MaticeMatice je tabulka čísel ve tvaru

mnmn

mnnn

m

m

AA

21

22212

12111

Pozn. : první index u složky zde značí číslo sloupce (pozice ve vodorovném směru), druhý index u složky značí číslo řádku (pozice ve svislém směru). V tomto bodě se přednáška hrubě rozchází z většinou matematické literatury. Usnadní to ale studentům orientaci při sledování přednášky o výpočetní technice – pole se v programech značí tak, jak je to zavedeno na této průsvitce.

Obvykle se značí velkými tiskacími písmeny (latinka) psanými tučně, popř. dvojitě. Jednotlivé prvky se pak značí stejným, ale malým (řeckým či latinským) písmenem opatřeným indexy, nebo jménem matice v závorce a indexy.

prvek matice

Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Matice

mnnn

m

m

21

22212

12111

A

S maticemi lze pracovat jako s vektory (vektorový prostor matic), nicméně samy o sobě jsou velmi důležitými matematickými objekty. Reprezentují například soustavy rovnic, operátory a podobně, jak uvidíme později. Jsou s nimi zavedeny některé základní operace:

pqqq

p

p

21

22212

12111

B

Sčítání matic (vektorová operace, vyžaduje, aby matice měly stejné rozměry)

mnmnmn

mnmnnnnn

mm

mm

BABA

2211

2222221212

1121211111

Matice

Násobení matice číslem (vektorová operace)

mnmn

mnnn

m

m

AA

21

22212

12111

Násobení dvou matic (vyžaduje aby počet sloupců první byl stejný jako počet řádků druhé).

mkkk

m

m

21

22212

12111

A

lmmm

l

l

21

22212

12111

B

Násobení matic

223416734532

Takto matice násobit lze

223416734532

Takto matice násobit nelze

4786321621531402

X

4786321621531402

X

Násobení matic není obecně komutativní!

Násobení matic

mkkk

m

m

21

22212

12111

A

lmmm

l

l

21

22212

12111

B ?klAB

Násobek těchto dvou matic je definováno jako matice o k řádcích a l sloupcích, kde

m

iliikkl

1

AB

mkkk

m

m

21

22212

12111

lmmm

l

l

21

22212

12111

X

Násobíme postupně prvky z vybraného řádku první matice s prvky s vybraného sloupce druhé a sčítáme je. Poloha řádku v první matici a poloha sloupce v druhé udává polohu prvku v nové matici.

Násobení matic

234673532

165302

X

1. řádek 1. sloupec

C = A.B

C11 = 2.2 + 3.3 + 5.6 = 43C21 = 2.0 + 3.5 + 5.1 = 20

C12 = 3.2 + 7.3 + 6.6 = 63C22 = 3.0 + 7.5 + 6.1 = 41

C13 = 4.2 + 3.3 + 2.6 = 29C23 = 4.0 + 3.5 + 2.1 = 17

2. sloupec2. řádek3. řádek

=

43 2063 4129 17

Násobení matic

Příklad Vynásobte matice

123012134332

8012

5302

X

713513

1417=

123012134332

8012

5302

X

Násobení matic

Příklad Vynásobte matice

2000120012101352

21

31

X

Toto je speciální případ – násobení matice a vektoru. Výsledkem je opět vektor. Velmi častý případ jak ve fyzice, tak v matematice.

=

40318

2000120012101352

21

31

X

Soustavy lineárních rovnic

S maticemi jsou úzce spojeny soustavy lineárních rovnic. Soustavou n lineárních rovnic o obecně m neznámých x1, x2, … , xm (zde čísla) myslíme soustavu

nmmnnn

mm

mm

xxx

xxxxxx

2211

22222112

11221111

kde čísla α nazýváme koeficienty a čísla β pravými stranami. Nejčastěji se setkáváme s případem, kdy m = n, tedy počet neznámých je roven počtu rovnic.

Příklad Řešte dosazovací metodou soustavu

142

zxzy

yx

Pozn.: zde místo x1, x2, x3 značíme proměnné x, y, z. Čísla α jsou rovny buď nulám, nebo jedničkám.

Soustavy lineárních rovnic

Soustavu lineárních rovnic lze zapsat pomocí dvou vektorů a matice. Definujeme-li

nmmnnn

mm

mm

xxx

xxxxxx

2211

22222112

11221111

mnnn

m

m

21

22212

12111

A

n

2

1

b

nx

xx

2

1

x

pak lze soustavu zapsat pomocí maticového násobení a rovnosti matic jako

bxA

Soustavy lineárních rovnic

Příklad Zapište pomocí matice a vektorů soustavu

142

zxzy

yx

101110011

A

142

b

zyx

x bxA

Příklad Zapište pomocí matice a vektorů soustavu

433325223

321

321

321

xxxxxxxxx

432

313125213

3

2

1

xxx

Gaussova eliminační metoda

Pro řešení soustavy rovnic existuje několik metod. Nejzákladnější je dosazovací, která je ale pro soustavy pro více než se třemi neznámými velmi pracná. Jednodušší metoda je tzv. Gaussova eliminační. Spočívá v aplikaci následujících ekvivalentních úprav:

K oběma stranám rovnice lze přičíst libovolné stejné číslo – rovnost se tím nezmění.

Obě strany rovnice lze vynásobit jedním nenulovým číslem – rovnost se nezmění.

Lze prohodit pořadí řádků soustavy – řešení soustavy se tím nezmění.

První ekvivalentní úpravu aplikujeme ve formě chytrého triku – protože mluvíme o rovnostech, levá a pravá strana libovolné rovnice představují shodná čísla. Můžeme tedy levou stranu rovnice přičíst (či odečíst) k levé straně jiné rovnice a pravou stranu k pravé – a řešení soustavy se nezmění:

142

zxzy

yx

141

zxzyzy

-

Gaussova eliminační metoda

Vidíme, že jsme se zcela zbavili proměnné x v prvních dvou rovnicích. Aplikujme postup znovu:

1321

zxzzy

141

zxzyzy-

Po těchto dvou jednoduchých krocích ihned vidíme, že z = 3/2. Pokračujeme dále:

222322

zxzzy

- 212325

xz

y+

Řešením soustavy jsou čísla x = -1/2, y = 5/2, z = 3/2. Čas na práci, který jsme ušetřili oproti dosazovací metodě je znatelný i zde.

Gaussova eliminační metodaTento postup je nesmírně výhodný zejména ve spojení s maticovým zápisem soustavy. Zapíšeme-li si soustavu zkráceně ve tvaru

K libovolnému řádku matice lze přičíst (odečíst) libovolný jiný

Každý řádek matice lze vynásobit libovolným nenulovým číslem

Lze prohodit pořadí řádků matice

Vhodnými kombinacemi těchto úprav se pak snažíme dosáhnout tzv. horního stupňovitého tvaru matice vlevo od čáry (pod hlavní diagonálou jsou samé nuly) a posléze takové formy, kde jsou na hlavní diagonále jedničky, všude jinde nuly. Čísla za čárou jsou pak řešením soustavy.

nmnnn

m

m

2

1

21

22212

12111

bA

znamenají ekvivalentní úpravy následující:

Rozšířená matice

soustavy

Gaussova eliminační metoda

Příklad Řešte Gaussovou eliminací soustavu

31221821453

321

321

321

xxxxxxxxx

3211

112182453

Toto je horní stupňovitý tvar

18211

090182453

22120

010182531

26120

01011140

531

23320

0101100

531

33220

1100010531

Gaussova eliminační metoda

Příklad Řešte Gaussovou eliminací soustavu

31221821453

321

321

321

xxxxxxxxx

Toto je řešení soustavy

33220

1100010531

3220

100010531

325

100010031

321

100010001

321

3

2

1

xx

x

Gaussova eliminační metoda

Příklad Řešte Gaussovou eliminací soustavy

14324132431243211432

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

1112

x

18254715538324

10233212568

4321

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

115

03

x

Pozn. : zde je více rovnic než neznámých. Musíme počítat s tím, že soustavy s obecně různým počtem proměnných a rovnic nemusí mít žádné řešení či dokonce mohou mít nekonečně mnoho řešení – a ty je potřeba všechny najít .

Hodnost matice

Definice 40. Buď (x1, x2, … , xn) soubor vektorů. Číslo dim [x1, x2, … , xn]λ nazýváme hodnost souboru.

Definice 41. Buď A matice. Hodností matice nazveme hodnost jejích řádků coby vektorů (n-tic).

Zaměníme pořadí vektorů v souboru

Vynásobíme libovolný vektor nenulovým číslem

K libovolnému vektoru přičteme jiný vektor

Pozn. : Hodnost souboru se nezmění, pokud

Vynecháme ze souboru vektor, který je lineární kombinací ostatních

Pozn. : Z předchozí poznámky plyne, že hodnost matice se nezmění, provedeme-li libovolnou ekvivalentní úpravu.

Pozn. : Matice má hodnost h, je-li h jejich řádků lineárně nezávislých.

Frobeniova věta

Frobeniova věta : Věta 7.

1) Soustava m lineárních rovnic pro n neznámých Ax = b je řešitelná, právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy:

bAA h)(h 2) Je-li hodnost matice soustavy h(A) = h, má soustava Ax = 0 právě n-h lineárně nezávislých řešení, tj.

nhxxxnh

hn pro],,,[ pro}{S

210

0

Je-li navíc h(A|b) = h, pak

xSS ~0

kde x~ je libovolné vybrané (partikulární) řešení soustavy Ax = b.

Gaussova eliminační metoda

Příklad Řešte Gaussovou eliminací soustavy

154321 xxxxx )1,0,0,0,1(),0,1,0,0,1(),0,0,1,0,1(),0,0,0,1,1()0,0,0,0,1( x

2749422536372

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

)0,11,5,1(),1,2,2,1()1,0,1,1( x

Transponovaná matice

Definice 42. Buď A matice. Matici k ní transponovanou vytvoříme „překlopením podle hlavní diagonály“, tj

mnnn

m

m

21

22212

12111

A

nmmm

n

n

21

22221

11211

TA

Matici transponovanou značíme malým T v horním indexu.

Permutace

Definice 43. Nechť n je přirozené číslo. Každé prosté zobrazení množiny samu na sebe nazveme permutací množiny . Množinu všech permutací množiny budeme značit Sn.

n̂n̂

n̂

Pozn. : kolik prvků má množina Sn ?

Podívejme se na permutace množiny {1, 2, 3}. Napišme si, jak je možné zobrazení utvořit:

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3 }

Pro jednoduchost zapisujeme

( 1, 2, 3 )( 1, 3, 2 )( 2, 1, 3 )( 2, 3, 1 )( 3, 1, 2 )( 3, 2, 1 )

PermutacePočet všech permutací lze odvodit velmi snadno. Máme n čísel a potřebujeme je rozmístit na n míst. Umístíme první – a na to máme n možností.

( . . . . . . 1 . . . . . )Umístíme druhé – a na to máme n-1 možností, protože jedna z pozic je již

obsazena prvním číslem. Celkem je tedy n(n-1) možností, jak umístit dvě čísla.

( . . 2 . . . 1 . . . . . )Umístíme třetí – a na to máme n-2 možností, protože dvě z pozic je již obsazena prvním a druhým číslem. Celkem je tedy n(n-1)(n-2) možností, jak umístit tři čísla.

( . . 2 . . . 1 . . . 3 . )

Umístíme čtvrté – a na to máme n-3 možností, protože dvě z pozic je již obsazena prvním a druhým a třetím číslem. Celkem je tedy n(n-1)(n-2)(n-3) možností, jak umístit čtyři čísla.

A tak dále. Ve výsledku počet prvků Sn je

!123)3()2()1( nnnnn toto číslo nazýváme n faktoriál.

Permutace

Definice 44. Permutaci, ve které jsou prohozena pouze dvě čísla a ostatní jsou na svých pořadových místech, nazýváme transpozicí. Každou další permutaci (mimo identické) lze zkonstruovat pomocí skládání transpozic. Počet vnoření transpozic pak udává znaménko permutace (signum):

l

n

n

)1(sgn

SS Množina všech permutací z množiny { 1, 2, … , n }

Jedna permutace z Sn

Znaménko (signum) permutace. Číslo l udává, z kolika transpozic je permutace složená.

Je-li sgn π = +1, nazýváme permutaci sudou, je-li sgn π = -1, nazýváme ji lichou.

Permutace

Příklad Určete permutaci složenou s následujících transpozic. Jaké má znaménko?

( 1, 2, 5, 4, 3 )( 3, 2, 1, 4, 5 )( 1, 4, 3, 2, 5 ) o o

( 1, 2, 3, 4, 5 )

( 1, 2, 5, 4, 3 ) ( 3, 2, 1, 4, 5 ) ( 1, 4, 3, 2, 5 )

( 1, 2, 5, 4, 3 ) ( 5, 2, 1, 4, 3 ) ( 5, 4, 1, 2, 3 )

sgn ( 5, 4, 1, 2, 3 ) = -1

Platí, že pro libovolné permutace platí sgn (π1 π2) = sgn (π1) x sgn (π2).

Permutace je zobrazení. Hodnota permutace aplikované na daný prvek se značí π(k) kde k je číslo z množiny { 1, 2, … , n }.

Determinant

Definice 45. Nechť A je matice z Tnn (tj. čtvercová matice), prvky této matice jsou αnn. Číslo

nnSn

)(2)2(1)1(sgn

nazýváme determinantem matice A a značíme det A.

Pozn. : pro determinant platí

det E = 1 (E je jednotková matice s jednič- kami na hlavní diagonále a nulami jinde).det (AB) = det A . det B

det AT = det A

nnnn

n

n

21

22212

12111

det A

další značení

Determinant je roven nule, je-li jeden z řádků matice LK ostatních

Prohodíme-li dva řádky, determinant změní znaménko

Determinant

nnnn

n

n

nnnn

n

n

c

c

cc

21

22212

12111

21

22212

12111

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnnn

n

n

2

2222

1211

21

22212

12111

21

222212

121111

Platí :

Druhý vztah platí pro libovolný sloupec respektive řádek.

Determinant

?det2212

2111

AA

Sčítáme přes všechny permutace množiny { 1, 2 }. Těch není mnoho :

( 1, 2 ) ( 2, 1 )

nnSn

)(2)2(1)1(sgn

dle vzorce pak snadno určíme

1221221112212211 )1,2sgn()2,1sgn(det A

2212

2111

Avynásobené tyto dva prvky s plusem

vynásobené tyto dva prvky s mínusem

Determinant

?det

332313

322212

312111

AA

Sčítáme přes všechny permutace množiny { 1, 2, 3 }. Těch je šest :

( 1, 2, 3 ) ( 1, 3, 2 ) ( 2, 1, 3 ) ( 2, 3, 1 ) ( 3, 1, 2 ) ( 3, 2, 1 )

132231331221233211

231231133221332211

132231231231

133221331221

233211332211

)1,2,3sgn()2,1,3sgn()1,3,2sgn()3,1,2sgn(

)2,3,1sgn()3,2,1sgn(det

A

sudá sudá sudá lichálichálichá

Determinant

332313

322212

312111

A

332313

322212

312111

A

332313

322212

312111

A

332313

322212

312111

A

332313

322212

312111

A

332313

322212

312111

A

kladné členy záporné členy

Determinant

kladné členy

záporné členy

132231331221233211

231231133221332211det

A

332313

322212

312111

A

332313

322212

312111

A

Determinant

?det

44342414

43332313

42322212

41312111

AA

Sčítáme přes všechny permutace množiny { 1, 2, 3, 4 }. Těch je dvacet čtyři :

… FUJ! Tohle už asi jen tak ručně nepůjde…

Věta 8. Buď

mnnn

m

m

21

22212

12111

det A . Pak platí

n

ikiki

ki A1

)(det)1(det Akde k je nějaký zvolený sloupec a (det A)ki determinat matice, která vznikne z původní vynecháním k-tého sloupce a i-tého řádku.

Determinant

2301021321104211

1301021311102211

2

3510021311102211

2

021111221

0351111221

3351021221

0351021111

12

351111221

6351021111

2 488602

vytýkáme 2 z pos-ledního sloupce

k poslednímu řádku přičteme první

rozvoj determinantu podle prvního sloupce

první z determinantů má LZ řádky a je tedy 0

Pozn. : rozvoj lze samozřejmě dělat i podle řádků.

Determinant

Příklad Spočtěte determinant

2122221111323111

Příklad Spočtěte determinant

cossin0sincoscoscossinsinsincossincos

Příklad

Spočtěte determinant1

1111

2

2

kde 32sin

32cos i

Shrnutí

• Matice : sčítání, násobení číslem a násobení matic

• Soustavy lineárních rovnic

• Matice soustavy, rozšířená matice soustavy

• Gaussova eliminační metoda, horní stupňovitý tvar

• Hodnost matice

• Frobeniova věta

• Homogenní a partikulární řešení

• Transponovaná matice

• Permutace

• Determinant

• Rozvoj determinantu dle sloupce (řádku)