 , pak platıb∫a

f(x) dx = −a∫b

f(x) dx ,a∫a

f(x) dx = 0 ,

b∫a

f(x) dx =c∫a

f(x) dx+b∫c

f(x) dx .

3) Necht’ f, g ∈ N (〈a, b〉) , α, β ∈ R , pak platıb∫a

αf(x) + βg(x) dx = αb∫a

f(x) dx+ βb∫a

g(x) dx .

(Tedy mnozina N (〈a, b〉) je linearnı prostor.)

Prıklad 8.6 :2∫

0

2x dx = [x2 + C]20 = [x2]20 = 4 .

π∫0

[3 cosx − 2 sinx] dx = 3π∫0

cosx dx + 20∫π

sinx dx =

3 [sinx]π0 + 2 [− cosx]0π = 3 (0− 0)− 2 (1− (−1)) = −4 .

Nasledujıcı dve vety vyplyvajı z vet (8.2) a (8.3).

68 M1E

Veta 8.5 : (per partes v Newtonove integralu)Necht’ funkce u, v jsou derivovatelne na intervalu 〈a, b〉(v krajnıch bodech zprava, popr. zleva) a u · v′ ∈ N (〈a, b〉) ,potom take u′ · v ∈ N (〈a, b〉) a platı

b∫a

u′(x) · v(x) dx =[u(x) · v(x)

]ba−

b∫a

u(x) · v′(x) dx .

Produkce plynuZe zkusenostı vıme,

ze novy vrt produkujeasi f(t) = 0.2 t e−0.02t

milionu kubickych me-tru plynu za t mesı-cu. Pokud chceme od-hadnout celkovou pro-dukci P (t) vrtu za je-den rok, pak musımespocıtat integral

P (t) =

12∫0

0.2 t e−0.02t dt.

Pomocı metody perpartes dostaneme

12∫0

0.2 t e−0.02t dt =

10(− [t e−0.02t]

120 +

12∫0

e−0.02t dt).= 12 .

Prıklad 8.7 : Vypoctete integral1∫

0

ex sinx dx .

Metodu per partes pouzijeme dvakrat.1∫

0

ex sinx dx =

[u′ = ex v = sinxu = ex v′ = cosx

]= [ex sinx]

10−

1∫0

ex cosx dx =

[u′ = ex v = cosxu = ex v′ = − sinx

]= [ex sinx]

10−

[ex cosx]10 −

1∫0

ex sinx dx . Odtud vyplyva

1∫0

ex sinx dx = 12 [ex(sinx− cosx)]

10 = e

2(sin 1− cos 1) + 12 .

Veta 8.6 : (substituce v Newtonove integralu)Necht’ f : D(f) → H(f) , g : D(g) → H(g) a H(f) ⊂ D(g) .Jestlize funkce f je derivovatelna naD(f) a existuje primitivnıfunkce G k funkci g na D(g) , potom pro 〈a, b〉 ⊂ D(f) platı

b∫a

g(f(x)) · f ′(x) dx =

f(b)∫f(a)

g(y) dy = G(f(b))−G(f(a)) .

Prıklad 8.8 :

1)e∫

1

lnxx dx =

(y = lnxdy = 1

x dx

)=

ln e∫ln 1

y dy = [y2

2 ]10 = 1

2 .

2)0∫−1

1√1−x2 dx =

(x = sin t −1 = sin a⇒ a = −π

2

dx = cos t dt 0 = sin b⇒ b = 0

)=

0∫−π2

1√1−sin2 t

cos t dt =0∫−π2

cos t| cos t| dt =

(pro t ∈ (−π

2 , 0)je cos t > 0

)=

0∫−π2

1 dt = [t]0−π2

= π2 .

M1E 69

Definice 8.4 : (nevlastnı integral vlivem meze)Necht’ funkce f ∈ N (〈a, b〉) pro kazde b > a. Necht’ existuje

limita limb→∞

b∫a

f(x) dx , pak se nazyva nevlastnı Newtonuv

integral vlivem meze a pıseme

limb→∞

b∫a

f(x) dx =

∞∫a

f(x) dx .

Znacıme f ∈ N (〈a,∞)) a rıkame, ze nevlastnı integral kon-verguje; v opacnem prıpade diverguje.

Analogickyb∫−∞

f(x) dx = lima→−∞

b∫a

f(x) dx a definujeme

∞∫−∞

f(x) dx =c∫−∞

f(x) dx+∞∫c

f(x) dx , c ∈ R .

Integral∞∫−∞

sinx dx

neexistuje. Nekdy jeproto vhodne praco-vat s hlavnı hodnotounevlastnıho integralu,ktera je definovana vz-tahem

v.p.∞∫−∞

f(x) dx =

limc→∞

c∫−cf(x) dx .

(v.p. je z francouz-skeho valeur principa-le).

Podobne pro nevlastnıintegral vlivem funkcedefinujme hlavnı hod-notu vztahem

v.p.c∫a

f(x) dx =

limδ→0+

( b−δ∫a

f(x) dx+

c∫b+δ

f(x) dx)

.

Prıklad 8.9 :

1)∞∫1

xα dx = limb→∞

b∫1

xα dx = limb→∞

[ 1α+1(bα+1 − 1)] ={ ∞ α > −1 diverguje

1α+1 α < −1 konverguje.

2)∞∫1

1x dx = lim

b→∞[ln |x|]b1 = [lnx]

∞1 =∞ diverguje.

Definice 8.5 : (nevlastnı integral vlivem funkce)Necht’ ∀ t∈(a, b) je funkce f ∈N (〈a, t〉) a f 6∈ N (〈a, b〉). Jest-

lize existuje limita limt→b−

t∫a

f(x) dx , pak se nazyva nevlastnı

Newtonuv integral vlivem funkce a pıseme

limt→b−

t∫a

f(x) dx =

b∫a

f(x) dx .

Znacıme f ∈ N (〈a, b)) a rıkame, ze nevlastnı integral kon-verguje, v opacnem prıpade diverguje.

Analogickyb∫a

f(x) dx = limt→a+

b∫t

f(x) dx .

70 M1E

Prıklad 8.10 :

1)1∫

0

xα dx = limt→0+

1∫t

xα dx = limt→0+

[ 1α+1(1− tα+1)] ={ ∞ α < −1 diverguje

1α+1 α > −1 konverguje.

2)1∫

0

1x dx = lim

t→0+[ ln |x| ]1t = [lnx]

10 =∞ diverguje.

Poznamka 8.1 : Jestlize existuje cıslo c ∈ (a, b) takove, zef ∈ N (〈a, c)) , f ∈ N ((c, b〉) a zaroven f 6∈ N (〈a, b〉) , pakpolozıme

b∫a

f(x) dx =

c∫a

f(x) dx+

b∫a

f(x) dx .

Prıklad 8.11 :

Necht’ f(x) ={

0 x ∈ 〈−1, 0)1 x ∈ 〈0, 1〉 , potom

1∫−1

f(x) dx =

0∫−1

0 dx+1∫

0

1 dx = [0]0−1 + [x]10 = 1 .

Funkce F (x) ={

0 x ∈ 〈−1, 0)x x ∈ 〈0, 1〉 nenı primitivnı funkce

k funkci f na intervalu (−1, 1), protoze F ′(0) neexistuje,

presto platı F (1)− F (−1) = 1− 0 =1∫−1

f(x) dx .

Uvedeny prıklad vede k nasledujıcı definici.

Definice 8.6 : (zobecnena primitivnı funkce)Necht’ f : 〈a, b〉 → R a F : 〈a, b〉 → R takove, ze1) Funkce F je spojita na 〈a, b〉 .2) Platı F ′(x) = f(x) na 〈a, b〉 s vyjimkou spocetne mnohabodu intervalu 〈a, b〉 ,potom funkce F se nazyva zobecnena primitivnı funkcek funkci f a cıslo F (b)− F (a) se nazyva zobecneny New-tonuv integral funkce f na intervalu 〈a, b〉 .

F (x)

f(x)

Zobecněná primitivní funkce

M1E 71

8.3 Aplikace v geometrii a fyzice

Pri zavedenı Riemannova integralu jsme scıtali ”nekonecne mnohonekonecne malych ploch - tzv. elementu”a dostali jsme vlastneobsah plochy ”pod grafem funkce f”. Tento postup lze pouzıt ipri vypoctu objemu teles, delek krivek, vykonane prace ap.

Popis Vztah Obrazek

Plocha pod grafem funkce

Plocha S je ohranicena grafem

funkce f , prımkami x = a , x = b

a osou x.

S =

b∫a

f(x) dx

Element plochydS = f(x) dx

�

�

�� � �

���

�� ��

Objem rotacnıho telesa

Objem V telesa vznikleho rotacı

plochy pod grafem funkce f kolem

osy x.

V = π

b∫a

f 2(x) dx

Element objemudV = πf 2(x) dx

�

�

� �

���

��� ��

Delka krivky

Delka s krivky urcene grafem

funkce f .

s =

b∫a

√1 + (f ′(x))2 dx

Element delkyds

.=√

(dx)2 + (df)2 =√(dx)2 + f ′(x)2(dx)2 =√

1 + f ′(x)2 dx�

�

�� � �

��� � �

�� ��

Povrch rotacnıho telesa

Velikost S plochy vznikle rotacı

grafu funkce f kolem osy x.

S=2π

b∫a

f(x)√

1+(f ′(x))2 dx

Element povrchu dS.=

2πf(x) ds = 2πf(x)√

1 + f ′(x)2 dx

�

�

� �

���

��� ��

72 M1E

Staticky momentkrivky

Staticke momenty Mx, My

krivky dane grafem funkce

f vzhledem k osam x,

y. Hmotnost krivky je

reprezentovana jejı delkou.

Mx =

b∫a

f(x)√

1 + (f ′(x))2 dx

My =

b∫a

x√

1 + (f ′(x))2 dx

Staticky moment M telesa

o hmotnosti m vzhledem

k ose otacenı o, ktera je

ve vzdalenosti d od teziste

telesa, je dan vztahem

M = m · d .

Momentsetrvacnosti krivky

Momenty setrvacnosti Ix,

Iy krivky dane grafem

funkce f vzhledem k osam

x, y. Hmotnost krivky je

reprezentovana jejı delkou.

Ix =

b∫a

f 2(x)√

1 + (f ′(x))2 dx

Iy =

b∫a

x2√

1 + (f ′(x))2 dx

Moment setrvacnosti I

telesa o hmotnosti m

vzhledem k ose otacenı o,

ktera je ve vzdalenosti d

od teziste telesa, je dan

vztahem I = m · d2 .

M1E 73

Reference

[1] Cızek, Kubr, Mıkova: Sbırka prıkladu z matematicke analyzyI., skripta ZCU Plzen 1997

[2] Cızek, Kubr, Mıkova: Seminar z matematicke analyzy I.,skripta ZCU Plzen 1995

[3] Drabek, Mıka: Matematicka analyza I., skripta ZCU Plzen1996

[4] Schwabik, Sarmanova: Maly pruvodce historiı integralu,Prometheus, Praha 1996